DINMICA DELMOVIMIENTOROTACIONAL

Al dar volteretas, este acrbata no es uncuerpo rigido, y ello le permite variar surapidez rotacional en el aire. Si muevesus brazos y piernas hacia afuera, su rotacin se hace ms lenta; si los pega alcuerpo, gira ms rpidamente.

Si el acrbata no est tocando elsuelo, cmo puede alterar su rapidez derotacin? Qu principio fsico operaaqui?

En los captulos 4 y 5 aprendimos que una fuerza neta aplicada a un cuerpo im-parte una aceleracin a ese cuerpo. Sin embargo, qu se requiere para impar-tir a un cuerpo una aceleracin angular? Es decir, qu se necesita para poner agirar un cuerpo estacionario o para detener un cuerpo que esta dando vueltas? Serequien: una fuerza, pero debe aplicarse de tal manera que imprima una accinde torcer o de dar vuel!a.

En este caplUlo definiremos una nueva cantidad fsica, momento de torsin,que describe la accin de torsin O giro de una fuerza. Veremos que el momentock torsin neto que actita sobre un cuerpo rgido detennina su aceleracin angu-1.-.. as como la fuerza neta sobre un cuerpo determina su aceleracin lineal. Tam-

examinaremos el trabajo y la potencia en el movimiento rotacional a fin dec.mdcr los problemas del tipo de cmo el eje giratorio de un auto transmite ener-

I\wUltimo. desarrollaremos un lluevo principio de conservacin, la conserva-

361

.362

10.1 Cul de estas tres fuerzas de igualmagnitud tiene mayor probabilidad deaflojar el perno apretado?

Act',vPhyscs7.1 Clculo de momentos de torsin

CA pfTULO 10 1 Dinmica del movimiento rotacional

ci" de la cantidad de movimiento angular, que es muy til para entender la ro-tacin de cuerpos tanto rgidos como no rgidos. Terminaremos el captulo con elestudio de los girscopos, dispositivos giratorios que al parecer desafian el sentidocomm y no se caen cuando creemos que deberan hacerlo, aWlQue en realidad su comoportamiento se ajusta perfectamente a la dimimica del movimiento rotacional.

10.1 I Momento de torsinDe qu depende la eficacia de una fuerza para causar o alterar un movimiento ro-tacional? La magnitud y direccin de la fuerza son importantes, pero tambin loes la posicin del punto de aplicacin. Si tratamos de abrir una puerta pesada, esmucho ms eficaz empujarla lejos del eje de rotacin (cerca de la perilla) que cer-ca de l (cerca de las bisagras). En la figura 10.1, se est usando una llave de tuercaspara aflojar un perno apretado. La fuerza F" aplicada cerca del extremo del man-go, es ms eficaz que una fuerza igual F" aplicada cerca del perno. La fuerza Fcno sirve de nada, Se aplica en el mismo punto y tiene la misma magnitud que F" peroest dirigida a lo largo del mango.

La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la ro-tacin de un cuerpo se denomina momento de torsin. La figura 10.2 muestra uncuerpo que puede girar alrededor de un eje que pasa por el puntE 0.1 es.,perpen-dicular al plano de la figura. Sobre ~ cuerpo actan tres fuerzas: F., F 2 YF), en elplano de la figura. La tendencia de F I a causar una rotacin alrededor de O depen-de de su magnitud F] y tambin de la distancia perpendicular /1 entre la lnea deaccin de la fuerza (la lnea sobre la que est el vector de fuerza) y O. Llamamosa 11 el brazo de palanca (o brazo de momento) de FI alrededor de O. El esfuer-zo de torsin es directamente proporcional tanto a F l y como a 11, Definimos elmomento de torsin (o momento) de F" respecto a O como el producto FII I. Usa-remos la letra griega T ("tau") para el momento de torsin. El momento de torsinde una fuerza de magnitud F cuya linea de accin est a una distancia perpendicu-lar 1del punto O es

T = Fl (10.1)

Momc:oto de torsin_(magnitud de fueru) x (bruo de palanca)

F,

F

F] tiene cerode palanca

Brazo de palanca

10.2 El momento de torsin de una fuerzaalrededor de un punto es el producID dela magnitud de la fuerza y el brazode palanca.

Los fisicos prefieren el trmino "momento de torsin"; los ingenieros prefie-ren el tnnino "momento" solo (a menos que estn hablando de un eje giratorio,en cuyo caso suelen usar el trmino "par motor"). Los dos grupos usan "brazo depalanca" o "brazo de momento" para la distancia l.

El brazo de palanca de F. en la figura 10.2 es la distancia perpendicular OA o11> y el de F2 es la distancia perpendicular OE o 12, La lnea de accin de F) pasapor el punto de referencia O, as que el brazo de palanca de F3 es cero y su mo-mento de torsin respecto al punto O es cero. Por lo mismo, Fc en la figura 10.1tiene_momento de torsin cero respecto a O, y Fb liene mayor momento de torsinque F" porque su brazo de palanca es mayor.

Observe que el momento de torsin siempre se define con refe-rencia a un punto especifico, que a menudo (aunque no siempre) es el origendel sistema de coordenadas. Si cambiamos de posicin este punto, el momento detorsin de cada fuerza puede cambiar. Por ejemplo. el momento de torsinde F) en la figura 10.2 es cero respecto a O, pero no respecto a A o B. Al descri-bir el momento de torsin de una fuerza, no basta llamarlo ~el momento detorsin de F"; debemos decir "el momento de torsin de F respecto al punto X"o Nel momento de torsin de Falrededor del punto X".

110.1 I Momento de tOrs.ill 363

Lnea deaccinde F

,

-rsen.p- brazo de palancao

10.3 El momento de tonin de la fuerza en tomo a!punto O se define como"7 = r x F. La magnitud de T es rFsen q,.Aqu, ry estin en el plano del papel;por la regla de la mano dem:ha del pro-duclo vcclorial, "7 apunta afuera de lapgina hacia el lector.

,

.~~F

(afuera de la pgina)

Erno>q~ 1mdedos de la mano

delttha de la td'=;oo '" , ,hacia la direccinde F; el pulgarestirado apunta enla direccin de T

1- FI- FWlr'" Fr sen entre los vectores r y F: el brazo depalanca es r sen 4>, asi que T = rF sen 1J. Un lercer mtodo es representar Fen tr-minos de una componente radial FrId en la direccin de ;: y una componente FlJmperpendicular a r. (Decimos "tangencial" porque, si el cuerpo gira, el punID en elque acta la fuerza se mueve en un crculo, y sta componente es tangente a esecrculo.) As, F_ = F sen cP y T = r(F sen (j) = F..,r. La componente FQIJ no tienemomento de torsin respecto a O porque su brazo de palanca respecto a ese pun-lO es cero (compare con las fuerzas F~ de la figura 10.1 y EJ de la figura 10.2. Re-sumiendo estas expresiones de momento de torsin, tenemos

1

I

En la seccin 9.1, vimos que la velocidad y la aceleracin angulares pueden re-presentarse como vectores; lo mismo sucede con el momento de torsin. Observeque la cantidad rF sen (j) de la ecuacin (10.2) es la magnitud del producto lIecto-rial r x Fque demimos en la seccin 1.10. Repase esa definicin. Ahora gene-ralizamos la definicin de momento de torsin as: Si una fuerza Facta en un puntoque tiene un vector de posicin;: respecto a un origen O, como en la figuraIO.J,el momento de torsin Tde la fuerza respecto a O es la cantidad vectorial

(definicin del vector de momento de torsin) (10.3)

El momento de torsin dermido en la ecuacin (10.2) es slo la magnitud del vec-tor de momento de torsin r x F. La direccin de T es perpendicular tanto a ryF. En particular, si ry F estn en un plano perpendicular al eje de rotacin, comoen la figura 10.3, el vector de momento de torsin:r =;: x F tiene la direccindel eje de rotacin, y su scntido est dado por la regla de la mano derecha (Fig.1.20). Las relaciones de direccin se muestran en la figura lOA.

En los diagramas en los que intervienen r, Py:r, es comn que uno de los veclores esl orientado en una direccin perpendicular a la pgina. (De hecho, por lanaturaleza misma del producto cruz., :r = r x Fdl},be ser perpendicular al plano

cf,,:',mr':,,;n,)Enrosque los dedos

l '""-"'="'"la dirtccin de hacia la dim::cinde F; el pulgarT estirado apunla enla direin de T10.4 El vector de momento de torsin,T = r x se dirige sobre el ejtdel perno,perpend.icular tanto a rcomo a F. La di-reccin de :;. est dada por la regla dela mano derecha. Vemos que los dedosde la mano dere

364

Ejemplo10.1

CAPTULO 10 I Dinmicadelmovimientorotacional

de los vectores r y F.) Usaremos un punto (.) para representar un vector queapunta hacia afuera de la pgina (vase la Fig. 10.4) Yuna cruz (x) para represen-tar un vector que apunta hacia adentro de la pgina.

En las secciones siguientes, nonnalmente nos interesar la rotacin de un cuer-po alrededor de un eje orientado en cierta direccin constante. En tal caso, slo in-teresa la componente de momento de torsin sobre ese eje, que normalmentellamaremos el momento de torsin respecto al eje especificado.

Aplicacin de un momento de torsin

,

Il'I,

I

Un plomero aficionado que no puede aflojar una junta ensarta untramo de tubo en el mango de su llave de mercas y aplica todo supeso de 900 N al extremo del tubo parndose en l. La distancia delcentro de la junta al punto donde acta el peso es de O.SO ro, y elmango y el rubo forman un ngulo de 19 con la horizontal (Fig.10.5a). Calcule la magnirud y direccin del momento de torsinque el plomero aplica en torno al centro de la junta.

E!ll!ImJlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos la ecuacin (10.1) o la(10.2) para obtener la magnirud del momento de torsin, y la regla dela mano derecha con la ecuacin (10.3) para hallar su direccin, Lafigura 10.5b muestra los vectores;: y F y el ngulo entre ellos (q., =109).EJECUTAR: Para usar la ecuacin (10.1), primero calculamos elbrazo de palanca. Como muestra la figura 10.5b, 1es la distanciaperpendicular de O a la lnea de accin de la fuerza:

f= (0.80 m) sen 109 = (O.SOm) sen 71 = 0.76 mLa ecuacin (10.1) nos dice que la magnirud del momento de tor-sin es

1" = F/ = (900 N)(0.76 m) = 680N'm

o bien, por la ecuacin (10.2),1" = rFsenq., = (0.80m)(900N)(sen 109) = 680N'm

Tambin podemos calcular F~, la componente tangencial de F, queacta perpendicular a;: (o sea, perpendicular al tubo). El vector r es-t a 19 de la horizontal, asi que una perpendicular a r est orientadaa 19 de la vertical. Dado que Fes vertical, esto implica que Fu... =F(cos 19) = (900 N)(cos 19) = 851 N. El momento de torsin es

1" = Fan , = (851 N)(0.80m) = 680N'mSi enrosca los dedos de su mano derecha de la direccin de r (en elplano de la figura I0.5b, hacia la derecha y hacia arriba) a la direc-cin de F (venic~lmcnte hacia abajo), su pulgar derecho apuntarhacia adentro del plano de la figura. sta es la direccin del mo-mento de torsin r.

EVALUAR: Ya verificamos la magnirud obtenida de 1" calculndolade tres formas distintas. Para verificar la direccin del momento detorsin, observamos que la fuerza de la figura 10.5 tiende a produ-cir una rotacin horaria en torno a O. Si enroscamos los dedos de lamano derecha en direccin horaria, nuestro pulgar apuntar haciaadentro del plano de la figura 10.5, es, en efecto, la direccin delmomento de torsin.

T (hacia la pgina)X __

1(brazo de palanca)

F= 900 N1') lb)

10.5 (a) Un plomero aficionado trata de aflojar una junta parndose en una extensin delmango de la llave de tuercas. (b) Diagrama vectorial para calcular el momento de torsinrespecto a O.

10,2 I Momento de torsin y aceleracin angular de un cuerpo rgido 365/

Qu magnitud de fuerza hacia abajo tendria que ejercer el plomero aficionadodel ejemplo 10.1 para producir el mismo momento de torsin sin el tubo? La lla-ve de nJercas sola tiene una longitud de 25 cm.

10.2 I Momento de torsin y aceleracinangular de un cuerpo rgido

es decir,

"'------- "

Eje derotacin

,

10,6 Tres componentes de la fuerza netaactan sobre una de las particulas de uncuerpo rigido, Slo Fl>un tiene unacomponente z de momento de torsinalrededor de O.

(10.4)

(10.5)Por la ecuacin (10.2), F,tanr no es ms que el momento de torsin de la fuerza

neta respecto al eje de rotacin (igual a la componente 7z del vector de momentode torsin sobre dicho eje). El subindice z nos recuerda que el momento de torsinafecta al rotacin en torno al eje z, de la misma manera que el subindice de F]: nosrecuerda que esta fuerza afecta el movimiento de la partcula I a lo largo del eje z.

Las componentes F..rad YF]z no contribuyen al momento de torsin alrededordel eje z, pues ninguna tiende a modificar la rotacin de la partcula alrededor deese eje. Por tanto, 7]: = F,tarl' es el momento de torsin total que acta sobre lapartcula respecto al eje de rotacin. Adems, m]r2 es 1, el momento de inercia dela partcula alrededor del eje de rotacin. Con esto en mente, reescribimos la ecua-cin (l0.5) as:

Podemos expresar la aceleracin tangencial de la primera pancula en trminos dela aceleracin angular az> usando la ecuacin (9.14): al,tan = rlaz. Con esta relaciny multiplicando ambos miembros de la ecuacin (10.4) por 1'1' obtenemos

Ahora podemos deducir la relacin ft.mdamental de la dinmica rotacional de un cuer-po rgido. Demostraremos que la aceleracin angular de un cuerpo rigido en rotacines directamente proporcional a la suma de las componentes de momento de torsin so-bre el eje de rotacin. El factor de proporcionalidad es el momento de inercia.

Para deducir sta relacin, imaginamos otra vez que el cuerpo se compone deun gran nmero de partculas. Escogemos como eje de rotacin el eje z; la prime-ra partcula tiene masa m y distancia r] respecto a este eje (Fig. 10.6). Lafuerzaneta que acta sobre la partcula tiene una componente F]'rad en la direccin ra-dial, una componente FJ.lan tangente al crculo de radio 1'] en que se mueve la par-tcula al girar el cuerpo, y una componente F]: sobre el eje de rotacin. Lasegunda ley de Newton para la componente tangencial es

Escribimos una ecuacin similar para cada partcula del cuerpo y luego suma-mos todas las ecuaciones:

71: + 72: + ... = 1a, + 12az + ... = m]r?az + m2rla; + ...

El miembro izquierdo de esta ecuacin es la suma de todos los momentos de tor-sKtn en tomo al eje de rotacin que actan sobre todas las partculas. El miembroderecho es 1 = '2.mr/, el momento de inercia total alrededor del eje de rotacin,moJtiplicado por la aceleracin angular a:, que es la misma para todas las partcu-

10.7 Para aflojar o apretar un tornillo, espreciso impartirle una aceleracin angulary, por tanto, aplicar un momento de tor-sin. Esto se facilita si se usa un destorni-llador con mango de radio grande, pues asse aumenta el brazo de palanca dc la fucrzaque aplicamos con la mano.

366 CA pfTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional

Lo5 momentoS de:torsin debidos a fuenas

inlemas se cancelan:-Tltobre2+-T2 ....... 1'"O (10.6)

(anlogo rotacional de la segunda ley de Newton para un cuerpo rgido)

las porque se trata de un cuerpo rgido. As, para el cuerpo enlero, lenemos el an-logo rotacional de la segllnda ley de Newton:

As como la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que acta sobre unapartcula es igual a la masa de la pancula multiplicada por su aceleracin, laecuacin (10.6) dice que el momento de torsin neto que acma sobre un cuerpo r-gido es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotacin mul-tiplcado por su aceleracin angular (Fig. 10.7).

Subrayamos que la ecuacin (10.6) slo es vlida para cuerpos rgidos. Si elcuerpo no es rigido, como un tanque de agua que gira o un remolino de aire, laaceleracin angular Q: es diferente para diferentes partculas del cuerpo, y la de-duccin de la ecuacin (10.6) no es vlida. Adems, como en la deduccin utili-zamos la ecuacin (9.14), aW. = rcl" Q: debe medirse en radls2.

El momento de torsin que acta sobre cada partcula se debe a la fuerza netaque acta sobre esa partcula, la cual es la suma vectorial de fuerzas externas e in-ternas (definidas en la seccin 8.2). Segn la tercera ley de Newton, las fuet'2as in-ternas que cualquier par de partculas del cuerpo rgdo ejercen una sobre la otrason iguales y opuestas (Fg. 10.8). Si estas fuerzas actan sobre la lnea que une alas panculas, sus brazos de palanca respecto a cualquer eje lambin sern guales.As, los mamemos de torsin para tales fuerzas son iguales y opueslos, y suman ce-TO. De hecho, todos los momentos de torsin intemos suman cero, y la swna IT: dela ecuacin (10.16) incluye slo los momentos de torsin de las fuerzas externas.

Es comn que una fuerza externa importante que acta sobre un cuerpo sea supeso. Esta fuerza no se concentra en un punto: acta sobre lodas las partculas delcuerpo. No obstante, resulta que, si el valor de ges el mismo en todos los puntos,siempre obtenemos el momenlo de lorsin correcto (alrededor de cualquier ejedado) si suponemos que el peso se concentra en el centro de masa del cuerpo. De-mostraremos esto en el captulo 11, pero mientras lo usaremos en algunos proble-mas de ste captulo.

Partcula

Act"IVPhyscs7.8 Rotojuego: enfoque de dinmica7.9 Escalera que cae7.10 Mujer y elevador de volante:

enfoque de dinmica

Lnea de accin :I "'*""de ambas fuen.lls Partfcu 2

Brazo depalanca de

ambas fuerzas

10,8 Dos partculas de un cuerpo rgidoejercen fuerzas iguales y opuestas una so-bre la otra. Si estas fuerzas actan a 10 lar-go de la lnea que va de una partcula a laotra, [os brazos de palanca de [as dos fuer-zas son iguales y los momentos de torsincausados por ellas son iguales y opuestos.S6lo los momentos de torsin externosafectan la rotacin de un cuerpo rgido.

Estrategia pararesolver problemas Dinmica rotacional de cuerpos rgidos

Nuestra estrategia para resolver problemas de diruimica rotacio-nal es muy similar a la presentada en la seccin 5.1 para resol-ver problemas en los que interviene la segunda ley de Newton.

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: La ecuacin 1:7" = la:es util en todos los casos en que momentos de torsin actan so-bre un cuerpo rgido; es decir, siempre que fuerzas actan sobreun cuerpo rgido de manera lal que alteran el estado de rolacindel cuerpo.

En algunos casos, podra preferirse un enfoque de energa,como se hizo en la seccin 9.4. Sin embargo, cuando la incgni-ta es: una fuerza, un momento de torsin. una aceleracin, unaaceleracin angular o un tiempo transcurrido, casi siempre esms eficiente usar I'tz : IUlz

PlANTEAR el problema empleando estos pasos:

1. Haga un dibujo de la simacin y escoja el cuerpo o cuer-pos que analizar.

2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo, ais-lando el cuerpo e incluyendo mcias las fuerzas que actansobre el (y slo ellas), incluido el peso. Marque las cantida-des desconocidas con simbolos algebraicos. Una nuevaconsideracin es que se debe mostrar con exactitud lafor-ma del cuerpo, incluyendo todas las dimensiones y ngulosque se necesitarn para los clculos de momento de torsin.

3. Escoja ejes de coordenadas para cada cuerpo e indique unsentido de rotacin positivo para cada cuerpo que gire. Sihay una aceleracin lineal, lo ms sencillo suele ser esco-ger un eje positivo en su direccin. Si ya conoce el senti-do de u" se simplificarn los clculos si se escoge secomo sentido de rotacin positivo. Si representa una fuer-

10.2 I Momento de tanin y aceleracin angular de un cuerpo rgido 367

za en trminos de sus componentes, tache la fuerza origi-nal para no incluirla dos veces.

EJECUTAR lu solucin como sigue:1. Para cada cuerpo del problema, decida si sufre mOVImien-

to: traslacional, movimiento rotacional, o ambos. Depen-diendo del comportamiento del cuerpo, apliqueIr = mii (como en la seccin 5.1), o :h, = la,. o ambasal cuerpo. Escriba ecuaciones de movimiento aparte paracada cuerpo.

2. Podra haber relaciones geomtricas entre los movimien-tos de dos o ms cuerpos, como cuando un hilo se desenro-lla de una polea girndola o cuando un neumtico gira sinresbalar (lo que veremos en la seccin 10.3). Expreselasen forma algebraica, por lo regular como relaciones entre

dos aceleraciones lineales o una aceleracin lineal y unaangular.

3. Verifique que el nmero de ecuaciones coincida con elnmero de incgnitas. Resuelva las ecuaciones para obte-ner la o las incgnitas.

EVALUAR la respuesta: Compruebe que los signos algebraicosde sus resultados sean lgicos. Por ejemplo, suponga que el pro-blema se refiere a un carrete de hilo. Si se est sacando hilo delcarrele, las respuestas no debern decimos que el carrete gira enel sentido en que el hilo se enrolla. Siempre que pueda, verifi-que los resultados para casos especiales o valores extremos ycomprelos con 10 que espera intuitivamente. Pregntese: "Eslgico este resultado?"

Ejemplo102 Cable que se desenrolla

La figura 1O.9a muestra la situacin que analizamos en el ejemplo9.8 (seccin 9.4) usando mtodos de energa. Se enrolla un cablevarias veces en un cilindro slido uniforme de 50 kg con dimetrode 0.120 m, que puede girar sobre su cje. Se tira del cable con unafuerza de 9.0 N. Suponiendo que el cable se desenrolla sin estirarseni resbalar, qu aceleracin liene?

lI:ll!ImIDENTIFICAR: La incgnita es la aceleracin del cable, que no po-demos obtener dirtttamente empleando el mtodo de energia de laseccin 9.4 (pues en el no interviene la aceleracin). En vez de ello,aplicaremos dinmica rotacional al cilindro. Para obtener la acele-racin del cable, buscaremos una relacin entre el movimiento delcable y el movimiento del borde del cilindro.

PLANTEAR: La figura 10.9b muestra el diagrama de cuerpo libre delcilindro de masa M-50 kg. El cndro gira en sentido horario cuan-do se lira del cable, as que tomamos como sentido de rotacin posi-tivo el horario. La fuerza neta que acta sobre el cilindro debe sercero porque su centro de masa no se mueve. El peso (de magnitudMg) y la fuerza nonnal (de magnitud n) ejercidos por los cojinetesdel cilindro actan sobre lineas que pasan por el eje de rotacip. y,por lo tanlD, no producen un momento de torsin respecto a ese eje.EJECUTAR: El Unico momento de lorsi6n alrededor del eje de rota-cin se debe a [a fuerza F, cuyo brazo de palanca es igual al radio Rdel cilindro: l = R= 0.060 m, as que T: - FR. (ste momento de tor-sin es positivo porque tiende a producir una rotacin horaria.) Porel ejemplo 9.8, el momento de inercia del cilindro en torno al eje derotacin es I = !MR2 Por tanto, la ecuacin (10.6) nos da la acele-racin ungular del cilindro:

10.9 (a) Cilindro y cable. (b) Diagrama de cuerpo libre para elcilindro.

(Verifique que stas unidades sean correctaS. Podemos ailadir "rnd"a nuestro resultado porque el radin es una cantidad adimensional.)

Para obtener la aceleracin lineal del cable, necesitamos una re~lacin cinemtica. En la seccin 9.3 sealamos que la aceleracinde un cable que se desenrolla de un cilindro es igual a la componen-le tangencial de aceleracin de un punto en la superficie del cilin-dro donde el cable es tangente a l. Dicha aceleracin tangencialest dada por la ecuacin (9.14):

a~ = Ra = (0.060m)(6.0radls2) = 0.36m1s2

EVALUAR: Puede usar este resultado, junto con una ecuaein delcapitulo 2, para determinar la rapidez del cable una vez que se hadesenrollado 2.0 m? lnt'ntelo y compare su resultado con el ejem-plo 9.8, donde obtuvimos sta rapidez usando consideraciones detrabajo y energa.

Mg

(b)

F=9.0N

(.)

368

Ejemplo103

CAPfTU LO 10 I Dinmica dd movimiento rotacional

Cable que se desenrolla 11

La figura 1O.IOa muestra la situacin que analizarnos en el ejemplo9.9 (seccin 9.4) usando mtodos de energa. Calcule la aceleracindel objeto de masa m.

l'm!!I3l'il!IIDENTIFICAR: Aplicaremos dinmica traslacional al objeto quecuelga y dinmica rotacional al cilindro. Puesto que el cable no res-bala sobre el cilindro, ex.iste una relacin entre la aceleracin linealdel objeto que cuelga (nuesrra incgnita) y la aceleracin angular delcilindro.

PLANTEAR: Debemos tratar los cuerpos por separado. La figul"31O.IOb muestra un diagrama de cuerpo libre para cada uno. Toma-mos el sentido de rotacin antiborario como positivo para el cilin-dro, y la direccin hacia abajo de la coordenada y como positivapara el objeto.

EJECUTAR: La segunda ley de Newton aplicada al objeto da:LF, == mg + (-T) = lila,

yI

"

0 R ,T

CilirKIroMg

Objeto F'colgante mgh1 Iy

(.) (bl

10.10 (a) Cilindro, objeto y cable. (b) Diagramas de cuerpo libre:para el cilindro y el objeto que cuelga. La masa del cable scsupone despreciable.

Para el cilindro, el peso Mg y la fuerza normal n (ejercida por el co-jinete) no ticncn momentos de torsin respecto al eje de rotacinporque actan sobre lineas que pasan por ese eje. igual que en elejemplo 10.2. El nico momento de torsin es el debido a la tensindel cable T. Aplicando la ecuacin (10.6) al cilindro tenemos

1~7' = RT= la. = -MIfa.~ : - 2 .Al igual que en el ejemplo 10.2, la aceleracin del cable es igual ala aceleracin tangencial de un punto en el borde del cilindro, que,segun la ecuacin (9.14), es ay '"' U_ '" Ra:- Usamos esto para sus-tituir (Ra,) por uyen la ecuacin aoterior y lu~o dr.idimos entre R;el resullado es

Ahora sustituimos sta cxpresin para T en la segunda ley de New-ton para el objcto y despejamos la ace1cracin uJ.:

1mg - '2May = ma,

a = gy I +MI2m

EVALUAR: La aceleracin es positiva (en la direccin hacia abajo)y menor que g, como debe ser dado que el cable est frenando alobjeto. Para ver cunta fuerza ejerce el cable. sustituimos nuestraexpresin para aJ' en la segunda ley de Newton para el objeto, obte-niendo asi T:

( g) mgT= mg - mu j "" IIlg - m =I + Ml2m I + 2m/MLa tensin en el cable no es igual al pcso mg del objeto; si asi fue-ra, el objeto no podra acelerar.

Revisemos algunos casos espccificos. Si M es mucho mayorque m, la tensin es casi igual a mg, y por tanto la aceleracin esmucho mcnor que g. Si M = 0, T"" O Yay '"' g; el objeto cae libre-mente. Si el objeto parte de una altura h sobre el piso con rapidezinicial V(lo su rapidez u al golpear el piso est dada por v~ - u02+2aJ'h. Si parte del reposo, u. '" OY

u = ...Ji;;J, = 2ghy 1 + MI2n.

ste es el mismo resullado que obtuvimos usando cODsideracionesde energa en el ejemplo 9.9.

Ejemplo10.4 Dos masas y una polea que gira

En la figura 10.lla, un deslizador de masa mI se mueve sin friccinsobre un riel de aire horizontal, sujeto a un objeto de masa m2 conun hilo sin masa. La polea es un cilindro hueco delgado (con rayos

sin masa) de masa A., y radio R. y el hilo la gira sin resbalar t estirarse. Calcule la aceleracin de cada cuerpo. la aceleracin angularde la polea y la tensin en capa parte del hilo.

10.2 I Momento de torsin y aceleracin angular de un cuerpo rgido 369

Dado que el hilo no se estira ni resbala, tenemos las relaciones ej.1/emticas adicionales

EJECUTAR: Las ecuaciones de movimiento para el deslizador) elobjeto son

m,

(.))' ,I

T, I 0"f. T,T, ~-'mi --, /112 ,"m,g T, m2gMg -

,y

Dcslzudor Polea Objetocolgante

Por la ecuacin (10.10), la aceleracin 02, del objeto colgante esigual a 0Uo y la aceleracin angular 0 0 de la polea es igual a QlI di-vidida entre R. Ahora podemos sustituir esto en las ecuaciones(10.7) Y(10.8) para obtener las tensiones. Los resultados son

m1I/2g (mI + M)m2ETI = T2 = ':""";--'-":-':0

mI + 1/l2 + M mi + 11/2 + M

EVALUAR: Revisemos algunos casos especiales para ver si estos resultados son lgicos. Primero. si mI o Al es mucho mayor que 1r12'las aceleraciones son muy pequeilas y T2 es aproximadamente mzg.Pero si m2 es mucho mayor que m] o que M. la aceleracin seraproximadamente g. Ambos resultados son lo que esperaramos. SiM=O, ,obtenemosel mismo resultado que en el ejemplo 5.13 (sec-cin 52)? Por qu si o por qu no? Se le OCUITen otros casos es-peciales que verificar?

(b)

TI = mlolx

m2g - T2 = m2al~Tl - TI = Mal,

La fonna ms fatil de resolverlas es SUmlJrlas, eliminando TI y Tl ,Ydespejar o1Jl:

(10.9). Ahora tenemos tres ecuaciones para las tres incgnitas T..Tl Yalz:

10.11 (a) Deslizador de riel de aire tirado por una masa quecuelga sobre una polea. (b) Diagramas de cuerpo libre de lostres cuerpos.

(10.9)

(10.7)(10.8)

(10.10)

Deslizador: ~F~ = TI = mio...Objeto: ~ Fy = mzg + (-T2) = ff/2Q2]'

La fuerza nonnal desconocida 1/2 acrua en una linea que pa53 por eleje de rotacin de la polea, asi que no tiene brazo de palanca ni roo-mento de torsin respecto a ese eje. De la tabla 9.2, el momento deinercia de la polea sobre ste eje es J= M(l. La ecuacin de movmiento de la polea es entonces

1l:!!!!!!!!!lD Co:lSidtr. lOS t.WY situan similar en el ejemplo5.13 (5eCtin 5..2).. Ahi. el t.io2 deslizaba sin mctin sobre una po-lea fija, y la tensin l!fJ la mi5ma en todo el hilo sin mua. Con unapolea giratoria, y friccin entre ea, polea yel tillo para evitar desliza-mientos, las dos tel"lSiones T 't T: no pueden ser iguales.. 5i lo fue-ran.la polea no podra tener~J~MMcar la tensinen ambas partes del hilo como TserWllm en;w gr.we. Cudese de 6-te error en cualquier problema que~ una polea que gira_

PLANTEAR: La figura 10.llb muestra los diagrnmas de cuerpo li-bre y los sistemas de coordenadas para los tres cuerpos. Con lascoordenadas que escogimos, el deslizador y el objeto aceleran ensus~onespositivas x y y, respectivamente. Asimismo escogemos el sentido positivo de rotacin como el horario (el mismo quela acdcracin angular de la polea). Tenemos cinco incgnitas: la&delacin del deslizador (aiJ. la aceleracin del objeto (Oq), la aceknciI:J angular de la polea. Qo Y las dos tensiones (T] y T-J. A pri-men. \'1Sl3.. el problema parece imponente. pero tendremos tantasCC'nciones ClDIm) iDcgnitas, y resolverlas ser ms fcil de lo queel kctor im3:gJaa.

D!!IlI!IlIIIDENTIFICAR: Usaremos dinmica traslacional para describir elmovimiento del deslizador y del objeto que cuelga, y dinmica rotacional para describir el movimiento de la polca. Dado quc el hilono se estira, tanto el deslizador como el objeto tienen la mismamagnitud de aceleracin; el orde de la polea tiene una aceleracinIOllgellciol con la misma magnitud porque el hilo no resbala.

(Las aceleraciones dc1 deslizador y el objeto tienen diferente direccin pero la misma magnitud.)

Las ecuaciones (10.7) a (10.10) son cinco ecuaciones simulta-neas para [as cinco incgnitas al~' 0l... o, TI y T2. (La ecuacin(10.10) es en realidad dos ecuaciones.) Primero usamos las ecua-ciones (10.10) para eliminar a2! Y0, de las ecuaciones (10.7) a

370

10.12 El movimiento de un cuerpo rgidocomo ste martillo lanzado es una combi-nacin de traslacin del centro de ma~a yrotacin alrededor de ese centro.

CAPTULO 10 I Dinmica del movimiento rolaCional

Suponga que el sistema del ejemplo 10.4 est inicialmente en movimiento, de mo-do que el deslizador se mueve hacia la izquierda, el objeto colgante asciende y lapolea gira en sentido anlihorario. En sta situacin, que aceleracin lineal tienen:el deslizador y el objeto; y qu aceleracin angular tiene la polea?

10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvilPodemos extender nuestro anlisis de la dinmica del movimiento rotacional a algu-nos casos en los que el eje de rotacin se mueve. En tal caso, el movimiento del cuerpo es: traslacin y rotacin combinados. La clave para entender stas situacioneses la siguiente: cada posible movimiento de un cuerpo rgido puede representarsecomo una combinacin de movimiento: traslaciOfUll del centro de masa y rotacinalrededor de un eje que pasa por el centro de masa. Esto se cumple aun si el centrode masa se acelera, de modo que no est en reposo en ningim marco inercial. Unejemplo grfico es el movimiento de un martillo lanzado hacia arriba (Fig. 10.12).El centro de masa sigue una parbola, como si el martillo fuera una partcula situa-da en el centro de masa. Al mismo tiempo, el manilla gira con velocidad angularconstante alrededor del centro de masa (compare con el movimiento de la llave dela figura 8.25). La traslacin del centro de masa y la rotacin alrededor de dichocentro, pueden tratarse como problemas individuales pero relacionados. Otros ejem-plos de sto son: una pelota que rueda cuesta abajo y un yoyo que se desenrolla.Traslacin y rotacin combinadas: relaciones de energlaDemostrar que el movimiento de un cuerpo rigido siempre puede dividirse en mo-vimi'entos independientes de traslacin del centro de masa y rotacin alrededordel centro de masa rebasa el alcance de este libro. pero podemos demostrar que escierto para la energa cintica de un cuerpo rgido con movimiento talllO traslacional como rotacional. En este caso, la energa cintica del cuerpo es la suma de unapane tMvcm2 asociada al movimiento del centro de masa y una pane ~Jcml aso-ciada a la rotacin alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:

..

_ I 2 l 2K - -Mvcm + -lcmw,2 2

(cuerpo gido con traslacin y rotacin) (10.11)

Velocidad Vi de una partcula de UDcuerpo rgido el1 rotacin ytraslacin'" (velocidad vcm delcentro de masa) ms (velocidad v/de la pancula relativa alcentro de masa)

10.13 Cuerpo rgido con movimientotraslacional y rotacional.

Para demostrar esto, imaginamos otra ve~ que el cuerpo rigido se compone depanculas. Consideremos una pancula representativa de masa mi (Fig. 10.13). Suvelocidad Vi relativa a un marco inercial es la suma veclOrial de la velocidad vt:mdel centro de masa y la velocidad v; de la particula relatiua al centro de masa:

v=vcm+v (10.12)La energa cinetica K de esta partcula en el marco inercial es tmvl, que tambienpodemos expresar como !m(v' Vi)' Sustituyendo la ecuacin (10.12) en esto,obtenemos

10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvil

La energa cintica total es la suma IK, para todas las particulas del cuerpo. Si ex-presamos los tres tnninos de la ecuacin como sumas individuales, tenemos

Los primeros dos tnninos tienen factores comunes que pueden sacarse de la su-matoria:

371

Act"vPhyscs7.11 Carrera entre un bloque

y un disco

(10.13)

Ahora viene nuestra recompensa. En el primer tnnino, I,m es la masa total M. Elsegundo tnnino es cero porque ~mv; es Mmultiplicada por la velocidad del cen-tro de masa relativa al centro de masa, que es cero por definicin. El ltimo tnni-no es la suma de las energas cinticas de las partculas, calculada usando susrapideces respecto al centro de masa; sta es la energa cintica de rotacin alrede-dor de ese centro. Siguiendo los mismos pasos que nos llevaron a la ecuacin(9.17) para la energa cinlica rotacional de un cuerpo rgido, podemos escribir es-te ltimo trmino como !Jo;mw2 dondeJ

372

10.15 El humo que se alza de las ruedastraseras de este coche de anancones indicaque los neumaticos estn resbalando sobreel pavimiento, as que v.. no es igual a Rw.

CAPITULO 10 1 Dinmica del movimiento rotacional

en reposo, el punlo 3 en la parte de arriba se mueve hacia adelante con el doble dela rapidez del centro de masa, y los puntos 2 y 4 a los lados lienen velocidades a450 con la horizontal.

En un instante dado, podemos pensar que la rueda gira alrededor de un "eje derotacin instantneo" que pasa por el punto de contacto con el suelo. La velocidadangular w es la misma para ste eje que para un eje que pasa por el centro de masa; un observador en el centro de masa ve que el borde da el mismo nmero de revoluciones por segundo como un observador en el borde ve que el centro de masada alrededor de l. Si vemos as el movimiento de la rueda de la figura 10.14, laenerga cintica de la rueda es K = !/]w2, donde 1] es el momento de inercia dela rueda alrededor de un eje que pasa por el punto 1. Sin embargo, por el teoremade los ejes paralelos, ecuacin (9.19),/] = 1f:m + MR1, donde M es la masa total dela rueda e /= es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de ma-sa. Usando la ecuacin (10.14), la energa cinlica de la rueda es

1 1 1 1 IK=-lw2=-1 w2+-MR2w2=_/ w2+-Mu 12 1 2= 2 2 cm 2=

que es igual a la ecuacin (10.11).Es importante tener en cuenta que la relaci6n Vcrn = Rw s610 se

cumple si hay rodamiento sin deslizamiento. Cuando un coche de "arraneones"comienza a moverse, las ruedas traseras estn girando con gran rapidez mien-tras que el veh[culo casi no se mueve, as[ que Rw es mayor que Ve.. (Fig. 10.15).Si el conductor aplica los frenos con demasiada fuerza y el coche derrapa, lasruedas casi no girarn y RJ ser menor que v...

Si un cuerpo rgido cambia de altura al moverse, tambin debemos considerarla energa potencial gravitacional. Como vimos en la seccin 9.4, la energa po-tencia! gravitacional asociada a cualquier cuerpo extendido de masa M, rgido ono, es la misma que si sustituimos el cuerpo por una partcula de masa M situadaen el centro de masa del cuerpo. Esto es,

U = Mgycm

Ejemplo105 Casco cilndrico que rueda

Un casco cilndrico hueco de masaMy radio R rueda sin resbalar conrapidez v"", en una superficie plana. Qu energa cinetica tiene?

l'l!l!!m!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos la ecuacin (l0.11) paraoblener la energa cinlica. El momento de inercia es 1= Mt1 de latabla 9.2 y la rapidez angular es w - varlR porque se rueda sin res-balar.

EJECUTAR: Susliruyendo estas expresiones en la ecuacin (l0.11)obtenemos

EVALUAR: La energia cintica es el doble de la que seria si el cas-co se estuviera deslizando con rapidez v... sin rodar. La mitad de laenergia cinelica IOlal es tnl.slacional y la OITa mitad es rolacional.

Ejemplo10.6 Rapidez de un yoyo burdo

Se hace un yayo burdo enrollando un cordel varias veces alrededorde un cilindro slido de masa My radio R (Fig. 10.16). Se sostieneel extremo del cordel fijo mientras se suclta el cilindro desde el re-poso. El cordel se desenrolla sin resbalar ni eslirarse al caer y girar

el cilindro. Use consideraciones de energa para calcular la rapidezv"'" del centro de masa del cilindro slido despus de caer una dis-tancia h.

10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvil 373

2

10.16 Clculo de la rapidez de un YCfYO burdo.

m!I3lmIIDENTIFICAR: El extremo superior del cordel est fijo. no se tira del hacia arriba, as que la mano de la figura 10.16 no efecta traba-jo sobre el sistema del cordel y cilindro. Al igual que en el ejemplo9.8 (seccin 9.4), hay friccin entre el cordel y el cilindro pero, co-mo el cordel no resbala, no se pierde energa mecnica y podemosusar la conservacin de la energa mecnica.

PLANTEAR: Las energas potenciales son UI = Mgh YU2 - O. Elcordel no tiene energia cinetica porque no tiene masa. La energacinttica inicial del cilindro es XI - O, Yla final (X0 est dada por laecuacin (10.11). El momento de inercia es f = tMR 2 yw - IJar!Rporque el cilindro no resbala en el cordel.

EJECUTAR: Utilizando la ecuacin (10.1 1), la energa cintica en elpunto 2 es

1 1(1 )("_)'X =-Mu 2 +- -MIf -2 2 C"'22R

3=-Mu 2

4 -Entonces, la conservacin de la energa da

XI + UI = X2 + U2

O + Mgh = !Mu 2 + O4 -

y

EVALUAR: ~sta es menor que la rapidez V2iii que lendria un ob-jeto que se deja caer, porque un tercio de la energa potencial libe-rada aparece como energa cintica rotacional.

Ejemplo107 Carrera de cuerpos rodantes

En una demostracin, un profesor pone a "competir" diversos cueropos rgidos redondos soltndolos del reposo desde arriba de un pIa-no inclinado (Fig. 10.17). Qu forma debc tener un cuerpo parallegar a la base primero?

m!I3lmIIDENTIFICAR: Podemos usar conservacin de la energa porque loscuerpos no resbalan sobre el plano indinado. La friccin cinticano efecta trabajo si los cuerpos ruedan sin resbalar. Tambin pode-mos despreciar los efectos de lafriccin de rodamiento, presentadaen la seccin S.3, si los cuerpos y la superficie sobre la que ruedanson perfectamente rgidos. (Ms adelante explicaremos por qu.)

Th

1

10.17 Cul cuerpo baja ms rpidamente y por qu?

PLANTEAR: Cada cucrpo parte del reposo desde arriba de una pen-diente de altura h, asi que KI = 0, VI - Mgh YV2= O. La energla ci-ntica en la base del plano est dada por la ecuacin (10.11). Si loscuerpos ruedan sin resbalar, w - v,dR. U1s momentos de inercia detodos los euerpos redondos de la labIa 9.2 (alrededor de ejes quepasan por su centro de masa) pueden expresarse como 1=. cMRl ,donde c es un nmero puro menor o igual que I que depende de lafonoa del cuerpo. Nuestro objetivo es hallar el valor de e que pro-porciona al cuerpo la ms alta rapidez en la base del plano indinado.

EJECUTAR: Por la conservacin de la c:ufgia..

K] + VI = K2 - U2

I 2 I ..("_)'O + Mgh = -Mu - -cMR:' -2 .. 2 R1

= 2"(1 + C)MU=2

asi que la rapidez en la base de la pendiente es

J2gh" - --_ca - 1 +c

374 CA PT ULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional

EVALUAR: ste resultado es sorprendente; la rapidez no dependede la masa M del cuerpo ni de su radio R. Todos los cilindros s-lidos unifonnes tienen la misma rapidez abajo, aun si sus masas yradios son diferentes, porque tienen la misma c. Todas las esferasslidas tienen la misma rapidez, etc. Cuanto menor sea e, mayor se-r la rapidez del cuerpo abajo (yen cualquier punto de la bajada).

Los cuerpos con e pequea siempre vencen a aquellos con e gran-de, porque menos de su energa cintica se dedica a raJacion y msa traslacin. Si leemos los valores de e de la tabla 9.2, vemos que elorden de llegada es: cualquier esfera slida, cualquier cilindro sli-do, cualquier esfera hueca de pared delgada y cualquier cilindrohueco de pared delgada.

El movimiento rotacional alrededor del centro de masa se describe mediante elanlogo rotacional de la segunda ley de Newton, ecuacin (10.6):

Traslacin y rotacin combinadas: dinamicaTambin podemos analizar el movimiento traslacional y rotacional combinado deun cuerpo rgido desde la perspectiva de la dinmica. Mostramos en la seccin 8.5que, para un cuerpo de masa total M, la aceleracin aem.del centro de masa es iguala la de una masa puntual M sobre la que actan todas las fuerzas externas a las queest sujeto el cuerpo:

(10.16)

(10.15)

donde 10m es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de ma-sa y -r" incluye todos los momentos de torsin externos respecto a ste eje. No esobvio que la ecuacin (10.16) sea aplicable al movimiento de un cuerpo rgido entraslacin; despus de todo, nuestra deduccin de I-rz = azen la seccin 10.2 diopor hecho que el eje de rotacin era estacionario. No obstante, la ecuacin (10.16)es vlida aun si el eje de rotacin se mueve, si se satisfacen estas condiciones:

1. El eje que pasa por el centro de masa debe ser un eje de simetra.2. El eje no debe cambiar de direccin.

Estas condiciones se satisfacen en muchos tipos de rotacin (Fig. 10.18). Cabe se-alar que en general ste eje de rotacin mvil no est en reposo en un marco dereferencia inercial.

Ahora podemos resolver problemas de dinmica en los que intervengan cuer-pos rgidos con movimientos: traslacional y rotacional simultneos, siempre queel eje de rotacin cumpla las condiciones anteriores. La estrategia de resolucinde problemas bosquejada en la seccin 10.2 es igualmente til aqu, y le recomen-damos repasarla. Tenga presente que, si un cuerpo tiene movimiento traslacionaly rotacional al mismo tiempo, necesitamos dos ecuaciones de movimiento inde-pendientes para el mismo cllelpo. Una, la ecuacin (10.15), describe la traslacindel centro de masa. La otra, ecuacin (10.16), describe la rotacin alrededor deleje que pasa por el centro de masa.

10.18 El eje de una rueda de bicicleta pa-sa por el centro de masa de la rueda y esun eje de simetria. Por tanto, la romcin dela rueda est descrita por la ecuacin(10.16), siempre que la bicicleta no d lavuelta ni se incline hacia un lado (10 cualalteraria la orientacin del eje).

1

1,l,

EJECUTAR: La ecuacin para la traslacin del centro de masa es

dro. La figura 10.19 es un diagrama de cuerpo libre del yoyo, don-de se indican las direcciones de las coordenadas positivas. Con es-tas coordenadas, la incgnita es aom-r

_ Aceleracin de un yoyo burdo

Para el yayo burdo del ejemplo 10.6, calcule la aceleracin haciaabajo del cilindro y la tensin en el cordel.

lm!lilmIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos las ecuaciones (10.15) y(1O.16),junw con la condicin que el cordel no resbale en el cilin- :Fy = Mg + (-T) = Macm.y (l0.17)

10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvil 375

(10.19)T

Mg

Iy

10.1 9 Diagrama de cuerpo libre de un yoyo burdo(ver Fig. 10.16).

El momento de inercia para un eje que pasa por el centro de masaes l-yh,podemos demostrar que la rapidez del yayo despus de caer una dis-tancia h es Ucm = ~,como determinamos en el ejemplo 10.6.

EVALUAR: Desde el punto de vista de la dinmica, la fuerza de ten-sin es fundamental, pues hace que la aceleracin del yayo sea menorque g, y su momento de torsin hace girar al yoyo. No obstante,cuando analizamos esta situacin en el ejemplo 10.6 usando mto-dos de energia, no tuvimos que considerar la tensin! Dado que nose perdi ni gan energia mecnica, desde el punto de vista energ-tico el cordel slo es importante porque ayuda a convertir parte dela energa potencial gravitacional en energa cintica rotacional.

Ejemplo109 Aceleracin de una esfera rodante

PLANTEAR: La figura 10.20b es el diagrama de cuerpo libre, e in-dica las drecciones de coordenadas positivas. De la tabla 9.2, elmomento de inercia de una esfera slida es Icm = !MR2 Las ecua-ciones de movimiento para traslacin y para rotacin alrededor deleje que pasa por el centro de masa son, respectivamente,

Una bola de bolos slida rueda sin resbalar por la rampa de retomojunto a la mesa (Fig. 10.20a). La rampa forma un ngulo (3 con lahorizontal. Qu aceleracin tiene la bola? Trtela como esfera s-lida uniforme, despreciando los agujeros.

EI!!I3I':'llIIIDENTIFICAR: Al igual que en el ejemplo 10.8, usaremos la ecua-cin (10.15) para describir el movimiento traslacional, y la ecuacin(10.16), para describir el movimiento rotacionaL La incgnita es laaceleracin del centro de masa de la bola.

,,'

F..- = Mg sen f3 + (-j) = Mu..--..-7~ = iR = l

376 CA PfT ULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional

Slo la fuerza de friccin/tiene un momento de torsin respecto aleje que pasa por el centro de masa. Si la bola rueda sin resbalar, !C-nemas la misma relacin cinemtica G,,,,.x = Retz que en el ejemplo10.8. Usamos esto para elminar Ctz de la ecuacin (10.21):

cir una ecuacin para el coeficiente de friccin M, miniJ11!' necesa-rio para evitar el deslizamiento. La fucrza nonnal es n = Mg eos {3.La fuerza mxima de friccin esttica es .t,n, as que M, debe ser depor 10 menos

Friccin de rodamiento

l' !I,

2iR = jMRu,m.x

sta y la ecuacin (10.20) son dos ecuaciones para dos incgnitas,Gcm.x Yf Despejamosfde la ecuacin (10.20), sustituimos en laecuacin anterior para eliminar/, y despejamos G'''H para obtener

5G,m_x = :g sen {3

La aceleracin es ~ de lo que seria si la bola pudiera deslizarse sinfriccin por la rampa, como el tobogn del ejemplo 5.9 (seccin5.2). Sustituimos sto en la ecuacin (10.20) y despejamosf

2j=7Mgsen{3

EVALUAR: Dado quc la bola no resbala en el punto de contacto ins-tanlneo con la rampa,!es una fuerza de friccin esttica; evita eldeslizamiento y da a la bola su aceleracin angular. Podemos dedu-

2-Mg sen {3I 7 2

.t,=-;-= Mgcos{3 =7 lall {3Si el plano no est muy inclinado, {3 es pequea, y no se requiere unM, grande para evitar el deslizamiento. Al aumentar el ngulo, au-menta el valor requerido de I-t.. como indicaria la inruicin. Si la bo-la comienza a resbalar, las ecuaciones (l 0.20) y (10.21) siguensiendo vlidas, pero ya no se cumple que [!,"'_~ = Rw, y acm-~ = Ras;slo tcncmos dos ecuaciones para tres incgnitas (acm.~' a, yf). Laresolucin del problema de rodamiento con dcslizamiento requiereconsiderar la friccin cintica (ver problema de desafio 10.101).

Si la bola desciende una distancia vcrtical h al bajar por la ram-pa, su desplazamiento sobre la rampa es hlsen (3. El lector deberpoder demostrar ~ue la rapidez de la bola en la base de la rampa se-ria vcm = y'fih, que es el resultado que obruvimos en el ejemplo10.7 con c = l

Si la bola rodara de subida, la fuerza de friccin tambin estara di-rigida pendientc arriba, como en la figura 10.20b. Entiende por qu?

En el ejemplo 10.7 dijimos que podemos despreciar la friccin de rodamiento sitanto el cuerpo como la superficie sobre la que rueda son perfectamente rgidos.En la figura 1O.21a una esfera perfectamente rgida baja rodando una pendenteperfectamente rgida. La linea de accin de la fuerza normal pasa por el centro dela esfera, as que el momento de torsin es cero; no hay deslizamiento en el puntode contacto, as que la friccin no efecta trabajo. La figura 10.21 b muestra unasituacin ms realista en la que la superficie se "amontona" delante de la esfera ysta rueda en una zanja somera o poco profunda. Debido a estas defonnaciones,las fuerzas de contacto sobre la esfera ya no actan en un solo punto, sino en unarea, concentrndose en el frente de la esfera como se muestra. En consecuencia,la fuerza normal ejerce un momento de torsin que se opone a la rotacin. Ade-

yy

(.)

Superficie rgida; lafuerza normal no producemomento de torsin

Mg/ "

Superficie defonnable;la fuerta nonnal produceun momento de torsinque se opone a la rotacin

,b)

Mg

"

f

10.21 (a) Fuerzas sobre una esfera perfec-tamente rgida que baja rodando una pen-diente perfectamente rigida. (b) Si la esferao la pendiente es deformable, las fuerzasde contacto actan en difcrentes posicio-nes. la fuerza nonnal produce un momen-lO de torsin antihorario que se opone a larotacin horaria. La defonnacin se mues-na muy exagerada.

lOA 1 Tmbajo y potencia en movinento rotacional

ms, hay cierto deslizamiento de la esfera en la superficie debido a la deforma-cin, causando prdida de energa mecnica. La combinaetn de estos efectos esel fenmeno de friccin de rodamiento, que tambin ocurre si el cuerpo que rue-da es deformable, como un neumtico. Es comun que el cuerpo que rueda y la su-perficie tengan la suficiente rigidez como para hacer caso omiso de la fricetn derodamiento, y esto es lo que hemos hecho en los ejemplos de la seccin.

En el ejemplo 10.9, qu valor tendran la aceleracin y la fuerza de mccin est-tica si la bola fuera una esfera hueca?

10.4 I Trabajo y potencia en movimiento rotacionalCuando pedaleamos una bicicleta, aplicamos fuerzas a un cuerpo en rotacin yefectuamos trabajo sobre l. Algo similar ocurre en otras situaciones de la vidareal, como el eje de un motor que impulsa una herramienta de potencia o a un ve-hculo. Podemos expresar el trabajo en trminos del momenlo de torsin y despla-zamiento angular.

Suponga que una fuerza tangencial Ftan acta en el borde de un disco pivoteado;por ejemplo, una nia que corre empujando un tiovivo (Hg. 1O.22a). La rueda giraun ngulo infinitesimal d8 alrededor de un eje fijo durante un tiempo infinitesimaldt (Fig. 10.22b). El trabajo dW efectuado por Flan mientras un punto del borde semueve una distancia ds es dW= Fm" ds. Si dO se mide en radianes, ds =R dO Y

dW = F,.nRdO

FmnR es el momento de torsin T: debido a la fuerza F=, as que

=377

(10.22)El trabajo total W efectuado por el momento de torsin durante un desplazamien-to angular de O, a 82 es

La nia aplica unafuena langencial

L"W = T:dO0, (trabajo efectuado por un momento de torsin) (10.23)Si el momento de torsin es constante y el cambio de ngulo es finito!:::..() = 82 - 01,

El trabajo efectuado por un momento de torsin constante es el producto del mo-mento de torsin y el desplazamiento angular. Si el momento de torsin se expre-sa en Nm y el desplazamiento en radianes, el trabajo est en joules. La ecuacin(10.24) es el anlogo rotacional de la ecuacin (6.1), W= Fs, y la ecuacin (10.23)es el anlogo de la ecuacin (6.7), W = f Fe< dx, para el trabajo realizado por unafuerza en un desplazamiento rectilneo.

Si la fuerza de la figura 10.22 tuviera una componente axial o radial, dichacomponente no efectuara trabajo porque el desplazamiento del punto de aplicacin slo tiene componente tangencial. Una componente de fuerza radial o axialtampoco contribuida al momento de torsin alrededor del eje de rotacin. as quelas ecuaciones (1 0.23) Y(10.24) son correctas para cualquier fuerza, independien-Rmente de sus componentes.

W= T.(()2 - ( 1 ) = Tzl:::...O(trabajo efectuado por un momento de torsin constanle)

(10.24)

o

Vi,ta ,uperiordel tiovivo

(b)

10.22 Una fuerza IaIlgc:ocial :nacuerpo en rotacin efecz:ita C3bI;a

378 CAPTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional

Si un momento de torsin efecta trabajo sobre un cuerpo rigido que gira, laenerga cintica cambia en una cantidad igual a ese trabajo. Podemos demostraresto usando exactamente el mismo procedimiento que en las ecuaciones (6.11) a(6.13) para una partcula. Primero representamos el momento de torsin neto so-bre el cuerpo con 'T:> de modo que, por la ecuacin (10.6), ;: :: la.. Al usar estaecuacin, estamos suponiendo que el cuerpo es rigido y, por tanto, tiene momen-to de inercia constante. Transformamos el integrando de la ecuacin (10.23) enuna integral sobre w: as:

Dado que 'T: es el momento de torsin neto, [a integral de la ecuacin (l0.23) es eltrabajo total efectuado sobre el cuerpo rgido en rotacin. As, la ecuacin se con-vierte en

(10.25)

El cambio de energa cintica rotacional de un cuerpo rgido es igual al uabajoefectuado por fuerzas ejercidas desde afuera del cuerpo. Esta ecuacin es anlogoa la ecuacin (6.13), el teorema trabajo-energa para una partcula.

Qu hay con la potencia asociada al trabajo efectuado por un momento de torsinsobre un cuerpo en rotacin? Si dividimos ambos miembros de la ecuacin (1 0.22) en-tre el intervalo dr durante el que se da el desplazamiento angular, obtenemos

dW dO- ~T_-dr - dt

Pero dWldt es la rapidez con que se efecta trabajo, o potencia P, y d8ldt es velo-cidad angular W Z' as que

P ~ 7':W: (10.26)

Ejemplo10.10

Si un momento de torsin 7': (respecto al eje de rotacin) acta sobre un cuerpoque gira con velocidad angular w" su potencia (rapidez con qu:, efecta trabajo)es el producto de 7': YWZ' Esto es el anlogo de la relacin P = F t que desarro-llamos en la seccin 6.4 para el movimiento de partculas.

Potencia de motores y momento de torsin

La poI:encia desarroUada por el motor de un automvil se anuncia como200 hp a 6000 rpm. Calcule el momento de ron:in corrc:spoodiente.

lE!!lil':1lIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: os dan la potcncia desarrollada Pyla 'clocldad angular w" asi que podemos obtcner el momento derorsin con la ecuacin (10.26).

EJECUTAR: Primero debemos convertir la polencia a wans y la veIocidad angular a radls:

('46 W)p", 200bp = 200hp -- = 1.49 x lo'W1hp

w. ~ 6000 re,/min ~ (6000 .re' )(2~ nd)(1min) Imm lrev 60s

= 628 fa(l/s

Por la ecuacin (10.26),

1.49 X lo'Nm/s =237N'm628 radls

EVALUAR: Podramos aplicar este momenro de torsin usando unallave de tuercas de 0.25 m de largo y aplicando una fuerza de 948 Nal extremo de su mango. Podria el lector hacerlo?

Ejemplo10.11

10.5 I Cantidad de movimiento angular

Clculo de potencia a partir del momento de torsin

}79

Un motor elctrico ejerce un momento de torsin constante de 10Nm sobre una piedra de amolar montada en un eje. El momento deinercia de la piedra es l = 2.0 kgom2 y el sistema parte del reposo.Calcule el trabajo efectuado por el motor cn 8.0 segundos y la energiacintica al fmal de este lapso. Qu potencia media desarroll el motor'?

lE!!I3I!llIIDENTifiCAR Y PLANTEAR: Usamos la versin rotacional de lasegunda ley de Ncwton, :h, = la., para obtener la aceleracin an-gular de la piedra. Despus usaremos las ecuaciones de cinemticade la seccin 9.2 para calcular el ngulo que la piedra gira en 8.0 s(lo cual nos da, a travs de la ecuacin (10.24), el trabajo efectua-do) y la velocidad angular en ese momento (lo cual nos da la ener-ga cintica). Obtenemos la potencia media dividiendo el trabajorealizado entre el intervalo de tiempo.

EJECUTAR: Tenemos Ir, = 10 Nm (el nico momento de torsinque acta se debe al motor) el'"' 2.0 kgom2, as que, por Ir, = la=>la aceleracin angular es de 5.0 rad/s'. Por la ecuacin (9.11), elngulo total que el sistema gira en 8.0 s es

1 1!1(J=-at~=-(50radls2)(80,)l= lOrad2' 2' .

y el trabajo total efectuado por el momento de torsin esW= 'f,d9 = (lON'm)(160rad) = l001

Por las ecuaciones (9.7) y (9.17), la velocidad angular y la energacintica en t = 8.0 s son

W, = a,1 = (5.0 rad/s2)(8.0 s) = 40 radls1 1

K = "2/w,2 = "2(2.0 kg' m2)(40 radls)2 = 16001

La energia cintica inicial era cero, as que el trabajo efecmado esigual al incremento en la energa cintica [Vase ecuacin (10.35)].

La potencia media es16001Pmed =-- = 2001/s = 200W8.0 s

EVALUAR: Podemos comprobar el valor que obmvimos para la po-tencia media considerando la potencia instantnea, P = 'f,w,. Ob-serve que, dado que w, aumenta continuamente, P tambin aumentacontinuamente; su valor es cero en t = OYaumenta a (10 Nom)(40radis) = 400 W en (= 8.0 s. La velocidad angular y la potencia au-mentan uniformemente con el tiempo, asi que la potencia media esla mitad de este valor mximo, o sea 200 W.

(10.27)

Se aplican momentos de torsin iguales a dos cilindros distintos, uno de los cua-les tiene un momento de inercia dos veces mayor que el del otro. Los dos cilindrosestn inicialmente en reposo. Despus de una rotacin completa, cul cilindrotiene mayor energia cintica?

10.5 I Cantidad de movimiento angularTodas las cantidades rotacionales que hemos visto en los capitulos 9 y 10 soo an-logos de una cantidad en el movimiento traslacional de una partcula. El anlogode la cantidad de movimiento de una partcula es la cantidad de movimiento~guiar, una cantidad vectorial denotada con l. Su relacin con la cantidad de mo-vimiento ji (que a veces llamaremos cantidad de movimiento lineal por claridad)es exactamente la misma que entre momento de IOrsin y fuerza, T = r x F. Pa-ra una partcula de masa constante m, velocidad V, cantidad de movimientoji = mv, y vector de posicin r relativo al origen O de un marco inercial, demi-mos la cantidad de movimiento angular L como

L=rxji=rXmv(cantidad de movimienlO angular de una partcula)

El valor de l depende del origen escogido, ya que en l interviene el vector de po-sicin de la partcula relativo al origen. Las unidades de la cantidad de movimien-lO angular son kgm2/s.

En la figura 10.23, para una partcula que se mueve en el planoxy; se muestran:su vector de posicin r y su cantidad de movimiento ji = mv. El vector de canti-

7

I=rsm6 ~

L = c::mtid:ad de lDInimiento angularde b.~ perpendicular al

/ pt.mdd lDln'imiento (si el origen O~ e:Re:n ese plano). la magnitud

deL=mv/

10.23 Clculo de la cantidad de movi-mienlo angular L = r x mi) = -; X pdeuna pancula de masa m que se mueve enel plano xy.

r;:==;=--'---------

380 CA pfTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional

, dad de movimiento angular l es perpendicular al plano xy. La regla de la manoderecha para produclos vectoriales nos dice que su direccin es en el eje +z, y sumagnitud es

dI (d; _) (_ dV) (_ _) (_ _)- = - X mv + r x m- = V x mv + r x madt dr dt

El primer tnnino es cero porque contiene el producto vectorial de ti = dTldtcon-sigo mismo. En el segundo trmino sustituimos nw por la fuerza neta F, obteniendo

(10.28)L = mur sen (jJ = mu/donde 1es la distancia perpendicul3T desde la Hnea de V a Q. Esta distancia hacelas veces de "brazo deyalanca" para el vector de cantidad de movimiento.

Si una fuerza neta F acnia sobre una partcula, su velocidad y cantidad de mo-vimiento cambian, y tambin puede cambiar su cantidad de movimiento angular.Podemos demostrar que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angu-lar es igual al momento de torsin de la fuerza neta. Derivamos la ecuacin(10.27) respecto al tiempo usando la regla de la derivada de un prodUCIO:

'?------>r--,L .. cantidad de movimiento

angular de la i...fsimapartfcula del cuerporgido; perpendicularal plano del movimiento(si el origen O estli en eseplano), la magnitud deL ",;VI'I = "'I'/W

/,

Tajada deun cuerporgido quegira en tomoal eje l

(10.29)

.',1,I

r

10.24 Calculo de la cantidad de movi-miento angular de una partcula de masa mien un cuerpo rgido que gira. (Comparecon la Fig. 10.23.) Cada particula se mue-ve en un circulo alrededor del eje de rola-cin con la misma rapidez angular w.

dI - F- --=rX =1"dI

(para una pancula sobre la que acta una fuerza ')La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular de una partculaes Igual al momento de torsin de la fuerza neta que acta sobre ella. Compa-re este resultado con la ecuacin (8.3), que dice que la rapidez de cambio dpldt dela cantidad de movimiento lineal de una partcula es igual a la fuerza neta que ac-ta sobre ella.

Podemos usar la ecuacin (10.28) para calcular la cantidad de movimienlOangular total de un cuerpo rigido que gira sobre el eje z con velocidad angularw. Consideremos primero una rebanada del cuerpo que est en el plano -l)' (Fig.10.24). Cada partcula de la rebanada se mueve en un circulo centrado en el origen,yen cada instante su velocidad Vi es perpendicular a su vector de posicin Ti, comose muestra. As, en la ecuacin (10.28), cP = 90 para toda partcula. Una partcu-la de masa /1ll que est a una distancia r l de O tiene una rapidez Vi igual a rfIJ. Por laecuacin (10.28), la magnitud L i de su cantidad de movimiento angular es

(10.30)

La direccin de la cantidad de movimiento angular de cada partcula, dada por laregla de la mano derecha para el producto vectorial, es sobre el eje +z.

La cantidad de movimiento angular total de la rebanada que est en el plano-l)'es la suma !L de las cantidades de movimiento angulares L, de las partculas. Haciendo la sumatoria de la ecuacin (10.30), tenemos

L;; LI = {mr/)w ;; Iwdonde 1 es el momento de inercia de la rebanada alrededor del eje z.

Podemos efecruar este mismo clculo para las dems rebanadas del cuerpo, tO-das paralelas al plano xy. Para los puntos que no estn en ese plano, surge unacomplicacin porque los vectores r tienen componente en la direccin z ademsde las direcciones x y y; esto da a la cantidad de movimiento angular de cada par-tcula una componente perpendicular al eje z. Pero si el eje z es IIn eje de simetra,las componentes perpendiculares de partculas en lados opuestos de este eje su-

10.5 I Cantidad de movimiento angular 381

i. = lw (10.31)(para un cuerpo rgido que gira alrededor de un eje de simetra)

man cero (Fig. 10.25). Asi, cuando un cuerpo jira alrededor de un eje de simetra,su vector de cantidad de movimiento angular L queda sobre el eje de simetra y sumagnitud es L = /w.

El vector de velocidad angularw tambin est sobre cl eje de rotacin, como vimosal final de la seccin 9.1. As, para un cuerpo rigido que gira alrededor de un eje de si-metra, i y id tienen la misma direccin (Hg. 10.26), Ytenemos la relacin vectorial

: Enrosque los

t=' =:~ha. en la direccifl f---"~de la rondn,, ir.::-;--;-;--0w El pulgar derecho

apunta en la direccinde w: si el eje derotacin es un ejede simema. kta es

tambi~n la direccind

382

Ejemplo10.12

,-

CA pfTULO 10 I Dinmica del movimienlO rolacional

friccin en los cojinetes, que hace que stos se desgasten. "Balancear" una ruedaimplica distribuir la masa de modo que el eje de rotacin sea un eje de simetra;as, i apuntar a lo largo del eje de rotacin y no se requerir un momento de tor-sin neto para que la rueda siga girando.

En rotacin de eje fijo, podemos usar el termino "cantidad de movimiento anguiar del cuerpo" para referimos slo a la componente de i sobre el eje de rola-cin del cuerpo (el eje z en la Fig. 10.27), con un signo para indicar el sentido derotacin igual que con la velocidad angular.

Cantidad de movimiento angular y momento de torsinUna belice de rurbina del motor de unjet (Fig. 10.28) tiene un mo-mento de inercia de 2.5 kg. m~ a~edor de su eje de rotacin. Alarrancar la rurbina, su velocidad angular en funcin del tiempo es

w. = (40 rad/s3)t la) Calcule la cantidad de movimiento angular de la helice en fun-cin de t y su valor en 1- 3.0 s. b) Calcule el momento de torsinneto que acta sobre la hlice en funcin de 1, y su valor en 1 = 3.0 s.

~If"\ENTlFICAR Y PLANTEAR: Al igual que un ventilador, la helicede una turbina gira alrededor de un eje de simetria, as que podemosusar la ecuacin (10.31) para obtener L. a partir de w., y la ecuacin(10.32) para relacionar el momento de torsin neto con la derivadade LE respecto al tiempo.

EJECUTAR:a) La nica componenle de cantidad de movimiento angular estsobre el eje de rotacin (z):

LE = lw: = (2.5 kg' m1)(40 radlsJ)r = (IOOkg'm1/s3)r(Omitimos "rad" de la respuesta porque el radi!in es una cantidadadimensiona1.) En r" 3.0 s, LE = 900 kg.m1/s.b) La direccin de [a cantidad de movimiento angular no cambia,asi que el momento de torsin tambin est sobre el eje de rotacin.Por la ecuacin (10.32), su componente en ese eje es

En el instante t .. 3.0 s,

EVALUAR: Para comprobar nuestro resultado, vemos que la ace-leracin angular de [a hlice es": - dwldr = (40 radls2)(2t)., (SOradls2}1. Por el equivalente rotacional de la segunda ley de Newton,el momento de torsin que acta sobre la hlice es T: = laE - (2.5kg _m1)(gO radlslp .. (200 kg- m2/r}l, lo que coincide con nuestroclculo anterior.

10.28 Se usa una hlice de turbina para mctcr aire en el motor dcturbo-reaccin.

Una pelotita est pegada al extremo de un cordel. Usted sostiene el cordel por elotro extremo y da vueltas a la pelota sobre su mano. Si la rapidez de la pelotita esconstante, es constante su cantidad de movimiento lineal p? Es constante sucantidad de movimiento angular i? A que se debe la diferencia?

10.6 I Conservacin de la cantidad de movimiento angularAcabamos de ver que la cantidad de movimiento angular puede servir para expre-sar de OtTO modo el principio dinmico bsico del movimiento rotacional. Tam-bin es [a base del principio de conservacin de la cantidad de movimientoangular. Al igual que la conservacin de la energa y de la cantidad de movimien-to lineal, este principio es una ley de conservacin universal, vlida en todas las

,

10.6 I Con~er\'a(in de.' 1;1 (;,mliJ:td de mol illlil.'ntll ,mgu];lf 383

escalas. desde: los sistemas atomicos y Ilucleares lasta /05 mO\'l11icnlo.~ de las ga-laxias. Este principio es consecuencia directa de la ecuacin (10.32):L::: = iitdl. Si LT = 0, {JLldl = OYLes constante. Si el momento de torsinexterno nelo que actua sobre un sistema es cero. la cantidad de mO\'imienlO

~Uigulr to!al del shtcma es constanH' (se cansena).Un trapecista. un c1avadiSla y un patinador haciendo piruetas en la punta de un

palin aprovechan este principio. Suponga que una trapecista acaba de separarse deun columpio con los brazos y piernas extendidos y girando en sentido antihorarioalrededor de su centro de masa. Al encoger los brazos y IIS piernas, su momentode inercia I

mI respecto a su centro de masa cambia de un \"alor grande 1I a uno mu-cho menor 12, La unica fuerza externa que acta sobre ella es su peso, que no tie-ne momento de torsin respecto a un eje que pasa por su centro dc masa. Asi, sucantidad de movimiemo angular L; = Icmw; permanece constante. y su velocidadangular W; aumenta al disminuir Icm. Esto es,

Act'vPhys,lcs

7. 14 l~ hol~ Ip ne~.~ :>1 l-;>'

Al mismo tiempo, B ejerce una fuerza FB 01.; .: .:l cuc'j)o A, CC'!'! ~!'! mOI\Il;;n-~o ~~ t0!"~:-: correspondienle TB~h"_~ ~

- -dL... dLB-+-=0

dt dI

o, dado que LA + LB es la cantidad de movimiento angular total L del sistema,

(10.34)

flO.")' 0_ .. _ __ ;-'- 0 ~.~ .'. ~_ - - ..~ .- .n ...'~_

dL = O (momento de torsin ex.temo neto cero)dI

Cuando una patinadora o bailarina gira con los brazos estirados y luego los enco- ?ge, su velocidad angular aumenta al dismi.lUlf su momento de inercia. En amboscasos se conserva la cantidad de movimiento angular en un sistema en el que elmomento de torsin ex.terno neto es cero.

Si un sistema tiene varias partes, las fuerzas internas que esas panes ejercenentre si causan cambios en sus cantidades de movimiento angulares, pero la can-tidad de movimiento angular lolal no cambia. Por ejemplo, considere dos cuerposA y B que interactan entre s pero con nadie ms, como los astroEautas de la seccin 8.2 (Fig. 8.7). Suponga que el cuerpo A ejerce una fuerza F.aspartes de su cuerpo en direcciones distintaspara caer parado. En todo momento duranle este proceso, la cantidad de movimientoangular total del g:J1O sigue siendo cero.

---------------------------------~

384

l" Ejemplo ....... 10.13

e" PiT L lO 11) I Oin:imi~'~ del mo\'imi~nto rol:lCiOI1;,l

Todo mundo puede bailar ballet

Un gil profesor de fsica se par.! en el centro de una mesita girato-Ti;>. Cnll 1,...~ h,.,.70S f':~lo::ndidos honzonl,tlmente y una ma!':C1l!:fTla ele5.U kg en cada mano (Fig. 10.JO). Se le pone a girar sobre un ejevertical, dando UIHI revolucin cada 2.0 s. Calcule la nueva veloci-dnd angular del profesor si lllcva las mancuernas a su abdomen. eindique el efecto de esto sobre su cnergia cintica. Su momento deinercia (sin las mancuernas) es de 3.0 kg m~ con los brazos eslirados. y baja a 2.2 kg. m~ si pone las manos en el abdomen_ Las man-cuemasestn a 1.0 m del eje al principio y a 0.20 m al final: lmlelascomo particulas.

IDFNTIFICAR y PLANTFAA'

10.6 1 Cnll--en acin Je 1.1 c:mlid;ld de ml,)\ lmi":llIo ;lIlgu!;r 385

w,

8-- --~~1,

10.31 Si el momenlo de torsin externo nclO es cero, la cantidadde movimienlo angular se conserva. Las fuerzas mostradas estnsobre el eje de rotacin y. por tanto. no ejercen un momenlO detorsin alrededor del eje sobre ningn punto.

EJECUTAR: La figura 10.31 ll1u~"tr;1 qlle 1\\da, I;, velOCidades an-gulares tienen la misma direccin. hl qu..: flod~'I1l\l~ \"cr a w'' WII Yw como componentes de velocidad .mguLlr a]" ];U"'';O del eje de ro-tacin. La cunscn':lcin de lil canudad d..: mo\ 111lh:nw mg:ular da

',W1+ IflWII - \:, 'ltl~I,w, - f"wfI

.w=

EVALUAR: Estc "choque" entre do:; discos es an:ilogo a un choquetotalmente inclstico (seccin 8.3). Cuando se juntan dos objetosen movimiento traslacional a 10 largo del mi5mo eje y quedan pega-dos.la cantidad dc mO\'imiento lineal del sistcma ~ cOllsen'l. En lasituacin de la figura 10.31, dos objetOs en mo\ imiento rofOcimwfa lo [argo del mismo eje se juntan ~ adhieren.) 1.1 cantidaci de mo~,;"",;"" 1/II!!!"i",.~ nm!'terva. t:n [m ('t'!""""> r(>".I",..n'.. ,..n'~~" ...,.. ,~

mos qu sucede con [a energia cintiC

-386

Ejemplo10.16

1

C- Ar TU LO 10 I Dinmica del ml1\imicnlo rotacional

Cantidad de movimiento angular en una accin policiaca

Una puerta de J.OO m de anchullI y masa de 15 kg lienc bisagras en uncostado de modo que puede girar sin friccin sobre un eje vertical.La puerla no est asegurada. Un polica dispara una bala de 10 gcon rapidez de 400 mis al centro exacto de la puerta, en direccinperpendicular al plano de la puerta (Fig. 10.32). Calcule la rapidezangular de la puerta justo despues de que la hala se incrusta. Seconserva la energia cintica?

lEI!l3li1lIIDENTIFICAR: Consideramos la puerta y la bala como un sislema.No hay momento de IOrsin e:ncmo alrededor del eje definido porlas bisagras. as que la cantidad de movimiento angular respecto aeste ~jc se conserva.

EJECUTAR; la canlidad de movimiento angular inicial de la bala es:L = mul = (0.010 kg)(400 m/s)(O.50 m) = 2.0kgm~ls

La cantidad de movimiento angLllar final es !w, donde f - !r-u +1bol>. De la labia 9.2. para Llna pLlena de anchura d.

Md! (15kg)(1.0m)l ,!.on. = -,- = 3 = 5.0kg'm-

El momento de inercia de la bala (respecto al eje qLle pasa por lasbisagras) es

!.... = m! = (0.010 kg)(O.sO m)l = 0.OO25kgm!la conservacin de la cantidad de movimiento angular eY;~e quemuJ -/w, o sea.

10.32 Una puerta se abre con un disparo (vista superior). la balase incrusta en el centro de la puerta.

PLANTEAR: La cantidad de movimiento angular inicial esla total-mente en la bala y esta dada por la ecuacin (10.28). la cantidad demovimiento angular final es la de un cuerpo rigido formado por lapuerta y la bala incrustada. Igualaremos estas dos cantidades y des-pejaremos la rapidez angular w de la puerta y la bala inmediata-mente despus del choque.

B n~:;'~.' 0.501m\ 1.00 m

ti - 400 mis

B~pu~del impacto

mu/ 2.0 kg m1/sw = - = ,= OAOrad/s

1 5.0kgm2 +O.OO25kgm-

El choque de la bala con la puena es nclstico porque duranteel impacto actan fuerzas no conservadoras. Por tanto, no espera-mos que se conserve la energa cinelica. Comprobamos esto calcu-lando las energias cinticas inicial y finai:

Kl z imu1 = i(O.OIO kg)(400 m1S)2 = 800 J

Xl" !/wl = ..!.(5.(X)25 kg' m2)(O.40 radls)'2 !

'" O.40J

La energia cinelica final es slo 112000 del valor incial!

EVALUAR; La rapidez angular final de la puerta es muy baja: a 0040rad!s, la puerta tardar 3.9 s en oscilar 90 (1T/2 radianes). Le que-da claro que la rapidez aumentaria al doble si la bala se dispararacontra el borde de la puerta, cerca de la perilla?

Si los casqueles polares se derritieran lotalmente por el calentamiento global, elhielo derretido se redistribuirla en (oda la lerra. Use ideas de cantidad de movi-miento angular para explicar cmo ese cambio afectaria la duracin del da (eltiempo que la Tierra tarda en girar sobre su eje). Suponga que el Sol, la Luna y losplanetas ejercen momentos de torsin despreciables sobre la Tierra.

10.7 I Girscopos y precesinEn todas las situaciones que hemos examinado en eSle capitulo, el eje de rotacinse ha mantenido fijo o, si se ha movido, ha mantenido su direccin (como en el ro-damiento sin deslizamiento). Divcnos fenmenos fisicos nuevos, algunos inespe-rados, se presenlan si el eje de rolacin puede cambiar de dircccin. Por ejemplo,consideremos un girscopo de juguete apoyado en un extremo (Fig. 10.33). Si lo

------~~---~------~ ~--

10.33 Girscopo apoyado en UD extremo.Puesto que el volante gira con rapidez an-gular w, el volante y el eje no caen, sinoque tienen un movimiento circular hanzontallJamado precesin. La rapidez angu-lar de la precesin es n.

'" ROIaCin delvolao~

10.7 I Gin'I ....opos y precesin

sostenemos con el eje del volante horizontal y lo soltamos, el ex tfrno libre del ejecae debido a la gravedad... si el volante no est girando. Si el votante gira, 10 quesucede es muy distinto. Una posibilidad es un movimiento circular uniforme deleje en un plano horizontal, combinado con la rotacin del volante IIredcd9f del eje.Este sorprendente movimiento del eje, no intuitivo, se denoml',a precesj6n. Laprecesin se observa en la Naturaleza, no slo en mquinas giratorias como los gi-rscopos. En este momento la Tierra misma est en precesin: su eje de rotacin(que pasa por los polos norte y sur) cambia lentamente de direccin, completandoun ciclo de precesin cada 26,000 aos.

Para estudiar este extrao fenmeno, debemos recordar que la velocidad angu-lar, la cantidad de movimiento angular y el momento de torsin son cantidades vec-toriales. En particular, necesilamos la relacin general entre el momento de torsinneto LT que acta sobre un cuerpo y la rapidez de cambio de la cantidad de movi-mienlo angular del cuerpo i.. dada por la ecuacin ~.. = dLldt. Apliquemos pri-mero esta ecuacin al caso en que el volante no gira (Fig. 10.34a). Tomamos elorigen O en el pivote y suponemos que el volante es simtrico, con masa M y mo-mento de inercia 1alrededor de su eje. Este eje inicialmente est sobre el ejex. Lasnicas fuerzas externas que actan sobre el girscopo son la fuerza normal queacta en el pivote (donde suponemos que no hay friccin) y el peso wdel volanteque acta en su centro de masa, a una distancia r del pivote. La fuerza nonnal tiene momento de torsin cero respecto al pivote, y el peso tiene un momento de tor-sin Ten la direccin y (Fig. 10.34a). Al principio, no hay rotacin y la cantidad demovimiento angular inicial L; es cero. Por la ecuacin (10.32), el cambio di en lacantidad de movimiento angular en un intervalo cono dI despus de este instante es

Movimiento circulardel eje del volan~(prttcsi6a) ~:--

,,

~~~------~--- --j,)F=\\.... Pivote---

-----

Volanle

/--

387

Eje delVOlanle

di = Tdl (10.35)Este cambio es en la direccin y, la de T. Al transcurrir cada intervalo adicional dI,la cantidad de movimiento angular cambia en incrememos di en la direccin yporque la direccin del momento de torsin es constante (Fig. I0.34b). El aumen-to constante de la cantidad de movimiento angular horizontal implica que el girs-copo girar hacia abajo alrededor del eje y con rapidez creciente hasta tirar la baseo golpear la mesa en la que esta descansa.

Veamos ahora qu sucede si el volante est girando inicialmente, de modo quela cantidad de movimiento angular inicial i j no es cero (Fig. 10.35a). Dado que el\ulante gira alrededor de su eje de simetria, L, est sobre el eje. $10 embargo, ca-da cambio de cantidad de movimiento angular di. es perpendicular al eje, porque elmomento de torsin} =;. x wtambin lo es (Fig. IO.35b Esto hace que cam-bie la direccin de L pero no su magnitud. Los cambios dL siempre estn en el

Volanle inicialmente enreposo: el IDOI'I'IeDto delonin lo hace giraren lomo al eje y (el ejedel volante cae)

l')

Cantidad de movimiento angular inicialcero {i, ::: O}. momento de torsin Tsiempre en la misma direecin. todosJ()$ vectores di en la misma direccin

'-------"

lb)

10.34 (a) El volante no est girando ini-cialmenle. El momento de torsin :; se de-be al peso w. (b) Vista directa hacia abajodesde arriba del girscopo. En cada intervalo sucesivo de tiempo dI, e~momenIO delorsin produce un cambio dL = ~dt en bcantidad de movimiento angular. En~caso,.!Ji cantidad de movimiento~final L, liene la misma diRcciilIl~~y el eje del volante cae.

-=-""""'"

388 CAPfTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional

Hay una cantidad de movimiento angular inidalL,: el momentO de torsin T slo altera ladireccin de i (vectores di perpcndiculllTCS a i

10.35 (a) El volante est girando inicialmente con cantidad de movimiento angularl.j. Las fuerzas (no se muestran) son lasmismas que en la figura 10.34a. (b) Dadoque la cantidad de movimiento angular inicial no es cero, cada cambio di. = :; dt enla cantidad de movimiento angular es per-pendicull!.'" a L. El resultado es que la mag-nitud de L no cambia, pero su direccincambia continuamente.

..

y

Volante inicialmente enrotaeill: el momento de torsin10 hace preeesar en tomo al eje Z(el eje del volante no cae)

'o)

Y~di_- dLLe di.didi

l.;Vista superior

,h)

y

I~xO i L-_10.36 Vista detallada de pane de la figura1O.35b. En un tiempo dI el vector de cantidad de movimiento angular y el eje delvolante prec:esan juntos un ngulo d(jl.

plano horizontal xy, as que el vector de cantidad de movimiento angular y el ejedel volante junto con el cual se mueve siempre son horizontales. En otras pala-bras, el eje no cae; slo tiene precesin.

Si esto todava le parece misterioso, imagine una pelota atada a un cordn. Sila pelota est en reposo y tiramos del cordn, la pelota se mover hacia nosotros.Pero si la bola se est moviendo inicialmente y tiramos continuame~te del cordnen una direccin perpendicular al movimiento de la pelota, sta se mover en uncrculo alrededor de nuestra mano; no se acercar a ella. En el primer caso la pe-lota tiene cero cantidad de movimiento lineal p al principio; cuando aplicamosuna fuerza Fhacia nosotros durante un tiempo dt, la pelota adquiere un cantidadde movimiento dp = Fdr, tambin hacia nosotros. Pero si la pelota ya tiene unacantidad de movimiento lineal p, un cambio de cantidad de movimiento dp peropendicular a pcambiar la direccin del movimiento, no la rapidez. Sustituya ppor i y Fpor ;: en este argumento, y ver que la precesin no es sino el anlogorotacional del movimiento circular uniforme.

En el instante que se muestra en la figura 10.35a, el girscopo tiene cantidadde movimiento angular i. Un intervalo corto dr despus, la cantidad de movimiento angular esL + di; el cambio infinitesimal en cantidad de movimiento angulares dL = ;: dr, perpendicular a L. Como muestra el diagrama vectorial de la figura10.36, esto implica que el eje de volante del girscopo gir un ngulo pequeo dq,dado pordq, = IdLI/lrl. La rapidez con que se mueve el eje, dq,ldr, se denominarapidez angular de precesin; denotando esta cantidad con n, tenemos

dq, IdiW:1 T, w,II ~ - ~ ~ - ~ - (10.36)dr dr 4. lw

As, la rapidez angular de precesin es inversamente proporcional a la rapidez an-gular de giro alrededor del eje. Un girscopo que gira rpidamente tiene precesinlenta; si la friccin en su cojinete hace que el volante se frene, la rapidez angularde precesin aumenta! La rapidez angular de precesin de la Tierra es muy lenta(1 revl26,OOO aos) porque su cantidad de movimiento angular de giro L= es gran-de y el momento de torsin T: debido a las influencias gravitacionales del Sol y laLuna es relativamente pequeo.

Al precesar un girscopo, su centro de masa describe un crculo de radio r enun plano horizontal. La componente vertical de aceleracin es cero, as que lafuerza normal hacia arriba ejercida por el pivote debe ser igual en magnitud alpeso. El movimiento circular del centro de masa con rapidez angular n requiereuna fuerza F dirigida hacia el centro del circulo, con magnitud F = MO

'r. Esta

fuerza tambin debe ser proporcionada por el pivote.

10.7 I Girscopos y precesin 389

\ Un supuesto clave que hicimos en nuestro anlisis del girscopo fue que el vector de canlidad de movimiento angular L slo est asociado a la rotacin del vo-lante y es puramente horizontal. Sin embargo, tambin habr una componentevertical de cantidad de movimiento angular asociada a la precesin del girscopo.Al hacer caso omiso de esto, hemos supuesto tcirameme que la precesin es lenta, esdecii, que la rapidez angular de precesin n es mucho menor que la rapidez angular de rotacin w. Como muestra la ecuacin (10.36), un valor grande de w autom-ticamente produce un valor pequeo de n, as que la aproximacin es razonable. Sila precesin no es lenta, aparecen efectos adicionales, incluido un bamboleo verti-calo nutacin (vibracin) del eje del volante, superpuesto a la precesin. Podemosver la nutacin (vibracin) en un girscopo cuando su roracin se hace lenta, de mo-do que n aumenta yla componente vertical de Lya no puede despreciarse.

Ejemplo10.17 Girscopo en precesin

gina, lo mismo que ddt. La adicin de: un~eo di a1l. que te-nemos inicialmente altera la direccin de L como se muestra, asque la precesin es horaria vista desde arriba.b) Tenga cuidado de no confundir w yn. Tenemos que n,., (1rev)/(4.0 s) = (217" rad)/(4.0 s) 1.57 radls. El peso es mg, y elmomento de inen:ia alrededor del eje de simetria de un cilindro s-lido de radio R es I = !m,q2. Despejando w en la ecuacin (10.]6)tenemos

La figura 10.37a es una vista superior de una rueda de girscopo ci-Hndrica que un motor elctrico puso a girar. El pivote est en O y lamasa del eje es insignificante. a) Vista de arriba, la precesin eshoraria o antihoraria? b) Si una revolucin de: precesin larda 4.0 s,qu rapidez angular tiene la rueda?

El!!l3r:1lIIDENTIFICAR YPLANTEAR: Determinaremos la direccin de pre-cesin empleando la regla de la mano derecha como en la figura10.35, que muestra el mismo tipo de girscopo que la figuro. 10.37.Utilizaremos la relacin entre rapidez angular de precesin n ylarapidez angular de giro w, ecuacin (10.36), para obtener el valor'" w.

IV' mgr 2grw=-= =--

In (m~n)n ~n2(9.8 m1s2)(2.0 X 10-2 m)(3.0 X 10-2 mp(U7 md/s) = 280 rad/s = 2600 rev/min

EJECUTAR: a) La regla de la mano derecha indica que fi,y l. son ala izquierda (Fig. IOJ7b). El peso ; apunta hacia adentro de la p-gina en esta vista superior y acta en el centro de masa (denotadocon X); el momento de torsin:: = r x wes hacia arriba de la p-

EVALUAR: La rapidez angular de precesin fl es mucho menor quela rapidez angular de rotacin w, asi que tenemos un ejemplo deprecesin lenta.

10.37 Qu direccin tiene la precesindel girscopo?

T3.0cm ,le di. X

O I , "Vista superior O(.) lb)

Saponga que la masa del volante de la figura 10.35 se aumenta al doble pero 10-las dems dimensiones y la rapidez angular de rotacin no cambian. Qu

efecto lendria esto sobre la rapidez angular de precesin?

390/

e APfT u Lo 10 I Dinmica del movimiemo rotacional

RESUMEN

Cuando una fuerza acta sobre un cuerpo, el momento detorsin T de esa fuerza respecto a un punto O liene una mag-nirud dada por el producto de la magninad F de la fuerza y elbrazo de palanca l. En tnninos ms generales. el momentode torsin es un vector 1- igual al prodUCIO veclorial de rle]vector de posicin del punto en el que acta la fuerza) y F.(Vease ejemplo 10.1.)

El anlogo rotacional de la segunda ley de Newton dice queel momento de torsin neto que acta sobre un cuerpo esigual al producto del momento de inercia del cuerpo y suaceleracin angular.(Vanse ejemplos 10.2 a 10.4.)

(10.2)

(10.3)

(10.6)

EIlnaque klIldloo do 11 f1WII)do: = Jemcz, (10.16)u.,.. = Rw (10.14)

(rodamiento sin deslizamiento)

Si un momento de torsin acta sobre un cuer-po rigido que sufre un desplazamiento angu-lar, efecta trabajo sobre el cuerpo. Esetrabajo puede expresarse como una integraldel momento de torsin o, si el momenlO esconstante, el producto del momento de torsinyel desplazamiento angular. El teorema detrabajo-energa para el movimiento rolacionalde un cuerpo rigdo dice que el trabajo rota-cional total efectuado sobre un cuerpo es igualal cambio de energa cintica rotacional. Lapolencia. o rapidez con que el momento detorsin efecta trabajo. es el producto del mo-meDIo de torsin y la velocidad angular.(Yanse ejemplos 10.10 y 10.11.)

f. '.w= ",.de"

(10.23)

(10.24)

(10.25)

(10.26) 0"'-R ROViSla 'Ul"'riorddtioYivo

! La cantidad de movimientQ angular de unapartcula respecto a un punto O es el productovectorial del vector de posicin rde la par-tcula respecto a O y su cantidad de movi-miento ji = mv. Si un cuerpo simtrico giraalrededor de un eje de simetra estacionario,su cantidad de movimiento angular es el pro-ducto de su momento de inercia y su vector develocidad angular w. Si el cuerpo no es sim-trico o el eje de rotacin (z) no es un eje desimetra, la componente de la cantidad de mo-vimiento angular sobre el eje de rotacin es lwz.(Vase ejemplo 10.12.)

Notas del lector

i=rxp=rxmv(partcula)

i = lw(cuerpo rigido que giraen torno a un eje de simetra)

(10.27)

(10.31)

,

t~i

391

Enrosque lo. dedos de lamanO derttha en ladireccin"" la rotacin

El pulgar derecho apuntaen la direccin de w: siel eje"" rolaCin es uneje de simetra, ~sta es _

tambi~n la direccin de L

La relacin dinmica bsica para el movi-miento rotadonal de cualquier sistema es queel momento de torsin externo neto es igual ala rapidez de cambio de la canlidad de movi-miento angular. Si el momento de torsin ex-terno neto que acta sobre el sistema es cero,la cantidad de movimiento angular total delsistema es constante (se conserva).(Vanse ejemplos lO.! 3 a 10.] 6.)

Trminos clave

(10.32)

cantidad de movimiento angular, 379brazo de palanca (brazo de momento),

362lnea de accin, 362

Notas del lector

momento de torsin, 362precesin, 387principio de conservacin de la cantidad

de movimiento angular, 382

rapidez angular de precesin, 388rodamiento sin deslizamiento, 37]traslacin y roracin combinadas,

370

Respuesta a la pregunta inicial del capitulo ..

~

CAPfTllLO 10 I Dinmicadd movimiento rotacional392

Cuando el acrbata est en el aire, el momento de torsin nclo queacta sobre su centro de masa es cero. Por tanlO. la cantidad de mo-vimiento angular de su cuerpo (el producto del momento de inerciaI y la mpidez angular w) en lomo al centro de masa se mantieneconstante. Al estirar sus extremidades, el acrbata aumenta /, asque w disminuye; si encoge las extremidades, 1disminuye y w au-menta.

Respuestas a las preguntas deEvale su comprensin

Seccin lD.1 El momento de torsin es proporcional al productode la distancia T y [a magnitud de la fuerza F. Sin el rubo, la distan-cia r es