Matrices - Basico

7/23/2019 Matrices - Basico

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MATRICES

Departamento deMatemticas

Autora: M Soledad Vega Fernndez


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Contenidos

Concepto de matriz Tipos de matrices Matriz in!ersa

"peraciones con matrices Rango de una matriz



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Matrices

Es un con#unto de n$meros dispuestos en un cuadro dem %ilas & n columnas

El tama'o de una matriz se descri(e por la cantidad de%ilas & columnas )m * n+

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

E,EM-."S de matrices:

=

534

321A B = (3 4 5 7 0)

=

3

0

1

C

=

201

765

432

D

( ) njmiaij 11



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Tiposde matrices:

=

200

060

001

D

Matriz /IA0"1A.: Es una matriz cuadrada en la 2uetodos los elementos situados %uera de la diagonalprincipal son iguales a 3

Matriz ESCA.AR: Es una matriz diagonal en la 2ue todoslos elementos situados de la diagonal principal son

iguales

jisika

jisia

ij

ij

==

=0

jisiaij =0

=

200

020

002

D



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Tiposde matrices:

Matriz FI.A: Es una matrizcon una sola %ila )dim4* n+

jisia

jisia

ij

ij

==

=

1

0

=

100

010

001

D

B = (3 4 5 7 0)

=

3

0

1

C

MatrizC".5M1A: Es unamatriz con una sola

columna )dim m * 4+


Matriz I/E1TI/A/ o 51I/A/ )I+: Es una matriz diagonal6

en la 2ue todos los elementos de la diagonal principal soniguales a 4


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Tiposde matrices:

MatrizSIM7TRICA: Es una matriz cuadrada 2ue !eri%ica2ue:

jiaa jiij ,=

=

031

322

124

D

Matriz TRIA105.ARS5-ERI"R: Es una matrizcuadrada en la 2ue loselementos (a#o la diagonal

principal son 3

=

500

320

124

D

=

532

022

004

D

MatrizTRIA105.ARI1FERI"R: Es una matrizcuadrada en la 2ue loselementos so(re la

diagonal principal son 3


jisiaij >= 0 jisiaij


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Tiposde matrices:

MatrizTRAS-5ESTAdeuna matriz M: Es la matriz2ue se o(tiene al intercam(iar las %ilas por las

columnas o !ice!ersa


Si entonces( )ija= ( )jit a=

Matriz I1VERSAde la matriz M: Es una matriz 2ue!eri%ica 2ue:

M8 9 I1M

Matriz 15.A: Todossus elementos son iguales a 3


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"peraciones con matrices: S5MA

/os matrices de la misma dimensin puedensumarse o restarse

Ejemplo:


=

+

166

105

824

247

100

431

3213

205

413

( ) ( ) ( ) ( )ijijijijij bacBAbByaASi +==+==

.a suma es unaoperacin interna


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"peraciones con matrices: -R"/5CT" deuna matriz cual2uiera por un 1;MER"

-ara multiplicar una matriz por un n$mero real es unaoperacin e"terna


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"peraciones con matrices: -R"/5CT"

El producto de dos matrices A & ? cu&as dimensionesrespecti!as son m * n & n * r6 es otra matriz de dimensinm * r cu&os t@rminos tienen la %orma:

njinjijiij bababap +++= #############2211


=

##############

##########

###############

###

####

####

###

###

######################

########

#####################

####################2

1

21

ij

nj

j

j

inii

p

b

b

b

aaa

El producto es una operacin interna


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$%M& 'e matrice: *+E-&-E$

4 Asociati!a: )A ?+ C 9 A )? C+

B Elemento neutro: Matriz nulaA 3 9 A

Elemento sim@trico: A )DA+ 9 3

Conmutati!a: A ? 9 ? A


El conj.nto (M ,/) e .n r.po conm.tatioEl conj.nto (M ,/) e .n r.po conm.tatio


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ro'.cto 'e .na matri por .n n real (ecalar):

*+E-&-E$

4 ) G+ 8 9 8 G 8 siendo 6 G n> reales( )ija ( )ija ( )ija

B 8H 9 8 8 siendo un n> real( ) ( )ijij ba + ( )ija )( ijb

8 )G 8 +9) 8G+ 8 siendo 6 G n> reales( )ija ( )ija

4 8 9( )ija ( )ija

Elconj.nto(M,/, R) e .n epacio ectorial


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*+-%+ 'e matrice: *+E-&-E$

4 Asociati!a ) A 8 ?+ 8 C 9 A 8 )? 8 C+

B /istri(uti!a A 8 ) ? C + 9 A 8 ? A 8 C

1ose cumple la Conmutati!a:

1otodas tienen in!ersa

J E*isten di!isores de cero: El productode dos matrices no nulas6 puede

ser la matriz nula

=

03

42

01

42

30

01

=

01

122

30

01

01

42

=

00

00

01

00

00

01

El conj.nto (M , /, ) e .n anillo


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*&6+ 'e .na matri

Es el n$mero de %ilas o columnas de dic=a matriz 2ue

son linealmente independientes

Modo de calcularlo)M@todo de 0auss+:

Departamento deM t ti

=

341

132

531

A

300

30

531

Rango A 9 1312

2

FF

FF

+

=

642

63

321

B

000

000

321

Rango ? 9 413

12

23FFFF

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