OQUE - leerenalbatros.files.wordpress.com · La función exponencial de base 10 es de la forma fx(...

BLO

QU

E

Competencias a desarrollar�

OB

JETO

S D

E A

PR

END

IZA

JE

�

DES

EMP

EÑO

S D

EL E

STU

DIA

NTE

�

7

Tiempo asignado: 10 horas

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

BLO

QU

E

Competencias a desarrollar�

OB

JETO

S D

E A

PR

END

IZA

JE

�D

ESEM

PEÑ

OS

DEL

EST

UD

IAN

TE� A partir de la expresión de la •

función exponencial, decide si ésta es creciente o decreciente.Obtiene valores de funciones •exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora.Traza las gráficas de funciones •exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener gráficas de funciones logarítmicas.Utiliza las propiedades de •los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.Aplica las propiedades y relaciones •de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas.

Función exponencial.•Función logarítmica.•Gráfica de la función. •exponencial y logarítmica.Propiedades de los exponentes.•Propiedades de los logaritmos.•Cambio de una expresión •exponencial a una logarítmica y viceversa.Ecuaciones exponenciales.•Ecuaciones logarítmicas.•

Construye e interpreta modelos matemáticos •mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, •aplicando diferentes enfoques.Explica e interpreta los resultados obtenidos •mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un •problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación.

Analiza las relaciones entre dos o más variables •de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental •o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

254

�B7�INTRODUCCIÓN

En este bloque se analiza el concepto de función exponencial y el de logarítmica, comprobará por qué se afirma que aunque son operaciones inversas, ambas son una herramienta útil para la solución de problemas en el ámbito científico y en el área de los fenómenos físicos. También se establecen las bases del conocimiento para que puedas hacer aplicaciones en diversas áreas, sobre todo si decides estudiar en el área físico-matemática.

(Leyes de los exponentes)Contesta lo que se te pide.

1. Simplifica la siguiente expresión:

7 4 5 9

9 8 2 3

3216

y x y zx y z x

-

- =

(Exponentes)2. Encuentra el valor del exponente.

3 81x =

(Leyes de los radicales)3. Representa en forma exponencial la siguiente expresión:

3 (5 3)x + =

(Definición de exponente)4. ¿Qué es un exponente?

(Definición de logaritmo)5. ¿Qué es un logaritmo?

Actividad introductoria

Actividad

Actividad

�

255

�Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

La maestra Ruth que imparte la materia Análisis Clínicos en la Universidad Veracruzana, realiza una práctica sobre el crecimiento bacteriano, con el propósito de observar el crecimiento de determinado cultivo de 1000 bacteria; antes de comenzar, la maestra presenta a sus alumnos los siguientes modelos matemáticos:

2

0.04

( ) 1000 0.04

( ) 0.04( 1) 1000

( ) 1000 t

f x t

f x t

f x e

= +

= - +

=

En todas las ecuaciones t = minutos f(x) = es el número de bacterias después de un tiempo determinado.

La maestra les da la siguiente instrucción: al finalizar la práctica deben seleccionar cuál es el modelo matemático que mejor se ajusta al crecimiento bacteriano en nuestro experimento. Mediante una investigación, ayuda a los estudiantes a elegir la mejor ecuación, explica por qué la elegiste, y determina la cantidad de bacterias que habrá después de 50 minutos de iniciar el experimento.

LA FUNCIÓN POLINOMIAL

SITUACIÓN PROBLEMA

I. Lee con atención el siguiente texto

Actividad

Actividad

256

�B7�

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento. El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos. – Seta, quiero recompensarte dignamente por el juego que has inventado —dijo el rey. El sabio contestó con una inclinación

Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey —. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Seta continuó callado. – No seas tímido. – Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto tiempo para

meditar la respuesta. Mañana, te la comunicaré. Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el rey, lo dejó maravillado por su humilde petición.

– Soberano —dijo Seta—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez; por la segunda casilla ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16…

– Está bien -contestó el rey-, recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del

tablero de acuerdo con tu deseo; por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que necesitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio. Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

– Soberano —le contestaron, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana,

�

257


antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden. Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

– Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano –contestó el anciano–. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme…

– Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa y, por lo tanto, hay que entregársela.

– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y toda la cosecha obtenida en estos campos ordena que sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa. El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

– Dime, cuál es esa cifra tan majestuosamente enorme….

II. Con base en la petición de Seta, contesta cuál es esa gran cifra como para que los sabios del reino hubieran quedado estupefactos.

1. ¿Te gustaría que te dieran esa cantidad pero en monedas de diez centavos?

2. Sí o no, ¿por qué?

Notación de la función exponencial

Cuando hablamos de la función exponencial, en primera instancia debemos recordar cuál es la notación de un exponente:

258

�B7�Si tenemos la siguiente expresión:

nka

a = es la base.n = es el exponente.k = es una constante y también se le llama coeficiente.

La función exponencial se utiliza para representar fenómenos como el crecimiento bacteriano (crecimiento exponencial) o el decaimiento en la radioactividad de un átomo (decrecimiento exponencial).

Hemos trabajado con funciones de la forma ( ) xf x a= , en donde la base es la variable y el exponente es un número cualquiera; sin embargo, en una función exponencial, los papeles se invierten; la base es una constante cualquiera y el exponente está conformado por la variable independiente.

Función exponencial

base a

base 10

base e

La función exponencial de base a es de la forma ( ) xf x a= , en donde x es cualquier número real con:

0, 1a a> ≠

Ejemplo:

( ) 7xf x =

La función exponencial de base 10 es de la forma ( ) 10xf x = , en donde x es cualquier número real.

La función exponencial natural o de base e es de la forma ( ) xf x e= , en donde x es cualquier número real y e (que es la base) es un racional, cuyo valor es:

2.7182818284e ≈

Su valor se determina por la expresión:

�

259


11

n

n +

, utilizando valores comprendidos en el intervalo 1 n<≤ ∞

Hagamos una tabulación para valores suficientemente cercanos a infinito.

n1

1n

n +

1 210 2.59374246100 2.7048138291,000 2.71692393210,000 2.718145926100,000 2.7182682371,000,000 2.71828046910,000,000 2.718281692100,000,000 2.718281814

Función logarítmica

Al analizar la gráfica de la función exponencial, observamos que es una función inyectiva porque al trazar rectas horizontales, éstas tocan en uno y sólo un punto a la curva, de tal manera que esta función es invertible y su inversa es la función logarítmica.

El logaritmo de cualquier cantidad es igual a la potencia a la que debe elevarse la base para encontrar este número.

Las funciones logarítmicas se clasifican de la siguiente manera:

base a logay x=

base 10 logy x=

natural o neperiano lny x=

Función logaritmo

Su dominio es el conjunto de los positivos (x > 0)

Su rango es y-∞ < < ∞

260

�B7�Gráfica de la función exponencial y logarítmica

Función exponencial

La gráfica de una función exponencial tiene características muy definidas, las cuales observaremos a continuación.

De forma general, la gráfica de la función exponencial toma como asíntota al eje x en los valores negativos (segundo cuadrante), corta al eje y en el punto (0,1) y crece “rápidamente” en el primer cuadrante, es decir, es creciente.

Su dominio es x-∞ < < ∞

Su rango es el conjunto de los positivos de las y.

Gráfica de la función exponencial cuando a >1

Ejemplos de este tipo de función son:

3( ) , ( ) 2 , ( ) 10 , .

2

xx xf x f x f x etc = = =

Sus respectivas gráficas son: 3

( ) ( ) 2 ( ) 102

xx xf x f x f x = = =

�

261


Podemos decir que las gráficas de las funciones exponenciales de la forma ( ) xf x a= , en donde a > 1 son crecientes para todo su dominio, y cortan el eje y

en el punto (0,1), toman como asíntota al eje de las x negativas. Estas funciones representan el crecimiento exponencial.

Gráfica de la función exponencial cuando 0<a<1

Ejemplos de este tipo de funciones son:

3 1 1( ) , ( ) , ( ) , é .

4 2 16

x x x

f x f x f x tcetera = = =

Sus respectivas gráficas son:

3 1 1( ) ( ) ( )

4 2 16

x x x

f x f x f x = = =

262

�B7�

Podemos decir que las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x) = ax,, en donde 0 < a < 1, son decrecientes para todo su dominio, cortan el eje y en el punto (0,1) toman como asíntota al eje de las x positivas. Estas funciones representan el decaimiento exponencial.

Ejemplo

Realizar la gráfica de la función exponencial f(x) = 3x en [-3,3]

Tabulamos los valores, los cuales se obtienen de la siguiente manera:

33

22

11

0

1

2

3

31 1

( 3) 33 27

21 1

( 2) 33 9

11 1

( 1) 33 3

0

(0) 3 11

(1) 3 32

(2) 3 93

(3) 3 27

x

f

x

f

x

f

x

fx

fx

fx

f

-

-

-

= -

- = = =

= -

- = = =

= -

- = = =

=

= ==

= ==

= ==

= =

�

263


Con estos valores construimos la tabla:

x y-3 1/27-2 1/9-1 1/30 11 12 93 27

Graficamos los puntos:

Gráfica de la función logarítmica

Como ya lo había comentado, la función logarítmica es inversa a la función exponencial. y = ex

264

�B7�Se observa claramente que la inversa de la función exponencial (azul) es la inversa de la función logarítmica (magenta oscuro).

La gráfica de la función logarítmica toma como asíntota al eje de las y negativas (cuarto cuadrante) corta al eje x en el punto (1,0).

Para graficar la función exponencial, primero realizamos la tabla correspondiente

y = log x.

En la calculadora localiza la tecla :

log

Inmediatamente después teclea la cantidad que quieres calcular y la tecla (=)igual para obtener el resultado buscado.

�

265


Practica comprobando los siguientes valores en tu calculadora:

log(0.001) 3y = = -

log(0.01) 2y = = -

log(0.1) 1y = = -

log(0.5) -0.30102y = =

log(1) 0y = =

log(2) 0.30102y = =

log(3) 0.47712y = =

log(4) 0.602059y = =

x y0.001 -30.01 -20.1 -10.5 -0.301020.9 -0.457571 02 0.301023 0.477124 0.6020595 0.698976 0.7781517 0.845098

266

�B7�En una hoja de papel milimétrico grafica las siguientes funciones con los colores indicados y contesta las preguntas que se te hacen a continuación, al finalizar comparen sus resultados con el grupo y entreguen una copia a su maestro.

x

-x

x

-x

x

1. f(x)=3 en color rojo

2. f(x)=3 en color azul

3. f(x)=-3 en color verde

4. f(x)=-3 en color cafe

5. f(x)=(-3) en color negro

¿Qué diferencias encuentras entre las expresiones algebraicas y sus a) respectivas gráficas de 1 y 2?

¿Qué diferencias encuentras entre las expresiones algebraicas y sus b) respectivas gráficas de 1 y 3?

¿Qué diferencias encuentras entre las expresiones algebraicas y sus c) respectivas gráficas de 3 y 4?

¿Qué diferencias encuentras entre las expresiones algebraicas y sus d) respectivas gráficas de 2 y 4?

¿Qué ocurre con la función 5, como es su gráfica es una función?e)

Propiedades de los exponentes

( )

0

1

-

-

1. 1

2. 1

3.

14.

5.

6.

nn

nn

n n n

n n

n

a

a a

aa

aa

ab a b

a ab b

=

=

=

=

=

=

( )

-

0

-

7.

, :8. , : 1

, : 1

9.

n m n m

m nm

n

n m

nm mn

a a a

m n entonces aa

m n entonces aa

m n entoncesa

a a

+=

>= = = <

=

Actividad

�

267


Cuando el exponente es fraccionario

1

10.

11.

11.

nnnn

nn

mmnn

a a a

a a

a a

= =

=

=

Ejemplo

Simplifica la siguiente expresión algebraica:

3

7

5 (5 ) 5 5 1255

x x x x x

=

Comenzamos seleccionando aquellas expresiones que no tienen base 5:

3

7

5 (5 ) 5 5 1255

x x x xx

=

Factorizamos el 125 y lo representamos en su forma exponencial, 3125 (5)(5)(5) 5= = :

3

7

3(5 ) 5 5 )55

(5x x xxx

=

Acomodamos las cantidades según la regla a utilizar; en este caso, comenzamos por la potencia de potencia (( )nm mna a= ) y continuamos con la multiplicación

de bases iguales n m n ma a a +=

3

7

3((5 55) ) 555

x xx xx

= =

Aplicamos la regla de la potencia de potencia( )nm mna a= :

2 3

7

35 555 5 5xx xx

= =

Ahora aplicamos la regla de la multiplicación de bases iguales n m n ma a a += :

2 3

7

355

x x x x+ + + +

= =

268

�B7�Simplificamos por términos semejantes:

2 3

7

555

x x+ +

= =

Aplicamos la regla1 n

n aa

-= en el denominador:

2 5 3 75 5 5xx + -= =

Nuevamente aplicamos la regla de la multiplicación de bases iguales:

2 5 3 75 xx + + -= =

Simplificamos, y terminamos:

2 5 45x x+ -=

Ejemplo

Dada la siguiente expresión exponencial, simplifica eliminando exponentes fraccionarios:

x x

x x

e ee e

-

-

-+

Detectamos los exponentes negativos:

xx

xx

ee

ee

-

-

-+

Para quitar los exponentes negativos utilizamos la regla: 1 n

n aa

-=

1

1

x

x

x

x

e

e

e

e

-=

+

Se prepara para efectuar la suma de fracciones algebraicas, colocando la unidad al entero en el denominador:

11

11

x

x

x

x

e

ee

e

-=

+

�

269


Se efectúa la suma algebraica:

1

1

x

x

x x

x x

e e

e ee

e

-

= =+

Utilizando la ley de los exponentes del producto: n m n ma a a += :

2

2

1

1

x

x

x

x

e

ee

e

-

= =+

Aplicando la regla del sándwich:

2

2

( 1)( 1)

xx

xx

ee

ee

-= =

+

Finalmente, cancelamos términos o efectuamos la división de exponentes iguales:

2

2

( 1)( 1)

x

x

ee

-=

+

Ejemplo

Simplificar la siguiente expresión:

3 5 15

2 5

(3 2 ) 8 23 (2 ) 2 32 18

x x x

x

- -

Seleccionamos por dónde comenzar:

155

2

3

5

8 23 (2 ) 2 32(3 2

1)

8

x x

x

x - -

=

Utilizamos la regla de la potencia de potencia ( )nm mna a= y la potencia de un

producto ( )n n nab a b= :

270

�B7�15

2 5

5 (3 )(5)8 23 (2 ) 2 32 183 2 x x

x

x - -

= =

Efectuamos la operación:

1

5

5

2

15 523 (2 ) 2 18

8232

3 x

x

x x --

= =

Factorizamos el 8 y lo representamos en su forma exponencial 8 = (2)(2)(2) = 23

153

5

15

2

53 23 (2

2 (2) 3

)2 2 18

x

x

x x- -

= =

Utilizamos la regla de la potencia de potencia( )nm mna a= :

153

5

15

2

5 223 (2 ) 2 32 18

3 2 x

x

x x --

= =

Aplicamos la regla del producto de bases iguales an a m = am+n:

155 3 15

2 53 (2 ) 2 32 1

3

8

2 x x x

x

- -

= =

Efectuamos la suma de términos semejantes:

3

5

5

2 (23 2 32 13)

28x

x-

= =

Aplicamos la regla de la potencia de potencia (am)n = am+n

3

5

5

2 (23 2 32 13)

28x

x-

= =

Factorizamos el 32 y lo representamos enforma exponencial 32 = (2)(2)(2)(2)(2) = 25

5 3

2 5 5

3 2

3 2 22 18

x

x

-

= =

Utilizamos la regla del exponente racional m

mn na a= :

�

271


5 3

2 552

3 2

3 2 2 12 8

x

x

-

= =

Factorizamos 18 y lo representamos en forma de exponente 218 (3)(3)(2) 3 2= = :

5 3

52 5 2 2

3 2

3 2 2 3 22

x

x

-

= =

Representamos en forma exponencial la raíz del exponente1

n = na a :

5 3

5 12 5 2 2 2

3 2

3 2 2 22 ( )3

x

x

-

= =

Utilizamos la regla de la potencia de un producto ( )n n nab a b= :

5 3

52 5

1 12 2 22

3 2

3 2 2 2 (3 ) (2)

x

x

-

= =

Aplicamos la regla de la potencia de potencia( )nm mna a= :

25 15 1

3

2 2

5

2 22 2 2 2

3

3 3

2 x

x

-

= =

Aplicamos la regla del producto n m n ma a a += en aquellos que tengan bases iguales:

5 3

12 215

12 52

3 2

3

x

x + +

-

+ += =

simplificamos:

3 4

5 3

5

233

2

x

x

-

+= =

Aplicamos la regla 1n

naa

- = :

5

5 4

3

3

32 2

3x x+

-

= =

272

�B7�simplificamos:

5 3

5 4 3

32 x x

-

+ + =

Y listo

2

8 4

32 x +

Propiedades de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos nos permiten realizar operaciones con mayor facilidad y simplificar expresiones, incluso, en casos más avanzados existe un método para resolver derivadas llamado derivación de funciones por logaritmos.

log

1. log 1

2. log 1 0

3. 0

4. log

ln6. log

ln5. log

6. log log log

7. log log - log

8. log log

19. - log log

a

a

a

x

xa

a

ya

a a a

a a a

na a

a

a

a x para todo x

a x

bb

ay x si y solo si x a

AB A B

AA B

BA n A

AA

==

= >

=

=

= == +

=

=

=

10. ln 111. ln ln ln

12. ln ln - ln

13. ln ln1

14. - ln ln

n

eAB A BA

A BBA n A

AA

== +

=

=

=

Apliquemos algunas de estas propiedades.

Simplifica la siguiente expresión logarítmica:

2log2 5log( 3) 3log( 6 9)x x x- - + + + =

Observamos que toda la expresión contiene logaritmos de base 10, los cuales acomodamos escribiendo primero los positivos y luego los negativos.

2log2 3log( 6 9) 5log( 3)x x x+ + + - - =

Aplicamos la propiedad log log logA B AB+ =

�

273


2 3 5log2( 6 9) log( 3)x x x+ + - - =

Ahora aplicamos la propiedad log log logA

A BB

- =

2 3

6

2( 6 9)log

( 3)x x

x+ +

-

Factorizamos la expresión 2 36 9 ( 3)x x x+ + = +

( )32

5

2 ( 3)log

( 3)

x

x

+

-

Usamos la regla de la potencia de potencia de las Leyes de los Exponentes

( )nm mna a= y la expresión queda simplificada:

6

5

2( 3)log

( 3)x

x+-

Como te darás cuenta se utilizaron leyes de los exponentes también, las cuales analizamos en el tema anterior.

Simplifica la siguiente expresión logarítmica: 1 10 1

ln ln( 3) ln( 3)3 12 6

x x x+ + - -

Aplicamos la propiedad de los logaritmos ln ln nn a a= y al mismo tiempo

simplificamos la fracción 10 512 6

=

1 5 13 6 6ln ln( 3) ln( 3)x x x+ + - - =

Como ya están acomodados, primero, los que se suman y, luego, los que se restan, aplicamos la regla de los logaritmos log log logA B AB+ =

1 5 13 6 6ln ( 3) ln( 3)x x x+ - - =

Utilizamos la propiedad log log logA

A BB

- =

274

�B7�1 53 6

16

( 3)ln

( 3)

x x

x

+=

-

Ya no se aplican más propiedades de los logaritmos, ahora buscamos una

fracción equivalente a 13

, pero que tenga el mismo denominador que las demás.

La fracción encontrada es 26

.

1 53 6

16

( 3)ln

( 3)

x x

x

+=

-

Aplicamos para cada caso la regla m

n mna a=

6 2 56

6

( 3)ln

3x x

x+

=-

Y ahora aplicamos la regla ( )n n na b ab= y la expresión queda simplificada:

526 ( 3)

ln3

x xx

+-

Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa

Para efectuar el cambio de una función exponencial a una función logarítmica debemos tomar en cuenta la siguiente relación inversa:

es equivalente a log ; si 0xby b x y y= = > y x es cualquier número real:

b = es la base.x = es el exponente.y = es el resultado de elevar la base a la potencia dada.

Ejemplo

23 9= representado en forma de logaritmo 3log 9 2= , este segundo se lee “logaritmo de base 3 de 9 es 2; es decir, el exponente es 2.

�

275


Ecuaciones exponenciales

Para resolver una ecuación exponencial se aplica su inverso y se resuelve.

Hallar el valor de x en la siguiente ecuación exponencial 52x 51 = 53:

52x 51 = 53

Aplicamos la ley de los exponentes del producto de bases iguales en el lado izquierdo de la ecuación:

52x +1 = 53

Aplicamos el inverso de la expresión exponencial de base 5, en este caso, es el logaritmo de base 5 (log5):

2 1 35 5log (5 ) log (5 )x + =

Se cancela la potencia y sólo queda el exponente:

2x + 1 = 3

Resolvemos la ecuación resultante:

2 3 1 2 2

2

2 1

xx

x

x

= -=

=

=

Comprobación: sustituimos en la expresión original:

2(1) 1 3

2 1 3

2 1 3

3 3

5 5 5

5 5 5

5 5

5 5

+

=

=

=

=

Nuestra solución es correcta.

276

�B7�Halla el valor de x en la siguiente ecuación exponencial:

43 5

7 x

x ee e

e=

Subimos el denominador en el lado derecho de la ecuación utilizando la regla 1 n

n aa

-= :

3 5 4 7x xe e+ -=

Se aplica la regla del producto de bases iguales n m n ma a a += :

3 5 4 7x xe e+ -=

Aplicamos el inverso en ambos lados de la ecuación, en este caso, es el logaritmo natural (ln)

3 5 4 7ln( ) ln( )x xe e+ -=

Obtenemos la ecuación al desaparecer la base y entonces resolvemos la ecuación resultante:

3 5 4 7x x+ = - 3 4 7 5 12 12

x xxx

- = - -- = -

=

Comprobación:

4(12)3(12) 5

7

4836 5

7

41 48 7

41 41

e

ee e

ee

e ee

e e

e

-

=

=

=

=

Nuestra solución es correcta.

Halla el valor de x en la siguiente ecuación exponencialx 5

2 6 1 37

25 5 5 125 (5 )

5

xx x -=

�

277


x 52 6 1 3

7

2 53 2 6 1 3

7

2 5 1 7 6 3(6 1)

2 5 1 7 6 18 3

7 6 6 18 3

7 6 24 3

7 6 24 35 5

25 5 5 125 (5 )

5(5 ) 5 5

(5 ) (5 )5

5 5 5 5 5 5

5 5 5

5 5

5 5

log (5 ) log (5 )

7 6 24 37 24 3 6

17 3317

xx x

x xx x

x x x x

x x x x

x x x

x x

x x

x xx x

x

x

-

-

- -

+ + - -

- + -

- -

- -

=

=

=

=

=

=

=- = -- = - +

- =

=-

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas también se resuelven empleando el principio de inversibilidad de las funciones logarítmicas y exponenciales.

Ejemplo:

Dada la ecuación, hallar el valor de x, ln( 3) ln2x + =

ln( 3) ln2x + =

Se aplica el inverso del logaritmo natural, el exponencial de base e:

ln( 3) ln2xe e+ =

Se cancelan los logaritmos y se establece una ecuación lineal:

x + 3 = 2

Se resuelve la ecuación:

x = 2 – 3

Y se obtiene el valor de x:

x = –1

278

�B7�Comprobamos sustituyendo el valor obtenido:

ln(( 1) 3) ln2- + =

Efectivamente, está bien nuestro resultado:

ln2 ln2=

Dada la ecuación logarítmica 5 5 5log (3 6) log (2 7) log 6x x+ + - =

5 5 5log (3 6) log (2 7) log 6x x+ + - =

Aplicamos la propiedad de los exponentes ln ln lna b ab+ = :

5 5log (3 6)(2 7) log 6x x+ - =

Aplicamos el exponencial de base cinco en ambos lados de la ecuación:

5 5log (3 6)(2 7) log 65 5x x+ - =

Obtenemos la ecuación:

(3 6)(2 7) 6x x+ - =

Efectuamos las operaciones al desarrollar el producto de binomios:

26 21 12 42 6x x x- + - =

Simplificamos:

26 9 42 6 0x x- - - =

Obtenemos una función cuadrática cuyos coeficientes son divisibles entre 3:

26 9 48 0x x- - =

Se divide entre 3 la ecuación:

22 3 16 0x x- - =

�

279


2

1,2

1,2

1,2

1,2

1

2

( 3) ( 3) 4(2)( 16)2(2)

3 9 1284

3 1374

3 11.7044

14.7043.676

48.704

2.1764

x

x

x

x

x

x

- - ± - - -=

+ ± +=

±=

±≈

≈ ≈

-≈ ≈ -

La ecuación tiene dos soluciones:

1

2

14.7043.676

48.704

2.1764

x

x

≈ ≈

-≈ ≈ -

Existe un tipo de funciones logarítmicas, las cuales no abordaremos en este libro, cuya solución se obtiene por medio de ordenadores, ya que por sus características es imposible obtener la solución con los métodos aquí analizados.

I. Calcula los siguientes logaritmos sin usar calculadora:

2

7

4

1. log10002. log 64

3. log 7

4. log 1024

==

==

II. Usando la calculadora encuentra los siguientes logaritmos:

2

2

1. ln1322. log 5.8

3. log10000004. log 56

==

==

Actividad

280

�B7�III. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

2 2

5 5

1. log (8 - 26) log (4 - 20) 2

2. ln ln( - 4) 03. log(4 16) log(4 -16) - log4 04. log (24 ) log 4 2

5. ln2 - ln(3 4) ln(4 - 3 ) ln2

x x

x xx x

x

x x

+ =+ =

+ + =+ + =

+ + =

El crecimiento exponencial es representado por la función exponencial, en virtud de que cuando su exponente es positivo su gráfica es creciente y también porque que el crecimiento de la variable dependiente respecto al de la variable independiente es mucho más rápido. Con expresiones de este tipo podemos representar distintos fenómenos, tales como el crecimiento poblacional, el crecimiento celular, el crecimiento bacteriano, entre otros.

De forma general el crecimiento exponencial queda representado por:

( ) bxf x ke=

En donde:

k = factor de crecimiento.

b = tasa de crecimiento.

Ejemplo

Carlitos, que es un niño ahorrador, deposita en su cuenta $3,500, la cual le produce un interés compuesto de 14% anual.

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

�

281


a) Encuentra la expresión matemática que representa el saldo de esta cuenta a través de los años con los intereses capitalizados.

b) ¿Cuánto dinero tendrá Carlitos en su cuenta en dos años?

c) Representa t en función del saldo.

a) La tasa de crecimiento anual es de 14% ,es decir, de 0.14, de tal manera que la ecuación queda representada por:

bt

0.14t

f(t) = keen donde f(t) es el saldo en la cuenta en el transcurso del tiempot = es el tiempo en añossi b = 0.14, entonces:

f(t) = ke

Para determinar el factor de crecimiento k, sabemos que inicialmente tenemos $3,500 los sustituimos en nuestra ecuación y t = 0:

0.14

0.14(0)

0.14(0) 0

( )

35003500 3500 3500

35001

tf t ke

ke

ke e

=

=

= = = =

De tal forma que nuestra ecuación queda:

0.14( ) 3500 tf t e=

Esta ecuación representa el saldo en la cuenta de Carlitos en el trascurso del tiempo.

b) Para determinar el monto en dos años t = 2

0.14(2)

0.28

(2) 3500

35003500(1.323129812)4630.954631

f e

e

= =

= ===≈

Si Carlitos ahorra $3,500.00 con un interés compuesto de 14% anual, en dos años tendrá aproximadamente $4,631.00.

282

�B7�Gráfica representativa de la cuenta de Carlitos:

0.14( ) 3500 tf t e=

Cambiemos f(t) por S, para que representemos saldo, de tal manera, nuestra ecuación queda:

0.143500 tS e=

Ahora representemos t en función de C.0.143500 tS e=

Despejamos 0.14te

0.14

3500tS

e=

Aplicamos el logaritmo natural en ambos lados para eliminar el exponencial:

( )0.14ln ln3500

tSe =

Se cancela el exponencial:

ln 0.143500

St =

Acomodamos:

0.14 ln3500

St =

�

283


Despejamos t:

ln3500

0.14

S

t

=

Utilizamos la propiedad de los logaritmos ln lna

a labb

= -

ln ln(35000)0.14

St

-=

La ecuación obtenida representa el tiempo en función del saldo.

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

El decrecimiento exponencial está representado por la función exponencial, en virtud de que su gráfica es decreciente cuando su exponente es negativo y debido a la curva suave, pero sin dejar de ser exponencial del lado de los valores positivos de las x, en donde conforme la variable independiente aumenta la variable dependiente decrece y con esto nos permite representar el también llamado decaimiento exponencial cuyas aplicaciones se encuentran en problemáticas tales como la depreciación de equipos cuyo valor es rápidamente devaluado conforme pasa el tiempo, la desintegración radioactiva y más.

De forma general, el decrecimiento exponencial queda representado por:

( ) bxf x ke-=

En donde:

k = factor de crecimiento.b = tasa de decrecimiento.

284

�B7�Ejemplo

La maestra Claudia Zamora, directora de la Escuela de Bachilleres Vespertina “Veracruz“, necesita comprar computadoras para el centro de informática. Es sabido que por el escaso recurso de las entidades públicas los equipos tienen que ser usados el mayor tiempo posible, por lo tanto, es importante conocer la depreciación del equipo en aproximadamente seis años. Si todo el equipo

necesario tiene un costo de $52,000 y la ecuación de depreciación es 0.28( ) tf t ke-= ,

Determina:

a) La depreciación del equipo en el transcurso del tiempo.b) La depreciación del equipo en los seis años que aproximadamente estará

dando servicio en la escuela.

0.28(0)

0.28(0)

0

5200052000

52000

520001

52000

ke

ke

ke

k

k

-

-

=

=

=

=

=

a) Si en la función 0.28( ) 52000 tf t e-= sabemos que f(t) representa el costo del equipo en el transcurso del tiempo, t está dado en años, nos falta hallar el valor de k que representa el factor de decrecimiento, para este caso. Para ello, tenemos como dato inicial que el costo de nuestro equipo es de $52,000.

La ecuación especial para nuestro caso particular es: 0.28( ) tf t ke-= que representa la depreciación del equipo de cómputo en el trascurso del tiempo.

b) Ahora para resolver la depreciación para t = 6

0.28(6)

1.68

(6) 52000

(6) 52000(6) 52000(0.1863733976)(6) 9692.44

f e

f eff

-

-

=

===

Si se mantiene en buen estado el equipo de cómputo, después de seis años tendrá un costo de $9,91.45.

�

285


Gráfica de depreciación del equipo de cómputo:

Resuelve los siguientes ejercicios (no olvides escribir tu conclusión correspondiente).

1. El conteo inicial de bacterias en un experimento bacteriano es de 200,

posteriormente cada hora realiza el conteo durante las primeras tres horas y

encuentra que la tasa de crecimiento b es de 35% por hora.

a) Determina el modelo matemático que representa el crecimiento bacteriano.

b) Determina el número de bacterias que habrá en 10 horas.

c) ¿Cuántas bacterias aumentarán entre la hora 6 y 7?

2. Samantha y Héctor quieren un celular cuyo costo es de $9,400, como su costo

es muy elevado sus papás acordaron que según la calificación que obtuvieran

en matemáticas iba a ser el costo del celular que les comprarían. Por ejemplo,

si obtenían una calificación de 10 el costo era de 100%, es decir, $9,400; pero

Actividad

286

�B7�si obtenían una calificación de 8, el costo del celular iba a ser de 80%; es decir,

$7520. Si Samantha obtuvo una calificación de 10 y Héctor de 6, ¿cuánto

costó el celular de Héctor? Ahora se sabe que el celular elegido por Samantha

se deprecia a razón de 18% anual, determina en cuánto tiempo el celular de

Samantha tendrá un costo igual al que inicialmente costaba el de Héctor.

3. La desintegración de cualquier radioisótopo de carbono 14 está dada por

( ) tiN t N e λ-= en donde:

N(t) = radio núclidos existentes en el transcurso del tiempo t

Ni= es el número de radioisótopos existente en el instante inicial 0t

t = en años

λ= constante de desintegración por unidad de tiempo y para el carbono 14 es de λ = 1.1948 x 10-5

Determina la desintegración en el transcurso del tiempo del radioisótopo de carbono 14.

b) Se tienen 25,000 átomos de carbono 14, determina cuántos átomos de este material quedarán en 20 años, representa tu resultado en cantidad numérica y en porcentaje.

c) Representa t en función del número de radioisótopos.

Verificando tus desempeños

El objetivo de esta autoevaluación es que verifiques en forma individual tus avances en el bloque, detectando tus áreas de oportunidad. Por esta razón, primero encontrarás los desempeños que se esperan, cada problema que implique en ti una dificultad, es un área de oportunidad en la que deberás

Autoevaluación

�

287


centrar tu atención y tus estudios. Con ayuda de tu maestro, escribe aquí tus áreas de oportunidad:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A partir de la expresión de la función exponencial decide si ésta es creciente o decreciente y traza las gráficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener gráficas de funciones logarítmicas.

I. Dadas las siguientes funciones exponenciales, determina si corresponde a una función creciente o a una decreciente, posteriormente grafica en hojas de papel milimétrico, para comprobar tus resultados, tabulando cada una en el intervalo [-3,3]:

11. ( )

3

12. ( )

7

33. ( )

8

4. ( ) 11

25. ( ) -

9

x

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x

f x

=

=

=

=

=

x

x

x

x

3x

76. f(x) =

4

7. f(x) = 7

8. f(x) = 4

9. f(x) = -2

10. f(x) = e

Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora.

II. Dadas las siguientes operaciones exponenciales y logarítmicas, determina el valor, utilizando la calculadora científica.

288

�B7�3

5

-3

2

11.

3

12.

7

3. 5 4. log11

35. log 1

56. log 3

=

=

==

=

=

1-

2

3

2

6

77.

4

8. 7

9. - 410. ln2

711. ln

612. log 8

=

=

==

=

=

Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

III. Dadas las siguientes ecuaciones, encuentra los valores de x.

3 -2 2 7

3 5 -7 2 -1

2 -5 2 7 -3

1. 8 2

2. 3 27 9 3

3. 16 4 4 64 16 44. ln(2 - 4) ln(3 - 2) 6

x x

x x x

x x x x

x x

+=

× = ×

× × = × ×+ =

Aplica las propiedades y relaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas.

IV. Dadas las siguientes funciones, utilizando las propiedades de los logaritmos, simplifica o simplemente transforma:

63 2 5 -1

2 2

2 - - -

3

4

(2 - 2)1. 4. ( ) ln

(2 - 3 1)

2. ( ) - - 2 - 2 3 5. ( ) ln( 3) ln( - 5) - ln(3 -15)

163. ( )

8

x x

x x x

x

x

xy e e e f x

x x

f x x e xe e f x x x x

f x

+ + = = +

= + = + +

= 2 6. log(2 3) - log(2 - 3) log( -1)y x x x x= + + +

V. Resuelve los siguientes problemas: 1. La desintegración de un material radiactivo está dada por la ecuación

0.251tiN N e-= , en donde Ni es el número inicial de átomos radiactivos y N es

el número de átomos en el transcurso del tiempo, si t está dado en años

�

289


determina el porcentaje de átomos que se perdieron respecto a los que se tenían en un principio.

2. La población actual de cucarachas en la casa de Pedro es de 435, si tiene cinco meses que se mudó a su casa nueva, y se sabe que la tasa relativa de crecimiento mensual es de 23%:

Determina la ecuación que representa el número de cucarachas.a)

¿Cuántas cucarachas había cuando Pedro se mudó a su nueva casa?b)

Determina la cantidad de cucarachas que habrá un año después de que c) Pedro se mudó.

OQUE - leerenalbatros.files.wordpress.com · La función exponencial de base 10 es de la forma fx(...

Documents

Transcript of OQUE - leerenalbatros.files.wordpress.com · La función exponencial de base 10 es de la forma fx(...