METODOLOGÍAS SISTEMA INTEGRAL DE … · A continuación se presenta la Duración Modificada y...

METODOLOGÍAS

SISTEMA INTEGRAL DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS®

SIARGAF 4.0

FEBRERO 2008 COSTA RICA

VERSIÓN FEBRERO 2008 COSTA RICA

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CONTENIDO

1. RIESGO DE MERCADO ......................................................................................................................1 1.1 Valor en Riesgo Paramétrico .......................................................................................................................... 1

A) Medidas de Sensibilidad .............................................................................................................................. 1 B) Medidas Estadísticas ................................................................................................................................... 6 C) Volatilidad..................................................................................................................................................... 7 D) Valor en Riesgo.......................................................................................................................................... 10 E) Valor en Riesgo Incremental ...................................................................................................................... 11 F) Valor en Riesgo Marginal ........................................................................................................................... 13 G) Stress-Testing............................................................................................................................................ 13 H) Escenarios de Crisis .................................................................................................................................. 14 I) RAROC........................................................................................................................................................ 14 J) Backtesting ................................................................................................................................................. 15

1.2 Valor en Riesgo Histórico.............................................................................................................................. 16 2. RIESGO DE CRÉDITO.......................................................................................................................19

2.1 Equivalencias de Calificaciones.................................................................................................................... 19 2.2 Matriz de Probabilidades de Transición........................................................................................................ 20 2.3 Matriz de Sobretasas .................................................................................................................................... 21 2.4 Estimación del Riesgo Crédito ...................................................................................................................... 22 2.5 Stress-Testing ............................................................................................................................................... 23

3. RIESGO LIQUIDEZ ............................................................................................................................24 3.1 Medición de Riesgo Liquidez de posición (Activos Reales).......................................................................... 24 3.2 Stress-Testing ............................................................................................................................................... 25


RIESGO DE MERCADO

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1

1. RIESGO DE MERCADO El Riesgo de Mercado es el riesgo de que se produzcan pérdidas en una cartera, como consecuencia de la fluctuación de los niveles de mercado de los que depende el valor de dicha cartera. Los niveles de mercado que afectan al valor de la cartera se denominan Factores de Riesgo, entre los cuales se encuentran tipos de cambio, tasas de interés, sobretasas, etc. Se ha hecho una práctica general en el Sistema Financiero Internacional, considerar como medida de Riesgo de Mercado al Valor en Riesgo, VaR por las siglas en inglés de “Value at Risk”. En términos generales, el VaR es una medida que indica el valor monetario a partir del cual se pueden observar las mayores pérdidas con una probabilidad determinada. En este capítulo se presentan dos modelos para el cálculo del VaR, el Paramétrico1 y el Histórico, la diferencia principal es la forma de determinar la distribución de probabilidades de las pérdidas y ganancias. Sin embargo, en ambos casos, se requiere determinar el horizonte de tiempo y el nivel de confianza. 1.1 Valor en Riesgo Paramétrico El VaR paramétrico se calcula con base a una distribución de probabilidades “normal multivariada” para las pérdidas y ganancias de una cartera, por lo que requiere de los siguientes supuestos: 1. Los rendimientos de los Factores de Riesgo tienen una distribución de probabilidades normal. 2. Condiciones de mercado no extraordinarias, es decir que no se consideran escenarios de crisis. Los variables que se tienen que especificar para calcular el VaR paramétrico son:

• El número de datos para el cálculo de la Volatilidad. • El Nivel de Confianza. • El Horizonte de tiempo.

A) Medidas de Sensibilidad Las Medidas de Sensibilidad son valores que permiten estimar los cambios en el precio de los instrumentos cuando cambian los Factores de Riesgo. En esta sección se presentan la Duración y la Convexidad, que son las medidas de sensibilidad para Bonos.

• Duración Modificada La Duración Modificada muestra el cambio porcentual del precio de un bono ante cambios en la tasa de rendimiento. En términos matemáticos es un cociente, el numerador es igual a la derivada del Precio2 con respecto a la tasa de rendimiento, mientras que el denominador es el Precio. Posteriormente, este cociente se multiplica por menos 1 para obtener un número positivo.

)Y(f)Y('fDM −=

Para aproximar el precio de un bono a partir de la Duración Modificada, se utiliza la siguiente expresión:

1 El VaR paramétrico es el VaR de RiskMetrics. 2 Se refiere al Precio Sucio de un bono. Se explica detalladamente en el Capitulo 1 del documento de “Valoración de Instrumentos del Vector de Precios”, elaborado por Valmer.


RIESGO DE MERCADO

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2

yDMPP ∆∆

⋅−=

Donde: P Precio original DM Duración Modificada

P∆ Diferencia entre el precio final (P1) y el precio original (P) y∆ Diferencia entre la tasa de rendimiento final (y1) y la tasa de rendimiento original (y)

Por lo tanto, el precio final asociado a la tasa y1, se puede aproximar a partir de la siguiente expresión:

PP)yy(DMP 11 +⋅−⋅−= En la siguiente gráfica se muestra el precio de un bono a distintos niveles de tasa de rendimiento y su aproximación a través de la Duración Modificada.

• Convexidad La Convexidad de un bono se utiliza cuando se desea estimar de manera más precisa los cambios de precio ante cambios en las tasas de rendimiento, sobretodo cuando los cambios en la tasa de rendimiento son de mayor magnitud. La Convexidad, muestra el cambio de las pendientes en la curva de precios. En términos matemáticos es un cociente, el numerador es igual a la segunda derivada del Precio con respecto a la tasa de rendimiento, mientras que el denominador es el Precio.

)Y(f)Y(''fC =


RIESGO DE MERCADO

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3

Para aproximar el precio de un bono, se aplica la serie de Taylor3 de acuerdo con la siguiente expresión:

2)y(C21yDM

PP ∆∆∆

⋅⋅+⋅−=

Donde:


P Precio original DM Duración Modificada C Convexidad Por lo tanto, el precio final; se puede obtener a partir de la siguiente expresión:

P1)yy(C21)yy(DMP 2

111 ⋅

+−⋅⋅+−⋅−=

En la siguiente gráfica se muestra la aproximación del precio de un bono, utilizando la Convexidad.

A continuación se presenta la Duración Modificada y Convexidad para bonos cupón cero, bonos de tasa fija y bonos de tasa flotante. La explicación detallada del cálculo del Precio Sucio y las Fracciones de año se encuentran en el documento de “Valoración de Instrumentos del Vector de Precios”.

3 La serie de Taylor es una expresión que aproxima cualquier función derivable en un punto específico a través de las derivadas de la función. En este caso sólo se utiliza la aproximación de la Serie de Taylor hasta la segunda derivada, el punto específico son la tasa y el precio originales, y en lugar de utilizar como notación las derivadas, se utilizan la Duración Modificada y Convexidad, ya que para su construcción hacen uso de la primera y segunda derivada, respectivamente.


RIESGO DE MERCADO

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4

• Medidas de Sensibilidad para Bonos cupón cero Variables utilizadas para el cálculo de las medidas de sensibilidad. Símbolo Definición t Fecha de Valoración T Fecha de Vencimiento N Valor Nominal rT Tasa de rendimiento al tiempo T. CD Convención de días de la tasa de rendimiento rT

TF(t,T,CD) Fracción de año4 entre t y T. La convención de días está definida en rT.

La Duración Modificada de un bono cupón cero es )CD,T,t(TFr1

)CD,T,t(TFDMT ⋅+

=

La Convexidad de un bono cupón cero es ( )2T

2

)CD,T,t(TFr1)CD,T,t(TF2C

⋅+

⋅=

• Medidas de Sensibilidad para Bonos de tasa fija Variables utilizadas para el cálculo de las medidas de sensibilidad. Símbolo Definición t Fecha de Valoración TK Fecha de Vencimiento K Número de cupones pendientes de pago en t T0 Fecha inmediata anterior de pago de cupón con respecto a t. En

caso de no existir, se considera la fecha de emisión Ti Fechas de Pago del cupón i. Para i = 1, …, K N Valor Nominal Y Yield al vencimiento, se requiere conocer la composición de la

tasa y la convención de días. La composición de la tasa se relaciona con las fechas de pago de los cupones

m Composición de la tasa de la Yield al vencimiento rC Tasa cupón, se requiere conocer la composición de la tasa y la

convención de días. La composición de la tasa se relaciona con las fechas de pago de los cupones

TF(t,Ti,CD) Fracción de año5 entre t y Ti. Se utiliza para obtener el Valor Presente del cupón i.

TF(Ti-1,Ti,CD) Fracción de año entre Ti-1 y Ti. Se utiliza para obtener el Flujo de Efectivo del cupón i.

Fi Flujo de Efectivo del cupón i VPFi Valor Presente del Flujo de Efectivo del cupón i. PS Precio Sucio 4 Se explica detalladamente en la sección 4.1 del documento de “Valoración de Instrumentos del Vector de Precios”, elaborado por Valmer. 5 Ibidem


RIESGO DE MERCADO

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5

La Duración Modificada de un bono de tasa fija es:

∑=

⋅⋅

+⋅=

K

1iii VPF)CD,T,t(TF

mY1PS

1DM

La Convexidad de un bono de tasa fija es:

∑=

⋅

+⋅

+⋅

=K

1ii

i2i2

VPFm

)CD,T,t(TF)CD,T,t(TF

mY1PS

1C

• Medidas de Sensibilidad para Bonos de tasa flotante A continuación se indican las variables utilizadas para el cálculo de las medidas de sensibilidad. Símbolo Definición t Fecha de Valoración TK Fecha de Vencimiento K Número de cupones pendientes de pago en t T0 Fecha inmediata anterior de pago de cupón con respecto a t. En

caso de no existir, se considera la fecha de emisión Ti Fechas de Pago del cupón i. Para i = 1, …, K N Valor Nominal rREF Tasa de referencia observada a la fecha de valoración

S Premio. Se agrega a la Tasa de referencia para obtener el pago de los cupones

rCV Tasa del cupón vigente Para i = 1

rC Tasa cupón donde rC = rREF + S Para i = 2, …, K

SY Prima. Se agrega a la Tasa de referencia para obtener la Yield al vencimiento

Y Yield al vencimiento, donde Y = rREF+SY m Composición de la tasa de la Yield al vencimiento

TF(t,Ti,CD) Fracción de año entre t y Ti. Se utiliza para obtener el Valor Presente del cupón i.

TF(Ti-1,Ti,CD) Fracción de año entre Ti-1 y Ti. Se utiliza para obtener el Flujo de Efectivo del cupón i.

Fi Flujo de Efectivo del cupón i VPFi Valor Presente del Flujo de Efectivo del cupón i. PS Precio Sucio La diferencia entre el cálculo de la Duración Modificada y Convexidad entre un bono de tasa fija y de tasa flotante es la forma de obtener los flujos de efectivo de los cupones6, Fi.

6 Se explica detalladamente en “Valoración de Instrumentos del Vector de Precios”, documentación elaborada por Valmer.


RIESGO DE MERCADO

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6

∑=

⋅

+

⋅⋅

+⋅=

K

1i)CD,iT,t(TFm

ii

mY1

F)CD,T,t(TF

mY1PS

1DM

La Convexidad (C) de un bono de tasa flotante es:

∑=

⋅

+⋅

+⋅

=K

1ii

i2i2

VPFm

)CD,T,t(TF)CD,T,t(TF

mY1PS

1C

Sin embargo, la sensibilidad que se utiliza para el cálculo del VaR Paramétrico de los Bonos de tasa flotante es la Duración al Corte del cupón, en la que se consideran como único flujo de efectivo a un cupón más el Valor Nominal.

1)CD,1T,t(TFm1

mY1

NCpn)CD,T,t(TFPS1DCpn

+⋅

+

+⋅⋅=

B) Medidas Estadísticas Todas las medidas estadísticas se calculan con base en los rendimientos de los Factores de Riesgo. El rendimiento de una determinada fecha se define como la tasa de crecimiento observada entre dos valores, en particular, para el VaR paramétrico el rendimiento que se utiliza es el cambio porcentual entre dos fechas.

1FRFR

Rto1i

ii −=

−

Donde: Rto Rendimiento del Factor de Riesgo

iFR Nivel de mercado del Factor de Riesgo a la fecha i

1iFR − Nivel de mercado del Factor de Riesgo a la fecha i-1

• Rendimiento promedio Para calcular M rendimientos de un Factor de Riesgo, es necesario tener M+1 datos históricos. Se considera MT como la primera fecha, en orden cronológico, para la que se calcula el rendimiento y a t como la fecha más reciente. El rendimiento promedio está definido por:


RIESGO DE MERCADO

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7

M

Rto

Rto

t

TMii____ ∑

==

• Varianza

La Varianza7 del rendimiento observado para M datos se define por:

1M

)RtoRto(t

TMi

2____

i2

−

−

=∑=σ

• Desviación Estándar

Mientras que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la Varianza.

1M

)RtoRto(t

TMi

2____

i

−

−

=∑=σ

• Covarianza

La Covarianza entre dos Factores de Riesgo, X y Y se define a través de sus rendimientos observados y los rendimientos promedio de M observaciones.

1M

)RtoRto()RtoRto(t

TMiY

____YiX

____Xi

XY −

−⋅−

=∑=σ

• Coeficiente de Correlación Por su parte, el coeficiente de correlación entre los rendimientos de dos Factores de Riesgo X y Y, se calcula a partir de la Covarianza y de las desviaciones estándar de cada Factor de Riesgo.

YX

XYXY σσ

σρ =

C) Volatilidad La Volatilidad es una medida de dispersión de un conjunto de datos, en particular, la volatilidad de los rendimientos de un bono se calcula en función de la desviación estándar de los rendimientos de los Factores de Riesgo y las Medidas de Sensibilidad.

7 Todas las medidas estadísticas se consideran que provienen de una muestra.


RIESGO DE MERCADO

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8

• Volatilidad de Bonos cupón cero

El único Factor de Riesgo de este tipo de bonos es la tasa de rendimiento asociada al vencimiento. La volatilidad es igual al producto de tres factores: la última tasa de rendimiento observada, la desviación estándar de los rendimientos de la tasa y la Duración Modificada.

DMrVol rZCB ⋅⋅= σ r Última tasa de rendimiento observada DM Duración Modificada

rσ Desviación estándar de los rendimientos de la tasa de rendimiento

• Volatilidad de Bonos de tasa fija El único Factor de Riesgo asociado a los bonos de tasa fija es la Yield al vencimiento. De forma similar a los Bonos cupón cero, la volatilidad es igual al producto de tres factores: la última Yield observada, la desviación estándar de los rendimientos de la Yield y la Duración Modificada.

DMYVol YFRB ⋅⋅= σ Y Última Yield observada DM Duración Modificada

rσ Desviación estándar de los rendimientos de la Yield

• Volatilidad de Bonos de tasa flotante Los Factores de Riesgo asociados a los bonos de tasa flotante son la Tasa de referencia (rREF) y la Prima o Sobretasa (SY) que se agrega a la Tasa de referencia para obtener la Yield, por lo que es necesario obtener el coeficiente de correlación ρ entre estos dos Factores de Riesgo para el cálculo de la Volatilidad. Además, en este caso en lugar de utilizar la Duración Modificada, se usa la Duración al corte del cupón.

)SY()r(2)SY()r(DCpnVol SYREFrREF2

SY2

REFrREFFRN σσρσσ ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= Donde:

REFr Última tasa de referencia observada SY Última prima o sobretasa observada DCpn Duración al corte del cupón

REFrσ Desviación estándar de los rendimientos de la tasa de referencia

SYσ Desviación estándar de los rendimientos de prima o sobretasa ρ Coeficiente de correlacion

• Volatilidad de Títulos Accionarios La volatilidad de un Título Accionario es igual a la desviación estándar de los rendimientos de los precios de cierre.

TATAVol σ=


RIESGO DE MERCADO

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9

• Volatilidad de Tipos de Cambio De la misma forma que los Títulos Accionarios, la volatilidad de los Tipos de Cambio es igual a la desviación estándar de los rendimientos de los precios observados.

TCTCVol σ=

• Volatilidad de una Cartera Para obtener la volatilidad de una cartera, es necesario capturar la relación entre los rendimientos de los instrumentos que componen dicha cartera. La forma de medir esta relación es a través de la Matriz de Varianza-Covarianza8, en la diagonal principal se tiene la varianza de cada Instrumento, mientras que en los demás valores se indica la covarianza entre cada pareja de instrumentos. Es importante destacar que el cálculo de la Varianza y la Covarianza es con el rendimiento de los precios de cada instrumento y dependiendo del tipo de instrumento se contemplan distintos Factores de Riesgo. Por ejemplo, para los bonos, la Varianza es igual al cuadrado de la Volatilidad, en la que se utilizan la desviación estándar del rendimiento de los Factores de Riesgo y la Duración. Para el cálculo de la Covarianza se deben estimar los precios de los instrumentos con los Factores de Riesgo y Duraciones, para posteriormente, obtener los rendimientos y con estos valores aplicar la ecuación de la covarianza. La Matriz de Varianza-Covarianza se denota por Ω y también se puede expresar en términos de la Matriz de Correlación y la Matriz de Volatilidades. Todas las matrices son de dimensión nxn, donde n es el número de instrumentos de la cartera.

][][][ σ⋅ρ⋅σ=Ω

][σ Matriz de Volatilidades ][ρ Matriz de Correlación

El vector ]w[ de dimensión nx1, se define como los porcentajes de la cartera invertidos en cada uno de los instrumentos. Para obtener cada porcentaje, se divide el Monto Invertido de cada instrumento entre el valor total de la cartera, por lo que se tiene la siguiente relación.

1wn

1ii =∑

=

La Volatilidad de una cartera, se define por:

]w[][]w[Vol TP ⋅Ω⋅=

8 Las propiedades principales de la Matriz de Varianza-Covarianza es que es cuadrada, simétrica y definida positiva.


RIESGO DE MERCADO

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10

D) Valor en Riesgo Como se menciona al inicio de esta sección, se requiere especificar las siguientes tres variables para calcular el VaR Paramétrico:

1) Número de datos para el cálculo de la Volatilidad Se refiere al número de rendimientos de los Factores de Riesgo que son utilizados para el cálculo de todas las Medidas Estadísticas, por lo general, en los reportes de SIARGAF, se contemplan los rendimientos de 90 días hábiles. 2) Nivel de Confianza El nivel de confianza es una probabilidad que se denota por (1-α ). Los valores más utilizados para α son 10%, 5% y 1%, resultando los niveles de confianza al 90%, 95% y 99%, respectivamente. Suponiendo que sólo se considera un extremo de la distribución de probabilidades, el nivel de confianza indica que estadísticamente el (1-α )% de las veces la pérdida no es mayor al VaR, por lo tanto, el α% de las veces la pérdida es mayor al VaR. En el caso de que se consideren los dos extremos de la distribución de probabilidades, se interpreta que el

%2α de las veces la pérdida será mayor al VaR.

3) Horizonte de tiempo Indica el intervalo de tiempo que se está contemplando para el cálculo, es decir, el intervalo de tiempo en el que se podría observar una pérdida igual o mayor que el VaR.

A continuación se define el VaR considerando un sólo extremo de la distribución Normal y Montos Invertidos positivos, sin embargo, se puede utilizar la siguiente tabla de referencia para sustituir los primeros dos factores del VaR con la especificación requerida.

Monto Invertido > 0 Monto Invertido < 0 Un extremo α⋅ ZMI α⋅⋅− ZMI1 Los dos extremos 2/ZMI α⋅ 2/ZMI1 α⋅⋅−

• VaR por Instrumento

Una vez calculada la Volatilidad de cada tipo de Instrumento, se tiene una expresión general para el cálculo del VaR, la cual aplica para todos los instrumentos vistos en la sección anterior, Bonos y Títulos Accionarios.

τ⋅⋅⋅= α ii VolZMIVaR Donde:

iVaR Valor en Riesgo paramétrico para el instrumento i

MI Monto Invertido del instrumento i, es decir, el número de títulos multiplicado por su precio

iVol Volatilidad del instrumento i, la volatilidad se calcula de diferente forma dependiendo del tipo de instrumento

αZ Probabilidad acumulada hasta el valor de α de la distribución Normal Estándar

τ Horizonte de Tiempo


RIESGO DE MERCADO

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11

• VaR de una Cartera De la misma forma que el VaR individual, el VaR de una cartera se define por:

τ⋅⋅⋅= α PP VolZMIVaR Donde: MI Monto Invertido o valor de la cartera

αZ Probabilidad acumulada hasta el valor de α de la distribución Normal Estándar

τ Horizonte de Tiempo VolP Volatilidad de la cartera Debido a la diversificación, se cumple que el VaR de la cartera es menor o igual a la suma de los VaR’s individuales.

∑=

≤n

1iiP VaRVaR

• VaR por tipo de Activo

Una forma de analizar el VaR de una cartera es clasificar los instrumentos por Factor de Riesgo y obtener el VaR de cada una de las sub-carteras como si fueran independientes de la cartera original. Los Factores de Riesgo pueden clasificarse como: Tasa Nominal, Tasa Real, Tipos de Cambio y Títulos Accionarios. Debido a la diversificación, se cumple que el VaR de la cartera es menor o igual a la suma de los VaR’s de las sub-carteras.

∑=

≤M

1iSPP VaRVaR

Donde M es el número de sub-carteras. E) Valor en Riesgo Incremental El VaR Incremental o VaR Delta, sirve para aproximar9 el cambio del VaR de la cartera ante cambios en los porcentajes de inversión de los instrumentos. Es un vector de dimensión nx1 y se define como las derivadas parciales del VaR de la cartera con respecto a cada porcentaje de inversión, es decir, es el gradiente del VaR con respecto a ]w[ . Analíticamente, el VaR Delta es:

]w[VaR

)ZMI(]VaR[

P

2⋅Ω⋅

τ⋅⋅=δ α

Los pasos que se siguieron para llegar a la expresión anterior son:

9 Si se desea conocer el cambio exacto de la cartera, se debería calcular el VaR con los nuevos porcentajes y compararlo con el VaR original.


RIESGO DE MERCADO

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12

Se define el gradiente del VaR.

]w[][]w[ZMIVaR T]w[P]w[ ⋅Ω⋅⋅τ⋅⋅∇=∇ α

Se obtienen las derivadas parciales del VaR.

12/1TP]w[ ]w[][]w[

21]w[2ZMIVaR −

α ⋅Ω⋅⋅⋅⋅Ω⋅⋅τ⋅⋅=∇

Se agrupan todos los escalares al principio de la ecuación.

]w[]w[][]w[

ZMIVaR

TP]w[ ⋅Ω⋅

⋅Ω⋅

τ⋅⋅=∇ α

Para obtener el VaR Delta de la forma más simplificada, se multiplica por las constantes requeridas para que el denominador sea el VaR de la cartera.

]w[VaR

)ZMI(VaR

P

2

P]w[ ⋅Ω⋅τ⋅⋅

=∇ α

Cada uno de los valores que forman parte del VaR incremental se denotan de la siguiente forma:

]VaR,,VaR,VaR[]VaR[ n21T δδδ=δ K

Para obtener el VaR Incremental ponderado, a continuación se definen el vector del Factor de betas ][β y el vector del Factor incremental ]F[ δ , ambos de dimensión nx1, utilizando la siguiente notación: Factor de betas ],,,[][ n21

T βββ=β K Factor Incremental ]F,,F,F[]F[ n21

T δδδ=δ K Donde el Factor de betas, ][β , se define a partir del vector ]VaR[ δ

∑=

δ

δ=β

n

1ii

ii

VaR

VaR

Y el Factor Incremental se define a partir del Factor de betas y el vector de porcentajes invertidos en cada instrumento ]w[ .

iii wF ⋅β=δ El VaR Incremental ponderado, se define por:

∑=

δ

δ=∆

n

1ii

ii

F

FVaR


RIESGO DE MERCADO

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13

El VaR incremental en términos porcentuales es:

Pii VaRVaR%VaR ⋅∆=δ

Por lo que se tiene P

n

1ii VaR%VaR =δ∑

=y esto implica que ∑∑

==≤δ

n

1ii

n

1ii VaR%VaR , donde VaRi es el VaR

individual del instrumento i. F) Valor en Riesgo Marginal El VaR Marginal de una posición es el cambio que se observa en el VaR de una cartera cuando se elimina dicha posición, ésta se puede definir como un instrumento individual o como un conjunto de instrumentos que se agrupan de acuerdo a un criterio específico.

pipi VaRVaRVaRm −= Donde:

iVaRm VaR marginal del conjunto de instrumentos i

pVaR VaR de la cartera

piVaR VaR de la cartera al eliminar el conjunto de instrumentos i Los principales criterios para agrupar los instrumentos son:

• Por instrumento Individual • Por tipo de activo (Contribución al VaR por Factor de riesgo). Se clasifican los instrumentos en una

misma posición si tienen el mismo Factor de Riesgo, tales como Tasa Nominal, Tasa Real, Tipo de Cambio y Títulos Accionarios.

G) Stress-Testing Las Pruebas bajo condiciones extremas o Stress-Testing, consisten en la estimación de las pérdidas que podría tener una cartera ante escenarios en los que los movimientos del mercado son extraordinariamente adversos, tales como aumentos considerables en las tasas de interés, tipo de cambio, etc. El modelo para el cálculo de las pérdidas esperadas bajo condiciones extremas, se hace mediante la volatilidad10 de los instrumentos y los escenarios extremos. Para Títulos Accionarios y Tipos de Cambio, los escenarios extremos se definen con el número de veces que se considera la volatilidad para obtener la pérdida.

)k1(PKPPP ⋅−⋅=⋅⋅−= σσ∆ Donde:

P∆ Diferencia entre el precio final (P1) y el precio original (P) P Precio original σ Volatilidad del instrumento k Número de veces de la desviación que se considera en el escenario de estrés

10 El cálculo de las Volatilidades por tipo de instrumento, se explica detalladamente en esta sección en el inciso C) “Volatilidades”.


RIESGO DE MERCADO

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14

Para Bonos, se utiliza la desviación estándar de la Yield y la sobretasa expresada en puntos base. Para calcular la pérdida esperada se revalúan los instrumentos sumándole los puntos base a la Yield y/o sobretasa de mercado del día de valuación y para recalcular el precio se utiliza la aproximación del precio por medio de la Duración Modificada y Convexidad o modelo Delta-Gamma.

2)y(C21yDM

PP ∆∆∆

⋅⋅+⋅−=

Donde:


P Precio original DM Duración Modificada C Convexidad H) Escenarios de Crisis Los escenarios de crisis son pruebas de estrés, considerando la variación de los factores de riesgo que se observaron en eventos históricos que impactaron al mercado internacional, tales como crisis mexicana, crisis asiática, crisis rusa y 11 de septiembre. I) RAROC El Rendimiento Ajustado por Riesgo (RAROC por sus siglas en inglés), se utiliza para hacer comparable el desempeño de varias carteras en las que se contempla no sólo el rendimiento de las carteras, sino también el riesgo asociado. El rendimiento anualizado de una cartera se calcula con base a un periodo de tiempo T.

T3601

PPRto

Inicial

FinalANU

−=

Donde:

ANURto Rendimiento anualizado

FinalP Precio de la cartera en la fecha final

InicialP Precio de la cartera en la fecha inicial T Número de días hábiles entre la fecha inicial y la fecha final Mientras que para capturar el riesgo, se utiliza la volatilidad anualizada de la cartera.

252]w[][]w[252VolVol TPANU ⋅⋅Ω⋅=⋅=

ANUVol Volatilidad anualizada

PVol Volatilidad de la cartera ]w[ Porcentajes de la cartera invertidos en cada instrumento ][Ω Matriz de Varianza-Covarianza de los rendimientos de los instrumentos


RIESGO DE MERCADO

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15

Una vez obtenidos el rendimiento y volatilidad anualizados, el RAROC se define por:

ANU

ANUP Vol

RtoRAROC =

Donde:

PRAROC Rendimiento ajustado por riesgo de la cartera P

ANURto Rendimiento anualizado

ANUVol Volatilidad anualizada J) Backtesting Una vez que se tiene un modelo de medición de riesgo de mercado, es importante comparar las pérdidas y ganancias del portafolio con los resultados arrojados por el modelo, con la finalidad de detectar su calidad y grado de aproximación. Esto se hace a través un proceso conocido como Backtesting. La esencia del Backtesting es la comparación de los resultados de un portafolio contra los resultados generados por un modelo de medición de riesgo. Pasos para realizar la validación de resultados o backtesting.

1. Se establece el número de observaciones que se desean para el cálculo del backtesting.

2. Se calcula para cada día la Plus-Minusvalías teóricas con la re-valuación del portafolio, a partir de la siguiente expresión:

Plus-Minusvalía del día t = (Valor de la cartera en el día t-1) x (Diferencia de precios entre el día t y t-1)

3. Se cuenta el número de excepciones, o sea, cuando la pérdida del portafolio es mayor al valor en riesgo calculado (Pérdida del portafolio mayor al VaR).

4. Se calcula si el número de fallos se encuentra en un intervalo aceptable de acuerdo al nivel de confianza del modelo de VaR, utilizando la Prueba de Kupiec. La prueba de Kupiec es una prueba de hipótesis, en la cual la hipótesis nula es que Θ es estadísticamente igual a la probabilidad utilizada por el VaR, mientras que la hipótesis alternativa es que Θ es diferente a dicha probabilidad. Por lo tanto, el resultado que se desea es no rechazar la hipótesis nula.

Kupiec desarrolló regiones de confianza con base en una distribución Chi-cuadrada con un grado de libertad, las cuales fueron determinadas de los extremos de máxima verosimilitud de la siguiente expresión:

( ) ( ) xxNxxN N/xN/x1ln2)1(ln2)(L ⋅−⋅+θ⋅θ−⋅−=θ −−

x Número de fallos N Número total de días Θ Nivel de confianza del modelo de VaR


RIESGO DE MERCADO

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16

Si el estadístico de prueba (número de fallos) cae en la región de no rechazo, la conclusión es que el modelo de VaR pasa la prueba de Kupiec. 5. Si el modelo de VaR pasa la prueba de Kupiec, concluimos que el modelo es consistente y lo aceptamos. En caso de no pasar la prueba, tenemos dos opciones:

I. Se tienen más fallos de los que estarían permitidos estadísticamente, lo que significa que el modelo está estimando el VaR muy por debajo de nuestras pérdidas reales. II. Se tienen menos fallos de los permitidos estadísticamente, y eso significa que el modelo está estimando el VaR muy por encima de nuestras pérdidas reales.

En ambos casos, se buscan las causas de no haber pasado la prueba y se procede a calibrar el modelo.

1.2 Valor en Riesgo Histórico Esta metodología de VaR utiliza la información histórica de un intervalo de tiempo para capturar las variaciones y correlaciones intrínsecas observadas en los Factores de Riesgo, de esta forma, se obtienen los precios de la cartera y la distribución empírica11 para las pérdidas y ganancias. Los variables que se tienen que especificar para calcular el VaR histórico son:

• El número de escenarios, es el número de días hábiles para los cuales se observa el comportamiento de los Factores de Riesgo.

• El Nivel de Confianza, denotado por (1-α ). Para obtener el VaR Histórico se siguen los siguientes pasos: 1. Se identifican los Factores de Riesgo de cada instrumento y se calculan las variaciones porcentuales diarias, considerando el número de escenarios (M), para lo cual se necesitan M+1 datos históricos. Se considera MT como la primera fecha, en orden cronológico, para la que se calcula el cambio del Factor de Riesgo y a t como la fecha más reciente.

1i

ii FR

FRFR−

=∆ Para i = MT, MT+1,…, t

Donde:

iFR∆ Cambio del Factor de Riesgo en la fecha i iFR Nivel de mercado del Factor de Riesgo a la fecha i

1iFR − Nivel de mercado del Factor de Riesgo a la fecha i-1 2. Se multiplican las variaciones porcentuales de cada Factor de Riesgo por el último valor observado del Factor de Riesgo y con esto se obtienen M escenarios.

11 La única información sobre la variable aleatoria son los valores de un número de sus realizaciones y no se puede calificar como ninguna de las distribuciones conocidas.


RIESGO DE MERCADO

________________________________________________________________________________________________

17

En el siguiente cuadro se muestran los distintos escenarios para un Factor de Riesgo, iniciando con los datos más actuales.

i Cambio del Factor de Riesgo

Escenario del Factor de Riesgo

t 1t

tt FR

FRFR−

=∆ tt FRFR ⋅∆

t-1 2t

1t1t FR

FRFR−

−− =∆ t1t FRFR ⋅∆ −

M M M

1TM + TM

1TM1TM FR

FRFR +

+=∆ t1TM FRFR ⋅∆ +

TM 1TM

TMTM FR

FRFR

−

=∆ tTM FRFR ⋅∆

Considerando las observaciones generadas para los factores de riesgo, se obtienen observaciones para los 3. Se calculan los precios de todos los instrumentos en cada uno de los M escenarios, utilizando la fórmula de valoración correspondiente. 4. Se construye la matriz de diferencias de precios, la cual es de dimensión Mxn, donde n es el número de instrumentos y M el número de escenarios. El elemento (i, j) de la matriz es:

jt

jiij PPCP −=

Para i = MT, MT+1,…, t j = 1,2,...,n

Donde:

jiCP Diferencia entre el precio del instrumento j en el escenario i y el precio en la fecha t.

jiP Precio del instrumento j en el escenario i.

jtP Precio del instrumento j en la fecha t.

5. Se multiplica la matriz de diferencias de precios12 por el vector que contiene el número de títulos por instrumento que integran la cartera. Obteniendo de esta forma, un vector de dimensión Mx1 de pérdidas y ganancias de la cartera.

12 Esta Matriz de Diferencias la proporciona Valmer como proveedor de precios.


RIESGO DE MERCADO

________________________________________________________________________________________________

18

Se divide este vector entre el valor de mercado de la cartera de activos en el día h, obteniendo así los rendimientos con respecto al portafolio actual. En símbolos 6. Se ordenan, de menor a mayor, los valores del vector de pérdidas y ganancias y se obtiene el valor para el cual se acumulan el %α de los datos, si se contempla un solo extremo de la distribución o %2/α si es una distribución que contempla los dos extremos. Por ejemplo, utilizando 500 escenarios, un nivel de confianza del 95% y contemplando los dos extremos, el VaR es la décimo tercera observación. Para obtener el VaR en términos porcentuales, se divide el VaR obtenido del vector de pérdidas y ganancias entre el Valor de la Cartera en el día t.


RIESGO DE CRÉDITO

________________________________________________________________________________________________

19

2. RIESGO DE CRÉDITO

El riesgo de crédito del portafolio se basa en el análisis de la calificación de los instrumentos de deuda incluidos en el portafolio. Mediante esta calificación y la matriz de probabilidades de transición, que estima la probabilidad de que un título “migre” hacia una calificación inferior, o incurra en un incumplimiento de sus compromisos. Posteriormente, se hace un análisis de sobretasas, mismo que se realiza a partir del cambio en el nivel de calificación de un bono, y el impacto de éste cambio en su precio. Los criterios de la metodología en cuanto a las posiciones son los siguientes:

I. Se consideran todos los Activos Financieros así como operaciones activas con fecha de vencimiento mayor a un día.

II. Se excluyen del análisis: • Valores emitidos por el Gobierno Federal con circulación restringida al territorio nacional, • Vehículos de deuda (índices que replican bonos de gobiernos extranjeros) • Acciones comunes • Acciones de otras sociedades de inversión. • Las contrapartes en operaciones de reporto.

Con base en lo anterior, los UMSs sí son objeto de riesgo de crédito, dado que son bonos “globales” por lo que respecta a agencias del gobierno, estado y municipios, esto sí son objeto de medición de riesgo de crédito por no ser emitidos por el gobierno federal. A continuación, primero se define una escala homogénea de calificaciones y posteriormente, con la información histórica de los instrumentos, se calcula la matriz de transición. 2.1 Equivalencias de Calificaciones Dado que existen diferentes nomenclaturas para la calificación, por parte de las distintas calificadoras, se debe recurrir a una escala homogénea para calcular las probabilidades de transición que integran la matriz. Emisiones de Corto Plazo

Calificación equivalente S&P MOODYs FITCH

1 mxA-I,mxA-1+ PRIME 1 F1+mex, F1mex 2 mxA-2 PRIME 2 F2mex 3 mxA-3 PRIME 3 F3mex 4 mxB NO PRIME Bmex 5 mxC NO PRIME Cmex 6 mxD NO PRIME Dmex


RIESGO DE CRÉDITO

________________________________________________________________________________________________

20

Emisiones de Mediano y Largo Plazo

Calificación equivalente S&P MOODYs FITCH

AAA+ AAA 1 mxAAA AAA AAA-

mxAA+ Aa1 AA+ 2 mxAA Aa2 AA

3 Aa3 AA-

mxA+ A1 A+ 4 mxA A2 A A3 A-

mxBBB+ Baa1 BBB+ 5 mxBBB Baa2 BBB Baa3 BBB-

mxBB+ Ba1 BB+ 6 mxBB Ba2 BB Ba3 BB-

mxB+ B1 B+ 7 mxB B2 B B3 B-

mxCCC Caa1 mxCC Caa2 8 Caa3

C

Ca D 9 mxD

C S 2.2 Matriz de Probabilidades de Transición La matriz de probabilidades de transición muestra la probabilidad de que un instrumento, con cierta calificación al inicio de un período, tenga una igual o diferente calificación al final del mismo, o bien, en el caso extremo, la probabilidad de que un instrumento con una cierta calificación se encuentre en incumplimiento al final del período de análisis. A continuación se muestra un ejemplo de una Matriz de probabilidades de transición.


RIESGO DE CRÉDITO

________________________________________________________________________________________________

21

AAA AA - AA A BBB BB B C DAAA 98.36% 1.09% 0.55%AA 4.05% 41.89% 52.70% 1.35%- AA 0.51% 5.13% 88.21% 6.15%

A 0.79% 6.30% 89.76% 2.36% 0.79%BBB 2.74% 82.19% 15.07%BB 23.08% 38.46% 30.77% 7.69%B 22.22% 55.56% 11.11% 11.11%C 83.33% 16.67%D 6.25% 12.50% 6.25% 75.00%

La matriz de transición esta compuesta por una serie de elementos “p” que representan la probabilidad de que un instrumento que cuenta con un nivel determinado de calificación crediticia se mantenga en dicho nivel o pueda emigrar a otro nivel.

)p,p,p,p,p,p,p,p,p(p 9i8i7i6i5i4i3i2i1i= tal que 1p9

1jij =∑

=

Donde: i Nivel de calificación que le corresponde al instrumento (renglón) j Niveles de calificación a los que puede cambiar el instrumento (columnas) Por lo que, i = j indica la probabilidad de que un instrumento que está en la calificación i permanezca con esa calificación para el siguiente período. Mientras que i ≠ j indica la probabilidad de que un instrumento con calificación i migre a la calificación j. 2.3 Matriz de Sobretasas Se estima una matriz de sobretasas en función del período de su cupón, tipo de tasa y al número de cupones del instrumento.

No. CUPONES DIAS AAA AA - AA A BBB BB B C D1 28 0.2220 0.4000 1.0240 1.3025 2.6545 14.1095 25.5645 196.9414 591.94423 84 0.2498 0.4359 1.0514 1.3448 2.7251 14.1574 25.5898 197.1321 592.51646 168 0.2915 0.4899 1.0926 1.4082 2.8309 14.2293 25.6276 197.4182 593.374712 336 0.3748 0.5977 1.1750 1.5350 3.0426 14.3729 25.7033 197.9904 595.091315 420 0.4165 0.6516 1.2161 1.5984 3.1484 14.4448 25.7411 198.2765 595.949618 504 0.4581 0.7056 1.2573 1.6618 3.2543 14.5166 25.7790 198.5626 596.807925 700 0.5554 0.8314 1.3534 1.8098 3.5012 14.6842 25.8673 199.2302 598.810530 840 0.6248 0.9213 1.4220 1.9154 3.6776 14.8040 25.9303 199.7070 600.241045 1260 0.8332 1.1909 1.6279 2.2325 4.2068 15.1632 26.1196 201.1375 604.532454 1512 0.9582 1.3526 1.7514 2.4227 4.5243 15.3787 26.2331 201.9958 607.107381 2268 1.3333 1.8379 2.1220 2.9934 5.4769 16.0253 26.5737 204.5706 614.831993 2604 1.5000 2.0536 2.2867 3.2470 5.9002 16.3126 26.7251 205.7150 618.2650110 3080 1.7361 2.3592 2.5200 3.6063 6.5000 16.7198 26.9395 207.3362 623.1287

)ST,ST,ST,ST,ST,ST,ST,ST,ST(ST 9,i8,i7,i6,i5,i4,i3,i2,i1,ii =

Donde i indica el renglón correspondiente a las características del instrumento.


RIESGO DE CRÉDITO

________________________________________________________________________________________________

22

2.4 Estimación del Riesgo Crédito Los supuestos son que el riesgo de crédito está en razón directa del factor de riesgo, y el factor de riesgo a su vez sólo está en función de la sobretasa, la duración modificada y la convexidad del instrumento. Se calcula el valor esperado de la sobretasa de un instrumento, tomando en cuenta las probabilidades de transición y las sobretasas: ( ) 9ii92ii21ii1i ST*pST*pST*pSTΕ +++= K

Donde: E(STi ) Valor esperado de la sobretasa correspondiente al instrumento con calificación i pij Probabilidad de que el instrumento con calificación i migre a la calificación j para j=1, 2, …, 9

ijST Sobretasa Promedio del Instrumento i en el nivel de Calificación j=1....9 . Este promedio se calcula con las sobretasas observadas en los 90 días anteriores al día de cálculo.

La sobretasa del Nivel 1 es la del instrumento y no la del promedio de mercado dado que la emisión tiene una probabilidad de migrar a una calificación (y por ende sobretasa) la cual es distinta a la propia; si se usa el promedio de sobretasas de mercado como el nivel en el que se encuentra el papel, los impactos monetarios se calculan con base en se a una valoración equivocada por lo que dichos impactos serán engañosos. La sobretasa del papel tiene que ser el “pivote” para hacer el mark-to-market del proceso de migración. Se estima la variación en el precio mediante el modelo Delta-Gamma, y eso se toma como factor de riesgo de crédito.

2iiiii ∆St*C

21∆St*DMFC +−=

Donde: FCi Factor de Riesgo de Crédito del instrumento i DMi Duración Modificada del Instrumento i Ci Convexidad del Instrumento i

i∆ST Incremento en la sobretasa

i

____ST Sobretasa promedio de 90 días, de acuerdo a las características del instrumento (tipo de tasa,

calificación y periodo del cupón) Entonces el Riesgo de Crédito es igual a

iii FC*MI RC = Donde: RCi Riesgo de Crédito del Instrumento i MIi Monto Invertido en el Instrumento i FCi Factor de Riesgo de Crédito del Instrumento i


RIESGO DE CRÉDITO

________________________________________________________________________________________________

23

2.5 Stress-Testing Las pruebas bajo condiciones extremas o Stress-Testing del Riesgo de Crédito, consisten en la estimación de las pérdidas que puede sufrir un portafolio ante cambios en la calificación de los instrumentos. Las pruebas se realizan a través de las sobretasas, recalculando el Factor de riesgo, de acuerdo a la siguiente expresión:

2iiiii VarST*Conv

21VarST*DMFC +−=

La Variación de la sobretasa se define por i____

estressi STSTVarSt −= Donde:

i

____ST Sobretasa promedio del instrumento i

estressST Sobretasa en escenario de Estrés


RIESGO LIQUIDEZ

________________________________________________________________________________________________

24

3. RIESGO LIQUIDEZ 3.1 Medición de Riesgo Liquidez de posición (Activos Reales) La metodología considera que el instrumento puede ser vendido a un descuento que es igual al cociente del promedio del spread de compra/venta, expresado en términos monetarios entre el promedio del diferencial porcentual de la compra/venta. Los criterios de la metodología en cuanto a las posiciones son los siguientes:

I. Se consideran todos los Activos Financieros así como operaciones activas con fecha de vencimiento mayor a un día.

II. Se excluyen del análisis los siguientes valores y operaciones: Acciones de otras sociedades de inversión. Reportos, con independencia del plazo a vencimiento, sin embargo, sí se incluyen en el

Riesgo de Mercado. El riesgo de liquidez del instrumento i se modela como sigue:

FLPoscPrRL ActualActual ⋅⋅= Donde: RL Pérdida Esperada PrActual Precio actual de la posición Postactual Cantidad de Títulos/Valores en posición FL Factor de Liquidez El factor de liquidez representa la pérdida potencial de un instrumento derivada de la variación del precio de mercado con respecto a las posturas de compra-venta y se calcula de la siguiente manera:

1P

SPFL −−

=

Donde: P Precio promedio en el período N S Spread promedio en el período N Los valores P y S se obtienen de la siguiente manera:

∑

∑

=

=

=

⋅+

=

N

1i

i

N

1i

ii

NSpread

S

N2CpaVta

P

Donde: Vtai i-ésimo Precio de venta Cpai i-ésimo Precio de compra


RIESGO LIQUIDEZ

________________________________________________________________________________________________

25

El Spread del instrumento es la diferencia entre las posturas de compra-venta, bajo los siguientes criterios de selección:

Si el instrumento: I. Operó, se toma el precio máximo y mínimo de las operaciones del día por cada emisión (fuente

INDEVAL). II. No operó y hay posturas, se toma la postura mínima y la postura máxima del día (tasas y/o

sobretasas) y se calcula el precio (Brokers electrónicos). III. No operó y no hay posturas, se considera un spread con base a precios teóricos de un día con

respecto a otro (vector de precios del proveedor de precios).

3.2 Stress-Testing Las Pruebas bajo condiciones extremas o Stress-Testing de riesgo de liquidez, consisten en la estimación de las pérdidas que podría sufrir un portafolio, ante incrementos en los spreads de 1 hasta 5 volatilidades. La volatilidad es la desviación estándar de los Spreads observados en N días, dado por:

1N

)SS(N

1i

2____

i

−

−

=∑=σ

Donde: S Promedio del Spread Si Spread observado en la fecha i N Número de observaciones Se calcula el factor de liquidez de 1 a 5 volatilidades para cada instrumento.

1P

PFL__

__K

−−

=⋅σ

Donde: FL Factor de Liquidez K Número de veces de la volatilidad considerada en el escenario de estrés

P Promedio de los precios

METODOLOGÍAS SISTEMA INTEGRAL DE … · A continuación se presenta la Duración Modificada y...

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