Funciones Función exponencial Función compuesta Función inversa Función logaritmo Cálculo...
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Funciones•Función exponencial
Función compuesta•Función inversa
•Función logaritmo
Cálculo diferencial (arq)
Función exponencial
Una función exponencial f está dada por:
f(x) = ax
donde x es cualquier número real, a > 0 y a ≠ 1. El número a se llama base.
x
ytabulamos:
Gráfica de f(x)=2x
x
y
xy 2
La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.
La gráfica es: Creciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2).
x
y
a = 2
seguir
xay
x
y
a = 3
seguir
xay
x
y
a = 4
seguir
xay
x
y
a = 5
seguir
xay
x
y
a = 1.5
seguir
xay
x
y
a = 1.2
seguir
xay
x
y
a = 1
seguir
xay
tabulamos…
x
y
Gráfica de f(x)=(½)x
x
y
x
y21 La gráfica es:
Decreciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ).
La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.
x
y
a = 0.5
seguir
xay
x
y
a = 0.33
seguir
xay
x
y
a = 0.25
seguir
xay
x
y
a = 0.2
seguir
xay
Muy importante!!
x
y
f(x)= a > 1
xa
);1( 1a
);2( 2a
);1( 1 a)1;0(
Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
Conclusiones
OJO!!
x
y
f(x)= 0 < a < 1
xa
)1;0();1( 1a
);2( 2a
);1( 1 a
);2( 2 a
Función decrecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
Conclusiones
n
1 S/.2,00000
2 S/.2,25000
3 S/.2,37037
4 S/.2,44141
12 S/.2,61304
52 S/.2,69260
365 S/.2,71457
8760 S/.2,71813
525600 S/.2,71828
…. …..
n)n1(1A
El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande…
....718281828,2
11lim
en
en
n
El número e
Gráfica de f(x) = ex
x
y
xey
Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
x ex
0 1
1 2,71..
2 7,38..
x
y
xy 3xy 2
xey
Gráfica de f(x) = ex
Ejercicios
Ejercicio 1.5 (p. 63)1. Gráficas: 7, 8, 11 y 13.2. 17 y 183. Modelación: 23.
Composición de funciones
fg
entrada x g(x)
salidaf(g(x))
Función compuesta fog
Sean f y g funciones reales talesque Dom f Ran g ,entonces:
1. Dom(fog) = {x / xDomg g(x)Domf }
2. fog(x) = f(g(x))
Ejercicios
Ejercicio 1.3 (p. 48): 1. 36; 2. 38; 3. 54 y 55.
f
g
Note que: y = f(x) y x = g(y)
g(y)x. .y = f(x)
Diagrama de una función inversa
Definición
Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y rango C dominio de g es C y rango Dg es la inversa de f si se cumple: – g(f(x)) = x para todo x en D– f(g(x)) = x para todo x en C
Guía para hallar f -1
1. Verificar que f es inyectiva (*).2. Determinar Dom f -1 (**)3. Despejar x de y = f (x).
* Se recomienda realizar el gráfico y determinar el rango de f.
* * Dom f -1 = Ran f
Ejercicios
1. Ejercicio 1.6 (p. 73): 72. Ejercicio 1.6 (p. 73): 103. Dada la función f(x) = x2 - 1,
x<0; y grafique f y f -1 en un mismo plano.
Función logarítmo
log a x = y ay = x
a>1 y a≠1
• El logaritmo de un número x en una base a es el exponente y al que hay que elevar la base para obtener el número.
Ecuación logarítmicaEcuación
exponencialNMa log Ma N
2100log10 201,0log10
21
49 7log
100102 01,010 2
749 21
Exponenciales y logarítmos
xxy y 2log2
¼ -2½ -11 02 14 28 3
yx 2 y
x
y
graficamos…
Gráfica de f(x) = log 2 x
x
y
xy 2log
Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y
La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0)
¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?
¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?
x
y
xxf 2)(
xxg 2log)(
xy
(2; 4)
(4; 2)
Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica.
x
y
a = 2
seguir
xy alog
x
y
a = 2,5
seguir
xy alog
x
y
a = 3
seguir
xy alog
x
y
a = 3,5
seguir
xy alog
x
y
a = 4
seguir
xy alog
x
y
a = 4,5
seguir
xy alog
x
y
a = 5
seguir
xy alog
x
y
a = 1,6
seguir
xy alog
x
y
a = 1,2
seguir
xy alog
a = 0,8
x
y
seguir
xy alog
a = 0,7
x
y
seguir
xy alog
a = 0,6
x
y
seguir
xy alog
a = 0,5
x
y
seguir
xy alog
a = 0,4
x
y
seguir
xy alog
x
y
xy alog
a > 1
Función crecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncava hacia abajo
base
a
Conclusiones
x
y
xy alog
0 < a < 1
Función decrecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncavahacia arriba
a
base
Conclusiones
Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 y cualquier número real k:
MkM
NMN
M
NMNM
ka
a
ak
a
aaa
aaa
ka
a
a
loglog.6
logloglog.5
logloglog.4
log.3
01log.2
1log.1
Leyes de logarítmos
Para cualquier número positivo x.
xx loglog10
Logarítmo decimal o común
El logaritmo log10 x se llama logaritmo común de x y su forma abreviada es log x.
Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818..
Para cualquier número positivo x.
xxe lnlog
Logaritmo natural
x
y
e
Posee las características de toda gráfica logaritmica de base mayor que 1.
Gráfica de f(x) = ln x
Ejercicios
Ejercicio 1.6 (p. 73)1. De exponencial a logaritmo: 19 y 28.2. Función logaritmo: 42.3. Ecuaciones exponenciales: 49, 50,
51 y 52.4. Modelación: 55 y 56.
Tarea de conciencia
Ejercicio Capítulo 1 (p. 79)• 1, 2, 8, 10, 15, 16, 17c, 19,
23, 25, 27 y 28.