FM-252 Funcion Cuadratica y Ecuacion 2 III

GUIC

FOM

TA04

252V

1

Programa Focalizado

Cpech Preuniversitarios2

Función cuadrática y ecuación de segundo grado IIIMarco Teórico

1. Función cuadrática

y=ax2 + bx+ co f(x) = ax2 + bx+ c, con a ≠ 0 y x ∈ IR Su representación gráfica es una parábola.

1.1 Análisis de sus coeficientes. • a: concavidad de la parábola. Si a> 0 , la parábola es abierta hacia arriba.

a > 0

y

x

a < 0

y

x Si a< 0, la parábola es abierta hacia abajo.

• c: ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje Y.

1.2 Eje de simetría y vértice de la parábola.

Eje de simetría: x= – b2a

Vértice: V= (– b2a

, f (– b2a ))

El vértice nos permite determinar los mínimos y máximos de la parábola.

Si a > 0, la parábola es abierta hacia arriba, entonces existe un mínimo. Si a < 0, la parábola es abierta hacia abajo, entonces existe un máximo.

1.3 Puntos de intersección de la parábola con el eje X.

Discriminante: ∆ = b2 - 4ac

a) Si ∆ > 0, entonces la parábola intersecta al eje Xen 2 puntos. b) Si ∆ = 0, entonces la parábola intersecta al eje Xen 1 punto. c) Si ∆ < 0, entonces la parábola NO intersecta al eje X.

Matemática

Cpech Preuniversitarios 3

2. Ecuación de segundo grado

Se obtiene al determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje X, es decir, cuando yes cero.

y=ax2 + bx+c (Reemplazando ypor 0) 0 = ax2 +bx+c

Entonces, ax2 +bx+ c = 0 es una ecuación de segundo grado con una incógnita, donde el mayor exponente es 2 y por lo tanto, tiene 2 soluciones. A las soluciones también se les llama raíces o ceros.

Para resolverla utilizaremos 2 métodos:

a) Factorización:

Ejemplo:

x2 – 2x– 35 = 0 (Factorizando) (x– 7)(x+ 5) = 0

x– 7 = 0 ó x+ 5 = 0 x

1= 7 x

2= – 5

Entonces, los puntos de intersección de la parábola con el eje Xson: (7,0) y (– 5,0)

b) Fórmula:

x= – b ± �b2 – 4ac2a

(Se utiliza cuando la factorización no es tan simple)

2.1 Tipos de soluciones:

Dependen del valor del discriminante: ∆ = b2 – 4ac

a) Si ∆ > 0, entonces tiene 2 soluciones reales distintas (x1 ≠ x

2)

b) Si ∆ = 0, entonces tiene 2 soluciones reales e iguales (x1 = x

2)

c) Si ∆ < 0, tiene 2 soluciones complejas conjugadas.

2.2 Propiedades de las raíces o soluciones:

x1 + x

2 = – b

ax

1 · x

2 = c

a

Programa Focalizado


Ejercicios PSU

1. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = ax2 + bx+ c, con a < 0 y c< 0?

A) y

x

B) y

x

C) y

x

D) y

x

E) y

x

2. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x2 – 2?

A) y

x

B) y

x

C) y

x

D) y

x

E) y

x

Matemática


3. En la función f(x) = 4x2 – 8x + 7, el vértice de la parábola es A) (2, 7) B) (1, – 11) C) (– 1, 5) D) (– 2, 39) E) ninguno de los puntos anteriores.

4. Considere la función f(x) = 3x2 + 18x + 14, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es

A) 67 B) 3 C) – 3 D) – 13 E) – 22

5. Considere la función f(x) = – 5x2 + 20x – 8, con x en los números reales. El mayor valor que alcanza la función es

A) 12 B) 2 C) – 2 D) – 48 E) – 68

6. El consumo de combustible respecto de la velocidad está dado por la función C(v) = 6v2– 240v, donde la velocidad se expresa en km

h. ¿A qué velocidad debe ir el auto para que el consumo

de combustible sea mínimo?

A) 240 kmh

B) 40 kmh

C) 20 kmh

D) 10 kmh

E) Ninguna de las velocidades anteriores.

Programa Focalizado


7. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función f(x) = – (x – 2)2? A) y

4

2x

B) y

– 4

–2x

C) y

4

2x

D) y

– 4

2x

E) y

4

– 2x

8. Considere la parábola y = 14

(x + 2)2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La parábola se abre hacia arriba. II) Su vértice se encuentra en (– 2, 0). III) Su eje de simetría es x = – 2.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

9. Dada la parábola de ecuación y = x2 – 4x + m, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si m > 4, la parábola intersecta en dos puntos al eje X. II) Si m= 4, la parábola intersecta en un solo punto al eje X. III) Si m < 4, la parábola NO intersecta al eje X.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

Matemática


10. Sea la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si a > 0, entonces la función tiene un mínimo. II) Si c = 0, la gráfica de la función NO pasa por el origen. III) Si b=0, a < 0 y c > 0, entonces la gráfica de la función NO intersecta al eje X.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

11. Sea la parábola cuya función es f(x) = 5x2 + 5x + k. ¿Para qué valor de k la parábola intersecta en un solo punto al eje de las abscisas?

A) 54

B) 12

C) – 12

D) – 54

E) Ninguno de los valores anteriores.

12. Dada la parábola cuya función es f(x) = x2 – 3x – 54, ¿cuáles son los puntos de intersección de la parábola con el eje X?

A) (6, 0) y (– 9, 0) B) (0, – 9) y (0, 6) C) (0, 6) y (0, – 9) D) (– 6, 0) y (9, 0) E) (– 9, 0) y (6, 0)

13. La función correspondiente al gráfico de la figura es

A) f(x) = – x2 – 2x + 8 B) f(x) = – x2 + 2x – 8 C) f(x) = – x2 + 2x + 8

y

4

8

– 2x

D) f(x) = x2 – 2x – 8 E) f(x) = x2 + 2x – 8

x4 8y– 2

Programa Focalizado


14. Una terraza rectangular de 21 metros cuadrados de superficie, tiene 4 metros más de largo que de ancho. Si x es la medida del ancho, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular las medidas de la terraza?

A) 4x2 – 21 = 0 B) x2 – 17 = 0 C) x(x – 4) – 21 = 0 D) x(x – 4) + 21 = 0 E) x(x + 4) – 21 = 0

15. Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x – 1) = 42 son

A) �43 y – �43 B) 7 y 6 C) 6 y – 7 D) 7 y – 6 E) 2 y – 21

16. En la ecuación x + 2x

= – 3, el valor de x es

A) – 2 y – 1 B) – 3 y 1 C) – 1 y 3 D) 2 y 1 E) no tiene solución real.

17. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 4 = 5x + 4 es

A) {0} B) {5} C) {0, – 5} D) {0, 5} E) ninguno de los conjuntos anteriores.

Matemática


18. Con respecto a las soluciones (o raíces) de la ecuación x2 – 12x + 27 = 0, ¿cuál(es) de las si-guientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I) Son distintas. II) Tienen igual signo. III) Una es el triple de la otra.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

19. En la ecuación 12x2 – 4x = – 2(k– 8), ¿qué valor debe tener kpara que una de las soluciones (o raíces) sea cero?

A) – 8 B) – 4 C) 0 D) 4 E) 8

20. Para que la ecuación 4x(x + 3) = k carezca de raíces reales, deberá cumplirse que

A) k < – 9

B) k< – 32

C) k < 32

D) k < 9

E) k> 9

21. La ecuación que tiene como raíces (o soluciones) a 12 y – 4 es

A) x2 + 8x – 48 = 0 B) x2 – 8x – 48 = 0 C) x2 – 8x + 48 = 0 D) x2 + 8x + 48 = 0 E) ninguna de las ecuaciones anteriores.

Programa Focalizado


22. La ecuación que tiene como raíces (o soluciones) a 35

y 7 es

A) 5x2 + 38x + 21 = 0 B) 5x2 + 38x – 21 = 0 C) 5x2 – 38x + 21 = 0 D) 5x2 + 10x + 21 = 0 E) ninguna de las ecuaciones anteriores.

23. Si se sabe que 13 es la solución (o raíz) de la ecuación x2 + 3kx – 10 = 0, entonces el valor de k es

A) – 5313

B) – 1639

C) 213

D) 1639

E) 5313

24. En la ecuación 8x2 – (k + 6)x + 5 = 0, ¿qué valor debe tener k para que la suma de las raíces

(o soluciones) sea 32

?

A) 9 B) 6 C) – 15 D) – 18 E) Ninguno de los valores anteriores.

25. En la ecuación 4x2 – (k + 2)x + 3(2k – 9) = 0, ¿qué valor debe tener k para que el producto

de las raíces (o soluciones) sea 23

?

A) 8918

B) 7318

C) 1718

D) –1718

E) Ninguno de los valores anteriores.

Matemática


26. Respecto a la ecuación 24 + 10x – x2 = 0, ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La suma de las raíces (o soluciones) es 10. II) El producto de sus raíces (o soluciones) es – 24. III) Ambas raíces (o soluciones) son positivas.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

27. Dada la ecuación (3k + 1)x2 + k(x + 2) – 4 = k, con k≠ – 13

¿Cuál debe ser el valor de k para

que la suma de sus raíces (o soluciones) sea igual al producto de ellas?

A) 3

B) 2

C) 32

D) 13

E) No se cumple para ningún valor de k en los reales.

28. Un jardín rectangular tiene área igual a 24 metros cuadrados. Su largo mide 2 metros más que su ancho, ¿cuánto mide el largo?

A) 4 metros B) 4,7 metros C) 6 metros D) 6,7 metros E) Ninguna de las medidas anteriores.

Programa Focalizado


29. Sea la parábola de ecuación y= x2 + mx – 6, con x∈IR. Se puede determinar el valor de m si:

(1) La parábola intersecta al eje Y en (0, – 6).

(2) El eje de simetría de la parábola es x= – 52

.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

30. Sea ax2 + bx + c = 0, con x∈IR y a ≠ 0. Se puede determinar si la ecuación tiene raíces reales y distintas si:

(1) b= – 9. (2) El producto de sus raíces (o soluciones) es – 22.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

Matemática


Tabla de corrección

Pregunta Alternativa Nivel1 Conocimiento2 Aplicación3 Aplicación4 Aplicación5 Aplicación6 Análisis7 Análisis8 Análisis9 Análisis10 Análisis11 Aplicación12 Aplicación13 Análisis14 Comprensión15 Aplicación16 Aplicación17 Aplicación18 Análisis19 Aplicación20 Aplicación21 Aplicación22 Aplicación23 Aplicación24 Aplicación25 Aplicación26 Análisis27 Aplicación28 Aplicación29 Evaluación30 Evaluación

Programa Focalizado


Solucionario

1. La alternativa correcta es E.

y

xc

El gráfico de la alternativa E) representa mejor a la función, ya que si a < 0, entonces la parábola es abierta hacia abajo y si c < 0, la parábola intersecta al eje Y en un valor negativo.

2. La alternativa correcta es C.

y

x

El gráfico que mejor representa a la función f(x) = x2 – 2 es el de la alternativa C), ya que la

parábola intersecta al eje Y en (0, – 2) y como a > 0, es abierta hacia arriba.


f(x) = 4x2 – 8x + 7 a = 4, b = – 8 y c = 7

Vértice = (– b2a

, f (– b2a ))

–b

2a = (Reemplazando)

– (– 8)2 ∙ 4

= (Multiplicando)

88

= (Dividiendo)

1

xxx

y

Matemática


f(x) = 4x2 – 8x + 7 (Evaluando 1 en la función) f(1) = 4 ∙ 12 – 8 ∙ 1 + 7 (Desarrollando) = 4 – 8 + 7 = 3

Por lo tanto, el vértice de la parábola es (1, 3)

4. La alternativa correcta es D.

f(x) = 3x2 + 18x + 14 a = 3, b = 18,c = 14

El menor valor que alcanza la función se refiere a la segunda componente del par ordenado del

vértice, es decir, f (– b2a ) .

– b

2a = (Reemplazando)

– 182 ∙ 3

= (Multiplicando)

– 18

6 = (Dividiendo)

– 3 f(x) = 3x2 + 18x + 14 (Evaluando – 3 en la función) f(– 3) = 3 ∙ (– 3)2 + 18 ∙ – 3 + 14 (Desarrollando) = 3 ∙ 9 – 54 + 14 = 27 – 54 + 14 = – 13

El menor valor que alcanza la función es – 13.

Programa Focalizado


5. La alternativa correcta es A.

f(x) = – 5x2 + 20x – 8 a = – 5, b = 20,c = – 8

El mayor valor que alcanza la función se refiere a la segunda componente del par ordenado del

vértice, es decir, f (– b2a ) .

– b

2a = (Reemplazando)

– 202 ∙ – 5

= (Multiplicando)

– 20– 10 = (Dividiendo)

2 f(x) = – 5x2 + 20x – 8 (Evaluando 2 en la función) f(2) = – 5 ∙ (2)2 + 20 ∙ 2 – 8 (Desarrollando) = – 5 ∙ 4 + 40 – 8 = – 20 + 40 – 8 = 12

El mayor valor que alcanza la función es 12.


C(v) = 6v2– 240v, donde C(v): consumo de combustible y v: velocidad Como en esta parábola a> 0, se habla de mínimo; pero en este caso se pide la velocidad (abs-

cisa) para que el consumo sea mínimo, es decir, se pide – b2a

, entonces:

Para encontrar el mínimo, utilizamos el eje de simetría:

x = – b2a

(Reemplazando)

x = – (–240)2 ∙ 6

(Multiplicando)

x = 24012 (Dividiendo)

x = 20

Esto significa que cuando la velocidad sea 20 km/h, el consumo de combustible va a ser mínimo.

Matemática



f(x) = – (x – 2)2

f(x) = – (x2 – 4x + 4) f(x) = – x2 + 4x – 4

a= –1, b= 4, c= – 4

Como a< 0, entonces la parábola es abierta hacia abajo. Quedan descartadas las alternativas A) y E)

Como c= – 4, entonces la parábola intersecta al eje Yen (0, – 4) Queda descartada la alternativa C)

Entonces, nos quedan las alternativas B) y D)

Para discriminar entre ambas debemos analizar el eje de simetría.

x = – b2a

(Reemplazando)

x = – 42 ∙ – 1

(Multiplicando)

x = – 4– 2 (Dividiendo)

x = 2

Luego, xes positivo. Por lo tanto, el gráfico correspondiente a la función dada está en la alternativa D).


y = 14

(x + 2)2 (Desarrollando)

y = 14

(x2 + 4x + 4) (Distribuyendo)

y = 14

x2 + 44

x + 44

(Simplificando)

y= 14

x2 + x + 1

a = 14

, b = 1, c = 1

Programa Focalizado


I) Verdadera, ya que a> 0.

II) Verdadera, ya que:

Vértice = (– b2a

, f (– b2a ))

– b

2a = (Reemplazando)

– 1

2 ∙ 14

= (Multiplicando)

– 112

= (Dividiendo)

– 1 ∙ 2 = (Multiplicando) – 2

f(x) = 14

x2 + x + 1 (Evaluando – 2 en la función)

f(– 2) = 14

∙ (– 2)2 + (– 2) + 1 (Desarrollando)

= 1 – 2 + 1 = 0

Por lo tanto, el vértice de la parábola es (– 2, 0)

III) Verdadera, ya que:

x= – b2a

(Reemplazando)

x= – 1

2 ∙ 14

(Simplificando)

x = – 112

(Desarrollando)

x = – 1 ∙ 2 (Multiplicando) x= – 2

Matemática


9. La alternativa correcta es B.

y = x2 – 4x + m

I) Falsa, ya que si m > 4, la parábola no intersecta al eje X. II) Verdadera, ya que el discriminante es igual a 0. III) Falsa, ya que si m < 4, la parábola intersecta al eje X en dos puntos.


I) Verdadera, ya que la parábola es abierta hacia arriba. II) Falsa, ya que si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen. III) Falsa, ya que si b=0, a < 0 y c > 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje X

en dos puntos.


El discriminante de la función debe ser igual a cero.

f(x) = 5x2 + 5x + k a = 5, b = 5 y c = k

b2 – 4ac = 0 (Reemplazando) (5)2 – 4 ∙ 5 ∙ k = 0 (Resolviendo) 25 – 20k = 0 25 = 20k (Despejando k)

2520

= k (Simplificando)

54

= k

Luego, el valor de k debe ser 54

para que la parábola intersecte sólo en un punto al eje de las abscisas.

Programa Focalizado



Si f(x) = x2 – 3x – 54, entonces para determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje X, debemos igualar “y” a cero, entonces:

x2 – 3x – 54 = 0 (Resolviendo la ecuación factorizando) (x – 9) (x + 6) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0) x – 9 = 0 ó x + 6 = 0 (Despejando x) x

1 = 9 x

2 = – 6

Por lo tanto, los puntos de intersección de la parábola con el eje X son (9, 0) y (– 6, 0)


Según el gráfico, los puntos de intersección de la parábola con el eje X son (– 2, 0) y (4, 0). Entonces, las soluciones de la ecuación son x

1= – 2 y x

2 = 4

Aplicando (x– x1)(x– x

2) = 0 (Reemplazando x

1 y x

2)

(x + 2)(x – 4) = 0 (Desarrollando) x2 – 2x – 8 = 0

Como la parábola es abierta hacia abajo, a debe ser menor que 0 y c = 8.

Por lo tanto: x2 – 2x – 8 = 0 (Multiplicando por – 1) – x2 + 2x + 8 = 0

Entonces la función es f(x) = – x2 + 2x + 8


Si x es la medida del ancho, entonces el largo es x + 4. x(x + 4) = 21 (Igualando a 0) x(x + 4) – 21 = 0

Matemática



x(x – 1) = 42 (Desarrollando) x2 – x = 42 (Igualando a 0) x2 – x – 42 = 0 (Factorizando) (x – 7)(x + 6) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0) x – 7 = 0 ó x + 6 = 0 (Despejando x) x

1 = 7 x

2 = – 6


x + 2x = – 3 (Multiplicando por x)

x2 + 2 = – 3x (Igualando a 0) x2 + 3x + 2 = 0 (Factorizando) (x + 2)(x + 1) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0) x + 2 = 0 ó x + 1 = 0 (Despejando x) x

1 = – 2 x

2 = – 1


x2 + 4 = 5x + 4 (Igualando a 0) x2 + 4 – 5x – 4 = 0 x2 – 5x = 0 (Factorizando) x(x – 5) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0)

x = 0 ó x – 5 = 0 (Despejando x) x

1 = 0 x

2 = 5

Por lo tanto, el conjunto solución es {0, 5}

Programa Focalizado



x2 – 12x + 27 = 0 (Factorizando) (x – 3)(x – 9) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0) x – 3 = 0 ó x – 9 = 0 (Despejando x) x

1 = 3 x

2 = 9

I) Verdadera. II) Verdadera. III) Verdadera.

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.


12x2 – 4x = – 2(k– 8) (Igualando a 0) 12x2 – 4x + 2(k– 8) = 0

a= 12, b= – 4, c= 2(k– 8)

Para que una de las soluciones (o raíces) sea 0, c debe ser 0, entonces: c = 0 (Reemplazando) 2(k– 8) = 0 (Dividiendo por 2) k– 8 = 0 (Despejando k) k = 8


Para que la ecuación 4x(x + 3) = k carezca de raíces reales, el discriminante debe ser menor que 0, entonces:

b2 – 4ac < 0

4x(x + 3) = k (Desarrollando) 4x2 + 12x = k (Igualando a 0) 4x2 + 12x – k = 0

a = 4, b = 12, c = – k

Matemática


b2 – 4ac < 0 (Reemplazando) 122 – 4 ∙ 4 ∙ – k< 0 (Desarrollando) 144 + 16k < 0 (Despejando 16k) 16 k< – 144 (Despejando k)

k< – 14416

k < – 9

Por lo tanto, para que la ecuación 4x(x + 3) = k carezca de raíces reales, k < – 9


x1 =12 y x

2 = – 4

(x– x1)(x– x

2) = 0 (Reemplazando x

1 y x

2)

(x – 12)(x – (– 4) = 0 (x – 12)(x + 4) = 0 (Desarrollando) x2 – 8x – 48 = 0


x1 = 3

5 y x

2 = 7

(x– x1) (x– x

2) = 0 (Reemplazando)

(x – 35

) (x– 7) = 0 (Desarrollando)

x2 – 7x– 35

x+ 215

= 0 (Sumando términos semejantes)

x2 – 385

x+ 215

= 0 (Multiplicando por 5)

5x2 – 38x + 21 = 0

Programa Focalizado



Si 13 es solución (o raíz) de la ecuación x2 + 3kx – 10 = 0, entonces:

x2 + 3kx – 10 = 0 (Reemplazando 13) 132 + 3k∙ 13 – 10 = 0 (Resolviendo) 169 + 39k – 10 = 0 (Restando) 159 + 39k = 0 (Despejando 39k) 39k = – 159 (Despejando k)

k = – 15939

(Simplificando por 3)

k = – 5313


8x2 – (k + 6)x + 5 = 0

a= 8, b= – (k+ 6), c= 5

Además:

x1 + x

2 = – b

a (Reemplazando)

32

= k + 68

(Multiplicando la ecuación por 8)

12 = k + 6 (Despejando k) 6 = k

Matemática



4x2 – (k + 2)x + 3(2k – 9) = 0

a= 4, b= – (k+ 2), c= 3(2k – 9)

Además:

x1 ∙ x

2 =

ca (Reemplazando)

23 =

3 (2k – 9)4

(Multiplicando la ecuación por 12)

8 = 9(2k– 9) (Desarrollando) 8 = 18k– 81 (Despejando 18k) 89 = 18k (Despejando k)

8918 = k


24 + 10x – x2 = 0 (Ordenando) – x2 + 10x + 24 = 0

a = – 1, b = 10 y c = 24

I) Verdadera, ya que x1 + x

2 = – b

a = – 10

– 1 = 10

II) Verdadera, ya que x1 ∙ x

2 = c

a = 24

– 1 = – 24

III) Falsa, ya que al resolver la ecuación tenemos que: – x2 + 10x + 24 = 0 (Multiplicando por – 1) x2 – 10x – 24 = 0 (Factorizando) (x – 12)(x + 2) = 0 x – 12 = 0 y x + 2 = 0 x

1 = 12 y x

2 = – 2

Programa Focalizado



(3k + 1)x2 + k(x + 2) – 4 = k (Desarrollando) (3k + 1)x2 + kx + 2k – 4 – k= 0 (3k + 1)x2 + kx + k – 4= 0

a = 3k+ 1, b= k, c = k– 4

Entonces:

– ba

= ca

(Reemplazando)

– k3k + 1

= k – 43k + 1

(Multiplicando por 3k+ 1)

– k = k– 4 4 = 2k (Despejando k) 2 = k


Sea x: ancho del jardín, entonces x+ 2: largo del jardín Si el jardín es rectangular, su área es:

Largo ∙ ancho = Área (Reemplazando) x ∙ (x + 2) = 24 (Distribuyendo) x2 + 2x = 24 (Igualando a 0) x2 + 2x – 24 = 0 (Factorizando) (x – 4)(x + 6) = 0 x – 4 = 0 y x + 6 = 0 x

1 = 4 y x

2 = – 6

Como x representa una medida, entonces el ancho mide 4 metros (ya que no hay medidas

negativas)

Por lo tanto, el largo mide 4 + 2 = 6 metros.

Matemática



(1) La parábola intersecta al eje Y en (0, – 6). Con esta información, no es posible determinar el valor de m, ya que de el enunciado se puede concluir la información dada, además que al reemplazar x por 0 e y por – 6, desaparece la incógnita m.

(2) El eje de simetría de la parábola es x= – 52

. Con esta información, es posible determinar

el valor de m, ya que el eje de simetría es x= – b2a

.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.


(1) b= – 9. Con esta información, no es posible determinar si la ecuación tiene raíces reales y distintas, ya que no conocemos el valor de a y c.

(2) El producto de sus raíces (o soluciones) es – 22. Con esta información, es posible deter-minar si la ecuación tiene raíces reales y distintas, ya que si el producto de las raíces es negativo, entonces a y c tienen signos distintos, por lo tanto su producto también será negativo, de modo que b2 – 4ac será positivo y por lo tanto, las raíces son reales y distintas.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

FM-252 Funcion Cuadratica y Ecuacion 2 III

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