Modula Metodos Cuantitativos

Mtodos Cuantitativos para los Negocios

MBA. David Johny Oseda Tello

Ttulo : Mtodos cuantitativos para los negociosAutor: MBA. David Johny Oseda Tello

Diseo interior: Jacob Alex Condori ItoDiseo de tapa: Jacob Alex Condori Ito

Responsables: David Palacios Pinedo, Christian Vallejos Angulo, Lizardo Vsquez Villanueva, Anita Acua Huamn.

Primera edicin, marzo 2013

El contenido de esta publicacin (texto, imgenes y diseo), no podr reproducirse total ni parcialmente por ningn me-dio mecnico, fotogrfico, electrnico (escner y/o fotoco-pia) sin la autorizacin escrita del autor.

universidad peruana unin - Facultad de Ciencias EmpresarialesCentro de Produccin de Materiales Acadmicos cepMa-proesadSede Central - UPeUCarretera Central km 19 aa-Lima / Tel. (01) 618-6336 / 618-6300 / Anexo: 3084www.upeu.edu.pee-mail: [email protected]://proesad.upeu.edu.pe

Este libro se termin de imprimir en los talleres grficos del Centro deAplicacin Editorial Imprenta Unin de la Universidad Peruana Unin,Km 19 Carretera Central, aa, Lima-PerTel.: 618-6301, Telefax: 618-6339

JOB 16136-13 UNINE-mail: [email protected]

Hecho el depsito legalen la Biblioteca Nacional del Per N 2013-09810

IMPRESO EN EL PERPRINTED IN PERU

presentacin

El presente material constituye una herramienta fundamental de estu-dio que el estudiante deber usar, durante el desarrollo de la asignatura de Mtodos Cuantitativos para los Negocios. Este material se usar como material de consulta y apoyo. La estructura de cada tutora est diseada, primero, en forma conceptual y, posteriormente, con ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. Con los ejercicios resueltos dar ms claridad al tema o tutora, los propuestos darn entrenamiento y anlisis a los diferentes problemas reales. Los mtodos cuantitativos son modelos matemticos que son empleados en problemas cotidianos como la produccin, punto ptimo, pronsticos, transporte, etc. De tal manera que el estudiante usar, en forma prctica, conceptual y analticamente, creando un acercamiento a las activida-des reales relacionadas a la optimizacin de recursos.

De esta manera, deseamos que el estudiante pueda investigar este material y otros materiales adicionales para dar cumplimiento al objetivo de esta materia.

unidad i: LOS MTODOS CUANTITATIVOS E INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL

sesin 1 GENERALIDADES .................................................................................................... 151.1 ORIGEN DE LOS MTODOS CUANTITATIVOS................................................................. 15

1.2 ETAPAS BSICAS EN LOS MTODOS CUANTITATIVOS .................................................. 16

1.3 PRINCIPALES MTODOS EMPLEADOS .......................................................................... 16

1.4 SOLUCIN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES ................................................... 17

sesin 2 MODELOS ............................................................................................................... 192.1 DEFINICIN .................................................................................................................. 19

2.2 TIPOS DE MODELOS ..................................................................................................... 19

2.3 MODELOS MATEMTICOS ............................................................................................ 19

2.4 PROCESO DE MODELADO ............................................................................................. 20

2.5 MODELADO DE SIMULACIN ....................................................................................... 21

2.6 ETAPAS DEL MODELADO ............................................................................................. 21

sesin 3 CONCEPTOS BSICOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL........................................... 233.1 ORIGEN Y FINALIDAD DE LA PROGRAMACIN LINEAL ................................................ 23

3.2 ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL ................................. 23

sesin 4 LA SOLUCIN DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL.......................... 274.1 MTODOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL .................. 27

4.2. MTODO GRFICO ...................................................................................................... 27

4.2.1. DEFINICIN ............................................................................................................. 27

4.2.2. TEOREMA ................................................................................................................. 28

4.2.3. PASOS PARA OBTENER LA SOLUCIN GRFICA ...................................................... 28

4.3. MTODO PUNTO DE ESQUINA .................................................................................... 29

4.3.1. TEOREMA ................................................................................................................. 29

4.3.2. PASOS PARA OBTENER LA SOLUCIN POR EL MTODO PUNTO DE ESQUINA ......... 29

4.4. MTODO DEL SIMPLEX ................................................................................................ 30

4.4.1. INTRODUCCIN ....................................................................................................... 30

4.4.2. DEFINICIONES .......................................................................................................... 30

4.4.3. PASOS DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX ..................................................................... 31

4.5 MTODO COMPUTACIONAL ........................................................................................ 40

EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 40

ndice

13

45

93

unidad ii: PROBLEMAS, MODELOS Y SOLUCIN EN PROGRAMACIN LINEAL:

sesin 5 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE Y TRANSBORDO .................................................. 475.1. GENERALIDADES ......................................................................................................... 47

5.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................................................. 47

5.3. CLCULO DE LA SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE ............................... 48

5.3.1. DETERMINACIN DE UNA SOLUCIN INICIAL .......................................................... 48

5.3.1.1. MTODO DE LA ESQUINA DE N.O ........................................................................ 49

5.3.1.2. MTODO DE MNIMO DE FILAS ............................................................................ 50

5.3.1.3. MTODO DE MNIMO DE COLUMNAS ................................................................... 51

5.3.1.4. MTODO DE FLUJOS MUTUAMENTE CONVENIENTES............................................. 52

5.3.1.5. MTODO DE PENALIZACIONES ............................................................................ 54

5.3.2. PRUEBA DE OPTIMALIDAD ...................................................................................... 57

5.4. EL PROBLEMA DE TRANSBORDO ................................................................................ 63

sesin 6 EL PROBLEMA DE ASIGNACIN ............................................................................. 676.1. GENERALIDADES ......................................................................................................... 67

6.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................................................. 67

6.3. ETAPAS PARA OBTENER LA SOLUCIN PTIMA POR EL MTODO HNGARO ............ 68

EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 73

sesin 7 LA TCNICA PERT ................................................................................................... 757.1. GENERALIDADES ......................................................................................................... 75

7.2. ESTRUCTURA DEL PROBLEMA ..................................................................................... 75

7.3. FORMULACIN DEL PROBLEMA.................................................................................. 76

sesin 8 EL MTODO CPM .................................................................................................... 838.1. GENERALIDADES ......................................................................................................... 83

8.2. ESTRUCTURA DEL PROBLEMA ..................................................................................... 83

8.3. FORMULACIN DEL PROBLEMA.................................................................................. 84

8.3.1. MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL ....................................................................... 84

8.3.2. ALGORITMO DE ACKOFF- SASIENI .......................................................................... 85

EJERCICIOS PROPUESTOS .......................................................................................... 89

unidad iii PRONSTICOS

sesin 9 INTRODUCCIN A LOS PRONSTICOS .................................................................... 959.1 GENERALIDADES .......................................................................................................... 95

9.2 DATOS HISTRICOS ..................................................................................................... 95

9.3 TIPOS DE PRONSTICOS .............................................................................................. 96

9.3.1. PRONSTICOS BASADOS EN OPINIONES SUBJETIVAS ............................................. 96

9.3.2. PRONSTICOS BASADOS EN UN NDICE .................................................................. 96

9.3.3. PRONSTICOS BASADOS EN PROMEDIOS ............................................................... 96

9.3.4. PRONSTICO ESTADSTICO ...................................................................................... 97

9.3.5. MTODOS COMBINADOS ......................................................................................... 97

sesin 10 MODELOS DE PRONSTICOS CUANTITATIVOS ..................................................... 9910.1 INTRODUCCIN ......................................................................................................... 99

10.2 MODELOS DE PRONSTICOS POR SERIES DE TIEMPO ................................................ 99

10.2.1 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO ............................................................. 99

10.2.1.1. MOVIMIENTOS SECULARES O DE TENDENCIA SECULAR ...................................... 99

10.2.1.2. MOVIMIENTOS CCLICOS O VARIACIONES CCLICAS ............................................ 99

10.2.1.3. MOVIMIENTOS ESTACIONALES O VARIACIONES ESTACIONALES ....................... 100

10.2.1.4. MOVIMIENTOS IRREGULARES, AL AZAR O ALEATORIOS ................................... 100

10.2.2 MTODOS DE PRONSTICO .................................................................................. 100

10.2.2.1. PRONSTICO BASADO EN LA MEDIA ARITMTICA ........................................... 100

10.2.2.1.1. CLCULO ESTIMATIVO DEL ERROR EN EL PRONSTICO ................................. 101

10.2.2.2. PROMEDIO MVIL ............................................................................................ 103

10.2.2.3. SUAVIZACIN EXPONENCIAL ............................................................................ 104

10.2.2.4. REGRESIN ....................................................................................................... 105

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................. 110

BiBliograFa .................................................................................................................... 113

suMillaEl curso pertenece al rea de formacin profesional, es de naturaleza terico-prctico y tiene como finalidad orientar al estudiante en la formulacin de diversas estructuras de an-lisis cuantitativo y en el diseo de modelos matemticos que brindan sustento y fortaleza al momento de realizar el proceso de la toma de decisiones, que se presenta a niveles operativos, tcticos e incluso estratgicos en las organizaciones. Comprende el estudio de:1) Introduccin a los mtodos cuantitativos, 2) El mtodo Simplex y el problema Dual 3) El modelo de transporte y asignacin 4) Gestin y administracin de proyectos 5) Modelos de inventarios y 6) Anlisis de decisiones.

CMO ESTUDIARLOS MDULOS DIDCTICOS O TEXTOS AUTOINSTRUCTIVOS

AnTES DE lA lECTURA

DURAnTE lA lECTURA

DESpUS DE lA lECTURA

El mtodo A2D para autodidactas, de Ral Paredes Mo-rales, es un mtodo de fcil aplicacin para la mayora de los estudiantes, inclusive para los no autodidactas. Si el estudiante aplica este mtodo, su trabajo intelectual ser ms rpido y eficaz.A2D responde a las letras iniciales de los 3 pasos que se propone para la lectura de un mdulo didctico o cualquier otro texto.

Consiste en la exploracin preliminar y se debe:

Echar un vistazo general empezando por el ndice, reconociendo unidades y lecciones que se van explicando en el mdulo didctico.

Anotar tus dudas que van surgiendo durante el vistazo general, para esclarecerlas durante la lectura o despus de ella.

Adoptar una actitud psicolgica positiva.

Esta es la fase ms importante del mtodo, el ritmo de lectura lo pone cada lector. Debes tener presente los siguientes aspectos:

Mantn una actitud psicolgica positiva. Participa activamente en la lectura: Tomando apuntes, subrayando,

resumiendo y esquematizando.

Si no entiendes lo que lees o encuentras una palabra desconocida, consulta con tu profesor, tutor o un diccionario.

Esta fase va a afianzar tu lectura, mejorando tu comprensin lectora. Para ello debes tener en cuenta lo siguiente:

Repasa los apuntes tomados durante la lectura. Organiza el trabajo y planifica el horario de estudio. Trata de que

sea siempre a la misma hora.

Realiza los trabajos diariamente. No dejes que se te acumulen las tareas. Procura ampliar las lecciones con lecturas complementarias. Al final de cada captulo, haz un cuadro sinptico o mapa conceptual. Elabora tu propio resumen.

Antes de la lectura

Durante la lectura

Despus de la lecturaA2D

Enriquece tu vocabulario para entender mejor las prximas lecturas.

MTODO A2D

ORIEnTACIOnES METODOlGICAS

Facultad de Ciencias Empresariales

Mtodos cuantitativos para los negocios

13

unidad i

LOS MTODOS CUANTITATIVOS E INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL

Asimila los conceptos de modelos matemticos, comprende la funcin de los Mtodos Cuantitati-vos, Programacin Lineal. Entiende la lgica de la programacin lineal en el sistema productivo para poder aplicar.

Estudia los ejercicios resuel-tos en programacin lineal, resuelva y analiza los ejer-cicios propuestos, con el fin de comprender la manera ms adecuada la progra-macin lineal.

Aplica los conceptos en temas de reales segn la actividad que emprendas.

conceptual procediMental actitudinal

Competencias

sesin 1 Generalidades

sesin 2 Modelos

sesin 3 Conceptos Bsicos de

Programacin Lineal

sesin 4 La solucin de los problemas de Programacin Lineal

U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i n

unidad i

14

Sesin

1



15

Sesin

1

generalidades

1.1 origen de los Mtodos cuantitativos

PARA QU SIRVEN LOS MTODOS CUANTITATIVOS?Los mtodos cuantitativos tuvieron su origen en el inicio formal de la Investigacin Operativa o Investigacin de Operaciones, que tuvo lugar en Inglaterra a fines de 1939, en el perodo de la Segunda Guerra Mundial, cuando la estacin de investigacin de Bawdsey, bajo la direccin del Dr. A. Rowe, fue encargada del desarrollo de polticas ptimas para el nuevo sistema de detec-cin militar llamado RADAR.

En agosto de 1940, el Dr. P.M.S. Blackett, fsico de la Universidad de Manchester, fue encargado de formar un grupo de trabajo para estudiar el sistema de defensa antiarea gobernado por RADAR. Este grupo estaba constituido por tres psiclogos, dos fsicos matemticos, un astrofsico, un oficial del ejrcito, un topgrafo, un fsico y dos matemticos. Admita que en l se daban todas las caractersticas de los grupos que trabajan en Investigacin Operativa:

y Grupo de trabajo interdisciplinario y Empleo de modelos matemticos y Punto de vista de anlisis de sistemas

Este grupo fue encargado del estudio del ataque areo a los submarinos enemigos. Las bombas estaban programadas para estallar a una profundidad de unos treinta metros, pues se argumen-taba que el submarino se sumergira al divisar al bombardero; y dado que desde el instante en que fuera localizado el bombardero hasta el lanzamiento de la bomba, transcurriran aproxima-damente dos minutos, unos treinta metros era, aproximadamente, la profundidad alcanzada por el submarino en su precipitada inmersin. Pero, aunque el razonamiento era vlido, los resultados obtenidos con esta tctica eran muy limitados. Cuando el grupo del Dr. Blackett se hizo cargo del estudio, su primera decisin consisti en la observacin directa de la situacin, acompaando a los bombarderos en sus misiones de ataque a submarinos.

Tras un elevado nmero de observaciones, llegaron a la conclusin con el anlisis de los datos de los ataques:


unidad i

16

a) Debido a la falta de precisin del bombardeo, muy pocas de las bombas explotaban cerca de su objetivo, a treinta metros de profundidad.

b) La precisin aumentaba cuando el submarino no haba tenido tiempo de sumergirse, pero en ese caso las bombas estallaban a demasiada profundidad, casi sin causar daos.

Por tanto, la profundidad de treinta metros era adecuada cuando el submarino divisaba con antelacin al bombardero, pero la falta de precisin impeda obtener resultados. Y cuando la precisin era buena, la profundidad a que estaba programada la explosin era inadecuada, pues esto solo ocurra cuando el submarino se mantena cercano a la superficie.

A la vista de los datos estadsticos sobre la precisin del bombardeo y la inmersin de los sub-marinos, se lleg a la conclusin de que la alternativa ms adecuada era optar por causar daos, cuando el submarino estuviera en la superficie. De este modo, los resultados mejoraron espec-tacularmente. En este trabajo ya estaban incluidos los aspectos que caracterizan a los estudios de Investigacin Operativa:

1. Toma directa de datos.2. Empleo de modelos matemticos para el anlisis de la situacin que, en este caso, era sim-plemente estadstico.3. Obtencin de las polticas ptimas que corresponden al modelo.4. Modificacin de dichas polticas, de acuerdo con factores reales no considerados en el modelo: en este caso se emplearon espoletas que explotaban a diez metros de profundidad.

Sus postulados iniciales han evolucionando sucesivamente y han desarrollado un importante nmero de modelos matemticos y mtodos cuantitativos, con el apoyo de los computadores.

El desarrollo de la investigacin operativa, segn muchos autores, ha representado uno de los avances cientficos ms importantes desde mediados del siglo XX. Actualmente es una herra-mienta utilizada en muchos campos de la administracin, de la economa y de la ingeniera.

La investigacin operativa tiene como base el mtodo cientfico para investigar y ayudar a tomar decisiones sobre los problemas complejos de las organizaciones de hoy en da.

1.2 etapas Bsicas en los Mtodos cuantitativos

Bsicamente la investigacin operativa sigue los pasos siguientes: Observacin y formulacin del problema. Modelizar matemticamente el sistema. Extraer una solucin del modelo. Experimentacin del modelo y de la solucin. Realizar controles sobre la solucin alcanzada. Implementar la solucin.

1.3 principales Mtodos eMpleados

y Entre los principales y ms usados tenemos: y Pronsticos y Administracin de inventarios



17

y Programacin lineal y Programacin lineal entera y Programacin dinmica y Programacin de metas y Programacin no lineal y Programacin cuadrtica y Optimizacin de redes y Programacin de proyectos: PERT/CPM y Modelos de colas o lneas de espera y Anlisis de decisiones y Simulacin

Cada uno de esos mtodos ha sido diseado para tomar en cuenta las propiedades matemticas especiales del modelo, siendo la ms exitosa de estas tcnicas la de programacin lineal, la cual desarrollaremos ms adelante.

Todas las tcnicas dan por resultado algoritmos computacionales de naturaleza iterativa. Don-de cada nueva iteracin lleva ms cerca de la solucin ptima, en muchos casos se requiere clculos voluminosos y tediosos. Luego es imperativo que estos algoritmos se ejecuten en una computadora.

Algunos modelos matemticos son tan complejos que es imposible resolverlos mediante cual-quiera de los algoritmos de optimizacin disponible. En estos casos se abandona la bsqueda de la solucin ptima y se optara por una buena solucin utilizando la heurstica. La ventaja de una heurstica sobre un algoritmo de optimizacin exacta es que, en general, su ejecucin es ms rpida.

1.4 solucin de proBleMas Y toMa de decisiones

La solucin de problemas se puede definir como el proceso de identificar la diferencia entre el estado real y el estado deseado de las cosas y, seguidamente, tomar las acciones correspondien-tes para resolver dicha diferencia.

Para problemas importantes y complejos, el proceso de resolucin de problemas involucra los siguientes pasos:

1. Identificar y definir el problema.2. Determinar el conjunto de soluciones alternativas.3. Determinar los criterios que se utilizarn para evaluar dichas alternativas.4. Evaluar las alternativas.5. Elegir una alternativa.6. Implementar la alternativa seleccionada (la decisin), es decir, ponerla en prctica.7. Evaluar los resultados y determinar si se ha llegado a una solucin satisfactoria.

La toma de decisiones, generalmente, comprende los cinco primeros pasos del proceso de so-lucin de problemas, por lo que el primer paso de la toma de decisiones es identificar y definir el problema. Esta termina al seleccionar o elegir una alternativa, que es el acto de tomar una decisin.


unidad i

18

El siguiente diagrama de bloques muestra este proceso:

Definir el Problema

Determinar Los

Criterios

IdentificarAlternativas

Evaluar Alternativas

Elegir unaAlternativa

Implementar la

alternativa

Evaluar los

resultados

Toma de decisiones

Resolucin deproblemas

En la toma de decisiones, se requiere identificar tres componentes principales:

Cules son las alternativas de la decisin?Bajo qu restricciones se toma la decisin?Qu es un criterio objetivo para la evaluacin de las alternativas?

Por lo general, las alternativas del problema de decisin pueden tener la forma de variables desconocidas. Despus estas variables se utilizan para construir las restricciones y el criterio ob-jetivo como funciones matemticas apropiadas. El resultado final es un modelo matemtico que relaciona las variables, las restricciones y la funcin objetivo. La solucin del modelo produce, entonces, los valores de las variables de la decisin que optimizan (maximizan o minimizan) el valor de la funcin objetivo, al mismo tiempo que satisfacen todas las restricciones.

Sesin

2


19


Sesin

2Modelos

2.1 deFinicin

Un modelo es la representacin aproximada de un objeto, de un proceso o de una situacin real. Tambin se puede decir que es una abstraccin cuidadosamente seleccionada de la realidad.

2.2 tipos de Modelos

Generalmente, se consideran tres tipos de modelo:

- Modelos fsicos o icnicos, que son las representaciones a escala de los objetos reales, por ejemplo: los modelos en miniatura de un avin, barco, una casa o de un conjunto urbanstico.

- Modelos analgicos, empleados con mucha frecuencia pero que pocos los pueden recono-cer, por ejemplo: un mapa topogrfico que nos representa las variaciones de altitud de zona geogrfica, el velocmetro de un vehculo que nos representa la velocidad a que se encuentra dicho vehculo mediante el desplazamiento de la aguja indicadora sobre un panel, con escala graduada, et.

- Modelos simblicos o abstractos, los cuales emplean smbolos y relaciones o expresiones ma-temticas para representar los conceptos mediante variables definidas cuantitativamente. Por ejemplo: Si definimos como I al ingreso por ventas, como P al precio de venta de un bien y como Q a la cantidad vendida de dicho bien, entonces el ingreso por ventas estar dado por: I = P x Q. Esta expresin representa ya, de por s, un modelo matemtico, claro est, muy simple.

2.3 Modelos MateMticos

Los modelos que nos interesan para efectos del curso son los modelos simblicos o abstractos, dentro de los cuales se encuentran los modelos matemticos, con los que se puede represen-tar un problema mediante smbolos y relaciones o expresiones matemticas, para tratar datos cuantificables, es decir que puedan ser expresadas en forma numrica. No est dems recalcar que los datos numricos son un factor crtico en cualquier procedimiento cuantitativo para la toma de decisiones.


unidad i

20

2.4 proceso de Modelado

En el siguiente diagrama de bloques se puede apreciar el proceso de modelado bastante sim-plificado, pero concreto:

Modelo

Mundo Simblico

Mundo Real

Abs

trac

cin

Inte

rpre

taci

n

JuicioAdministrativo

Intuicin

Anlisis

SituacinAdministrativa

Resultados

Decisiones

Fig. 1: Proceso de Construccin de un Modelo

Antes de la aplicacin de los mtodos cuantitativos, los administradores dependan solo de su intuicin por completo, como instrumento para tomar decisiones. Con la complejidad de los pro-blemas actuales en los diversas reas de la administracin eso ya no es suficiente, por cual se requiere de herramientas ms sofisticadas y cientficas para su resolucin.

Lo anterior requiere salir del mundo real, abstraerse y entrar al mundo simblico, tal como lo muestra la figura 1. En esto consiste el proceso de modelacin, en la representacin en el mundo simblico de un problema o situacin del mundo real. Este proceso es adicional al uso de la intuicin, no para sustituirla. Implica, como ya lo dijimos antes, abstraer los aspectos problemticos de la situacin en un modelo cuantitativo que represente lo ms esencial de la situacin. En tal sentido, el juicio administrativo debe estar presente en todos los aspectos del proceso.

El paso crucial en la formulacin de un modelo de decisin es la identificacin de sus principales componentes conceptuales. Estos son:

- Las entradas del modelo.- Las salidas del modelo (o resultados del modelo).

En esta etapa el modelo se considera como una caja negra, pues no se sabe an cules sern las relaciones lgicas que colocaremos dentro de ella.

Se podr representar como se muestra en el siguiente diagrama de bloques de la fig. 2:


21


Caja Negra

Medidas deRendimiento

Variables deConsecuencia

DECISIONES(Controlables)

Parmetros(Incontrolables)

VariablesExgenas

VariablesEndgenas

Fig. 2: Modelo como Caja Negra

MODELO

2.5 Modelado de siMulacin

En vista a que an existen muchas situaciones reales que todava no se pueden representar como sistemas matemticos por la rigidez de la representacin matemtica, se da entonces un enfoque alternativo para modelar un sistema complejo que es la simulacin. El modelado por simulacin es la segunda mejor opcin para observar un sistema real. Difiere del modelado ma-temtico en que no es necesario exponer, de manera explcita, la relacin la entrada y salida. En vez de ello, desglosa el sistema real en (pequeos) mdulos y despus imita el comportamiento real del sistema, utilizando relaciones lgicas para unir los mdulos. Empezando con el mdulo de entrada, los clculos de la simulacin avanzan entre los mdulos apropiados hasta que se obtiene el resultado deseado.

Los clculos por simulacin se requiere efectuarlos en un computador, por la cantidad de los mismos que se efectan.

Un modelo de simulacin por lo regular es costoso, tanto en trmino de tiempo como de recur-sos. Adems, la ejecucin de algunos modelos de simulacin, incluso en las computadoras ms rpidas, puede ser lenta.

2.6 etapas del Modelado

Las etapas principales son:

1. Definicin del problema, establecer el alcance del problema que se est investigando. En esta etapa se debe identificar tres elementos principales de decisin del problema, a saber: (1) la descripcin de las alternativas de decisin, (2) la determinacin del objeti-vo del estudio y (3) la especificacin de las limitaciones bajo las cuales opera el sistema que se modela.

2. Construccin del modelo, implica traducir la definicin del problema a relaciones mate-mticas (por ejemplo, programacin lineal). Si las relaciones matemticas son demasiado complejas para encontrar una solucin ptima, se puede simplificar el modelo y emplear un enfoque heurstico, o bien considerar el empleo de la simulacin, si es apropiado. En algu-nos casos una combinacin de modelos matemtico, de simulacin y heurstico puede ser apropiada para resolver el problema de decisiones.


unidad i

22

3. La solucin del modelo, la ms sencilla de todas las etapas, implica el empleo de algoritmos de optimizacin bien definidos. Un punto importante en esta etapa es el anlisis de sensibi-lidad. Este anlisis es particularmente necesario cuando no es posible calcular con precisin los parmetros del modelo.

4. La validacin del modelo verifica si el modelo propuesto hace lo que se supone que debe hacer, es decir, el modelo proporciona una prediccin razonable del comportamiento del sistema que se est estudiando? Por lo general, no hay seguridad de que el desempeo futuro seguir duplicando el comportamiento conocido. Adems, debido a que por lo comn el modelo se basa en un examen cuidadoso de los datos pasados, la comparacin propuesta debe ser favorable. Si el modelo representa un nuevo sistema (inexistente), no habr datos histricos disponibles para hacer la comparacin. En tales casos, podemos recurrir al empleo de la simulacin como un instrumento independiente para verificar el resultado del modelo matemtico.

5. La puesta en prctica, de la solucin de un modelo validado implica la traduccin de los resultados del modelo a instrucciones de operacin, impartidas en una forma que sea com-prensible para los individuos que administrarn el sistema recomendado.

Sesin

3


23


Sesin

3

3.1 origen Y Finalidad de la prograMacin lineal

Inicialmente conocida como Programacin en Estructura Lineal, fue creada en 1947 por George B. Dantzig, en el siglo XX.

En 1948, Tjalling Keopmans sugiri a Dantzig que, como el nombre era muy largo, quedara mejor como Programacin Lineal, lo cual fue aceptado por Dantzig, tal como se conoce ac-tualmente a este popular mtodo.

Podemos decir, en forma bastante concreta, que la finalidad de la programacin lineal es determinar la forma ms eficaz de utilizar los recursos disponibles para conseguir un determinado objetivo.

En general, estos recursos disponibles presentan dos caractersticas fundamentales:

y Son limitados y Son susceptibles de usos alternativos

Esta doble caracterstica de limitacin de recursos y de la posibilidad de ser utilizados de diferen-tes maneras, hace rentable la investigacin de las posibles alternativas de aplicacin, con el fin de conseguir la mxima utilidad entre ellos.

El planteamiento completo de un problema de programacin lineal incluye un conjunto de ecua-ciones lineales que representan las condiciones del problema, y una funcin lineal que expresa el objetivo del mismo, denominada comnmente funcin econmica.

En cuanto a la palabra lineal, significa solamente lo que representa; los problemas pueden adap-tarse al modelo si las relaciones algebraicas entre las variables son lineales, o pueden aproxi-marse con precisin por medio de ecuaciones de primer orden. Si esta condicin no se cumple, deben utilizarse otras tcnicas.

3.2 estructura de los proBleMas de prograMacin lineal

La programacin lineal se usa en la resolucin de gran diversidad de problemas, entre los cuales tenemos:

- El problema de la planificacin de la produccin o tambin conocido como de la mezcla ptima de produccin.

conceptos Bsicos de la prograMacin lineal


unidad i

24

- El problema del transporte.- El problema del trasbordo.- El problema de la dieta.- El problema del flujo en una red.- El problema de la cartera de valores.- El problema del despacho econmico, etc.

En general, los problemas de programacin lineal tienen la siguiente estructura:

1. Existe un cierto objetivo a alcanzar, tal como un beneficio mximo, costo mnimo o mnimo perodo de tiempo del sistema que se estudia.

2. Hay un gran nmero de variables que deben manejarse simultneamente. Estas variables pueden ser productos, horas-mquinas, horas-hombre, dinero, superficie, u otros factores segn sea el problema.

3. Existe muchas interacciones entre las variables. Un problema tpico es determinar la mejor proporcin de productos para un perodo de produccin. Aqu se trata de determinar qu productos se han de fabricar a partir de una lista de productos potenciales, junto con las can-tidades ptimas de cada uno para hacer mximo el beneficio total que se obtiene de todos los productos, durante un perodo de produccin establecido.

4. Muchos problemas de programacin lineal se ven caracterizados por la presencia de restric-ciones, que son contradictorias con el objetivo principal del problema. En el caso de varios productos, por ejemplo, el fabricante puede especificar que al menos se obtenga una cierta cuanta de uno de los productos, an sin tener en cuenta el beneficio.

De esta forma, la programacin lineal tiende a asociarse con situaciones complejas, muchas variables que se interaccionan y objetivos competitivos, junto con la optimizacin de algn cri-terio de efectividad del sistema. Las interacciones de las variables y la rivalidad de objetivos son caractersticas de muchas situaciones industriales.Cabe destacar que la programacin lineal tiene una relacin matemtica con ecuaciones lineales de primer grado, de esa manera un sistema de ecuaciones da las aristas para graficarlo en unas coordenadas.De esta manera, el planteamiento matemtico general del problema de programacin lineal es el siguiente: Encontrar el vector solucin de:

(1) a11x1 + .. + a1nxn b1 ... am1x1 + . + amnxn bm

Que haga mximo a:

(2) Z = c1x1 + . + cnxn

Y de tal manera que las variables xj estn sujetas a la condicin de no negatividad:

(3) xj 0


25


ejemplo

Una pequea carpintera dispone de dos mquinas A y B para la fabricacin de sillas y mesas. Cada silla produce un beneficio de $ 10 y cada mesa $ 30. Cada silla requiere cuatro horas en A y ocho en B, mientras que cada mesa precisa seis horas en A y cuatro en B. Durante la siguiente semana las mquinas A y B tienen 12 y 16 horas disponibles, como mximo respectivamente para estos trabajos. Suponiendo que existe demanda para ambos productos, Plantear la solu-cin, a fin de determinar cuntas sillas y/o mesas deben fabricarse para conseguir un beneficio mximo.

solucinPara plantear la solucin a este problema, debemos considerar los siguientes pasos:

a. Las siguientes alternativas estn disponibles- Fabricar solo sillas- Fabricar solo mesas- Fabricar sillas y mesas

Luego nuestras variables a considerar seran:

X1 = N. de sillasX2 = N. de mesas

b. Las restricciones estaran dadas por la disponibilidad de horas de fabricacin de las mquinas A y B:

4X1 + 6 X2 128X1 + 4 X2 16

c. Determinamos la funcin objetivo. En este caso se trata de optimizar la utilidad por la venta de las sillas y mesas. Luego la funcin econmica sera:

Z = 10X1 + 30X2

d. Se tendra que considerar la condicin de no negatividad:

X1 0X2 0


unidad i

26

Sesin

4


27


Sesin

4

4.1 Mtodos de resolucin de proBleMas de prograMacin lineal

Para la resolucin de problemas de Programacin Lineal (PL), existen tres mtodos clsicos que permiten resolver los problemas de este tipo, tales como:

1. Mtodo grfico2. Mtodo del punto de esquina 3. Mtodo del Simplex

Asimismo, debido al gran desarrollo computacional actualmente existe el mtodo de resolucin por computadora, el cual emplea software o programas computacionales especialmente elabo-rados para resolver los problemas de PL. Dicho sea de paso, mediante este mtodo la resolucin de un problema de PL ha pasado a ser bastante simple, evitando as las laboriosas operaciones matemticas que conlleva su resolucin manual.

Por otro lado, es necesario poner en relieve que el mtodo grfico no resulta muy prctico dado que solo puede utilizarse en dos dimensiones, es decir en plano cartesiano XY, y existe la imposibilidad de dibujo en dimensiones superiores a tres. Asimismo, el mtodo del punto de esquina resulta, poco til como consecuencia del gran nmero de sistemas de ecuaciones a resolver.

4.2 Mtodo grFico

4.2.1. definicin

Conjunto convexo en R2

Un subconjunto S de R2 es convexo si todo punto del segmento de la recta que une dos puntos cualesquiera de S es un punto de S.

la solucin de los proBleMas de prograMacin lineal


unidad i

28

4.2.2. teorema

El conjunto solucin de un sistema de desigualdades es un conjunto convexo.

4.2.3. pasos para obtener la solucin grfica

1. Dibujar el conjunto de desigualdades.2. Dibujar la funcin econmica.3. Desplazar la funcin econmica paralelamente a la direccin de optimizacin sin abandonar

el conjunto de restriccin.4. Leer las coordenadas del punto antes de que la recta que representa la funcin econmica

abandone la regin restringida.

ejercicio 4.1Resolver grficamente el problema de programacin lineal:

20X1 + 50X2 33004X1 + 3X2 380X1 , X2 0

Max Z = 3X1 + 6X2

solucin 4.1Trasladando la recta 3x1 + 6x2 = 0 paralelamente a ella misma, el ltimo punto antes de aban-donar la regin convexa es el (65,40), punto en donde la funcin econmica alcanza su mximo.


29


4.3 Mtodo punto de esQuina

4.3.1. teorema

Una funcin lineal Z = c1x1 + . + cnxn definida sobre un conjunto convexo acotado al-canza sus valores mximo y mnimo en los puntos extremos (o vrtices).

4.3.2. pasos para obtener la solucin por el mtodo punto de esquina

Determinar todos los puntos esquina del conjunto restriccin.Determinar los puntos esquina que satisfacen todas las desigualdades.Evaluar el valor de la funcin econmica en cada esquina y determinar los puntos en donde se alcanza el mximo.

ejercicio 4.2Dadas las rectas a y b que cortan a los ejes x1 y x2 en los puntos indicados en el grfico, se pide:

1. Escribir las inecuaciones correspondientes a los polgonos convexos (1), (2) y (3).2. Determinar la solucin ptima, utilizando las restricciones correspondientes al polgono con-

vexo (1), y la funcin a maximizar siguiente:

Z = 9x1 + 5x2

solucin 4.2

1. Polgono (1):

a) 8x1 + 5x2 = 40 restricciones 8x1 + 5x2 40b) 5x1 + 9x2 = 45 5x1 + 9x2 45 x1 , x2 0

Polgono (2):

restricciones 8x1 + 5x2 40 5x1 + 9x2 45 x1 , x2 0


unidad i

30

Polgono (3):restricciones 8x1 + 5x2 40

5x1 + 9x2 45 x1 , x2 0

2. Solucin ptima para restricciones Polgono (1):

Punto de corte de las rectas:

a) 8x1 + 5x2 = 40 x1 = 2.87b) 5x1 + 9x2 = 45 x2 = 3.41

Los vrtices de la regin convexa son: (0,0); (0,5); (5,0); (2.87, 3.41)

El valor ptimo de la funcin se alcanza en el punto extremo (5,0) y resulta ser:x1 = 5x2 = 0

ya que sustituyendo estas coordenadas en la funcin econmica se obtiene el mximo valor:

Z = 9x5 + 5x0 = 45

4.4 Mtodo del siMpleX

4.4.1. introduccin

En esencia, el algoritmo del Simplex precisa para su utilizacin disponer de una solucin inicial posible que permita iniciar los clculos, por ello, segn el caso que se presente ser necesario introducir variables de holgura y variables artificiales.

4.4.2. definiciones

1. Variable de holgura: Variable que permite convertir una desigualdad en igualdad.1. Variable artificial: Variable que permite iniciar el cmputo, caso de no disponer de una

solucin inicial posible bsica.

Mediante las variables de holgura, el problema general de Programacin consiste en encon-trar un vector (x1, x2,,xn) que optimice una funcin objetivo:

(a) Z = c1x1 + c1x2 +. + cnxn

Sujeta a las restricciones

(b) a11x1 + a12x2 + . + a1nxn = b1 ........ m < n am1x1 + am2x2 +. + amnxn = bm


31


Que haga mximo a:

(c) xi 0 para una i cualquiera

1. Solucin posible: Es un vector (x1, x2,,xn) que satisface las condiciones (a) y (b)2. Solucin bsica: Solucin obtenida al hacer (n-m) variables igual a cero, siempre que el

determinante de los coeficientes de estas m variables no sea cero.3. Solucin posible bsica: Es una solucin bsica que satisface (c).4. Solucin posible bsica no degenerada: Es una solucin posible bsica con exactamente

m xi positivas.

4.4.3. pasos del algoritmo del simplex

notacin:

Pj = Vector de coeficientes de la variable j.cj = Contribucin de la variable j a la solucin. (Rendimientos directos)ci = Coeficientes en la funcin objetivo de las variables en solucin. zj = Costo de introducir la variable j en solucin:

bi = Exigencias o vector solucin.cj - zj = Rendimientos marginales.

i = bi / aij

Suponiendo que ya se ha encontrado una solucin bsica posible a un problema de mximo, en el momento que se inician las iteraciones del algoritmo, los pasos son los siguientes:

1 Calculamos cj - zj para cada variable que no est presente en la solucin:1. Si para el menos un j cj - zj es positivo y si al menos un aij para este j es positivo,

existe un mejor programa posible.

2. Si para un j cj - zj es positivo, pero los aij para este j son no positivos, la funcin objetivo no est acotada.

3. Si cj - zj es no positivo para todo j, el programa (solucin) ptimo se ha encontrado.

2 Si nos encontramos en el caso 1.1., identificamos la variable que da mayor cj - zj (supon-gamos que es xk) y el elemento que da menor i = bi / aij , sea el ark , este elemento se denomina pivote.

3 Se divide la r-sima fila por ark para obtener el correspondiente elemento en la tabla si-guiente. Se efectan las operaciones fila que reducirn a cero todos los otros elementos.

4 Repetimos los pasos 1,2 y 3 hasta que en alguna tabla se cumpla la condicin 1.3. Entonces se ha obtenido la solucin ptima.


unidad i

32

Cuando se realiza el algoritmo de un problema que contiene variables artificiales, existen tres casos posibles:

1. Antes de obtener la tabla en la cual todos los cj - zj < 0, las variables artificiales han sido reemplazadas por otras variables. Tenemos entonces una solucin bsica posible y podemos continuar las iteraciones hasta determinar el programa ptimo posible.

2. En la tabla final en la cual todos los cj - zj < 0 alguna variable artificial permanece en la so-lucin pero con valor 0. La solucin del problema es ptima y posible.

3. Se obtiene una tabla en la cual todos los cj - zj < 0, pero alguna variable artificial permanece en la solucin con valor positivo. En este caso no hay solucin posible, es decir, Z no puede optimizarse en funcin de los trminos no negativos. Desde el punto de vista prctico esto significa que se est tratando de hacer algo imposible con los recursos disponibles.

4. A continuacin vamos a desarrollar el mtodo de solucin simplex bsico mediante un ejer-cicio sencillo.

ejercicio 4.3Un fabricante tiene dos productos, I y II, ambos elaborados en dos pasos por las mquinas A y B. Los tiempos de proceso por centenar de unidades de los dos productos en las dos mquinas son los siguientes (los tiempos de preparacin son insignificantes):

producto Mquina a Mquina B

I 4 horas 5 horas

II 5 horas 2 horas

Para el periodo siguiente, la mquina A tiene disponibles 100 horas y la mquina B tiene dispo-nibles 80 horas.

La contribucin del producto I es $10 por 100 unidades, y la del producto II es $5 por 100 uni-dades. El fabricante se encuentra en un mercado en auge y puede vender todo lo que le sea posible producir de ambos productos en el periodo prximo. Se quiere determinar las cantidades del producto I y del producto II que debe producir para maximizar su contribucin.

solucin 4.3Se adopta un sistema de notacin. Se designa con xI la cantidad en centenares de unidades del producto I y con xII la cantidad en centenares de unidades del producto II que se producirn.

Slo existen como limitaciones las horas disponibles en la mquina A y en la mquina B; se sabe que la suma de los tiempos que se invierten en la fabricacin de los dos productos en las dos mquinas no pueden exceder de 100 horas en la mquina A y 80 horas en la mquina B. Se puede expresar esto simblicamente as:

Mquina A 4xI + 5xII 100Mquina B 5xI + 2xII 80


33


Dado que las contribuciones totales, que se desea hacer lo ms grande posible, dependen solo de las cantidades de los dos productos que se fabriquen, se puede definir nuestra funcin obje-tivo as:

Max Z = 10xI + 5xII

Se quiere encontrar la combinacin de valores de xI y xII que se ajuste a las restricciones im-puestas por los tiempos de manufactura de los dos productos y por el tiempo total disponible y que adems maximice la contribucin total. Se debe reconocer que puede haber tiempo ocioso en la mquina A y en la mquina B. Si WA es el tiempo ocioso de la mquina A y WB es el tiempo ocioso de la mquina B, las inecuaciones antes planteadas quedaran as:

Mquina A 4xI + 5xII + WA = 100Mquina B 5xI + 2xII + WB = 80

Se tiene dos ecuaciones y cuatro incgnitas. Luego la clave para determinar una solucin inicial que luego se ir mejorando, es que dos de estas variables como mximo pueden tener valores positivos y por lo menos dos de ellas deben ser cero. Si se parte del supuesto de que tanto xI como xII son cero, es fcil ver que WA debe ser 100 y WB debe ser 80. Desde luego, esta solucin es muy mala porque afirma que todo el tiempo disponible las mquinas estn ociosas, pero se ajusta a las ecuaciones del problema y permite principiar.

Se coloca esta solucin inicial o trivial en el arreglo de la matriz que se muestra a continuacin:

xi xii Wa WB100 4 5 1 080 5 2 0 1

Luego se va colocando los coeficientes de la funcin objetivo por encima del arreglo, como se ve en la tabla siguiente. El taln identifica, las variables de la solucin e indica sus valores. En la columna de la izquierda del taln aparecen las contribuciones de las variables de la funcin objetivo.

Ni WA ni WB se encuentran en la funcin objetivo, de modo que se colocan ceros en esta colum-na: hay una razn para hacerlo as: si las dos mquinas estn completamente ociosas, la contri-bucin es cero. El valor de la funcin objetivo en este punto es

10(0) + 5(0) + (0)WA + (0)WB = 0

Antes de seguir, se designarn las diversas partes de la matriz. En la figura que sigue, aparece la nomenclatura de tales partes de la matriz. El taln de solucin siempre contendr tres columnas. El cuerpo y la identidad variarn en tamao, segn el problema de que se trate.


unidad i

34

Para mejorar la solucin inicial se debe tener una medida del mejoramiento potencial que se lograra en la funcin objetivo al introducir en las soluciones algunas de las variables que ahora valen cero en vez de algunas de las variables que se encuentran en la solucin. Se desarrollar una hilera de ndice que se colocar justo debajo de la matriz inicial que ahora se tiene. Estos nmeros ndices aparecern debajo de la columna constante, el cuerpo y la identidad. Se calcu-lan con base en la frmula:

Para nuestro ejercicio, las cifras de la hilera de ndice son:

y Nmero ndice para la columna constante

= (100 x 0 + 80 x 0) 0 = 0

y Nmero ndice para la primera columna del cuerpo

= (4 x 0 + 5 x 0) 10 = -10

y Nmero ndice para la segunda columna del cuerpo

= (5 x 0 + 2 x 0) 5 = -5

y Nmero ndice para la primera columna de la identidad

= (1 x 0 + 0 x 0) 0 = 0

y Nmero ndice para la segunda columna de la identidad

= (0 x 0 + 1 x 0) 0 = 0

Ahora se colocan los nmeros ndices en la matriz simplex inicial


35


Vemos que la hilera de ndice es simplemente la hilera objetivo precedida de signos negati-vos. Esto solo ocurre cuando la columna objetivo contiene puros ceros. Mientras mayor sea el nmero negativo, mayor ser el mejoramiento potencial por unidad de la nueva variable que haya de introducirse. Si todas las cifras por debajo del cuerpo y la identidad de la hilera de ndice fuesen cero o positivos, no se podra ya obtener ninguna mejora, lo que indicara que la solucin presentada en el taln es una solucin ptima.

En la tabla anterior, la columna encabezada por la variable xI tiene la mayor posibilidad de mejorar, de modo que se le selecciona como columna clave. Esta seleccin significa que la variable xI se introducir en la solucin en vez de WA o a WB.

Para determinar si xI reemplazar a WA o a WB se debe seleccionar una hilera clave. Para ello se divide cada cifra de la columna constante por la correspondiente cifra positiva de la columna clave. Los cocientes resultantes se comparan y se selecciona como hilera clave la que genere el cociente no negativo ms pequeo. Para nuestro problema, los cocientes son:

Primera hilera 100/4 = 25Segunda hilera 80/5 = 16 (hilera clave)

El cociente no negativo ms pequeo es 16, que se calcula en la segunda hilera, la cual se con-vierte en la hilera clave. El nmero comn a la columna clave y a la hilera clave se designa como nmero clave (ver en matriz siguiente).

Se sabe que xI se introducir en la solucin y se desea saber cul ser su valor mximo compati-ble con ambas ecuaciones del problema, suponiendo que ninguna de las variables pueda asumir valores negativos. En la primera ecuacin, xI alcanzara su valor mximo cuando xII y WA fuesen cero; es decir:

4xI + 2xII + WA = 100o sea

xI = 100/4 = 25

En la segunda ecuacin, xI alcanzara su valor mximo cuando xII y WB fueran cero, es decir:

5xI + 2xII + WB = 80o sea

xI = 80/5 = 16

As pues, la segunda ecuacin es la que limita a xI, que no puede exceder de 16, y este hecho determina la seleccin de la segunda hilera como hilera clave.

Una vez seleccionada la columna clave y la hilera clave, se puede preparar una nueva tabla que represente una solucin mejor. El primer paso de la elaboracin de la nueva tabla con-siste en el clculo de los coeficientes de la hilera principal. Esta hilera principal aparece en la


unidad i

36

nueva tabla en la misma posicin relativa que la hilera clave en la tabla anterior. Se calcula dividiendo los coeficientes de la hilera clave por el nmero clave. En la tabla que sigue apa-rece este desarrollo.

La variable y su nmero objetivo tomado del encabezado de la columna clave, xI y 10, se colocan en el taln de la hilera principal en lugar de WB y 0 de la tabla anterior. El resto de la columna de variables y de la columna objetivo del taln se copia de la tabla anterior; la nueva tabla es desarrollada hasta este punto

Ahora se pueden calcular todos los coeficientes faltantes de la nueva tabla, incluyendo la columna constante, el cuerpo, la identidad y la hilera de ndice, para completar la tabla me-diante la frmula siguiente:

1) Primera hilera, columna constante

Nmero nuevo = 100 (80 x 4)5 = 36

2) Primera hilera, primera columna del cuerpo

Nmero nuevo =

3) Hilera de ndice, columna constante

Nmero nuevo =


37


Los coeficientes restantes se pueden calcular en la misma forma y la solucin mejorada apa-rece en la tabla siguiente. Donde:

xI = 16xII = 0WA = 36WB = 0

Como se puede apreciar en los valores de la columna constante del taln; xII y WB son cero porque no aparecen en el taln. En esta solucin el valor de la funcin objetivo (contribucin) es de $160, como se aprecia en la columna constante, hilera de ndice.

Sin embargo la tabla anterior, indica que la solucin puede mejorar todava, puesto que un (-1) aparece en la hilera de ndice bajo la variable xII. Dado que este es el nico nmero ne-gativo de la hilera de ndice, se selecciona como columna clave para la iteracin siguiente. La hilera clave se selecciona en la misma forma que antes. Los dos cocientes son:

Primera hilera

Segunda hilera

La primera hilera tiene el cociente no negativo ms pequeo, as que se selecciona como hi-lera clave. Se calcula una nueva hilera principal como antes, dividiendo los coeficientes de la hilera principal por el nmero clave. La variable nueva xII y su nmero objetivo, se introducen al taln, y los nuevos nmeros del cuerpo, la identidad y la hilera de ndice se calculan como antes. La variable restante y su nmero objetivo se copian de la tabla de iteracin preceden-te; en la tabla siguiente aparece la nueva solucin:


unidad i

38

La nueva solucin es ptima porque la hilera de ndice no seala ningn otro mejoramiento. Los valores de las variables en la solucin ptima son:

xI = 200/17xII = 180/17WA = 0WB = 0

Si se insertan estos valores en las ecuaciones iniciales, se ve que ajustan perfectamente. La solucin indica que los productos I y II se deben fabricar en las cantidades sealadas por xI y xII (en cientos) para generar una contribucin mxima de:

C = 2900/17 = $ 170.59

Para cada iteracin se muestra el valor de la funcin objetivo en la columna constante y la hilera ndice. En la segunda solucin ascendi a $160 y en la ptima a $170.59. La solucin es nica, o sea que ninguna otra combinacin de xI y xII generar una contribucin tan elevada como esta.

ejercicio 4.4Una empresa cuenta con 1000 tm del mineral b1, 2000 tm del mineral b2 y 500 tm del b3. A par-tir de dichos minerales pueden extraerse y fundirse los productos x1, x2 y x3. La empresa desea determinar la cantidad de cada producto que debe fabricar, a partir de los minerales aprovecha-bles, para obtener el mximo provecho de la operacin.

El producto x1 precisa 5 tm de b1, 10 de b2 y 10 de b3. El producto x2 precisa 5 tm de b1, 8 de b2 y 5 de b3. El producto x3 precisa 10 tm de b1, 5 de b2 y ninguna de b3 para cada tm.

El fabricante obtendr 100$ de beneficio por tm del producto x1, 200$ por tm de x2 y 50$ por tm de x3 . Se desea conocer las cantidades a fabricar de cada uno de los productos x1, x2 y x3, as como el beneficio que se obtendra.

solucin 4.4Formulacin del problema:

Designando por xi cantidad a fabricar del producto i:

5x1 + 5x2 + 10x3 100010x1 + 8x2 + 5x3 200010x1 + 5x2 500 x1 , x2 , x3 0

Max Z = 100x1 + 200x2 + 50x3

Convirtiendo las desigualdades en igualdades tenemos que:

5x1 + 5x2 + 10x3 + x4 = 100010x1 + 8x2 + 5x3 + x5 = 200010x1 + 5x2 + x6 = 500

Puede observarse, que ha sido preciso introducir tres variables de holgura. El significado fsico


39


de tales variables puede ilustrarse razonando sobre una de ellas, x4 representa la cantidad de mineral b1 que no es necesaria en el proceso de fabricacin. Si en la ltima iteracin resultase ser cero, sera debido a que el programa de fabricacin utiliza todo el mineral b1 para fabricar todos los productos del mismo.

Solucin inicial posible y bsica:

x4 = 1000 x5 = 2000 x6 = 500

y utilizando el algoritmo del simplex:

Cj 0 0 0 100 200 50

Ci Solucin b P4 P5 P6 P1 P2 P3 b/aij

0 X4 1000 1 0 0 5 5 10 200

0 X5 2000 0 1 0 10 8 5 250

0 X6 500 0 0 1 10 5 0 100

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 0 0 0 100 200 50

0 X4 500 1 0 -1 -5 0 10 50

0 X5 1200 0 1 -1.6 -6 0 5 210

200 X2 100 0 0 0.2 2 1 0

Zj 20000 0 0 40 400 200 0

Cj - Zj 0 0 -40 -300 0 50

0 X3 50 0.1 0 -0.1 -0.5 0 1

0 X5 950 -0.5 1 -1.1 -3.5 0 0

200 X2 100 0 0 0.2 2 1 0

Zj 22500 5 0 35 375 200 50

Cj - Zj -5 0 -35 -275 0 0

N = Pivotes

Debe de observarse en la ltima tabla, que la matriz inversa de:

10 0 5

5 1 8

0 0 5


unidad i

40

Formada por los coeficientes que tienen las incgnitas x3, x5 y x2 en el sistema, puede leerse bajo P4, P5 y P6, vectores que contenan la matriz identidad en la primera tabla.

La solucin ptima puede leerse directamente en la tabla final:

No fabricar nada de x1 Fabricar 100 tm de x2 Fabricar 50 tm de x3 Se consume todo el mineral til de b1 950 tm del mineral b2 no son necesarias Se consume todo el mineral til de b3 El beneficio imputable a la solucin ptima es de $ 22500

4.5 Mtodo coMputacional

Para la resolucin de los problemas de PL, mediante este mtodo se emplea software especia-lizado, tales como:

- Para la resolucin grfica generalmente se emplea el programa Stanford Graphic PL Optimizer, ms conocido como glp. Mediante este software se realizar la optimizacin grfica de PL.

- Para la resolucin analtica de los problemas de PL, de dos o ms variables, se emplean los programas siguientes:

- Lindo y/o Lingo.- WinQSB

Existen muchos otros programas para resolucin de problemas de PL, pero estos son los ms conocidos o comerciales, adems de ser fcilmente manejables.

Se recomienda que el empleo de estos programas se realice en el Laboratorio de Cmputo, con una PC por alumno, a fin de que se aprenda haciendo.

eJercicios propuestos

ejercicio 1.1Dibujar la regin convexa limitada por las inecuaciones

1) 2x1 + x2 42) x1 + 3x2 13) 3x1 + 2x2 104) (2/3)x1 + x2 1

y determinar las inecuaciones redundantes en caso de que existan.

ejercicio 1.2Resolver el siguiente ejercicio de programacin lineal

x1 + 2x2 - x3 5


41


2x1 - x2 + 2x3 = 2 -x1 + 2x2 + 2x3 1 x1 , x2 , x3 0

Min Z = 2x1 +4x2 + x3

ejercicio 1.3Calcular la solucin del problema

x1 + x2 3 -2x1 + x2 3 4x1 + x2 9 x1, x2 0

Max Z = 3x1 + x2

ejercicio 1.4Interpretar geomtricamente y resolver el problema de programacin lineal:

x1 + x2 100 x1 - x2 50 -x1 + x2 25 x1, x2 0

Max Z = 4x1 + 2x2

ejercicio 1.5Resolver el siguiente ejercicio de programacin lineal

x1 - 4x2 1 -3x1 + 2x2 2 x1, x2 0 Max Z = x1 + 2x2

ejercicio 1.6Supongamos un fabricante que tiene dos recursos primarios de fabricacin. Tiempo-mquina y horas de trabajo. Durante cierto perodo de produccin, dispone de 200 horas-mquina y 300 ho-ras de trabajo para dedicarlas a tres productos x1, x2, x3. El producto x1 necesita 15 horas-mquina y 10 horas de trabajo por unidad. El producto x2 requiere 10 horas-mquina y 25 horas-trabajo por unidad. Finalmente, el producto x3 necesita 10 horas-mquina y 20 horas-trabajo por unidad. El fabricante desea determinar el conjunto de productos que harn mximo su beneficio, sin que se exceda del total de horas-mquina disponibles. Desea tambin obtener un completo empleo de sus obreros y por tanto requiere que todas las horas-hombre de que dispone sean utilizadas. Los beneficios del fabricante sern de $5 por unidad de producto x1, $10 por unidad de x2 y $12 por unidad de x3.


unidad i

42

ejercicio 1.7Encontrar la solucin al problema:

3x1 + 5x2 15 5x1 + 2x2 10 x1, x2 0 Max Z = 10x1 + 4x2

y en caso de existir ptimos alternativos encontrar stos.

ejercicio 1.8Para la fiesta de su hijo un ama de casa desea hacer unos pastelillos. Sus conocimientos culina-rios le permiten hacerlos de tres tipos A, B, y C en todos los cuales intervienen como ingredien-tes mantequilla, leche y harina de los que respectivamente posee 232, 300 y 720 gramos.

Un pastelillo del tipo A precisa 5g de mantequilla, 8 de leche y 9 de harina. Uno de tipo B, 6,5 y 8 respectivamente y uno de tipo C 4 de mantequilla, 6 de leche y 12 de harina. La madre sospecha que le resultar preferible optimizar la cantidad de pastelillos a hacer antes que cualquier otra consideracin. En consecuencia, Cul es el nmero ptimo de pastelillos a fabricar?

ejercicio 1.9Un pequeo taller de mecnica general, comprende esencialmente un torno T y dos fresadoras F1 y F2. El programa de trabajo del taller se establece al principio de cada trimestre, y comprende un programa principal y un programa de opcin. El programa principal tiene un carcter impe-rativo y permanente; se establece de una vez por todas y no presenta ningn problema. Su ejecucin deja sobre cada mquina horas disponibles que se evalan en: 200h para T, 84h para F1, 100h para F2. El programa de opcin trata de utilizar al mximo las horas disponibles dejadas por el programa principal; y es en este programa en donde se plantean problemas.

Tres clientes llamados A, B y C se dirigen al taller para la ejecucin de sus piezas que denomina-remos igualmente A, B y C.

El jefe de la empresa estudia las ofertas de trabajo que le han sido hechas por los clientes A, B y C y ha podido determinar que para la ejecucin de sus piezas son necesarias dos operaciones: una sobre torno y otra sobre una de las dos fresadoras F1 F2. Los tiempos de ejecucin para estas operaciones son:

Para A 2h en T, 6h en F1 5h en F2 Para B 1h en T, 5h en F1 5h en F2 Para C 5h en T, 3h en F1 4h en F2

El beneficio de la fabricacin de cada una de las piezas A, B y C es de 60, 40 y 35 $ respectiva-mente.

Determinar el nmero de piezas a fabricar para obtener un beneficio mximo.


43


evaluacin

conceptual

1. Cul fue el origen de los mtodos cuantitativos como disciplina?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Para qu sirven los mtodos cuantitativos?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Qu son modelos y cuntos tipos de modelos hay?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Cul es la finalidad de programacin lineal?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Cules son los mtodos para la resolucin en programacin lineal?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


unidad i

44

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Qu necesita el mtodo Simplex para su resolucin?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

procediMental

7. Bajo los modelos de mtodos simplex, que es el PIVOTE, cundo y hasta cuntas veces ten-go que iterar, para poder encontrar el conjunto solucin?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

actitudinal

8. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de benefi-cio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer ms de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


45


unidad ii

PROBLEMAS, MODELOS Y SOLUCIN EN PROGRAMACIN LINEAL

Comprende los conceptos de transporte y transbordo, entiende los problemas de asignaciones, anlisis y plan-teamiento de los problemas y las soluciones adecuadas mediante los modelos PERT y CPM.

Practica los problemas resuel-tos en mtodo Simplex, PERT, CPM y problema de asigna-cin; desarrolla los problemas propuestos, analizando cada paso.

Aplica los mtodos en los di-ferentes casos de la vida real, utilizando criterios y normas de los modelos.

conceptual procediMental actitudinal

Competencias

sesin 5 El problema del transporte y transbordo

sesin 6 El problema de asignacin

sesin 7 La tcnica PERT

sesin 8 El mtodo CPM


unidad ii

46

Sesin

5


47


Sesin

5

5.1. generalidades

Uno de los casos particulares de la programacin lineal es el problema de Hitckcok, o del trans-porte. El problema general de transporte se refiere a la distribucin de un determinado bien, desde cualquier grupo de centros de abastecimiento, llamados orgenes, a cualquier grupo de centros de recepcin, llamados destinos, de tal manera que se minimicen los gastos totales de distribucin.

Tal vez, el tipo especial ms importante de problemas de programacin lineal, sea el de trans-porte, si bien debido a su estructura especial, permite utilizar versiones simplificadas del mtodo Simplex que logran enormes ahorros de clculo.

Entre las ventajas de utilizar el mtodo simplex del transporte pueden sealarse:

No es necesario utilizar variables artificiales. La fila cj zj del algoritmo de simplex puede calcularse directamente. La variable bsica saliente se identifica de forma sencilla sin utilizar los coeficientes de la

variable bsica entrante.

En consecuencia, puede eliminarse casi toda la tabla de Simplex.

5.2. planteaMiento del proBleMa

El planteamiento del problema es el siguiente:

Existen m orgenes y se supone que en cada origen hay ai unidades almacenadas de un deter-minado producto, siendo i = 1,2,,m.Existen tambin n destinos; y cada uno necesita un embarque de bj unidades de ese producto, siendo j = 1,2,,n.

Las cantidades ai se denominan exigencias fila y las bj exigencias columnas.

el proBleMa de transporte Y transBordo


unidad ii

48

Destino

1 2 3 j n Disponibilidad

1 c11 c12 c13 c1j c1n a1Origen 2 c21 c22 c23 c2j c2n a2

I ci1 ci2 ci3 cij cin ai M cm1 cm2 cm3 cmj cmn am

Demandas b1 b2 b3 bj bn

Todas las exigencias por fila son positivas, as como las exigencias por columna, puesto que los valores nulos o negativos no tendran significado fsico. La suma de las exigencias por fila es igual a la suma de las exigencias por columna.

El costo del transporte de una unidad de producto desde el origen i hasta el destino j viene re-presentado por cij. Los cij se denominan coeficientes de costo, y aunque los costos de transporte negativos no tienen significado real, no hay necesidad de obligarlos a ser no negativos.

La solucin del problema de transporte puede escribirse como una matriz solucin:

x11 x12 x1nX = x21 x22 x2n

xm1 xm2 xmn

n m s xij = ai s xij = bj j=1 i=1

min Z = c11 x11+ c12 x12 + cmn xmn

Una solucin posible bsica ser no degenerada si contiene m+n1 variables solucin (posi-tivas), y una solucin posible bsica degenerada aquella que contiene m+n-1 variables en solucin.

5.3. clculo de la solucin de un proBleMa de transporte

Las etapas que permiten el clculo a un problema de transporte son:

Determinacin de una solucin inicial. Prueba de optimalidad.

5.3.1. determinacin de una solucin inicial

Su objetivo es obtener una solucin inicial seleccionando, una por una, las m+n-1 variables b-sicas. Los mtodos ms habituales para ello son:

Esquina de N.O. Mnimo de filas. Mnimo de columnas.


49


Flujos mutuamente convenientes (Houthakker). Mtodo de penalizaciones (Vogel).

5.3.1.1. Mtodo de la esquina de n.o.

paso 1.- Hacer el elemento de la esquina superior izquierda igual a la menor de la primera exigencia por fila y de la primera exigencia por columna, y restaremos a ambas exigencias este valor. Completar la primera fila o columna hasta saturar la disponibilidad.

paso 2.- Ahora tanto la primera exigencia fila como la primera exigencia columna sern iguales a cero. Se repite el paso 1. Utilizando el elemento de la esquina superior izquierda de la matriz obtenida eliminando la fila o columna ya satisfechas mediante la anterior con-sideracin.

paso 3.- Repetir el paso 1, hasta que la solucin sea completa.

ejercicio 5.1 Una fbrica dispone de tres centros de distribucin A,B y C cuyas disponibilidades de materia prima son 100, 120 y 120 tm respectivamente. Dicha materia prima debe de ser entregada a cinco almacenes I, II, III, IV y V, los cuales deben de recibir respectivamente 40, 50, 70, 90 y 90 tm. Determinar una solucin inicial por el mtodo de la esquina del N.O.

MATRIZ DE COSTOS

Orgenes Destinos I II III IV V

A 10 20 8 9 10B 2 10 8 30 5C 1 20 7 10 4

solucin 5.1

destinos orgenes i ii iii iv v disponibilidad

A 10 20 5 9 10 100B 2 10 8 30 5 120C 1 20 7 10 4 120

Demandas 40 50 70 90 90

solucin inicial:


A 40 50 10 100B 60 60 120C 30 90 120

Demandas 40 50 70 90 90

En la esquina de N.O. se pone la menor de las exigencias min(40,100) = 40. Se completa la pri-mera fila hasta saturar esta disponibilidad, y esto conduce a tomar:

x11 = 40, x12 = 50, x13 = 10, x14 = x15 = 0

Obsrvese que en este momento la demanda en la tercera columna es de 60 unidades.


unidad ii

50

Saturamos la demanda en la tercera columna min(60,120) = 60, despus la disponibilidad en la segunda fila, lo que dar:

x21 = x22 = 0, x23 = 60, x24 = 60, x25 = 0

Obsrvese que la disponibilidad en la cuarta columna es 30.

Saturamos la demanda en la cuarta columna min(30,120) = 30, despus la disponibilidad de la tercera fila.

x31 = x32 = x33 = 0, x34 = 30, x35 = 90

El costo de la solucin obtenida ser:

Z = 40 . 4+50 . 1+10 . 2+60 . 3+60 . 5+30 . 4+90 . 8 = 1550

5.3.1.2. Mtodo de mnimo de filas

Sea el menor costo en la primera fila. Hacer x1k igual a la menor de la exigencia fila o columna. En el primer caso, hemos transportado todas las unidades y pasamos a la segunda fila despus de restar dicha cantidad a la exigencia de la columna k.

Seguidamente se busca el elemento mnimo en la segunda fila y de repite el proceso. En el segundo caso, se cambia la exigencia fila y se busca el costo ms pequeo en la primera fila repitiendo el proceso.

ejercicio 5.2Dado el siguiente esquema de transporte, determinar una solucin inicial por el mtodo de Mnimo de filas.

Orgenes Destinos Disponibilidad

E F G H I

A 3 2 1 2 3 1

B 5 4 3 -1 1 5

C 0 2 3 4 5 7

Demandas 3 3 3 2 2

solucin 5.2


E F G H I

A 3 2 1 2 3 1

B 5 4 3 -1 1 5

C 0 2 3 4 5 7

Demandas 3 3 3 2 2

El menor costo en la primera fila es c13 = 1, luego hacemos x13 igual al min(1,3) = 1.

x13 = y la primera fila queda saturada.

En la segunda fila el menor costo es c24 = -1, luego hacemos x24 igual al min(2,5) = 2. x24 = 5 y la cuarta columna queda saturada.


51


Como no se ha saturado la segunda fila (quedan 3 unidades), continuamos las asignaciones en la segunda fila. El costo menor es c25 = 1 luego hacemos x15 igual al min(2,3) = 2.

x25 = 2 y la quinta columna queda saturada.

Como todava no se ha saturado la segunda fila (queda 1 unidad), continuamos las asignaciones en la segunda fila. El costo menor es c23 = 3 luego hacemos x23 igual al min(1,3) = 1.

x23 = 1 y la segunda fila queda saturada.

En la tercera fila l menor costo es c31 = 0, luego hacemos x31 igual min(3,7) = 3. x31 = 3 y la primera columna queda saturada.

Como no se ha saturado la tercera fila (quedan 4 unidades), continuamos las asignaciones en la tercera fila. El costo menor es c32 = 2 luego hacemos x32 igual al min(3,4) = 3.

x32 = 3 y la segunda columna queda saturada.

Como todava no se ha saturado la tercera fila (queda 1 unidad), continuamos las asignaciones en la tercera fila. El costo menor es c33 = 3 luego hacemos x33 igual al min(1,1) = 1

x23 = 1 y la tercera fila y columna quedan saturadas.

La solucin inicial es:


E F G H I

A 1 1

B 1 2 2 5

C 3 3 1 7

Demandas 3 3 3 2 2

5.3.1.3. Mtodo de mnimo de columnas

Se procede de una forma similar al procedimiento anterior, excepto en que se comienza por la primera columna.

ejercicio 5.3Encontrar una solucin inicial para el ejercicio N. 4.1 por el mtodo de Mnimo de columnas.

solucin 5.3


A 10 20 5 9 10 100

B 2 10 8 30 5 120

C 1 20 7 10 4 120

Demandas 40 50 70 90 90


unidad ii

52

Localizamos el menor costo en la primera columna c31 = 1, luego:

X31 = 40, primera columna saturada.

En la segunda columna el menor costo es c22 = 10, luego:

X22 = 50, segunda columna saturada.

En la tercera columna el menor costo es c13 = 5, luego:

X13 = 70, tercera columna saturada.

Continuando el proceso con las columnas cuarta y quinta se obtiene:


A 70 30 100

B 50 60 10 120

C 40 80 120

Demandas 40 50 70 90 90

5.3.1.4. Mtodo de flujos mutuamente convenientes

En este mtodo, una asignacin xij de un origen i a un destino j es mutuamente preferible si j es el destino menos costoso para i y si i es el origen menos costoso para el destino j. Estas asigna-ciones, mutuamente preferibles, estn caracterizadas por el hecho de que el costo unitario debe ser el ms bajo de su fila y de su columna.

ejercicio 5.4Una fbrica dispone de tres centros de distribucin A, B y C cuyas disponibilidades de materia prima son 90, 40 y 80 tm respectivamente. Dicha materia prima debe ser entregada a cinco almacenes I, II, III, IV y V los cuales deben de recibir respectivamente 30, 50, 40, 60 y 30 tm. Determinar una solucin inicial por el mtodo de flujos mutuamente convenientes.

MATRIZ DE COSTOS

Orgenes Destinos

I II III IV V

A 10 20 5 9 10

B 2 10 8 30 5

C 1 20 7 10 4

solucin 5.4


A 10 20 5 9 10 90

B 2 10 8 30 5 40

C 1 20 7 10 4 80

Demandas 30 50 40 60 30


53


Se buscan las asignaciones mutuamente preferibles. En la matriz de costos anterior los costos que son menores de su fila y columna son:

c31 = 1c13 = 5

Por lo tanto, situaremos la mayor asignacin posible en la casilla correspondiente, lo que da:

x31 = 30, x11 = 0, x21 = 0 x13 = 40, x23 = 0, x33 = 0

De la matriz de costos se eliminan las columnas primera y tercera, por estar satisfechas sus exi-gencias, obteniendo:

orgenes destinos disponibilidad ii iv v

A 20 9 10 50

B 10 30 6 40

C 20 10 4 50

Demandas 50 60 30

Los costos menores de su fila y columna son:

c14 = 9c35 = 4

y en consecuencia:

x14 = 50, x12 = x15 = 0 x35 = 30, x25 = 0

La matriz obtenida en este momento es:


A 40 50 90

B 40

C 30 30 80

Demandas 30 50 40 60 30

Falta por completar cuatro casillas cuya matriz de costos es:

orgenes destinos disponibilidad ii iv

B 10 30 40C 20 10 20

Demandas 50 10


unidad ii

54

Los menores costos por fila y columna son:

c22 = 10c34 = 10

y en consecuencia:

x22 = 40, x24 = 0 x34 = 10, x32 = 10

quedando como solucin:


A 40 50 90

B 40 40

C 30 10 10 30 80

Demandas 30 50 40 60 30

5.3.1.5. Mtodo de penalizaciones

paso 1.- Determinar la penalizacin para cada fila y cada columna al o colocar en la solucin inicial la variable que tenga el menor costo en esta fila o columna. Para la fila i, esto significa restar el costo ms pequeo de esta fila del siguiente costo ms pequeo de la misma fila en la matriz de costos. Si dos elementos de esta son ambos el ms pequeo, la penalizacin es cero. La penalizacin de la columna j se calcula de forma similar

paso 2.- Cuando se han calculado todas las penalizaciones, localcese la mayor, ya sea una penalizacin de fila o de columna.Colocar en la solucin la variable que tiene el menor costo en la fila o columna que tiene la penalizacin mayor. La variable se iguala a la exigencia de fila o a la exigencia de columna que sea ms pequea, de la fila y columna que contiene esta variable. La fila o columna sa-tisfechas al asignar este valor a la variable se omiten en el resto del proceso, y la exigencia de la otra (fila o columna) se disminuye en este valor asignado a la variable.

paso 3.- Si una fila ha sido satisfecha, volver a calcular las penalizaciones de columna, sin considerar ahora en el clculo de las penalizaciones de columna los elementos de la matriz de costos de la fila eliminada. Si se ha satisfecho una columna, se debern volver a calcular las penalizaciones de las filas.

paso 4.- Reptanse ahora las iteraciones de los pasos 2. y 3. hasta que la solucin sea completa.

ejercicio 5.5La Acme Machina Company dispone de cinco puntos de venta A, B, C, D, y E, y de cuatro fbricas X, Y, Z y T. Los pedidos mensualmente de los puntos de venta expresados en miles de unidades son:

A B C D E Total75 20 15 25 40 175


55


La produccin mensual en miles de unidades es:

X Y Z T Total

60 75 80 35 250

La matriz de costos unitarios de y transporte viene dada por:

A B C D E

X 0.8 2.7 1.7 1.4 0.9

Y 0.9 0.5 1 0.2 1.3

Z 0.7 2.1 1.8 1.4 1.1

T 2.3 0.9 1.1 1.8 2.5

solucin 5.5

Se determinan las penalizaciones fila y columna:

a B c d e Fict. disp. 1 pF

X 0.8 2.7 1.7 1.4 0.9 0 60 0.8Y 0.9 0.5 1 0.2 1.3 0 75 0.2Z 0.7 2.1 1.8 1.4 1.1 0 80 0.7t 2.3 0.9 1.1 1.8 2.5 0 35 0.9

demanda 75 20 15 25 40 75 1 pc 0.1 0.4 0.1 1.2 0.2 0

La mayor de las penalizaciones es 0.9, que corresponde a una penalizacin fila y el menor costo de esa fila es 0 (c46).

En consecuencia x46 = min(75,35) = 35, quedando satisfecha la exigencia fila, se prescinde de dicha fila y se determinan nuevamente las penalizaciones columna.

La exigencia de la 6a columna ser de 75 35 = 40.

a B c d e Fict. disp. 1 pF

X 0.8 2.7 1.7 1.4 0.9 0 60 0.8Y 0.9 0.5 1 0.2 1.3 0 75 0.2Z 0.7 2.1 1.8 1.4 1.1 0 80 0.7t 2.3 0.9 1.1 1.8 2.5 0 35

demanda 75 20 15 25 40 75 1 pc 0.1 0.4 0.1 1.2 0.2 0 2 pc 0.1 1.6 0.7 1.2 0.2 0

La mayor de las penalizaciones es 1.6 que corresponde a una penalizacin columna y el me

Modula Metodos Cuantitativos

Documents

Transcript of Modula Metodos Cuantitativos