Función exponencial
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Introducción
Una hora mas tarde a su vez sus tres amigos cuentan la noticia a otros tres
A la mañana un alumno cuenta una noticia a sus tres amigos
Una hora después estos también contaron la noticia a tres personasY así sucesivamente
Este creciente es EXPONENCIAL
es la función que a cada x Tiempo le asigna la
cantidad de persona que se entera de la noticia en
ese momento
TEMARIO• Definición• Características de la gráfica de una función exponenci
al de base • Características de la gráfica de una función exponenci
al de base • Pasos para la obtención de la Gráfica sin tabla• Características de la gráfica al modificar el coeficiente
principal• Características de la gráfica al modificar el término i
ndependiente • Material de consulta sugerido
Funciones exponenciales
• Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente, la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, sociología, administración, economía, química, física e ingeniería.
• La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno(a>0 y a≠1).
TEMARIO
FUNCIÓN EXPONENCIALLa función exponencial es del tipo
Siendo a un número real positivo en este ejemplo
𝑥 𝑓 (𝑥 )=2𝑥EJEMPLO
FunciónDominio = R(el exponente de una Potencia puede tomar cualquier valor Real) Para Pero para
En consecuencia • tiene asíntota horizontal en • es creciente• Imagen (0 ,
Dominio = R
Para
Para
𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑦=0
Imagen =
TEMARIO
EJEMPLO
𝑥 𝑓 (𝑥 )=( 12 )𝑥
FunciónDominio = R(el exponente de una Potencia puede tomar cualquier valor Real) Para Pero para
En consecuencia • tiene asíntota horizontal en • es decreciente• Imagen = ( 0, +
Dominio = R
Para
Para
𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑦=0
Imagen =
FUNCIÓN EXPONENCIALCon
TEMARIO
FUNCIÓN EXPONECIAL Y SUS PARÁMETROS
• Dados los siguientes gráfica desígnale la fórmula que le corresponde
• El valor del parámetro a modifica la concavidad
• Para valores de a + la concavidad es hacia arriba
• Para valores de a - la concavidad es hacia abajo
𝒇 (𝒙 )=3𝒙
𝒇 (𝒙 )=𝟏𝟐 𝟑𝒙
𝒇 (𝒙 )=−𝟏𝟐𝟑𝒙
TEMARIO
FUNCIÓN EXPONECIAL Y SUS PARÁMETROS
• Elije la gráfica que le corresponde a cada una de las funciones
• El valor del parámetro e traslada la gráfica ↑↓• Determina la ecuación de la asintota hotizontal
𝑦=¿TEMARIO
𝑒
𝑒
Graficar sin tablaEjemplo1 - 4 •Dominio:•Asíntota horizontal
•Ordenada al origen
•Raíces
R
𝑓 (0 )=− 72
= 4
𝑥=3
TEMARIOhttp://www.geogebra.org/m/2510049
Crecimiento de poblaciones.El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones.
Si inicialmente partimos de una población P0, que tiene un índice decrecimiento i (considerado en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en :
P(t) = P0 · (1+i)t
VOLVER
Ejemplo.
Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%.
• ¿Cuántos habitantes habrá al cabode 8 años? Datos:P0 = 600i = 3 / 100t = 8 añosP = 600 . ( 1 + 3/100)8
P = 600 . 1,266 ≈ 760Luego de 8 años la población será de 760 habitantes.
http://www.geogebra.org/m/2509969
Interés compuestoEn el interés compuesto los intereses producidos por un capital, C0 se van acumulando a éste, de tiempo entiempo, para producir nuevos intereses.Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital,se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es el rédito anual (interés anual en %), el capital finalobtenido viene dado por la fórmula:CF = CO . ( 1 + r/100 )t
Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 meses , n = 4 trimestres, n=365 días,...)la fórmula anterior queda:
CF = CO . ( 1 + r/ n . 100 )nt
https://www.geogebra.org/apps/?id=2505953
EjemploSe colocan 5000 $ al 6% anual.¿En cuánto se convertirán al cabode 5 años?
• Si los intereses se acumulan anualmenteCF = 5000 . 1,065 = 6691,13 $
• Si los intereses se acumulan mensualmenteCF = 5000 . ( 1 + 6/1200)12.5 =CF = 5000 . 1,00560 =CF = 6744,25 $
• Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF = 5000 . ( 1 + 6/400)4.5 =CF = 5000 . 1,01520 =CF = 6734,27 $ VOLVER
Desintegración radiactivaLas sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:
M = M0·at
M0 masa inicial
0 < a < 1 es una constante que depende de lasustancia y de la unidad de tiempo que tomemos.
La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.
Ejemplo
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 18gr y tomamos como origen de tiempo el año 2000.
• La función es:M(x) = 18 0,5⋅ x/28 = 18 0,9755⋅ x
• En el año 2053 quedará:M = 18 0,9755⋅ 53 = 4,85 gr
VOLVER
MATERIAL sobre la función exponencial
• http://www.geogebra.org/m/2342901 • https://sites.google.com/site/674matematica6
74/funcion-e
• https://sites.google.com/site/674matematica674/funcion-exponencial-2
• http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_app.html TEMARIO