INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
388 [email protected], [email protected], [email protected]
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
El siguiente método se utiliza tomando en cuenta las siguientes características. Si un
integrador contiene una de las expresiones 2 2 2 2 2 2, ,a x a x x a− − − , donde a > 0, se
puede eliminar el radical haciendo una de las sustituciones trigonométricas de la siguiente lista.
Sustituciones Trigonométricas:
Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica
2 2
2 2
2 2
a x
a x
x a
−
+
+
x a Sen
x a tg
x a Sec
θ
θ
θ
=
=
=
Al hacer una sustitución de este tipo se supone que θ está en el contradominio de la
función trigonométrica inversa correspondiente.
Así por ejemplo, para la sustitución x aSenθ= , se tiene que 2 2π πθ− ≤ ≤ , En este caso,
0Cosθ ≥ y 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) cos cosa x a a Sen a Sen a aθ θ θ θ− = − ⇒ − ⇒ =
Sí 2 2a x− aparece en el denominador se agrega la restricción x a≠ , o equivalente,
/ 2 / 2π θ π− < <
Mientras que para la sustitución x atgθ= , se tiene que en este caso, 0Secθ ≥ y
2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 )a x a a tg a tg a Sec aSecθ θ θ θ+ = + ⇒ + ⇒ =
Sí 2 2a x+ aparece en el denominador se agrega la restricción x a≠ ,
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
389 [email protected], [email protected], [email protected]
Y cuando la sustitución es x aSecθ= , se tiene que en este caso, 0Sec tgθ θ ≥ y 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1)x a a Sec a a Sec a tag atgθ θ θ θ− = − ⇒ − ⇒ =
Sí 2 2x a− aparece en el denominador se agrega la restricción x a≠ ,
2 53
2 2 25 5 53 3 3
2 2 25 53 3
2 2 2 25 5 53 3 3
2 2
53
2
1 ( ) : :3
;
1 1 1 3 5 53 5 3 3 1 3(5)
11)
5
:
3
5 3
5
3 1
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θθθ θ θ
θ θ
= ⇒ ⇒ =+
= ⇒ = =
⎛ ⎞= ⇒ ⇒ = = +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +
⇒ ++
+⎝ ⎠
= ⇒ =
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫dxI De la forma Cambio x atg
x
x tg dx Sec d x tg
Sec d Sec d Sec ddx d kx tg tg Sec
Del cambio x t
a
g
dx xx
5 33 5
35
2
2 87
2 2 28 8 87 7 7
2 28 87 7
2 2
2
28 7 87 7
22
8
( )( )
15 15( )
2)7
13 5 15
1 : :7
;
1 1 17 8 7 7 1 4
8
θ
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θθ θ
+ ⇒ = +
= ++
= ⇒⇒ ++
⇒ =−
= ⇒ = =
⎛ ⎞= ⇒ ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
xArctgArctg x
k k
Arctg xdx k
x
dxI De la forma Cambio x atgx
x tg dx Sec d x tg
Sec ddx Sec
dx x a
dx tg
x
tg
( ) ( )
2
2
8 77 88
7
78
2
2 2
22
2 23)
114 4 14 4 14
( )( )
:4 14 4 14
( )7 8 4 14
1 : :
;
θ θ θθθ
θ θ θ
θ
θ θ
= = +
= ⇒ = + ⇒ = +
= ++
= ⇒ ⇒ =+− −
⇒ −+ − −
−
+ += ⇒ =
− −
∫
∫
∫∫
∫Sec d d kSec
xArctgArctg x
Del cambio x tg k k
Arctg xdx kx
dxI De la forma Cambio x asena ba b xa b
a b a bx sen x
dx a xa b
sena b
a
a b
b x
d cosθ θ+=
−a bx da b
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
390 [email protected], [email protected], [email protected]
( ) ( )1
2 2 2 2
1 1( )( )cos cos cos( ) ( ) 1 cos( ) ( )
11 1
cos 2 2 2 2( (( )
θ θ θ θ θ θθ θ θ
θ θ θ θ θθ
+−
− + +− −
+− − −= ⇒ ⇒
++ − − − − +− −
−⇒ = + +
+ − −−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
a ba b
a b a b a ba b a b
a bd a b a bdx d da b
a ba b a b x sen sen a ba b a b
da b Sec d Ln Sec tg ka b a b a ba b
1,2 22 2(( ) ( )
θ θ
+ +− −
⇒ = = ⇒ = + ++ +−− −− −
a b a ba b a bx xDel Sec tg I Ln kx xa b a ba bx xa b a b
( )( )
( )
2
2
2
2
2
2
2: :
3 5 3 5 5 ; 3 5
(3 5 )( 5 ) 5 (3 5 )( )55 5 5 3
4)5 3
(3 5 ) 3 5 (
Dela forma Cambio x aSen
x Sen x Sen dx Cos d x Sen
xdx Sen Cos d Sen Cos dCosSenx
I Sen d I d Sen d I
xdx a xx
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθθ
θ θ θ θ θ
=
− = ⇒ = − ⇒ = − − =
− − − −= =
−− −
=
⇒
− − ⇒ =
− ⇒
− + ⇒ −
−
=
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
3 5 ) Cos kθ θ+ +
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
391 [email protected], [email protected], [email protected]
( ) ( ) ( )
23
5
22
5 (3 )( ) ;
5
3 35 (3 )5 5 3
5 5 5
x xDel arcSen Cos
x xxI arcSen k I arcSen x k
θ θ− − −⇒ = =
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= − + + ⇒ = − + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2 22 2
2 2
2 2: :
4 sen ( ) 16 ; 4 co
5)16
s
De la forma Cambio x asen
x para x sen d
dx a xx x
x dπ π
θ
θ θ θ θ θ− −
⇒ − ⇒ =
= < < ⇒ =
−
=
∫
22 2 2 2 2 2
222 2
4cos 1 cos 1 cos16 16 cos16 16 16 16 1
1 116 16 1616
dx d d dsenx x sen sen sen sen
dx d Ctgd I kCscsenx x
θ θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ
θ θθ θθ
= = =− − −
= = − ⇒ = − +∫−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
1 161616
−= +
−∫dx x k
xx x
2 2
2 2 2
2 2 2:
; cos
1 1 cos cos cos c
6)
os
1 cos2 2 2 cos cos2 2 4 2 4 2 2
1 θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θθ
⇒ =
= ⇒ = =
− = − = =
+= ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ = +
− ⇒ −
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ De la forma x asen
x sen x sen dx d
x dx sen d d d
sen sen senI d I k
x d
I k I
x a x
k
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
392 [email protected], [email protected], [email protected]
2 2 21 1: ; cos 1 1 12 2
del cambio arcsen x x x dx arcsen x x x kθ θ= = − ⇒ − = + − +∫
2 2 2
2
2
22
2
21 2 22 2
7)2 2
: :2
dx dxx dxx
x
I dx I dx I xx x x
dx De la forma Cambioa x atgx
θ
⎛ ⎞= −
⎛ ⎞⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠
+
⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
⇒ ⇒ =+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 2 ; 2
2 2 2 22 2 2 2 1 2 2
2: 222 2 2
x tg dx Sec d x tg
dx Sec d Sec d d kx tg tg
x x dx xDel cambio x tg arctg x arctg kx
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ
= ⇒ = =
= = = = ++ + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
∫
( )
( )
2 2 2
22 2 2 2 2
2 2
22 2: :
;
11 =
18) θ
θ θ θ θ
θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ
+⇒ + ⇒ =
= ⇒ = =
++= =
+= +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
De la forma Cambio x atg
x tg dx Sec d x tg
Sec tg dtg Sec d Sec Sec d Sec Sec dtg tg tg tg
Sec Sec tg d Se
x dx x a
c d Sec tgtg g tg
x
t
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
393 [email protected], [email protected], [email protected]
1
2
2
2
1 I
I
1
θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θθθ θ θ θθ
θ θ θ θ θ θ θθ
θ θ θ
= = = = = = − +
= = = +
+= − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
Sec d Cos d dCos d Csc d Ln Csc Ctg kSenTan Cos Sen SenCos
Sec tg d Sec tg d Sec ktg
x dx Ln Csc Ctg Sec kx
2 221 1 1 1 x xdx Ln x k
x x+ + −
= + + +∫
( )
2 2 4 4
33 34 2 4 2
2 2
4 2
2 2 2
: :
;
1
9)
1
1
1
De la forma Cambio x aSec
x Sec x Sec x Sec dx Sec tg d
dx Sec tg d tg d d Cos dSec tg Secx x Sec Sec
Cos Co
dx x a
s d Sen Cos d Cos d S
x
en Co
x
s
θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
⇒ =
= ⇒ = ⇒ = =
= = = =− −
= − = −
⇒ −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
1
22
3 3 32 3
2
I
I :
I 3 3 3
d
Cos d Sen k
Sen Cos d Cambio de Variable u Sen du Cos d
u Sen Senu du k k Cos d Sen k
θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θθ θ θ
= = +
= ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = + ⇒ = − +
∫
∫∫
∫ ∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
394 [email protected], [email protected], [email protected]
( )322
34 2
11 31
xdx x kx xx x
−−= − +
−∫
2 2 2 2 23
2 21 1 12
2 2 23
2 22 23 3
2
2 2
52 5 23 2 3 2 3 2 3 ( )
2 12 : 3 2 6 3 23 2 6 3
5 : :3 (
2 510)3 2
)
xdx dx xdx dxI Ix x x x
xdx duI sustitución u x du xdx I I Ln x kx u
dxI De la forma Cambio x aSecx
x Sec x
xx
ec
a
S
dx
x θ
θ θ
= − ⇒ = −− − − −
= ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = − +−
−⎡ ⎤ ⇒⎢ ⎥−⎣ ⎦
−= ⇒ =−
= ⇒ =
∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫23; dx Sec tg dθ θ θ=
2 23 3
2 2 2 2 22 2 2 2 23 3 3 3 3
1cos
2cos
2
55 5 5 53 ( ) 3 3( ) 1 63
( )5 5 cos 5 5( ) cos6 6 6 6
56
sen
Sec tg ddx Sec tg d Sec tg d Sec dIx Sec Sec tg tg
dI d d Csc dsen sen
I Ln Csc Ctg k
θθθ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ
θ θθ θ θ θθ θ θ
θ θ
= = = = =− − −
= = = =
= − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
395 [email protected], [email protected], [email protected]
23
2 2 23
232
2 2 23
56
2 5 1 5ln 3 23 2 3 2 6
xI Ln k
x
xx dx x Ln kx x
−= +
−
−−= − − +
− −∫
2 2 2
2
22
22 2 2 2
2 2 2 2
2 3 1
2 2
22
111) : :
;
11
1 C
De la forma Cambio x atg
x tg x tg dx Sec d
tg Sec
x dx a
x Sec Sec Sec Secdx d d dx tg tg tg
x Secdx dx tg
xx
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ θθ θ θ
θ θθ
⇒ =
= ⇒ = =
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤++= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤+=
⎡ ⎤+⇒ +⎢ ⎥
=⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢
⎦
⎥⎣
⎣
⎦
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 coscos cos
1 cos coscos cos cos
ossenCos
send d dsen sen
x sen ddx d d dx sen sen sen
θθθ
θ θθ θ θθ θ θ θ
θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ θ
⎡ ⎤+⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1
22 22
seccoscos 1: cos
dI Sec d Ln tg k
I d sustitución z sen dz d I z dz ksen sen
θ θ θ θ θθθ θ θ θ θθ θ
−
⎡ ⎤= = = + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
2 2 22
2 2
1 1 1 1sec 1x x xLn tg k Ln x x kx sen x x
θ θθ
+ + += + − + ⇒ = + + − +∫ ∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
396 [email protected], [email protected], [email protected]
( )2 2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
1
2 2
2 2
2 55 6 ( 4)(2 5 ) 14 4 4
5 6 2 5
5 612)
2 54 4 4 4
2 : :4
2 4 ;
4xx x x xdx dx dx
x x x
x x x dx xdx dx dx dx dxx x x x
I dx x k
dxI De la forma Cambio x atgx
x tg x tg
x x dxx
x a
d
θ
θ θ
−⎛ ⎞⎛ ⎞− + + −= = + ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− + −= + = + −
+ + +
− +
+
= = +
= ⇒ ⇒ =+
= ⇒
+
+
=
⇒∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫2
2 2 2
2 2 22 2 2 2
2 23 3 32
22
22
2
22 2 ( )4 4 4 1
5 55 : 4 2 44 2 2
5 6 5( ) 44 2
x
x
x Sec d
dx Sec d Sec d Sec d d I k I arctg kx tg tg Sec
x dzI dx sustitución z x dz xdx I I Ln x kx z
x x dx x arctg Ln x Cx
θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ
=
= = = = ⇒ = + ⇒ = ++ + +
− −= − ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = + +
+
− += + − + +
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
:
: :2 2
13
2 2 ; 2
22 2
)2
2 1
Cambio de Variable u tgx du Sec x dx
Sec x dx du De la forma Cambio x aSectg x u
u Sec u Sec du Sec tg d
du Sec tg d Sec tg d Sec tg d
Sec x dxt
Seu Sec Sec tg
g x
x a θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ
= ⇒ =
= ⇒ ⇒ =− −
= ⇒
⇒−
−
= =
= = = =− − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ c d Ln Secu tgu kθ θ = + +∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
397 [email protected], [email protected], [email protected]
2 2
2 22 2 2
2 2du duLn u u k Ln tgx tg x ku u
= + − + ⇒ = + − +− −
∫ ∫
2
4 2 2
4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
4
2
2 2
2 2
4: 2
( )1 : :2( ) ( )
( ) ; cos1 1 cos 1 cos2 2 2
14)
( ) ( ) ( ) 1
xI dx Cambio de Variable u x du xdxa x
x dudx De la forma Cambio u asena x a u
u a sen u a sen du a ddu a d d
a u a a sen
x dxa x
a u θ
θ θ θ θ
θ θ θ θθ
= ⇒ = ⇒ =−
= ⇒ ⇒ =− −
= ⇒ = =
= =−
⇒−
−
−
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
22
24 4
1 1 ( )2 2
1 ( )2
ud arcsen kasen
x udx arcsen kaa x
θθ= = +
= +−
∫ ∫
∫
2 2 2 2 2 2
2 2 2 21 12 2 2
2
2 2 21
2 2
1:2
1
2
12
5) xdx dxa ba x b a x b
xdx duI a sust u a x b du a xdx Ia x b a u
I L
ax b dxa
n a x
x b
b ka
+ ⇒+ +
= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒+
=
+
+
+
+
⇒ ∫ ∫∫
∫ ∫
2
2 2 2 2
2 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2
:( )
: ( ) ( ) ; ( )
dxa
ba x b baa a a
b b ba a a
dx b dx b dxI b b De la forma x aa x b a a xx
Cambio x atg x tg x tg dx Sec dθ θ θ θ θ
= = = = ⇒ ++ ++ +
= ⇒ = ⇒ = =
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 22 2 2
( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 1
: ( )
12
ba
b b b ba a a a
axbb
a
axb
Sec db dx b b Sec d d ka x a tg a tg a a
arctgaxDel Cambio x tg arctg I kb a
arctgax b dx Ln a x b ka x b a a
θ θ θ θ θθθ θ
θ θ
⇒ = = = ++ + +
⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
+= + + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
398 [email protected], [email protected], [email protected]
( ) ( )2 22 2 12 22
1 2 12
2 2 21 1 12 2 2
2 21 12 2
2 2 21 1 1 12 2 2 2
2
2 2
2 2
22 1 2 1 2 1
: :
;
2(2 1)16)(2 1)
2 21
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
= + = ++ ++ +
= ⇒ ⇒
⎛ ⎞+ +⇒
=+
= ⇒ = =
= = = = ++ +
⎜ ⎟+⎝ ⎠
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫dx xdx dx xdxI
x xx x
dxI De la forma Cambio x atgx
x tg x tg dx Sec d
Sec ddx Sec d dx
x x dx
t
x
tg
a
g
x
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 12
22 22
22 2 22
2
2 2 2
2 2
. 2 1 42 1
1 14 4 2 12 1
2(2 1) 1 2 2(2 1) 4 2 1
−
⇒ = ++
= ⇒ = + ⇒ = ⇒+
= ⇒ =− +++
⎛ ⎞+ += − + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫
∫
∫ ∫
∫
dxk arctg x kx
xdxI sust z x dz xdxx
xdxI u du kxx
x x dx arctg x kx x
275
2 27 7 75 5 5
75
2 2 2 27 7 75 5 5
57
2 2
2
2
17)7
1 : :5
; cos
cos1 1 1 cos 1 cos 15 5 5 5 51 cos
1 ( )57
5
5
dxI De la forma Cambio x asenx
x sen x sen dx d
ddx d d kx sen sen
dx arc
dx a x
sen x kx
xθ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θθ θ θ
= ⇒ ⇒ =−
= ⇒ = =
= = = = +− − −
=
⇒−
+−
−∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
399 [email protected], [email protected], [email protected]
23 2
3 2
2
3 2 2
2 2
2 2
2
6
2 2
: 3( ) 1
1 : :3( ) 1 ( ) 1
;
1 1 1 13
18)1
3 3 3( ) 1 1
x dxI sustitución u x du x dxx
x dx du De la forma cambio u aSecx u
u Sec u Sec du Sec tg d
du Sec tg d Sec d Ln Sec tg ku Sec
x dxx
u a θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θθ
= ⇒ = ⇒ =−
= ⇒ ⇒ =− −
= ⇒ = =
= = =
⇒−
−
−
+ +−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
2
2 2
23 6
6
1 1 1 1 13 3 3 3( ) 1 ( ) 1
1 131
du duLn Sec tg k Ln u u ku u
x dx Ln x x kx
θ θ= + + ⇒ = + − +− −
= + − +−
∫ ∫
∫
2 2 15
21 1
21
2
2
2
1355 1
3 63 : 5 1 1010 105 1
33 5 15
3 119
1
)5 1
5
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
+ +⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎡ ⎤+
= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = +⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎡ ⎤= =
⇒⎢ ⎥+⎣ ⎦
+ +⎢ ⎥+⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
xdx dxIx x
x dzI dx sustitución z x dz xdx I u kzx
xI dx xx
x dxx
k
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
400 [email protected], [email protected], [email protected]
2 22 2 1
5
2 2 21 1 15 5 5
2 215
2 2 21 1 15 5 5
1 : :5
;
1 1 1 1 15 5 5 5 51
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
= ⇒ + ⇒ =+
= ⇒ = =
= = = = + ++ + +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
dxI De la forma x a Cambio x atgx
x tg x tg dx Sec d
Sec ddx Sec d Sec d Ln Sec tg kx tg tg
2 2 152
3 1 3 15 1 55 55 1
x dx x Ln x x kx
⎡ ⎤+= + + + + +⎢ ⎥
+⎣ ⎦∫
2 2
21 12
2
2
2 22 2
2 2
2 2
23
4 41: 4 224
44
3 : :4
2 4 ; 22
320)4
3 34 4
x dxI dxx x
x duI dx sustitución w x dw xdx I u kux
x dx x kx
dxI De la forma x a Cambio x aSecx
x Sec x Sec dx Sec tg ddx Sec tg d
x Sec
x dxx
θ
θ θ θ θ θθ θ θ
θ
= +− −
= ⇒ = − ⇒ = ⇒ = = +−
= − +−
= ⇒ − ⇒ =−
= ⇒
−
−
=
+⇒
= =
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫ 23 3 3
4 1Sec tg d Sec d Ln Sec tg k
Secθ θ θ θ θ θ θ
θ= = = + +
−∫ ∫ ∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
401 [email protected], [email protected], [email protected]
2
2 2
22
2
43 324
3 44 324
dx x xI Ln kx
x x xdx x Ln kx
+ −= = +
−
+ + −= − + +
−
∫
∫
2 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 : :
;
1 1 ( )
: ;
1) 1 De la forma x a Cambio x aSec
x Sec x Sec dx Sec tg d
x dx Sec Sec tg d Sec tg d Sec tg tg d por partes
Selección u tg du Sec
x
d v Sec tg d v Sec k
Sec tg d tg Sec
d
S
x θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
− ⇒ =
= ⇒ = =
− = − = =
= ⇒ = = ⇒ = +
⇒
= −
−
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫3
3
2
2
1: ( . )2
12
1 12 2
ec d
pero Sec dx Sec tg Ln Sec tg k resuelta en el archivode Int por partes
Sec tg d tg Sec Sec tg Ln Sec tg k
Sec tg d tg Sec Ln Sec tg k
θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
= ⎡ + + ⎤+⎣ ⎦
= − ⎡ + + ⎤+⎣ ⎦
= − ⎡ + ⎤+⎣ ⎦
∫
∫
∫
∫
22 21 11 1
2 2x x
x dx Ln x x k− ⎡ ⎤− = − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
402 [email protected], [email protected], [email protected]
( ) ( ) ( )
( )
2 2 22 2
2 2
2
2 2
2
2
2
.
4 4 2 4 4 2 4 2
: :2 2 ( 2) 4 ; 2cos
4 2 4 4 2co
22
c
) 4
s 4 1 os
Completamos cuadrado en el radicando
x x x x x x x dx
De la forma a x Cambio x aSenx sen x sen dx d
x dx sen d s
x x dx
en d
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
⎡ ⎤⎡ ⎤− =− − =− − − = − − ⇒ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− ⇒ =
− = ⇒ − = =
− − = − = −
− ⇒
∫
∫ ∫
∫
( )
2
2
4 cos
1 cos2 24 2 4 2 2 2 cos2 2
d
senx dx d k sen k
θ θ
θ θθ θ θ θ θ
=
+ ⎡ ⎤− − = = + + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
( )2
2 22
( 2) 44 2 2 ( )
2x x x x
x dx arcsen k− − −− − = + +∫
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
: 1 1 1 2
2 2 : :( 1 2) 12 1
;
2 2 2 2
23)2
2 ( )1 1
2 1
1Cambio de Variable u x u x x u dx udu
dx udu du De la forma Cambio u atgu u ux x
u tg u tg du Sec d
du
dxx
Sec d d k arctg u ku tg
dxx
u
x
x
a θ
θ θ θ θ
θ θ θ θθ
= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ =
= = ⇒
⇒+
⇒ =− + ++ +
= ⇒ = =
= = = + = +
+
+
+
=+
+
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
2 ( 1)arctg x k+ +
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
403 [email protected], [email protected], [email protected]
( ) ( )
14 21
4
14 21
4
2 2 21 1 14 4 4
2 2141 1 1 1
4 4 2 22 2 21 1 14 4
2 2
4
2 : coscos
:
24)1 4co
:
;
2
s
1
senx dx Cambio de Variable u x du senxdxx
du De la forma Cambio u atgu
u tg u tg du Sec d
Sec ddu Sec d d ku tg
se
tg
nx dxx
u a θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θθθ θ
= ⇒ =+
⇒ ⇒ =+
= ⇒ = =
= = = = +
⇒
+
+
+
+
+
⇒∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
2
(2 )
(2cos )1 4cos 2
arctg u k
senx arctg xdx kx
= +
= ++∫
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
:1 ( )
1 : :1 ( ) 1
; cos1 1 cos 1 co
2
s1 1 co
5)1
s
bx bxbx bx
bx
b
b
x
x
x
b
eI dx Cambiode Variable u e du be dxe
e dudx De la forma Cambio x aSene b u
u sen u sen du
e dx
ddu d d
b u b sen b
e
a u θ
θ θ θ θθ θ θ θ
θ θ
− −−
−
−
−
−
−
= ⇒ = ⇒ = −−
= − ⇒ ⇒ =− −
= ⇒ = =
− =− =
−
− =
⇒
−
− −
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
2
1 1
1 11
Sec d Ln Sec tg kb b
du Ln Sec tg kb u b
θ θ θ θ
θ θ
− = − + +
− = − + +−
∫
∫
2 22
2 2
2
2 2
1 1 1 1 1 11 1 (1 ) (1 )1
(1 )1 1 1 1 (1 )1 1 2 (1 )(1 )
1 11 2 1
bx bx
bx bx
du u du uLn k Ln kb u b b u b u uu
udu du uLn k Ln kb u b b u b uu
e edx Ln ke b e
− −
− −
+ +− = − + ⇒− = − +
− − − +−
+ +− = − + ⇒− = − +
− − −−
+= − +
− −
∫ ∫
∫ ∫
∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
404 [email protected], [email protected], [email protected]
2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
:26)1 ( )
: :1 ( ) 1
;
( )1 1
( )
1
1
tt t
t
t
t
tt
t
t
t
e dtI cambio deVariable u e du e dte
e dt du De la forma Cambio u atge u
u tg u tg du Sec ddu Sec d d k arctg u k
u tge dt arctg e ke
e dte
u a θ
θ θ θ θ
θ θ θ θθ
= ⇒ = ⇒ =+
= ⇒ ⇒ =+ +
= ⇒ = =
= = = + = ++ +
⇒
+
= +
+
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
: ( )1 ( )
1 : :1 ( ) ln 1
;1 1 1 ( )
ln 1 ln 1 ln ln
27)1
1
xx x
x
x
x
x
x
x
aI dx Cambio de Variable u a du a Ln a dxa
a dudx De la forma Cambio u atga a u
u tg u tg du Sec ddu Sec d arctg ud k k
a u a tg a a
a
a dxa
u a θ
θ θ θ θ
θ θ θ θθ
⇒+
+
= ⇒ = ⇒ =+
= ⇒ ⇒ =+ +
= ⇒ = =
= = = + = ++ +
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
( )( )2 ln
x
x
arctg adx k
a a= +
+∫
2 2
2 2
2
2
2 2:
4 16 ; 4cos
16 16 16 4cos 16 cos cos 16 cos
1 cos2 216 8
2
( ) 8 8 cos
8) 16
2 2
x dx De la forma x asen
x sen x sen dx d
x dx sen d d d
senI d I k I s
a x
en k
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θθ θ θ θ θ
⇒ =
=
− ⇒ −
⇒ = =
− = − = =
+= ⇒ = + + ⇒ = + +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
405 [email protected], [email protected], [email protected]
2 22 2
4 416 1616 8 ( ) 8 16 8 ( )16 2
x xx x x xx arcsen k x arcsen k⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −
− = + + ⇒ − = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
2254
2 25 25 52 2 2 4 2
52
52 2 225 5 25 2
2 2
2
524 2 4 4
2
1 : :2
sen ( ) ; cos
cos1 1 1 cos 1 cos2 2 2( ) 5 co
29)25 4
s1
25 4
dxI De la forma Cambio x asenx x
x para x sen dx d
ddx d dsenx x sen sen se
dx a xx
n sen
dxx x
x
π π
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ
− −
= ⇒ =−
= < < ⇒ = =
= =
⇒
=−
−−
=− − −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
1 1 15 5 5
d Csc d I Ln Csc Ctg ksenθ θ θ θ θθ= ⇒ = − +∫ ∫ ∫
2
2
1 5 25 45 225 4
dx xLn kxx x
− −= +
−∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
406 [email protected], [email protected], [email protected]
2 2
2 2 22
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
: :
2sen 4 ; 2cos
(4 )2cos 8 cos 424 4 4 1
(1 cos 2 ) 2
30)
4 2 (1 cos 2 ) 2( )24
4
2
24
De la forma Cambio x asen
x x sen dx d
x dx sen d sen d sen dx se
x dx a xx
n sen
x dx d send kx
x dxx
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θθ θ θ
⇒ =
= ⇒ = =
= = =− − −
−= = − = −
⇒ −−
+−
=−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
( cos )sen kθ θ θ− +
2 2
22
42 ( )24
xx dx x xarcsen kx
−= − +
−∫
2 2
2 3 2 3 2 3 6
23 22
2
3
2
2 331)
(: :
5 sen 5 ; 5 cos
5 cos 5 cos 5 cos5 5(5 ) (5 5 ) (5(1 )) cos
1 cos 1 1 15 cos 5 cos 5 5(5
5
)
)De la forma Cambio x asen
x x sen dx d
dx d d dx sen sen
dx d d Sec
dx a
d t
x
g k
x
x
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
⇒ =
= ⇒ = =
= = =− − −
= = = = +−
⇒ −−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
407 [email protected], [email protected], [email protected]
2 3 2(5 ) 5 5dx x k
x x= +
− −∫
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
3 :2 : 2 4 ; 2
2
)
4 4 4 1
4θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
= = = = +
⇒
++ +
+
+
+
∫ ∫
∫
∫ ∫
De la forma Cambio u atg x tg x tg dx Sec d
dx Sec d Sec d Sec d Ln Sec tg kx tg
dxx
g
x a
t
2
2
424
x xdx Ln kx
+ ++
+∫
2 2 2
2 2 2 2 22
2 2 2
22 3 3
2 2
2
2
2
: : 63 6 ; 6
(6 ) 6 6 6 666 6 6 1
6 ( 1) 6 ( ) 6 66
3)6
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
= = =+ + +
= − = − =
⇒ ++
−+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
De la forma Cambio x atg x tg x tg dx Sec d
x dx tg Sec d tg Sec d tg Sec dx tg tg
x dx Sec Sec d
x dx x ax
Sec Sec d Sec d Sec dx2
2
2
2
( )6 6
26
3( ) 36
θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ
⎡ + + ⎤= − ⎡ + ⎤+⎢ ⎥ ⎣ ⎦
+ ⎣ ⎦
= − + ++
∫
∫
∫
Sec tg Ln Sec tgx dx Ln Sec tg kx
x dx Sec tg Ln Sec tg kx
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
408 [email protected], [email protected], [email protected]
2 2 2 22 2
2 2
6 6 6 63 3 3
6 26 66 6
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + += − + ⇒ = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
x x x x x x x xx dx x dxLn k Ln kx x
2 394
2 2 23 9 32 4 2
2 2 23 3 92 2 4
272 3 2 3 2 3 69 9 984 4 4
94
2 2
2 3
1 : :8 ( )
;
( ) ( )1 1 ( ) 1 ( )8 8 8( ) 12
34)
( ) ( ) (1 )
(9 4
1
)
8 (
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ
⇒ ⇒ =+
= ⇒ = =
=
⇒ +
+
+
= =+ + +
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
xdx De la forma Cambio x atgx
x tg x tg dx Sec d
tg S
xdx x ax
ec dxdx tg Sec d tg Sec dx tg tg Sec
xdx 2cos
3 12 3cos
294
1 ( ) 1 ( ) 1 112 12 12 12)
1 1 cos8 12
θθ
θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
θ
= = = =
−= +
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
sentg Sec d tg d d sen dSec Secx
xdx kx
2 3 2 2 3 2
1 3 112(9 4 ) (9 4 ) (9 4 ) 4 (9 4 )
xdx xdxk kx x x x
⎡ ⎤− −= + ⇒ = +⎢ ⎥
+ ⎢ + ⎥ + +⎣ ⎦∫ ∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
409 [email protected], [email protected], [email protected]
4
4
2 2 4 4 2
2 2
44 2 4 2 4 2
41cos
44 2
2 2
4
c
2
os
: :
3 3 9 3
3 1 19 9( 3) 9 (3 3) ( 1)
1 1 cos9 9 cos( 3)
35)( 3)
θθθ
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθθ θ θ θ
θθθ θ
⇒ =
= ⇒ = ⇒ = =
= = =+ + +
+
=
⇒+
=+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ sen
De la forma Cambio x atg
x tg x tg x tg dx Sec d
dx Sec d Sec d Sec dtgx x tg tg tg tg
dx dsenx x
dx x ax x
3 2
4 4
1 cos 1 cos cos9 9
θ θ θθ θ θθ θ
= =∫ ∫ ∫d d dsen sen
2 2
4 44 2
2
4 4 4 24 2
1 1 14 4
1 (1 )cos 1 (cos cos )9 9( 3)
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos9 9 9 9( 3)
1 cos 1: cos9 9
dx sen send dsen senx x
dx d sen d d dsen sen sen senx x
d dzI sustitución z sen dz d I Isen z
θ θ θ θ θθ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ
θ θ θ θ θθ
− −= =
+
= − = −+
−= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 3
2 1 22 2
34 2
127
1 cos 1 1: cos9 9 9
1 127 9( 3)
ksen
d dzI sustitución z sen dz d I I ksen z sen
dx ksen senx x
θ
θ θ θ θ θθ θ
θ θ
+
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = +
−= + +
+
∫ ∫
∫
2 3 2
3 34 2 4 2
22
( 3) ( 3)1 127 9( 3) ( 3)
927( 3)( 3)
x xdx dxk kx xx x x xxx
xx
− + +−= + + ⇒ = + +
⎡ ⎤+ +⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
+⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
410 [email protected], [email protected], [email protected]
2
2 2
2 2
22
2 2 2
: :
3 9 ; 3
(3 )3 3 3 39 9 9 1
36)9
De la forma x a Cambio x aSec
x Sec x Sec dx Sec tg d
xdx Sec Sec tg d Sec tg d Se
x d
c d tg kx S e
x
ec S c
xθ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
− ⇒ =
= ⇒ = =
= = = = +− −
⇒−
−∫ ∫ ∫
∫
∫
22
2 2
93 939 9
xdx x xdxk x kx x
⎡ ⎤−= + ⇒ = − +⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
2 14 2 2
2 21 1 12 4 2
2 2 21 1 1 14 4 4 2
12
2 14 2 2 2
24 137 2 : :
;
1
(
)
2 2
2 1 1)
xdx De la forma x a Cambio x aSec
xx Sec x Sec dx Sec tg d
x Sec Sec tg d Sec Sec tg ddxx Sec Sec
xdx Sec tg d tg d Sec d tg
x
x dxx
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
− −⇒ − ⇒ =
= ⇒ = =
− − −= =
+= − = = − = −
⇒∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ kθ +
224 1 4 1 (2 )x dx x arcSec x k
x−
= − − +∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
411 [email protected], [email protected], [email protected]
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2: :
8 8 ; 8
8 1 1 1 cos8 8 8
38)8
8 8 8 8 1
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθθ θ θ θ
⇒ = ⇒
= ⇒ = =
= = =
⇒ −
=− − −
−
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
De la forma Cambio x aSec
x Sec x Sec dx Sec tg d
dx Sec tg d tg d d dSecx x Sec Sec Sec Sec
dx x ax x
2 2 88dx sen k
x xθ
= +−
∫
2
2 2
888
dx x kxx x−
= +−
∫
( )
( )
( )
22 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
.
6 13 6 9 13 9 ( 6 9) 4 3 4
: :6 13 3 4
3 2 ( 3) 4 ; 2
243
39)6 13
4
θ
θ θ θ θ
θ θ
⎡ ⎤− + = − + + − = − + + = − +⎣
⇒
⎦
− +
+= ⇒ ⇒ =− + − +
− = ⇒ − = =
=− +
∫ ∫
∫
∫ Completamos cuadrado en el radicando
x x x x x x x
dx dx D
dxx x
e la forma Cambio x atgx x x
x tg x tg dx Sec d
dx Sec d
x
x a
( )
2
2 2
2
4 1
3 4
θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ
= = = + ++ +
= + +− +
∫ ∫ ∫
∫
Sec d Sec d Ln Sec tg ktg tg
dx Ln Sec tg kx
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
412 [email protected], [email protected], [email protected]
( )( ) ( )2
2
3 4 323 4
x xdx Ln kx
− + + −= +
− +∫
( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
.
21 4 ( 4 21) (( 4 4) 21 4) (( 2) 25) 25 ( 2)
: :21 4 2
40)21 4
5 2
2 5 5 2 (5
θ
θ θ
+ − =− − − =− − + − − =− − − = − −
= ⇒ ⇒ =+ − − −
− = ⇒ = + ⇒ =
⇒+ −
−∫ ∫
∫ Completamos cuadrado en el radicando
x x x x x x x x
x dx x dx De la forma Cambio x asenx x
x dxx x
ax
x sen x sen x
x
se
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 22
2 2 2
22 2
2
2
2
2) ; ( 2) 25 ; 5cos
(5 2) 5cos (5 2) cos (5 2)25 25 125 2
(25 20 4) 25 20 425 2
25 (1 cos2 )225 2
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
+ − = =
+ += = = +
− −− −
= + + = + +− −
= −− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
n x sen dx d
x dx sen d sen d sen dsen senx
x dx sen sen d sen d sen d dx
x dx dx
( )
2
2
25 2520 4 cos2 20 42 2
25 25 2 33 25 220cos 4 20cos2 4 2 425 2
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θθ θ θ
+ + = − + +
= − − + + = − − +− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
sen d d d d sen d d
x dx sen senk kx
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
413 [email protected], [email protected], [email protected]
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
2
2
25 222 5 52
25 2552
2222
52
2222
52
2533 ( )33 25 cos 20cos 202 2 2 225 2
2 25 233 ( ) 4 25 22 225 2
2 21 433 ( ) 4 21 42 221 4
xxx
x
x
x
arcsenx dx sen k kx
x xx dx arcsen x kx
x x xx dx arcsen x x kx x
θ θ θ θ
− −−−
− −
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= − − + = − − +
− −
− − −= − − − − +
− −
− + −= − − + − +
+ −
∫
∫
∫
( )
( )
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
4 3 ( 4 4) 3 4 ( 2) 1
2 2 : :4 3 2
2
1
2 2; ( 2) ;
2
41)4 3
2(
2 1
Completamos cuadrado en el radicando
x x x x x
xdx xdx De la forma Cambio x aSecx x x
x Sec x Sec x Sec dx Sec tg d
xdx
xdxx x
ec
x
x a
S
θ
θ θ θ θ θ θ
θ
+ + = + + + − = + −
= ⇒ ⇒ =+ + + −
+ = ⇒ = − − = =
=+ −
⇒+ +
−
∫
∫
∫ ∫
( )
( )
2 2
2
2
2
2) ( 2)2 2 ( 2)1
2 2 4 2 42 1
2 2 42 1
Sec tg d Sec Sec tg d Sec Sec dSec tg
xdx Sec d Sec d tg Ln Sec tg kx
xdx tg Ln Sec tg kx
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
− −= = −
−
= − = − + ++ −
= − + ++ −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
414 [email protected], [email protected], [email protected]
( )( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
2
2 2 2 1 4 2 2 12 1
2 2 4 3 4 2 4 34 3
xdx x Ln x x kx
xdx x x Ln x x x kx x
= + − − + + + − ++ −
= + + − + + + + ++ +
∫
∫
2 2 2 2
2 3
2
2
2
2 3 2 3
.
3 2 ( 2 3) (( 2 1) 3 1) (( 1) 4) 4 ( 1)
( 2) ( 2) : :(3 2 ) (4 (
( 2)41
1
)(3
) )
2 )Completamos cuadrado en el radicando
x x x x x x x x
x dx x dx De la forma Cambio x asen
x dxx
x
x
ax
xx
θ
+ − = − − − = − − + − − = − − − = − −
+ += ⇒ ⇒ =
+ − −
−
−
+⇒
+
−
∫
∫ ∫
2 2
2 3 2 3 2 3
32 3 6
1 2 2 1 ; ( 1) 4 ; 2cos
( 2) (2 1 2)2cos 2 (2 3)cos8(4 ( 1) ) (4 4 ) (1 )
( 2) 1 (2 3)cos 1 (2 3)cos 1 (24 4 cos 4(4 ( 1) ) cos
x sen x sen x sen dx d
x dx sen d sen dx sen sen
x dx sen d sen d senx
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θθθ
− = ⇒ = + ⇒ − = =
+ + + += =
− − − −
+ + += = =
− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 2
22 2 22 3
1 12 2
22
2 3
3)cos
( 2) 1 3 1 32 cos 4 cos 2 cos 4(4 ( 1) )
1 1 1: cos2 cos 2 2cos
3 34 4
( 2) 12cos(4 ( 1) )
d
x dx sen d d sen d Sec dx
sen d dzI sustitución z dz sen d I kz
tgI Sec d k
x dxx
θθ
θ θ θ θ θ θ θθ θ θ
θ θ θ θ θθ θ
θθ θ
θ
+
+= + = +
− −
− −= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = = +
= = +
+ −= +
− −
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫3
4tg kθ
+
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
415 [email protected], [email protected], [email protected]
2 3 22
2 3 2 2
( 2) 1 3( 1)(4 ( 1) ) 4 4 ( 1)4 ( 1)
22
( 2) 1 3( 1)(3 2 ) 4 ( 1) 4 4 ( 1)
+ − −= + +
⎡ ⎤− − − −− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ − −= + +
+ − − − − −
∫
∫
x dx x kx xx
x dx x kx x x x
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
: :
2 4 ; 2cos
2cos 1 cos 14 4 44 (4 ) 4 4 1
42)4
De la forma Cambio x asen
x sen x sen dx d
dx d d CtgCsc d kx
dx a xx x
x sen sen sen sen
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ
⇒ =
= ⇒ = =
−= = = =
⇒
+− − −
−−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
2
2 2
444
dx x kxx x
− −= +
−∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
416 [email protected], [email protected], [email protected]
( )
( )
( )
22 2
22 2
2 2 2
2
22 2
2 2
2 2
4 .
2 5 ( 2 1) 5 1 1 4
: :( 2 5) 1 4
1 2 ( 1) 4 ; 2
2
41
3)( 2 5
4
)Completamos cuadrado en el radicando
x x x x x
dx dx De la forma Cambio x atgx x x
x tg x tg dx Sec d
dxx x
dx Sec d
tg
x a
x
θ
θ θ θ θ
θ θ
⎡ ⎤− + = − + + − = − +⎣ ⎦
= ⇒ ⇒ =− + − +
− = ⇒ − = =
=⎡ ⎤− +⎣
⇒− +
⎦
+∫ ∫
∫
∫
( )
( )
2 2
2 2 4 22
222
22
2 1 116 8 84 1
1 1 2cos (1 cos2 )8 16 16 321 4
cos16 161 4
Sec d Sec d dSec Sectg
dx send d kx
dx sen kx
θ θ θ θ θθ θθ θ
θ θθ θ θ θ
θ θ θ
= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= = + = + +⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= + +⎡ ⎤− +⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
2 21 1
2 22 22
12
2 22
1 2
1 4 1 4 1( ) ( )16 16 16 8 1 41 4
1( )16 8 2 52 5
x x
x
x
x x xarctg arctgdx k kxx
xarctgdx kx xx x
− −
−
−
− + − + −= + + = + +
⎡ ⎤− +⎡ ⎤− + ⎣ ⎦⎣ ⎦
−= + +
⎡ ⎤− +⎡ ⎤− + ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫
∫
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
417 [email protected], [email protected], [email protected]
2 2
2 2 2
2 2 2
22
2
2:
5 25 ; 5cos
25 25 25 5cos 1 cos5
5
25 cos (1 )5 5 5
2544
5
)
5
25
De la forma x asen
x sen x sen dx d
x sen d sen ddx
x sen sen
x d sen ddx Csc d sen dx sen sen
xdx Ln
xdx a x
Csc C
x
tgx
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ
⇒ =
= ⇒ = =
− − −= =
− −= = −
⇒
=
−
−
= −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
5cos kθ+ +
2 2225 5 25
5 25x x
dx Ln x kx x− − −
= + − +∫
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
3
2
2 2: :
2 4
44)
; 2
4 4 4 2 4 1 4 ( )
4 4 ( )2 2
2
4
4
De la forma Cambio u atg
x tg x tg dx Sec d
x dx tg Sec d tg Sec d Sec d por partes
Ln Sec tgSec tgx dx k resuelta anteriormen
x d
te
x d
a
ec
x
x S
x θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θθ θ
+ ⇒ ⇒ =
= ⇒ = =
+
+
= + = + =
⎡ + ⎤+ = + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
2tg Ln Sec tg kθ θ θ θ+ + +
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
418 [email protected], [email protected], [email protected]
2 22
2 22
4 44 2 2
2 2 2
4 44 2
2 2
x x xxx dx Ln k
x x x xx dx Ln k
+ + ++ = + +
+ + ++ = + +
∫
∫
22 2 2
2 2 2
2
2 2
2
4
4
2 2
4
1: 21 ( ) 2 1
: : ;
1 1 1 12 1 2 1 2 2
( ) ( )1 2 1 2
45)1
x dudx sustitución u x du xdxx u
De la forma Cambio u atg u tg u t
x
g du Sec d
du Se
dxx
u
c d d ku tg u
x arctg u x arctg xdx k dx kx x
a θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θθ
⇒ = ⇒ = ⇒+ +
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
= = = ++ +
= + ⇒ = ++
⇒
+
+
+
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
DÁMASO ROJAS
ABRIL 2008
www.LIB
ROSPDF1
.blo
gspo
t.com
ww
w.M
AT
EM
AT
ICA
SW
.blo
gspo
t.co
m w
ww
.GR
AT
IS2.c
om
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
Top Related