UNIDAD 1

TEORIA DE LA DECISION

1.1 INTRODUCCION

El problema de la Decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de ambigüedad que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos afirmar que todos los seres vivientes, aún los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Así, un organismo unicelular asimila partículas de su medio ambiente, unas nutritivas y otras nocivas para él. La composición biológica del organismo y las leyes físicas y químicas determinan qué partículas serán asimiladas y cuáles serán rechazadas.

Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. La Teoría de la Decisión tratará, por tanto, el estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional.

CARACTERÍSTICAS Y FASES DEL PROCESO DE DECISIÓN

Un proceso de decisión presenta las siguientes características principales:

Existen al menos dos posibles formas de actuar, que llamaremos alternativas o acciones, excluyentes entre sí, de manera que la actuación según una de ellas imposibilita cualquiera de las restantes.

Mediante un proceso de decisión se elige una alternativa, que es la que se lleva a cabo.

La elección de una alternativa ha de realizarse de modo que cumpla un fin determinado.

El proceso de decisión consta de las siguientes fases fundamentales:

Predicción de las consecuencias de cada actuación. Esta predicción deberá basarse en la experiencia y se obtiene por inducción sobre un conjunto de datos. La recopilación de este conjunto de datos y su utilización entran dentro del campo de la Estadística.

Valoración de las consecuencias de acuerdo con una escala de bondad o deseabilidad. Esta escala de valor dará lugar a un sistema de preferencias.

Elección de la alternativa mediante un criterio de decisión adecuado. Este punto lleva a su vez asociado el problema de elección del criterio más adecuado para nuestra decisión, cuestión que no siempre es fácil de resolver de un modo totalmente satisfactorio.

 CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS DE DECISIÓN

Los procesos de decisión se clasifican de acuerdo según el grado de conocimiento que se tenga sobre el conjunto de factores o variables no controladas por el decisor y que pueden tener influencia sobre el resultado final (esto es lo que se conoce como ambiente o contexto). Así, se dirá que:

El ambiente es de certidumbre cuando se conoce con certeza su estado, es decir, cada acción conduce invariablemente a un resultado bien definido.

El ambiente de riesgo cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que puede asignarse una distribución de probabilidad conocida.

El ambiente es de incertidumbre cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que no puede asignarse una distribución de probabilidad, bien porque sea desconocida o porque no tenga sentido hablar de ella.

Según sea el contexto, diremos que el proceso de decisión (o la toma de decisiones) se realiza bajo certidumbre, bajo riesgo o bajo incertidumbre, respectivamente. 

En todo problema de decisión pueden distinguirse una serie de elementos

característicos:

El decisor, encargado de realizar la elección de la mejor forma de actuar

de acuerdo con sus intereses.

Las alternativas o acciones, que son las diferentes formas de actuar

posibles, de entre las cuales se seleccionará una. Deben ser excluyentes entre

sí.

Los posibles estados de la naturaleza, término mediante el cual se

designan a todos aquellos eventos futuros que escapan al control del decisor y

que influyen en el proceso.

Las consecuencias o resultados que se obtienen al seleccionar las

diferentes alternativas bajo cada uno de los posibles estados de la naturaleza.

La regla de decisión o criterio, que es la especificación de un

procedimiento para identificar la mejor alternativa en un problema de decisión.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/intro.htm

1.2 AMBIENTES Y CRITERIOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

Las situaciones, ambientes o contextos en los cuales se toman las decisiones, se pueden clasificar según el conocimiento y control que se tenga sobre las variables que intervienen o influencian el problema, ya que la decisión final o la solución que se tome va a estar condicionada por dichas variables. Dichos ambientes pueden ser: bajo riesgo, bajo incertidumbre, certidumbre y conflicto de los cuales se desprenden algunos criterios que nos permitirán evaluar las alternativas y así elegir la que nos proporcione un mayor beneficio.

La toma de decisiones se define como la selección de un curso de acciones entre alternativas, es decir que existe un plan un compromiso de recursos de dirección o reputación.

En ocasiones los ingenieros consideran la toma de decisiones como su trabajo principal ya que tienen que seleccionar constantemente qué se hace, quien lo hace y cuándo, dónde e incluso como se hará. Sin embargo la toma de decisiones es sólo un paso de la planeación ya que forma la parte esencial de los procesos que se siguen para elaboración de los objetivos o metas trazadas a seguir. Rara vez se puede juzgar sólo un curso de acción, porque prácticamente cada decisión tiene que estar engranada con otros planes.

El proceso que conduce a la toma de decisión:

2 · Elaboración de premisas3 · Identificación de alternativas4 · Evaluación de las alternativas, en términos de metas que se desea alcanzar5 · Selección de una alternativa, es decir tomar una decisión

RACIONALIDAD EN LA TOMA DE DECISIONES

Las personas que actúan o deciden racionalmente están intentando alcanzar alguna meta que no se puede lograr sin acción. Necesitan comprender en forma clara los cursos alternativos mediante los cuales se puede alcanzar una meta de acuerdo a las circunstancias y limitaciones existentes. Se necesita también la información y la capacidad para analizar y evaluar las alternativas de acuerdo con la meta deseada. Por último, necesitan tener el deseo de llegar a la mejor solución mediante la selección de la alternativa que satisfaga de un modo más efectivo el logro de la meta.

Es raro que las personas logren una racionalidad completa, en particular en la administración como en la ingeniería.

En primer lugar, como nadie puede tomar decisiones que afecten el pasado, las decisiones tienen que operar para el futuro.

Es difícil reconocer todas las alternativas que se pudieran seguir para alcanzar una meta; esto es cierto cuando en especial la toma de decisiones incluye oportunidades de hacer algo que no se ha hecho antes. Es más, en la mayor parte de los casos no se pueden analizar todas las alternativas e incluso con las técnicas analíticas y las computadoras masa modernas disponibles. Ej.: Las decisiones gerenciales se toman con el deseo de “resolver” en una forma tan segura como sea posible, la mayoría de los gerentes sí intentan tomar las mejores decisiones que puedan dentro de los límites de la racionalidad y de acuerdo al tamaño y la naturaleza de los riesgos involucrados.

EVALUACION DE ALTERNATIVAS

Una vez encontrada la alternativa apropiada, el siguiente paso es evaluar y seleccionar aquellas que contribuirán mejor al logro de la meta.

FACTORES CUANTITATIVOS: Son factores que se pueden medir en términos numéricos, como es el tiempo, o los diversos costos fijos o de operación.

FACTORES CUALITATIVOS: Son difíciles de medir numéricamente. Como la calidad de las relaciones de trabajo, el riesgo del cambio tecnológico o el clima político internacional.

Para evaluar y comparar los factores se debe reconocer el problema y luego analizar que factor se le aplica ya se cuantitativo o cualitativo o ambos, clasificar los términos de importancia, comparar su probable influencia sobre el resultado y tomar una decisión.

DECISIONES PROGRAMADAS Y NO PROGRAMADAS: Una decisión programada se aplica a problemas estructurados o de rutina. Los operadores de

tomos tienen especificaciones y reglas que les señalan si la pieza que han hecho es aceptable, si tiene que desecharse o si se tiene que procesar de nuevo. Las decisiones no programadas se usan para situaciones no programadas, nuevas y mal definidas, de naturaleza no repetitivas. Ej.: el lanzamiento de la computadora Macintosh por Apple Computer.

En realidad las decisiones estratégicas son, en general, decisiones no programadas, puesto que requieren juicios subjetivos.

La mayoría de las decisiones no son ni completamente programadas ni completamente no programadas; son una combinación de ambas. La mayor parte de las decisiones no programadas las toman los gerentes del nivel más alto, esto es porque los gerentes de ese nivel tienen que hacer frente a los problemas no estructurados.

ENFOQUES MODERNOS EN LA TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE INCERTIBUMBRE: Análisis De Riesgo prácticamente cada decisión se basa en la interacción de variables importantes, muchas de las cuales tienen un elemento de incertidumbre pero quizás un grado bastante alto de probabilidad. Por lo tanto, la sensatez de lanzar un nuevo producto podría desprenderse de varias variables críticas: el costo de producto, la inversión del capital, el precio que se puede fijar, el tamaño del mercado potencial y la participación del mercado total.

Árboles de Decisión presentan los puntos de decisión, los acontecimientos fortuitos y las probabilidades existentes en los diversos cursos que se podrían seguir. El enfoque del árbol de decisión hace posible observar, al menos las principales alternativas y el hecho de que las decisiones posteriormente dependan de acontecimientos en el futuro.

Ej.: Los gerentes también pueden comprender la verdadera probabilidad de una decisión que conduzca a los resultados deseados.

Una cosa es cierta los árboles de decisión y técnicas similares de decisión reubican criterios amplios con un centro de atención sobre los elementos importantes de una decisión, hacen resaltar premisas que con frecuencia están escondidas y muestran el proceso de razonamiento mediante el cual se toman las decisiones bajo incertidumbre.

Teorías De La Referencia se basa en las ideas de que las actitudes de las personas hacia el riesgo variaran. La probabilidad puramente estadística, como se aplica a la toma de decisiones, descansa sobre la suposición de que los encargados de tomar las decisiones las seguirán. Podría parecer razonable que si existiera una posibilidad del 60% de que la decisión sea cierta, una persona la tomaría. Sin embargo esto no es necesariamente cierto, pues el riesgo de estar equivocados es del 40%, quizás la persona no desee correr este riesgo.

CREATIVIDAD E INNOVACION: La creatividad suele entenderse la capacidad de desarrollar nuevas ideas. Por el contrario e innovación significa el uso de esas ideas. Por supuesto que las organizaciones no solo generan nuevas ideas, sino que además las convierte en aplicaciones prácticas.

PROCESO CREATIVO: Está compuesta por 4 fases interactuantes entre sí:

ü Exploración inconsciente

ü Intuición

ü El discernimiento

ü La formulación o verificación lógica

SISTEMAS DE APOYO A LAS DECISIONES: (SAD) usan computadoras para facilitar el proceso de toma de decisiones de tareas semiestructuradas. Estos sistemas están diseñados no para reemplazar el criterio administrativo, sino para apoyarlo y hacer más efectivo el proceso de toma de decisiones. Los sistemas de respaldo a las decisiones ayudan también a los gerentes a reaccionar rápidamente a los cambios de necesidades. Por lo tanto, queda claro que el diseño de un sistema efectivo requiere de un conocimiento profundo de cómo los gerentes toman las decisiones.

ENFOQUE DE SISTEMAS A LA TOMA DE DECISIONES: Por lo general no se puede tomar decisiones en un ambiente de sistema cerrado. Además, cada departamento o sección de una empresa; los gerentes de estas unidades organizacionales tiene que ser sensibles a las políticas y programas de otras unidades organizacionales y de toda la empresa. Más aún, las personas dentro de la empresa son parte del sistema social y sus pensamientos y actitudes se tienen que tomar en cuenta cada vez que un gerente toma una decisión.

Los gerentes para solucionar sus problemas toman en cuenta los diversos elementos del ambiente del sistema, esto no significa que renuncien a su papel como tomadores de decisiones. Alguien tiene que seleccionar un curso de acción entre diversas alternativas, tomando en cuenta los acontecimientos y fuerzas en el ambiente de una decisión.

1.3 TOMA DE DECISIONES BAJO MODELOS DE CERTIDUMBRE, INCERTIDUMBRE Y RIESGO

TOMA DE DECISIÓN BAJO MODELOS DE CERTIDUMBRE

En los procesos de decisión bajo certidumbre se supone que el verdadero estado

de la naturaleza es conocido por el decisor antes de realizar su elección, es

decir, puede predecir con certeza total las consecuencias de sus acciones. Esto es

equivalente a considerar n =1 en la descripción de la tabla de decisión, dando

lugar a siguiente tabla trivial:

Estado de la Naturaleza

Alternativas e1

a1 x11

a2 x21

. . . . . .

am xm1

Conceptualmente, la resolución de un problema de este tipo es inmediata: basta

elegir la alternativa que proporcione un mejor resultado, es decir:

Se selecciona como alternativa óptima aquella alternativa ak tal que xk1 = max {xi1 : 1im}

El problema de decisión se reduce, por tanto, a un problema de optimización, ya

que se trata de escoger la alternativa que conduzca a la consecuencia con mayor

valor numérico asociado.

Básicamente, un problema de optimización puede expresarse en forma compacta como sigue:

max { f(x) : x ÎS}donde:

S es el conjunto de alternativas o conjunto factible. Se trata de un

subconjunto del espacio euclídeo Ân, que puede contener un número finito o

infinito de elementos.

f: S Â es la denominada función objetivo, que asigna a cada alternativa una

valoración, permitiendo su comparación.

x representa el vector n-dimensional que describe cada elemento del conjunto

factible. Cada una de sus componentes recibe el nombre de variable de decisión.

TOMA DE DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE

En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los

posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre

cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se

presentará, sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta

incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo

probabilística sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado.

REGLAS DE DECISIÓN

A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de

incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción

del hotel.

Criterio de Wald

Criterio Maximax

Criterio de Hurwicz

Criterio de Savage

Criterio de Laplace

1.- CRITERIO DE WALD

Bajo la alternativa ai, el peor resultado posible que puede ocurrir tiene una valor

para el decisor dado por:

El valor si se denomina nivel de seguridad de la alternativa ai y representa la

cantidad mínima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa.

En 1950, Wald  sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le

proporcione el mayor nivel de seguridad posible, por lo que S(ai)=si. Así, la regla

de decisión de Wald resulta ser:

 

Este criterio recibe también el nombre de criterio maximin, y corresponde a un

pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al

decisor cuando elige una alternativa.

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las

recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes

alternativas:

Alternativas

Terreno comprado

Estados de la Naturaleza

Aeropuerto en A

Aeropuerto en B si

A 13 - 12 -12

B - 8 11 -8

A y B 5 - 1 -1

   Ninguno  0 0 0

La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los

terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.

2.- CRITERIO MAXIMAX

Bajo la alternativa ai, el mejor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor

para el decisor dado por:

El valor oi se denomina nivel de optimismo de la alternativa ai y representa la

recompensa máxima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa.

El criterio maximax  consiste en elegir aquella alternativa que proporcione el mayor

nivel de optimismo posible, por lo que S(ai)=oi. Esta regla de decisión puede

enunciarse de la siguiente forma:

Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone

que la naturaleza siempre estará de su parte,  por lo que siempre se presentará el

estado más favorable.

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las

recompensas obtenidas junto con los niveles de optimismo de las diferentes

alternativas:

Alternativas

Terreno comprado

Estados de la Naturaleza

Aeropuerto en A

Aeropuerto en B oi

      A   13 - 12   13

B - 8 11 11

A y B 5 - 1 5

Ninguno 0 0 0

La alternativa óptima según el criterio maximax sería comprar la parcela en la

ubicación A, pues proporciona el mayor de los niveles de optimismo.

3.- CRITERIO DE HURWICZ

Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald y el criterio maximax.

Dado que muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas u optimistas

como sugieren dichos criterios, Hurwicz (1951) considera que el decisor debe

ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada de los niveles de

seguridad y optimismo:

donde es un valor específico elegido por el decisor y aplicable a cualquier

problema de decisión abordado por él, por lo que T(ai) = si + (1-oi. Así, la

regla de decisión de Hurwicz resulta ser:

 

 

Los valores de próximos a 0 corresponden a una pensamiento

optimista, obteniéndose en el caso extremo =0 el criterio maximax.

Los valores de próximos a 1 corresponden a una pensamiento

pesimista, obteniéndose en el caso extremo =1 el criterio de Wald.

4.- CRITERIO DE SAVAGE

En 1951 Savage  argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección,

el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza

con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza

bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por

el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser

comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo

estado de la naturaleza. 

Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de

oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de

la mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el

resultado de la alternativa ai bajo el estado ej:

Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor elige

la alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de

ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces obtendría como

ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj.

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las

mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que

puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai,

el criterio de Savage resulta ser el siguiente:

Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe

calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada

columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo

de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella. 

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la

matriz de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las

alternativas.

Alternativas

Terreno comprado

Estados de la Naturaleza

Aeropuerto en A Aeropuerto en Bi

   A 0 23 23

  B 21 0 21

     A y B 8 12 12

Ninguno 13 11 13

El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es 13;

al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las

pérdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma

forma, el máximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta

cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij

correspondientes al estado de la naturaleza Aeropuerto en B. Como puede

observarse, el valor i menor se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la

decisión óptima según el criterio de Savage sería comprar ambas parcelas.  

TOMA DE DECISIÓN BAJO RIESGO

Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede

asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza,

probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del

proceso de toma de decisiones.

REGLAS DE DECISIÓN

Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en

estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos

de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que

otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes

peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones. 

Representaremos por R(ai) los resultados asociados a la alternativa ai, y por P(ai)

la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el

conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los

diferentes estados de la naturaleza:

R xi1 xi1 . . . xi1

P p1 p2 . . . pn

Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en

ambiente de riesgo  son:

Criterio del valor esperado

Criterio de mínima varianza con media acotada

Criterio de la media con varianza acotada

Criterio de la dispersión

Todos estos criterios serán aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya

tabla de resultados figura a continuación:

Decisión bajo riesgo: Ejemplo

   Estados de la Naturaleza

 Alternativas e1 e2 e3 e4

 a1 11 9 11 8

  a2 8 25 8 11

  a3 8 11 10 11

Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1

1.- CRITERIO DEL VALOR ESPERADO

El resultado o valor esperado para la alternativa ai, que notaremos E[R(ai)], viene

dado por:

por lo que el criterio del valor esperado resulta ser:

Obsérvese que esta regla de decisión es una generalización del criterio de

Laplace en la que desaparece el requisito de equiprobabilidad para los diferentes

estados de la naturaleza.  

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra

el resultado esperado para cada una de las alternativas.

Criterio del valor esperado

   Estados de la Naturaleza

 Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)]

  a1 11 9 11 8 10.3

       8 25 8 11 11.7

  a3 8 11 10 11 9.9

Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1

La alternativa óptima según el criterio del valor esperado sería a2, pues

proporciona el máximo de los valores esperados.

2.- CRITERIO DE MÍNIMA VARIANZA CON MEDIA ACOTADA

Para la utilización de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a

cuyo valor esperado E[R(a)] sea mayor o igual que una constante K fijada por el

decisor. Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta condición se

determina la varianza V[R(ai)] de sus resultados, 

y se selecciona la que presente menor varianza, de esta forma se consigue la

elección de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que

proporciona, por término medio, un resultado no demasiado pequeño. En

resumen, el criterio de mínima varianza con media acotada es el siguiente:

 

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra

el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.

Criterio de mínima varianza con media acotada

   Estados de la Naturaleza

 Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V

     a1 11 9 11 8 10.3 1.21

  a2 8 25 8 11 11.7 45.01

  a3 8 11 10 11 9.9 1.09

Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1

Si el decisor selecciona un valor 10 para la constante K, quedaría excluida del

proceso de decisión la alternativa a3, que es la que posee menor varianza.

Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a1, pues es la que

posee menor varianza entre las que cumplen la condición E[R(ai)]³01.

3.- CRITERIO DE LA MEDIA CON VARIANZA ACOTADA

Para la utilización de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a

cuya varianza V[R(a)] sea menor o igual que una constante K fijada por el decisor.

Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta condición se determina el

valor esperado E[R(ai)] de sus resultados, 

y se selecciona la que presente mayor valor esperado, de esta forma se consigue

la elección de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que

proporciona, por término medio, un buen resultado. En resumen, el criterio de la

media con varianza acotada es el siguiente:

 

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra

el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.

Criterio de la media con varianza acotada

   Estados de la Naturaleza

 Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V

     a1 11 9 11 8 10.3 1.21

  a2 8 25 8 11 11.7 45.01

  a3 8 11 10 11 9.9 1.09

Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1

Si el decisor selecciona un valor 20 para la constante K, quedaría excluida del

proceso de decisión la alternativa a2, que es la que posee mayor valor esperado.

Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a1, pues es la que

posee mayor valor esperado entre las que cumplen la condición V.

4.- CRITERIO DE DISPERSIÓN

Para cada alternativa ai se calcula el siguiente valor medio corregido:  

donde K es una valor fijado por el decisor, y se selecciona la de mayor valor

resultante. De esta forma se consigue limitar la influencia de alternativas con un

valor esperado grande, pero también alta variabilidad. Por tanto, el criterio de

dispersión puede resumirse de la siguiente forma:

 

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla

muestra, para cada una de las alternativas, el valor esperado, la varianza y el valor

esperado corregido correspondiente a un factor K=2. 

Criterio de dispersión

   Estados de la Naturaleza

 Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V CR

     a1 11 9 11 8 10.3 1.21 8.10

  a2 8 25 8 11 11.7 45.01 -1.72

  a3 8 11 10 11 9.9 1.09 7.81

Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1

La alternativa óptima según el criterio de dispersión sería a1, pues proporciona el

máximo de los valores corregidos.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/certidumbre.htm

1.4 TOMA DE DECISONES BAJO RIESGO

Decisiones Bajo Riesgo

     En la toma de decisiones se puede dar un  ambiente de riesgo cuando cada decisión tomada puede traer innumerables consecuencias a las que puede asignarse una distribución de probabilidad conocida, estas decisiones están caracterizadas porque puede asociarse una probabilidad de que algo ocurra a cada estado de la naturaleza como consecuencia de la decisión tomada, estas probabilidades  son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones.

      Los criterios que se toman en cuenta en una decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados, es decir que se tiene más o menos la idea de lo que puede suceder si se toma tal decisión. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas que serían las más apropiadas o que se cree que arrojara el mejor resultado posible, considerando las restantes peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones.

     Es de suponer que el riesgo implica cierto grado de incertidumbre y la habilidad para controlar plenamente los resultados o consecuencias de dichas acciones. El riesgo o la eliminación del mismo es un esfuerzo que los gerentes deben realizar. Sin embrago, en algunos casos la eliminación de cierto riesgo podría incrementar riesgos de otra índole. El manejo efectivo del riesgo requiere la evaluación y el análisis del impacto subsiguiente del proceso de decisión. Este proceso permite al tomador de decisiones evaluar las estrategias alternativas antes de tomar cualquier decisión. El proceso de decisión se describe a continuación:

         1.      El problema esta definido y todas las alternativas confiables han sido consideradas. Los resultados posibles para cada alternativa son evaluados.          2.      Los resultados son discutidos de acuerdo a su reembolso monetario o de acuerdo a la ganancia neta en activos o con respecto al tiempo.          3.      Varios valores inciertos son cuantificados en términos de probabilidad.

         4.      La calidad de la estrategia óptima depende de la calidad con que se juzgue. El tomador de decisiones deberá examinar e identificar la sensibilidad de la estrategia optima con respecto a los factores cruciales

1.5ENFOQUE CUANTITATIVO EN LA TOMA DE DECISIONES

La incertidumbre se presenta como uno de los factores más preocupantes a la hora de tomar decisiones en el marco de las empresas. Además, el contexto actual de crisis refuerza esta situación hasta el hecho de tener que llevar a cabo acciones vinculadas a la necesidad de establecer políticas gestión incertidumbre.

No obstante, y fruto de la necesidad de gestionar dichas necesidades en a la hora de tomar decisiones, las empresas ponen a su servicio herramientas clave como los métodos cuantitativos a la hora de luchar contra la incertidumbre ¿Qué es un método cuantitativo? Un método cuantitativo podría definirse como aquellos modelos matemáticos puesto al servicio de los procesos de resolución de problemas de un modo racional y científico. No es necesario decir que en la mayoría de los casos, muchos de los elementos que definen una toma de decisiones están sujetos a factores subjetivos y que requieren de análisis que pueden ir más allá de los números o de los datos empíricos. No obstante, el contar con dichos métodos permite analizar, evaluar y determinar aquellos datos contenidos y que se refieren a algún tipo de problema  u objetivo. De este modo, a los elementos subjetivos se les añade la seguridad y el rigor de toda aquella información que se puede obtener gracias a las magnitudes cuantitativas que incorporamos al proceso de toma de decisiones.Dichos métodos respaldan la aplicación de objetivos y de aquellos métodos propios de las ciencias naturales a las ciencias sociales. De este modo, los ámbitos de carácter social son transformados en hechos observables y propicios para su medición y análisis estadístico.

El mundo empresarial, las decisiones y los métodos cuantitativosComo ya se ha apuntado anteriormente el mundo de los negocios se ve abrumado por un número infinito de decisiones que han de ser tomadas a cada momento y que, en gran medida, determinarán el rumbo que tomen las empresas. De este modo, la información que se obtiene debe ser rica, variada y relevante, a la vez que debe provenir de diversas fuentes y a través de formas distintas (verbales, estadísticas, datos, etc.)

Y dentro de este ámbito, los métodos cuantitativos se tornan como algunas de las herramientas más confiables a la hora de basar una decisión gracias a su capacidad de gestionar,  procesar y analizar datos de manera rápida y eficaz

1.6 LA UTILIDAD COMO CRITERIO

LA UTILIDAD COMO UN CRITERIO DE DESICIÓN.La figura siguiente ilustra lo que un individuo quien es un buscador de riesgo, tiene la forma opuesta de la curva de utilidad. Con esta decisión se consigue obtener más utilidad de un gran riesgo y altísimo potencial de pago. Así como el valor monetario se incrementa sobre su propia curva de utilidad, la utilidad se incrementa a una tasa incrementada. Una persona que es indiferente al riesgo tiene una curva de utilidad que va en línea recta. La forma de una curva de utilidad de una persona depende de la decisión específica siendo considerada, al cuadro psicológico de la persona, y como la persona siente el futuro. Esto bien puede ser que usted tiene una curva deutilidad por algunas situaciones, usted enfrenta y complementa curvas diferentes por otras. Después de haber determinado una curva de utilidad, los valores de utilidad de la curva  son  usados  en la toma de decisiones. Resultados monetarios son reemplazados con los valores apropiados de utilidad y después el análisis de decisión es puesto en marcha como es usual. Miremos un ejemplo donde un árbol de decisión es usado y los valores de utilidad esperados son computados en la selección de la mejor alternativa.2 PREFERENCIAS POR EL RIESGO.

 Marco Márquez ama el riesgo. El decide jugar un extraño juego nuevo que supone tirar chinches en el aire. Si el punto sobre el chinche cae hacia arriba, Marco gana

$10.000.Si el punto del chinche cae hacia abajo, Marco pierde$10.000.Debe Marco jugar el juego, alternativa 1; ¿o debe no jugarlo, alternativa 2?

Por lo tanto, la alternativa 1 es la mejor estrategia usando la utilidad como un criterio de decisión. Si EMV ha sido usado, la alternativa 2 sería la mejor estrategia. La curva de utilidad es un buen buscador de riesgo de la curva de utilidad, y la escogencia de jugar el juego realmente refleja su preferencia por el riesgo.

 USANDO LA UTILIDAD ESPERADA EN TOMA DE DECISIONESCualquier problema que pueda ser presentado en una tabla de decisión, también puede ser ilustrado gráficamente en un árbol de decisión. Retomemos el caso de la compañía la Cafetera, recordamos que Amazonas estaba tratando de tomar una decisión  para expandir sus operaciones construyendo una planta nueva de almacenamiento. Un árbol de decisión simple para representar la decisión de la Cafetera se muestra en la figura siguiente. Obsérvese que en el árbol se presenta la decisión y resultados en un orden secuencial. Primero la Cafetera decide si construye una planta grande, pequeña o no la construye.  Una vez que la decisión es tomada, los posibles resultados (favorable y desfavorable mercado) podrán ocurrir. Todos los árboles de decisión son similares en que ellos contienen puntos de decisión y puntos donde el árbol de divide. Estos símbolos son:

 Analizando problemas con árboles de decisión envuelven 5 pasos: 

Definir el problema.

Diseñar el árbol de decisión.

Asignar probabilidades a las condiciones naturales.

Estimar los resultados para cada combinación posible de alternativas condiciones naturales.

Resolver el problema computando los valores monetarios esperadospara cada punto de condiciones naturales. Esto se realiza trabajando hacia atrás, esto es, empezando a la derecha del árbol e ir avanzando hacia atrasen los puntos de decisión en la izquierda. Por medio del árbol de decisión completo y resuelto para la Cafetera se puede observar que los gastos están ubicados al lado derecho de las ramas del árbol. Las probabilidades (usadas por la Cafetera) son ubicadas en paréntesis al lado de cada condición natural. Los valores monetarios esperados para cadacondición natural son después calculados y ubicados en sus respectivospuntos. El valor monetario esperado para el primer punto es $10.000.Estos representan las

ramas de los puntos de decisión para construir una planta grande. El valor monetario esperado, para construir una planta pequeña$40.000. No construir una planta o no hacer nada, por supuesto el gasto es 0.Elbrazo que tiene el punto con el más alto valor monetario esperado debería seres cogido. En el caso de la Cafetera, a una planta pequeña debe ser construida.

UNIDAD 2

PROGRAMACIÓN LINEAL

2.1 INTRODUCCION A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Naturaleza De La Investigación De Operaciones

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella. Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la “optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones. Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las

habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.

Impacto De La Investigación De Operaciones

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación de operaciones.

Riesgo Al Aplicar La Investigación  De Operaciones

Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

¿Qué Es La Investigación De Operaciones?

Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos dos de las mas aceptadas y representativas.  

LA DEFINICIÓN DE CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ES LA APLICACIÓN, POR GRUPOS

INTERDISCIPLINARIOS, DEL MÉTODO CIENTÍFICO A PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL CONTROL DE LAS ORGANIZACIONES O SISTEMAS (HOMBRE-MÁQUINA), A FIN DE QUE SE PRODUZCAN SOLUCIONES QUE MEJOR SIRVAN A LOS OBJETIVOS DE LA ORGANIZACIÓN.

De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:

1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.

2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de auto corrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos.

3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.

4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:

La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.

 En Relación A Ésta Definición Deben Destacarse Los Siguientes Aspectos: 

1.- Generalmente se asocian los conceptos de dirección y administración a las empresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto más amplio, es algo que utiliza hombres, máquinas, materiales y dinero con un

propósito específico; desde éste punto de vista, se considera como empresa desde una universidad hasta una armadora de automóviles.

2. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el científico debe representarlo en términos de los conceptos que maneja, lo hace expresando todos los rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemáticas. A esta representación formal se le llama modelo.

3. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir el futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que se puede esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo que permite valorar su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema se pueden tomar cursos de acción agrupados en tres categorías: A) Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte de ella a una nueva ruta;   B)  Realizar  un  plan  de  toma  de  decisiones; C) Instalar estrategias que generen decisiones. Cuando se aplica alguno de estos remedios, la investigación de operaciones nos ayuda a determinar la acción menos vulnerable ante un futuro incierto.

4. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de apoyar al tomador de decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su función basado en estudios científicamente fundamentados.

Historia: Orígenes De La Investigación De Operaciones

  La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o cuantitativo.

El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución. La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro.

En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los

métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.

En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten. En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar sus decisiones. Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles de millones de pesos. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es las tendencia de muchas de las componentes de una organización a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo que es mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones

antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico.

Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.

Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década de 1950.

Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tiene acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama e computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.

Enfoque De La Investigación De Operaciones:

La parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de sus creadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergía generada al combinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente.

1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema interactuan normalmente un gran numero de variables.

2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema real.

3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante las utilización de funciones matemáticas.

4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o mas de las técnicas desarrolladas por la IO.

5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Además se ajusta los detalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador de decisiones.

6. Se implanta la solución en el sistema real.

 

http://www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/uno.html

2.2 FORMULACION Y APLICACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemáticos.

El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar.

Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales será establecido. Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo: a) la medida de efectividad

que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo; b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. De esta manera, indica con más claridad que datos adicionales son importantes para el análisis. También facilita simultáneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para poder emplear técnicas matemáticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para muchos tipos de modelos matemáticos, para micro y minicomputadoras.

Por otro lado, existen obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un modelo es, necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representación válida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante  preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se haya colocado después en el orden del libro, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo durante la etapa de construcción para que sirva de guía en la obtención del modelo matemático.

OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO

Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la

efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.

La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo. Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de ser iterativos, es decir buscan la solución en base a la repetición de la misma regla analítica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximación.

PRUEBA DEL MODELO

El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, después de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programación) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunas fallas ocultas en el programa (y quizá nunca se detecten, se habrán eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable utilizarlo. De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la comunicación y la compresión de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, después de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo.

Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces, después de completar los detalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias. El grupo que hace esta revisión debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que no haya participado en la formulación. Al examinar de nuevo la formulación del

problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o a su mínimo.

Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. La comparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, el emplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción.

Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la investigación de operaciones.

ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCION

Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parámetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situación

se vuelve más factible cuando algunos de los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.

IMPLANTACION DE LA SOLUCION

El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se debe traducir la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operación y administración del sistema. La etapa de implantación de una solución se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participación de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodología. Preparación para la aplicación del

modelo Esta etapa es crítica, ya que es aquí, y sólo aquí, donde se cosecharán los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto en la solución que salga a la luz en este momento.

El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administración como la gerencia operativa. Es más probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la administración bien informada y ha fomentado la guía de la gerencia durante el estudio. La buena comunicación ayuda a asegurar que el estudio logre lo que la administración quiere y por lo tanto merezca llevarse a la práctica. También proporciona a la administración el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyo para la implantación.

La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigación de operaciones de una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro.

A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operaciones documento su metodología con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una réplica debe ser parte del código de ética profesional del investigador de operaciones. Esta condición es crucial especialmente cuando se estudian políticas gubernamentales en controversia.

1. ¿Qué es la Programación Lineal?. 

En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, etc, se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. De la solución de estos problemas se encarga la Programación Lineal. 

En este tema estudiaremos el caso más fácil: Programación Lineal con dos variables. Veamos un ejemplo: 

Un laboratorio de farmacia fabrica dos complejos vitamínicos constituidos ambos por vitamina A y vitamina B. El primero está compuesto por 2 unidades de

vitamina A y 2 unidades de vitamina B y el segundo por 1 unidad de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Sabiendo que sólo se dispone de 1000 unidades de vitamina A y 1800 unidades de vitamina B y que el beneficio del primer complejo es de 400 pesetas y el del segundo 300 pesetas. Hallar el número de complejos vitamínicos de cada tipo que deben fabricarse para obtener un beneficio máximo. ¿Cuál será dicho beneficio máximo?.

En primer lugar es conveniente resumir los datos en una tabla:

 

C1 C2 Disponible

Vitamina A 2 1 1000

Vitamina B 2 3 1800

Beneficio 400 300

Ahora planteamos el problema:

1. Nombrar las incógnitas: x= número de complejos C1 ; y= número de complejos C2

2. Función objetivo ( función que queremos que sea máxima o mínima) en nuestro caso las Ganancias que hay que maximizar:

3. Las restricciones del problema que vienen dadas por las 4. inecuaciones: 

2.- Resolución del Problema

1. Representamos gráficamente las restricciones. Los puntos que cumplen todas las restriciones se llaman Soluciones Factibles

2.

1.- Utilizando lo aprendido en la página de INECUACIONES representa las restricciones.

2.- Para recordarlo, aumentando el valor del control S se van representando sucesivamente todas las restricciones.

3.- Para ver todo el proceso pulsa animar.

4.- Traslada todo esto a tu cuaderno y tendrás el conjuto de Soluciones Factibles (el recinto turquesa)

3. Buscamos la solución óptima que es la solución factible que hace máxima la función objetivo.(Se puede demostrar que la función objetivo alcanza el máximo ó mínimo en alguno de los vértices del recinto). Existen dos métodos para encontrarla:

4.

0. Método Analítico. Se calcula el valor de la función en cada uno de los vértices para ver cual es el valor máximo ó mínimo:

b. Máx.

Solucióna. Método Gráfico. Se representa la recta de la función

objetivo, se trazan rectas paralelas a ella que pasen por cada uno de los vértices y se observa cual de las rectas trazadas tiene mayor o menor ordenada en el origen. En nuestro caso la solución es B.

El beneficio máximo que se alcanza en el punto B será :

2.

MÉTODO ANALÍTICO

1.- Con el punto rojo selecciona puntos del conjunto de  soluciones factibles y observa el valor que va tomando la función objetivo.

2.- Repite la operación pero probando con puntos de los bordes y vértices del recinto. (Puedes introducir directamente las coordenadas de P.x y P.y)

3.- ¿En que punto se alcanza el valor máximo?.

MÉTODO GRÁFICO

4.- Traza rectas paralelas a la función objetivo que pasen por cada uno de los vértices del recinto. Puedes hacerlo usando el control S.

5.- El vértice por el que pasa la recta que tenga mayor ordenada en el origen es la solución

http://www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/uno.html

2.3 METODO GRAFICO

La PL es una técnica mediante la cual se toman decisiones, reduciendo el problema bajo estudio a un modelo matemático general, el cual debe ser resuelto por métodos cuantitativos.

En desarrollo de este capítulo se aplicarán la solución de dichos modelos aplicando diversas técnicas como: el método gráfico, método simplex, método matricial, técnica de la gran M.

Además se desarrollara la aplicación de variables artificiales y obtención de soluciones para identificar a que tipo de clasificación pertenecen. Por medio de dichos modelos de solución se podrá obtener las solución adecuada para cada problema y facilitar la toma de decisiones.

Método gráfico.

El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.

El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.

Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.

Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:

3. graficar las soluciones factibles, o el espacio de  soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.

4. Las restricciones de no negatividad  Xi>= 0 confían todos los valores posibles.

5. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

6. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

7. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

8. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

9.Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

Ejemplo. Maximizar    Z  =  3X1 + 2X2 restricciones :            X1   + 2X2  <=6       (1)

                                 2X1  +  X2   <=8       (2)                                   -X1  + X2    <=1       (3)                                               X2   <= 2       (4)                                      X1    >= 0       (5)                                               X2   >= 0       (6)

Convirtiendo las restricciones a igualdad y representándolas gráficamente se tiene:

  X1 + 2X2  = 6       (1) 2X1  +  X2  = 8       (2) -X1  +  X2  = 1       (3)             X2  = 2       (4)  X1  = 0       (5)             X2  = 0       (6)  

Figura 1  Espacio de solución presentada con WinQsb

Figura 2 Determinación de soluciones

Maximizar    Z  =  3X1 + 2X2

                            Punto           (X1, X2)                   Z                                A                 (0, 0)                     

0                                B                 (4, 0)                     12                                C              (3.3, 1.3)              12.6  ( óptima )                                D                (2, 3)                      12                                E                (1, 3)                       9                                F                (0, 2)                       4

                                     Tabla 2.  Solución Método Gráfico

Para obtener la solución gráfica, después de haber obtenido el espacio de solución y graficada la función objetivo el factor clave consiste en decidir la dirección de mejora de la función objetivo.

http://www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/metodos.html#grafico

2.4METODO SIMPLEX

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas

de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los

resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

 

El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en

cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste

en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente

o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar),

dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito

siempre se hallará solución.

2.4.1 METODO ALGEBRAICO

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: 

Maximizar

Z= f(x,y)= 3x + 2y

sujeto a: 2x + y  18

2x + 3y  42

3x + y  24

x 0 , y 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 

2x + y + h = 182x + 3y + s = 423x +y + d = 24

2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: 

Tabla I . Iteración nº 1

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x Y h s d

h 2 1 1 0 0 18

s 2 3 0 1 0 42

d 3 1 0 0 1 24

Z -3 -2 0 0 0 0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado).

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso:      18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de

holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado).

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.    

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. 

También se puede hacer utilizando el siguiente esquema:

Fila del pivote:

Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)

Resto de las filas:

Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)

Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):

Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42- - - - - -

Coeficiente 2 2 2 2 2 2x x x x x x

Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8= = = = = =

Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26

 

Tabla II . Iteración nº 2

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x Y h s d

h 0 1/3 1 0 -2/3 2

s 0 7/3 0 1 -2/3 26

x 1 1/3 0 0 1/3 8

Z 0 -1 0 0 1 24

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: 

Tabla III . Iteración nº 3

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x Y h s d

y 0 1 3 0 -2 6

s 0 0 -7 0 4 12

x 1 0 -1 0 1 6

Z 0 0 3 0 -1 30

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla: 

Tabla IV . Final del proceso

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x Y h s d

y 0 1 -1/2 0 0 12

d 0 0 -7/4 0 1 3

x 1 0 -3/4 0 0 3

Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima.

Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12) 

* Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by  c; multiplicándolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by  - c y estamos en el caso anterior

* Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son negativos

 

  Interpretación geométrica del método del simplex 

Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura.

En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice A(0,0), siendo este 0.

A continuación se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B.  Este paso aporta la Tabla II.

En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(8,0): Z=f(8,0) = 24

Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III.

En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(6,6) : Z=f(6,6)=30.

Continua haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta llegar al vértice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV.

Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solución no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice D).

Si calculas el valor de la función objetivo en el vértice E(0,14), su valor no supera el valor 33.

http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm

2.4.2 LA TABLA SIMPLEX

La resolución de programas lineales mediante el método Simplex implica la realización de gran cantidad de cálculos, sobre todo cuando el número de variables y/o restricciones es relativamente elevado. Sin embargo, estos cálculos no son complejos y pueden realizarse en modo sistemático utilizando una forma tabular. Así surgen las conocidas como tablas del Simplex, que no son más que una forma de organizar los cálculos. Sobre las tablas del Simplex comentar que su interés es totalmente pedagógico, ya que en los casos reales la magnitud de los problemas que suelen aparecer hace que nadie las utilice de forma directa para resolverlos. En tales casos, ha de recurrirse al uso del computador.

Para aplicar el método Simplex en forma de tabla a un problema de la forma:

min cxAx=b con b >= 0x >= 0

en primer lugar se construye la tabla siguiente:

c1 c2 ... cncb1cb2...Cbm

xb1xb2...Xbm

b1b2...bm

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...... ... ... ...... ... ... ...am1 am2 ... amn

v y1 y2 ... ymz1 z2 ... zm

Tabla del Simplex

Donde:

v es el producto escalar de los vectores (cb1,cb2,...,cbm) y (b1,b2,...,bm) yk es el producto escalar de los vectores (cb1,cb2,...,cbm) y

(a1k,a2k,...,amk) para k=1,2,...m. zk=ck-yk para k=1,2,...,m.

Observar la forma en que se construye esta tabla:

En la primera fila de la tabla se colocan los coeficientes de las variables en la función objetivo.

En las tres primeras columnas aparecen los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo, las variables básicas iniciales y el vector de términos independientes de las restricciones, respectivamente.

La parte central de la tabla está formada por la matriz de coeficientes A. Los elementos de la penúltima fila son los productos escalares del vector de

la primera columna con los vectores de la tabla que quedan encima de cada uno de esos elementos.

Finalmente, en la última fila aparece la diferencia de las filas primera y penúltima.

Cada tabla del Simplex está asociada a una solución básica factible. De forma que, una vez construida la tabla inicial, deben establecerse las reglas que permitan obtener las tablas asociadas a las siguientes soluciones básicas, así como saber la solución básica que lleva asociada cada tabla. Además es necesario saber cuando una tabla corresponde a la solución óptima, esto último se consigue analizando los signos de la última fila de la tabla:

Si todos los elementos de la última fila de la tabla son mayores o iguales que cero, el óptimo ha sido alcanzado.

Cuando alguno de los elementos de la última fila es negativo, el valor óptimo puede mejorarse y por tanto debe construirse una nueva tabla de la manera siguiente:

Se selecciona de la última fila el elemento negativo de mayor valor absoluto. La variable correspondiente al índice del zi seleccionado es la que pasará a ser básica.

Para saber a que variable básica sustituye, se dividen los valores de la tercera columna entre los valores positivos de la columna de A seleccionada en el paso anterior (la que corresponde al elemento negativo de mayor valor absoluto). En caso de no existir valores positivos, puede asegurarse que el problema no tiene óptimo finito.

De todos los cocientes calculados se selecciona el mínimo, el elemento de la matriz A que ha servido para construir ese valor mínimo es el que actuará como pivot y la variable de la segunda columna de la tabla en la posición de la fila del pivot es la que deja de ser básica.

Mediante transformaciones elementales de filas sobre el bloque central de la tabla (el bloque de fondo amarillo en la tabla) se llega a transformar en 1 el pivot y anular los restantes elementos de la correspondiente columna. Las únicas transformaciones que son permitidas son:

o Multiplicar por constantes la fila que contiene el pivot. o Sumar o restar a una fila un múltiplo de la fila que contiene el pivot.

Intercambiar las variables básicas en la segunda columna al mismo tiempo que se modifica el correspondiente elemento de la primera columna.

Calcular los nuevos valores de las dos últimas filas de la tabla de acuerdo a las instrucciones ya indicadas.

Se repiten todos estos procesos y se van transformando las tablas hasta que el test de parada sea positivo (todos los elementos de la última fila mayores o iguales que cero) en cuyo caso se tiene:

El óptimo se alcanza en el punto cuyas coordenadas son nulas excepto las correspondientes a las variables básicas, cuyos valores aparecen en la tercera columna de la tabla óptima.

El valor de la función en el óptimo es el que aparece en el último elemento de esa misma columna

Todas las tablas que se van obteniendo tienen dos características en común: los elementos de la tercera columna son todos ellos mayores o iguales que cero, salvo el último (el que indica el valor de la función objetivo) que pudiera ser negativo. Por otro lado, las columnas de A asociadas a las variables básicas siempre forman una matriz identidad.

Analizando más en profundizar cada una de las etapas expuestas, se puede comprobar la correspondencia con el método Simplex enunciado de una forma más teórica anteriormente. Por supuesto, la mejor manera de comprender la

resolución mediante tablas es con ejemplos particulares; a continuación se exponen dos de estos ejemplos.

Ejemplo:

 Programa lineal Tabla Inicial

min 2x1-x2-x1+x2+x3=22x1+x2+x4=6x1,x2,x3,x4 >= 0

2 -1 0 000

x3x4

26

-1 1 1 0 2 1 0 1

0 0 0 0 0 2 -1 0 0

Se toman como variables básicas x3 y x4 porque llevan asociadas como matriz de base la identidad.

El elemento señalado en color rojo en la tabla es el que actuará como pivot, ha sido determinado teniendo en cuenta que en la última fila de la tabla solo hay un elemento negativo; tras esto se debe calcular min{2/1,6/1}, dicho mínimo se obtiene a partir del pivot.

La posición del pivot dentro de la tabla indica:

La variable x3 dejará de ser básica. La variable que la sustituye es x2

Para construir la siguiente tabla, han de realizarse operaciones elementales sobre las filas del bloque central hasta conseguir que el pivot sea 1 y los restantes elementos de su columna sean 0. En este caso el pivot ya tiene el valor 1, para anular el otro elemento de la columna basta restar a la segunda fila la primera. Tras estas manipulaciones, se sustituye la variable x3 por x2 y el valor 0 de la primera columna de la tabla por c2=-1. A continuación se realizan las operaciones que definen los elementos de las dos últimas filas de la tabla para completar la segunda tabla del algoritmo.

Segunda Tabla 2 -1 0 0

-1 0

x2x4

24

-1 1 1 0 3 0 -1 1

-2 1 -1 -1 0 1 0 1 0

Como puede observarse, la última fila de la tabla está formada por elementos mayores o iguales que cero todos ellos, lo que significa que se ha alcanzado un óptimo. En concreto, el óptimo se alcanza sobre el punto

x1=0 x2=2 x3=0 x4=4

El valor óptimo es además -2 (últimos elementos de la tercera columna de la tabla).

Ejemplo:

 Programa lineal Formulación estándar

min -x1-x2-x1+x2 <= 2x1+2x2 <= 62x1+x2 <= 6x1,x2 >= 0

min -x1-x2-x1+x2+x3 = 2x1+2x2+x4 = 62x1+x2+x5 = 6x1,x2,x3,x4,x5 >= 0

Las variables x3, x4 y x5 tienen como matriz de base a la identidad, de forma que pueden tomarse como variables básicas iniciales. Aplicando el algoritmo Simplex, en tres tablas se obtiene el óptimo:

 Tabla Inicial Segunda Tabla

-1 -1 0 0 0000

x3x4x5

266

-1 1 1 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0-1 -1 0 0 0

-1 -1 0 0 0 0 0-1

x3x4x1

533

0 3/2 1 0 1/20 3/2 0 1 -1/21 1/2 0 0 1/2

-3 -1 -1/2 0 0 -1/2 0 -1/2 0 0 1/2

 Tercera Tabla Optimo

-1 -1 0 0 0 0-1-1

x3x2x1

222

0 0 1 -1 1 0 1 0 2/3 -1/3 1 0 0 -1/3 2/3

-4 -1 -1 0 -1/3 -1/3 0 0 0 1/3 1/3

x1=2x2=2x3=2x4=0x5=0

Valor óptimo = -4

Cada tabla del Simplex lleva asociado un punto cuyas coordenadas se obtienen en la tercera columna para sus variables básicas y son nulas el resto. En la siguiente figura se encuentra representado el espacio de soluciones factibles del problema, indicándose además los vértices correspondientes a cada una de las tres tablas obtenidas.

Uso de variables artificiales

No siempre es posible en la tabla del Simplex disponer de un conjunto de vectores que, convenientemente ordenados, formen la matriz identidad. Una forma de

conseguirlo es añadir unas nuevas variables al problema que se conocen como variables artificiales. Una vez que el problema lineal se encuentra en su forma estándar (introduciendo si es necesario las variables de holgura), se suman estas variables artificiales a las restricciones necesarias para poder obtener una matriz básica igual a la identidad. Lógicamente para que estas variables introducidas no afecten a la solución del problema, lo deseable es que dejen de ser básicas rápidamente y de esta manera se anulen. La forma de conseguirlo es añadiéndolas a la función objetivo con un coeficiente muy alto positivo (se le puede representar por M). De esta manera, para minimizar la función objetivo deben anularse estas variables, con lo que en alguna de las iteraciones del método Simplex las variables artificiales dejan de ser básicas y a partir de ese momento puede prescindirse de ellas.

El siguiente ejemplo trata de ilustrar la forma de utilizar las variables artificiales para obtener una solución básica inicial con matriz de base igual a la identidad.

Ejemplo:

 Programa lineal Formulación estándar

min x1-x2x1+2x2 >= 62x1+x2 <= 64x1+x2= = 4x1,x2 >= 0

min x1-x2x1+2x2-x3 = 62x1+x2+x4 = 64x1+x2= = 4x1,x2,x3,x4 >= 0

De la matriz A del problema no se puede obtener una submatriz igual a la identidad. Podría por tanto, recurrirse a introducir dos variables artificiales x5 y x6. Observar como se introducen esas variables en la función objetivo con un coeficiente M que se supone muy grande. Además al añadir esas variables a la primera y tercera restricción se consigue, tomando como variables básicas x5, x4 y x6, una matriz básica igual a la identidad. Por la propia construcción, en el óptimo las variables artificiales se anularán y por tanto las restricciones no se verán afectadas por la modificación que supone añadirlas.

El problema tras introducir las variables artificiales sería:

min x1-x2+Mx5+Mx6x1+2x2-x3+x5 = 62x1+x2+x4 = 64x1+x2+x6= = 4x1,x2,x3,x4,x5,x6 >= 0

Y aplicando el método Simplex se obtiene el óptimo tras cuatro tablas:

Tabla Inicial 1 -1 0 0 M M

M0M

x5x4x6

664

1 2 -1 0 1 0 2 1 0 1 0 0 4 1 0 0 0 1

10M 5M 3M -M 0 M M1-5M -1-3M M 0 0 0

Para un valor muy grande de M los dos primeros elementos de la última fila de la tabla son negativos y de ellos es el primero el que tiene mayor valor absoluto, es por tanto en la primera columna en la que se busca el pivot.

Tras efectuar las correspondientes transformaciones, las sucesivas tablas son:

Segunda Tabla 1 -1 0 0 M M

M01

x5x4x1

541

0 7/4 -1 0 1 -1/4 0 1/2 0 1 0 -1/2 1 1/4 0 0 0 1/4

5M+1 1 (7M+1)/4 -M 0 M (-M+1)/4 0 (-7M-5)/4 M 0 0 (5M-1)/4

Obsérvese como una de las variables artificiales ha dejado de ser básica.

Tercera Tabla 1 -1 0 0 M M

-101

x2x4x1

20/718/72/7

0 1 -4/7 0 4/7 -1/7 0 0 2/7 1 -2/7 -3/7 1 0 1/7 0 -1/7 2/7

-18/7 1 -1 5/7 0 -5/7 3/7 0 0 -5/7 0 M+5/7 M-3/7

En la tercera tabla ya han desaparecido de la lista de variables básicas las dos artificiales. A partir de este momento puede prescindirse de las dos últimas columnas de la tabla, de forma que la siguiente tabla sería:

Cuarta Tabla 1 -1 0 0

-100

x2x4x3

422

4 1 0 0 -2 0 0 1 7 0 1 0

-4 -4 -1 0 0 5 0 0 0

Al no existir ningún valor negativo en la última fila, el óptimo ha sido encontrado en el punto correspondiente a:

x1=0 x2=4 x3=2 x4=2

siendo el valor óptimo del problema -4.

http://usuarios.lycos.es/royel/principal/10/

2.5 ANALISIS DE RESULTADO

Los resultados se analizaron en términos de la media de los errores agrupados por tipo de instancias y en forma global, para cada valor utilizado de y . El error se calcula como:

(4)

donde es el óptimo de la instancia para los problemas de la mochila con múltiples restricciones ( ); y es la cota de Dantzig (mirar por ej. [24]) para la versión clásica ( ).

En la Tabla 1 se muestra la media del error para cada valor de y cada , discriminado para las instancias y .

Tabla 1: Medias del Error en función de y para instancias con una restricción ( ) y con múltiples restricciones ( ).

Base Decremento Incremento

Instancia 1 2 3 4 2 3 4

MR 9.01 2.19 1.95 1.92 3.98 3.85 3.90

ST 6.86 4.58 3.87 3.58 4.73 4.28 4.11

Total 7.94 3.39 2.91 2.75 4.36 4.06 4.01

Se puede observar que tanto en forma global, como para cada tipo de instancia en

particular, las versiones del algoritmo que usan obtienen mejores resultados que los obtenidos con . Esto ocurre para los dos esquemas de adaptación de propuestos. También se verifica que para ambos 's, un incremento en el valor de permite reducir el error global (indicado en la columna ). Para el caso de decremento, resulta beneficioso comenzar las mejoras con un operador que cambie 4 bits. Cuando con 4 ya no se obtengan mejoras, se reduce a 3, luego a 2 y finalmente se realiza un ``ajuste fino'' con

. La adaptación de en sentido contrario también resulta beneficiosa, aunque para las instancias solo aparecen mejoras respecto a y no entre

los valores obtenidos cuando se utiliza .

Es interesante analizar cuanto contribuye cada operador a la obtención del resultado final. En la Figura 4 se muestran la cantidad de transiciones a soluciones aceptables (en promedio) que permitió obtener cada operador para cada valor de

. Los valores obtenidos se escalaron en el rango para mejorar la interpretabilidad. Naturalmente cuando , todas las mejoras se obtuvieron con . Es a partir de donde el análisis se vuelve interesante.

En los resultados correspondientes al que decrementa , se observa que

cuando , prácticamente un de la mejora se obtuvo con -BitFlip y

el restante porcentaje con . Cuando , el del progreso se debe

al uso de -BitFlip. Del restante , casi toda la mejora se realiza con -BitFlip.

Finalmente cuando , el operador -BitFlip es el responsable del de los pasos de mejora. La utilización de y -BitFlip completa prácticamente la

optimización aunque aparecen aproximadamente un de mejoras correspondientes a -BitFlip.

Para el caso de incrementos en , se observa que para un valor de ,

hasta un de mejora se puede conseguir con -BitFlip una vez que la búsqueda se estancó con -BitFlip. Para y , los gráficos muestran que

hasta un de la mejora corresponde a -BitFlip, pero luego los operadores subsiguientes pueden mejorar los óptimos locales encontrados.

(a)

(b)

Figura 4: Contribución promedio de cada operador BitFlip para cada valor de . En (a) resultados con administrador de operación decremento y en (b) con

incremento.

También se analizó la media de la cantidad de evaluaciones realizadas para encontrar el mejor valor, discriminada en función de y por tipo de instancia (resultados no mostrados).

Cuando se utiliza un esquema de decremento, para las instancias con múltiples restricciones se observa una reducción de los valores a medida que aumenta

. Para las instancias del problema clásico, esta tendencia no se verifica. En este caso, el valor más alto de evaluaciones se alcanza con . Luego

aparecen los asociados a mientras que el menor valor corresponde a .

Para el esquema de adaptación con incrementos de , los resultados para indican que un aumento de permite, no sólo obtener mejores resultados, sino también de forma más rápida. Para las instancias , el valor de (media

de la cantidad de evaluaciones realizadas para obtener la mejor solución) para es el menor de todos, seguido por y .

Naturalmente, esta medida del ``esfuerzo'' no se puede analizar en forma aislada sino teniendo en mente los resultados obtenidos en términos del error. Por lo tanto, creemos que las diferencias en la media del error pueden compensar un posible aumento en las evaluaciones necesarias.

http://decsai.ugr.es/~dpelta/docuFANS/node18.html

UNIDAD 3

TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN

3.1 METODO ESQUINA NOROESTE

También llamado noroccidental o de extremos, presenta la construcción de una matriz de flujos de la siguiente manera.

Paso1

En la posición (1, 1) que es el extremo Noroeste , se decide a

por lo tanto alguno de los valores se hacen cero.

Paso 2.

Si es CERO, se pasa a la posición que le sigue ( "abajo" en la columna) que es

la (2, 1), para hacer Se cancela el resto de la fila con ceros; además no se considerarán estas

posiciones en un futuro, exceptuando la posición

Por otro lado, si , en el paso anterior, se pasa a la posición contigua (que en este caso sería (1, 2),

tal que

Se cancela lo restante de la columna con ceros, y se descarta de consideración

futura alguna, con excepción de la posición

Paso3.

Continuar con la misma lógica hasta llegar a la posición (m, n) de la matriz de flujos.

En esta forma se obtendrá una solución inicial factible, básica; pero bastante distante del óptimo para el problema del transporte.

Donde :

Se empieza en la celda (A,D) y se asigna lo máximo que se pueda por fila(columna) y se sigue sucesivamente de la misma manera hasta llegar a la celda (C,G) y obtener así una solución factible inicial.

D E F G Oi

A 10 10 20

B 5 25 30

C 15 30 45

Dj 10 15 40 30

PLANTEAMIENTO DEL MODELO PRIMAL

MIN W = 5 X11+ 10 X12+ 5 X13+ 0 X14+ 5 X21+ 9 X22+ 5 X23+ 10 X24+ 10 X31+ 10 X32+ 15 X33+ 5 X34 sujeto a las siguientes restricciones:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060014/docs_curso/Capitulo%20V/enoroeste.htm

http://html.rincondelvago.com/investigacion-de-operaciones-en-redes.html

3.2 METODO DE COSTO MINIMO

El método del coste mínimo asigna el mayor número posible de unidades a la posición de menor coste eliminando la fila y/o columna que quede satisfecha, y repite el proceso hasta eliminar todas las filas y columnas.

Ejercicio de Aplicación Métodos Primera Fase

http://html.rincondelvago.com/investigacion-de-operaciones-en-redes.html

3.3 METODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL

El algoritmo del Método Vogel para obtener una solución básica factible de un problema de Transporte es el que se muestra a continuación:

Paso 1.

Construcción de una matriz de costos y flujos en relación a un problema balanceado.

Ir al paso 3.

Paso2.

Usar el remanente de costos y flujos de la matriz, hasta que los flujos estén asignados.

Paso3.

Calcular las diferencias de las filas y de las columnas de la matriz de costos. Esta diferencia resulta entre los números más pequeños (tanto de filas como de columnas).

Paso4.

Seleccionar a la fila o a la columna que tenga la mayor diferencia. En caso de empate, se decide arbitrariamente.

Paso 5.

Localizar el costo más pequeño en la matriz de costos en la fila o la columna

seleccionada en el paso anterior. Esta será la posición

Paso 6.

En la matriz de flujos , decidir , con ( i, j ) identificado en el paso anterior.

Se considerará determinar la oferta con

, y la demanda será .

Paso7.

Si

, llénese la fila i con ceros, exceptuando la posición , eliminando la fila de cualquier consideración futura.

De resultar

, se llenará la columna j con ceros, con excepción de la posición , las posiciones restantes se descartadas de tomarse en cuenta.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060014/docs_curso/Capitulo%20V/vogel.htm

http://html.rincondelvago.com/investigacion-de-operaciones-en-redes.html

3.4 METODO DE ASIGNACIÓN

Discutiremos un modelo de asignación que intente minimizar el coste total de procesamiento y almacenamiento a la vez que intenta reunir ciertas restricciones en el tiempo de respuesta. El modelo que emplearemos tiene la forma mín(Coste Total), la cual está sujeta a restricciones del tiempo de respuesta, restricciones de almacenamiento y restricciones de procesamiento.

En el resto de este punto desarrollaremos los componentes de este modelo basándonos en la información necesaria presentada anteriormente. La variable de decisión es xij, la cual se define como

xij = 1 si el fragmento Fi se almacena en el sitio

Sj xij = 0 en otro caso

Coste total. La función de coste total tiene dos componentes: el procesamiento de la consulta y el almacenamiento. Entonces podríamos expresarla como

donde CPQi es el coste de procesar una consulta de la aplicación qi, y CAFjk es el coste de almacenar el fragmento Fj en el sitio Sk.

Consideremos primero el coste de almacenamiento. Su fórmula viene dada por

donde se representa el coste total de almacenamiento en todos los sitios y para todos los fragmentos.

El coste de procesamiento de consultas es más difícil de especificar. Muchos modelos de asignación de archivos se dividen en dos componentes: el coste de procesar las lecturas y el coste de procesar las actualizaciones. Nosotros escogeremos un enfoque diferente para el problema de asignación en las bases de datos y lo especificaremos a partir del coste de procesamiento (CP) y el coste de transmisión (CT). El coste de procesamiento de una consulta (CPQ) para una aplicación qi es

De acuerdo con las líneas presentadas anteriormente, el componente de procesamiento CP se basa en tres factores: el coste de acceso (CA), el coste de mantenimiento de la integridad (MI) y el coste de control de la concurrencia (CC):

La especificación detallada de cada uno de estos factores depende del algoritmo que se emplee para desarrollar estas tareas. Sin embargo, se especificará CA detalladamente:

El primero de los términos de la fórmula calcula el número de accesos de la consulta qi al fragmento Fj. Advierta que (URij + RRij) da el número total de accesos de lectura y actualización. Asumiremos que los costes locales de procesamiento de ambos son idénticos. El sumatorio proporciona el número total de accesos para todos los fragmentos a los que accede qi. El producto por UPTk da el coste de este acceso al sitio Sk. Usamos de nuevo, xjk para seleccionar únicamente los valores de coste para los sitios donde se almacenan los fragmentos.

Se debe tener en cuenta que la función de coste de acceso asume que el procesamiento de una consulta implica su descomposición en una serie de subconsultas, cada una de las cuales trabaja sobre un fragmento almacenado en un sitio, seguido de una transmisión de los resultados al sitio del cual partió la consulta. Se vio, anteriormente, que es un enfoque muy simplista no tener en cuenta la complejidad del procesamiento de la base de datos. Por ejemplo, la función de coste no tiene en cuenta el coste de desarrollar yuntos (si fuese necesario), lo cual puede ejecutarse de varias formas. En un modelo más realista, que el modelo genérico considerado, esto problemas no deberían omitirse.

El factor de coste del esfuerzo de integridad puede especificarse como el componente de procesamiento, excepto que la unidad de coste de procesamiento local, probablemente, cambiaría para reflejar el coste real del esfuerzo de integridad.

La función del coste de transmisión puede formularse sobre las líneas de la función del coste de acceso. Sin embargo, los gastos de la transmisión de datos para actualizaciones y para lecturas no es el mismo. En las consultas de actualización, es necesario informar a todos los sitios donde existen réplicas,

mientras que en las consultas de lectura, es suficiente con acceder al sitio que alberga las copias. En suma, al final de una petición de actualización, no existe una transmisión de datos al sitio origen de ésta, sino un mensaje de confirmación, mientras que en las consultas de lectura, los datos a transmitir al origen son significativos.

El componente de actualización de la función de transmisión es

El primer término es para el envío del mensaje de actualización de qi desde el sitio origen o(i) a todas las réplicas de los fragmentos que necesiten actualizarse. El segundo término hace referencia a la confirmación. El coste de lectura puede especificarse como

El primer término de CTL representa el coste de transmitir la petición de lectura a los sitios que contienen copias de los fragmentos a los que se necesita acceder. El segundo término cuenta para la transmisión de los resultados desde estos sitios al sitio origen. La ecuación afirma que para todos los sitios con copias del mismo fragmento, sólo el sitio que produzca el coste total de transmisión más pequeño debería seleccionarse para la ejecución de la operación.

Ahora, la función del coste de la transmisión para la consulta qi puede especificarse como

que indica la función de coste total.

Restricciones. Las funciones restrictivas pueden especificarse de forma similar. Sin embargo, en lugar de describir estas funciones con detalle, simplemente indicaremos el aspecto que deberían tener. El tiempo de respuesta debería especificarse como

tiempo de ejecución de qi máximo tiempo de respuesta de qi, qi Q

Preferiblemente, la medida de coste en la función objetiva debería especificarse en términos de tiempo, para hacer la especificación del tiempo de ejecución relativamente sencilla.

La restricción de almacenamiento es

Así misma, la restricción de procesamiento es

Esto completa el desarrollo del modelo de asignación.

Desarrollo práctico.

Vamos a presentar ahora dos alternativas prácticas de desarrollo de la asignación. Una primera consistiría en el cálculo de todos los costes y, a partir de sus resultados y con el mejor esquema de partición determinado por el Examinador de Particiones, decidir los fragmentos que deberían asignarse a cada sitio. Este método manual evidentemente implica la realización de muchos cálculos muy engorrosos, y deberíamos partir de una serie de datos que no siempre es fácil obtener. Una segunda alternativa, es el uso de algún algoritmo de asignación desarrollado a partir de los distintos parámetros del modelo de asignación. Existen varios de estos algoritmos, pero se ha decidido exponer el algoritmo divide y vencerás [7] porque hace uso del esquema de fragmentación que genera el algoritmo de fragmentación n-formas presentado en la correspondiente sección.

http://usuarios.lycos.es/jrodr35/asignacion2.htm

UNIDAD 4

REDES

4.1 GRAFICA DE GANTT

Los cronogramas de barras o “gráficos de Gantt” fueron concebidos por el ingeniero norteamericano Henry L. Gantt, uno de los precursores de la ingeniería industrial contemporánea de Taylor. Gantt procuro resolver el problema de la programación de actividades, es decir, su distribución conforme a un calendario, de manera tal que se pudiese visualizar el periodo de duración de cada actividad, sus fechas de iniciación y terminación e igualmente el tiempo total requerido para la ejecución de un trabajo. El instrumento que desarrolló permite también que se siga el curso de cada actividad, al proporcionar información del porcentaje ejecutado de cada una de ellas, así como el grado de adelanto o atraso con respecto al plazo previsto.

Este gráfico consiste simplemente en un sistema de coordenadas en que se indica:

En el eje Horizontal: un calendario, o escala de tiempo definido en términos de la unidad más adecuada al trabajo que se va a ejecutar: hora, día, semana, mes, etc.

En el eje Vertical: Las actividades que constituyen el trabajo a ejecutar. A cada actividad se hace corresponder una línea horizontal cuya longitud es proporcional a su duración en la cual la medición efectúa con relación a la escala definida en el eje horizontal conforme se ilustra. 

Símbolos Convencionales: En la elaboración del gráfico de Gantt se acostumbra utilizar determinados símbolos, aunque pueden diseñarse muchos otros para atender las necesidades específicas del usuario. Los símbolos básicos son los siguientes: 

Iniciación de una actividad.

Término de una actividad 

Línea fina que conecta las dos “L” invertidas. Indica la duración prevista de la actividad.

Línea gruesa. Indica la fracción ya realizada de la actividad, en términos de porcentaje. Debe trazarse debajo de la línea fina que representa el plazo previsto.

Plazo durante el cual no puede realizarse la actividad. Corresponde al tiempo improductivo puede anotarse encima del símbolo utilizando una abreviatura.

Indica la fecha en que se procedió a la última actualización del gráfico, es decir, en que se hizo la comparación entre las actividades previstas y las efectivamente realizadas.

El diagrama de Gantt consiste en una representación gráfica sobre dos ejes; en el

vertical se disponen las tareas del proyecto y en el horizontal se representa el

tiempo.

Características

Cada actividad se representa mediante un bloque rectangular cuya

longitud indica su duración; la altura carece de significado.

La posición de cada bloque en el diagrama indica los instantes de inicio y

finalización de las tareas a que corresponden.

Los bloques correspondientes a tareas del camino crítico acostumbran a

rellenarse en otro color (en el caso del ejemplo, en rojo).

 Tarea  Predec.  Duración

A - 2

B A 3

C - 2

D C 3

E DII+1 2

F BFI-1 3

G D, E, F 3

H GFF 2

 

Método constructivo

Para construir un diagrama de Gantt se han de seguir los siguientes pasos:

Dibujar los ejes horizontal y vertical.

Escribir los nombres de las tareas sobre el eje vertical.

En primer lugar se dibujan los bloques correspondientes a las tareas

que no tienen predecesoras. Se sitúan de manera que el lado

izquierdo de los bloques coincida con el instante cero del proyecto

(su inicio).

A continuación, se dibujan los bloque correspondientes a las tareas

que sólo dependen de las tareas ya introducidas en el diagrama. Se

repite este punto hasta haber dibujado todas las tareas. En este

proceso se han de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

Las dependencias fin-inicio se representan alineando el final del bloque de la tarea predecesora con el inicio del bloque de la tarea dependiente.  

Las dependencias final-final se representan alineando los finales de los bloques de las tareas predecesora y dependiente.

Las dependencias inicio-inicio se representan alineando los inicios de

los bloques de las tareas predecesora y dependiente.

Los retardos se representan desplazando la tarea dependiente hacia la

derecha en el caso de retardos positivos y hacia la izquierda en el caso de

retardos negativos.

Cálculos

El diagrama de Gantt es un diagrama representativo, que permite visualizar fácilmente la distribución temporal del proyecto, pero es poco adecuado para la realización de cálculos.

Por la forma en que se construye, muestra directamente los inicios y finales mínimos de cada tarea.

Construcción

Finalmente, una vez realizados los cálculos del proyecto utilizando un sistema adecuado, como el diagrama PERT o el Roy, resulta conveniente destacar con un color distinto las tareas con margen total 0, para poder identificar con facilidad los caminos críticos.

  

4.2 METODO DE RUTA CRITICA (PERT/CPM)

Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos. El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y subcomponentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología.

El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas. Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos.

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/proypolarisaleja.htm

4.2.1 TERMINOLOGIA

PERT (Program Evaluation and Review Technique)

 

Desarrollado por la Special Projects Office de la Armada de EE.UU. a finales de los 50s para el programa de I+D que condujo a la construcción de los misiles balísticos Polaris. Está orientada a los sucesos o eventos, y se ha utilizado típicamente en proyectos de I+D en los que el tiempo de duración de las actividades es una incertidumbre. Dado que las estimaciones de duración comportan incertidumbre se estudian las distribuciones de probabilidad de las duraciones. Con un diagrama PERT se obtiene un conocimiento preciso de la secuencia necesaria, o planificada para la ejecución de cada actividad y utilización de diagramas de red. Se trata de un método muy orientado al plazo de ejecución, con poca consideración hacia al coste. Se suponen tres duraciones para cada suceso, la

optimista a, la pesimista b y la normal m; suponiendo una distribución beta, la duración más probable: t = (a + 4m + b) / 6 . Generalmente se denominan técnicas PERT al conjunto de modelos abstractos para la programación y análisis de proyectos de ingeniería. Estas técnicas nos ayudan a programar un proyecto con el coste mínimo y la duración más adecuada. Están especialmente difundidas el PERT y el CPM. Aplicación de las técnicas PERT:

Determinar las actividades necesarias y cuando lo son.

Buscar el plazo mínimo de ejecución del proyecto.

Buscar las ligaduras temporales entre actividades del proyecto.

Identificar las actividades críticas, es decir, aquellas cuyo retraso en la ejecución supone un retraso del proyecto completo.

Identificar el camino crítico, que es aquel formado por la secuencia de actividades críticas del proyecto.

Detectar y cuantificar las holguras de las actividades no críticas, es decir, el tiempo que pueden retrasarse (en su comienzo o finalización) sin que el proyecto se vea retrasado por ello.

Si se está fuera de tiempo durante la ejecución del proyecto, señala las actividades que hay que forzar.

Nos da un proyecto de coste mínimo.

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/diaggantaleja.htm

4.2.2 CONSTRUCCION DE UNA RED

Construcción de un diagrama PERT- CPM.

En el caso diagrama , los vértices serán los sucesos y los arcos las actividades, debiendo cumplirse una serie de condiciones:

El diagrama sólo tendrá un suceso inicial y otro final.

Toda actividad, a excepción de la que salga del suceso inicial o llegue al suceso final, tendrá, al menos, una actividad precedente y otra siguiente. Como se observa en el cuadro de red lógica.

Toda actividad ij llegará a un suceso de orden superior al del que sale (i< j).

No podrán existir dos actividades que, teniendo el mismo suceso inicial, tengan el mismo suceso final, o viceversa.

La primera condición obliga a que, tanto el comienzo del proyecto como el final del mismo, sean únicos; así, por ejemplo, si un proyecto puede comenzar con la realización de varias actividades simultáneamente, todas ellas saldrán del suceso inicial. La segunda, una vez cumplida la primera, implica que cualquier actividad representada en el diagrama formará parte del un camino que comenzara en el suceso inicial y terminará en el final. En estos caminos no existirán retornos, ya que, implícitamente, esa es la condición impuesta en tercer lugar. La cuarta impide que dos actividades distintas tengan la misma denominación.

Algunas veces, el cumplimiento de las citadas reglas puede impedir el plantear las relaciones de prelación de algunas actividades. Cuando ello sucede, se recurre al empleo de actividades ficticias; éstas no consumen tiempo ni ningún tipo de recurso, siendo su única finalidad resolver los problemas de dependencia mencio-nados.

Para comenzar a construir el diagrama se parte del conocimiento de todas las actividades que componen el proyecto, así como de sus relaciones de prelación. Es muy conveniente recoger esta información de una forma sistematizada, ya que ello ayudará en gran medida a construir el diagrama. Existen, básicamente, dos formatos para esto, la matriz de encadenamiento y la tabla de precedencias.

GRAFICACIÓN DE UN DIAGRAMA PERT-CPM

Supongamos que llevamos nuestro carro a la estación de servicio para que le hagan los servicios correspondientes a los 15.000 km.

Lavado –Engrasar – Cambio de Aceite – Rotar Cauchos – Cambiar Filtro de Aceite – Pulir. Como se observa en la figura No 7

Primero antes que todo el mecánico decide primero elevar el carro con la plataforma, pero antes de ello para poder rotar los cauchos hay que sacar el repuesto, hay que quitar las tazas y aflojar las tuercas del ring, ahora si se eleva el carro, paso a seguir seria lubricar el motor bajo la tapa del automóvil mientras el carro está elevado, por esta razón se divide la lubricación en dos fracciones;

lubricar bajo el carro (chasis), lubricar bajo tapa del motor y el cambio de aceite se realiza mientras el carro esta elevado. Al finalizar solo falta el lavado y pulido.

 

 

Como se pudo observar lo mas importante para la creación de un diagrama PERT – CPM es saber concatenar y tomar decisiones con relación a las actividades que determinan un proyecto.

VENTAJAS PERT y CPM

1.- Enseña una disciplina lógica para planificar y organizar un programa detallado de largo alcance.

2.- Proporciona una metodología standard de comunicar los planes del proyecto mediante un cuadro de tres dimensiones (tiempo, personal; costo).

3.- Identifica los elementos (segmentos) más críticos del plan, en que problemas potenciales puedan perjudicar el cumplimiento del programa propuesto.

4.- Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias en relación a los plazos de cumplimiento de los programas.

 

5.- Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos.

En otras palabras: CPM es un sistema dinámico, que se mueve con el progreso del proyecto, reflejando en cualquier momento el STATUS presente del plan de acción.

  http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/proypolarisaleja.htm

4.2.3 DETERMINACION DE LA RUTA CRITICA

• Ruta critica o camino critico: Consiste en la secuencia de actividades o cadena de tareas que duran el mayor tiempo determinándose mediante la suma el tiempo de las actividades secuenciales, teniendo en cuenta que si hay actividades simultaneas de diferente duración se tomará la de mayor tiempo y se presenta subrayando la línea de las flechas.

La ruta critica determina el tiempo máximo que debe durar la ejecución del proyecto, las actividades que conforman su cadena o secuencia y se caracterizan, porque cualquier atraso en alguna de ellas incide en un atraso idéntico en la duración total del proyecto ya que en sus eventos no hay ningún margen.

El camino crítico en un proyecto es la sucesión de actividades que dan lugar al máximo tiempo acumulativo. Determina el tiempo más corto que podemos tardar en hacer el proyecto si se dispone de todos los recursos necesarios. Es necesario conocer la duración de las actividades. Este concepto es utilizado por dos métodos:

Método del tiempo estimado (CPM) La duración de una actividad es la más probable de duración. Tiempo que se emplearía en condiciones normales (m). Situación determinista.

Método del tiempo esperado (PERT) Determinación probabilística de los tiempos esperados (Te), en función de los siguientes tiempos:

o        Duración más corta (a)

o        Duración más larga (b)

o        Duración más probable (m) (el mismo que en CPM)

o        Duración esperada:  Te = (a + 4m + b) / 6 

 Cálculo del camino crítico

1.  Calcular Te ó m según el método empleado para cada actividad. Se coloca en el grafo encima o debajo de cada flecha.

2.  Calcular las fechas “early” -fecha mínima de comienzo de la actividad, MIC del suceso anterior- y “last” -fecha mínima de comienzo de la actividad, MAC del suceso posterior- de las distintas actividades que configuran el proyecto. (calcular el MIC y el MAC de todos los sucesos del proyecto).

3.   Cálculo de las holguras.

4.   Identificación del camino crítico.   

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010014/Contenidos/Capitulo1/Pages/1.8/18Herramientas_planeacion_continuacion2.htm

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/diaggantaleja.htm

4.2.4 COMPRESION DE REDES

El proceso siguiente al primer ciclo es costear el proyecto, con la información que se solicita de cada actividad realizada en tiempo estándar “t” y en tiempo óptimo “o” a los responsables de la ejecución y de acuerdo con los presupuestos preparados por ellos mismos. Estos costos se registran en la Matriz de Información.

Se presentan por lo general varios presupuestos, que pueden ser con los antecedentes dados uno para la inversión en bienes de capital de maquinaria y equipo por 80,000, más otro de gastos de fabricación por 500 diarios. Debe considerarse que con elaboración de proyecto o sin él, los gastos deben ser erogados, por lo que busca que la ejecución del proyecto se haga en el menor tiempo posible para evitar gastos innecesarios a través de evitar incrementos.

Los presupuestos tienen por lo general un costo normal $N para las actividades en tiempo estándar y existe otro costo límite $L para aquellas actividades ejecutadas en tiempo óptimo. Por tanto la columna de $N debe ser totalizada al igual que la columna de $L. Si suponemos que $N totaliza 145,120 significa el costo total de

erogación del proyecto en tiempo estándar y si $L totalizara 151,480 no significaría que es un costo real, ya que no sería necesario que todas las actividades se realizaran en tiempo óptimo, sino solo algunas de ellas. La elaboración de una red comprimida nos indicará qué actividades son las que pueden optimizarse en tiempo, que en todo caso éste sería el máximo posible. Con los costos anteriores y los intervalos de tiempo ya conocidos se determinan las pendientes de las actividades.

Si dividimos 350/2 significa que la actividad en referencia tendrá un incremento de 350 por cada dos días que se comprima a partir del tiempo estándar. Si decimos ahora 450 como pendiente, significa que una actividad Héctor Marín Ruiz 12 tiene un incremento en su tiempo estándar de 450 por cada día que se comprima en su tiempo original. Ahora, con base en la siguiente tabla calcule usted el valor de la pendiente “m”

Por ejemplo, si la primera actividad tiene un costo de 600, si es que se realiza en el tiempo normal o estándar “t”, pero si se hace en menos días o inclusive en tiempo óptimo “o” ese costo máximo será de 800, por lo tanto su pendiente por cada día de reducción “m” será:

Lo anterior significa que la actividad 1 sufrirá un incremento de $100 por cada día que se comprima el tiempo estándar de 3 días, o sea que, si la actividad 1 se hace en tiempo normal de 3 días será de 600, pero si se hace en lugar de 3 días, se realiza en 2 días, el costo se incrementará a 700 (600+100) y si se hace en el tiempo óptimo de 1 día, significará que el costo se incrementará a 800 (600+100+100), así deben calcularse las 23 actividades o sea m1, m2, m3….m23, según los días posibles que se puedan reducir. Se obtiene la sumatoria de $N y de $L. Héctor Marín Ruiz 23Para comprimir la red se dibuja la red que servirá de base para la compresión y a cada actividad se le anota el número de identificación, la pendiente, el tiempo estándar y el tiempo óptimo como sigue:

Se le solicita a usted lo siguiente: a) Calcule usted el tiempo estándar y la pendiente b) Calcule usted el nuevo costo con la reducción en días mostrada

c) Determine usted el nuevo costo total con la reducción en días.

4.2.5 ANALISIS DE UNA RED PERT

INTRODUCCION Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado

por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos.

El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y subcomponentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (Evaluación de programa y Técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la Oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado.Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son determinísticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticos o estocásticos.El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos.Antecedentes.

Necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto.Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.Definición.El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.Usos.El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características: Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de él, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorías, planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc.Diferencias entre PERT y CPMComo se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. E1 PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. E1 CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.En este trabajo explicaremos de manera sencilla, con ejemplos esclarecedores la manera de funcionar de estos dos métodos antes explicados, para que toda la clase conozca y sepa de manera general cómo funcionan.Esperamos sinceramente que lo que a continuación exponemos sea de su interés y agrado, de manera de cumplir con los objetivos propuestos.Técnica de Evaluación y Revisión de Programas / PERT

Como lo mencionamos en nuestra Introducción la Técnica de Evaluación y Revisión de Programas o PERT fue desarrollada por la Special Projects Office (Oficina de proyectos especiales) de la Marina de Guerra de Estados Unidos, y se utilizó formalmente por primera vez para la planeación y control del Sistema de Amas Polaris en 1958, acelerando en forma afortunada la terminación exitosa de ese programa. Durante varios años fue recibida con tanto entusiasmo por las fuerzas armadas, que prácticamente se convirtió en una herramienta obligatoria para los principales contratistas y sub-contratistas en las industrias espacial y de armamentos. Sus principios fundamentales aún se consideran herramientas esenciales de planeación y control. Además, se puede usar PERT, en innumerables aplicaciones no gubernamentales, como proyectos de construcción, ingeniería y equipamiento de máquinas-herramienta, e incluso en labores tan sencillas como la programación de las actividades para obtener informes financieros mensuales.CARACTERISTICASPERT es un sistema de análisis de la red de tiempo y eventos en la que se identifican las diversas etapas de un programa o proyecto, adjudicándosele un tiempo a cada una de ellas. Estos acontecimientos o etapas se colocan en una red que muestra las relaciones de cada uno de ellos con los demás.Cada círculo representa un evento: un plan de apoyo cuya finalización puede medirse en un momento determinado. Los círculos se enumeran en el orden en que ocurren los eventos. Cada flecha representa una actividad, el elemento de un programa que consume tiempo o el esfuerzo que se debe realizar entre los eventos. El tiempo de actividad, representado por los números junto a las flechas, es el tiempo transcurrido para completar un evento. En el programa PERT original existían tres estimaciones de tiempo: la “optimista” (del tiempo necesario si todo funcionara excepcionalmente bien); la “más probable” (el tiempo en que el ingeniero del proyecto realmente piensa que realizará el trabajo) y la “pesimista” (basada en la suposición de que se presentara alguna situación, lógicamente concebible de mala suerte, con la excepción de un desastre importante). Con frecuencia se incluyen estas estimaciones en PERT debido a que es muy difícil, en muchos proyectos de ingeniería, calcular el tiempo con exactitud. Cuando se hacen varias estimaciones por lo general se promedian y se otorga un peso especial a la estimación más probable; entonces se utiliza solo una de ellas para realizar los cálculos. El tiempo espera (te) y la varianza (o2) de cada actividad es determinada por:Te= a + 4m + b6o2= ( b - a )26El siguiente paso es calcular la ruta Critica, es decir, la sucesión de acontecimientos que necesitan el mayor tiempo y que tienen un tiempo de inactividad de cero (o el mínimo).Aunque la ruta Critica tiende a cambiar cuando se demoran los acontecimientos clave en otras partes del programa, si este retraso se identifica desde el inicio se pueden supervisar una serie particular de acontecimientos para asegurar que el programa total se ajuste a lo programado.

Los análisis PERT clásicos incluyen cientos o miles de acontecimientos. Aunque los análisis más pequeños se pueden hacer en forma manual, las estimaciones señalan que cuando existen más de 200 a 300 acontecimientos es prácticamente imposible manejar los cálculos sin una computadora.Se acostumbra resumir las redes de tiempo-evento muy grandes y complejas mediante sub-redes, y agrupar todos los datos en una red resumida que se envía, con fines de estudio, a la alta dirección. Por consiguiente, esta red podría incluir aproximadamente entre 40 o 50 sucesos importantes, cada uno de ellos un resumen de varios acontecimientos secundarios. De hecho, es posible agrupar o desglosar los eventos en forma tal que exista una red PERT apropiada para cada nivel de administración.VENTAJAS Y DEBILIDADESEl PERT tiene 5 ventajas importantes.Primero, obliga a los administradores a planear, porque es imposible hacer un análisis de tiempo-evento sin elaborar planes y ver como las piezas encajan entre sí.Segunda, obliga a planear en forma descendente por toda la cadena de autoridad, debido a que cada administrador subordinado debe preparar planes para el acontecimiento bajo su responsabilidad.Tercera, concentra la atención en elementos críticos que quizá necesiten corrección.Cuarta, hace posible cierto control a futuro; una demora afectará los acontecimientos posteriores y posiblemente a todo el proyecto, a menos que el administrador pueda compensar el tiempo asignado a alguna otra tarea.Quinta, el sistema de red con sus subsistemas le permite a los ejecutivos dirigir los informes y la presión para obtener acción en el lugar y nivel precisos en la estructura de la organización, en el momento correcto.El PERT también tiene algunas limitaciones. Debido a la importancia del tiempo de actividad para su operación, no es útil cuando el programa es impreciso y no se pueden hacer las “estimaciones al azar” razonables del programa: sin embargo, incluso en este caso se puede “comprar” seguridad mediante práctica como poner a trabajar en una tarea a 2 o más grupos de personas, cuando el costo lo permite.Una desventaja importante del PERT a sido su insistencia solo en el tiempo, en perjuicio de los costos. Aunque este enfoque es apropiado para programas en los que el tiempo es esencial o cuando, como sucede con tanta frecuencia, este y los costos tienen una relación estrecha y directa, la herramienta es más útil cuando se incluyen en el análisis otras consideraciones.PERT no es una idealidad de metodología. No realiza la planeación, aunque obliga a planear. No automatiza el control, pero establece un ambiente donde se pueden apreciar y utilizar los principios correctos del control, a menos, por supuesto, que el proceso haya adquirido una innecesaria complejidad.

MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA (CPM)La programación de la ruta crítica, se refiere a una serie de técnicas gráficas que se utilizan en la planeación y control de proyectos bastante rutinarios; fue desarrollado como una manera para programar el inicio y el término de las

actividades de un proyecto, se puede aplicar especialmente en los proyectos de construcción, instalación de equipos y arranques, construcción de carreteras, puentes, centrales hidroeléctricas y plantas importantes, ya que estas actividades se repiten con frecuencia y los tiempos se conocen bastante bien; sin embargo, es posible incrementar o disminuir el tiempo de las actividades con un mayor costo.Las técnicas de programación de la ruta crítica, muestran un proyecto de manera gráfica y relacionan las tareas que lo componen, de forma que se concentre la atención en aquellas actividades complicadas, o que requieren de mayor atención.Para aplicar bien las técnicas de programación de CPM, el proyecto debe tener las siguientes características:1.- Debe tener funciones o tareas bien definidas, cuya terminación señale el fin del proyecto.2.- Las funciones o tareas son independientes; pueden ser iniciadas, detenidas y realizadas por separado dentro de una secuencia determinada.3.- Las funciones o tareas son ordenadas; deben seguir una de la otra en una secuencia determinadaEl método CPM utiliza principalmente tres factores que son el tiempo, el costo y la disponibilidad de los recursos, este método supone una compensación entre el tiempo y el costo que se utiliza en la programación de los proyectos; esto significa, que si se quiere terminar la actividad en un menor tiempo, en forma proporcional se gasta más dinero.La red de proyecto se resuelve utilizando tiempos y costos normales para todas las actividades, si el tiempo de terminación y los costos normales son satisfactorios, se programan todas las actividades en relación al tiempo normal, si el tiempo de terminación del proyecto es demasiado largo, y es posible terminar el proyecto con menor tiempo y mayor costo.Cualquier tiempo de terminación de un proyecto inferior al normal, tendrá un costo totalmente distinto, esto se debe a que es posible disminuir tiempos en algunas actividades, para cumplir con cualquier fecha de terminación especificada.Para representar esta situación supuestamente lineal entre tiempo y costo, se dan cuatro cifras para cada actividad:a) Tiempo Normal (TN) : es el tiempo asociado con cada costo normalb) Costo Normal (CN) : es el costo esperado más bajo para cada actividadc) Tiempo Límite (TL) : es el tiempo de una actividad más corto posibled) Costo Límite (CL) : es el costo asociado con cada tiempo limite.Límite de costoCostoCosto normalTiempoLímite de TiempoTiempo NormalPASOS PARA LA IMPLANTACIÓN DEL CPM1º Definir el proyecto en término de actividades y eventos2º Construir un diagrama de redes, mostrando las relaciones entre ellos3º Desarrollar una cotización del tiempo de cada actividad4º Calcular el tiempo para cada camino en la red5º Asignar recursos para garantizar el logro óptimo de lo objetivos

Ejemplo de CPM

ActividadTiempoNormal

CostoNormal

TiempoLímite

CostoLímite

1-2 3 $ 40 1 $ 80

1-3 2 $ 50 1 $ 120

1-4 6 $ 100 4 $ 140

2-4 4 $ 80 2 $ 130

3-4 3 $ 60 1 $ 140

Se calcula el tiempo de terminación normal del proyecto estableciendo todas las actividades en sus tiempos normales y haciendo un paso de avance. El tiempo normal de terminación del proyecto es = 73 42 3El costo normal del proyecto es la suma de los costos normales de todas las actividades y es igual a $330. Es posible reducir el tiempo de terminación del proyecto a 6 días, reduciendo cualquiera de las actividades 1-2 ó 2-4 en un día. El costo por día es de $20 por día (80-40/2), para limitar la actividad 1-2 y de $25 por día, (130-80/2), para reducir la actividad 2-4. Por lo tanto resulta menos costoso reducir la actividad 1-2 en un día para poder lograr en tiempo general de terminación del proyecto de 6 días.USOS DE LOS CONCEPTOS DE ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOSLa administración de proyectos, requiere la planeación del proyecto antes de comenzar la programación y además se necesita control después de desarrollar el programa. Se requiere de una mezcla de habilidades conductuales cuantitativas. Por lo tanto, los métodos de programación deben considerarse sólo como una parte de un enfoque completo de la administración de proyectos.Para seleccionar los métodos de programación de proyectos, se debe realizar una compensación consciente entre los métodos sofisticados y el costo.Los métodos CPM, deben utilizarse cuando el tiempo de las actividades son casi constantes, pero pueden reducirse con el uso de una mayor cantidad de dinero.PUNTO CLAVELa planeación y programación de proyectos, trata de una actividad única, que se realiza una sola vez; como cada proyecto es único, el problema de programación es bastante diferente al caso de las operaciones constantes.- Los tres objetivos de los proyectos son: Tiempo, costo y rendimiento: como estos objetivos entran en conflicto, se realizan compensaciones entre ellos constantemente en el curso de la administración de proyectos.- Todos los proyectos pasan por tres fases: Planeación, Programación y controlPlaneación: comienza con la definición de los objetivos establece los objetivos, organización y recursos para el proyecto.Programación: establece el programa de tiempos, costos y de asignación de personal.

Control: Supervisa el avance del proyecto en relación con su costo, tiempo y rendimiento; también se corrige el plan cuando es necesario para lograr los objetivos del proyecto.CONCLUSIONPodemos concluir que el CPM y PERT son esencialmente lo mismo, sus matices hacen cada uno aplicable más que el otro en situaciones diferentes. En ambos métodos la información esencial deseada es la ruta crítica y las holguras. Estas, le permiten al director del proyecto hacer decisiones con base a información, basado en el principio de administración por excepción, sobre los planes y proyectos del trabajo actual y monitorear el progreso del proyecto.El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.Finalmente, el PERT/CPM proporciona la herramienta ideal para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Tanto de empresas públicas, como privadas. Lo que partió como un proyecto experimental hoy en día es de gran utilidad para miles de personas a nivel mundial .Aquí termina nuestro trabajo, en espera que haya sido de su agrado, y que obviamente toda la materia expuesta haya quedado clara y entendible, estaremos a la espera de su buena calificación.BIBLIOGRAFÍA* Administración de Operaciones ROGER SCHROEDER* Administración IDALBERTO CHIAVENATO

UNIDAD 5

MODELO DE LINEAS DE ESPERA

5.1ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEAS DE ESPERA

Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes:Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistemaCantidad promedio de unidades en la línea de esperaCantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo)Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de esperaTiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio)Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio.

Los gerentes que tienen dicha información son más capaces de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio deseables con el costo de proporcionar dicho servicio.

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LINEA DE ESPERA

LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL

Cada cliente debe pasar por un canal, una estación para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan más clientes forman una línea de espera y aguardan que se desocupe la estación para tomar y surtir el pedido.

DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS

Para determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un período dado, se puede utilizar la distribución de Poisson.

/= Media o cantidad promedio de ocurrencia en un intervaloe= 2.17828X= cantidad de ocurrencias en el intervalo

DISTRIBUCIÓN DE TIEMPO DE SERVICIO

El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez el servicio ha iniciado.Se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t.

e= 2.17828&#956;= cantidad media de unidades que pueden servirse por período

DISCIPLINA DE LA LINEA DE ESPERA

Manera en la que las unidades que esperan el servicio se ordenan para recibirlo.

El primero que llega, primero al que se le sirveÚltimo en entrar, primero en salirAtención primero a la prioridad más alta

OPERACIÓN DE ESTADO ESTABLE

Generalmente la actividad se incrementa gradualmente hasta un estado normal o estable. El período de comienzo o principio se conoce como período transitorio, mismo que termina cuando el sistema alcanza la operación de estado estable o normal.

MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

A continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal.

El objetivo de las fórmulas es mostrar cómo se puede dar información acerca de las características operativas de la línea de espera.

¿COMO SE PUEDE MEJORAR LA OPERACION DE LINEA DE ESPERA?

Características operativas para el sistema con la tasa media de servicio aumentada a &#956;=1.25 clientes por minuto.

ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA

Antes de que pueda llevarse a cabo un análisis económico de una línea de espera, debe elaborarse un modelo de costo total, el cual incluye el costo de esperar y el costo de servicio. 

Cw= costo de esperar por período para cada unidadL= cantidad promedio de unidades en el sistemaCs= costo de servicio por período para cada canalK= cantidad de canales

La forma general de las curvas de costo en el análisis económico de las líneas de espera consiste en que el costo del servicio aumenta conforme aumenta la cantidad de canales; pero con más canales, el servicio es mejor. Como resultado, el tiempo de espera y el costo disminuyen conforme se aumenta la cantidad de canales. Puede encontrarse la cantidad de canales que proporcionará una buena aproximación al diseño de costo total mínimo evaluando el costo total para varias alternativas de diseño.

5.1.1 UN SERVIDOR UNA COLA

Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.  

Llegadas.   Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredicible en que momento llegarán . El modelo también supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez .  

Cola.

En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas.

Instalación de Servicio.

Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente.  

Salidas.

No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio.

Características de operación .

Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido. Tiempos de servicio exponenciales.

  Cola :

Longitud promedio de la línea : 

Tiempo de espera promedio : Sistema:

Longitud promedio de la línea : 

Tiempo de espera promedio : 

Utilización de la instalación : 

Probabilidad de que la línea exceda a n :  A = tasa promedio de llegada. S = tasa promedio de servicio.   Ejemplo : (Un supermercado )

Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que

hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las lìneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lìnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :   Dados A = 9 clientes por hora S = 12 clientes por hora   Entonces :

=  2.25 Clientes

=  0.25 horas o 15 minutos.

=  3 clientes.

=  0.33 horas o 20 minutos.

=  0.75 o 75%

0.32       Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).

http://www.itlp.edu.mx/publica/tutoriales/investoper2/tema33.htm

5.1.2 N SERVIDORES, UNA COLAUna Línea de Espera con canales Múltiples del consiste en dos o mas canales de Servicio Que Se Supone hijo idénticos desde el punto de vista de su capacity. En El Sistema de canales múltiples, las unidades Que Llegan Esperan en Una Sola Línea y LUEGO Pasan al imprimación disponible conducto Ser párr. Servidas. La operación de la ONUdel canal solista de la hamburguesa Cúpula Puede del expandirse una ONU Sistema de dos canales al abrir el canal Segundo ONU De Servicio. La siguiente Figura Muestra ONU diagrama de La Línea de Espera de dos canales de la hamburguesa de la bóveda.

Análisis de costoUna de las decisiones habituales en el uso de este modelo puede serlo el dedefinir la cantidad de servidores necesarios. Por ejemplo, la cantidad deascensores en un edificio, la cantidad de escritorios para un equipo de trabajo, etc.La decisión se deberá basar en unaRelación entre dos costos básicos: el costo de proveer servidores adicionalesversus el costo de demorar o no prestar el servicio. Se asume que el costo dedemorar el servicio es un monto definido por cliente, por unidad de tiempoinsumida en el sistema. Si bien es relativamente sencillo conocer el costo de unservidor, el costo de hacer esperar a un cliente puede resultar, a veces, intangibley generalmente difícil de establecer. Hay que aclarar que los costos por la esperaexisten y en ciertos casos pueden ser muy significativos, por lo que deben ser estimados, si es que se desea realmente diseñar un sistema de colas inteligente ycontrolable.Los costos a los que nos acabamos de referir deben estar presentados por unidadde tiempo, a los efectos de realizar cálculos comparables. Si por ejemplo, el costode un servidor consiste en el salario que debe pagarse a quien lo atiende, deberáanualizarse, para incluir

aguinaldo, vacaciones, etc., y luego convertirlo en lamisma unidad de tiempo que se use para determinar el tiempo de servicio o deespera.Si se define:Cd = Costo de demora por cliente por unidad de tiempoCs = Costo por unidad de tiempo para agregar otro servidor L = Número promedio en el sistemaEl costo total por unidad de tiempo para una estación con c servidores es:L Cd + c Cs A medida que c aumenta, la capacidad adicional incrementará la velocidad delservicio y L irá disminuyendo. Por consiguiente, una información útil que debebrindar el sistema es el número de servidores que minimice el costo total.En el caso que la sala de espera tenga una capacidad limitada, surgen otrosanálisis posibles. Así, se relacionan el costo de servidores adicionales versus el costo de perder elnegocio con clientes que se retiran antes de ser atendidos, más el costo de lademora paraLos clientes atendidosDefiniendo:Cr = Costo de no brindar el servicio a un cliente A = Tasa de llegadasP = Probabilidad que un cliente se vaya de la cola sin ser atendidoEl costo total seráL Cd + c Cs + p A Cr 

5.1.3 N SERVIDORES, N COLASEl tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característicode los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio puedensepararse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre lascolas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro deun banco, la separación no sería válida.

5.2 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LÍNEAS DE ESPERA.

A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas. La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad es: 

b

b

x

x)x(f

1

, x > 0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso donde b > 0 La media y la variancia de la distribución exponencial son:  m b y s2 b2

 Relación con el proceso de Poisson.

Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la

probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson.La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:

tt

!

)t()t,(p l

l

ll

0

00

; 7182. Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no

ocurra un evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está dado por xl .

Como resultado,

P(X ³ x) = xl

 Entonces, la función de distribución acumulada para x es: 

P(0£ X £ x) = 1 - xl

 Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad:  

f(x) = xll

 

La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con bl 1

.

Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro b , el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son

independientes. Aquí el parámetro importante b es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda

con el proceso de Poisson, b recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable. En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en un problema de confiabilidad. La distribución binomial también juega un papel importante en la solución. Ejemplos:

1. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida

exponencialmente con tiempo promedio de falla 5b . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

 Solución: La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es: 

20

5

18 5

8

8

5 .dt)(Pt

>

la | nos indica que la integral se va

a evaluar desde 8 hasta  Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial,n = 5p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 añosq = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años P(x ³ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1) 

26270737301802080201 4115

5005 ..).().(C).().(C

 2. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una

cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?

 Solución: 

527601

4

13 4

3

4

13

0

4

1

.dt)T(Pt

£

la nos indica que la

integral va a ser evaluada de 0 a 3 x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos

x = 0, 1, 2,...,6 días p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724 

0666

1556 4724052760472405276052760665 ).().(C).().(C).p,N,ox(P

  = 0.11587 + 0.02157 = 0.13744

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Distribucion%20Exponencial.htm

5.3 APLICACIÓN DE MODELOS DE DECISION EN LÍNEAS DE ESPERALa teoría de colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera".El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona elbalance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Las llegadas se describen por su distribución estadística. si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo "poisson”.Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el

servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. La teoría de colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera".Objetivos de la teoría de colas; Dada la función de costes anterior, los objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la“paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

5.4 INFERENCIA DE RESULTADOSInferencia es la acción y efecto de inferir (deducir algo, sacar una consecuencia deotra cosa, conducir a un resultado). La inferencia surge a partir de una evaluaciónmental entre distintas expresiones que, al ser relacionadas como abstracciones,permiten trazar una implicación lógica. Al partir dehipótesiso argumentos, es posible inferir una conclusión (que puederesultar verdadera o falsa). Por ejemplo:“Todavía no recibí la confirmación oficialpor parte de la empresa, lo que te digo es sólo una inferencia mía”,“Cada vez que juega la selección, Mariana falta al trabajo: mi inferencia es que mañana vamos aestar solos en la oficina”, “No podemos guiarnos por inferencias, sino que tenemosque aguardar a que los sucesos se confirmen antes de tomar una decisión”Elsilogismoes una forma esencial de inferencia. Se trata de una forma derazonamiento deductivo que se forma por dos proposiciones (premisas) y unaconclusión. Esta conclusión es la inferencia que necesariamente se deduce de lasdos premisas.La veracidad de la conclusión dependerá de las leyes que regulan la relación entrelas premisas comparadas. La garantía de verdad del nuevo juicio es lalógica,quedeberá establecer distintas clasificaciones de las premisas.No todas las inferencias ofrecen conclusiones verdaderas. Es posible afirmar quetodos los perros son animales peludos de cuatro patas, pero no se puede inferir que todos los animales peludos con cuatro patas son perros.

Las inferencias suelen generarse a partir de un análisis de características y probabilidades. Si alguien hace referencia a un animal de cuatro patas, peludo y que mueve la cola, puedo inferir que lo más probable es que esté haciendo referencia a un perro.