Unidad 2 funcion lineal-cuadratica-GONZALO REVELO PABON

Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas - Goretti1

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INCLINACION DE UNA RECTA La inclinación de una línea recta es el ángulo (positivo o negativo) formado por la línea recta, con el semieje positivo de las X.

PENDIENTE DE UNA LINEA RECTA (m) Es la tangente del ángulo de inclinación . Es decir: m = tang m: pendiente. .tang: tangente : ángulo de inclinación.

.m=

=

: Diferencia de ordenadas.

: Diferencia de abscisas. La pendiente de una línea recta que pasa por dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), está definida por:

.m = tang =

=

.tang = m =

.tang = m =

.tang = m =


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La pendiente m de una recta puede ser: Nula, Positiva, Indeterminada y Negativa.

Ejemplo:

Hallar la pendiente m, y el Angulo de inclinación de rectas, formadas por las siguientes pare-

jas de puntos.

1. P1(-8,-4) y P2(5,9)

2. P1(10,-3) y P2(14,-7)

3. P1(-11,4) y P2(-11,10)

4. P1(8,6) y P2(14,6)

Solución:

1.

. m = tang =

=

=

=

=1

Ahora tang = 1

tan-1

tang = .tang-1

(1)

= .tang-1

(1)

= 45º


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2.

. m = tang =

=

=

=

=-1

Ahora tang = -1

tan-1

tang = .tang-1

(-1)

= .tang-1

(-1)

= -45º

3.

. m = tang =

. m = tang =

=

=

Ahora tang =

tan-1

tang = .tang-1

( )

= .tang-1

( )

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, = 90º

4.

. m = tang =

=

=

=

=0

Ahora tang = 0

tan-1

tang = .tang-1

(0)

= .tang-1

(0)

= 0º


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TALLER

Hallar la pendiente m, y el Angulo de inclinación de rectas, formadas por las siguientes pare-

jas de puntos.

1. P1(-2,-4) y P2(1,3)

2. P1(3,-3) y P2(4,-7)

3. P1(-1,4) y P2(1,-10)

4. P1(4,6) y P2(7,3)

5. P1(-3,5) y P2(4,-6)

LA LINEA RECTA

La línea recta es una ecuación lineal o de primer grado con dos variables x, y, cuya represen-

tación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

Las diferentes formas de la Ecuación de la Línea Recta son:

1. Punto Pendiente Y –Y1 = m(X- X1)

2. Pendiente e Intercepto: Y = mX + b

3. Dos Puntos o Cartesiana:

4. Reducida:

5. General AX + BY + C= 0 1.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Punto Pendiente. La ecuación de la línea recta, que pasa por el punto P1(X1,Y1) y que tiene pendiente m, está definida por la siguiente expresión:

.tang = m =

.tang = m =

. m =

Y – Y1 = m(X – X1) donde: {

Para graficar la línea recta Punto Pendiente, en el plano cartesiano debe tenerse en cuenta

que:

m =

Dónde:

: Se desplaza hacia arriba.

: Se desplaza hacia abajo.

: Se desplaza a la derecha

: Se desplaza a la izquierda


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Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P1 (2,1) y cuya pendiente es igual

a m= 5/3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.

Datos:

P1 (2,1) entonces X1 = 2; Y1= 1

.m = 5/3

Por definición de Línea Recta: Punto Pendiente se tiene que:

Y – Y1 = m(X – X1)

Remplazamos: Y – 1 = 5/3(X –2)

3Y -3 = 5(X – 2)

3Y – 3 = 5X -10

3Y -5X – 3 +10 = 0

3Y – 5X + 7 = 0

El grafico de la línea recta 3Y – 5X + 7 = 0, en el plano cartesiano es:

Ubicamos en el plano cartesiano el punto P1 (2,1). Como m =

=

entonces, a

partir del punto P1 (2,1), nos desplazamos hacia arriba 5 unidades, hasta encontrar el punto

P2 (2,6) y a partir de este punto nos desplazamos hacia la derecha 3 unidades, hasta encontrar

el punto P3 (5,6).

Por lo tanto el grafico de la línea recta 3y – 5x + 7 = 0, es la línea que resulta de unir los pun-

tos P1, y P3.


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Ejemplo

Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P1 (-2,1) y cuya pendiente es

igual a m= -5/3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.

Datos:

P1 (-2,1) entonces X1 = -2; Y1= 1

.m = -5/3

Por definición de Línea Recta: Punto Pendiente se tiene que:

Y – Y1 = m(X – X1)

Remplazamos: Y – 1 = -5/3(X – (- 2))

Y – 1 = -5/3(X+2)

3Y -3 = -5(X + 2)

3Y – 3 = -5X -10

3Y + 5X – 3 +10 = 0

3Y + 5X + 7 = 0

El grafico de la línea recta 3Y + 5X + 7 = 0, en el plano cartesiano seria:

Ubicamos en el plano cartesiano el punto P1 (-2,1). Como m =

=

entonces, a

partir del punto P1 (-2,1), nos desplazamos hacia abajo 5 unidades, hasta encontrar el punto

P2 (-2,-4) y a partir de este punto nos desplazamos hacia la derecha 3 unidades, hasta encon-

trar el punto P3 (1,-4).

Por lo tanto, el grafico de la línea recta 3y – 5x + 7 = 0, es la línea que resulta de unir los pun-

tos P1, y P3.


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TALLER

Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P1 (2, -2) y cuya pendiente es

igual a:

A) .m = -4/3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.

B) m= -5/4. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.

C) m= 2. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.

D) m= -3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.

E) m= -5. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.

2.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Pendiente e Intercepto.

La ecuación de la línea recta de pendiente m, y que corta al eje Y, en el punto P (0, b) tiene la

forma de: Y =mX + b donde:

.m: Pendiente

.b: Punto de intercepción o de corte de la línea recta con el eje Y

Los puntos P y P1 que pertenecen a la línea recta Y =mX + b, tienen como coordenadas

P (0, b) y P1 ( .

Donde b es el intercepto o punto de corte de la línea recta con el eje Y

Ejemplo:

Determinar la pendiente m, la intercepción de la línea recta con el eje Y (de las ordenadas) y

dibujarla en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones lineales.

1.- Y =

- 2

2.- Y =

+ 5


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Solución:

1.- Dada la ecuación Y =

– 2 al compararla con la ecuación de la línea recta Pendiente in-

tercepto Y = mX + b, se deduce que:

m =

=

.b = -2 al remplazar en los puntos P y P1 tenemos:

P (0, b) = P (0, -2)

P1 ( = P1 ( = P1(2,1)

2.- Dada la ecuación Y =

+ 5 al compararla con la ecuación de la línea recta Pendiente

intercepto Y = mX + b, se deduce que:

m =

=

.b = +5 al remplazar en los puntos P y P1 tenemos:

P (0, b) = P (0, 5)

P1 ( = P1 ( = P1(2,0)


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TALLER:

Encontrar los valores de la pendiente m, la intercepción de la línea recta con el eje Y (de las

ordenadas) y dibujarla en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones lineales.

1.- Y =

- 1

2.- Y =

+ 1

3.- Y= 4x + 3

4.- Y = -5x – 2

5.- Y = -6x + 3

3.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Dos Puntos o Cartesiana

La ecuación de la línea recta que pasa por DOS PUNTOS P1(x1,y1) y p2(x2,y2) está definida por

la siguiente expresión:

Y: Variable dependiente

X: Variable independiente

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por los siguientes pares de puntos:

a) P1(2,3) y P2(-1.4)

b) P1(-7,-2) y P2(-2.-5)

Solución:

a) La ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos tiene la forma de:


20

Dados los dos puntos: P1(2,3) y P2(-1.4) se deduce que los valores de las abscisas y ordena-

das son: x1 = 2 ; y1 = 3

.x2 = -1; y2 = 4.

Al remplazar la anterior información en la ecuación anterior se obtiene:

3(Y-3) = -1(X-2)

3Y – 9 = -X +2

3Y + X = 2 + 9

3Y + X = 11

b) La ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos tiene la forma de:

a) Dados los dos puntos: P1(-7,-2) y P2(-2.-5) se deduce que los valores de las abscisas y

ordenadas son: x1 = 7 ; y1 = -2

.x2 = -2; y2 = -5.

Al remplazar la anterior información en la ecuación anterior se obtiene:

5(Y+2) = 3(X-7)

5Y + 10 = 3X - 21

5Y -3X = -21 -10

5Y -3 X = -31

TALLER

Hallar la ecuación de la línea recta, que pasa por los siguientes pares de puntos:

a) P1(4,3) y P2(3.5)

b) P1(-6,5) y P2(-3.-1)

c) P1(4,-1) y P2(2.-4)

d) P1(0,3) y P2(-2.0)

e) P1(2,-3) y P2(0.-4)

4.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Reducida.

La ecuación de la línea recta que corta al eje X en el punto P1(a,0) y al eje Y en el punto

P2(0,b), tiene la forma de:

Para manejar esta ecuación se debe tener en cuenta estos aspectos:


21

⏟ ⏟

La grafica de la línea recta es la siguiente:

Ejemplo:

Dibujar en el plano cartesiano y determinar la intercepción de la línea recta con los ejes X,Y

dadas las siguientes ecuaciones de líneas rectas:

1.- 3x -2y -4 =0

2.- -5x + 10y + 20 =0

Solución:

1.- 3x -2y -4 =0

3x – 2y = 4

1 paso: El término independiente es UNO positivo, para ello dividimos todos los términos entre

4 así:


22

2 paso: Los numeradores de X,Y son UNOS, para ello dividimos al primer término entre 3 y al

segundo término entre 2 así:

Por lo tanto, la ecuación de la línea recta corta al eje X en el punto (4/3,0) y al eje Y en el punto

(0,-2).

2.- -5x + 10y + 20 =0

-5x + 10y = -20

1 paso: El término independiente es UNO POSITIVO, para ello dividimos todos los términos

entre -20 así:


23

2 paso: Los numeradores de X, Y son UNOS, para ello dividimos al primer término entre 5 y al

segundo término entre 10 así:

Por lo tanto, la ecuación de la línea recta corta al eje X en el punto (4,0) y al eje Y en el punto

(0,-2).

TALLER

Dibujar en el plano cartesiano y determinar la intercepción de la línea recta con los ejes X,Y

dadas las siguientes ecuaciones de líneas rectas:

1.- 8x -12y - 4 =0

2.- -15x + 5y + 20 =0

3. 4x - 12y + 16 =0

4.- -9x + 1y - 9 =0

5.- -6x + 12y - 24 =0


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5.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: General

La ecuación General de la línea recta tiene la forma de: Ax + By + C = 0, donde A; B; y C son

números enteros o fraccionarios ( ) positivos o negativos, y al transformarla se convierte

en el caso anterior

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