MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA-TEORÍA Y 45 EJERCICIOS RESUELTOS...

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II

ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS

388 [email protected], [email protected], [email protected]

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.

El siguiente método se utiliza tomando en cuenta las siguientes características. Si un

integrador contiene una de las expresiones 2 2 2 2 2 2, ,a x a x x a− − − , donde a > 0, se

puede eliminar el radical haciendo una de las sustituciones trigonométricas de la siguiente lista.

Sustituciones Trigonométricas:

Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica

2 2

2 2

2 2

a x

a x

x a

−

+

+

x a Sen

x a tg

x a Sec

θ

θ

θ

=

=

=

Al hacer una sustitución de este tipo se supone que θ está en el contradominio de la

función trigonométrica inversa correspondiente.

Así por ejemplo, para la sustitución x aSenθ= , se tiene que 2 2π πθ− ≤ ≤ , En este caso,

0Cosθ ≥ y 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) cos cosa x a a Sen a Sen a aθ θ θ θ− = − ⇒ − ⇒ =

Sí 2 2a x− aparece en el denominador se agrega la restricción x a≠ , o equivalente,

/ 2 / 2π θ π− < <

Mientras que para la sustitución x atgθ= , se tiene que en este caso, 0Secθ ≥ y

2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 )a x a a tg a tg a Sec aSecθ θ θ θ+ = + ⇒ + ⇒ =

Sí 2 2a x+ aparece en el denominador se agrega la restricción x a≠ ,

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Y cuando la sustitución es x aSecθ= , se tiene que en este caso, 0Sec tgθ θ ≥ y 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1)x a a Sec a a Sec a tag atgθ θ θ θ− = − ⇒ − ⇒ =

Sí 2 2x a− aparece en el denominador se agrega la restricción x a≠ ,

2 53

2 2 25 5 53 3 3

2 2 25 53 3

2 2 2 25 5 53 3 3

2 2

53

2

1 ( ) : :3

;

1 1 1 3 5 53 5 3 3 1 3(5)

11)

5

:

3

5 3

5

3 1

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θθθ θ θ

θ θ

= ⇒ ⇒ =+

= ⇒ = =

⎛ ⎞= ⇒ ⇒ = = +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +

⇒ ++

+⎝ ⎠

= ⇒ =

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫dxI De la forma Cambio x atg

x

x tg dx Sec d x tg

Sec d Sec d Sec ddx d kx tg tg Sec

Del cambio x t

a

g

dx xx

5 33 5

35

2

2 87

2 2 28 8 87 7 7

2 28 87 7

2 2

2

28 7 87 7

22

8

( )( )

15 15( )

2)7

13 5 15

1 : :7

;

1 1 17 8 7 7 1 4

8

θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ θ

+ ⇒ = +

= ++

= ⇒⇒ ++

⇒ =−

= ⇒ = =

⎛ ⎞= ⇒ ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

xArctgArctg x

k k

Arctg xdx k

x

dxI De la forma Cambio x atgx

x tg dx Sec d x tg

Sec ddx Sec

dx x a

dx tg

x

tg

( ) ( )

2

2

8 77 88

7

78

2

2 2

22

2 23)

114 4 14 4 14

( )( )

:4 14 4 14

( )7 8 4 14

1 : :

;

θ θ θθθ

θ θ θ

θ

θ θ

= = +

= ⇒ = + ⇒ = +

= ++

= ⇒ ⇒ =+− −

⇒ −+ − −

−

+ += ⇒ =

− −

∫

∫

∫∫

∫Sec d d kSec

xArctgArctg x

Del cambio x tg k k

Arctg xdx kx

dxI De la forma Cambio x asena ba b xa b

a b a bx sen x

dx a xa b

sena b

a

a b

b x

d cosθ θ+=

−a bx da b

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( ) ( )1

2 2 2 2

1 1( )( )cos cos cos( ) ( ) 1 cos( ) ( )

11 1

cos 2 2 2 2( (( )

θ θ θ θ θ θθ θ θ

θ θ θ θ θθ

+−

− + +− −

+− − −= ⇒ ⇒

++ − − − − +− −

−⇒ = + +

+ − −−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

a ba b

a b a b a ba b a b

a bd a b a bdx d da b

a ba b a b x sen sen a ba b a b

da b Sec d Ln Sec tg ka b a b a ba b

1,2 22 2(( ) ( )

θ θ

+ +− −

⇒ = = ⇒ = + ++ +−− −− −

a b a ba b a bx xDel Sec tg I Ln kx xa b a ba bx xa b a b

( )( )

( )

2

2

2

2

2

2

2: :

3 5 3 5 5 ; 3 5

(3 5 )( 5 ) 5 (3 5 )( )55 5 5 3

4)5 3

(3 5 ) 3 5 (

Dela forma Cambio x aSen

x Sen x Sen dx Cos d x Sen

xdx Sen Cos d Sen Cos dCosSenx

I Sen d I d Sen d I

xdx a xx

θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθθ

θ θ θ θ θ

=

− = ⇒ = − ⇒ = − − =

− − − −= =

−− −

=

⇒

− − ⇒ =

− ⇒

− + ⇒ −

−

=

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

3 5 ) Cos kθ θ+ +

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( ) ( ) ( )

23

5

22

5 (3 )( ) ;

5

3 35 (3 )5 5 3

5 5 5

x xDel arcSen Cos

x xxI arcSen k I arcSen x k

θ θ− − −⇒ = =

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= − + + ⇒ = − + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 22 2

2 2

2 2: :

4 sen ( ) 16 ; 4 co

5)16

s

De la forma Cambio x asen

x para x sen d

dx a xx x

x dπ π

θ

θ θ θ θ θ− −

⇒ − ⇒ =

= < < ⇒ =

−

=

∫

22 2 2 2 2 2

222 2

4cos 1 cos 1 cos16 16 cos16 16 16 16 1

1 116 16 1616

dx d d dsenx x sen sen sen sen

dx d Ctgd I kCscsenx x

θ θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ

θ θθ θθ

= = =− − −

= = − ⇒ = − +∫−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

2 2

1 161616

−= +

−∫dx x k

xx x

2 2

2 2 2

2 2 2:

; cos

1 1 cos cos cos c

6)

os

1 cos2 2 2 cos cos2 2 4 2 4 2 2

1 θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θθ

⇒ =

= ⇒ = =

− = − = =

+= ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ = +

− ⇒ −

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ De la forma x asen

x sen x sen dx d

x dx sen d d d

sen sen senI d I k

x d

I k I

x a x

k

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2 2 21 1: ; cos 1 1 12 2

del cambio arcsen x x x dx arcsen x x x kθ θ= = − ⇒ − = + − +∫

2 2 2

2

2

22

2

21 2 22 2

7)2 2

: :2

dx dxx dxx

x

I dx I dx I xx x x

dx De la forma Cambioa x atgx

θ

⎛ ⎞= −

⎛ ⎞⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠

+

⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⇒ ⇒ =+

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2 2 ; 2

2 2 2 22 2 2 2 1 2 2

2: 222 2 2

x tg dx Sec d x tg

dx Sec d Sec d d kx tg tg

x x dx xDel cambio x tg arctg x arctg kx

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ

θ θ

= ⇒ = =

= = = = ++ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫

( )

( )

2 2 2

22 2 2 2 2

2 2

22 2: :

;

11 =

18) θ

θ θ θ θ

θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ

+⇒ + ⇒ =

= ⇒ = =

++= =

+= +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

De la forma Cambio x atg

x tg dx Sec d x tg

Sec tg dtg Sec d Sec Sec d Sec Sec dtg tg tg tg

Sec Sec tg d Se

x dx x a

c d Sec tgtg g tg

x

t

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1

2

2

2

1 I

I

1

θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θθθ θ θ θθ

θ θ θ θ θ θ θθ

θ θ θ

= = = = = = − +

= = = +

+= − + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

Sec d Cos d dCos d Csc d Ln Csc Ctg kSenTan Cos Sen SenCos

Sec tg d Sec tg d Sec ktg

x dx Ln Csc Ctg Sec kx

2 221 1 1 1 x xdx Ln x k

x x+ + −

= + + +∫

( )

2 2 4 4

33 34 2 4 2

2 2

4 2

2 2 2

: :

;

1

9)

1

1

1

De la forma Cambio x aSec

x Sec x Sec x Sec dx Sec tg d

dx Sec tg d tg d d Cos dSec tg Secx x Sec Sec

Cos Co

dx x a

s d Sen Cos d Cos d S

x

en Co

x

s

θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θθ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

⇒ =

= ⇒ = ⇒ = =

= = = =− −

= − = −

⇒ −−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

1

22

3 3 32 3

2

I

I :

I 3 3 3

d

Cos d Sen k

Sen Cos d Cambio de Variable u Sen du Cos d

u Sen Senu du k k Cos d Sen k

θ

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θθ θ θ

= = +

= ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ = − +

∫

∫∫

∫ ∫

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( )322

34 2

11 31

xdx x kx xx x

−−= − +

−∫

2 2 2 2 23

2 21 1 12

2 2 23

2 22 23 3

2

2 2

52 5 23 2 3 2 3 2 3 ( )

2 12 : 3 2 6 3 23 2 6 3

5 : :3 (

2 510)3 2

)

xdx dx xdx dxI Ix x x x

xdx duI sustitución u x du xdx I I Ln x kx u

dxI De la forma Cambio x aSecx

x Sec x

xx

ec

a

S

dx

x θ

θ θ

= − ⇒ = −− − − −

= ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = − +−

−⎡ ⎤ ⇒⎢ ⎥−⎣ ⎦

−= ⇒ =−

= ⇒ =

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫23; dx Sec tg dθ θ θ=

2 23 3

2 2 2 2 22 2 2 2 23 3 3 3 3

1cos

2cos

2

55 5 5 53 ( ) 3 3( ) 1 63

( )5 5 cos 5 5( ) cos6 6 6 6

56

sen

Sec tg ddx Sec tg d Sec tg d Sec dIx Sec Sec tg tg

dI d d Csc dsen sen

I Ln Csc Ctg k

θθθ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

θ θθ θ θ θθ θ θ

θ θ

= = = = =− − −

= = = =

= − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

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23

2 2 23

232

2 2 23

56

2 5 1 5ln 3 23 2 3 2 6

xI Ln k

x

xx dx x Ln kx x

−= +

−

−−= − − +

− −∫

2 2 2

2

22

22 2 2 2

2 2 2 2

2 3 1

2 2

22

111) : :

;

11

1 C


x tg x tg dx Sec d

tg Sec

x dx a

x Sec Sec Sec Secdx d d dx tg tg tg

x Secdx dx tg

xx

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θθ θ θ

θ θθ

⇒ =

= ⇒ = =

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤++= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤+=

⎡ ⎤+⇒ +⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢

⎦

⎥⎣

⎣

⎦

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

2

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

1 coscos cos

1 cos coscos cos cos

ossenCos

send d dsen sen

x sen ddx d d dx sen sen sen

θθθ

θ θθ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ θ

⎡ ⎤+⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1

22 22

seccoscos 1: cos

dI Sec d Ln tg k

I d sustitución z sen dz d I z dz ksen sen

θ θ θ θ θθθ θ θ θ θθ θ

−

⎡ ⎤= = = + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

2 2 22

2 2

1 1 1 1sec 1x x xLn tg k Ln x x kx sen x x

θ θθ

+ + += + − + ⇒ = + + − +∫ ∫

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( )2 2

2 2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

1

2 2

2 2

2 55 6 ( 4)(2 5 ) 14 4 4

5 6 2 5

5 612)

2 54 4 4 4

2 : :4

2 4 ;

4xx x x xdx dx dx

x x x

x x x dx xdx dx dx dx dxx x x x

I dx x k


x tg x tg

x x dxx

x a

d

θ

θ θ

−⎛ ⎞⎛ ⎞− + + −= = + ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + −= + = + −

+ + +

− +

+

= = +

= ⇒ ⇒ =+

= ⇒

+

+

=

⇒∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫2

2 2 2

2 2 22 2 2 2

2 23 3 32

22

22

2

22 2 ( )4 4 4 1

5 55 : 4 2 44 2 2

5 6 5( ) 44 2

x

x

x Sec d

dx Sec d Sec d Sec d d I k I arctg kx tg tg Sec

x dzI dx sustitución z x dz xdx I I Ln x kx z

x x dx x arctg Ln x Cx

θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ

=

= = = = ⇒ = + ⇒ = ++ + +

− −= − ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = + +

+

− += + − + +

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2

2 2

:

: :2 2

13

2 2 ; 2

22 2

)2

2 1

Cambio de Variable u tgx du Sec x dx

Sec x dx du De la forma Cambio x aSectg x u

u Sec u Sec du Sec tg d

du Sec tg d Sec tg d Sec tg d

Sec x dxt

Seu Sec Sec tg

g x

x a θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ

= ⇒ =

= ⇒ ⇒ =− −

= ⇒

⇒−

−

= =

= = = =− − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ c d Ln Secu tgu kθ θ = + +∫

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2 2

2 22 2 2

2 2du duLn u u k Ln tgx tg x ku u

= + − + ⇒ = + − +− −

∫ ∫

2

4 2 2

4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

4

2

2 2

2 2

4: 2

( )1 : :2( ) ( )

( ) ; cos1 1 cos 1 cos2 2 2

14)

( ) ( ) ( ) 1

xI dx Cambio de Variable u x du xdxa x

x dudx De la forma Cambio u asena x a u

u a sen u a sen du a ddu a d d

a u a a sen

x dxa x

a u θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ

= ⇒ = ⇒ =−

= ⇒ ⇒ =− −

= ⇒ = =

= =−

⇒−

−

−

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

22

24 4

1 1 ( )2 2

1 ( )2

ud arcsen kasen

x udx arcsen kaa x

θθ= = +

= +−

∫ ∫

∫

2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 12 2 2

2

2 2 21

2 2

1:2

1

2

12

5) xdx dxa ba x b a x b

xdx duI a sust u a x b du a xdx Ia x b a u

I L

ax b dxa

n a x

x b

b ka

+ ⇒+ +

= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒+

=

+

+

+

+

⇒ ∫ ∫∫

∫ ∫

2

2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2

:( )

: ( ) ( ) ; ( )

dxa

ba x b baa a a

b b ba a a

dx b dx b dxI b b De la forma x aa x b a a xx

Cambio x atg x tg x tg dx Sec dθ θ θ θ θ

= = = = ⇒ ++ ++ +

= ⇒ = ⇒ = =

∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 22 2 2

( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 1

: ( )

12

ba

b b b ba a a a

axbb

a

axb

Sec db dx b b Sec d d ka x a tg a tg a a

arctgaxDel Cambio x tg arctg I kb a

arctgax b dx Ln a x b ka x b a a

θ θ θ θ θθθ θ

θ θ

⇒ = = = ++ + +

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

+= + + +

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫

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( ) ( )2 22 2 12 22

1 2 12

2 2 21 1 12 2 2

2 21 12 2

2 2 21 1 1 12 2 2 2

2

2 2

2 2

22 1 2 1 2 1

: :

;

2(2 1)16)(2 1)

2 21

θ

θ θ θ θ


= + = ++ ++ +

= ⇒ ⇒

⎛ ⎞+ +⇒

=+

= ⇒ = =

= = = = ++ +

⎜ ⎟+⎝ ⎠

+

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫dx xdx dx xdxI

x xx x


x tg x tg dx Sec d

Sec ddx Sec d dx

x x dx

t

x

tg

a

g

x

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 12

22 22

22 2 22

2

2 2 2

2 2

. 2 1 42 1

1 14 4 2 12 1

2(2 1) 1 2 2(2 1) 4 2 1

−

⇒ = ++

= ⇒ = + ⇒ = ⇒+

= ⇒ =− +++

⎛ ⎞+ += − + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫

∫

∫ ∫

∫

dxk arctg x kx

xdxI sust z x dz xdxx

xdxI u du kxx

x x dx arctg x kx x

275

2 27 7 75 5 5

75

2 2 2 27 7 75 5 5

57

2 2

2

2

17)7

1 : :5

; cos

cos1 1 1 cos 1 cos 15 5 5 5 51 cos

1 ( )57

5

5

dxI De la forma Cambio x asenx

x sen x sen dx d

ddx d d kx sen sen

dx arc

dx a x

sen x kx

xθ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θθ θ θ

= ⇒ ⇒ =−

= ⇒ = =

= = = = +− − −

=

⇒−

+−

−∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

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EM

AT

ICA

SW

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m w

ww

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om





23 2

3 2

2

3 2 2

2 2

2 2

2

6

2 2

: 3( ) 1

1 : :3( ) 1 ( ) 1

;

1 1 1 13

18)1

3 3 3( ) 1 1

x dxI sustitución u x du x dxx

x dx du De la forma cambio u aSecx u

u Sec u Sec du Sec tg d

du Sec tg d Sec d Ln Sec tg ku Sec

x dxx

u a θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θθ

= ⇒ = ⇒ =−

= ⇒ ⇒ =− −

= ⇒ = =

= = =

⇒−

−

−

+ +−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

2

2 2

23 6

6

1 1 1 1 13 3 3 3( ) 1 ( ) 1

1 131

du duLn Sec tg k Ln u u ku u

x dx Ln x x kx

θ θ= + + ⇒ = + − +− −

= + − +−

∫ ∫

∫

2 2 15

21 1

21

2

2

2

1355 1

3 63 : 5 1 1010 105 1

33 5 15

3 119

1

)5 1

5

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

+ +⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎡ ⎤+

= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = +⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎡ ⎤= =

⇒⎢ ⎥+⎣ ⎦

+ +⎢ ⎥+⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

xdx dxIx x

x dzI dx sustitución z x dz xdx I u kzx

xI dx xx

x dxx

k

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2 22 2 1

5

2 2 21 1 15 5 5

2 215

2 2 21 1 15 5 5

1 : :5

;

1 1 1 1 15 5 5 5 51

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθ θ

= ⇒ + ⇒ =+

= ⇒ = =

= = = = + ++ + +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

dxI De la forma x a Cambio x atgx

x tg x tg dx Sec d

Sec ddx Sec d Sec d Ln Sec tg kx tg tg

2 2 152

3 1 3 15 1 55 55 1

x dx x Ln x x kx

⎡ ⎤+= + + + + +⎢ ⎥

+⎣ ⎦∫

2 2

21 12

2

2

2 22 2

2 2

2 2

23

4 41: 4 224

44

3 : :4

2 4 ; 22

320)4

3 34 4

x dxI dxx x

x duI dx sustitución w x dw xdx I u kux

x dx x kx

dxI De la forma x a Cambio x aSecx

x Sec x Sec dx Sec tg ddx Sec tg d

x Sec

x dxx

θ

θ θ θ θ θθ θ θ

θ

= +− −

= ⇒ = − ⇒ = ⇒ = = +−

= − +−

= ⇒ − ⇒ =−

= ⇒

−

−

=

+⇒

= =

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫ 23 3 3

4 1Sec tg d Sec d Ln Sec tg k

Secθ θ θ θ θ θ θ

θ= = = + +

−∫ ∫ ∫

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EM

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om





2

2 2

22

2

43 324

3 44 324

dx x xI Ln kx

x x xdx x Ln kx

+ −= = +

−

+ + −= − + +

−

∫

∫

2 2

2

2

2

2

2 2 2

2

2 : :

;

1 1 ( )

: ;

1) 1 De la forma x a Cambio x aSec

x Sec x Sec dx Sec tg d

x dx Sec Sec tg d Sec tg d Sec tg tg d por partes

Selección u tg du Sec

x

d v Sec tg d v Sec k

Sec tg d tg Sec

d

S

x θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

− ⇒ =

= ⇒ = =

− = − = =

= ⇒ = = ⇒ = +

⇒

= −

−

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫3

3

2

2

1: ( . )2

12

1 12 2

ec d

pero Sec dx Sec tg Ln Sec tg k resuelta en el archivode Int por partes

Sec tg d tg Sec Sec tg Ln Sec tg k

Sec tg d tg Sec Ln Sec tg k

θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ


= ⎡ + + ⎤+⎣ ⎦

= − ⎡ + + ⎤+⎣ ⎦

= − ⎡ + ⎤+⎣ ⎦

∫

∫

∫

∫

22 21 11 1

2 2x x

x dx Ln x x k− ⎡ ⎤− = − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

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( ) ( ) ( )

( )

2 2 22 2

2 2

2

2 2

2

2

2

.

4 4 2 4 4 2 4 2

: :2 2 ( 2) 4 ; 2cos

4 2 4 4 2co

22

c

) 4

s 4 1 os

Completamos cuadrado en el radicando

x x x x x x x dx

De la forma a x Cambio x aSenx sen x sen dx d

x dx sen d s

x x dx

en d

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤− =− − =− − − = − − ⇒ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− ⇒ =

− = ⇒ − = =

− − = − = −

− ⇒

∫

∫ ∫

∫

( )

2

2

4 cos

1 cos2 24 2 4 2 2 2 cos2 2

d

senx dx d k sen k

θ θ

θ θθ θ θ θ θ

=

+ ⎡ ⎤− − = = + + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

( )2

2 22

( 2) 44 2 2 ( )

2x x x x

x dx arcsen k− − −− − = + +∫

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2 2

2

2

2

2

2

: 1 1 1 2

2 2 : :( 1 2) 12 1

;

2 2 2 2

23)2

2 ( )1 1

2 1

1Cambio de Variable u x u x x u dx udu

dx udu du De la forma Cambio u atgu u ux x

u tg u tg du Sec d

du

dxx

Sec d d k arctg u ku tg

dxx

u

x

x

a θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ

= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ =

= = ⇒

⇒+

⇒ =− + ++ +

= ⇒ = =

= = = + = +

+

+

+

=+

+

+

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

2 ( 1)arctg x k+ +

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( ) ( )

14 21

4

14 21

4

2 2 21 1 14 4 4

2 2141 1 1 1

4 4 2 22 2 21 1 14 4

2 2

4

2 : coscos

:

24)1 4co

:

;

2

s

1

senx dx Cambio de Variable u x du senxdxx

du De la forma Cambio u atgu

u tg u tg du Sec d

Sec ddu Sec d d ku tg

se

tg

nx dxx

u a θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θθθ θ

= ⇒ =+

⇒ ⇒ =+

= ⇒ = =

= = = = +

⇒

+

+

+

+

+

⇒∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫

2

(2 )

(2cos )1 4cos 2

arctg u k

senx arctg xdx kx

= +

= ++∫

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

:1 ( )

1 : :1 ( ) 1

; cos1 1 cos 1 co

2

s1 1 co

5)1

s

bx bxbx bx

bx

b

b

x

x

x

b

eI dx Cambiode Variable u e du be dxe

e dudx De la forma Cambio x aSene b u

u sen u sen du

e dx

ddu d d

b u b sen b

e

a u θ

θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ

− −−

−

−

−

−

−

= ⇒ = ⇒ = −−

= − ⇒ ⇒ =− −

= ⇒ = =

− =− =

−

− =

⇒

−

− −

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

2

1 1

1 11

Sec d Ln Sec tg kb b

du Ln Sec tg kb u b

θ θ θ θ

θ θ

− = − + +

− = − + +−

∫

∫

2 22

2 2

2

2 2

1 1 1 1 1 11 1 (1 ) (1 )1

(1 )1 1 1 1 (1 )1 1 2 (1 )(1 )

1 11 2 1

bx bx

bx bx

du u du uLn k Ln kb u b b u b u uu

udu du uLn k Ln kb u b b u b uu

e edx Ln ke b e

− −

− −

+ +− = − + ⇒− = − +

− − − +−

+ +− = − + ⇒− = − +

− − −−

+= − +

− −

∫ ∫

∫ ∫

∫

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2

2 2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

:26)1 ( )

: :1 ( ) 1

;

( )1 1

( )

1

1

tt t

t

t

t

tt

t

t

t

e dtI cambio deVariable u e du e dte

e dt du De la forma Cambio u atge u

u tg u tg du Sec ddu Sec d d k arctg u k

u tge dt arctg e ke

e dte

u a θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ

= ⇒ = ⇒ =+

= ⇒ ⇒ =+ +

= ⇒ = =

= = = + = ++ +

⇒

+

= +

+

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

: ( )1 ( )

1 : :1 ( ) ln 1

;1 1 1 ( )

ln 1 ln 1 ln ln

27)1

1

xx x

x

x

x

x

x

x

aI dx Cambio de Variable u a du a Ln a dxa

a dudx De la forma Cambio u atga a u

u tg u tg du Sec ddu Sec d arctg ud k k

a u a tg a a

a

a dxa

u a θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ

⇒+

+

= ⇒ = ⇒ =+

= ⇒ ⇒ =+ +

= ⇒ = =

= = = + = ++ +

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

( )( )2 ln

x

x

arctg adx k

a a= +

+∫

2 2

2 2

2

2

2 2:

4 16 ; 4cos

16 16 16 4cos 16 cos cos 16 cos

1 cos2 216 8

2

( ) 8 8 cos

8) 16

2 2

x dx De la forma x asen

x sen x sen dx d

x dx sen d d d

senI d I k I s

a x

en k

θ

θ θ θ θ


θ θθ θ θ θ θ

⇒ =

=

− ⇒ −

⇒ = =

− = − = =

+= ⇒ = + + ⇒ = + +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

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EM

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om





2 22 2

4 416 1616 8 ( ) 8 16 8 ( )16 2

x xx x x xx arcsen k x arcsen k⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −

− = + + ⇒ − = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

2254

2 25 25 52 2 2 4 2

52

52 2 225 5 25 2

2 2

2

524 2 4 4

2

1 : :2

sen ( ) ; cos

cos1 1 1 cos 1 cos2 2 2( ) 5 co

29)25 4

s1

25 4

dxI De la forma Cambio x asenx x

x para x sen dx d

ddx d dsenx x sen sen se

dx a xx

n sen

dxx x

x

π π

θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ

− −

= ⇒ =−

= < < ⇒ = =

= =

⇒

=−

−−

=− − −

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

1 1 15 5 5

d Csc d I Ln Csc Ctg ksenθ θ θ θ θθ= ⇒ = − +∫ ∫ ∫

2

2

1 5 25 45 225 4

dx xLn kxx x

− −= +

−∫

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om





2 2

2 2 22

2 2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

: :

2sen 4 ; 2cos

(4 )2cos 8 cos 424 4 4 1

(1 cos 2 ) 2

30)

4 2 (1 cos 2 ) 2( )24

4

2

24


x x sen dx d

x dx sen d sen d sen dx se

x dx a xx

n sen

x dx d send kx

x dxx

θ

θ θ θ θ


θ θ θθ θ θ

⇒ =

= ⇒ = =

= = =− − −

−= = − = −

⇒ −−

+−

=−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

( cos )sen kθ θ θ− +

2 2

22

42 ( )24

xx dx x xarcsen kx

−= − +

−∫

2 2

2 3 2 3 2 3 6

23 22

2

3

2

2 331)

(: :

5 sen 5 ; 5 cos

5 cos 5 cos 5 cos5 5(5 ) (5 5 ) (5(1 )) cos

1 cos 1 1 15 cos 5 cos 5 5(5

5

)

)De la forma Cambio x asen

x x sen dx d

dx d d dx sen sen

dx d d Sec

dx a

d t

x

g k

x

x

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θ


⇒ =

= ⇒ = =

= = =− − −

= = = = +−

⇒ −−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

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2 3 2(5 ) 5 5dx x k

x x= +

− −∫

2 2 2

2

2

2 2

2

2

2 2

3 :2 : 2 4 ; 2

2

)

4 4 4 1

4θ θ θ θ θ


⇒ = ⇒ = ⇒ = =

= = = = +

⇒

++ +

+

+

+

∫ ∫

∫

∫ ∫

De la forma Cambio u atg x tg x tg dx Sec d

dx Sec d Sec d Sec d Ln Sec tg kx tg

dxx

g

x a

t

2

2

424

x xdx Ln kx

+ ++

+∫

2 2 2

2 2 2 2 22

2 2 2

22 3 3

2 2

2

2

2

: : 63 6 ; 6

(6 ) 6 6 6 666 6 6 1

6 ( 1) 6 ( ) 6 66

3)6

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

⇒ = ⇒ = ⇒ = =

= = =+ + +

= − = − =

⇒ ++

−+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

De la forma Cambio x atg x tg x tg dx Sec d

x dx tg Sec d tg Sec d tg Sec dx tg tg

x dx Sec Sec d

x dx x ax

Sec Sec d Sec d Sec dx2

2

2

2

( )6 6

26

3( ) 36

θ θ θ θθ θ

θ θ θ θ

⎡ + + ⎤= − ⎡ + ⎤+⎢ ⎥ ⎣ ⎦

+ ⎣ ⎦

= − + ++

∫

∫

∫

Sec tg Ln Sec tgx dx Ln Sec tg kx

x dx Sec tg Ln Sec tg kx

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2 2 2 22 2

2 2

6 6 6 63 3 3

6 26 66 6

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + += − + ⇒ = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

x x x x x x x xx dx x dxLn k Ln kx x

2 394

2 2 23 9 32 4 2

2 2 23 3 92 2 4

272 3 2 3 2 3 69 9 984 4 4

94

2 2

2 3

1 : :8 ( )

;

( ) ( )1 1 ( ) 1 ( )8 8 8( ) 12

34)

( ) ( ) (1 )

(9 4

1

)

8 (

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ

⇒ ⇒ =+

= ⇒ = =

=

⇒ +

+

+

= =+ + +

∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

xdx De la forma Cambio x atgx

x tg x tg dx Sec d

tg S

xdx x ax

ec dxdx tg Sec d tg Sec dx tg tg Sec

xdx 2cos

3 12 3cos

294

1 ( ) 1 ( ) 1 112 12 12 12)

1 1 cos8 12

θθ

θ


θ

= = = =

−= +

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

sentg Sec d tg d d sen dSec Secx

xdx kx

2 3 2 2 3 2

1 3 112(9 4 ) (9 4 ) (9 4 ) 4 (9 4 )

xdx xdxk kx x x x

⎡ ⎤− −= + ⇒ = +⎢ ⎥

+ ⎢ + ⎥ + +⎣ ⎦∫ ∫

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om





4

4

2 2 4 4 2

2 2

44 2 4 2 4 2

41cos

44 2

2 2

4

c

2

os

: :

3 3 9 3

3 1 19 9( 3) 9 (3 3) ( 1)

1 1 cos9 9 cos( 3)

35)( 3)

θθθ

θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθθ θ θ θ

θθθ θ

⇒ =

= ⇒ = ⇒ = =

= = =+ + +

+

=

⇒+

=+

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ sen


x tg x tg x tg dx Sec d

dx Sec d Sec d Sec dtgx x tg tg tg tg

dx dsenx x

dx x ax x

3 2

4 4

1 cos 1 cos cos9 9

θ θ θθ θ θθ θ

= =∫ ∫ ∫d d dsen sen

2 2

4 44 2

2

4 4 4 24 2

1 1 14 4

1 (1 )cos 1 (cos cos )9 9( 3)

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos9 9 9 9( 3)

1 cos 1: cos9 9

dx sen send dsen senx x

dx d sen d d dsen sen sen senx x

d dzI sustitución z sen dz d I Isen z

θ θ θ θ θθ θθ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θ θθ

− −= =

+

= − = −+

−= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ 3

2 1 22 2

34 2

127

1 cos 1 1: cos9 9 9

1 127 9( 3)

ksen

d dzI sustitución z sen dz d I I ksen z sen

dx ksen senx x

θ

θ θ θ θ θθ θ

θ θ

+

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = +

−= + +

+

∫ ∫

∫

2 3 2

3 34 2 4 2

22

( 3) ( 3)1 127 9( 3) ( 3)

927( 3)( 3)

x xdx dxk kx xx x x xxx

xx

− + +−= + + ⇒ = + +

⎡ ⎤+ +⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

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om





2

2 2

2 2

22

2 2 2

: :

3 9 ; 3

(3 )3 3 3 39 9 9 1

36)9

De la forma x a Cambio x aSec


xdx Sec Sec tg d Sec tg d Se

x d

c d tg kx S e

x

ec S c

xθ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ

− ⇒ =

= ⇒ = =

= = = = +− −

⇒−

−∫ ∫ ∫

∫

∫

22

2 2

93 939 9

xdx x xdxk x kx x

⎡ ⎤−= + ⇒ = − +⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

2 14 2 2

2 21 1 12 4 2

2 2 21 1 1 14 4 4 2

12

2 14 2 2 2

24 137 2 : :

;

1

(

)

2 2

2 1 1)

xdx De la forma x a Cambio x aSec

xx Sec x Sec dx Sec tg d

x Sec Sec tg d Sec Sec tg ddxx Sec Sec

xdx Sec tg d tg d Sec d tg

x

x dxx

θ

θ θ θ θ θ



− −⇒ − ⇒ =

= ⇒ = =

− − −= =

+= − = = − = −

⇒∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ kθ +

224 1 4 1 (2 )x dx x arcSec x k

x−

= − − +∫

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2 2

2 2 2 2

2

2

2

2 2: :

8 8 ; 8

8 1 1 1 cos8 8 8

38)8

8 8 8 8 1

θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθθ θ θ θ

⇒ = ⇒

= ⇒ = =

= = =

⇒ −

=− − −

−

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

De la forma Cambio x aSec


dx Sec tg d tg d d dSecx x Sec Sec Sec Sec

dx x ax x

2 2 88dx sen k

x xθ

= +−

∫

2

2 2

888

dx x kxx x−

= +−

∫

( )

( )

( )

22 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2

2 2

.

6 13 6 9 13 9 ( 6 9) 4 3 4

: :6 13 3 4

3 2 ( 3) 4 ; 2

243

39)6 13

4

θ

θ θ θ θ

θ θ

⎡ ⎤− + = − + + − = − + + = − +⎣

⇒

⎦

− +

+= ⇒ ⇒ =− + − +

− = ⇒ − = =

=− +

∫ ∫

∫

∫ Completamos cuadrado en el radicando

x x x x x x x

dx dx D

dxx x

e la forma Cambio x atgx x x

x tg x tg dx Sec d

dx Sec d

x

x a

( )

2

2 2

2

4 1

3 4


θ θ

= = = + ++ +

= + +− +

∫ ∫ ∫

∫

Sec d Sec d Ln Sec tg ktg tg

dx Ln Sec tg kx

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( )( ) ( )2

2

3 4 323 4

x xdx Ln kx

− + + −= +

− +∫

( )

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

2 2

.

21 4 ( 4 21) (( 4 4) 21 4) (( 2) 25) 25 ( 2)

: :21 4 2

40)21 4

5 2

2 5 5 2 (5

θ

θ θ

+ − =− − − =− − + − − =− − − = − −

= ⇒ ⇒ =+ − − −

− = ⇒ = + ⇒ =

⇒+ −

−∫ ∫

∫ Completamos cuadrado en el radicando

x x x x x x x x

x dx x dx De la forma Cambio x asenx x

x dxx x

ax

x sen x sen x

x

se

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 22

2 2 2

22 2

2

2

2

2) ; ( 2) 25 ; 5cos

(5 2) 5cos (5 2) cos (5 2)25 25 125 2

(25 20 4) 25 20 425 2

25 (1 cos2 )225 2

θ θ θ θ



θ θ

+ − = =

+ += = = +

− −− −

= + + = + +− −

= −− −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

n x sen dx d

x dx sen d sen d sen dsen senx

x dx sen sen d sen d sen d dx

x dx dx

( )

2

2

25 2520 4 cos2 20 42 2

25 25 2 33 25 220cos 4 20cos2 4 2 425 2

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ

+ + = − + +

= − − + + = − − +− −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

sen d d d d sen d d

x dx sen senk kx

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( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

2

2

25 222 5 52

25 2552

2222

52

2222

52

2533 ( )33 25 cos 20cos 202 2 2 225 2

2 25 233 ( ) 4 25 22 225 2

2 21 433 ( ) 4 21 42 221 4

xxx

x

x

x

arcsenx dx sen k kx

x xx dx arcsen x kx

x x xx dx arcsen x x kx x

θ θ θ θ

− −−−

− −

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= − − + = − − +

− −

− − −= − − − − +

− −

− + −= − − + − +

+ −

∫

∫

∫

( )

( )

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

.

4 3 ( 4 4) 3 4 ( 2) 1

2 2 : :4 3 2

2

1

2 2; ( 2) ;

2

41)4 3

2(

2 1

Completamos cuadrado en el radicando

x x x x x

xdx xdx De la forma Cambio x aSecx x x

x Sec x Sec x Sec dx Sec tg d

xdx

xdxx x

ec

x

x a

S

θ

θ θ θ θ θ θ

θ

+ + = + + + − = + −

= ⇒ ⇒ =+ + + −

+ = ⇒ = − − = =

=+ −

⇒+ +

−

∫

∫

∫ ∫

( )

( )

2 2

2

2

2

2) ( 2)2 2 ( 2)1

2 2 4 2 42 1

2 2 42 1

Sec tg d Sec Sec tg d Sec Sec dSec tg

xdx Sec d Sec d tg Ln Sec tg kx

xdx tg Ln Sec tg kx

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ


θ θ θ

− −= = −

−

= − = − + ++ −

= − + ++ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

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( )( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

2 2

2

2 2 2 1 4 2 2 12 1

2 2 4 3 4 2 4 34 3

xdx x Ln x x kx

xdx x x Ln x x x kx x

= + − − + + + − ++ −

= + + − + + + + ++ +

∫

∫

2 2 2 2

2 3

2

2

2

2 3 2 3

.

3 2 ( 2 3) (( 2 1) 3 1) (( 1) 4) 4 ( 1)

( 2) ( 2) : :(3 2 ) (4 (

( 2)41

1

)(3

) )

2 )Completamos cuadrado en el radicando

x x x x x x x x

x dx x dx De la forma Cambio x asen

x dxx

x

x

ax

xx

θ

+ − = − − − = − − + − − = − − − = − −

+ += ⇒ ⇒ =

+ − −

−

−

+⇒

+

−

∫

∫ ∫

2 2

2 3 2 3 2 3

32 3 6

1 2 2 1 ; ( 1) 4 ; 2cos

( 2) (2 1 2)2cos 2 (2 3)cos8(4 ( 1) ) (4 4 ) (1 )

( 2) 1 (2 3)cos 1 (2 3)cos 1 (24 4 cos 4(4 ( 1) ) cos

x sen x sen x sen dx d

x dx sen d sen dx sen sen

x dx sen d sen d senx

θ θ θ θ θ


θ θ θ θ θ θ θθθ

− = ⇒ = + ⇒ − = =

+ + + += =

− − − −

+ + += = =

− −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ 2

22 2 22 3

1 12 2

22

2 3

3)cos

( 2) 1 3 1 32 cos 4 cos 2 cos 4(4 ( 1) )

1 1 1: cos2 cos 2 2cos

3 34 4

( 2) 12cos(4 ( 1) )

d

x dx sen d d sen d Sec dx

sen d dzI sustitución z dz sen d I kz

tgI Sec d k

x dxx

θθ

θ θ θ θ θ θ θθ θ θ

θ θ θ θ θθ θ

θθ θ

θ

+

+= + = +

− −

− −= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = = +

= = +

+ −= +

− −

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫3

4tg kθ

+

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2 3 22

2 3 2 2

( 2) 1 3( 1)(4 ( 1) ) 4 4 ( 1)4 ( 1)

22

( 2) 1 3( 1)(3 2 ) 4 ( 1) 4 4 ( 1)

+ − −= + +

⎡ ⎤− − − −− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ − −= + +

+ − − − − −

∫

∫

x dx x kx xx

x dx x kx x x x

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2

: :

2 4 ; 2cos

2cos 1 cos 14 4 44 (4 ) 4 4 1

42)4


x sen x sen dx d

dx d d CtgCsc d kx

dx a xx x

x sen sen sen sen

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ

⇒ =

= ⇒ = =

−= = = =

⇒

+− − −

−−

∫ ∫ ∫ ∫

∫

2

2 2

444

dx x kxx x

− −= +

−∫

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( )

( )

( )

22 2

22 2

2 2 2

2

22 2

2 2

2 2

4 .

2 5 ( 2 1) 5 1 1 4

: :( 2 5) 1 4

1 2 ( 1) 4 ; 2

2

41

3)( 2 5

4

)Completamos cuadrado en el radicando

x x x x x

dx dx De la forma Cambio x atgx x x

x tg x tg dx Sec d

dxx x

dx Sec d

tg

x a

x

θ

θ θ θ θ

θ θ

⎡ ⎤− + = − + + − = − +⎣ ⎦

= ⇒ ⇒ =− + − +

− = ⇒ − = =

=⎡ ⎤− +⎣

⇒− +

⎦

+∫ ∫

∫

∫

( )

( )

2 2

2 2 4 22

222

22

2 1 116 8 84 1

1 1 2cos (1 cos2 )8 16 16 321 4

cos16 161 4

Sec d Sec d dSec Sectg

dx send d kx

dx sen kx

θ θ θ θ θθ θθ θ

θ θθ θ θ θ

θ θ θ

= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= = + = + +⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= + +⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

2 21 1

2 22 22

12

2 22

1 2

1 4 1 4 1( ) ( )16 16 16 8 1 41 4

1( )16 8 2 52 5

x x

x

x

x x xarctg arctgdx k kxx

xarctgdx kx xx x

− −

−

−

− + − + −= + + = + +

⎡ ⎤− +⎡ ⎤− + ⎣ ⎦⎣ ⎦

−= + +

⎡ ⎤− +⎡ ⎤− + ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

∫

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2 2

2 2 2

2 2 2

22

2

2:

5 25 ; 5cos

25 25 25 5cos 1 cos5

5

25 cos (1 )5 5 5

2544

5

)

5

25

De la forma x asen

x sen x sen dx d

x sen d sen ddx

x sen sen

x d sen ddx Csc d sen dx sen sen

xdx Ln

xdx a x

Csc C

x

tgx

θ

θ θ θ θ



θ θ

⇒ =

= ⇒ = =

− − −= =

− −= = −

⇒

=

−

−

= −

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

5cos kθ+ +

2 2225 5 25

5 25x x

dx Ln x kx x− − −

= + − +∫

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

3

2

2 2: :

2 4

44)

; 2

4 4 4 2 4 1 4 ( )

4 4 ( )2 2

2

4

4

De la forma Cambio u atg

x tg x tg dx Sec d

x dx tg Sec d tg Sec d Sec d por partes

Ln Sec tgSec tgx dx k resuelta anteriormen

x d

te

x d

a

ec

x

x S

x θ

θ θ θ θ


θ θθ θ

+ ⇒ ⇒ =

= ⇒ = =

+

+

= + = + =

⎡ + ⎤+ = + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

2tg Ln Sec tg kθ θ θ θ+ + +

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2 22

2 22

4 44 2 2

2 2 2

4 44 2

2 2

x x xxx dx Ln k

x x x xx dx Ln k

+ + ++ = + +

+ + ++ = + +

∫

∫

22 2 2

2 2 2

2

2 2

2

4

4

2 2

4

1: 21 ( ) 2 1

: : ;

1 1 1 12 1 2 1 2 2

( ) ( )1 2 1 2

45)1

x dudx sustitución u x du xdxx u

De la forma Cambio u atg u tg u t

x

g du Sec d

du Se

dxx

u

c d d ku tg u

x arctg u x arctg xdx k dx kx x

a θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θθ

⇒ = ⇒ = ⇒+ +

⇒ = ⇒ = ⇒ = =

= = = ++ +

= + ⇒ = ++

⇒

+

+

+

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

DÁMASO ROJAS

ABRIL 2008

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MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA-TEORÍA Y 45 EJERCICIOS RESUELTOS...

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