logaritmo exponencial funciones

8/14/2019 logaritmo exponencial funciones

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MATEMTICA INGRESOFUNCION EXPONENCIAL - LOGARITMICA

En la escuela secundaria, estudiaste estas funciones y es conveniente reveer los conceptosfundamentales como tambin es necesario recurrir a la bibliografa para afianzar dichosconocimientos.

8*1 FUNCION EXPONENCIAL

!!!

En particular si el coeficiente k = 1, obtenemos la funcin exponencial de la forma:( ) xaxfy ==

Ejemplos: 1)Si a = 2 en f(x) =ax, resulta : y = 2x

2) Si a =2

1en f(x) = ax, resulta: y =

x

2

1

Construye una tabla de valores para cada uno de los ejemplos y representa a ambas funcionesexponenciales en el mismo sistema cartesiano, a fin de obtener:

La funcin ( ) xxfyf 2/: == es inyectiva, pero no es suryectiva. Por qu?.

No obstante si se restringe el codominio obtenemos una funcin biyectiva.

113

DEFINICIN:Una funcin exponencial es una

( ) { }0,1,0,.: = kaadondeakxfquetalf x


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El mismo anlisis se puede hacer para la ( )x

xfyf

==2

1/:

Cul es el codominio adecuado para que ambas funciones resulten biyectivas?

En general:

!!!

Caractersticas de la funcin exponencial de la forma F(X)=ax

f(0) =1, entonces P(0,1) pertenece a todas estas curvas

Si a >1, f(x) aumenta al aumentar el valor de x la funcin exponencial es creciente

Si 0 < a


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II) Existe una funcin exponencial de notable importancia y es aquella cuya base es el nmeroirracional e=2,71828......... :

y = ex

Se la llama FUNCION EXPONENCIAL NATURAL.

En Biologa, Qumica, Economa, etc.,existen muchos problemas de crecimiento y de disminucionescuyo modelo matemtico es la funcin exponencial. Antes de llegar a esa instancia la propuestaconsiste en graficar e interpretar caractersticas de las funciones que estudiamos:

1.1) Representa grficamente la funcin exponencial y = 4x

1.2) Escribe V(verdadero) o F(falso) segn corresponda y justifica tu respuesta, teniendo encuenta la funcin graficada en 1-1)

1.2.1) El punto (1,0) pertenece a la grfica

1.2.2) El valor de y, para que (-2,y) pertenezca a la grfica, es16

1

1.2.3) El punto (-1,-4) pertenece a la grfica

1.2.4) El valor de x, para que (x,2) pertenezca a la grfica es 16

[2] Representa grficamente la funcin exponencialx

y

=3

1y en el mismo sistema cartesiano

representa la funcin exponencial cuya grafica es simtrica de la anterior con respecto al eje x = 0Determina la frmula correspondiente a la funcin obtenida.

[3] Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y justifica turespuesta.

3.1) Si ( ) { }( ) ( ) ( ) ++ === fefDomentoncesaaxf x Im1

3.2) Si ( ) ( ) crecientefuncinunaesfentoncesaaxf x ,10 =

3.3) ( ) ( ) { }( )10/ == +aaxfparaxfx x

3.4) Las curvas exponenciales pasan por (1,0)

3.5) Las grficas de y = ax e y = (a-1) son simtricas entre s respecto del eje deordenadas

3.6) Las funciones de ecuaciones y = 3x e y = 3-x son inversas

115


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[4]4.1) Representa grficamente f(x)=ex, (utiliza la calculadora para determinar imgenes)4.2) En el mismo sistemas de coordenadas cartesianas anterior, representa a mano alzada (sin hacerclculos), las funciones de ecuaciones:

4.2. l) y = 4x

4.2.2) y = 5x

[5] Representa grficamente en un mismo sistema cartesiano y determina dominio e imagen paracada una de las siguientes funciones:

5.1) f(x) = 2(2x) 5.3) f(x)=(-2)2X

5.2) f(x) =2

1.2X 5.4) f(x)=2e-X

[6] Completa las siguientes expresiones para que resulten. verdaderas, teniendoen cuenta los grficos del ejercicio anterior.

6.l) Si k > 0, la grfica correspondiente a y = k.2X esta incluida en elsemiplano......................... respecto del eje x.

6.2) Si k < 0, la grfica correspondiente a y = k.2x est incluida en elsemiplano.......................... respecto del eje x.

6.3) Todas las curvas cortan al eje y en el punto de coordenadas (..............................)

6.4) ( ) { }( )0,1,0./: = +kaaakxff x es invectiva porque

.................................................

6.5) ( ) { }( 0,1,0./: = +kaaakxff x no es biyectiva porque

.................................................

6.6) f:.......... ......... ( ) { }( 0,1,0./ = +kaaakxf x es biyectiva.

[7] Dados dos puntos pertenecientes a una curva exponencial de la forma y = k.a x, determina laexpresin funcional en cada caso:

7.1) P1 (2,9) y P2(0,1)

7.2) M1(0,1) y M2

16

9,2

7.3) Q1(0,-4) y Q2(1,-2)

7.4) S1(2,1) y S2(3,2)

116


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8*2 FUNCION LOGARITMICA

La funcin exponencial ( ) ( )1,0/: = + aaaxff x

es una funcin BIYECTIVA ypor lo tanto existe su funcin inversa:

!!!

Ejemplo: Siendo y = log2x la funcin inversa de y = 2x, resulta

ATENCION:Como el Dom (loga x) = + ni los logaritmos de los nmeros reales negativos, ni el logaritmo del ceroestn definidos.

Observaciones:

l) Si en particular la base es a =10, expresamos el log10x =logx (llamado logaritmo decimal)

II) Si a = e, se expresa logex=ln x ( llamado logaritmo natural o nepperiano)

117

( ) ( )

xaxy

dondeabasedeALOGARITMICFUNCIONlaesaaxxff

y

a

a

==

+

log

:,1,0log/: 11


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Propiedades

Dados a y b nmeros reales positivos y distintos de 1, x y z perteneciente a + se verifica:

!!!

Demostraremos la primera propiedad: ( ) zxxz aaa logloglog +=

consideramos: xatx ta ==log (por qu?)

zauz ua ==

log

( ) xzavxz va ==log

reemplazando: utv aaa =

por producto de potencia de igual base utv aa +=

por lo tanto V = t+u, es decir:

loga(x.z) = logax + logaz

A modo de ejemplo te brindamos los siguientes ejercicios:

1) Aplicando la definicin de logaritmo, resuelve:

1-1) 2log3 =x 1.2)

27

1log3=y

1.1) 9,32log 23 === xentoncesxx

1.2)

27

13,

3,27

13

27

1log

3

3

=

===

pues

yentoncesy y

2) Utiliza tu calculadora para obtener el logaritmo (log) de un nmero:

118

loga (x.z) = logax + logaz loga (x:z) =logax - logaz

logaxn = n.logax (n )

logax =a

x

b

b

log

log(cambio de base)


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2. l) log 100 = 2 (secuencia: 1 0 0 log)

2.2) log 5,82 = 0,764923...... ( :5 . 8 2 log)

2.3) log e3 = In 3 = 1,0986123 ( :3 In)

2-4) En el caso de que la base sea distinta de 10 o de e, se aplica lapropiedad de cambio de base. Ejemplo:

52log

32log32log2 ==

(secuencia : 3 2 log : 2 log =)

Despus de haber analizado la funcin logartmica, su grfico y sus propiedades, te proponemosresolver los siguientes ejercicios para que puedas evaluar lo aprendido.

[8]8.1) Representa en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las funciones logartmicas :

a) ( ) xxf 3log= b) ( ) xxf 31log=

8.2) Completa las siguientes expresiones para que resulten verdaderas, teniendo en cuenta losgrficos del ejercicio anterior.

8.2.1) Las curvas cortan al eje x en el punto (............,............)

8.2.2) Si a >l, entonces f es una funcin....................................

8.2.3) Si 0 < a < 1, entonces f es una funcin............................

8.2.4) Las grficas de xy alog= e xy alog= son simtricas conrespecto.............................

[9] Utiliza los datos del ejercicio 4.1) para representar ( ) xexg = , luego representa grficamente porsimetra: g-1(x) y escribe su expresin funcional:

[10] Calcula mentalmente , luego de aplicar propiedades y/o definicin de logaritmo .

10.1) =+ 8log8log 22 10.4) =125log5

10.2) ( ) =16.4log2 10.5) =2log 41

10.3) ( ) =4:64log2 10.6) =2eIneIn

[11] Indica V (verdadero) F (falso) segn corresponda:119


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11.1) ............31,2log4.5

loglog314,2.8 85 == xx

11.2) ( ).........92,01,3log4

15loglog

92,0.1,34

5+== xx

11.3) ...........log.682,3log2

1log.72,31,0 6 nxnx +=+=

[12] Utiliza tu calculadora para determinar:

log3 278 con 001,0

8*3 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

8*3*1 ECUACIONES EXPONENCIALES

Para resolver una ecuacin exponencial, debemos hallar una de las componentes de un parordenado perteneciente a la grfica de la funcin exponencial asociada, conocida la otracomponente

EJEMPLO : Dada. y = f(x)=5x , determina x para el cual ( )125

1=xf

El problema est definido, por lo tanto seleccionamos la estrategia, aunquepreviamente conviene experimentar una solucin mental

Cul es?

Problema definido125

15 =x

(planteamos la ecuacin exponencial)

Bsqueda y seleccin de estrategias 125log1log5log =x(Aplicamos logaritmos en una baseconveniente, en ambos miembros)

Ejecucin del plan(Resolvemos la ecuacin planteada)

5log

125log1log =x

5log

5log0 3=x

120


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35log

5log3 == xx

La solucin: { }3=S

Revisin

(verificamos la solucin):125

15 =x

125

15 3 =

Ensaya con la ecuacin 013.232 =+ xx los mismos pasos.(pista: sustituir: xt 3= ) { }0=s

8*3*2 ECUACIONES LOGARITMICAS.Resolver una ecuacin logartmica significa hallar una de las componentes de un par ordenadoperteneciente a la grfica de dicha funcin, conocida la otra componente

EJEMPLO: Resolver: ( ) ( ) 234log34log =++ xx

Solucin:

Usamos la propiedad delproducto para expresar elprimer miembro como el

logaritmo de un producto: ( ) ( )[ ] 23.3log4 =+ xx

Teniendo un nico logaritmo, pordefinicin podemos transformar laecuacin obtenida en la formaexponencial: ( ) ( ) 243.3 =+ xx

Resolvemos dicha ecuacin25

1692

2

=

=

x

x

x=5 x=-5

Verificamos los resultados en la ecuacin dada:

121


10/51

x-5 x = -5

( ) ( )

22

221

23

22log84log

2354log354log

?

?

4

?

=

=+

=+

=++ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 28log2log

2354log35log?

44

?

4

=+

=++

No es posible, porque los logaritmos para nmerosnegativos no han sido definidos.

Por lo tanto, la solucin es : { }5=S

En numerosos problemas de distintas especialidades se hacen necesarias las resoluciones de

ecuaciones exponenciales y logartmicas. Por ello te proponemos la imprescindible resolucin yverificacin de las mismas.

[13] Determina el valorx (con 01,0 )

13.1) xe 2,132 = 13.4) 14 12

=x

13.2) 52 31 = x 13.5) x xx x 21 4 22 ++ + =

13.3) 642:2 1332 =+ xx 13.6) x1,03.7,04,1 =

[14] Aplica la definicin y/o propiedades para hallar el valor de x

14.1) 25log =x 14.7) ( 242log 2 = xxx14.2) ( ) 138log6 = x 14.8) ( ) 07log6loglog =+ xx14.3) ( ) ( ) 2log2log5log =+ xx 14.9) ( ) ( ) ( )2loglog12log42log ++=++ xxxx

14.4) 125loglog1loglog2 51

222 =+xx 14.10) ( ) ( ) 52log2log 22 =+ xx

14.5) ( ) 40log3loglog =++ xx

14.6) 5,02 =+ xInxInxIn

[15] Calcula el valor de t para cada caso:

15.1)3

73log9log 3 =+ tt

15.2) ( ) 22log =+tt

[16] Dada f(x) =log3 (x-2t), calcula el valor de t si f(-1) =1

[17] a) Completa las siguientes igualdades122


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17.1) ...............5 25log5 =

17.2) ..............16 4log16 =

17.3) ...............log =xaa

b) Demuestra 17.3)

[18] Resuelve analticamente los siguientes sistemas:

18.1)( )

( )

==+

1log

52log

3

3

yx

yx18.2)

( )

=

=

+

462log

02

1log

2

2

yx

x

[19] Resuelve aplicando la definicin y/o propiedades:

19.1)

=

=

1.log

5loglog

32

22

yx

yx19.1)

==+

3loglog

0loglog2

yx

yx

[20] Aplica logaritmos en la base ms conveniente para resolver el sistema:

20.1)

=

=

+

813

9

13

yx

yx

20.2)

=

=

100010

1,01032

25

xy

yx

[21] Plantea, resuelve y verifica:

Halla un nmero natural, tal que el duplo de su logaritmo decimal excede en unaunidad al logaritmo decimal de su quinta parte.

123

COMEDIA LOGARTMICA

La comedia empieza con una desigualdad:

,8

1

4

1 luego siguen las transformaciones

32

2

1

2

1

como a un nmero mayor le corresponde un

logaritmo tambin mayor, es

2

1log.3

2

1log2 22 y dividiendo ambos miembros de la desigualdad

por

2

1log2 resulta:

!!!32 Dnde est el error de la demostracin?

lgebra recreativa Y.PERELAM


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CURVA MITSCHERLICHPara fenmenos donde hay un nivel mximo, por encima del cual no es razonable obtener

valores, es necesario disponer de funciones que representen adecuadamente tal

caracterstica de lmite mximo. Una de ellas es la CURVA MITSCHERLICH, de la forma:

( ) [ ]kxeMxf = 1La tasa de crecimiento plantea una

estrategia de crecimiento rpido para valores pequeos de f, pero se hace paulatinamente

mas lenta a medida que crece la funcin.

Dicha tasa tiene a cero cuando los valores de la funcin se aproximan al valor mximo M

(asntota de la funcin).

Si x representa los niveles de fsforo agregado y f(x) los rendimientos por ha.

correspondientes (en determinada pastura), este modelo representa adecuadamente larespuesta del cultivo al agregado del fsforo.

F(0): es el rendimiento sin agregado de fsforo, depende del fsforo disponible en el suelo.

En el grfico puede observarse que los rendimientos crecen rpidamente con el agregado de

las primeras dosis de fsforo, la respuesta es alta, para luego hacerse paulatinamente mas

lenta hasta estabilizarse (no hay respuesta adicional )


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[22] El nmero de bacterias N en un cultivo, en el tiempo t (dado en horas) est dado por laexpresinN = N0e5t (siendo N0 el nmero inicial de bacterias).

22.1) Calcula el nmero de bacterias para t=0. Qu interpretacin puedes darle al

resultado obtenido?125

CURVA LOGSTICA

Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo segn la curva exponencial, pero, si nohay catstrofes (incendios, epidemias, etc.) llegan a invadir su espacio vital y su crecimiento

se va amortizando.

Dicha curva es de la forma: ( ) CxBe

Mxf +

=1

M: valor mximo al cual tiende asintticamente la curva.

B

M

+1: valor correspondiente a X=0

Si M y B son nmeros grandes para valores de X no my prxima a : ( ) cxeB

Mxf

+=

1

EJEMPLO: Para una imaginaria poblacin de insectos en la que:

M= 2.000.0000

B=1999

C= 0,04

X= tiempo en das

f(x) = nmero de insectos en x das

La funcin logstica: ( ) xe

xf 04,019991

2000000+

= es muy parecida


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22.2) Al cabo de cunto tiempo se duplica la cantidad inicial de bacterias?

22.3) En aproximadamente cunto tiempo habr 2.106 bacterias, si en el momentoinicial hay 1 0 bacterias?.

[23] Una Poblacin de 15 000 bacterias en el instante inicial, crece de acuerdo a una ley exponencialalcanzando el nmero 3,5.104 al cabo de 1 hora. Determina cuantas bacterias habr al cabo de:

23.1) 5 horas.

23.2) 1 da.

[24] Teniendo en cuenta que:

"La ley que describe el intercambio de temperatura entre un cuerpo y el medio circundanteest expresada por la frmula T=T0+C ekt

(T0 es la temperatura del medio C y k son constantes)"

Resuelve las siguientes situaciones:

24.1) Una torta se saca del horno a 90C cuando la temperatura ambiente es de 0C, sidemor 3min. en alcanzar 70C, cunto tardar en alcanzar 50C?.

24.2) Un pastel es sacado del horno a 300F, tres minutos ms tarde se encuentra a200F.Cunto demorar en llegar a 100F si la temperatura ambiente es de 70F?

[25] El proceso de desintegracin radiactiva responde a la ley exponencial A(t)= A0e-kt donde A0 es la

masa inicial y A(t) la masa remanente y k una constante que depende de la sustancia.

Se denomina semivida al valor de t para el cual la masa remanente es la mitad de la masainicial.

Determina:

25.1) la expresin de la semivida de una sustancia en funcin de k.

25.2) el valor de k para una sustancia cuya semivida es de 1 0 horas.

Todos estos conceptos se utilizan en la determinacin de las edades por el Carbono14:

El cociente entre la cantidad de Carbono 14 y carbono ordinario en la atmsfera esconstante, y se espera que la proporcin de istopos en los organismos vivos sea lamisma. Cuando un organismo muere, la absorcin de carbono 14 cesa. As,comparando la proporcin de carbono 14 que hay en un fsil con la atmosfrica, esposible estimar su edad. El mtodo se basa en que la semivida del carbono 14radiactivo es de 5600 aos. Por este trabajo el qumico Willard Libby recibi en 1960el Premio Nobel.

25.3) "Determina la edad de un hueso fosilizado que contiene 11100 de la cantidad originalde carbono 14"

126


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[26] Considerando que:

Las soluciones de diferentes compuestos pueden clasificarse, segn el valor del PH en:cidas, bsicas o neutras. El PH de una sustancia se calcula mediante la expresin PH= -log(H+), donde (H+) es la concentracin de protones.

Si PH < 7 la solucin es cida

Si PH > 7 la solucin es bsica

Si PH 7 la solucin es neutra

Resuelve:

26.1) Sabiendo que la concentracin de protones del caf es 10 5 calcula su PH.

26.2) Cul es la concentracin de protones de una sustancia cuyo PH es 3?

26.3) Si la concentracin normal de protones en la bilis heptica est comprendida

entre los valores 1,99.10-6 y 2,51.10-9, qu tipo de solucin es la bilisheptica?.

26.4) La orina normal en el hombre tiene PH comprendido entre 5,53 y 6,97es laconcentracin de protones en este intervalo?.

127


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MATEMTICA INGRESOTRIGONOMETRA

SABIAS QUE...Las nociones elementales de la Trigonometra ya eran utilizadas por Hiparco, nacido en Grecia

quien viviera entre los aos 161 y 127 A.C y considerado el astrnomo ms grande de la antigedad.

Con el paso de los siglos se ha hecho costumbre relacionar la Trigonometra con problemasrelativos a la medida de los lados y ngulos de un tringulo, aunque su origen aparece en lascuerdas subtendidas por los ngulos centrales de un crculo.

En los ltimos 100 aos (aproximadamente) una de las aplicaciones ms importantes de latrigonometra a la Matemtica es el estudio de los fenmenos de onda y oscilatorio, as como elcomportamiento peridico, relacionado estrechamente con las propiedades analticas de lasfunciones trigonomtricas.

9*1 ANGULOS Y ARCOS ORIENTADOS

Si bien, conviene recurrir a la bibliografa para revisar los conceptos de ngulos y relacin decongruencia; te ofrecemos una sntesis, acompaada de actividades en referencia a los temasmencionados.

Sea un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen o, al considerar las rotacionesdel semieje ox con centro o; surgen dos posibilidades:

SENTIDO POSITIVO

(contrario al de las agujas del reloj); llamado tambin sentido antihorario SENTIDO NEGATIVO

(opuesto al anterior); llamado sentido horario

Obsrvese que en ambos casos coinciden el lado inicial y terminal del ngulo de amplitud + 30 conel de 330.

Al igual que con los ngulos, el sentidos de rotacin orienta a los arcos (generados por cada puntode ox excepto el origen)

128


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Si P es un punto cualquiera de ox (distinto de o) la razn entre la longitud del arco 'PP

y la del

segmento OP es siempre la misma, para toda posicin de P.

As se origina el sistema circular o radial de medicin de ngulos, en el que se adjudica a cadangulo la medida del correspondiente arco de circunferencia con respecto al radio de la misma.

!!!

El arco de un radian (unidad del sistema circular), es el arco cuya longitud coincidecon el radio de la circunferencia. Para el caso particular en que el arco es unacircunferencia, la razn entre su longitud y la de su radio (medidas con respecto a lamisma unidad), es el nmero irracional: 2 , sea:

radio

radio

radio

enciacircunsferdelong ..2. =

con lo que la longitud de la circunferencia, expresada en radianes es: 2

Como el ngulo de 1 giro en sistema sexagesimal mide 360 y en sistema radial mide2 ; es evidente la relacin existente entre ambos sistemas que permitir el pasaje de

uno a otro y viceversa.

EJEMPLOS:

1) Expresa en sistema circular '15103 =

360 2 360 2

10315 x 103,25

|80,1

360

25,103..2

=

x

129

La medida de un ngulo es el nmero real que se obtiene de la razn entrela longitud del arco correspondiente y la longitud del radio.


18/51

2) Expresa en sistema sexagesimal

2 360

4

3== 135135

2

1.

4

3.360

3) Expresa en sistema sexagesimal

2 360

5,3 =

66,3032

3,5.360

Pero

1 60

0,66 '02,401 66,0'.60 =

Y 1 60

0,02 "2.1'1

'02,0".60=

Finalmente : "2.1'40303=

USANDO CALCULADORA:

l) Dado el ngulo "30'1542= en sistema sexagesimal, obtener su expresin en gradossexagesimales.

secuencia: 42 15 "'0 30 "'0 y en pantalla se observa : 3258,42

2) Dada la expresin decimal en grados sexagesimales del ngulo anterior, obtener

la expresin en grados, minutos y segundos sexagesimales

secuencia: 42 3258

INV "'0 :42 15 30

Existen calculadoras cientficas que te permiten pasar de un sistema a otro, mediante unassimples secuencias.

3) Pasar

=104 18 a radianes:

secuencia: MODE RAD EXE 104"'0

SHIFT MODE DEG EXE

130


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y se obtiene : 1,82037841

4) Pasar 1,82037841 radianes a sistema sexagesimal.

secuencia: MODE DEG EXE 1 82037841

y se obtiene: 104.3 y mediante lo visto en 2), llegamos al ngulo '18104 =

9*2 RELACION DE CONGRUENCIA

En el conjunto de los ngulos orientados y medidos en sistema sexagesimal, si se define la relacin

ZkconkRaR = ,360.: , que resulta ser reflexiva, simtrica y transitiva, es decir deequivalencia, se la denomina congruencia.

Simblicamente (se lee escongruente con ). Toda relacin de equivalencia, en estecaso la congruencia, lleva asociada una particin del conjunto en el cual est definida. Es decir:

C :contiene todos los ngulos del conjunto considerado congruente con

EJEMPLO: { }ZKKC += ,360.3030 y es evidente que tiene infinitos elementos.

Adems = 30 es el representante de la clase de congruencia.

Por lo tanto:

!!!

Anlogamente en el conjunto de los ngulos medidos en sistema circular, dos ngulos soncongruentes si su diferencia es un mltiplo entero de 2

ZKconKR = ,2

Ha llegado el momento de que observes si todos los conceptos revisados han sido

fijados convenientemente

131

Si 3600 , la clase de equivalencia que l representa, se lo simboliza: C, o sea:

{ }ZKKC += ,360.


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[1] Expresa en sistema circular cada uno de los siguientes ngulos:

1.1) = 60 1.4) '45300 =1.2) = 240 1.5) "10'5245 =1.3) '15150 = 1.6) "10'15120 =

[2] Expresa en sistema sexagesimal:

2.1) = 60 2.4) 5,1 =

2.2) 1 = 2.5) 4 =

2.3)2

5

= 2.6)

10

=

[3] Califica de verdadero o falsa cada una de las siguientes proposiciones yjustifica:

3.1) 1201560 C 3.4) 180720 C

3.2) 2702610 C 3.5) '1548'1548 C

3.3) 260440 C 3.6) '15130'551309 C

[4] Califica de verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica:

4.1)2

7

2

y son congruentes

4.2)

+= ZkkC ,.

4.

4

4.3) Nkk + ,222

4.4)2

15

4

108 y pertenecen a

2C

[5] Calcula la longitud de un arco de circunferencia correspondiente a un ngulo central de 72 ycuyo radio mide 8cm.

[6] Calcula con 0001,0 la longitud del radio de una circunferencia tal que un arco de 60 tieneuna longitud de 6cm.

132


21/51

[7] Si la suma de 2 ngulos es 1,932952147 radianes ysu diferencia es 1045.Cul es la medida de cada uno de ellos?

[8] Calcula los ngulos interiores del tringulo de la figura, segn los datos:

'2015 += xb

9*3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Es importante que recurras a la bibliografa para recordar lo que ya aprendiste sobre este tema,puesto que utilizaremos los conceptos bsicos de funciones trigonomtricas de nmeros reales.

9*3*1 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA:

Sea el nmero real m la longitud del arco considerado a partir del punto (1,0) tomado como.Al extremo de dicho arco notaremos punto P de coordenadas (x,y),centro (0;0) radio : 1

Si P recorre la circunferencia en sentido antihorario (positivo) el arco descripto ser positivo, encaso contrario ser negativo.A cada arco m le corresponde un nico punto P(x,y), pero a cada punto P(x,y) le correspondeinfinitos, arcos de la forma Zkkm + ,2

Ejemplo : Al nmero2

=m le corresponde Q (0,l). Pero a Q (0,l) le corresponden

2

=m ;

2

5=m ;

2

3=m e infinitos valores que difieren en .,2 Zkk

133


22/51

9*3*2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

P es un punto cualquiera, tal que P(x,y) (0,0) = med OP (radio vector). ( )0 x = abscisa y = ordenada

Para un ngulo las definiciones de las funciones trigonomtricas referidas a un sistema decoordenadas, son:

Sen

y

= Cosecy

= 0y

cos

x

= secx

= 0x

tag 0= xxy cotg

yx= 0y

Atencin Los signos de x e y dependen de la ubicacin de P(x,y).En particular las coordenadas del P(x,y) en la circunferencia trigonomtrica son

( ) senyxseaosen == ;cos:,cosSabemos que 1= y segn las definiciones:

cos1

cos

1

====

===

xxxx

senyyy

sen

134


23/51

Tanto la abscisa como la ordenada pueden tomar valores reales en el [ ]1,1 en consecuenciapodernos afirmar que:

1cos1cos1111

IIesbienes

IIsenesbiensenes

9*3*3 SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMERICAS

Los signos de las funciones trigonomtricas dependen de la ubicacin del P(x,y), que pertenece allado terminal del ngulo cuyo lado inicial es el semieje ox y su centro (0,0)

Entonces:

Si 900 todas las funciones trigonomtricas de dicho ngulo son positivas. ( )0,0,0 yx

Si 18090 son positivas el seno y la cosecante y negativas todas las dems funciones( )0,0,0 yx

Si 270180 son positivas la tangente y cotangente y negativas las dems funciones( )0,0,0 yx

Si 360270 son positivas el coseno y la secante y negativas las dems funciones( )0,0,0 yx

135


24/51

9*3*4 GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

A) Funcin SENO: Todo nmero real determina un punto P sobre la circunferenciatrigonomtrica. Definirnos la funcin seno asignando al nmero real la ordenada del punto P.

Sobre una circunferencia de radio unitario ubicarnos los nmeros reales: 2,3,4,6

etc. yconstruimos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales (ver el grfico).

Sobre el eje de abscisas se trasladan los valores de los arcos x considerados en la circunferencia,luego se trasladan los segmentos y, correspondientes a las ordenadas de cada punto P, al sistema decoordenadas, paralelamente a si mismos.

La grfica anterior nos muestra una onda de sinusoide, que se repite para valores de 2x ,comotambin para los valores de x < 0.

136


25/51

Por lo tanto, para todo x est definido y es nico el nmero real: sen x, luego el dominio es:( ) [ ]1,1)(Im: = senximgenlayxsenDom

Ceros o races de la funcin seno

Ceros Sen = { },./ kxx =

Periodicidad

Una funcin fes peridica si existe un nmero real T >O tal que para x Dom fse cumple quef(x) = f(x+T) ; el mnimo valor de T para el cual se cumple la igualdad se llama perodo T.

En el caso de la funcin seno, 2=T pues: ( ) ( ) .;4;2 etcxsenxsenxsenxsen +=+=En general : ( ) Zkkxsenxsen += ;2

B) FUNCION COSENO: El anlisis de esa funcin se hace en forma anloga a la descripta paralaanterior, pero, teniendo en cuenta que definimos la funcin coseno asignando al nmero real,

que determina un punto P sobre la circunferencia trigonomtrica, la abscisa del punto P.

Si extendemos la grfica, para valores de 2x y para valores de 0x , es:

137


26/51

Vemos: Dom (cos) = Im (cos) = [ ]1,1

Ceros o races de la funcin coseno

Ceros cos =

+= Zkkxx ,

2/

Periodicidad: Anlogamente a la de la funcin seno.

C) FUNCION TANGENTE:

Si consideramos el punto a, de interseccin entre la rectaverticalde ecuacin x = 1, con el lado terminal del ngulo central ,por semejanza de tringulos entre los tringulos rectngulos

esobayoxp ,

abmedxtagladecires

ababobab

xytg

=

==== 1

Grficamente, para valores de 20

138


27/51

Si extendemos la curva a todo el dominio de definicin, es:

Ceros o races de la funcin tangente

Ceros { }Zkkxxtg == ,./

Periodicidad: T = ( ) += xtgxtgpues :

El anlisis de las grficas de las funciones trigonomtricas recprocas, quedan para tu ejercitacin.

139


28/51

9*3*5 RELACIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

A la relacin inversa de f / f(x) = sen x se la llama arco seno de x y se la simbolizaxsenxsenarc 1=

(ESTA NOTACION NO ESNOTACION EXPONENCIAL)

Ejemplo:21

621

6senarcsenSi ==

Como6

no es el nico nmero real al que le corresponde por seno el valor

2

1se escribe:

==

20;

2

1/

6

xsenarcxx

Es este el concepto que necesitas por ahora, pues en la asignatura Matemtica l, analizars las res-tricciones de dominio y/o codominio para definir las funciones trigonomtricas inversas.

Ya ests en condiciones de observar los resultados de tu estudio en esta parte de Trigonometra.

[9] Aplica la definiciones de funciones trigonomtricas, para determinar el valor de las mismas, conlos siguiente ngulos:

0, 90, 180, 270

[10] El lado terminal de un ngulo, referido a un sistema de coordenadas, contiene al punto Q(-2,3), calcula segn las definiciones:

10.1) sen 10.2) cos 10.3) tg

[11] Califica de verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones yjustifica tu respuesta

11.1) { } ( ) 2,020/ = xsenyxx

11.2) Existe

xsenquetalx2

,0

11.3) ( ) mxsenentoncesmxsenSi =+= 2,

11.4) { }

==

2

3120/

xsenyxx

11.5) { }0cos/2

3,

2=

xx

11.6)

=

0cos.2

3

2

3/

2

3,

22,

2

3xxx

11.7) La funcin coseno, definida en tiene perodo 140


29/51

11.8) { } { }Zkkxxxtgx === ,/0/

11.9) { }0,20/2

3,

2,0 =

xtgxx

11.10) Dom ( ) { }Zkkxxtg == ,/ 11.11) Si [ ] 01cos2;0 === xxyx

[12] Coloca el signo que corresponda ( > < ) en el espacio en blanco:

12.1) sen 1 ........... sen 112.2) cos 1 ........ cos 112.3) tg 1 ........... tg 1

[13] Analiza la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta

13.1)

2

es un cero de la funcin seno

13.2)2

es una raz de la funcin tangente

13.3) 5 es un cero de la funcin seno

13.4)2

3es una raz de la funcin coseno

[14] Analiza inyectividad , suryectividad y biyectividad de la funcin f para el dominio ycodominio

sealado en cada caso, colocando la cruz en el casillero correspondiente cuando se cumpla la

definicin.

14.1)

xsenyf = /: INYECTIVA SURYECTIVA BIYECTIVIDADI) :fII) [ ]1,1: f

III) [ ]1,12

3,0:

f

IV) [ ] [ ]1,10,2: f

V) [ ]1,12

,2

:

f

14.2)141


30/51

xyf cos/: = INYECTIVA SURYECTIVA BIYECTIVIDADI) :fII) [ ] [ ]1,12,0: f

III) [ ]1,1,2

:

f

IV) [ ] [ ]1,1,0: f

[15] Expresa x en relacin con y en los siguientes casos:

15.1) y = sen 4x 15.4) y = cos4

x

15.2) y = 2 cos x 15.5) y = 2 sen 5x

15.3) y = 5 arc tg x 15.6) y = arc sen2

x

9*3*6 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UNMISMO ANGULO

A) Relacin Pitagrica : 1cos22 =+ sen

B) 0coscos =

sen

tg

C) 0cos

=

sen

senctg

D) 0cotcot

1=

gtg

E) 0cos

cos

1sec =

F) 01

cos =

sensen

ec

Conocida la funcin de un ngulo y el cuadrante al que pertenece, es posible calcular los valores delas restantes funciones trigonomtricas, utilizando adecuadamente las relaciones anteriores .

EJEMPLOS:

l) Si ,2

3

cos2

3 =

y calcula las funciones trigonomtricas restantes.142


31/51

Seleccin de estrategias: la relacin pitagrica.

Ejecucin del plan: 1cos22 =+ sen

12

32

2

=

+sen

14

32 =+sen

4

312 =sen

4

12 =sen

21=IIsen

Anlisis para la eleccin de la solucin

El ngulo est ubicado en el tercer cuadrante y elseno es negativo:2

1=sen

Utilizando la relacin: B) :

3

3

cos

==

tg

sentg

Con la aplicacin de las relaciones C), E) y F), hallamos:

2cos,3

32sec,3 =

== ecctga

II) Calcula la2

2

2, =

senysitg

Problema definido:?

=tg

Bsqueda y seleccin de estrategias:

cos

sentg =

2

2=sen

Para calcular la tg necesitamos conocer el cos y haciendo uso de la relacin pitagricapodemos llevar a cabo la:

Ejecucin del Plan:143


32/51

1)

2

2costan

2

2cos

2

1cos

1cos2

2

1cos

2

2

2

22

==

=

=+

=+

toloporcuadrantesegundoalpertenecenguloelII

sen

3) Entonces:

cos

sentg =

1

22

22

=

tg

Revisin: La tangente result negativa, y verificamos que dicho signo correcto deacuerdo con lo estudiado previamente.

Recurre a Bibliografa para recordar las relaciones entre los valores de las funcionestrigonomtricas de los ngulos: complementarios, suplementarios, que difieren en y opuestos.

[16] Determina las dems funciones trigonomtricas de siendo:

16.1)2

3

4

1 = ysen

16.2) 04

3cos = seny

16.3) 0cos2

5= ytg

16.4) 0

3

3cos

= tgy

[17] Contesta verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta.

17.1) ( ) cos290cos =+ sen

17.2)( )( )

tg

sen=

180cos

180

17.3) ( ) 24545 =+ tgtg

17.4) = 210cos30cos ecec144


33/51

17.5) ( ) 060sec60sec =+

17.6) = 75cot105cot gg

9*4 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Una identidad trigonomtrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor de los ngulosque intervengan en ella.

A partir de las definiciones de la razones trigonomtricas, de las relaciones fundamentales

y de las operaciones elementales, debemos lograr una identidad algebraica evidente.

EJEMPLOS:

I) Verifica que para todo x se satisface:

( ) ( )

( )( )xxsenxxsen

xxxsenxsenxsenxxsenx

xxsensenxx

cos212cos21coscos22cos2cos

cos2cos

2222

22

+=++=+

+=

xxsenxxsen cos212cos21 =

1=1

II) No siempre las identidades se verifican para todo x yes necesarioanalizar su dominio para hacer la restriccin correspondiente.

Por ejemplo:

xtgxtg

x

xsen

x

xxtg

Zkkxconx

xsenxtgx

2112

cos2

cos

cos12

,2cos

2cos12

+=+

+=+

+

+=+

[18] Verifica las siguientes identidades ydetermina su dominio de validez.

18.1) ( xxsenx cos1.sec 2 =

18.2)x

x

xsen

xsenxtg

cos1

sec3 +

=

18.3)xtg

xtgxsen

2

22

1

121

+

=

145


34/51

18.4) xsenxsenx

2sec21

1

1

1=

+

+

18.5)senx

xtgxx

=+

1

cossec

18.6)xec

xxsenxsenxtg

2

2222

cos

sec.=

9*5 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Ya conoces la forma de resolver ecuaciones ; trabajo que consiste en encontrar valores de la o lasvariables que satisfacen la igualdad propuesta.Una solucin particularrepresenta cualquier valor que satisface la ecuacin.La solucin general de la ecuacin es el conjunto de todas las soluciones particulares.En tu bsqueda y seleccin de estrategias para ejecutar el plan trazado, conviene tener en cuenta lasrelaciones inversas de las funciones trigonomtricas, la circunferencia trigonomtrica y todo loestudiado hasta el momento.

No olvides tu calculadoras!!!

EJEMPLO:

Resuelve la ecuacin: 2 sen x -1 = 0

La ecuacin es equivalente a :2

1=x

Si graficamos en la circunferencia trigonomtrica: sen2

1=x , se visualizan dos valores

que corresponden a la solucin particular de la ecuacin dada.

146


35/51

Ellos son:

==== 15030,,6

5

6 2121xyxbienxyx

El lado terminal de cualquier ngulo congruente con 30 coincide con el lado terminal de= 301x y las funciones trigonomtricas de ngulos congruentes son iguales.

Anlogamente sucede con =1502x

Entonces la solucin general de la ecuacin es:

6

56

15030 ,, CCSbienCCS ==

Otra forma de expresar la solucin:

+=

+== ZkkxxZkkxxS ,2

6

5/,2

6

/

Con la calculadora se pueden verificar resultados; para

a) x = 30 ; b) x = -330 ; c) x = 510

Lo hacemos a partir a2

1=xsen

secuencia:

a) 30

SIN y se obtiene: 0,5

(COMPRUEBA QUE EL MODO ESTE EN DEG)

b) y c) se verifican en forma similar.

Observacin: Si bien el anlisis de una ecuacin es indispensable para dar la solucin correcta,puedes facilitar este proceso con tu calculadora.

En la ecuacin anterior, la solucin particular la hubieras obtenido, siguiendo esta secuencia:

2

1INV SIN y se obtiene 30 (el modo en DEG)

o bien

2

1 INV SIN y se obtiene 0,52359877 (el modo en RAD)

147


36/51

[19] Elegir la alternativa correcta.

Justificar: 0

2+

2

( )2

945cos ec =+

415

sen

[20] Determina la solucin general de las siguientes ecuaciones:

20.1) 2sen x = 2 20.3) 01cot.2 =xxxsen

20.2) 2cos x + 3 = 0 20.4) cos x = senx.3

[21] Determina todos los x tal que 3600 x

21.1) xx sec2

1cos = 21.3) xsenxsen =22

21.2) xgxtg cot3= 21.4) 22 =xsen

xsen

[22] Determina analticamente la tg x, si

0cot2

3

2cos =

xgyx

[23] Determina el valor de x, en:

23.1)

=

,

2320

32 xsixsen

23.2)( ) ( ) ( )

( )2

450

2102045102cos

+=+

x

xsixsenx

148


37/51

[24] Dado un nmero real x, tal que 0 < x < se sabe que: "el doble del seno de x por la cotangente de

x es igual a2

3

24.1) Plantea una ecuacin que te permita hallar el cos x.24.2) Calcula el sen x y la tg x.24.3) Determina x.

[25] Resuelve los siguiente sistemas en los que x e y son ngulos positivos y menores que un giro.

25.1)

=+=

1cos

0cos

yxsen

yxsen25.2)

=+

=+

2

2coscos

2

1cos

2

22

yx

yxsen

Sabas que ...la funcin sinusoidal est presente en radios AM y FM.

La funcin sinusoide, de la forma:

( )CBtsenAy += determina con los valores A, B y C positivos), unainfluencia

especial en la mencionada funcin.

El efecto de A es modificar la 'altura' de la onda y se llama AMPLITUD

La variacin de B produce un 'plegamiento' o estiramiento longitudinal de la onda,

es decir, modifica el periodo de la funcin segn la frmulaB

T2

= y tambin modifica la

posicin de los ceros.

Asociada al perodo se encuentra la frecuencia, dada porT

1= que indica

las oscilaciones completas o ciclos por unidad de tiempo.

El valor C (para B=1), indica el inicio de una onda completa en el punto de abscisa C, esdecir, desplaza el inicio de la onda. Se lo denomina ngulo de fase.

149


38/51

Radio AM

El proceso de amplitud modulada o am, modifica la amplitud de onda para transmitir la seal.La ecuacin ( ) tsentasenmAy ..2...21 00 += representa la onda trasmitida en el sistema de

amplitud modulada o AM, cuya grfica aparece en la siguiente figura:

Radio FM

El proceso de frecuencia modulada o fm, modifica la frecuencia de onda portadora para transmitirla seal.

La ecuacin

+= tsen

atsenAy ..2..2. 00

representa la onda transmitida en frecuencia

modulada oFM, y la grfica es la siguiente:

9*6 RESOLUCION DE TRIANGULOS

150


39/51

En Geometra has estudiado los criterios para asegurar la congruencia de dos tringulos (Essuficiente que tengan: los tres lados, dos lados y el ngulo comprendido dos ngulos y el ladocomprendido respectivamente congruentes). Esto implica que teniendo por datos las medidas detres elementos de un tringulo (convenientemente elegidos), es factible determinar las medidas delos tres elementos restantes.El proceso por el cual se calcula estas medidas desconocidas se denomina :"resolucin detringulos.

9*6*1 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.

La medida de uno de los ngulos de un tringulo rectngulo es siempre conocida: 90. Para poderresolver un tringulo rectngulo es suficiente entonces dar como datos las medidas de doselementos entre los que figure al menos un lado. (Dos catetos, hipotenusa y un cateto, un cateto y unngulo agudo, hipotenusa y un ngulo agudo).

Se utilizan los siguientes recursos:

*En un tringulo rectngulo, sus ngulos son complementarios.

*Teorema de Pitgoras

*Definiciones de seno coseno y tangente de un ngulo agudo.

Para determinar una incgnita es necesario analizar cul es la relacin que la vincula con los datos.

Como ejemplo, trabajaremos con el siguiente problema:

Desde el extremo superior de un poste, un tensor lo sujeta al suelo, formando un ngulode 50 con el mismo. Sabiendo que el tensor est fijado a tierra a 12 metros de la basedel poste , determina la altura del poste y la longitud del tensor.

Qu es lo que sabemos?, qu es lo que tenemos que determinar ?

Recurrimos a una figura , para orientarnos:

Datos: -= ngulo tpl = 50- L = cateto adyacente a = 12m

Incgnitas: - P = cateto opuesto a

151

La palabra Trigonometra es de origen griego, siglo (XVI), y significa medida detringulos, TRGONO (tringulo) y METRON (medida).La historia de esta rama de la Matemtica, que surge con la resolucin deproblemas de ndole prctica, comienza en tiempos remotos. En el siglo XVII a.de C., los signos egipcios ya conocan la relacin entre los catetos de un tringulorectngulo que hoy denominamos tangente. Los Hindes introdujeron seno y

coseno. En el siglo II, los griegos investigaron ampliamente. La trigonometradel tringulo mantiene su rol preponderante dentro de la tecnologa moderna, ennave acin a rimensura a licacin de vectores a la mecnica etc.


40/51

- T = hipotenusa

Qu relacin podemos utilizar?

1) Nos tenemos que preguntar: Qu funcin trigonomtrica del ngulo vincula al catetoopuesto P con el cateto adyacente L, es decir cul es la funcin trig. que relaciona los dosdatos con la incgnita P?.

L

Ptg

hipotenusa

adyacentecatetotg ==

P = L . tg

P = 12m . tg 50

P = 12m . 1,1 9175

P = 14,30 m

2) Anlogamente, la funcin trigonomtrica que relaciona los dos datos con la incgnita T es:

T

L

hipotenusa

adyacentecateto== coscos

T =

cos

L

T = mm

Tm

67,1864279,0

12

50cos

12==

Rta: La altura del poste es aprox. de 14,30m y la longitud del tensor es aprox. de 18,67m.

!!!

152


41/51

OBSERVACIN

En la figura, el ngulo acb se denomina: ngulo de elevacin del punto b, y el ngulocbm se denomina: ngulo de depresin del punto c. (Ambos ngulos soncongruentes por ser alternos internos entre paralelas.

HACER MATEMTICA = RESOLVER PROBLEMAS

Saber Matemtica, no es solamente aprender definiciones y propiedades para reconocer la ocasinde utilizarlos y aplicarlos, sabemos que hacer Matemtica implica ocuparse de problemas; encontrarbuenas preguntas es tan importante como encontrar sus soluciones...

Seguidamente presentamos una serie de situaciones diversas que te ayudarn a avanzar en laresolucin de problemas.

[26] Si convenimos en designar con a, el vrtice de ngulo recto, con b y c los vrtices de losngulos agudos ylos lados con la letra mayscula que corresponde al ngulo opuesto, determina:

26.1) cmAybsiC 10'4178 ==

26.2) cmBycsiA 47,5'5654 ==

26.3) cmCycmBsiA 1312 ==

26.4) cmBycmAsiC 25 ==

26.5) cmCycmAsic 4054 ==

[27] En un tringulo rectngulo , un ngulo agudo es el duplo del otro yla hipotenusa mide 4cm.Resuelve el tringulo.

153


42/51

[28] Calcula la amplitud de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, sabiendo que un cateto esel 35% del otro. Con estos datos se puede calcular la medida de la hipotenusa?.

[29] Calcula la hipotenusa de un tringulo sabiendo que un cateto mide 3cm y que la secante delngulo agudo adyacente es 2,2.

[30] Hallar las amplitudes de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo sabiendo que: 7x= 10y,sabiendo x e ylas medidas de los catetos.

[31] Determina el permetro de un cuadrado, si su diagonal mide 5cm.

[32] Desde un mismo vrtice de un cubo se trazan la diagonal de una cara del cubo yla diagonal delcubo. Qu ngulo forman ?.

[33] Sabiendo que la diagonal de un rectngulo mide 10cm, y que dicha divide diagonal al ngulo

recto en 2 ngulos agudos, tales que uno de ellos es el 20% del otro, calcula el permetro delrectngulo.

Adaptado de "Fundamentos y mtodos de la matemtica" Guy BrousseauUniversidad de Bordeux I.M.A.F.N.C

[34] Calcula el permetro de un octgono regular, inscripto en una circunferencia de 10cm dedimetro.

[35] Cul es la superficie de un cantero, que tiene forma de pentgono regular y que se desea

construir inscripto en una circunferencia que tiene 12,56cm de longitud?

[36] La superficie de un tringulo isceles es de 15,32cm2 y el ngulo desigual mide 63. Determinalas longitudes de los lados con < 0,01.

[37] En el tringulo bac, rectngulo en a, b satisface la ecuacin 2.sen(2x) = 1 y C = 7. Calcula lamedida de la hipotenusa A.

[38] La longitud de la diagonal mayor de un paralelogramo es de 12cm. E de sus extremos la

diagonal forma un ngulo de 28 y 35 con los lados del paralelogramo. Calcula la superficie delparalelogramo.

[39] Durante un aterrizaje, el piloto de una avioneta desea pasar 10m arriba de una pared de 25m dealtura y tocar tierra 200m ms all de la pared. Hallar el ngulo de descenso.

[40] Un buque navega 32km hacia el sur, y despus un cierto kilometraje hacia el oeste. Pararegresar al punto de partida debe tomar un rumbo de 64. Halla la distancia en km que recorri endireccin noreste.

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[41] Desde un avin que vuela a 300m de altura, se observa en direccin este, las cabeceras de unapista de aterrizaje recta. Los ngulos de depresin de dichas cabeceras son de 32 y 7. Calcula lalongitud de la pista.

[42] Horacio desea construir una escalera de cemento interior al garage que apoye a 2,70m dealtura. La huella de cada escaln ser de 25cm y la contra-huella de l8cm. Calcula el nmero deescalones y el ngulo de elevacin.

[43] Investiga sobre el procedimiento que utiliza un topgrafo para determinar el ancho de un ro, sitodas las mediciones las realiza desde una sola orilla. Propone datos y resuelve aplicando resolucinde un tringulo rectngulo.

[44] Para forestar, los rboles se plantan de modo que la distancia entre dos consecutivos esconstante (aunque depende de la variedad) , llamamos k a dicha constante. Justifica la siguientefrmula aproximada, que da el nmero de rboles:

15,1..k

b

k

arbolesdenmero =

INTEGRANDO CONCEPTOS

[45] Justifica la frmula de distancia entre dos puntos. Grafica.

[46] Indica V (verdadero) o F(falso), si es falso corrige la distancia:155

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados dos puntos del plano: ( ) ( )2211 ;; yxqyyxp se denomina distancia de p a q a lamedida de pq, se puede simbolizar: d(p,q). La distancia es un nmero realpositivo o nulo, que se calcula por la frmula

( ) ( ) ( ) 2122

12, yyxxqpd +=


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a) Si ( ) ( ) ( ) 5,2;45;0 = qpdqyp

b) Si ( ) ( ) ( ) 13,1;23;1 = qpdqyp

c) ( ) ( ) ( ) 89,0,5,1;12;2,0 = qpdqyp

[47] Demostrar analticamente, que el tringulo de vrtices a (4;1), b (6;5) y c (3;2) es rectngulo.

Y

y (x,y)

r

b

a x X

[48] Justifica la ecuacin de la circunferencia con centro en el punto (a;b) y de radio r dada arriba.

[49] Sea ( ) ( ) ( ) 423/; 22 =+= yxyxC determina analticamente cules de los siguientes puntospertenecen a la circunferencia, dada por C.

(1 ; 2) (3 ; -1) (2 ; ) 32 + ) (2,5 ; 1,5)

9*6*2 RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

156

CIRCUNFERENCIA:

( ) ( ) ( ) 222/; rbyaxyxCSea =+=


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Hemos dado un tratamiento particular a la resolucin de tringulos rectngulos. Consideramos, sibien no efectuamos resolucin de problemas, que es conveniente que conozcas la existencia dedos leyes bsicas, que vinculan ngulos y longitudes, de un tringulo en general.

Cuando los datos son dos ngulos y un lado, en general se aplica elteoremadel seno.Cuando los datos son los tres lados o dos lados y un ngulo, se puede

aplicar el teorema del coseno.

TEOREMA DEL SENO:

En todo tringulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ngulosopuestos.

sen

C

sen

B

sen

A==

TEOREMA DEL COSENO:

En todo tringulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadradosde los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ngulo quedeterminan.

Por ejemplo: cos..2222 CBCBA +=

[50] Deduce el teorema de Pitgoras, como particular del teorema del coseno. ( ).90 =

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LAS ULTIMAS ACTIVIDADES DE INTEGRACION

[1] Ordena en forma decreciente:

3 9066,1 In 3,5 g513345 log17,378 53

49,1

[2] Calcula el rea de un trapecio rectangular, sabiendo que sus bases tienen 30 cm y 40 cm y que el

lado oblicuo forma con la base mayor un ngulo de( )

+= h

Bbtrapecio

2.sup60

[3] La presin del agua bajo la superficie del nivel del mar es directamente proporcional a laprofundidad. Sabiendo que a 98m de profundidad la presin es de 10,21. Halla la frmula de lapresin del agua.

[4] En un platillo de una balanza se ha puesto un trozo de queso y en el otro 3/4 trozo igual al anteriory una pesa de 3/4kg, quedando la balanza en equilibrio.Cunto pesa el trozo entero de queso?.

[5] Expresa la variable indicada, en funcin de las restantes:

( )

( )

""1

""5,0

""3:..4

""!1.

4,0

200

3

ted

ttatvee

rrV

nCM

t

n

=

++=

=

+=

[6] Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) aaa

b) +>+ bababa ,

c) ( ) ( ) ( )3log2log5log1 2 ++=+ xxxecuacinladesolucines

[7]

a) Calcula el permetro de un pentgono regular inscripto en una circunferencia de 15 cm de radio.b) Encuentra la expresin que te permita calcular el permetro de un polgono regular de n lados,inscripto en una circunferencia de radio r

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[8] Vuelve sobre las tablas de tarifas de taxis y de la empresa de remises, teniendo en cuenta las

siguientes consideraciones:

En los taxis cada ficha del reloj cambia a los l50 m y cuando subes ya marca 10

fichas El cuentakilmetros del remis marca una cantidad que no figura en la tabla, se

considera el importe correspondiente al menor valor del intervalo al que pertenecedicho kilometraje.

y suponiendo que en ningn caso hay tiempo de espera , te pedimos que:

a)Confecciona en un mismo sistema de ejes cartesianos la relacin que hay entre ladistancia recorrida y el importe abonado .

b)Qu servicio te conviene usar?

[9] Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

a)( )

=+

=+

5,01log35

8log3

2

5,0

yx

yx

b)

==+

cuadranteprimeralbyabsenasen

bsenasen

1,0

9,0

c)( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]

=+=+

2/;05,0cos2/;01cos

babababa

d)( )

=+=+

23

loglog2log

xy

ybxbyxb

e)

=

=+

12

21

1

yx

yx

[10] Determina analticamente la ecuacin de la recta que tiene en comn con la graficacorrespondiente a y = 4-x los puntos de abscisas x = 1 y x = -1

[11]Coordenadas polares

Adems de las coordenadas cartesianas, existen otros sistemas de referencia para determinar laposicin de los puntos en el plano, es el llamado sistema de coordenadas polares.Se toma un punto fijo o, llamado origen, una semirrecta ox de origen o, y un sentido de rotacin concentro en o . Todo punto p del plano queda determinado por la distancia op ( Ilamado mdulo o radiovector) y por el ngulo que determina semieje ox con el radio vector (llamado argumento de p).

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El mdulo se indica normalmente con la letra griega y el argumento con como indica la

figura.

Y

P

OX

Los nmeros ( y p se llaman coordenadas polares de P . P ( p,). Teniendo en cuenta estenuevo concepto:

a) Expresa en coordenadas polares el punto P cuyas coordenadas son (3,-4)

b) Halla las coordenadas cartesianas del punto P (4,45)

[12] Expresa en grados minutos y segundos el ngulo que la recta que pasa por los puntos (1;3)(0,2;-1) forma con el semieje positivo de las x.

[13] Halla y expresa en radianes el ngulo agudo que la rectas y = 3x+ 2 e y = -x+5 forman alcortarse .

[14] Encuentra la ecuacin de la recta que forman un ngulo de 35 con el semieje positivo de las x ytienen a -4 por ordenada al origen.

[15] Teniendo en cuenta la figura, calcula a y b

[16] Bajo que ngulo un hombre observa un faro de 80 m de altura, si est a l30 m del centro de labase del mismo?

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[17] Halla un nmero natural, tal que el logaritmo decimal de su mitad es menor en una unidad alduplo de su logaritmo decimal.

[18] Halla x de modo que el xyxsen 5,0cos12 ==

[19] Halla x :2

;0 si

a) 0cos2log3 =xsenx

b) ( ) ( ) 1cos1logcos1log 22 =++ xx xsenxsen

[20] Halla el valor de x:

a) x=4

coslog2

b) ( )2

213 1cos eInx +=+

[21] Se desea conocer el radio de una circunferencia, sabiendo que un pentgono regular inscriptoen ella tiene por superficie 20 cm2

[22] Dado un nmero real x, tal que 2:0 x se sabe que: el seno d e x ms el cuadrado de sucoseno es igual a 1,25.

Se pide: Plantear una ecuacin que permita hallar el sen x y resolverla.

[23]

a) Representa grficamente las funciones f y g.b) Indica dominio e imagen para f y g.c) Analiza biyectividad para f y g siendo:

( )

=

0

042 2

xsie

xsixxxf

x( )

= 1log11

21 xsix

xsixxg

[24]El rea de un rectngulo es ( )2510.3 2 + xx ,uno de los lados es: x- 5, 'determina analticamente

(sin especializar para ningn x): el otro lado y las amplitudes de los ngulos agudos comprendidosentre la diagonal y los lados.

[25]Completa (con 0001,0 ) y justifica cada respuesta:a) Si cos x = 6,0

y cot x>0 entonces: senx =........ y sen (3 x) =..........

b) La ecuacin senx = 4 - 2k tiene solucin si slo si k pertenece al intervalo............

[26] Determina analticamente la distancia entre dos puntos p y q, sabiendo que p(-2,-1), y que q(4,k)pertenece a la grfica de la funcin de ecuacin f (x) log0,5 x

(NO GRAFICAR)

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PROGRAMA ANALITICO* Mtodo de resolucin de problemas.

1* NUMEROS REALESConjunto R. Representacin de los nmeros reales en la recta. Operaciones en R. Propiedades.Desigualdades. Inecuaciones de primer grado con una incgnita. Intervalos en R (clasificaciones y

operaciones). Valor absoluto o mdulo de un nmero real: concepto y propiedades. Inecuacionescon mdulo.Concepto de funcin. Dominio e imagen de una funcin. Clasificaciones de funciones: inyectivas,suryectivas y biyectivas. Funciones de variable real. Funcin inversa Actividades de integracin detemas de unidad uno.

2* ECUACIONESEl lenguaje del Algebra. Ecuaciones lineales de primer grado. Ecuacionescompatibles e Incompatibles. Problemas que se resuelven mediante ecuacioneslineales. Ecuaciones equivalentes. Sistemas de ecuaciones lineales. Siete masequivalentes. Clasificacin de sistemas. Mtodos de resolucin de sistemas:

sustitucin, igualacin, reduccin por sumas o restas. Problemas que seresuelven mediante sistemas de ecuaciones lineales.

3* FUNCION LINEALFuncin lineal yecuacin explcita de la recta. Ordenada al origen y pendiente. Raz de una funcinlineal. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de rectas. Rectas que pasan por uno o dospuntos dados. Casos particulares de rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Resolucin grficade sistemas de ecuaciones lineales. Inecuaciones de primer grado con dos incgnitas. Sistemas deinecuaciones lineales. Problemas.

4* FUNCION CUADRATICAConcepto de funcin cuadrtica. Representaciones grficas de parbolas (distintos casos),

intersecciones con los ejes, coordenadas del vrtice, eje de simetra. Ecuaciones de segundo gradocon una incgnita. Races de una funcin cuadrtica. Sistemas de ecuaciones mixtos (lineal ycuadrtica) Resoluciones de problemas rutinarios y no rutinarios. Actividades de integracin deunidad 1 a 4.

5* FUNCION POLINOMICAFuncin polinmica: concepto y ejemplificaciones. Races de una funcin polinmica. Funcionespotenciales de la forma f(x)=xn . Funciones polinmicas ms usuales de grados 3,4 y 5. Operacionesentre polinomios. Algoritmo de la divisin. Regla de Ruffini. Teorema del resto y sus consecuencias.Factorizacin de polinomios. Divisor comn mximo y mltiplo comn mnimo de polinomios.

6* FUNCION RACIONAL-FUNCION IRRACIONAL

Funcin racional y ecuacin fraccionaria de una variable asociada a f. Dominio de una funcinracional. Races de una funcin racional. Anlisis de los puntos donde la funcin racional no estdefinida. Simplificacin de fracciones racionales. Operaciones. Problemas. Funcin irracional:concepto y ejemplificaciones. Ecuaciones irracionales. Races de una funcin irracional (casossencillos)

7* MAGNITUDESMagnitudes directa e inversamente proporcionales: concepto y ejemplificaciones. Problemasaplicando magnitudes. Actividades de integracin de unidad 1 a 7.

8* FUNCION EXPONENCIAL-FUNCION LOGARITMICA

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Funcin exponencial. Variacin de a para f(x)=ax . Variacin de k para f(x)= k.ax . Anlisis de curvasexponenciales. Revisin de la definicin y propiedades de logaritmos. Funcin logartmica. Anlisispara f(x)= loga x . Ecuaciones exponenciales y logartmicas. Sistemas de ecuaciones. Problemas.

9* TRIGONOMETRIAngulos y arcos orientados. Relacin de congruencia. Funciones trigonomtricas. Circunferenciatrigonomtrica. Signos de las funciones trigonomtricas. Relaciones fundamentales entre lasfunciones trigonomtricas de un mismo ngulo. Grficas de las funciones trigonomtricas.

Relaciones trigonomtricas inversas. Identidades trigonomtricas. Ecuaciones trigonomtricas.Resolucin de tringulos rectngulos. Problemas. Integracin de conceptos (distancia entre dospuntos, ecuacin de la circunferencia). Resolucin de tringulos oblicungulos. Actividades deintegracin de todos los contenidos.

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