1 Resuelve aplicando la definición de logaritmo: 1 3x 9 a) · PDF file1 Resuelve...

1 Resuelve aplicando la definición de logaritmo:

a) 93 x

1

=

b) 162x

=

c) x10201log101 =

Solución:

a)

2

1x29log

x

13 =⇒==

b) 416logx 2 ==

c) 2x10201101x

=⇒=

2 Racionaliza:

a)

3 76

5

b)

5 76

4

c)

4 5

6

Solución:

a)

216

365

6636

65

66

5

6

5 3

3 23

3 2

323 7===

b)

9

6

36

64

666

64

66

4

6

45 35 3

5 35 2

5 3

5 25 7====

c)

5

56

55

56

5

64 3

4 34

4 3

4==

3 Resuelve utilizando la definición de logaritmo:

a) 24loga =

b) 5243loga =

c) 01loga =

Solución: a) a = 2 b) a = 3 c) a puede ser cualquier número real positivo.

4

a)

7

3

b)

7 5

4

c)

23

6

−

Solución:

a)

7

73

77

73=

b)

5

54

55

547 6

7 67

7 6

=

c)

( )( )( )

( ) ( )23623

236

2323

236+=

−

+=

+−

+

5 Calcula los siguientes logaritmos:

a) 9log3

b) 1024log2

c) 1log2

Solución: a) 2 b) 10 c) 0

6

Si

( )2logdlogc3

13logbloga

2

1logx +−+=

, expresa x en función de dc,b,a,

. Solución:

( )3 2

3

3 2

33 2323

c·d

·bax

c·d

·balogc·dlog·baloglogc·d

3

1logbaloglogx =⇒=−=−+=

7 Racionaliza:

a)

3

235 +

b)

37

32

+

+

c)

ba

a

+

Solución:

a)

( )3

6335

33

3235 +=

+

b)

( )( )( )( ) 4

3373614

37

3373614

3737

3732 −+−=

−

−+−=

−+

−+

c)

( )( )( )

( )ba

baa

baba

baa

−

−=

−+

−

8 Calcula:

a) 2log4

b)

9

1log

3

1

c) 3log9

Solución:

a)

4

1

b) 2

c)

2

1

9

Si a y b son números enteros, calcula

b

1logalog b

a

1 +

. Solución: -1+ (-1) = -2

10 Racionaliza:

a)

x - 3

x3 +

b)

x-5

1x5 ++

c)

3

23 +

Solución:

a)

x3

x9

x - 3 x - 3

x - 3x3 2

−

−=

+

b)

( ) ( )x5

x-51x5

x-5x-5

x-51x5

−

++=

++

c)

( )3

63

33

323 +=

+

11 Calcula a

utilizando la definición de logaritmo:

a) 8256loga =

b) 30,125loga =

c) 30,001loga −=

Solución: a) a = 2

b) a =

2

1

c) a = 10

12 Si

0,301log2 =, halla:

a) 0,01log2

b) 10log4

Solución:

a)

6,6450,301

2

2log

0,01log−=

−=

b)

1,6612·0,301

1

4log

10log==

13 Sabiendo que

0,301log2 =, halla:

a) 1024 log

b) 0,25 log

c)

3 16

1 log

Solución:

a) 3,0110·0,3012log10 ==

b)

0,6022·0,3012log24

1log −=−=−=

c)

0,401·0,3013

42log

3

4−=−=−

14 Sabiendo que

0,301log2 =, halla:

a) log5

b)

4 0,08log

c)

3 0,02log

Solución:

a)

0,6990,30112log12

10log =−=−=

b)

0,2744

23·0,3012)2log(3

4

1

100

8log

4

1−=

−=−=

c)

( ) 0,5663

20,30122log

3

1

100

2log

3

1−=

−=−=

15 Calcula:

a) 256log243log625log 435 +−

b) 49log9log64log1log 7323 +++

c)

0,5log36

1log0,2log

9

1log 2653 −+−

Solución: a) 4 - 5 + 4 = 3 b) 0 + 6 + 2 + 2 = 10 c) -2 - (-1) + (-2) - (-1) = -2

16 Sabiendo que

0,301log2 = y

0,477log3 =, halla:

a) 6 log

b) 30 log

c)

3

1 log

Solución:

a) 0,7782log3log =+

b) 1,47710log3log =+

c) 0,4773log −=−

17 Racionaliza:

a)

31

21

−

+

b)

75

9

+

c)

62

65

+

+

Solución:

a)

( )( )( )( ) 2

6231

31

6231

3131

3121 +++−=

−

+++=

+−

++

b)

( )( )( )

( ) ( )2

759

75

759

7575

759 −−=

−

−=

−+

−

c)

( )( )( )( ) 4

6123010

62

6123010

6262

6265 −+−−=

−

−+−=

−+

−+

18 Calcula:

a)

9

1log3

b)

8log

2

1

c)

4log2

Solución: a) -2 b) -3 c) 4

19 Calcula a

utilizando la definición de logaritmo:

a) 2

3125loga =

b) a2log 4

8 =

c)

a16

81log

3

2 =

Solución: a) a = 25

b) a =

4

3

c) a = -4

20 Racionaliza:

a)

4 6

352 −

b)

3 16

24

c)

3 6

35 −

Solución:

a)

( ) ( )6

6352

66

63524 3

4 34

4 3−

=−

b)

332

3 23

3 2

4·216

4·224

1616

1624==

c)

( ) ( )6

635

66

6353 2

3 23

3 2−

=−

21 Racionaliza:

a)

2

32 +

b)

35

26

c)

72

3523 +

Solución:

a)

( )2

622

22

232 +=

+

b)

5

62

15

66

335

326==

c)

( ) ( )14

73523

772

73523 +=

+

22 Si

2alogx = y

416alogx =, deduce el valor de x.

Solución:

a16xa,x 42==

. Dividiendo obtenemos

16a

a16x2

==

, con lo que 4x = (descartamos la solución negativa, pues la base debe ser positiva).

23 Si

xalog3 =, expresa como función de x:

a) 27alog3

b)

81

alog3

c) alog9

d)

a

27log3

Solución:

a) x3alog27log 33 +=+

b) 4x81logalog 33 −=−

c)

4

x

2

2

x

9log

alog

3

3==

d) x3alog27log 33 −=−

24 Calcula:

.b3

7a

5

2b

3

7a

5

2c)

5b);5b)(aa(b)

2y);2y)(7x(7xa)

−

+

++−

−+

Solución:

.b9

49a

25

4c)

;b25ab)

;y4x49a)

22

22

22

−

+−

−

25 Calcula:

.4h)1(c)

;2y)(3xb)

;2b)(aa)

3

3

3

+−

+

−

Solución:

.h64h48h121c)

;y8xy36yx54x27b)

;b8ab12ba6aa)

32

3223

3223

+−+−

+++

−+−

26 Calcula:

( )( )

( ) .3z2hc)

;3b10ab)

;yx3a)

2

2

2

−−

−

+

Solución:

.z9hz12h4c)

;b9ab60a100b)

;yxy32x3a)

22

22

22

++

+−

++

27 Calcula:

( )

( ) .8h2c)

;8y)5x(b)

;6b4aa)

2

2

2

+

+−

−

Solución:

.h64h324c)

;y64xy80x25b)

;b36ab48a16a)

2

22

22

++

+−

+−

28 Calcula:

( )( )( )( )

.z7

1h

3

4z

7

1h

3

4c)

;3b10a3b10ab)

;yx3yx3a)

−−

−

−+

+−

Solución:

.z49

1h

9

16c)

;b9a100b)

;yx3a)

22

22

22

+−

−

−

29 Calcula:

( )

( ).3h53)h5(c)

8y);5x8y)(5x(b)

;6b4a6b)(4aa)

+−

−−+−

−+

Solución:

9.h5c)

;y64x25b)

;b36a16a)

2

22

22

−

−

−

30 Calcula:

( )

( )

( ) .2

2

2

12m3hc)

;7b2ab)

;4y3xa)

+−

−

−−

Solución:

.m144hm72h9c)

;b49ab28a4b)

;y16xy24x9a)

22

22

22

+−

+−

++

31 Calcula:

( )( ).h5m17h5m17c)

;m2

1h

4

1b)

;b3

5a

5

3a)

2

3

+−

+−

+

Solución:

.h5m17c)

;m4

1hm

4

1h

16

1b)

;b27

125ab5ba

5

9a

125

27a)

22

22

3223

−

+−

+++

32 Calcula las siguientes potencias de polinomios:

a) ( )3

2yx +

b) ( )3

5y4x −

c) ( )3

xy1−

Solución:

a)

3223 y8xy12yx6x +++

b)

3223 y125xy300yx240x64 −+−

c)

3322 yxyx3xy31 −+−

33 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de

potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:

( )2zyx +−

Solución:

( )( ) ( ) ( ) yz2xz2xy2zyxzyz2xz2yxy2xzzyx2yxzyx 222222222−+−++=+−++−=+−+−=+−

( )( ) yz2xz2xy2zyxzzyzxyzyyxxzxyxzyxzyx 222222−+−++=+−+−+−+−=+−+−

34 Calcula:

( )( )

.zh3

4c)

;y6

7x

7

6b)

;z155z155a)

2

2

−

+

−−−

Solución:

.zhz3

8h

9

16c)

;y36

49xy2x

49

36b)

;z1525a)

22

22

2

+−

++

+−

35 Calcula:

( ) .8y7xc)

;b2a3

1b2a

3

1b)

;5hm5

2a)

2

3

+−

+−

+

+

Solución:

.y64xy112x49c)

;b2a9

1b)

;h125mh30hm5

12m

125

8a)

22

22

3223

+−

+−

+++

36 Calcula:

( )( )

.m3

1h

4

3c)

;y3

2x

5

1b)

;z7hz7ha)

2

2

+−

+

−+

Solución:

.m9

1hm

2

1h

16

9c)

;y9

4xy

15

4x

25

1b)

;z7ha)

22

22

22

+−

++

−

37 Calcula:

( )

( )( ).7h9m7h9mc)

;y3

1x

2

1b)

;4m3ha)

3

3

+−

+

−

Solución:

.h49m81c)

;y27

1xy

6

1yx

4

1x

8

1b)

;m64hm144mh108h27a)

22

3222

3223

−

+++

−+−

38 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:

( )2zyx ++

Solución:

( )( ) ( ) ( ) yz2xz2xy2zyxzyz2xz2yxy2xzzyx2yxzyx 222222222+++++=+++++=++++=++

( )( ) yz2xz2xy2zyxzzyzxyzyyxxzxyxzyxzyx 222222+++++=++++++++=++++

39 Calcula:

( )

( )

( ) .y3xc)

;2z3hb)

;3b10aa)

3

3

3

−−

−

+

Solución:

.yxy9yx27x27c)

;z8hz36zh54h27b)

;b27ab270ba900a1000a)

3223

3223

3223

−−−−

−+−

+++

40 Calcula:

( ) .2z5hc)

;y5

4x

7

3b)

;5hm2

35hm

2

3a)

3

2

+

−

+

−

Solución:

.z8hz60zh150h125c)

;y25

16xy

35

24x

49

9b)

;h25m4

3a)

3223

22

22

+++

+−

−

41 Calcula las siguientes potencias de polinomios utilizando las identidades notables:

a) ( )4

y3x −

b) ( )4

5yx +−

Solución:

a) ( )( ) ( ) =−+−++=+−=−

3223422422222xy12yx18yx108yyx36x81yxy6x9yx3

334224 xy12yx108yyx54x81 −−++=

b) ( )( ) ( ) =−+−++=+−=+−

3223422422222xy500yx50yx20y625yx100xy25xy10xy5x

334224 xy500yx20y625yx150x −−++=

42 Calcula:

( )( )

( ) .3yx5c)

;y5

25xb)

;y73xy73xa)

2

3

+

+

−−−

Solución:

.y9xy56x5c)

;y125

8xy

5

12yx30x125b)

;y7x9a)

22

3223

22

++

+++

+−

43 Calcula:

.7hz7

127hz

7

12c)

;y3

11x

7

3b)

;b3

23aa)

2

3

−−

−

+

−

Solución:

.h49z49

144c)

;y9

121xy

7

22x

49

9b)

;b27

8ab2ba18a27a)

22

22

3223

+−

++

−+−

44

Calcula y simplifica: ( ) ( )322 y3xtzy2x −+−+−

Solución:

=−+−+−+−−+−+++32232222224 yxy9yx27x27zt2yt2yz2tx4zx4yx4tzyx4

3232222224 yxy9x27zt2yt2yz2tx4zx4yx31tzyx4 −++−+−−+−+++=

45 Calcula:

( )

( )( )

.3yx3

7c)

;8hz158hz15b)

;7h6za)

3

2

+

+−

+

Solución:

.y27xy63yx7x27

243c)

;h64z15b)

;h49zh84z36a)

3223

22

22

+++

−

++

46 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

9x.xc)

15;3x15x3xb)

42;50x6x2xa)

3

23

23

−

+−−

+−+

Solución:

3).3)(xx(xc);5)1)(x1)(x3(xb);7)1)(x3)(x2(xa) +−−+−+−−

Raíces: a) -7, 1, 3 b) -1, 1, 5 c) -3, 0, 3

47 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) -5, -4, 1, 2 b) -1, 0, 1 Solución:

a) ( )( )( )( ) 40x42x5x6x2x1x4x5x 234

+−−+=−−++

b) ( )( ) xx1x1xx 3

−=+−

48 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

126.45x2xxc)

33;5x9xxb)

36;31x6xxa)

23

23

23

+−−

+−−

−−+

Solución:

3).6)(x7)(x(xc);1)11)(x3)(x(xb);4)9)(x1)(x(xa) −−+−−+−++

Raíces: a) -9, -1, 4 b) -3, 1, 11 c) -7, 3, 6

49 Obtén dos polinomios diferentes cuyas únicas raíces sean -6, 0, 1. Solución:

Por ejemplo: x6x5x1)6)(xx(x 23

−+=−+ y

x6x5x1)6)(xx(x 23+−−=−+−

50 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) -5, 3, 8 b) 0, 3, 6 Solución:

a) ( )( )( ) 120x79x16x8x3x5x 23

−+−=−−+

b) ( )( ) x18x9x6x3xx 23

+−=−−

51 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (x - 13)(x + 1)(x - 7)(x + 6).

a) ¿De qué grado es el polinomio? b) ¿Cuánto vale el término independiente? Solución: a) El grado es 4. b) El término independiente vale -13·1·(-7)·6 = 546.

52 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) 0, 4, 5 b) 3, 4 Solución:

a) ( )( ) x20x9x5x4xx 23

+−=−−

b) ( )( ) 12x7x94x3x 2

+−=−−


15.7x7xxc)

42x;13xxb)

40;37x4xxa)

23

23

23

++−

++

+−−

Solución:

3).1)(x5)(x(xc);6)7)(xx(xb);1)8)(x5)(x(xa) −+−++−−+

Raíces: a) -5, 1, 8 b) -7, -6, 0 c) -1, 3, 5


240.88x3xxc)

168;4x32x4xb)

42x;13xxa)

23

23

23

−−−

++−

+−

Solución:

4).12)(x5)(x(xc);3)7)(x2)(x4(xb);6)7)(xx(xa) +−+−−+−−

Raíces: a) 0, 6, 7 b) -2, 3, 7 c) -5, -4, 12


210.61x6xxc)

99;97x3xxb)

196;84x9xxa)

23

23

23

−−+

+−−

+−−

Solución:

10).7)(x3)(x(xc);11)9)(x1)(x(xb);14)7)(x2)(x(xa) +−+−+−−+−

Raíces: a) -7, 2, 14 b) -9, 1, 11 c) -10, -3, 7


196.84x9xxc)

99;97x3xxb)

54;321x19x6xa)

23

23

23

−−+

−−+

−−+

Solución:

14).7)(x2)(x(xc);11)9)(x1)(x(xb);9)6)(x1)(xx(6a) +−++−++−+

Raíces: a) -9, -

6

1

, 6 b) -11, -1, 9 c) -14, -2, 7


48.44x12xxc)

165;191x27xxb)

252;55x6xxa)

23

23

23

−+−

+++

−−+

Solución:

6).4)(x2)(x(xc);15)11)(x1)(x(xb);4)7)(x9)(x(xa) −−−++++−+

Raíces: a) -9, -4, 7 b) -15, -11, -1 c) 2, 4, 6

58 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (5x + 1)(3x - 1)(x + 6)(x - 2). a) ¿De qué grado es el polinomio? b) ¿Cuánto vale el término independiente? Solución: El grado es 4. El término independiente vale 1·(-1)·6·(-2) = 12.


8.7x7xxc)

105;29x5xxb)

15;28x5x2xa)

23

23

23

+−−

−−+

−−+

Solución:

1).x8)(x(xc);3)5)(x7)(x(xb);5)3)(x1)(xx(2a) 2+−++−++−+

Raíces: a) -5,

2

1−

, 3 b) -7, -3, 5 c) -8


34.19x16xxc)

;5

18x

5

93x

5

14xb)

28;74x32x6xa)

23

23

23

+−−

+−+

−−+

Solución:

2).1)(x17)(x(xc);3)6)(x(x5

1xb);7)2)(x(x

3

1x6a) +−−−+

−+−

+

Raíces: a) -7, -

3

1

, 2 b) -6,

5

1

, 3 c) -2, 1, 17


18.47x22x3xc)

14x;37x16x3xb)

28;11x5xxa)

23

234

23

+−−

−−+

−+−

Solución:

2).9)(x1)(xx(3c);7)2)(x1)(xxx(3b);7)x4)(x(xa) 2+−−+−++−−

Raíces: a) 4 b) -7,

3

1−

, 0, 2 c) -2,

3

1

, 9


225x.25x9xxc)

231;89xxxb)

7;6x6xxa)

234

23

23

−−+

−−−

−−−

Solución:

9).5)(x5)(xx(xc);7)11)(x3)(x(xb);1)x7)(x(xa) 2++−+−+++−

Raíces: a) 7 b) -7, -3, 11 c) -9, -5, 0, 5


225.135x23xxc)

3;35x21x11xb)

384;80x8xxa)

23

23

23

−+−

+−+

−−+

Solución:

15).5)(x3)(x(xc);3)1)(x1)(xx(11b);12)8)(x4)(x(xa) −−−+−−+−+

Raíces: a) -12, -4, 8 b) -3,

11

1

, 1 c) 3, 5, 15


60.64x3xxc)

30;301x9x10xb)

18;83x36x5xa)

23

23

23

+−+

+−+

−−+

Solución:

6).10)(x1)(x(xc);5)6)(x1)(xx(10b);2)9)(x1)(xx(5a) −+−−+−−++

Raíces: a) -9,

5

1−

, 2 b) -6,

10

1

, 5 c) -10, 1, 6


10.9x4xxc)

112;16x7xxb)

182;103x4xxa)

23

23

23

−+−

+−−

−−−

Solución:

5).x22)(x(xc);7)4)(x4)(x(xb);13)2)(x7)(x(xa) 2+−−−+−−++

Raíces: a) -7, -2, 13 b) -4, 4, 7 c) 2


70.73x2xxc)

792;138x5xxb)

30;271x8x9xa)

23

23

23

−−−

+−−

−−−

Solución:

7).10)(x1)(x(xc);6)12)(x11)(x(xb);5)6)(x1)(xx(9a) +−+−+−+−+

Raíces: a) -5,

9

1−

, 6 b) -12, 6, 11 c) -7, -1, 10

67 Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:

a) 4x3xx 234

++−

b) 13x4x4x3xx 2345

+++++

c) 412x17x18x14x6xx 23456

++++++

Solución:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2223222 2x1x1x c) 1x1x b) 2x1xx a) +++++−++

Raíces: a) 2 (doble) b) -1 (triple) c) -1 (doble), -2 (doble)

68 Obtén un polinomio cuyas raíces sean: a) 0 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) 0 (raíz simple), 1 (raíz triple), 2 (raíz doble) Solución:

a) ( ) 234532 xx3x3x1xx +++=+

b) ( ) ( ) x4x16x25x19x7x2x1xx 2345623

−+−+−=−−

69 Obtén un polinomio de cuarto grado que no tenga raíces reales.

Solución:

Por ejemplo: 1x 4+

70 Obtén un polinomio cuyas raíces sean:

a) 1 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) -3 (raíz simple), 0 (raíz triple), 1 (raíz doble) Solución:

a) ( ) ( ) 1xx2x2xx1x1x 234532

++−−+=+−

b) ( )( ) 345623 x3x5xx1x3xx +−+=−+

71 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) 03613xx 24

=+−

b) 02526xx 24

=+−

Solución: a) Realizando el cambio de variable: x

2 = z queda la ecuación:

z2 - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.

Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3 b) Realizando el cambio de variable: x



Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5

72 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 106x2 =+

b) 167x4 =+

Solución:

a) Se aísla el radical: 4x2 =

Se simplifica: 2x =

Se eleva al cuadrado: x = 2

b) Se simplifica: 47x =+

Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16 Se opera: x = 9


a) 16105x22x =++

b) 6xx =−

Solución:

a) Simplificando: x810x5 −=+

Elevando al cuadrado: 5x + 10 = 64 - 16x + x

2

Operando: x2 - 21x + 54 = 0; ⇒ x = 3 y x = 18; Solución válida: x = 3

b) Aislando el radical: x6x −=−

Elevando al cuadrado: x = 36 - 12x + x

2

Operando: x2 - 13x + 36 = 0 ⇒ x = 9 y x = 4; Solución válida. x = 9

74 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 5x + 10 = 12x - 4 b) 4x + 2 - 2x = 8x c) 6x - 9x = 18 - 27 d) 2 + 4x - 15 = - 13x + 4 Solución: a) x = 2; b) x = 1/3; c) x = 3; d) x = 1


a) 045xx2

=++

b) 065xx2

=++

c) 065xx2

=+−

d) 076xx2

=−+

Solución: a) x = -1 y x = -4; b) x = -2 y x = -3; c) x = 2 y x = 3; d) x = -7 y x = 1

76 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 2(x - 3) + 3(x - 1) = 1 b) 4x + 2(x - 1) - 3(x - 2) = 13 c) (1 - x) + 2(2x + 3) = 4 d) x + 2x + 3x = 5(1 - x) + 6 Solución: a) x = 2; b) x = 3; c) x = -1; d) x = 1.

77 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 2x + 4 = x + 6 b)x + 2x + 3x = 5x + 1 c) x + 51 = 15x + 9 d) -x + 1 = 2x + 4 Solución: a) x = 2; b) x = 1; c) x = 3; d) x = -1


a) 01x2

=−

b) 06xx2

=−+

c) 0209xx2

=+−

d) 076xx2

=−−

Solución: a) x = 1 y x = -1; b) x = -3 y x = 2; c) x = 4 y x = 5 d) x = -1 y x = 7


a) 045xx 24

=+−

b) 014425xx 24

=+−

Solución:

a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:


Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = 1; x = - 1; x = - 2 y x = 2 b) Realizando el cambio de variable: x



Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = - 3; x = 3; x = - 4 y x = 4

80 Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: “el producto de su edad hace 6 años por el de su edad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo. Solución: Se plantea la ecuación, “x” es la edad del hijo: (x - 6) · (x - 4) = 48 Operando: x

2 - 10x - 24 = 0

Soluciones: x = 12 y x = -1. La solución válida es 12 años.


a) 24x4x2482x72 −=+−++

b) 167x4 =+

c)

128

xx212 −=−

Solución:

a) Se simplifica: 41x4x12 −=+−

Se eleva al cuadrado: 144(x + 4) = x

2 - 82x + 1681

Operando: x2 - 226x + 1105 = 0 ⇒ x = 5 y x = 221; Solución válida, x = 5



c) Se simplifica: 192xx16 −=−

Se eleva al cuadrado: 256x = x

2 + 36864 - 384x

Operando: x2 - 640x + 36864 = 0; ⇒ x = 64 y x = 576; Solución válida, x = 64

82 Irene pregunta a Enrique: ¿cuántos litros de combustible caben en el depósito de tu coche? A lo que

Enrique contesta: Si a la mitad del contenido de mi depósito le echas 25 litros queda igual de lleno que si a la quinta parte del depósito le echas 40 litros. Solución:

Se plantea la ecuación:

405

x25

2

x+=+

Operando: x = 50 litros.

83 Un alumno pregunta al profesor: “¡Profe!, ¿cuántos alumnos se presentan a la recuperación de matemáticas?” A lo que el profesor responde: “Si restamos 72 al producto del número de alumnos que se presentan menos 6 por el numero de alumnos que se presentan menos 7, obtendríamos el número de alumnos que se debería presentar que es cero”. Solución: Se plantea el problema, “x” es el número de alumnos que se presenta a la recuperación: (x - 6) · (x - 7) - 72 = 0 Operando: x

2 - 13x - 30 = 0

Las soluciones son: x = -2 y x = 15. La solución válida es 15 alumnos.

84 Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con el siguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos más pequeños.

Solución: Se plantea la ecuación: edad del más pequeño “x” entonces x + (x + 1) + (x + 2) = 9 + x + (x + 1) Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + 2 = 9 años.


a) 4x32x 22

+=+

b) 33xx2

=−+

c) 32xx33x2x 22

−+=+−

d) 3x73xx2

−=−+

Solución: a) x = -1 y x = 1; b) x = -3 y x = 2; c) x = 2 y x = 3; d) x = -7 y x = 1


a) 106x2 =+

b) 167x4 =+

c) xx5x −=−

Solución:

a) Se aísla el radical: 4x2 =

Se simplifica: 2x =

Se eleva al cuadrado: x = 2



c) Se opera: xx4 −=−

Se eleva al cuadrado: 16x = x

2

Se opera: x2 - 16x = 0 ⇒ x = 0 y x = 16


a) 10(20 - x) = 8(2x - 1)

b)

76

5x

4

3x

3

21

2

x=+−−

c)

20

53x

5

4x

2

53x +=−

−

d)

5

155x

3

2x114x40 +−=

−−+

Solución: a) x = 8 b) Multiplicando por 12 queda: 6x - 84 - 9x + 10x = 84; x = 24 c) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5; x = 5 d) Multiplicando por 15 queda: 200 + 70x - 5 - 10x = - 15x + 45; x = - 2


a) 01617xx 24

=+−

b) 022534xx 24

=+−

c) 024x10xx 234

=+−







Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -3; x = 3; x = -5 y x = 5 c) Sacando factor común, queda la ecuación: x

2 ·(x

2 - 10x + 24) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 0, x = 4 y x = 6.

89 La raíz cuadrada de un número al que hemos añadido 6 unidades es igual a ese mismo número si le

restamos 6 unidades. Averigua de que número se trata. Solución:

Se plantea el problema: 6x6x −=+

Elevando al cuadrado: x + 6 = x

2 + 36 - 12x

Operando: x2 - 13x + 30 = 0; ⇒ x = 10 y x = 3; Solución válida, x = 10


a) 109x10x2

+=+

b) 01412x2x2

=+−

c) 125xx125x2x 22

−+=+−

d) 6x32x 22

−=−

Solución: a) x = 4 y x = 5; b) x = -1 y x = 7; c) x = 4 y x = 6; d) x = -3 y x = 3


a) 0910xx 24

=+−

b) 010029xx 24

=+−

c) 048x20x2x 23

=+−






z2 -29z + 100 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 25.

Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -5 y x = 5 c) Sacando factor común, queda la ecuación: x·(2x

2 -20x + 48) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 4 y x = 6.


a) 03613xx 24

=+−

b) 02526xx 24

=+−

c) 0209xx 24

=+−




Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3

b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:


Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5 c) Realizando el cambio de variable: x



Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -5

y x = 5


a)

34

x

6

4x

3

2x=+−

b)

20

53x

5

4x

2

53x +=−

−

c)

21

1210x

6

142x

14

210x

3

226x −−

−=

−−

−

d)

53

x)2(1

4

1)2(x=

−−−

−

Solución: a) Multiplicando por 12 queda: 8x - 8x + 3x = 36; x = 12 b) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5; x = 5 c) Multiplicando por 42 queda: 84x - 308 - 30x + 6 = 14x - 98 - 20x + 24; x = 19/5 d) Multiplicando por 12 queda: 6x - 6 + 8 - 8x = 60; x = - 29

94 En una tienda se venden pantalones originales de la marca Jorge's a 85 Euros y los de imitación a 32 Euros. En el transcurso de la semana se han vendido 43 pantalones, recaudando 2860 Euros. ¿Cuántos pantalones de cada clase se vendieron? Solución: Planteamos el problema: x = pantalones auténticos; y = pantalones de imitación

=+

=+

2860y32x85

43yx

Soluciones x = 28; y = 15

95 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.

a)

=+

=+

7y2x

104y2x

b)

=+

=+

1yx

13y4x

Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3


a)

=+

=−

32y3

x24y2x

b)

=+

=+

1yx

13y4x

Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3


a)

=+

=+

142y4x

104y2x

b)

−=−−

=+

1yx

53y2x

Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3


a)

=+−

=+

24y2x

52yx

b)

=+−

−=−

82yx

122y3x

Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3

99 En una frutería se venden peras de 1ª a 1,9 Euros/kg y de 2ª a 1,2 Euros/kg. Si en el transcurso del día se han vendido 140 kg de peras con una recaudación total de 227,5 Euros. ¿Cuántos kilogramos de cada clase se han vendido? Solución: Planteamos el problema: x= kg de primera; y = kg de segunda

=+

=+

227,5y1,2x1,9

140yx

Soluciones x = 85; y = 55

100

Resuelve los siguientes sistemas no lineales:

a)

=+

−=

4y

x

x

3

2xy

b)

=

=

3

5

y

x

15xy

Solución:

a) x = 3, y = 1; x =

3

2

, y =

3

4−

b) x = -5, y = -3; x = 5, y = 3

101


a)

=+

=+

5yx

1x

y-yx

b)

=−

=−

72yx

305y3x

22

22

Solución: a) x = 1, y = 4 b) x = -5, y = -3; x = -5, y = 3; x = 5, y = -3; x = 5, y = 3

102

Con dos clases de café de 9 Euros/kg y 12 Euros/kg se quiere obtener una mezcla de 10 Euros/kg. Halla la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla. Solución: Planteamos el problema: x = kilo de la clase más barata; y = kg de la clase más cara.

30yx

300y12x9

=+

=+

Soluciones: x = 20; y = 10

103

Resuelve el siguiente sistema no lineal:

−=−−

=++

4

1xyyx

4

3xyyx

22

22

Solución:

2

1 y,

2

1 x1; y,

2

1 x1; y,

2

1 x;

2

1 y,

2

1x ==−===−=−=−=

104

Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.

a)

=+

=+

7y2x

52yx

b)

=+

=+

9y10x

18yx

Solución: a) Igualación:

3 x1; y y;y4710

;2

y7y25

2

y7x

y25x

==⇒−=−

−=−

−

=

−=

Reducción:

( )

3 x1; y 3- y 3-

7yx2

-10y4x-2-

7yx2

5y2x2

==⇒=

=+

=

=+

=+⋅−

b) Igualación:

19 y-1; x 18;-9 xx-10

x10-9x-18 x109y

x18y

==⇒=

=

−=

−=

Reducción:

( )

19 y-1; x -9x 9

9yx10

18yx

9yx10

18yx

==⇒=

=+

−=−−

=+

=+−

105

Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.

a)

=+

=+

9y10x

18yx

b)

=−

=+

6

5y4x

3

52y2x

Solución: a) Igualación:

19 y-1; x 18;-9 xx-10

x10-9x-18 x109y

x18y

==⇒=

=

−=

−=

Reducción:

( )

19 y -1 x-9;x 9

9yx10

-18yx--

9yx10

18yx

=⇒==

=+

=

=+

=+−

b) Igualación:

2

1 y;

3

1 x10;x30

6

x245

6

x6-5

x46

5y

2

x23

5

y

===

+−=

+−=

−

=

Reducción:

2

1 y ;

3

1

60

20 x;

6

20x 10

6

10y2x-8

6

10y2x2

6

5yx42

3

5y2x2

====

=

=+

=−⋅

=+

106


a)

=−

+=

0y

x

x

1

2xy

b)

( )( )

=−

=−+

04y3x

7yxyx

Solución: a) x = -1, y = 1; x = 2, y = 4 b) x = -4, y = -3; x = 4, y = 3

107

Una calculadora y un reloj cuestan 115 Euros. En las calculadoras se está haciendo un descuento del 20% y en los relojes del 10%. Pagando de este modo solo101,5 Euros. ¿Cuál es el precio de cada objeto? Solución: Planteamos el problema: x = precio de la calculadora; y = precio del reloj

101,5y0,9x0,8

115yx

=+

=+

Soluciones: x = 20; y = 95

108

Enrique invierte sus 30000 Euros en 2 bancos. En el banco del Teide le dan el 7% de beneficios y en Caja Europa el 3%.Teniendo en cuenta que recibió por su dinero 1780 Euros de beneficios. ¿Cuánto dinero colocó en cada banco?

Solución: Plantemos el problema: x = dinero en Banco del Teide, y = dinero en Caja Europa

=+

=+

1780y0,03x0,07

30000yx

Soluciones, x = 22000; y = 8000

109

Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción.

a)

=+

=+

7y2x

52yx

b)

=+

=+

7y2x

104y2x

Solución: a) Sustitución:

3x 1 y-3;y3- 7;yy410

7yy)2-2(5

y2-5x

7yx2

5y2x

=⇒===+−

=+

=

=+

=+

Reducción

( )

3 x1; y 3- y 3-

7yx2

-10y4x-2-

7yx2

5y2x2

==⇒=

=+

=

=+

=+⋅−

b) Sustitución

1 y 3 x-18;x6- 10;x828x2

10x)2-4(7x2

x2-7y

7yx2

10y4x2

=⇒===−+

=+

=

=+

=+

Reducción:

( )

3 x1; y -3y3-

7yx2

-10y4x-2-

7yx2

10y4x2

==⇒=

=+

=

=+

=+−

110

Resuelve el siguiente sistema no lineal:

( ) ( )

−=−

=+

++

+

−

y1y2xx

31y

3y

1x

12x

Solución:

13

3 y,

13

2 x1; y2,x −====

111

Resuelve los siguientes sistemas por sustitución e igualación.

a)

=+

=+

142y4x

104y2x

b)

=+

=+

1yx

13y4x

Solución: a) Sustitución:

3 x 1 y-6;y6- 14;y2y820

14y22

y4-104

2

y4-10x

14y2x4

10y4x2

=⇒===+−

=+

⋅

=

=+

=+

Igualación:

3 x 1 y-6;y6- y;214y820

4

y214

2

y410

4

y214x

2

y410x

=⇒==−=−

−=

−

−=

−=

b) Sustitución:

-2 x 3 y-3;y- 1;y3y44

1y3y)-4(1

y-1 x

1yx

1y3x4

=⇒===+−

=+

=

=+

=+

Igualación:

-23-1 x 3 yy;44y31

y14

y3-1

y1x4

y31x

==⇒=−=−

−=

−=

−=

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