CUADERNILLO MATEMATICA OTRAS CARRERAS …...- Función Lineal - Presentación de funciones...

MATEMÁTICA

LIC. EN ACCIDENTOLOGÍA Y PREVENCIÓN VIAL, LIC. EN GESTIÓN DE SINIESTROS LIC. EN SEGURIDAD

EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIONES, TEC. UNIV. EN BALÍSTICA Y ARMAS

PORTÁTILES, PERITO EN PAPILOSCOPÍA Y CALÍGRAFO PÚBLICO NACIONAL.

CURSO DE INGRESO INTENSIVO

2020

2

IUPFA -‐ CURSO DE INGRESO INTENSIVO 2020 -‐ MATEMÁTICA – OTRAS CARRERAS

Fundamentación:

¿Qué es lo que realmente necesita saber un estudiante para aprender cálculo? Esta pregunta se la formuló el profesor emérito de matemáticas canadiense James Stewart. Y dio una tentativa de respuesta: un estudiante no sólo necesita habilidades técnicas; sino también una clara comprensión de los conceptos –en otras palabras, comprender lo que realmente significan las matemáticas.

Galileo Galilei mencionó allá por fines del 1500 que las matemáticas son el lenguaje en que se ha escrito el universo. Un lenguaje por demás útil al querer modelar situaciones vinculadas -dentro de éste universo cercano- a siniestros, accidentes, crímenes, cuestiones de seguridad, comunicaciones y a dilucidar problemas de la escritura.

Para ello es necesario comprender y no sólo memorizar todas las reglas o hechos que encuentre. Las matemáticas son un arte de resolución de problemas y no simplemente una recolección de hechos, como quizás parezca…

Para dominar los temas deberá resolver problemas y ejercicios. Muchos… J. Stewart decía: haga tantos ejercicios como pueda. Le sugerimos escribir su solución paso a paso de manera lógica. Intente comprenderlos con claridad. Pregunte por sus aplicaciones. Relaciónelo con lo que aprenda de su profesor/a. Una vez que haya hecho esto varias veces, empezará a entender lo que realmente significan las matemáticas: una poderosa herramienta, un lenguaje con el que modelar el mundo que nos rodea.

Si sus respuestas difieren de algunas de las respuestas dadas, no suponga de inmediato que se ha equivocado. Quizás hay un cálculo que relacione las respuestas, haciendo a ambas correctas. Las matemáticas son uno de los mejores ámbitos para aprender del error.

Este Curso de Ingreso Intensivo tiene como objetivo fortalecer los conocimientos de Matemática adquiridos en la escuela secundaria, según sus distintas modalidades. Es un curso para reforzar la base matemática, adquirir competencias que anteriormente no se hayan conseguido o que se hayan olvidado y se necesiten recordar. Y de esta manera lograr una base más sólida con la que poder asimilar mejor los contenidos trabajados en las asignaturas de su carrera.

En términos metodológicos, se organiza cada uno de los 2 (DOS) bloques de 4 (CUATRO) horas como una unidad teórico – práctica que permita un abordaje gradual de los contenidos de la asignatura. Se plantearán actividades donde l@s alumn@s puedan: discutir, escribir, leer y escuchar ideas; buscar, analizar y comunicar datos; analizar y buscar soluciones a dilemas matemáticos; analizar, hipotetizar y resolver situaciones problemáticas y ejercicios.

3


Contenidos:

UNIDAD I: Números Reales.

- Conjuntos que integran los Números Reales (Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales)

- Números Racionales: Expresiones decimales: Exactas, Periódicas Puras y Periódicas Mixtas (pasaje de fracción a decimal). Operaciones básicas en Racionales: Suma, Resta, Multiplicación y División (reglas de signos y propiedades). Potencia y Radicación en Racionales (regla de signos y propiedades). Operaciones complejas: Paréntesis, Corchetes y Llaves (propiedad distributiva y regla de signos)

UNIDAD II: Ecuaciones.

- Ecuación de Primer Grado

- Ecuación de Segundo Grado

- Sistema de Ecuaciones Lineales: Métodos de resolución (Sustitución e Igualación)

UNIDAD III: Números Irracionales.

- Simplificación de radicales

- Extracción de factores fuera del radical

- Operaciones básicas en Irracionales (Suma, Resta, Multiplicación y División)

UNIDAD IV: Expresiones Algebraicas.

- Factoreo de Polinomios: 5 casos (Factor Común, Factor Común en Grupos, Binomio Cuadrado Perfecto, Trinomio Cubo Perfecto, Diferencia de Cuadrados)

UNIDAD V: Número Real – Intervalos y Conjuntos.

- Conjuntos: Definición. Gráfico. Inclusión e Intersección. Unión

- Intervalos. Clasificación: Abierto, Cerrado, Finito e Infinito

- Módulo, valor absoluto. Propiedades

UNIDAD VI: Logaritmos.

- Propiedades

- Cambio de base

UNIDAD VII: Funciones.

4


- Ejes Cartesianos

- Estudio de Funciones: Dominio e Imagen

- Tipo de funciones: Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

- Función Inversa

- Función Lineal

- Presentación de funciones principales (Constante, Hiperbólica, Exponencial, Identidad, Logaritmo, Cuadrática)

Cronograma:

CLASE UNIDAD

BIBLIOGRAFÍA/OTROS

1 Números Reales

El presente cuadernillo teórico - práctico

2 Ecuaciones

3 Números Irracionales

4 Expresiones Algebráicas

5 Número Real – Intervalos y Conjuntos

6 Logaritmos

7 Funciones

9 Clase de repaso previo a la evaluación escrita

Evaluación individual escrita

Bibliografía de referencia:

- PRECÁLCULO Matemáticas para el cálculo. STEWART J, REDLIN L y WATSON S. Editorial Cengage Learning. México (2012).

-

5


RECOMENDACIONES PARA LA CURSADA Como se ha mencionado antes, este curso pretende reforzar la base matemática, que los estudiantes puedan adquirir competencias que anteriormente no se hayan conseguido o que se hayan olvidado y se necesiten recordar.

Se entiende que Matemática es una materia muy compleja y que requiere una ejercitación constante. Cada Unidad utiliza como base la anterior (son del tipo acumulativas) y es por esto que se recomienda realizar todos los ejercicios de la guía y no dejar el aprendizaje para última instancia.

UNIDAD Nro I: Números Reales Los números reales fueron inventados para satisfacer necesidades específicas del ser humano.

Clasificación

Números Naturales (N+)

Son aquellos que sirven para contar, son números “exactos” y además son sólo positivos. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; …

Números Negativos (N-)

Sirven para describir una deuda, pérdida, disminución o decrecimiento. Un número negativo es aquel cuyo valor es “menor que cero”; también son números “exactos”. Por ejemplo: -1; -2; -3; -4; -5; -6; -7; -8; -9; …

Números Enteros (Z)

Este conjunto está conformado por los Números Naturales, Números Negativos y el Cero; siendo así: …; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …

Números Racionales (Q)

Son aquellos que pueden representarse como el cociente de dos o más Números Enteros. Se componen de una “parte entera” y una “parte no entera” a la que se llama fracción o decimal.

También podemos ampliar la definición diciendo que un número racional puede carecer de una “parte no entera” siempre y cuando se pueda expresar como una fracción.

Para que se entienda este concepto daremos un ejemplo: el número 2 se consideraría un “Número Natural” dentro del conjunto de “Números Enteros”; pero si buscamos su equivalencia en

6


fracción, por ejemplo 21

; dicho número se consideraría también “Racional” ya que puede

expresarse como una fracción (su “parte no entera” es igual a cero).

Ejemplos de Números Racionales: -3; 34

− ; -2; 12

− ; - 0,459; 0; 14

; 78

; 1; 122

; 4; 5,603, 8; …

Números Irracionales (R-Q)

Estos números se conforman de infinitos decimales no periódicos y NO pueden ser expresados como fracción, es decir como una división de dos números enteros.

Para que se entienda este concepto utilizaremos de ejemplo “ 2 ” sabiendo que su valor aproximado es igual a: 1,414213562373095… Decimos “aproximado” porque si uno verifica la cuenta 2 en su calculadora, verá que el resultado son infinitos decimales no periódicos por lo que uno termina truncando o redondeando dicho resultado en: 2 1.41≅ .

Otros ejemplos de Números Irracionales son: 5 ; π ; …

Números Reales (R)

Incluyen TODOS los conjuntos mencionados anteriormente. Todos los Números Reales pueden ser representados en una recta numérica.

Ilustración 1: Conjunto de Números Reales (PRECÁLCULO. Matemáticas para el cálculo)

7


Números Racionales Ya hemos aclarado que los mismos se representan como un cociente entre dos o más números enteros, dicho resultado puede ser expresado de dos maneras: como fracción o expresión decimal. A continuación, trataremos ambas:

Expresiones Decimales Éstas se caracterizan por separar la “parte entera” de la “parte no entera” utilizando una coma (,). Las expresiones decimales se clasifican en tres grandes grupos:

Exactas Periódicas Puras Periódicas Mixtas

Tienen un número finito de cifras decimales.

A continuación de la coma presenta una o varias cifras

decimales que se repiten periódicamente (período).

Número menor a 1.

Entre la coma y el período presenta una o varias cifras

que no se repiten (constituyen el ante período).

0,55; 11,6; 2,5; 0,0001; … ∫0,25; 0,1)

; 0,9)

; ... 0,29)

; ∫1,1529; 8,514)

; ...

Fracciones Se caracterizan por ser dos números enteros separados por una barra de fracción (/). El número que se encuentra por encima de la barra de fracción se llama “numerador” mientras que el que se encuentra por debajo de la misma, “denominador”. Las fracciones pueden clasificarse en cinco grandes grupos:

8


Propias Su numerador es MENOR que el

denominador. Su valor es menor que 1. 23

; 35

; 710

; …

Impropias Su numerador es MAYOR que el

denominador. Su valor es mayor que 1. 32

; 53

; 107

; …

Unitarias Su numerador es IGUAL al

denominador. Su valor es igual a 1. 33

; 55

; 77

; …

Decimales Tienen como denominador una

PORTENCIA de 10. 110

; 4100

; 4731000

; …

Mixtas Están compuestas por una parte entera y

una fracción. 123

; 354

; 518

; …

Pasaje de Expresiones Decimales a Fracciones:

Expresiones Decimales Exactas

Se debe colocar la expresión decimal completa “sin la coma” en el espacio del numerador. En cuanto al denominador, el mecanismo será el siguiente:

- Se colocará un “1” por toda la parte entera (aunque haya más de un número).

- Se colocará un “0” por cada parte decimal.

1,5 1510 12,15

1215100

Expresiones Decimales Periódicas Puras

Se debe colocar la expresión decimal completa “sin la coma” en el espacio del numerador. En cuanto al denominador, el mecanismo será el siguiente:

- Se colocará un “9” por cada cifra dentro del período.

59 32

99

9


Expresiones Decimales Periódicas Mixtas

En primer lugar, se coloca la expresión completa “sin la coma” pero a diferencia de los casos anteriores, aquí se realiza una resta utilizando los números que se encuentran fuera del período. En cuanto al denominador, el mecanismo será el siguiente:

- Se colocará un “0” por cada cifra del ante período (siempre hablando de cifras decimales).

- Se colocará un “9” por cada cifra dentro del período.

0314 3990

− = 311990

1157 11990− = 1146

990 = 573495

Pasaje de Fracciones a Expresiones Decimales: El pasaje de fracción a expresión decimal consiste en dividir el Numerador por el Denominador cuantas veces sea necesario hasta llegar al “resto igual a cero”. Es indistinto el tipo de fracción que se utilice, este mecanismo es igual para todas.

12

= 1: 2 =

34

= 3: 4 =

Operaciones básicas en Racionales: Como hemos dicho anteriormente, los Números Racionales pueden representarse de dos maneras: Fracciones y Expresiones Decimales.

Sin embargo, a la hora de realizar cálculos es conveniente utilizar las fracciones ya que en las expresiones decimales la calculadora tiende a truncar o redondear el resultado y genera un mínimo error que en muchas disciplinas puede ser determinante.

Si se decidiera realizar las operaciones con números decimales, es conveniente tomar como recaudo determinar una metodología de trabajo:

- Redondeo: Bien lo dice su nombre, se toma un número con más de dos cifras decimales:

- Si el tercer decimal < 5: el número queda igual. Ejemplo: 2,3165 ≅ 2,31

- Si el tercer decimal ≥ 5: el número aumenta un punto. Ejemplo: 2,3262 ≅ 2,33

10


- Truncamiento: Se basa en “cortar” el número en el segundo decimal sin importar el subsiguiente. Ejemplo: 2,3165 ≅ 2,31 2,3262 ≅ 2,32

Las siguientes operaciones las realizaremos en fracciones por lo mencionado anteriormente.

Suma y Resta

La suma y resta en los Números Racionales tienen el mismo procedimiento:

1° Se debe averiguar el Mínimo Común Múltiplo (MCM), ese será el denominador.

2° Para el numerador dividiremos el MCM por el denominador de cada término y lo multiplicamos por su numerador.

1 43 5−

... ...15−

15.1 15.43 515

−

5 1215−

715

−

4 15 3+

... ...15+

15.4 15.15 315

+

12 515+

1715

Nota: La mecánica para sumar y restar fracciones es la misma, lo que cambia es el signo.

Multiplicación y División

La multiplicación es directa (numerador con numerador y denominador con denominador)

7 5.2 3

7.52.3

356

Recordando que la división es la función inversa de la multiplicación, también podemos decir que es una “multiplicación indirecta”. El mecanismo en este caso será multiplicar por el recíproco de la división (la fracción que divide invierte numerador y denominador).

11


-‐ Regla de Signos

Al multiplicar o dividir números positivos y negativos se debe recordar:

+ Multiplicado por + Es igual a + ( 2).( 3) 6+ + = +

+ Multiplicado por - Es igual a - ( 2).( 3) 6+ − = −

- Multiplicado por - Es igual a + ( 2).( 3) 6− − = +

- Multiplicado por + Es igual a - ( 2).( 3) 6− + = −

Esto se debe a que la MULTIPLICACIÓN de SIGNOS IGUALES da SIEMPRE (+) mientras que la MULTIPLICACIÓN de SIGNOS DIFERENTES da SIEMPRE (-).

Recordemos que la división es una “multiplicación indirecta” por lo cual también está sujeta a esta regla de signo.

Potencia

Recordemos que la potencia es una “sucesión de multiplicaciones” de un número por sí mismo. La cantidad de veces que se multiplica está dada por su exponente.

Cuando un número racional es elevado a una potencia, ésta afecta tanto al numerador como el denominador.

237⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

37

949

312⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

3

12

18

12


-‐ Propiedades

o Distributiva ( )2 2 2. .a b a b= ( )2 2 2: :a b a b=

o Producto de potencias de igual base 2 3 2 (2 3 2). .a a a a + +=

o Cociente de potencias de igual base 3 2 (3 2):a a a −=

o Potencia de potencia ( )32 (2.3)a a=

-‐ Potenciación: Regla de Signos

Base Exponente Ejemplo Potencia

positiva par 2( 2) ( 2).( 2) 4+ = + + = + positiva

positiva impar 3( 2) ( 2).( 2).( 2) ( 4).( 2) 8+ = + + + = + + = + positiva

negativa par 2( 2) ( 2).( 2) ( 4)− = − − = + positiva

negativa impar 3( 2) ( 2).( 2).( 2) ( 4).( 2) 8− = − − − = + − = − negativa

Radicación

La radicación es la operación opuesta a la potencia. El índice revela cuántas veces se debe multiplicar por sí mismo el resultado para obtener el radicando.

Ejemplo: 3 8 2= 32 2.2.2 8= =

Cuando se radica un número racional, esta raíz afecta tanto al numerador como el denominador.

259

259

53

13


3127

3

3

127

13

-‐ Propiedades

o Distributiva . .a b a b= : :a b a b=

o Raíz de raíz (3.2)3 a a=

-‐ Radicación: Regla de Signos

Operaciones complejas en Racionales: paréntesis, corchetes y llaves

Separación en términos

La separación en términos está dada por los signos “+” y “-”

Una vez hecha la separación, se resuelve término por término:

Por último, se puede trabajar de dos maneras diferentes:

Índice Radicando Ejemplo Raíz

impar positivo 3 ( 8) ( 2)+ = + ( 2).( 2).( 2) ( 4).( 2) ( 8)+ + + = + + = + un solo resultado

(positivo)

impar negativo 3 ( 8) ( 2)− = − ( 2).( 2).( 2) ( 4).( 2) ( 8)− − − = + − = − un solo resultado

(negativo)

par positivo 2 ( 4) ( 2)+ = − ó 2 ( 4) ( 2)+ = +

( 2).( 2) ( 4)− − = + ( 2).( 2) ( 4)+ + = +

dos resultados de igual valor y

diferente signo (positivo y negativo)

par negativo NO TIENE SOLUCIÓN en Números Reales

14


1) Sumar y restar según el orden

2) Agrupando positivos y negativos

Paréntesis, corchetes y llaves: regla de signos

Por lo general, se resuelven primero los paréntesis, luego corchetes y por último llaves. Para ello se debe tener en cuenta:

- Si delante se encuentra un signo “ + ”, los signos se mantienen igual.

- Si delante se encuentra un signo “ – ”, los signos se invierten. Esto se debe a que el “ – ” delante está multiplicando cada término por (-1) y en ese caso se aplica la regla de signos de la multiplicación.

De esta manera podemos ver el siguiente ejercicio:

Donde primero “suprimimos los paréntesis” tomando de referencia el signo “ – ”. Teniendo en cuenta la multiplicación por (-1) realizamos la cuenta ( 1).( 2)− + = (-2) y ( 1).( 6)− − = (+6). Entonces en la cuenta quedaría de la siguiente forma:

Luego “resolvemos los corchetes” tomando como referencia el signo “ + ”. En este caso los números se multiplican por (+1) por lo que no cambian su signo, quedando:

Y “las llaves”, tomando nuevamente como referencia el signo “ – ”:

Por último, se resuelven los cálculos agrupando positivos y negativos:

15


O bien puede escribirse así:

Obteniendo:

Nota: Otra manera de hacer estos cálculos, es ir resolviendo las operaciones dentro de los paréntesis, luego corchetes y por último llaves.

o Propiedad Distributiva

Dentro de operaciones complejas con “paréntesis, corchetes y llaves” podemos encontrarnos una multiplicación delante o detrás de los mismos.

En este caso se aplica la “Propiedad Distributiva”, multiplicando cada término dentro del paréntesis, de la siguiente manera:

16


UNIDAD Nro I: EJERCITACIÓN

1) Resolver y clasificar según el conjunto numérico al que pertenecen:

a. 3.3 ( 4).5 2 : ( 2)− + − + − =

b. 3.( 2) ( 12) :3 4.0− + − − =

c. [ ]10 2 (4 2) : 2 8− − − + =

d. ( )2 32 8 : ( 2)− + − − =

e. 3 2 2 0 210 6 ( 28) . 9 4− − − + =

f. 2 30,75 0,3 23 4

⎡ ⎤⎛ ⎞− − + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

)

g. 2 1

33 27 1 3: .( 5)2 8 2 4

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

h. ( )1

32 3 3 42 : 64 .4 27

−⎛ ⎞

⎡ ⎤ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

2) Calcular el valor de las potencias:

a. 131

8⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b. 124

25⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c. 321

4

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

d. ( )238 −

− =

3) Pasar de decimal a fracción:

a. 5,75 =

b. 8,042 =

c. 64,3 =)

d. 28,03 =)

e. 0,76 =))

f. 41,4 =)

UNIDAD Nro II: Ecuaciones

17


Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, las cuales se denominan miembros y se encuentran separados por el signo igual.

Aparecen elementos conocidos llamados “datos” y desconocidos, “incógnitas”. Estos elementos se relacionan mediante operaciones matemáticas. Por lo general la incógnita se representa con la letra “x” (aunque puede ser utilizada otra letra).

El objetivo principal de una ecuación es hallar el valor de x que sea válido para mantener la igualdad: a ese valor se lo llamará solución o raíz.

La ecuación tiene una sola regla: mantener la igualdad. Es así que podemos realizar un sinfín de operaciones siempre y cuando no alteremos esta regla.

Algunas propiedades para mantener la igualdad pueden ser:

• Sumar o restar el mismo dato en ambos miembros de la ecuación.

(2 5) 3 7 3x − + = + 3 2 6 2x − = −

• Multiplicar o dividir el mismo dato en ambos miembros de la ecuación.

( 3).2 7.2x + = 3 63 3x=

Es así, que para poder mantener esta igualdad debemos realizar la operación en ambos miembros, pero teniendo en cuenta las propiedades de cada operación (vistas en la UNIDAD I).

Ecuaciones de Primer Grado o Lineales

Es el tipo más sencillo de ecuación. Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la incógnita está elevada a la potencia 1, es decir que su exponente es 1 (x¹ = x). De esta manera, al resolver la ecuación obtendremos una sola solución o raíz.

Si igualamos el segundo miembro a cero, se obtiene este formato:

a . x + b = 0

18


Siendo “a” y “b” números reales y “x” la variable.

La manera de resolver una ecuación de primer grado es despejar la incógnita. Esto significa “dejar a la X sola” de un lado del igual (primero o segundo miembro da igual) y “pasar” todos los datos hacia el otro lado.

Si dentro de la ecuación hubiera dos o más términos que incluyeran “x”, primero se deben unificar en uno solo.

Lo mismo ocurre con los “datos” (si hubiera operaciones disponibles siempre es recomendable realizarlas primero).

o Reglas básicas para pasar términos: las operaciones pasan como sus opuestas.

Lo que está sumando pasa restando

Lo que está restando pasa sumando

Lo que está multiplicando pasa dividiendo

Lo que está dividiendo pasa multiplicando

Las potencias pasan como raíces

Las raíces pasan como potencias

Nota: es importante en las ecuaciones recordar la “separación en términos” y el respetar el uso de “paréntesis, corchetes y llaves”.

19


Ya teniendo esto en cuenta, se procede a resolver la ecuación:

Separando en términos

Resolviendo las operaciones posibles

Unificando datos e incógnitas

Y despejando según corresponda

9 76 13x = − +

( 63) : 9x = −

Para así, lograr el resultado 7x = −

Si queremos estar seguros del resultado obtenido, podemos verificarlo colocando el valor de “x” en la ecuación inicial.

[6.( 7) 2.6 1 3.( 7)]: 2 38− − − + − = −

[ 42 12 1 21]: 2 38− − − − = −

[ 76]: 2 38− = −

38 38− = −

Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas

Se dice que una ecuación algebraica es de segundo grado cuando la incógnita está elevada al cuadrado, es decir que su exponente es 2: “ x² ”. De esta manera, al resolver la ecuación se obtienen dos resultados: los dos valores que harán que “x” mantenga la igualdad en la ecuación

Muchas veces las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse al factorizarse (ver UNIDAD IV: Expresiones Algebraicas)

A diferencia de la Ecuación de Primer Grado, sólo despejando no obtendremos los resultados.

Una ecuación cuadrática se encuentra formada por tres tipos de términos, representándolos de la siguiente forma:

20


a . x² + b . x + c = 0

Siendo “a” el término que acompaña a la “x²”, “b” el que acompaña a la “x” y “c” el término independiente (sin “x”).

La manera de resolver este tipo de ecuación es “agrupar” los datos y cada incógnita por su grado (X¹ y X² de forma separada). Una vez logrado esto, se debe “igualar” a cero, para obtener los valores de “a”, “b” y “c”.

“a” = - 2 “b” = 14 “c” = - 24

Nota: recordar que el término también tiene signo + ó –

Por último, se debe aplicar la siguiente fórmula:

Reemplazamos en la fórmula:

Y resolvemos

21


Para asegurarnos que la ecuación fue resuelta con éxito, ambos valores de “x” deben mantener la igualdad.

x�) 22.4 16.4 34 2.4 10− + − = −

32 64 34 8 10− + − = −

2 2− = −

x�) 22.3 16.3 34 2.3 10− + − = −

18 48 34 6 10− + − = −

4 4− = −

Sistema de Ecuaciones Para situaciones donde tenemos más de una incógnita utilizaremos los Sistemas de Ecuaciones. Se denomina así a un conjunto de una o más ecuaciones.

La característica de estos sistemas es que poseen la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas.

Para poder resolver el sistema existen cinco métodos de resolución, nosotros utilizaremos solo dos: Sustitución e Igualación.

Tener en cuenta que con la utilización de estos métodos solo generaremos una ecuación de primer grado o lineal para así, poder resolverla fácilmente.

Método de Sustitución

Este método se basa en sustituir un valor por otro. Para que se entienda ejemplificaremos:

Teniendo un sistema de DOS ecuaciones con DOS incógnitas:

22


Procedemos a “despejar” una incógnita (X ó Y) en UNA de las ecuaciones (cualquiera de las dos).

Sustituir la incógnita despejada (en este caso X) dentro de la otra ecuación.

Resolver la ecuación de primer grado obtenida.

7 35. 92 2

y y⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

35 15 92 2

y y− − =

35 1592 2

y y− = +

17 172 2

y=

1y =

Reemplazar el valor de “y” obtenido en una de las ecuaciones iniciales (cualquiera de las dos).

Como toda ecuación, para determinar que está bien resuelta, debemos reemplazar los valores obtenidos de “x” e “y” y ver que la igualdad se mantenga. Para mayor seguridad se pueden reemplazar los valores en ambas ecuaciones iniciales.

2.2 3.1 7+ = 5.2 1 9− =

23


Método de Igualación

Este método se basa en igualar dos valores, para ello veremos el siguiente ejemplo:

Teniendo un sistema de DOS ecuaciones con DOS incógnitas:

Procedemos a “despejar” una incógnita (X ó Y) en las DOS ecuaciones (tener en cuenta que, en ambas, debe ser la misma incógnita la que se despeje). En este caso será “Y”.

Igualar las dos incógnitas despejadas.

Resolver la ecuación de primer grado obtenida.

Reemplazar el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales (cualquiera de las dos).

Por último, verificar la ecuación.

2.2 3.1 7+ = 5.2 1 9− =

24


UNIDAD Nro II: EJERCITACIÓN

1) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita:

a. 2 3 25 2 7x + = −

b. 3.(2 1) 5: ( 5) 22x x− + − − = − −

c. 1 153 3x +

= −

d. 4 6.( 2) 4.( 2)x x x+ + = − +

2) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas:

a. 2 5 6 0x x− + =

b. 2x x= −

c. 24 12 9 9x x+ − = −

d. ( ) ( )6 . 6 8 1 4x x x+ − − = −

3) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Sustitución:

a. 2 5 94 2

x yx y− = −

+ = b. 4 3 107 2 3x yx y+ =

− =

4) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Igualación:

a. 4 66 3 0x yx y− = −

+ = b. 5 2 112 5 13x yx y− =

− − =

UNIDAD Nro III: Números Irracionales

El conjunto de números irracionales tiene infinitas cifras decimales no periódicas, siendo esto un gran inconveniente para poder realizar operaciones matemáticas y que éstas resulten lo más exactas posibles.

25


Sin embargo, existe la opción de trabajar con radicales, utilizando las propiedades de la potenciación y de la radicación.

Simplificación de radicales Los índices de las raíces se pueden simplificar con los exponentes de los radicandos, siempre y cuando sean divisibles por un mismo número.

Por ello es conveniente escribir el radicando en función de sus factores (números que multiplicándose entre ellos dan lo dan por resultado).

Lo ideal es que los factores sean números primos, de esta manera se evitan errores (recordemos que un número primo es aquel que sólo es divisible por 1 y por sí mismo). Algunos números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23, etc.

Pondremos como ejemplo el número 180:

Al realizar la división por números primos, podemos decir que: 180 = 2².3².5

Entonces, para la simplificación de radicales, como vemos en el siguiente ejemplo, solo debemos factorizar el radicando (colocarlo en función de la multiplicación) y luego dividir el índice de la raíz por los exponentes (siempre y cuando sea posible).

Extracción de factores fuera del radical Al igual que en la simplificación de radicales, en este caso también es conveniente factorizar el radicando.

Para extraer factores de la raíz se debe “dividir” el exponente del radicando por el índice de la raíz, de la siguiente manera:

26


Nota: La extracción de factores (sacar factores fuera de la raíz), es posible solo si el número del exponente es mayor al índice de la raíz.

Otra manera, aunque lleva más pasos, es utilizar las propiedades de la radicación y de la potenciación. Una vez factorizado el número podemos descomponerlo como la sumatoria de exponentes, siendo en este caso:

Recordamos que, en la potenciación, la suma de exponentes se puede traducir en la multiplicación de las bases siempre que sean iguales, teniendo así:

Como la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación, entonces podemos decir que:

Por último, solo debemos simplificar índice de la raíz con exponente de la potencia.

Quedando así:

Lo que nos da por resultado:

Operaciones básicas en Irracionales (Suma, Resta, Multiplicación y

División)

Suma y Resta

Para sumar o restar radicales, éstos deben ser semejantes (mismo índice y radicando)

27


2 5 5 5 3 5+ − ( )2 5 3 5+ − 4 5

Multiplicación y División

Cuando los radicales tienen el mismo índice se procede a multiplicar o dividir solo sus radicandos.

3 3 34. 4. 4 3 4.4.4 3 64 64

9 54 4:a a 9 54 :a a 44 a a

En caso de no poseer el mismo índice se debe calcular el mínimo común índice entre ambos radicales.

Una vez obtenido el mínimo común índice, se procede a dividirlo por los índices de los radicales originales y ese valor multiplicarlo por la potencia de cada uno de sus radicandos.

UNIDAD Nro III: EJERCITACIÓN

1) Simplificar radicales:

a. 9116

+ = b. 6 4259x y =

28


c. 15 10

1520

32x yz

= d. 4 16 1220 x y z =

2) Extraer factores fuera de las raíces:

a. 4 225b m =

b. 3 4 6 532a b c =

c. 11 10 6

32

512z y xx

=

UNIDAD Nro IV: Expresiones Algebraicas

Se denomina expresión algebraica a toda expresión en la que se incluyen y combinan:

- Operaciones matemáticas.

- Números.

- Variables (o partes literales).

Las expresiones algebraicas pueden clasificarse de varias formas, una de ellas es dependiendo su cantidad de términos:

• Monomio: Es una expresión algebraica “entera” que consta de UN solo término (mono: uno; nomio: término). Ejemplos: x² 6 -3m³n

• Polinomio: Son sumatorias indefinidas de al menos un monomio (sumas y restas).

• Cantidad de términos de un polinomio:

P(x) x + 3 P (x) es un polinomio de 2 términos o monomios. Se lo llama Binomio

R(x) - x² + 3x - 5 R(x) es un polinomio de 4 términos o monomios. Se lo llama Trinomio.

Q(x) 4x³ - 5x² + x – 3 Q(x) es un polinomio de 4 términos o monomios. Se lo llama Cuatrinomio.

29


También podemos clasificar las expresiones algebraicas según su grado, entendiendo que el grado de un polinomio es el exponente más alto al que está elevada la variable.

P(x) X – 5 Grado 1

Q(x) x³ + 4 Grado 3

S(x) 5x³ - 3x² + x + 9 Grado 3

Hablamos también de una expresión algebraica completa cuando se encuentran presentes los términos correspondientes a todos los exponentes de una variable.

Q(x) X² + 10 Incompleto (falta el término correspondiente a x)

R(x) x³ + x – 5 Incompleto (falta el término correspondiente a x²)

T(x) 5x³ - 3x² + x + 9 Completo (posee los términos pertenecientes a todos los exponentes de la variable x)

Por último, podemos clasificar las expresiones algebraicas según su orden, entendiendo que se encuentran ordenadas cuando se escriben de mayor a menor exponente.

B(x) 6 – x³ Desordenado

D(x) x³ - 1 Ordenado

G(x) x³ + x + 6 Ordenado

Factoreo de Polinomios: 5 Casos

Factorizar un polinomio significa expresar al polinomio como el PRODUCTO de dos o varios monomios, binomios, trinomios, etc.

¿Cómo factorizar un polinomio? Hay SEIS maneras básicas de factorizar un polinomio. En esta guía sólo trabajaremos las siguientes cinco:

30


1° Caso: Factor Común

Debe haber “algo” en común en TODOS los términos del polinomio. Este “algo” en común puede ser un dato (número) o variable (letra).

Cuando hablamos de un dato nos referimos a un divisor en común, mientras que si contamos con una variable, es la letra que se repite en cada término.

Ejemplo con dato en común:

P(x)= 16x³ + 8x² - 2x +4 Cada término del polinomio tiene en común un dato (múltiplos de 2)

P(x)= 2 . (8x³ + 4x² - x + 2) De esta manera queda el polinomio factorizado.

Ejemplo con variable en común:

Q(x)= 3x³ + x² - x Cada término del polinomio tiene en común una variable (letra “x”)

Q(x)= x . (3x² + x – 1) De esta manera queda el polinomio factorizado.

Nota: tendremos casos donde el factor común esté dado por variables y datos en conjunto.

2° Caso: Factor Común en Grupos

Como primera medida a tener en cuenta: el polinomio debe tener un número par de términos (con un mínimo de 4 términos) para poder aplicar este caso de factoreo.

El método es similar al 1° Caso, en realidad es como separar el polinomio en dos grupos y luego aplicar en cada una de ellas el factor común.

Para “partir” el polinomio en dos se debe tener en cuenta que en cada grupo se debe poder aplicar factor común.

Por último, se deben “unir” estas dos partes, para ello se vuelve a realizar Factor Común (siendo que el factor en común es 5y – 2x³).

31


3° Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto

Es requisito obligatorio que el polinomio debe tener TRES términos, sino no puede aplicarse este caso.

Al recordar la fórmula del Cuadrado de un Binomio, vemos que: (a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Este caso de factorización consiste en asegurar que un polinomio de 3 términos sea equivalente a un binomio elevado al cuadrado, y luego escribir el polinomio como un Binomio al Cuadrado.

Como hemos mencionado antes, es requisito que el polinomio tenga tres términos (ni más ni menos), y que dos ellos deben ser estar elevados al cuadrado.

Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo:

√ √

3x 5 bases del Binomio (“a” y “b”)

A tener en cuenta: cada raíz cuadrada tiene doble resultado (como hemos visto en la Unidad I), por lo tanto las bases serán: “+3x”; “-3x”, “+5”. “-5”.

Habiendo corroborado esos dos términos, nos queda un tercero. Volviendo a la fórmula, podemos ver que dicho término se da de la multiplicación de las bases:

2.a.b 2.3x.5 30x

2.a.b 2.(-3x).(-5) 30x

Al verificarse, entonces decimos que:

R(X)= 9x² + 30x + 25 = (3x + 5)² ó [(-3x) + (-5)]²

Nota: si el tercer término correspondiente a la multiplicación de sus bases es negativo, alguna de ellas también debe serlo. Para ello cambiaremos el ejercicio para ejemplificar:

Q(X)= 9x² - 30x + 25

Entendiendo que sus bases son nuevamente “+3x”; “-3x”, “+5”. “-5”, pero que en este caso su multiplicación debe dar como resultado “-30x”, veremos cómo cambia el proceso:

2.a.b 2.3x.(-5) - 30x

32


2.a.b 2.(-3x).5 - 30x

Al verificarlo, en este caso el resultado será:

Q(X)= 9x² - 30x + 25 = [3x + (-5)]² ó [(-3x) + 5]²

4° Caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto

Es requisito obligatorio que el polinomio debe tener CUATRO términos, sino no puede aplicarse este caso.

Al recordar la fórmula del Cubo de un Binomio, vemos que: (a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² +b³

Este caso consiste en asegurar que un polinomio de 4 términos sea equivalente a un binomio elevado al cubo, y luego escribir el polinomio como un Binomio al Cubo.

Como hemos mencionado antes, es requisito que el polinomio tenga cuatro términos (ni más ni menos), y que dos ellos deben ser estar elevados al cubo.

Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo:

³√ ³√

x 2 bases del Binomio (“a” y “b”)

Habiendo corroborado esos dos términos, nos quedan dos más. Volviendo a la fórmula, podemos ver que dichos términos se dan de la multiplicación de las bases:

3.a².b 3.x².2 6x²

3.a.b² 3.x.2² 12x

Al verificarse, entonces decimos que:

Q(x)= x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³

Nota: a diferencia de las potencias pares (como en el caso anterior), las potencias impares dan un solo resultado (positivo o negativo dependiendo del número inicial).

Pondremos de ejemplo un polinomio donde la raíz sea negativa.

Q(x)= x³ - 6x² + 12x - 8 = (x + 2)³

33


En este caso las raíces serán “x” y “-2”.

Veamos como cambia el proceso de verificación:

3.a².b 3.x².(-2) - 6x²

3.a.b² 3.x.(-2)² 12x

Al verificarlo, en este caso el resultado será:

Q(x)= x³ - 6x² + 12x - 8 = (x - 2)³

5° Caso: Diferencia de Cuadrados

Este caso es el más fácil de reconocer, ya que las condiciones son que el polinomio tenga DOS términos, que cada término esté elevado al cuadrado; y que ambos términos estén separados por una resta.

Para resolver este tipo de casos se debe encontrar las bases de cada término (realizar su raíz cuadrada).

Bases: √4x² = 2x √9 = 3

Por último, se debe escribir el resultado como la suma de las bases, multiplicado por la resta de las mismas.

UNIDAD Nro. IV: EJERCITACIÓN

1) Factor Común. Resolver:

a. 4 212 8 4x x− − =

b. 3 25 3 7x x x− − =

c. 2 3 2 414 16 4m n mn n+ − =

d. 3 3 2 48 5x y x y− =

2) Factor común en grupos. Resolver:

a. 2 2 2 2a x b x a b+ + + = b. 2 27 7x xy xz y z− + − + − =

34


c. 6 4 22 2x x x+ − − = d. 6 4 23 6 4 8x x x− − + =

3) Trinomio, cuadrado perfecto. Resolver:

a. 24 4 1x x− + =

b. 29 24 16x x+ + =

c. 24 12 9x x− + =

d. 10 52 1x x− + =

4) Cuatrinomio, cubo perfecto. Resolver:

a. 3 23 3 1x x x− + − =

b. 3 227 54 36 8x x x− + − + =

c. 3 29 27 27x x x− + − =

d. 3 26 12 8x x x− + − =

5) 5° Caso de Factoreo. Resolver:

a. 2 4x − =

b. 416 m− + =

c. 464 1x − =

d. 2 24a b− + =

6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda (nombrar el caso utilizado):

a. 2 23 6 5 10ax ay x y+ + + =

b. 4 1a − =

c. 2 2 49 12 4m mn n+ + =

d. 2 4 2 32 4 6ab b a b+ + =

e. 3 2 2 4 6125 225 135 27m m n mn n− + − =

UNIDAD Nro. V: Número Real

Conjuntos Numéricos

Definimos conjunto como una agrupación de “algo: objetos; personas; animales; o, en el caso de Matemática; números que comparten una propiedad en común.

Existen dos maneras de definir un conjunto:

35


-‐ Por extensión: Nombrando, uno por uno, a todos los elementos del conjunto (separados por “;”).

-‐ Por comprensión: Diciendo las propiedades, “pautas” o “condiciones” que deben cumplir dichos elementos.

Entonces, si tenemos un conjunto formado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y llamamos a este conjunto “A”. Se define:

-‐ Por extensión: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

-‐ Por comprensión: A = {x/x Є N, x < 10}

Para entender qué significan estos símbolos matemáticos, debemos tener en cuenta el siguiente cuadro:

/x x : “Todos los valores de x tal que…” ∪ : Unión

N: Es el “Conjunto de los números naturales” ∩ : Intersección

∈: “Pertenece a…” ⊂ : “Está incluido en …”

〉 : “Es mayor que…” 〈 : “Es menor que…”

≥ : “Es mayor o igual que …” ≤ : “Es menor o igual que …”

∧ : y ∨ : o

Los conjuntos pueden graficarse, y para ello la manera más utilizada es el Diagrama de Venn. En el mismo se dibuja una curva cerrada con los números dentro, cada número acompañado de un pequeño punto. Esta gráfica nos sirve para visualizar de una manera más sencilla las interacciones entre conjuntos.

36


Inclusión, Intersección y Unión de Conjuntos

Entre dos o más conjuntos se puede dar ciertas interacciones, esto quiere decir que tal vez compartan algunos números o todos, o que todos los datos de un conjunto se encuentren dentro de otro.

-‐ Inclusión: , donde el conjunto B está incluido dentro del conjunto A

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

B = {1; 2; 3}

-‐ Intersección: , donde el conjunto B y el conjunto A compartan números. En otras palabras, que se dé la condición: = {x/x ЄA ˄ xЄB}

A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B = {5; 6; 7; 8; 9}

= {5; 6}

-‐ Unión: , donde el conjunto B y el conjunto A se unifiquen formando un nuevo conjunto.

, donde:

A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B = {5; 6; 7; 8; 9}

= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Intervalos

37


Los intervalos numéricos están dados por inecuaciones (representada con los símbolos < > ≤ ≥ ya que los resultados no son exactos, sino que son infinitas variables acotadas).

Existen tres maneras de expresar un intervalo:

-‐ Gráfico: se dibuja una recta numérica y se delimita el intervalo

-‐ Lenguaje simbólico: utilizando los símbolos < > ≤ ≥

-2 < x < 1

-‐ Intervalo: Utilizando paréntesis () o corchetes [] según corresponda

(-2 ; 1)

Nota: Debemos tener en cuenta que para los signos “> <” corresponde utilizar los paréntesis () ya que no se “incluye” al número del extremo; mientras que para “≥ ≤” corresponden los corchetes [] ya que dicho número se encuentra “incluido” dentro del intervalo.

De esta manera podemos mencionar la clasificación de intervalos en:

o Abierto: los valores de los extremos no están incluidos dentro del intervalo.

o Cerrado: los valores de los extremos están incluidos dentro del intervalo.

o Semi-abierto: un valor de los extremos está incluido dentro del intervalo y el otro no.

38


o Finito: los intervalos tienen principio y fin (se encuentran acotados).

o Infinito: intervalos donde solo se conoce el principio o el fin.

Módulo, valor absoluto. En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). De esta manera podemos decir:

x si x ≥ 0

|x| =

-x si x < 0

A modo de ejemplo podemos dar: |3| = +3 | -3| = - (-3) = +3

Al representarlo como una inecuación, el módulo posee dos propiedades importantes, siendo estas:

-‐ |x| ≤ k - k ≤ x ≤ k |x| ≤ 3 -3 ≤ x ≤ 3

-‐ |x| ≥ k x ≥ k ó x ≤ -k |x| ≥ 5 x ≥ 5 ó x ≤ -5

Así, los módulos también pueden representarse como intervalos, siendo los siguientes casos:

|x| ≤ 3 -3 ≤ x ≤ 3 [-3;3]

|x| ≥ 5 x ≥ 5 ó x ≤ -5 (-∞ ; -5] ó [5 ; +∞)

39


UNIDAD Nro V: EJERCITACIÓN

1) Representar los siguientes intervalos en la recta numérica.

a. (-1;5)∪ (3;10) =

b. (-5;8)∪ [3;9] =

c. (-8;0]∪ (3;12]

d. (3;6)∩ [5;20)

e. [-6;2)∩ [0;+∞ )

f. (7;25]∩ [-1;10)

2) Demostrar los intervalos del punto 1) en lenguaje simbólico.

3) Clasificarlos.

4) Representar los siguientes módulos en la recta numérica.

a. 4x ≥

b. 1x ≤

c. 3x ≥ −

d. 2x ≤ −

5) Demostrar los módulos del punto 4) en lenguaje simbólico.

UNIDAD Nro. VI: Logaritmos Para entender a qué llamamos logaritmo se debe explicar primero que el mismo es una función inversa de la exponencial y para ello debemos hablar sobre esta. Se trata de una función donde la variable se encuentra como exponente: ( )

xxf n=

Entendiendo que “n” puede ser cualquier número distinto a cero y que “x” dependerá de los valores que se le den, podremos ver que dicha función crecerá de una forma gigantesca.

La función exponencial nos permite representar un sinfín de fenómenos de la vida real, como crecimientos de la población, o de inversiones, o de cultivos, entre otros. Sin embargo, si queremos ver en detalle dicha representación, o cómo debemos actuar ante estos crecimientos, utilizaremos su función inversa, el logaritmo.

40


Entonces, el logaritmo de base “b” de un número positivo “a”, nos dará un resultado “c”.

Para poder resolver un logaritmo y determinar su resultado, debemos entender la potenciación; ya que aquel valor “c” será el que exponencie a “b” para que nos devuelva el valor “a”.

Llevándolo a un ejemplo, tendremos:

Propiedades de los logaritmos

o El logaritmo de un producto: es la suma de los logaritmos (manteniendo las bases)

log (5.2) = log 5 + log 2

o El logaritmo de un cociente: es la resta de los logaritmos (manteniendo las bases)

log (5/2) = log 5 – log 2

o El logaritmo de una potencia: el exponente pasa a multiplicar como constante al logaritmo

log 10³ = 3. log 10

Nota: En este caso debemos recordar que la radicación es una forma indirecta de la potencia ya que √x = x¹ʹ². Entonces

log √2 = log 2¹ʹ² = 1/2 . log 2

Cambio de base

Cuando no sea posible realizar operaciones entre logaritmos (ya que no tienen la misma base), debemos generar un cambio de base.

41


Para eso genero una división entre el logaritmo original (con la nueva base “c”) y un segundo logaritmo donde coloco la base anterior.

Este cambio es conveniente sólo si veo que los resultados de los logaritmos son factibles, ya que si equivoco la nueva base, de nada servirá el esfuerzo.

UNIDAD Nro VI: EJERCITACIÓN

1) Aplicando propiedades, resolver:

a. 5 5log 45 log 9− =

b. 2 4

1 1log8 2 .8⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c. 32 log 9 =

d. 439log1 81

=

2) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades

a. 10 10 1012log 4 2log 5 log 162

+ − =

b. 10 10 10 10 101log 7 log 3log log 5 log2

a b c+ + + + =

c. ( )2 2 21 1log log log3 2

a b c+ − =

d. 3 3 3 31log 5 3log log 4 log2

x y+ − + =

3) Utilizando cambio de base, resolver los siguientes ejercicios sabiendo que: log 2 3≅

a. 2log 10 =

42


b. 15

log 32 =

c. 5log 2 = 1

UNIDAD Nro VII: Funciones

Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto.

Las funciones tienen una representación gráfica, así que comenzaremos por hablar sobre ello.

Ejes Cartesianos Corresponde a un par de rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en un punto 0 de ambas rectas. Este punto se llama “de origen” y se simboliza con el “0”.

La recta horizontal se llama “eje x” mientras que la vertical, “eje y” (si hablamos de ejes en tres dimensiones también tendremos al “eje z” aunque en esta guía no lo trataremos). Los ejes dividen el plano en cuatro partes o “cuadrantes”.

43


Si queremos graficar un punto P en el plano cartesiano, debemos tener en cuenta que dicho punto es un par ordenado, donde la primera parte corresponde al “eje x” y la segunda al “eje y”.

P= (2 ; -3) P= (-5 ; 6)

Recordemos entonces que una función está compuesta por miles de puntos, los cuales corresponden a valores que se le dan a “x” y que al reemplazarlos, obtenemos los valores de “y”. Por ejemplo: ( ) 2.xf y x= =

Valores que adoptará “x” Operatoria Resultado: valor de “y”

-2 2.(-2) -4

-1 2.(-1) -2

0 2.0 0

1 2.1 2

2 2.2 4

Este mismo procedimiento se aplicará a todo tipo de funciones, generando primero los puntos y luego, graficándolos para obtener las mismas.

44


Estudio de Funciones

Como hemos mencionado anteriormente, una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, entonces diremos que:

Teniendo dos conjuntos A y B, distintos de cero y donde para cada elemento x � A existe un único elemento de y � B, podemos decir que f(x) = y; donde f(x) es “función”.

Definición de función

Para que “f” sea una función (de A en B) debe satisfacer las condiciones de existencia y unicidad:

• , / ( )a A b B a b f∀ ∈ ∈ ∧ ∈ (existencia)

Para cada valor del conjunto A debe EXISTIR un valor perteneciente al conjunto B

• ( ) ( )a b f A a c f b c∧ ∈ ∧ ∈ ⇒ = (unicidad)

Cada valor del conjunto A debe tener SOLO UN VALOR perteneciente al conjunto B

Funciones principales

A continuación, se presentan las funciones principales o mayormente utilizadas en la materia.

45


Función Lineal:

f(x) = y = mx + b

ejemplo: y = 2x - 1

Función Cuadrática:

f(x) = y = ax² + bx + c

ejemplos: y = x² + 2 ; y = x² ; y = x² + 2x -1

Función Cúbica:

f(x)= y = x³

Función Racional:

f(x) = y = n/x

ejemplo: y = 1/x ; y = 2 / (x + 3)

Función Radical:

46


Cuadrada f(x) = y = √x

ejemplos: y = √x ; y = √(2 – x)

Cúbica f(x) = y = ³√x

Ejemplos: y = ³√x ; y = ³√(x + 2)

Función Logarítmica:

f(x) = y = log x

ejemplo: y = log x

Función Exponencial:

f(x) = xy n=

ejemplo: 2xy =

Función Módulo:

f(x) = y = |x|

ejemplo: y = |x|

El estudio de funciones es una herramienta muy utilizada ya que nos permite entender una serie de variaciones. En este caso aparecerán diferentes elementos, tales como Dominio, Imagen, Asíntotas, Máximos y Mínimos, Positividad y Negatividad, y muchos otros más. En esta guía intentaremos refrescar solo algunos.

47


Dominio e Imagen

o Dominio: El conjunto de los valores de “x”, pertenecientes al conjunto A, para los que corresponde algún valor de “y”, pertenecientes al conjunto B, se llama dominio de la función.

o Codominio: El conjunto de los valores del conjunto B (que provienen o no de algún valor x) puede o no pertenecer al dominio de la función. En el caso que pertenezca al dominio de la función, se lo llama imagen de la función.

No siempre el Dominio de una función son todos los números Reales.

No siempre la imagen f (x) = Codominio

Por tal motivo, debe definirse previamente el Dominio y el Codiminio para luego evaluar cómo se comporta una función (o relación)

f(x) = y = x Dom f(x)= R Codominio= Im(fx)

Nota: no todas las funciones tienen Dominio e Imagen en todos los Reales, existen excepciones (funciones racionales, funciones radicales (índice par), funciones logarítmicas, entre otras).

Funciones Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Las funciones también pueden clasificarse según su Dominio e Imagen, entonces decimos que pudieran o no, ser inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

o Función Inyectiva: f(x) es inyectiva siempre que y Є A y ≠ ; dando así f( ) ≠ f( ).

En otras palabras, para un valor de “y” no pueden existir dos o más valores de “x”, si esto sucede la función ya no es Inyectiva (siendo los casos de la función cadrática y módulo).

Para darnos cuenta fácilmente, podemos trazar una línea horizontal en el gráfico y si el mismo se corta en dos puntos, la función no es inyectiva.

48


o Función Sobreyectiva: Una función f(x) es sobreyectiva si toda y Є B tiene al menos un elemento x del conjunto A.

Esto quiere decir que el valor de “y” debe existir en todo el eje cartesiano (la imagen de una función debe ser igual a todos los números Reales). En otras palabras, cuando el Codominio = Im f(x). Si todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio, entonces la función es sobreyectiva.

Ejemplos de funciones que no son sobreyectivas: cuadrática, racional, radical (cuadrática), logarítmica, exponencial, módulo.

o Función Biyectiva: Una función f(x) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Función Inversa

49


Toda función biyectiva tiene función inversa. La función inversa se genera invirtiendo el Dominio (valores de “x”) por la Imagen (valores de “y”).

Si tomamos, por ejemplo, la siguiente función: f(x) = y = 2x – 3

Su tabla de valores será:

Mientras que la función inversa tendrá los valores invertidos:

Para obtener la fórmula 1( )xf y− = debemos realizar los siguientes pasos:

Despejar la variable “x” (como si resolviéramos una ecuación de primer grado)

y = 2x – 3 y + 3 = 2x (y + 3) : 2 = x

Una vez despejada “x” se deben renombrar las variables (la “x” pasa a llamarse “y” y viceversa).

y = (x + 3) : 2 1( )( 3) : 2

xf y x− = = +

Al reemplazar los valores de “x” por la tabla verificamos que coinciden, por lo tanto, es la función inversa.

X Y

2 1

1 -1

0 -3

-1 -5

-2 -7

X Y

1 2

-1 1

-3 0

-5 -1

-7 -2

50


Al graficarse veremos cómo ambas funciones se cortan en un punto y una es “espejo” de la otra.

Función Lineal

Dentro de las funciones mencionadas anteriormente, nos detendremos a analizar la función lineal. La fórmula de esta es ( )xf y mx b= = + ; siendo “m” el número que multiplica o acompaña la

variable “x” y “b”, el término independiente (solo un número).

A su vez, si quisiéramos graficar la función lineal existen dos maneras: la primera que la hemos explicado al inicio de esta unidad (dar valores a “x” para determinar los de “y” y luego graficar los puntos), y la segunda que corresponde a propiedades de la función lineal.

Para entender la segunda manera de graficar debemos mencionar que:

- “m” corresponde a la pendiente de la función

- “b” es la ordenada al origen

En otras palabras, esto quiere decir que “m” indicará la inclinación de la función (si es positiva la gráfica será /, mientras que, si es negativa, \) mientras que “b” nos dirá en qué punto la función “cruza” al eje “y”.

51


Para entender como graficar con este método veremos un ejemplo: f(x) = y = 2x +3; donde “m” = 2 y “b” = 3.

Primero se debe colocar la ordenada al origen (sobre el eje y).

Luego, desplazarse tantos espacios como indique la pendiente, teniendo en cuenta:

numerador “2”: indica desplazamiento vertical (+ hacia arriba y – hacia abajo)

m = 221

=

denominador “1”: indica desplazamiento horizontal (SIEMPRE hacia la derecha)

Utilizando la tabla de valores obtendremos el mismo gráfico:

Cómo calcular la fórmula de una función lineal

X Y

1 5

0 3

-1 1

52


Para calcular una función f(x) que pasa por dos puntos P1 y P2 se utiliza la siguiente fórmula:

Donde P1 ( ; ) y P2 ( ; )

Entonces, si tenemos que calcular la función f(x) que pasa por los puntos P1= (1;4) y P2= (-5;0) solo debemos reemplazar los valores de los puntos dados en la fórmula (recordar que “x” e “y” no se reemplazan):

Y luego resolver despejando “y” de manera que quede la función ( )xf y mx b= = +

-6 (y – 4) = -4 (x – 1)

-6y + 24 = -4x + 4

-6y = -4x + 4 – 24

y = (-4x – 20) : (-6)

y = 4/6x + 20/6 y = 2/3x + 10/3

UNIDAD Nro. VII: EJERCITACIÓN

1) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y):

a. (-2;5)

b. (2;-3)

c. (-1;-4)

d. (2;3)

2) Graficar las siguientes funciones:

a. ( ) 2xf x= −

b. 2( ) 2xf x= +

c. ( ) 2xxf =

d. ( )14xf x

=−

e. 3 2( )xf x=

53


f. ( )xf x=

g. ( ) | |xf x=

h. 2( ) 2xf x= −

i. ( )12xxf −

=

j. 3( )xf x=

3) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto 2).

4) Clasificar las funciones del punto 2) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.

5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto 2) (en el caso de no ser Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas.

6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos:

a. 1 (1;4)P = 2 ( 5;0)P = −

b. 1 (4;0)P = 2 (6; 8)P = −

c. 1 (4;2)P = 2 ( 1;3)P = −

d. 1 (3;5)P = 2 (2;8)P =

7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada:

a. ( ) 2 1xf x= − +

b. ( )1 32xf x= −

c. ( ) 3 1xf x= +

d. ( )2 13xf x= − +

1) APÉNDICE: GUÍA ADICIONAL

Unidad Nro I 1) Resolver:

a. ( )3 1 5 2 3 1 14 .5 . . . 44 2 8 15 2 2 2

⎛ ⎞ ⎡ ⎤− + − + − − − + − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

54


b. ( )31 12 1 3 1: 8 : : 2 1

3 2 4 2

−− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2) Calcular el valor de las potencias:

a. 531

2⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b. 1264

81

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c. 329

4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

d. ( )2327− =

3) Pasar de decimal a fracción:

a. 6,05 =

b. 3,018− =

c. 2,5 =)

d. 1,21 =) )

Unidad Nro II 1) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita:

a. 24 30 6 12 81 9 54x x x− − + = − − b. ( ) 3 63 1 9

2xx −

− − =

2) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas:

a. 2 2 1 0x x− + = b. 2 21 15 62 2x x x x x+ − = +

3) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Sustitución:

a. 4 3 18 3 2,5x yx y− = −

+ = b. 3 3 33 3 1y xx y+ =

− = −

4) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Igualación:

a. 4 3 06 2 5x yy x+ =

− = b. 2 77 2 3x yx y+ =

− = −

Unidad Nro III 1) Simplificar radicales y extraer factores fuera de las raíces cuando sea posible:

55


a. 2 475a b =

b. 6 84 32x y =

c. 3

34

8116ba cx

=

d. 3 516a x =

Unidad Nro IV 1) Factor Común. Resolver:

a. 3 2 2 355 102

x y x y xy+ + = b. 5 3 228 715 15m n m n+ =

2) Factor común en grupos. Resolver:

a. 2 5 2 5ax ay a bx by b− + + − + =

b. 16 8 2amx amy x y− + − =

3) Trinomio, cuadrado perfecto: Resolver

a. 2 24 4a ab b− + = b. 29 24 16x x− + =

4) Cuatrinomio, cubo perfecto: Resolver

a. 3 26 12 8x x x+ + + = b. 3 23 3 1x x x− + − =

5) 5° Caso de Factoreo: Resolver

a. 2 49m n− = b. 481 16x− + =

6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda:

a. 3 2 2 39 27 27a a c ac c+ + + =

b. 2 3 3 2 21 5 73 9 12ab c b c a b− + =

c. 2 39 3 94p p p− + =

d. 6 4 28 60 150 125x x x+ + + =

Unidad Nro. V 1) Representar los siguientes intervalos en la recta numérica.

a. (-1;5) ∩ (3;10) =

b. (-5;8) ∩ [3;9] =

c. (-8;0] ∩ (3;12]

d. (3;6) ∪ [5;20)

e. [-6;2) ∪ [0;+∞ )

f. (7;25] ∪ [-1;10)

56


2) Demostrar los intervalos del punto 1) en lenguaje simbólico.

3) Clasificarlos.

4) Representar los siguientes módulos en la recta numérica.

a. 4x ≥ −

b. 1x ≤ −

c. 3x ≥

d. 2x ≤

5) Demostrar los módulos del punto 4) en lenguaje simbólico.

Unidad Nro. VI 1) Aplicando propiedades, resolver:

a. 2

10 4

100.log ab

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ b.

2

logaxy

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

2) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades

a. 10 10 10 1013log 2 log 5 log log 425

+ + − =

b. 2 2log 30 log 15− =

c. 3 3log 5 log 6+ =

Unidad Nro. VII 1) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y):

a. (6;-3)

b. (5;-2)

c. (-1;0)

d. (2;-4)

2) Graficar las siguientes funciones:

a. ( )23xxf −

= b. ( ) 2 1xf x= +

57


c. ( ) 3xxf =

d. ( )14xf x

=−

e. ( )21xf x

=−

f. 2( ) 2xf x= +

g. 2( ) 3xf x=

h. 3( )

12xf x=

3) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto 2).

4) Clasificar las funciones del punto 2) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.

5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto 2) (en el caso de no ser Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas.

6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos:

a. 1 (4;1)P = 2 ( 5;2)P = −

b. 1 (4;0)P = 2 (3; 4)P = −

c. 1 (2;1)P = 2 (1; 3)P = −

d. 1 (3;3)P = 2 (2;6)P =

7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada:

a. ( ) 2 1xf x= −

b. ( )2 53xf x= +

c. ( ) 5 3xf x= +

d. ( )1 14xf x= − −

CUADERNILLO MATEMATICA OTRAS CARRERAS …...- Función Lineal - Presentación de funciones...

Documents

Transcript of CUADERNILLO MATEMATICA OTRAS CARRERAS …...- Función Lineal - Presentación de funciones...