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Republica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

U. E. N. Zarina de Asuaje

Barquisimeto- Edo- Lara

Integrantes:

Año/Sección: 3er

Año Sección “H”

Barquisimeto, Junio del 2012

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INDICE

PORTADA………………………………………………….………………..PAG. 01

INDICE……………………………………………………………………….PAG. 02

INTRODUCCION…………………………………………………….……..PAG. 03

RESEÑA HISTORICA………………………………………………………PÁG. 04

FUNCION CUADRATICA…………………………………………………PÁG. 05

REPRESENTACION ANALITICA………………………………………..PAG. 06

REPRESENTACION GRAFICA…………………………………………...PAG. 07

RESUMEN…………………………………………………………………...PAG. 08

ANEXOS……………………………………………………………………..PAG. 09

CONCLUSIONES……………………………………………………………PÁG. 11

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………..PAG. 12

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INTRODUCCION

El presente trabajo esta diseñado de forma práctica y sencilla para comenzar a conocer

un poco de esta extraordinaria herramienta, recorriendo lo conceptos y características de

Función Cuadrática, Grafica de Funciones Cuadráticas, raíces, representación analítica,

forma desarrollada, forma factorizada, forma crónica, representación grafica, corte con el

eje y, corte con el eje x, extremos y un resumen de todo lo visto en el contenido.

El Objetivo del trabajo realizado será estudiar más a fondo los nombres antes

mencionados (Función Cuadrática, Grafica de Funciones Cuadráticas, raíces,

representación analítica, forma desarrollada, forma factorizada, forma crónica,

representación grafica, corte con el eje y, corte con el eje x, extremo) para lograr entender

la importancia, características y propiedades de los mismos.

Esto nos ayudara, mas adelante, de manera significativa a aclarar ciertas dudas que

tengamos con respecto a la materia, así mismo aclarar dudas a terceros.

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RESEÑA HISTORICA

Función Cuadrática

Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la

época llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C.

aproximadamente.

Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los

conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al

Álgebra y la Trigonometría.

El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al-

Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.

En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones

cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era

dado en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.

Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos

que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor

influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François Viète

(1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una

ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de

ecuaciones de grado 2, 3 y 4.

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FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo

eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a

es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas

aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

GRAFICA DE FUNCIONES CUADRATICAS

RAICES

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para

los cuales. Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces,

denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido

como

* Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

* Una solución real doble si el discriminante es cero:

* Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

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REPRESENTACIÓN ANALÍTICA

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se

le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una

interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

FORMA DESARROLLADA

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del

polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

Con

FORMA FACTORIZADA

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo a el coeficiente principal de la función, y y las raíces de .En el caso de que el

discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

FORMA CANÓNICA

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente

manera:

A esta forma de expresión se la llama forma canónica (o reducida). Siendo a el coeficiente

principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta

expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el procedimiento llamado completando el

cuadrado:

Dado:

Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

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Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

Sustituyendo:

La expresión queda:

REPRESENTACION GRAFICA

CORTE CON EL EJE Y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale

cero (0):

Lo que resulta:

La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

CORTE CON EL EJE X

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

Se tiene que:

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Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x,

que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

EXTREMOS

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si

parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras

que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: la coordenada x del

vértice será simplemente:

La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica: las coordenadas explícitas del vértice

son: (h,k).

RESUMEN

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.

Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0,

pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

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Cortes con los ejes Influencia de los parámetros en la

gráfica de las funciones cuadráticas

Representación gráfica Partes

de una función cuadrática

Aplicación de Valor Absoluto Viete

a Función Cuadrática

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CONCLUSIONES

El trabajo antes mencionado nos permitió entender y conocer acerca de la Función

Cuadrática, Grafica de Funciones Cuadráticas, raíces, representación analítica, forma

desarrollada, forma factorizada, forma crónica, representación grafica, corte con el eje y,

corte con el eje x, extremos.

Habiendo analizado y entendido estos conceptos presentados estaremos mejor

preparados, no solo en el área de matemáticas, sino también en la parte de simetría.

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BIBLIOGRAFIA

1. Grupo Epsilon, ed (9 de 1994) (en español). Estudio de funciones : la función

cuadrática (1 edición). Fundación Bancaja. ISBN 978-84-88715-06-7.

2. Gallego Palomero (7 de 1989) (en español). Función cuadrática (1 edición).

Ediciones SM. ISBN 978-84-348-2869-8.

3. thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm

4. www.juntadeandalucia.es/.../funciones/teoriafuncioncuadratica/...

5. matematicatuya.com/FUNCIONES/11funcionescuadraticas.html

6. www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html