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MATRICES

MATEMTICA II1MATEMTICA IIng. JHONNY RUIZ NEZUNIVERSIDAD CONTINENTALPROPSITO DE LA CLASE

Reconoce y diferencia las relaciones entre dos o mas matrices.Efecta operaciones con matrices aplicando las propiedades y teoremas.Aplica la matriz en la solucin de ejercicios.Determina la inversa de matrices utilizando diversos mtodos.

IntroduccinLas matrices son de suma importancia en las ciencias, como la ingeniera, la economa y otras ciencias aplicadas.Son tiles para representar datos en forma ordenada, para modelar problemas y resolver sistemas de ecuaciones, para indicar las interrelaciones que existen en los diferentes sectores de la economa (Matriz Insumo Producto).La utilizacin de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas.Las matrices aparecen por vez primera en los aos de 1850 introducidas por Sylvester.

MatricesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos (nmeros reales) ordenados en filas y columnas:

aij es el elemento situado en la i-sima fila y en la j-sima columna. La matriz tiene m filas y n columnas.

B es una matriz de orden 2x5.

Igualdad de matricesMatrices especiales: Matriz fila y matriz columna

Las matrices filas son las de orden 1xn y las matrices columnas son las de orden mx1 (vectores) A es una matriz fila. B es una matriz columna.Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si todos sus elementos correspondientes son iguales.

Matrices especiales: Matriz diagonalEs la matriz cuadrada Anxn = [aij] definida por:

aij =i ; si: i = j0 ; si: i ji RMatrices especiales: Matriz identidadEs un caso particular de la matriz diagonal, en la cual los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1.

Matrices especiales: Matriz TriangularMatriz triangular inferior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos iguales a cero.

Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos iguales a cero.

Matriz transpuestaDada una matriz Amxn = [aij], llamaremos matriz transpuesta de A, a la matriz que resulta de intercambiar en A las filas por columnas. Esta matriz estar denotada por Atnxm = [aji].

Propiedades:

Matrices especiales: Matriz simtrica y antisimtrica

Una matriz cuadrada A se llama simtrica si At = A y antisimtrica si At = -A.

A es una matriz simtrica, pues At = A. B es una matriz antisimtrica, pues Bt = -B.

Adicin y sustraccin de matricesDadas las matrices Amxn = [aij] y Bmxn = [bij] del mismo orden, la suma (A+B) o diferencia (A-B) es una matriz cuyos elementos son las sumas o diferencias de cada uno de los elementos respectivos de las matrices.A + B = [aij + bij] ; A B = [aij bij]Operaciones con matrices

Multiplicacin de un escalar por una matrizEl producto de un escalar k por una matriz es otra matriz kA que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k.

Operaciones con matricesSi A y B son matrices de mn, k1 y k2 son escalares:(k1k2) A = k1(k2A) k1(A + B) = k1A + k1B(k1 + k2) A = k1A + k2A

Multiplicacin de matrices

Ejemplo: 1Ejemplo: 2

Resolucin:Resolucin:

Inversa de una matrizEn matrices no existe la operacin de divisin, pero en diversas ecuaciones matriciales existe la necesidad de despejar una matriz por medio de la inversa, como es el caso de la matriz de rigidez y flexibilidad que aparece en la ingeniera civil o la matriz de insumo-producto en economa.

Una matriz de rigidez La inversa es la flexibilidad

http://w3.mecanica.upm.es/%7Egoico/mecanica/076doct.html

DEFINICIN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Inversa de una matriz (mtodo esquemtico)

Calcular la inversa de la matriz:

Ejemplo: 1

RESOLUCIN:

Podemos verificar que al multiplicar la matriz A con su inversa resulta ser la matriz identidad:

Calcular la inversa de la matriz:Ejemplo: 2

RESOLUCIN:

Reemplazando en la propiedad de inversa, se obtiene que:

Utilizando las operaciones elementales con las filas de una matriz, tambin se puede obtener la inversa de la matriz Anxn, siguiendo el procedimiento descrito a continuacin:Clculo de la inversa de una matriz: mtodo de Gauss-Jordan

1.- Formamos la matriz [A : In]: Ejemplo2.- Luego, mediante las operaciones elementales se reduce la matriz a otra de la forma [In : B]:

B = A-1

Calcular la inversa de la matriz:Ejemplo: 3RESOLUCIN:Formamos la matriz.

Formamos la matriz. Multiplicamos con 1/2 a la primera fila y se obtiene

Realizamos la siguientes operaciones, hasta encontrar su inversa

Continuamos con la operaciones mencionadas.

Continuamos con la operaciones mencionadas.

Una vez que se haya encontrado la matriz identidad al lado izquierdo, implica que el lado derecho es la inversa de la matriz.

Calcular la inversa de la matriz:Ejemplo: 4RESOLUCIN:Formamos la matriz.

Continuamos con la operaciones mencionadas.

Dado que la tercera fila resulta ser nula, entonces la matriz A es singular, por lo tanto no tiene inversa. 26Pre clculoOctava edicinLarson - Hostetler

BIBLIOGRAFA

GRACIAS