TEMAS A TRATAR EN LA VISITA

Alejandro Pieiro CaroIngeniero Civil Industrial

alejandro.pineiro@inacapmail.clalejandro.pineiro.c@gmail.com

Otoo Invierno 2015 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.1Mtodos Cuantitativos1INTRODUCCIN. 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.2DESCRIPCIN DE LA ASIGNATURA: La asignatura Mtodos Cuantitativos, de carcter lectiva y perteneciente al rea formativa de Disciplinas Bsicas (lnea curricular de matemticas), tiene por propsito, introducir al alumno en el mundo de la estadstica de manera de poder aplicar estos conocimientos al rea de la economa y la administracin. As ser posible comprobar y justificar distintos resultados a travs de los mtodos estadsticos aprendidos y desarrollar la capacidad de estudiar, inferir y resolver problemas reales.2UNIDADES28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.3UNIDADES DE APRENDIZAJEHORAS1Muestreo122Inferencia303Econometra30EVALUACIN:8MTODOS CUANTITATIVOSUNIDAD 1 MUESTREO28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.4UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.5Con frecuencia en la practica estamos interesados en extraer conclusiones vlidas respecto a un grupo grande de individuos u objetos. En cambio de examinar un grupo entero, llamado la poblacin, lo cual puede resultar difcil o imposible, puede llegarse a la idea de examinar solamente una parte pequea de esta poblacin, que se llama la muestra. Esto se hace con el propsito de inferir ciertos hechos respecto de la poblacin de los resultados hallados en la muestra, un proceso conocido como inferencia estadstica. El proceso de obtener muestras se llama muestreo.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.6POBLACIN El primer concepto importante es el de poblacin, que es el conjunto de individuos sobre los que se desea informacin. La poblacin ha de estar perfectamente definida a la hora de comenzar el estudio. Por ejemplo, en un ensayo clnico en el que se pretende demostrar la efectividad de un tratamiento han de estar muy claros cuales son los criterios de inclusin de un paciente en la poblacin (muestra) a estudiar.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.7POBLACIN Dependiendo de cmo se seleccionen los elementos para un estudio podremos tener las siguientes poblaciones:Poblacin finitaPoblacin infinita

Poblacin finita: Se llama as a la poblacin que es de tamao limitado cuyos elementos son numerables.Poblacin infinita: Se llama as a la poblacin de tamao limitado cuya cantidad de elementos son innumerables.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.8MUESTRADe la poblacin se extrae un subconjunto que se denomina muestra. La muestra ha de ser representativa de la poblacin, en el sentido de que debe tener una composicin similar en cuanto a la proporcin de distintas caractersticas. Por ejemplo, una muestra para un estudio de estaturas no incluir solamente individuos bajos o altos, sino individuos de ambas clases en proporciones similares a las de la poblacin. La representatividad de la muestra queda garantizada con la eleccin correcta del mtodo de muestreo. UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.9MuestraMuestraConjunto de elementos que representan una caracterstica o condicin comn de estudioEXTRACCIN MUESTRAGENERALIZACIN DE HALLAZGOSPROCEDIMENTO DE MUESTREOPOBLACINMuestra: subgrupo de la poblacin del cual se recolectan los datos y debe serRepresentativosde dicha poblacinUnidades deanlisis se denominatambin a casos o elementosUNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.10

MuestraMuestraMuestraMuestraUNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.11EJEMPLOS:Desearamos extraer conclusiones respecto a las estaturas (o peso ) de 12.000 estudiantes (la poblacin ) examinando solamente 100 estudiantes (la muestra ) seleccionados de esta poblacin.Desearamos extraer conclusiones respecto al porcentaje de tornillos defectuosos producidos en una fbrica durante una semana de 6 das examinando 20 tornillos diariamente producidos en tiempos diferentes durante el da. En este caso los tornillos producidos durante la semana conforman la poblacin, en tanto que los 120 tornillos escogidos constituyen la muestra.Desearamos extraer conclusiones respecto a la honradez de una moneda determinada al lanzarla repetidamente. La poblacin consiste en todos los lanzamientos posibles de la moneda. Se podra obtener una muestra al examinar, por ejemplo, loa primeros 60 lanzamientos de la moneda y notar los porcentaje de caras y sellos.

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.12TIPOS DE MUESTREOSNo probabilstico. Se usa el conocimiento y opinin personal para identificar los elementos de la poblacin que se incluyen en la muestra.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.13TIPOS DE MUESTREOSProbabilstico. Todos los elementos de la poblacin tienen la misma posibilidad de participar en la muestra.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.14SIMPLE.Este tipo de muestreo, consiste en elaborar una lista de la poblacin enumerndola, para posteriormente mediante la generacin de nmero aleatorios es seleccionado cada uno de los elementos que constituyen la muestra, o mediante frmulas de recurrencia diseadas para ste propsito. Es adecuado cuando la poblacin es pequea y los elementos puedan enumerarse.

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.15SISTEMTICO.En este tipo de muestro, tambin se elabora una lista con los elementos de la poblacin, pero en lugar de seleccionarlos de manera aleatoria, se recorre la lista y se va seleccionando cada elemento con un intervalo uniforme que se mide en tiempo, orden y espacio. Es ms sencillo de aplicar que el simple, sin embargo, no es posible de utilizar con poblaciones grandes o con la posibilidad de que la poblacin tenga datos con periodicidad.

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.16ESTRATIFICADO.En esta tcnica, la poblacin se divide en clases o estratos de acuerdo a una o ms caractersticas importantes para realizar posteriormente la seleccin, que puede ser aleatoria o sistemtica dentro de cada estrato. La definicin de la clase debe ser lo suficientemente clara para evitar que alguno de los elementos se puedan ubicar en alguna de dos clases diferentes.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.17POR CONGLOMERADOS.Consiste en definir subgrupos de elementos homogneos en forma natural y/o existen grupos ya definidos. No se requiere seleccionar de todos los conglomerados, y en ocasiones, es suficiente con seleccionar uno de los conglomerados con todos sus elementos, es posible utilizar el muestreo aleatorioconsiderando grupos en lugar de elementos.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.18AREA DE INTERESDATOSTema de InvestigacinAntecedentes Previos ObjetivosPreguntas de InvestigacinPosibles HiptesisUnidad de AnlisisPoblacinVariablesORGANIZAR Y RESUMIRESTADSTICA DESCRIPTIVA (Tablas, Grficos, Medidas Descriptivas, etc.)INTERPRETACININFERENCIA ESTADSTICAPoblacin o Muestra?CONCLUSIONESPoblacin MuestraProbabilidadINFORMACINUNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.19RAZONES DE MUESTREODisminucin de costos ( tiempo, personal, material)Al disminuir el nmero de casos disminuyen tambin los errores asociados a la manipulacin de los datos.Puede confiarse en la generalizacin de los resultados si se ha tenido cuidado al seleccionar la muestra. UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.20CRITERIOS IMPORTANTES PARA LA SELECCIN DE LA MUESTRASalvo en poblaciones muy pequeas y accesibles nunca se observan a todas las unidades de la poblacin.Se debe disear una muestra que constituya una representacin a pequea escala de la poblacin a la que pertenece.Cualquier diseo muestral comienza con la bsqueda de la informacin que ayude a la identificacin de las caractersticas de la poblacin bajo estudio.

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.21TAMAO DE LA MUESTRAEs el nmero de unidades a incluir en la muestra. Existen varios factores que influyen en el:Tiempo y recursos disponiblesModalidad de Muestreo Tipo de Anlisis PrevistoVarianza o heterogeneidad de la poblacinMargen de Error mximo admisibleNivel de confianza de la estimacin muestral

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.22TAMAO DE LA MUESTRAHay tres factores que determinan el tamao de muestra: Grado de Confianza: mayormente se utiliza 0,95 y 0,99, pero tambin se puede utilizar otro nivel. Mximo Error Permisible: lo decide el investigador, es el mximo error tolerable en un nivel de confianza especifico. Variacin de la Poblacin: la variabilidad la mide la desviacin estndar.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.23TAMAO DE LA MUESTRAGrado de Confianza: Probabilidad de que la estimacin efectuada se ajuste a la realidad.Cualquier informacin que queremos recoger est distribuida segn una ley de probabilidad (Gauss o Student), as llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadstico capte el verdadero valor del parmetro.Es una convencin que se utilice un nivel de confianza del 95% (z=1.96), o bien del 99% (z=2.58).Mientras ms alto sea el nivel de confianza, mayor ser el tamao de la muestra.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.24TAMAO DE LA MUESTRAError Mximo Permisible: El error mximo permisible, que se designa como E, es la cantidad que se suma y/o resta de la media de la muestra, para determinar los puntos extremos del intervalo de confianza correspondiente. Es la cantidad de error que t como investigador deseas tolerar. Tambin es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza correspondiente. Un error permisible pequeo requerir una muestra grande, mientras uno grande requerir una muestra pequea.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.25REPASO DISTRIBUCIN NORMAL. 1.-Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre 0 y -2.03?

2.-Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre -2.03 y +2.03?

3. Hallar P( z >1.25 )

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.26REPASO DISTRIBUCIN NORMAL. 4. Hallar P ( -0,34 < z < )

5. Hallar P ( 0,34 < z < 2,30 )

27Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,66640,51600,55570,59480,63310,67000,51990,55960,59870,63680,67360,52390,56360,60260,64060,67720,52790,56750,60640,64430,68080,53190,57140,61030,64800,68440,53590,57530,61410,65170,6879 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82380,70540,73890,77030,79950,82640,70880,74220,77340,80230,82890,71230,74540,77040,80510,83150,71570,74860,77930,80780,83400,71900,75170,78230,81060,83640,72240,75490,76520,81330,83891,01,11,21,31,40,84130,86430,88490,90320,91920,84380,86650,88690,90490,92070,84610,86860,88880,90660,92220,84850,87080,89070,90820,92350,85080,87290,89250,90990,92510,85310,87490,89440,91150,92650,85540,87700,89620,91310,92790,85770,87900,89800,91470,92920,85990,88100,89970,91620,93060,86210,89300,90150,91770,93191,51,61,71,81,90,93320,94520,95540,96410,97130,93450,94630,95640,96490,97190,93570,94740,95730,96560,97260,93700,94850,95820,96640,97320,93820,94950,95910,96710,97380,93940,95050,95990,96780,97440,94060,95150,96080,96860,97500,94180,95250,96160,96930,97560,94290,95350,96250,96990,97620,94410,95450,96330,97060,97672,02,12,22,32,40,97730,98210,98610,98930,99180,97780,98260,98650,98960,99200,97830,98300,98680,98980,99220,97880,99340,98710,99010,99250,97930,98380,98750,99040,99270,97980,98420,98780,99060,99290,98030,98460,98810,99090,99310,98080,98500,98840,99110,99320,98120,98540,98870,99130,99340,98170,98570,98900,99160,99362,52,62,72,82,90,99380,99530,99650,99750,99810,99400,99550,99660,99750,99820,99410,99560,99670,99760,99830,99430,99570,99680,99770,99840,99450,99590,99690,99780,99840,99460,99600,99700,99780,99850,99480,99610,99710,99790,99850,99490,99620,99720,99800,99850,99510,99630,99730,99800,99860,99520,99640,99740,99810,99863,03,13,23,33,40,99870,99900,99930,99950,99970,99870,99910,99930,99950.99970,99870,99910,99940,99950,99970,99880,99910,99940,99960,99970,99880,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99970,99983,50,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.281.-Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre 0 y -2.03?Solucin: Se busca en la tabla el rea correspondiente a z = 2.03

En Tabla 0,9788-0,5 El rea es = 0,4788

Z0,000,010,020,030,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,6664 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82381,01,11,21,31,40,84130,86430,88490,90320,91920,84380,86650,88690,90490,92070,84610,86860,88880,90660,92220,84850,87080,89070,90820,92351,51,61,71,81,90,93320,94520,95540,96410,97130,93450,94630,95640,96490,97190,93570,94740,95730,96560,97260,93700,94850,95820,96640,97322,02,12,22,32,40,97730,98210,98610,98930,99180,97780,98260,98650,98960,99200,97830,98300,98680,98980,99220,97880,99340,98710,99010,9925UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.292.-Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre -2.03 y +2.03?Solucin: La misma rea hay entre 0 y -2.03 , por lo tanto P ( -2,03< z< 2,03) = 0.95764

Z0,000,010,020,030,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,6664 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82381,01,11,21,31,40,84130,86430,88490,90320,91920,84380,86650,88690,90490,92070,84610,86860,88880,90660,92220,84850,87080,89070,90820,92351,51,61,71,81,90,93320,94520,95540,96410,97130,93450,94630,95640,96490,97190,93570,94740,95730,96560,97260,93700,94850,95820,96640,97322,02,12,22,32,40,97730,98210,98610,98930,99180,97780,98260,98650,98960,99200,97830,98300,98680,98980,99220,97880,99340,98710,99010,9925En Tabla 0,9788-0,5 El rea es = 0,4788 x 2= 0,9576UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.303.Cul es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.25 ?

Z0,000,010,020,030,040,050,060,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,66640,51600,55570,59480,63310,67000,51990,55960,59870,63680,67360,52390,56360,60260,64060,6772 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82380,70540,73890,77030,79950,82640,70880,74220,77340,80230,82890,71230,74540,77040,80510,83151,01,11,21,31,40,84130,86430,88490,90320,91920,84380,86650,88690,90490,92070,84610,86860,88880,90660,92220,84850,87080,89070,90820,92350,85080,87290,89250,90990,92510,85310,87490,89440,91150,92650,85540,87700,89620,91310,9279UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.314. Hallar P ( -0,34 < z < )

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.325. Hallar P ( 0,34 < z < 2,30 )

Ejemplo 2:Segn un estudio, la altura de los varones de cierta ciudad es una v.a. X, que podemos considerar que se distribuye segn una ley gaussiana de valor esperado m=175 cm y desviacin tpica s=10 cm . Dar un intervalo para el que tengamos asegurado que el 50% de los habitantes de la ciudad estn comprendidos en l. En este caso tenemos que buscar en la tabla de la N(0,1) que valor me deja el 25% de los datos hacia la derecha y el valor que me deja el 25 % a la izquierda, de esta manera tenemos el 50% en los valores centrales.UNIDAD 1 : MUESTREO El 50% de la poblacin tiene un peso comprendido en el intervalo [168,2 - 181,8].

Buscamos el valor tipificado que me da la Probabilidad de 0,25 en la N(0,1) que es aproximadamente 0,68

Por lo tanto si destipificamos

N(175, 10)Como es simtrica la distribucin, el valor que nos deja el 25% por debajo es -0,675

Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,66640,51600,55570,59480,63310,67000,51990,55960,59870,63680,67360,52390,56360,60260,64060,67720,52790,56750,60640,64430,68080,53190,57140,61030,64800,68440,53590,57530,61410,65170,6879 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82380,70540,73890,77030,79950,82640,70880,74220,77340,80230,82890,71230,74540,77040,80510,83150,71570,74860,77930,80780,83400,71900,75170,78230,81060,83640,72240,75490,76520,81330,8389DISTRIBUCIONES MUESTRALESSi es posible recoger datos referidos a una muestra con objetividad y confiabilidad, entonces, podemos estudiar sus caractersticas y aprovechar dicha informacin igualmente confiable para tomar decisiones a nivel poblacional en el campo cientfico, poltico, social, econmico y otros de carcter prctico. Ahora bien, una muestra objetiva y confiable debe ser aleatoria. Un conjunto de observaciones constituye una muestra aleatoria de tamao n seleccionada de una poblacin finita de tamao N, si es elegida en forma tal, que cada subconjunto o muestra de n elementos de los N elementos que contiene la poblacin, tiene la misma probabilidad de ser elegido.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos35UNIDAD 1 : MUESTREO 35DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIASi a cada una de las M muestras de igual tamao n, que podemos seleccionar de una poblacin N, le calculamos su respectivos estimadores (medias aritmticas), la variable aleatoria as obtenida, la denominamos distribucin en el muestreo de la media.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos36UNIDAD 1 : MUESTREO 36DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLO Para comprender ms claramente en que consiste la distribucin en el muestreo de la media y por otra parte comprobar las dos propiedades fundamentales que se cumplen en dicha distribucin, supongamos una poblacin finita de seis (6) elementos, referida al tiempo necesario para ensamblar un artculo producido por los seis obreros de una compaa ( A, B, C, D, E, F) durante un da determinado y consideremos adems, que utilizaremos una muestra de tamao (2), para estimar el promedio de la compaa.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos37UNIDAD 1 : MUESTREO 37DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLO Para comprender ms claramente en que consiste la distribucin en el muestreo de la media y por otra parte comprobar las dos propiedades fundamentales que se cumplen en dicha distribucin, supongamos una poblacin finita de seis (6) elementos, referida al tiempo necesario para ensamblar un artculo producido por los seis obreros de una compaa ( A, B, C, D, E, F) durante un da determinado y consideremos adems, que utilizaremos una muestra de tamao (2), para estimar el promedio de la compaa.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos38UNIDAD 1 : MUESTREO 38DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos39Tiempo para el ensamble de un artculoObreros Tiempo (horas)A51B52C53D53E54F55Total318

UNIDAD 1 : MUESTREO 39DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLO Si seleccionamos muestras de tamao n= 2 de dicha poblacin N=6 como se plantea en el ejemplo, podemos obtener M=15 muestras diferentes, puesto que M = C (N,n) = C 6,2 = 15, cuyas medias respectivas, podrn verse en el cuadro siguiente:28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos40ElementosMediaElementosMediaElementosMediaA,B51,5B,C52,5C,E53,5A,C52,0B,D52,5C,F54,0A,D52,0B,E53,0D,E53,5A,E52,5B,F53,5D,F54,0A,F53,0C,D53,0E,F54,5UNIDAD 1 : MUESTREO 40DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLO : Con los datos anteriores confeccione una tabla de frecuencias.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos41xinixini51,5151,552,02104,052,53157,553,03159,053,53160,554,02108,054,5154,5Total15795

Si comparamos el valor 53 de la ecuacin anterior, con el clculo anterior, podemos concluir que:

La anterior propiedad, nos confirma que la media aritmtica es un estimador insesgado. Esta propiedad la podemos enunciar as: La media aritmtica poblacional es igual a la media aritmtica de la medias muestrales.

UNIDAD 1 : MUESTREO 41DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIADISTRIBUCIN MUESTRAL DE EN UNA POBLACIN NORMAL CON MEDIA Y DESVIACIN ESTNDAR CONOCIDAS

Sin importar el tamao de la muestra n, si se tiene una poblacin normal de tamao N, con media y desviacin estndar , las medias de todas las muestras de tamao n, que se pueden tomar de esa poblacin, tambin se distribuirn normalmente. Podramos escribir 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos42

UNIDAD 1 : MUESTREO 42DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIADISTRIBUCIN MUESTRAL DE EN UNA POBLACIN NORMAL CON MEDIA Y DESVIACIN ESTNDAR DESCONOCIDA.

Si la poblacin est normalmente distribuida y se conoce pero se desconoce , entonces el valor de , puede reemplazarse por la desviacin estndar de la muestra S, siempre y cuando el tamao de la muestra sea grande(n 30). En estas condiciones el valor de Z sera:28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos43

UNIDAD 1 : MUESTREO 43DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLOCiertos tubos fabricados por una compaa, tienen una duracin media de 900 horas y una desviacin estndar de 70 horas. Si se seleccionan aleatoriamente una muestra de 36 tubos, cual es la probabilidad de que dichos tubos tengan una duracin media entre 870 y 925 horas? 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos44UNIDAD 1 : MUESTREO 44DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLO28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos45

UNIDAD 1 : MUESTREO 4528/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos46Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,66640,51600,55570,59480,63310,67000,51990,55960,59870,63680,67360,52390,56360,60260,64060,67720,52790,56750,60640,64430,68080,53190,57140,61030,64800,68440,53590,57530,61410,65170,6879 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82380,70540,73890,77030,79950,82640,70880,74220,77340,80230,82890,71230,74540,77040,80510,83150,71570,74860,77930,80780,83400,71900,75170,78230,81060,83640,72240,75490,76520,81330,83891,01,11,21,31,40,84130,86430,88490,90320,91920,84380,86650,88690,90490,92070,84610,86860,88880,90660,92220,84850,87080,89070,90820,92350,85080,87290,89250,90990,92510,85310,87490,89440,91150,92650,85540,87700,89620,91310,92790,85770,87900,89800,91470,92920,85990,88100,89970,91620,93060,86210,89300,90150,91770,93191,51,61,71,81,90,93320,94520,95540,96410,97130,93450,94630,95640,96490,97190,93570,94740,95730,96560,97260,93700,94850,95820,96640,97320,93820,94950,95910,96710,97380,93940,95050,95990,96780,97440,94060,95150,96080,96860,97500,94180,95250,96160,96930,97560,94290,95350,96250,96990,97620,94410,95450,96330,97060,97672,02,12,22,32,40,97730,98210,98610,98930,99180,97780,98260,98650,98960,99200,97830,98300,98680,98980,99220,97880,99340,98710,99010,99250,97930,98380,98750,99040,99270,97980,98420,98780,99060,99290,98030,98460,98810,99090,99310,98080,98500,98840,99110,99320,98120,98540,98870,99130,99340,98170,98570,98900,99160,99362,52,62,72,82,90,99380,99530,99650,99750,99810,99400,99550,99660,99750,99820,99410,99560,99670,99760,99830,99430,99570,99680,99770,99840,99450,99590,99690,99780,99840,99460,99600,99700,99780,99850,99480,99610,99710,99790,99850,99490,99620,99720,99800,99850,99510,99630,99730,99800,99860,99520,99640,99740,99810,99863,03,13,23,33,40,99870,99900,99930,99950,99970,99870,99910,99930,99950.99970,99870,99910,99940,99950,99970,99880,99910,99940,99960,99970,99880,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99970,99983,50,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLOSe sabe que en una compaa el salario promedio de los 1.235 obreros es de $439.000 y desviacin estndar de $25.500. Si se toma una muestra aleatoria de 49 obreros Cual es la probabilidad de que el promedio de dicha muestra sea mayor que $421.000?28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos47UNIDAD 1 : MUESTREO 47DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIASolucin: 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos48

El anterior valor de Z no se encuentra en las tablas de distribucin normal y se pide calcular la probabilidad de que el promedio de la muestra sea mayor que $421.000. El rea que est a la derecha de -4.94, es precisamente la totalidad de la curva. En estas condiciones la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor que $421.000, es igual a 1.UNIDAD 1 : MUESTREO 48DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAEJEMPLOUn fabricante que produce un artculo para consumo del ganado tiene comprobado que su producto dura guardado en bodega un promedio de 1.000 horas con desviacin estndar de 100 horas Cual es la probabilidad de que un comprador que adquiere una muestra aleatoria de 64 unidades, encuentre un promedio de duracin en la misma de ms de 957 horas.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos49UNIDAD 1 : MUESTREO 49DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIASolucin:Como el tamao de la muestra es mayor que 30, entonces segn el teorema central del lmite, las medias muestrales se distribuyen normalmente.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos50

Buscando en las tablas de distribucin normal para Z= - 3,44 o 3,44 la probabilidad es 0,9997, lo cual significa, que el 99.97% de las muestras de tamao 64 tienen una media superior a 957 horas.UNIDAD 1 : MUESTREO 5028/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos51Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,66640,51600,55570,59480,63310,67000,51990,55960,59870,63680,67360,52390,56360,60260,64060,67720,52790,56750,60640,64430,68080,53190,57140,61030,64800,68440,53590,57530,61410,65170,6879 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82380,70540,73890,77030,79950,82640,70880,74220,77340,80230,82890,71230,74540,77040,80510,83150,71570,74860,77930,80780,83400,71900,75170,78230,81060,83640,72240,75490,76520,81330,83891,01,11,21,31,40,84130,86430,88490,90320,91920,84380,86650,88690,90490,92070,84610,86860,88880,90660,92220,84850,87080,89070,90820,92350,85080,87290,89250,90990,92510,85310,87490,89440,91150,92650,85540,87700,89620,91310,92790,85770,87900,89800,91470,92920,85990,88100,89970,91620,93060,86210,89300,90150,91770,93191,51,61,71,81,90,93320,94520,95540,96410,97130,93450,94630,95640,96490,97190,93570,94740,95730,96560,97260,93700,94850,95820,96640,97320,93820,94950,95910,96710,97380,93940,95050,95990,96780,97440,94060,95150,96080,96860,97500,94180,95250,96160,96930,97560,94290,95350,96250,96990,97620,94410,95450,96330,97060,97672,02,12,22,32,40,97730,98210,98610,98930,99180,97780,98260,98650,98960,99200,97830,98300,98680,98980,99220,97880,99340,98710,99010,99250,97930,98380,98750,99040,99270,97980,98420,98780,99060,99290,98030,98460,98810,99090,99310,98080,98500,98840,99110,99320,98120,98540,98870,99130,99340,98170,98570,98900,99160,99362,52,62,72,82,90,99380,99530,99650,99750,99810,99400,99550,99660,99750,99820,99410,99560,99670,99760,99830,99430,99570,99680,99770,99840,99450,99590,99690,99780,99840,99460,99600,99700,99780,99850,99480,99610,99710,99790,99850,99490,99620,99720,99800,99850,99510,99630,99730,99800,99860,99520,99640,99740,99810,99863,03,13,23,33,40,99870,99900,99930,99950,99970,99870,99910,99930,99950.99970,99870,99910,99940,99950,99970,99880,99910,99940,99960,99970,99880,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99970,99983,50,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIALEY T-STUDENT Y DISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA MEDIAQue pasar si el tamao de la muestra es pequeo(n0.08) = 0.5 - 0.1664= 0.333682DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN MUESTRAL DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES: Se sabe que segn unas elecciones, el 25% de los electores de una regin A votaron a favor de un candidato X, mientras que en una regin B el 33% de los electores tambin lo hicieron por dicho candidato. Se toman muestras aleatorias de 150 para la regin A y de 100 para la regin B, se pide calcular la probabilidad de que la proporcin en la regin A sea igual o mayor que en la regin B.

28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos8383DISTRIBUCIONES MUESTRALESDISTRIBUCIN MUESTRAL DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES:

28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos84

Si buscamos en las tablas de probabilidad normal, la probabilidad para el anterior valor de Z es 0.4131. Por lo tanto la probabilidad pedida ser: P(p1-p2 ) = 0.5 0.4131 =0.086984DISTRIBUCIONES MUESTRALESLEY T-STUDENT Y DISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA DIFERENCIA DE MEDIASEn la distribucin el muestreo de la diferencia de medias, utilizando la distribucin normal y al igual que en la distribucin en el muestreo de la media, nos qued un vaco cuando las poblaciones son pequeas (n1 < 30 y n2 < 30 o n1+n2 < 60) y adicionalmente, no se conocen las desviaciones estndar poblacionales. Si las dos poblaciones se distribuyen normalmente, la ley T-STUDENT nos permite resolver situaciones como sta. Entonces, obtendremos el estadstico t, similar al estadstico Z. La frmula correspondiente es la siguiente:28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos8585DISTRIBUCIONES MUESTRALESLEY T-STUDENT Y DISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos86

El denominador de la frmula anterior, es el error estndar de las diferencias de las medias muestrales siendo el valor de S, una combinacin de las desviaciones estndar de las dos muestras y que se debe calcular previamente, as:

86DISTRIBUCIONES MUESTRALESLEY T-STUDENT Y DISTRIBUCIN EN EL MUESTREO DE LA DIFERENCIA DE MEDIASSupongamos que se ha recibido informacin de parte de un vendedor, en el sentido de que cierta pieza de cobre fabricado por una empresa A, tiene una duracin media que supera en 60 horas a la misma pieza producida por una empresa B de la competencia. Un analista quiere poner a prueba dicha afirmacin, para lo cual toma una muestra de 9 piezas en sendas empresas, encontrado que para la empresa A, la duracin promedio es de 1.000 horas con una desviacin estndar de 60 horas, mientras que para la empresa B, la duracin media es de 925 horas con desviacin estndar de 50 horas. El analista aceptar la afirmacin del vendedor, si el valor de t, de la diferencia de medias, est en el intervalo t 0,05 y +t 0,05. Se sabe que la duracin de las piezas se comporta normalmente en ambas empresas.28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos8787UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.88Clculo del tamao muestral.Cada estudio tiene un tamao muestral idneo, que permite comprobar lo que se pretende con la seguridad y precisin fijadas por el investigador.UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.89Para una poblacin finita tenemos la siguiente expresin:

Para una poblacin infinita:

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.90Clculo del tamao muestral poblacin infinita.Ejemplo 1: Error 2,5% Confianza 95%

Ejemplo 2: Error 3% Confianza 95%

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.91Clculo del tamao muestral poblacin finita.Ejemplo 1: Poblacin 50000 error 5% Confianza 95%

Ejemplo 2: Poblacin 10000 error 4 Confianza 95%

UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.92

28/05/201593Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00,10,20,30,40,50000,53980,57930,61790,65540,50400,54380,58320,62170,65910,50800,54780,58710,62550,66280,51200,55170,59100,62930,66640,51600,55570,59480,63310,67000,51990,55960,59870,63680,67360,52390,56360,60260,64060,67720,52790,56750,60640,64430,68080,53190,57140,61030,64800,68440,53590,57530,61410,65170,6879 0,50,60,70,80,90,69150,72570,75800,78810,81590,69500,72910,76110,79100,81860,69850,73240,76420,79390,82120,70190,73570,76730,79670,82380,70540,73890,77030,79950,82640,70880,74220,77340,80230,82890,71230,74540,77040,80510,83150,71570,74860,77930,80780,83400,71900,75170,78230,81060,83640,72240,75490,76520,81330,83891,01,11,21,31,40,84130,86430,88490,90320,91920,84380,86650,88690,90490,92070,84610,86860,88880,90660,92220,84850,87080,89070,90820,92350,85080,87290,89250,90990,92510,85310,87490,89440,91150,92650,85540,87700,89620,91310,92790,85770,87900,89800,91470,92920,85990,88100,89970,91620,93060,86210,89300,90150,91770,93191,51,61,71,81,90,93320,94520,95540,96410,97130,93450,94630,95640,96490,97190,93570,94740,95730,96560,97260,93700,94850,95820,96640,97320,93820,94950,95910,96710,97380,93940,95050,95990,96780,97440,94060,95150,96080,96860,97500,94180,95250,96160,96930,97560,94290,95350,96250,96990,97620,94410,95450,96330,97060,97672,02,12,22,32,40,97730,98210,98610,98930,99180,97780,98260,98650,98960,99200,97830,98300,98680,98980,99220,97880,99340,98710,99010,99250,97930,98380,98750,99040,99270,97980,98420,98780,99060,99290,98030,98460,98810,99090,99310,98080,98500,98840,99110,99320,98120,98540,98870,99130,99340,98170,98570,98900,99160,99362,52,62,72,82,90,99380,99530,99650,99750,99810,99400,99550,99660,99750,99820,99410,99560,99670,99760,99830,99430,99570,99680,99770,99840,99450,99590,99690,99780,99840,99460,99600,99700,99780,99850,99480,99610,99710,99790,99850,99490,99620,99720,99800,99850,99510,99630,99730,99800,99860,99520,99640,99740,99810,99863,03,13,23,33,40,99870,99900,99930,99950,99970,99870,99910,99930,99950.99970,99870,99910,99940,99950,99970,99880,99910,99940,99960,99970,99880,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99940,99960,99970,99890,99920,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99960,99970,99900,99930,99950,99970,99983,50,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.94Ejercicio: Si el tamao de la poblacion es de 20.0000 y tenemos un presupuesto y se gasta entero en las encuestas, sabiendo que cada entrevista cuesta $ 5.000., se podrn hacer 700. Utilizaremos la frmula del tamao muestral y despejaremos el margen de error:

UtilizarUNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.95Teniendo en cuenta que no conocemos los valores de p y q para la poblacin, calculamos suponiendo el caso menos favorable de p = q = 0,5 sustituyendo los

despejndole valor de e, obtenemos el margen de error solicitado: e = 0,0371UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.96Ejercicio: En un estudio sobre el maltrato a mujeres queremos realizar una encuesta dirigida a un grupo de mujeres.Qu tamao deber tener la muestra sabiendo que el total de habitantes de ms de 16 aos es de 32.000 y que el 53,8% son mujeres? UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.97En primer lugar calculamos cual es la poblacin femenina, o universo de nuestra encuesta. N=32300x0,538=17377,4 Tomamos un valor entero como N=17377. Como no tenemos ninguna informacin sobre la caracterstica de estudio, supondremos el caso ms desfavorable p=q= . A continuacin aplicamos la frmula de poblaciones finitas:

Con n=1044 obtendremos un error inferior al 3% para un nivel de confianza del 95,45% UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.98Un estudio del 2010 fue realizado con una encuesta a la poblacin curicana de ambos sexos de 18 aos y ms excluyendo Molina y Rauco. Calcule el tamao muestral teniendo en cuenta que el nivel de confianza fue del 95,5% Z= 2 P=Q y el error terico + 2%Si se desea incluir la poblacin de Molina y Rauco, el tamao de la muestra sera el mismo? UNIDAD 1 : MUESTREO 28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.99

Utilizando la frmula para hallar el tamao muestral en poblaciones infinitasPara un nivel de confianza del 95,5% el valor de Z es igual a 2. Sustituyendo los datos en dicha frmula se obtiene:

La inclusin de Molina y Rauco no hara variar el tamao muestral, dado que el tamao de la poblacin no interviene en el clculo.UNIDAD 2 :INFERENCIA28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.100ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA.Una muestra permite realizar estimaciones puntuales de los parmetros de la poblacin.Utilizando las propiedades de las distribuciones muestrales, es posible construir un intervalo que contiene el valor exacto del parmetro, un cierto porcentaje del total de las veces que se realicen estas construcciones. Procediendo de esta forma, tambin se obtiene una medida probabilstica del riesgo de decidir que el parmetro s se encuentra en tal intervalo.En una estimacin puntual, el parmetro de inters se estima por medio de un estadstico que rene ciertas bondades (insesgamiento, eficiencia, consistencia).

28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.101ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA.Propiedades deseables en los estimadoresSer insesgado: Diremos que es un estimador insesgado de si la esperanza de es . Es decir, La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.Pero la varianza muestral NO es un estimador insesgado de la varianza poblacional.

UNIDAD 2 :INFERENCIA28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.102ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA.Consistencia: Se dice que un estimador es consistente si se cumple que

Esta expresin indica que a medida que se incrementa el tamao muestral, la diferencia entre el estimador y el parmetro ser menos que cualquier nmero (e).A diferencia de la ausencia de sesgo que se define para valores finitos de n, la consistencia es una propiedad asinttica.Nota: la varianza muestral es un estimador consistente de la varianza poblacional, dado que a medida que el tamao muestral se incrementa, el sesgo disminuye y disminuye.

UNIDAD 2 :INFERENCIA28/05/2015Material Apoyo Mtodos Cuantitativos Ing. Alejandro Pieiro C.103ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA.Eficiencia: Se emplea para COMPARAR estimadoresSi tenemos dos estimadores y de un mismo parmetro, diremos que es ms eficiente que si tenemos que var( )