1.- DEFINICIN DE LMITE.-

Sea f una funcin y a un nmero real, el nmero L es el lmite de la funcin f en el punto a, y se escribe f x L x a = lim ( ) (se lee lmite de f(x) cuando x tiende a a es L), si cuando x tiende a a, siendo distinto de a, sus imgenes, f(x), tienden a L.

2.- PROPIEDADES DE LMITE.- Los lmites, como otros entes matemticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el clculo de los mismos. Lmite por un escalar. donde k es un multiplicador escalar. Lmite de una suma.

Lmite de una resta.

Lmite de una multiplicacin.

Lmite de una divisin.

IndeterminacionesHay lmites que evalundolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no est claro cul puede ser el lmite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminacin y calcular el lmite. Un ejemplo de indeterminacin del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un lmite distinto:

Lmite de una sucesin: se dice que una sucesin tiene lmite un nmero a cuando, fijado un entorno del punto a, de radio tan pequeo como queramos, se puede encontrar un trmino, ap, de la sucesin a partir del cual todos los dems caen dentro del entorno.

, en trminos de distancia

Ejemplo: tiene lmite y este vale 2, ya que, an fijando un radio de entorno grande, como de una dcima, tenemos que para que se cumpla la definicin , es decir, a partir del trmino 41 todos ellos estn dentro del entorno de 2, . Si queremos podemos fijar un entorno an ms pequeo, por ejemplo de diezmilsimas, en cuyo caso , es decir que a partir del trmino 40001, todos los dems estarn dentro del entorno . Como la sucesin es ilimitada podemos concluir que .

Unicidad del lmite: si una sucesin tiene lmite ste es nico.

Demostracin (reduccin al absurdo): supongamos que existieran dos lmites, a y a, distintos para una misma sucesin , necesariamente podremos encontrar dos entornos, uno de a y otro de a, disjuntos, es decir, sin puntos o elementos comunes, en trminos de conjuntos, , del siguiente modo:

Sea , es decir, la distancia entre los dos lmites, tomemos entonces y , de este modo los entornos ya no solapan.aa

Por otro lado, de la definicin de lmite tenemos: Si Si

Sea ahora , existir entonces , de modo que por ser y al mismo tiempo ser , entonces ap estar o pertenecer simultneamente a ambos entornos, con lo que en contradiccin a como hemos construido stos, luego no puede ser y el lmite ha de ser nico.

Las sucesiones que tienen por lmite un nmero real finito se llaman convergentes. Si una sucesin tiene lmite entonces est acotada superior e inferiormente. Lo contrario no es cierto necesariamente

Por definicin de lmite dentro del cual se encuentran todos los trminos de la sucesin a partir de un cierto trmino p-simo. Sea entonces , ste ser una cota superior para la sucesin, y del mismo modo ser una cota inferior para la misma.

Toda sucesin montona y acotada es convergente. Por ser montona ser creciente o decreciente, luego una de las dos de las siguientes afirmaciones y demostraciones ser suficiente.

Toda sucesin decreciente y acotada inferiormente tiene lmite, y ste coincide con su extremo inferior.

Se demuestra que si es una sucesin montona decreciente y acotada inferiormente, tendr un extremo inferior m, el cual ser a su vez el lmite de la sucesin, ya que m ser la mayor de todas las cotas inferiores y si es un nmero positivo, m + no puede ser una cota inferior. Lo cual nos lleva a que debe existir un trmino ap de la sucesin para el que se verifique que m + > ap > m. Por otro lado, por ser una sucesin montona decreciente , es decir, m es el lmite de la sucesin. Toda sucesin creciente y acotada superiormente tiene lmite, y ste coincide con su extremo superior.

Si es una sucesin montona creciente y acotada superiormente, tendr un extremo superior k, el cual ser a su vez el lmite de la sucesin, ya que k ser la menor de todas las cotas superiores y si es un nmero positivo, k no puede ser una cota superior. Lo cual nos lleva a que debe existir un trmino ap de la sucesin para el que se verifique que k < ap < k. Por otro lado, por ser una sucesin montona creciente , es decir, k es el lmite de la sucesin.

Operaciones con lmites:

Lmite de una suma: , siendo a y b los lmites respectivos de y Lo mismo sera si se tratara de una resta.

Lmite de un producto: , siendo a y b los lmites respectivos de y

Lmite de un cociente: , siendo a y b los lmites respectivos de y , siempre que

Lmite de una potencia: , siendo a y b los lmites respectivos de y

Lmite de una constante por una sucesin: , siendo b el lmite de

Lmite de la potencia de una sucesin: , siendo a el lmite de

Clculo prctico de lmites: Se trata de sustituir n por su valor en el lmite, , y realizar las operaciones indicadas, teniendo en cuenta que:

; ; ; ;; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Ejemplos:

E1.- E2.-

E3.- E4.- E5.- E6.-

El nmero e, o nmero de Neper: definimos el nmero e como el lmite de la sucesin , es decir, Expresiones indeterminadas, tipos de indeterminaciones:

, se suele dar al calcular el lmite de sucesiones definidas como cociente de polinomios . Para superar la indeterminacin debemos dividir todos los trminos de ambos polinomios por n elevado al mayor exponente que aparezca en uno cualquiera de los dos polinomios, o en ambos (ver ejemplos 1 y 3), antes de proceder a calcular de nuevo el lmite. En estos casos se suelen dar tres circunstancias bsicas: , donde p y q son los grados de los polinomios P y Q respectivamente, y a y b son los coeficientes de los trminos de mayor grado de P y Q, respectivamente. , suele darse en muy variados casos, as pues veamos algunos y cmo superarla en cada caso segn la circunstancia:

E1.- , en este caso procedemos primero a realizar las operaciones de dentro del parntesis antes de volver a calcular el lmite, as y el lmite ahora ser

E2.- , en este caso procederemos como si hiciramos una racionalizacin a la inversa, multiplicamos y dividimos todo por el conjugado de la expresin, as pasaramos al nuevo lmite

E3.- , en este caso procederemos a hacer una doble racionalizacin inversa del numerador y del denominador, quedndonos, una vez reducidos trminos, el siguiente lmite

, suele darse en los lmites de potencias de base polinmica y exponente polinmico. Siempre podemos superarla con la siguiente aproximacin, si , entonces el verdadero valor del lmite coincidir con el de la expresin .

E1.- , podemos resolver aplicando la frmula o razonando, personalmente prefiero razonar ya que las frmulas tienden al olvido, as pues intentar hacer que mi lmite se parezca lo ms posible al del nmero e, para ello sumo y resto uno a la expresin del parntesis, que ya se va pareciendo ms al lmite del nmero e, el ltimo arreglo nos deja ya que el lmite del exponente es 1. Hazlo aplicando la frmula y comprueba el resultado.

E2.- , vamos a intentar hacerlo de modo parecido al anterior, as

E3.-

, siempre se puede convertir en una indeterminacin del tipo , ya que

Lmites de funciones: sea f(x) una funcin real de variable real definida en el intervalo abierto , y sea , f no tiene porqu estar necesariamente definida en c, entonces decimos que tiene lmite en el punto c, y escribimos , si, respectivamente radios de entornos de L y c, tales que siempre que , o en otros trminos, Lmites laterales: siempre nos podemos acercar a un punto del intervalo por dos sentidos, por la derecha y por la izquierda del punto, y as podemos decir que hay dos lmites en funcin de por dnde nos aproximemos al punto, de este modo:

Lmite lateral por la derecha: si tomamos valores por la derecha de c, esto es, , entonces las imgenes estarn todas comprendidas en un entorno de L1, .

Lmite lateral por la izquierda: si tomamos valores por la izquierda de c, esto es, , entonces las imgenes estarn todas comprendidas en un entorno de L2, .

Lmites y continuidad: una funcin real de variable real definida en un intervalo abierto es continua en un punto c de dicho intervalo si est bien definida en l y adems . Condiciones necesarias y suficientes de continuidad de una funcin en un punto:

, ambos finitos y adems iguales entre s y con el valor de la funcin en el punto, esto es,

Clasificacin de los puntos de discontinuidad: Primer grado, o evitable. Se suele dar en los siguientes casos: Cuando por error hemos dejado sin definir un punto. Por ejemplo:

, en este caso el punto x = 5 ha que dado sin definir, para evitar la discontinuidad basta con hacer . Cuando por error damos un valor que no corresponde en el punto, por ejemplo: , ya que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha tambin, luego sera lgico decir que en 5 debera tomar el valor 6, y no 6 como figura. Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar en el caso: La funcin est definida por zonas y en el lmite de alguna zona no coinciden los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo: , se ve que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha el valor 6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en 7. Segundo grado, segunda especie, o salto infinito. Se suele dar en los casos: En funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la funcin explota, o cuando en alguno de los lmites de zona la funcin explota, por ejemplo: , en este caso al acercarnos a 7 por la derecha la funcin explota a . , en este caso en los lmites de zona no hay problemas, pero en la zona , es decir, para x 7, en x = 12, la funcin explota. En todas aquellas funciones definidas en forma de fraccin cuando el denominador se anula, por ejemplo:

, cuando , la funcin explota, es decir, cuando .

lgebra de lmites: sean f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real, ambas definidas en un intervalo abierto y sea tal que ambas tienen lmite en l, Lmite de una suma de funciones: Lmite de un producto de funciones:

Lmite de un cociente de funciones: , siempre que Lmite de la potencia de una funcin: Lmite de una potencia de funciones: Lmites e indeterminaciones: al igual que con las sucesiones, en los lmites de funciones se nos pueden presentar las mismas indeterminaciones que con aquellas, la forma de superarlas ser la misma que entonces. Adems se nos puede presentar la indeterminacin en los casos, sobre todo, de cocientes de funciones polinmicas en las que ambas tengan races comunes en el punto en el que calculamos el lmite, as:

, esto nos dice que tanto el polinomio numerador como el denominador son divisibles por . Debemos descomponer ambos en factores, simplificar y volver a calcular el lmite de la expresin simplificada, as Si an persistiera la indeterminacin deberamos seguir simplificando hasta eliminar todas las races.

Lmites infinitos, asntotas verticales: se dice que una funcin tiene lmite infinito cuando , en trminos de definicin de lmite , se dice que la funcin explota. La recta es una asntota vertical para la funcin. De igual modo pueden ocurrir uno de los siguientes casos: , en este caso explota por la izquierda del punto. , en este caso explota por la derecha del punto. , en este caso explota por ambos lados y en el mismo sentido. , en este caso explota por ambos lados pero mientras por un lado lo hace en un sentido por el otro lo hace en sentido opuesto.

Lmites en el infinito, asntotas horizontales: cuando al tender la variable a ms o menos infinito las imgenes se mantienen en un entorno de un valor finito, as , y de igual modo . En ambos casos la recta es una asntota horizontal para la funcin.

Lmites en el infinito, asntotas oblicuas: cuando al tender la variable a ms o menos infinito las imgenes de se mantienen en un entorno de un valor finito, as , y de igual modo . En ambos casos hay una asntota oblicua para la funcin de pendiente L y ordenada en el origen , es decir, de ecuacin .

Resumen del comportamiento asinttico: Hay asntotas verticales cuando: Dado un valor de x concreto, x0:

, y uno de los dos no es finito.

La recta de ecuacin es una asntota vertical. Hay asntotas horizontales cuando:

La ecuacin de la asntota horizontal ser , y si L1 = 0, entonces es el eje de abscisas.

La ecuacin de la asntota horizontal ser , y si L2 = 0, entonces es el eje de abscisas.

, en este caso habra una nica asntota horizontal comn a toda la grfica . Hay asntotas oblicuas cuando: , en cuyo caso:

La ecuacin de la asntota ser: Un modo sencillo para su clculo en funciones racionales es: Hacemos la divisin de la fraccin y el cociente es la frmula de la asntota. Ejemplo: Esquemticamente: (Para funciones racionales)a) Una funcin tiene tantas asntotas verticales como races reales distintas tenga el denominador y que no pertenezcan al numerador.b) Una funcin tiene una asntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.c) Una funcin tiene una asntota oblicua si el grado del numerador es uno ms que el del denominador.

2.- DERIVADAS.-La definicin ms comn hace referencia a que la derivada es el lmite del cociente entre el incremento de una funcin y el de la variable cuando este ltimo tiende a cero.Definicin geomtrica de la derivadaLa definicin geomtrica de la derivada est relacionada directamente con la pendiente de una recta tangente a una curva que generalmente es de la forma. Para deducir de una forma grfica el concepto de derivada calculemos la pendiente de la recta tangente a la curva,en el punto Q (2, 4) como se puede observar en la grfica:

Definicin: Sea la funcin f diremos que f es derivable en a si existe:

En este caso el lmite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos tambin que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)Propiedades de derivacin:En las frmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x, y c es una constante

1. o bien si f(x) = c ==> f (x) = (c) = 0

2. o bien si f(x)=x ==> f (x) = (x) = 1

3. o bien si f(x) = xn ==> f (x) = (xn) = n x n-1

4. o bien si f(x) = u(x) v(x) w(x)

==> f (x) = (u(x) v(x) w(x)) = u(x) v(x) w(x)

5. o bien si f(x)=c v(x) ==> f (x) = c v(x)

6. o bien si f(x)= u(x) v(x) ==> f (x) = u(x) v(x) + v(x) u(x)

7. o bien si f(x)=[v(x)/c] ==> f (x) = [1/c] v(x)

8. o bien si f(x)=[c /v(x)] ==> f (x) = [c / v2(x)] v(x)

9.

o bien si f(x)=[u(x) /v(x)] ==> f (x) = [u v(x)-v u(x)] / v2(x)

10. regla de la cadena

o bien si f(x) = u(v(x)) ==> f (x) = (u o v)(x) = u(v(x)) v(x)

Ejemplo:

1) Determine la derivada de

como es un funcin constante su derivada es cero

2) La derivada de f(x) = 3x2 x

pues la funcin es continua

por propiedad (5) y (1)

por propiedad (3)

operamos y obtenemos la solucin

Ejemplo:

Ejercicios de la definicin de derivadaCalcular la derivada de la funcin f(x) = x2 + 4x 5 en x = 1.

Calcular derivada de f(x) = x2 x + 1 en x = 1, x = o y x = 1.

Ejercicios de la definicin de derivada

Calcula, mediante la definicin de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican:1f(x) = 3x2 en x = 2.2f(x) = x2 + 4x 5 en x = 1.3f(x) = x2 x + 1 en x = 1, x = o y x = 1.4 en x = -5.5 en x = 1.6 en x = 2.7 en x = 3.8 en x = 2.

Ejercicios resueltos de la definicin de derivada1Hallar la derivada de la funcin f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

Ejercicios resueltos de la definicin de derivada2Calcular la derivada de la funcin f(x) = x2 + 4x 5 en x = 1.

Ejercicios resueltos de la definicin de derivada3Calcular derivada de f(x) = x2 x + 1 en x = 1, x = o y x = 1.

f'(1), f'(0) y f'(1).f'(1) = 2(1) 1 = 3f'(0) = 2(0) 1 = 1f'(1) = 2(1) 1 = 1

Calcular derivada de en x = 5.

Calcular derivada de en x = 1.

Calcular derivada de en x = 2.

ALGEBRA DE DERIVADAS.-

Dadas dos funciones reales derivables:f : RR g : RRxf(x) xg(x)siempre se verifica que la derivada de la funcin suma de f y g, coincide con la suma de las derivadas de las funciones f y g. Es decir:(f+g)'(x) = f '(x) + g'(x)lo demostramos

Ejemplo: Sean

sus derivadas respectivas son:

DERIVADA DEL PRODUCTO DE FUNCIONES:Siempre se verifica que la derivada de la funcin producto de f y g, coincide con la suma de los productos de la derivada de la funciones f por la funcin g ms la funcin f por la derivada de la funcin g. Es decir:(f g)'(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)vamos a verlo

DERIVADA DEL COCIENTE DE FUNCIONES:Siempre se verifica que la derivada de la funcin cociente de f y g, coincide con el cociente de la diferencia, de los productos de la derivada de la funcin f por la funcin g menos la funcin f por la derivada de la funcin g, entre el cuadrado de la funcin g. Es decir:

lo demostramos

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.-Una derivada de orden superior es aquella derivada que resulta de formar una nueva funcin a partir de una primera derivada, es decir, si se tiene una funcinfque es derivable, se puede formar una nueva funcin que se denota porfy se lee primera derivada def, y as sucesivamente se pueden ir formando derivadas a partir de la anterior y se nombran segunda, tercera derivada def, etc.EJEMPLO

Derivada de funciones con exponente fraccionario

Observa que lo primero que est planteado es un producto, luego:

- Si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:primera derivada es : f(x) = 18x2 - 10xsegunda derivada es: f"(x) = 36x - 10tercera derivada es : f(x) = 36cuarta derivada es : f(4)(x) = 0n-sima derivada es : f(n) (x) = 0

Nota: Si f(x) representa la pendiente de la grfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la grfica de f. As tambin, f(x) representa la pendiente de la grfica de f".

DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

La derivacin de funciones simples es inmediata porque solo se necesita aplicar la tabla de derivadas y realizar operaciones algebraicas simples. Cuando se trata de funciones compuestas la operacin requiere dos partes, en primer lugar se deriva la funcin principal o contenedora y en segundo lugar se deriva la funcin secundaria o contenida, finalmente se realiza la multiplicacin.

Ejemplo: SEA y= (f g x) (f g x) ,entonces la derivada ser

y =f g x .g x= REGLA DE LA CADENA O DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

Al mtodo para derivar funciones compuestas se le conoce como regla de la cadena.

Para poder derivar el primer paso es distinguir entre una funcin y una funcin compuesta, ya que ambas se derivan de diferentes formas.

Derivada de funciones compuestas.

se defini a la composicin como una operacin que permite obtener una nueva funcin a partir de una o ms conocidas y consiste en evaluar una funcin en otra, es decir . En consecuencia para derivar este tipo de funciones se debe derivar las dos funciones, la funcin interna g y la funcin externa f, por medio de la regla de la cadena la cual se enuncia a continuacin:

Regla de la cadenaSi y=f(x) , y=g(x) son ambas derivables, entonces su composicin fog=f(g(x)) es una funcin derivable y su derivada viene dada por:Derivada de la funcin externa, evaluada en la internaDerivada de la funcin internaMultiplicada por

(fog) = f(g(x)) . g(x)

Regla de la cadena en notacin de LeibnizSi y=f(t) , y adems t=g(x) son dos funciones diferenciables, entonces:

Observaciones: En ambos caso se est expresando la derivada de la misma funcin. En el primero, la funcin compuesta ya est dada en trminos de la variable independiente x, mientras que en el segundo, la variable y depende de t, y a su vez t depende de la variable independiente x, pero se trata de la misma funcin porque al sustituir t, se obtiene f(g(x)). La composicin se puede hacer con dos o ms funciones, la regla se aplica del mismo modo hasta derivar la funcin ms interna de todas.Ejemplos:1. Derive la siguiente funcin DerivadaPlanificacin y argumentacin al derivar

Derivo:

Ordenando:

Antes de derivar:Estudio las caractersticas de la funcin, para ello se pregunta: se puede escribir de otra forma? No

existen dos o ms funciones que al componerlas da esa funcin? S , , cul es la externa? cul es la interna? Mientras deriva:Aplique la regla, la cual se enuncia: derive la funcin externa manteniendo la interna tal cual y la multiplique por la derivada de la interna derive la funcin externa manteniendo la interna: cos(x3) derivada de la interna: 3x2 multiplique: cos(x3). 3x2Despus de derivar: Puede hacer alguna simplificacin? No Puede escribir la funcin de otra forma? S, usando identidades trigonomtricas, dado el enunciado del ejercicio no es necesario, pues slo pide derivar. Est bien derivado? S

1. Derive la siguiente funcin DerivadaPlanificacin y argumentacin al derivar

Derivando:

Ordenando:

Simplificando:Una forma (usando identidad fundamental):

Otra forma (usando identidad de ngulo doble):

Antes de derivar:Estudie las caractersticas de la funcin, para ello se pregunta: se puede escribir de otra forma? S ,

existen dos o ms funciones que al componerlas da esa funcin? S , , cul es la externa? cul es la interna? Mientras se deriva:Aplique la regla, la cual se enuncia como: derive la funcin externa manteniendo la interna tal cual y la multiplique por la derivada de la interna derive la funcin externa manteniendo la interna, es decir derivo la potencia manteniendo la misma base: derivada de la interna, que es el coseno:

multiplique: .Despus de derivar: Puede hacer alguna simplificacin? S Puede escribir la funcin de otra forma? S, dado el enunciado del ejercicio no es necesario, en otra situacin seleccione la que ms convenga. Est bien derivado? S

Generalizacin de algunas derivadas de funciones compuestas.

Se pueden generalizar algunas derivadas de funciones compuestasSea una funcin derivable de x, entonces:1.

Si entonces , donde n es un nmero real1.

Si entonces 1.

Si entonces 1.

Si entonces , siendo a una constante positiva diferente de 1.1.

Si entonces 1.

Si entonces Anlogamente para el resto de las funciones trigonomtricas.

La notacin de Leibniz.Si la funcin compuesta no est dada en funcin de x, sino en funcin de otras variables que dependen de x, se aplica la notacin de Leibniz, de modo que se puede derivar sin necesidad de sustituir en funcin de x.Ejemplo

Derive la siguiente funcin , Observe que y es funcin de t, entonces derive y con respecto a t, sta es la variable independiente, es una potencia, por lo tanto:

Observe que t es funcin de x, entonces derive t con respecto a x, sta es la variable independiente:

Aplique regla de la cadena, as: =, sustituyendo t, se obtiene:

Si se sustituye primero t, y luego se deriva aplicando el procedimiento para funcin compuesta explicado anteriormente, se llega exactamente al mismo resultado.

Bibliografa

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