TEORICO . PRACfICO

MANUEL COVEÑAS NAQUICHE

l. 2. 3. 4 . 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11 . 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 3l. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 3B. 39. 40. 41.

INDICE

Numeración ....................................................................................... , ................ . Teoría de Conjuntos . •• . ... _ .. ........ __ ..... __ ......... __ ...... __ .... __ ._ .. . Series ... _ ......... , ............................ _ ............. _ ................................. _ ........................ . Teoria de Exponentes ......... n ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Sucesiones y Progresiones .. ..... ................... ....... .... . Ecuaciones Exponenciales ... ___ .......... __ Operadores Matemáticos ...... __ ..... __ ....... _____ .... ____ ... . Cripto Aritmético ..... ............................................................................................ . Trazos y Figuras .. ................... . ......................................................... , .. Angulos ..................................... ...................................................................... . Cuatro Operaciones ........................................................................................... .. Planteo de Ecuac;ones ...................................................................... .. Problemas sobre Edades ............................................................................... . Probtemas sobre Flelojes ............................................... . Cinemálica ......... ............................................................................................. . Surnatonas ..................................................... ....... ............................................. . Conteo de Figuras ................................................................................. : ............. .. Prot:rlemas sobre Cortes. Estacas y Pastillas ..................... ................. ............... .. Razones y Proporciones ........................... ....................................... .... .. ............. .. Promedios ........................................................ .................................................... .

~=::~=~~~~.~~~:::~:::::::::::::~:~::::: . ::::::~::::~::::::::::::::::::~::::::::::::~::::::::::::::::::: Fracciones ................... .... ... . .... ....... ................................. ................................... .. Porcentajes ................................ ......................................................................... .. Productos Notables ................................................................... .... .. ..... .... .. .. .. .... .. Valor Numérico ............................................................ .... .. ................................. .. ProblelTlas sobre Relaciones Familiares .. ........................................................... .. Test de Cuadro de Des;C¡ones ............................................................................ .. Ejes Coordenados ..................................................................... .......................... .. Razonamiento lógico Matemático ...................................................................... . Problemas sobre Rumbos o Direcciones ............................................................ .. Regla de Tres .••....•...........•.......•.. ....•. .....•.....•... ..••................•••............•....•............ Problemas sobre Orden de Información ....................... ...................................... .. Factorial de un Numero Natural ..... .... .. ........ ............................... ........... .... ......... .. Análisis Combinatorio ........................................................................................ .. Probabilidad ...................................................... ............................•....................... P«Xiudoria ............................. ........ ...................................................................... .. Relaciones y Funciones .......... ................... ............ .. ............................................ . Desigualdades e Inecuaciones ........................................................... _ ..... ......... .. . Valor Absoluto ...................................... .............................. ................................. . Escalas y Gráficos ..................................................................... .. ........................ .

Yl 37 69 99

103 129 }43

161 179 >87

_a05 .... .231

251 267 287 301 323

~ :s ª89 395 427 4ff7 479 487 490 4!i9 ~15

64Z BS7 SSl '!i!ll f¡97 611 621 625 643 663 669

42. 43. 44. 45. 46.

Logarilmos .................................... ............. ......................................................... . Evaluación o Descartes de Datos ..... . ..... . , ..... , ... . , ... . " ................................. .. Relaciones Métricas ... Areas y PerílT\elros .................................................................... .... ..................... . Exámenes Tipo Admisión ........ .. .. .. .... .. ..... .. ... .... . .......................... ...... . Examen 1 ... .. ....................................... ...... ....... ........... .. ... ........ .. ........................ . .. Examen 2 ....................... ...... ....... " ...... , ...... , .......... , ....... ,."., Examen 3 .................. .............................. .. Examen 4 .. __ ... .. ........................................... .. Examen 5 ............. ............................. ... ........... ... . Examen 6 ....... ..... .................. .... .. ....... .. .. .... ... ......... .... ..... ..... ................. . . Examen 7 ....................... ....... ... ... ............... ............ .. ...... ...... . , ................... , .... , ... . .. Examen 6 .. ... , .... , ............. .......... ........................ ....... ............. .. .... .. __ ......... ............ . Examen 9 ......... ..... .. .... .......... .............................. . Examen 1 O .. . , .... " .... , ...... ........... , ... ............ " .... ...... , ........... ............. ......... .. ... , .... ..

47. Psicotécntco .. .... ... .. ...... .

681 691 703 713 747 747 751 755 759 763 767 771 775 779 783 787

NUMERACION 1

• Numeración:

En vista de que la serie de los números naturales es ilimitada aparece como un problema muy difícil el dar nombre a cada número. Efectivamente: si a cada número se le da un nombre distinto aparece que para nombrar, por ejemplo los mil primeros números habra que inventar y aprender mil palabras distintas. Esto resulta casi imposible pero, además. ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos números que vienen a continuación de mil?

Además al hombre no sólo le es necesario nombrar los números, sino Que debe representarlos por símbolos adecuados. Pero, sin duda. el problema de encontrar un signo para representar cada número nos parece todavfa más dificil que el de encontrarle un nombre.

la teoria de la númeración enseña el modo de resolver estos dos problemas.

Un sistema de númeración es un conjunto de reglas que nos permite nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y 5;gn05 o cifras.

.. Base del sistema:

Al número fijo de unidades de un orden que se toman para fonnar una unidad del orden superior, se le llama base del sistema. En el sistema usual la base es diez, y lo explicamos en esta lección. luego explicaremos el sis­tema binario, cuya base es dos.

Observaciones:

{n :

abcd(o) O n : Base del s;stema

Es un número entero positivo mayor que 1

1 } ¡a < n abe jn) C> Se debe cumplir que: b < n C> :.( n > a ; bYC )

c < n

2}- -abcd( n} = efg( m) I 3} - -

aoc(.) - e!9ímj ~ ~

i 4 cifras 3 cifras

.. ( n<~J I Si : a<e ... o. [n<:m ) ~

.. El Sistema Decimal:

la palabra decimal viene del latín decem Que significa diez. nuestro sistema de escribir numerales para representar números se basa en agrupar de diez en diez y por eso se llama sistema decimal. Oecimos Que la base del sistema es diez o que es un sistema de base diez. Usando diez como base y la idea de valor posicional. no necesitamos más símbolos que los dígitos in.doarábigos para escribirnurnerales para cualquier numero cardinaL Por eso.llamamos numerales indoarábigo$ a los que usamos. A fin d~e repasar el sistema para escribir numerales, estudie el siguiente cuadro.

Base Diez

Analisis de un numeral Indoarábigo (En base diez}

Dígitos Decimales: 0,1 , 2,3, 4,5,6, 7, 8, 9

Representación Literal de los números:

'} ab: Cualquier número de 2 cilras o digijos. (10, 11 , 12, ...... , 98, 99}

Nota: El menor número de Jos cifras es ellO SI el mayor número de 2 cifras eS el 99.

") abc : Cualquier número de 3 cifras o dígitos. (100. 101 . 102 .. .. ...... 998, 999)

Nota: El me"or número de 3 cifras es el 100 JI el mayor número de 3 cifras es el 999 .

... ) 3abc: Cualquier número de 4 cifras Que empieza con la cifra 3.

1/1 Número Capicua: Es aquel número cuyos dígitos equidistantes de los extremos son iguales. es decir se leen igual por "ambos lados", veamos algunos ejemplos:

') aba : 101, 111. 121. 131 •.......... ..... ......... ....... ... .. .. . 202: 212, 222, 232, ... ..... ........ ... .................. ..

") abba : 1001, 1111. 1221 . 1331 . ..... .. ............... .. ; 2002, 2112. 2222, 2332, ..................... .. ............ .. ..

>F Valor Absoluto y Relativo de las Cifras:

1) Valor Absolulo de una Cifra.- Es elvaior que loma unacijra por la formaD fig..-a

'1) Valor Rela1ivo de una Cifra.- Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa en el número.

EjemPlo(j): I ValorAbsoluto=3

8326 l. Valor Relalivo = 300

• El Sistema Binario

Ejemplo ®: r Valor Absoluto = 5

65184 L Valor Relati~o = 5 000

En el sistema binario, agrupamos de dos en dos. Hoy en dia, las modernas computadoras electrónicas que utilizan el sistema binario (en base dos) y, en cierto modo también el sistema octal, han venido revolucionando la ciencia. Pueden completar en pocos minutos cálculos Que a un hombre le tomaría años.

El diagrama siguiente ayudará a comprender el sistema binario.

Base bos Dígitos Binarios: O, 1

~ Valores Posicionales

" ~ .<J Potencias de dos

1 <J Numeral en base dos

Base Diez 64 + 32 + O + 8 + 4 + O + 1 = 109

Nota: El, el sistema de 11úmeració/J decimal o de base diez se utilizan los dígitos de O a 9 para escribir los numera/es coftesponJientes a cualquier número cardinal. En el sistema binario o de base Jos, se necesUan únicamente Jos dígitos, O y J para escribir el numeral correslwluJielJte a cualquier número cardillal.

El simbolo 11 (2) se lee de la siguiente manera: "Uno uno en base dos" lo cual signffica un grupo de dos y uno más. (1'12.;1(2)' t')

El símbolo 101(2t se lee de la siguiente manera: "Uno cero uno en base dos" lo cual significa un grupo cuatro cerO grupo de dos y uno más.

(10" 2) ; 1(2)' t 0(2)' t , ; 1(4) + 0(2) + 1)

Observaciones:

t) En todo sistema de numeración se utiliza la cifra O.

11) La mayor cifra disponible en un sistema de numeración es el valor de la base menos uno.

Ejemplo: 324 La mayor cifra disponible es el 4, 15. - porque la base es 5.

abed La mayor cifra disponible puede ser In) ~ cualquiera de las cifras a, b, c, Ó d,

tomando el valor de (n - 1).

111) En los sistemas de numeración mayores que el de base 10, por convención se utilizan:

Principales sistemas de numeración:

Base Sistema Cifras Di sponibles

2 Binario O. 1 3

1I Ternario 0.1,2

4 11

Cuaternario O, " 2,3 5 Quinario 0,',2,3,4 6

11

Senario O. 1, 2, 3. 4, 5 7 Eplal O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 8 Oclal O. " 2, 3, 4, 5, 6, 7 9 n Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,6 10 Decimal O. 1, 2, 3, 4, 5,6,7. S, 9 11 Un decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 12 Duodecimal 0,1,2,3, 4, 5,6,7,8.9,10,11

.. Descomposición Polinómica de un Número:

Sea ,el número: N = abcd ..... .............. xyz(n)

"m"cifras

Descomponiendo polinómicamente se obtiene:

( N = a.nm ., + b.nm . 2 + e.nm • 3 + d·nm • 4 + =

• Descomponer polinómicamente un número es expresarlo como la suma de los Valores Relativos de cada una de sus cifras de dicho número.

Ejemplo (!): 4735 = 4 000 + 700 + 30+5 Q QQ.;)

4735 = 4xl03 + 7x102 + 3xl01 + 5

T 1IJ J T T J EJemplo®: 872(9) ~ 8_92 + 7-91

+ 2

Ejerr-p 3 2 5463(12) = 5-12 + 4-12 + 6-12 + 3

EJemplo@: -- 4 3 2 abcde n = a·n + b·n + e·n + d·n + e

Nota: Como se podrá observar en la descQmposjcjón /X'linQm;ca de un numero, el exponente Je la base e/e cada térmilJo es igual al número de CEras que quedan a la derecha de la cifra considerada.

Ejemplo:

.. Descomposición en Bloques:

Llamaremos "bloque" a un grupo de cifras, como lo veremos a continuación:

Sea; el número: abed; descomponiendolo polinómicamente se obtiene:

abcd = a_103 + b-10' + c-10 + d

abcd = ab -1Q' + cd LB/oque;r

... Descomponer polinómicamente por bloques los siguientes números:

i. ~~ = ab ·l0' + a b = ab ·1DO + a b => :.¡abab = 101 ·ab ¡

ii)

= ab x l0 000 + ab x100 + ab :) . . lababab =- 10 101 xab I

iii) abeabe = abex l03 t abe

~~

;;:. abcx l 000 + abe =:::) :.Iabcabc = 1 001 abe I .. Conversión de Sistemas:

[primer Caso: I"de un sistema de base "n" al sistema de base 10(base decimal)"

-b: Método a Emplearse: Descomposición Polinómica.

EiempIO (j) : Convertir: 546(7) a base 10

Resolución:

546(7 ) = 5x72 + 4x7 ' + 6 => 546(7) = 5x49 + 28 + 6 = 279 :;;) ·-· I S46m = 279 1

Eiemplo @ : Convertir: 2013(4. a base 10

Resolución:

20 13(4) = 2x43 + Ox42 + l x4 ' .... 3

2013(4) = 2x64 + O + 4 + 3 = 135 => :. 12013(4) = 1351

** Método de Rulfin; :

Ejemplo 1 : Convertir: Ejemplo 2 : Convertir.

546(7) a base 10 2013(4. a base 10

Resolución: Resolución:

+~ + + +

5 2 o DO (7) G) 35 ~ 273 32 132

5~39 1279 1 " 1t 351 ~ 2 6 33

:. 1546(7) = ~I ". 1201 3(4, = 113511

I Segundo caso, ¡"del sistema de base 10 (sistema decimal) a un sistema de base "n°.

* Método emplearse: Divisiones sucesivas

Ejemplo 1 : Convertir: 583 a base 2

Resolución:

I Ge ..... /izando: I

I

583

18

Ejemplo 2 : Convertir 672 al sistema cuaternario.

Resolución:

672 1 4

27 ita 4 32 -8 42- 4

® ® -2 101 4

\J\.,<C®~

•. 672: ®2200(4)

I Tercer caso' I "Del sistema de base "n° al sistema de base "k' ; n ~ k ~ 10".

* Método a emplearse: En pomer lugar. el número de base (n); se convierte a base Diez.

En segundo lugar, el número obtenido se convierte a base "k" .

Ejemplo : Convertir: 235m a base 3.

Resolución:

En primer lugar convertimos el número 235", a base diez (sitema decimal)

235", = 2 x 7' + 3 x 7' + 5 .. ... 1 235(~ = 1241

Luego los números as! encontrado: o sea 124 lo oonver1imos al sistema de base 3 ; mediante dvisionessucesivas.

• Conversión de Sistemas en los Numeras Menores que la Unidad.

Primer caso : 1 "Del sistema de base "n" al sistema de base 1 O"

EjemploC!): Convertir: O,abcde(n) al sistema de base 10.

R I . . ~_. a bcd e

eso uClon: O,abcde(Jl) = - + 2 + j +,. + "5 n n n n

Ejemplo(j): Convertir: 0,123,., a base 10.

Resolución:

1 2 3 0.123(4) = 4 + 42 + 43 ; efectuamos la suma de fracciones:

I Segundo caso: I "Del sistema de base 10 (siterna decimal), al sistema de base n".

Ejemplo(J) Convertir: 0,390 625 al sistema de base 4 •

Resolución:

~390 625x 4

1 ,5625 x 4 ..

,25 x4" 1,00 x 4

-0,390 625 ~ 0,121(4)

I Operaciones: I

0,390625 x 4 ~ 1,5625 ----y--'

~ 0,562 5 x 4 = 2,25

J.. T

0,25 x 4 = 1,00 T

.L. 0,00 x 4 = O

Nota: Solo se multiplican las partes decimales.

.. 0 ,390625 = 0,121(4) (Estas cifras deben ser menores quela base)

Ejemplo 0: Convertir. 0,251 2 al sistema de base 5.

Resolución:

¡~251 2x 5

(::' :: • 1 4 x 5

,00 x 5

c---'-.

O,2512~O,I112(5' O

I Casos EspeciaJeit de Conversión:

I OperacIones: I 0,251 2 x 5 = 1,256

0,256 x 5 = 1,28

0,28 x 5 = 1.4

0,4 x 5 = 2,00

0,000 x 5 = O

".1 0,251 2 = 0,1112(5'

Dado el número en base tln" se le separa en grupos de "1<" cifras a partir de la derecha. El número que se forma en cada grupo se convierte al sistema decimal (base diez), donde se obtienen las cnras del número en base n'.

Ejemplo(J): Expresar: 1101110,,) al sistema de base 4.

Resolución:

La base 4 < > tiJ; donde: k ; ®: este valor de 2, nos indica que debemos separar en grupos de a 2 de derecha a izquierda, veamos:

base (4):

1232

.00 1101110121 ; 1232(4)

Ejemplo 0: Expresar. 1101011(21 al sistema de base 8.

Resolución:

La base 8 < > {iJ: donde: K = ®: este valor de 3: nos indica que debemos separar en grUrJS de a 3 de derecha a izquierda, veamos:

I ha." (2): 11 base (8):

1 101 011 1I 153 1 T ~. · 011(2) ;2022

+ 1·2 + 1 ;0 101(2); 1·2 + 0·2 + 1 ;riJJ .. 11101011(2); 153(8)

1(2);1D~

Segundo caso: " Cel sistema de base n'" al sistema de base otn" ",

Oado el número en base nk de cada cifra se obtiene "k" cifras al convertirse a base "n-.

Ejemplo ([): Convertir. 232(4) al sistema de base 20

Resolución:

la base 4 < > 22, donde: K = 2, este valor de 2. noS indica que cada cifra del

número 232. genera 2 cifras en base 2.

o 1

base (2):

1011 10

:. 1 232t •• = 101110(,. 1

Ejemplo ®: Convertir. 465( •• al sistema de base 2.

Reso(ucJón:

La base 8 < > f!J ; donde: K = @; este valor de 3. nos indica que cada cilra del número 465, genera 3 cifras en base 2.

base (8):

'rL~.~c,:. O 3 2 Ó 6 = 110(,.

1 1

base (2):

---lOO 110101

: . 1 465tO) = 100110101 (2) 1

(prOblemas Resueltos)

Prob/ema(j): Hallar el valor de "n°. si: 123(0. = 231(5)

A) 6 6)7 C) 8 D}1 O E) 9

Resolución:

Descomponemos polinómicamente: 123(0. = 231(5.

Obteníendo: 1·n2 + 2·n + 3 :: 2.52 + 3·5 + 1

Donde:

n2 + 2n + 3 = 66

n2 + 2n ~ 63 ~ O ; factorizando se obtíene:

~_ t.~ nX +9

(n . 7)(n + 9) : O ; igualamos cada factor a cero ---r ---c 'i'

I ii) n + 9: O ". .'. 1 n = 09 11

Nota: De los Jos valores que loma nn": osea; n ;:; 7 Y n :;; ·9, sólo lomaremos el valor posifovo. pues la base de un cierto sistema nunca puede ser negativo.

: . I El valor de "nJl es: 7 I Rpta. B

Problema@:Hallar el máximo valor de: "a + n", si: aOa(l'I) = (2a)a(2n)

Al7 Bl8 C)4 01 5 E) 6

Resolución:

Descomponemos polinómicamente: aOalol = (2a)a(20)

Obleniendo: a·n' + O·n + 11..= (2a)·(2n) + "'

~n2 = 4'a¡.

:·In = 41 Lu~o. si "n" toma el valor de 4, el máximo valor que puede tomar "a" es 3 y el mínimo valor que puede tomar .... atl es 1.

.. Ir·-a-+-n-'·-=-3-+-4-=-7'1 Rpta. A . T T T T .

Problema@: ¿Cuántos valores puedes tomar "b· para que se cumpla:

aoab(6) = bb(2b)

A) O B) 1 Cl2 013

Resolución:

Descomponemos polinómicamente: aOab(6) = bb(2b)

Obteniendo: a·6' + 0·6' + a·6 + b = b·10' + b·10 + (2b)

.E14 ...

216a + 6a + b = 100b + 10b + 2b

ma=lttb 2a = lb Donde:

Como se podrá observar "b" puede tomar los valores de 2 y 4 pues ~ no se toma. porque lo máximo que puede tomar <lb" es 5.

<lb" puede tomar los valores de 2 y 4; osea "b" toma 2 valores. Rpta. e

problema@,' Hallar: "a + b + c" si: cee (8) = ab1

A) 11 6) 12 C) 13 D)14 E) más de 14

ResoJucion: Descomponemos polin6micamente el númerO del primer miembro:

2 -c-a -t e-S + e ;;;; abl

64c+6c+c= abl

730 = abl O 7

73(7) = abl

; ahora buscamos un número que multiplicado por 73 termine en 1. siendo este el 7.

511 = abl ; por comparación de términos: la = 51 Y I b = 1 I Tq '!Ir

"a + b + c' = 5 + 1 + 7 = 13 Rpta. e T W T--.J T

Problema ® : En que sistema de numeración se cumple que el número 370 del sistema decimal es igual a 226.

1\) 12 6)11 C) 13 O) 14 E)16

Resolución: Del enunciado, planteamos la ecuación siguiente:

370 = 226("1 ; descomponemos polinómicamente el número del segundo =c::., miembro:

370 = 2.n2 -1- 2·n + 6

364 : 2(n' + n) "" 182 ; n(n + 1 1 ----E:. 13(14): n(n + 1) => :. 1 n : 131 Rpta. C .,.... T ---r-

Problema@: El menor número de 4 cifras de base "n" se escribe 2ab en el sistema decimal. Hallar: "a + b + n·

A)6 B) 12 C) t3 O) 14 E) 15

Resolución: Del enunciado. planteamos la siguiente ecuación:

1000(0); 2ab Recuerda que:

1xn3 + Oxn2 + Oxn + O = 2ab 1) El menor número de 3 cifras en

base 3 es: 100(3

)

n3 = 2ab ; dando valores - El mayor número de 3 cifras a "n~ , se cumple diferentes en base 3 es: 210(3)

para: 1 n ; 61; veamos: '-----=-~~----~

63; 2ab => 216; 2ab : por comparación de lénnlnos. a; 1 Y b; 6 .,- Tr I

:. l"a+b+n"-1 +6+6;13 1 Rpta.C

Problema(f) : En que sistema de numeración se realizó: 41 - 35 := 5

A) Duodecimal B) Senarío Cl Undecimal O) Nonario

Resolución:

Sea: "x" la base del sistema empleado.

E) NA

41{x) - 32( .. 1 = 5()!) ; por descomposición polinómica, obtenemos:

(4. + 1) - (3. + 2) ; 5

4x+ 1 - 3x-2;5 => ... 1 x : 61 (Sislema Senario) Rpta. B ,.., Problema@:Hallar: "x + y" sí: xyy (9) ; (y + 1)(y + 1). (7)

A)9"

Resolución:

B)8 C)7 O) 6

Descomponemos polinómicamente: xyy (9) - (y + 1)(y + l)x (7)

Obteniendo: x(9)' + y(9) + Y = (y + 1 ).7" + (y + 1)-7 + x

81x + lOy = 49(y + 1) + 7(y+1) + x

E)5

Transponemos términos:

81x - x = 56(y + 1) - 10y ""E.-...r

80x = 46y + 56 ; sacamos mitad a cada termino

40x = 23y + 28 ; por tanteo, "y" toma valor de 4 Q

4

40x = 23(4) + 28

40x=120 => :. ~

:.1 "x + y" = 3 + 4 = 71 Rpta. e T T T T .

prOblemaG): Si: 1010 (101,) = 1010

A) 9 8)4 C)3 D)5

Hallar el valor de "x".

Resolución:

E)7

- En primer lugar. descomponemos polinómicamenle la expresión: 101.

101,,=1 .X2

+O'X+1 => 1101><=x2

+11

Reemplazamos el valor hallado en la expresión inicial:

1010 ( 2 ) = 1010 x • 1

Descomponemos polin6micamente la expresión del primer miembro, obteniendo:

1-(x2 + 1)3 + 0·(x2 + 1)2 + 1(x2 + 1) + O = 1010

(x:¿ + 1):.l + (x:¿ + 1) = 1010; factoñzamos en el primer miembro: a

(x" + 1)[(x" + 1)2 + 1) = 10[101) -C I TT Por comparación: x? + 1 = 10 => l = 9 => .', Ix = 31 Rpta. e

Problema @ : Si se cumple: xxx (11) + XX "1) + X ",) = abB

Calcular: "a + b - x"

A) 10 B)8 C)7 D)3 E)4

ResolUción:

Descomponiendo porinómicamente cada lérmino. obtenemos:

[x(II)'. x(ll) + xl + [x(ll) + xl + x = ab8

133. + 12. + • = ab6

146x = abe; 146 debe multiplicarse por 3 para Que el producto Q termine en 8. 3

146(3) = ab6

438 = ab6 : por comparación: 1 a = 41 Y 1 b= 31 TU TTI

.'. rt ·-a-+-:b- ----,x":-=- 4- . -3--- 3- _-- -'4 t Rpta. E

Problema @ : Hallar el término 50 am. en la siguiente serie aritmética:

123(n) , 128(0) • 132(n) •.......................

A) 396(n) B) 319(n) D) 389(0)

Resolución:

E) 315(0)

Como se trata de una serie aritmética, la razón es constante, veamos:

12~~:~.)l~32(n) •. .. ............ ...... ..

r r

Donde: Ir= 128,o, - 123,n,1 ........ . (1)

5 = n-6

.-. t n = 11 t

Reemplazamos el valor de "n~ en la expresión inicial:

(e5tosnúmerosfos )

123(11) 1 128(H)' 132(11) , ................. convertimosabase10 ~ ---r -r= ~ I (111' + 211 + 3); (Hl' • 2-11 .8) ; (111 2 + 3·11 + 2); .............. .

? I f I 146 ; 151 ; 156 ; ......... .

'----" '----"

# de térmínos = + 1 (último - primerO)

Obtenemos:

~ razón

50 = T so -146 -==--:,-- + 1

5

T 50 - 146 I 49 = 5 "".·. T 50 = 391[

El número hallado 391, lo convertimos a base "n" osea a base 11 . veamos:

391 ~ 61 3s~ ®®3 ",---"íJ

. . 391 = 326,,,. = 326,". Rpta. e T T

Problema @: ¿C6mo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:

545 (b) ; 7a3 (B) y 6b5 (a)

A) 25~61 E) 425(61

Resolución:

Analizando cada uno de los números dados, osea:

545 M ; 7a3 (B) y 6b5 (a) obtenemos:

O O O ~~ ~

(de estas t~es relaciones deducimos que: ) ) la-7Iy lb=61 <

;- Si J

Luego: 545'bf = 545'6f = 5(6)' • 4(6) + 5 = 12091 (# menor)

- 2 = 7a3 (8f = 773(8f = 7(8) + 7(8) + 3 = ~

6b5,af = 665(7f = 6(7)' + 6(7) + 5 = 134 ti (# mayor)

Ahora convertimos el númerO menor (209) al sistema de base (6).

209~ 29 ~ r:> 1209 = 545(611

® @ 5 ~==-_____ --, "-' V I El menor de los números es: 545(6) I Rpla. B

Problema@ : ¿En que sistema de numeración se cumple que el mayor número de tres cifras de cierta base es igual a 57 veces la mayor cifra de dicho sistema de numeración?

A) 6

Resolución:

B) 7 C)B O) 9 E)10

Sea; et mayor número de 3 cifras de base x --+ (x - 1)(x -1)(x - 1) (')

Del enunciado; planteamos la ecuación:

(x - 1)(X - 1)(X - 1) (,) = 57(x - 1)

Descomponiendo polinómicamente se obtiene:

(x -1) x' + (x - l)x + (x - 1) = 57 (x - 1),

(x - 1)[.' + x + 1) = 57 (x - 1)

)(2 + X + 1 - 57 = O

](~ +x-56=O

xx 8 x -7

Igulamos a cero cada factor:

x+8=0 .... x=-8

)(-7=O~ x=7

faetorizamos (x - 1) :

Tomamos el valor positivo

1 x =71

Rpla. B

Resolución:

Sea el número de 2 cifras: ab

Número que resulta de invertir Sus cifras: ba

Del enunciado, planteamos la ecuación:

ba - 5 = 2ab ; transponemos términos

~ 1llt -~ '; 5. descomponiendo polinómicamente, se obtiene:

(10b + a) - 2(10. + b) = 5

lOb + a - 20a- 2b = 5

8b - 19a = 5 {) {)

; por tanteo, "b" 10ma el valor de 3 y "a" toma el valor de 1.

3 1

8(3) - 19(1) = 5 (cumple)

. . El producto de las cifras del número ab = 31: es: _=~=3 ~.B

Problema @ : Se tiene que xOxOx (n) '; xxx 1m) : la razón entre m y n2 es:

A) n + 1 B) n - 1 C) n Dl 8 El 1

Resolución:

En I~ expresión: xOxOx (n) = xxx (m) ; descomponiendo polinómicamente:

x_n4 + 0_n3 +x,-t! +O·n +X,; x·m2 + x·m +x

xon4 + )( on2

'; x·m2 + x·m; factorizamos "'x" en ambos miembros

x(n4 + n 2) '; x(m2 + m) ; simplificamos las "x".

n 4 + n2 = m2 + m; por comparación de términos

~ I CD n" = m'& => !n> = m 1I I@u I

Luego. hallamos la razón entre m y n2

osea:

Rpla. E

I PROBLEMAS PROPUESTOS I

Problema [}: Hallar el valor de ~n·: si:

401 In) = 203(n~2)

A)5 B)6 e)7 0)8 E)9

Problema@:Hallarel valnr de ~n· ; ~i:

A)8 Bl9 ella O) 11 E) 12

problema@: l-lallar el valOf de "a + b"; si :

atb(9) = bba(6)

A)5 Bl6 e)7 0)8 E)9

Problcm!!@:S;:"a" es menor que 3. como se expresa a33(9) en el sistema de base 3. (Dar como respuesta la suma de sus cifras).

A) •• 2 O) 2 •• 2

Bl··3 E) a+ 1

C)2.+1

Problema@:Hallar: "a + x + y"; si:

aaaa(5) = )(yS

Al9 Bl 10 el 11 Dl 12 El 13

Problema @:Hallar"m + n" sabiendo que es lo menor posible y que: 66(m) = 88(nl

Al 39 B) 18 el26 0)28 El42

Problema 0: Hallar: "a + b"; si:

ab'B) + ba(9) = 1 abm

Al8 B)7 el6 Dl5 El4

prOblema@: Hallar: ·x +)1"; si: xy",) = y"m

Al4 B)5 el6 0)7 El8

Problema ~allaf cuántos vakl res de "a" satisfacen: a (2a)a = 11 . aa

All B)2 e)3 Ol4 E) 5

Problema @ : Un numero de dos cifras de baso 7 31 convortirco a baso " EO ropresenta por las dos cifras pero dispuestas en orden in­verso. DICho número es:

Al13 Bl12 epI Olla El 9

Problema @ : ¿Cual de los siguientes nume­rales representa la mayor cantidad?

Al 237, PI 124"

B) 16(10)" E) lOO"

e) 143"

Problema @:Hallar: en + )1"; si: 123[n} = 17)(

Al 11 O) 14

B) 12 e) 13 El Más de 14

Problema @:Hallarelvalorde·x" en:

(12(.~2 = 144,.)

A)3 Bl4 e) Cualquier entero Ol Moyor que 4 E) Mayor o igual que 4

Problema @: Encp.;e sistemadenumeración se cumple que: 7 x 7 = 61

A) 12 Bl9 elS 0)7 E)6

Problema @ : Cuánto es la séptima parte de la diferencia de las cifras de un numero de 2 cifras que es el cuadrado de la suma de sus cifras.

Al2 B)l el217 O) 117 E) N.A.

Problema 16: Si: )(53(1) = 1x1 x¡SJ; hallar el valor de ·x",

Al2 Bl 3 el o 01 4

Problema @ : Calcular: -(a + n)"; si:

aaa(l2) = (02) nlOta)

B) 13 ee 011 2

Ell

Ell a

Al 9 Bl 8 el 7 01 6 El 5

Problema @ : Calcular "XM si se cumple:

loox f4f¡!) = xOO + 10x i' ___ _

Al9 Bll0 el l l 01 7 Ele

Problema @; si: iiTi = (a - 1) (a - 2) (a - 3) '" Problema : Calcular: "a + b"; si;

aaaO(1l) = abOab(51 Entonces: n (n - 1) (n · 2) (n .. 1); en base diez se escribe como:

A)18 Jf¡ 57 e) 117 01 207 E) 501

Problema @ : El número 764 esta escrito en el sistema de base ocho. ¿Cómo se escribirá en el sistema ternario?

. M 20011 2", O) 10111 2,3)

B) 101212,31 E) 210 11 2(3)

C) 210111'31

Problema @ : Escriba en el sistema de base

9 el número: x (x - 3) (x + 2)'6)

Al 147., O) 186.)

B) 174 .. , El 153(0)

C) 135 .. ,

Problema @:Calcular: ·p + q + r-; si se verifi­

ca.: pqr = 210315):; 1a7(8)

A) 4 B) 6 e)7 0) 8 El 12

Problema @ : lndlCar la suma de "(a + b)"; si:

(20) O (211)(5) = aba,, )

A)3 B) 4 el 5 0)7 Ele

Problema @ : El menor número de cuatro cifras del sistema duodecimal se expresa como 1331 en un sistema cuya base es: 13(nr ¿Cálcular el valor de "n"7

A) 6 B) 7 el 8 0) 9 E) 11

Problema @ : El mayor número de tres crtras diferentes de la base 6 se escribe como 3abc en la base 4. Hallar: "8 + b + c·.

A) 4 B) 5 el 6 0) 3 Ele

Problema @ : Calcular en base decimal.

1 35{al + 12b{Cl + 15a(b) + 14C(9)

Al 361 Bl 360 C) 362 O) 359 El 363

problema@: ¿ComoseeSCribe en base 9 el menor de los siguientes números?

7a3 e ; 545 b ; 6b5 •

Al 252, B) 352, e) 333, O) 418, E)12Bg

Problema @: Hallar Mn-: si: 4 2(0»)( 32(0) = 2 004(nl

A)6 B) 7 el8 0) 5 E) 9

Problema ~ : Si: a5 (9) +

ac (9) Hallar: Ma x b x CM

bbc,,)

abe (9)

Al 60 B) 72 C) 48 01 30 E)42

Problema@: En que sistema de numerad6n se cumple que el menor, número de 3 cifras es igual a 6 veces la base?

A) 8 0) 6

B)4 e)5 E) Faltan datos

Problema @ : Un número escrito en 2 bases Que se diferencian en 2 unidades está repre-

sentado por 123 y 172. Hallar dicho número en el sislema decimal.

Al146 Bl120 C) 138 01140 El 102

Problema @: Si: 34(11) ;;; 5O(n . 2)' A cuánto equivale 55(1'1)" En el sistema decimal.

Ál 40 B) 38 e) 42 0150 El N.A.

Problema @ : Si: m (m + 2) (m - 3)60 = xYYrr¡; Dar el valor de: m .. )( + y

Al6 B)7 C)8 0)9 El15

Problema@:EI número 102 se escribe como 204 en base (k + 1). Hallar el valor de "k·.

A)5 B)6 e)7 0)8 El9

Problema @:Calculeel valor de: "x + n". Si:

3)(Y(I1) = 304(9)

A) 10 B) 12 e)14 0)16 El18

Problem~: Si a~b - (%) a (% F Hallar el máximo valor de -a".

A)5 B)6 e)7 D)8 E)9

Problema 6Bl : Hallar el valOr de "a" si el nú­mero ~ es el producto de cuatro núme­ros consecutivos.

A)l B)2 e)3 D)4 E) 5

Problema @¡ : Hallar: (b - a); Si:

") 1 OO~2?,., = 2072."

A) 4 Bl6 el8 Dl3 El5

ProbIema@:S': 1010(101 J::: 1010; Hanarel valor de "n" (n)

Al9 B)4 e)3 D)5 E)7

Problema (4t¡: Hallar el mayor número de 4 cifras tal qu;;;1a suma de sus cifras sea igual a 17. Dar como respuesta el número expresado en base 8.

A) 7433 , O) 2311~",

BI47211(8, E) 16313(6'

e) 36710(8,

Problema@:Respecto a un número se cum­ple que: escrito en una base cualquiera está for­mada por 3 cifras máximas y escrita en una base que es el doble de la anterior se escribe con 2 cifras también máximas. Hallar el número en base 9.

BI54(9, 1')70(8'

, ProblelJ1a@: Dado el número "N- de 10 ci· fras:

all0ll0ll0",; Hallar "N" en base 8.

A) 6 166", O) 6 616(6)

B) , 666,., E)7 616(6)

e) 6661(B,

Problema @ : Hallar un número de 3 cifras, cuya cifra de las unidades es 8, si este número se le suprime et número 8 el número resultante es los 4/41 del número original. Da, como res­puesta la suma de ofras del número original.

• A)10 B)11 e) 12 D) 13 E) 14

Problema @ : Hallar el valor de ~S"

s= 1010(2)" 1010(41 + 1010(61 + .. ,-.. + 1010(16)

Al 5 220 016960

B) 10440 El 8 352

e)6860

Problema@: Calcular: 3m + n~; si se sabe que los siguientes números estáncorredamente escritos:

ppo(l1}

A) 12 B)13 e)14 0115 E)16

Problema ~: Si: ab(1) = ba(Il)" Determinar el valor de: "a + b"; sabiendo que "n~ está entre 20y30.

A) 3 8)4 C)5 0)6 E)7

Problema @: El siguiente resultado: 36b ... 216a + 37 se ha obtenido después de descom~ poner el número.

A) a (b - 1) (b)2'6)

C)aO(b+ 1)1 ,,,

E) b (a)(a + 1)~l

B) a(b) (b + 1)(6l

O) a (b+ 1)01,6,

Problema @ : Si se cumple que:

abab(n) = 221.

Hallar 91 valor da: (33 + b + 20) ~

A) 17 8) 13 e)18 0115 E) 21

Problema @ : En que sistema de numera· ción se cumple que: El mayor número de tres cifras excede en 436 untdades al menor núme­ro de tres cifras significativas (cifra significativa es diferente de cero).

A)4 B)5 C)8 0)11 E) 14

Problema @: Determinar cuántos números en la base cfiez cumplen lo siguiente:

a (2b)c'12l = (3a)bc'8l

A) 5 918 e) 10 DI?

Problema @:Hallar: Mm + n + xM; Si:

120x'01 = 64x = 2553(m)

E)16

A)17 8) 18 e)19 O) 20 E) 21

Problema @: Al número abe se le restó el núncro roa. y en el resuftado se observ6 Que la dfra de unidades era el doble que la cifra de cenlenas. Si: Ma + b + c" es lo máximo posible. Hallar: "a . b . e·.

A) 360 0)405

Problema

5) 324 E) 432

@:Si;

e) 486

(a - 4) (a) (a - 4),,, = xyyz,,,

Hallar:·x + y + z· "í

A)6 B)5 e)4 0)7 E) 8

Problema @:Si: 1 331 (o) = 260m); convertir: 43(fI) a base 10.

A) 22 O) 25

B)23 E) 26

C/a"" de Respuestas 1

l.A 15.8 29.6 2.0 16. O 30.8

3.C 17.C 31.0

4.A 18.6 32. A S.E 19.A 33. A 6.C 20.C 34. E

7.8 21. A 35.8 8.0 22.0 36.C 9.0 23.C 37.B

10.8 24.0 38.B

11. O 25. A 39. A 12.C 26.8 40.C

13.0 27. A 41. O 14. e 28. A 42.E

e) 24

43.8 44.0

45. B

46. A 47.C 48.0 49.C SO.C 51.8 S2.C 53.0 54.C

55. 8

Se multiplica ab(9Jpor un segundo factor, si al primer factor se le disminuye en la suma de sus cifras, el producto se reduce en su mitad.

g Hallar:

~ ~a(t5J . ab(14J + ba(t3) - ab(12J + ba(lI) - ab

o.. b o ,.,..., - .¡ t. .et

~ Razone~

Un número se escribe coma:

aaba y cbaa en los sistemas de base 5 y 6 respectivamente, expresarlos en el Sistema Decimal y dar como respuestas la suma de sus cifras.

I Respuesta: 12

I t:.UHIA ut:. CONJUNTOS

I IDEA DE CONJUNTO I Todas tenemos la idea de lo que es un conjun­to: es una colección. agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abs­tracias. Los integrantes puedensernúmeros, letras, dias de la semana, alumnos, paises, astros. continentes. etc. a estos integrantes en general, se les conoce como "Elementos del conjunto",

Ejemplos:

a) El conjunto formado por los primeros veinte números naturales

b) El conjunto formado por profesores de un colegio

e) El conjunto formado por los actuales presiden1es de los países de América. Latina

d) El conjUnlo formado por la carpelas de un salón de clase

Sin embargo. el concepto que tenemos es un ~CoocepIO Intuitivo", el cual no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elemenlos locualconlradice la idea que tenía­mos.

Ejemplos:

a) E\ conjunto c::onstituido r.-or las plantas que dan flores.

bJ El conjunto de ciudades de la SIerra peruana

e) Elconjuntode números naturales meno­res que 5 y mayores que 4

d) El c::onjunto de personas mayoreo; que 400 años de edad

I NOTACIONES EN UN CONJUNTO I 1 Q AlosconjunlOS Se les denotará con letras

mayúsculas A, B. C .... y a sus elementos con letras minúsculas; a, b, e, d •.. .

Ejemplo:

P={m, n, r, sl ==-I Elemento del Conjunto "po' I 2g El símbolo empleado para expresar que

un elemento pertenece a un conjunto "'S~F

Ejemplo:

P = (m, n, r, s,}

@ I (El elemenlo'n~ pertenece al conjunto "P1 I

~ El simbolo utilizado para expresar que un elemento "no pertenece"a un conjun­to es: ,{

Ejemplo:

P = {m. n, r, sl . ,

Q¡t P

I (El eremenlo "q" no pertenece al conjunto"P1 I 4° Cuando un conjunto "R" está constituido

por varios elementos como por ejemplo: a, b, e, d, e. f, los escribiremos entre LLAVES

R = (a, b, e, d, e, f)

I DETERMItIACION DE CONJUNTOS I ~rExteI'Si6n: )

Un conjuntos "A'" está determinado por exten· sión cuando se mencionan uno por uno todos los elementos o cuando. si son numerosos, se meooonan los primeros de ellos (y se colocan puntos suspensivOs)

Ejemplos:

1. A = (lunes, Martes, Miércoles. Jueves, viemes, Sábado. Domingo)

2. B= (O, 1,3,5,7, ... )

Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser delerminados de esta manera, sobre lodo cuando el número de elementos que constituyen el conjunlo es muy elevado.

Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjun­tos de estrellas del universo.

Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos queticncn muchos elementos. A esta otra forma de determinar un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.

( Por Comprensión: )

Un conjunto A está detenninado porcom­prensión cuando se enuncia una ley o una funcIÓn que permite conocer Qué elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al con­junto A.

Para diferenciar cada forma de determi­nar un conjunto veamos los siguientes ejem­plos:

Ejemplo 1

Por extensión:

A = {lunes. Martes, Miércoles. Jueves, Vier· nes, Sábado, Domingo}

Por comprensión: (Una pasilIe feSPUes1a seria)

A = (xf'x" es un día de la semana)

Se lee:

"El conjunto A esta formado por todos los elementos ')''' que satisfacen la condición de ser un día de la semana",

Otra posible respuesta seria:

"A eS el conjunto constituido por todos los elementos"x" tal que x esun diade la semana"

EJemplo 2

Por extensión: B = (1. 3, 5,7 .... )

PoroomprensiOn: (Una posIlIe respuesta seria)

Se lee:

"a es un conjunto formadoporlosefementos "1("

tal que '"x" es un nUmero ;ropaf y "X-pertenece al conjunto de los números naturales",

EJemplo 3

Determinar el conjunto de las cinco vocales

Por extensión: A = {a, e, i, 0, u}

Por comprensión: A = {x/ · x" es una vocal}

1 Esta barra indicada s'ignifica "tal que" l Ejemplo 4

Determinar el conjunto de los números pares naturales menores que 15

Por extensión:

B = (2, 4, 6,8, lO, 12, 14)

Por COmprensión:

B = {x/Y es LtI lUneto par natural menor que 15}

Se lee:

"B~ es el conjunfo formado por Jos Y, tal que "xl> es un número par natural menor que 15.

CLASES DE CONJUNTOS POR EL NUMERO DE ELEMENTOS

( Conjunlo Unitario: )

Es aquel oo .... uoto que tiene un sólo elemento.

Ejemplo!J:

1. El conjunto del adual presidente de Ar-gentina

2. 0= {x/3 <x< S, -X- es un número entero}

3. M;{)(Ix+6 ;8l

4. R = IY E N J3< y< Sl

5. G;IOl

( ConJunto v~ Es aquel conjunt') que no tiene elementos.

Se le representa por la letra 4> "se lee FI". También se le representa por un conjunto que no tiene elementos dentro de las llaves. AsI por ejemplo:

0: 11

Simbólicamente se define como:

1; {)(Ix" xl

Ejemplo:

A = {Es el conjunb de mujeres que ti enen 3 piernas}

Comosehabrádadocuenla no ex,:ste flfnguna mujer que posee 3 piemas, por tanto, este conjunto carece de elementos y oeclmo5 que es un conjunto vacfo.

NOTA: lO}; Representa. a un conJ~'1.tO de un sólo el.(!m.(!nlo. el nlÍmero cero.

O' Indica ausencia de cantidad (es un número, más no un conjunto)

(tfJ); Representa a un conjunto de un sólo elemento. el ekf11'-nto "tfJ lO

! ConJunto Universal: (o UnIverso) J Esclconjoo­

lo Que contiene. comprende o den-t ro del cual están todos los demás

u

conjuntos , se le simboliza por la le- '------------'

tra U ,gráfica.mentese le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (unorualquiera) se coloca la letra U.

s. consideramos como un conjunto uni· versal al sistema universitano de nuestro país, entonces cada universidad x, será elemento de dicho universo. El conjunto de libros de una Biblioteca determinada. puede ser otro ejem· plo, sus elementos serán cada uno de los libros de los que consta. El marco de referercia es relativo. de modo que podemos referir como conjunto universal por ejempo al Conjunto de Bibtiotecas de la ciudad

( Conjunto Finito: )

Es aquel royos elementos se pueden contar en forma usual desde el primero hasta el último. El numero de sus elementos se llama cardinal de conjunto.

EjemplO$:

1. {El número de carpetas del salón}

2.

3.

4 .

{24 675 gramos de Brena}

{Hojas de un árbol}

{Números enteros entre 1 y 20}

( Conjunto InfinIto: )

s. contarnos no se llega nunca a un úttimo ele­mento del coníunto se ltama intW1ito o indefinido.

Ejemplos:

(1) {Punto de una recta} (Es infinitO) (2) {Números enteros mayores que 100)

(Es infinito)

NOTA: Lospunlossu.spensiv~ ooooo en­tre dos elementos se leen ~y asi sucesioomentehasto-o Esospun­tos como lerminación, se lee "'y asi suct!siuamenle"

Ejemplos:

(1,2,3, ... 100) es fin~o

(1 ,3. 5. 7. oo.) es ¡nl¡nito

I RELACIONES ENTRE CONJUNTOS I

( Inclusión: )

Se dice que "AH está incluido en el con­junto "B", cuando todo elemento de A, pertene· Ce a -S"o La inclusión Se simboliza por " e "o

AcB -H 7I.EA -+ x e B

También se puede decir que A es subco~unto del conjunto B. Se puede denotar por B :> A, que se lee "8- incluye, contiene o es un subconjunto del conjunto A. Ejemplo de subco!iunto o inclusión es el Siguiente:

Si: P = (Perros)

M = (Mamíferos)

Entonces se tiene:

P e M ("P" está incluido en HM")

e Se lee: ~Esta incluido en"o Su negativa es: ~

:> Se lee: "Incluye a"o Su negativa es; ~

Sean, por ejemplO, los conjuntos:

A = (a, b, c, d); B = (a, d)

C _ (b, d, a. e); D - (a. e, e)

En es1e caso se observan las siguientes inclu­siones:

Be A;C e A;A e c

En cambio los conjuntos C y D son incompara­bles, porque ni ~C" incluye a ND", ni "O" incluye a ·C", es decir:

D¡fC ;.C$Z'D

Hemos visto que pueden ocurrir al mis­mo tiempo las dos inclusiones e e A y A e C, eslo quiere decir, sencillamente. que A::: Co

( Conjuntos 19u1Jles:)

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elemen[Qso Su forma simbólica es: A _ B.

Nótese Que decimos los mismos ele­mentos que no es igual a decir el mismo número de elementos.

De la definición podemos ¡nfem que: A ::: A (Todo conjunto es igual a si mismo).

Ejemplo 1

Si: A - (1, 3, 7, 9, a, b)

B - (a, b, 9, 3, 1, 7)

Entonces: A ::: B pues son los mismos elemen­tos aunque estén en diferente ordeno Recuer­de, no importa el norrbre dado al conjunto sino los elementos que lo 1orman.

Ejemplo 2

Si: C = (a, e, i, o, u)

D _ (a, e, o, 4, i)

Entonces C .,. O porque a pesar de que cada conjunto tiene 5 elementos (igual número de elementos) basta que exista un elemento dife­rente para que ya no sean igualeso

( eonfunlos DIferentes=-)

Dos conjuntos son diferentes si sus ele­mentos no son iguales.

Ejemplo:

A ={m, n, p, q}

B = {r, s, m, p}

_. lA'#. B (~ : significa no igualo diferente) I [Con/unt08 Disjuntos: )

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ning(rn elemento en común: es decir, todos sus etementos de un conjunto son diferentes a los etementos del otro conjunto.

Ejemplo:

A = {O, 1, 2, 3, 4, 5}

B = [9,S,7,S,lO}

f~OP~iéi)

Se llama a~; al oonjunto fonnado por todos los subconjuntos que es posible formar de lWl conjunto dado. Se sirrboJiza por P. La notación P(A), se Jea potencUi del conjunto A. El romero de subconjuntos que es posible formar con k>selementos de un conjunto 8S2"; siendo -n" el nUmero de elementos integrantes del conjuoto.

EJemplo:

Si se tiene: A = (a, b, e),

hallar la potencia del conjunto A

Resolución:

Se tiene:

P[A) = [[a}; lb}; (e); (a,b), (a,e); {b,e}; (a,b,e};,) . I Subconjunlos o partes del conjunto Al

Esto es; número de elementos de A; es n = 3, de donde:

rl-2-'-=-S-S-ubc- O-n-ju-n-to- s' l

I REPRESENTACiÓN GRÁFIC'-A- D- E'

CONJUNTOS

Se pueden i .... uir muchos sistemas auxi­liares para visualizar las relaciones. Enre con­juntos; k>s más conocidos son los Diagramas UneaJes y tos de Venn-Euler

I DIAGRAMAS UNEALES I Son segmentos de rectas que ilustren las

relaciones entre conjuntos.

I DIAGRAMAS DE VENN-EULER I Consiste en graficar mediante círculos.

etipses, rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjuntos con los que se labora. Generaln lenle los puntos interiores a un rectángulo representa al con· junto del sistema.

Ejemplo:

Si el conjunto universal lo tounan las letras del alfabeto y además se tienen los siguientes conjuntos:

A = (a, b , e, d) B = (e, a, di e = (a, dI

Representar las relaciones entre dichos co~untos gráficamente.

Resolución:

Observamos que: e e B; además Be A: y como U es el coniunto universal (Todas las letras del alfabeto)

La representacoo lineal será:

~cr, Q

Elconjunto Deslamás aoojolk aquel enelque Queda incluido, y asi sucesivamenlf!'. ~ --~

La representación de los diagramas de Venn Eu&er,

u

x

m

Ob5ervarque el conjtJ nto"O~ está en el interior del conjunto que lo incluye del mismo mooo "8" respecto a '"N. El conjunto uriversal está re­presentado p:>r el rectángulo en nuesUo ejern-­plo. Esta formado por las letras del alfabeto. D c B c AcU.

I OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS I Las operacKmes entre conjuntos son disposi­cionesespeclfeasdecooonarconj ..... tospara 10000000r otros, de semejarte estructura . Dichas operaciones son la unión, la intersecd6n, la aterencia, la cof11>lementaci6n. el conjunlo producto o conjunto cartesiano y la diferencia siméfrica.

( ÚnI6<1 o Reunlón-. )

Unión o Reunión de los conjuntos A y B es el conjunlo de elementos ")(' que pertene­cen a "A-, a "S- o a ambos, se simboliza por A v B; y se lee: "A" unión "'B·.

Por Comprensión:

Av S;I"'x E Avx E SI

es decir: )( e A u B $:> ){ e A v x e B

~ : significa: "Si y solo si"

Gráficamente. la unión de conjuntos se represenla, en un dagrama de Venn-Euler. achurando la zona donde se encuentran los dversos elementos que pertenecen a los con­juntos: qLK> pertenecen a la unión.

u

r7'\\ <:> I A v BI

A~B

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {a, b, e, d. el y el conjunlo B = {t, b, d}; el universo las lelras del aHabeto. Hallar. A u B.

Resolución:

Como tos elementos de Ay B pueóen pertene­cersófa a · A"', sókl a "B'" o simultáneamente a ambos, entonces:

Av B ; la, b, e, d, e, 1}

Su representación gráfica en el diagrama de Vem-Euler es toda la superficie achurada_

G[)u

8 b m e f

d n •

p, q, r, ....... Z

I A v B ; la,b,c,d,e,n I I Propiedades de la unión de conjuntos I

Dados los conjuntos:

A ~ la, b, el

S; la, b, e, d, eJ

C~la , mI

Se cumple que:

l. IAuB = BuAI

(Propiedad conmutativa)

Ejemplo

A u B = (a, b, e, d, el

BuA = (a, b, e, d, el

2. IA C(AU Bl A B e (A u Bl I Ejemplo:

(a, b, e)c (a. b, e, d, el la, b, e, d, e)c la, b, e, d, e)

3. ISi: Ae B =O A u B=BI I=> se lee: ~mp/ica'1

Ejemplo:

(a, b,el e la, b, e,d, el

la. b, el u la, b, e, d, el = la, b, e, d, el

4. 1 (Au B} u e = A u (B u C) I

Ejemplo;

(a, b, e , a, b, e, d, e ) u la, m}

= la, b, e} u (a, b, e, d, e, a , m)

De cIoncle:

la, b, e, d, el u la, m} = (a, b, e, d, e, mJ

~~~v~~~~a,~ =~~~da,~

¡ IntersecciÓn: J

Intersección de los conjuntos A yB es el CClrlunlo de elementos .. ](' que pertenecen a "A"ya"B". Estáformado por elementos comu-nes a k>s COrluriOS Que forman la i1terseo-ción. Se simboliza por A n S, y se lee: "A" intersección "8".

Por compresión:

A n B : (xlx e A Ax e BJ

Es decir:

XE (A n B)(::)(xE A ,., XE B}

Gráficamente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

Si: A:

B=

{2, 4 . 6.1.~. ~.~}

{I,3,5, 7,9, lO, 12, 14} G;ll:;ZIc;:::II =

An B: 17,9,10, 14J 1

Gráficamente:

u

1,. n B: (7, 9,~

Problema:

En el colegio 'San Miguel" de Piura. se ha evaluado a mil alumnos en las astgnaturas de lenguaie, Biologia y matemáticas y, se ha obtenido el siguiente resultado.

a) 680 alumnos aprobaron lenguaje. b) 320 alumnos aprobaron biologra. e) 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje. d) 50 alumnos aprobaron lenguaje y biolo·

gía: pero no matemáticas. el 170 alumnos aprobaron biología, y

matemáticas, pero no lenguaje. 40 1) alumnos aprobaron biologia,lenguaje

y Matemáticas

¿Cuántos alumnos aprobaJon sólo matemáti· cas?

ResolucIón:

Para resolver este lipo de problemas es con­veniente errpezar su desarrollo a partir del último dato (O sea: la intersección de los 3 conjuntos). Veamos:

f} -40 alul1YlOS aprobaron Biologfa. len­guaje y Mate~ttca". esto quiere decir que 40 alumnos son elementos comu­nes (están en la intersección) de los 3 conjuntos.

u

Donde:

L = alumnos que estudian Lenguaje. B = Alumnos que estudian Biología e = AllIfJYlos Que astucian Matemática

e) "170alumnos aprobaron Biología y Ma­temática pero no lenguaje" o sea que. estos 170 alurmos son elementos co­munes (esta n en la intersección) de los alunTlosque aprobaron Biología y Mate­mática

u

d) .. SO aprobaron Lenguaje y Biología pero no Matemática-; el razonamiento es s;" milar al anterior.

Tenemos ya 40 que aprobaron Lengua­je. Biología y Matemática pero, como la condición es que no aprobaron matemá­tica estos 50 alumnos pertenecen s610 a la intersección de Iosque aprobaron len­guaje y Biología.

u

e) "400 aprobaron sólo Lengua}e"; estos alullTlos son elementos Que pertenecen al conjunto exclusivo de Lenguaje, es decir no son elementos comunes a los conjuntos -aprobaron Biología·ylo "apro­baron Matemáttca".

u

b) "320 aprobaron Biologla"

u

de la gráfica tenemos:

5O+4O+170+x= 320

26O+x= 320

1 x= 60 1 (Aprobaron sólo B/ologla)

a) "680 aprobaron Lenguaje-

u

De la gráfica, lenemos:

4OO+50+40+y = 680

490 + y= 680

· · E~ (Aprobaron sófo Lenguaje y Matemática)

Como hay 1 000 alumnos podemos obtener cuantos alumnos aprobaron sólo Matemática procediendo de la siguiente manera;

u

Del dagrama tenemos:

400+50+60+190+ 4O+170+z= 1000

910+z=1000

:.lz=901 (Aprobaron sólo Matemáticas)

Propiedades de la Intersección de ~ Conjuntos ~

1.1 A"B=B"AI

(Propiedad Conmutativa)

2. I (A" B) CAl 3·I {A"B)CB I

4· IA C B=>A " B = AI

5. HA" B) " e = A" {B "C) I (Propiedad Asociativa)

6. lA " (B u e) = (A" B) u {A" C)I (Prop;edad distributiva respecto a la umón)

7. lA u (B" C) = (A u B) ,, {A u e)1

(Propiedad distributiva de la unión respecto a la intersección)

Dl1erencia entre los conjuntos "N' Y "8", es el conjunto de los elementos "x" que pertenecen a "A~ pero no a "8", se simbotiza ~r NA - S-,

Por compresión:

A-B ={xlxE Ay,xE Bl Es decir:

x e (A-B)pXE A AXt! B

Ejemplo 1

Sean los conjunlos: A= (1, 2, 3, 4, 5, 61: B= (4, '0 6,7, B, 9} Y conjunto universal, el conjunto de L{ls números naturales.

Hallar:

a) A- B b) B-A c)U -(A v B)

'3ralicándolo en el diagrama de Venn-Euler

Resolución:

De la definición de diferencia de conjuntos, tenemos:

a) A- B={1.2.3.~-~7. 8. 9)

IA- B=[1.2. 3) I En el diagrama, la parte achurada. re­presenta: "~A - S"

A-B = {l. 2. 3}

b) Si el conjunto universal, eslá formado por los números naturales. la diferenda será:

B-A=~ 7. 8.9)-(1.2.3, 4. ~.6J

I B - A = (7.8. 9) I En el diagrama, la parte achurada repre­senta: • B - A"

B - A=(7. 8, 9)

e) U - (A v S), serán los elementos que pertenecen al U (universo) pero no al conjunto A v B.

u = {Números naturates}

Observar el diagrama:

A B 10 ~~7 15 8

11 3 6 9

U 12,13, •• ,06

Propiedades de la Diferencia de Conjuntos:

1. A - B=B- A ~ A = B

2. Si: A c B = A- B = (3

3. A - 0 = A, "i A ("i: significa "para 1000")

4. A -B = (A u B) - B = A - (An B)

5. (A - B) n B=0

( c omplerm;nlacI6n:)

Complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a U (Conjunto universal), es el conjunto de elementos de U que no pertene-cen a "8". Se llama también complemento de B en U. o simplemente conjunto dilerencia U - B.

A' U

Notación: CuB, <ifB; B'; BC

Por Comprensión:

CuB= B' = (xix E U VX . B)

Definición2:Complementodeunsubconjunto cualquiera "8" respecto a un conjunto· A" es el conjunto de elementos de "Aro que no pertene­cen a "8". Se le nama complemento de B en A, o simplemente conjunto diferencia A-B.

Por comprensión:

C.S=S'={x/XE Ay .. S}

Ejemplo t:

Si el conjurto universal está formado por los habitames de nuestro país. y si ~A" es el conjunto de habitantes de nuestra ciudad, entonces 'A representa los habitantes de nuestro pals que 110 son de nuestra ciudad.

Ejemplo 2:

u = {1,3,5,7,9,11}

A = (3,5,7)

S = (5,7,9)

Hallar:

A) A' O}(A roS)'

S) S' E)(S - A}'

Resolución: Tenemos que:

A} A'={l,9,ll}

S) S' = {l,3,ll}

C) (AuSl'={l,11)

O) (A n Sr = (1,3,9,11) E) {B-A)'={ 1,3,5,7,11}

C}(A U S)'

Propiedades del complemento de un Conjunto:

Para conjuntos A y B contenido en \J se cum­ple:

1. 1l'(Il'A) = A

2. A c S S e \fA 1 • =>

3. A-S=An\fS

4. 'if(A u S) = \fA n \fS (Ley de MO'llan)

5. \f(A ro S) = \fA u \fS (ley de Mocgan)

6. Au 'ifA=U

7. An 'ifA=,

8 . 'ifU=,

9. 'if(>= u

( DIFERENCIA S/METRICA 1 Diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es el conjunto de elementos de uA" y de "8", excepto los que pertenecen a la intersección. Esto es. que pertenecen a "A" o a "8"_

Notación: A I'l B, se lee "A" delta "B" ó "A" diferencia simétrica "8"

A6S=(A-S)u(S-A) Ó

A6 S = (Au S) - (A ro S)

Por comprensión

A LlS= {x/(X E A AX E S)V(XE SA" A))

Ejemplo:

Sean: A = {a,b,c,d,e,f,g} y

S = {c,d,g,h,i}

Hallar: A ~ S

Resolución:

Por definición: A ~ S = (A - B) u (S - A)

= {a,b,e,!} U (h,i)

.. lA LI S = {a,b.e,l,h,ij I

o también:

A,.. B = (A v B) - (A r. B)

= (a,b,c,d,e,f,g,h,i)' {c,d,g}

lA <lB={., b, e, 1, h, j} 1 Graficanoo:

u

A<lB= (A v B) - (A r. B)

A ti. B = Area sombreada

A" e = (A - B) v (B - A)

A .ó. B = Area sombreada

Propiedades de la Oiferecla Simétrica

1_ A.ó. B = B I'! A (Propiedad Conmu1afiva)

2_ (AA B) A e= A <l (B<l e) (Propie<lad Asociativa)

3, AAA=0

4. AI'!0=A

5. (A" B) n C = (A nC)" (e n C) (Propiedad Distributiva de la intersec­ción respecto a la diferencia simétrica)

6_ De la detinicióo de diferencia simétrica:

AAB=(A - B)v(B-A)

=(A n B') u (A' n 8)

A" 8 = (A v 8) - (A n 8)

= (A v 8) n (An 8')

7_ AI'!B=0 .;:::. A=B

8. (AAB)u(8Ae) = (A v B v C) - (An 8nC)

'1 p-R-O-e-l-e-M-AS-R-ES- U- E-l-T-O--,S 1

ProblemaG)

Determinar el conjunto ~B"

8={X/x'-Sx+6=O}

Resolución:

Factorizamos la expresión:

x2 ·5x+6 = 0

'*-3 x -2

Luego: (x-3)(x-2)=0

i)

ii)

x - 3= O

x - 2 = O

Luego, el conjunto "B" queda determinado:

1 B = {xix = 2;, = 3}

PrOblemaCV

Expresar por extensión el siguiente conjunto:

B={xlx e N; 18< x< 27)

Resolución:

Segun la expresión:

18 < x < 27. los valores que toma ·x" son:

x = (19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26)

LuegO:

r---------------~ I B={19, 2O,21,22,23,24,25,26)I

prot>¡ema(i)

Determinar por extensión, el siguiente conjun­to:

A "" {2x + 1/x e N, 3 :5: x < 61

Resolución:

SegUn la expresión: 3 s: x < 6; los valores Que toma Y son:

I x = (3.4,5)1

Luego, reemplazamos cada valor de "X' en la expresión:

Para: x:; 3 Para: x :; 4

Para: x = 5-

probl'ema @

A ~ (2x+l)

--> 2(3). 1 = 7

--> 2(4). , = 9

--> 2(5) .1 =1 1

I A = (7,9, 11} 1

Determinar porcof1lXensi6n el siguiente con­junto:

A = (3. 5,7,9. 11}

Resolución:

Determinar un conjunlo por comprensión im­plica definir dicho conjunlo mediante una fór­mula que proyec1e las propiedades comunes que caracterizan dicho conjunto.

Luego:

I A_ (xe NI"" impar, 2<x < t2) I problema@

Si: A = (3,(5)};

decir cuál de las siguientes afirmaciones eS verdadera.

AH3, 5) cA

0){(5)} e A

Resolucl6n:

B)(5} c A G)Se A

E) {({5}}) e A

Del conjunto: A = (3, (5)}. calcuramos los subconjuntos de dicho conjunto '"Ah

A = ((3); [(5)) ; (3;(S}} ,~)

4!@d) ' Rpta. O

Problema (!)

Cel sigr;iente diagrama de Venn-Eulel. Deter­minar el cardinal del siguiente conjunto.

(A · 6) . le . E¡

--- - ------,

u

A)2 B} 3 C)4 0)5 E) 6

Resolución:

En primer lugar, calculamos: "'A - 8" A ~~_~~~

A· B = (a, b. c. m)

En segundo lugar, calculamos: "C - Bto

B

I C·B = lm.p.q.w} I Ahora, cak::u1amos:

(A· B) . (C . B)

Cl tJ (a, b, e,!!,) • {'!l, p. q, w} = la. b, e}

Numerocardinalesolnúmero de elemenlos del conjunto

El numero cardinal es 31 Rpta. B

prOblemaQ)

Para dos conjuntos A y B se cumole que:

n(AuB)=B

además: n(P(A)) + n{P(B)) = 40.

Determinar: n(P(A ,.., B))

A)3 R)4 C)5 D)B E)8

Resolución:

Consideremos:

n(A) :: )( entonces: n{P(A)} :: 2lf

n(B) = y enlonces: n(P(B)) = 2'

Reef11)lazamos estos valores en la expresión:

n{P(A)) + n (P(B)) = 40

2" + 2Y "" 23 + 25 (Unica posibilidad)

Donde: 1.=3 ;

Pero: I nIAIB~ I =In{iA} I + n(B) .ln(AjB} I

6=x+y-n(A ....... S)

6=3+5·n(A " B)

Entonces: I n(A " B) = 2 I Luego: I n{p(A " Bn = 2" = 2' = 41

Rpta. B

Problema (!) En un colegto 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primero. 3gelsegundoy48~tercerexamen. Aprobaron 1 O Iostresexámenes. 21 no aprobaron 8JCamen alguno, 9 aprobaron los dos plimefOs, pero no el lercero; 19 no aprobaron los dos primeros exámenesperosfeltercero. Calcúlese cuAntos alumnos aprobaron por lo menos 2 exAmenes.

Resolución:

Disponemos los dalas del problema en un diagrama de Venn-Euler. tomando oomo oon­junto la. cantidad de alumnos que llevan el primer, el segundo y el tercer curso y como corlunto universal los 100 alumnos del cole­gio.

2"E~

(39)

~Ex.

(48)

Del diagrama tenemos que:

x+y+1O+9::4Q

w+z+ 10+9=39

y+z+10+19=48

...... (1 )

... ... (2)

...... (3)

Se ptde; calcular. 9 + Y + z + 10 :c ?

De (3): .-_ I=y=+=z== ='9:.1 ___ •

Luego: 19 + '1+ z+ 10 = 9 + 19+ 10 = 38 _ Rpta.

Alumnos que ap'obaron por los menos dos cursos.

NOTA: 1..08 JO alumnos qUi!aprobaron 3 cursos, ackmós de aprobar 'os .1 cursos quiere decir QU€

aprobaron 2 curoos. Si en el problema nos preguntaran . ¿Cuántos aprobaron sólo 2 curo SOS mtonces lo que nos piden será:

problema @

Una persona come huevos o losino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si con 10 locino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?

Resolución:

LlQvando nuostros dalos a un diagrama tQr-Kr­

mos:

Luego:

Tocino (25) Huel'OS(18)

ffiu (25 - x) +X + (18 - xl =~ (1 do di. quQ tkIn9 AbrW)J

-)(+43=30

El número de días que la persona come tocino y huevos duranle er mes de Abril es de 13 mañanas.

Rpta .

Problema ® De un grupo de 105 deportistas. se observó que:

A) 15son311e13S. que practican eltútbol yla nalación.

B) 52 son atletas.

C) 55 son nadadores.

O) TodOS IOSfu!boljstassona!'(~tas y 12son deportistas que sólo practican el atletis­mo.

E) 15 depomslrts no ~raClK:an ninguno de los deportes mencionaooo

¿ Cuántos deportistas sen atletas y nadado­res. per~ no flJlbolfmas?

Resolución:

Sean: A = {Con¡unl{l de Atletas}

F = {Con!untc de FLtbolislas}

N = (CQnOl,n'? de t-.~dado",s}

(No practican ningun deporte)

Del diagrama:

i) 12+'1+15+)( = 52

ly=2S o ·1

;;1 52+(4O-xl+15=105

52 + (40 -xl = 90

92-x=90

x= 2 I Problema @

Apta.

De 1 BOalumnos de una Academia Pre-Univer­sitana que gustan de Ioscursos "Razonamien­to Matemático", "Algebl'a", o -Aritmébca" se supo Que:

Al 34 gustan de "Razonamiento Matemáti­co" pero no de "Algebra"

e) 28 gustan do "Razonamiento Matemáti­co" pero no de "Aritmética"

e) 16 gustan de "Algebra" pero no de "Ra­zonamiento Matemático"

O) 24 gustan do MAJgobra" pero no de "Arit­mética"

E) 4B gustan de "Aritmética pero no de "Razonamiento Matemático·

FJ 18 gustan de "Aritmétk;a" pero no de "Algebra"

¿A t:uállllr.i jÚ\'vllw ~ ym>lClI1 IIA> 3 cur~

mencionados?

Resolución:

Llevando nuestros datos. tenemos:

Del diagrama:

a+p=34 a+q=28 b+r=16

b+q=24 c+ r = 48 e + p = 18

1: m.a .m. 2a + 2b + 2c + 2p ... 2q + 2r = 168

2(3 .. b .. e .. p ... q .. r) :: 168

a+b+c+p+q+r:: 841 Pero:

a+b+c+p+q+r+x::180 . L. 84+x=180

(Les gusta los 3 cursosl

Problema ® En un avión transcontinental viajan 9 mucha­chos. 5 niños latinoamericanos. 9 hombres. 7 muchachos extranjeros. 14 latinoamericanos. S latinoamericanos hombres. 7 mujeres ex­tranjeras. Determinar el número de personas que viajan en el avión.

Resolución:

Realizando un ól8grama con los datos. se tiene:

El número de personas que \Jiajan en el avión:

I 3 .. 6 + 3 + 5 + 2 + 7 .. 7.:= 33' Rpta.

Problema ~

De un grl4X> de postulantes a Universidades, se sabe que:

A) El 46% pos.ulan a la "UNI"

Bl El 4~.k postulan a "San Marcos"

C) El 58% pos.ulan a ·Ca.ólica"

O) El B% postulan a las tres universidades

E) El 5% no postulan a ninguna de estas 3 universidades

Si 1 290estudiantespostularon apor lo menos a 2 universidades, diga ¿Cuántos¡x>stutanles hubieron en total?

Resolución:

ReaiZando un áagama con los dalos, se tiene:

UNI(46%x) San Marcos (42'1'. x)

Sea: # de postulantes: x <: > 100% )( de este 1 ~(,. el 5% no postulan a ninguna de estas 3 universidades. esto quiere decir que los que poStulan so .... el 95% x.

Del diagrama:

a + b+ p+ 8% x::::; 46% x

a + e + q + SOlo x = 4~k x

b +c +r + 8% )( =58%x

E M.A.M: (a + b+ e) + (a + b + e) + (p + q + r) + 24% x= 146% x

(a + b+ e) +[(a+b + el +(p+ q .r)J = '22% x ... (a)

Sabemos que: 1290 estudiantes postularon a por lo menos a 2 universidades. Del enuncia­do, obtenemos:

(a+b+c) = 1290-8% x ., , (~)

Además sabemos que:

a+b+ c +p+q + r+ 80/0)( = 95% x

[(a + b + e) + (p + q .,)J = 87% x .. ,(O)

Ahora , reemplazamos (~) y (O) en (a):

(1290 - 8% x) + 87% x = 122%x

1290 = 43%x

1290 = .~x

Ix=3oool (# de postulantes en total)

Problema @

Rpta,

En una fiesta donde hablan 120 personas. 30 eran hombres que no les gustaba la música "criolla-, 50 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gusta­ban de la música "criolla" es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos le gus1a la mústca -criolla"?

Resolución:

Realzando un ciagrama coo los datos, se tiene:

H M

Como el número total de personas es 120, tenemos:

X 30+)(+ '3+50 = 120

4 '3)( :: 40

,', 1.=301 Por lo Tanto gustan de la música criolla:

I i + 50 "" 60 personas l

Problema @

Al realizarse una encuesta entre los alumnos del QUinto año de un colegio, se sabe que:

A) 1 '200 los alumnos postulan a la KUNI'"

S) 7 12 de los alumnos postulan a "San

Marcos"

e) 1 6" de los alumnos postuan a las dos

universidades

O) 35 alumnos aún no deciden dondE! don­de postular.

¿Cuántos alumnos hay en el Quinto año de dicho colegio?

Resolución:

7x San Marcos 1'2'"

...--~----~

(;; -t) 35 U

CA un no deciden postular)

Sea: "x" = # de alumnos del quinto año de dicho colegio:

Poslulan a la UN!: f 7x

Postulan a SeUl Marcos: W

A las dos universidades: ~

Entonces:

x x Sólo poslulan a la UN1: "2 - "6

7x x Sólo postulan a la San Marcos: 12 - 6'

LuegO: ( i - i)+ i+( ~~ - i )+35 = X

2x + !+~+35= x 6 6 12 ---..-...

x 5x 2"+""12+ 35 = x

11 12x + 35=x

11 x-t-420 :;:. 12x

.". I x ~ 420 I (' total de a1urrnos

de Quinto año)

Problema @ Rpla.

Hallar: b + e - a, sabiendo Que los conjuntos: A, B Y e son conjunto iguales

A ~ (a+2;3-a)

B ~ (a-l ; 6· a)

e = (1 : b + e)

A) 2 B) 3 e)4

Resolución:

D) 5 E)6

Para que dtchos conjuntos sean iguales; debe cum~irse que:

A ~ (W;~}

S~(~;~

i) 8+2=6-a ~ 2a=4 ~ 1 a=2 1

ii) 3-a=a-1 ~ 4 =2a ~ I a=21

De los conjuntos 6 y C, obtenemos:

B = (ª-:J; 6- al

e = I!; b + el

i) a-1=1

ii) 6-a=b+c

4 = b+c

luego: b+c - a = 4 - 2 = 2 Rpta A

Problema@

Se- hizo ona encoe-sta a 832 personas sobre pre1erencias respecto a 2 revistas A y B, observándose que:

ab teen la revista A aOb leen la revista B

ba leen la r~ista A y B

Sí todos leen por 10 menos una de las 2 revistas. Hallar; '"a + b"

Alll B)13 C) 12 0)15 Ell7

Resolución:

A(ab) B aOb)

Aldecirque todos leenporlo menos unade/as 2 revistas quiere decir que mínimo leen 1 fe\lista, aunque también algunos leen 2 reMs­taso

De' gráfico; obtenemos:

• ab:P9 +iii. +.3m;; ¡;¡; t 832

Por descomposición polinomica. se tiene:

(lOa + b) + (l00a + b) • (I Ob +., ; 832

s 5

portanteo; a = B Y b = 5

luego: Rpla. B

Problema 0 Se reunen en un club, 80 socios de los coales 25 juegan a'''cachito'', 45 juegan al"dominó~ y 20 juegan sólo "ajedrez", Entonces los que juegan "cachito" y "dominó" son:

A)5 B) 10 C) 15

O) 20 E) Falta más información

Resolución:

Del diagrama:

m + n + a+b+20+x=BO

I m+n+a+b+x=60 I Ademas:

i)

ii) n + b + x == 45

... (ll

LM.A,M. m ... n + a ... b + x + )(:; 70 . .

6O+x= 70

RptaB

prQblema @

Si: A = {1 , 2, {4, 3}, a}, determinar cuántas expresiones son correctaS:

1. {{4, 311 a: A

111. {4.3) C A

V. "EA

A) 1 B) 2

Resolución:

11. {{l ,2]} E A

IV. ({l, Sil e A

C) 3 0)4 E)Q

Analizamos cada uno de las expresiones da­das, veamos:

1. {{4, 3)) si es subconjunto de A

11. la pertenencia e se usa enlfe un ele­mento y un ronjunto

111. {4. 3} es un elemento de A Y no un subconjunto

IV. ({l. an es un subconjunto de Ay no un elemento de A

V. " no está como elemento de A

. , 1 ~ de las expresiones es correcta I Rpta. E

probfema @

De 3Opersonasqueviajanrumbo a Europa. 16 dijeron que visilarian Francia. 16 Inglaterra y 11 Suiza, 5 de los escuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitarán tam­bién Inglaterra. 5 sólo van a Suiza y a sólo a Inglaterra. ¿Cuántos visitarán sólo Francia?

A) 3 8)5 C)7 0)9 E).

Resolucl6n:

ToIalde personas queviajan rumbo a Europa = 30

Por diagrama de Venn. obtenemos:

8.aa(11)

• 5 de los encuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitaran también Ingla­le rra. esto nos da a entender que 3 visitarán Francia. Suiza e Inglaterra. lo cual el 3 lo colocamos en el centro del diagrama.

Del enunciado, obtenemos:

i) a+ 3 =5 ..... I-dl ii} a+3+c+5=11

2+8+c=11 -> 1 c= I 1 ¡ji) b + 3 + e + a ;:;; 16

b + 3 + 1 + e = 16 ..... 1 b';'4 1 iv) x+a+3+b= 16

x + 2 + 3 + 4 :=. 16 ..... 1':=7:1 luego, las personas que s610 visitaron Francia 500:7

Rpta. C

PROBLEMAS CON REGIONES SOMBREADAS

Problema CD Sean k:ls conjuntos:

A = (0, 1, 2,3,4, S, 6, 7)

B= [O. 2, 4, 6. S. tO)

Hallac"A · B" y "S· A"

Resolución:

Aplicando la definición; cak::ulamos:

A · B =@ I,@3,@S,@7) . ~~

«J.@'@@ S, 10J -.'. 1 A·B = (1 , 3,S, 7J1

Gráficamente tenemos:

u

Apltcando la delinición. calculamos:

B - A = 1(Q¡~@(&M )­

l@ 1,~ 3,@lS,(7)

-- 1 B-A=18,10) 1

Gráficamente tenemos:

problema @

Dados los conjuntos:

u

A = la, b, e, d, e, 1, g, h}

B = [e, e, 1, g}

Hallar: -A· BOl Y -8 - A­

ResolucIón;

Gráficamente calculamos "A . B" ~-;:-........ A

Gráficameme calculamos "B . A"

B-A =(l

pues no hay ele· mentos de"B"que no esten en · A-

[B- A)

u

u

Problema G)

Dados los conjuntos:

A:12,4, 6,a,10)

B=la, b,e, d, e, fl

Hallar:

Resolución:

Gráficamente tenemos:

B

(8):. O"e 6 d. 10 f

U

IA- B=12, 4, 6, 8,10) 1

¿ Recuerda ladefinidón dI; COfluntos disjuntos?

prOblema @

Achurar en el diagrama de Venn·Euler cada una de las siguientes operac;ones:

al b) el

lli)B 1:fu

A vBu e A-lB v C) [A ,-; C) v (B ,-; CJ

Resolución:

A v B vC

rAJB Uu

A-(B v C)

rAJB Uu

(AnB)v(B n C)

Problema G) ¿Cuál de la siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región achurada?

A)

Bl e) O) E)

rAJB Uu

(Av B)" C (A IIB)ve

AII(B v C) (A 11 B) - (A n B n C)

N.A.

Resolucl6n:

Para su mejor enlendimiento acada una de las regiones le designamos una \elra minúscula o un número: y el'fl)ezamos a reemplazar en cada una de las relaciones dadas. veamos:

A)

q@B

• : b

g .. -d

e e u

Región sombreada = (a, b. e, d] ... (ex)

(A u B) 11 e = (a, b, el, e, 1, g),; (e, d. e, g)

B)

• ¡

M

= (M - C) v (C- M)

= (a, b. I) v {e}

e

.. leA v B) A C = (a. b, e, 1)1 (fa/so), no se parece a la expresión "a lO

q@a : bB

. 9 _ d

e e u

I Región sombreada = (a, b, e, d)l ... (n)

(A "B) v C = I(A - B) v lB - A)] v C

C)

= (( a. g) v lb, dll v {c. d • •. g}

= (a, b, d, g) v (e , d, e, g)

.. [ (A'; Bl vC = (a, b. e, d, e, g)1

(Falso), no se parece a la expresi6n "a ~

~. B

, a : b ,

. g d

• e u

I Región sombreada = {a. b. e, el} [ .. . (n)

A"NvC)=~~tm,,~~el,~t~ , . ' . . .

A N = (A - Nl v (N - A)

= {a} v lb. e. d}

AA (B vC) = (a, b. e. d)

·'. I A A (8 v CI = Aeg;ón sombreada I NOTA:Como ya hemos encontrado la

relación correcta,siendo esta la "'c", ya 110 es necesario conti­nuar con las relacWnes D y E.

Rpta. e

Problema @

¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región, achurada?

Al (A-8) vIC - (AuB))

B) (e - 8) v (e - A)

C) (A- C),,(B - C) vC

DI «A" BI - C) v (C - (A vB)) E) N;nguna

(A) '\5 U

Resolución:

Al igual que el problema. anterior a cada región le designamos una letra mln.;.scula, veamos"

~g: ,B

C e

. b ." e u

I RegKln Sombreada = (a. b) I

Al lA - 81v1C- lA v B)}

= Ig. c} v {(b. c. d. e) - la. c. d. e. f. gil

=(g. c}ulb)

~ (g. c. b) I M erente al área achurada

BI (e - SI v (e - Al = (b. e) u [b, e}

4 {b. e, e} I diferente al área achurada

C) [(A - C}) N.B - C)} u C

=[a. g} ,, [a, f) v (b. c, d. e}

=[a) u (b.e,d,e)

1 (a. b. e, d , e)ldHeren,e a' area achurada

O) (lA " Bl - C) v (e , (Av 8)}

= (la, di - (b. c, d , e)) v

{(b,c, d, e ) - (a:<:, d, e: f.g)}

=Ia}v(b)

~ luego:

I(A "B)- e) v IG - (A v BII = ja.b) = =:!ct. Rpta. o

Problema (j) ¿Cuál de las siguaantes relaciones expresa mejor la siguiente región achurada?

A) (A n09 n [Bc v C)

B) (A n Oj n (B neCj

G) (A v C"] n (BC "C)

O) (A u B"] u (C " OCI

El IAnB9,,(Cvo"]

Resolución:

I Región achurada = Ca, b, c. d, e, f, g}

De la primera relación (A), obtenemos:

A ,, [)C = {a, b,(:, d, El, ',9, h, i, j} n

(a, b, e, d, e, 1, g, i, j)

I [A " OCl = (a, b, c, d, e, 1, g, i, j) I ... (a)

[B" v C) = {a, b, c, d] U (e, 1, g, h)

I [B" v C) = (a, b, c, d, e, 1, g, h) I ... (~) Ahora intcrsectamos (o:) y @):

[A " OCl" [Sc u C] = (a, b, e, d, e, 1, g)

.. lA" OC) " [B" u C) = Regí'" sombreada I Rpla. A

I PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1.·Detenninarelconjunlosolución del siguiente conjunto:

{ ,5 I } A ~ xeO/x - t"'+6~0

A) A = { - ;.~} S) A~G;}

C) A=G - ~} O) A= {',·H E) A~{1.·n Problema 2,- Determinar por extensión el si--9tiente eotlunto:

p "" { 2x ~ 5 / x e N. 2 5 x 5 B} {I.I.I.I . ,}

A) TI' 13' Is' TI" rr

{, . l . l . l . l. '}

B) 9' 13' 15' 17' 19' 21

{l. 1 . 1 . 1. l . 1. I}

C) 9' TI' 13' 15' ""ir 19' 2f

{1 , 1 , 1 , 1 , 1 . 1, 1}

D) '1 TI 13' 15' 17- W 21 E} Ninguna anterior

Problema 3.- 0adoelconjunlo A={7, 10. 15, 22, 31, 42, 55, 70). Oelenninar por compren·

sión, un subconjunto de "A". cuyos elementos sean los números; 10,22. 42.70.

A) (4,,2+ 6/n E N, 1 < n <3)

S) (4,,2 + 6/n E N, 1 < n < 4)

C) (2,,2 + Sin E N, 1 < n < 4)

O) (2,,2+81n. N, 1 < n < 6)

E) Ninguna anterior

Problema 4.- Determinar por comprensión el siguiente conjunto:

A = (36, 45, 54, 63, 72)

A) A= (xix = 3"{2" + n), donde: OSn S 4.n E: A}

S) A= (xix = 2"(32 + n), donde: O s nS4,n E R)

C) A= (xix = 3"(2" • n), donde: 05nS4,nE: A}

O) A= (xix = 2'(4' . n), donde: O:snS4, nE: R)

E) Ninguna anteñor

Problema 5.- Sea el conjunto:

A = (m, n,(p), (q,r))

y dadas las siguientes proposiciones.

1. El conjunto A, tiene 5 elementos

11. El conjunto A, tiene 4 elementos

111. El conj...,to P(A), tiene 16 elementos

IV. El conjunto A, t)ene 16 subconjuntos

Marcar la ahemativa correcta:

A) S<>n verdaderas sólo 11 Y IV B) Son falsas sók) I y 111 C) Sólo I es lalsa O) Sólo 111 es falsa E) Todas son lalsas

Problema 6.· Se tiene los conjuntos:

A=(xIx E N AX'.2x- 15=0)

B = (xix E Z· A x' - 9 = O)

C={xlxe RI\ x2 +25 =O}

Ernonces: (B u C) 1""\ A, será igual a:

A) (3,5)

O) (5)

B) (3)

E) "Jlnguna C){-3, 5)

Problema 7.· Se tiene los conjuntos:

A= {2, 5, 7, 91

B = (1 , 2, 3, 4, 5, 7, 9)

C={2,3, 6, 8, 9)

y el <:anjlJ1l0 universal:

u = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

EnlOflCes:

(A' A B) 1""\ (B' A C) - (A 1""\ C')' será igual a:

A){1,3,5] 8)0 e] (2, 6, 6)

O] (1 , 2, 4, 6) E) Ninguna

Problema 8.· Se tiene los conjuntos:

•

A ={xe NI3 ~ x< 17}

S = (xe NIx $ 3x - 2 <20)

Entonces: CA u S] - (A 1""\ B), tiene:

A) 4 elementos

C) 10 elementos

E) 12 elementos

B) 6 elementos

O) 16 elementos

Problema ti.· en un salón de clase hay 90 alumnos: 32 postulan a fa UNJ, 43 postulan a San Marcos, 29 a Villarreal. 8 postulan a la UNI y San Marcos, 10 a San Marcos, V Villarreal V 6ala Vilfaffeal y UNI y 4 alurmos postulan a las tres universidades, Determinar:

a) ¿Cuántos postlÁan solamente a San Marcos?

b) ¿Cuántos postulan a UNI o San Marcos pero no a Villarreal?

A) 22 Y 59

0)17yl0

S)29y55

E) N.A.

C)29y59

Problema 10.· El departamento de estadística de la UNI, realiza una encuesta entre los eS1u· diantes, obtenlt::ndo los siguientes resultados:

a) E175C1Jt~ fuman ·Premler"

b) El 65% fuman "Nevado"

e) Et5O'fofuman "prerlier" o~evado", pero no ambos

d) 300 estudiantes no fuman ninguna de estas marcas de cigarrillos

¿Cuántos estu¡jantes 1ueron encuestados?

A) 2 000

0)6000

B) 3000 E) N.A.

e) 4000

Problema 11.· En una fIeSta donde habfan 100 personas, 30 eran hombres que no gus~ bao música "salsa-, 60 eran mujeres que gus­taban de esta músk:a, Si el número de hom­bresque gusta de la mUsica ·salsa" eslacuarta parte de las I)'lujeres que no gustan de esta

música. ¿A cuantos les gusta la música "sal­sa"?

Al 70

0164

BI62 El N_A.

C)68

Problema 12.- ¿ Cierto numero de medallas de oro, deplatay decobre son repartM:lasenlre 100 atlelas en un festival deportivo, se sabe que 45 personas reciben medallas de oro, 45 personas reciben medallas de plata. 60 perso­nas reciben medallas cobre, 15 personas reci­ben tantas medallas de oro como de plala. 25 personas reciben medallas de plata y cobre, 20 personas reciben medallas de oro y de cobre y 5 personas rociben medallas de oro, plata y cobre. Se p1de: ¿Cuántas personas no reciben medallas?

AI4 BI3 C)5

016 EI7

Problems 13.- ¿Cuál de las siguientes relaciooes,expresa mejor la siguiente región achurada?

e

Al (AvBIC v (AnBIC

B) e n(AvB)

C) e n(Ac n Be¡ v (A n BI

O) e n (AvB)c

El e n (AvBlv(An B)

Problema 14.- ¿Cual de las stguientes rela­ciones. expresa mejor la siguiente región achurada?

A) (A v B v C) - (Av B n el

BI (AAelvB

el (AvBvel n(A'vB've')

DI (A Ae) - (Bv C)

El (A v B v C) n (A v B v C)C

Problema 15.- En lasfguienle figura , la reglón sombreada está representada por:

~ ______ D wCI A) (e - BI v (A n DI

BI e' v (B' n Al

C) (O-C) v [e-IA nB))

O) (D-C) v (B-AI

EIO-(e-(B-AI]

Problema 16.- En el siguiente gráfico. la re· gión sombreada representa:

Al (A n C) - B

81 (A v B) - (AA 8)) - e

el (A n B " C)-C

DI (A n BI-18-C)

El Ninguna

Problema 17.- la región sombreada está representada. por.

r!:: A) (Av B)- (evO) B) (A v B) v (e - O)e C) (A v B)ó (e v o) O) (A v B) v (enO) E) (A v B) n(evO)

Problema 18.· ¿Cuántos puntos hay en el triángu50 V cuadrado pero no en el círculo?

g) 2 personas no leen ninguno de estos pert6dk;os

¿Cuántas personas leen el Popular e Idolo. pero no Expreso?

A)2 0)7

B)3 E) Ninguna

C)4

Problema 21.- En una encuesta realizado en un grupo de 100 estudiantes de un Instituto de idiomas, se obtuvo el siguiente resultado: es­tudiaban español 28; alemán 30; francés 42; español y alemán 8; español y frances 10; aleman V fral1(;és 5; los tres iciomas 3. ¿Cuán­los estudiantes tOf1"\a.n el fraocés como único idioma de estudios?

A) 15

0)35

B)20

E)NA

e ) 3Q

• • • Problerrut 22.- Al simplif;car:

A)2 B) 4 C)6 0)8 E) 12

Problema 19.- ¿Qué representa la región sorrbreada?

A) (A n B) - e e)(A n B) - (An C) EJAye

B) A, (B n C) O)(A v B)-e

Problema 20.- De un grupo de 59 personas. se observa lo siguiente:

a) 8 personas leen sólo elllPopular"

b) 16 personas leen sólo el "Idolo-

e) 20 personas leen sóto el "expreso"

d) 7 personas leen "'El Popular e Idolo"

e) 8 personas leen "'8 Popular y Expreso·

f) 4 personas leen "'El ldolo V Expreso"

(B n A')v(Av B)" ~ (B' nA)

Se obliene:

A) A' U B' B)(A U B')

D) (A n B')' E) Ninguna

G)A'nB

Problema 23.- Sean A, B V e corjuntos tales que:

A c: B c: e simpUficar la siguiente expresión:

(A' n B/v (A n B) v(B n e) v (e n B')

AJA 0)0

B) B E) Ninguna

e) e

Problema 24.- El registro central de la "Univer­sidad Nacional del Callao" proporciona los siguientes datos: respecto a un grupo de 200 estudiantes del primer ciclo:

") 105 están inscritos en Básica I

-) 115 están inscritos en Matemátic:a I

-) 75 están inscritos en Fisk:a I

') 65 eslán inscritos en Básica I Y Malemá!ica I

.) 35 están Inscritos en Física I "1 Básica I

-) 30 estan inscritos en Matemáticas I V Físi· cal

-} 20 están inscritos en los tres cursos

Determinarel número que están inscritos exac­tamente en dos de los tres cursos.

AlBO 0115

Bl70 EIN.A

C)95

Problema 25.- Cierta Col"ll'añía solicitó jóve­nes que hubieran seguido cursos en Ingenie­ria Civil, Mecánica O Industrtal para realizar trabaios relacionados con estas especialida­des. El criterio utiliZado para la selecaón fue de que hltlieran llevado más de un curso en dichas especialidades . Treinta de los postulantes habían llevado cursos de Ingenie. ría Civil, 35 en Ingeniería Industrial, 50 en Ingenieria Mecánica y 3 fueron aceptados por haber llevado cursos en todas las carreras, mientras Que 26 tueron desertados porque sók> siguieron Ingeniería Mecána. 10 por sólo seguir Ingenierla Industrial y 14 por sólo seguir Ingeniería Civil. ¿Cuántos se presenta· ron? ¿Cuántos 1ueron seleccionados?

Al 81 Y 31 SI 61 y29 el 79 Y 31 O} BO y 40 E) Ninguna anterior

Problema 26.- La parte achurada representa :

Al (x u y u z)-1x u z) SI C) O) El

x u y v z · x n z x nz y n (x u x) Otra relación

Problema 21.· La parte achurada de la ligura representa:

A) x n y n z

Bl (x n v) u (znv)

el (y - xl u (z - yl 01 (x u y u zl - y E) Teda lo anteriores falso

Problema 28.- La diferencia simétrica entre los COrluntOS P y a esta representada sólo por uno de los siguientes diagramas de Venn. ¿cuál?

A) tW S) tW e) tW O)tm

El PCill Problema 29.· ¿ Cuál de los diagramas del problema anterior representa:

(p . O) u(O - P) u P?

AlA SlB ele OlO ElE

Problema 30.- ¿Cuál de los diagramas del problema 28, corresponde a:

(P n O)u (p. O) v (O n PI

A)A BIS C)e 010 ElE

Problema 31.- La parte "Acnurada" de la figu­ra, representa:

Al P n O el 0 - P El (P - 01 n O

S) P - O DI (P v 01 n P

Problema 32.- la parte -Achurada" de la figura, representa:

A,r,.,O C)O- P

p

E)(P - 01 ,., (O - P)

Bl P-o O) (P - 01 v(O- P)

Problema 33.- la pane "Achurada" de la flQUra. representa:

AlP "' O C)O-P E)(P - 01 ,., (O - P)

Bl P-O O) (P - 01 v (O - PI

p

@ los cuatro diagramas siguientes se re­fieren a laspreguntas 34 y 35

O O p'-1- P - -

1-1- -

- R ~ R (1) (11)

r-----, o p p

R R

(111) (IV)

Problema34.- La parte "Achurada" ele ruáJ de estos diagtamas representa:

(O,., R) - (p ,., O ,., Rl

A)I O)IV

B)II E) Ninguno

C)III

Problema 35.- La parte "Achurada" de cuál de estos diagramas representa:

(R - (P vOlv IP - (R vOll

A) I DI IV

B)II EJ Ninguno

C)III

ProbleIf1ll36. .. En un grupo de 230 estudiantes el minero de los que sOlo rindieron el segundo examen es un tercio de los que rindieron sólo el primer examen. El número de los que riodia. ron sólo el primer examen es el doble de los rindieron ambos exámenes e igual a la mitad de tos que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos alumnos rindieron solamente un examen?

Al 120 0160

S) 140 E) 90

Cl210

Problema 37.- Dado tos siguientes conjuntos iguales:

A = {a + 1; a + 2}

B={8-a;7-a)

C=(4;b+2}

0=(c+1;b+1}

Calcular: -a + b + c·

A)7 B)8 C)O 0)10 E)ll

ProlJlems38.- En un grupo de l00es1udian­tes; 49 no llevan el curso de Algebra y 53 no siguen elcurso de Arimélica: si 27 alumnos. no siguen Arilmelica ni Algebra. cuántos alumnos llevan exaC1amente uno de tales cursos.

Al 24 8l3O el 36 Dl48 El 26

Problema 39.- Dado el conjunto:

A - (O; 1; 2; (1); (1; 2); (3); (O; 3))

y dadas las proposiciones:

1) 2 e A 11) (1l cA IIIl (O) e A IV) (3) c A

V) (0:3J e A VI) O cA VII) (3)) cA VIII) 0< A

El nlÍmero de proposiciones verdaderas es:

A)6 S) 5 C)4 D)2 E)7

Problema 40.- ¿Cuántas personas habrá en un grupo de estudiantes de los cuales, 18 estudian aritmética, 19 algebra y 17 geomelña; además 3 estudian aritmética V algebra. 6 estudiaban aritmética y geometria, 7 estudian a~ra y geometria pero no arttmética. 42 estudian 105 3 cursos y 12 estudian olros cursos?

A) 38 8)39 C)50 D) 56 El 58

PrOblema4t.-Traducira un Diagrama UneaJ. el siguiente Diagrama de Venn Euler.

Al B 5 1/ i

C) e

/\ B A

I

Bl/\ A e

I e s s

D) /\ E) Ninguna

B A

1/ 5

Problema 42.-5i: A= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7], e ={5; 6; 7; e; 9J Ae = (4; 5). Entonces: cuáles son los elementos que deben estar achurada en el diagrama.

A)4,5,6

B) 4, 5, 6,7

C)4,6,7

O) 1,2,3

E) 6, 7

B

Prob/ema43.-5i: p={e; 9; tOJ, Q=(1; 3; 4; 5; e; 9} y R = (2; 4; 5; 6; 7; e).Entonces: cuáles son los elementos que deben estar en la parte achurada del c:iagrama.

All;2;3 R

B) 4;5

C) 4; 5;9

O) 1: 3;8

El 4; 6; 7; 9 L-_--'p

Problema 44.- ¿Cuál de lassiguienles expre­siones representa a la parte sombreada.

A

Al [(A • C) n Bl n [(e - Al n Bl el (A f"\ B) v{BnC) e)(A· el v{e· Al Ol{AIIC)f"\B El e· {A n el

e

Problema 45.- Si el conjunto A tiene cuatro elementos y el conjunto B tiene tres elemen­tos. ¿Cuál de los siguientes enunciados p~ dria ser verdadero?

A) A v S, tiene 8 elementos. S) s v e, tiene un elemento, e) A u B, tiene 5 elementos. O) B u A, tiene 6 elementos. E) A v 8. liene 2 elementos.

Problema46.- ¿Cuál es el mlnimo numero de elementos. que puede tener (A .. B) .. C; Si: n (A) =4; n (B) = 3 Y n (C) = 2?

A)2 8) 3 C)4 0)6

Problems 47 ... 0el siguiente diagrama:

Hallar: "(PuA) " O"

p

6

2

3

5

o

4

7

1()1-----:9-r--¡S R

A) (1 ; 3 ; 4 : 5)

B) (3: 5; 9)

C) {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9}

0){2; 3; 5 ; 9; 11}

E)(1;3; 4;5; 6; 7;8; 9; 10)

E}9

Problema 48. .. Dado el conjunto A y B, se tien<! que: n(A) = 2n(8); n(A " 8} = 5 Y n(A u B) = 19. ¿Cuántos elementos tiene A?

A)118)4 e)8 O}16 E)13

Problema 49."Si: A ={1; 2; 3; 4}: B={3; 4; 5; 6: 7) " e = (4; 5). Entonces: cuáles son los

elemenlosquedebenestarenlaparteachurada del diagrama?

A) 3; 4; 5

8}1 : 2;3;4

C)1;3;2

O} 1; 2; 3; 4; 5

E} 3; 4; 5

Problema 50.- Dado los conjuntos A y 8 se tiene que: A e 8; 3n (A) = 2n (B) y n (A u 8) = 18. ¿Cuántos elementos tiene B?

Al6 8)S C) 12 O}18 El 16

I CLAVE OE RESPUESTAS I I

1.B 14. e 27. 8 40. e 2.e 15. D 2S.E 41 . O

3. 8 15. B 2~.P 42. e

4. A 17. e 30.0 43.C

5. e 18. A 31 . 8 44.0

6.8 19 E 32. A 45. 0

78 20.e 3:' O 46, 8

S, E 21 , e 34. B 47,A

9.8 22. A 35. 0 46.0

10. O 23. C 36. 0 49, 0

11. 8 24, 8 37.0 50 O

12. e 25. A 38.0

13. e 26. A 39. e

I

KaZone

Si P A tiene 16 elementos y PB tiene 32 elementos determinar cuántos elementos tiene P1Av B ) si se sabe que AnE tiene 3 e lementos

Respuesta . 164 II

iªi Razone ¿Cómo adivinar el día y el me.,. de nat'imienlof

Pmpúngalea un compañero(a'quee~criba en una Iltljo de papel d día Jel mes €lllJue nació y haga los operaciunes ... iguiellles:

Que du.pliQue el número escrito, que multiplique por 10 lo obtenido. que le sume 73 al producto, que multiplique por 510 sumo, y que 01 lotal le ailoda é'I número de orden del mes en que nació. EltellaJ le dice a usted. el resultado final de todos los operaciones y

usted le di('1.! fa (echa en que nació, ¡Como puede usted hacer esto? Ejemplo:

Si Sarita nació el 16 de nO!Jiembre. es decir, el dw 16 del mes 11. Efta hace losiguiellte .'

Ifix2= 32 32x 10= 320

320 + 73 = 3'.13 39Jx5 = 1965

/965 + 11 = / 976 (~ Saritale dice a ustl!d el número 1976 ~ ........ [!"""";

Usted hace lo siguiente: / 976 - 365 = ~ . J ~

Conclusión: Para saberla focha que se busca hay 16 de Noviembre que restarle 365 al resultado fifUll

SERIES 3 SERIE: Es una expresión matemática en la que sus terminas van escritos sucesivamente

los mismos que se forman a través de Reglas Válidas matemáticamente. Todos /os términos de una Serie dependen de una conslante llamada razón que podrá determinarse por diferencia, por cociente o por cualquier ley que se desee establecer, los procedimienlos aqu; ha utilizarse no son únicos. hay muchas formas de establecer relaciones sencilfas entre las operaciones matemáticas.

crasificación de las Señes:

1} De Acuerdo a la razoo de sus términos 2} De Acuerdo a su fórmula de recurrencia.

1. De Af;uerdo a la Razón de sus términos.- pueden ser:

A) series ArHméticas.- Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por diferencia.

Ejemplo 1:

Ejemplo2:

Razón

Razón

Cuando la razón es constante, la serie reci­be el nombre de Pro­gresiónAritmética.

B) series Geométñcas.- Cuando la Razón entre sus ténninos consecutivos se haUa por cociente.

Ejemplo 1:

Ejemplo2:

Ejemplo3:

3 • 6 . 18 . 72 . 360 • ~~~~ .

><2 x3 x4 x5 4> Razón

~~\,,;'.A,; .. 64 x-t . 1 ~ ,.;16

-... "'-""'-" )(4 )(4 _

(Cuando la razónesconstan­te, la serie, recibe el nombre de Progresión Geométrica)

Q Razón

Q Razón

Observación 1: Hay ca.sos en que se plantean ejercicios combinando las dos claseB anteriores.

Ejemplo: 1 . 3 . 12 . 60 . 360 .... ~~~~ 'W~~,6 L;> Razón Geométrica

-1-1 -1-1 +1 c;> Razón Aritmética

Observación 2: Se pueden plantear series literales en [unción del ol{abetocastellano.

Ejemplo t: Que lelra sigue en: A ; E ; I ;M •...

Resolución: Para resolver esta dase de ejercicios también se busca una razón de distancia. entre letra y letra. siempre encontrará Ud. una relación de simetría. así como J nuestro caso observece y convenzase.

® : .B : e: D. : © : .F : G : H.: <D. .J : K : L ·@· N· Ñ; o.; ®, ... , , i . . . , luego: sin temor a errar podemos decir que nuestra razón de distancia es tres letras.

.. Ila letra que sigue en la serie: A; E; 1; M; ... es la P. I Ejemplo 2: Que letra sigue en: B : D · G· K; ...

Resolucl6n: Si recurrimos al abecedario:

@;e;@ ; E; F ;.@:,H ; 1; J ·0· L; M; N : Ñ,;@; ... _ ' , , I • , , 11 Lelra 1 12 Lelras 1 13 Lelrasl I 4Lelras I

11 lla letra que sigue en la serie: A; E: 1; M; ... es la o. I ..

Nota: Estir7UUJo.a1umno rwvayttsapensarque estas Siln las únicas relaciones que pueden establecerse entre letras, hay muchísimas más le recomiendo que al resolver estos ejercicios, escriba en sus hojas de práctica el abecedario y le facilitará la resolución.

-Recomendaciones: Si en la serie no se encuentra la letra CH. es porQUe no se va a considerar la letra Llo viceversa; pero si en la serie se encuentra la letra CH, es porque se va a considerar la lL o viceversa.

Ejemplo: ¿Qué lelfa s1gue en la serie? A ; B; eH; F : J ; ...

Resolución: Reemplazando cada letra por A=l; F=7: L=13: P=19: V=25:

sU número correspondiente se tiene: B=2; G=8; ll= t4; Q=2O; W=26;

1 . 2 . 4 . 7 . 11 . 15 C=3; H=9: M=15; R=21; X=27; ~~~~~ CH=4; 1= 10; N=l6; 5-22. y=za: .2 .2 +3 +3 +4

D=5; J=l1: Ñ=17; T=23; Z =29; Ile conesponde la letra M E=6; K=12; 0=18: U=24;

2. De acuerdo a su fórmula de recurrencia:

1. Señes Polinómicas: Que a su vez pueden ser:

al Series Lineales: Aquellas que son de la forma:

1 .n = ,.n.., I Q rl S-o-=-(-a,¡- a,,-=-,-.n-+-a-,;-n-e-IN-I'I

Lectura:

{

an = Término a encontrarse 8

0" Término anterior al primero

r = razón n = cantidad de ténninos o lugar del término pedido_

Para encon1rar ao' se usa la fórmula:

1·0=3-'1

Ejemplo 1:

; siendo: a = primertérmino

il a" = 2n + 3 Q So = (5; 7; 9; 11 ; 13 ; ....... )

y (n = 1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; ..... H ii) ao=3"-1 Q 8

0=(2 ; 5 ; 8 ; 11;14; ... ___ _ 1

Y (n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; m.) I Ejemplo 2_- Encontrar el término que ocupa erlugar 120 en la serie:

2;5 ; 8;11;_ ..... .

Re5Dlución

- En primer lugar, calculamos la razón:

1,-5-2-8-5-11-8 3

2 - 5 '8- 11

I~~ - En segundo lugar; hallamos el término anterior al primero (aJ

a(l = a-r c:> ao=2-3=-1

Luego. si aplicamos la fórmula: I ~ ron + aol. a cada término de la serie.

comprobamos que cumple con estos valores observe:

3,=3.1+(-1)=2 .. = 3_2.+ (-1) = 5 ..,=3_3+(-1)=8 3.=3.4+(-1)=1 1

I (lu~resl I

a120 = 359. es el término que ocupa el lugar 120_

b) SeriesCuadraticos: Aquellos que son de la forma:

I .. = An' + Sn + C I Q IrS-n-; -{aj- an- =- A- n2-:-+-s-n-+-C-;-n-e-N' ) I

Ejempros:

i~

ii)

.. = 3n' + 2n + 1 Q Sn; (6; 17; 34; 57; ... )

Y (n -1,2,3,4, ... ) 1

.n=2n2-3n+4 Q Sn=(3;6; 13;24; ... )

"4]n-1,2,3,4, ... 11

11. Series Potenciales: aquellos cp..!e son de la forma:

') B Q I Sn; {1; 2';3"; 4'; ....................................... .......... 1. "1 1 .. = Kan 1 Q I Sn;{Ka; Ka2;Ka' ............ ..................................... ) 1

111. Series Exponenciales: aquellos que son de la forma:

") rx?l ") I .. - Kanl

Q I Sn_(.,; a2;a3, ................ ...... .. . ........ ............. ...... .. 11 Q ISn-{Ka;Ka'; Ka', ...... · .. · .......... · ........ · .... · .... .... · ... · ~1

IV. Series Logarítmicas: aquellos que son de La forma:

I an = Klogn I Q I Sn = (Klog1 + Klog2 + Klog3 + ...................... 11 V. Series Trascendentes: aquellos que son de la forma:

') 1 .. =Senn" c;> I Sn = {Sen1 ° + Sen2° + Sen3° +h ...... hh ........ } I ") 1 .. =Cos n' I Q I Sn;(Cos1"+ Cos2"+Cos3'+ ................... 11

C. Series No Lineafes: Son aquellas enque la razón no es constante. para resolverestos eiercici05 se tiene que encontrar primero una Ley de Formación o Fórmula de Recurrencia que cumpla por lo menoseon los dos primeros términos de la serie, luego los términos restantes estarán en función de una constante "K" y el número de términos "n". Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo': Qué número sigue en la serie: 1; 3; 5; 43; ...

Resolución:

Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 1,3

A eslos 2 primeros términos, podemos considerarlos como una Serie Lineal , romo se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: la., = 2n -1 ·1

Ahora comprobemos si todos los términos, de fa serie cumplen con dicha fórmula, veamos;

• Como se podrá observar eltercertélTT'li­no, debió de habemos salid043, y no®

',=2(1)-1=1 I a, = 2 (2) - 1 = 3

a, = 2 (3) - 1 = 5 " =2 (4) -1 =® '-----------'

Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le v¡lmos ¡I agregar un télTT'lino que sea igual a cero (se anule) para los términos primeros de la serie, es decir, para: 1, 3y 5. Este será de la forma: K (n - 1) (n- 2) (n - 3), preguntémonos ¿Por<pJé?

Porque si: n = 1; n = 2; n = 3; este se anula. y sí funcionará cuando n = 4; n .. 5 ... .

Luego la ley de Formación será: I Bn" (2n - 1) + K (n - 1) (n - 2) (n - 3) I Ahora si encontramos el valor de "K"; sabiendo que: 84 = 43. tendremos que:

'. = (2 (4) -1) + K (4- 1)(4 -2)(4- 3)

43 = 7 + K (3)(2)(1) 36=K(6)

1 K=61

Volvamos a comprobar con la Ley do Formaci6n: '.= (2n -1)+ K(n-l) (n - 2) (n - 3) que el término del lugar 4 es 43. veamos:

•• = (2 x 4 - 1).6 (4- 1)(4-2)(4- 3)

" = 7.6 (3)(2)(1) Q '1 .-,-=-43'1

Ahora bien, como en el ejercicio nos piden el quinto término. se tendrá:

a. = (2n -1) + K (n -1)(n- 2)(n - 3)

a, =(2 x 5-1) + 6 (5 - 1) (5 -2)(5 - 3)

., = 9 + 6 (4)(3) (2) Q '1 .-, =- 1-53' 1

I El término que sigue en la serie es: 2971 Apta.

Recomendación: Estimado alumno. tu puedes proceder de igual forma cuando te pidan, términos que ocupen lugares mucho más altos, como por decir, Hallar el término de lugar 130.

En la fónnula de RecUlTenda: I al"l = (2n - 1) + K (n • 1) (o - 2) (n - 3) I -O

Calculamos: a, ,,, = (2 x 130 - 1) • 6 (130 - 1 )(130 - 2)(130 - 3)

a'30 = (259) + 6(129) (128) (127)

.. I a'30 = 12582 4031 (término de lugar 130)

Ahora preguntémonos: ¿ K(n -1) (n - 2) (n- 3) puede cambiar?

Por supuesto que si, esto dependerá de lo sene que nos planteen.

Ejemplo 2: Qué número sigue en la siguiente serie: 2; 4; 6; 8; 10; 252; .. .

Resolución:

Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 2; 4.

A estos 2 primeros términos, podemos considerartos como una serie, lineal, como se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: ~ ~

Ahora comprobemos si todos los términos. de la serie cumplen con dicha fórmula, veamos:

0,=2(1)=2 a" = 2 (2)=4 0,=2(3)=6 •• =2(4)=6 •• =2(5)= 10 .. =2(6)=@)

Como se podrá observar el 'quinto término,debi6dehabemossalido252, yno@

• Como hemos afirmado anleriormente. a la fórmula que cumple con los primeros términos le vamos agregar un término que sea igual a Cero (se anule) para lostérmi"os primeros de la serie, es decir, para: 2; 4; 6; 8; 10, ... Este será de la forma: K (n -1) (n-2) (n - 3) (n - 4) (n - 5), preguntemos ¿porqué?

Porque Si: n = 1: n = 2: " = 3: " = 4; n = 5; este se anuta y sí funcionará cuando: " = 6;n=7; ..•

luego; la l ey de Formación será: 1 .. = 2n + K (n -1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 5) 1 Ahora si encontraremos el valor de '1<", sabiendo que: ~ = 252, tendremos que:

.. =2(6) + K (6-1) (6 - 2) (6- 3) (6 - 4) (6 -5) U

252= 12 + K (5) (4)(3)(2) ( t) Q

Volvamos a comprobar con la l ey de Formación:

a,,~ K (n -1) (n -2) (n - 3) (n -4)(n - 5):

que el término de lugar 6 (aJ es 252, veamos:

.. = :1 (6) + 2 (6 -1) (6 - 2) (6 - 3) (6 - 4) (6 - 5)

.. = 12 + 2 (5}(4) (3}(2)(1) Q .. Ir.'-. =-2-5"C12 1

Ahora bien. como en el ejercicio nos piden el sétimo término (~). se tendrá:

8,,~ + K (o - 1) (o -2)(0 - 3) (o -4) (o - 5) U U '" = 2 (7) + 2 (7 - 1) (7 - 2)(7 - 3) (7 - 4) (7 - 5,..:-) __ ---,

a,= 14+2 (6)(5)(4)(3)(2) c::> .. I a,= 1454 1

I El término que sigue en la serie es: 1 4541

Ejemplo 3: Hallar el ténnino 80 de la serie: 4; 7; 16; :31; 52; ...

Resolución:

Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 4; 7.

Rpta.

A estos 2 primeros ténninos, podemos considerarlos como una serie lineal, como se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: I an::::~ ! Ahora comprobemos; si todos los ténninos, de la serie cumplen con dicha fórmula; veamos:

a,=3(1)+1=41 • ,=3(2)+1 =7

a,= 3(3)+ 1 =@

Como se podrá observar ellercerté~no • debiéJ. de habernos salido 16 y no~

Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le vamos a agregar un término que sea igual a cero (se anule). para los términos primeros de la serie, esdedr, para4;7y este será de la1orma: K (n -1) (n - 2); preguntémonos ¿Porqué?

Porque si: n:::: 1; n:::: 2; este se anula; y si funcionará cuando n = 3; n = 4; ...

Luego la Ley de Formacióo será: I 0n =!(3ñ"+"ij+ K (o - 1) (o - 2) I Ahora si encontramos el valor de -K"; sabiendo que: iI:3 = 16; tendremos que:

a, = (3(3) + 1) + K(3 - 1)(3 - 2) U 16 = 1O+K(2)(1) c::> :. IK=3 1

Como ya determinamos el valor de ",,", la fórmula de recurrencia será:

18,, =(30 + 1)+3(0-1)(0-2) IYPodemOSCOmprobo~a:

Si:"=1 c::> 0,=(3(1)+1)+3(1-1)(1-2)=4

Si: 0=2 c::> a,= (3 (2) + 1) +3(2 -1) (2 - 2) =7

Si: o = 3 c::> a, =(3 (3) + 1) + 3 (3-1) (3 - 2) = 16

Si: o ~4 c::> a.= (3 (4) + 1) + 3(4-1)(4 - 2) =31

Si: 0= 5 c::> Os= (3 (5) + 1) + 3 (5-1) (5 - 2) = 52

Como. puede ver. cumple con todos los valores de la serie dada; por lo tanto para:

I n=80 I Q aoo = (3(80) + 1) + 3 (80 -1)(80 -2) = h8 7-271

El ténnino de fugar 80 eS: 187271

Series Potenciales:

Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie. 1; 4; 9; 16: 25; 36; ..•

Resolución: Cada uno de los lérminos se pueden escribir así:

12; 22; 32; 42; 52; 62; ...

Luego, el número que sigue es: 1 7" = 491 Rpla_

Ejemplo 2: Hallar el nlimero que sigue en la serie: 2: 8: 18: 32: 50: 72; ...

Resoluaón: Cada uno de los términos se pueden escribir así:

2 x 12. 2 x 22. 2x 32. 2 x 42. 2 x 52' 2 x 62 • ............. ~'~~~~

Luego. el número que sigue es: 12 x 7'2 = 981 Rpta.

Ejemplo 3: Hallar el número que sigue en la serie: 2; 11: 26; 47; ...

Resolución: Cada uno de Jos términos se pueden escrlJir así:

~;,3)(4.1;,3)(?-1: .3)( 16-1,: •..

. 3 x 12 . 1:.3)( 22 - t:.3)(;32 -1;,3)( 42 - t; ... •

luego. el número que sigue es: I 3)( fI- - 1 ;; 74 I Rpta.

Ejempl04: Hallar el número Que sigue en la serie: 2: 8: 26; 80; ...

Resolución: Cada uno de los términos se pueden escribir así:

3-1; 9-1; 27-1 ; 81-1;_ .. """T-' ~ ~ ~

.3':';~;~;~; ...

Luego, el número que sigue es: 1 3" -1 = 2421 Rpla_

Series Exponenciales:

Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie: 3; 9; 27; 81; ...

Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asf:

3' ; 32; 33; 34: ...

Rpta.

Luego. el número que stgue es: 135 = 243 I Rpta.

Ejemplo 2: Hallar el término que sigue en la serie: 4; 8; 16; 32: 64; , ..

Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asi:

22; 23; 24; 25; ~; ."

Luego. el número que sigue es: j27 = 1261 Rpta.

Nota: Estas srriesexponern:iales se resuelven como progresionesgenmétricassi la base es constante.

I EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1: Qué número sigue en la siguiente serie: 4: 10; 16; ...

A) 20 8)26 C)28 D) 24 E) 32

Resolución: La Ley de Formación eS: t n (o +3) 1; donde: n = {l, 2, 3, 4,m}

Luego, reemplazamos los valores de "n~ hasta llegar al número que se nos pida. veamos;

10 18 ?

14 (4 +3) r Esiguala28 1212:3)1 13(;;3) 1 T

. . I El número que sigue es: 28 , Rpta. e ~----~~~~~----~

Otra forma: 4 ; 10 ; 18 ; .y. ; .... ~ "-" <>-" ~

18 + x = y

.. 6 +8 +x ....... "'-" .. 2 .2

8+2=)(

I 10~x I

Ejercicio2:0ué número sigIla en la siguiente sene: 2; 10; 24; 44; ...

A) 60 B) 70 C) 72 D) 75

.!;=) 18+10=y

•. 128~YI

E) 80

Resolución: La ley de F:irmación es: (3n - l)n , donde: n = {l. 2.3. 4, ... }

luego, reemplazamos los valores de "n" hasta llegar al número que se nos pida. veamos:

2 T

1 (3(1)- 1).1 1

24 ::r:

[ (3 (3) • 1). 31 ?

T . I 1 (3 (5)· 1 ).5 f-- e~ '%"

r-______________ ~ .. ~:E:I:n:ú:m:e:r:o:q:u:e:s:ig:u:e:e:s:;:70::1~ ______________ ~RPta.B Otra forma:

44+x=y ~ 44+26~y

:. FO~Y I

Ejercicio 3: ¿Cuál de los números debe ser reemplazado por 225 en la serie:

126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324

A) 258 B)159 C)192 D)23O E) 291

Resolución:

Como se podrá observar. la diferencia por cada dos términos consecutivos es 33: pero hay dos grupos en que la diferencia es 38 y 28. eslo indica que el término 230, debe ser reemplazado por 225.

Verificación:

126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324 ~~~~~~ +33 +33 +38 +28 +33 +33

126 ; 159 ; 192 ; 225 ; 258 ; 291 ; 324 ~~~~~~ +33 +33 +33 +33 +33 +33

El número 225 debe ser reemplazado por 230 para que se obtenga la razón igual a 33.

Ejercicio 4: La siguiente serie esta bien escrita desde el2 sucesivamente hasta el número 13, después de este hay un ténnino mal escrito, ¿Cuál es?

2 ; 6 ; 10 ; 15 ; 13 ; 78 ; n ; 82 ; 86 ; 90

A) 77 6)78 C)82 D) 13 E)e6

Resolución:

Al sumar los términos extremos nos debe dar un mismo número (constante) veamos:

2

6;rr~J];86 90

1>92

I:~92

Comosepodráobservarelerrorestaen lasumade: 13+ 78=91, quedebeser92.estoquiere decir que en lugar de 78 debe ir 79, Osea: 13 + 79 = 92.

, . I Ellérmino m~1 escrito es el 78. pues debe ser 791 Otra forma:

2 . 6 . 10 . 15 . 13 ' ~~~~'

-14 -14 +5 @

78 . 77 . 82' 86' 90 ~~~~ 8) +5 +4 +4

Rpt •. B

Se verifica que las razones en el primer grupo de 5términosson: 4. 4. Sy -2, yen el segundo grupo de 5 términos se puede observar el error ya que las razones son: 4, 4, 5 Y -1 . pues en lugar de -1 debe ser -2 , esto quiere dedrque en lugar del número 78 debe irel número 79,

EjercicioS: ¿Oué térrninQfalta en la serie?

2 6 14 16 22 26 6 5 5 5 5 5 5

A) 1 8)3 C)2 0)4 E)6

Resolución: Es fácil darse cuenta que la razón para los numeradores es 4; veamos: ~ ~ ~ ~ ri ~ ~~~~

2 6 14 18 22 26 5:5:-:5;S;5 ; s:6 ~

-14 +40 ... +4 +4 +4 +40

2~' .r:"1WI ~ 4 -<?» 16 -<?» 22 =--26-<?»(3liJ

5" ' 5" 'lID' '5 ' '5 ' 5 ' '5 'I]J

El número que falta en la serie es: 10 Ó 2 5

Rpt •. C

Otra forma:

Si buscamos la ley de fonnación para el ejercicio, se tendrá

12+(n~1~ X 41 ; Dond.:n~(1.2.3.4 •. __ )

Luego:

2+(1 1)x4.2+(2 - 1~ x 4 .2+(3 - 1) x 4 _2+(4 -- 1) x 4 _2. (5--1~ x 4 .

11 1'11, ; , .:, . t;tS igual a 2.

Ejercido 6: En la sigu~nle serie que número sigue:

Al 2~ 15

Resolución:

2~ - 2~ . 2 6 . 2~ 3' 6' 9' 12

Bl 215 10

D)2!.Q. 20

El 2~ 20

En primer lugar transformamos los números mixtos a fracciones; asf:

Otra forma:

a 3

16 6

24 9

4 x-4

5 x-

5

32 12

.. El número que sigue en la serie es: 2~~ I Apla.C

Ejercicio 7: ¿CUál es el número que sigue en la serie:

18 ; 21 12 ; 24 ; 27 ; 72 ; 30 ; 33

A) 36 B) 39 C) 41 0)33

Resoluci6n: ..

El número que sigue en la serie es: 331 Ejercic;o S: ¿Cuál es el número que completa correctamente la serie?

12 ; 15 ; 21 ; 33 ... . .. ; 105

A) 52 B)57 C)60 0)72

E) 52

Rpta. D

E)83

Resolución: Si hallamos la diferencia porcada dos términos consecutivos. obselVamos Que la razón Se va duplicando; veamos:

15-12~3 )Xl 21-15~6 ~

33 _ 21 ~ 12..J1 ><2

x-33~24

105-x~48

Q Q

x ~ 24 + 33~ 57

105-57~48

Q .. C07l

El númérO Que completa cOrrectamente la serie es el 57.

Ejercicio 9: Hallar el término 40 en la siguiente serie: 8 : 13 : 18 : 23 :

A) 200 B) 197 C)203 O) 183 E) 82

Resolución:

Rpta. B

Hallamos la Ley de formación para los 4 primeros términos: 8 ; 15 ; 18 ; 23 : ... ~~

Aplicando la lónnula: I a" ~ '. + (n . 1) x r

II a,,~8+(n-l)x5

L- r=5

{

~ ;¡¡ primer término r = razón é\, = término de lugar "n"

.. I a" ~ 8 + 5 (n - 1 )1 (Ley de Formación)

luego: Si: n= 1 => a,;8+5(1-1);8 Si: n=2 => ..,;8+5(2-1);13 Si:n=3 => 0.,;8+5(3-1);18 Si:n=4 => a,; 8+ 5 (4 - 1) =23

Si: n = 40 => 8 40 = 8+ 5 (40- 1) =203

. . 1 El término 40 en la serie es el número 203 I Apla.C

E;ercicio 10: Hallar el término que sigue en la siguiente serie : 5 ; B ; 21 ; 44 ; 77 ; ...

A) 110 8)130 C) 120 D)14O E) 160

Resolución:

5 ; 8 ; 21 : 44 : 77 ; Y Q V=77+x Q "=" "=" "=" "=" ~ .... ~ +13 +23 +33 H ,.-...

"=' "=' "=" "=" ...-. 10 . 10 ... 10 -1-1 0

o". I Ellermino que sigue en la serie es: 120. Rpta.C

Ejercicio 11: La fónnula Que expresa la relación existenle enlre "x~ é 'Y' según los valores de la siguienle labia e s :

A)y=2x-3 8) y= 2><" - 3 C)y=2><"-1 D)y=3x'-1 E)y=3x' - 2x+l

Resoluci6n:

Para este tipo de ejercicios es recomendable trabajar con las altemativas de la manera siguiente:

A>!V=2X-31 Cuando:x=1 => Cuando: x = 2 :::::}

y; 2 (1) - 3 = -1 (si cumple) y = 2 (2) - 3 = 1 (no cumple); porque de acuerdo a

latablacuandox=2; y=5.

cuando: x = 1 cuando: x=2 cuando: x= 3 cuando: x=4 cuando: x = 5 cuando: x=6

=> y;2(1)'-3=-1 => y=2(2)'-3=5 => y=2(3)' -3= 15 => Y = 2 (4)' - 3=29 => y=2(S)2-3=47 => y=2(6)' - 3;69

Como los valores hallados, astan en la tabla esto quiere decir que la res~ puesta correcta es la B.

• Como ya tenemos la respuesta, no es necesario continuar trabajando con las otras altenativas.

,--------------------------. La fórmula que expresa la relación existente entre ~)(~ é 'Y según los valores de la tabla es: y ... 2x2 - 3. Rpta. B

Ejerc;c;o 12: ¿Cual es elténnino que sigue en la siguienle serie: 5; 9; 13; 29; •.•

A)47 8)56 C)68 D)71 E)73

Resolución:

Se lrata de una serie no lineal observe que los tres primeros ténninos estan regidos por la misma ley de formación; veamos:

5 ; 9 ; 13 ; ...

"'C:" Aplicamos la f6rmula:rl~-=-a-o-+--'(n---1 )""-'r I

a" = 5 + (n - 1) 4 t:;> I an = 5 + 4 (n - 1) I (ley de Fonnación)

COmprobemos si todos los términos de la serie cumplen con dicha fórmula:

Si: n = 1 => a, = 5 + 4 (1 - 1) = 5

Si: 0 =2 => a, = 5 + 4 (2 -1) = 9

Si:n=3 => ., = 5 + 4 (3 - 1) = 13 Si:n .. 4 => ',: 5 + 4 (4 - 1) =1m (No cumplo)

EI17 no cumple con la serie, porque el término de lugarcuar10 es 29, ¿Crees que está mal propuesto el ejercicio?, daro no agregamos un lénninoque anule a los tres primeros términos de dicha serie; esle debe ser de la forma: K (n - 1) (n - 2) (n - 3)

Luego. la ley de rormación Quedará asi;

'1 a,,~{C5=+=4=(n=-=1~)}~K~(~n--~I)~(n--~2)~(-n-~3~)

Ahora, hallamos el valor de ~K"':

a, = 5 + 4 (4 • 1) + K (4 - 1) (4 - 2) (4 - 3) Il 29 = 5 + 12 + K (3)(2)(1) Q :. I K = 21

Como ya deteffilinamos el valor de "t{".1a fórmula de recurrencia seré:

I a, = [5 + 4 (n - 1) + 2 (n - 1) (n • 2) (n -3), I y podemos comprobarla:

Si : n~1 Q a,~(5+4(1-1)J+2(1-1)(1-2)(1-3)=5

Si: n=2

Si: n =3

Si: n =4

Si: n = 5

=>

=>

=>

=>

a,= [5 + 4 (2 - I)J + 2 (2 - 1) (2 -2)(2- 3) = 9

a, = [5 + 4 (3- I)J + 2 (3-1) (3- 2) (3 - 3) = 13

a, = (5 +4 (4- 1)] +2 (4-1) (4 -2) (4 - 3) = 29

as = (5 + 4 (5 - 1)] + 2 (5 - 1) (5 - 2) (S - 3) = 71

.. I El término que sigue en la serie es: 71 I Rpta.D

I EJERCICIOS PROPUESTOS I Ejercicio 1: ¿ Qué número sigue en la serie?

9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; .. .

A)35 B)24 C)46 O) 44 E) 39

Ejercicio2:EI término siguiente en laseriees:

11 ; 14 : 18 : 23 : 29 ; ..

A) 32 B) 44 e) 36 0)41 E)35

Ejercicio 3: ¿Oué número sigue en la señe:

-15 ; -9 ; -1 ; 9 ;

A) 18 B) 15 e)12 0)21 E)23

Ejerciclo4: ¿Qué número completa correcta­menle la serie?

; 9 ; 20 : 34 ; 51 : ...... ; 94

A) 60 6)71 e) 63 O) 72 El 78

Ejercicio 5: ¿Qué número stgue en la serie:

1.32; \.37 : 1,44 ; \,53 ; 1,64 ; ...

A) \,65 O) 1,76

8) 1,69 E) 1,81

C) \ ,77

Ejercicio6: Eltérmino siguienleen la seriees:

3·.!2. · 8 · 21 · 13· , 2' • 2' •

A) 17 6) 29 C) 16 2

O)~ 2

E)33 2

Ejercicio 7: El términosiguienteen la serie es:

0.03 ; 0.08 : 0,15 ; 0.24 ; ...

A) 0.28 O) 0,43

8)0.35 E) 0,53

C)O,36

Ejercicio 8: ¿Qué número sigue en la serie:

5,.,!,!.~ . .§l.. 7'21'7'7' "''

A) 36 6) ~ C) 35 D) .!5. E) 38 7 7 21 7 2\

Ejercicio 9: Eltérminosiguienteen la serie es:

-45 ; -32 ; -17 ; O : 19 ; .. .

A) 23 8)42 C)40 0)27 E)31

Ejercic;o 10: ¿Qué número sigue en la serie?

o ; 0,3 ; 0.65 ; \.05 ; 1,5 ; ...

A)200 8)20 C)2 D) 2,4 E) 1.8

Ejercicio 11: El ténnino siguiente en la serie es:

13 ; 14 ; 17 ; 17 ; 21 ; 20 ; 25 , ...

A) 29 8)23 C)24 0)31 E) 25

Ejerclc;o 12: ¿Qué número complela corree· tamente la serie?

9 ; \3 ; 25 ; .... ; 169

A) 52 8)61 C)63 0)67 E) 59

Ejercicio 13: En la siguiente serie:

-3 ; 4 ; -1 ; 7 ; 3 ; 12 ; x 9 , Hallar: le: + Y

A) 24 B) 26 e) 28 D)31 E) 35

Ejercicio 14: ¿Qué número completa correc· tamente la serie?

4 2 32 - 5 ;5;2; .... .

S

A)6 B)4 e)7 D) ~ 5

E) 13 5

Eiercicio 15: En la serie: 2 ; 7 ; 15; 26; 40 : el cuarto léonino después del 40 es:

A) 116 D)158 ,

B)126 E) 186

C) 162

Ejercicio 16: ¿Qué número sigue en la serie:

J. 81 ; 27 ; 9 ; 3 ; 1 , 3 ' ..... .

A) 1 B) 1127 C) 1/9 D) 1/81 E) 1/3

Ejercicio 17: El tr'Jrmino siguiente en la serie

es: O·~2." ' O 2 1:1 : 2:8:64: ...

A) 128 D) 1 240

8 ) 192 E) 1 204

Q) 1 024

Ejercicio 18: ¿Qué numero sigue en la serie:

1 ; 20:200: ...

A) 40 B) 80 C) 1 000

D)loo E)4~ () . beO' C OO O 0..0 . f ~

Ejercicio 19: En la siguiente serie: 'Á "l';'

128 : 3 : 32 : 15 : 8 : 75 : x : V Hallar. 'y - )('

A) 371 D) 372

B)373 E) 733

C)471

Ejercicio 20: El término siguiente en la serie es:

0,04: 0,12 : 0,36 ; 1,08 : ...

A) 4,32 B) 2,34 cf 3,24 D) 2,43 E) 3.42 .1 ' q '. ~

~/. r ~¡.. ............ ".. .

Ejercicio 21: En la serie: 120;120 ; 60; 20 ; el terCér término después de 60, es: -,.....

A) 5 BJ'1 C) 2 D) 3 E) 6\

Ejercicio 22: ¿Qué número sigue en la serie:

·10 . 4 . -4 ' 20 . 2 . 100 . 8 . S 0-0

A)400' i¡l)~~D~'S~;28 Ejercicio 23: ¿Qué numerO sigue en la serie?

A) 48

24 : 8 : 8 : 24 : ... A

~ ~'~ 8) 72 C) 98' .3 D) 120

'3. ,~ ~ E)216

Ejercicio 24: ¿ Qué número completa corree-tamen1e la serie? I 5> .... 9

".--'-S .~ 7 ; 8 ; 14 - 16 ; 20 ; 24 ; 2S ; __ o ; 29 ~ .... ~ ......... -

A) 28 B)29 C) 30 DJ31 E) 32

Ejercicio 26: ¿Qué número sigue en ra serie? .~ ,

1;3; 3:6: 12: 12: ... ~ ~

.. 3. ........ 111 (.

A) 24 B) 36 e) 60 D) 72 E)144

Ejercicio 27: ¿Qué número faltan en la serie?

.. . ; 18 : 29 : 45 ; 68 : .. ,

:

A) 12y81 0)9y72

8)8y64 e)6yl00 E) 10y 100

Ejercicio 28: ¿Qué número sigue en la serie:

9 ; 15 : 23 ; 34 ; 49 ; ...

A) 61 8)59 /, 69 0)73 E)84

EjercIcio 29: El ténnino siguiente en la serie es:

A) 438 0)834

r-v-.r- ..r-. --..... y ~ 12; 96; 384; 768; 768; ... 3J-,

¡;1348 E) 384

e) 483

Ejercicio30: EI término siguiente en la serie es:

A) 7/8

1

3

B)617

1 . 3 5. " ; ¡ '5 ; "6 ' ': ... .

e) 518 PI 1 E)2

Ejercicio 31: ¿Qué letra sigue en la serie:

:1. A ; B ; O;G ; K ; ... O , 1 <; 9 -'1 ¡;¡

A)L B)M '" C)N 0)0 EjP "" 2.)< :(. (:>"5);1 tg . ~)· '

Ejercicio 32: ¿Qué letra sigue en la serie?

A; G;G;M; ... (11 )

A)Ñ B)O 1.. :¡~,S .:;

C) T O)W EjZ

Ejercicio 33: ¿Qué letra sigue en la serie?

W; U; A; Ñ: .. {, , ) , AjK slJ e)L O) 1 E) H

Ejercicio 34: El término siguiente en la serie es:

A: B: B: e: O; F; G: ...

A)H B) I e)J O)K E) L

Ejercicio 35: El término siguiente en la serie es:

A: B: e; O; F; F; J; ...

A) H B) I C)J O) K E) L

Ejercicio 36: ¿Oué lelra sigue en la serie?

Y;V:S:P: ...

A) L B)M C)N O)K E)O

Ejercicio 37: ¿Qué letra sigue en la serie?

X; T:P:M; I; ...

A)A B) 8 C)e 0)0 E) E

Ejercicio 38: ¿Oué lelra sigue en la serie?

o ;e;s : 0 ; 0 ; 0 ; ...

AJA B) B eje 0)0 E) E

Ejercicio 39: Ellermino siguiente en la serie es:

(a + 1); (b + 2); (e + 4); (d + 8); •. .

A)(e + 18) 0)(1+ 15)

8)(e+15) E)(1+16)

C)(e+ 17)

Ejercicio 40: El término siguiente en la serie es:

A; 8 : C: 8 : 8; O; O; F: G: B: 1; ...

AjH B) I e)J O)K E)L

Ejercicio 41: El término siguiente en la serie es:

1>'; bd: ato db'; ...

Ajld B)h' e)gd O) bdt Ejna

Ejercic;o 42: Hallar el término 60 de la serie:

1;5;9: 13; 17; ...

A) 240 B) 273 e) 237 D) 252 E)327

Ejercic;o 43: Hallar el ténnino 26 de la serie:

A) 173 D) 158

-17,·10; -3;4;11; ...

B) 162 E) 581

e) 185

Ejercicio 44: Hallar el término 45 de la serie:

A)372 D) 327

17; 22; 27, 32; ...

B)273 E)237

C)732

Ejercicio 45: Hallar el término 32 de la serie:

-9; ·1 1, -13; -15; ...

A)-59 6)-17 e)·71 0)-57 E) ·47

Ejercicio 46; Hallar el término 123de la serie:

A)263 D)356

-10; -7; -4; · 1; 2; ...

B) 358 E) 458

C) 365

Ejercicio 47: El término siguiente en la serie es:

A)6 D) 190

~; 4; 5: 54, ...

B)4B E) 199

e) 198

Ejercicio 48: Hallarel ténnino siguiente en la siguiente serie:

A) 60S D)328

O ; 1 ; 2 ; 3; 124; ...

B)604 E) 1 205

e) 506

Ejercicio49: Hallar el término siguiente en la siguiente serie:

2 ; 4 ; 6 ; 6,5 ; ...

A) 13 B) 14 C) 12 D)17 E)21

Ejerdclo50: Oiga Ud. cuál de las siguientes, atlemativas representa a la expresión que da origen a los valores de la tabla.

• 1 2 3 4 5

Y 1 10 25 46 73

A)2><"- 1 D)2. - 1

B)3><"+2 E) 4><" - 3

e)3x2-2

Ejercicio 51 .- la fórmula que expresa la re[a~ ción existente entre -x" e y segun los valores de la siguiente labia es-

x 1

Y O

A)y =x2 . x el 2)(2. 3)( + 1 E) 3x2 -2x-1

2

5

3 4 5

12 21 32

8)x2 +3x- 4 D) Y = ><' + 2x-3

Ejercicio 52: La fórmula que expresa la rela-ción existente entre "X~ y "YO segun 105v810res de la siguiente tabla es:

1: I~ 1: 1 ~2 1: 1:8 1 A)x2·Sx+2 8)x3+3)(2+2 C)xL 1x2+2 D)><' +>-2 E) )(3 . 2x2 + 3

CLAVE DE RESPUESTAS

1. O 11. B 21 . B 31. 0 41. 8 51 . O

2. e 12. 8 22. 8 32. e 42. e 52. e

3. 0 13. C 23. E 33. 8 43. 0

4. 8 14. 8 24. E 34. 8 44. E

5. e 15. 8 25. 0 as. A .5. e

6. D 16.e 26. C 36. e 46. 0

7. 8 17. e 27.E 37. E 47. E

8. E lB.e 2B.e 3B. e 48.A

9.e 19. 8 29. E 39. 8 49. e

10. C 20. e 30. 0 40.0 50. e

Dadll/a s('n(' dc lus "1I"'I 'ro.',:

14

22 24

4 6 10 12

18 20 16

26 2X :~O

Hallar la suma de ,(J.~ f('rmillf)~ de I(J

fila 20.

1 Respuesta 1 11 020 11

s~ tiene las sigllieflte~ series:

Serie 1 1

Serie 2 .3 5

Serie 3 7 ~ 11

S erie 4 13 15 /7 19 Serie 5 21 23 25 27 29

Hallarel prnmedio a ritmét ¡code los términos

pertenecientes a la serie nn" I Respuesta: 0

TEORIA DE EXPONENTES 4

Lateoriadeexponentes.estudiatodaslas clases de exponenles que existen y las djferen~ tes relaciones que existen entre eltos. mediante leyes. La operación que da origen al exponente. es la potenciación.

POTENCIACiÓN:

Es la Operación que COnsiste en repetir un número llamado base, tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente denomi­nando al resultado de esta operación polencia.

Representación:

Ejemplos: ~ -.3)(3x3)(3r8' •

~ '" 2)< 2><2 x2x 2 >< 2 "'= 64 •

16 -=t'i)

Leves Oe Exponentes:

Las principales leyes de los exponentes son las siguientes:

@ PRODUCTO DE BASES IGUALES:

®

I Amx An=Aflu"' l

Ejemplo: g2 x 3' = 32 •

, = 33 = 27

COCIENTE DE BASES IGUAL ES:

~ L.C..J

Doode: CA ~ O)

Ejemplo: ,

3 _ l -2 _ 32 _ 9 7- --

PRODUCTO DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA:

I Amx s m",, (A x Sr I Ejemplo:

5' x 2' = (S x 2)' = (10)' = 100

COCIENTE DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA:

Ejemplo: ,----------.,

6' {6J' 2 " = "3 = (2~ = 4

® POTENCIA DE POTENCIA:

I (A'")" _ Am ."I Ejemplo:

POTENCIA DE POTENCIA DE POTENCIA:

I UAJJl)")P _ Am " n ~ p I Ejemplo:

[(2')')' =23 • 2 ., =;>3'

EXPONENTE NEGATIVO:

Ejemplo: 1 1

3 "' ""2 "' 9 3

DonC!g: (A "" O) PRODUCTO DE RADICALES HOMOGE· NEOS:

Ejemp'o: 'V4xV2 =3J4 x2 = V8 = 2

® EXPONENTENEGAnVOOEUNCOCIENTE: @ COCIENTEOERAOICALESHOMOGENEOS:

®

Ejemplo:

EXPONENTE CERO O NULO:

Donde: (A "" O)

Ejemplos:

i) 3°=1 ii} 3x5°=3x1 =3 iii) (3)< + 5y2)° ~ 1

RAIZ DE UNA POTENCIA:

I~ ~ A;; I Ejemplo:

Ejem¡Jo;

~ =~

3.J16 _ 3[16 _ 3'"8 _ 2 V2 - "/"2" - '" -

POTENCIA DE UN RADICAL:

Ejemplo: !>

['[,;') ~ 'k s = s,po RADICAL DE RADICAL:

I ~='=!A Ejemplo: VVA ", ~=,,'2JA

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS RADICALES.

VJ ~ ~W q $' P " ~ 1) A = A i ) A =A

i) ;(J ~¡;- k A 0= A NI ~~ A = A

LEYES DE LOS SIGNOS DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS.

I Muhlpllcaclón I al (+))( (+);:;; (.) a)

División

(+ 1 - = (+) ( + )

[NOTk

I Multiplicación I División

B) (')'H=H B) ~=( - ) ( - )

( - ) C) (-) , (+) = (-) C) - =(-)

( • 1 ( -)

D) H'H=I') D) -~( +) ( - )

En la nwlfiplicación y en la división de dos colltidades se cumple: q«c a ig ual SigilO resul ta (positilJfJ); y siJ!,IUJJ5 cli(erWlC:<i resl.Úla /negativo}.

POTENCIACION y RADICACION

I Potenciación I I Radicación I A) ¡(+ll'"' = (.)

a) ~ 1 + 1 =( ±)

B) [(tHIIf'PSI:: t.) b) ~=(+I

C) 11-)1'"' = 1+) e) ~= (-)

D) 11-11-= (-) d) ~ CarMJd ( - ) ::: irregnana

I EJERCICIOS RESUELTOS I EjerciciO T: Al Simplificar: , ,

l ,'" , r 1aC1ol'ilamos " 5 ~ en el numerador y denominador.

M= 5 - 5

5

se obtiene:

, , ,

, , .. 2 "1- I

+5 , "

- 5

A) 35/8 BI8135 C)7!1l D) an

Resolución:

po( propedad: I Arr.· n ::: A,mxA" I

" , ,

· 5 +5 , " ·5 -5

E) 5/8

,1 , I

M~[/(5' -5' +51 r .[125 /(5' - ,) 2

- 2S+Sl-' 5 - ,

'~ r M " [ 1:: ] 3: ; Por pfOpI edad :

I (~r ·(~JI;obten~ os:

EIl .. Rpta. B

Ejercicio 2: Reduciendo:

;oblenemos una EllCptesión

de la forma:

4lindicar: "a .. b~, si: a, b e f\I

A)12 8) B C)6 0)7 E) 13

Resolución:

La expresión dada se jXJede escribir como:

Aplicamos la prOpiedad'

ol:ltenemos: 3" 2 + 3

2":""2 <17' , X b ___ o X 2 )< 3 + 2

9 1 .. • ~~ 1'(8/9'"" V xl); por propiedad: , lEJm m-o

_ = A

AO

Obtenemos:

x • ,.

, b @@

x ==)(

~

Como las bases son igualesenecuaci~.los exponen­tes tambien deben ser tguales. , De doncJe: 49 b

36 ="2 •

:--2 /!b= 71 ;.=~ ~' "'la .6 1

l a+b = 6+7=13 1 Rpta. E

Ejerclc/c 3: Si: n - m = 1

Reduzca: "f.for;;;,

T{x) = ~x~r

B) V, el x'"

O) x" EIX

Resolución:

Aplicando la propiedad: I,¡q F I VA :::: A

la expresión dada se puede escribir como:

"',¡;; m o

T(IC) = X n ; por propiedad:

~~ T(x) = x n == X ; por dato:

n- m_1 - m = (1 -o)

luego:

T(x).;r;; I "fe",'e/o 4, EfeCloa[ r: 1<>-'1

A= i!J(4)2.Ji

A)2

D)=ftJ2

Resolucl6n:

la expresión dada. se puede escrt>ir como:

Apta. A

A+"""1~J Á"·",,, ,

R = 2 Al

Por diferencia de cuadrados:

Pero:

I A'I - B:O: = (A-t-B) (A - B) r

obtenemos: p;[ 2fi2_1]= l -l = 2' =2

.. ~

Ejercicio 5: CalcuLar el vafor de ·P·

AI,/2 B) 2 C) 2,/2 D)'

Resoludon_

Rpta. A

Para este tipo de problema es recomendable analizar­lo de arrba hada abajo, veamos; ,

6" 3 6' ; 27 =(3) =3 = .J3

El valor obtenido , lo reemplazamos en la expreSiM dada, obleniendo;

j"" f"l .J2' P=[22.J2' = [2c2,r,) .... (nl

Por propiedad:, ____ -;o=-_ __ -,

I ~=W'=H-* ' ,I2' I

El valor obtenido. lo reemplazamos en (u):

P = 4 I Rpta_ O

Problema 6; SI : a" = 3: calCular:

AI'iO SI3 el 3 43 El ~

Resolución:

l a 8xptesiÓ"'l "0", se puede escribir como:

aa 1~ r:--:l O=----Va tl

-ti ;por dato:~

Reemplazando en "0--, obtenemos:

o:W_~=~aa3

pero : la l .. 31

Q=N=~=3.J3 I Q=3{3 I

EjercIdo 7: Si- ~ = V2 Hallar: e

M _ :;.0.[( "=--'b;..:...) '_ e"",T

[(e'b) ' . J A)2 SI' el 16 DI :l2

ReSDluclón:

Rpta_ e

E) 64

Aplk:andO la propiedad: I (A"")1'l = Aro." I ; obtenemos:

[93 T 2793

M= a b - cJ _ a b e

[ g:3 -r c

27b

9a:3

e b - aJ 24 24

M = .;.=( ~) ; pero ; e

l Uego: "

Ejercicio 8; Si: A :;:: .,J2

8q;fesal "B~ en tormlnos de "A"

A) A B) AA C) ,r¡; Resolución:

la expresión "B" por propiedad:

Rpta. E

D)A"" EI1IA

[ !!f".'" = A ~ I ; se puede ese'b;, como; ,

804 .. 8 ~ 2Tz

;pero ; ~ = ~

2.r: == ( 2i) 42 ; pero:

8 (,/2).[2 ; por dala: A = ,/2

lB = A Al Apta. B

Ejercicio 9: Hanar el valor de:

AI2 81 4 el I

, , x 2

DI 112

Resolución:

La expresión dada. ~ puede escribir como:

6 - 4m ti -;4 ti

R- 2 x 2 '" 2 xy .. ~

( m)-' • ;;;>'"'x>' >' 2 x 2

El "'

Rp1a. B

EJercicio 10: Efectuar:

' n- faC!O(9S

AJO;> B)n" C) n'" D) o·' Eln

Resolución:

Sabemos qiJ9:

"n" faclores

;1 rn--.-n-:'~· --n~2i= (n- 2) n _ n- 2"

"n" faClares

A.lOra , reemplazamos (i) 'i (ii) en 'M"

M o [4l~ Q M o[~l °;i;on I M = n I Rpta.E

Ejercicio 11: Hallar el valor reducido para: "E"

Al'

" a r. -m J4a4m ... n E-

- ~a4m+ 50n

CrVa Resolución:

la eKpresiOn dada, se puede escribir como:

r. - m 4m tn ~.~ -0- ~ o 2 0

E _ a · a a

~ 4 m+ !5n -.-,-a

Oamos común l1umerador:

.. a

denominador a los exponentes del

3n ... 2 m 2(n ml ... 4m~ r.

" a ,-r;­E ~a_--::'~m~.:7.,o;---~ ~

--'-0- --'-0-a a

E - a

3n .. 2m ,. "m .. 5 ....

'0

damos comun denominadol al 81q)OOente de esta última explesiórl.

4m !in

E-a ,. o ,

..... '4 "'8 "'a

Apta. e

Problema 12: Hallar la raÍZ cuadrada de la expresión -O- •

[ -o." o. ,]' 0 , . 25

Q; 0 , 0625

Al 16 B)32 C)8 D)64

ResolucIón:

Sabemos que; 1) 0,5 - 5 - 1 10 ,-

i \ 25 1

O.25 ~ 1OO"' 4

E)26

") 125 1

0.125- i'OOQ- i

N) O.O625=-~ .. 2.. 10 000 16

Ahota, reemplazamos c:tichos valores en "Q"

, j ....

-'6

Ejercicio '3: ROOUcIr:

A)1

I °n° sumaroosl •

BI a

I "(a + Tr radicales I q q¡; D) l /a

Resolución:

1)

i)

"(a + 1) raDcales

Rpta. A

Ahora, reemplazamos los valores hallndos en "P"

p ~~ (eJ8r+l~ - ara' arara

.. I p = 1 I Rpta.A

E~rcicío '4: Calcular el valor reducido de la expre­Sión ~N'

• • • N =

2 ... :3 ... 4 - 11 -11 - a

6 ... 6 + 12

Al6 Bl. C) 12 O) 24 El36

ResoluCión:

la expresión dada. se puede escribir como:

N=

• • • 2 .. 3 +4 1 1 1

11 -+-+ --6 - e' 12

8

• • • 2 ..-:3 + 4 1 1 1 ---+---+---

{2x3)1I (2)(4)· (3)0( 4 )'

• • • 2 +3 ... 4 1 1 1 ---.---+---a <1 I a 11 11

2 )( 32 )( 43)(4

damos eornlJ'I denominador en el denominador de la - • • • 2 ... 3 +4 1 1 1 ---.---+---iI 11 11 !I 11 11

2 x3 2)( 4 3 1< 4

e~a e"P'eSióO se puede escnbir como:

• • • 2 +3 T 4

1

• • • 4 ... 3 ... 2 • • • 2 )( 3 x 4

Problema 15; Hallar el valor reducido da ~A~:

.~1 •• 2 •• 3 .... 3 +3 +3 +3

. - 1 . - 2 . - 3 . - " 3 ... 3 +3 ... 3

Al 3

ResoIud(Jn:

La expresión dada. se puede escribir como:

.1.2_3." A= 3 · 3+3 · 3+3 · 3+33

3 :3 3 3~ -+-+-+-3' 3

2 3

3 3

4

damos común denominador en el denominador de la fracción;

A =

A=

1.2.3,.4 · 3 +3 ·3+3 3 +3 · 3

33 3·+':/ . 3~+3·3·+3·

3'

( 3.2& .,,) 3 - 3 + 3 · 3+33 ... 3

1aC1orizamos en el llI..meradof y derominador de la

~a~n. r---~~-~~~ 34 . 3 .3·~ ,lo

- V 3' 3·~

Rpta. A

Ejercicio .6: Halle el \lalor reducido de:

E='lt '12 All Bl2 qff DI 2 ff El3 ff

Aesoluclón:

Aplicamos la propiedad : en denominador obtenemos:

E ~ il!J(12)3

Ejercwlo 17: Efectuar.

R = (0,5) · e" - 2(O,125)~ (O.l25}' - O

Rpt •. A

A) - 32 B) - 16 C) -24 D) · 12 E)- 18

E]erckio 18: Si: m"' = m + 1, calcular el vak»r de:

"'----, m"--' (11111) O =~(m.')

AJl B)m C) m-I D)m+l Ejm-l

ReSOlfJc#Ón:

Reemplazando el valor dado en -0-. obtenemos que:

Q=m . .

m

mm,' . . m

= m

lo",ml =ml

E)erckio 19: Red.Jc1r: ,-,

¿ ."...-

= m

R_ -\12 1+ 40

A)2 814

· 4 .. , !''-:­V 16

C)1f2 D,1f4

La expresión dada se, puede escribir asI:

Rp1a. B

E)1

, l . i. , 0;2 2lp~4J R_ .,,2~-,-,· 4,::-_

p ' , ...-16

2 · 2

Am . A n m+n -Q --,-- A ; obtenemos:

A

p-, {p") l"') - . -- -, --, , p R-2

, , , R= 2 = 2

Ejercicio 20: Efectuar: ,

j')' .Ji 2 E =(~2 .1i,[2

A) 4 BJ2V2 C) 16 O) 1

RfioIucJón:

Rpta. A

E)32

luego:

Aplicamos la propiedad:

I (Am .AP .AQ)I'I = Amn .Apt'I .AtTol

ObteMmos;

pero:

.. IE =161

PROBLEMAS PROPUESTOS

Ejercicio 1: hallar el valor de "M ":

A)2 B)2l C)2' D) 2'

EjerciciO 2: CalaJlar.

I , 'i .,

, =(2) · (9)

A) 314 B)2/3 q 219 O) 914

Ejercicio 3: calcular.

A)1 B) - 2 C)-4 0) 4

Ejercicio . : Simplificar:

A) x B) Y C)xy 0)><1\1

E/erc-Jcio 5: Aeduclr:

E)2'

E) 912

E)2

E) 1

A).3 ..\f;; D)X

2 ~ B) .$.--\JX E))(3 .~

Ejerc;c;o 6: calCular:

>)1 B)2 C)4 D) 8

Ejercicio 7:

aJ~ 4<.2+b')" r Si: a=a2+b7

A)a B)b C) at> D) ab

Ejerckio 8: SimplifK!at:

A)- 5 B)O,2 C) 25 O) 0,4

Apta. e

E)aIb

E)O.04

Ejercicio 9; Si: .

A'[W ,(,.:,)4 +( f d Entonces el valor de: ,

(~l' es o A , •

A) O B). e ) 2 D) 3

Ejercicio 10: Si:

• " Calcular el valor de: J "" (0.1)

-,

A) 0,000'

D) ' 000

B)O,OO' C) 0,.

E) 100000

E)4

EJerc1cro 11: De las siguientes proposiciones cuales no son falsas:

i) ~ 55 = 5

. ) 4J ' 2 2 = 4 •

;;1) V .2 A)~o (I) B) Sólo (ji) q Sólo (ii)

D)i y il E)i ylil

EjerciCio 12: Reducir.

A) • 8) 0,3 C) 0,1 D) 0,037 E) 0,012

Ejercklo 13: Si: a = -J7-. Haller et valor de:

Ala .. 8 ) a2

Eferclci? 14.- Simplilicar:

~ .. ~.~ M= a · ~ a, ao

A).

D) aa ·'

Ejercicio '5:

.= A)2 B) 112

S) a" . I , E) 3 Vra

C)a'

21'\-2 1'1 -2 2 + 4

C).J2 D) .J2i2

Ejercicio 16: Reducir.

r----:- --

(4' l-( ~J ' [~)' - (4) +. B=

A) 23 6)27 C) 3 ' D) 3 5

Ejerclc/<) 17: Hallar el valor reóJcido de T':

E) a~

E)'

El37

1

- 1 - 2 2' F=(O,') . (0.3) (0,5) , (0 . 25)

A)'2 6)6 C)3 D) • E) . /2

Ejercicio " : Reducir:

r-4;>-' ,-,-\p'"i:lli',"',=='. ,"-, 41-' x-, ] "

~kvx v., "\IX)- ' .

A) • 6),," C) i' D) , EI)(O'

Ejercicio 19: Señale el expOflente de "H~ después de efectuar la multiplicación:

lG.,(b.~ .··0 H =~'· . ~.' . ~~

Siendo W· una variable.

B)4x· C) 3x~ D) x· E)3

Elflf"Clclo 20: Redx::ir:

A) 1 8). C) a"

Eferr::lcJo 21: Al efectuar:

i) JX2~ ; rBSlAta : .. .

;) ; resa.ila : ...

i) -, ;r8Sllla : ...

~ lLego, después de m_1odas, "'"

A)3>c 8)9>1' C) ax'

Ejetdclo 22: RedUcir.

~ .. ..r,;; 4"~ R", ---., alJ • ----va .. ·•

8) ( •• -)" e) o' .. D) a'

E/<=/clo "'" _

M. (O,Sr"(2)"" (O,:asf" ,(.f-'

E)"'"

A) 0,16 B)32 C) 102. D) 0,64 E)64

A) 2'" 8)a C) .... D) 1

A)3 6)9 C)11:l D) 1/9

EJ<=IcIo 26: St P ~ n.=.!Jñ;

halle el equivalente de: T = ~ . _'_

8) n"

EJp

-~

E}112

E127

Ejercicio 27; Sena1e el exponente de -~ obtenido al reducir:

A) 1

0)1\"+1

Bln

E)n"'-1

C)n"

Ejetclclo 28: Otdenal en fomla decreciente:

0 = 4

, , 3

A)B,E,O,C,A

C)B, D, C, E,A

E) D.B.E.C, A

E¡ete/clo 29: EIocIuar:

B)A,D.B,C, E

D) D. E. B,C, A

S:2"(-21' - 2"(-2)"

A)O 8)1 e). 1 ,S

D~ E)'6

C=3

, • ,