Definición e tipos de matricesDefinición e tipos de matrices

• Def: Matriz de orde mxn A=(aij)mxn : Tabla ordeada de números reais con m filas (liñas horizontais) e n columnas

(liñas verticais) ondeo elemento aji é o que está na fila i e na columna j

• Def: Dúas matrices son iguais se teñen a mesma orde e os seus elementos correspondentes son

iguais.Tipos

• Matriz fila: Matriz de orde 1xn• Matriz columna: Matriz de orde mx1• Matriz nula: Matriz con tódolos elementos iguais a cero.• Matrz trasposta de A=(aij)mxn : At=(bij)mxn con bij= aji• Matriz cadrada: con n=m

Tipos de Matrices Cadradas

• Matriz diagonal: aij =0 se i j• Matriz unidade (I): aij =0 se i j e aij =1 se i=j• Matriz triangular superior: aij =0 se i>j• Matriz triangular inferior: aij =0 se i<j• Matriz simétrica: aij= aji

• Matriz antisimétrica: aij= -aji

EXEMPLO 1: EMPREGO DE MATRICES:EXEMPLO 1: EMPREGO DE MATRICES:

EXEMPLO 2: EMPREGO DE MATRICESEXEMPLO 2: EMPREGO DE MATRICES

EXEMPLO 3 : EMPREGRO DE MATRICES EXEMPLO 3 : EMPREGRO DE MATRICES

EXEMPLO 4: TIPOS DE MATRICESEXEMPLO 4: TIPOS DE MATRICES

Matriz fila: (a de orde 1xn)

F é de orde 1x4

Matriz columna:(a de orde mx1)

Esta matriz columna é de orde 4x1

Matriz nula: (con tódolos elementos iguais a cero)

Esta matriz é unha matriz nula de orde 3x3

 EXEMPLO 4: MATRICES CADRADAS (Igual numero de filas

que de columnas)

 EXEMPLO 4: MATRICES CADRADAS (Igual numero de filas

que de columnas)

EXERCICIO: Realiza aqueles exercicios que se poidan

facer e indica por que son imposibles os restantes.

• Escribe unha matriz fila e unha matriz columna da misma orde.

• Escribe unha matriz simétrica de orde 2.

• Escribe una matriz triangular inferior e triangular superior ó mesmo tempo.

• ¿Todas as matrices diagonais son triangulares superiores?

• ¿É a matriz nula unha matriz simétrica?

• ¿Poden ser una matriz fila e unha matriz columna da mesma orde?

EXEMPLO 5: TRASPOSTA DUNHA MATRIZEXEMPLO 5: TRASPOSTA DUNHA MATRIZ

Matriz trasposta de A=(aij)mxn : At=(bij)mxn con bij= aji

Operacións con Matrices MmxnOperacións con Matrices Mmxn

Def: Suma (+): Se A=(aij)mxn e B=(bij)mxn , entón A+B=(aij+ bij)mxn

Def: Producto por un nº real (·R ): Se A=(aij)mxn e

entón ·A=( ·aij)mxn

Teor: (Mmxn , + ,·R ) é un espacio vectorial sobre R

______Producto unha matriz mxn por unha matriz nxp ______

Def: Producto : Se A=(aij)mxn e B=(bij)nxp entón AB=(cij)mxp con cij= ai1 b1,j+...+ainbnj

Propiedades:• Asociativa: A(BC)=(AB)C (para as matrices que se podan multiplicar)• Elemento neutro: A matriz unidade (I): (ai,j =0 se i j e ai,j =1 se i=j)• Distributiva do . respecto da + : A(B+C)=AB+AC• (AB)t=B t A t

• Non conmutativa: En xeral AB BA

€

α ∈R

€

α

€

α

€

≠

Exemplos Operacións:Exemplos Operacións:

• Suma: A e B matrices da mesma orde M2x3

• Producto por un Escalar:

• Producto de dos Matrices: A matriz de orde M2x3 e B matriz de orde M3x2

Recorda que o número de columnas da primeira matríz ten que coincidir co número de columnas da segunda.

€

A =1

4

−2

3

0

−1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ B =

0

−2

−3

7

−1

4

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ A + B =

1+ 0

4 − 2

−2 − 3

3+ 7

0 −1

−1+ 4

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

1

2

−5

10

−1

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

A =1

4

−2

3

0

−1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 3⋅ A =

3⋅1

3⋅ 4

3⋅ −2( )

3⋅10

3⋅ 0

3⋅ −1( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

3

12

−6

30

0

−3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

A =1

4

−2

3

0

−1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ B =

3

0

−1

0

−2

−1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟A⋅ B =

1⋅ 3 − 2⋅ 0 + 0⋅ (−1) 1⋅ 0 − 2⋅ −2( ) + 0⋅ −1( )

4⋅ 3+ 3⋅ 0 −1⋅ (−1) 4⋅ 0 + 3⋅ −2( ) −1⋅ −1( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

1 4

13 −5

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Exercicios: