Método de sustitución trigonométrica -...

MB0005_M2AA1L2_Sustitución Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

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Método de sustitución trigonométrica

Por: Sandra Elvia Pérez El método de sustitución trigonométrica se utiliza cuando las integrales directas de expresiones racionales no se pueden aplicar porque no tienen todos los elementos para usarlas, ¿las recuerdas?

Causen

uadu

+∫ =−

−1

22

Cau

aauudu

+∫ =−

−1

22sec1

Cauuau

du+±+=

±∫ 22

22ln

Para ello, utilizas como base el teorema de Pitágoras y las relacionas con las identidades trigonométricas correspondientes a través de las fórmulas que se muestran en la tabla 1:

Caso I Caso II Caso III

22 xa − 22 xa + 22 ax −

θasenx =

θcos22 axa =−

θtanax =

θsec22 axa =+

θsecax =

θtan22 aax =−

Tabla1. Casos del método de integración por sustitución trigonométrica.

22 xa −

a xθ

xaθ

22 xa +x

aθ

22 ax −


2


A continuación se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo 1 Encuentra la integral de

∫+ 42xx

dx

Solución Primero debes identificar si se puede resolver por una integral directa. Observa las tres fórmulas directas y trata de relacionarla con una de ellas, tal vez podrías pensar que se puede resolver por:

Pero esta fórmula no la puedes usar porque tiene en la raíz cuadrada un signo negativo. Tal vez pensaste en la siguiente fórmula:

Pero a pesar de que en esta fórmula se puede usar el signo positivo, la integral a resolver tiene una x fuera del radical. Por todo esto, puedes definir que no es posible resolverla de forma directa y necesitas del método de integración de sustitución trigonométrica.

Ahora el problema es identificar de qué caso se está hablando. ¿Cómo puedes identificarlo?

Observa la raíz que se encuentra en el denominador de la integral 42 +x . Ahora analiza la información de la tabla 2, donde se encuentran los tres casos. ¿Ya identificaste a qué caso corresponde?


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Caso II 22 xa +

θtanax =

θsec22 axa =+ Tabla 2. Caso II.

En el caso II, los dos términos dentro del radical son positivos.

∫+ 42xx

dx

Ahora, con base en la integral, determina las sustituciones que debes realizar. Recuerda que en la

suma no importa qué término se encuentre primero. De esta forma tienes que la constante es 242

=

=

aa

Del formulario defines que:

θ

θ

sec24

tan22 =+

=

x

x

A este método se le denomina sustitución trigonométrica, debido a que para poder hacer una simplificación de la integral lo que vas a hacer es sustituir sus valores para convertirla en una integral trigonométrica, la cual se pueda resolver por las integrales directas y después tendrás que regresarla a su forma algebraica.

x

aθ

22 xa +


4


∫+ 42xx

dx

ϑ

ϑ

sec24

tan22 =+

=

x

x

El formulario proporciona los elementos anteriores, pero la fórmula requiere del dx , por lo que es necesario calcularlo a partir del valor de x .

θθ

θ

ddxx

2sec2tan2

=

=

Ahora tienes todos los elementos para sustituir en la integral:

∫∫ ⋅=

+ θθ

θθ

sec2tan2sec2

4

2

2

d

xxdx

Observa que tanto en el numerador como en el denominador se tiene θsec2 , por lo que se puede simplificar la integral como sigue:

∫∫∫ =⋅

=+ θ

θθ

θθ

θθ

tan2sec

sec2tan2sec2

4

2

2

dd

xxdx

Ahora tienes una integral trigonométrica que resolver, sin embargo, debes hacer uso de las

identidades trigonométricas, como son: 1seccos =AA y A

senAAcos

tan =


5


Sustituyendo las identidades en la integral:

θ

θθθ

θ

θθd

send

∫∫ =⋅

cos

cos1

21

tan2sec

Realizando extremos por extremos y medios por medios y simplificando:

∫∫∫ =⋅

⋅=

θθ

θθθθ

θ

θθθ

send

sendd

sen 21

coscos

21

cos

cos1

21

Todavía no existe una integral directa, por lo que se requiere sustituir por la identidad trigonométrica:

θθ

sen1csc =

∫∫ = θθθθ d

send csc

21

21

Observa que la integral de ∫ θθdcsc21 es directa, por lo que ahora puedes aplicar la fórmula:

∫ +−= Cuuudu )cotln(csccsc

∫ +−= Cd )cotln(csc21csc

21

θθθθ

Cxxdx

+−=+∫ )cotln(csc

21

42θθ

Hasta este momento se ha resuelto la integral, pero no es el resultado final porque se requiere que se vuelva a su forma algebraica. Para ello, te puedes apoyar en el triángulo y el teorema de Pitágoras.


6


Caso II

42 +x

θtan2=x

θsec42 ax =+

Observa que se están sustituyendo los valores de la integral en el triángulo del caso II, con el cual estás resolviendo la ecuación.

Tabla 3. Caso II.

Con base en este triángulo, las funciones trigonométricas cosecante y cotangente son:

24

.csc

2 +==

xadyacentechipotenusa

θ y xopuestoc

adyacentec 2..

cot ==θ

Sustituyendo estos valores en el resultado de la integral, tienes la solución de la integral expresada en forma algebraica:

Cx

xCxxdx

+

−

+=+−=

+∫2

24ln

21)cotln(csc

21

4

2

2θθ

Como puedes darte cuenta, aplicar este método de integración permite simplificar la integral, pero es importante que no olvides regresar el resultado a su forma original. Ejemplo 2

Encuentra la integral de ( )∫

− 23225 x

dx

Solución Primero tienes que identificar si se puede resolver por una integral directa, luego observa las fórmulas directas y trata de relacionarla con una de ellas. Tal vez puedes pensar que se puede resolver como:

x

2θ

42 +x


7


Cnuduun

n ++

=∫+

1

1

Sin embargo, a pesar de que ( )

( ) dxxx

dx 23

2

232

2525

−

∫∫ −=−

si

( )xdxduxu

225 2

−=

−=

En este caso no puedes completar con una variable x , por ello transformas el exponente fraccionario a un radical y aplicas el método de sustitución trigonométrica.

( ) ( ) ( )∫∫∫−

=−

=−

32322

32 252525 x

dx

x

dx

x

dx

Ahora el problema es identificar de qué caso se está hablando, pero ¿cómo puedes hacerlo?

Observa la raíz que se encuentra en el denominador de la integral 225 x− , ahora ve la tabla 4, donde se encuentran los tres casos. ¿Ya identificaste a qué caso corresponde?

Caso I 22 xa −

θasenx =

θcos22 axa =− Tabla 4. Caso I.

En el caso I, la variable al cuadrado es negativa.

( ) ( )∫∫−

=−

322

32 2525 x

dx

x

dx

22 xa −

a

θ

x


8


Ahora, con base en la integral, determina las sustituciones que debes realizar:

5252

=

=

aa

Del formulario, defines que:

θ

θ

cos525

52 =−

=

x

senx

Calcula el valor de dx con base en el valor de θsenx 5= , por lo tanto,

θθ ddx cos5= Ahora tienes todos los elementos para sustituir en la integral:

( ) ( ) ( )∫∫∫ =−

=−

3322

32 cos5cos5

2525 θ

θθ d

x

dx

x

dx

Observa que la raíz se encuentra elevada al cubo, por lo tanto, la función trigonométrica que se sustituye queda elevada al cubo y como en el denominador se encuentra la misma función, se puede simplificar de tal forma que la función queda elevada al cuadrado.

( ) ( ) ∫∫∫ ==θ

θθθ

θ

θθ223 cos25cos5cos5

cos5 ddd


9


El 251

se puede sacar de la raíz quedando:

∫∫ =θ

θθ

θ22 cos25

1cos25

dd

Observa que no existe una fórmula de integración directa, por lo que será necesario hacer uso de las identidades trigonométricas, en este caso 1seccos =AA . Al despejar esta identidad tendrás

AA

cos1sec = . Si elevas ambos miembros de la identidad, la relación se mantiene

AA 2

2

cos1sec = ,

por lo tanto, puedes sustituir la identidad en la integral como sigue:

θθθθθ

θθ

θ dddd∫∫∫∫ === 2

222 sec251

cos1

251

cos251

cos25

Observa que ahora puedes aplicar la fórmula de integración directa Cuduu +=∫ tansec2

Cd +=∫ θθθ tan251sec

251 2

Hasta este momento se ha calculado la integral, pero no es el resultado final. Ahora se requiere que se vuelva a su forma algebraica y para ello, puedes apoyarte en el triángulo y el teorema de Pitágoras.

Caso I 225 x−

θsenx 5=

θcos525 2 =− x

Tabla 5. Caso I.

225 x−

5θ

x


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Con base en este triángulo, la función trigonométrica tangente es:

225.

.tan

xx

adyacentecopuestoc

−==θ

Sustituyendo la función en el resultado de la integral, tienes:

Cx

xCx

xCd +−

=+−

⋅=+=∫ 22

2

252525251tan

251sec

251

θθθ

Por lo tanto:

( )C

xx

x

dx+

−=

−∫ 22

32 252525

Como puedes darte cuenta, aplicar este método de integración permite simplificar la integral, pero es importante que no olvides regresar el resultado a su forma original.

Ejemplo 3

Encuentra la integral de ∫−922 xx

dx

Solución Primero debes identificar si se puede resolver por una integral directa. Observa las fórmulas directas y trata de relacionarla con una de ellas. Tal vez pienses que se puede resolver como:


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Sin embargo, observa que la integral ∫−922 xx

dx , la variable que se encuentra fuera de la integral

está elevada al cuadrado y en la fórmula no, por lo que será necesario aplicar el método de sustitución trigonométrica. Comienza por identificar el caso con el cual debes resolver el problema. ¿Ya lo tienes? Efectivamente, ahora vas a trabajar con el caso III.

Caso III 22 ax −

θsecax =

θtan22 aax =− Tabla 6. Caso III.

En el caso III, la constante al cuadrado es negativa, sin embargo, este valor solamente sirve como referencia para poder determinar de qué método se trata, así que el valor de a lo tomarás positivo.

∫−922 xx

dx

Ahora con base en la integral, determina las sustituciones que debes realizar:

392

=

=

aa

Del formulario defines que:

θ

θ

tan39

sec32 =−

=

x

x

Calcula el valor de dx con base en el valor de θsec3=x , por lo tanto:

θθθ ddx sectan3=

x

aθ

22 ax −


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Ahora tienes todos los elementos para sustituir en la integral:

( ) ( )∫∫⋅

=− θθ

θθθ

tan3sec3sectan3

9222

d

xxdx

Observa que tanto en el numerador como en el denominador se repiten las funciones θθ sectan3 , por lo tanto, la integral se puede simplificar, quedando como sigue:

( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫ =⋅

=⋅

=− θ

θθθ

θθθ

θθ

θθθ

sec9tan3sec9sectan3

tan3sec3sectan3

92222

ddd

xxdx

El 91

se puede sacar de la raíz quedando:

∫∫ ==θθ

θθ

sec91

sec9dd

Observa que no existe una fórmula de integración directa, por lo que será necesario hacer uso de las identidades trigonométricas, en este caso 1seccos =AA . Al despejar esta identidad tendrás

AA

sec1cos = , por lo tanto, puedes sustituir la identidad en la integral como sigue:

∫∫ == θθθθ dd cos

91

sec91

Ahora puedes aplicar la fórmula de integración directa Csenuduu +=∫cos

Csend +=∫ θθθ91cos

91


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Recuerda que hasta este momento se ha resuelto la integral, pero no es el resultado final, porque se requiere que se vuelva a su forma algebraica y, para ello, puedes apoyarte en el triángulo y el teorema de Pitágoras.

Caso III

92 −x

θsec3=x

θtan392 =−x Tabla 7. Caso III.

Con base en este triángulo, la función trigonométrica tangente es:

xx

hipotenusaopuestoc

sen 9. 2 −==θ

Sustituyendo la función en el resultado de la integral tienes:

Cx

xCxxCsend

999

91

91cos

91 22 −

=+−

⋅=+=∫ θθθ

Por lo tanto, el resultado de la integral es:

Cx

xxxdx

+−

=−

∫ 99

9

2

22

Como puedes darte cuenta, aplicar este método de integración permite simplificar la integral pero es importante que no olvides regresar el resultado a su forma original.

x

3θ

92 −x


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Bibilografía

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.) México: Harla.

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; E. de Oteyza, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T. & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: Internacional Thomson Editores.

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