PD10

“Simetrıa - Funcion Exponencial y Logaritmo.”

2 de diciembre de 2020

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Simetrıa. Decimos que un subconjunto de R2 tiene una simetrıa si al aplicarle una transfor-

macion de coordenadas el resultado es el mismo conjunto. Diremos que A ⊂ R2 es simetrico

respecto de la transformacion de coordenadas S si S(A) = A. Si S = Rl tambien diremos

que A es simetrico respecto de l.

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Simetrıa horizontal. Si A es simetrico respecto a la reflexion horizontal decimos que A

tiene simetrıa horizontal.

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Simetrıa vertical. Si A es simetrico respecto a la reflexion vertical decimos que A tiene

simetrıa vertical.

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Simetrıa vertical. Si A es simetrico respecto a la reflexion diagonal decimos que A tiene

simetrıa diagonal.

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Simetrıa a traves del origen. Si A es simetrico respecto a la reflexion a traves del origen

decimos que A tiene simetrıa a traves del origen.

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Ejemplo.

� Una circunferencia centrada en el origen tiene todas estas simetrıas.

� Toda recta horizontal tiene simetrıa horizontal.

� Toda recta vertical tiene simetrıa vertical.

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Conjunto simetrico. Un conjunto A ⊂ R se dice simetrico cuando

∀x ∈ A, [x ∈ A↔ −x ∈ A].

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Funcion par. Una funcion real f : A→ R con dominio simetrico se dice par si

∀x ∈ A, [f(−x) = f(x)].

Funcion impar. Una funcion real f : A→ R con dominio simetrico se dice impar si

∀x ∈ A, [f(−x) = −f(x)].

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Teorema. Si la funcion f : A→ R es par entonces graf(f) tiene simetrıa horizontal.

Teorema. Si la funcion f : A → R es impar entonces graf(f) tiene simetrıa a traves del

origen.

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Ejemplo.

� La funcion real f : R→ R definida por f(x) = x2 es par.

� La funcion valor absoluto f : R→ R definida por f(x) = |x| es par.

� La funcion real f : R→ R definida por f(x) = x3 es impar.

� La funcion coseno f : R→ R definida por f(x) = cos x es par.

� La funcion seno f : R→ R definida por f(x) = sin x es impar.

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Teorema (Grafica de la funcion inversa). Si la funcion real f : A → R es invertible,

entonces la grafica de la inversa f−1 es el resultado de aplicar una reflexion diagonal a la

grafica de f .

−1 1 2 3 4 5 6 7 8−1

1

2

3

4

5

6

7

8

graf(f)

graf(f−1)

y = x

x

y

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Ejemplo. Sea f : [−∞, 0[→ ]−∞,−1] con regla de correspondencia

f(x) = −√x2 + 1.

Grafique f y f−1.

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Ejemplo. Sea f : R→ R definida por

f(x) =

−x2 , x < 0

2x , x ≥ 0

Determine si existe la funcion f−1. En caso afirmativo grafique f−1.

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Numero neperiano. En el problema de interes compuesto se obtiene la sucesion

cn =

(1 +

1

n

)n

la cual se aproxima a un numero llamado numero neperiano denotado por e.

limn→∞

(1 +

1

n

)n

= e

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Funcion exponencial. La funcion exponencial se define como la funcion

exp : R→ R

con regla de correspondencia exp(x) = ex.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−1

1

2

3

4

5

6

7

8

(1, e)

graf(exp)

x

y

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Caracterısticas.

� dom(exp) = R.

� ran(exp) = ]0,+∞].

� ∀x ∈ R, [ex > 0].

� exp(x + y) = exp(x) · exp(y).

� La funcion exp es estrictamente creciente.

� El eje x es una asıntota horizontal de la funcion exponencial, limx→−∞ ex = 0.

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Interes continuo. Recordemos que si el interes se calcula n veces durante un ano, el monto

total M al final de t anos se puede calcular mediante la formula

M = P(

1 +r

n

)ntdonde r es el interes (o tasa) anual y P es el monto inicial o monto principal. Cuando n

tiende a infinito se puede demostrar que este numero tiende a

M(t) = Pert

y en este caso decimos que el interes compuesto es continuo o que el interes se calcula

continuamente.

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Interes continuo. Denotemos:

� r : interes (o tasa) anual.

� P : Monto inicial o monto principal.

� M(t) : Monto final despues de t anos.

M(t) = Pert

En este caso decimos que el interes compuesto es continuo o que el interes se calcula conti-

nuamente.

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Funcion logaritmo natural. La inversa de la funcion exponencial es la funcion logaritmo

natural denotada por

ln : ]0,+∞[→ R.

∀a > 0,∀b ∈ R,[

ln a = b↔ a = eb]

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Grafica de la funcion logaritmo.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

(1, e)

(e, 1)

graf(exp)

graf(ln)

x

y

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Caracterısticas.

� La grafica del logaritmo se obtiene por reflexion diagonal de la grafica de la funcion

exponencial.

� El eje y es asıntota vertical de la grafica del logaritmo, limx→0+ lnx = −∞.

� ln 1 = 0.

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Caracterısticas. De las propiedades de la funcion exponencial podemos deducir las siguien-

tes propiedades.

� dom(ln) =]0,+∞].

� ran(ln) = R.

� ln(x · y) = ln(x) + exp(y), donde x, y > 0.

� ln

(x

y

)= ln(x)− exp(y), donde x, y > 0.

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Caracterısticas. De las propiedades de la funcion exponencial podemos deducir las siguien-

tes propiedades.

� ln (xa) = aln(x), donde a ∈ R y x > 0.

� elnx = x, para todo x > 0.

� ln (ex) = x, para todo x ∈ R.

� La funcion ln es estrictamente creciente.

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