Simetr as de ecuaciones diferenciales en tres lecciones Autor: … · Simetr as de ecuaciones...

Simetrıas de ecuaciones diferencialesen tres leccionesAutor: Mikhail Malakhaltsev

UNIVERSIDAD EXTERNADODE COLOMBIAN◦7 2014

Simetrıas de ecuaciones diferenciales en treslecciones *

Mikhail Malakhaltsev Ph.D **

Mayo 27 2014

Resumen

El programa del cursillo es:

Clase 1. Descripcion geometrica de ecuaciones diferenciales or-dinarias (E.D.O.): la definicion clasica de E.D.O; la distribucionde Cartan; el espacio de E.D.O; soluciones generalizadas; ejem-plos. Descripcion geometrica de ecuaciones diferenciales parcia-les (E.D.P): espacio de E.D.P., la distribucion de Cartan sobreel espacio de E.D.P., las soluciones generalizadas, ejemplos.

Clase 2. Simetrıas de ecuaciones diferenciales: simetrıas de ladistribucion de Cartan en R3; simetrıas de E.D.O.; ejemplos.

Clase 3. La descripcion de simetrıas de la distribucion de Car-tan, transformaciones de contacto, la transformacion de Legen-dre. Ejemplo: la ecuacion de Clairault ¿como encontrar la solu-cion usando transformaciones de contacto?. Un algoritmo paraencontrar las simetrıas de EDP. Ejemplo: las caracterısticas deEDP de primer orden y su solucion.

Palabras clave: E.D.O, distribucion de Cartan, Simetrıas de E.D.O.,transformaciones de contacto.

*Presentado como cursillo en el XIX Congreso Colombiano de Matematicas 2013**Universidad de los Andes Email: [email protected]

SIMETRIAS DE ECUACIONES MIKHAIL MALAKHALTSEV

Abstract

The program of the course is:

Lecture 1. Geometric description of Ordinary Differential Equa-tions (O.D.E.): the classic definition of O.D.E.; Cartan´s dis-tribution, the space of O.D.E. Generalized solutions, examples.Geometric description of Partial Differential Equations (P.D.E),space of P.D.E., generalized solutions, examples.

Lecture 2. Simetries of differential equations: simmetry of Car-tan´s distribution in R3; simmetries of O.D.E.; examples.

Lecture 3. The description of simmetries of Cartan´s distribu-tion, contact transformations, Legendre´s transformation. Exam-ple: Clairaut´s equation. How to find the solution by using con-tact transformations?. An algoritm to find the simmetries ofP.D.E. Example: the characteristics of P.D.E. of first order andits solution.

Key words : O.D.E., Cartan´s distribution; Simmetries of O.D.E.,Contact transformations

DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014

SIMETRIAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MIKHAIL MALAKHALTSEV

Indice

Prerrequisitos 21. Clase 1: Geometrıa de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer

orden 3Programa 31.1. Definicion clasica de ecuacion diferencial ordinaria 31.2. Descripcion geometrica de E.D.O. de primer orden. La distribucion de Cartan 31.3. Descripcion geometrica de E.D.P. de primer orden 6Resumen de la clase 1 82. Clase 2. Simetrıas de ecuaciones diferenciales ordinarias 9Programa 92.1. Simetrıas de la distribucion de Cartan en R3 92.2. Derivada de Lie 92.3. Simetrıas infinitesimales de la distribucion de Cartan 102.4. Simetrıas de E.D.O. de primer orden 102.5. Simetrıas infinitesimales de E.D.O. de primer orden 112.6. Algoritmo para hallar simetrıas infinitesimales de E.D.O. de primer orden 11Resumen de la clase 2 123. Clase 3. Simetrıas de ecuaciones diferenciales parciales 13Programa 133.1. Simetrıas de la distribucion de Cartan en R2n+1 133.2. Simetrıas infinitesimales de la distribucion de Cartan en R2n+1 143.3. Simetrıas de E.D.P. de primer orden 143.4. Simetrıas infinitesimales de E.D.P. de primer orden 153.5. Algoritmo para hallar simetrıas infinitesimales de E.D.P. de primer orden 153.6. Simetrıas caracterısticas de E.D.P. de primer orden 16Resumen de la clase 3 18Respuestas 20

Prerrequisitos. Calculo vectorial, ecuaciones diferenciales.

2 DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014


1. Clase 1: Geometrıa de ecuaciones diferenciales ordinarias yparciales de primer orden

Programa.

la definicion clasica de ecuacion diferencial ordinaria;la distribucion de Cartan;el espacio de ecuaciones diferenciales ordinarias;soluciones generalizadas;ejemplos.

1.1. Definicion clasica de ecuacion diferencial ordinaria. Una ecuacion diferen-cial ordinaria de primer orden es una relacion

g(x, y, y′) = 0 (1)

Una solucion de la ecuacion (1) es una funcion y = y(x) que satisface la ecuacion.

Ejemplo 1. La funcion y(x) = ex es una solucion de la ecuacion y′ − y = 0.

1.2. Descripcion geometrica de E.D.O. de primer orden. La distribucion deCartan. Vamos a construir una descripcion geometrica de E.D.O. de primer orden. To-memos el espacio R3 con las coordenadas (x, y, p), y la superficie E ⊂ R3 dada por laecuacion

F (x, y, p) = 0. (2)

Pero en R3 las coordinadas x, y, p son equivalentes, entonces se puede intercambiar p yx, por ejemplo por una transformacion lineal (un isomorfismo del espacio R3). Entoncestenemos que tener algo que expresa el hecho de que p es la derivada. Hacemos un calculo:

p =dy

dx⇒ dy − pdx = 0. (3)

¿Que es el sentido geometrico de la ecuacion dy − pdx = 0? La ecuacion determina unadistribucion C en R3, es decir un campo de planos. En cada punto (x0, y0, z0) fijamos elplano que consista de vectores (a, b, c) tal que b − p0a = 0. Este distribucion se llama ladistribucion de Cartan o la distribucion de contacto. La distribucion de Cartan se puedetambien definir como el nucleo de 1-forma de Cartan:

ω = dy − pdx. (4)

Entonces un vector V = (a, b, c) en un punto Q(x, y, p) pertenece al plano de la distribu-cion de Cartan C(Q) en este punto si y solo si ωQ(V ) = 0.

Por lo tanto el espacio de E.D.O. de primer orden es (R3, C), es decir el espacio tresdimensional R3 con la distribucion de Cartan C.

DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 3


Figura 1. La distribucion de Cartan en R3

Definicion 1. Una ecuacion diferencial ordinaria es una superficie E en el espacio deE.D.O de primer orden.

Ahora ¿que es la solucion de E.D.O. de primer orden?Sea y = f(x), x ∈ (a, b), una funcion. Recuerden que el grafico Γf de la funcion f(x)

es la curva (x, f(x)) en R2. Definamos 1-grafico de la funcion y = f(x) como la curvaΓ1f : (a, b) → R3 dada por las ecuaciones x = x, y = f(x), z = f ′(x). El 1-grafico Γ1

f

esta tangente a la distribucion de Cartan pues el vector tangente ddt

Γ1f a la curva Γ1

f tienecoordenadas:

dx

dt= 1,

dy

dt= f ′(t),

dp

dt= f ′′(t), (5)

entonces

ω(d

dtγ) = f ′(t)− f ′(t) · 1 = 0. (6)

Una curva tangente a una distribucion se llama una curva integral de la distribucion.Entonces un 1-grafico es una curva integral de la distribucion de Cartan.

Teorema 1. Una curva

γ : (a, b)→ R3, t 7→ (x(t), y(t), z(t)) (7)

tal que x′(t) 6= 0 (en este caso x : (a, b) → (x(a), x(b), t 7→ x(t) es un difeomorfismo),es el 1-grafico de una funcion si y solo si γ es una curva integral de la distribucion deCartan.

Ejercicio 1. Probar el teorema.

Observacion 1. En general una curva integral de la distribucion de Cartan no es un 1-grafico. Por ejemplo, la recta vertical x = 0, y = 0, p = t es una curva integral de C perose proyecta a un punto en R2 entonces no es ningun 1-grafico (ver Figure 2). Tambien lacurva x = t2/2, y = t3/3, p = t es una curva integral de la distribucion de Cartan, perose proyecta a la curva 8y2 − 9x3 = 0 y tampoco es un grafico (ver Figure 2).4 DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014


Figura 2. La recta negra es tangente a la distribucion de Cartan pero noes un 1-grafico; la curva verde tampoco es un grafico.

Definicion 2. Una solucion generalizada de una ecuacion diferencial E ⊂ R3 es una curvaγ tal que

γ es una curva integral de la distribucion de Cartan;γ pertenece a E .

La distribucion de Cartan se encuentra con el plano tangente de la superficie E poruna recta (en un punto de posicion general). Entonces, la distribucion C determina unadistribucion CE sobre la superficie E (en casi todo punto de E). Las soluciones generalizadas

C CE

E

TpE

Figura 3. La distribucion de Cartan sobre E , la solucion generalizada

son las curvas integrales de la distribucion CE .

Ejercicio 2. Si y = f(x) es una solucion de una ecuacion diferencial F (x, y, y′) = 0,entonces su 1-grafico es una solucion generalizada de la ecuacion E : F (x, y, p) = 0.

Ejercicio 3. Hay una biyeccion entre las soluciones clasicas y las soluciones generalizadasde una ecuacion de la forma F (x, y, y′) = y′ − h(x, y) = 0.

Ejemplo 2. Consideremos la ecuacion (y′)2 + y2 − 1 = 0.La solucion clasica es

(y′)2+y2−1 = 0⇒ dy√1− y2

= ±dx⇒ arcsin y = ±x+c⇒ y(x) = sin(c+x) y y(x) = sin(c−x).

(8)DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 5


Figura 4. Las soluciones generalizadas y las soluciones clasicas. Las rectasson soluciones singulares

La solucion geometrica. La superficie E es el cilindro: p2 + y2 = 1. Tomamos las coorde-nadas locales (u, v) en la superficie E : x = u, y = cos v, p = sin v. Entonces la distribucionde Cartan CE tiene ecuacion,

dy − pdx = d cos v − sin vdu = − sin v(dv + du) = 0. (9)

Tenemos dos casos.El caso no singular : sin v 6= 0. Entonces

dv + du = 0⇒ v + u = a (10)

y la solucion generalizada es la curva γ dada con respecto a las coordenadas locales porlas ecuaciones u = t, v = a− t, y en las coordenadas x, y, p por las ecuaciones:

x = a− t, y = cos t, p = sin t. (11)

Entonces la proyeccion de γ al plano XOY nos da una familias de curvas y = cos(a− x).Si a = π/2− c, tenemos y = sin(c+x); si a = c−π/2, tenemos y = sin(c−x). Vemos queuna solucion generalizada nos trae facilmente una formula para dos soluciones clasicas.

El caso singular : sin v = 0. Entonces cos v = ±1 y llegamos a la solucion y(x) = ±1.Ahora miremos el problema de Cauchy.El punto x = 0, y = 0 es cubierto por dos puntos en E ⊂ R3: A(0, 0,−1) con u = 0,

v = π/2, y B(0, 0, 1) con u = 0, v = 3π/2. Por lo tanto la solucion generalizada que pasapor A es u = t, v = π/2 − t, entonces tiene ecuaciones x = t, y = sin t, p = cos t, y lasolucion generalizada que pasa por B es u = t, v = 3π/2 − t, entonces tiene ecuacionesx = t, y = − sin t, p = − cos t. Ası, obtenemos dos soluciones y = sinx y y = − sinx quepasan por el punto (0, 0) (ver Figura 5 por la izquierda).

El punto x = 0, y = 1 es cubierto por el punto A(0, 1, 0) (u = 0, v = 0) en E ⊂ R3. Porlo tanto la solucion generalizada que pasa por A tiene ecuaciones u = t, v = −t, o x = t,y = cos t, p = − sin t, y la solucion generalizada singular que pasa por A tiene ecuacionesu = t, v = 0, o x = t, y = 1, p = 0. Ası, hay dos soluciones y = cos x y y = 1 que pasanpor el punto (0, 1) (ver Figura 5 por la derecha).

Ejercicio 4. Consideren la ecuacion (y′)2 + x2 = 1 y resuelvan la ecuacion usando elmetodo clasico y el metodo geometrico.

1.3. Descripcion geometrica de E.D.P. de primer orden. Una ecuacion diferen-cial parcial (E.D.P.) de primer orden es una relacion

g(x1, x2, · · · , xn, u, ∂1u, ∂2u, · · · , ∂nu) = 0. (12)6 DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014


Figura 5. Solucion del problema de Cauchy

Una solucion de la ecuacion (12) es una funcion u = u(x1, · · · , un) que satisface la ecua-cion.

Pasemos ahora a la descripcion geometrica. El espacio de E.D.P. de primer orden es(R2n+1, C) donde R2n+1 tiene coordenadas (x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) y C es la distribucionde Cartan dada por la ecuacion

du− p1dx1 − p2dx2 − · · · − pndxn = 0. (13)

Una ecuacion diferencial parcial es una superficie E en (R2n+1, C). La distribucion deCartan C determina una distribucion CE = TE ∩ C sobre la superficie E .

El 1-grafico Γ1ϕ de una funcion u = ϕ(x1, · · · , xn) es una superficie parametrizadan-dimensional en (R2n+1, C) dada por las ecuaciones

u = ϕ(x1, · · · , xn), p1 =∂ϕ

∂x1(x1, · · · , xn), pn =

∂ϕ

∂xn(x1, · · · , xn). (14)

La superficie Γ1ϕ ⊂ (R2n+1, C) es una superficie integral maximal de la distribucion deCartan. La dimension de Γ1ϕ es igual a n.

Una solucion de E.D.P. E es una superficie integral maximal (n-dimensional) de CE .

Ejemplo 3. Considere la ecuacion u + ∂u∂x1

∂u∂x2− 1

2(x1 + x2)

2 = 0. Una solucion es u =

ϕ(x, y) = x21/2 + x22/2.La superficie E es u + p1p2 − 1

2(x1 + x2)

2 = 0. Podemos tomar x, y, p1 y p2 como

coordenadas locales sobre E , entonces u = 12(x1 + x2)

2 − p1p2. Tenemos,

du = (x1 +x2)(dx1 +dx2)− (p1dp2 + p2dp1) = (x1 +x2)dx1 +(x1 +x2)dx2−p2dp1−p1dp2,(15)

y la distribucion CE tiene la ecuacion

du− p1dx1 − p2dx2 = (x1 + x2 − p1)dx1 + (x1 + x2 − p2)dx2 − p2dp1 − p1dp2 = 0. (16)

El grafico Γ1ϕ es 2-dimensional y tiene ecuaciones parametricas:

x1 = v1, x2 = v2, u = v21/2 + v22/2, p1 = v1, p2 = v2. (17)

Se puede verificar que Γ1ϕ ⊂ E :

u+ p1p2 −1

2(x1 + x2)

2 = (v21/2 + v22/2) + v1v2 −1

2(v1 + v2)

2 = 0, (18)

y tambien que Γ1ϕ es una superficie integral de la distribucion de Cartan:

du− p1dx1 − p2dx2 = d(v21/2 + v22/2)− v1dv1 − v2dv2 = 0. (19)DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 7


Ejemplo 4. Considere una ecuacion algebraica g(x1, · · · , xn, u) = 0 como una E.D.P. deprimer orden. Entonces los n-planos x1 = a1, . . . , xn = an, u = b donde a1, . . . , an, b sonconstantes tal que g(a1, · · · , an, b) = 0, son soluciones de la E.D.P.

Resumen de la clase 1.

El espacio de E.D.O. es R3 = {(x, y, p)} con la distribucion de Cartan C dada porla ecuacion dy − pdx = 0.Una E.D.O. es una superficie E en el espacio (R3, C).Las soluciones (generalizadas) de la ecuacion E son curvas integrales de la distribu-cion C que pertenecen a la superficie E .El espacio de ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.) es R2n+1 = {(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn)}con la distribucion de Cartan C dada por la ecuacion du− p1dx1− · · · − pndxn = 0.Una E.D.P. es una superficie E en el espacio (R2n+1, C). Las soluciones (generaliza-das) de la ecuacion E son superficies integrales de la distribucion C que pertenecena la superficie E .



2. Clase 2. Simetrıas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Programa.

Simetrıas de la distribucion de Cartan;Simetrıas de E.D.O.;Algoritmo para hallar simetrıas infinitesimales de E.D.O.;Ejemplos.

2.1. Simetrıas de la distribucion de Cartan en R3.

Definicion 3. Sean U y V regiones abiertas en R3. Una simetrıa de la distribucion deCartan es un difeomorfismo f : U → V tal que dfpC(p) = C(f(p)) para cada p ∈ U .

Teorema 2. Un difeomorfismo f : U → V es una simetrıa de la distribucion de Cartansi y solo si f ∗ω = λω donde λ es una funcion.

Ejercicio 5. Probar el Teorema 2.

Ejemplo 5. Consideremos

f(x, y, p) = (x′, y′, p′) donde x′ = x+ c, y′ = y, p′ = p (20)

Aquı c es una constante. Entonces,

f ∗ω = f ∗(dy − pdx) = dy′ − p′dx′ = dy − pdx = ω (21)

y f es una simetrıa de la distribucion de Cartan.

Ejemplo 6. Consideremos la transformacion de Legendre:

f(x, y, p) = (x′, y′, p′) donde x′ = p, y′ = xp− y, p′ = x. (22)

Entonces,

f ∗ω = f ∗(dy − pdx) = dy′ − p′dx′ = d(xp− y)− xdp = −dy + pdx = −ω. (23)

y f es una simetrıa de la distribucion de Cartan.

2.2. Derivada de Lie. La derivada de Lie con respecto a un campo vectorial X esuna aplicacion de algebra de campos tensoriales LX : T → T tal que

LX(t1 + t2) = LXt1 + LXt2;LX(t1 ⊗ t2) = LXt1 ⊗ t2 + t1 ⊗ LXt2;LXf = Xf = X i∂if ;

LX∂

∂ui = −∂Xk

∂ui ;

LXdui = dX i = ∂Xi

∂uj duj.

Observacion 2. La derivada de Lie es un operador importantısimo, especialmente parahallar simetrıas de algunos objetos. Se puede encontrar una descripcion detallada de laderivada de Lie por ejemplo en [?].DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 9


2.3. Simetrıas infinitesimales de la distribucion de Cartan.

Definicion 4. Una simetrıa infinitesimal de la distribucion de Cartan C es un campovectorial X tal que su flujo consiste de simetrıas de la distribucion.

Ejemplo 7. El campo vectorial ∂∂x

es una simetrıa infinitesimal de la distribucion de CartanC pues su flujo consiste de difeomorfismos ft(x, y, p) = (x+ t, y, p) (vean el ejemplo 5).

Teorema 3. Sea C una distribucion dada por la ecuacion ω = 0. Entonces un campovectorial X es una simetrıa infinitesimal de C si y solo si LXω = λω donde λ es unafuncion.

Hallemos las simetrıas infinitesimales de la distribucion de Cartan C. Sea X = a ∂∂x

+

b ∂∂y

+ c ∂∂p

LXω = LX(dy − pdx) = db−Xpdx− pda. (24)

Tomemos una base de la distribucion C: E1 = ∂∂x

+ p ∂∂y

, E2 = ∂∂p

. Desde Teorema 3

tenemos el sistema,

LXω(E1) = λω(E1) = 0, LXω(E2) = λω(E2) = 0. (25)

Hacemos el calculo,

LXω(E1) = (db−Xpdx− pda)( ∂∂x

+ p ∂∂y

) = ∂b∂x

+ p ∂b∂y− c− p∂a

∂x− p2 ∂a

∂y= 0.

LXω(E2) = (db−Xpdx− pda)( ∂∂p

) = ∂b∂p− p∂a

∂p= 0.

(26)

y ponemos u = ω(X) = b− pa, entonces

∂u

∂x=∂b

∂x− p∂a

∂x,

∂u

∂y=∂b

∂y− p∂a

∂y,

∂u

∂p=∂b

∂p− a− p∂a

∂p, (27)

ahora el sistema (26) toma la forma

∂u

∂x+ p

∂u

∂y− c = 0,

∂u

∂p+ a = 0. (28)

Entonces hemos encontrado la solucion,

a = −∂u∂p, b = u− p∂u

∂p, c =

∂u

∂x+ p

∂u

∂y. (29)

El resultado el lo que la solucion depende de una funcion arbitraria u(x, y, p) que seallamada la funcion generadora de la simetrıa infinitesimal X.

Ejemplo 8. Para la simetrıa infinitesimal del ejemplo 7 la funcion generadora es u =ω(X) = −p.

2.4. Simetrıas de E.D.O. de primer orden.

Definicion 5. Sea E ⊂ (R3, C) una ecuacion diferencial. Sean U y V regiones abiertos enR3. Una simetrıa de la ecuacion E es un difeomorfismo f : U → V tal que

1. f es una simetrıa de la superficie E ⊂ R3, es decir f(E) = E ;2. f es una simetrıa de la distribucion de Cartan C.



Ejemplo 9. El difeomorfismo f(x, y, p) = (x + c, y, p) es una simetrıa de la ecuacion(y′)2 + y2 = 1 para cada constante c. Ya sabemos que f es una simetrıa de la distribucionde Cartan C (vean el ejemplo 5). Tambien E es dada por la ecuacion p2 +y2 = 1, entoncesg(x, y, p) = p2 + y2 − 1 y g ◦ f(x, y, p) = g(x + c, y, p) = p2 + y2 − 1 = g(x, y, p), por lotanto f es una simetrıa de la superficie E .

Teorema 4. Sea E ⊂ (R3, C) una ecuacion diferencial y E tenga ecuacion g(x, y, p) = 0.Un difeomorfismo f : U → V es una simetrıa de la ecuacion E si y solo si

1. f ∗ω = hω donde h es una funcion.2. f ∗g = g ◦ f = mg donde m es una funcion.

Teorema 5. Sean f una simetrıa de ecuacion diferencial E y γ una solucion generalizadade E. Entonces, f(E) tambien es una solucion generalizada de E.

Ejercicio 6. Probar el teorema.

Ejemplo 10. El difeomorfismo f(x, y, p) = (x + c, y, p) es una simetrıa de la ecuacion(y′)2 + y2 = 1 para cada constante c (vean el ejemplo 9). La ecuacion tiene solucionx = −t, y = cos t, p = sin t, entonces para cada c la curva x = −t+ c, y = cos t, p = sin ttambien es una solucion (comparen con el ejemplo 2).

2.5. Simetrıas infinitesimales de E.D.O. de primer orden.

Definicion 6. Sea E ⊂ (R3, C) una E.D.O. de primer orden. Una simetrıa infinitesimalde la ecuacion E es un campo vectorial X tal que su flujo consiste de simetrıas de E .

Teorema 6. Sea E ⊂ (R3, C) una ecuacion diferencial y la superficie E tenga ecuaciong(x, y, p) = 0.

Un difeomorfismo f : U → V es una simetrıa infinitesimal de la ecuacion E si y solo si

1. Xg = h g donde h es una funcion.2. LXω = mω donde m es una funcion.

Ejemplo 11. El campo vectorial X = ∂∂x

es una simetrıa infinitesimal de la ecuacion(y′)2 + y2 = 1 pues X es una simetrıa infinitesimal de la distribucion de Cartan C (veanel ejemplo 7) y Xg = 0 donde g = p2 + y2.

2.6. Algoritmo para hallar simetrıas infinitesimales de E.D.O. de primer or-den. Usando Teorema 6 y la descripcion de simetrıas infinitesimales de la distribucion deCartan (29) obtenemos la siguiente ecuacion diferencial parcial para la funcion generadorau de simetrıas infinitesimales de una E.D.P. E : g(x, y, p) = 0, es

−∂u∂p

∂g

∂x+

(u− p∂u

∂p

)∂g

∂y+

(∂u

∂x+ p

∂u

∂y

)∂g

∂p= hg. (30)

Ejemplo 12. Hallemos simetrıas infinitesimales de la ecuacion y′x = y. La funcion g(x, y, p) =xp− y, entonces la ecuacion diferencial parcial (30) nos da la ecuacion

−∂u∂pp−

(u− p∂u

∂p

)+

(∂u

∂x+ p

∂u

∂y

)x = h(xp− y)⇒ −u+

(∂u

∂x+ p

∂u

∂y

)x = h(xp− y).

(31)DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 11


Figura 6. Simetrıa infinitesimal de la ecuacion y′x− y = 0

Figura 7. Simetrıa infinitesimal de la ecuacion y′x−y = 0 correspondientea la funcion generadora u = x+ y

Si ponemos u = y − px, entonces ∂u∂x

+ p∂u∂y

= 0, y entonces la funcion u es una solucion

de (30) con h = 1. La simetrıa infinitesimal correspondiente es

X = x∂

∂x+ y

∂

∂y. (32)

El flujo del campo X consiste de homotecias x′ = etx, y = ety, p′ = p, geometricamentees obvio que el flujo preserva la ecuacion y la distribucion de Cartan (ver Figura 6).

Ejercicio 7. Demostrar que u = ax + y, donde a es una constante, es una solucion dela ecuacion (31) (¿con que h?), y hallar la simetrıa infinitesimal correspondiente (verFigura 7).

Ejercicio 8. Hallar simetrıas infinitesimales de la ecuacion y′ = q( yx) donde q = q(s) es

una funcion.


Existe una descripcion concreta y completa de las simetrıas de la distribucion deCartan en terminos de una funcion generadora.Las simetrıas de una E.D.O. de primer orden E son simetrıas de la distribucion deCartan y la superficie E .Las simetrıas de una E.D.O. de primer orden E mandan las soluciones de la E.D.Oa las soluciones de la misma ecuacion.



3. Clase 3. Simetrıas de ecuaciones diferenciales parciales

Programa.

Simetrıas de la distribucion de Cartan sobre el espacio de E.D.P.;Simetrıas de E.D.P.;Algoritmo para hallar simetrıas infinitesimales de E.D.P.;Aplicaciones de las simetrıas de E.D.P.: solucion de la ecuacion de Clairault, laintegral completa de E.D.P., solucion del problema de Cauchy para E.D.P. de primerorden.

3.1. Simetrıas de la distribucion de Cartan en R2n+1.

Definicion 7. Sean U y V regiones abiertos en R2n+1. Una simetrıa de la distribucion deCartan (transformacion de contacto) es un difeomorfismo f : U → V tal que dfpC(p) =C(f(p)) para cada p ∈ U .

Teorema 7. Un difeomorfismo f : U → V es una simetrıa de la distribucion de Cartan(transformacion de contacto) si y solo si f ∗ω = λω donde λ es una funcion.

Ejemplo 13. Para constantes arbitrarias c1, . . . , cn, la transformacion

f(x1, · · · , xp, u, p1, · · · , pn) = (x1 + c1, · · · , xn + cn, u, p1, · · · , pn) (33)

es una simetrıa de la distribucion de Cartan C (una transformacion de contacto).

Ejercicio 9. Probar el teorema 7.

Ejemplo 14. Consideremos la transformacion de Legendre L:

f(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = (p1, · · · , pn, p1x1 + · · ·+ pnxn − u, x1, · · · , xn). (34)

Ejercicio 10. Demostrar que la transformacion de Legendre L es una transformacion decontacto.

Ejercicio 11. Demostrar que la transformacion de Legendre es inversa a su misma: L =L−1.

Ejemplo 15 (Aplicacion de la transformacion de Legendre). Consideremos la siguienteE.D.P. (

∂u

∂x1

)2

+

(∂u

∂x2

)2

+ x1∂u

∂x1+ x2

∂u

∂x2− u = 0, (35)

entonces la superficie E tiene la ecuacion

p21 + p22 + x1p1 + x2p2 − u = 0. (36)

Aplicamos la transformacion de Legendre

x1 = q1, x2 = q2, u = v + y1q1 + y2q2, p1 = y1, p2 = y2, (37)

por la dicha transformacion la ecuacion E pasa a la ecuacion E ′:y21 + y22 − v = 0 (38)

que no contiene derivadas, entonces es una ecuacion algebraica. Pero para cada coleccionde numeros (a1, a2, b) tal que a21+a22−b = 0 la ecuacion (38) tiene la solucion generalizadaDOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 13


S ′ (vean el ejemplo 4) dada por las ecuaciones parametricas y1 = a1, y2 = a2, v = b,q1 = t1, q2 = t2. Aplicamos ahora la transformacion de Legendre inversa (coincide con latransformacion inicial (37)) a S ′ y llegamos a la solucion S:

x1 = t1, x2 = t2, u = b+ a1t1 + a2t2, p1 = a1, p2 = a2, (39)

entonces la solucion de la ecuacion (35) es u = b+ a1x1 + a2x2 donde b = a21 + a22.

Ejercicio 12. Resolver la ecuacion de Clairault :

g(u− x1∂u

∂x1− · · · − xn

∂u

∂xn,∂u

∂x1, · · · , ∂u

∂xn) = 0. (40)

Ayuda. Usen la transformacion de Legendre.

3.2. Simetrıas infinitesimales de la distribucion de Cartan en R2n+1.

Definicion 8. Una simetrıa infinitesimal de la distribucion de Cartan C es un campovectorial X tal que su flujo consista de simetrıas de la distribucion.

Teorema 8. Un campo vectorial X es una simetrıa infinitesimal de la distribucion deCartan C si y solo si existe una funcion f(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) tal que

X = −n∑

i=1

∂f

∂pi

∂

∂xi+

(f −

n∑i=1

pi∂f

∂pi

)∂

∂u+

n∑i=1

(∂f

∂xi+ pi

∂f

∂u

)∂

∂pi. (41)

Observacion 3. Denotaremos la simetrıa infinitesimal de la distribucion de Cartan C co-rrespondiente a una funcion f por Xf . Entonces, ω(Xf ) = f .

Observacion 4. El corchete de Lie [ , ] induce un corchete de las funciones { , } tal que

[Xf , Xg] = X{f,g}. (42)

Ejercicio 13. Probar que los campos vectoriales Xpi = − ∂∂xi

son simetrıas infinitesimalesde la distribucion de Cartan.

3.3. Simetrıas de E.D.P. de primer orden.

Definicion 9. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una ecuacion diferencial. Sean U y V regiones abiertosen R3. Una simetrıa de la ecuacion E es un difeomorfismo f : U → V tal que

1. f es una simetrıa de la superficie E ⊂ R2n+1, es decir f(E) = E ;2. f es una simetrıa de la distribucion de Cartan C.

Teorema 9. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una E.D.P. y la superficie E tenga ecuacion

g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0.

Un difeomorfismo f : U → V es una simetrıa de la ecuacion E si y solo si

1. f ∗ω = hω donde h es una funcion.2. f ∗g = g ◦ f = mg donde m es una funcion.

Ejercicio 14. El difeomorfismo f(x1, x2, u, p1, p2) = (x1+c, x2+c, u, p1, p2) es una simetrıade la ecuacion u ∂u

∂x1+ ∂u

∂x2− x1 + x2 = 0 para cada constante c. Demostrar.

Teorema 10. Sean f una simetrıa de ecuacion diferencial E y γ una solucion generalizadade E. Entonces, f(E) tambien es una solucion generalizada de E.

Ejercicio 15. Probar el teorema 10.14 DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014


3.4. Simetrıas infinitesimales de E.D.P. de primer orden.

Definicion 10. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una ecuacion diferencial. Una simetrıa de la ecuacionE es un campo vectorial X tal que

1. f es una simetrıa infinitesimal de la superficie E ⊂ R2n+1, es decir cada transfor-macion del flujo de X manda E a E ;

2. f es una simetrıa infinitesimal de la distribucion de Cartan C.

Teorema 11. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una E.D.P. y la superficie E tenga ecuacion

g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0.

Un difeomorfismo f : U → V es una simetrıa infinitesimal de la ecuacion E si y solo si

1. Xg = hg donde h es una funcion.2. LXω = mω donde m es una funcion.

Ejemplo 16. Cada campo vectorial ∂∂xi

es una simetrıa infinitesimal de la ecuacion g(u, p1, · · · , pn) =0.

Ejemplo 17. El campo vectorial X = ∂∂x1

+ ∂∂x2

es una simetrıa infinitesimal de la ecuacion

u ∂u∂x1

+ ∂u∂x2−x1 +x2 = 0 pues X es una simetrıa infinitesimal de la distribucion de Cartan

C (vean el ejemplo 13) y Xg = 0 donde g = up1 + p2 − x1 + x2.

Ejercicio 16. Demostrar que el campo vectorial X = x1∂

∂x1+ x2

∂∂x2

+ u ∂∂u

es una simetrıa

infinitesimal de la ecuacion u+ x1∂u∂x1

+ x2∂u∂x2

= 0.

3.5. Algoritmo para hallar simetrıas infinitesimales de E.D.P. de primer or-den. Usando el teorema 11 y la descripcion de simetrıas infinitesimales de la distribucionde Cartan (29) obtenemos la ecuacion diferencial parcial para la funcion generadora f desimetrıas infinitesimales de una E.D.P. E dada por una ecuacion g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) =0:

−n∑

i=1

∂f

∂pi

∂g

∂xi+

(f −

n∑i=1

pi∂f

∂pi

)∂g

∂u+

n∑i=1

(∂f

∂xi+ pi

∂f

∂u

)∂g

∂pi= hg. (43)

Ejemplo 18 (integral completa de E.D.P. de primer orden). Consideremos la E.D.P.

u =∂u

∂x1

∂u

∂x2. (44)

Tenemos una solucion particular u = ϕ0(x1, x2) = x1x2 de la ecuacion (44). Pero yatenemos un flujo 2-dimensional de simetrıas de esta ecuacion (vean el ejemplo 16):

x1 = x1 + t1, x2 = x2 + t2, u = u, p1 = p1, p2 = p2. (45)

entonces desde la solucion particular obtenemos la integral completa de la ecuacion (44):

V (x1, x2, t1, t2) = u− (x1 − t1)(x2 − t2). (46)DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 15


3.6. Simetrıas caracterısticas de E.D.P. de primer orden.

Definicion 11. Sea E : g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0 una E.D.P. de primer orden. Unasimetrıa caracterıstica de E es una simetrıa infinitesimalX de E cuyas valores en los puntosde E pertenecen a la distribucion de Cartan, es decir, para cada A ∈ E , X(A) ∈ C(A).

Observacion 5. Ası como X es una simetrıa infinitesimal, entonces X(A) ∈ CE(A) =TAE ∩ C(A).

Teorema 12. Cada simetrıa caracterıstica es tangente a cualquier solucion de la ecuacionE.

Demostracion. Sea S una solucion de E , entonces S ⊂ E es una superficie integral n-dimensional de C (CE). Sea ψt el flujo de X y considere S = ∪

tψt(S).

La superficie S pertenece a E y tambien es tangente a C. Pero si X es transversal a S,entonces dim S = n + 1 que sea imposible pues una solucion tiene dimension igual a n.

�

X

E

C(A)

TAEA

Figura 8. Simetrıa caracterıstica

Teorema 13. Sea E : g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0 una E.D.P. de primer orden. Elcampo vectorial

Yg = Xg − g∂

∂u= −

n∑i=1

∂g

∂pi

∂

∂xi−

n∑i=1

pi∂g

∂pi

∂

∂u+

n∑i=1

(∂g

∂xi+ pi

∂g

∂u

)∂

∂pi(47)

es una simetrıa caracterıstica.

Demostracion. El campo vectorial Xg es una simetrıa infinitesimal de la distribucion deCartan C, y g ∂

∂u= X1 tambien. Ademas, ω(Yg) = ω(Xg)− ω(g ∂

∂u) = g − g = 0, entonces

los valores de Yg pertenecen a C. Finalmente,

Ygg = −n∑

i=1

∂g

∂pi

∂g

∂xi−

n∑i=1

pi∂g

∂pi

∂g

∂u+

n∑i=1

(∂g

∂xi+ pi

∂g

∂u

)∂g

∂pi= 0, (48)

entonces Yg es tangente a la ecuacion E . �16 DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014


Ejemplo 19 (Simetrıas caracterısticas y el problema de Cauchy para E.D.P. de primerorden). Consideremos nuevamente la ecuacion (44)

u =∂u

∂x1

∂u

∂x2. (49)

y vamos a buscar una solucion u = u(x1, x2) tal que u(x1, 0) = x21 (resolver un problemade Cauchy).

Tenemos la superficie E : g(u, p1, p2) = u − p1p2 = 0. La idea es aplicar el flujo delcampo Yg a la curva que represente la data de Cauchy.

Tomemos una parametrizacion de la recta L : x2 = 0 que sea x1 = s, x2 = 0, entoncesa lo largo de la recta tenemos u = u(s, 0) = s2 y p1 = ∂u

∂x1(s, 0) = 2s. Para encontrar los

valores de p2 en los puntos de la recta L usamos la ecuacion inicial (49):

s2 = 2sp2 ⇒ p2 = s/2. (50)

Entonces la data de Cauchy es la curva γ en (R5, C) dada por las ecuaciones

x1 = s, x2 = 0, u = s2, p1 = 2s, p2 = s/2. (51)

Ahora usamos (47) y calculamos

Yg = p2∂

∂x1+ p1

∂

∂x2+ 2p1p2

∂

∂u+ p1

∂

∂p1+ p2

∂

∂p2. (52)

Entonces, para hallar la imagen de la curva γ bajo el flujo de Yg resolvemos el sistema

x1 = p2x2 = p1u = 2p1p2p1 = p1p2 = p2

(53)

con la condicion inicial x1(0) = s, x2(0) = 0, u(0) = s2, p1(0) = 2s, p2(0) = s/2.La solucion es

x1 = s(et + 1)/2, x2 = 2s(et − 1), u = s2e2t, p1 = 2set, p2 = set/2. (54)

Entonces,

4x21 + x22/4 = 2s2(e2t + 1)x1x2 = s2(e2t − 1)

⇒

⇒ 2x21 + x22/8 + x1x2 = 2s2e2t ⇒ x21 + x22/16 + x1x2/2 = s2e2t. (55)

Por lo tanto la solucion del problema de Cauchy es

u = s2e2t = x21/2 + x22/16 + x1x2/2 = (4x1 + x2)2/16. (56)

DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA N◦ 7 2014 17



Simetrıas infinitesimales de la distribucion de Cartan sobre el espacio de E.D.P. sedeterminan por una funcion;Existe un algoritmo para hallar simetrıas infinitesimales de E.D.P.;Las simetrıas nos ayudan resolver algunos tipos de E.D.P., por ejemplo la ecua-cion de Clairault, resolver el problema de Cauchy para E.D.P., y hallar la integralcompleta de E.D.P de primer orden.



Respuestas

1 Si x′(t) = 0, podemos tomar la parametrizacion x = t, y = f(t), p = p(t). Entonces elvector tangente a la curva es d

dtγ = (1, f ′(t), p′(t)) y ω( d

dtγ) = 0 implica p(t) = f ′(t).

2 Comparen las definiciones.

3 E es el grafico de la funcion p = h(x, y). Entonces hay una biyeccion entre las curvas enE y las curvas en el plano xy.

4 La solucion clasica: dos funciones y(x) = ±12x√1− x2 + 1

2arcsin (x)

La solucion geometrica: curvas u = t, v = 12t− 1

4sin 2t+C sobre la superficie x = cos u,

y = v, p = sin u.

5 Usen la formula f ∗ω(X) = ω(dfX).

6 Directamente viene de la definicion de solucion y la definicion de simetrıa.

7 h = 1, la simetrıa infinitesimal es (ax+ y) ∂∂y

+ (a+ p) ∂∂p.

8 x ∂∂x

+ y ∂∂y.

9 Usen la formula f ∗ω(X) = ω(dfX).

10 Usen el teorema 7.

12 u = a1x1+ · · ·+anxn+b donde a1, . . . , an, b son constantes tal que g(b, a1, · · · , an) = 0.

13 El flujo de Xp1 = − ∂∂x1

es x1 = x1 + t, x2 = x2, . . . , xn = xn, u = u, p1 = p1, . . . ,pn = pn.

14 Tenemos g = up1 + p2 − x1 + x2, entonces f∗g = g ◦ f = g. Tambien f ∗ω = ω.

15 Usen las definiciones.

16 Si ω = du−p1dx1−p2dx2, entonces LXω = ω. Si g = u+x1p1+x2p2, entonces Xg = g.

Referencias

[1] Ibragimov, N. H.: Transformation groups in mathematical physics. 1983.[2] Krasilshchik, I. S. y A.M. Vinogradov (editores): Symmetries and conservation laws for differential

equations of mathematical physics. Transl. of Math. Monographs. 1999.[3] Olver, P. J.: Applications of Lie Groups to Differential Equations. 2000.

18 DOCUMENTOS DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA No 7 2014

UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA

Documentos de matematicas y estadıstica

No Tıtulo Autor(es) pags.

1 Peter Thullen y las matematicas en los inicios del

seguro social en Colombia. Ortiz, Fabio 1-23

2 A decreasing sequence of eigenvalue localization

regions. Martınez, Juan C. 1-12

3 Estimacion de las componentes de un modelo de

coeficientes dinamicos mediante las ecuaciones de Sosa, Juan C. &

estimacion generalizadas. Dıaz, Guillermo 1-21

4 Uso de las copulas de supervivencia en la esti- Huertas, Jaime;

macion de un modelo de riesgo de credito. Pacheco, Oscar &

Palencia, Armando 1-17

5 Tablas de Mortalidad Ortiz, Fabio;

Villegas, Mauricio &

Zarruk, Armando 1-28

6 Buen planteamiento de la ecuacion

rBO-ZK en espacios de Sobolev Hs Sanchez, Fabian 1-14

7 Simetrıas de ecuaciones diferenciales

en tres lecciones Malakhaltsev, Mikhail 1-19

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