Paralelo: 1Deber: 1.1Fecha: 27 de Agosto del 2015Nombre: John Jairo Zambrano A.Calificación:

M A T R I C E S.

CONCEPTO GENERAL : Es un ordenamiento rectangular de elementos de un cuerpo K ( para nuestro caso K = IR ) , es decir , en la forma :

aij IK , i , j , i = 1,2,3,...,n ; j = 1,2,3,....,m.Cada “ aij “ recibe el nombre de componente de una matriz.

Cada línea horizontal de componentes es una fila, cada línea vertical es una columna.

Los subíndices indican la posición de cada componente, el primero “n” a la fila a que pertenece y el segundo “m” a la columna.

Una matriz de “n” filas y “m” columnas la llamaremos matriz de orden “n por m “ y su notación es “ nxm ”.

Ejemplo : La matríz A = tiene 3 filas y 4 columnas,

es decir es de orden 3 x 4 .Aquí , podemos identificar algunos elementos : a13 = -4 , a32 = -7 , etc.Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas se dice que es una matriz cuadrada de orden según el número de filas y columnas que tenga.

IGUALDAD DE MATRICES .

Dos matrices pertenecientes a Iknxm ( del mismo orden ) son iguales si tienen los mismos elementos en las mismas posiciones , es decir :

a b

c d

y

z w

x

a = x b = y

c = z d = w

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ :

1

Sea A = a a

a a11 12

21 22

se llama matriz traspuesta a la que se obtiene intercambiando las filas por

las columnas, es decir a : AT = a a

a a11 21

12 22

Ejemplo : Dado A = 3 1 0

12 10 6

entonces AT =

3 12

1 10

0 6

ADICION DE MATRICES . Dadas las matrices A, B , C IKnxm , entonces : A + B = C cij = aij + bij , aij A , bij B

Ejemplo : En IK2x2

A+ B = a a

a a

b

b b

b a b

a b a b11 12

21 22

12

21 22

11 12 12

21 21 22 22

+

b =

a11 11

PONDERACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR :Sea p IK , aij IKnxm , entonces p aij = bij , aij A , bij B

Ejemplo :

pa a

a a

p a p a

p a p a

11 12

21 22

11 12

21 22

Ejemplo : 5 6 3

2 10

30 15

10 50

MULTIPLICACION DE MATRICES .

La multiplicación de matrices en IK2x2 , tales como las matrices

Aa a

a a

11 12

21 22

, B = b b

b b11 12

21 22

se define así :

A B = a a

a a

b b

b b

a b a b a b a b

a b a b a b a b11 12

21 22

11 12

21 22

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

Ejemplo :

3 4

2 0

2 5

1 6

3 2 4 1 3 5 4 6

2 2 0 1 2 5 0 6

2 9

4 10

LA FUNCION DETERMINANTE.

Dada la matriz A = a b

c d

, se define el determinante de A , como sigue :

det A = A = a b

c d = ad - bc

Ejemplo :

4 3

2 5

= 45 - (3)(-2) = 20 - 6 = 14

2

En el caso de las matrices de orden 3 : A = a b c

d e f

g h i

det A = A = a b c

d e f

g h i

b

e

g h

a

d = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

INVERSA DE UNA MATRIZ

Si A = a b

c d

y det A 0 A-1 =

1

a d b c

d b

c a

Observar que si det A = 0 , no existe A-1 .

Ejemplo :

Si A = 3 2

1 1

, entonces

A-1 = 1

3 1 2 1

1 2

1 3

1

1

1 2

1 31

1 2

1 3

1 2

1 3

( ) ( )

( )

MATRIZ CUADRADA

Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n:

Ejemplo de matriz cuadrada para n = 3:

MATRIZ ADJUNTALa matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par ; El signo es - si i+j es impar.

Ejemplo:

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDADUna matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ SIMÉTRICAUna matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

BIBLIOGRAFIA

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