GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 1 AREA / ASIGNATURA ...€¦ · GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA La...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO NACIONAL DE PROMOCIÓN SOCIAL Creada mediante decreto 000255 de 01 de julio de 2003

Educación Preescolar – Básica- Media Técnica y Académico San Vicente del Caguán

Página 1 de 23

GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 1

AREA / ASIGNATURA: Algebra GRADO: 900 PERIODO: III

DOCENTE CORREO CELULAR

ALBA NELLY OBREGON R.

JORGE ENRIQUE MORENO B.

3133532974

3208378007

MODO DE ENTREGA

FECHA DE ENTREGA

03 Agosto – 04 Septiembre

Las actividades se entregaran de acuerdo al medio de comunicación que se ajuste al estudiante. (Quienes trabajen en la plataforma teams las actividades se desarrollaran en el horario de clase establecido)

ESTANDAR

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

COMPETENCIA: Utiliza expresiones numéricas, algebraicas o gráficas para hacer descripciones de situaciones concretas y tomar decisiones con base en su interpretación.

TEMA Y CONTENIDO

1. FUNCIONES CUADRATICAS

Una Función Cuadrática es una función de la forma: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠

0.

Por ejemplo, las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1; 𝑔(𝑥) =1

3𝑥2 − 𝑥; ℎ(𝑥) = −3𝑥2 + 7son funciones

cuadráticas.

A las funciones cuadráticas también se les denomina funciones de segundo grado porque en la

expresión 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 el mayor exponente de la variable x es 2.

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. En la

parábola se pueden distinguir varios elementos: abertura, vértice, eje de simetría, intercepto con el

eje y e. intercepto con el eje x.

La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia abajo.

Teniendo en cuenta lo siguiente:



Página 2 de 23

El varice V es un punto de coordenadas (h , k) en el cual ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝑘 = 𝑓 (−

𝑏

2𝑎).

La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, de denomina eje de simetría.

La parábola tiene un intercepto con el eje x, se halla al reemplazar x por 0 en la función

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Mientras que los intercepto con el eje x, se hallan al reemplazar y por 0 en la

expresión algebraica de la función cuadrática.

El dominio de una función cuadrática el conjunto R, el rango es el intervalo {k,+∝) si la parábola abre hacia arriba y

es(−∝, 𝑘| si la parábola abre hacia abajo.

2. REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCIONCUADRATICA

Para la gráfica de una función cuadrática se tiene en cuenta cuatro casos, de acuerdo con la

expresión algebraica que la define: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑐, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐, donde la función mas simple es 𝑓(𝑥) = 𝑥2.



Página 3 de 23

Para graficar una funcion cuadratica se identifica el vertice y se ekabora una tabla de valores que

determinan la forma de la parabola.

Caso 1. f(x) = 𝑎𝑥2, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0.

Las parabolas de esta forma tienen como vertice el punto (0,0) y el eje de simetria es el eje

y.

𝑠𝑖 𝑎 > 0, la parabola abre hacia arriba. 𝑠𝑖 𝑎 < 0, la parabola abre hacia abajo.

𝑠𝑖 |𝑎| > 1, la parabola es mas estrecha, en relacion con la parábola donde a = 1.

𝑠𝑖 0 < |𝑎| < 1, la parabola es mas estrecha, en relacion con la parabola donde a = 1.

Por ejemplo, para representar la funcion cuadratica 𝑓(𝑥) = 𝑥2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥2; ℎ(𝑥) =1

2𝑥2, en

el

mismo plano se realiza lo siguiente:

Se construye la tabla de valores correspondientes a las funciones.

Las gráficas de las funciones abren hacia arriba. Además la gráfica de 𝑔(𝑥) = 2𝑥2, es más estrecha en relación con la

parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y la gráfica de ℎ(𝑥) =1

2𝑥2 es mas ancha en relación con la parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

La representación en el plano se puede observar en la siguiente figura:

Para representar las funciones cuadráticas 𝑓(𝑥) = −𝑥2, 𝑔(𝑥) = −2𝑥2, 𝑔(𝑥) = −1

2𝑥2.



Página 4 de 23

Se realiza la tabla de valores correspondientes a las funciones, así:

Las gráficas de las funciones abren hacia abajo. Además, la gráfica de 𝑔(𝑥) = −2𝑥2, es más

estrecho en relación con la parábola 𝑓(𝑥) = −𝑥2 y la gráfica de ℎ(𝑥) = −1

2𝑥2 en más ancha en

relación cin la parábola 𝑓(𝑥) = −𝑥2.

La representación en el plano se puede observar en la siguiente figura:

Caso 2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0.

La grafica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑐 se obtienen trasladando la grafica de la función

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, c unidades. Si c > 0, la traslacción es hacia arriba. Si c < 0, la tralación es

hacia abajo.

El eje de simetría es el eje y y el vertece de la parabola es el punto (0,c).

Por ejemplo, las graficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 se obtienen a

Partir de la parábola 𝑦 = 𝑥2,, asi:

Para graficasr 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, se traslada la grafica de 𝑦 = 𝑥2 una unidad arriba.

Para graficar 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 se traslada la grafica de 𝑦 = 𝑥2 dos unidades hacia abajo.

Las tablas de valores y las representaciones graficas son:



Página 5 de 23

Caso 3. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙; donde c = 0.

En este caso el eje de simetría de la parábola es una recta paralela al eje y.

Las coordenadas del vertice (h, k) se hallan haciendo ℎ = −𝑏

2𝑎 y calculando 𝑘 = 𝑓 (−

𝑏

2𝑎)

Por ejemplo, la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑠í:

Como 𝑎 = −3, la parábola abr hacia abajo

Luego, se hallan las coordenadas del vertice teniendo en cuenta que 𝑎 = −3 y b = 6, así:

ℎ = (−𝑏

2𝑎) = −

6

2(−3)= 1 𝑘 = 𝑓 (−

𝑏

2𝑎) = 𝑓(1) = −3(1)2 + 6(1) = −3 + 6 = 3

Por lo tanto, el vertice es el punto (1,3).

Los puntos de inrtersección con el eje x se obtien cuando 𝑓(𝑥) = 0, es decir,

−3𝑥2 + 6𝑥 = 0

−3𝑥(𝑥 − 2) = 0

−3𝑥 = 0 o 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 2

Luego, los puntos de corte con el eje x son (0,0) y (2,0). La tabla de valores es:

x -1 0 1 2 3

𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 -9 0 3 0 -9



Página 6 de 23

Caso 4. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

La grafica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se obtiene a partir de la parábola que

representa la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, trasladando la gráfica c unidades hacia arriba si c > 0, o c

unidades hacia abajo si c < 0.

Por ejemplo, para graficar la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5, se traslada la gráfica de la parábola

. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 Cinco unidades hacia abajo.

Como 𝑎 = −2 𝑦 𝑏 = 4, entonces, la parábola 𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 tiene como vértice:

Por lo tanto el vértice es el punto (1,2). La tabla de valores correspondiente a la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5 es:

x -1 0 1 2 3

𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5 -11 -5 -3 -5 -3

3. CEROS, RAICES O SOLUCIONES DE LA FUNCION CUADRATICA

Se denominan ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática los pontos de corte de la

gráfica con el eje x.



Página 7 de 23

Ejemplo

Realizar la gráfica de cada función u determinar los ceros o las raíces de cada función si es

posible.

a. 𝑦 = (𝑥 − 2)2 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4

La tabla de valores correspondiente es:

x 0 1 2 3 4

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 4 1 0 1 4

En la gráfica el vértice es en el punto (2,0)

La grafica de la función es:



Página 8 de 23

Como la gráfica de la función intersecta al eje x en x=2, se concluye que la función tiene una

sola raíz en x=2.

b. 𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥 + 5


La función tiene dos soluciones reales y diferentes, en x= - 5 y x = 1

c. 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5


La función no tiene solución en los reales.

4. ECUACIÒN CUADRÀTICA

Una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 y 𝑎 ≠ 0, recibe el nombre de ecuación

cuadrática o ecuación de segundo grado.

Dependiendo del valor de las constantes 𝑏 y 𝑐, las ecuaciones cuadráticas se clasifican en

incompletas y completas.

Ecuaciones incompletas: Son aquellas ecuaciones donde 𝑏 = 0 o 𝑐 = 0.

Por ejemplo, las ecuaciones 2𝑥2 - 3𝑥 = 0,3𝑥2 + 4𝑥 = 0,4𝑥2 = 0, son ecuaciones incompletas.



Página 9 de 23

Ecuaciones completas: Son aquellas ecuaciones de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠

0, 𝑐 ≠ 0.

Por ejemplo, las ecuaciones 2𝑥2 + 43𝑥 − 5 = 0, −3𝑥2 + 15𝑥 − 31 0 = 0, −7𝑥2 − 14𝑥 + 49 = 0, son

ecuaciones completas.

Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores

de las incógnitas que hacen verdadera la igualdad.

Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los

puntos de corte, si los hay, de la parábola con el eje x.

Toda ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales diferentes, dos raíces complejas

diferentes o una sola raíz real.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas

En la solución de una ecuación cuadrática incompleta, se distinguen tres casos.

Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

En este caso se despeja así:

𝑎𝑥2 = 0

𝑥2 = 0

𝑥 = 0

Por lo tanto, la ecuación tiene una solución real, 𝑥 = 0.

Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

En este caso, se aplica la factorización y se iguala cada factor a cero para despejar la variable en

cada caso. Así:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0

𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

Luego, 𝑥 = 0 o 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0



Página 10 de 23

𝑥 = 0 𝑎𝑥 = −𝑏

𝑥 = −𝑏

𝑎

Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales y diferentes, 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = −𝑏

𝑎

Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

En este caso, se despeja 𝑥 y se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0

𝑎𝑥2 = − 𝑐

𝑥2 = − 𝑐

𝑎

𝑥 = ± √−𝑐

𝑎

Las soluciones de la ecuación son 𝑥1 = − √−𝑐

𝑎 o 𝑥2 = + √−

𝑐

𝑎.

Ejemplos

Resolver las siguientes ecuaciones.

a. 3𝑥2 – 27 = 0

3𝑥2 – 27 = 0

3(𝑥2 − 9) = 0

X2 − 9 = 0

X2 = 9

√𝑥2 = √9

X = ± 3

Las soluciones son 𝑥 = 3 o 𝑥 = −3.



Página 11 de 23

B: 4𝑥 − 6𝑥2 = 0

4𝑥 − 6𝑥2 = 0

2𝑥(2 − 3𝑥) = 0

2𝑥 = 0 2 − 3𝑥 = 0

x= 0 −3𝑥 = −2

x=2

3x

Las soluciones son 𝑥 = 0 o 𝑥 =2

3.

ACTIVIDAD A DESARROLLAR

ACTIVIDAD 1.

1. Marca con una X cuales de las siguientes representaciones corresponden a funciones

cuadráticas

𝑎. 𝑦 = −𝑥2 − 4 b. 𝑦 = 𝑥2 − 7

𝑐. 𝑦 = −1

2𝑥2 + 2𝑥3 − 5 d y = −x − 𝑥2

. 𝑒. 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥2 f. 𝑦 = −5 +8

3𝑥

2. Determina en cada caso, si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

a. 𝑦 = −5𝑥 − 3𝑥2 y b, 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥

𝑐. 𝑦 = 3𝑥 −1

2𝑥2 d. 𝑦 = 2𝑥2 − 5𝑥 + 4

e. 𝑦 = 8𝑥 + 𝑥2 f. 𝑦 = −5 − 4𝑥2

ACTIVIDAD 2.

1. Representa gráficamente las siguientes funciones y halla los ceros o

soluciones de cada una.

a. 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

b. 𝑦 = −𝑥2 − 8



Página 12 de 23

c. 𝑦 =2

3𝑥2

2. Observa las gráficas y determina la solución de cada función si es posible.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Teniendo en cuenta la situación por la que estamos atravesando y el contexto en el que nos

encontramos, se tendrá en cuenta varios aspectos esenciales a la hora de evaluar del trabajo en

casa realizado por los estudiantes, como son: la responsabilidad, puntualidad, buen manejo de la

plataforma (Microsotf Teams) o Whatsapp y la participación.

PROFUNDIZACIÓN

Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores de las incognitas que

hacen verdadera la igualdad.

Graficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los puntos de corte si los hay,

de la parábola con el eje x.



Página 13 de 23

GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 2

AREA / ASIGNATURA: Algebra GRADO: 900 PERIODO: III

DOCENTE CORREO CELULAR

ALBA NELLY OBREGON R.

JORGE ENRIQUE MORENO B.

MODO DE ENTREGA

FECHA DE ENTREGA

07 septiembre – 02 0ctubre

Las actividades se entregarán de acuerdo al medio de comunicación que se ajuste al estudiante. (Quienes trabajen en la plataforma Teams las actividades se desarrollarán en el horario de clase establecido)

ESTANDAR

Resuelvo problemas y simplifico

cálculos usando propiedades y

relaciones de los números reales y de

las relaciones y operaciones entre ellos.

COMPETENCIA:

Utiliza procesos inductivos y lenguaje simbólico o

algebraico para formular, proponer y resolver conjeturas

en la solución de problemas numéricos, geométricos,

métricos, en situaciones cotidianas y no cotidianas.

TEMA Y CONTENIDO



Página 14 de 23



Página 15 de 23



Página 16 de 23



Página 17 de 23



Página 18 de 23



Página 19 de 23



Página 20 de 23



Página 21 de 23

ACTIVIDAD A DESARROLLAR



Página 22 de 23

1. Teorema de Tales

2. Polígonos Semejantes

3. Semejanza de triángulos.

4. Criterios de semejanza de triángulos

5. Escalas

CRITERIOS DE EVALUACIÓN



Página 23 de 23

Teniendo en cuenta la situación por la que estamos atravesando y el contexto en el que nos

encontramos, se tendrá en cuenta varios aspectos esenciales a la hora de evaluar el trabajo en

casa realizado por los estudiantes, como son: la responsabilidad, puntualidad, buen manejo de la

plataforma (Microsotf Teams) o Whatsapp y la participación.

PROFUNDIZACIÓN

GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 1 AREA / ASIGNATURA ...€¦ · GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA La...

Documents

Transcript of GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 1 AREA / ASIGNATURA ...€¦ · GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA La...