FUNCIÓN CUADRÁTICA

Son diversas las situaciones que has podido analizar, en niveles anteriores, utilizando expresiones matemáticas y más específicamente a través de la expresión que define la función lineal con la cual lograste por ejemplo calcular el costo final de un producto determinado sabiendo sus costos fijos y variables, o también transformar grados Fahrenheit en Celsius y viceversa. Pero existen otras situaciones o fenómenos que no se pueden resolver mediante funciones lineales. Por ejemplo analizar el lanzamiento de una piedra o también si tenemos una lámina de acero, ¿cómo podemos determinar los valores que debemos considerar para construir una caja que tenga la mayor capacidad? Incluso, conociendo las propiedades de la luz, ¿qué forma debe tener un instrumento para aprovechar mejor la luminosidad? Para dar respuesta a estas inquietudes debemos utilizar un nuevo tipo de función. La función cuadrática.

Definición: Una función cuadrática de valores reales, :f → , es de la forma 2( )f x ax bx c= + + , donde a , b , c ∈ y 0a ≠ . Los valores a , b , c son constantes y se llaman coeficientes numéricos de la función cuadrática. Observa que:

1. Si 0a = , al reemplazar se obtendría ( )f x bx c= + , es decir, una ecuación lineal (recuerda que la ecuaciones lineales las estudiaste en niveles anteriores y la forma obtenida se llama ecuación afín).

2. Se exige que 0a ≠ . Nada se dice de b y c , excepto que sean constantes reales. Ejemplo

1. 2( ) 2 3 2f x x x= + + es una función cuadrática donde 2a = , 3b = , 2c = .

2. ( )2( ) 2h x x= + es una función cuadrática. En efecto, aplicando el desarrollo del binomio,

tenemos ( )2 22 4 4x x x+ = + + , es decir, ( )2 2( ) 2 4 4h x x x x= + = + + . Ejercicios

1. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes numéricos de la función.

a. 2( ) 6 2 1f x x x= + + b. ( )2( ) 2 1g x x= − c. 22 1( )3 4

h x x x= + −

2. Dados los siguientes coeficientes, determina la función cuadrática. a. 2a = , 2b = , 6c = b. 7a = − , 5b = , 0c = c. 4a = , 0b = , 0c =

Habilidad: Item 1: Reconocer Item 2:Representar

Para transformar de grados a Fahrenheit y viceversa utilizaste esta igualdad.

32100 180C F −

=

Esta función nos ayuda a modelar, o representar en forma general, una situación o fenómeno que se nos presente. Pero antes de presentar sus aplicaciones, debemos conocer más sobre esta función. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Toda función de valores reales tiene una representación gráfica. La función lineal, por ejemplo, representa gráficamente una línea recta. Así, dada una función lineal para determinar su gráfico consideramos elementos que identificamos de la propia función, por ejemplo la pendiente y la coordenada que corta al eje Y . También podemos generar una tabla de valores y obtener los valores de x y de y . Por otro lado si nos presentan el gráfico de una función lineal podemos determinar la función que lo representa.

La función cuadrática, por su parte, representa gráficamente una parábola. Pero dada una función cuadrática, ¿cómo podemos graficarla? ¿Podemos ocupar una tabla de valores para graficarla? Y por otro lado, si nos presentan el gráfico de una parábola ¿podemos determinar la función que lo genera? Debes considerar que una recta queda definida por solo dos puntos, pero una curva no puede determinarse por dos puntos, por lo tanto, realizar una tabla de valores para poder graficar una parábola no es muy recomendable. Sin embargo, dada una función cuadrática y utilizando elementos que identificaremos a continuación, que se desprenden de los coeficientes de la función, podrás determinar su gráfico. Luego, como identificarás estos elementos, podrás, dado un gráfico, determinar la función que lo genera. Debes saber que: Aunque te pueden parecer que una cadena o una cuerda colgando representan una parábola, el gráfico que representa esta situación, se llama catenaria y la función que lo genera no es una función cuadrática. La demostración que la curva seguida por una cadena no es una parábola fue demostrado por Joachim Jungius (1587-1657) y publicado póstumamente en 1669. Debes recordar que:

El significado geométrico de una función es que para cada valor que toma x en el eje X o eje de las abscisas, ( )f x toma un valor en el eje Y o eje de las ordenadas. Por lo que puedes considerar ( )f x y= . Luego el par ordenado es

( ) ( )( ), ,x y x f x=

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA I. CONCAVIDAD Uno de los valores que nos entrega información en la función 2( )f x ax bx c= + + es el coeficiente a . Este valor es de gran importancia, ya que su signo nos indicará hacia dónde se abre la parábola. El concepto que encierra esta idea se llama concavidad. De esta manera:

A. Si a es positivo ( 0a > ) entonces la función ( ) 2f x ax bx c= + + representa una parábola

cóncava hacia arriba. Gráficamente, si 0a > , la parábola tiene la siguiente forma:

B. Si a es negativo ( 0a < ) entonces la función ( ) 2f x ax bx c= + + representa una parábola cóncava hacia abajo. Gráficamente, si 0a < , la parábola tiene la siguiente forma:

Ejemplo Dada la función ( ) 22 5 3f x x x= + − , podemos decir lo siguiente:

2a = , 5b = , 3c = − y como 2 0a = > , entonces la parábola que representa es cóncava hacia arriba.

Ejercicios

1. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes a , b y c e indica su concavidad.

a. 2( ) 4f x x x= − b. 21( ) 42

g x x= − − c. ( )2 21 3( ) 3 4 12 5

h x x x x x = + − − + −

d. 25( ) 46

m x x= − e. ( )2 2( ) 3 2t x x x= − − + f. ( )2( ) 2s x x= −

Habilidad: Item 1: Reconocer

II. INTERSECCIÓN CON LOS EJES Debes recordar que:

1. Los puntos que se encuentran sobre el eje Y , son de la forma ( )0, y , es decir, la coordenada

x es 0x = . 2. Los puntos que se encuentran sobre el eje X , son de la forma ( ),0x , es decir, la

coordenada y es 0y =

A. Intersección de la función cuadrática con el eje Y

Otro valor que nos entrega información en la función ( ) 2f x ax bx c= + + es el coeficiente c . El valor de c corresponde a la coordenada del eje Y donde la parábola corta a este eje. En efecto, cuando 0x = se tiene ( ) 20 0 0f a b c c= ⋅ + ⋅ + = .

Ejemplo En nuestro ejemplo ( ) 22 5 3f x x x= + − donde 2a = , 5b = , 3c = − , determinemos el valor dónde la parábola que representa intercepta al eje Y .

Solución

La parábola corta al eje Y en 3c = − , es decir el punto de intersección es ( )0, 3− Ejercicios

1. Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientes a , b , c y determina el valor donde la parábola intercepta al eje Y .

a. 2( ) 5 4m x x x= − + − b. 22( ) 33

n x x x= − c. ( )2( ) 2 3f x x= −

d. 23( ) 27

g x x= − e. ( )2 2( ) 3 1 2 4p x x x= − − + − f. 22 1( )

3 4f x x = −

Habilidad: Item 1: Reconocer

B. Intersección de la función cuadrática con el eje X

Cuando la gráfica de una función corta al eje X en uno o más puntos, estos puntos reciben el nombre de raíces reales o ceros de la función. Es decir, las raíces reales de la función cuadrática ( ) 2f x ax bx c= + + son los valores x tal que ( ) 0f x = . Expresado de otra forma,

se deben encontrar los x que cumplan con que 2 0ax bx c+ + = . Los coeficientes a , b y c nos proporcionan la información requerida. Para ello, escribe el trinomio 2ax bx c+ + como una expresión factorizada y aplica la propiedad de los números reales que dice: Si 0a b⋅ = entonces 0a = o 0b =

2 0ax bx c+ + =

2 0bx ca x

a a + + =

(Factorizando por a )

2 2

22 2 0

4 4bx b b ca xa a a a

+ + − + =

(Sumando 0 para completar cuadrados)

2 2

22 2 0

4 4bx b b cxa a a a

+ + − + =

(Ya que a no puede ser 0 por definición)

2 2

2 2 4b b cxa a a

+ = −

(Igualando cantidades)

2 2

2

4 2 4b b acxa a

− + =

(Extrayendo raíz cuadrada, se obtiene)

2 4

2 2b b acxa a

−+ = o

2 42 2b b acxa a

−+ = −

Despejando x en ambas ecuaciones y renombrando estos valores como 1x y 2x , obtenemos los valores buscados

2

14

2b b acx

a− + −

= o 2

24

2b b acx

a− − −

=

En conclusión: En la función cuadrática ( ) 2f x ax bx c= + + , los valores c , 1x y 2x nos indicarán dónde la parábola corta a los ejes.

Pero ¿Puede haber una parábola que no corte al eje X ? La respuesta es afirmativa, ya que la parábola no depende del eje X , sino que de los valores que vaya tomando ( )f x , respecto de los valores de x . Si observas, los valores obtenidos en 1x y 2x se presenta la expresión

2 4b ac− y por las propiedades de raíces cuadradas el cálculo de 2 4b ac− nos lleva a tres situaciones:

1. Si 2 4 0b ac− > , entonces 2 4b ac− tiene dos valores reales y distintos y, por lo tanto, 1x y

2x son dos raíces reales y distintas, lo que geométricamente significa que la parábola corta al eje X en las coordenadas 1x y 2x .

2. Si 2 4 0b ac− = , entonces 2 4 0b ac− = , lo que implica que 1 2x x= . Es decir, la función tiene una sola raíz, lo que geométricamente significa que la parábola corta al eje X en solo una coordenada.

3. Si 2 4 0b ac− < , entonces 2 4b ac− no tiene valores reales y, por lo tanto, 1x y 2x no son raíces reales, lo que geométricamente significa que la parábola no corta al eje X .

Debes saber que:

2 4b ac− se llama discriminante y se simboliza por ∆ , es decir 2 4b ac∆ = − Ejemplo. En la función ( ) 22 5 3f x x x= + − donde 2a = , 5b = , 3c = − , determinemos los puntos de intersección con el eje X .

Analizando el discriminante, tenemos que:

( ) ( )22 4 5 4 2 3 25 24 49b ac∆ = − = − ⋅ ⋅ − = + = , es decir 0∆ > lo que nos indica que las raíces son reales y distintas. Calculando estos valores, tenemos:

( )2

1

5 494 5 7 2 12 4 4 4 2

b b acxa

− +− + − − += = = = =

( )2

2

5 494 5 7 12 32 4 4 4

b b acxa

− −− − − − − −= = = = = −

Por lo tanto, la parábola generada corta al eje X en los puntos ( )3,0− y 1 ,02

Ejercicios. 1. Dadas las siguientes funciones, analiza el discriminante y determina si su gráfico, es decir, la

parábola corta o no al eje X .

a. 2( ) 4 4f x x x= + + b. 2( ) 2f x x x= − c. ( )2( ) 2 1f x x= +

d. ( ) 2 1f x x x= + + e. ( ) 21 22

f x x x= − f. ( ) 2 6 16f x x x= − +

2. Dadas las siguientes funciones, determina sus raíces.

a. 2( ) 3 2g x x x= − + b. 2 3( ) 12

g x x x= − + + c. 2( ) 2 1g x x x= − − −

d. 2( ) 3 48g x x= − e. 2( ) 3 4g x x x= − + − f. 23 7 9( )5 3 4

g x x x= + − 3. En las siguientes funciones, analiza su discriminante y comprueba tu conclusión calculando el

valor de las raíces.

a. 2( )h x x= b. 2( ) 4 3h x x= + c. 2( ) 5h x x x= + −

d. 2( ) 5 1h x x= − − e. 24( ) 3 19

h x x x= + − f. 21( ) 24

h x x= − − 4. Discute las siguientes situaciones:

a. Si en una función cuadrática ( ) 2f x ax bx c= + + el discriminante es positivo y además

0c > , ¿qué puedes decir de la concavidad de la parábola que representa?

b. Si una función cuadrática ( ) 2f x ax bx c= + + es cóncava hacia abajo, pero no intercepta al eje X , ¿qué signo tendrá siempre el coeficiente c ?

5. Determina qué valor debe tener k en la función ( ) 2 2f x x x k= + + para que la parábola

intercepte al eje X en un solo punto. Solución: Como se pide que la parábola intercepte al eje X en un solo punto, entonces se debe tener que 0∆ = . De la función tienes que 1a = , 2b = , c k= , luego

22 4 1 4 4k k∆ = − ⋅ ⋅ = − , es decir 4 4 0k− = , lo que implica que 4 4k= , es decir 1k = y la función es ( ) 2 2 1f x x x= + + .

6. Para qué valores de k , la parábola de la función ( ) 2 2 2f x kx x= + + no corta al eje X

7. Qué valor debe tener k para que la función ( ) 2 2( 1) (2 1)f x x k x k= − + + + intercepte al eje X en dos puntos.

Habilidad: Item 1, y 3: Calcular y Analizar Item 2: Aplicar y Calcular Item 4 : Analizar y conjeturar Item 5, 6 y 7: Analizar, aplicar y calcular

III. EJE DE SIMETRÍA La parábola es simétrica respecto del eje Y o de un eje paralelo al eje Y . Por lo tanto existe un eje de simetría, esto significa que este eje divide a la parábola en partes iguales. Debes recordar que:

El punto medio entre dos valores, por ejemplo 1x y 2x , se determina realizando el cálculo de 1 2

2x x+

.

Por lo tanto, podemos calcular el eje de simetría de una parábola ocupando los valores determinados por las raíces de la función. En efecto,

2 2

1 2

4 422 2

2 2 4 2

b b ac b b acx x b ba a

a a

− + − − − −++ − −

= = =

En conclusión:

El eje de simetría es la recta perpendicular al eje X , 2

bxa−

=

Ejemplo En nuestro ejemplo, ( ) 22 5 3f x x x= + − donde 2a = , 5b = , 3c = − , determinemos el eje de simetría de la parábola.

Solución

La parábola que representa nuestra función, tiene como eje de simetría la recta 5 5

2 2 2 4bxa− − −

= = =⋅

Ejercicios

1. Dadas las siguientes funciones, determina el eje de simetría de sus respectivas parábolas. a. 2( )h x x= b. 2( ) 2f x x x= − + c. 2( ) 5 2 1g x x x= − − +

d. 23 1( )4 8

h x x x= − + e. 2( ) 5 7f x x x= − + − f. 2 4 1( )

2 3 2xg x x= − + −

2. Si en la función ( ) 2f x ax bx c= + + , se tiene que 0b = , ¿qué puedes decir del eje de

simetría? 3. Analiza los signos de a y b en la función ( ) 2f x ax bx c= + + , y determina la posición del eje

de simetría. Habilidad: Item 1 : Calcular Item 2 y 3: Analizar y conjeturar

IV. VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA Otro elemento que podemos determinar de una función cuadrática es el vértice de la parábola que representa. Si observamos, el eje de simetría corta a la parábola en un único punto, que exactamente

corresponde al vértice de la parábola y donde su coordenada en el eje X es 2

bxa−

= , por lo tanto

para determinar la ordenada del vértice, reemplazamos en ( ) 2f x ax bx c= + + y obtenemos: 2 2 2 2 2 2 2

2

2

22 2 2 4 2 4 2 4

4

b b b b b b b b bf a b c a c c ca a a a a a a a

bca

− − − − = + + = ⋅ − + = − + = +

−= +

En conclusión: El vértice que simbolizamos por V , es el punto de la parábola

2

,2 4

b bV ca a

− −+

Ejemplo En nuestro ejemplo, ( ) 22 5 3f x x x= + − donde 2a = , 5b = , 3c = − , determinemos el vértice de la parábola.

Solución

La parábola que representa nuestra función, tiene como vértice el punto

( )22 55 5 25 5 24 25 5 49, , 3 , 3 , ,2 4 2 2 4 2 2 2 8 4 8 4 8

b bV c V V V Va a

− − − − − − − − − − − + = − + = − + = = ⋅ ⋅ ⋅

Ejercicios

1. Dadas las siguientes funciones, determina el vértice de sus respectivas parábolas.

a. 2( ) 5 6f x x x= − + b. 2( ) 2g x x x= − + c. 2( ) 3 2h x x x= − + d. 21( ) 2

2f x x x= + + e. 2( ) 8 8 2g x x x= − + + f. 23( ) 1

2h x x x= − − +

2. En las funciones cuadráticas de la forma ( ) 2f x ax= , es decir, 0b = y 0c = . Determina su vértice.

Habilidad: Item 1 : Calcular Item 2 y 3: Analizar, calcular y conjeturar

¿Qué has visto en esta Unidad? Has podido determinar que una función representa geométricamente una parábola, y que podemos graficarla identificando elementos que se presentan en ella y que se deducen de los coeficientes de la función cuadrática a , b y c . Por otra parte, con los elementos identificados, si tienes una parábola puedes determinar la función que la genera. Los ejemplos siguientes ilustran tus aprendizajes. Graficar una parábola dada su función Grafiquemos nuestro ejemplo. De nuestra función ( ) 22 5 3f x x x= + − identificamos:

1. Coeficientes: 2a = , 5b = , 3c = −

2. Concavidad: Como 2 0a = > , entonces la parábola es cóncava hacia arriba

3. Intersección con los ejes: a. Intersección con el eje Y en el punto ( )0, 3−

b. Intersección con el eje X en los puntos ( )3,0− y 1 ,02

Eje de simetría: El eje de simetría corresponde a la recta 5

4x −=

4. Vértice de la Parábola: El vértice corresponde al punto

5. 5 49,

4 8V − −

Así, el gráfico corresponde al de nuestra función, donde se encuentran identificados nuestros elementos calculados.

Dada el gráfico de una parábola determinar la función Obtengamos la función correspondiente a la parábola presentada. De la parábola, podemos identificar que 6c =

Por otra parte, sabemos que 5

2 2ba−

= , lo que implica 52 52

b a a/− = ⋅ =/

es decir, 5b a= − Reemplazando esta igualdad en la coordenada y del vértice, obtendrás:

( )22 5 164 4 4

abca a

− −− −+ = + = , lo que implica

225 1 64 4

aa

− −= −

Es decir:

25 1 244 4

a− − −= . Despejando, obtenemos 1a =

Así 1a = , 5b = − y como 6c = , la función que genera la parábola es ( ) 2 5 6f x x x= − +

Revisa tus aprendizajes en esta unidad.

1. Dadas las siguientes funciones, grafique la parábola correspondiente, identificando

coeficientes, concavidad, intersección con los ejes, eje de simetría y vértice.

a. 2( ) 3 6f x x= − + b. 2 7 5( )2 2

g x x x= − + c. 2 2( )9

h x x x= − + −

d. 21 5( ) 22 3

m x x x= − + − e. 2( ) 4 4n x x x= − + − f. 21( ) 12

t x x x= + +

2. Dadas las siguientes parábolas, determinar con los datos presentados, la función que la

genera.

a. b.

c.

3. Determinar el valor de k en la función ( ) 22 8f x x kx= − − de tal manera que la parábola

intercepte en un punto al eje X .

4. Calcular el valor de k en la función ( ) 2 3f x x kx= + + para que el vértice sea el punto

( )2, 1−

5. Calcula las raíces de una función cuadrática ( ) 2f x ax bx c= + + , donde 0b =

6. Si una función cuadrática ( ) 2f x ax bx c= + + , la parábola es cóncava hacia arriba e

intercepta al eje X en 1x y 2x y además el coeficiente c es positivo, ¿qué ocurre con los

signos de las raíces de la función? ¿y si c fuese negativo?

Item Completamente Logrado

Logrado Medianamente Logrado

Por Lograr

Item 1 Desarrolla correctamente la totalidad de los

ejercicios. Determinando la gráfica de cada

uno de ellos.

Desarrolla correctamente el

cálculo de los elementos

estudiados. Sin embargo no

grafica correctamente la totalidad de ellos.

Desarrolla correctamente

más de tres, pero menos de cinco

ejercicios.

Desarrolla tres o menos ejercicios

en forma correcta.

Item 2 Determina en forma correcta

cada una de las funciones

presentando un desarrollo

algebraico claro.

Determina en forma correcta

cada una de las funciones, pero presenta errores

en el proceso algebraico para

obtenerlas.

Determina dos de las tres funciones con errores en el

proceso algebraico de.

Logra determinar una o ninguna de

las funciones.

Item 3 y 4 Resuelve en forma correcta

ambos ejercicios presentando claridad en la

aplicación de los elementos

requeridos y prolijidad en el

desarrollo.

Resuelve en forma correcta

ambos ejercicios, pero con dificultad

en la aplicación de conceptos y

proceso de resolución.

Resuelve en forma correcta el primer ejercicio.

No aplica definición de vértice en la solución del

ejercicio N°4. Lo que indica un

proceso mecánico y no analítico.

No resuelve ninguno de los ejercicios. No identifica que

elementos ocupar para la resolución.

Item 5 y 6 Analiza y aplica en forma correcta

los conceptos para poder obtener un

resultado general (Pregunta 5) y

conjeturar (Pregunta 6).

Resuelve ambos ejercicios, pero

entrega una conclusión

general de sus resultados obtenidos.

Resuelve en forma correcta 1 de los ejercicios con dificultad en

el proceso de resolución. No

presenta la conclusión general del resultado obtenido.

No resuelve ningún ejercicio.

No presenta capacidad de

generalizar ni de conjeturar.

BIBLIOGRAFIA

1. Fundamentos de Matemática Elemental Vol. 01: Conjuntos y Funciones Gelzon Iezzi & Carlos Murakami, Tercera Edición, Atual Editora. 1977.

2. Geometría Analítica: Charles Lehmann, Noriega Editores, 1980. 3. Apuntes: La Parábola Jaime C. Bravo Febres 4. Apuntes PSU Pedro de Valdivia. 5. Curvas Maravillosas: Vicente Viana Martínez 6. www.sectormatemática.cl