Función Exponencial. Función Logarítmica. Funciones ...

Función Exponencial

Función Logarítmica

Funciones Trigonométricas

Matrices

Medicina Veterinaria

Cátedra Matemática

2016 ISBN 978-950-554-993-1

Función exponencial, función logarítmica, funciones trigonométricas, matrices / Silvia

Estela Carando ... [et al.]. - 1a edición para el alumno - San Miguel de Tucumán :

Universidad Nacional de Tucumán. Facultad de Agronomía y Zootecnia, 2016.

Libro digital, PDF

Archivo Digital: descarga y online

ISBN 978-950-554-993-1

1. Matemática. I. Carando , Silvia Estela

CDD 510

Fecha de catalogación: 26 de febrero de 2016

Integrantes de Cátedra:

Mg. Lic. Norma A. Ramón de Lavilla Profesora Titular

Mg. Lic. Graciela S. Galindo Profesora Asociada

Ing. Agr. Alberto M. Manlla Profesor Adjunto

Lic. Liliana Noemí Isa Profesora Adjunta

Lic. Norma I. Macchioni de Zamora Profesora Adjunta

Esp. Lic. Silvia E. Carando Profesora Adjunta

Lic. Ana M. García Jefe de Trabajos Prácticos

Lic. María L. Vallejo de Márquez Jefe de Trabajos Prácticos

Ing. Electr. Adrián J. Gordillo Auxiliar Docente Graduado

PRÓLOGO

Este material didáctico está destinado a los alumnos de la carrera

de Medicina Veterinaria de la Facultad de Agronomía y Zootecnia

de la Universidad Nacional de Tucumán.

Los contenidos desarrollados, fundamentales para estudiantes de

esta carrera constan de teoría y práctica.

El objetivo propuesto es brindar a los estudiantes las herramientas

necesarias para aplicarlas con fluidez y así afianzar el desarrollo

de sus habilidades matemáticas.

Las autoras

ÍNDICE

Función Exponencial 1

Función Logística

Función Logarítmica

7

12

Funciones Periódicas y Funciones Trigonométricas 20

Matrices

Anexo: ¿Cómo resolver un problema?

34

50

Bibliografía 52

Función exponencial, Función logarítmica, Funciones trigonométricas, Matrices

Función exponencial

La función exponencial surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y decrecimiento de poblaciones humanas, con colonia de bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina, la química y otras disciplinas.

Definición: Se llama función exponencial a la expresión de la forma: y = a x con a ∧ x ∈ IR, a > 0 ∧ a ≠ 1 y se lee función exponencial de base a. Para estudiar la función exponencial consideremos que a > 1 ∧ 0 < a < 1. Por ejemplo: si a = 2 ⇒ y = 2 x y si a = 1/2 ⇒ y = (1/2) x Confeccionemos las tablas de valores y representemos gráficamente dichas funciones:

La gráfica de y = 2 x se llama curva testigo. La línea punteada (en rojo) se denomina asíntota.

Definición: Asíntota es la recta a la cual se aproxima indefinidamente la gráfica de una función.

Dominio y codominio Como y = f (x): El Dominio de la función se expresa: Dom f = IR El Codominio de la función se expresa: Cod f = (0, ∞ ) Observemos que para valores inversos de a las gráficas son simétricas respecto al eje y.

x y = 2 x y = (1/2) x – 2 1/4 4 – 1 1/2 2 0 1 1 1 2 1/2 2 4 1/4

Página 1

Función exponencial, Función logarítmica,

Funciones trigonométricas, Matrices

Página 2

Características de las gráficas

Si a > 1 la gráfica es la de una función creciente.

Si 0 < a < 1 la gráfica es la de una función decreciente.

Si a > 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje negativo x.

Si 0 < a < 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje positivo x.

La asíntota es el eje x, de ecuación y = 0.

El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función a.

La imagen de 1 es siempre la base de la función exponencial

f ( 1) = a a (1, a) G f

Influencia del parámetro b

Consideremos y = b . a x con a, b, x IR, a > 0, a 1, b 0.

Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo.

Mantengamos a = 2 y hagamos variar b.

Si b = 1 y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo.

x y = 2 x y = 2.2 x y = 3.2 x y = – 2 x

– 2 1/4 1/2 3/4 – 1/4

– 1 1/2 1 3/2 – 1/2

0 1 2 3 – 1

1 2 4 6 – 2

2 4 8 12 – 4

Observemos que:

Para valores opuestos de b se obtienen gráficas simétricas respecto al eje x.

Las gráficas se desplazan e intersectan al eje y en el punto (0, b) en lugar del punto

(0, 1) que es la intersección de la gráfica de la curva testigo.



Página 3

Si b > 0 la gráfica se encuentra en el semiplano superior respecto del eje x.

Si b < 0 la gráfica se encuentra en el semiplano inferior respecto del eje x.


Dom f = IR

Cod f = (0, ) si b > 0 y Cod f = (– , 0) si b < 0

Influencia del parámetro h

Consideremos y = a x + h con a, h, x IR, a > 0 a 1.


Mantengamos a = 2 y hagamos variar h.

Si h = 0 y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo.

x y = 2 x y = 2 x + 2 y = 2 x – 2

– 2 1/4 9/4 – 7/4

– 1 1/2 5/2 – 3/2

0 1 3 – 1

1 2 4 0

2 4 6 2

Observemos que:

El parámetro h influye desplazando la gráfica verticalmente respecto a la de la curva

testigo, h unidades hacia arriba si h > 0 y h unidades hacia abajo si h < 0.

El punto (0, 1 + h) G f , es la intersección con el eje y.

La asíntota es la recta de ecuación y = h.

Dom f = IR Cod f = (h, )

Influencia del parámetro c

Consideremos y = a c. x con a, c, x IR, a > 0, a 1, c 0.



Página 4


Mantengamos a = 2 y hagamos variar c.

Si c = 1 y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo.

x y = 2 x y = 2 2 . x y = 2 (1/2) . x

– 2 1/4 1/16 1/2

– 1 1/2 1/4 7/10

0 1 1 1

1 2 4 14/10

2 4 16 2

Observemos que:

El punto (0, 1) G f

Si c > 1 la gráfica se acerca a ambos ejes, es decir, la gráfica se acerca al semieje

negativo x y al semieje positivo y.

Si 0 < c < 1 la gráfica se aleja de los ejes, es decir, la gráfica se aleja del semieje

negativo x y del semieje positivo y.


Dom f = IR Cod f = (0, )

Si c < 0 no analizamos porque al tener un exponente negativo se invierte la base de la

potencia quedando elevada a un exponente positivo y ya hemos tratado.

Ejemplo: si c = – 1 y = 2 – x y = (1/2) x

Para valores opuestos de c las gráficas son simétricas respecto del eje y.

Expresión general de la función exponencial

Con todos los parámetros estudiados, la ecuación general de la función exponencial es:

y = b a c. x + h con a, b, c, h, x IR, a > 0, a 1, b 0, c 0



Página 5

Ejemplo:

Dada y = 3 . 2 2.x – 1/2

a) Represente gráficamente.

b) Explique la influencia de los parámetros en la función.

c) Dé dominio y codominio.

d) Escriba la ecuación de la asíntota.

a)

x y = 2 2x y = 3 . 2 2x y = 3 . 2 2x – 1/2

– 2 1/16 3/16 – 5/16

– 1 1/4 3/4 1/4

0 1 3 5/2

1 4 12 23/2

b)

a = 2, gráfica de función creciente.

h = – 1/2, desplazamiento vertical de la gráfica de 1/2 unidades hacia abajo respecto a

la de la curva testigo.

c = 2, la gráfica se acerca al semieje positivo y y a la recta de ecuación y = – 1/2.

b = 3, intersecta al eje y en el punto (0, b + h) = (0, 5/2). La gráfica se encuentra en el

semiplano superior respecto de la asíntota.

c) Dom f = IR Cod f = (– 1/2, )

d) Ecuación de la asíntota y = – 1/2.



Página 6

La función exponencial se presenta en un gran número de fenómenos de crecimiento animal,

vegetal, de bacterias, económicos, etc. En todos ellos la variable es el tiempo que

denotamos con t.

La expresión será: y = f (t) f (t) = a t

Problema de aplicación:

En un medio de cultivo de un laboratorio, se tiene que el número de bacterias presentes en

el tiempo está dado por Q (t) = 2.3 t , en donde t se mide en horas y Q (t) en miles de

bacterias.

a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias?

b) ¿Cuál es el número de bacterias a los 10 minutos?

c) ¿Cuál es el número de bacterias a la hora?

d) Grafique la función Q (t) entre 0 y 1 hora.

a) El número inicial de bacterias corresponde a t = 0 Q (0) = 2.3 0 Q (0) = 2

El número inicial es de 2000 bacterias.

b) Mediante regla de tres simple sacamos la fracción de hora a la que equivalen 10 min.

60’ 1 h

10’ x = 10/60 = 0,17 h

Entonces Q (0,17) = 2.3 0,17 Q (0,17) = 2,4

A los 10 minutos hay 2400 bacterias.

c) Q (1) = 2.3 1 Q (1) = 6

A la hora hay 6000 bacterias.

d)



Página 7

Función logística

¿La función exponencial es un modelo válido siempre?

En la práctica, los procesos de crecimiento de poblaciones de seres vivos (animales ó

vegetales) comienzan creciendo en forma exponencial hasta que, a partir de un cierto

punto, el crecimiento comienza a frenarse alcanzando la población un cierto nivel estable.

Este freno en el crecimiento puede ser debido a mala alimentación, epidemias,

depredadores, condiciones sanitarias precarias, guerras, etc.

Un caso típico son los ecosistemas biológicos donde ciertas especies basan su supervivencia

en altas tasas de reproducción ó natalidad.

Por ejemplo, en el crecimiento de una población de peces, el valor límite que alcanza esta

población está dado por el ambiente en que se desarrolla el proceso de crecimiento: podría

ser un acuario en el que no pueden vivir más que una determinada cantidad de peces, ó la

superficie de un lago que lo limita, ó la cantidad de alimento en una determinada región, etc.

El modelo adecuado para describir este tipo de crecimiento es el de la función logística,

cuya expresión es: positivosak,,ek1

ya

ll

t

Comparémosla con la exponencial:



Página 8

En la expresión ta

ek1y

l

se observa que:

l es la población límite ( y = l es la asíntota cuando t )

Cuando t 0e

ka

t

1 + k e – a t = 1 y = l

k1

l es la población correspondiente a t = 0

Si t es pequeño la función logística es aproximadamente igual a la función exponencial.


Una cierta población de moscas en función del tiempo está dada por la ecuación:

t0,02

e9991

1.000.000y

a) ¿Cuál es la población inicial?

b) ¿Cuál es la población límite?

a) La población inicial la tenemos cuando t = 0

00,02

e9991

1.000.000y

.

.0001

1.000.000y y = 1.000

La población inicial es de 1.000 moscas.

b) La población límite la tenemos cuando t 0e

9990,02

t

y = 1.000.000

La población límite es de 1.000.000 de moscas.



Página 9

Ejercicios propuestos

1- Se sabe que un cierto cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 1000

bacterias:

a) Complete la tabla que obtendrá el investigador:

t (tiempo en horas) 0 1 2 3 4 5 6

N (t) (número de

bacterias) ... ... ... ... ... ... ...

b) Determine la función N (t) que describe el crecimiento de la población.

c) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 50 hs?

d) ¿Cuánto tiempo habrá pasado si la población es de 32000 bacterias?

2- Dadas las gráficas, determine:

a) el valor del parámetro a.

b) la ecuación que la representa.

c) dominio y codominio.

2-1) 2-2)

3- Determine el valor de a y b para la función exponencial y = b.a x, sabiendo que la

gráfica de la función pasa por los puntos (1, 3) y (2, 6).



Página 10

4- Encuentre el valor de z para que el punto de coordenadas (1, 2) pertenezca a la gráfica

de la función exponencial:

4-1) y = 10 x + z 4-2) y = 3 x – z

4-3) y = – 2 x + ( z 2 + 3 z ) 4-4) y = e x – 2

z

5- Represente gráficamente la función f (x) = 3 x

a) Utilice la gráfica de f para obtener la de F (x) = 3 x – 2 y la de H (x) = 3 x + 1

b) Determine la asíntota, el dominio y el codominio de las funciones F y H.

6- a) Represente la función.

b) Explique la influencia de los parámetros en la representación.



6-1) y = 2

1. 3 x 6-2) y =

x

3

1

6-3) y = 2 3 x 6-4) y = 2 3 x – 2

6-5) y = e x 6-6) y = e x + 2

1

7- El número de bacterias en un cultivo está dado por la fórmula n (t) = 500.e 0,45 t

donde t se mide en horas.

a) ¿Cuál es la población inicial del cultivo (en t = 0)?

b) ¿Cuántas bacterias contendrá el cultivo al tiempo t = 5?

8- Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos

desórdenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la

masa que queda después de t días está dada por la función m (t) = 6.e - 0,087 t

donde m (t) está dada en gramos.

a) Determine la masa en el tiempo t = 0

b) ¿Cuánta masa queda después de 20 días?



Página 11

9- Un barril está lleno de agua pura. Si se bombea agua salada, la mezcla resultante se

derrama a la misma velocidad. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t está dada

por Q (t) = 15 (1 – e - 0,04 t) donde t se mide en minutos y Q (t) se mide en libras.

a) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 5 minutos?

b) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 10 minutos?

c) Trace la gráfica de la función Q (t).

d) Determine el valor al que tiende la cantidad de sal en el barril conforme t se

hace grande.

10- Al estudiar la tasa de crecimiento de cierta población a partir del año 2010, se observa

que responde a un modelo exponencial de la forma P(x) = 10000 . 1,02 x

Donde x representa el tiempo en años y P(x) el número de individuos.

a) ¿Cuántos individuos había en el año 2010?

b) ¿Cuántos en el año 2014?

c) ¿En qué año, aproximadamente, la población alcanzará los 11950 individuos?

11- La expresión que relaciona la altura a (en m), con el peso promedio p (en kg) de

niños de 5 a 13 años es p (a) = 2,4 e 1,84 a

a) Estime el peso promedio de niños de 1 m y de 1,50 m.

b) Represente gráficamente.

12- La población de moscas en una isla en función del tiempo t se expresa por:

y = t0,121

2000

a) ¿Cuál es la población inicial?

b) Encuentre la población para t = 10

c) ¿Qué población habrá cuando t ?



Página 12

Función logarítmica

La función exponencial y = a x admite función inversa y se denomina función logarítmica.

Definición:

Se llama función logarítmica de base a, a toda expresión de la forma:

y = log a x con a x IR, a > 0, a 1 x > 0

Para estudiar la función logarítmica consideremos que a > 1 0 < a < 1.

Si a > 1, por ejemplo: a = 2 y = log 2 x 2 y = x

A la gráfica de la función y = log 2 x llamaremos curva testigo.

Confeccionemos la tabla de valores y representemos gráficamente:

y = log 2 x es la inversa de y = 2 x y sus gráficas son simétricas a la primera bisectriz, de

ecuación y = x.

Si 0 < a < 1

Por ejemplo: a = 1/2 y = log 1/2 x (1/2) y = x

Sabemos que y = log 1/2 x es la inversa de y = (1/2) x.


x y

1/4 – 2

1/2 – 1

1 0

2 1

4 2



Página 13

Vemos que para valores inversos de a las gráficas son simétricas respecto al eje x.

La línea punteada (en rojo) se denomina asíntota.

Definición:

Asíntota es la recta a la cual se aproxima indefinidamente la gráfica de una función.

Dominio y codominio

Como y = f (x):

El dominio de la función se expresa: Dom f = (0, )

El codominio de la función se expresa: Cod f = IR

Características de las gráficas

Si a > 1 la gráfica es la de una función creciente.

Si 0 < a < 1 la gráfica es la de una función decreciente.

Si a > 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje negativo y.

Si 0 < a < 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje positivo y.

La asíntota es el eje y, de ecuación x = 0.

El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de la función a.

La imagen de la base es siempre la unidad

f (a) = 1 a (a, 1) G f

Influencia del parámetro b

Consideremos y = b . log a x con a, b, x IR, a > 0, a 1, x > 0, b 0


Mantengamos a = 2 y hagamos variar b.

Si b = 1 y = log 2 x, tenemos la gráfica de la curva testigo.


x y

1/4 2

1/2 1

1 0

2 – 1

4 – 2



Página 14

x y = log 2 x y = 2.log 2 x y = 1/2.log 2 x y = – log 2 x

1/2 – 1 – 2 – 1/2 1

1 0 0 0 0

2 1 2 1/2 – 1

4 2 4 1 – 2

Observemos que:

Dom f = (0, ) Cod f = IR

El punto (a, b) G f.

Si b > 1 la curva se aleja de los ejes x e y.

Si 0 < b < 1 la curva se acerca a los ejes x e y.

Si b < 0 la gráfica es la de una función decreciente.


Para valores opuestos de b se obtienen gráficas simétricas respecto al eje x.


Consideremos y = log a x + h con a, h, x IR, a > 0, a 1, x > 0


Mantengamos a = 2 y hagamos variar h.

Si h = 0 y = log 2 x, tenemos la gráfica de la curva testigo.




Página 15

x y = log 2 x y = log 2 x + 2 y = log 2 x – 2

1/2 – 1 1 – 3

1 0 2 – 2

2 1 3 – 1

4 2 4 0

Observemos que:

El parámetro h influye desplazando la gráfica verticalmente respecto a la de la curva

testigo, h unidades hacia arriba si h > 0 y h unidades hacia abajo si h < 0.

El punto (1, h) G f cambia el punto de intersección con el eje x.

Dom f = (0, ) Cod f = IR


Influencia del parámetro k

Consideremos y = log a (x – k) con a, x, k IR, a > 0, a 1, (x – k) > 0


Mantengamos a = 2 y hagamos variar k.

Si k = 0 y = log 2 x, tenemos la gráfica de la curva testigo.

Observemos que x – k > 0 x > k Dom f = (k, ) Cod f = IR

Confeccionemos tablas de valores y representemos gráficamente:



Página 16

x y = log 2 x x y = log 2 (x – 2) x y = log 2 (x + 2)

1/2 – 1 5/2 – 1 – 3/2 – 1

1 0 3 0 – 1 0

2 1 4 1 0 1

4 2 6 2 2 2

Observemos que:

El parámetro k influye desplazando la gráfica horizontalmente respecto a la de la curva

testigo, k unidades hacia arriba la derecha si k > 0 y k unidades hacia la izquierda

si k < 0.

El punto (1 + k, 0) G f , es la intersección con el eje x.

La asíntota cambia, es la recta de ecuación x = k.

Con todos los parámetros estudiados, la ecuación general de la función logarítmica es:

y = b . log a (x – k) + h con a, x, b, k, h IR, a > 0, a 1, (x – k) > 0, b 0

Ejemplo:

Dado y = (1/2) log 3 (x – 3)

a) Represente la función.

b) Dé dominio y codominio.

c) Explique la influencia de los parámetros en la representación.




Página 17

a) x – 3 > 0 x > 3 b) Dom f = (3, ) Cod f = IR

c)

a = 3 (a > 1) f es creciente.

k = 3 (k > 0) f se desplaza 3 unidades hacia la derecha respecto de la curva

testigo y el punto (1 + k, 0) G f (4, 0) G f es la intersección de la

gráfica con el eje x.

b = 1/2 (0 < b < 1) (a + k, b) G f (3 + 3, 1/2) (6, 1/2) G f. Se acerca

al eje x y a la recta x = 3.

d) Ecuación de la asíntota x = 3.

Ejemplo:

Encuentre el valor de k para que la función y = log (x + k + 2) corte al eje x en 4.

Si la función corta al eje x en 4 (4, 0) G f las coordenadas del punto deben

verificar a la expresión de la función 0 = log (4 + k + 2) 0 = log (k + 6) y aplicando

la definición de logaritmo podremos determinar el valor de k:

0 = log (k + 6) 10 0 = k + 6 1 = k + 6 k = – 5

x y = log 3 (x – 3) y = (1/2) . log 3 (x – 3)

10/3 – 1 – 1/2

4 0 0

6 1 1/2



Página 18


1- Dadas las gráficas, determine:

a) el valor del parámetro a.

b) la ecuación que la representa.

c) dominio y codominio.

1-1) 1-2)

2- Encuentre el valor de u para que la función logarítmica corte al eje x en 4:

2-1) y = log 2 x + u 2-2) y = log 4 x – u

2-3) y = log 4 x + (u 2 + 2 u) 2-4) y = log 1/2 x – 2

u

3- Encuentre el valor de v para que la función logarítmica corte al eje x en 5:

3-1) y = log (x – v) 3-2) y = log (x + v – 1)

3-3) y = log (x + v + 1) 3-4) y = log (x – v 2)

4- a) Utilice la gráfica de f (x) = log 2 x para obtener la de g (x) = log 2 x + 1 y la de

h (x) = log 2 (x – 1).

b) Determine la asíntota, el dominio y el codominio de las funciones g y h.

5- a) Represente la función.

b) Explique la influencia de los parámetros en la representación.





Página 19

5-1) y = log 3 x 5-2) y = log 1/3 x

5-3) y = log 3 (x + 3) 5-4) y = 2 . log 3 (x – 2)

5-5) y = ln x 5-6) y = ln x + 2

6- Para estimar la edad t, en años, de un hueso fósil, donde x es el porcentaje (expresado

como decimal) de carbono 14 todavía presente en el fósil, a veces se usa la fórmula:

t = – 810 ln x

a) Estime la edad de un hueso fósil que contiene 4% de carbono 14 que se encuentra

en una cantidad igual de carbono en un hueso en la actualidad.

b) Calcule el porcentaje (%) de carbono 14 presente en un fósil de 10000 años de

antigüedad.

7- La intensidad (L) en decibeles de un sonido de intensidad I se define por:

0I

Ilog10L , donde I0 es la mínima intensidad detectada por el oído humano.

Si un auto que tiene sonido con una intensidad I de 3.100.000 veces I0, calcule la

intensidad en decibeles del mismo.

8- Se detectaron en una granja dos animales con un virus. El número de días t que

transcurrieron para que el virus infectara a n animales está dado por:

n4998

n 10000ln1.43t

¿Cuántos días se requiere para que el virus infecte a 5000 animales?



Página 20

FUNCIONES PERIÓDICAS – FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se vieron ya características en funciones y ellas eran inherentes a la situación que se

trataba de representar: funciones simétricas, pares, impares, crecientes, decrecientes,

etc.

Vamos a ver ahora funciones que están vinculadas con un fenómeno cíclico, como la

respiración, el ritmo cardíaco, el día y la noche, las estaciones, etc., muchas de ellas de

gran importancia en el aspecto biológico.

Estas funciones que responden a fenómenos cíclicos y que sus gráficas tienen carácter

repetitivo, se llaman funciones periódicas.

Supongamos tener un electrocardiograma, donde la gráfica del voltaje en el músculo

cardíaco respecto al tiempo, es la siguiente:

Vemos que una parte de la curva se repite regularmente y la llamamos ciclo.

También para determinados valores de la variable independiente que difieren entre sí en T,

2T, 3T,…, la función toma el mismo valor.

T es la longitud de los ciclos, es decir, la porción de la curva que se repite.

Definición:

Una función f tal que f (x + T) = f (x) x dom f, T IR T 0, se dice que es una

función periódica.

El menor valor positivo T se llama período de f.

V (t)

t t

V (t)

t0 - T t0 t0 + T t0 + 2 T



Página 21

En el caso del círculo trigonométrico el período es 2, ya que a partir de él los valores se

repiten.

Muchos fenómenos de la naturaleza se estudian mediante funciones periódicas. Vamos a

detenernos a estudiar las que en biología son más importantes que son las que representan

la onda senoidal, es decir, la función trigonométrica seno.

Definición:

La función seno que le hace corresponder a cada ángulo x un número real, se define como

y = sen x

Consideremos el círculo trigonométrico, (de radio igual a la unidad, y centro en el origen de

coordenadas) y un punto móvil sobre él que partiendo de (1, 0) lo recorre en sentido

positivo; a medida que lo recorre va describiendo un arco de longitud x.

1 P(x, y)

sen x

- 1 x 1 x

- 1

Cuadrante I II III IV

x 0 /2 /2 3/2 3/2 2

sen x 0 1 1 0 0 – 1 – 1 0

La función y = sen x tiene Dom f = IR Cod f = [– 1, 1].

Vamos a considerar sólo el 1er ciclo, ya que ocurre exactamente lo mismo en los otros ciclos,

y a esta curva llamaremos curva testigo. En ella Dom f = [0, 2], Cod f = [– 1, 1], T = 2.

Su tabla de valores y gráfica correspondiente serán:

x 0 /2 3/2 2

xsen 0 1 0 –1 0



Página 22

Influencia del parámetro a

Consideremos y = a sen x con a, x IR, a 0.

Comparemos la gráfica de la curva testigo haciendo variar a, consideremos y = 2 sen x;

y = (1/2) sen x; y = – sen x

x 0 /2 3/2 2

xsen 0 1 0 –1 0 xsen 2 0 2 0 –2 0

xsen (1/2) 0 1/2 0 –1/2 0

– xsen 0 –1 0 1 0

En el eje horizontal

2 = 6,28



Página 23

De los gráficos realizados en el mismo sistema de coordenadas observemos que:

Si a > 1 la cresta y el valle son más pronunciados.

Si 0 < a < 1 la cresta y el valle son más amortiguados.

Si a < 0 la gráfica se invierte con respecto a la de la curva testigo.

Además, la gráfica de la función oscila entre – a y a, esta variación de la cresta y el valle

se llama amplitud y por lo tanto la amplitud es la elongación de la onda y se denota a .

Conclusión:

1aSi , la amplitud de la onda es mayor que la de la curva testigo.

1aSi , la amplitud de la onda es menor que la de la curva testigo. (no se pone 1a0

ya que el valor absoluto es una cantidad positiva).


Consideremos y = a sen x + h con a, h, x IR, a 0.

Para estudiar su comportamiento, con respecto a la curva testigo, consideremos a = 1 y

hagamos variar h, grafiquemos las funciones y = sen x; y = sen x + 2 e y = sen x – 2.

x 0 /2 3/2 2

xsen 0 1 0 –1 0 2 xsen 2 3 2 1 2

2 - xsen –2 –1 –2 –3 –2



Página 24

Conclusión:

El parámetro h, respecto a la gráfica de la curva testigo produce un desplazamiento

vertical, h unidades hacia arriba si h > 0 y h unidades hacia abajo h < 0.

Influencia del parámetro c

Consideremos y = a sen c x + h con a, h, c, x IR, a 0 c 0.

Para estudiar su comportamiento, con respecto a la curva testigo, tomaremos para valores

de c > 0. Para estudiar su comportamiento, con respecto a la curva testigo, consideremos

a = 1 y hacemos variar c, graficando las funciones y = sen 2 x e y = sen (1/2) x.

Para facilitar la representación gráfica y ser coherentes con lo que veníamos haciendo, ya

que sabemos calcular el seno de algo, que es un ángulo; siempre llamaremos al argumento

de la función trigonométrica.

O sea: En y = sen 2 x = 2 x x = /2, para poder escribir en un mismo cuadro

ambas funciones, llamaremos x = x 1.

En y = sen (1/2) x = (1/2) x x = 2 , llamaremos x = x 2.

0 /2 3/2 2

sen 0 1 0 –1 0

x1 0 /4 /2 3/4

x2 0 2 3 4

T = 4

T = T = 2



Página 25

La longitud en que se cumple un ciclo completo se llama período, recordemos que en la curva

testigo el período es 2.

Cuando c x = 2 x = c

2 es el período de y = sen c x.

Entonces el período es T = c

2

En la curva testigo c = 1 T = 2.

El valor de c modifica el período. Si c = 2 el período es y si c = 1/2 el período es 4.

De la observación de los gráficos se concluye que:

Si c = 2 el período es la mitad del período de la curva testigo.

Si c = 1/2 el período es el doble del período de la curva testigo.

Entonces en el período de la curva testigo puedo tener parte de un ciclo ó más de un ciclo

representado, según el valor de c.

El número de oscilaciones ó ciclos que tienen lugar en el período de la curva testigo (2), se

denomina frecuencia de la onda.

Por lo tanto la frecuencia de y = sen 2 x, es 2, significa que en el período de la curva

testigo hay 2 veces la gráfica de la función y la frecuencia de y = sen (1/2) x, es 1/2,

significa que en el período de la curva testigo se encuentra la mitad de la gráfica de la

función.

Conclusión:

Si c > 1 el período es menor que el de la curva testigo y aumenta la frecuencia.

Si 0 < c < 1 el período es mayor que el de la curva testigo y disminuye la frecuencia.

Si c < 0, por ejemplo c = – 1 y = sen (– x) = – sen x ya vimos que en ese caso se

invierte la curva.

Influencia del parámetro k

Consideremos y = a sen c (x – k) + h con a, h, c, k, x IR, a 0 c 0.

Comparemos la gráfica de la curva testigo con las que se obtiene cuando:

a = 1, c = 1, h = 0 k = /4 y = sen (x – /4) y

a = 1, c = 1, h = 0 k = – /4 y = sen (x + /4)



Página 26

Para analizar llamaremos: = x – /4 x1 = + /4 = x + /4 x2 = – /4

0 /2 3/2 2

sen 0 1 0 – 1 0

x1 /4 3/4 5/4 7/4 9/4

x2 – /4 /4 3/4 5/4 7/4

Conclusión:

El parámetro k, respecto a la gráfica de la curva testigo produce un desplazamiento

horizontal, k unidades hacia la derecha si k > 0 y k unidades hacia la izquierda si k < 0.

Este desplazamiento horizontal se llama desfase de la onda y k se llama ángulo de fase.

El mismo estudio que se realizó para la función seno vale para la función coseno.

Expresión general de la función seno

Con todos los parámetros estudiados, la ecuación general de la función seno es:

y = a sen c (x – k) + h donde a, c, k, h IR a 0 c 0

Ejemplo:

Sin hacer tabla de valores, grafique e indique la influencia de los parámetros con respecto

a y = sen x, con la correspondiente función: y = 3 – sen (–/2 + x)



Página 27

a = – 1, invierte la gráfica respecto a la de la curva testigo.

c = 1, tiene igual período que la curva testigo. (2)

k = /2, la curva se desplaza /2 unidades hacia la derecha respecto de la de la curva

testigo.

h = 3, la curva se desplaza 3 unidades hacia arriba respecto de la de la curva testigo.

Ejemplo:

Confeccione tabla de valores y represente y = 2 cos (2 x – /3) + 5/2

Como = 2 x – /3 x = ( + /3)/2

0 /2 3/2 2

cos 1 0 – 1 0 1

2 cos 2 0 – 2 0 2

2 cos + (5/2) 9/2 5/2 1/2 5/2 9/2

x /6 5/12 2/3 11/12 7/6



Página 28


En un modelo de predador/presa, la población del predador se modela mediante la función

y (t) = 900 cos (2 t) + 8000 donde t se mide en años.

a) ¿Cuál es la población máxima?

b) Determine el tiempo entre períodos sucesivos de población máxima.

a) La población será máxima cuando cos (2 t) = 1 y máx = 900 . 1 + 8000

y máx = 8900.

La población máxima es de 8.900 predadores.

b) T = c

2 T =

2

2 T = 3,14

El tiempo entre períodos sucesivos de población máxima es de 3,14 años.



Página 29



Página 30


FUNCIONES PERIÓDICAS

1- Determine si la función cuya gráfica se muestra es periódica. Si es así, calcule el

período.

a) b)

c) d)

e) f)

1 2 3 x

T

y

1 2 3 x



Página 31

2- En una región de pedemonte se registran los promedios mensuales de lluvias durante el

año 2012 y se confecciona una tabla:

Lluvias en el pedemonte - Año 2012

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Promedio

mensual 400 mm 300 mm 150 mm 510 mm 680 mm 390 mm 400 mm 300 mm 150 mm 510 mm 680 mm 390 mm

2-1) Represente gráficamente.

2-2) ¿Se trata de una función periódica? ¿Por qué?

2-3) ¿Cuántos períodos de lluvia se registraron a lo largo del año 2012? ¿En qué meses?

3- Seleccione la opción que considere correcta.

Función periódica es aquella que cumple con:

a) f (x) = f (x) + T , x dom f, T R T ≠ 0

b) f (x) = f (x . T), x dom f, T R T ≠ 0

c) f (x) = f (x + T), x dom f, T R T ≠ 0

d) f (x) = f (x / T), x dom f, T R T ≠ 0


El período de la función cuya gráfica se da, es:

a) T = 1

b) T = 4

c) T = 3

d) T = 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1- Complete el cuadro colocando el valor correspondiente en cada columna

Función

0 x 2

Amplitud

Período

T = c2 / Ángulo de

fase

Desplazamiento

vertical

y = 2 sen x + 3

y = – 3 sen 3 x – 2

y = – sen ( x – )/ 2

y = – 3 cos 2 x

y = – 3 cos ( x + 2/ ) + 1

y = – sen ( 2 x – 2/ ) – 3



Página 32

2- Sin hacer tabla de valores grafique e indique la influencia de los parámetros con

respecto a y = sen x ó y = cos x, con la correspondiente función:

2-1) y = – 3 sen (2 x – ) 2-2) y = cos x – 2

2-3) y = 3 – sen (–/2 + x) 2-4) y = – 1 + 3 cos (2x +/2)

3- Confeccione tabla de valores y represente:

3-1) y = – 3 sen (2 x – ) (compruebe con 2-1) 3-2) y = 2 sen (2 x +/2)

3-3) y = – 1/2 sen 2 x + 3 3-4) y = – 4 cos (2 x –/4) – 1

3-5) y = – 3/2 cos (2 x + ) 3-6) y = 2 cos (2 x –/3) + 5/2


La gráfica de la expresión y = a sen (x – k), con a > 1 y k < 0 se desplaza hacia:

a) la derecha y disminuye la amplitud b) arriba y aumenta la amplitud

c) la izquierda y aumenta la amplitud d) abajo y disminuye la amplitud

5- En el proceso de la respiración se alternan momentos de inhalación y exhalación, que se

pueden describir mediante la función:

f (t) = 0,6 sen (/2).t

siendo t el tiempo medido en segundos y f (t) el caudal de aire medido en litros por

segundo.

a) Represente la función entre 0 y 4 segundos.

b) ¿Cuánto tiempo dura una inhalación? ¿Y una exhalación?

c) ¿Cuánto vale el período de la función?

d) Indique en que tiempo el caudal de aire es nulo, máximo y mínimo.

6- Al afinar un piano, un técnico golpea un diapasón y produce una onda que viene dada

aproximadamente por:

y (t) = 0,001 sen 880 .t , donde t es el tiempo en segundos.

a) ¿Cuál es el valor de la amplitud?

b) ¿Cuál es el valor del parámetro c?

c) Calcule el período de la función.

7- En un modelo de predador/presa, la población del predador se modela mediante la

función:

y (t) = 900 cos (2 t) + 8000, donde t se mide en años.



Página 33

a) ¿Cuál es la población máxima?

b) Determine el tiempo entre períodos sucesivos de población máxima.

8- Cuando una ola pasa por los pilotes fuera de la playa, la altura del agua está modelada

mediante la función:

h (t) = 3 cos (/10).t , donde h (t) es la altura en pies por arriba del nivel

medio del mar en el tiempo t segundos.

a) Determine el período de la ola.

b) Calcule la altura de la ola, es decir, la distancia vertical entre el valor mínimo y el

valor máximo.

9- Las estrellas variables son aquellas cuya brillantez varía en forma periódica. Una de las

más visibles es Leónidas R; su brillantez está modelada por la función:

b (t) = 7,9 – 2,1 cos (/156).t , donde t se mide en días.

a) Identifique todos los parámetros de la función.

b) Calcule el período en días.

c) Determine la brillantez máxima y la mínima.

d) Grafique la función b(t).



Página 34

Matrices

El álgebra matricial tiene múltiples aplicaciones ya que permite utilizar una gran cantidad

de datos para organizarlos de manera simple en una tabla que se puede representar

mediante una matriz. Su importancia se pone de manifiesto en la simplicidad con que se

pueden resolver problemas que se presentan en muchas ramas de la matemática. Una de sus

aplicaciones, es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Con el uso de matrices se puede modelar situaciones de la vida real, como el horario de los

distintos medios de transporte que se exponen en sus respectivas terminales, la tabla de

cotización de la Bolsa en cada día de la semana, el registro en milímetros de lluvia caída

durante determinado tiempo, etc.

Supongamos que se dispone del registro de los alumnos de 1er año de la Facultad de

Agronomía y Zootecnia en cierto período lectivo, según carrera y sexo, y se lo detalla en

una tabla:

Varones Mujeres

Ing.

Agrónomo

245

78

Ing.

Zootecnista

21

37

Médico

Veterinario

94

61

Esta colección de elementos se puede expresar como una matriz de la forma:

A =

6194

3721

78245

Definición:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.

Se denota con una letra mayúscula y sus elementos con letras minúsculas:

A =

mnjm2m1m

inji2i1

2nj22221

n1j11211

aaaa

aaaia

aaaa

aaaa



Página 35

Ésta es una matriz de orden ó dimensión m x n. Es decir, el orden de una matriz es igual al

número de filas por columnas que posee.

Los aij se denominan elementos y no necesariamente son números reales, pueden ser

también parámetros, funciones, características descriptivas, etc.

El elemento aij está ubicado en la fila i, columna j.

A =

jia Se denota A = (a i j)

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y sus elementos

correspondientes son iguales.

Si A = (a i j) y B = (b i j) son del mismo orden, entonces:

A = B a i j = b i j i j

Ejercicio resuelto

Dadas las matices: A = 2x2

12)(3

10

y B =

2x2

0

21

3

e0

, analice si A = B.

Para que sea A = B, las matrices deben ser del mismo orden; en este ejercicio, ambas son

de 2x2 y además los elementos correspondientes deben ser iguales, es decir:

a 11 = b 11 = 0 a 12 = b 12 pues e 0 = 1

a 21 = b 21 = 3 a 22 = b 22 pues (– 2) – 1 = – 2

1 A = B

Matriz columna ó vector columna

Es la matriz que tiene sus elementos dispuestos en una sola columna.

A =

mx1m1

31

21

11

a

a

a

a

El orden de la matriz A es mx1.

Matriz fila ó vector fila

Es la matriz que tiene sus elementos dispuestos en una sola fila.

B = 1xn1n131211 bbbb

El orden de la matriz B es 1xn.



Página 36

Matriz cuadrada

Cuando el número de filas es igual al número de columnas, la matriz se dice cuadrada.

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Los elementos a i j de A, tales que i = j constituyen la diagonal principal.

Matriz diagonal

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos 0, excepto los de la diagonal

principal.

A =

33

22

11

a00

0a0

00a

Ejemplo:

D =

300

010

005

Matriz escalar

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos 0, excepto los de la diagonal

principal que son iguales a un mismo escalar k 0.

E =

k00

0k0

00k

Ejemplo:

E =

500

050

005



Página 37

Matriz identidad ó unidad

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos 0, excepto los de la diagonal

principal que son iguales a 1.

I =

100

010

001

Matriz triangular inferior

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a

0.

Si A es una matriz triangular inferior, se cumple que a i j = 0 con i < j.

A =

333231

2221

11

aaa

0aa

00a

Ejemplo:

A =

342

017

005

Matriz triangular superior

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por debajo de la diagonal principal

iguales a 0.

Si A es una matriz triangular superior, se cumple que a i j = 0 con i > j.

A =

33

2322

131211

a00

aa0

aaa

Ejemplo:

A =

600

390

521

Matriz simétrica

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos simétricos respecto a la diagonal

principal, iguales. Es decir, los elementos a i j = a j i con i j.



Página 38

Ejemplo:

S =

02/37

2/313

735

Matriz nula

Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0.

O =

00

00

00

Matriz opuesta

La matriz opuesta de una matriz es la que se obtiene cambiando el signo a todos los

elementos de la matriz dada.

– A es la matriz opuesta de A.

Si A = (a i j) entonces – A = (– a i j)

Ejemplo:

Si A =

08

27

1/21

su matriz opuesta es – A =

08

27

1/21

Matriz transpuesta

La matriz transpuesta de una matriz es la que se obtiene intercambiando las filas por las

columnas correspondientes.

A T es la matriz transpuesta de A.

Ejemplo:

Si A =

3x203

24

1/21

su matriz transpuesta es A T = 2x3

021/2

341



Página 39

Operaciones con matrices

Hemos definido una matriz de orden m x n como un arreglo rectangular de elementos

dispuestos en m filas y n columnas.

En condiciones adecuadas se pueden sumar, restar y multiplicar matrices.

La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas, ya que

tienen un sentido muy preciso e informativo.

El álgebra de matrices fue desarrollada por el matemático inglés Arthur Cayley en 1857.

Suma de matrices

Es posible sólo si las matrices tienen el mismo orden. En tal caso, se suman elemento a

elemento.

Sean A = (a i j ) y B = (b i j ) dos matrices del mismo orden m x n. Entonces la

suma de

A + B es la matriz C de orden m x n, cuyos elementos están dados por la suma de los

elementos correspondientes.

A + B = (a i j ) + (b i j ) C = (a i j + b i j )

C

nmnmm2m2m1m1

n2n222222121

n1n112121111

bababa

bababa

bababa

Ejercicio resuelto

Dadas las matrices A =

3x243

05

31

y B =

3x236

51

30

, obtenga la suma.

3x243

05

31

+

3x236

51

30

=

3x213

54

01

nm2m1m

n22221

n11211

nm2m1m

n22221

n11211

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA



Página 40

Propiedades de la suma de matrices

La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + A

El elemento neutro de la suma es la matriz nula: A + O = A.

La suma de matrices es asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

Producto de un escalar por una matriz

El producto de un número real k, llamado escalar, por una matriz A, es la matriz k . A, que

se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho número.

Sea k un escalar y A = (a i j ) una matriz de orden m x n. Entonces:

k . A = k . (a i j ) = (k . a i j )

nm2m1m

n22221

n11211

akakak

akakak

akakak

A.k

Propiedades del producto de un escalar por una matriz

1 . A = A

k . (h . A) = (k . h) . A

Diferencia de matrices

Se define como la suma de una matriz y la opuesta de otra matriz.

O sea: Si A = (a i j ) y B = (b i j ) son dos matrices del mismo orden m x n . Entonces

A – B = A + (– B) donde – B = (– 1) . B

Escalar

Propiedad de la diferencia de matrices

La suma de una matriz y su opuesta, da el elemento neutro de la suma, es decir la matriz

nula.

A – A = A + (– A) = O

nm2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

.kA.k



Página 41

Ejercicio resuelto

Sea P el vector fila ó matriz de precios de 4 insecticidas (100 50 49 30). Si el

comerciante decide realizar una rebaja del 10 % en dichos productos, calcule la matriz

bonificación B y la matriz precio de venta V.

Matriz de precios: P = (100 50 49 30)

La rebaja del 10 % sería: 0,1 . (100 50 49 30)

Matriz bonificación: B = (10 5 4,9 3)

Matriz precio de venta: P – B = (100 – 10 50 – 5 49 – 4,9 30 – 3)

V = (90 45 44,1 27)

Producto de matrices

Si bien la suma de matrices y el producto por un escalar se define en forma muy sencilla, el

producto de matrices no es tan fácil.

Para darle sentido al producto de matrices, comenzaremos multiplicando dos matrices

especiales: un vector fila (demanda) y un vector columna (precio).

Ejercicio resuelto

Un comerciante desea saber el ingreso que le deja la venta de 4 marcas de plaguicidas de

las que se conoce el precio unitario.

Sea D el vector demanda (nº de plaguicida de cada marca que vende) de 4 plaguicidas

D = (30 20 40 10) 1 x 4 y P el vector de precio unitario de cada plaguicida

P =

4x140

18

15

20

El ingreso será la suma de la cantidad que vende de cada plaguicida por su precio unitario.

Por lo tanto el comerciante obtendrá el ingreso multiplicando D . P:

I = D . P I = 1x410402030 .

4x140

18

15

20

I = 1x1

40.1018.4015.2020.30 I = 2020

El orden de la matriz ingreso es 1x1, por lo que el resultado es un escalar.

Por lo tanto la venta de plaguicidas le deja una ganancia de $ 2020.



Página 42

Generalizando: 1xn1n131211 aaaa .

nx1n1

31

21

11

b

b

b

b

es:

A . B = (a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 + . . . + a 1n b n1 ) 1x1 un escalar.

Dos matrices cualesquiera no se pueden multiplicar, salvo que el número de columnas de la

primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

Definición:

Sean A = (a i j ) mxp y B = (b i j ) pxn . Entonces el producto de A . B es una matriz

C = (c i j ) mxn tal que cada elemento c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + a i 3 b 3 j + . . . + a i p b p j

A . B =

mp2m1m

pi2i1i

p22221

p11211

aaa

aaa

aaa

aaa

.

npjp2p1p

n2j22221

n1j11211

bbbb

bbbb

bbbb

i-ésima fila de A j-ésima columna de B

Ejercicio resuelto

Dadas las matrices A =

14

01 y B =

3

5, determine si se puede realizar el producto

de A . B y en caso afirmativo encuentre su resultado.

Como el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda

matriz, ellas pueden multiplicarse.

nm2m1m

n22221

n11211

ccc

ccc

ccc

2x12x12x21.34.5

0.31).5(

3

5

14

01



Página 43

Propiedades del producto de matrices

Son válidas siempre que sea posible realizar el producto.

El producto de matrices es asociativa: A . ( B . C ) = ( A . B ) . C

El elemento neutro del producto es la matriz identidad: A . I = A

El producto de matrices es distributivo: A . ( B + C ) = A . B + A . C

El producto de matrices no es conmutativo: A . B B . A

Si puede realizarse A . B, en general, no puede realizarse B . A;

sólo es posible si las matrices son cuadradas, pero en general : A . B B . A

Ejercicio resuelto

Sean

23

12By

54

31A . Pruebe si se cumple la propiedad conmutativa.

1423

711B.A;

23

12.

54

31B.A

A . B B . A

15

12A.B;

54

31.

23

12A.B

No se cumple la propiedad conmutativa. Vemos que las matrices resultantes son distintas

porque a pesar de que son cuadradas no coinciden sus correspondientes elementos.

Ejercicio resuelto

En una fábrica de pulguicidas para animales se comercializa el producto en frascos de tres

tamaños: grande, mediano y chico. El costo de cada frasco es: grande $48; mediano $35 y

chico $23. Si se reciben pedidos de tres comercios de acuerdo con la tabla:

Comercio/Frascos Grande Mediano Chico

A 150 80 90

B 100 50 120

C 85 130 100

2x123

5



Página 44

Calcule cuánto debe abonar cada comprador por el pedido.

Para calcular cuánto debe abonar cada comprador por el pedido se debe multiplicar las

matrices:

3x13x13x310.930

9.310

12.070

23

35

48

10013085

12050100

9080150

A = 150.48 + 80.35 + 90.23 A = 7200 + 2800 + 2070 = 12.070

B = 100.48 + 50.35 + 120.23 B = 4800 + 1750 + 2760 = 9.310

C = 85.48 + 130.35 + 100.23 C = 4080 + 4550 + 2300 = 10.930

El comercio A abonará $ 12.070, el B $9.310 y el C $10.930.



Página 45


1- Si A =

3527

2041 B =

041

371

541

C =

14

03

26

D =

1

2

4

1

E =

6542

8321

5701

0742

F = 10751

G =

041

273

561

H =

1

12

9

1

Indique el orden de cada matriz.

1-1) Escriba los elementos de la diagonal principal de las matrices cuadradas.

1-2) Indique los valores de a21, b33, d14, h12, e42, g22, si existen.

1-3) Escriba – A, CT, FT, 3.E.

2- Determine el valor de las letras para que se verifique la igualdad:

4c41

3b1

54a

=

043z

6y71

54x1

3- Determine los valores de a y b para que el resultado de la operación:

02b

7a2 +

ba

78

sea la matriz identidad.

4- Considerando las matrices del ejercicio 1.

4-1) Indique cuáles se pueden sumar y cuáles multiplicar.



Página 46

4-2) Calcule:

a) G + B b) D –

3

1H c) 2 B + 3 G

d) C . G e) E . H f) E + I

5- La tabla muestra la cantidad de vitaminas V1, V2 y V3 que tiene cada unidad de los

alimentos X e Y.

V1 V2 V3

X 5 3 4

Y 0 1 2

Si se consumen 6 unidades de alimento X y 4 unidades de alimento Y. ¿Qué aporte

de cada una de esas vitaminas recibe? (Resuelva aplicando matrices).

6- Califique con verdadero o falso. Justifique mencionando la propiedad que aplica.

Si A y B son dos matrices cuadradas se verifica que:

6-1) A + B = B + A 6-2) A . B = B . A

6-3) 2 (A + B) = 2 A + 2 B 6-4) (A + B) T = A T + B T

7- Escriba una matriz A = (aij) de orden 4, tal que A T = A.

8- Escriba una matriz Q = (qij) de orden 2 x 3 tal que qij = i – j.

9- Escriba una matriz simétrica P de orden 4 x 4, sabiendo que la suma de los elementos

de la diagonal principal es 7.

10- Si P =

046

310

522

, determine la matriz Q tal que P + Q = O.

11- Indique el nombre característico de:

11-1)

400

040

004

11-2)

600

710

542



Página 47

11-3)

400

010

002

11-4)

100

010

001

11-5)

38

65 11-6)

6542

0321

0071

0002

12- Si A =

41

32

y B =

zw

yx

Determine los valores de x, y, y, z para los cuales A. B = I

13- Dadas las matrices:

P =

6154

3201 Q =

0237

1143

Compruebe la igualdad (P + Q) T = P T + Q T

14- Seleccione la opción que considere correcta, y si fuera necesario, realice los cálculos

correspondientes.

Dada la matriz A =

4230

112

14

0531

, A T es:

a)

4230

112

14

0521

b)

0531

112

14

4230

c)

410

215

32

13

041

d)

4230

0531

112

14



Página 48

15- Compruebe que si

000

031

372

By

700

000

100

A

entonces, A . B es una matriz nula.

16- Seleccione la opción que considere correcta, y si fuera necesario, realice los cálculos

correspondientes.

Dada la matriz A =

32

12, A2 – 2 A es:

a) – A b) A – 2 I

c) A (A – 2 I) d) O

17- Un fabricante elabora un producto en tres tamaños: grande, mediano y chico. El

costo de cada producto es: grande $3; mediano $2 y chico $1. Si se reciben pedidos

de tres provincias de acuerdo con la tabla:

Provincia/Tipos Grande Mediano Chico

A 300 300 100

B 200 150 150

C 100 200 100

Calcule cuánto debe abonar cada provincia por el pedido.

18- Una veterinaria vende alimento para perros de 4 marcas: A, B, C y D. Considerando

ese orden, la demanda mensual en cada uno de ellos está dado por la matriz

H = (30 40 90 25) y la matriz G =

51

22

39

41

indica la ganancia en pesos, por cada

bolsa de alimento. ¿Cuánto dinero gana la veterinaria por mes por dicha venta?

19- La matriz Q muestra la cantidad promedio de perros, vacas y caballos presentados

en 2 exposiciones A y B de la provincia, en los años 2010 y 2011. El dinero recaudado

por la venta de los animales en los mismos años, se expresa en la matriz P.



Página 49

A B perros vacas caballos

Q =

caballos

vacas

perros

5460

5142

2134

2011

2010

80000230002900

60000210003500P

19-1) Encuentre el valor de lo recaudado por los caballos en los años señalados.

19-2) ¿Por la venta de qué animales se recaudó menos en 2011?

19-3) ¿Cuál es el valor total de lo recaudado en ambas exposiciones en los 2 años?



Página 50

ANEXO

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA?

El Método de Cuatro Pasos de Polya.

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece que

la más grande contribución de George Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su

Método de Cuatro Pasos para resolver problemas del libro "Cómo Plantear y Resolver

Problemas".

George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la

Universidad de Budapest. Murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las

matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para

resolver problemas.

Paso 1: Entender el Problema. ¿Entiendes todo lo que dice?

¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

¿Distingues cuáles son los datos?

¿Sabes a qué quieres llegar?

¿Hay suficiente información?

¿Hay información extraña?

¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias?

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).

2. Usar una variable.

3. Buscar un Patrón.

4. Hacer una lista.

5. Resolver un problema similar más simple.

6. Hacer una figura.

7. Hacer un diagrama.

8. Usar razonamiento directo.

9. Usar razonamiento indirecto.

10. Usar las propiedades de los Números.

11. Resolver un problema equivalente.

12. Usar casos.

13. Resolver una ecuación.

14. Buscar una fórmula.

15. Usar un modelo.

16. Usar coordenadas.

17. Usar simetría.

http://en.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya



Página 51

Paso 3: Ejecutar el Plan. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el

problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita

una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento.

No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una

nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

¿Adviertes una solución más sencilla?

¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?



Página 52

BIBLIOGRAFÍA

de Guzmán, M.; Colera, J. – Matemáticas II – C.O.U. – 1994 – Grupo Anaya, S. A. –

Madrid – España.

Di Caro, H. – Álgebra y Elementos de Geometría – Tomo I – 1994 – Editorial Reverte

Argentina, S. A. – Argentina.

Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S.; Hecklein, M. – Álgebra – 1ª edición – 2005 –

Ediciones UNL, Universidad Nacional del Litoral – Santa Fe – Argentina.

Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S.; Hecklein, M. – Funciones – 1ª edición – 2005 –

Ediciones UNL, Universidad Nacional del Litoral – Santa Fe – Argentina.

Grossman, Stanley – Álgebra Lineal – Segunda Edición – 1987 – Grupo Editorial

Iberoamérica – México.

Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. – Precálculo - Matemáticas para el cálculo – 5°

edición – 2007– Cengage Learning Editores, S. A. – México D. F.

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