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Métodos Cuantitativos 2 Parcial I (Borrador) :Ejercicios por Lic. Luis López. Teoría por Ing.Marco Zuniga 1

METODOS CUANTITATIVOS 2_:PARCIAL 1.

GUIA DE TRABAJO. APLICACIONES Nombre alumno

Cuenta alumno

Sección

Catedrático

APLICACIONES DE INGRESOS, COSTOS Y UTILIDADES Los negocios comerciales normalmente funcionan u operan vendiendo productos o servicios, por lo cual reciben un ingreso, a cambio entregan productos o servicios para lo cual tuvieron que pagar costos. En un negocio comercial se manejan tres conceptos principales:

1. Ingreso: es el valor en dinero que recibe una persona o una empresa a cambio de un producto o servicio.

2. Costo: son los valores en los que tiene que incurrir una empresa o persona para poder ofrecer un producto o servicio

3. Utilidad: es la ganancia que logra una persona si vende algo a un valor más alto de lo que le costó.

Estos tres conceptos se relacionan por la formula Utilidad = Ingreso – Costo U = I - C Como la relación se representa una ecuación podemos expresarla también como Ingreso = costo + utilidad Los ingresos, costos y utilidad se pueden representar por la ecuación lineal. Y=mx + b

Donde m es el valor unitario

Donde b es el valor fijo

A la parte “mx” se le llama la parte variable de la ecuación porque cambia con cada unidad

A la parte “b” se le llama la parte fija porque se mantiene constante no importa el número de unidades

NOTA: En economía en vez de llamarse “m” al precio unitario se le llama “p” y en vez de llamarse “x” a las unidades se les llama “q” En resumen el modelo matemático de ecuación lineal se puede utilizar para representar diferentes conceptos:

Concepto Total Variable Fijo

Parte matemática

Y= m*x +b

Y= p*q + c

Ingresos

Yi=

Costos

Yc=

Utilidades

Yu=

EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de camisetas en la universidad, cada camiseta la piensa vender a 200 lempiras, el compra las camisetas a 120 lempiras por unidad, y además debe pagar por un local la cantidad de 4000 lempiras. Él está preocupado porque no sabe cuánto debe vender para poder tener ganancias. El quisiera ganar al mes 9000 lempiras. PASO 1: determine

los datos y plantee la ecuación Ingresos

Precio unitario de venta = 200 Lps

Ingreso fijo =0

Ingreso = Yi Y plantear la ecuación Yi=precio unitario (unidades)+ingreso fijo Yi=mx + b

Métodos Cuantitativos 2 Parcial I Aplicaciones 2

Yi=200x+0 Nota: por lo general el ingreso fijo no existe, a menos que la empresa reciba un pago fijo por algo (alquiler, licencias, derechos, etc.=

Costos

Costo unitario = 120 Lps

Costo fijo mensual=4000 Y plantear la ecuación Yc=precio unitario (unidades)+costo fijo Yc=mx + b Yc=120x+4000 Paso 2: calcular la ecuación de utilidad Sabemos U=I - C Utilidad= Yi – Yc = (200x+0)-(120x+4000) Utilidad =200x+0-120x-4000 Utilidad == Yu=80x – 4000 Si graficamos las ecuaciones de ingreso y costo nos quedarían. Gráficamente lo que tenemos es

La ecuación de ingreso Yi= 200x+0 Nos dice que por cada unidad de x, los ingresos aumentan 200 lempiras. Si vendemos 10 unidades ganaríamos 2000 lempiras, por eso se dice que 200x es la parte variable de la ecuación, porque varia o depende del valor de x (unidades) La ecuación de costo

Yc= 120x+4000 Nos dice que por cada unidad tendremos que gastar 120 lempiras, si vendemos 10 unidades (x=10) el costo variable será de 1200 lempiras. Se dice que es la parte variable, porque depende de cuánto se venda. Se dice que 4000 lempiras es la parte fija, porque venda o no venda igual debemos pagarlo. La ecuación de utilidad Yu=80x-4000 Nos dice que si no vendemos nada (x=0) tendremos una pérdida de 4000 lempiras. Nos dice también que por cada unidad ganamos 80 lempiras Punto de equilibrio: Es el momento en que

1. Ingresos son iguales al os costos 2. Utilidades son iguales a cero

Calculamos Yu=80x-4000 Yu=0 = 80x-4000 Despejamos: x=4000/80 =50 Ahora ya sabemos que Daniel debe vender al menos 50 unidades para no tener pérdidas. Como Daniel quiere ganar 9000 lempiras decimos que las utilidades Yu=9000 Y utilizamos la ecuación de utilidad encontrada. Yu=80x-4000 9000=80x-4000 Despejamos X=13000/80 =162.5 Significa: que debemos vender 162.5 unidades para una utilidad de 9000 lempiras, como no se puede vender media camisa, diremos que la respuesta será 163 unidades

zona de

zona de utilidad

perdida

4000

Recta de Ingreso

recta del costo

Punto de equilibrio


APLICACIONES LINEALES OFERTA:

La oferta se comporta así: Entre más alto el precio, hay más personas interesadas en producir. Entre más bajo el precio a menos personas interesadas en producir. La grafica tiene pendiente creciente

m = precio de venta del productor

q = cantidad de unidades producidas

b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0) EJERCICIO: Juan desea poner un negocio de producción y venta de puertas de madera. Él sabe que cuando el precio es alto de 5000 lps, hay 10 productores que desean poner el negocio porque la ganancia es alta. Pero cuando el precio es bajo 1000 lps, solo 1 productor desea producir porque la ganancia es baja. Si cada productor produce 10,000 unidades determine la ecuación de la oferta Paso 1: plante los dos casos en una tabla

Paso 2: determine que variable es x, y que variable es y. Normalmente las unidades son x, y los precios

son y. También a las cantidades se les llama q, y al precio p.

Paso 3: aplique la fórmula de pendiente

(5000) (1000) 4000 4 2

(40000) (10000) 30000 30 15m

Paso 4: determine la ecuación

2( 5000) 40000

15y x

2 800005000

15 15y x

2 5000

15 15y x

Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la oferta es

2 5000

15 15y x

Por cada 15 unidades aumenta el precio en 2 unidades.

caso produccion precio

1 10,000 1,000

2 40,000 5,000

caso x y

1 10,000 1,000

2 40,000 5,000

caso q p

1 10,000 1,000

2 40,000 5,000


DEMANDA

La demanda se comporta así: Entre más bajo el precio, hay más personas interesadas en comprar entre más alto el precio hay menos personas i interesadas en comprar. La grafica tiene pendiente decreciente.

m = precio unitario de compra

q = cantidad de unidades adquiridas

b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0) EJERCICIO: El negocio de venta de café en tasa, “Café Excelente” ha observado que si la tasa de café vale 50 lps, venden 1000 unidades al mes, pero si el café vale 40 lps, venden 4000 unidades al mes. Determine cuando podrían vender si el café se pone al precio de 45 lps.

Paso 1: plante los dos casos en una tabla

Paso 2: determine que variable es x, y que variable es y. Normalmente las unidades son x, y los precios son y. También a las cantidades se les llama q, y al precio p.

Paso 3: aplique la fórmula de pendiente

(40) (50) 10 1

(4000) (1000) 3000 300m

Paso 4: determine la ecuación

1( 50) (1000)

300y x

1 100050

300 300y x

1 16000

300 300y x

1 160

300 3y x

Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la demanda es

1 160

300 3y x

Por cada 300 unidades el precio disminuye en un lempira. Paso 6: calcule el valor de x (unidades) si Y (precio) vale 45 Si y= 45 despejamos

caso produccion precio

1 1,000 50

2 4,000 40

caso x y

1 1,000 50

2 4,000 40

caso q p

1 1,000 50

2 4,000 40


1 16045

300 3x

160 145

3 300x

25 300

3 ( 1)x

i

2500 x Paso 7: redacte la respuesta en términos aplicados. Si el precio es de 45 Lps la venta será de 2500 unidades Punto de equilibrio oferta – demanda Como pudimos ver los productores (ofertantes) y los consumidores (demandantes) se comportan de diferente manera, por eso sus graficas tienen pendientes diferentes. Cuando se ponen de acuerdo es logra el punto de equilibrio que es el precio al cual ambos venden y compran


EJERCICIO 5: APLICACIÓN LINEAL La editorial Buena Vida, está vendiendo un nuevo libro a 150 lempiras por unidad, y le cuesta producirlo 100 lempiras por unidad. Además de los 150 lempiras la empresa cobra a los anunciantes un 15% del precio de venta de cada libro, el cual recibió por todos los libros vendidos por sobre 4000 unidades. a. determine el ingreso base si vende menos de 4000 unidades. - sabemos El ingreso Total = Ingreso variable + Ingreso Fijo Yi = mx + b I(q) = pv*q + IF q=x= número de unidades vendidas Y= I = ingreso total pv= precio de venta = L 150 IF = Ingreso fijo = 0 - sustituimos I(x)= 150*x+0 = 150x I(q)= 150*q+0 = 150q b. Determine el ingreso adicional si se vende más de 4000 unidades, y calcule el ingreso total. - sabemos que si vende más de 4000 unidades, la empresa tendrá un ingreso adicional por causa del publicidad. Ingreso adicional =valor unitario x cantidad aplicable

Valor unitario = 20%*150 = 30 lempiras

Cantidad aplicable = (q - 4000) Ingreso adicional será = 30*(q-4000) = 30*q-120,000 lempiras Ingreso total por sobre las 4000 unidades será I(q) = ingreso base + ingreso adicional I(q) = (150q) + (30q-120,0000) I(q) = 180q-120,0000 c. compare las dos ecuaciones de ingreso y diga para que cantidad de unidades es válida (dominio), y grafíquelas Dominio de la función Ecuación de la función

Para 0<=q<=4000 unidades

I(q) = 150q

Para q> 4000 unidades

I(q) = 180q-120,000

- elaboramos la tabla de valores, donde calculamos para cada gráfica y luego la combinamos para la gráfica final

- Procedemos a graficar las tres ecuaciones, siendo la final la de línea continua

d. Cual es dominio y el rango de las dos partes de la función de ingreso y del conjunto, en términos de la vida real

Ecuación Dominio Rango

U(q) = 150q [0, 4000]

[0,200000]

U(q) = 180q – 120,000

]4000, + infinito[

[200000, +infinito[

De la función combinada

[0, + infinito[

[0, + infinito[

e. Describa matemáticamente la función de Ingreso como función seccionada.

150 0, 0, 4000( )

180 120000, 4000,

q qI q

q q

Nota: el símbolo significa pertenece a.

Tipo q I1=150q I2=180q-120,000. I Final

Iy 0 0 -120,000 0

limite

validez 4000 600,000 600,000 600,000

4625 693,750 712,500 712,500

6000 900,000 960,000 960,000

-200,000

0

200,000

400,000

600,000

800,000

1,000,000

1,200,000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

I1=150q I2=180q-120,000. I Final


f. Calcule la ecuación del costo total - sabemos El costo Total = Costo variable + Costo Fijo Yc = mx + b C(q) = cu*q + CF cu= costo unitario = L 100 CF= Costo Fijo = 0 I(x)= 100*x+0 = 100x I(q)= 100*q+0 = 100q g. Cuál es la ecuación de utilidad total. - sabemos Utilidad = ingreso – Costo - como para ingreso tenemos dos casos, entonces para utilidades tendremos dos casos. - producción menor o igual a 4000 unidades U = I – C U(q) = ( 150q) –(100q) U(q) = 30q ecuación 1

- producción mayor a 4000 unidades U(q) = ( 180q – 120,000) –(100q) = U(q) = 80q – 120,000 ecuación 2 f. Describa con lenguaje matemático la función de Utilidad como función seccionada.

30 0, 0,4000( )

80 120000, 4000,

q qU q

q q

Nota: el símbolo significa pertenece a. h. Elabore la gráfica seccionada de la utilidad - elaboramos la tabla de valores

-procedemos a graficar

i. Cuál es la producción si se ganan 100,000 lempiras, y 250,000 lempiras. - Para saber si usamos una ecuación de utilidad o la otra, calculamos la utilidad en el punto limite q=4000 con las dos ecuaciones.

U(4000)= 50(4000) = 200,000 lempiras U(4000)= 80(4000) - 120,000= 200,000 lempiras - vemos que la utilidad de 100, 000 lempiras es menor que 200,000 lempiras, por lo tanto usamos la primera ecuación: U(x)= 50q = 100,000 Despejamos y nos queda q=100,000/50=2000 unidades - en el otro caso de utilidad igual a 250,000 lempiras es mayor a 200,000 lempiras usamos la segunda ecuación de utilidad U(x)= 80q – 120,000 = 200,000. - despejamos q = (250,000 +120,000)/80 =370,000/80 = 4625 unidades

Tipo q I1=50q I2=80q-120,000 I Final

Iy 0 0 -120,000 0

limite

validez 4000 200,000 200,000 200,000

4625 231,250 250,000 250,000

6000 300,000 360,000 360,000

-150,000

-100,000

-50,000

0

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

300,000

0 1000 2000 3000 4000 5000

I1=50q I2=80q-120,000 I Final


Aplicaciones de Funciones Lineales

1. La ganancia de un fabricante de bicicletas se puede aproximar mediante la ecuación ,

donde x es el número de bicicletas fabricadas y vendidas.

a) Trace una gráfica de las ganancias contra con el número de bicicletas vendidas (hasta 5000

bicicletas)

R=

b) Estime el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía recupere sus gastos.

R=

c) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía obtenga una utilidad de

US$150,000.00

R=

2. El costo semanal de operación de un taxi es de $75.00 más 15 centavos por kilómetro recorrido.

b. Escriba una ecuación que exprese el costo semanal C en términos de los kilómetros k.

c. Trace una gráfica que muestre el costo semanal contra el número de kilómetros conducidas por

semana.(hasta 200 km)

d. Calcule el costo semanal si Juan recorre 150 kilómetros.

e. Calcule los kilómetros de recorrido efectuado por Juan si el costo es de $135.00


3. El salario semanal de Pedro es de $200.00 más 10% de comisión sobre ventas semanales.

f. Plantee una ecuación

g. Trace una gráfica del salario semanal comparado con las ventas semanales

h. ¿Cuál es el salario de Pedro si sus ventas fueron de $20,000.00?

i. Si su salario a la semana es de $1,200.00, ¿De cuántos fueron sus ventas?

4. El costo variable de fabricar una mesa es de L 9.00 y los costos fijos son L200.00 al día. Determinar el

costo total “y” de fabricar “x” mesas al día. ¿Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al día?


5. El costo variable de fabricar una mesa es de L 15.00 y los costos fijos son L25, 000 al mes. Cada mesa se

vende a L 150.

a) Determinar la ecuación de costo total.

R=

b) Determinar la ecuación de ingreso.

R=

c) Determinar la ecuación de utilidad.

R=

d) ¿Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al mes?

R=

e) ¿Cuál es el ingreso de fabricar 150 mesas al mes?

R=

f) ¿Cuál es la utilidad de fabricar 150 mesas al mes?

R=

g) Encuentre el punto de equilibrio.

R=

h) Grafique en un mismo plano cartesiano las ecuaciones de ingreso y costo total.


6. La demanda de reproductores de DVD vendidos en un mes es una función lineal del precio, p, para

$150≤p≤$400. Si el precio es $200, entonces se venderán 50 DVD por mes. Si el precio es $300 solo se

venderán 30 DVD.

a) Determine la ecuación de demanda

b) Determine la demanda cuando el precio es $260

c) Determine el precio que se cobra si la demanda es de 45 DVD.

7. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 10,000 paquetes a la semana cuando el precio

es de L 1.20 por paquete, pero que las ventas se incrementan en 2,000 paquetes cuando el precio se reduce a

L1.10 por paquete. Determine la función de demanda, suponiendo que es lineal.


8. El ingreso, I, de una obra de teatro es una función lineal del número de boletos vendidos, t. Cuando se

venden 80 boletos el ingreso es de $1000. Cuando se venden 200 boletos el ingreso es $2500.

d) Utilice estos datos para escribir la ecuación.

e) Determine el ingreso si se vendieron 120 boletos

f) Si el ingreso es $2200, ¿cuantos boletos se vendieron?

9. Una compañía que repara copiadoras cobra por un servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si

un cliente tiene una factura de L 150.00 por un servicio de una hora y L 280.00 por un servicio de tres horas,

determine la función lineal que describa el precio de un servicio en donde x es el número de horas de

servicio. Grafique.


10. Un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50,000 pares de zapatos cuando el precio es $35 el par y

35,000 pares de zapatos cuando el precio es $30. Determine la ecuación de oferta.

11. La demanda semanal de televisores es 1200 unidades cuando el precio es de $575 cada uno, y 800

unidades cuando el precio es de $725 cada uno.

a. Determine la ecuación de demanda para los televisores, suponiendo un comportamiento lineal.

b. ¿Cuántos televisores vende si el precio es de $800?

c. ¿A qué precio debe de vender los televisores si espera vender 1500 televisores?

d. Haga la gráfica.


12. El costo de un boleto de autobús en Tegucigalpa depende de la distancia viajada. Un recorrido de 2 millas

cuesta L 4, mientras que un recorrido de 6 millas cuesta L 6.

g) Escriba la ecuación que represente el costo de boleto de autobús.

h) Si un cliente pago L 7, ¿Cuántas millas recorrió?

i) Haga la grafica

13. El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión por sus ventas

realizadas. En la primera semana su salario semanal fue de $650 cuando vendió $1000. En la segunda

semana su salario semanal fue de $875 cuando vendió $2500

a) Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan.( Las ventas representan la

variable ¨x¨ y el salario semanal la variable ¨y¨)

b) Si Juan vendió $4000 en la semana, ¿cuánto fue su salario semanal?

c) Si el salario semanal de Juan es de $777.50, ¿cuánto vendió en esa semana?

d) ¿Cuál es el salario base que recibe Juan?


14. El costo fijo de una compañía es de L 150. Cuando se fabrican 200 unidades, el costo total es de L 1950.

e) Determine el costo variable.

f) Determine la ecuación de costo total

g) Determine el número de unidades que debe fabricar para que el costo total sea de L 6900

h) Determine el costo total si se fabrican 450 unidades

15. Una compañía vende cada artículo a L 5. Cuando fabrica 500 unidades el costo total es de L 1250, y

cuando fabrica 750 unidades el costo total es de L1750

i) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.

j) Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 ¿cuántas unidades debe vender?

k) Determine la utilidad si se venden 350 unidades.


16. Una compañía vende 2000 unidades y su utilidad es de $10000. Cuando vende 2250 unidades su utilidad

es de $15000.

l) Encuentre la ecuación de utilidad suponiendo es lineal.

m) Determine la utilidad si se venden 3200 unidades.

n) Si la compañía tiene una utilidad de $23000, ¿Cuántas unidades vendió?

o) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no sufra perdida.

17. El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión por sus ventas

realizadas. En la primera semana su salario semanal fue de $770 cuando vendió $1000. En la siguiente

semana su salario semanal fue de $950 cuando vendió $2500

p) Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan.( Las ventas representan la

variable ¨x¨ y el salario semanal la variable ¨y¨)

q) Si Juan vendió $4000 en la semana, ¿cuánto fue su salario semanal?

r) Si el salario semanal de Juan es de $860, ¿cuánto vendió en esa semana?

s) ¿Cuál es el salario base que recibe Juan?


18. Un fabricante encuentra que las ventas son de 1,000 unidades a la semana cuando el precio es de L 10

por unidad, pero que las ventas fueron de 900 unidades cuando el precio fue de L 15 por unidad. Determine

la ecuación.

19. Un fabricante de DVD tiene costos mensuales fijos de $6600 y costos variables de $35 por unidad. La

compañía vende cada DVD a $60.

a) Escriba la función de costo total.

b) Escriba la función de ingreso.

c) Escriba la función de utilidad.

d) Encuentre el ingreso si se venden 200 unidades.

e) Encuentre la utilidad o pérdida si se venden 250 unidades.


20. Una compañía tiene costo fijo es $40,000 y el costo variable es $400 por artículo. Se vende los artículos a

$600 cada uno.

f) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.

b) Si se desea una utilidad de $ 60,000 ¿cuántas unidades debe vender?

c) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no tenga ganancias ni

perdida.

21. Una compañía vende cada artículo a L 35. Cuando fabrica 250 unidades el costo total es de L 8000, y

cuando fabrica 380 unidades el costo total es de L9560

a. Determine la función que describa la utilidad de la compañía.

b. Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 ¿cuántas unidades debe vender?

c. Determine el costo total si se venden 500 unidades.

d. Determine la utilidad si se venden 500 unidades


22. Una imprenta cobra una cantidad fija de L 80 más un cargo adicional de L 0.05 por copia. Por ejemplo

por 500 copias cobra L 105 y por 700 copias cobra L 115.

a. Determine la función que describa el costo de impresión.

b. Encuentre el costo de 1000 copias

c. Haga la gráfica de la función de costo de impresión (de 500 copias en adelante)

23. Una compañía tiene costo fijo es L 300 y el costo variable es L 0.75 por artículo. Se vende los artículos a

L 1.00 cada uno.

a. Determine la función que describa la utilidad de la compañía.

b. Si la compañía desea una utilidad de L 1,950 ¿cuántas unidades debe vender?

c. Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no tenga ganancias ni

perdida.


Aplicaciones de la función cuadrática

Recordamos las aplicaciones lineales. Ingreso = precio unitario (unidades)+ingreso fijo Yi=p*q + ingreso fijo p=precio unitario de vena q=unidades Costo = costo unitario (unidades)+costo fijo Yc=p*q + costo fijo p=precio unitario de vena q=unidades Utilidad=margen unitario (unidades) + utilidad fija Yu=p*q + utilidad fija p=precio unitario de vena q=unidades SI el precio es constante es una aplicación lineal Nota: Cuando el precio incluye descuento por volumen, se convierte en una aplicación cuadrática EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de camisetas en la universidad, cada camiseta la piensa vender a 200 lempiras, el compra las camisetas a 120 lempiras por unidad, y además debe pagar por un local la cantidad de 4000 lempiras. Él está preocupado porque no sabe cuánto debe vender para poder tener ganancias. El quisiera ganar al mes 9000 lempiras. Nota: esta aplicación lineal se vuelve cuadrática si aplicamos descuentos por volumen. Daniel piensa poner un descuento al precio por volumen de 2 lempiras cada 100 unidades

(2

100d

), por lo que ahora el precio es

2200

100p

También consiguió un descuento al precio del costo de 1 lempira cada 100 unidades

(1

100d

),, por lo que ahora el precio es

1

120100

p

PASO 1: Planteamos las ecuaciones de ingreso y costo. INGRESOS: recordamos Yi=p(q)+fijo

2200

100p

q=x ingreso fijo = 0

2200 ( ) 0

100yi x

22200

100yi x x

COSTOS: recordamos YC=p(q)+fijo

1120

100p

q=x ingreso fijo = 0

1120 ( ) 0

100yc x

21120

100yc x x

Paso 2: calculamos la utilidad U = I – C U=Yi –Yc

2 22 1200 120

100 100U x x x x

2 22 1200 120

100 100U x x x x 21

80100

U x x

PASO 3: Elaborar la gráfica de utilidad

2180 0

100U x x

a=-1/100 b=80 c=0


804000

12

100

h

21( ) 4000 80(4000) 0

100k f h

K=160,000 Interceptas

1( 80)

100U x x

X1=0 X2=8000 Tabla de valores

Grafica

PASO 4: Establecer la interpretación comercial de los resultados PUNTO MÁXIMO O MÍNIMO Como a = negativo, la gráfica es cóncava hacia abajo, y por tanto el vértice representa el punto máximo. Que es la utilidad máxima de 160,000 lempiras para una producción de 4000 unidades UTILIDAD NULA.

Cuanto la gráfica intercepta con el eje x, se producen las utilidades nulas, que ocurren en la producción 0 y la producción 4000.

x y

-1000 -90000

0 0

2000 120000

4000 160000

6000 120000

8000 0

9000 -90000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000


EJERCICIO 1: APLICACIÓN CUADRÁTICA Una empresa productora de mesas, quien ha determinado que su función de costo es:

2( ) 520 10,000C x x x

Dónde: X: representa las unidades de producción de las mesas en decenas. C: representa el costo de fabricación total de la fábrica en miles de lempiras a. Determine el costo fijo y variable cuando se producen 500 unidades. - dividimos la ecuación en una parte fija y una parte variable:

La parte variable es = 2 520x x La parte fija es = 10,000

- Calculamos la parte variable = Sabemos que son 500 unidades, pero debemos poner el valor de x en decenas de unidades por tanto: x=500/10=50 decenas

250 520(50) 28,500 Miles de lempiras

Esta respuesta está en miles para tenerla en lempiras deberemos operar 28,500*1000=28,500,000 Lps - Calculamos la parte fija Por definición la parte fija ocurre cuando x=0,

2Cos (0) 0 520*0 10,000 10,000toFijo C Este valor está en miles de lempiras, en lempiras seria 10,000x1000=10,000,000 Lps b. Determine cuál fue la producción total si los costos fueron de 64,900,000 Lps - Sabemos qué Y=C(x) está en miles para sustituir tendremos que calcular Y= 64,900,000/1000 Y=64,900 Sustituimos en la ecuación original

264,900 ( ) 520 10,000C x x x

Nos queda una cuadrática al despejar para cero 20 520 10,000 64,900x x 20 520 54,900x x

- Aplicamos la formula cuadrática a= 1 b=520 c= -54,900

2

1,2

4

2

b b acx

a

}2

1,2

(520) (520) 4(1)( 54900)

2(1)x

A la parte dentro de la raíz le llamamos discriminante: 2(520) 4(1)( 54900) 490,000

Si el discriminante es 0, hay una raíz repetida,

si es mayor que 0 hay dos raíces diferentes,

y si es negativo no hay raíces En este caso hay dos raíces

1,2

(520) 490000

2(1)x

1,2

(520) 700

2(1)x

-Esto nos dan dos respuestas

+:

1

(520) 700 18090

2(1) 2x

-:

2

(520) 700 1220610

2(1) 2x

-Por lógica no es posible producir unidades negativas por lo tanto la única respuesta que podemos tomar es la positiva. X=90 decenas de mesas, o sea 90x10=900 mesas Respus4ta formal: Para un costo total de 64,900,000 Lps, se requieren producir 900 unidades de Mesas. c. El costo total mínimo: -Por definición tota función cuadrática puede tener un punto máximo o un punto mínimo el cual llamaremos (h,k) si el valor de “a” es positivo será punto mínimo si el valor de “a” es negativos será un punto máximo. En este caso como la función tiene un “a” positivo tenemos un punto mínimo Las fórmulas de (h,k) son

1 1

2 2

x xbh

a

K=f(h) -Calculamos

(520)260

2(1)h

El valor que nos da es -260 decenas de unidades o sea -260*10-2600 unidades - Como el valor que nos da es negativo, y no podemos tener unidades negativas en la producción, podemos decir que este punto no es válido.


- Sin embargo aún podemos calcular el valor de k, para poder graficar la gráfica.

2( 260) ( 260) 520( 260) 10,000 57,600C El punto mínimo de la gráfica cuadrática será (h, k)= (-260, -57600) Nota: Al graficar nos daremos cuenta que el punto mínimo de la ecuación de costo en el dominio funcional de la vida real será cuando x= 0, o sea cuando el costo sea de 10,000 miles de lempiras o 10,000,000 de lempiras. d. Grafique la ecuación de costo de la empresa - calculamos los intercepto en “x” de la ecuación Ix= (¿, 0) donde y=0

20 520 10,000x x

- Aplicamos la formula cuadrática a= 1 b=520 c= 10,000

2

1,2

4

2

b b acx

a

}2

1,2

(520) (520) 4(1)(10,000)

2(1)x

1,2

(520) 230,400

2(1)x

1,2

(520) 480

2(1)x

-Esto nos dan dos respuestas

+:

1

(520) 480 4020

2(1) 2x

-:

2

(520) 480 1000500

2(1) 2x

- elaboramos una tabla de valores

Nota: Al menos debemos tener 5 puntos para graficar correctamente.

-Y finalmente graficamos,

e. determine el dominio y rango matemático de la ecuación El domino por definición son todos los x que pertenecen a

, ℝ

El rango son todos los “y” que pertenecen a

57,600,

f. determine el domino y rango funcional de la ecuación de costo en la vida real.

El domino es 0, debido a que no existen unidades

negativas en producción

El rango será 10000,

Tipo x y = C(x)

-1,000 490,000

Ix -500 0

(h ,k) -260 -57,600

Ix -20 0

Iy 0 10,000

500 520,000

-100,000

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

-1,500 -1,000 -500 0 500 1,000

y = C(x)


1. Un negocio vende n sillas, n≤50, a un precio de (50-0.4n) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse

para obtener un ingreso de $660.

2. Un negocio vende ¨x¨ sillas, a un precio de (50-0.2x) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse

para que el ingreso sea máximo?


3. Para calcular el total de estudiantes inscritos entre los años 1990 y 2008 en el nivel universitario, se puede

utilizar la función N(t)= -0.043t2+1.22t + 46 en millones. En la ecuación t es el número de años desde 1989,

1≤t≤19.

a) Calcule el total de niños inscritos en 1995

b) En que años el total de niños inscritos es de 54 millones de estudiantes?

4. La ganancia mensual P ( en miles de dólares) de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la

función P = -2x2 + 16x – 12, donde x es el número de bicicletas en cientos, producidas y vendidas al mes.

Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia? Determine la ganancia máxima?

(h, k)=

Ecuación =


5. La utilidad semanal de una tienda de videos, P, en miles de dólares es una función del precio de alquiler

de las cintas, t. La ecuación de utilidad es P=0.2t2+1.5t-1.2 , 0≤t≤5.

c) Si la tienda cobra $3 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o pérdida semanal?

d) Si cobra $5 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o pérdida semanal?

e) Cuál debe ser el precio de alquiler de cada cinta para que la utilidad semanal sea $1600?

6. Una compañía de investigación de mercado estima que “n” meses después de la introducción de un nuevo

producto, f(n) miles de familia lo usaran, en donde:

F(n) = (10n/9)(12-n) , 0≤n≤12

Estime el número máximo de familias que usaran el producto y grafique.


7. Una compañía productora de alimento para aves obtiene una utilidad semanal de acuerdo con la función

f(x)=-0.4x2+80x-200, donde x es el número de bolsas de alimento para aves fabricadas y vendidas.

a) Determine el número de bolsas de alimento para aves que debe vender para obtener la utilidad

máxima.

b) Determine la utilidad máxima.

8. La compañía teatral de una escuela considera que el ingreso total, I, en cientos de dólares, que obtendrá

por una puesta en escena, puede calcularse con la formula I=-x2+22x-45 donde 2≤x≤20, donde x es el costo

de un boleto.

c) ¿Cuánto debe cobrar para obtener el ingreso máximo?

d) ¿Cuál es el ingreso máximo?


9. La dueña de la compañía contrato a un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor

dice que sus ganancias P(x) de la venta de “x” unidades, están dadas por:

a) ¿Cuántas unidades debe vender para maximizar las ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima?

b) ¿Cuál es el intervalo de ventas en el cual al menos su ganancia es cero?

c) Haga la grafica

10. La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares

en donde p+2x=50. El costo en dólares de producir x unidades está dado por c(x)=200 + 6x. ¿Qué precio

por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima.


11. La función de demanda de una empresa es p=0.9-0.0004q, donde p es el precio por unidad cuando los

consumidores demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del

fabricante y determine este ingreso.

12. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación

. El precio de venta de cada unidad es de L250

a) Encuentre la función de utilidad.

b) Determine la utilidad si se venden 50 unidades.

c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener la utilidad máxima.

d) Encuentre la utilidad máxima


13. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación

. El precio de venta de cada unidad es de L 130

e) Encuentre la función de utilidad.

f) Encuentre el número de unidades que deben venderse para que la compañía no obtenga

perdidas

c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener la utilidad máxima.

d) Encuentre la utilidad máxima

e) Grafique la función de utilidad

14. Un negocio vende ¨x¨ relojes a un precio de p = 30 - 0.10x dólares cada uno.

a) Encuentre la función de ingreso

b) Determine la cantidad de relojes que debe vender para obtener el ingreso máximo

c) Cuantos relojes debe vender para obtener un ingreso de $2160.

d) Determine el precio al que debe vender cada reloj para que el ingreso sea máximo.


15. Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado

mediante la ecuación donde ¨p¨ representa el precio de venta. El costo de producción es de

$10 por cada unidad.


b) Encuentre la función de utilidad

c) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso

d) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad.

e) Determine el ingreso máximo

f) Determine la utilidad máxima

16. Se determina la utilidad diaria de una empresa por medio de la siguiente función:

donde x representa el número de unidades vendidos.

a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad?

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

c) ¿Cuál es la utilidad si se venden 40 unidades?

d) Grafique la función de utilidad.


17. Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado

mediante la ecuación donde ¨p¨ representa el precio de venta. El costo de variable es de

$4 por cada unidad y el costo fijo de $7000.


b) Encuentre la función de utilidad

c) Encuentre la función de costo total

d) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso

e) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad.

f) Determine el ingreso máximo

g) Determine la utilidad máxima

18. La ganancia mensual P de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la función

, donde x es el número de bicicletas producidas y vendidas al mes.

a) Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia?

b) Determine la ganancia máxima.

c) Determine la utilidad o pérdida si se venden 5 bicicletas al mes.

d) Determine la utilidad o pérdida si se venden 35 bicicletas al mes


19. La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares en

donde p+2x=500. El costo en dólares de producir x unidades está dado por c(x)=200 + 60x.

b) Determine la función de ingreso

c) Determine el número de unidades que maximiza el ingreso

d) Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que el ingreso sea máximo


TAREA 6: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ APLICACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS : INGRESOS COSTOS Y UTILIDADES. En el mundo de los negocios, una empresa normalmente vende un producto digamos, una camisa a 1,500 lempiras, como lo hace la empresa “Camisas Buenas”. Para vender esa camisa necesita habérsela comprado a alguien. Digamos que lo compro en una empresa mayorista a 700 lempiras. Eso significa que por cada camisa ganara 1500-700=800 lempiras. Estos tres datos se llamarían así:

Precio unitario de venta = 1500 lempiras

Costo unitario de venta = 700 lempiras

Utilidad unitaria = 800 lempiras Para una empresa si solo fueran estos los costos seria fácil saber sus ganancias. Porque si ganan 800 lempiras por cada camisa, solo deben multiplicar 800 x 400 = 320,000 y sabrían que esto fue lo que ganarían, y a esta diferencia sin costos fijos se le llama utilidad bruta. Esto nos lleva a las formulas

Utilidad = Ingreso – Egreso

Ganancia = Ventas – Costos Que son básicamente las mismas solo que usan nombres diferentes. El problema es que una empresa tiene más gastos para poder vender. Por ejemplo en este caso la empresa debe pagar cada mes.

Concepto Valor en Lps

Agua 2,000

Electricidad 3,000

Alquiler de local 30,000

Cajero 9,000

Vendedor 1 9,000

Vendedor 2 9,000

Vendedor 3 9,000

Administrador 10,000

Total gastos mensuales 81,000

Sumamos todo y nos da que mensualmente debe pagar la empresa 81,000 lempiras Si las 400 camisas se vendieron en un mes, significa que a la empresa ingresaron 400x800=320,000 lempiras Y egresaron pagos mensuales por valor de 81,000 lempiras. Lo que nos da una ganancia neta de 320,000-81,000 =239,000 lempiras. Pero si las 400 camisas se vendieron en 5 meses la realidad es otra, porque 5x81,000 nos da 405,000 lempiras, y solo ingresaron 320,000 lempiras lo cual significa que hay perdida. Esto nos hace concluir que es importante pensar en el siguiente análisis: Todo ingreso, costo y utilidad, tiene dos partes:

Una parte variable que es la que depende del número de unidades que se vende

Una parte fija que es la que se mantiene fija no importa si se vende o no

Una forma más sencilla de verlo es con el siguiente cuadro

Parte Total Parte Variable

Parte fija

Ingreso Total= 1500(X) +0

Costo Total = 700(x) +81000

Utilidad Total =(1500X-700X) =800X

0-81000 = -81000


También podemos presentar la información de la empresa así: VALORES UNITARIOS

Ingreso Unitario = 1500 lp/und

Costo unitario = 700 lp/und

Utilidad unitaria = ingreso – costo = 1500-700 = 800 lp/und

VALORES VARIABLES

Ingreso variable =1500 (X)

Costo variable =700(x)

Utilidad variable = 800(x) Nota: X representa el número de unidades vendida en un mes VALORES FIJOS

Ingreso fijo= 0 (no hay)

Costo fijo = 81,000

Utilidad fija = 0-81000 = -81000 ECUACIONES FINALES

Ingreso variable =1500 (X) +0

Costo variable =700(x)+81000

Utilidad variable = 800(x)-81000 Si elaboramos una tabla de valores con ingreso, costo y utilidad tendríamos lo siguiente

En la tabla vemos que:

si vendemos menos de 101.25 unidades perdemos,

y si vendemos exactamente 101.25 unidades tenemos utilidades 0,

y si vendemos mas de101.25 unidades hay ganancia

Si graficamos estas ecuaciones tendríamos GRAFICA DE INGRESO Y COSTO

Y si hacemos la resta la grafica de utilidad seria la siguiente: GRAFICA DE UTILIDAD

En las gráficas vemos que antes del punto de equilibrio la empresa pierde, y después gana

X INGRESO COSTO Utilidad

Unds (000) (000) (000)

0 0 81 -81

20 30 95 -65

40 60 109 -49

60 90 123 -33

80 120 137 -17

100 150 151 -1

PE 101.25 151.875 151.875 0

120 180 165 15

140 210 179 31

160 240 193 47

180 270 207 63

200 300 221 79

gan

anci

ap

erd

ida

Yi=Ingreso

(200, 300 000)

(200, 221 000)

(0, 81 000) Yc=Costo

(101.25, 151 875)

punto de equilibrio

50

(0,0)

250,000

300,000

300

-40,000

-60,000

-80,000

-100,000

-20,000 100 150 200 250

200,000

150,000

100,000

50,000

0

Utilidad = Yu

(200, 79 000)

50

(101.25, 0)

punto de equilibrio

(0,-81 000)

100 150 200 250 300

-100,000

-80,000

-60,000

-40,000

-20,000

0

20,000

40,000

60,000

80,000


PARTE CUADRÁTICA: La empresa “camisas buenas”, decide dar un descuenta de 1 lempira cada 10 unidades, considerando que logro un descuento de 1 lempiras cada 20 unidades. Repita el ejercicio lineal considerando lo anterior

1) Determine los precios unitarios de: Ingreso: 1500 lps/camisa Costo: 700 lps/camisa Utilidad: 1500-700 = 800 lps/camisa

2) Determine los descuentos por volumen Ingreso: 1 lps/10 und =0.1 lps/und Costo: 1 lps/20 und =0.05 lps/und

3) Determine los valores variables de: Nota: recuerde Valor variable = PxQ P = precio inicial + desc_por_volumen (X) Q = X + 0 Ingreso: [(1500 - 0.1(x)] (x+0) = 1500x-0.1x^2

Costo [(700 - 0.05(x)] (x+0) = 700x-0.05x^2

Utilidad =(1500x-0.1x^2)-(700x-0.005x^2) =800x-0.05x^2

4) Determine los valores fijos de:

Ingreso fijo= 0 (no hay)

Costo fijo = 81,000

Utilidad fija = 0-81000 = -81000

5) Determine la ecuación: Ingreso =1500x-0.1x^2+0

Costo =700x-0.05x^2+81000

Aplicamos: Utilidad = Ingreso - Costo Utilidad =800x-0.05x^2-81000

6) Determina cuando ocurre la utilidad máxima o minia (Nota: esto ocurre en el vértice)

Ordenamos la ecuación de utilidad Utilidad =-0.05x^2 +800x -81000 a=-0.05, b=800, c=-81000 Xv=h = -b/(2a) =-(800)/(2*-0.05) =8000 unidades

Ahora calculamos la utilidad correspondiente U(8000)=-0.05(8000)^2 +800(8000) -81000 =3,160,000 lempiras

1) Determine los dos valores de x requeridos para obtener una utilidad de 1,000,000 lempiras?

Igualamos la ecuación -0.05x^2 +800x -81000=1 000 000 Despejamos para 0 -0.05x^2 +800x -1081000=0 Aplicamos la formula cuadrática a=-0.05, b=800, c=-1081000 ∆=b^2-4ac

=(800)^2-4(-0.05)(-1081000) =423,800

(800) 4238001, 490.01

2( 0.05)

(800) 42380014,509.01

2( 0.05)

2) Grafique las ecuación de utilidad cuadratica

-2,000,000.00

-

2,000,000.00

4,000,000.00

6,000,000.00

8,000,000.00

10,000,000.00

12,000,000.00

14,000,000.00

0 5000 10000 15000 20000

U_lineal

u_cuadratica


EJERCICIO 1 (PARTE A LINEAL): La empresa panadera “Don fausto” cuyo propietario se llama fausto López, vende la bolsa de 20 panes a 100 lempiras, don fausto ha calculado que cada pan en sus materiales le cuesta 3 lempiras por pan x 20 panes seria 60 lempiras la bolsa. También sabe que mensualmente gasta 18,000 en dos empleados, 2 000 en agua y luz, y 20 000 en alquiler.

1) Determine los precios unitarios de: Ingreso Costo Utilidad

2) Determine los valores variables de: Ingreso Costo Utilidad

3) Determine los valores fijos de: Ingreso Costo Utilidad

4) Determine la ecuación: Ingreso Costo Utilidad

3) Determine el número de unidades que se requieren para que ingreso = costo, o que utilidad = 0, llamado punto de equilibrio?

4) Determine el número de unidades que se requieren para obtener una utilidad de 50,000 lempiras?

5) Grafique las ecuaciones de ingreso y costo y ubique el punto de equilibrio y de x que logra la utilidad anterior


EJERCICIO 1 (PARTE B CUADRÁTICA): La empresa panadera “Don fausto” ha decidido estimular sus ventas, y ha ofrecido un descuento por volumen de 1 lempiras, cada 1000 unidades, y además ha conseguido que en los costos de cada pan le den a el un descuento por volumen de 1 lempiras cada 2000 unidades.


8) Determine los descuentos por volumen Ingreso Costo

9) Determine los valores variables de: Nota: recuerde Valor variable = PxQ P = precio inicial + desc_por_volumen (X) Q = X + 0 Ingreso Costo Utilidad


11) Determine la ecuación: Ingreso

Costo Utilidad


7) Determine los dos valores de x requeridos para obtener una utilidad de 300,000 lempiras?

8) Grafique las ecuación de utilidad


EJERCICIO 2 (PARTE A LINEAL): La empresa de zapatos “mi calzado” vende sus zapatos a 2500 lps por unidad, y le cuestasn 2000 lempiras por unidad, y tiene unos costos fijos por valor de 55,000 lempiras.


6) Determine los valores variables de: Ingreso Costo Utilidad



9) Determine el número de unidades que se requieren para que ingreso = costo, o que utilidad = 0, llamado punto de equilibrio?

10) Determine el número de unidades que se requieren para obtener una utilidad de 25,000 lempiras?

11) Grafique las ecuaciones de ingreso y costo y ubique el punto de equilibrio y de x que logra la utilidad anterior


EJERCICIO 2 (PARTE B CUADRÁTICA): La empresa de zapatos “mi calzado” ha decidido estimular sus ventas, y ha ofrecido un descuento por volumen de 24 lempiras, cada 100 unidades, y además ha conseguido que en los costos de cada pan le den a el un descuento por volumen de 8 lempiras cada 100 unidades.





5) Determine la ecuación:

Ingreso Costo Utilidad





EJERCICIO 3 (PARTE A LINEAL): La empresa de pizzas “pizza al gusto”, ha observado que si el precio de la pizza gigante es de 190 lempiras vende 500 unidades, pero si el precio es de 170 lempiras vende 1000 unidades. Y además determino que la ecuación del costo total mensual es igual a C(x) = 90x + 20 000

1) Determine la ecuación del precio unitario de demanda (del cliente)

2) Determine el precio unitario bases de: Ingreso Costo Utilidad

3) Determine el número de unidades que se vendería si el precio fuera de 210 lps por pizza

4) Determine cual seria el precio ofrecido si se vendieron 900 unidades

5) Grafique la ecuación de precio por demanda


EJERCICIO 3 (PARTE B CUADRÁTICA): La empresa de pizzas “pizzas al gusto” decide averiguar cuál es el impacto de una política de precios igualada al comportamiento de la demanda:

1) Determine la ecuación de precios unitarios: Ingreso Costo Utilidad









EJERCICIO 4 (PARTE A LINEAL): La empresa de comida china “la gran china”, ha observado que si el precio del arroz familiar es de 250 lempiras vende 700 unidades, pero si el precio es de 200 lempiras vende 1200 unidades. Y además determino que la ecuación del costo total mensual es igual a C(x) = 125x + 35 000

1) Determine la ecuación del precio unitario de demanda (del cliente)

2) Determine el precio unitario bases de: Ingreso Costo Utilidad

3) Determine el número de unidades que se vendería si el precio fuera de 225 lps por pizza

4) Determine cual seria el precio ofrecido si se vendieron 1300 unidades

5) Grafique la ecuación de precio por demanda


EJERCICIO 4 (PARTE B CUADRÁTICA): La empresa de comida china “la gran china” decide averiguar cuál es el impacto de una política de precios igualada al comportamiento de la demanda:

1) Determine la ecuacion de precios unitarios: Ingreso Costo Utilidad









ECUACIÓN DE DEMANDA: llamamos ecuación de demanda aquella que describe el comportamiento de una gran cantidad de consumidores al aumentar o bajar el precio de un producto. Caso 1: Normalmente, cuando un producto baja de precio las personas deciden comprar mas producto, y cuando el precio sube decide comprar menos producto.

Caso 2: En otros productos, no importa si el precio sube o baja las personas no compran más productos, un caso de estos es la sal, que es un producto de bajo precio, cuyo consumo no se aumenta o casi no se aumenta por bajar el precio.

Caso 3: en otros productos, si hay una mínima variación del precio, los consumidores compran mucho mas o mucho menos.

Nota: Por tradición económica, en el eje de las “x” se colocan las unidades, y en el eje de las “y” se coloca el precio. Aunque desde el punto de vista de variable dependiente e independiente, el precio es la causa que produce que la gente decida comprar o no. En realidad muy raras veces una curva de demanda

es una línea recta, en realidad la mayoría de las

veces se representa por cuna curva, pero para

propósitos de simplicidad, se asumen que son líneas

rectas.

Eso significa que si tenemos dos datos en el tiempo

podemos calcular la ecuación de demanda.

EJEMPLO 1:

Imaginemos el caso de camas individuales que tuvo

dos precios diferentes:

Momento Unidades (q=x)

Precio (p=y)

Momento 1 200 unidades 2500 lps

Momento 2 150 unidades 3500 lps

Aplicamos la fórmula de la pendiente

2 1 2 1

2 1 2 1

2500 3500 1000

200 150 50

y y p pm

x x q q

precio

Unidades

suben unidades

baj

a p

reci

o

precio

Unidades

casi no aumentan unidades

baj

a m

uch

o e

l pre

cio

precio

Unidades

suben mucho las unidades

baj

a p

oco

el p

reci

o


Está pendiente podemos interpretarla como que por cada reducción de mil lempiras en el precio, se obtienen un incremento constante de 50 unidades. Para calcular la ecuación usamos la formula

1 1( )y y m x x

10002500 ( 200)

50y x

1000 1000200 2500

50 50y x

20 4000 2500y x

20 6500y x

Verificamos con el punto 2 X=150 Y=3500

20(150) 6500 3000 6500y

=3500 En términos económicos la ecuación es: p=-20q+6500 p= precio q= cantidad EJEMPLO 2: Supongamos que vendamos pasteles a 180 lempiras, y se venden 4000 unidades. Y nos dicen que históricamente si se reduce 15% el precio sobre los 180 lempiras se aumenta el 20% de 4000 unidades. Elaboramos la misma tabla

Momento Unidades (q=x) Precio (p=y)

Momento 1

4000 unidades 180 lps

Momento 2

=4000+20%*4000 =4000+0.20*4000 = 4000+800 = 4800 unidades

180-15%180 =180-0.15x180 =180-27=153 lempiras por pastel.

Para el caso anterior asumimos que es una curva lineal y procedemos a realizar los mismos cálculos

2 1

2 1

y ym

x x

1 1( )y y m x x

Nota: si la regla de aumenta 20% las unidades

cuando baja el 15% del precio es para todos los

valores, lo que se forma es una curva, no una recta

como la que se muestra a continuación

A continuación se muestra la grafica

unidades precio

4000 180.00

4800 153.00

5760 130.05

6912 110.54

8294.4 93.96

9953.28 79.87

-

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

precio

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