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CÁLCULO I COMPLEMENTO GUIA # 1

Ejercicios sugeridos para la semana 2. Cubre el siguiente material: Sistemas de coordenadas

rectangulares, Ecuación de la recta, Rectas paralelas y perpendiculares, Distancia de un punto

a una recta.

1. Halla la ecuación de la recta que contiene el punto 1, 3 y es paralela a la

recta L1 que contiene los puntos 3, 2 y 5, 7 . R. 5x+8y+29=0

2. Halla todos los valores reales de p tales que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(p -1, 5) y B(0 , 2p - 3) sea mayor o igual a 5.

R. p≤13/7

3. Hallar la ecuación de la recta que satisface las características:

a) Tiene pendiente -2 y pasa por el punto .

R. 4x+2y-1=0 b) Pasa por los puntos (-1,2) y (3,-3).

R. 5x+4y-3=0 c) Tiene pendiente 3 e intercepta al eje x en el punto (2, 0).

R. 3x-y-6=0 d) Contiene al punto (-2,-3) y es paralela a la recta 3x-7y+4-0

R. 3x-7y-15=0

e) Contiene al punto y es perpendicular a la recta 3x-y=0

R. 6x+18y-21=0 f) Contiene al punto (3,2) y es perpendicular a la recta y=4

R. x=3

g) Es paralela a la recta de ecuación y pasa por el punto de intersección de las rectas x-y=0 y 3x-y-8=0.

R. 4x-y-12=0 4. Los lados de un triangulo están sobres las rectas 4x+3y-5=0, x-3y+10=0 y x=2, encuentre los vértices del triángulo.

R. A(-1,3) B(2,-1) C(2,4)

5. Hallar los vértices de un triangulo ABC si se sabe que: a) La recta que contiene al lado CA es simétrica a la recta y=-7x+5 con respecto a y=x/2. b) La recta que contiene al lado CB es perpendicular a 5x+y-7=0 y tiene abscisa en el origen igual a -5. c) La tangente del ángulo formado por CBA es 2/3 siendo la pendiente de la recta AB mayor que 0. d) La abscisa del vértice B es igual a la ordenada en el origen de 3y=6x+15.

R. A(2,-1) B(5,2) C(0,1)

6. Compruebe que el baricentro (10/3,11/3) del triángulo de vértices A(1,3) B(4,2) C(5,6) está a 2/3 de mediana de cada vértice. 7. Hallar los vértices de un triangulo ABC si se sabe que:

a) A es el punto que divide a PQ en la razón 3 siendo P(4,-7) y Q(0,5).

b) B es el punto Medio de MN siendo M(8,-2) y N(4,12) c) El baricentro del Triangulo es (3,7)

R. A(1,2) B(6,5) C(2,14)

8. Halla las coordenadas de los vértices del triangulo ABC y calcular su área, si: a) El vértice A equidista de los puntos D(-3,-2) y E(1,6) y pertenece a la recta paralela al eje y que pasa por el punto H(1,-1). b) El vértice B es el punto que divide al segmento formado por F(-2,-7) y

G(0,2) en la razón

c) El vértice C es la ordenada en el origen de la bisectriz de pendiente positiva de las rectas 3x-4y+2=0 y 4x+3y+1=0.

R. A(1,1) B(-2/3,-1) C(0,3) Área=8/3 9. Hallar las coordenadas de l triangulo ABC si se cumple que: a) El vértice A es el punto de ordenada positiva de la recta x-2y=0, que esta

a una distancia de de la recta y=-4x+3.

b) El vértice C es un punto tal que donde P(5,4) y D(3,0).

c) El lado BC esta sobre la bisectriz cuya pendiente es de 0 grados, de las rectas y=x+2 y Y=-x+10, siendo B su ordenada en el origen.

R. A(4,2) B(6,6) C(0,6)

10. Hallar los vértices de un paralelogramo ABCD si se sabe que: a) La recta que contiene al lado AB es la bisectriz de pendiente positiva de los ángulos que forman al cortarse las rectas 11x-2y+5=0 y x-2y-1=0.

b) La recta que contiene al lado AD tiene pendiente negativa y forma 45 con la recta y=2x-1/3. c) El lado AD pasa por Q si se sabe que Q pertenece a la recta y=2x+3 y equidista de P(1,9) y R(3,6). d) El punto de Corte de las diagonales M divide a TH en la razón -3 siendo T(1,1) y H(3,16/3).

R. A(3,4) B(6,8) C(5,11) D(2,7)

11. Hallar los vértices de un cuadrilátero ABCD si, se sabe que: a) El ángulo que forman los vértices BAD es ¾. b) Los lados AD y BC están sobre las rectas que pasan por el punto P(5,7) y

distan unidades de Q(5,-3), siendo la recta AD de mayor pendiente que la recta BC. c) A es la intersección de la recta -2x-y+5=0 con la recta paralela a y-4x-3=0 trazada desde el punto M(2,7). d) El lado CD está sobre la recta simétrica a 11x+2y-6=0 con respecto a 2x-y+3=0.

R. A(1,3) B(8,4) C(6,6) D(2,4) 12. Hallar los vértices de un paralelogramo ABCD si se sabe que: a) El lado AB esta contenido en la recta x+y+1=0 y el lado AD está contenido en la recta 2x-y+2=0 b) El lado BC está sobre la bisectriz de pendiente positiva que se forma al cortarse las rectas x-y-2=0 y 7x-y-14=0 c) C divide al segmento MN en la razón 2, siendo M(1,0) y N(4,3)

R. A(-1,0) B(1,-2) C(3,2) D(1,4) 13. Hallar los vértices del paralelogramo ABCD si se sabe que:

a) El vértice A es el punto medio del segmento PQ siendo P(0,-3) y Q(2,7). b) El vértice C es el punto de corte de la recta simétrica a y=-7x-3 con respecto y=3x-3 y la recta y=2x-10. c) La diagonal BD está sobre la recta creciente que forma 45 grados con y=x/2+5/2 d) la Abscisa del vértice B es 3.

R. A(1,2) B(3,0) C(7,4) D(5,6)


Ejercicios sugeridos para la semana 3. Cubre el siguiente material: Geometría Analítica,

Familia de Rectas y Aplicaciones

1. Hallar la familia de rectas que pasan por el punto de corte de la recta 2x+4y+10=0 con el eje x.

R. y=k(x+5)

2. Hallar la familia de rectas de pendiente positiva que forman 45 con la recta x-2y+7=0.

R. y=3x+k 3. Hallar el miembro de la familia y=5x+k cuya abscisa es igual al doble de la pendiente.

R. y=5x+50 4. Hallar la recta de la familia y=k(x+5) que es simétrica a y=2x+1 con respecto a y=x+2.

R. y=x/2+5/2 5. Hallar el miembro de la familia de rectas y=-2x+k que forma triángulos de área 10 en el 1er cuadrante.

R. y=

6. Dada la familia de rectas cuya ecuación es hallar en cada caso el miembro de la familia que pasa por el punto P(2,-3).

R. y=-4x+5 7. Hallar la o las rectas de la familia y-1=k(x+1) que forman un trapecio de área 3/2 con los ejes coordenados en el 1er cuadrante.

R. y=-x+2 8. Hallar la familia de rectas que pasa por el punto medio del segmento AB, siendo A(0,1) y B(3,7). Determine el miembro de la familia que: a) Es una recta horizontal. R. y=4 b) Es una recta vertical. R. x=3/2 c) Es paralelo al primer bisector. R. y=x+5/2

9. Halle la familia de rectas que pasan por el punto R tal que siento A(4,3) y

B(1,0). Halle el miembro de la familia que forma un triangulo isorectángulo con los ejes coordenados en el 1er cuadrante.

R. y-1=m(x-2) R. x+y-3=0


Ejercicios sugeridos para la semana 3. Cubre el siguiente material: Cónicas.

1. Sea L la recta de ecuación y=x+6 y C la circunferencia que pasa por los puntos A(8,0) B(0,6) y C(0,0). Halle los puntos de intersección de la recta con la circunferencia.

R. P1(0,6) y P2(1,7) 2. Encuentre una ecuación para la circunferencia S que es tangente a la recta de ecuación x-3y+12=0 cuyo centre es (5,-1).

R. 3. A continuación se presentas diferentes cónicas, identifíquelas, señales características principales de cada una como dominio y rango.

a)

b)

c)

d)

e)

f) 4. Escriba la ecuación de una circunferencia que sea tangente a ambos ejes coordenados.

5. Dada la circunferencia encuentre la ecuación de una recta tangente a esa curva que sea paralela a la recta de ecuación y=x. Obtenga las coordenadas del punto de tangencia.

R. l1: x-y-1=0, l2: x-y-5=0 P1(2,1) y P2(4,-1)

6. Hallar el punto de intersección de la parábola con la recta y=4x+1. R. P(1/4,2)


Ejercicios sugeridos para la semana 4. Cubre el siguiente material: Funciones, Dominio,

Rango, Composición de Funciones, Graficaciones, Funciones a trozos, Logaritmo y

exponencial.

1. Halle el dominio de las siguientes funciones:

a) R.

b) R. c) R.

d) R.

e) R.

f) R.

g) R.

h) R.

i) R.

j) R.

2. Sea la Función , Hallar

3. Dada la función

Hallar y Graficar la función.

4. Sea la función

Hallar el Dominio y Grafique. 5. A continuación se presentan varias afirmaciones, justifique si son verdaderas o falsas.

a) Si entonces

b) Si entonces

6. Grafica la función e indica dominio u rango

7. Grafica e indica el dominio de la función:

8. Grafique e indique el dominio de función:

9. Dibuje detalladamente la función

a)

b) Para cada uno de los casos anteriores traslade la función: a) 1 unidad hacia arriba b) 2 unidades hacia abajo

10. Grafica e indica el dominio de la función 11. Grafica la siguiente función, Determine su dominio y rango.


Ejercicios sugeridos para la semana 7. Cubre el siguiente material: Limites

Tome en consideración:

1. Calcule los siguientes límites en el caso que existan y en el caso contrario explique por qué no existen. Tome en consideración el uso de los productos notables, factorizaciones, cambios de variable, identidades trigonométricas y cualquier otra herramienta matemática que le permita resolver cada uno de los ejercicios. Observe bien el ejercicio, reconozca el tipo de indeterminación y luego opere.

a) R. 9/4

b) R.

c) R. 0

d) R. 9/10

e) R.

f) R. -3/2

g) R. -1/4

h) R. 2

i) R. 0

j) R. 2

k) R.

l) R. -2/3

m) R.

n) R. -

o) R. -6

p) R.

q) R. ln(1/ )

r) R.3/4

s) R. 3/2

t) R.0

u) R.

v) R. 0

w) R. -1/3

x) R. 4

y) R. 3/5

z) R.9

2. Calcule los siguientes límites en el caso que existan y en el caso contrario explique por qué no existen.

a) R. 1/128

b) R. -2

c) R. -2

d) R.

e) R. 2/

f) R.4

g) R. 0

h) R.1/2

i) R.

j) R. 0

k) R. 2/3


Ejercicios sugeridos para la semana X. Cubre el siguiente material: Continuidad

1. Dada la función f(x), indique su dominio, grafique detalladamente y calcule a partir de la grafica los limites que se le proponen.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Estudie la continuidad de la función

3. Sean dos constantes, Sea encuentre los

valores de a y b para que f sea continua. R. a=3/8 y b=-13/8

4. Para cada una de las funciones definidas a continuación estudia la continuidad, en el caso de ser discontinua indica el tipo de discontinuidad.

a)

b)

c)

5. Dada halla los valores de a y b para que f

sea una función continua en x=0 y x=1.

R. a=-2, b=1

6. Sea es continua la función en x=2?

R. Si

7. Calule los valores de m y n para que la funcion f(x) sea continua

R. n=-3/7, m=16/7

8. Dada la función de variable real g definida por

a) Donde a y b son constantes, halla los valores de a y b para que la función sea continua.

b) Para los valores de a y b determinados en la parte a determina

R. a) a= -7/4 y b=1/4 b) 1/4

9. Dada la función definida por determine a y b

para que g(x) sea una función continua. R. a=1/3, b=14/3

10. Es la función f definida por continua en x=2?

R. si

11. Sea

a) Es la función Discontinua en x=10? Si es discontinua Clasifica la discontinuidad.

b) Es la función Discontinua en x=-10? Si es discontinua Clasifica la discontinuidad. c) Es posible redefinir la función para hacerla continua en x=10? En caso afirmativo, como podría hacerlo?

12. Sea

a) Indica el dominio de la función. b) Calula los siguientes limites:

1) R. 1

2) R. -13/7

3)

R. 0

4) R.

2

5)

R.

6) R. 1

c)Es f(x) continua en x=1/2? d)Es f(x) continua en x=0 13. Estudie la continuidad de la función definida. En caso de existir puntos de discontinuidad, determinar su naturaleza y si es evitable redefina la función.

14. Estudie la continuidad de la función definida. En caso de existir puntos de discontinuidad, determinar su naturaleza y si es evitable redefina la función.

Actividad Adicional Ejercicios sugeridos para la semana X. Cubre el siguiente material: Límite, Continuidad

Nota: Se recomienda para resolver estos ejercicios luego tener claro el concepto de limite y de

continuidad, no comience a estudiar por esta parte del complemento 6. En caso de tener

alguna duda, recurra a su profesor o al preparador.

A continuación se te presentan algunos ejercicios, en cada uno de ellos Justifica el ERROR presente en el caso de que exista.

1. Si entonces

2. Si entonces

3. Si

4. no existe

5. para toda función f.

6.

7.

8.

9.

10.

11. luego la función es

continua

12.

13.

14.

15.

16.


Ejercicios sugeridos para la semana X. Cubre el siguiente material: Derivadas, Derivada por

Definición, Derivación Implícita, Derivada de funciones Paramétricas.

Antes de comenzar con esta guía recuerde repasar cada una de las propiedades de la derivada,

así como también el concepto de derivada por definición.

1. Calcular la derivad de las siguientes funciones:

a) R.

b) R.

c) R.

d) R.

e) R. f) R.

g) R.

h) R.

i) R.

j) R.

k) R.

l) R.

m) R.

n) R.

o) R.

p) R.

q)

r) R.

s) R.

t) R.

2. Encuentre la derivada de la función de dos maneras. Primero

aplicando las reglas de derivación directamente, y simplificando primero la función para luego derivarla. Que puede observar en ambos resultados?

3. Las funciones hiperbólicas son análogas las funciones Trigonométricas ordinarias, estas funciones pueden escribirse como una suma o resta de funciones exponenciales, a continuación se presentan la función seno hiperbólico y la función coseno hiperbólico en sus respectivas formas exponenciales, derive cada una de ellas y observe.

4. Demuestre que: (Derivación Implícita)

a)

b)

c)

5. A continuacion se presentan algunas funciones parametricas, se pide primera derivada y segunda derivada.

a) b)

c) d)

d) e)

f) g)

h) i) incluir 1 mas

6. Derive

a)

c)

b)

d)

e)

f)

g)

h)

j)

7. Dada la funcion verificar que: . Determine los valores

de K y n. A corresponde al ultimo numero de su cedula de indentidad.


Ejercicios sugeridos para la semana X. Cubre el siguiente material Aplicaciones de la

Derivada (Rectas Tangentes y Normales a las curvas).

1. Obtenga la primera derivada de la curva en el punto P(2,0).

R.4/3

2. Halle las rectas tangente y normal a la curva en el punto

R. y

3. Encuentre una ecuación para la recta tangente a la grafica de

a) en el punto P(0,2) R.

b) en el punto Q(1,2) R.

4. Demuestre que las tangentes a las curvas y son perpendiculares entre si. Sugerencia: use derivación implícita.

5. En un trozo de parábola comprendida entre los puntos P(2,1)y Q(6,25); hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda definida por los puntos dados.

R. (y-9)=6(x-2)

6. Sea R1 la recta de mayor pendiente, tangente a la curva que pasa

por el punto Q(1,0). R2 es la recta normal a la curva en el punto D(1,1). Hallar el ángulo entre R1 y R2.

7. Calcular en que punto la curva la recta tangente a la misma es horizontal. Determine la ecuación de la recta tangente y normal en dicho punto.

R. y=3, x=0

8. Halle la recta tangente a que pasa por el origen de coordenadas y cuyo

punto de tangencia tenga mayor abscisa.

9. Obtenga el ángulo formado entre las curvas en el punto de abscisa y

ordenada positiva.

10. Determine la recta tangente a la curva en el punto P(0,1).

R. y=3x+1

11. Calcular las rectas normales en el punto de abscisa 6. R. y=4x-26, y=-4x+30

12. Dada la curva Hallar la recta tangente en el punto de ordenada

3. R. y-3=4/3(x+1)

13. Calcular los ángulos que formas las curvas y en sus puntos de corte.

R.

Actividad Adicional 1. Contesta razonadamente son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Una función continua en un intervalo es derivable en todos sus puntos del interior. b) Si una función es continua en un punto, entonces es derivable en el punto. c) Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en el punto. d) La función derivada siempre es continua. e) Los polinomios admiten infinitas derivadas.

f) Si una función es derivable infinitas veces, entonces es un polinomio.


Ejercicios sugeridos para la semana X. Cubre el siguiente material Teoremas,

L’Hospital

1. A continuación se presentan algunos ejercicios para que aplique la Regla de L’Hospital, Recuerde esta regla solo se aplica en indeterminación del tipo 0 sobre 0. Sea cuidadoso al aplicarla, primero evalue el límite para luego aplicar la regla.

a) R. 1

b) R. 2

c) R.0

d) R.

e) R.0

d) R.1

e) R.0

f) R.

g) R.0

h) R.

i) R.

j) R.1

k) R.

l) R.

m) R.

n) R.

o) R.

p) R


Ejercicios sugeridos para la semana X. Cubre el siguiente material: Estudio de curvas,

Crecimiento, Máximos y Mínimos.

1. Dada la función Determinar: a) Los intervalos donde la función es creciente y/o decreciente. b) Las coordenadas de los puntos máximos y/o míninos relativos.

R. Creciente

Decreciente

Máximo para x=

2. Estudiar la concavidad de la función

R. f es Cóncava Hacia arriba si

Hacia abajo si

3. Estudie las asíntotas de la siguiente función:

R. No hay asíntotas ni vertical ni horizontal

Asíntota Oblicua

4. Sea la función estudiar el crecimiento, hallar los máximos y mínimos.

5. Estudie las asíntotas de la curva R. No hay asíntotas ni vertical ni horizontal

Asíntotas Oblicuas

6. Dada la función . Determinar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento, también estudie los intervalos de concavidad. R. Creciente en todo su dominio

Cóncava Hacia abajo si

Cóncava Hacia arriba si

7. Estudiar el crecimiento y Hallar las asíntotas de la curva

R. Creciente

Decreciente Asíntota Horizontal y=1

8. Estudiar la concavidad y Hallar las asíntotas de la curva

R. f es Cóncava Hacia arriba si

Cóncava Hacia abajo si

9. Hallar los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión.

R. Cóncava hacia abajo

Punto de Inflexión

10. Dada la función

a) Determinar el crecimiento.

R. Creciente

Decreciente b) Determinar los puntos críticos de la curva.

R. Pmax(1,1) Pmin(3,3) Pinf(-5,2), Pinf(9/2,5)

c) Determinar las asíntotas de la curva.

R. Asíntota Vertical x=2

Asíntota Oblicua

11. Sea la función definida por

Determine: a) Dominio y Simetría b) Puntos de corte con los ejes coordenados c) Asíntotas d) Puntos Críticos e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento f) Estudio de concavidad g) Puntos de Inflexión h) Grafica

12. Sea la función definida por:

Determine: a) Dominio y Simetría b) Puntos de corte con los ejes coordenados c) Asíntotas d) Puntos Críticos e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento f) Estudio de concavidad g) Puntos de Inflexión h) Grafica 13. Sea la función definida por:

Determine: a) Dominio y Simetría b) Puntos de corte con los ejes coordenados c) Asíntotas d) Puntos Críticos e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento f) Estudio de concavidad g) Puntos de Inflexión h) Grafica

14. Grafique y señale los puntos que considere importantes.

Dominio

Ejercicios adicionales: 1. Responda con verdadero o falso, cada una de las siguientes proposiciones , justificando su respuesta.

a) Si f representa un extremo relativo en x=a. b) Si f es continua en x=a, entonces f es derivable en x=a. 2. A continuación se presentan varios gráficos, identifica, crecimiento, concavidad y asíntotas.

Graficador:

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/functions/func.html?y1=%281-

x%29%2F%281-x*x%29&y2=&y3=&y4=&y5=


Ejercicios sugeridos para la semana X. Cubre el siguiente material: Máximos y Mínimos

condicionados, Velocidad y Razón de Cambio.

1. En un edificio en construcción se coloca un elevador para transportar materiales a los diferentes pisos. Cuando el elevador está a nivel del piso, se encuentra un espectador a 60 metros de él, observando que el elevador de carga asciende a razón constante de 15 mts/s. Con que rapidez aumenta el ángulo de elevación del eje visual del espectador, 6 minutos después?

R=

2. Un rio tiene un codo de 45 grados, un granjero desea construir un corral limitado en dos lados por el rio, y en los otros dos por una cerca de 1 km de longitud. Hallar las dimensiones del corral de área máxima.

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/functions/func.html?y1=%281-x%29%2F%281-x*x%29&y2=&y3=&y4=&y5

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/functions/func.html?y1=%281-x%29%2F%281-x*x%29&y2=&y3=&y4=&y5

R. AB=2/3 BC=1/3 CD=1/3

3. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un semicírculo de radio R y centro en el origen de coordenadas.

R. Altura = , Base =

4. Hallar las dimensiones del paralelogramo de lados “a” y “b” de perímetro mínimo si el área es igual a 9/2, siendo a la base y la altura es la mitad del lado “b”.

R. a=b=3 5. Una publicidad debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso, con 4 pulgadas de margen arriba y 2 pulgadas de márgenes a los lados. Que dimensiones debe tener la publicidad para que se gaste menos papel?

R. Largo=18 , Ancho = 9 6. Un hombre tiene 240 metros de cerco para circundar un área rectangular y dividirla en dos partes mediante una cerca paralela a uno de los lados. Qué dimensiones debe tener el rectángulo para que el área cercada sea máxima?

R. Largo = 60, Ancho = 40 7.Encuentre el volumen del cilindro recto más grande que puede inscribirse en una esfera de radio R.

R. V=

8. Se quiere manufacturar una lata cilindrica con capacidad de 2000 . Encuentre las dimensiones que minimizarian el costo del material a ser usado para producir la lata.

R.

9. Hallar, entre todos los triángulos isósceles de perímetro igual a 20, aquel (aquellos) de área máxima.

R. Base=20/3, Lado =20/3

10. De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 50 m. Encuentra el que tiene área máxima.

R. Base = Altura =

11. Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 1 m. Calcula las dimensiones del que tiene área máxima.

R. Largo=Ancho = 12. El perímetro de un triangulo isósceles es igual a 12 cm. Calcule la rapidez de cambio del área con respecto a la longitud x de unos de lados iguales, cuando la longitud del lado x es igual a 5 cm.

R.

13. Una escalera de 8 metros de largo está apoyada contra un muro vertical. Si su base es empujada horizontalmente lejos de la pared a 1 m/s. Con que rapidez resbalará la parte superior de la escalera cuando su base esté a 5 m del muro. R. 0.8 m/s 14. Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p dado, el de máxima área es el cuadrado. 15. Se desean construir cajas de cartón sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm. A los que se les recortan las esquinas como indica la figura , y doblando a lo largo de las líneas punteadas.

a) Determina la longitud x de los recortes para que el volumen de la caja sea máximo, así como también el valor de ese volumen máximo.

R. x=20/3

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