FUNCION Y LIMITES

download FUNCION Y LIMITES

of 44

Transcript of FUNCION Y LIMITES

Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 1 CAPITULO I FUNCIONES 1.- Definicin de Funcin. Una funcin es un conjunto de parejas ordenadas de nmeros , en el cual dos parejas ordenadas distintas no tienen elmismo primernmero. El conjunto de todos losvalores posibles de x se llama el dominio de la funcin y el conjunto de todos los valores posibles de y se llama el rango (imagen) de la funcin. Ejemplos: 1.1. - Determine si las siguientes expresiones representan una funcin; si es funcin dar su dominio, rango y graficar: 1. , | 2 5 2. , | 3 2 3. , | 4 4. , | 1; 0 5. - , | 2 6. , | 4 7. , | 4 8. , | 0 Dadaslassiguientesfuncionesparamtricas,determinelaecuacincartesianaeindiquesdichaecuacin cartesiana representa una funcin o no. 9. -D = { (x, y) | x = 3t +2 ; y = 4t -2 }. 10. E = { (x, y) | x = 3t2 + t ; y = 4t - 2 }. Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 2 2.- Funciones Especiales 2.1 .- Funcin polinomial Funcin es aquella funcin que tiene la forma: 0 111 ) (a x a x a x a fnnnn x+ + + + =L donde n es nmero entero no negativo y es llamado grado de la funcin polinomial.El coeficiente ai , i=0, 1,2, ... n son nmeros reales. El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales. La funcin polinomial de grado 0, 1, 2 y 3 son, respectivamente: 2.1.1Funcin constante 0) ( a x f = ; Dominio =; Imagen = { 0a } y es llamado funcin constante La notacin ms comnes:c x f = ) (; dondec es una constante y pertenece a los reales Dominio =; Imagen = { c } Es decir es aquella funcin que para todo valor de x en los reales el valor de y es la constante c.

Ejemplos: Determinar el dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones: a)2 ) ( = x f b)3 ) ( = x f = D ;} 2 { = I = D ;} 3 { = I 2.1.2Funcin Lineal 0 1) ( a x a x f + = ; Dominio =; Imagen = y es llamado funcin lineal. Lanotacinmscomnes:b mx x f + = ) ( dondemybpertenecealosnmerosreales;mesla pendiente de la recta y b es la ordenada al origen Dominio =; Imagen = Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 3 Ejemplos: Determinar el dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones: a)x x f = ) (Esta funcin lineal es llamada funcin identidad Dominio =; Imagen = ; cuya grfica es: Es decir, para todo valor de x, y toma el mismo valor de x b)3 2 ) ( + = x x f; = D ; = I c)2 3 ) ( + = x x f; = D ; = I 2.1.3Funcin Cuadrtica 0 122) ( a x a x a x f + + =; Dominio = y es llamado funcin cuadrtica. La notacin ms comnes:c bx ax fx+ + =2) ( Lagrfica de estafuncin esuna parbola vertical, cuyo vrtice esta dado por V(h,k)y se puede determinar por medio de: abh2 =y ) (h f k = ab ack442= Dependiendo del valor del coeficiente de x2 (a), la grfica puede ser: Si a>0Si a=< =0 30 00 5) (x six six sifxc) < < =1 1 21 0 302) (x si xx six si xfx b) +=1 60 1) (x si xx si xfxd) > < +=5 55 5 255 52) (x si xx si xx si xfx Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 9 Existencasoespecialesdefuncionesseccionadas,lasmsimportantesson:funcinvalorabsoluto,funcin signo, funcin escaln unitario y la funcin mayor entero. A continuacin se definirn. 2.4.1.- Funcin valor absoluto. La funcin valor absoluto esta definida por: < =00) (x si xx si xfx Dominio =Imagen=[ ) + , 0 Ejemplos: Determinar el dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones: 4 2 ) ( ) = x x f a 1 ) ( )2 = x x f b22 2 ) ( ) x x f c = = D = D = D) , 0 [ + = I ) , 0 [ + = I ) , 2 [ + = I Tarea 6 1.- Determinar el dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones: a)1 5) (+ = x fxc) 2) (5 4 x fx+ = b)x fx2 3) ( = d) 2) (2 6 x fx = x-x Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 10 2.4.2.- Funcin signo La funcin signo se define por: >=< = =0 10 00 1) sgn( ) (x six six six x f Dominio =Imagen={ } 1 , 0 , 1 Tarea 7 1.- Determinar el dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones: a) ( ) 3sgn+ x

b) ( ) x 2 5sgn

c) ( )22 4sgnx + d) ( ) 13 42sgn x -1 1 Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 11 2.4.3.- Funcin escaln unitario La funcin escaln unitario se define por: =< =0 30 00 5) (x six six sifx; > < +=5 55 5 255 52) (x si xx si xx si xgx 6.=) ( xf) 2 3 ( + xU ;=) ( xg( ) 36 42sgn x Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 17 4.- Funcin Inversa. 4.1.- Funcin biunvoca. Una funcinf(x) se denomina biunvoca o uno a uno si a cada elemento de la imagen, le corresponde uno y solo un elemento del dominio; es decir: fD x x 2 1;se cumple que:si x1 x2entonces ) ( ) (2 1x xf f 4.2.- Funcin Inversa. Si f(x) es una funcin biunvoca, entonces, existe una funcin f 1, llamada inversa de f, que satisface que: x=f 1(y)si y solo si y=f(x) El dominio de f 1 es la Imagen de fy la imagen de f 1 es el dominio de f( )ffffD I I D = = 1 1; . Ejemplos: Determine la funcin inversa de las siguientes funciones: a) 3 5 ) ( = x x f solucin: i) =fD ; =fI Es una funcinbiunvoca ii) 3 5 = x y 53 +=yx53) (1+=yy f 1 5 ) ( = x x fEs funcin biunvoca 1 ) ( = x x fNo es funcin biunvoca Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 18 iii) 53 +=yx 53 +=xy53) (1+=xx f iv) = = ffI D 1; = = ffD I 1 b)xxx f2 43) (= solucin: i)} 2 { =fD ;} 2 / 1 { =fI Es una funcinbiunvoca ii)xxy2 43= 1 23 4++=yyx1 23 4) (1++=yyy f iii) 1 23 4++=yyx 1 23 4++=xxy1 23 4) (1++=xxx f iv)} 2 / 1 { 1 = = ffI D;} 2 { 1 = = ffD I ) (1x f ) (1x f Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 19 b) x x f 2 4 ) ( = solucin: i)] 2 , ( =fD ;) , 0 [ + =fI Es una funcinbiunvoca ii) x y 2 4 = 242yx=24) (21yy f= iii) 242yx= 242xy=24) (21xx f= iv)) , 0 [ 1 + = = ffI D;] 2 , ( 1 = = ffD I c) 2 ) (2 = x x f solucin: i)] 2 , ( =fD ;) , 0 [ + =fI No es una funcinbiunvoca no tiene inversa ) (1x f Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 20 Tarea 12 Determinar la funcin inversa, su dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones. Si existe. 1.-1 3) ( = x fx5.- 2 72 3) (=xxfx 2.-| 5 2 |) ( = x fx6.-3 22) (+ = x fx 3.-1 22) ( = x fx7.- 3) (x fx=4.-5 4) ( = x fx8.- 6 37 2) (+=xxfx Problema de aplicacin de funciones 1.- Una Compaa vende su producto a $55.00. Obtenga el modelo matemtico de ingresos en funcin del nmero de unidades vendidas, Qu ingreso tendra la empresa si vende 500 unidades?. Solucin: Supongamos x el nmero de unidades vendidas (variable independiente) y I(x) los ingresos obtenidos por x unidades vendidas. Por lo tanto tenemos los ingresos enfuncin del nmero de unidades vendidas esta dado por: x x I 55 ) ( = Entonces 500 , 27 $ ) 500 ( 55 ) 500 ( = = I Cul es dominio e Imagen de la funcin? 2.- Una empresa vende sus artculos en $215y el costo de produccin es $65.00 por unidad y los costos fijos es $15,000.00. Encuentre una expresin para las utilidades de la empresa en funcin de las unidades producidas y la utilidad de un pedido de 1,000 unidades. Solucin: Ingresos por unidadx x I 215 ) ( =Costo de produccin por unidad15000 65 ) ( + = x x CUtilidad por unidad vendida ) ( ) ( ) ( x C x I x U = 15000 150 ) 15000 65 ( 215 ) ( = + = x x x x U 00 . 000 , 135 $ 150000 ) 1000 ( 150 ) 000 , 1 ( = = U Cuntas unidades debe producir para que la empresa no tenga ganancias ni prdida (Punto de equilibrio)?Se puede obtener U(x)=0 o igualando I(x)=C(x). Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 21 5.- Un fabricante puede producir radios a un costo de $100 pesos la unidad. Por experiencia sabe que si los vende a $800 pesos nadie le comprar, si los vende a $790 tendr en promedio unventa al mes, si los vende a $780 tendr dos ventas al mes, y as sigue, aumentando el promedio mensual en una venta por cada $10 pesos que baja el precio de venta. Determine el ingreso mximo, cuantos radios debe producir y el precio de venta para obtener el mayor ingreso. Precio de venta en funcin del nmero de artculos Nmero de artculos = xPrecio = P(x) = (800-10x) 0800 1800-10 = 790 2800-2(10) = 780 3800-3(10) = 770 4800-4(10) = 760 5800-5(10) = 750 Ingresos en funcin del nmero de artculos =Precio por unidad vendida Nmero de artculos = xIngreso = I(x) = x(800-10x) 00 1790 21560 32310 43040 53750 La funcin de ingreso es una funcin cuadrticax x x I 800 10 ) (2+ =que representa una parbola hacia abajo y el punto mximo de la parbola esta en el vrtice. Obteniendo el vrtice tenemos 40) 10 ( 28002= = =abh ;16000 ) 40 ( 800 ) 40 ( 10 ) 40 ( ) (2= + = = = I h I k Por lo tanto: El ingreso mximo es $31,600.00. El nmero de radios para tener el mximo ingreso es 40 unidades. El precio de venta para tener mximo ingreso es400 ) 40 ( 10 800 ) 40 ( = = p Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 22 6.- Una ventana normanda tiene forma de rectngulo rematado por un semicrculo. Si el permetro de la ventana es de 30 pies, encuentra las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad ms grande de luz posible. Sea x la base del rectngulo y sea y su altura. Entonces el radio del semicrculo es x/2.Para que se admita la mayor cantidad de luz, necesitamos la ventana de mayor rea posible.El rea de la ventana es el rea del rectngulo ms el rea del semicrculo: Dado que el permetro tiene que ser 30 pies segn el enunciado, x y y estn relacionadas por la siguiente ecuacin: podemos despejar y para obtener: y reemplazamos en el rea: La funcin del rea es una funcin cuadrticax x A 15 8927 . 02+ =que representa una parbola hacia abajo y el punto mximo de la parbola esta en el vrtice. Obteniendo h del vrtice tenemos 4 . 8) 8927 . 0 ( 2152= = =abh ; Por lo tanto en x=8.4 esta el rea mxima. Calculado y tenemos 2 . 44) 4 . 8 (24 . 8154 215 = = = x xyPor lo tanto las dimensiones de la ventana con mayor luz es de 8.4 pies de ancho, 4.2 pies de altura en la parte rectangular y un semicrculo de radio de 4.2 pies. 82 2122xxy Axxy A+ =||

\| + =3022 =+ +xy x4 215x xy =22 28927 . 0 158 215 x xx xx A = =Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 23 7.- Una lata cilndrica debe tener una capacidad de un cuarto de litro. El costo del material en las tapas es de 3 pesos por centmetro cuadrado, y en la parte lateral es de 2 pesos por centmetro cuadrado. Determine el costo en funcin del radio? Sea c el costo de la lata c=(costo tapas)+(costo lateral) como cada centmetro cuadrado de las tapas cuesta $3 mientras que cada centmetro cuadrado del lado cuesta $2: c=3(rea tapas)+2(rea lado) es decir: Dado que el volumen tiene que ser 250 centmetros cbicos (un cuarto de litro), entonces r y h estn relacionadas por la siguiente ecuacin: despejando h: sustituyendo a h en el costo obtenemos: que es la funcin solicitada. ( )( ) ( )rh r crh r c + = + =4 62 2 2 3222502= h r2250rh=rr c100062+ =Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 24 1 f(x) = ax 1 f(x) = e-x 1 f(x) = ex 5.-Funcin exponencial Si a 1; a>0 y x R la funcin f(x) = ax se llama funcin exponencial de base a. si a > 1si 0 < a < 1 si a = 2.718281 .;es la funcin exponencial base e,f(x) = ex 1 f(x) = ax Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 25 la funcin exponencial base a y e cumplen las mismas propiedades, como la base a es la general dichas propiedades se basar en esta. 1.- ax ay = ax+y4.- (ab)x = ax bx 2.- ax / ay = ax-y5.- a0 = 1 3.- (ax)y = axy Tarea 13 Determine el dominio, imagen y la grfica de las siguientes funciones 1.- f(x) = 4x5.- f(x) = e-x 2.- f(x) = (1/5)x6.- f(x) = 2xe3.-f(x) = 3x-17.- f(x) = 21/x 4.- f(x) = 2| x|8.- f(x) = (ex - e-x) / 2 Ejemplos: Determinar el dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones: xx f a 2 ) ( ) =xx f ) 2 / 1 ( ) ( =xx f23 ) (=3 2) (=xe x f = D = D = D = D) , 0 [ + = I ) , 0 [ + = I ) , 0 [ + = I ) , 0 [ + = I 6.- Funcin Logaritmo base a La funcin logaritmo base a es la inversa de la funcin exponencial de base a y se define como: f(x) = loga x si y solo si x = ay si a = 2.718281 .;es la funcin logaritmo natural f(x) = ln x si y solo si x = ey (1,0) Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 26 Las propiedades de la funcin logaritmo natural como la de base a son iguales, y en forma general son: 1) loga (xy) = logax + logay 2) loga (x/y) = logax - logay 3) loga (x)r = rloga x 4) loga 1= 0 La relacin entre el logaritmo natural y base a es: loga x = ln x / ln a entoncesloga e = 1 / ln a Por ser funciones inversas la funcin logaritmo y la exponencial se tiene que: ln ex = x;eln x = x loga ax = x;xaalog = x Ejemplos: Determinar el dominio, imagen y grfica de las siguientes funciones: ) 3 2 ( log ) ( )2x x f a = ) 4 2 log( 3 ) ( ) = x x f b ) 4 ln( ) ( )2 = x x f c ) , 2 / 3 ( + = D ) , 2 ( + = D ) , 2 ( ) 2 , ( + = D = I = I = I tarea 14 Determine el dominio, imagen y la grfica de las siguientes funciones 1.- f(x) = log2 (3x -1)4.- f(x) = ln e (3x -1) 2.- f(x) = log3 (2x+1)25.- f(x) = ln (3-2x)3 3.- f(x) = ln | 5-3x |6.- f(x) = log2 e(3x -1) Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 27 7.- Funciones trigonomtricas 7.1.- Funcin seno f(x) = sen (x); Dominio = R ; Imagen = [-1, 1] 7.2.- Funcin coseno f(x) = cos (x) ; Dominio = R ; Imagen = [-1, 1] 7.3.- Funcin Tangente f(x) = tan (x); Dominio = R -{ /2 + n } ; n e Imagen = R /2 3/2 /2 3/2 /2 3/2 /2 3/2 /2 3/2 /2 3/2 Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 28 7.4.- Funcin cotangente f(x) = cot (x); Dominio = R -{ n } ; n e Imagen = R 7.5.- Funcin secante f(x) = sec (x);Dominio= R -{ /2 + n } ; n e Imagen = ( -, 1] [1, + ) /23/2/2 3/2 /2 3/2 /2 3/2 Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 29 7.5.- Funcin cosecante f(x) = csc (x);Dominio= R -{ n } ; n e Imagen = ( -, 1] [1, + ) 7.6.- Identidades trigonomtricas. 1)sen x csc x = 111) tan ( -x ) = - tan x 2)cos x sec x = 112) cot ( -x ) = - cot x 3)tan x cot x = 113) sec ( -x ) = sec x 4) tan x = sen x / cos x14) csc ( -x ) = - csc x 5)cot x = cos x / sen x15) cos2x= 22 cos 1 x + 6)sen2 x + cos2 x = 116) sen2 x =22 cos 1 x 7)1 + tan2 x = sec2 x17) sen ( A+B ) = sen A cos B + sen B cos A 8)1 + cot2 x = csc2 x18) sen ( A-B ) = sen A cos B - sen B cos A 9)sen ( - x ) = - sen x19) cos ( A+B ) = cos A cos B - sen A sen B 10) cos ( - x ) = cos x20) cos ( A-B ) = cos A cos B + sen A sen B Tarea 15; Investigar las funciones trigonomtricas inversas. /2 3/2/22 Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 30 8.- Funciones Trigonomtricas Hiperblicas. 8.1 Funcin seno hiperblico. 2senhx xe ex= ; Dominio=; Imagen = 8.2.- Funcin coseno hiperblico. 2coshx xe ex+= ; Dominio=; Imagen = [ 1, + ) 1 Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 31 8.3.- Funcin tangente hiperblico. x xx xe ee exxtanhx+= =coshsenh; Dominio=; Imagen = ( -1, 1 ) 8.4.- Funcin cotangente hiperblico x xx xe ee exxx+= =senhcoshcoth ; Dominio=- {0}; Imagen =- [ -1, 1 ] 1 -1 1 -1 Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 32 8.5.- Funcin secante hiperblico x xe e xhx+= =2cosh1sec ; Dominio=; Imagen = ( 0, 1 ] 8.6.- Funcin cosecante hiperblico x xe e xhx= =2senh1csc ; Dominio=- { 0 }; Imagen =- { 0 } 8.7.- Identidades de las funciones hiperblicas. 1)tanh x = 1 / coth x5)cosh 2x = cosh2 x + senh2 x 2) cosh2 x senh2 x = 16)senh 2x = 2senh x cosh x 3) 1 tanh2 x = sech2 x7)cosh 2x = 2 senh2 x + 1 4) 1 coth2 x = - csch2 x8)cosh 2x = 2cosh2 x -1 Tarea 16: Investigar la funciones hiperblicas inversas. Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 33 CAPITULO II LIMITES Concepto intuitivo de lmite de una funcin. El concepto de lmite en forma intuitiva lo podemos explicar por medio de los siguientes ejemplos: 1.-Supongamos que dos personas toman un billete de $200.00 por un extremo. Cuando una de las personas comienzaajalarelbilletepaulatinamentestebilleteresistelafuerzadetensininicialmente,perollegael momento en que es tanta la fuerza de tensin que el billete cede y se rompe. Podemos establecer que el billete soportacuandomuchounatensinespecficaantesderomperseydecimosqueeselvolarmximode resistencia. ste valor mximo de resistencia le denominamos lmite de resistencia a la fuerza de tensin. 2.-Eneldeportedenatacinsinequipamientoaparentesehabeneficiadodelatecnologa,laafeitadadel vello corporal recorto en un segundo las marcas de los nadadores de 800 metros libres masculinos y se espera quelosnuevostiposdetrajesdebaoreduzcanelrozamientoymejorenanlasmarcas.Perollegarel momentoenqueelrcordmundialnopodrbajarmseltiempoexistiendounvalormnimo,esdecirse aproxima a un lmite de tiempo. Donde L es el lmite de T(t), es decir L es tiempo lmite rcord en el recorrido de 800 metros en natacin. Tensin Tiempo L a T(t) es la tensin que resiste el billete con respecto al tiempo Donde L es el lmite de T(t) cuando x se aproxima al valor de a. 44046048050052054056050 60 70 80 90L AoT(t) es el tiempo de recorrido en funcin del ao de pruebaTiempo (seg) Clculo Diferencia e Integral (D.R. 1996)M.C. Juan Manuel Caldern Corts Pgina 34 1.- Definicin de lmite de una funcin. SeafunafuncindefinidaentodonmerodealgnintervaloabiertoIquecontengaaa,excepto, posiblemente, en el nmero a mismo. El lmite de f(x) cuando x tiende a a es L, y se escribe: L limfxa x=) ( Si el siguiente enunciado es verdadero: Dada cualquier > 0, sin importar cun pequea sea, existe una > 0 tal que Si 0 < | x a |