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Lista II - Funciones Simetr´ ıas - Exponencial - Logaritmo 14 de junio de 2019
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Lista II - Funciones
Simetrıas - Exponencial - Logaritmo
14 de junio de 2019
Problema 1 PC4
Justifique la falsedad de las siguientes proposiciones.
(a) Existe una unica funcion par e impar.
(b) Toda funcion impar no nula es inyectiva.
(c) Toda funcion par no es inyectiva.
(d) La funcion f(x) = x2 es siempre par.
(e) No existe funcion cuya grafica tenga simetrıa vertical.
(f) La funcion f : R→ R , f(x) =√
JxK− x no es par.
(g) Toda funcion par no es invertible.
(h) La circunferencia C : (x− 1)2 + y2 = 1 tiene simetrıa diagonal.
. (a) f : R→ R , f(x) = 0 es par e impar, ahora restringimos el dominio
g : [−1, 1]
dominio simetrico
→ R , g(x) = 0 es tambien par e impar, pero f 6= g.
(b) f : R→ R definida como f(x) = x3 − 4x es impar no nula y no inyectiva.
(c) f : {0} → R definida como f(x) = x2 es par e inyectiva.
(d) f : [−2, 1]
no es simetrico
→ R definida como f(x) = x2 no es par.
(e) La funcion f : R→ R definida como f = 0 tiene simetrıa vertical.
(f) f = 0
(g) f : {0} → {0} definida como f(x) = x2 es par e invertible, con inversa f−1 : {0} → {0} f−1(y) =√y.
(h) El punto (0, 2) ∈ C pero (2, 0) /∈ C.
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Problema 2 PC4 Demuestre
Demuestre las siguientes proposiciones.
(a) Si f : R→ R es par y g : R→ R es impar, entonces la funcion producto f · g es impar.
(b) Si f : A→ B es una funcion impar e invertible, entonces B es simetrico y f−1 : B → A es impar.
(c) Si f : R→ R es una funcion par y creciente entonces f es una funcion constante.
(d) Existen funciones cuya grafica tienen simetrıa horizontal y vertical simultaneamente.
(e) Si f : R→ R es una funcion impar entonces f(0) = 0.
(f) Si f : R→ R es una funcion par e impar entonces f = 0.
(g) Si f, g : R→ R son estrictamente decrecientes, entonces f ◦ g : R→ R es estrictamente creciente.
. (a) ∀x ∈ R, (f · g)(−x) = f(−x) · g(−x) = f(x) · (−g(x)) = −f(x)g(x) = −(f · g)(x), entonces f · g es impar.
(b) Si y ∈ B entonces ∃x ∈ A, y = f(x)
−y = −f(x) = f(−x) ∈ B (−x ∈ A)
entonces −y ∈ B. Por lo tanto B es simetrico.
Por otro lado
f−1(−y) = f−1(−f(x))
= f−1(f(−x))
= IdR(−x)
= −x
= −f−1(y) (y = f(x)↔ x = f−1(y))
entonces f−1 es impar.
(c) Si x < 0 entonces
f(x) ≤ f(0) (1)
como x < 0→ 0 < −x entonces f(0) ≤ f(−x) = f(x) de donde
f(0) ≤ f(x) (2)
de (1) y (2) f(x) = f(0). Analogamente si x > 0 tenemos que f(x) = f(0). Por lo tanto f(x) = f(0) para todo x ∈ R.
(d) f : R→ R definida por f(x) = 0 tienen simetrıa horizontal y vertical simultaneamente.
(e) Evaluando x = 0 en f(−x) = −f(x)→ f(0) = −f(0)→ f(0) = 0
(f) f(−x) = −f(x) y f(−x) = f(x) → −f(x) = f(x)→ f(x) = 0.
(g) Para todo x, y ∈ R,
x < y → g(x) > g(y) (g es estrictamente decreciente)
→ f(g(x)) < f(g(y)) (f es estrictamente decreciente)
→ (f ◦ g)(x) < (f ◦ g)(y)
Por lo tanto f ◦ g es estrictamente creciente.2
Problema 3 PC4 Simetrıa
Determine si las siguientes funciones son pares, impares, o ninguna de ellas.
(a) f : [0, 1]→ R, f(x) = x2.
(b) f : R→ R, f(x) = x2 + x3.
(c) f : R− {0} → R, f(x) =x− x5
x+ x3.
(d) f : R→ R, f(x) =e−x − ex
2
. (a) La funcion f : [0, 1]
dominio
→ R definida por f(x) = x2 no es par ni impar, dado que su dominio no es simetrico.
(b) La funcion f : Rdominio simetrico
→ R definida por f(x) = x2 + x3 no es par ni impar.
Contraejemplo: 1 ∈ R pero f(−1) 6= f(1) y f(−1) 6= −f(1)
(c) La funcion f : R− {0}dominio simetrico
→ R definida por f(x) =x− x5
x+ x3es par, ∀x ∈ R− {0},
f(−x) =(−x)− (−x)5
(−x) + (−x)3
=−x+ x5
−x− x3
=x− x5
x+ x3
= f(x)
(d) f es impar, ∀x ∈ R,
f(−x) =ex − e−x
2= −e
−x − ex2
= −f(x)
3
Problema 4 PC4 Simetrıa
Sea f : A→ R una funcion definida en un conjunto simetrico A ⊂ R. Demuestre las siguientes afirmaciones.
(a) La funcion con regla de correspondencia g(x) =f(x) + f(−x)
2es una funcion par.
(b) La funcion con regla de correspondencia h(x) =f(x)− f(−x)
2es una funcion impar.
(c) Toda funcion definida en un dominio simetrico se puede expresar como la suma de una funcion par y una funcion impar.
. (a) ∀x ∈ A,
g(−x) =f(−x) + f(x)
2= g(x)
(b) ∀x ∈ A,
h(−x) =f(−x)− f(x)
2= −f(x)− f(−x)
2= −h(x)
(c) ∀x ∈ A,
g(x) + h(x) =f(x) + f(−x)
2g(x) funcion par
+f(x)− f(−x)
2h(x) funcion impar
= f(x)
4
Problema 5 PC4 Simetrıa
Sean f, g, h : R→ R funciones. Demuestre que:
(a) Si la grafica de f y g tiene simetrıa horizontal, la suma y el producto de f y g son funciones pares.
(b) Si f y g son funciones impares, la grafica de la multiplicacion de f y g tiene simetrıa horizontal.
(c) Si la grafica de f tiene simetrıa horizontal y la grafica de g tiene simetrıa respecto al origen, la multiplicacion de f y g es
una funcion impar.
(d) Si f y g son impares, la grafica de g ◦ f tiene simetrıa respecto al origen.
. Aplicar las siguientes propiedades.
� Una funcion es par si y solo si su grafica tiene simetrıa horizontal.
� Una funcion es impar si y solo si su grafica tiene simetrıa a travez del origen.
5
Problema 6 PC4 Simetrıa
La funcion exponencial se usa para modelar el crecimiento poblacional a corto plazo. A largo plazo el comportamiento no es
exponencial porque en situaciones reales los recursos son limitados y esto impone una restriccion al tamano de la poblacion.
Para estos casos se usa la funcion logıstica P : R→ R definida por la regla de correspondencia
P (t) =1
1 + e−t
(a) Calcule el rango de la funcion logıstica.
(b) Demuestre que esta funcion es estrictamente creciente.
(c) Demuestre que 1− P (t) = P (−t).
(d) Demuestre que la nueva funcion con regla de correspondencia Q(t) = P (t)− 12 es impar.
(e) Esboce la grafica de la funcion logıstica.
.
6
Problema 7 PC4 Rango
Determine el rango de las siguientes funciones.
(a) f(x) =√x− JxK (b) f(x) = e2x + 2ex
.
7
Problema 8 PC4 Rango
Sea la funcion f : [a, b]→ [−e2,−1] con regla de correspondencia
f(x) = c− e2x.
Determine a, b y c, si f es invertible y b− a = 1.
.
8
Problema 9 PC4 Maximo dominio de definicion
Determine el maximo dominio de definicion de
(a) f(x) =ln(6 + x− x2)
18x2 − 2.
(b) f(x) =
√9− x2
√5|x| − x2 − 4
.
.
9
Problema 10 PC4 Composicion
Dadas las siguientes funciones f, g : R→ R con reglas de correspondencia
f(x) =
lnx , x ≥ 3
ex , x < 3, g(x) =
x2 − 4x+ 8 , x < 2
x− 2 , x ≥ 2
(a) Determine la funcionf
g.
(b) Determine la funcion f ◦ g.
. (a)f
g: R− {2} → R,
(f
g
)(x) =
ex
x2 − 4x+ 8, si x < 2
ex
x− 2, si 2 < x < 3
lnx
x− 2, si 3 ≤ x.
(b) f ◦ g : R→ R,
(f ◦ g) (x) =
ln(x2 − 4x+ 8), si x < 2
ex−2, si 2 ≤ x < 5
ln(x− 2), si x ≥ 5.
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Problema 11 PC4 Transformaciones de coordenadas
Sea f : R− {e} → R definida por
f(x) =
∣∣∣∣ ln |x− e|∣∣∣∣+ 1
grafique la funcion f indicando sus asıntotas e interceptos con los ejes.
.
11
Problema 12 PC4 Inversa
La funcion de distribucion exponencial se define por f : [0,+∞[→ [0, 1[ con regla de correspondencia
f(x) = 1− e−λx
donde λ > 0.
(a) Pruebe que f es estrictamente creciente.
(b) Pruebe que f es sobreyectiva.
(c) Pruebe que f es inyectiva.
(d) Determine la funcion inversa de f .
(e) Grafique la funcion de distribucion exponencial.
.
12
Problema 13 PC4 Biyectividad
En cada caso construya una funcion biyectiva con las siguientes caracterısticas:
(a) f : [1, 2]→ [3, 5]
(b) f : R→ ]1,+∞[
(c) f : ]1,+∞[→ R
(d) f : [−2, 2[→ [0,+∞[
. (a) Consideremos la recta l : y = 2x+ 1 tal que (1, 2), (3, 5) ∈ l, entonces f esta definida por
f(x) = 2x+ 1
(b) f(x) = ex + 1
(c) f(x) = ln(x− 1)
(d) f(x) =1
2− x −1
4
−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10
−5
−1
3 f(x) =4
2− x− 1
13
Problema 14 PC4 Simetrıa
Dada la funcion f(x) = ln(
2x+√
4x2 + 1)
. Determine
(a) El maximo dominio de definicion de f .
(b) Si f es impar.
(c) Asuma que f admite inversa y determine la regla de correspondencia de f−1.
. (a) ∀x ∈ R, 2x+√
4x2 + 1 > 2x+√
4x2 = 2(x+ |x|) ≥ 0. Por lo tanto el maximo dominio de definicion de f es R.
(b) R es simetrico y
f(−x) = ln
(− 2x+
√4x2 + 1
)
= ln
(1√
4x2 + 1 + 2x
)
= ln(1)− ln(√
4x2 + 1 + 2x)
= − ln(√
4x2 + 1 + 2x)
= −f(x)
Por lo tanto f es impar.
(c)
y = ln
(2x+
√4x2 + 1
)→ ey = 2x+
√4x2 + 1 (ln a = b↔ a = eb)
→ ey − 2x =√
4x2 + 1
→ (ey − 2x)2 = 4x2 + 1
→ e2y − 4xey = 1
→ x =ey − e−y
4
Por lo tanto f−1(x) =ex − e−x
4.
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Problema 15 PC4 Oferta - Demanda
Considere un mercado donde se satisface la ley de la oferta y la demanda. En este mercado, la oferta y la demanda estan
determinadas por las funciones no lineales f, g : ]0,+∞[→ R definidas como
f(q) = 2 + 2e−q , g(q) = 4− 2e−q
(a) Determine el punto de equilibrio E = (q0, p0).
(b) En el espacio provisto grafique ambas funciones, indique la oferta, la demanda, el punto de equilibrio, las asıntotas (si las
hubiera) y sombree la region que represente el excedente del consumidor. (considere ln(2) ≈ 0, 7)
.
15
Problema 16 PC4 Oferta - Demanda
La demanda y oferta de cierto bien estan modeladas por
D(q) =
−1
2q + 5 , 0 ≤ q < 2
aq + (4− 2a) , q ≥ 2y O(q) =
{3
2ln(2q + 2) , q ≥ 0
Ademas, se sabe que el precio de equilibrio es de 3 u.m. y en el siguiente plano se muestra la grafica de la funcion demanda D.
−1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
D
q
p
(a) Determine la constante a.
(b) En el plano de la parte superior, grafique la funcion oferta O y sombree el excedente del consumidor.
Considere ln 2 ≈ 2
3.
. (a) Dado que el punto de equilibrio (qe, pe) ∈ O entonces
3
2ln(2qe + 2) = pe
2qe + 2 = e2 (ln a = b↔ a = eb)
qe =e2 − 2
2
Dado que el punto de equilibrio (qe, pe) ∈ D (segundo tramo, ver grafica) entonces
a
(e2 − 2
2
)+ (4− 2a) = 3→ a =
2
6− a2
(b)
−1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
D
O
q
p
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Problema 17 PC4 Inversa
Sea f : [0,+∞[→ [1,+∞[ definida por:
f(x) =
x2 + 1 , 0 ≤ x < 2
ex−2 + 4 , x ≥ 2
(a) Determine el rango de la funcion.
(b) Determine si f es sobreyectiva.
(c) Determine si f es inyectiva.
(d) Determine si f es biyectiva, en caso afirmativo determine su inversa f−1 y grafique f−1.
.
17
Problema 18 PC4 Interes continuo
Un monto se deposita en una cuenta de ahorro con un interes anual de p% que se calcula continuamente. Encuentre p si en 5
anos el monto aumenta en un 25% teniendo en cuenta que ln 5 ≈ 1, 6 y ln 4 ≈ 1, 4.
. � El monto esta modelado por
M(t) = Pert
� Del enunciado
Pe0,01p·5 = 125%P → ep20 =
5
4
→ p
20= ln
(5
4
)(ea = b↔ a = ln b)
→ p = 20(ln 5− ln 4)
→ p = 4
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Problema 19 PC4 Interes continuo
Un capital se invierte en un fondo mutuo cuyo interes es compuesto continuamente. Si en cinco anos el capital se duplica y en
10 anos asciende a un millon de soles, calcule la cantidad ganada por los intereses en 7 anos.
Considere 5√
4 ≈ 1, 34
. � El monto esta modelado por
M(t) = Pert
� Del enunciado
2P = Pe5r → 2 = e5r
→ 5r = ln 2
→ r =ln 2
5
� Del enunciado
1000000 = Pe10r → 1000000 = P(e5r)2
→ 1000000 = 4P
→ P = 250000
� El interes ganado en 7 anos sera
I = Pe5r − P
= P(e5r − 1
)
= 250000(e
7 ln 25 − 1
)
= 410000
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Problema 20 PC4 Exponencial - Logaritmo
El numero de arrestos por narcotrafico n(t) en USA en funcion del tiempo viene dada por n(t) = Aert donde t es medido en
anos desde 1985. Sabiendo que el numero de arrestos era de 800 000 en 1985 y 1 340 000 en 1989. Determine el valor de A, r
y el numero de arrestos en 1993.
. Consideremos el numero de arrestos en miles. Del enunciado
t n
0 800
4 1340
n(0) = 800
Aer·0 = 800
A = 800
n(4) = 1340
800e4r = 1340
e4r =67
40
4r = ln
(67
40
)
r =1
4ln
(67
40
)
Entonces
n(t) = 800e
1
4ln
(67
40
)t
= 800
e
ln
(67
40
)
t
4
= 800
(67
40
) t4
El numero de arrestos en 1993 es
n(8) = 800
(67
40
)8
4
= 800
(67
40
)2
= 2244, 5
por lo tanto el numero de arrestos en 1993 fue de 2 244 500 arrestos.
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Problema 21 PC4 Tasa continua
La poblacion mundial en el 2000 era de 4000 millones de personas y crecıa a una tasa continua del 2% anual. Estime la
poblacion mundial despues de t anos. ¿Cuanto tiempo tardara en duplicarse la poblacion si el crecimiento continua a la misma
tasa?
Considere: ln ≈ 0, 69.
. La relacion entre los montos es la siguiente:
t (anos)
M
M = Pert : tasa continua
M = P(1 +
r
n
)nt: tasa compuesta capitalizable
M = P (1 + r)t : tasa compuesta
M = P (1 + tr) : tasa simple
P (1 + tr) ≤ P (1 + r)t ≤ P(
1 +r
n
)nt≤ Pert , (t ≥ 1)
donde
Pert = limn→∞
P(
1 +r
n
)nt.
La poblacion mundial despues de t anos esta modelada por,
M(t) = 4000e0,02t
Del enunciado
ano t M (millones)
2000 0 4000
200 + t0 t0 8000
8000 = 4000e0,02t0
de donde t0 = 50 ln(2) ≈ 50(0, 69) = 34, 5. Por lo tanto la poblacion tardara en duplicarse dentro de 34 anos 6 meses
(aproximadamente) o tambien en el ano 2035.
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Problema 22 PC4 Exponencial - Logaritmo
Un estudio determino que la poblacion P de cierta ciudad se puede calcular mediante la funcion con regla de correspondencia
P (t) =M
1 + 5e−10t
Donde M es una constante positiva y t ≥ 0 es el tiempo expresado en anos a partir del presente. Determine el rango de la
funcion P (interprete).
. Determinemos el rango de la funcion P ,
t ≥ 0→ 10t ≥ 0
→ −10t ≤ 0
→ 0 < e−10t ≤ 1 (a ≤ 0↔ 0 < ea ≤ 1)
→ 0 < 5e−10t ≤ 5
→ 1 < 1 + 5e−10t ≤ 6
→ 1
6≤ 1
1 + 5e−10t< 1
→ M
6≤ M
1 + 5e−10t< M
→ rango(P ) =
[M
6,M
[
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Problema 23 PC4 Exponencial - Logaritmo
En un estudio realizado en el ano 2006 se determino que la poblacion P (en miles de habitantes) de cierta ciudad en funcion
del tiempo se ajusta a la formula
P (t) =2000
1 +Ae−0,1t
donde A es una constante. Si en aquel ano habıan 250 mil habitantes, determine:
(a) La poblacion en el ano 2012.
(b) ¿En que ano la poblacion sera de un millon de habitantes?
(c) Demuestre que la funcion de poblacion es estrictamente creciente.
Considere: e0,6 ≈ 74 , ln 7 ≈ 1, 9.
. (a) Del enunciado P (0) = 250 entonces A = 7. Entonces
P (t) =2000
1 + 7e−0,1t
Evaluando t = 6
P (6) =2000
1 + 7e−0,6
= 400
Por lo tanto la poblacion en el ano 2120 era de 400 mil habitantes.
(b) P (t) = 1000
1000 =2000
1 + 7e−0,1t
1 + 7e−0,1t = 2
e−0,1t =1
7
−0, 1t = − ln 7
t = 10 ln 7
t = 19
Por lo tanto en el ano 2025 la poblacion sera de un millon de habitantes.
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Problema 24 PC4 Exponencial - Logaritmo
La ecuacion de la demanda de un producto viene dada por la ecuacion:
p =6000
A+ 15 ln(Bq + 1)
donde A y B son constantes, q es la demanda en cientos de unidades y p es el precio del producto en soles. Se sabe que no se
demanda ninguna unidad cuando el precio es 1 200 soles, y que la demanda es 450 unidades cuando el precio es 300 soles.
(a) Encuentre los valores de A y B.
(b) Determine q en funcion de p.
(c) Cuantas unidades se demandan a un precio de1200
7soles. (Sugerencia: e ∼= 2, 7).
. Del enunciado:
q p
0 1200
450 300
(a) Evaluando
1200 =6000
A+ 15 ln(B · 0 + 1)
A = 5 (ln 1 = 0)
300 =6000
5 + 15 ln(B · 450
100 + 1)
ln
(9B
2+ 1
)= 1 (ln e = 1)
9B
2+ 1 = e
B =2
9(e− 1)
(b) Despejamos q:
p =6000
A+ 15 ln(Bq + 1)→ ln(Bq + 1) =
400
p− A
15
→ Bq + 1 = e(400p −
A15 ) (lnx = y ↔ x = ey)
→ q =e(
400p −
A15 ) − 1
B
→ q =9
2
(e
400p −
13 − 1
e− 1
)
(c) Evaluando q ∼= 16, 65. Por lo tanto, se demandan 1665 unidades.
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Problema 25 PC4 Exponencial - Logaritmo
En una universidad de 5000 estudiantes, uno de ellos regreso de vaciones con un contagioso virus de gripe, la propagacion del
virus en el estudiantado se calcula mediante la funcion
I(t) =5000
1 + 4999 · e−0,8t
donde I(t) es el numero de alumnos infectados a los t dıas de iniciado el contagio. Si la universidad tiene la polıtica de
suspender clases cuando la cantidad de alumnos infectados llegue al 40% del total de estudiantes, determine a los cuantos dıas
aproximadamente la universidad suspendera las clases.
Considere 3 · 10−4 ∼= e−8.
. � I(0) = 1
� I(t) = 40% 5000
I(t) = 40% 5000
5000
1 + 4999 · e−0,8t= 2000
1 + 4999 · e−0,8t =5
2
4999 · e−0,8t =3
2
e−0,8t =1, 5
4999
e−0,8t = e−8
−0, 8t = −8
t = 10
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Problema 26 PC4 Exponencial - Logaritmo
La eficiencia de un individuo para realizar una tarea rutinaria mejora con la practica. Sea t el tiempo que empleo en el
aprendizaje de la tarea e y una medida del rendimiento del individuo. (Por ejemplo, y podrıa ser el numero de veces, por hora,
que la tarea puede realizarse). Entonces una funcion que con frecuencia se utiliza para relacionar y con t es
y(t) = A(1− ekt)
donde A y k son constantes distintas de cero. (La grafica de tal relacion entre y y t se denomina curva de aprendizaje).
Despues de una hora de practica, una persona, en una lınea de ensamblado puede apretar 10 tuercas en 5 minutos. Despues
de 2 horas, la persona puede apretar 15 tuercas en 5 minutos.
(a) Determine las constantes A y k.
(b) Grafique la curva de aprendizaje.
(c) Determine el numero de tuercas que puede apretar en 5 minutos, despues de 4 horas de practica.
.
(a) Del enunciado
t y(t)
1 10
2 15
10 = A(1− ek) (1)
15 = A(1− e2k) (2)
Dividiendo (1) y (2)
10
15=
1− ek1− e2k
→ 2− 2e2k = 3− 3ek
→ 2e2k − 3ek + 1 = 0
→ ek =1
2∨ ek = 1
→ k = ln1
2(k 6= 0)
→ A = 20
(b) La curva de aprendizaje esta modelada por
y(t) = 20(1− 2−t
)
1 2 3 4 5 6 7 8
5
10
15
20
18.75
t
y
(c) Evaluando y(4) = 18.75, por lo tanto puede apretar 18 tuercas en 5 minutos, despues de 4 horas de practica.26
Problema 27 PC4 Exponencial - Logaritmo
Sea f : R −→ R una funcion definida por
f(x) =
√4− 2x , x < 2
ex−2 − 2 , x ≥ 2
(a) Determine el rango de f .
(b) Grafique f sabiendo que ln 2 ≈ 0, 69.
(c) Determine los intervalos de monotonicidad de f .
.
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Problema 28 PC4 Interseccion de graficas
Pruebe mediante el uso de graficas de funciones que
(a) la ecuacion
∣∣∣∣1
|x| − 1+ 2
∣∣∣∣ = |x| posee 6 soluciones.
(b) la ecuacion ex = x+ 4 posee 2 soluciones.
(c) la ecuacion√
4− x2 =1
|x| posee 4 soluciones.
.
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