Cap 7 Series (Nxpowerlite)
81
lJna re presentdcioo gráfica mfu; oonveniente de una sucesi6n se obtiene mar - cando sillplerente lCE> pmt.oS i!l l , al' a, •...• ... sobre la recta real R Este tip::> de diagrama indica hacia doode va la sucesi6n. Por ej6!plo teneros 2 a, a, ,. 1 a l, .. 2 ("nI . ( ñ ) n ;;.. 1 , , 1 O , , l (b I • { (_lln) , , " ... b, • b, • b z '" -1 O 1 '" b} • b, ... le ) . 1 }n;;" l , " , " O e , e, . - 2 ' , 7. 1.1 UMITE DE UNA SUCESIO'" Definición 2 .. - La sucesioo ía } .... se dice que tiene limite L, y escri- n n'" 1 bines 11m "'n - L <=9lJ t > O • 3 N > O ¡ lJ n > N I"n - LI < e .,.. , L , "" , ) a, a, Ejemplo 2 - Oatostrar que la sucesiOn {2n 1 } n ;;;. 1 tiene Umite 1/2. Soluci6n: Dado e > 0, deberros ena:)tltrar un N > O tal que: Eh efecto: Por tanto, 1 __ "_ -- , '1 <t 'lfn>N 2n + 1 " 1 I 1 --- __ <E <=>---<, 2n +1 2 4n+2 <=> n>1 - 2e_ N 4, 1 _" __ 11 « 2n + 1 1 Observación J.- S1 una sucesi6n (a} ..... tiene W'l. Umite , se dice que la nn ... 1 suceslOn es a:nvergente y decirn:::JS que {an)n ;;.. 1 o:mver<]e a este l1ln1te. www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1MATEMATICAS.blogspot.com
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' 84 CALCULO m
lJna representdcioo gráfica mfu; oonveniente de una sucesi6n se obtiene mar -
cando sillplerente lCE> pmt.oS i!ll
, al' a, •...• ~, ... sobre la recta real R
Este tip::> de diagrama indica hacia doode va la sucesi6n. Por ej6!pl o teneros
2 a, a, a ~ ,. 1 a l, .. 2 ("nI . ( ñ ) n ;;.. 1
, , 1 O , , l
(b I • { (_lln) " ~ ,
, ,
" ... b, • b, • b z'" -1 O 1 '" b} • b, ...
le ) . {n~ 1 }n;;" l , "
, " O e .~ ,
e , . -2 ' , 7.1.1 UMITE DE UNA SUCESIO'"
Definición 2 .. - La sucesioo í a } .... se dice que tiene limite L, y escrin n'" 1
bines
11m "'n - L <=9lJ t > O • 3 N > O ¡ lJ n > N ~ I"n - L I < e .,..
, L , "" , ) a, a,
Ejemplo 2 - Oatostrar que la sucesiOn {2n ~ 1 } n ;;;. 1 tiene Umite 1/2.
Soluci6n:
Dado e > 0, deberros ena:)tltrar un N > O tal que:
Eh efecto:
Por tanto,
1 __ "_ - -,' 1 < t ~ 'lfn>N 2n + 1
" 1 I 1 --- __ <E <=>---<, 2n +1 2 4n+2 ~4n+
<=> n>1 - 2e_ N 4,
1_" __ 11 « 2n + 1 1
Observación J.- S1 una sucesi6n (a}..... tiene W'l. Umite , se dice que la nn ... 1
suceslOn es a:nvergente y decirn:::JS que {an)n ;;.. 1 o:mver<]e a este l1ln1te.
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SOCESK>NES y SUIES
Si la suoesi(X¡ m es CXXJVergente se dice que es dive.rqente.
EjemploJ. OEm:lstrar que la s lJOeSi oo (1-lln
)n "' l m es~.
Soluci6n: n
SU¡x:nglllTOS que 11m (-1) - x... en~ para t - 1 • 3 N > O tal que ... ~n>N setiene 11-1)n_ x.. ! < 1
Tanando n. par y n. > N se tiene 11 - K. I < 1 Y para n , 1npar y
n, > N tene.v::Js \-1 - x.1 < 1
Por otro lacb E t1~: 1-1-11 C; 1-1 - x- I + 11 - x.\ < 2
Enta'Ioes 2 < 2 IQ;:Il1tradicc1&1). f.or tanto. la ~ ( (- 1) n) n ;;a. 1 ro
.. =--. Ejemplo .f.- tetezminar si la 9UCCS1&1: {n sen ( ~)} n> l
C}Ir'I'tIe o d1~
So/uddn ,
• Te:nf!IIaI; ;:: n .en ( ñ )
HacienOO el caIIIx10 de variable x _ ! tenemos n
• oen -"" .....,.;;!DIL _ 11m n- l/n x-.o
sen 1IX _ Um .. aen11lX} _ 11 Um ~ _ 11
X 'II~ l!X 1fX'+() 'IIX
Por tanto la suc::es16n
7.1.2 PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES
sean {an)n;,. 1 Y (bn)n;;" 1 suoesior-es COJVe.rgefIteS y e es una CJ:lJlStante
"""""'" , 1) "" e - e 2) llm ca" - e llm .. ... ".. "..
J) llm (an
.1 bn
) - Um. 'Umb ' ) llm (a .b ) - I!!: an) (~ bnl n n n n ".. ".. ... "..
"" • • n ' ) Utn --..1L -
".. si Um b , O
bn llm b n ".. n "..
"..
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'86 CALCULO m
eme las darostraciones de estos teoremas a cerca de l1mites son senejantes
a las corres¡:ondientes para funciores . se deja para e l lector .
Ejemplo 4. - Probar que 11ro -? ... O. 51 O < r < 1 Y si r > 1 es diver
qel1te.
Solucf6n:
Sea t > O, deteros et'ICXlI1trar N > O tal que n . Ir - 01< (;, Yn > N
Irn - 0 1 = r n < e <-> n ln(r l <.. In t <~ n > ln t • .N In,
Por tanto Irn - 01 < e • lo,
Yn >N-1ñr
Teorema 1 ,- ('.lmm1A [EL SI\N!Wla:). 51 para tc:d::ls la3 enteros positivos
n, a <c<b y si n n n
Demostraci6n .
11m a .. lIm b :: L, rr- n n-- n
entoooes
Sea e > O, ccm:;) 11m An" L, :1 NI > O tal que : n-
U" n-
L - c< a < L + C . n
yde 11m b .. L, 3 N, > O .,..n tal que L - e < b < L + t • Y n > N ~
n
e • L n
sea N .. m!IX IN, ' N,l entonces L - t <.. Il "e .;; b <.. L + t • Y n > N n n n
Por tanto 11m e .. L n n-
EjemplD 5 .- Prcbar que Um
Soluci6n.:
.,..,. l ..... &enn 1 - l _senn_ l enta"lc:es -- .... --<-, n n n
1 ( - 1, n
entaloes llm sen(n) ... O n
EjERCICJOS
l . DeIro5t.rar que la suces16n ( l / ni) ~ a O
{.!L!...!} 2. DeIro6trar que la sucesi6n .....,..,..,.. ....... a 1 . _ .. _,-
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SUCESIONES Y SERIES
]. cetermi.nAr si las sucesiones siguientes es convet'l]el"lte o divergente.
Si la suoes16n es ocnvergente encontrar su l.1Jnit2.
., { n , '} bl { 3n2
+ : ) el {n' ; '} 2n - 1 3nl _
di ¡~) el --sen( - l [n' , ) 2n + 1 n
Sugerencia
, n' , sen -
Uro n n
2n + 1 .8eJl ( ñ 1 - ilm 2n + 1 · l/n n- n-
ti ¡ ~:nl) sugerencia: aplicar regla de H6sp1ta.l
.1 L;;.~ _ 1 1 hl ¡ (-11"'~n "1 )
kl
4. I:eTcstrar cada \IDC) de 1~ siguientes llmites:
. 1 Uro ~" ' bl Uro (2 + (_Un) " 2 2n + 1 ! n- n -
Uro ( 4n + 1 4 di Uro ( 5nl +8n+l ) - - 5 el 5n - 4 " 5
n- n- S+3n-n2
7.l.l PRUEBA DE LA RAZON PARA CONVERGENCIA DE SUCESIONES
Teorema 2.- sea (a) una suc:esi6n de núreros reales n
Si lIm 1 3n+l I < 1, mta'lCes Um a - O n++- '\t n++- n
Demostraci6n.
existe Y es rrenor que 1. sea r un nmero tal
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J88 CAlCULO 111
que 11m I a:; 1 I < r < 1 Erltcn:es ~ n
;l N >O talque
s~UTpre que n > N, sea p un nIircro natural ma:yor que N. Ent.alc:es
en general para cualqu1er k E N se tiene:
l' kl < ~ I a I ' es decir - ?-Ia 1 < a........J.. < ~Ja I po- p P 1-'''' P
k 11m r • O. Por tanto de acuerdo al teorema Al'lterl or k-
11m IIp+k.'' 0, k_
as! 11m a • () n n-
{ _nsn. } Ejemplo 6. - Determinar s 1 la suresiOn . es cx:nw.rgente o d1~rgente
Solución :
Por tanto,
ilm ""'1 . ilm n-
ilm
'n n-
sn ~- O n.
~ 511+1 • In ... 1): - ilm
n. - ilm
, O ,n 5" (n+l )!
ñ"'+'I • n- n-
'" Ejemplo 7 .- ~enninar si la sucesiOn {~~} es ocrnoergente o divergente
Solución:
Por tanto,
'0+1 -.-' ilm n _
- ilm n-
11m n! .. O n
n- n
(n + 1) : (n + 1) (n+l)
~ n
n ( __ n_ln _
n + 1
- 11m nn(n .. 1) ! .. ñ+!
1'1"""" n ! In + 1)
1 _ .!. < 1
11 + !. )n e n
f.jemplo 8._ I:ctenninar si la $ucesiOn ¡ ~ + n" ) es ~te o diver) - n'
<;ente. ilm 2 n n '
t' + n" 12/3)n ... n" /3n (3) +11m ,n
"""""" ilm - ilm n- n-
" , n' n' n- , - n n- 1- - 1 - U. ,n i' "...
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SUCESIONES Y SERIE! '89
~licando el criterio de la raz!:n separa:iatente a cada sucesi en se tiene que
Teorema J- (1mf99. [E LA K:DLA ARI'IK:I'ICA).- S1 (An)n ;;, 1 es una sy-
ces1b\ de nGnero6 reales tal que Un a .. A. "'ta>ces .,..n
" + " + ••• +'n u.. n • • n-
Teorema 4.- (:l'fXlRf>VI. [E LA !oEDIA GEnEI'RlCAl.- S1 {bnln :> 1 .. -a\XeSi!:n ccnvergante y Um b • b.
n n-
11m n.¡ bl.b2
•• • .,,;. b n-
Eiemplo 9.- Determinar s1 la suoes16n
{&."+ " [Jf+ [f+ W+ ... es ~ o divergenb! .
Soluci6n : ~
"' ........
+ , .. + "]} f n + l n;>1
"" n [Il + I! + n- hn- + 1 2 J
+/~i]. • + ,
(+)
n' 1 Um , • 1 y por el 'l~ de l'Ed1a Ar1t1!étjca se tiene : n- "n~ + 1
l1ma .. Um V4~+ 1'. 2. Entonces ~. n n- n+1
11m n [11 + I! + ... + ¡.i!L±...l.:] • 2 n- hn~ + l' 2 ') n + 1 3
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)9"
a • Yn ' .. 2n2 + 3' _ In} + 40 + l' + 1 [ e + l!i + ..• n ¡ n I + 4n + l' J "'""4
+ 2!L.!..lJ n + 2
SoluciÓn, 'I'enenc6
11m an
.. 1im (y n' + ~f + )' - rnr+""4n .. il + - -" - 4
., +
4 . - - ... 3
n 1
+ 4n + l ' . n
11m 1 _ n
1 11m 1 ( ! + 15 + ... + 1n " 1 ) n-+«> n 3 4 n+ 1
• • . +
4 --1+ 7 (Por 81 ~ de la ~a Aritnética)
17 ", Ejemplo 11 . - Detenninar si la suaesi~
es ccnvergenta o di ~rQente .
6clucidn :
7n " 1 ) n + ,
1 , • • • y 11m.,, " } -llle<p por el Teorema de la )o8,ib. Gecnétrica se tierm:
EJERCfClOS
1) retenn1na:c si ll!.s siguientes suoesl.(X'leS S(X'I cawergentes o divergentes .
Si son cx;nyerqentes encontrar su 1.!mite.
a) R. 5 -,
R. 2 15
b)
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SUCESk)NES y SERIES
• el l' + 2l + 3'+ .. . + nJ
a o o o'
dl a • Inl + Sn - 1'- fr17i' o ~
el {,~ } fl {~} 2" + o
gl t~} I1l Encontrar los Umites de las sucesiones siguientes :
1) .. o (10 , OOO¡n
n! . R. O 2) .. o');'
3) J n ~ 1 '- J. ~ " o
a o
" • 0 _ __ _
o n Jñ'- 1
5J a _ 3 + S + 7 + . •. + (2n + 1) _ 3n + 1 n ln + 3 6
R. 1 l
R. O
hl {~7 J
R.
o ---Iñ'+ 1
R.
1
R.
1 rr
SUgerencia; pplicar la S\Ea de n términos de una progresi6n aribrética
- '", n ' + 8 n' 6) a
_ aenl~ R. O 7l • o l o senle-n) n n' + 1
R. e '
8) n5 + SnJ
R. O " Sn + i"
~ .. )n _ Sn2 ~ .. 9n + n~ R. O
lJll 1 1 1 11 1 1 1 an -1 + '3 + ¡ + '9 + i + 27 + +- + -
,n T' R. , ,
l1l a o n
1 (3'" TIñ
+ ) 1 1 ' + ) 1 0 / 11 + + ) nJ+l/n
z+3) R.
, 14
12l a -1 n' ( i )( , ,,' n SnZ + 2n + 1
2n - 1 ( 6n
1 R. ,
13) l'
+ " + .. . + ni
a o n ln" + n - 1
R. 1 i
~ ( ln(Bn) n , 10
'" an o ) .( ¡.
" ln(l4n) 7n - 4
• 3n + 1 R. 7 .,
,..
,
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'" 15)
16)
• • n
• • n
n , 7n( "ln;,-;';-,-_ln2"fl«1) ',J ln8 ln l !>
7
1i - 27n"
7.104. SUCES IONES DlVEIlGENTES
lnlSo + 1) ln(7n + 1)
CALCULO m
R. 1
,n - 'J S~,
R. )5 -,
IDefinición J ,- se dice que una suoes.16n {an'n> 1 es divcrgC:l'1te a -+ ....
esto es. 11m a .. + .., <-==> Dado M» O • 3 N" O tal que _ n
~n >N -> <1 >M n
Definición 4 ,- l.Jna sucesiOn (.\'1}n;> 1 es divcr'9C11te a - "', es decir
lim a .. - ... ~ Daoo M " O ,3 N ,. O tal que. n- n
Ejemplo 12 .-
.) La suoesi6n {nr ) > di~rge a + _ , pJE!S 11m n J .. + ... n 1 n*10
b) La soc:esi6n {-2n+81 n" 1
diverge a - oo , p.lCS ~(-2n+8)-
o) La suc:es16n (Sn + aln ;;.. 1 di~n¡e a + •
d) La sucesioo ( n - n' ) n' + 1 n:> 1
di"","" a - "", P""
7.1.5 SUCESIONES MONOTONAS y ACOTADAS
1) Es creciente. 51 a <: ti 1 n n+ Y nEIH
2) Es estrictmrente creciente; si ~ < an+l V. n E.It1
3l
" Es decreciente, si a ;> II 1
n n+ Es estricata:rrente decreciente , 51 a >.
n n+1 lln EI~
Hm n-n' _ _ = _m n- n l +l
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SOCESIONfS y SERIES
Si una sucesioo es creciente o decreciente, se llama 11'OO5tonas.
Ejemplo 1J .
al ~ surosi oo {~} n ;;.. 1 es estrictarmnte decrecie"lte
bl La suoes100 {- ~ } n ;> 1 es estrictamente creciente
el La suoesi6n {(- l)n}n :> 1 no es creciente ni decrecie"lte o sea no es
mr.6<ooa
d) La suces16n (On)n:> 1 es CJ:eCiente
e) La s\lOE!sioo {~(- l)n+l } n:> 1 no es lTCI16tona
f) La sucesi6n { n~) n :> 1 es estrlctarrente creciente
te si y 50610 sl 3 k, e IR tal que k .c;;: a ,v. n e IN , n
2) La 5uc:esiOn {~)n:> 1 es acotMa superlomente si y 5610 si
3 k EIR tal que a "k, VnEIN , n ,
V.nEIN
EjemplQ 14 ·
1) La suoesi6n {~} es acotado, O cota inferior, 1 cota superior
2) La 5\lOE!si!Xl {- ~} es acotado, -1 cota inferior, O cota superior
Jl La sucesi6n {nI) es acutado infer10nrente Y no superiOIJ!Ellte
4) ~ suoesilm ( - Zn) no es acotado infertamente pero es acotado sq:er lo!.
~"' .
5' { n-n '} _._~ O in! 1 1 1 es a.....,........." cota er or, cota su¡::er oro
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". CALCULO m
Definición 7.~ Si A es una cota inferior de una succsi6n {lIn
}n :> 1 'i
si A ücnP la prcpi ed.ld de que para cada cota inferior e
<E tan ' n ;> 1 • e " A. entonces h se llama máximl CXlt.a i nferior de la su
cesi6n. AnS~iIII'I'!'Ite, s i B es una cota sup'!cior de una sucesiOn (an ' n ;> l .
Y si B tiene la prcpie dad de que para cada cota superior D de lan ). B .c;; D,
entonces B se ll.cm1a rn1nima cota supenor de la suoesi6n.
Teorema S. - Toda sucesioo .x:otada y ~ es ClC:lfl'Vergent.e. Si
la} es creciente (decreciente), ent.aloeS: n
Demostración .
11m " - sup {lI } {in!. l a JI n
".. n n
la I es lTOI'IOtcna creciente 'i acotada. n
JXlC el axiOM de c::cnpletez ¡"n} tiere una m1niJT,a, <X>t.1I. superior B. Para
[ > O, B - t no es una cota superior. ¡:U:!S B - (. <... B y B es la minima
oota superior de la sucesioo . ki1 para a.l9fin entero
N > O, B - ( < ~ ... (l)
" " s-o • Caro B es la m1n1ma oota superi or de (111'1 ) ' enton:::es
.;.. <B. 'P· nE IlC (2)
Ya que (An) es \na suoes16n creciente , entooces
~ <; ~l I Y n e I~ y /lA! ~ <; ~ s1en¡)re que ,n;> N (JI.
~ (l). (1 ) Y {JI se tiene:
8 - (. < ~ <; an
<; B < B .. 11: s1errpre que n)o N
Asl e < 111'1 - B < 1[ ~ fan - si < , siarpre que
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SUCESIO NES Y SERIES
Observación 2 . - Sea {a I una suoesi6n crecien.te y SupongilTOS que O es co n -
ta su¡:erior de esta sucesl6n, entonces {el} es CUlVen)cnte y n
lima <;0
~ n
ObltTVaciÓnJ.- Sea {~, una sucesi6n decreci ente y SupongillTOEi que e es
Demostracldn.
SI.:qXlngam:J6 que la suoesi(X-, ( An ) es aec1ente y oonvergente y
lIma -L <-c> ,vc>O, 3 N > O / loIn>N no- n
.....(> la - L I < c <--c>- L - c < a < L + C Ji n > N n n
FOr tanto (a) es acotado. n
Ejemplo 15 .- Prcbar que la sucesi~ Ii', /iff, hlí.n"; c:onverqe a 2.
Soludón:
Sea 01 - 12' • 011 - Iia;
~ - ~"n > l n ~
Por dmr:;etrar que la suoesi/XI
-'. (a) es creciente y ACOtada superionnente
n
Le prooba hareroa por J.n:ñ.x::cilifl rr".tern.1.tica:
a <2 Y a <a "YnerN n n '"
i) Para n - 1, al - 12'< 2 y a l - IT< 121T'. al
ti} Su¡xn;¡em:s que para n - h, l\¡ "2 Y l\¡" "h+l
lli} ~ para n • h + 1
"h+l - ~ < Ii' - 2. pues 2'\¡ < 4 (hipOtesis iOOuctlva)
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396 ::ALClJLO m
en<""""
2"h .;: 2'\¡ .. 1 (hip5tesis inductiva). Entonces ~l " '\rt2
Por tanto, U. SUa:>s!6n conve~ a 2.
rJERCICIOS
1. Encuentre 1lI expresioo mM 5iJTple para el rr-~irno Uirmino de las sucesio
res que se dan a continuación. Oiga si las succsicnes son o no ocnver -
qentes. de serlo hallar el llmite.
¡ 1 , , a) l' J • 1 • 5 ... ) b) {2,1,2, i, 2, i ' 2, ~. o,. }
Sugerencia.
[
' ,in"'-
e)
d)
f)
.)
. -n zn/Z _ 1 si n Par
21'1-2/2
1, , , ,
" l ' " " " " {O, lo' ln) ... } e ) {O, -.!.
" T " {sen 1°,
sen 1° sen , . . .. ) --,-- -,-{ 21 2" 2~ ) 2, 1 , --- , --- • ___ , ...
)1 4 2 ~'
, , ... } ,
" "
2. Detenninar 51 la suoesi6n es ~ o diverqente si la s...:::esiOn cal
verge hallar su l1Jnite.
a) { n1
-+ 1 , ) b) { ln(nn. 1) } nJ _2n +
e) { /'ñ' + : } d) { ,n + n' } /n - , n , - n
e) { ~ + lo(n)
ni -+ n } f) {e-nsen n}
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SUCEStONES y SERIES
'" 91 { o/r\} sugerencia:
h) (~ R. 1
.!..w CnJ+n) SUgerencia. (nI .. nll/ n 0& en "usar regla de H06pital~
3. M erminar e l l1mite de la sucesi 6n
n. ¡, + I'i". ¡, + n7ff' R. ,
4. r:eterm1nar si las siguientes suoesjaes es creciente, decreciente o no
~ y ena:::ntrar el UnUte de las sucesicres ccnvergentes.
a) L:>l b) {3n-') 4n + 5
e) L :,n} d) ! :q e) In . S~ (oJJ SUoe""""" , Um '/n • O
...- 1 .. sen (011 n f ) (-ti q )
hl 1 1.].5.~. (~- 11 } l 2 .n. .
5. E:noc:m.trar 106 siguientes límites
a) Um In . 1) (n + 21(0 " 3)
b) Um n t 1_11" Ro 1 ~
".. n' _n - (-11
u.. ,.,.,
• l t+l Ro 3 d) Uno VD' .. l' R. O e)
20 .. ln n + 1 ".. ...-u.. (!+.!+.! .. , , e ) . -) R. n- ' , . T'
. , -,J' SUgerencia: lI<ar S -a-n 1 - r
11 .. 2J + 3' + . . . + ni , f) u.. R. l
".. n'
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398
g)
h)
Sugerencia.
Sugerencia.
llm - 20 + 3
n + Vri'
CALCULO 111
Usar = i o(n + 1) (2n + 1)
R. o
~< nsen(n:)
0 2 + 1 n;¡ + 1
R. 2 i) R. ,
6. Hallar el limite de las sigui entes sucesicnes cuyo n-ésim:) térmirx:> se
da .
. ) 11+ , )30+1 , n
• - b) • - (1 +n:;--T) n 3n + , n
R. e R. e
e) a -11 + 1 )0 R. re d) a = (l + _ '_) 6n R. e' n 2n n n + ,
e) 11 , n'
11 + ...!.. In! a - +- ) R. e f) a - R. e n n' n n:
g) 'n- 11 +!. )0 n R. e' h) 'no 11 + ~ )n
n R. e'
7 . ~trar que l a sucesiOn dada en cada uno de los ejercicios es CCI'lver
gente.
8.
a) {n-( j In) sugerencia.
b ) {a }, óonde a .. n(o + n n se defire una sucesi6n {a)
n
EstOOle la convergencia de
Dem.lestre que:
1 ) ( ~ )n 3
rrediante
{. } n
• 0+1 "' 1 a n
e)
• 'ti n ;¡¡. 3
{n: } (100lo
a • n
1 + ~1
a~2
R. es una pena estrcpearlo por demasiada infonnaci6n. Ensáyese algunos
a - 2 , a - , , 9 _ Hallar el l1mi te de las siguientes sucesiores cuyo n-ésilro ténnino se
da,
al a ., n2 [o;:.s(l/nl - 1] n
R. , -,
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SUCESIONES Y SERfES , .. b)
3n"senJ (1/nl!nl1 +! 1 • • n n R.
(n + 2)oos( 4~1 l
e ) A - Iíll' + l' sen(---..!!!....) scn~l I Sn1l ) n n + 1 n+lsen n + 1
R. lS/T 111
'[ • 2, d) olio _ ñ ln (1 + oos{ - II (1 + c:os - I •. • n n n
(1 + (XIsi! n; )J] Ro 4'" _!n 2
e) an
- ~ \rbi'. W . z1bi' .•••. 3Yb2n ' R. b
f ) -,
R. e
, , 9)a - + ...
n fn2:l ~ ... • _ ..1''-_
~ R. !nl1 + IT ,
h ) a _ [ (~ ) 1/n + (/40' , l/n ... (/64 )1/n Jn n J
.. 40
R • 1 ., i ) olio .. 1 ~ + 25 ... 3 1 ... . .... n-5 _ ~
n n~ n
1 r _ l / n I -4/ n l _9/n1 -1) , , - (1- - ) j ) a .. - le + 2e +
n n' le + • •• +ne R.
k ) a .. (1 ... --!L. 008 ( ..!!!. ») n n'" 1 2
R.
n' , tI an " ~ sen( ñ ) R.
Ul an
- 2{ t 1+ 3( i- )I + 4( i- )I .. ... . + (n '" 1)( i- ¡n Ro
2 e
D1verge
, ~
, ¡
n+' (Sn'" 1) 11 1 (n + ,) 7 m) a . 2!!.!-"_ .l"-:!...!L-__ ".-
n (3n + (nI .. S) ' '' }(n+ ll)n n) .. ln{13 + 2n '2;:)
an " '"
10. Dada la suoesi6n (an)n:> 1 definida por:
, a".1 '" 2 - a . '" n > 1
n
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CALCULO ID
{a).... COlverge Y lueqo calcular sus p.lIltas de (Xln-nn ... l
7.2 . SERIES lNFlNITAS DENUMEROS REALES
Definición 8.- Sea {an}n:> 1 ma suoesi6n de nmeros reales. La S~ in
finita de los elenent05 de la socesifln (a).... se lla-n n ... 1
al .. a, .. a , + .•. + !lo" - --
es UI'III. serie infinita de nIlrreras reales, darde a l' a" _ .. , ~, -o_ , SCI) llamadas t.6J::mizJJ6 de la seri e 1nf1:'lita.
la suoultn {Sn}n:> 1 definida por
n Sn - al + &, + • • 0 .. &¡.¡ .. ~ ~
se deJonina suoesi 6n de &unas parciales de la seri e . donde Sn es la n-és1
IIWI. 1ia'M. parcial.
Definición 9 .- Se dice que una 8\.ICe:6ifln {Bn}n ;> 1 es s\nlélble, si la su-
005160 de &1..I!Ia& parciales {Sn}n;;' 1 oonven]e. DI este
caso der"OtaftOS por n 00
S • 1!Jn Sn .. llm ¿ 1\ - ')"" a,.; rr- no- k<'l j¿;{
S recibe el flCI'Ibre de Slr.lll de la suoesi6n { ~)n;;' 1
ObSmH2c¡6n~.- Si la succsifln {S} .... nn ... 1 •
te !te sustituye por la af~fln &: que La serie ~ . n es ~
te y 51 (Sn)n;> 1 es diverqente, entonces dec.i.nos que la ser ie ~ a ;;;¡n esdi~o
7.2.) SERIES GEOMEllUCAS
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SUCES IONES Y SERIES 40'
la suoesi6n a, ar, ar l . ,
trétrica y la suma.
~l n ar ,a.r •.. , es una progresi6n 9E!2
se Oenanin.!l serie ~ca.
Las Smlé$ parc1ales de la serie gEnfétrica son:
s, • 8
SI .. a + ar ., all + r)
S, .. a + ar + arl .. a(l + r + r 2
)
S • 8 + Ilr + ar2 + ar' ... . . . + ar"'"l n
S _ a(l + r + .. • + r"'"1) n
n _ aL..!.-1 - ,
En qer.era l. la n-ésima SUM parcial se puede escribir :
• Teorema 7 - Una serie 'JElCflétrica 2: ~ 1 ~ si :
~l
- l < r < l y diverqesi Irl ;> 1
Para el caso oonvergcnte teneros: ~ n-l il .w~ 0--na1 l - r
Demostraci6n . 'l'e.reno6 QUe la n-4sima SUM parcial de la seri e es:
Um S - Um {_a __ -·-r~ .~ para Irl < 1 n- n n- l - r l-r .l-r
y adem!s r" .. + .. 51 Ir l:> l
Ejemplo 16.-~ si la serie
6olud6n : TenmDs:
es ~te o divergente .
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402
• 4 "Ji • 4 3
l..ueqo la serie converge.
CALCU LO 111
) . • 2
Ejemplc 1 7.- Detenninar si la serie o.] ~ 0.03 +
convergente o di~rgcnte.
3 0.003 +- + .. . ...• es lOn
Soluc:i6n :
Tenemos que 0,3 .. 0 . 03 .. 0 . 003 .. ... -+
Por tanto la serie o:onverge .
3 - . IOn
0.3 1 " --Y- J
1 - TI)"
Ejemplo 18 - Expresar cada dec.iJTW. p2ri6dico CCIlD el ccx::icnte de cb;. ente -
a) 0 . 535353 . .. b) 0.012012012 .. . .
d) 0.142857142857142857142857 . .••
el 0.123123123 •..
el 1.234234234 .• .
Solucidn :
a) Sea ~ .. 0.5]5]5] . • .
.. 0.53 + 0.0053 + 0 .000053 .....
53 53 53 53 1 1 • -. --. --+ o .... ~l + -. --+ o •• )
100 lOO~ WO ' 100 100 I DO'
La S\Jl\l da la serie gearétrica. es: 1 100 S • --',-1-- .,-1 - Ill!f
Por tanto, 53 100 53
A .. TIKr( -g-g- ) .. H
bl Sea A " 0 . 0120l.2012 ..... 0 . 012 .. 0.000012 + •• •
12 U 12 - --+-- +-- + . •. 1000 1000 z 1000 I
12 1 .. 1000 (1 .. 1000 ..
1 --+ 1000'
... )
.. &( 1~~~) _& _);3
el sea 11. " 0 . 123123123 ..... 0.123 .. 0.000123 + ..
123 1 1 • 000 (1+ 000+--+"')
1 1 1000'
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SUCESIONES Y SERIES 403
d) Sea A - 0.142857142857142857 ••.
142857 142857 - 1'000,000 + 1'000, 000 1 +
142857 ~~1 =~ •.. ~ 1'000,000 (1 + 1 ' 000, 000 + . .• )
• 142857 1'000,000 (1 + 'l-;'''OO~~~,''OO''O~ + '1'" O~O"O lo" O~O"O" + ... )
•
e) Sea A. 1.234234234
1 ' 000.000 999999
. 1 + 0.23"4 "~.OOO234 +
142857 5291 • 999999 • '37037
• 1 + 234 + _-,2",3~' -: 1000 + ••• (1000)2
.1 + ~ (1 + _1 _ _ +_1 __ + o •• )
luvv 10001 lOOOO l
_ 1 + 234 {1000) . 137 1000 999 111
-T~Orem48 . - Si la serie 2:: an
-.1 + a1
+ •• • • n + .. .es~. ~1
ent.onoes 11m. - O _ n .
Dtmo$tTaci6n .
la n-ésima 8m\!!; parcial de la serie es:
Sn - al + 11.2 + •• . + an-1 + an
Sn-l • a l + ~ + • • • + an-l ' y n· 2.3 , 4 • • • •
• ·S - S yCXll'Olaseriees~ Um s- s n n n-l n-- n
Por tanto: lLaa - l!m(S -S l-Ums -llm S -S -SaO no- n n- n n-l n-- n n- n-1
-Corolario 1.- Si entcnoes la serie L: a d1verge . ~1 n
Dtmo~tTad6n.
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40.
Suponga/1'o5 que la serie •
a es o:lrlWrgente. , Lntcnoes 11m a ,. O «(X)f)t.raw CCJ..ón) ,
~
• •
CAlCULO 1II
Teorema 9 - y ¿:; b n son series convergentes con S \.Il\US a y
""' Si
b . respect.ivarrente , y s i e es un nCncro real; entonces
• 1) ¿: ,. , b l es oonvergente y
~, , ,
• • • ¿; ", ± bnl , ¿: "n
, ¿: b '.
, b n=1 ~, ~,
,
• • • ¿; e • es~tey ¿: co . eL: , , ~, ,,' ~,
2l
Ejemplo 19 - Detenninar si la ser ie t n=l
n: ... n -+ 2 ln(n + 1)
vergente .
Solución : Tene!c6: n' + n+ 2 . ' n ln (o ... 1 )
n: .. n ... 2 U:n .I.n • Unt lñ(n + 1) - llm .,-.,- ~
Por tanto, la serie es divergente .
20'" 1 , 0+ ,
EJEnCICJOS
• + .
• ,
es ocrwcrgent.e o di-
1. retenninar s1 las s i guientes series CO'Ivergen o divergcn . Prcp:lrcionar
l as SUlIaS de las series que o:nuergen.
., dl
gl
bl
el
, +- --+ ~
el
f)
R.
R.
, 22k+1
5
",- ' l5 T ,ñ'
ñ' - ,
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SUCESIONES Y SERIES .. s
2. Expresar cada dec1.'TIill peri6dico caro el cocicnte de a:.s enteros
,.
4.
a) 0. 444 4 b) 0.232323 el 0.612612612
Escribir 105 C\latro priJre.ros térmioos de la serie infinita dada Y detl!!. minar que la serie es divergente (aplicar oorolario *).
- - 2n + 1 - n' al L: n bl ¿; el L: - 2n + ,
~1 n + 1 n_1 3n + 2 n- 1 2n' +n-+ 1 - n+1 n - -dl ¿; (-1) !.... el ¿; ( ~ )n fl ¿; senl'lln) ~1 n' ~1 ~1
- -9l ¿; ln l 1. ) hl ¿; o' nTI
~1 n
~1
En l os siguientes ejerciCiOS encuentre los 4 técni.nos de l a sucesioo de
S\m1aS ~rciales {Sn} y encontrar una f6nrola pan Sn en térm:i.nos de
n; detenninar tanbién si la serie infinita es CO'l~ o di~. y s i es c:cIl\Ergente E!nCaltrar su SWIIl .
al - - , ¿ 1 Ro 1 bl ¿; ~1
12n - 1) (2n .. 1) 1 n- 1 (4n - 3) (4n -+ I I
- - 'n + ¿; ln ( __ n_l dl ¿; 1 Ro 1
~1 n + 1
~1 n2 ¡n + 1) ' el
- - 2n + 3n 3 ¿; 1 3 f) ¿; Ro R. .. ., ~, n' - 1 ~1
,n e l
~ 2n +nl +n - Iñ+l - In R. 1 hl ¿; R. 1
~1 2nt-1n (n + 1) " ~1 ~ 9l
-L: n R.
1
..... , (n + 1) (n+ 2) (n + 3) .. il
"2: ln[ll + ~ )n(l + nI]
..... , [ln(nn,] [ln(n + "n+1] j l
kl 1 1 2 (x + 1) (x .. 2) In + xl In + x + 1) (n -+ x + 2)
tbta. Estas series son seri es telesropl cas .
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CALCULO DI
5. Se deJa caer una pelota desde una altura de 20 m. cada vez que ~ e l
suelo rebota hasta tres cuartos de su altura mfudJra anterior . Encuen
tre la distancia total que viaj ~ la pelota antes de lI€9ar a re¡:oso.
R. 140 m.
Soluci6n .
" 1
la distancia que vuja la pelota esUi expresado en la ser1e infi nita.
d - 20.¡- 2( i (20» .¡- 2« ~ ):(20» .. ... .¡- 2(! ~ )n(20)) + •. • ..
,",20'¡- 401~+(i)z .¡-
'"' 20 .. 40 [~l '" 140 m. 1 - •
7.3 SERID> DETERMINOS POSITIVOS; CRITERIOS DE CONVERGENCIA
1) CRITERIO DE ACOTACJON
eore"", 9 .- Una serie infinita de t.érnú.nos positiV06 es coovert:]Cflt:e
s1 y 5610 si, la sucesi6n <le SUllaS parciales tiene una cota superior.
n Demostraci6n «- ) sea S • ¿::; a. la n-ésima 5\m1 pucial de l a se-
n koO x rte, entonces a • S - S ;;.. 0, pués los téIl'l'Ú.llOlll ~ la se..-ie sal ¡::osi-
n n n-1 .
UV06, lwgo la. suoesi6n {S} es una suoesi6n creciente. Por hipOtesu. n
ésta s~ioo tiene una cota ~rior. digaoos M, entooces Sn C; M, Y n E IN
Cblo la sucesib"l es l'tO"l6tcna. y arotada, entalces la sucesib"l (S) es CO"rn
S-S C; M. n
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SUCESIONES Y SERIES .,,,
Ejemplo 20.- ~t:rar que la serie
tedo de aootac100.
~1 ~ n!
es o::nvergente usaldo el cr1-
SoJuc/611: 1 1 1 1 K!" • 1 -+ TI -+ r:T.'J -+ '.' -+ "-."'~.lr.-.;Cn
Ahora cx::nsidererros los pri1reros n térrn:i.rxls de la serie gOCl1'iitrica
~1 n 1 11 l ' ~ T-I que es ">' _k_l· 1 • "2 -+ - -+ ........... 1 • se t1~ que k-1 2 j(;1 r 2 2 l O
~<_'_ • ' • l' -v k. - 1, 2,... Entax:::es . ,-
pues la serie ger:::trétr1ca 0CII1\'er'ge a 2.
n S - 2;
n k-1
1 n 1 -<2; --<2 , k k-1 f:-1
Por tanto, Sn '" 2 , Y n E lti- lUfa90 la serie es ~~te
U) CRITERIO DE COMPARACION
Criterio de Comparación I
- . Teorema 10.-_ Sean ¿; a. y :L: h seri es de témti.nos positivos
'-1 k 1<-1" -il " 2; "" 1<-1
c:x:nverge y si '\ '" ~ • ~ k. E IN . ent.cnces la
-=le
• 11) si ¿:: ~ diverge y s1 ~;>~ , y k. E IN , entonoes la se
'-1 de ~ .. di..",.
k-1
~mostraci6n.
s~ parciales de las series - -y 2J b. k.oo1 °>t ,respectiv.vrent e,
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408
-Coro la serie ~ 0)c es CXXlVCrqente, entonces
conver gente y por tanto acotado . Por lo tanto.
qo por el crit erio de acotaci6n l a serie
•
-CALCULO ni
la sucesi6n {T) n
{S) es acotado . n
ti) Supongams que ~ '\ es a:nvergente, entonces ya que l as series ' -1
• se tiene seg(m (i) que la seri e : ¿; ~ es ~rgente (contradic
'-1 • c:100) . Por tanto, la serie ¿ ~ es divergente.
'-1 Observaci6n 5 -
al Si la serie dcrninante es cx:nvergente , entonces la serie dan:i.nadtI es ~
vergente .
b) Si la serie dc:rninada es di~te. entcnoes la serie dan1nante es diver
gen"'.
Ejempw 21.- Estudie la convergcnc1a de la serie
Solución :
Puesto que lo le < k para t.cd:) k:> 2,
-
1
lo '
\l k;>2 y
oc:rro la serie arrr6nica ~ ~ es divergente, entax:es la serie 10>,
.z-1-k - 2 ln x
es divergente .
Ejemplc 22.- Estudie la ocnve~ncia de la serie
Soluci6n.: -
Puesto que - 1" sen' (n ... l) "1,
1""", O < 2+sen ' {n + l)
2n ... n Z
y n E IN , entax:es
y o::n'O la serie
2 -t sen' (n ... 11
2° ... n 2
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SUCESIONES Y SERJES
es una serie qea¡étrica ccnvergertte , e:"Ioonces
veI'9E'llte •
" Ejemplo 2J ,- EstOO.ie la oc:rn.oergencia de la serie 2:
~l
Soluci6n :
VUros <¡lE el ~ésino t&m1ro de la serie es pract.1canente
1
1
t"
Si eleqim::16 W\ núren> cualquiera e > l. entcn:leS se c::wple
oerLe i; ~n-~l,----- es a."""" .. ,,~. nal 2 - 1 + sen l In'}
Ejemplo 24 - Detezmine la oonvergencla de la serie
Soluci6n :
y n ;o.. 2 ,
1
Por tanto, la serie ~ -,¡,~~~~,~, es diverqente, pues la serie dcm1nada
~ 1.. es divexgente. :;;¡ n
CriCerio de Comparación IL
T~renuz 11 '- Si CI.CI ..... c;"... es WWI. suoesi&J de núreros positivos
tal que llm Cn - . e , e > O. enttn:leS las dos series de ténninos POS.! .,... t1~ t; 'k' i; "". """"""'" o diW<gen s""""""""""'te. k-1 k-1 );
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410 CALCULO HJ
Demostración.
, existe un nÚ"\'erO N tal que ~ < 'i < 3; , 'ti k ;;.. N
Por tanto. e 3C '2 "\ < Ck "\ <"2~ ' si k ;;.. N Y si la serie
entoooes tarrb i.én converge i: St~ . ~c!PrC>c<llT"efl~, s i la se rie k-l
tartbi &t l o es ~ § ~ 1<=1
y asu VE2
Esto ~stra que ~ ~ c:orr.oerge .A su vez , esto 1<=1
:iJrplica que :8 ~ diverqe si y s610 si k- l
Ejemplo 25.- Estl.rlie la converqencia de la serie
Soluci6n :
PodmcIiS escribir la serie propuesta en la foona
1 .... .!:.
¿; r 1 - t' + ' ] k-l 2-t k
11m __ k __ .! y la serie am6n.ica le- 2-.! 2
i; k=1
~ diverqc, la serie propt.:e~ k
te diverqe .
.EjempllJ 26 .- Examinar la converqencia de la serie i; 1 l1"'1 !ñ(2n .... lt
Soluci6n:
La serie p~ta pc:dEm:os escribir en la fOJl!l3 ---:,,;~n~;'I 1 In(2n .... 1,' n
n __ '_> 0 In(2n .... 1)' /i'
y la serie anr6nica ' di - verge, n
ces la serie prop.lesta diverge.
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SUCISIO"'ES y SERIES 41'
TcoU'tnQ 12 - sean dos series de tOrmi.no6
a) Si 11m - p > O , ent.alCeS anbas se.rles CCI'lvergen o d,j,vergen.
• • • b ) S1 Hm n O. ,i ¿ b entcnces 2: -- y CCI1WD:Je, a cawerge - ""
1V"1 n n,l n
'l, • • d Si 11m -- - +.., Y .1 ¿ b divergc, r 'l1I-CCl C"eS " • b . n ~, n - n ~l ~1
diverge. --_.
Ejemplo 27.- Estudie 1", CCl"lvergcocill. de 18 serie n'
Sn ~ -t 4
SoluciÓn :
---~ 1
"""" ~ 1 s.. • y b - la ser i e alnénica - ., aiver -
n Sns -t • n n ~1
n
• n' I • 1 n .~ qente.COlD lfrn ,,- lfrn .. )" > 0 Y ñ d iverge , entccu;:eS - n - Sns + • • n'
la serie ~ diverqe. Sn~ + •
• I sen ( 2n) I Ejemplo 28 - tete..'"lTIina.r s1 la serie 2: es COI"Iwr gent.e o clíver
~I n' "",,,.
Solución :
I sen(2n) I 1 • sean • y b --· <LOOe ~ b es UI"I/'i, seri e ccrwer<Jl!llt8
n n' n n' n
• • WO<¡o . lfrn
n _ lfrn Isen(2n) ¡ > 0 y ~
1 es ocnve~te, ent.a"lcle6 - E;; ,.... n '
Ul) CRITERIO DEL COCIENTE
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CALCULO ni
Teorema 13 ·- 5ca f n-' a"" ~ _ Uro - a- - r
a n
una serie de téDllinos positivos y supcnga-
Entonces: n- n
-1) " r < 1, la serie :8, """""rge
~, n
- 11m ~l _ + • 11) " r > 1, la serie 2;a diverge o cuando ~, n n- an
Ui) .1 r • 1 , el criterio no decide
Demostrad6n
1) Puesto que O" r < 1, 3 s tal que r < s < 1
'"" - - -'n r < s < 1 , 3 N >0 talque
a <; san
, -Yn :>N
""
Puesto que la serie i: ~ sk - 1). ~ ".k ~, e l criterio de cutpara-
""' f¡;;I, ci61 1, indica que la serie ~ ~ - ~ ~k es ano.oergent.e .
Entcnoes la serie
ii) Parar )o l.
no .1ncll..ddos en ~ a .- n
3 s tal que r )o s )o 1, ento'V:les, 3 N tal que
~l;¡. s, yo n:> N lo que significa que ~k;¡' ~ sk;;.. ~ , k . 0,1,2, __
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SUCESIONES y SERIES
Esto indica que l os ténninos individuales de {~} no tiende hacia cero, en--tonces III serie ~ a es diverqente. n" l n
Ejemplo 29 • - I:ete.tminar la CCI'l'.ICrI:}encia de la serie
SoluciÓn: """""" n n+1
" "- y lln+l .. 2Ml n ,n
"0+1 2n
(n+l) n+l.! < 1 As1 11m " 11m
n 2rtf-l " 11m
" 2n , - n - n-
Por tanto, la se;ie es ~e.
Ejemplo 30.- Estudie la c:mvergcncia de la serie
SoluciÓn :
,"" y Bn+l - In + 1): ' en~
"" ,0+1 "0+1 )11+1 ,
11m 11m In + 1) ! " Un
n. _ 11m , 0< 1 --- n + 1 • ,n n
n- "n - - ) In + 1)! n'
I.J.Jego la serie es ~te.
Ejemplo JI .
Solución : .
Y" " 0+1 (n + 1):
(n + 1 ) (nt-l )
11m n-
an+l _ 11m
"n n-
• 11m "..
In + lP In + I) M l
• 11m n ' n n+" n
1 1 1 (1 + .! )n - e <
n
Por tanto, la serie es ccnvergente.
nn(n + 1 ) ! nH
(n+ 1) n!
n-
- 11m n-
n' n n
nn
In + l )n
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414 CALCULO IU
IV) CRITEKI O DE LA RA IZ
~" Teorema 14. - sea L~ .n una serie de tlirmiUJ!'; (V'OSit.i\'OS t,:¡l que ~1
11m ~ .. R. Entonces n- n
i ) Si R < 1 la serie es cooverqcnte
ii ) Si JI. > 1 l a serie es di..-ergente
i11) Si R .. 1, el criterio no decide
Demostración :
i ) Si R < 1, sea S un nÚlel"O tal que R < S < 1 , entonces existe N > O
Vn < n tal que O "" " S, y n > N, entonces O" A S , Y n ;> N n n
O:no la serie f' sn es convergente , entonces por cri terio de catpara-~ .
ci6n ¿ a es CCllvergente ~1 n
H) Si R > 1 ,entaloes ~ > 1 , y n e IN , luego l~} no tiende A cero ,
• por tanto la serie ¿::; A es divergente
~1 n
! ([ n.n 1 Jn,n Ejemplo J 2 • - Estudie la ocnvergenc1a de la serie ~ )
Solución :
a _ [( --11-- ) n] n ..,""""" n n'" 1 '
• Um ( n ~ 1 )n .. ~ < 1, entonces la serie es conve:¡:gente. n-
Ejemplo JJ . Detennine la can.oerqencia de la serie
Solución : TBlerros
a -n
- 11m n-
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SUCESIONES Y SERIES
así la serie es cawergente:
Ejemplo 34 .- Estudie l a a:JOVergefIcia de la serie tj ~[ -"'-1~n .. - lojn)
SoJucldn: Puesto que
llm nI 1 ' 1 'r.;;'- 11m V [ 1 - /;l!llloj ) - O < 1 n- ln(n) n n
:Dltonoes • la serie es ~te.
Ejemplo 35 .- Estudie 1.& oc:nvergencia 00 la serie
Solucidn
PueSto que 11m .,.. 3
IT+ 2 ñln(n) - llm.
3"..
Enta\Cea la serie es divergente.
V) ClUTERlO DE L\ lNmCRAL
. o'T+ 2> 1 3
Teorema 15.- sea f una función positiva óecreciente, definida Y n :> 1
y que f (n) • An • y n e IN. :Dltcoces
La serie t lIn - ~ fI n) ~ o diverge. de acuerdo 00'1 que n-l n-l
la 1nteqral inprcpia L~(Xldx converge o diverge.
.. ,
OfmIoslracidn. (~l cnrc la funcioo f es escalcnada decreciente su qr!fi
ca serl. (F1g. 7 . 1)
La existencia de ~(Xl dx - 11m J,' _
cia de la serie ~t + J/ + • • . + ( .. , ~f+ Por ser f decreciente se
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. 16
t i ene : (n + 1 - olf(n -+ 1) < r fn~ f(n) [n + 1 _ n]
" ~I
f J'< n=1 Il ~l
-¿:. n
entonces:
Por criterio de oomparaci6n, la serie -i~1 ¿ f converge, pues ~l
es oonvergente.
y
Si Urn -
~ -.......
1 1
(1"' J, existe,
f¡n> ) n
Fig. i. l
entonces ~ a :;;t 0+1
((jI) I 0+ 1
CALCULO fII
f. 0=1 n
x
Teorema 16 La serie p, ~ ~1
1 o:nverge si P > 1 Y diverge si p <; 1 nP
Demostraci6n. F!cil.nente verificaros que:
f .. ~ dx • Urn f ~dx '" 11m - _ ,_ (_'_ - 1) P y P - 1 p-l
I X k-lx A- A
1 1 1 - - p-:-T 11m ( p-l - 1) - p-=-T si P > 1 6 ... si P < 1
A- A
~tonces .. la serie p corrverge p:>r el criterio de la integral si p > 1 Y diverge si P < 1. 51 P _ 1 , la serie es la serie amónica que es diVér -
gen"'.
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SUCEStoNES y SERlfS 417
E/",mplo 36 - Pruebe la """"""-""'-"'-'ia de la serie ';:' .t -"._~- 6 . K
"'" Soll.'cidn :
Si escrib:iIros t (x) x -x
.. ex · xe , entonoes f (x) > 0 s1 x > 1
Por tanto, f es \.V'IIl ~ decrecien~ en [1, + ... ) , as! tenenos
(A -x -1 -A ~ xe dx" le - (A'" l)e
( .. -x [ -1 -Al - l ~ x e dx .. ~ 2e - (A'" l)e J - le
La serie (bd.a c:onverqe en virtoo del criterio de la integral.
1 Eiemplo 37, - Estudiar la CCI"JY'er9E!flia de la serie k In k
Solucidn :
Si escrll:úm:ls {(x) .. ~ x In x '
f ' I ) 1 ... In x entonces X " - , (x ln xl.:
. Caro {(x) > O
y t' (x) < O s1 x:> 1, f es óedeciente en el intervalo [2, + ... 1 ,
(A ~ dx " ln(lrl A) _ ln (ln 2) Y por tanto )2 x x
J,+ -
~ dx " Um [ln(ln A) - ln(ln 2)] ..... 2 x x A-
Asl, la. serie dada diverqe en virtud del criterio de la integral.
Ejemplo 38.- Estudie la oorrvergencia de la serie
$ollla d" :
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CALCULO IIJ
r: x'
Por tanto, la serie dada es cxm~rgente.
VI) CRrn:R1Q DE RA.ABE
Teorema 17 - Sea a una serie de términos positivos tal que n
'''' n[l - an+1] '" L . Dltonccs se tiem ; n'- an
i) Si L > 1 entooces la serie es a::nvergentc
11) Si L < 1 úntonccs la serie es divergente
111) Si L .. 1 el entorto no Oeci.de
Ejemplo 39·- Determinar Sl. la serie ~ , C3 oonvergente o diverge.!}.
te.
Solución: Tenen"os:
a <- -'-n n' + 2 an+l '" In +
~,
, y
1} J + 2
• l!m~_ 1. n- ."
Luego no es ¡:osible
aplicar el criterio del cociente. Aplicarño el criterio de Raabe se tiene :
3n'+3n) + n "'---'-""c-'-"- .. 3 > 1 {n+ 1)1+2
Por tanto, la serie dada COJ"lVCrg'c.
Ejemplo 40 - Determinar si lo serie
te.
n'
2n' ..
, es oonvergente o d1~
3
Solución: 1Iplicando el criterio de P.aabe tcmr.os:
• n (n+l)J_1 ""1 = 2(n+ 1)1 + 3
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SUCESIONES Y SEllIES ... [ '"" ] Umn 1--,- . 11111. n
~
- n' - lSn l - 15n - 4 \ I = 0 < 1
~ n (n ' - 1){ 2(n + 1)' + 3)
Entonces la serie dada es divergente.
EJERCICIOS
1. Detetminar si las siguientes series SO'! ocrwergentes o diver'9Bltes.
1. ~ ln(n + 1) n-1 (n + 1) ,
R. ~: C •. integral
3. i; a:rrverge. hacer n-l
• n: 4. 2: 1.3.5. 7 ... (2n-1) n-l
S. ~ n 14n - 3) (4n - 1)
,. ~ ~ln(4n+ 1) n(n + 1)
• lsenlnx) I 7. ¿; "..1 n' -8. 2: n'
(n + 2) ~ n-l
• ln1nl ,. 2: "..2 n~
10. ~ 1 + Iñ' ".., (n + 1) I 1
"""""'" • ,
U. ~ nln(n)[lnCln(nJljP
2. 7. 1 t;;1 (n + 1) [lnln + l)f 0Xrverge . C. integral
y n2n ;;. zn
CXlI'lverge C. cxx:ient e
diverqe C. Integral
converge C. Integral
~ C. Ox:1ente
• 11. :L:
n-l
o::cverge. c. cxx:iente y carpara
ciOn .
c. integral, c:x:nve.rge si P > 1 , diver
ges1p <1
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420
13. ~~ L.. ( 2n) ~ ~l
converge C. cociente
~ 200n
: 15 . ' L.. n= 1 n
converge C. oociente
14.
converge C. cociente
~- ,nnn: 16.
~ n
dlverge. C. cociente
-
>::ALCULO 111
17. n: 22n
diverge C. cociente lB . C. cociente
19.
20 .
21.
22.
24.
26 .
28.
- n' ¿; 2
n ~l
- , n _ L: ~l 2n +
2
5n
converge. C. raiz
Divcrge . Sugerencia : 3n
_ 2 ;;:030 2
l + 5n 52n
c . cx::nparaci6n
• 3n + 401 ¿ n! + 7n
~l
oonverge ; SI.'IJ . n ~ + 7n ;;" 7n : ,entonces
c. cociente
• !n + lln • 1 ¿ n' converge C.ri!l1z 23 . L: k In k ln( In k ) ~l e ~
diveL'C}e C. integral
- • cos(b) L: 1 C. COrparaciórl 25. L: 1<>' (ln k/ '" .' Sugerenciil : ¡
<+l,I.k>9 c. Carparaci6n (In k ) k ,
- -¿; In(~ ) 27. ¿; arctg (n)
1<-1 • ~1 n¡ + 1
divcrge C. integral ccnverge C. int.",-al
!: 1 divergente C. caTparaciIID 1 > 1
".2 ~ ~ n
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SUCESIONES Y SERI ES 421
29. ~ c. o:x:iente
• 1 30 . E sen ( - )
~1 n
1 >...!. diV'erge ¡ C. ccrrparaci.6n ya que sen( ¡;-) 2n
31. r.e:tDstrar que
Solu.ci6n. : n
• n ~ e ~! es divergente ~l n
Tenarcs e n! :> e • luego caro la' serie constante diverge, entonces nn
la serie es divergente.
R. cuanOO a> e
converge y cuando a < e diverge.
33 . a) De!rostrar que 1-,;¡ .Ji dy existe, considerando la serie
b) DeIlostrar que ,!? -,,_''-.,.=,", ;;;J [ln(k)]ln(kl
~, aplicanCb el criterio
de la integral .
• e) Dmostrar que ¿: diverge . aplicando el criterio de
la integral. p2
Soluci6n :
• en a) La serie ¿: -,;n es convergente, pues Uro
~1 -Por tanto la integral [~. dv existe en virtud del criterio de la
-/ • integral.
b) sea 1 L1 (kJ ' aplicando el crit erio de la integral tenmos Im(k) I -
.[~ln ~JliDt dx '" J ~ esta integral existe por la parte (a)
1n2
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c.u.ru1D m
el ~em::>S que la serie
f:-[-ln-x{"ln---"'ln-X~) dx - [ y~ y .7 áy - r e ,;f y) I áy inl in2
sea y -lnx .... ...-> x . f1 _ [.r'ln Y)'áy n2 ... - eYáy
[
- Ir- 0.11)')1)
.. e y dy C'") n 2
• PuestD que 11m -cer Y. entonces:
[ln'y)] _ O • Y
se sigue qlr i:y Sé aproxima a eY al Cl'!. y
-' O) _ ( ';áy _ .;1- "herqen"
Án2 Jln2 34. 3 • 7
---+--+--+ 2n + 1 + . .. ... --=";-'--"---= 2'. 32 ) 2 ,4 1 4J .52
] -+ • ( ! ¡' ..
7
, ( -) . +
10
en ... 1)2(n .. 2 ) 1
ln n •• • +1 2n + 2 ) ... 01Yefge C. ra1.z
36. '
3 )." + • + , 7 )Jl 1 + .. , 2n'" 1 )rV2 + ............,. ....... e rah t .., Uf o •• 3n+1 " '-" -:r- '
37 . !. ... 1. 3 ... 1.3.5 .. o " + 1.3. 5 .•. • 12n-l) ... ... converc¡e C. ooe1ente 4 4.8 4.8. 1l 4.8. U •.• 4n
~ 1000.1002 1000.1002.1004 38. l uuv + 1.4 ... 1 .4.7 ...
Q:::Jnverge. crLt. ax:1ente •
... 1000. 1002 ••• (9gB ... 2n) + .••• . 1 .4.7 •• • (ln-2)
39 2.. 2 .5.8 + . 1 1.5. 9
... 2.5.8.11 .. . (6n - 1) . (6n - 4 ) 1. 5.9 .1J. l1 • • • (Sn - 11). (8n-7) corrverqe C. cociente
40. ~ arcsenl_l_) • d1.~ C. 1nteqral ~l ,¡¡'
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SUCESIONES Y SERIES 423
41. ~ ''+'='=n=.=';)='=n=.==',')· CCtM!rge C. Cmparacifm,
42. ,
. diverge 43 •
i n k -+ 12n - 1) 15 rn - 1)
_ n 44. ~ ~n n!
fFi nn C. cociente 45. ¿ e nn!
~l n di verge C. cociente
46.
47 .
<S.
f, --,~k,-...,. diverge C. integral k=<1 k2 + 10-
f' ' ~¡."
~ ~,
, -n n e
diverge C. ax:iente
convergente 49. -¿; ~,
m. ' m' COI'l~te
(m + 2)2
SO. f: , (2k + 1)2
CCJ:lVergente C. integral Joo'
51 .
53. f, """
54.
56.
57.
58.
k
1 + k~
(k + 1)
(k -+ 2)l
-'...±_'In(k + 2)' • divergente
• divergente
• divergente
52 .
OOI"lVerqentle C. anparaci6n
k+1 >.! ln()t + 2) k
sec n ,ñ'
1
'"
<: ..1C' <_'_ ~ )t l /l
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-59 . e
0 - 1
61 . i: ----"~_. . k=3 (lo k) l /k
, Oi vcrqcnte
CA LCULO In
-e ' 60. , CXlf'lvergeIlte . C. ra'i z rF'1 "In
62 . , divergente
cerro 11m n1/ n = 1 , aplicar c . CO"lparacloo n.
63 .
- (1_ ! ¡n1 [ 'Y/O 6< . ~ Uro (1 _ ~}n 1
o • =v=ge e -65. f; 1
0=' Vn2+7
n. Escribir la f60rula l!ás sinple del ~nr.i.r~ n-éslJlO de las s i guientes se
rles.
... ) 4 5 6 4+9'+16+2'5 + 67 . 2 4 6 8
5+8.o-1.l+14+
0+ 2 20 R. R. ~3:l ... 2 (o + 1)'
68. 1+ l. -1:. +.1..+ J:..+-1.+ R. 1 :1 6 12 20 30 42 n(n .. 1)
". ' .l:.:!. ... 1. 3.5 + 1. 3.5.7 1. 3.5 . . . (ln - 1)
• 1.4 1. 4.7 1.4. 7.10 ... .. 1.4.7 •.. (ln - 2)
70. 1 1'" '1"
1 1 3 + q +S +t+ .. n (_l)n+l
• 2ln (ln(n) ) ~ In - ln(n}' 71. ¿; n ln(n) "- dive.. .... 72 . R. divcrge
~20 ~ n~+lOn' o
3 .. ,
• cosí -;[) 73- L: R. convc...""ge n
~11 e
,
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SUCESIONES Y SQIES
7.4 SERIES ALTERNADAS
De!irzición 9 . - una serie óe la f ollT'a:
¡; (_l)n+l a _ a - a + a - a + ••. + {_1¡n+-1 a + n.2J~ n
~
y de la
donde
a > O , Y n E IN, es l..lJmada serie alternada n
T«Jrema 18.- (Teoruna de teüniz). Si una serie alternada
~l + (-l) a n
• es tal que sus tér
minos: al > a~ > a, > .. . > an > Bn+l > .. . yHma - O _ n
Entonces la serie alternada es ccnve.t1¡Iellte , Sil sura es positiva y no
sq;era el pr1Irer t&mino.
Demostraci6n. - En las dos SUlIaS parciales
S - (a -a)+(a -a) + ..•. + {a2n
_1-.
2n' 2n l 2 , ~
s - a - (a - a ) - la - a ) - ..• - (a - a ) 2n+l 1 2 J ~ 5 2n 2n+l
Todos los parent.esis
hipOt.esis.
SCI"l nlireros positivos, pues a > a,' l¡. n E IN p:)r n n+
~ ccnsecuencia, la suoesioo {S } es m:n5tona creciente y la socesioo 2n
{S2n+l) es ~ decreciente.
S > O Y S < a • y n E IN. 2n 2n+-l l
Puesto que:
~ consecuencia las suoesiones {S2n) y {2n+l} estfm aootadas inferior
rrente p;ll" O Y su¡:eriorrrcnte FOr a . y por tanto son ~ntes.
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42. r.. .. t..CULO m
Uro S ,. 11m (5 -+ n-> 2n+ 1 rr- 2n
'20+') - Un S + lIzn a - 11m S n-- 2n rr- 2n+l rr- 2n
D'ltonoes mbas suc:esiones {S2nJ y (5 211+1} • tienen el misrro limite S.
UJegO 11m ~ ,. s Sj. 'J;D aOopta valores- in¡;ures o valores pares o ani:los. en-t onees: ~ (_lln+l a ccnverqe al valor O < S < a -'C n • . n-¡
EjempliJ 18.- Estullar la ~c1a de la serie alten'lada
SOlucidn :
, .. -n n
~ la serie i: "'"
(_11 0+1 "'-n
Ejemplo J9.
di~.
Sohlddn :
Dete.Dnine si la 5erie
A
'1'eneIlOs que :-1 < 1 n
lima - 11m n
~ ~
n + 2 n (0 + 11 "'0
Por tanto, la serie ~ es c:x:nvergente.
(_ 1) " n -+ 2 n ln -+ 1)
l..1N .! ,. O n
(_11 1>+1
n
Defjnici6n 10.- La. serie ~ ~ se dice que es absolutlutente c:onvergente , t;;t _
cuando la serie ¿; lA I '" ~te_ ~l n
EjempIo40.- Determ1ne si la serie es absoluta:rent:e con-
Solucidrl : 1(-110+1 J~ I
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SUCESK>NES y SERIES 1427 ,
Definici6n 11.- Si U'Ia serie es c:cn~nte, pero ro abso1utarrente conver
~, se denan1na con:Hcionalnente COIlII'eI"qente.
Ejemplo41 .- La serie ~ (_ l j n ~ es OJr'rlicionalmente convergente.
Teorema 19.- Toda serie absolut¡s¡ent.e COI"JIICL'98lte es ~e, admás,
una serie es abso11lt.a1oonte convergente si y 5610 si la serie formada
con sus tl!nninos jX)51t1~ y la serie foIJTBda c:cn sus técninos negati
vos son Brltos ~tes.
• DemostTaci6n. - ~arros que la serie 2: \ ~ I CXlrt\Ier'g'8 y a::::n\I'ellg'5l'OS
n-l
o '" b '" 21 a I y supc:n;¡am::lS que n n
n y B '" ~ b
n r-1 i
entonces O '" B <: 2A '" A, por tanto 11m B existe Y :t b n n n- n n-l n
""" ... Puesto que
'>' (b -;;;J: n
~ 1·1 n-l n
I.I)·¿;. n 1'F1 n
es =nvergente
Observadón6.- Toda serie ~ de ténni.nos pxdt1vos es absol~
te =nvergente .
Ejemplo 42 . - DeteJ:llU.nar si la serie ~ n-l
divergente .
5oll1c;6" .:
10 sen( T ) n1.1
es oc:nvergente o
l.D5 pr1Jleros ténninos óe la serie son jX)5itivos, el sexto es ceJ:O, 105 cinco
siguientes negativos etc. Puesto que :
- 1 <: sen( T) '" 1 <~ - -i;. <: n'
<-. \10 &ene -T J\ < JL 1.1 1.1
n n
10 sen( 7 ) '" n1.1
10 ;;r.r
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'" lB serie dcninante 10
7T es convergente. c:nt:ona:;s por criteno de
C'CI'ff.-aI"ac16n la serie i1ada es absolut.wente o::mVf:!rt)€fltc. Por t.anto , 1 .. serie es convergente.
7.4.1 CRITERIO DE LA RAZON
Teorema 20. - sea t a ~1 n
1JI"I& serie infini ta para la cual
'\¡ ., O • V n E IN Y supalge'll'l'OS que 11m -Entonc:es:
-, 11 Sip<1
11) Sip > l
l a serie es absolutamente carve.rgente
la serie es divergente 6 si
11m I a~'+l 1 .... . la serie es divcrgoente _ n
111) Si P - 1 , nada se p.ede CCI'lCluir acerca de la c:x;rn¡ergencia.
Demostración .
i) Q:m:l P < l . es decir 11m I ~l \ ,., p < l . tatoroe un núrero _ n
''''1 p< R < l ,yaque llml--I -, n- 'n
N > O tal que I a~l I < R , >,¡ n :> N • as! tenerros
1"",,1 < RI .. I
I .. .,¡ < R'I .. I
, 1.,.,,1 < R 1 .. 1 y, E IN
La serie ~ IfI~1 es ~te, ~ R < 1 , entonces la serie
Por l o tanto :f: I a ni n=1
e!i CCf'Ivcrgente . Asi" la
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SUCESKlNES y SERlES
serie es absolutarrente convergente.
11) Si 11m - I'~' I I ":;" I
.p> l, entonces 3N>O talque
" > 1 , V n>N , 11rgO
1"" .. 1 > I"NI I."d > 1 "N 1
De est:e m::ldo I~I > I~ I y. n ;> N. por tanto 11m ~ JI O yas1 la se-
de es divergente .
Ejemplo 4J . - Pruebe la c:x:rn.>ergenc1a de la serie ~
Soluci~n : Teneros
(_ l )n ..!!....:t..... 11m I an+1 I • Um 1 _ _ -:::.--'5~"'::-'_1 • lún n ;/ '"' ~ < 1 n- ')¡ rr- (_11o-1 .E.. n-
5"
y por tanto la serie es abso1utarrente ~te en virtud del criterio de
la =OO.
~• (_l ,n+1 nn Ejemplo 44 . - Estuiie la ~cia de la serie ñT ~
Sowcidn :
T~ que 11m I "'n+1 1 = UJn (n + l ) n (n ~ 1)n: • 11m (1 ... ~ ) n .. e > 1 rr- "'n n--> (n + 1)! n n-
~ el criterio de la ra26n nos dice que la serie es divergente.
E)ERCICIOS
El'! los siguientes ejercicios deteJ:rninar s1 la serie alte:mada dada es CClfIW!.
CJEflte o divergente o CX>ndiciooaJ.rrente convergente.
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430
, , , 1. 1:2-2.'3 + )."4 -
,. _,_o _'_. _'_. _'_. _'_. 212' ],1)' 414 sl5' 6.'6
3. 2 3 4 5
1 - - + - - - + - + ... 22 2 1 2' 2~
1 2 3 4 ,. ---. 1 --- + --- • ---.
1'+1 2l + 1 )2 +1 4 z + 1
CA LCULO 111
R. Absolutanente c:onvergc.-.te
R. r..bsolut.~" -nte convergente
R. Absol\Jl3llT..-nt.e <XllVcrgcnle
R. OlndicicnalJIv:>nte convergente . Criterio i1lteqral al valor absoluto.
5. o 1
(-1) mtn) , es ccnvergent.e 6 .
7. 8.
O:niic. COIW'e.I"9 - crit. int.
•. I: ~,
n en (-1) n 10.
divergente C. cociente
11. , _,n
(.,)n+ n! 12 .
absol utamente COIW. C. CXX::.
13. ~ l_lj nH ~ 14.
abeol. COI'l\IerCJ. c. cociente
15. diverqente c. ooc. 16.
17. 18.
n+' n (-1) sen( ñ )
-:¿ ~,
(_111"H 1 ln{n)
n'
absolutarrente a:mveI"9OOte
~ (_lJn~ L.J Jn-} ~,
ccnd. converg . c. integral
divergente c . ox-icnt.e
f' (_}) n+ 1 -;o-,'~",," ~ r{lntnl] 2
abs . b:overgOl'lte c . integral
, divergente c.o:x:iente
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SUCESIONES Y SER IES
21.
divergente c. c:ociente
(_lIn-lo ! 1.3.5 .. (20 - 1)
abs. conv. c. c:oc1ente
23. ~ n
(-1) 2 . 4.6 ... (2n) 1.4.7 •.• (3:0 - 2)
abs. COl'JVergeIlte c. oo:::iente
2S. f'. ~
(_1)0¡6n 2 _ 90'" 4)
n'
27. :f; • c. razfr¡ ..... 1
29.
abs. ~te criterio raz6n
31. ~ (_I)o( 2n ... 1 )0 ¡;;1, 3n ... 1
~ sen(nr) )J. L.J
f'II"l (lnlO) o
abe . CIJ'N. c . o::.rparaq,oo
35. 2; ..... 1
(_1)0( 1.3. 5 .... (20 - 1)) . 2 .4. 6 .. . (20)
abs. c::om. c. ra::oo
~ I_S)n-l 20. ¿,
tp=1 no!
abs. ~te c . ax:ientc
n . f: ..... 1
~ (_1)n-1(n ! ll 20 24. L.J (20)!
n=1
c. ax:iente
26. ~ ~
(_1)'*1 !nlo ... 1) n_ 1
aJOd. ~te c. integral
28. ~ n=1
."
cond. a:I'I'\Ie1"9. desccrrp. en Slnoa.
~ (_1)n(o ... 1) JO. ¿,
0=1 (o'" 1) Iñ+l' - 1
cand. CCXl'\Iel:'9' C. corpa.racioo
)2. ~ (_1)n-11.4.7 ... 00 - 2) 7.9.11 • . (20'" 5)
diverqe c. raz6n
.14. ~ l_l )n-1 tgl~ f'II"l nlñ' abs. ~c. ~6n
suq. tag,_1_) nlñ'
<_1_ nlñ'
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36 .
38 .
39.
40.
41.
42.
...
45.
"-
". SO.
37 . n 1 (-l) (l - ros -' )
n
CALCULO 10
abs. ccn!. C. ra1z .lbs. convergente
- (_1)"
~ n -n n
ln(e" + e-n) • cand. IXIflV. e + e < 2e
- (_lln 1
~ abs. conv. 1 < n ln1 (n + 1) n ln 2 (n + 1) n ln2 In)
luego c. int_al - (_l)n ¿/7 ¿:; abs. ccnv. c. razOO ~1 (n + 1) ~ r + 1 - -x ~ e-n L: (_lln ~dx abs. OOTIv. c. m6n a -n-1 x ' ~ n n
2: • n 1 sen(ln(n) ) diverg€fite <J. :z (-1) (1 - nsen( - »)
n-1 n-1 n
abs. convergente
~ ln(n sen(.!. 1) n- n
abs. o::mv. . n sen ( ! ) n
.o;;; 1 , entcn::es
1 ln(n sen ñ )
~ n 1
(-1) ArCtg( 2" + 1 )
""" . CO"IV. c. int.
-¿; ln(nll . -lL) n-1 lo(n)
<O
...
...
n n (- 1) ('2 - arctg(ln(n)1)
~ 1 n= ntl+i+ 1 + - )
n
oond. convergente
- (-1) n[e _ (1 + * )n] ~ cx:JOO,. 0IXfV.
- n(n-l)
~ (-1) -,- ni e o
7- abs. oon.., . c . razón
51. ~ (sen( * ¡¡JI' • abs . conv. sen( * ) <: ~ • c . COlpllaci6n
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SUCESIONES Y SERIES 433
52. senll/n) n abs. o:nv. sal O/n) " Vn errtcn::es sen (1/n)" 1
53.
55.
".
59.
61.
63 .
f: (1 - n cos(Vn) , abs. CQlV. 54. ~1
f_1)n+1
Vo'
(_ l)k
lñl<
cand. o::mv.
, cond. o::mv.
56.
58.
(_l)k k 7 f+J ,31< , ab6. oonv. 60.
cos( ¡ 11) abs. o:nv. n! 62 .
n n'
~ _,1-=-"n,-,,,,,,,,,,,< l/!{.'.n!!...' L.J • abs. conv. "",1 • n
2': C<C-,,'~' k-,'k,';;','_'_ x"' l (x + 2) :
abs. <XlIW .
(-1)x!4x + 1) 7k2 _ 1
oond. converg.
~ (_l)k
~ -'-=:'-, abs . row. ,,_ k.l.n 2 (x)
n 1 (-1) tq{ - ) ClOJd. conv. tene!Os: 1:9 ( .!. )
n n
~ (_l)n+l n ... ¿, n=l 1000n + 10'
<S.
66. ~
6B.
69 .
, sen! '1 n)
el'
!_1)n+1 rn' 10'n + 1
(_lln 4Jn+1 (3n + 1)!
.p>O I sen( in) abs. oonv. si P > 1 , rl'
c . aJlIV . para 0< p" 1
oond. conv.
abs. conv.
abs. oonv.
• abs. COI'N. 70.
~ - In < _~'-:::-_ 2n 1/ 2
71. f: sen { --;:''---) , abs. conv. mplear: rFl 2n2
- 1 O"senx"x
O"x"Jt/2
para
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43. CA.lCULO fU
-72. ¿ • abs. oonv. 73 . <1 -+ sen (n)
~l
7.5. SERlES DE POTENCIAS
Definición 12.- Una seri e infinita de la fonra
~ a ,¡r.. - a., " a x + a2x2 + 0_' + a'¿' + ... k-O x , k
se deranina serie de ~encias en x. lh5 serie de potencias en x es l o an! lago para series infinitAs de l o que es \lll polinanio en x. ~ generalJren
te, una serie infinita de la fru:ma
k el .. a .. + lI , (x - el -+ a 2 (x _ el 2 + .•. k + ~(x - el ... . .
recibe el rorbre de serie de potencias en (x - e l .
DbseroaciófJ 7.- J\denás existen series de p:¡tencias de la fonna:
donde ti es una funciOn de x. Tal seri e se llama una serie de ¡:otenci as
en O:;(x) .
-Teorema21.- Si l a serie de potencias ~ "nxn es convergente pa-
ra. X l Ji O, entonces es o:::nvergente para toóo nÚ!'erO x tal que
Ix] < Ix, J .
C>.mostraci6n:
n es ~e. entcnoes Um ~ x _ O • por
tanto para ti" 1 > O, 3 N > O , tal que. l~x~1 < 1 sier.pre que
n ;> N.
AtDra si x es CIUllquier nlIrero tal que ¡xl < IX,I t:em.m::>s :
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SUCESIONES Y SERIES
1 anx'1 I .. \an~ :; \ .. lanx~]! :1 ]n < \ :¡ In,~ n > N
la serie ~ \ x \ n es convergente, pl:eS la :r;az6n r = \ +1 < 1 , - x, ,
luego por el criterio de CCIlparaci6n la serie ~ \~xnl es absolutartente
convergente dc:roe 1 x I < IX 1 I •
Por tanto"la serie ~ an:x? es convergente. lj. x tal que Ixl < Ix¡1
Corolario 2 .- 5i ia serie de potencias ~ a >f1 diverqe para un nIírero ;¡;¡¡ n
xz' entoooes es divergente para tOOo r.mero x tal qlE- Ixl > Ix21
Demostraci6n.
SupongalTOS que la serie es ccnvergente para algún x tal que Ixl > 1x: l.} entooces la serie es convergente en x2 (~teorema) (ccntrad.i.ciOO)
Por tanto la serie es divergente, 'Ix tal que Ix! > Ixl l
Teorema 22 . - Sea ~ anxn
una serie de potencias.
Entonces exacta¡¡e1te una de las siguientes catdiciones se C\JlPlen.
i) La serie COIlVeX'ge sol.atente C\laJ'd::) x - O
ti) La serie es absolutamente convergente para todos los valores
de x.
iU) Existe un núrero r > O tal que la serie es absolut:.aTente con-
coovergente para tOOo x para el cual
Ixl > r .
Ix l < r y diverge si
Demostraci6n·
il Si x .. O , entonces n ~x '" a.:. + O + ..• + O + . .. es c:c::.wergente
ii) 5~anos que la serie dada es ccnvergente para x '" x) , doróe
x, f. O. entonces la serie es absoluta:roonte ca'IVeIgente , Y x tal que
Ixl < Ixll • Ahora si adenús no hay valor de x para el cual la serie
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436 CALCULO m
dada es divergente, p:lO.61"OS concluir que la serie es abscllutaJrente con
vergente >.¡ x.
H i) Si la serie dada es o:mvergente para x '" x, , dorde x, t O Y es diver
gente para x ~ x2 donde 1>:21 > Ix, l . ent onces por el teorena 3llterior
la serie es divergente V x , para los cuales Ixl > ¡x¡ \ Por tanto Ix2 1 es \.TIa =ta s~rior del ccnj unto de valores de Ix l para e l cual la
serie es absolutanente convergente. Luego por el axiana de o::npletez
este ccnjU'lto de n\ireros tiene tna núnirna cota superior que es e l
nÚlEro R.
Observación 8 . - Si t enerros la seri e ~ el (x _ a) n n
las c:orrliciores del
t eorefla se convierte en:
il La serie converge sol.aJrente cuarrlo x '" a
i H) Existe un nÚTero R > O tal que l a seri e es absol utamente o:mver -
gent e 'V x para los cuales Ix - al < R Y e s divergente V x para el
cual Ix - al > R.
Luego los intervalos de convergencia será uno de los siguientes in
t ervalos .
( a - R , a + R) 6 [a R a + RJ 6 ( a - R , a + RJ 6
[a R a + R)
Ejemplo 44 . Encontr ar el intervalo de convergencia de cada. una de las si -
guientes series de potencias
• 2n
~ ,!' 2': ¿; (_l ln x n
.) b) 30+1
e) n x CFO ~O
2': (-2) n ..!l...±...1.. :C 2': (_ l)n 3n
d ) e) x
~ n. 1
~O '" ti ". (x - 2) • (x - 2 ) 1
+ • . • • (x - 2)n • 3 36 '" 3n n'
Soluci6n.
Por t anto, la serie de ;:otenci as es absol ut amente CCfivergente cuan:,}o
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SUCESIONES Y SERIES 437
IXI < 1. Su intervalo de convergencia es < -1,1)
b ) Tenerros
As! la serie converge si Ixl < 3 Y diverge si ¡xl> 3 , claranente la se
rie diverge si x : - 3 Y x '" 3. Por tanto, su intervalo de o::nvergencia
es ( - 3 , 3)
el Puesto que 11m I ':" l' llm Iln + ,~,."., l· llm I n--- n n-"X Il""""
La serie es absolutarrente ~e si Ix \ < 1
n' = 11m --"------:
n- 3 (u + 1)2
\x - 21 \x- 2j "" j
En CDn.SeC\Ercia , esta seri e oonverge si
IX 3 2\ < 1 < (> Ix - 21 < 3 . Si Ix - 2\ '" 3, la serie no es
más que la serie p (o la serie p alternada) para p '" 2. CUro estas series
tarrbién convergen, el intervalo de convergencia de la serie prq::>U'!5ta es el
conjunto de todos los X tales que Ix - 21 "3, esto es, el intervalo cerraro [- 1,5].
E}EROCIOS
1. En los siguientes ejercicios enccntrar el intervalo de ~1a de
la serie de potencias dadas .
f (_11n+-1 ,.2~1
L (2n-l) ~ =0
" ,n x" :¿ n' =0
,. R. - . • + ... ) R. H ~l "
3. I: n! n R. ° x =,
4. " n :¿ (_1)" x
llln-1 =1 (2n -
R. - 9 , 9 J
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'" 5.
6.
••
9.
~ (_1)0+ 1 ~l
n
(senh(2n) ¡ xn
" R.(-...!. e'
n! )Cn n
n
..!.) e'
Ro (0.2]
7 . (_ l ln+l xn
n [ln (nl ] 2
R. ( - 1 , 1J
R. ( -e • e )
S"'l. (2 , ¡I z -o 0+1/2 r(n)/12n 1 < n! - 11 e ne. 1 - 12n r (n) < 1
(_1)° 1.3.5 ... (20 _ llx2n+l 2 . 4.6 . . . 20 R. [-l.lJ
CALC1JLO 10
10. :z !n (k) (x _ 5¡k k ... i R. [4, 6 ) >t . R. (_.! . .!. )
e e 1001
12 .
14.
15. (-1) 0+1 1 --;:;;x n
R.
"f: &en[{20 - l )x] 16. L.J n=l (2n _ 1) 2
13. xn
(n+ l }2_1
( 1, ... "" )
( e , + .. ) abs. CXlOV. ( 1 , e]
Sug. serie p C01'tV . s i ln x > 1
Zi rn 17. __ _-'-"-~ . ~ (x _ 2)°
R. 3, ... ... ) U ( - ... , 1 )
' '''l.
18. ~
I sen(ln - llx
n x 2 sen ( n )
)
,,--'-. n'
R. (- .... + ... sugerancia
1 ,",en ( ; '1 " I xli
19. ~ f;;i,
R.
20 .
R.
oos (nx)
e=
- -.
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SUCESIONES Y SERIES
21. 1: ~l
R.
23. i: ~l
nn
n" x
1 , + ... } U ( - '" , - 1 )
n 2n-l n 2n+1) x R.
(n + 1) ~ x2n 2n + 1
R. - 1 , 1 )
( - 4 , 4 ) sugerencia
I ~' I = IX( 2n1 +3n+ l )21l. n 2 +n
2n1 + 3n (4n1 + en +
x 1=1 , 3)
p"''' 11m "...
2n2 + 3n + 1 ) 2n '" e O
2n1 + 3n = 1
24 . R. 1 1
( - - , -) 3 3
sug. ! a~l ! "' I Jn12n+1 caN. CIlal'"ldo I Jxl < 1
25.
26. ~ ~
n+1 2n n (-1) (2n - 1) (x - 1)
()n - 2) 2n
28.
29.
31.
~ xn- 1 ~~nfF1 nJ In(n)
R.
n' x
11m "...
[-l,lJ
I '~' I
t nn(x + )n
~1
R. x "-3
R.
R.
R.
30.
32.
( - 2 , 2 )
R.
( - 2, 2 )
, - ... lf)
( - 1, 1 ) Su;¡erencia:
R.
R.
2n (x - 1 )
- 2, 4 )
n: (x+ )n n
n
-e-3,e-)
439
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440 (:ALCULD 111
33 . ~ Ix - 1) 11.
34. ¿; Ix _ ;H2n
(k + 1 ) ln 2 {k-+- 1) ~1 (n " l)ln( n + 1)
R. (- 2. 0J R. < 2 , 4 )
" . ~ 1 n' - (ln _ l)n {x .. 1)" (1 + - ) (x - 1," 36 . ¿
;¿n-l nn n" n 0 => 1
R. 1 - 1. . 1 .. 1. ) R. I 2, O ) e e
- (_1," ¡,¡, ... i 2'; t3n - 2) Ix _ 3) n 37. ~ IX - " n 38.
2Ml n + 1
~O (n + l) ~ .. I l. 'J R. [1. 5 )
- (_l ¡n lx _ ))" - {_1,n(3/2 )n xn 39 . ¿ 40. ¿:
~O (2n + 1) ,1ñ+!' ~O n + 1
.. [2 •• J R . 2 2 ] - J • J - C_1 , n+l (x" 4 )"
~ (_l)n+l(n : )~(x _ "n 41 . e 42.
~1 , n . n' 2n(2n) !
R. [-7 . -1] R. < - 6, 10 )
43. ~ (_ 1 ) n-~ : 13/4) 0,,0 44 . f 1_1)1<;- 1 lnk . 2k.xk
n- 1 1. 3.5 ... (2n-l)
k=l l . k'
R. I • ~) R. H ·n - "3 ' , • 13x)k -45. ~ 46 . ¿: 1-1J
k k. 2l
;x+l 1<-1 .. I 2 2 1 R • ( - 1 ,1 ) -J' J
~ k(x _ 1) k- l - I_l) k-t l(x + 1) 2k 47.
1<- , k 48. ~ (k + l )2Sk
.. I - 2, 4 ) R. E- 15 - 1 , . 15 - 1]
- (k!) ~XK
~ (_1)\k
49 . ¿ 50. ""1
(2),:;) ! k (ln k ) 2
R- X • o R. [-1,1]
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SUCESIONES Y SERIES
51 .
53.
R.
(x - 2)k k
2 ,rk"'+i'
[0"
1 X n {T+Xl
n' 1
R. COI'lverge para x ;;;' - '2
55. ~ Iñ' x3n
R. (-1,1 )
52.
54.
n' o x
R. cooverge para x > 1 6
x < - 1
xn ces n
n'
R. [-1, 1J
~ {_ I) n-l (~ )n 56. ~ -'--"nO'-- 5
...
11 . En cada \.ll"lQ de l os siguientes ejercici os detenninar el radio de ttn\Ier
geocia de las seriE.s de potencias &das.
57.
59.
61.
63.
65.
67.
xn
7 Ú< +
'n +
R. r = i
R. r = 1
In!) % n (2n)! x
R. re 2
R. r=2
R. r = 4
1 . 3. 5 ... (20 - 1)) J ,(l 2. 4.6 ... (::in>
69. ~ [sen{an)Jxn , a > O
58.
60.
62 .
66.
68.
n x
(n + 1) 2n
(_ll n 2m in 2n
R. r '" e
R.
n ' n a x , O<a<:!.
R. r-+""
R.
R.
R.
r= 1
R. r_+oo si a- k1I , keZ
r"' lsi a"fkll
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CI.U lJl..Q DI
70. 71. n n ' • • b
a. > O ,b > O
R. R. r .. m1n(a. , b)
! n Dn 72.· (!.. • I x" . • > O , b > O R. r • m1Jl ( 1 ! I
~l n n' ¡¡ b
73- ¿: nn n 1 74 . ~ (an
+ bn
+ n n
a.,b, c ;;;.. O """"ñ"!"x R. ca - e l . . ~l
e
7.5.1 OPERACIO NES SOBRE LAS SERIES DE POTENCIAS
CId" serie de p:X.enCi.as 2:~" define una. fUlCi6n f. con regla k-<l
de oorrespondencia f (x) .. ~ ~)<
El dcrnil'lio de f es el intervalo de covergenc.ia de la serie.
Teorema 22. -• k
Si 2:; ~ x es una serie de pot"f"ICias cuyo radio de
""" o:::.nvergencia r es no nulo, ent.cJlc::u la. funci6n f definida por
f( x ) • ~ "\ x" tiene ma. deriva&!. dada por f ' (xl
en cada. nÚl"erO x del intervalo abi erto ( - r , r ) .
ObUTVaci6n 9. - Si el radio de oonYerliEflcia de la seri e de potencias
~ ~)l.n es R > 0, enton:::es R t~ién es el radio de oonvergenc:1a
: l a serie 2: n(n - 1la ,r-2 ~2 n
Teorema 23. - Si la serie de potencias ~ "\)< tiene U1. r adio de CX!:. k-O
vcrgcncia r , diferente de cero, ent ooces:
iX~ ~tkdt .. ~ k+~ l ·+1; Ixl < r
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SUCESIONES Y SERJES .. , ,Demostr~cj6n . .. ,1+1
J<+f •
y 9 tienen el misno radio de cx;lIWC1"I:JE!ncill. Y pJr el teorena anterior
9' (x) - f(x}. caro g(O) - o.
l;(tldt '" g(xl
Ejemplo 45.- La serie de potencias ~ xn es conve~ para Ix l < 1,
p.:es es una serle gecrrt;trica y su 5we es:
n , n x- 1+x+ x+ ... + x.
1 - T"'='"X' Ixl < 1
().mnCo remp1azanos x ¡xx - X teTeT06:
~ (-xl n a l - x. Xl - X ' • • , • • (_1Inxn ... ' ,. - 1!x • Ix l <. 1
~ X2n _1.x1 + x· •
lo misrro se tiene
51 Ixl < 1
Ejemplo 4ú.- ~t:re que:
So1uci6rr: Teretos
.. ...... X2n __ ,_ s1 1 _ Xl
Ixl < 1
1 - - --
X ' x~ x 7
arctag x a x - 3" .S --:¡ • . . " s i
1 • X2
Ix l < 1
__ , _ _ 1 - x" + X· _ X ••• . . • {_lln x2n + . . . s l Ixl < 1
1 • Xl
Por tanto, p:deros integrar esta sede tlinnino a tli.nnino; as! t enerros:
Ejemplo 47.- Apzoxirnar arctag ( ! ) hasta el tercer lugar decimal . 2
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,44 C\LaJLO III
Solución. :
Por e l ejemplo 46.
arct.ag ( ! ) 2
x' arctagx-x-r entonces
1 1 • - 7 ( 2) z 0.463
éjemylo.f8. - Cl:lt.ener una representaci6n en serie Ce potencias Ce
Solución : Seg(m e j enplo 1 tenenos:
--1...-"' 1 + x + x 1 + o • •• ,/1+ 1 - x
si jx l ( 1 ent.onoes
1 ~1 ----''-c. 1 + 2x + o • • + fU ... . . . . si Ixl < 1 (1 _ xl 2
Ejemplo 49. OE:m:Ietrar que:
xn _
n!
SolUciÓn :
Sea f (x) L n!
x" + - +
n!
oonde su ó.::minio es el intervalo de oonveJ:getlcia
( - '" , + ... )
1
As:!: t' (x) .. ~ nx~l .. ~ x~l r';;l nl ~ (n-l) ~
xn n! .. f (xl, entonces f (x) .. eX
-x Ejemplo 50.- Erlcaltrar Ul'll!: representac1&l en serie de potencia de e .
Solución: Dl el ejerrplo 49, haCE!lT'06 el CClItbio de x por -:1( y cbtcnaros:
-x e - 1 - +
I-lln _n n ~ A + ,- "IY X E < - .. , + ... )
i¡;¡empl.o 51..- Encontrar una. representaCioo en serie de potenc.i&s de f e~tldt O
SoluciÓn:
se Uere que
-t'
-x '" e _ Lo ""O
e '" 1 -t" t'
t 2 +---+ 2: J!
.•• + (_l)n t 2n --+ n!
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SUCESIONES Y SERIES
.... ' . (-l~ X2nH
"'n~( ... l}'"
• O.S - 0.04117'" 0.0031 - 0.0002 ...
• 0. 4614
.. ,
Ejemp.lo 53 - Cbtercr una represe..,taciOn en serie de potencias de 1.n (1 ... x)
Solución: Catsiderem:ls la funciOno
1 n n f(t) • ~ _ 1 - t ... t Z - t ' ......... (-1) t ....... si !t l < 1
F~\ . ,i
ln(1 ... xl
Ix! < 1
.. . + n+1
(_1)n _ x __ + n + 1
Ttrorema 24 - S\.POl"l95lOS que las dos series de potencias
....
~ ~;r. . t bj
x j • ~ a las funcicr-es f(x) y g(x}, f-t J-o
respectivamr:nte, para Ix l < r. Entonces la serie de ¡;otenc:1.a.s
~ e xn , don::le e - '">"' ~b . ~ n n ~ J
- a b + n •
a la funcl00 f(x).g(x} para Ixl < r
Eiemplo 54 - Encontrar una serie c:2 potencias de x que sea OOIlverqetlte a
l.n(l + x)
1 + X2
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446 CALCULO Ui
Soluci6n: Teneno.s
ln(l+x) "' x ~ + Xl 2 -,
multiplicando se obtiene:
ln(1 .¡. x ) x' + - + , 13x ~
-- + 15
EJERCICIOS
. . . , Ixl < 1
.1. En cada uno de los s iguientes ejercicios , encuentre una serie de pot~
cias de x que COIYV'erja a l a funciOn dada , Y detenni.ne el radio de CX)flver
gencia.
1-
2.
3.
,.
5.
Il.
8.
10.
1
(l _ x ) J
eos , ,. x
~ x
1 - x
1 - x + x'
"
R.
R.
R.
6.
.!(2 + 2. 3x + 3. 4x 2 + 4.5x! + . • . ) 2
1 -13 , ,," x
x a 5x' 1 + "2 + 24 + •. . (use divis.)
x 7.
+ •..
(l - x ) (l .. X 1)
ln (l ... x )
2+ x
En l oS siguientes ejercicios se def ine una f unci 6n f por U"\a
potencias . Encont rar el OCminio de f .
• ,!' .~ ,/' f( x ) ;; ¿ 9. f( x )
,.,1 n' Iñ'
f (x l . ~ (_ll n- l x2n- 1 11. f (x) - ~ (x - 1, n
n .. 1 (2n - 1) ! n 3
serie de
III. En los s i guientes ejercicios calcular el valor de la :1ntegral dada a: 4
cifras decimü es usancb series .
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SUCESIONES Y SUIES
u.
13.
14.
(x' ); dx
O
f 1/4
g(x)dx , donde
O
9(X)
7.6 SERIE DE TAYLOR
44'
R. 0 . 7469
. { !!<Ctg, X X
• X " O
, x f. O
R. 0.2493
¡ eX _ 1
.. 1 x. si
si xf.O
Ro 1. 3179
tna funci6n definida por una serie de pote~ias ¡:osee derivadas de to
cDs los 6rdenes, que se puodeo obtener derivando l a serie de potencias té~
no a ténnino de acueró::> al teroema anteri or.
si f (x) = ~ ~ (x - e) k tiene caro ó:::minio un intervalo abierto que con
tiene 'a e, entonces.
'" x-1 f' (x) ., ¿ ~(x - e) , x-1
fIn) (x) .. ~ k(k - 1)
'5' x-2 f"(xl .. ~ k(k - 1)ak (x - e)
x-n •.. (k-n+1)~(x -e)
, yen~
la fun;:i6n f Y sus derivadas tienen todas el misrro radio de convergencia de
acuerdo con el teorema de derivadas de series, Al evaluar la fwx:ioo f y
sus derivadas en el núrero e . abtenerros:
en) f (e) ., ~ • f' (e) - al ' ríe ) .. 2az ' yen gereral f (e) .. n!a
n
'-1 • • fIn) (el "'" n n! ' . , para cada entero p:>Sitivo n , y la serie de potencias que
representa a f estA dada por:
f(xl = f(e) + f' (el (x - el +~ (x - e)2 +
" (n) n
+ f (el Ix - e) + n!
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448 C'ALCUIJ) 111
Definición 13 . - La serie de ¡:otencias que representa a la funci6n f dac'.a por
((x) .. fle)" f ' (e)(.,. - el" f;fC) (x - e1 2 ..... +
se ÓE!nO'I'\i.nA serie de Taylor de f alrededor de c.
fIn) (e) n: (x_e)" • •.•
Definiciún 14 .- Si e .. O. obtet'Cl!OS la siguiente serie de l'.aclaurin para
f(x)
f(x) .. f(O) + f ' (O)x .. f;~O) .,.2 fIn) (O) ... - . + n !
n x +
Obseroaddn lO. _ A veces se dice que la serie de Taylor de una funci6n f
en b: - el, es el desarrollo en serie de Taylor de la función f en tor
no a e y que la serie de M:lclauri."1. de una funciOn f es e l desarrollo en
serie de Mac1aurin de la funcibn f al.reóeOOr del ori9f!l'\.
E;empkJ 55,- Encuentre la serie de /o'.<I::laudn para eX.
Soluci6n:
(n) x entonces f (x) '" e para cada n. Por tanto fIn) (O) .. 1
y la serie de Maclaurtn para eX es la siguiente .
Ejemplo 56 - Encontrar la serie de Maclaur1n para sen x.
Soluci6n :
Si f(x) - sen x, entonces f (O) .. O Y
f ' (x) '" ces x , entonces f ' (O) .. 1
f" (x) - - sen x
f" ' (xl • - cos x
" ) f (x) - sen x
etc .• as1.
f" (O) - O
f "' (O) .. - 1
fU) (O) .. O
(_l)n x2n+l
(2n" 1) :
E/empw 57 - Encuentre la serie de 'I'aylor para In x en potencias de x - 1
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SUCESIONES Y SERIES
Solución, Si f(x) = ln x entoncc.s f(l) '" O
f' (x) 1 x
f'(1) =1
f"(x) 1
f"(l) '" - 1 x'
f'" (x) 2
x' f'" (1) = 2 Y en gener al
n f(o+1) (x) '" (-1) n : entonces f(0+1) (1) '" (_1)n n : ".,
x
La serie de Taylor para ln x tiene entonces la forma :
449
ln x =(x-1) (x_l)2 ... 2
(x -3
1 ) ¡ + .. ' ...
n-1 n (-1 ) (x - 1) + ..
n
-'2'. ~1
Esta serie converge para cada x del intervalo ( 0,2J Y di verge en cual -
quier otra parte.
Ejemplo 58 - COnsidereros la funci6n f(x l = (l ... x)a , donde a es arbit r a
rio y calculenos su serie de lo'..ac1audn. llicont rararos que la k-és.iJna deri-
vada de f esU dada por : r(k) (x ) = ata - 1) •. • (a - k + 1) (1 + x)a-k.
Por tanto, la serie de Maclaur1n para ésta funcioo llamada la hM.(.e b.inom{.a.(
est§. dada por :
(1 ... x )a = 1 + ax + a{a - 1)
" + a la - 1) .. • (a - n + 1) ,(' + .. .
n' ~ __ ~ r. aea - 1) • • . Ca - k + 1) ........ .lUe """"k" k: ' k = 1,2 ...
La serie b1.nani.al es f inita si y 0010 si ~ es un entero no negativo; p:de -
!!OS eocontrar el radio de o:mvergencia de la seri e binanial aplicando e l
criterio de la raz6n, esto es
=1<ro - I ~ ~ ~ I lxl '" Ixl
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CALCULO DI
y la 5er~e es convergente si Ix' 1 Y divo si Ixl > 1
Por lo tanto, su radio de C'01'lVerge. es l.
f.l)tese qUo_ Ja UX!_'resi6n p.'lra la funci(·n (b + xl a plcae obtercrse factori-
7.arrlo el nÚ'rl':"ro b y as1 reduclerri'J la c:<presiÓl'l a la fonna (l + xl a .
Podaros por ejaTll1o, escribir /9 + x'. 3h + ~' Y apliC<lr entonces la serie
x b1ncrni~l ree-:p1azando x por '9
Ejemplo59 • En~ntre la expansi6n en serie de potel'lCias de ~
Solución: Usariio la serie binan:i.al con a - i tereros
.Ii'"+'X' - 1 + 1 .!( ! - 1) ~ ( _,1 - 1l . _. ( I - n+1)xn
, x + -~'---l'fc---x~ + •.. +_L--''---_'''_-'-____ + ...
• 1
~ 2: n~
1 +2 x + ... +
(-1) n+l 1. 3. _ . (2n - 3) n Ir - x
2 n!
_(~-~1~)k_+_l_~1~.3p.~.~.~¡2~k~--C3~) k i x ,s 2k k!
Ixl < 1
Eicmplo 60 - Encuentre la expms100 en sene de lo (x + .Il+)(Y)
Soluci6n:
S1 f(x). ln(x + ~l , antooce¡; f ' (x) 1
+ .•
1..s1 para enc::cntrar la Clq)anSi6n en expanslbn en serie de (1 + t 2 )-11 1
5C:."ie de f, sólo neoc.sita'TOS eno:mtrar la
e integrarla té:rm:i.J'x) a Uinnino . -bsa.'ldo
la serie binClnia1 tenmos:
Por tanto:
1 " , + -1:.:.2. e 2 2 . 2
+ • _. +
+ (_ll n 1.3 . __ (2~ - 1) . t2n + . __ , s i t 2 < 1
2nn:
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SUCESIO NES Y SERIES
x r 1 dt-x
JO~ x'
- 2':1" +
+ (_l)n 1. 3 . . . {2n - l) in+l
2n
(2n + l)n:
451
+ • • . +
si Ixl < 1
Ejempw 61 - Usar la serie bironial para encontrar una expansi6n de la fun
ci6n L (x) "'- arcsen x en potencias de x . r::etenn:inar el radio de convergen
cia .
Solución ; Tenerros:'
f' (x) .. _-.!l __ .. (1 _ X2 )- 1 / 2 '" 1 + x2+ 3x~ + 15x' "2 8 4S" + . . . ,para Ixl < 1
h-:i • (x 1 dt=x+
J~~ O
f(x)
El radio de convergenci a es r .. 1
x' 3 - + - x~ 6 40
( ;: ) 2n+l
2n + 1 para Ixl < 1
de )( 2 _1
Ejemp!() 62 - Encontrar una expansién en serie infinita e ,y e~
cificar el intervalo de convergencia de la serie .
Solución: Tenerros:
x e - 1
"n +- + n' . .• , Y x ElR
x2n + __ + ••• ),<klnde r "''''' n:
Ejempw 63 Encontrar una serie de potencias de x que sea coo.vergente a la
tunciOn _-='-=-~x_ 1 x + X2
y det:elJlL.i.nar el radio de convergencia.
Solución: Tenerros :
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CALCULO IU
1 - x (1 - xl (1 + xl
1-x+x'
.1 - X2 _ x' + x~ + x' - x· - x ' + Xii + x ll -t . .. ,Y Ixl < 1
LIEgo r '" 1
EJERCICJOS
I. En cada uno de los siguientes ejercicios encontrar la serie óe ¡.:ctencias
para las funciones dadru>. Exibir el radio de convergencia .
1. ln (x + 1) en p:¡t.~ias óe x - 1
2. IX' en potencias de x - 4
R. 1 ~ 2 + 4 (x - 4) + 2 ~
~l n (-1) 1. 3.5 •. . (2n - 3) (x - 4)
2. 4.6 •. . (2n) 4n
,. cos x en ¡xltencias de • x - '1 '
1(X_TT)2+ 1~(x_.!)1+ r ! n 3
+ 2 • l' 48 ( x - ]" + •. • ,
•• sen 2 x en potencias de x R. ~~ ¡_1¡n-1(2x¡2n
(2n) !
S"". Gerl1X - i (1 - cos >Xl
" 2n (x _ .! ) n
5. tag x en potencias de • R. ~ • x - - n! • 6. ln j x I en potencias de x + 1 R. -~ (x + l} n
r • 1 n
~ in+1
7. senh x en pot;encias de x R. (2n + 1) :
~ 2n
coro x en potencias de x x B, R. (2n) !
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SUCESIONES Y SERlES
•• 1 - OOS x
en ~ias de x ~ (_I)n+l x2n-l
x R. (2n ) : '" -10. ",' 15x1 + 2Ox: - 10x + 14 en potenc.ias Qe x + 1
R. 63 - 111(x + 1) + 89(x + 1 ); - 31(x + 1)1 + 4(x + 1)'
ll . oos'x e., ¡;otencias de x 12. x
2 en potencias de x
13. (1 _ x) ~1 + 2x) en potencias de x R. ~ (1 +
SUg: des<:X:rlp:niendo en tracd.aJeS parciales tenenos:
n 0+1 n (-1) 2 )x
f (x) 1 2 ~ n ~ .---+. 2 . x ... 2 1-x 1+ x
X" ~
14.. Xl - 2x l - 5x - 2 en potenciAS de x + 4
R. - 78 + 59 (x + 4) - 14 (x + 4) 1 + (x + 4) J , r . ...
15. 1 i en potencias de x - 1 R. ~ (_ljn(x - l)n (O < x < 2)
16. 1
x' en potencias de x + 1 R. ~ (n+l) (x+l)n, (-2<x< · 0)
1 17. -,--'--
x 1 +3x+2 en potencias de x + 4
R. ~ (2-n-l_ 3-n-l)(x +
18. senJx en potenciAS de x,
n 4) , (-6 < x < - 2)
''''' x
use la serie bi.naniA1 p.ua encontrar expansiooes de las siguientes funcia'leS
en potencias de x. DeteJ:Jninar los radios de ccnvergencia.
19. 1
20. x 21. (1 + 2xl-1 22. ~
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<fH C.UCULO ni
23. x(4 _ xl"¡
R.
24. 1
.4.6 + x~
R.
25. ln(~- xl
26. =x R.
"-1 arcsen ( - ) x R.
2b. Muestre que : , arcsen x .. x + - x,
l
• ,~
=~
'n 3.1.3 .5 ... {20 - 5)x , 3(0-1) , n.
r = 4
--=,~. lc.,,'exc'7' + 3: .2 ' .16 '
r - ,
' n I n
( ! 1 x
(~212nH 0+ 1
• .. 4rCXXlS X .. 2" -
r - 1
~x
220(0!) ~x2n+l (20 + 1)!
J\p["OJdrnar cada uno de las siguientes integrales definidas; aprox.úraó:::¡ 11 <f
cifras decimales.
".
31.
R.. 0.0.:15
J~lx)dx. ébn;je g (xl ..
O
1/ 4
JO.
six "l O
s i X " O
". f rxsen x dx R. 0 . 0124 33 .
34. f' sen (x2
) dx
O
R. 0.21372 35 .
• 36. ~ 111. serie ~ + ;- +
4~3 +_x __ + c::.... Deri\e. 4n _ 3 . . • ---:ro
R. 0. 0048
R. 0.2397
R. 0.23385
R. 1: 11039
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SUCESIONES Y SIRIES
R.. S' (xl" 1 + x~ + •.. + x 4n-4 + . .. " 1 1 - x"
.~ +! [_l-.-l_J l +xz 4 ,l-x l+x
1 1 1 + x S(xl .. ~ arctag X + 4ln (~1
37. Sute la serie: e- x + 2e-P + •.• + ne-nx +
sugerenciaM: integre
38. CaJprcbar la representacil5n en series de p:>t:encias de x de las Sigui~
tes series.
al ~ .i Ixl < 1
bl 2; n'xn .. " + lIx' + llxt + x .1 Ixl < 1 ~1 (1 - xl '
• i nH .. i [ (x2 + l larctq x - x] el ~ (_lln (2n - 1) (2n + 1)
MlSCELANLA
1. al Sup6ng'ase que f es creciente sobre [1 + 00 )
Denostrar qt:e:
f{l) + •.• + fin - 11 < J;(:x)dx < f( 21 + ... + fIn) 1
b) Elljase o!Ih:Ir a f (x ) >& In x y dmuestre que
nH nn>l (n + 1) <--",-:;:"
n ~1 e e
ry;? 1 Se sigue que 11m __ o - -
n- n e
Este resultado indica que 'Yñi' es aproxinadarente n/e, en el sentido de
que la re1aci6n entre estas 00s cantidades tiende hacia 1 para n grande.
Solución:
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.56
al Al ser f Cre<:l.Blta
i"'l
tli) < J f(x)dx < f(i + 1 ) , slJMido estas desigual&des para
i - 1,2 , .. .• n - 1, tcne:!rDs :
f:(Xldx ... I
f(l) + ..• -+ f(n-l) <
... Jnf(Xldx < f(2) ... 0._ ... fIn)
,-1
y
f(l) .... . . + fIn - 1) < f;¡Xlc]x < f(2¡ ..... . + fIn) 1
b) Por la parte (a) tenenos:
2 3 ,
m I l) ... . ..... ln (n - 1) < f~,n x dx < ln(2) ...... + m (n)
ln[(n - l):J < n l.n(n) - n + 1 < lIl(n!)
1n[In - l) ! ] < mlnn) - !n(en ) ... mee) < ln{n!)
(n - 1) : < ~ < n' en-l . (por ser furci6n lr. x c::reciente)
/\Si pues: (n ... 1)rH-1 nntl
< n: <-"'-"-~- <--n n- 1 e e
De esta desigualdad tenem::>S:
n1'"';1 1 --:;~I_<_"_~_'o < ,='=",
e ~ " !reTt-l'
11m _ _ 1_ _ O • 11m 1 • Entonces
rr- n - 1 "....., kn-l' e'
nre 1"" _-.1_ "'_0 • O
n
CALCULO Il1
i i+ l
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SUCESKlNES y SERIES
2. Este prcb1ema investiga para CI..lAles x > O. tiene sentido el smtolo xXX' a (x)
En otras palabras, 51 dcfinilros a) (x) ,. x, an+l (x) '" x n ¿CU6ndo
existe b(x) • 11m a (x)? - n
al Derrostrar que 51 existe b(x) , b(x)
entonces x '" b (x)
b) Segíln la parte (a), si existe b{x) , entonces x puede escr:iblrse en
la fODM yl/Y para alg{in y. reducir que O ( x'" el/e.
Indicaei6n: CCnsiderar la grMica de f(y),..!:::...z y
e) SupOOga5e, a' la inversa. que O < x < el/e. Oen'Dstrar que cada
a (x) < e, puesto que {a (x)) es clarwente creciente, esto derrues-n n
tra que b(x) existe.
d} Hallar b(lT) Y bCel/e}
e) Oennstrar que b es derivable sOOre ( 0, el/e ) y hallar una f6nru
la para b' (x) en ténninos de b(x) •
Soluci6n
al
(l1m an
Ix») ,p (x) '" r ,. llm xan (xl '" 11m a (xl" b (x)
nH
- 1 -El valor nWdm::> de Y l/y _ eyurt se alcanza cuanOO es rn.birro ~, que... bl
es e.
e) EstA claro que al (x) -- x " e. Si a (x) "e, n
~l (x) - xAnlx) oC;, tel/e)e < e
d) b(,tT) .. 2, ya que (n)1_2¡b(el/e)_e
e) la parte (a) hace ver que si x_l/Y, entooces b(xl .. Y
La ccndici6n x '" llY equivale a ln x _
- 1 en la forlM b (x) • f Un xl
As1 pues, b es derivable en ( O, el/e) y
lo y Y
estopuede~
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pot.
com
", 1
b' (x) " - -o_TI'--f' (f (ln xl)
.!. '" 1 x xf ' (b(x)
3. S~ngallOs que ( (!S continua }' q u<> la sucesioo:
x, t(x), t(t(x), f(f(f(x))) , .. . converge hacla l.
I:erostrar que l es un punto fij o para r, es decir f(.t) a l
Solución :
CA LCULO In
l):)si~ al valor ,f ( f(f. .. !(xl . . . )), por t(xl. entonces por el teorero de
k-veces
funclones CX)Iltinuas te."lE!IlDS:
f ( i ) • f (l1m (t¡x)) • 11m f{fk) (x)) • 11m f (k+l l (x) .. !
4. al Sea {~) una suc:esi6n de enLcros con O <: ~ O;;; 9. Denostrar qte:
a 100-1 e.xiste (y est.á en:.re O }' 1) n
O";x <' 1.
o .... a O;;; 9 n
OCm::>str.u- que existe una su::esioo de ente-
• y 23 a 10- n • x ~l n
el IAm>strar que si la ) se repite, es decir, es óe la forma n
<!II J , aa · · .. • ~. al' iIl1• · · · ~ , al ' i1!1 2, · · ·, "k ' entcnces
~ ~ 10 -n es un n!in= racional (y hallarlo)
d) De!l'Dstrar que si ,¿; -n
x • ~ a le- es r aci onal , entonces Ir; 1 se repi-n=l n n
te eventualrrente .
Soluci6n :
b) DefinMos tan) de manera 1ndoctiva COlO sigue;
a, • (lOx]
an - 110nx - (100-1 a + o •• + lOa JI , ~1
Para cada n tencm:>s :
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SUCESIONES Y SERIES
n-l (lO al + .. . + 10an-
1 ) - a < 1
n
(por óef1nici6n de lr.'ixino entero) (XX'l lo qw
0<' 10n+l,¡ - (lOna , + . . . + 10 2 a -+ lOa) < 10 (*) n- l n
y po:- l o que O'" an+l "9 para cada n. AdarAs partienó:l de (*) :
O'" x - (al 10- 1 + 11210-
2 -+ • • • + lO-n a
n) < 10-n 0CI1 lo que
k el Sea a '" 10 al + + 10~_1 + ~
-n Cl' ce a 10 ----x +~+~+
10 10 10
a - --X 10 + ··l -
d} El nÚlero a de la parte (b) satisface: n .
s.
n O <. ~ - (lOn-l ", + •.. + 1011 1 + a ) < 1
q n- n
O<r<q- l
En este caso
en la forma k + E Conde k es un entero y q
Puesto ql.E existen a lo suro q fracx::io -
nes distintas !., t endrlí. que haber ciertos ro y n cal ro > n y q
~1 " [l~r] .. ~l' Es fácil ver que tendrelros entonces
an+2 .. am+2 ' etc.
se dem.lestra que
di,."".
Solución
Elijanos 6 ) O de m:do que; , 1f 11)
Isen xl ~ j en ( kll + ¿ - 0 , k1l + '! + 6
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· .. t::ALCU LO 1U
, dx ~ --ce ,
b + 2" al $el: divergente la serie
.i: _-.:'-,;- . l o rniSllO ccurre OXI. la integral k=l k1l -+ 'i
6. Dcsan'ollar l as siguientes fW'ICiores en series de T~lor centradas en
los puntos jndicados. Det.eIminar el radio ele a:nVElr1]CtlCia en caóa caso.
,.
. ) J' - t ' e dt , X " O
O
i~(t2 )dt , X " O
b)
J"'l - a::s t d t ,
O t'
k- 1, 2, 3, .. .
Denoatrar que
- 1-11n
x "'" R. ~ n : (3n -+ ,)
O e) LXe~- 1 dt • X " O
• (_1)k+1 x2k-1 > - O R. ~ ... , (1k: ) ¡¿k - 1)
1 , " - '2,B1 '"6 '
, B~ -- )O '
donle los coeficiantes
S ,se; definen caro en el eJercici o (7) anterior .
9. Di ga. cuales de l os s iguientes enunci llÓ')S son verdaderas (V) y cW.les
son falsos (F) .
a) Si ~ lln - O , en~ la serie . ti ~ c::mvcrqe a la. SIml. S.
b l La sed ... positiV<l ~ '\: COllVert;¡C si la s w::esi&\ ~ suws prarciA_ ... , les {Sn) es~.
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SUCES)()NES y SElUES ... el Ula serie positiva conwrge a la miSlla suma orden<U'do sus t~rminos
de cualquier manera.
d) La seri e :;8 (_llk-l
k-1 a¡.. es convergente si 11m -
el La ser ie ~ ~ es absolutarrcnte convergente si
11m 1 .!I:;-l I .. L, L;;' 1
~ " 10 . ¿cu&.1 de las siguientes series es COffi'.?
- - -¿; 1 b) :¿ 1 e ) ~_'_ a )
~1 " ~1 Iñ' rFl n' rn
d) ~ --"- R. tedas son divergentes 2n - 1
1lo con el criterio de la integral detertrúne . ¿MI de las series si9Ui~
t es es diverqente?
"" ~ -1 1
~ n~ a ) 2., n(n -+ 1) b) e)
~1 4nl _ 1
- - 1 d) ~
ln(n) e) ~ " " ' + 1
12. ¿C'uS.l de las series siguientes es divergente?
a) b ) e)
P_ Ninguna de las series anteriores diverge.
13.: ¿C'uS.les de las series que siguen es . oonvergente?
- (_l)n-l ! - (_lln-l 1 a) ~ b) e n(n -+ 1 )
" "-1 - 2n - 1 e) ¡;;f (_l)n-l _ , __ d) ¡;;f (_l)n- l
~ ," R. Todas son convergentes
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46' CALCULO m
14. ¿aJál de las series siguientes es a:o:liciona1.rrente convergente?
~ • ., (_1jfl-l J ti ¿ (_ljn-l 'n - 1
~1 n(n + JI
~1 ,n
. ~ •
el {_l)rr--l _ '_ di ¿: (_1)n-1 1
~1 i n- 1 ~1 .I2ñ"7?
el , p > 1
15. El intervalo de oonvergenc::ia de la serie:
al -1 < x ';;; 1 b) - 1 "' x <1 el -1< x "'1
d) - 1 < x < 1 e l rú.ngUnO de éstos
16. El intervalo de COI'lVergencia de la serie; ií n- 1 x ~,
al 1 <x"'1 bl -1 "' x < 1 el - 1<x<1
di 1 <x<1 e l ningw10 de éstos
11. El intervalo de convergencia de lz serie
al X " O bj( - oo . + ", ) cl( - oo , O]¡
dl [O , + '" ) el n1n~
18. El intervalo de =nvergencia de la serie de potencias
alO<x<2 b) 0 "' x<2 elO<x<2
d) x<O y x>2 el ningw1a de éstas
19. ¿cus.l de las siguientes aseveraciones es falsa?
si 1 x I < r, r es el radio de OJl\\.~rgencia.
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SUCESlONES y SDUES \"'!
20.
b) si ~ ~ xk oonverge absol~, entonces
el
dl
el
~ '\ ~k converge absohr...anente para caCa nCrtero ~ tal que
k- IZI < Ixl
si ~ tiere intervalo de convergencia [-r,r) , entonces
la serie ~ ~ (x - el k tiene el rn1.sno intervalo de ClOrl\I'ergeI'lia.
Las series ~ convergencia.
~ k-1 Y ~ ~ x tienen el miSll'O radio de
t ienen el miSllD radio de
IX'- 1 1l
1 Ix - 1) '+ y detenn1nar el in-I'bstrar q¡:e l+'2(x- - ¡¡
tervalo de ~ia. .. O < x <2
RespUeStas a los problanas 10 • ". l O.e 11.d 12.e 13.e 14 .d 15 •• 16.d 17.b 18.e 19.c
n 21. se da la n-AsilM SI.ITIa parcial de una serie infinita Sn" 2'ñ'+1
Encuentre la serie, detenninar 1o"U convergencia o divezgencia y en caso
de coovergencia determinar la SUJI!!..
s"'. a - S - S para n > 1 entonces la serie es n n n-l
_-:"n' __ S •
n n 2 + 1
&nc:x:I'Itrar la serie, dete.rminar su convergencia o divergencia, y de ser
rorwergente hallar lru 5mB..
R. 2l< - 1 converge a l.
(k' - 2k + 2) (k a + 1 )
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... CALCULO ID
23. D3t.errninar si la serie es COI1'\ .. ergente o divergente , en caso
R. 2e
~ n l + n2 + 1 24. Detemdnar s1 la serie ~ r, : es convergente o divergente,
en caso que sea convergente deteminar su suma . R. Se - 1
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