Unidad 2 Logaritmo

Colegio Santa Eufrasia – Concepción“Una persona vale más que un mundo”

Nombre Profesor: Nicole Morales Maragaño

Unidad N°2: Logaritmos

I) Concepto de LogaritmoEn la expresión bn = c puede calcularse una de estas tres cantidades si se conocen dos de ellas resultando, de este modo, tres operaciones diferentes:

bn = cPotenciación Radicación Logaritmación

Potencia (no se conoce c)bn = x, para calcular x, basta con calcular el resultado de la potencia.Ej. 34 = x 3333 = x 81 = x

Raíces (no se conoce b)xn = c, para calcular x, basta con calcular la raíz enésima de c.

Ej. x4 = 16 ===> x =

x = 2

Logaritmo (no se conoce n)bx = c, para calcular el valor de x necesitamos saber el exponente al que se debe elevar la base b para obtener c. x = ( x es el logaritmo de c en base b) ( c se llama antilogaritmo)

Definición de Logaritmo: = n <===> bn = c se lee “logaritmos de c en base b”

Veamos algunos ejemplos:1) Queremos calcular log 2 32 = x, aplicando la definición

log 2 32 = x <=> 2x = 32 2x = 25 => x = 5

Como vemos Sea ax = b a IR a ≠ 0. Si supongamos que se desconoce el valor del exponente de la potencia, es decir, se desconoce el valor del número real x. Esto implica calcular el exponente de una potencia conocida su base y su valor, operación que se denomina logaritmación.

Este exponente x es el logaritmo de b en base a, lo que en símbolos se representa como loga b. De esta forma tenemos que:

ax = b x = loga b

Obs. 1: 1. El logaritmo es el exponente de una potencia.2. La operación potenciación no es conmutativa es decir, en general, an ≠ na

Ejemplo 1:

(a) El logaritmo en base 2 de 8 es 3, puesto que 23 = 8. Expresemos la relación anterior de forma matemática

log2 8 = 3 23 = 8, análogamente se tiene que :

(b) log4 64 = 3 43 = 64 (c) log5 25 = 2 52 = 25

(d) log 1/8 512 = -3 (1/8) - 3 = 512

II) Concepto de AntilogaritmoAhora, encontremos el valor de los siguientes logaritmos:(a) logaritmo de 49 en base 7log7 49 = x 7x = 49 7x = 72 x = 2

(b) Logaritmo de 8 en base 4log4 8 = x 4x = 8 22x = 23 x = 2 2x = 3 x = 3/2

De esta forma, en la expresión ax = b x = loga b, el número b recibe el nombre de antilogaritmo.

Material recopilado para uso educativo. - 1-

1


Nombre Profesor: Nicole Morales Maragaño Ejercicios Propuestos I: Cálculo de logaritmos y antilogaritmos.

1. Calcule cada uno de los siguientes logaritmos.

(a) log2 64 =

(b) log9 243 =

(c) log4 64 =

(e) log0,7 0,49 =

(f) log0,4 0,064 =

(h) log16 8 =

(i) log5 (1/25) =

(k) log3/2 (9/4) =

(l) log4/3 (9/16) =

2. Halla el antilogaritmo x en cada uno de los siguientes casos.(a) log2 x = 5

(b) log0,3 x = 2

(c) log2/3 x = -2

(d) log1/7 x = 4

(e) log8/9 x = -2

(f) log0,004 x = 3

3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.

(a) log8 512 + log10 1000 – log2 32

(b) log2/3 (4/9) – log5/6 (125/216) + log2/4 (32/1.024)

(c) 2log5 25 - 3log7 49 + 4log10 10.000

(d) 7log2/3 (27/8) - 4log2/5 (3.125/32) + 2log3/2 (16/81)

(e) 4log5/7 (25/49) + 2log2/5 (8/125) – 5log6/7 (216/343)

(f) 2log1/4 32 + 7log1/5 125 – 6log1/3 243

III) Base de un logaritmoAnalicemos las bases de los siguientes logaritmos.

1. Base Positiva, es decir, a IR + (a) log8 512Sea x = log8 512, entonces 8x = 512 8x = 83 x = 3En este caso, la base es un número real positivo.

2. Base Igual a la Unidad, es decir, a = 1

(b) log1 4Sea x = log1 4, entonces 1x = 4, pero… No existe x IR tal que 1x = 4

(c) log1 (1/3)Sea x = log1 (1/3), entonces 1x = (1/3), pero… No existe x IR tal que 1x = (1/3)

Obs. 2: 1x = 1 x IR

3. Base Negativa, es decir, a IR - (d) log(-2) 8

Sea x = log(-2) 8, entonces (-2)x = 8 (-2) x = 23 , pero… No existe x IR tal que (-2)x = 8

(e) log(-1/5) 125

Sea x = log(-1/5) 125, entonces (-1/5)x = 125 (-1/5) x = 53 , pero…No existe x IR tal que (-1/5)x = 125


2



En resumen tenemos que:1. La base de un logaritmo puede ser un número real positivo.2. El número real 1 no puede ser considerado como base de un logaritmo.3. La base de un logaritmo no puede ser negativa.

Luego, en general se tiene que:

La base de un logaritmo es un número real positivo distinto de 1.

Obs. 3: 1.

Notación: 1. log10 a = log a 2. loge a = ln a (logaritmo natural de a)

IV) Análisis del signo del antilogaritmo

Dado que la base de un logaritmo posee restricciones, también es necesario restringir el antilogaritmo. 1. Antilogaritmo Positivo, es decir, a IR + (a) log7 49Sea x = log7 49, entonces 7x = 49 7x = 72 x = 2En este caso, el antilogaritmo puede ser un número real positivo.

2. Antilogaritmo Igual a la Unidad

(b) log4 1

Sea x = log4 1, entonces 4x = 1 4x = 40 x = 0En este caso, el antilogaritmo puede ser la unidad.

3. Antilogaritmo Nulo

(d) log5 0Sea x = log5 0, entonces 5x = 0, No existe x IR tal que 5x = 0En este caso el antilogaritmo no puede ser nulo.

4. Antilogaritmo Negativo, es decir, a IR - (a) log2 (-8)Sea x = log2 (-8), entonces 2x = (-8), No existe x IR tal que 2x = (-8)En este caso el antilogaritmo no puede ser un número real negativo.Luego, en general se tiene que:

Los antilogaritmos pueden ser números reales positivos.

V) Propiedades de los logaritmos

“Los antilogaritmos son iguales si y sólo sí sus logaritmos son iguales”

b = c loga b = loga c

Definición: y = loga x ssi x = ay

i) Si a > 1 f(x) = loga x es creciente para x > 0.ii) Si 0 < a < 1 f(x) = loga

x es decreciente para x > 0.

LOGARITMOS

Definición

n = loga b an = b n es el logaritmo de b en la base a , a 1

b > 0 , a > 0

Propiedades

— Logaritmo de la base

Loga a = 1

— Logaritmo de la unidad

Loga 1 = 0

— Logaritmo del producto

Loga (b • c) = Loga b + Loga c

Ej: Log8 2 + Log8 4 = Log8 (2•4) = Log8 8 = 1


3



— L o g a r i t m o d e l c u o c i e n t e

L o g a

cb

= L o g a b - L o g a c

L o g 3 7 - L o g 3 2 1 = L o g 3

217

= L o g 3

31

= L o g 3 1 - L o g 3 3

= 0 - 1 = - 1

— L o g a r i t m o d e u n a p o t e n c i a

L o g a ( b n ) = n L o g a b

E j : L o g 5 1 2 5 = L o g 5 ( 2 5 • 5 ) = L o g 5 ( 5 3 )

= 3 L o g 5 5 = 3

— L o g a r i t m o d e l a r a í z bLogn1

bLog an

a

E j e m p l o : 3 2727Log3 3327Log327Log

27log31

27

31

131

— C a m b i o d e b a s e

acLog

bcLogbaLog

E j e m p l o : 333Log

233Log

273Log

93Log927Log

32

3Log33Log2

3

3

— L o g a r i t m o d e l c u o c i e n t e

L o g a

cb

= L o g a b - L o g a c

L o g 3 7 - L o g 3 2 1 = L o g 3

217

= L o g 3

31

= L o g 3 1 - L o g 3 3

= 0 - 1 = - 1

— L o g a r i t m o d e u n a p o t e n c i a

L o g a ( b n ) = n L o g a b

E j : L o g 5 1 2 5 = L o g 5 ( 2 5 • 5 ) = L o g 5 ( 5 3 )

= 3 L o g 5 5 = 3

— L o g a r i t m o d e l a r a í z bLogn1

bLog an

a

E j e m p l o : 3 2727Log3 3327Log327Log

27log31

27

31

131

— C a m b i o d e b a s e

acLog

bcLogbaLog

E j e m p l o : 333Log

233Log

273Log

93Log927Log

32

3Log33Log2

3

3


4



N o t a c i ó n O b s e r v a c i ó n : i ) l o g a A l o g a B l o g a A + l o g a B

l o g 1 0 a = l o g a i i ) l o g

l o gl o g l o ga

aa a

A

BA B

l o g e a = l n a

E J E M P L O S

1 . C a l c u l a r : l o g 1 0 1 0 0 + l o g 2 1 2 8 + l o g 5 6 2 5 = ?

S o l u c i ó n :

P a r a r e s o l v e r , a n a l i c e m o s c a d a t é r m i n o :

1 0 0 = 1 0 2

1 2 8 = 2 7

6 2 5 = 5 4

l u e g o :

l o g 1 0 1 0 0 = l o g 1 0 1 0 2 = 2 l o g 1 0 1 0 = 2

l o g 2 1 2 8 = l o g 2 2 7 = 7 l o g 2 2 = 7

l o g 5 5 4 = l o g 5 5 4 = 4 l o g 55 = 4

r e e m p l a z a n d o :2 l o g 1 0 1 0 + 7 l o g 2 2 + 4 l o g 5 5 =

= 2 + 7 + 4= 1 3

2 . ¿ 2

1

35

l o g l o g

l o g l o g

a b

c d

e q u i v a l e a q u é e x p r e s i ó n ?

S o l u c i ó n :

P a r a r e d u c i r a n a l i c e m o s c a d a t é r m i n o

2 l o g a = l o g a 2

1

33l o g l o gb b

5 l o g c = l o g c 5

l u e g o , r e e m p l a z a n d o :

logd5logc

3 blog2loga

logdlogc5

logb31loga2

N o t a c i ó n O b s e r v a c i ó n : i ) l o g a A l o g a B l o g a A + l o g a B

l o g 1 0 a = l o g a i i ) l o g

l o gl o g l o ga

aa a

A

BA B

l o g e a = l n a

E J E M P L O S

1 . C a l c u l a r : l o g 1 0 1 0 0 + l o g 2 1 2 8 + l o g 5 6 2 5 = ?

S o l u c i ó n :

P a r a r e s o l v e r , a n a l i c e m o s c a d a t é r m i n o :

1 0 0 = 1 0 2

1 2 8 = 2 7

6 2 5 = 5 4

l u e g o :

l o g 1 0 1 0 0 = l o g 1 0 1 0 2 = 2 l o g 1 0 1 0 = 2

l o g 2 1 2 8 = l o g 2 2 7 = 7 l o g 2 2 = 7

l o g 5 5 4 = l o g 5 5 4 = 4 l o g 55 = 4

r e e m p l a z a n d o :2 l o g 1 0 1 0 + 7 l o g 2 2 + 4 l o g 5 5 =

= 2 + 7 + 4= 1 3

2 . ¿ 2

1

35

l o g l o g

l o g l o g

a b

c d

e q u i v a l e a q u é e x p r e s i ó n ?

S o l u c i ó n :

P a r a r e d u c i r a n a l i c e m o s c a d a t é r m i n o

2 l o g a = l o g a 2

1

33l o g l o gb b

5 l o g c = l o g c 5

l u e g o , r e e m p l a z a n d o :

logd5logc

3 blog2loga

logdlogc5

logb31loga2


5



Ejercicios Propuestos II: Aplicación de propiedades

1. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones como suma y resta de logaritmos

(a)

(b)

(c)

(d)

(d)

(e)

(f)

2. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo

(a) 2 log b 3 + 3 log b 2

(b) log b a – 5 log b c

(c) log b a - log b c - log b d + log b e

(d) log p a + 2 log p b – 3 log p c

(e) log p a + log p b – 1

(f) log m a – 2 log m b + log m c - log m d

3. Complementarios I.

I. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos1) log 10 100 + log 2 128 + log 5 625 2) log 10 0,001 + log 0,3 0,0081

3) Calcula log 2 + log 3 + log 5 4) Calcula log 5 + log 5

5) log b b7 6) log a 7) 8) log 64 16

9) logb b7 = 10) logm m0,3 = 11) logp p3/4 =

12)

13) Demuestra que log 2 32 - log 3 27 = log 10 100

II. Halla el antilogaritmo x en cada uno de los siguientes casos

1) log 2 x = 5 2) log 0,3 x = 2 3) log 0,004 x = 3 4)

III. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones

1) log 8 512 + log 10 10000 – log 2 32 2) 2 log 5 25 – 3 log 7 49 + 4 log 10 10000

3) 4)

5) 6) 2

IV. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones como suma y resta de logaritmos

1) 2) 3) 4)


6



5) 6) 7)

V. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo

1) 2 log b 3 + 3 log b 2 2) log b a – 5 log b c

3) log b a - log b c - log b d + log b e 4) log p a + 2 log p b – 3 log p c

5) log p a + log p b – 1 6) log m a – 2 log m b + log m c - log m d


7



Complementarios II1. Escribe la expresión siguiente como suma de logaritmos:

a)

b) b)

2. Calcula el valor numérico de:

a )

b)

c)

3. Calcula el valor numérico de:


8



VI) Aplicaciones del logaritmo1. Ecuaciones ExponencialesRecordemos: a7x-5 = a4x+7

Anteriormente hemos resuelto algunas ecuaciones exponenciales en las que es posible igualar las bases de las potencias, aplicar las propiedades y por último igualar los exponentes. Sin embargo, existen ecuaciones exponenciales donde aquello no es factible para encontrar la(s) solución(es). Una vía de resolución es la aplicación de logaritmos y sus propiedades.

Ejemplos:

(a) 2x+5 = 3Tenemos dos expresiones iguales, por tanto sus logaritmos son iguales. (Prop. 1 pág. 3). De este modo:log 2x+5 = log3 (x+5) log 2 = log3 (logaritmo de una potencia)

x·log2 + 5log2 = log3 x·log2 = log3 – 5log2

(b) 2x+3 = 3x+5

log 2x+3 = log3x+5 (x+3)· log 2 = (x+5)·log3 (logaritmo de una potencia) x·log2 + 3log2 = x ·log3 + 5log3 x·log2 – x·log3= 5log3 – 3log2 x·(log2 – log3) = 5log3 – 3log2

(c) Intenta resolver la siguiente ecuación exponencialax+2 = b3x-5

Respuesta:

Obs. 4: Si el problema es abstracto se plantea la solución sin necesidad de calcular los logaritmos; sin embargo, si el problema corresponde a una situación real se calculan los logaritmos de los números respectivos y la respuesta se expresa en forma decimal.

2. Aplicaciones en la vida diaria

(a) Aplicación a un problema de Matemática Financiera

Una persona deposita en un banco $2·106 al 12% anual de interés. ¿En cuánto tiempo ascenderá su capital a $2.508.800?Sol:Sabemos que la relación que nos permite calcular el capital obtenido (C f) al depositar un capital inicial (Ci) en una institución financiera, a un tanto por ciento (t), durante un cierto periodo de tiempo (n) es

Aplicando logaritmos llegamos a la siguiente relación:

En nuestro problema tenemos que:Ci = $2·106

Cf = $2.508.800t = 12% anual

Reemplazando valores tenemos que


9



Entonces, dentro de 2 años el capital ascenderá a $2.508.800

(b) Aplicación a un problema de Geometría

Determinar el radio de una esfera si su volumen es 113,04 m3.Sol:Recordemos que el volumen de la esfera está dado por la relación

Aplicando logaritmos llegamos a la siguiente relación;

Reemplazando los valores asociados al problema se tiene:

Luego, la esfera de volumen 113,04 m3 posee un radio de 3m.

Ejercicios Propuestos III: Ecuaciones exponenciales y problemas de aplicación


10


Nombre Profesor: Nicole Morales Maragaño 1. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales(a) 22x+1 = 3x+5

(b)

(c) 3(x/2) = 768

(d) 2x-1 =3x-1

(e) 8x = 81

(f) 493x = 512

(g) 2· 3x = 5

(h) 3· 2x+1 = 5

(i) 5· 23x = 9

(j) 3x = 4· 52x+3

(k) 2x+4 = 3· 4x-3

(l) 4x+2 = 93x-4

(m) a3x+5 = b2x+6

(n) mx-1/4 = a3x+2/3

(ñ) p2x+1/4 = q3/4x – 1

(o) m3x+1/3 = q3/7x +1

2. Resuelve los siguientes problemas(a)¿Cuánto debe cancelar, transcurridos 10 años, una persona que solicitó un préstamo de $4·105 en una institución financiera al 2% anual?Resp: $487.598

(b) La población de un país dentro de t años

está dada por millones de

habitantes. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población sea de 162 millones de habitantes?Resp: 6 años

3. Ecuaciones logarítmicas con una incógnita

Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita forma parte, de al menos, un antilogaritmo. Por ejemplo, son ecuaciones logarítmicas:

(a) ln(3x +1) + ln2 = ln(5-x)

(b) log(a+x)2 – log(x-a) = log4

Para resolver ecuaciones como estas, simplemente se aplican las propiedades de los logaritmos.Ejemplos:

(a) logb2x + logb3x = logb216

logb(2x·3x) = logb216 logb(6x2) = logb216

6x2 =216

x2 = 36 x1 = 6 x2 =-6

Obs. 5: La solución x2 =-6 se descarta inmediatamente, pues da origen a un antilogaritmo negativo, el cual, como sabemos, está restringido sólo a números reales positivos.

(b) log2(2x + 5) = 3

Procedimiento 1:Por definición de logaritmo se tiene:23 = 2x + 5 8 = 2x + 5 3 = 2x 3/2 = x

Procedimiento 2:Expresamos ambos miembros de la igualdad en términos de logaritmos de igual base. En este caso 3 lo expresaremos como un logaritmo en base 2, es decir, 3 = log2 8. De esta forma tenemos:log2(2x + 5) = 3 log2(2x + 5) = log28

2x + 5 = 8 x = 3/2

(c) Aplicación a un problema de Química

Calculemos el pH de una solución de ácido clorhídrico (HCI), de concentración 0,001M (molar)Sol:La relación que nos permite calcular el pH de una relación acuosa es:


11



Sabemos que:

, por tanto:

pH = -log(1· 10-3) pH = -(-3) Obs: recuerda log1010= 1 pH = 3

Ejercicios Propuestos IV: Ecuaciones logarítmicas con una incógnita

1. Calcule el valor de x, para cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas.

(a) ln(x + 3) + ln(x – 5) = 2· ln(x – 6)

(b) ln(3x – 4) – lnx + ln5 = ln(15x + 2) – ln(x + 2)

(c) (1/5)log(x + 5) = log2

(d)

(e)

(f)

(g)

(h) log(x - 4) + logx = log5

(i) 2log(2x + 1) – 2 = -2log(3x – 4)

VII) Ítem de Selección Múltiple

1. Si

entonces a b ?

A) x

B) log xC) x2

D) x-2

E) Ninguna de las Anteriores


12


Nombre Profesor: Nicole Morales Maragaño 2. Si log 9 = 0,95424 entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s).I. log 93 0 31808 ,

II. log 900 = 2,95424III. log 81 = 1,90848

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) II y IIIE) Todas

A) 0,57B) 7/4C) 1/11D) 11E) Ninguna de las Anteriores.

4. Si log =0,7186, entonces log a2

es

A) (0,7186)4

B) 4,7186C) 2log 0,7186D) 4 · 0,7186E) 4log 0,7186

5. Expresado como un solo logaritmo 3log5 + 2log4 -(3log3 - log2)

A) log2000

27

B) log3200

24

C) log4000

27

D) log1200

32

E) log360

18

6. corresponde a:

A)

B)

C)

D) 0

E)

7.

8. Calcule x, si x = A) -8B) -4C) 4D) 8E) Otro Valor

9. Si A = log x y log xA = 100; entonces x corresponde aA) 1010 y 10-10

B) 10C) 10D) 100E) Ninguna de las anteriores.

10. La expresión log loglog

5 312525

2

es equivalente a:A) -3 log 5B) 7 log 5

C) log 3115D) 3 log 5E) -7 log 5

Respuestas: 1. D 2. E 3. D 4. D 5. C 6. C7. D 8. D 9. A 10. A


13

CAMBIO DE BASE DE UN LOGARÍTMO:

Ejercicios:

A.- Aplique la propiedad de cambio de base y sin usar calculadora, calcule:a) log 27= b) Log 25 c) Log 32

d) Log 49 e) Log 36 f) Log 225

E.- Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c) d)

F.- En circuitos eléctricos aparece la siguiente fórmula para la intensidad I(t). Despeje la variable t.

I(t) =

G.- Resuelva los siguientes problemas:Aplicación a Finanzas: La relación que nos permite calcular el capital obtenido (Cf) al depositar una cantidad (Ci) en una institución financiera, a un tanto por ciento (t), durante un cierto tiempo (n) es:

Cf = Ci , entonces:

1) Una persona deposita en un banco $ 2.000.000 al 12 % anual de interés. ¿ En qué tiempo ascenderá su capital a $ 2.508.800? ( R: 2 años)

2) ¿Cuánto debe cancelar, transcurrido 10 años, una persona que solicitó un préstamo de $400.000 en una financiera, al 2 % anual?. (R: $ 487.598)

Unidad 2 Logaritmo

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