INTRODUCCIÓN

A.GeneralidadesEl texto que se presenta como manual de consulta para docentes de establecimientos de E. Media, tiene como propósito servir de referencia para planificar actividades de Tercer Año Medio. Contiene referencias a conceptos matemáticos teóricos, modelamiento, razonamiento lógico y deductivo, resolución de problemas, lenguaje matemático formal, etc. Todas indicaciones que suponemos conocidas por los docentes, pero necesarias de rescatar para dar mayor solidez a las respuestas e intereses que demandan los estudiantes.

El tema central es el de “función” que, desde su presentación algebraica, deriva a los contenidos de ecuaciones, geometría y probabilidades, vinculando su incorporación por medio de polinomios, factorizaciones, y reducciones algebraicas. En particular se recuerda la conocida función

polinómica P( x )=∑

i=0

i=n

ai xi

, en su forma simple, para las de primer y segundo grado, mientras que otras alcanzan formas exponenciales avanzadas como la función de probabilidad

φ (x )= 1√2 π ∫−∞

x

e (− tt

2 ) dt

B.FuncionesUna función “f” es una relación f ⊆ AxB con A, B conjuntos no vacíos, tal que:

1) Domf =A

2) Si f ( x )=a ∧ f ( x )=b⇒a=b (una preimagen no debe tener imágenes distintas)

Es necesario recordar que, para verificar que se cumpla la condición (1), el dominio debe identificar sus “restricciones” en el caso que las tenga, especialmente cuando se opera en el conjunto de los números reales. Con esta indicación se evita generalizaciones que pueden resultar incorrectas, por ejemplo:

Sea la “función” f ⊆ IR x IR tal que:f ( x )= x+1

x−1 o peor aún con:

Sea la “función” f ⊆ IR x IR tal que: f ( x )=√ x+2También es importante tener referencias en el análisis de las imágenes, en particular:

1) Si ∀ x∈ A ∧ ∀ y∈ A : f ( x )= f ( y )⇒ x= y , se dice que la función es inyectiva o “uno-a-uno”

2) Si Recf =B , la función se dice epiyectiva, sobreyectiva, sobre, onto, o suryectiva. 3) Si f es inyectiva y epiyectiva al mismo tiempo, se dice que es biyectiva o biunívoca.

Por ejemplo, la función real definida por f ( x )=x+1 es biyectiva, pues:i) f ( x )= f ( y )⇒ x+1= y+1 ⇒ x= y

f ( x )=f ( y )⇒ x= y ∴ es inyectiva

ii) Rec f = IR, puesto que en este caso el conjunto asociado al Recorrido no tiene “Restricciones”.

Recordemos que f ⊆ IR x IR se puede también escribir por f: IR ⃗ IR / y= f ( x ) lo cual permite verificar fácilmente que x= y−1

Observación: Las restricciones más comunes en los números reales son de la forma:

1) f ( x )g ( x ) con g( x )≠0

2) √ f (x ) con f ( x )≥0

3) Log [ f ( x )] con f ( x )>0

Por ejemplo la función f: IR -{12 }⃗ IR definida por

f ( x )= 12 x−1 no es epiyectiva,

pues: f ( x )= 1

2 x−1⇒ x=1+ y

2 y esto es, el recorrido está restringido (no definido) para y = 0

∴ Rec f ¿ IRExisten relaciones que pueden parecer funciones pero que, en estricto rigor, no lo son. Es el caso en que Domf ⊂A , y en que cada x ∈ A tiene una única imagen f(x) ∈ B. Estas relaciones suelen llamarse Aplicaciones. Recordemos además, que si se restringe el conjunto de partida de estas aplicaciones, quitándoles el o los valores de indeterminación, se las puede transformar en una función.

Tal es el caso del ejemplo anterior f: IR -{12 }⃗ IR definida por

f ( x )= 12 x−1 como también

de otros tipos de funciones reales.

Veamos el caso de una función que no es inyectiva ni epiyectiva.

f: IR ⃗ IR / y=f ( x )=x2+1 a) Es función, pues Domf = IR , y para cada x∈ IR existe una única imagen f(x) b) No es inyectiva pues, por ejemplo, f (1)=2 ∧ f (−1)=2

c) No es epiyectiva, pues Recf =[1 ,∞[ , luego Recf ¿ IR

Además, analizar el Dominio de una función f es importante, pues cada valor que la indetermina presta utilidad para representarla mediante un diagrama cartesiano.

Por ejemplo en la aplicación en IR: f ( x )=1

x tenemos: Domf = IR -{0 } . Observamos que en gráfico la curva es “asintótica” para x=0, como también es asintótica para y = 0

Claramente f: IR −{0 }⃗ IR / f ( x )=1

x es una función.

C. Polinomios

Una función definida en la forma:f ( x )=an xn+an−1 xn−1+an−2 xn−2+. . .. .. .+a1 x+a0 con n∈ IN, {a0 , a1 , a2 ,. .. . ., an }⊆ IR, se dice “polinómica real de grado n”.

Su representación en notación de sumatoria es P( x )=∑

i=0

i=n

ai xi

. Y las constantes {a0 , a1 , a2 ,. .. . ., an }se llaman coeficientes del polinomio.

Por ejemplo, para n = 2, g( x )=2 x2+3 x−5 es una función polinómica real de segundo grado, llamada “función cuadrática”. Sus coeficientes son: 2, 3, -5

Factorización de polinomios, “raíces” (ceros) de un polinomio.

Se llama “raíz” de un polinomio al valor de x0 tal que P( x0 )=0 . De esta forma, si x0 es raíz del polinomio, el teorema de factorización única asegura que éste puede ser expresado en la forma P( x )=Q (x )(x−x0) .

Dicho de otra forma, se asegura que P( x )es divisible por (x−x0 ) .

Por otra parte, dado que todo cuerpo es un dominio de integridad que no tiene divisores de cero, permite resolver

P2( x )=∑i=0

2

a i xi=0

por factorización, esto es (x−x0 )(x−x1 )=0⇒ {( x−x0) ¿ 0

¿( x−x1) ¿ 0

vinculándola a la propiedad cancelativa en forma reducida: a⋅b=0⇒ (a=0 )∨(b=0 ) la cual permite operacionalizar el procedimiento para resolver la ecuación asociada.

Mientras que para P1( x )=∑

i=0

1

ai x i=0 bastará con aplicar las propiedades de grupo abeliano en

(IR ,+,* )

CAPÍTULO I

Función cuadrática

Para este capítulo, agregamos que, toda función cuadrática (de segundo grado), se representa como una parábola en el plano cartesiano.

En f : IR → IR ¿ f ( x )=ax2+bx+c ; con a , b , c∈ IR ¿ a≠0 , si a >0 se trata de una parábola cuyo vértice V (h , k ) es el punto mínimo de ella. Se dice que tiene concavidad positiva o que se “abre hacia arriba”.

Ejemplo: Se puede observar en el gráfico de f ( x )=x2−4 x+5 , que a = 1 y su vértice es V (2,1) , punto mínimo de la parábola.

Si a < 0, entonces se trata de una parábola cuyo vértice V (h , k ) es un punto máximo de ella.Se dice que su concavidad es negativa, o que “se abre hacia abajo”.

Se puede observar en el gráfico def ( x )=−x2+4 x−3 , que a = -1Su vértice es V (2,1) , punto máximo de esta parábola.

Otro ejemplo: Para la gráfica de f : IR → IR / f (x )=1−x2

el máximo de la parábola es V (0,1 )

Y tiene concavidad negativa

Raíces de un polinomio.

Dado que el polinomio de grado n, P( x )=∑

i=0

i=n

ai xi

tiene n raíces en C (según el teorema fundamental del algebra), se afirma que toda ecuación cuadrática tiene dos soluciones (raíces). Entonces, para ax 2+bx+c=0 resolverla significa encontrar los “ceros” (2 raíces) de la función, esto es, encontrar los puntos de intersección de la curva con el eje de abscisas para el caso de raíces en IR. En el siguiente diagrama, se pueden observar tres elementos importantes de una parábola:

i) Las raíces de la parábola, asociadas a los puntos de intersección de la curva con el eje de las abscisas, o, los puntos donde f(x) = 0.

ii) El vértice V (h, k), es decir, el punto de ella que dimidia la parábola en dos ramas simétricas, y que puede ser un Máximo (el punto de mayor ordenada posible) o un Mínimo (el punto de menor ordenada posible).

iii) El eje de simetría, esto es, la recta vertical que, pasando por el vértice de la parábola, la dimidia

y es perpendicular al eje de abscisas. Se dice que este es un eje de simetría vertical.

Observación: Existen parábolas con eje de simetría horizontal (paralelo al eje de las abscisas),

del tipo x=ay 2+by+c , pero éstas no son funciones del tipo y=f ( x )

Tipos de ecuaciones cuadráticas.a) Incompleta Pura: ax 2+c=0 ; a , c∈IR , a≠0

Solución: x2−(√− c

a )2

=0⇒(x+√− ca )⋅(x−√− c

a )=0 llamada coloquialmente “extraer

raíz”, con la reducción informal: x2=k / √⇒ x=±√k

b) Incompleta: ax 2+bx=0 ; a , b∈ IR , a≠0

Solución:x (ax+b )=0 conocida como solución por “factorización”c) Completa (General): ax 2+bx+c=0 a , b , c∈ IR , a≠0

Solución: aplicando la fórmula de Bhaskara, con la técnica de “completar el cuadrado”, se

obtiene x i=

−b±√b2−4 ac2 a la “fórmula”, y su consecuente factorización

(x−x1 )⋅(x+x2)=0Ejemplos:a) Para x

2+3 x−10=0 , tomando como referencia el término libre (-10), el teorema de

divisibilidad expresa que, si el polinomio tiene una raíz, ésta es divisor de

a0

an

En este caso, es propia la factorización: ( x+5)( x−2 )=0

b) Resolver 2 x2−3 x−5=0 , para este caso, con la fórmula de Bhaskara resulta x i=

3±√494

Soluciones de una ecuación cuadráticaLa expresión b

2−4ac se llama Discriminante y se denota por Δ. Así, para la ecuación de segundo grado, hay tres posibilidades:

i) Si Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones (raíces) reales distintas.

ii) Si Δ < 0, la ecuación tiene dos soluciones (raíces) complejas distintas.

Recuérdese que i=√−1 es la unidad imaginaria en un complejo z=a+bi

iii) Si Δ = 0, la ecuación tiene dos soluciones (raíces) reales iguales.

El análisis de Δ permite decidir de antemano qué tipo de raíces (soluciones) tiene una ecuación cuadrática, sin necesidad de resolverla. Por ejemplo, en la ecuación 2 x2+5 x−7=0 , se tiene que b

2−4ac=81> 0, es decir, esta ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Otro caso: dada la ecuación x2−12 x+c=0 , encontrar el (los) valor(es) de “c” para que las dos

raíces de la ecuación sean reales y distintas.

Solución: Debe ocurrir que Δ = (b2−4 ac )> 0 ⇒144−4C>0 ⇒ ∴C<36

Otro ejemplo que se propone para resolverlo: Dada la ecuación x2+( p+1 )x+1=0 , ¿cuál

debe ser el valor de “p” para que la ecuación tenga dos raíces reales e iguales (solución doble)?.

Suma y Producto de las raíces de una ecuación cuadráticaConsideremos x1 , x2 las raíces (soluciones) de una ecuación cuadrática ax 2+bx+c=0 .

Entonces x1=

−b+√b2−4 ac2a , con

x2=−b−√b2−4 ac

2a , luego: x1+x2=

−2 b2 a

=−ba

Por otro lado, x1⋅x2=

4 ac4a2

= ca

Ejemplo 1: Determinar la suma y producto de las raíces (soluciones) de la ecuación 3 x2−4 x+8=0

Solución: x1+x2=− b

a ⇒ x1+x2=

43

∧ x1⋅x2=83

Ejemplo 2: Determinar la ecuación cuadrática cuya suma de raíces es 23 y su producto es

16

Solución: 23=4

6 luego a = 6. De aquí c = 1 y b = -4; la ecuación es 6 x2−4 x+1=0

En especial, si x1+x2=

23

∧ x1⋅x2=16

⇒ (

23−x2)⋅x2=

16

∴ 6 x22−4 x 2+1=0

Ecuaciones bicuadráticas, sustituciones, e irracionalesLas ecuaciones bicuadráticas son ecuaciones de 4° grado que se pueden asimilar a ecuaciones de segundo grado mediante el expediente de usar una incógnita auxiliar. Son ecuaciones del tipo ax 4+bx 2+c=0 . Con a ,b , c∈IR , a≠0

En ellas se puede utilizar la variable auxiliar u=x2, con lo que la primera ecuación por resolver

es au2+bu+c=0 . Con los dos valores de u , se pueden obtener los cuatro valores de x .

Ejemplo: la ecuación 2 x4+4 x2−8=0 . Solución: 2u2+4 u−8=0 ⇒u1=−1+√5 ∧ u2=−1−√5 .

Puesto que sabemos que debe tener cuatro raíces, éstas son:

x1 =+√−1+√5 ∧ x2=−√−1+√5 ∧¿ ¿ x3=i√1+√5 ∧ x4=−i √1+√5

Sustituciones

Proposición: aplicar una sustitución adecuada para x2−√x2+6+6=2

Solución: u2=x2+6

Formas IrracionalesOtra de las ecuaciones típicas asociadas a una ecuación de segundo grado, o más bien, que la generan, es la ecuación irracional, esto es, la ecuación que presenta a la variable en expresiones subradicales (bajo raíz), como la del ejercicio anterior.

Resolver una ecuación de este tipo consiste en reducir las raíces bajo el expediente de ir “elevando” sucesivamente al cuadrado toda la ecuación, tantas veces como sea necesario.

Por ejemplo: la ecuación √ x+3=√2 x−1+√x−4

Con solución: √ x+3=√2 x−1+√x−4 / ()2 ⇒ −2 x+8=2√(2 x−1)( x−4 )/()2

⇒ x2−x−12=0 ⇒ x1=4 ∧ x2=−3

Dado que la función asociada a la ecuación original no tiene el mismo Dominio que la ecuación simplificada final, hay que comprobar si las soluciones encontradas satisfacen a la ecuación inicialmente propuesta.

En este caso x2=−3 no es solución de √ x+3=√2 x−1+√x−4

D. Problemas de planteo resueltos con ecuaciones de segundo grado.Al igual que con la ecuación de primer grado estudiadas cursos anteriores, para plantear matemáticamente un problema, es necesario identificar la(s) variable(s), sus relaciones con coeficientes y constantes, y la relación de igualdad. Los planteos típicos son del tipo:

1) Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 405 cm2 y su perímetro 84 cm.

Solución: b

a

Sabemos que el sistema asociado por área y perímetro es:

a⋅b ¿ 4052 a+2 b ¿ 84

|

Entonces a1=15 y b1=

41515 ; a2=27 y

b2=41527

2) Dentro de 11 años, la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Marcela.Solución.

Edad de Marcela = x; la edad transcurridos once años =( x+11) ; la edad trece años

antes = ( x−13 )

Entonces, el modelo matemático es: x+11=(x−13)2

2⇒ x2−28x+174=0

Y sus raíces: x1=21 ; x2=7 ¿Cuál de estos dos valores da solución al problema?... ¿son los dos igualmente válidos?

TraslacionesRetomemos ahora el concepto de parábola y su asociación con la ecuación cuadrática.

Si se comparan las gráficas de y=a1 x2+b1 x+c1 con y=a2 x2+b2 x+c2 , en aquellos casos en

quea1 , a2 tienen el mismo signo, y el vértice de ambas parábolas coincide, resulta uno de los siguientes casos:

Por ejemplo, están en esta situación los pares de parábolas:

(a) y=4 x2−16 x+19 ; y=2 x2−8 x+11

(b) y=−2x2+8 x−5 ; y=−4 x2+16 x−13

Se sugiere graficar cada par en un mismo plano para visualizar cada caso.

Se puede observar que a1=ka2 y b1=kb2 ; k∈ IN

¿Cómo se completaría el siguiente cuadro?Funciones

y=x2 y=x2+2 y=x2−1Vértice (0, 2)

Recorrido [−1 ,+∞[

Vértice de la parábola y forma canónica

A partir de y=x2, tener y= (x−h )2 significa una parábola con vértice en (h , 0 ) y su eje de

simetría en la coordenada x = h.

Ejemplo: y=x2 ; y= (x+2 )2

En y= (x+2 )2 : el eje de simetría es x = -2

Se puede observar que:

i) Si se traslada la gráfica y=x2 en una unidad hacia la derecha, y dos unidades hacia

arriba, se obtiene y= (x−1 )2+2

ii) Si se traslada y=x2 tres unidades hacia la izquierda, y una unidad hacia abajo, se

obtiene y= (x+3 )2−1

Cualquier parábola con eje de simetría vertical puede escribirse en función de y=x2,

resultando y=a ( x−h )2+k , conocida como forma “canónica” de la parábola, y obtenida mediante el método de completación de cuadrados. Esto ayuda a graficar la parábola, pues el vértice está en V= (h, k)

Por ejemplo, graficar la parábola y=x2+4 x+5 , encontrar su vértice y la ecuación de su eje de simetría.

Solución: y=x2+4 x+4+1⇒ y=( x+2 )2+1

Es decir, a partir de y=x2, se tiene una parábola desplazada 2 unidades a la izquierda, y

una unidad hacia arriba: su vértice es V= (-2, 1) y su eje de simetría es h = -2

Obviamente, si a ≠ 1 en la forma canónica, el trabajo es ligeramente más extenso.

Por ejemplo, graficar y=2 x2−4 x+1 , encontrar su vértice y la ecuación de su eje de simetría.

Solución:y=2(x2−2 x+1 )−1⇒ y=2( x−1 )2−1 . El vértice es V = (1, -1) y la ecuación del eje de simetría es x = 1. Obsérvese que el valor de a ≠ 1 significa gráficamente el “grado de abertura” y el tipo de concavidad.

Resolver la ecuación cuadrática asociada a la parábola f ( x )=ax 2+bx+c significa también

encontrar los ceros x1 , x2 de la función.

Así, P( x1 , 0) ; Q( x2 , 0) son los puntos de intersección de la parábola con el eje de las abscisas,

si al resolver la ecuación hay dos soluciones reales distintas o, lo que es lo mismo, si b2−4ac

> 0 . El vértice se obtiene como V (

x1+x2

2, k )

, donde k es el valor que se obtiene al reemplazar la abscisa en la función.

Si la ecuación genera dos soluciones reales iguales, esto es, si b2−4 ac=0 , entonces la

parábola es tangente a las abscisas en el único punto P( x1=x2 , 0 ), que es al mismo tiempo su

vértice. Cuando al resolver la ecuación asociada las raíces son complejas, o sea si b2−4 ac <

0, la parábola no intersecta al eje de las abscisas. En este caso resulta más pertinente y simple darle la forma canónica antes de graficarla y obtener su vértice y eje de simetría.

Recordemos que completar el cuadrado de un polinomio mónico de segundo grado contiene el procedimiento inverso del desarrollo de un cuadrado de binomio, esto es:

f ( x )=x2+bx+c ⇒ f ( x )=x2+2⋅bx

2+c

⇒ f ( x )=(x+ b

2 )2−( b

2 )2+c

Por ejemplo: Graficar la parábola y=x2−3 x+5 , encontrar su vértice y su eje de simetría, utilizando la resolución de la ecuación asociada.

Solución: x2−3 x+5=0⇒ x1=

3+i √112

∧ x2=3−i √11

2 Como en este caso las raíces son complejas, la función no intersecta al eje de abscisas. La forma canónica de la parábola para

graficarla sería: y=x2−2 3 x

2+5=( x−3

2 )2−9

4+5

en forma equivalente x2−3x+ 9

4+11

4

En ambos casos se obtiene: y=( x−3

2)2+11

4

Es decir, a partir de y=x2, esta parábola se ubica

32 unidades a la derecha del cero y

114

unidades sobre 0. Es decir, el vértice es V ( 3

2, 11

4) y el eje de simetría es

x=32

Actividades Didácticas y ProblemasA continuación, se plantean algunas actividades didácticas para ser resueltas con los alumnos, al igual que problemas que resultan ser interesantes en el contexto de este capítulo. Algunos de estos problemas están resueltos.

Problema 1. Cuenta la historia que cuando Dido, perseguida por su cruel hermano, asentó sus pies en lo que luego sería Cartago, negoció con el rey del lugar, Iarbas, la compra del terreno necesario para fundar una factoría. Iarbas aceptó en un precio ridículamente bajo pues el trato consistía en que debía entregar la tierra abarcada por la piel de 3 bueyes. Cerrado el trato, la astuta Dido cortó en finas tiras dicha piel logrando entonces abarcar mucho más de lo que Iarbas había pensado entregar. Además la belleza de Dido ayudó a que Iarbas se dejase engañar.

Si el trato hubiera sido que la parcela tenía que tener forma cuadrangular, ¿qué cuadrilátero hubiese convenido a Dido construir?

Estrategia motivacional: disponer que los estudiantes averigüen en qué época ocurrió la historia, y en qué lugar. Estrategia didáctica 1: Que los estudiantes analicen gráficamente (dibujar) las posibles formas de efectuar el cierre del terreno, y que discutan la forma de calcular la superficie asociada.Estrategia didáctica 2: Análisis matemático del problema.Datos fijos: la piel de tres bueyes; forma cuadrangular del cierre, perímetro.Datos variables: Longitud de los lados, superficie máxima.

Estrategia didáctica 3. Ensayo y error.El profesor sabe (y los estudiantes deberían saber) que en un rectángulo el perímetro es P=2 (b+h )Siendo b y h medidas de la base y la altura respectivamente. Mientras que el área del rectángulo resulta ser A=b⋅h El profesor sabe que “modelando” el área en función del perímetro, a partir del sistema: P ¿ 2(b+h)A ¿ b⋅h

|⇒ A=( P2 −h )⋅h

, se obtiene una parábola de concavidad negativa; en consecuencia, tiene un punto máximo en su vértice. Por lo tanto, los lados del rectángulo miden:

b=P4=h

, y la figura más conveniente sería un cuadrado.

El profesor propone que los estudiantes estimen números arbitrariamente para el perímetro que se podría obtener con el “cuero de tres bueyes”, y que intenten calcular las superficies para determinar el área máxima.

Cierre y retroalimentación. El profesor guía el resumen del trabajo, eligiendo un caso. Por ejemplo, considerando un rectángulo con perímetro igual a 24 (valor arbitrario). Como el perímetro es 24, resulta 24 = 2 (b + h), despejando b se tiene: b=12−hPor otro lado, el área del rectángulo sería A = (12 – h) Esta ecuación corresponde a la función de segundo grado f (h)=(12−h)⋅hque alcanza su valor

máximo cuando h es la coordenada del vértice de la misma: f (h)=−(h−6 )2+36 ⇒ V=(6 , 36 )Retornando a la ecuación anterior, se obtiene b = 6

Lo que corrobora que a Dido le hubiese convenido construir un cuadrado.Problema 2. Actividad didáctica: SUDOMATES DE LAS PARÁBOLAS1

Observaciones:Se presenta aquí un SUDOMATES que da lugar a un SUDOKU clásico de 81 casillas que se deben rellenar como siempre con números del 1 al 9. Este ejemplo es una adaptación con pocos cambios de un "sudomath" elaborado por la profesora francesa Gaélle Norma-Segouat y publicado en la revista PLOT nº 35 de la Asociación de Profesores de Matemáticas francesa (APMEP).

Objetivos didácticos:Con este pasatiempo se quiere reforzar el trabajo con las funciones parabólicas y de paso repasar la resolución de las ecuaciones de segundo grado correspondientes.Nivel: 3º Medio

La actividad, como en todos los pasatiempos tipo SUDOMATES, se debe desarrollar en dos fases:

PRIMERA FASE: Los alumnos deben rellenar algunas de las casillas de este tablero de SUDOKU completamente vacío, contestando a las preguntas que se hacen en una tabla. El resultado se debe colocar en la casilla correspondiente.

1 Disponible en Internet

Actividad: Aquí se tiene 6 funciones de segundo grado que se deberán estudiar para poder resolver este sudoku

f 1( x )=−( x2−2 x−8 ) f 2( x )=−( x−5 )2+4

f 3( x )=−2 x2−8 x+103

f 4( x )=−( x+2)( x−6)

4

f 5( x )=9−x2

f 6( x )=−47( x−1 )(x−8)

Contesta a las siguientes preguntas para rellenar algunas casillas de este sudoku:

PREGUNTA PREGUNTAA1 Valor máximo de f1 A5 Mayor raíz de f4

A7 Abscisa del vértice de f2 B2 Distancias entre las dos raíces de f5

B3 El opuesto al cero negativo de f1 C2 Cero positivo de f3

C5 La mitad del valor máximo de f3 C8 Número de cortes con

OX de f2

C9 El cero mayor de f6 D9 La menor raíz de f2

E1 Punto de corte con OX, positivo, de f5 E4 Valor máximo de f5

E9 Valor máximo de f2 F1 El cero positivo de f1

F2 El cero mayor de f2 F6 El valor absoluto de la raíz negativa de f3

F8 Punto de corte con OX, positivo, de f4 G2 El opuesto de la menor raíz

de f4G3 Máximo de f6 H5 Abscisa del vértice de

la parábola f4H7

Cuadrado de los ceros de f5 H9 Distancia entre los dos

ceros de f6

I3 La mitad de la mayor raíz de f6 I6 Ordenada del vértice

de la parábola f3

I7 La cuarta parte de la mayor raíz de f6

Para para poder contestar las preguntas es mejor que los alumnos rellenen antes de empezar la siguiente tabla:

FUNCIONESCEROS DE

LA FUNCIÓN

ABSCISA VÉRTICE ORDENADA VÉRTICE

f 1=−( x2−2 x−8 )f 2( x )=−( x−5 )2+4

f 3( x )=−2 x2−8 x+103

f 4 ( x )=−( x+2)( x−6)

4f 5( x )=9−x2

f 6( x )=−47( x−1 )(x−8)

SEGUNDA FASE: En la segunda fase, los alumnos deben acabar de rellenar las casillas, siguiendo las reglas clásicas de los SUDOKUS.

SOLUCIÓN

FUNCIONESCEROS DE LA

FUNCIÓN

ABSCISA

VÉRTICEORDENADA

VÉRTICE

f 1=−( x2−2 x−8 ) (-2,4) 1 9

f 2( x )=−( x−5 )2+4 (3,7) 5 4

f 3( x )=−2 x2−8 x+103

(-5,1) -2 6

f 4 ( x )=−( x+2)( x−6)

4(-2,6) 2 4

f 5( x )=9−x2 (-3,3) 0 9

f 6( x )=− 47( x−1 )(x−8)

(1,8)92 7

Las respuestas a las preguntas son las siguientes:

PREGUNTA SOLUCIÓN PREGUNTA SOLUCIÓNA

1Valor máximo de f1 9 A5 Mayor raíz

de f4

6A7

Abscisa del vértice de f2

5 B2 Distancias entre las raíces de f5

6

B3

El opuesto al cero negativo de f1

2 C2 Cero positivo de f3

1

C5

La mitad del valor máximo de f3

3 C8 Número de cortes con OX de f2

2

C9

El cero mayor de f6 8 D9 La menor raíz de f2

3E1

Punto de corte con OX, positivo, de f5

3 E4 Valor máximo de f5

9

E9

Valor máximo de f2 4 F1 El cero positivo de f1

4F2

El cero mayor de f2 7 F6 valor absoluto de raíz negativa de f3

5F8

Punto de corte con OX, positivo, de f4

6 G2 El opuesto de la menor raíz de f4

2

G3

Máximo de f6 7 H5 Abscisa del vértice de la f4

2

H7

Cuadrado de los ceros de f5

9 H9 Distancia entre los ceros de f6

7

I3

La mitad de la mayor raíz de f6

4 I6 Ordenada del vértice de f3

6

I7

La cuarta parte de la mayor raíz de f6

2

Contestando a las preguntas se puede rellenar los siguientes valores para el sudoku

En una segunda parte se puede completar el tablero del sudoku

ADVERTENCIA:En este tipo de pasatiempo, es fácil adaptar el tiempo necesario para acabar la actividad y la dificultad de la misma, dando a los alumnos parte de los números del tablero. El sudoku es de nivel inicial pero siempre se puede dejar que los alumnos lo concluyan tranquilamente en sus casas, si bien la motivación como competición se pierde entonces.

Problema 3Supongamos que un jugador de fútbol “patea” un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota, mientras se encuentra en el aire, es la parábola correspondiente a la función y = -

0,05 x2 + 0,7 x ; donde y es la altura en metros de la pelota cuando ésta se encuentra a x metros de distancia horizontal desde el punto en el que fue lanzada. ¿Cuál será el alcance del

tiro libre?

Problema 4Un diagramador está definiendo las dimensiones que tendrá una revista. Necesita que el largo sea

10cm mayor que el ancho y que la superficie de cada página resulte de 600 cm2. ¿Cuáles son las medidas que cumplen ambas condiciones?

Problema 5Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube hasta un cierto punto y luego empieza a caer. La relación que existe entre el tiempo t que la piedra lleva en el aire cuando se encuentra a una

altura y, está dada por la fórmula y = - 5 t2 + 20 t + 10. ¿Cuándo alcanzará el punto más alto? ¿A qué altura está ese punto?Solución: La función es una parábola que tiene un vértice que es un máximo, pues a = - 5 < 0Luego, esta parábola debe escribirse en su forma canónica: y=−5( t−2)2+30Es decir, cuando t = 2, alcanza el punto más alto siendo y = 30, pues el vértice es V (2, 30)

Problema 6En cada una de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se recorta un cuadrado

de 5 cm de lado y doblando y pegando, se forma una caja de 1280 cm3. Hallar el lado de la hoja inicial.

C. Ejercicios propuestos2

1) Reducir a una forma cuadrática y obtener las soluciones de las siguientes ecuaciones:

i) [ (x−1 )2+( x+1 )2 ]⋅( x+3 )= (2 x+9 ) ( x+1 ) ( x−1 )

ii) (2 x−3 ) ( x−1 )−(1−x ) (1+x )=−4 ( x+1 ) (1−x )

iii) ( x+1 )2 ( x−2 )+( x+2 ) ( x−1 ) ( x+1 )=(2 x+13 ) ( x−1 ) ( x−2 )

iv) 18

x2+x+ 34=0

v) 2 x−31−x

−1= 4 x+41− x

+ x

2 Algunos de los ejercicios aquí propuestos, fueron extraídos de 186.65.85.243/naval/webesnm/apoyo/ecuaciones.pdf y del Fichero de actividades didácticas matemáticas de la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública, México, 2005

vi)x−2x+1

−3−xx−1

=1

vii)

1−x

x+ 13

= 13 x

viii) x7+21

x+5=47

7

ix) x+ 1

x−3=5

x) 9x−2= x

3

2) Resolver las ecuaciones literales:

a) x2−(2 p−1 ) x+ p2−p−6=0 b) x2−2 px+ p2−q2=0

c) x2−(2 p−3 ) x+ p2−3 p+2=0 d) 2 x2+(q−4 p ) x−2 px=0

e) x

x+m=2 x−m

m− 2 x

4 m f) (m2−n2 ) x2−2 (m2+n2 ) x+m2−n2

3) Sin resolverlas, indicar la naturaleza de las raíces de las ecuaciones cuadráticas siguientes:

a) 5 x2−10 x=0 b) 3 x2+6 x+12=0

c) 18 x2+24 x+8=0 d) 7 x2+14 x−7=0

4) Determinar, en cada caso, una ecuación cuadrática cuyas soluciones son:

a) –7 y 3 b) 2 y 13 c) a+b y a-b

d) m+n y 1

m+n e) a+b

2 y a-b

2 f) 2 + √3 y 2 - √35) Determinar el valor de k para que las soluciones cumplan que:

a) En la ecuación 9x2 + k = 0: sean números reales.b) En la ecuación x

2−2kx+3 k−2=0 : Una solución sea el doble de la otra.c) La ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga:

i) Dos soluciones reales y distintas.iii) Dos soluciones reales e iguales.

iv) Dos soluciones que no sean números realesv) las raíces sean:

a) x1=x2 b) x1=

1x2 c) x1=5 d)

1x1

+ 1x2

= 512

6) Una solución de la ecuación kx 2+3 x−k=0 es (-2). Determine la otra.

7) Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0. Encontrar el valor de:

a)

12 x1

+ 12 x2 b)

1x

12+ 1

x22 c)

x12+x

22

d) x

12−x22 e) (x1−x2)2 f)

(x1+1x2)(x2+

2x1 )

8) Encontrar 2 números tales que:i) Su suma sea 18 y su producto sea 45ii) Su suma sea 4 y su producto sea –21

9) Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 1−√x+2=√2 x+5 b) √6 x−29−√x=√x−5

c) √2x+√4 x−3=3 d) 2 x−5+2√x2−5 x=25

e) √4 x+20

4+√x=4−√ x

√x f) √2x+1+2√x=21

√2 x+1

g) x √ a

x−1=√a2−x2

h)

2x+√2−x2

+ 2x−√2−x2

=x

10) Resolver las siguientes ecuaciones reductibles a ecuaciones cuadráticas:

i) 4 x+8

3=4

x ii) x+2− 6

x+2=3

iii) 3 x2=2

5 (x+ 45 )+2 x2

iv) 1

x−a+ 1

x−b= x2−b

( x−a ) ( x−b )

11) Resolver las siguientes ecuaciones:

i) x2+√ x2+9=21 ii) x

4−2 x2−3=0 iii) x2

√x2+5=1+ 1

√ x2+5

iv) 2√x2−54√x3=250 v)

4 3√x−203√ x

=11vi)

√ x+ 6√ x

=5

vii) (a−xx−b )

2=8( a−x

x−b )−15 viii) ( p2 x−3)x : p3=( px−2)x+2

12) Resolver las siguientes ecuaciones bicuadráticas:a) x4 - 5x2 + 4 = 0 b) x4 - 13x2 + 36 = 0 c) 9x4 - 46x2 + 5 = 0d) 4x4 +15x2 – 4 = 0 e) x4 - 8x2 + 7 = 0 f) 16x4 + 7x2 – 9 = 0 g) (x2 + x)2 – 8(x2 + x) + 12 = 0 h) (x2 – 2x)2 – 11(x2 – 2x) +

24 = 0

13) Resolver los siguientes problemas:a) Encuentre 2 números pares consecutivos cuyo producto sea 4224.b) El número de diagonales de un polígono es 54. ¿Cuántos lados tiene el polígono?c) La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48 cm2. ¿Cuáles son las medidas de

los lados del rectángulo? d) Se tienen 3 segmentos de medidas: 8, 15 y 16 cm respectivamente. Si se quita a cada

segmento un trazo de igual medida, de tal forma que los segmentos resultantes formen un triángulo rectángulo. ¿Cuál es la medida de cada trazo suprimido?

e) Cierto objeto se vende $ 5600 con un tanto por ciento de ganancia sobre el costo, numéricamente igual al número de pesos que costó. Calcule el costo del objeto.

f) En un círculo, la distancia entre 2 cuerdas paralelas congruentes es de 12 cm. Si cada cuerda mide 6 cm más que el radio, calcule la medida del radio.

g) Con un cartón cuadrado se quiere construir una caja sin tapa. Al cartón se le corta un cuadrado de 3 cm de lado en cada uno de sus vértices. Calcule la medida del lado del cartón, sabiendo que el volumen de la caja debe ser 192 cm3.

h) Un rectángulo equivale a un cuadrado de 96 cm de lado. Determine las dimensiones

del rectángulo, sabiendo que una de ellas es 916 de la otra.

i) La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6 años. Determine la edad actual.

j) Determine las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 80 cm y la suma de sus catetos es 46 cm.

14) Hallar la expresión polinómica de la función: correspondiente al desplazamiento de y = x2 según se indica en cada caso:a) 3 unidades hacia arriba;b) 2,5 unidades hacia la izquierda;c) 1,5 unidades hacia abajo y 1 hacia la derecha.

15) Identificar, sin efectuar ningún cálculo: el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

a) y = (x - 2)2 - 4 b) y = (x + 3)2 + 2

c) y = 3 x2 + 5 d) y = 2 (x - 2)2

16) Escribir las ecuaciones de las parábolas que: con la misma forma que y = x2 , tengan vértice en:a) (2 , 3) b) (-5 , 4) c) (1 , - 5) d) (- 4 , - 6)

17) Determinar: las raíces reales, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el punto de intersección con el eje de las ordenadas para cada una de las siguientes funciones y luego graficarlas.

a) y = x2 - 2x -8 b) y = - x2 + 6 x - 9 c) y = (2 x - 1) . (x + 2,5)

d) y = - 0,5 (x + 1)2 - 1,5 e) y = -x2 - x – 2 f) y = (x - 2)2 + 3

18) Graficar las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x2 + 4 b) y = - x2 + 4 x c) y = (x - 4)2 + 3

d) y = - 3 (x - 2)2 + 5 e) y = 2 (x - 3)2 f) y = - 4 (x + 1)2 - 3

19) Trazar en un mismo sistema de ejes de coordenadas cartesianas las gráficas de las siguientes funciones:y = x2 + 3 y = 2 x2 + 3¿En qué punto tienen el vértice? ¿Cuál es el eje de simetría?

20) Hallar la expresión de la función cuadrática que cumpla los requisitos pedidos en cada caso:a) Su gráfico pasa por el punto (1 , -1) y su vértice es el punto V = (-2 , 3)b) Su gráfico intersecta al eje y en (0 , 3) y su vértice es el punto V = (1 , 2)c) Una de sus raíces es x = 3 y el vértice de su gráfico es V(-1, -⅓) d) El vértice es V = (-2 , 1) y la ordenada al origen es 4

21) Para cada una de las funciones del inciso anterior:i) Hallar las raíces reales, si existen.ii) Realizar el gráfico.

22) Calcular b para que la parábola y = x2 + b x + 3 tenga el vértice en el punto (2 , - 1).

23) Calcular la expresión de todas las funciones cuadráticas cuya intersección con el eje X son los puntos (2, 0) y (3, 0).

24) Se sabe que la función y=ax2+bx+c pasa por los puntos (1, 1); (0, 0) y (-1, 1). Calcular a, b y c.

25) Calcular la ecuación de una parábola que pasa por los puntos A(1,4); B (0 , -1) y C(2 , 15).

26) Una parábola tiene su vértice en el punto V (1,1) y pasa por el punto (0,2). Hallar su ecuación.

27) Hallar los intervalos en que la función y = x2 - 6x + 8 es positiva o negativa. ¿En qué puntos se anula?.

28) Hallar el número de puntos de corte con el eje x que tienen las siguientes parábolas:a) y = 2 x2 - x + 3 b) y = x2 - 2 x + 1 c) y = x2 + x + 1d) y = 3x2 - 7 x - 3 e) y = 2 x2 + 5 x + 1

29) Hallar los posibles valores de “m” para que se cumpla la condición pedida en cada caso:a) y = x2 + m x + 3 tiene una raíz doble;b) y = 2 x2 - x – m no tiene raíces reales;c) el gráfico de las funciones de la forma y = m x2 - x – 1 intersecta el eje x en

dos puntos;d) el gráfico de las funciones de la forma y = - x2 - m x – 5 toca al eje x, pero no

lo atraviesa.

30) Para cada una de las funciones graficadas:a) expresarlas en forma polinómica;b) hallar sus raíces.

31) Asignar a cada una de las parábolas una de las ecuaciones siguientes:

i)y=1

3x2+ x−2

ii) y=x2−2 x+2 iii) y=−x2−2 x−3

32) Encontrar la forma canónica de las siguientes funciones. Graficar:

a) y = x2 - 4 x + 4 b) y = x2 - 6 x c) y = - 2 x2 - 4 x – 2

d) y = x2 + 4 x + 2 e) y = (2 x - 3 )2 - 3x 3

33) ¿Es una parábola la gráfica de la función que expresa el área de los rectángulos que tienen un perímetro de 10 unidades? ¿Por qué?

34) Escribir la fórmula que da el área de un círculo en función del radio. ¿Qué tipo de función es? Graficar.

Modelamiento.Problema 1: En un fundo ubicado en la comuna de Buin se cultivan duraznos de exportación. Cuando plantan 40 árboles (“matas”) por hectárea, generan un ingreso de US$180 por árbol. Si en cada hectárea se planta una mata adicional, el valor por árbol disminuye en US$3.i) Calcule el número de árboles que rinden el máximo ingreso.ii) ¿Cuánto es el valor máximo que se puede obtener por hectárea?

Solución.N° Arboles $ Valor4 40 ( 180 ) ( 40 )

4 40+1 (180 - 3) (40 +1)

4 40+2 (180−3⋅2 ) (40+2 )4 40+3 (180−3⋅3 ) (40+3 )… 40+x (180−3⋅x ) ( 40+x )

Ingreso por árbol: I ( x )=(180−3⋅x ) (40+x )=7200+60 x−3 x2

El vértice se encuentra en x=10, luego con 50 árboles se obtiene el máximo ingreso por

hectárea. Y el valor máximo por hectárea es I (10)= (180−3⋅10 ) ( 40+10 )=US $ 7 .500

Problema 2: Un empresario de buses urbanos e interurbanos, arrienda 60 “máquinas” en $200 mil cada una al mes. Para aumentar sus ingresos incrementará el valor del arriendo mensual, sabiendo que por cada $5 mil de aumento, dejará un microbús sin trato.Pregunta 1: ¿Con cuántos buses se obtiene el ingreso máximo?Pregunta 2: ¿A cuánto asciende el máximo ingreso?Pregunta 3: Si Ud.es el empresario, y sus asesores le aconsejan que suba los arriendos a

$500 mil, ¿aceptaría los consejos? Argumente su decisión.Solución:

La función de ingreso por arriendo es: I ( x )=(60−x ) (200+5 x ) siendo la variable x el número de buses que quedaran sin arrendarse.

Reduciéndola a la forma general se obtiene: I ( x )=12000+100 x−5 x2

Se trata de una parábola que tiene concavidad negativa, siendo su vértice el punto máximo.

Respuesta 1: al obtener el vértice resulta x=10, en consecuencia, con 50 buses el ingreso será el máximo.

Respuesta 2: el cálculo para x=10 nos entrega I (10)=12000+100⋅10−5 (10)2=$12.500.000

Respuesta 3: (motivación para discusión final)

Problema 3: en los casos anteriores se ha mostrado la función de ingreso para optimizarla y dar respuesta a los problemas planteados. Se pueden elaborar casos más simples utilizando las funciones asociadas a la microeconomía:

Función Costo Total: “Costo Variable + Costo fijo”→CT=C( x )+C (0 ); x=nivel de producción.Función de Ingreso: “Precio x Cantidad” → I ( p )=q⋅+ f ( p ) ; f(p)=relación de precios.

Función de Utilidad (ganancia): “Ingreso – Costos” →U ( x )=I ( x )−CT

N° Buses Arriendo en $Mil $ Ingreso60 60-0 200 +0 = 200 +5 (0 ) ( 60 ) ( 200 + 0 )

59 60-1 200 +5 = 200 + 5 (1 ) (60−1 ) (200+5 )58 60-2 200+10 = 200 + 5 (2 ) (60−2 ) (200+10 )… 60-x 200+5x = 200 +5 ( x ) (60−x ) (200+5 x )

Ejemplo.En una industria la producción de uno de sus artículos se regula por las siguientes

funciones:

Relación de precios por artículo, precio de oferta: f ( x )=60− 1

100x

Costo Fijo: $2.000Costos variables: $25 por cada unidad.

Demuestre que la ganancia máxima se obtiene con 1750 artículos.