Cuaderno de Trabajo: Límite de Funciones

1. IntroducciónObjetivo: El estudio de los límites de las funciones per-mitirá conocer el comportamiento, la forma y gráficade una función cuando la variable se “dirige” hacia unnúmero determinado o hacia el más o menos infinito.

Una vez desarrollados los conceptos y significados dellímite de una función, pueden construirse otros que sonpilares fundamentales del Análisis Matemático, tales co-mo “continuidad”, “derivación” e “integración”, que vere-mos más adelante.

1.0.1. Luz, cámara, acción

El término límite tiene múltiples acepciones. Puedetratarse de una línea que separa dos territorios, de unarestricción o limitación (llegar antes de las 2 am a lacasa), etc.

Portafolio 1.1 En tu cuaderno o portafolio:

Anota dos acepciones al término límite.

Agrega algunas líneas con algo de la historiadel concepto de límite en matemática (etimología,creadores, años, otros)

En matemática, la idea de límite está referida a una fun-ción y guarda relación con los valores que toma la fun-ción en lugares cercanos a un punto que nos interese.Por tanto, cuando se diga “límite de una función en al-gún punto”, se deberá entender que interesa saber elcomportamiento de la función en una zona muy cercanaal punto y no necesariamente en el punto.

Hay que tener claro que estamos trabajando funcionesen el plano cartesiano, y que cuando decimos que “x seacerca a un punto x0”, este x lo puede hacer avanzandopor izquierda hacia el x0 o bien viniendo por la derechade x0.

Actividad en aula 1.2

1. Considera la función f (x) = x2. Completa la siguien-te tabla para hallar a que valores se “aproxima” f (x)

cuando el x se “acerca” al 2.

x 1,9 1,95 1,99 1,999 2,001 2,01 2,05 2,1f (x)

Se concluye que el f (x) se aproxima a ......... cuandox se acerca a .......

Formalmente, lo que se desea hacer notar es, si elegi-mos valores de x cercanos a 2, los correspondientes va-lores de f están cercanos al valor 4. Observar que acer-carse a 2 significa poder hacerlo por izquierda o bien porderecha.

Portafolio 1.3 Para la función f (x) =3x2 − 18x + 27

2x2 − 18

1. Determina si existe imagen para x = 3

2. Comprueba, mediante una tabla de valores, que ellímite de f (x) cuando x tiende a 3 es 0.

3. Realiza un gráfico de f (x) en el intervalo [2, 3]

1.0.2. Vecindad

Si esto no fuera matemática, de seguro el término“vecindad” lo asociamos a la Vecindad del Chavo ¡Quétiempos aquellos! ¿Te acuerdas?

Definición 1.4 Una vecindad o entorno de un punto x0,de radio r > 0, es el conjunto de todos los puntos x ∈ Rtales que |x− x0| < r. Esto es

V (x0, r) = {x ∈ R/ x0 − r < x < x0 + r}

-e e

u@@@@@@

���

��� R

Vecindad V (x0, r)

x0−r x0+rx0

Observando la figura podemos pensar en una vecindadcomo aquél conjunto de puntos en la recta que quedacuando con un compás hacemos centro en un punto

1

determinado y luego marcamos los puntos donde estecompás corta a la recta real a izquierda y derecha.

ACTIVIDAD-AULA 1.(a) Identificar sobre la recta real, la vecindad del 2 con

radio 12

(b) Identificar de quien es vecindad el intervalo (−1, 1) ycual es el radio

(c) Escribir como conjunto la vecindad V (1,1

2) y repre-

sentarla en la recta real

Actividad en aula 1.5

1. Observa las dos gráficas siguientes. Indica haciadónde se aproxima la función f si la x se aproximaal valor señalado.

-

6

y

x0 1 2r r r1

8

-

6

y

x

@@@

4

3

6

De seguro que con la primera gráfica no tuvistesproblemas ¿y la segunda? Recuerda que te había di-cho eso de aproximarse por izquierda y por derecha¿te acordaste?, ¡qué bueno!.

2. Dime entonces que f (x) se aproxima a ......... cuandox se aproxima a 4 por derecha, y que f (x) se aproxi-ma a ...... para x aproximándose por izquierda al 4.

1.1 La definición δ, ε

La idea expuesta en la primera actividad, de aproxi-marse al 2 significa que tenemos que considerar aque-llos valores de x “cercanos” al 2, lo que, en otras pala-bras, equivale a decir que los x han de considerarse enuna “vecindad” del 2. Esto de vecindad ya ha sido estu-diado y sabemos que se anota, x ∈ V (2, δ), en dondeδ > 0 es el radio de la vecindad (cambiamos el r por δ).Recuerda que

V (2, δ) = (2− δ, 2 + δ) = {x ∈ R/ 2− δ < x < 2 + δ}

De este modo, lo que hemos hecho en la primera activi-dad es establecer que

x ∈ V (2, δ) =⇒ f (x) ∈ V (4, ε)

Esta es la idea principal y la formalizamos

La función f : R→ R tiene límite L = 4, en el puntox0 = 2, si y sólo si dado ε > 0 arbitrario, existe δ > 0

tal que

lımx→x0

f (x) = L⇐⇒ x ∈ V (x0, δ) =⇒ f (x) ∈ V (L, ε)

La que a su vez es equivalente a:

La función f : R→ R tiene límite L = 4, en el puntox0 = 2, si y sólo si dado ε > 0 arbitrario, existe δ > 0

tal que

lımx→x0

f (x) = L⇐⇒ 0 < | x− x0 | < δ =⇒ | f (x)− L | < ε

La expresión 0 < | x− x0 | afirma que x 6= x0

1.1.1. Interpretación geométrica

A esta definición debes poner especial atención. Ge-ométricamente establece la existencia de dos vecin-dades:

Una vecindad en el eje de las x, a la que ponemosradio δ y

Una vecindad en el eje de las y, a la que ponemosradio ε.

En la figura (a) hemos dibujado un trozo de la grafica deuna funcion f cuyo limite cuando x tiende a x0 es L. Ob-serva que en este caso no hemos situado la imagen dex0, es decir, f (x0), porque no existe o porque existe, peroqueda fuera de la figura (el que exista o no la imagen dex0, es indiferente). En cualquier caso:

lımx→x0

f (x) = L 6= f (x0)

Observa que hemos tomado un numero ε > 0 y cons-truido la vecindad o entorno abierto de centro L y radioε, es decir: V (L, ε) = (L− ε, L + ε).

En la figura (b) se aprecia como para ese valor ε > 0 quetomamos anteriormente en el eje de ordenadas, encon-tramos un valor δ > 0 (ver eje x) al trazar desde lospuntos L − ε y L + ε paralelas al eje de abcisas has-ta la grafica de f y posteriormente paralelas al eje deordenadas hasta el eje de abcisas. La menor de las dis-tancias de los puntos obtenidos hasta el punto x0, seraδ. De este modo obtenemos el entorno abierto de centrox0 y radio δ, es decir: V (x0, δ) = (x0 − δ, x0 + δ).

Observación 1.6 Insistimos en que debes apreciar queel entorno V (x0, δ) se obtiene a partir de V (L, ε) (elegidoarbitrariamente). Por eso, parte de la definicion dice:

Para todo ε > 0, EXISTE δ > 0 · · ·

Con las figuras siguientes reforzamos esta inter-pretación.En la figura (c), a partir del intervalo (x0 − δ, x0 + δ) deleje de abcisas trazamos una “banda” vertical sombrea-da hasta la curva f y de ésta, otra horizontal hasta eleje de ordenadas. Observa que se produce un intervalodentro del que tenemos (L− ε, L + ε).

2

En la figura (d) observa que cualquier x que tomemostal que x ∈ V (x0, δ) = (x0 − δ, x0 + δ), se verifica quef (x) ∈ (V (L, ε) = (L − ε, L + ε), es decir, las “líneasguías” que comunican x con f (x) quedan dentro de lasbandas sombreadas.Puedes imaginar que por muy pequeño que tomemos ε,siempre encontraremos un δ que verifique la definicion,es decir, si queremos que f (x) esté infinitamente prox-imo a L (ε muy pequeno), tendremos que tomar un x

infinitamente próximo a x0 (δ muy pequeño también).

La GRAN conclusión es: “ Si el límite de la función es L,entonces cualquiera sea el x que se tome en la vecin-dad del x0 las imágenes deben estar en el rectánguloque muestra la figura”

Actividad en aula 1.7

1. Considera la función f (x) = (x − 1)2 + 2. Si x → 3,entonces el límite de f es L = ........ Vamos a deter-minar cuál es el valor de δ en la vecindad V (x, δ) paraque las imágenes de la función queden todas en lavecindad V (6, 1

4). Veamos el significado de esto

f (x) ∈ V (6,1

4) =⇒ |f (x)− 6| < 1

4

=⇒ |(x− 1)2 − 4| < 1

4

=⇒ |x2 − 2x− 3| < 1

4

=⇒ |x− 3| |x + 1| < 1

4

Observa que aparece el factor |x−3|. Ello siempre esasí, el factor |x−x0| debe formar parte del |f (x)−L|.La importancia de ello es que, sabiendo que el x→ 3

y que x0 = 3, entonces

x ∈ V (3, δ) =⇒ |x− 3| < δ

¡¡Qué bien!! Este es el impulso que se necesita. Miralo que ocurre

|x− 3| |x + 1| < 1

4=⇒ δ · |x + 1| < 1

4

Falta acotar el factor |x + 1| sabiendo que estamostrabajando en la V (3, δ) ¿Qué sabemos del δ?, quees chicoco pero positivo, digamos que 0 < δ < 1. Portanto, lo más grande que puede llegar a ser es “pare-cerse” al 1. Sabemos que sus aspiraciones nunca secumplirán, pero digamósle que sí, ¡bueno ya!, quesea δ = 1. Con esto

|x− 3| < 1 =⇒ −1 < x− 3 < 1 =⇒ |x + 1| < .............

Volvemos a la última desigualdad

δ · |x + 1| < 1

4=⇒ δ <

1

20

Listo. La vecindad en la que puede moverse el x concentro en el 3, es el intervalo (3 − 1

20, 3 + 120). Los in-

crédulos dirán ¿dónde la viste?, los ateos “ver para

creer” como dijo Santo Tomás. A todos ellos os digo¡comprobémoslo!

f (3− 120) = (2, 95− 1)2 + 2 = 5, 8025

f (3 + 120) = (3, 05− 1)2 + 2 = 6, 2025

La vecindad del L = 6 con radio 14 es el intervalo

(5, 75; 6, 25). Luego, con los valores encontrados ¡es-tamos dentro!

En la práctica uno no anda haciendo gráficos de estetipo. Lo que se pide es el manejo algebraico de lasituación. Es decir, si se da un ε, que representa el an-cho de banda del L, se pide hallar el δ, el ancho debanda del x0. Este es un proceso más abstracto querequiere de toda tu capacidad intelectual.

Portafolio 1.8 Realiza todo el proceso que te lleve aprobar que el límite de la función f (x) = x2−1

x−1 = 2 paravalores cercanos a x0 = 1. Para ε = 0, 1 halla el δ nece-sario para que TODAS las imágenes de f queden en elinterior del rectángulo (x0 − δ, x0 + δ)× (L− ε, L + ε)

ACTIVIDAD-AULA 2. Probar, usando la definición δ, ε

que

(a) lımx→1

(x2 + x + 1) = 3

(b) lımx→0

(x2 + x + 1) = 1

(c) lımx→−1

(x2 + x + 1) = 1

(d) lımx→2

(x2 + x + 1) = 7

1.2 Calculando límites

Actividad en aula 1.9 1. Solo mediante cálculos men-tales estima el límite de cada función siguiente:

1 lımx→1

x + 1

x2 + 1= ................

2 lımx→0

x

1 + x2= ................

3 lımx→−1

4x3 − 2x2 + 3 = ................

4 lımx→2

x− 2

x2 − 4= ................

En los tres primeros límites se trata de un simple reem-plazo. En el cuarto la cosa no funciona ¿Cuál crees quees la causa? Si en el cuarto límite se hace el reemplazodirecto de x por 2 se obtiene una expresión de la forma

2− 2

22 − 4=

0

0

pero hemos dicho que

¡¡La Matemática no divide por cero!!

Esto no quiere decir que el límite no exista, sino que elcálculo de este límite necesita de otros procedimientoalgebraicos.

3

1.2.1. La máscara

Este término tiene muchas interpretaciones, la figurailustra algunas.

Llamaremos máscara en los cálculos de límites a la ex-presión resultante de reemplazar el valor al cual tiendela variable en la función a la que estamos sacandolímite. Si el resultado de esta máscara da como re-sultado un número real, entonces ¡ese es el límite!,en cualquier otro caso, la máscara resultante nos daráinformación de como abordar el problema. El símbo-lo ∼ lo emplearemos para indicar que “procesando” ellímite hemos llegado a una determinada máscara. Es-tas máscaras se trabajan con herramientas matemáti-cas ad hoc.

1.3 Límites laterales en un puntoAl iniciar el estudio del límite se mencionó que la aproxi-mación a un punto x0 de la recta real se puede hacer porizquierda o por derecha de éste. El cálculo denomina“límites laterales” a este proceso, y puede ocurrir que elpunto x0 pertenezca o no al dominio de f , por tal razón,es posible que ocurra que: sólo uno de ellos exista, queninguno de ellos exista, o bien que ambos límites ex-istan, pero en este último caso puede ocurrir que seaniguales o que sean distintos.

Teorema 1.10 la función f tiene límite en un punto x0 siy sólo si los límites laterales son iguales. Esto es,

lımx→x0

f (x) = L⇐⇒ lımx→x+

0

f (x) = lımx→x−0

f (x) = L

Ejemplo 1.11 Para la función f (x) =√x3 − 1 es-

tudiemos su comportamiento en x = 1 y en su entorno.

En x = 1, f (1) =√

13 − 1 = 0. Por tanto, tenemos ima-gen para x = 1. Para estudiar que pasa en el entorno dex = 1 podríamos hacer una tabla, pero en realidad nosinteresa un proceso más rápido, y ese es el límite. Setiene:

lımx→1+

√x3 − 1 ∼

√(1+)3 − 1 =

√1+ − 1 =

√0+ = 0 Se

concluye que el límite por la derecha de la funciónexiste y tiene el valor 1.

lımx→1−

√x3 − 1 ∼

√(1−)3 − 1 =

√1− − 1 =

√0− 6∈ R De

esta manera, el límite por la izquierda de x = 1 noexiste. La gran conclusión es que

lımx→1

√x3 − 1 No existe

Ejemplo 1.12 Si f (x) =

{x2 − 8, x ≤ 2

ex−2, x > 2, hallar límite,

cuando x→ 2.

Por tratarse de una función definida por tramos, sedeben estudiar sus límites laterales:

lımx→2+

f (x) = lımx→2+

ex−2 ∼ e0+= 1

lımx→2−

f (x) = lımx→2−

(x2 − 8) ∼ 22 − 8 = −4

Dado que los límites laterales NO son iguales, se sigueque lım

x→2f (x) NO existe.

1.3.1. Propiedades de los límites

Una vez comprendido el concepto, significado y la inter-pretación gráfica del límite de una función en un punto,veremos algunas de las propiedades más elementalesde este concepto:

1. Si una función f tiene límite cuando x tiende a x0,ese límite es único.

2. Si f (x) = k es una función constante y x0 es unnúmero real cualquiera, entonces su límite cuandox tiende a x0 es k. Esto es,

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

k = k

3. Si f (x) = x, entonces su límite cuando x tiende a x0

es x0. Es decir:

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

x = x0

Proposición 1.13 Si lımx→x0

f (x) = L y lımx→x0

g(x) = M , en-

tonces:

1. lımx→x0

k · f (x) = k · lımx→x0

f (x) = k L

2. lımx→x0

[f (x) + g(x)] = lımx→x0

f (x) + lımx→x0

g(x) = L + M

3. lımx→x0

[f (x)− g(x)] = lımx→x0

f (x)− lımx→x0

g(x) = L−M

4. lımx→x0

f (x) · g(x) = lımx→x0

f (x) · lımx→x0

g(x) = L ·M

5. lımx→x0

f (x)

g(x)=

lımx→x0

f (x)

lımx→x0

g(x)=L

M, M 6= 0

Límites de PolinomiosSi f (x) es un polinomio, su límite se halla reem-plazando directamente el valor al cual tiende la va-riable x en el polinomio y ese resultado es el límite

Ejemplo 1.14 lımx→5

(x2 +x+ 1) ∼ 52 + 5 + 1 = 31. Luego,este es el límite

Un cociente de polinomios es una expresión del tipop(x)

q(x), con p y q polinomios. Se dan los siguientes ca-

sos:

• Si q(x0) 6= 0, entonces lımx→x0

p(x)

q(x)=p(x0)

q(x0)

Ejemplo 1.15 lımx→1

x2 + x + 1

x3 + 1∼ 12 + 1 + 1

13 + 1=

3

2. Así,

la máscara es un número real, por tanto, este es ellímite.

• Si q(x0) = 0, entonces hay dos alternativas:

4

1. El p(x0) = A 6= 0, en tal caso,

lımx→x0

p(x)

q(x)=A

0∼ ±∞

La máscara NO es un número real, es un símbolo,por tanto debemos trabajar la función para determi-nar cual de los dos signos le correponde. La respues-ta la proporciona de denominador, por la clase decero , es decir, si el 0 (cero) del denominador es po-sitivo o negativo, y ello se descubre al aproximarsepor derecha e izquierda.

2. El p(x0) = 0, en tal caso: lımx→x0

p(x)

q(x)∼ 0

0En este caso debemos trabajar numerador y denomi-nador para eliminar los factores que hacen los ceros.

Veamos ejemplos de estos casos:

Ejemplo 1.16 Calcular lımx→0

1

x

Al hacer el reemplazo directo queda

lımx→0

1

x∼ .................

Es claro que hay una “máscara”. Para esta clase de“máscara” haz lo siguiente: acércate silenciosamentepor izquierda y por derecha al punto al cual tiende lavariable x. Cuando vengas por derecha anota x → x+

0

(tomar algún valor como 0,1 y 0,001 es suficiente) ycuando vayas por la izquierda, x→ x−0 (aquí tomas −0, 1

y −0, 001) . Se tiene:

lımx→0+

1

x∼ ................ =

lımx→0−

1

x∼ ................ =

La primera de éstas es la del “cero positivo”, indica quela función crece sin límites, razón por la cual el símbo-lo ∞ es muy adecuado. De igual forma, la segunda deestas expresiones involucra un “cero negativo”, estamosen presencia de un decrecimiento sin límite, por lo queel símbolo −∞ le representa.

Ejemplo 1.17 Calcular lımx→0

1

x2

Reemplaza x = 0 en la función para la máscara:

lımx→0

1

x2∼ .................

El cero que queda en el denominador es absolutamentepositivo pues está al cuadrado, de modo que los límiteslaterales son iguales. En consecuencia, afirmamos que

lımx→0

1

x2=∞

Actividad en aula 1.18 Calcular lımx→2

x− 2

x2 − 4

El primer paso es reemplazar la variable para tener lamáscara.

lımx→2

x− 2

x2 − 4∼ 0

0

Hay un cero sobre otro cero. Lo que se debe hacer esbuscar el factor que hace el cero arriba y el factor (elmismo) que hace el cero abajo. Después, se cance-lan ambos factores y se acabó el drama, salvo que lasituación se repita, en tal caso se vuelve a operar comose hizo antes. Veamos

lımx→2

x− 2

x2 − 4= lım

x→2

x− 2

(x− 2)(x + 2)= lım

x→2

1

x + 2

Ahora no hay problemas, reemplazas y obtienes

lımx→2

x− 2

x2 − 4=

1

4

Actividad en aula 1.19 Calcula los siguientes límites:

1. lımx→3

x2 − x− 6

x− 3

2. lımx→5

x2 − 5x + 10

x2 − 25

3. lımx→−1

x2 − 1

x2 + 3x + 2

4. lımx→1

x3 − 1

x2 − 1

5. lımx→1

2x3 − 14x2 + 12x

x3 − 10x2 + 27x− 18

Portafolio 1.20 Estudia los siguientes límites:

1. lımx→4

x3 − 21x + 20

x3 − 5x2 − 2x + 24

2. lımx→−1

x3 + x2 − x− 1

x3 + 5x2 + 7x + 3

1.3.2. Límite de la función potencia

Caso 1: Sea n un número entero mayor que cero.

Sean f (x) una función y g(x) = [f (x)]n. Si lımx→x0

f (x) = L,

entonces

lımx→x0

[f (x)]n = lımx→x0

fn(x) =

[lımx→x0

f (x)

]n= Ln

dicho brevemente, “El límite de una potencia es igual ala potencia del límite”

Ejemplo 1.21 Si f (x) =

[x2 − 4

x− 2

]3

, entonces

lımx→2

f (x) =

[lımx→2

x2 − 4

x− 2

]3

= 43 = 64

Caso 2: Sea n un número entero negativo.

Sean f (x) una función y g(x) = [f (x)]−n = 1fn(x). Sea x0

un número real, es decir, x0 ∈ R, y supongamos quelımx→x0

f (x) = L 6= 0. En estas condiciones

lımx→x0

[f (x)]−n =

[lımx→x0

f (x)

]−n= L−n =

1

Ln

Ejemplo 1.22 Sea la función f (x) = (4x2 + x− 9)−5, en-tonces

lımx→0

f (x) =[

lımx→0

(4x2 + x− 1)]−5

= (−1)−5 = −1

5

Caso 3: Sea αβ un número racional.

Sean f (x) una función y g(x) = [f (x)]

αβ

. Sea x0 unnúmero real positivo, es decir, x0 ∈ R+, y supongamosque lım

x→x0f (x) = L > 0. En estas condiciones

lımx→x0

[f (x)]

αβ

=

[lımx→x0

f (x)

]αβ= L

αβ

=β√Lα

Ejemplo 1.23 Sea la función f (x) = 4

√[x2−4x−2

]3, entonces

lımx→2

f (x) = lımx→2

4

√[x2 − 4

x− 2

]3

=4

√[lımx→2

x2 − 4

x− 2

]3

=4√

43 = 2√

2

1.3.3. Límite de una función exponencial

Sea f (x) una función y x0 un número real. Supongamosque lım

x→x0= L. Sea b un número real positivo. Para la

función exponencial g(x) = bf(x) se tiene que:

lımx→x0

g(x) = lımx→x0

(b)f(x) = blımx→x0

f (x)= bL

Ejemplo 1.24 Sea la función f (x) = 2x3+1, entonces

lımx→1

f (x) = lımx→1

2x3+1 = 22 = 4

1.3.4. Límite de función elevada a función

Sea f (x) y g(x) dos funciones reales de variable real.Sea x0 un número real. Supongamos que:

lımx→x0

f (x) > 0

lımx→x0

g(x) = k (k cualquier real).

Si h(x) = f (x)g(x), entonces

lımx→x0

h(x) = lımx→x0

f (x)g(x) = Lk

Que se lee “El limite de la función f (x) elevada a g(x) esigual al límite de la función f (x) elevado al límite de lafunción g(x), cuando x tiende a x0”

Ejemplo 1.25 Si f (x) =[x2+5xx

] xx2+x , entonces

lımx→0

f (x) = lımx→0

[x2 + 5x

x

] xx2+x

= lımx→0

(x + 5)1

x+1 = 5

1.3.5. Límite de una función logarítmica

Sea f (x) una función y x0 un número real. Supongamosque lım

x→x0f (x) = L. Sea g(x) = logb f (x). Esta función

transforma a cada número x en el logaritmo en base b

de f (x), siempre que ese logaritmo exista. Se puede de-mostrar que:

lımx→x0

g(x) = lım [logb f (x)] = logb

[lımx→x0

f (x)

]= logbL

Podemos enunciar que:

El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite

Ejemplo 1.26 Hallar lımx→3

[log

x2 − 9

x− 3

]De acuerdo a lo establecido se tiene que:

lımx→3

[log

x2 − 9

x− 3

]= log

[lımx→3

x2 − 9

x− 3

]= log 6

Un par de límites que involucran logaritmo natural y quedebes recordar son:

1. lımx→0+

lnx = −∞

2. lımx→∞

lnx =∞

1.3.6. Límite de cocientes Irracionales

Por lo general, esto es “casi siempre” así, mediante unasustitución adecuada se les cambia el difraz de “lobo”por el “oveja” y pasa de un límite de cociente irracionala límite de cociente racional.

Actividad en aula 1.27 Calcular lımx→1

√x− 1

3√x− 1

La máscara es de la forma ................. Mi ayuda paraeliminar la raíz cuadrada

√x es hacer z = x2. Por tan-

to, para eliminar la raíz cúbica 3√x se hace ...............

En consecuencia, para eliminar las dos raíces al mis-mo tiempo debemos hacer ............................

Si estamos cambiando una x por una z tenemos que verpara donde tiende esta z cuando la x tiende a su valororiginal. Completa

x = z6 → 1 =⇒ z → ...........

Con esto, las x pasan al olvido y sólo pensamos en la z.El “viejo” límite toma entonces otra apariencia

lımx→1

√x− 1

3√x− 1

= lımz→1

Este límite es cociente de polinomios. Veamos la más-cara.

lımz→1

z3 − 1

z2 − 1∼

Fácil, tienes que factorizar numerador y denominador.

lımz→1

z3 − 1

z2 − 1= lım

z→1

(z2 + z + 1)(z − 1)

(z + 1)(z − 1)

Se observa que el factor que hace cero arriba y abajoes el (z − 1). Simplificamos

lımz→1

z3 − 1

z2 − 1= lım

z→1

z2 + z + 1

z + 1=

Actividad en aula 1.28 Calcula los siguientes límites:

1. lımx→1

√x− 1

x− 1

2. lımx→7

2−√x2 − 49

x− 7

3. lımx→0

x

1−√

1− x

4. lımx→a

√x−√a

x− a

5. lımx→8

x− 83√x− 2

6. lımx→0

3√x + 1− 1

x

6

1.4 Límites notablesBajo esta categoría se hallan las dos “joyitas” siguientes:

lımx→0

( 1 + x )1/x = e y lımx→0

sen x

x= 1

Observa que ambos límites tienen máscaras biendefinidas, la exponencial 1∞ y el seno de la forma 0

0. Asícomo están no sirven de mucho, hay que modificarlaspara el cálculo. ¡¡ Esa es la gracia!!. Por otra parte, es-tos dos límites los consideramos como base para probarotros límites que involucren funciones exponenciales ytrigonométricas.

1.4.1. Límite notable: lımx→0

( 1 + x )1/x = e

Este es el modelo al que se deben asimilar todos losproblemas de este tipo. Más aún, aunque parezca chis-toso, lo puedes recordar mejor en la forma

lım2→0

(1 + 2)12

En donde “la cajita” es la que tiende a cero.

Actividad en aula 1.29 Calcula:

1. lımx→0

( 1 + 3x )1/x

2. lımx→0

( 1 + x )2/x

Si ves la forma general, de que se parecen ¡se parecen!Te doy tiempo para que lo intentes, luego lo hago en lapizarra.

1.4.2. Límite notable: lımx→0

senx

x= 1

Al igual que el límite anterior, tenemos que hacer quetodo límite trigonométrico se “parezca” a éste. Para quelo recuerdes mejor te lo escribo con cajitas

lım2→0

sen22

Actividad en aula 1.30 Calcular lımx→0

sen 2x

2x

¡Recuerda!, lo primero es la máscara ¿Cuál es?..................... Bien, ahora, como hay funcionestrigonométricas y se está calculando un límite hay quehacer que aparezca el “famoso” sen x

x . A veces aparecesin que lo llamen pero otras veces se necesita un cam-bio de variable o bien una identidad trigonométrica.Se supone que las tienes a mano, si no es así pideun formulario. En este caso cualquiera de los caminoste sirve. Veamos lo “valiente” que eres para tirarte a lapiscina.

Actividad en aula 1.31 Calcula los siguientes límites:

1. lımx→0

sen 2

2

2. lımx→2

sen 2

2

3. lımx→0

sen(x + 1)

x + 1

4. lımx→1

sen x

x

Actividad en aula 1.32 Calcula lımx→0

1− cos xx

¿Te acordaste de la máscara? Anota .................... Estosignifica que hay que hacer todo el esfuerzo en hallarel “famoso” que está de los más escondido. Pero cal-ma, no te eches a morir, te voy a ayudar. De la identidadfundamental sen2x + cos2 = 1 se obtiene

sen2x = 1− cos2x = (1− cos x)(1 + cos x)

¡Suficiente!, tu intelecto de universitario(a) y tu capaci-dad lógica te permiten seguir y concluir ¿Que te vayabien!

1.5 Infinitésimo en un puntoEstudiaremos, brevemente, este concepto como unaforma alternativa de cálculo y principalmente ponien-do atención en un punto de la recta real. Más adelanteveremos como éstos (los infinitésimos) están conecta-dos con las reglas de L’Hopital, que en verdad si sonel instrumento más rápido, simple y eficaz para calcularlímites con ciertas indeterminaciones.

Una función f (x) se dice que es un infinitésimo en elpunto x = a, si se verifica que su límite cuando x tiendea a es igual a 0. Es decir:

f es un infinitésimo en x = a ⇐⇒ lımx→a

f (x) = 0

Ejemplo 1.33

1. La función f (x) = senx es un infinitésimo en el puntox = 0. En efecto,

lımx→0

senx = sen( lımx→0

x) = sen0 = 0

2. La función g(x) = 1−cosx es un infinitésimo en x = 0.En efecto:

lımx→0

(1− cosx) = 1− cos0 = 1− 1 = 0

1.5.1. Infinitésimos equivalentes

Sean f (x) y g(x) dos infinitésimos en el punto x = a, esdecir:

lımx→a

f (x) = lımx→a

g(x) = 0

Se dice que f (x) y g(x) son infinitésimos equivalentesen el punto x = a si ocurre que :

lımx→a

f (x)

g(x)= 1

La siguiente es una lista de los infinitésimos más usadospara x→ 0:

senx ∼ x

(1 + ax)1x ∼ ea

tgx ∼ x

(1 + x)k − 1 ∼ kx

arcsenx ∼ x

1− cosx ∼ x2

2

arctgx ∼ x

ax − 1 ∼ x ln a

ln(1 + x) ∼ x

Ejemplo 1.34 Las funciones f (x) = senx y g(x) = x soninfinitésimos en x = 0.

7

En efecto,lımx→0

senx = 0, lımx→0

x = 0

Además, son equivalentes pues

lımsenx

x= 1

Ejemplo 1.35 Las funciones f (x) = tgx y g(x) = senx

son infinitésimos equivalentes en el punto x = 0.

En efecto, ya sabemos que f (x) = senx es un infinitési-mo en x = 0. Para g(x) = tgx tenemos que

lımx→0

tgx = lımx→0

senx

cosx=

0

1= 0

Y son equivalentes pues,

lımx→0

senx

tgx= lım

x→0

senx · cosxsenx

= lımx→0

cosx = 1

Ejemplo 1.36 lımx→0

sen5x

x= lım

x→0

5x

x= 5

Actividad en aula 1.37

1. Halla lımx→0

ln(1 + x)

1− ex. Mi ayuda es que uses ax − 1 ∼

x ln a

2. Halla lımx→3

tg(x2 − 9)

sen(x− 3).

Portafolio 1.38 Usa los infinitésimos dados para probarque:

1. lımx→0

senx · tgx1− cosx

= 2.

2. lımx→0

lnx

2− 2x= −1

2.

3. lımx→0

sen8x

tg4x= 2.

1.5.2. Límites infinitos en un punto

Sea f (x) una función real de variable real. Sea x0 unnúmero real. Puede ocurrir que x0 pertenezca al dominiode f (x) o que no pertenezca. Vamos a estudiar y definirlos siguientes conceptos:

lımx→x0

f (x) = +∞

Expresado de otro modo, esto significa que para valoresde x infinitamente próximos a x0, tanto por su izquierdacomo por su derecha, las imágenes f (x) son infinita-mente grandes positivas, de tal modo que cuánto máspróximo esté x de x0 (sin llegar a ser x = x0), más infini-tamente grande es f (x).Vamos a expresarlo gráficamente. En la figura 1 se ob-serva que f (x0) no existe. Además, si x→ x0 (tanto porderecha como por izquierda) entonces f (x) es grandepositiva y cuanto más próximo está x de x0, mayor es laimagen de x, de tal modo que esta se hace infinita positi-va. Aunque en la figura la gráfica de f aparece cortada,debe entenderse que se aproxima cada vez más a larecta vertical x = x0. La recta x = x0 se denomina asín-tota vertical de la función f . La gráfica de la función seaproxima a la recta vertical x = x0 tanto como podamosimaginar, pero nunca llega a tocarla.

En la figura 1 hemos representadouna función f cuyo límite cuando x

tiende a x0 es +∞ y hemos tomadoun número M > 0 (supuestamentegrande) en el eje de ordenadas.

En la figura 2 puede apreciarse

como, a partir de M , obtenemosuna vecindad o entorno de centrox0 y radio δ, es decir, V (x0, δ) =

(x0 − δ, x0 + δ). Si al trazar las ver-ticales x0 no quedáse en el centro,tomaríamos un subentorno o sub-vecindad.

En la figura 3 es fácil observar quepara cualquier número c que se en-cuentre en V (x0, δ), su imagen esmayor que M , es decir, f (c) > M .Apreciese que para cada M obten-dremos una V (x0, δ) distinta.

La formalización es la siguiente:

Definición 1.39 Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a x0 es +∞ si para cualquier valorM positivo,existe un entorno de centro x0 tal que si x está en ese entorno, su imagen es mayor que M . Matemáticamente:

lımx→x0

f (x) = +∞⇐⇒ ∀M > 0,∃δ > 0 tal que 0 < |x− x0| < δ =⇒ f (x) > M

8

lımx→x0

f (x) = −∞

El significado de esto es que “para valores de x infinitamente próximos a x0, tanto por su izquierda como por suderecha, las imágenes f (x) son infinitamente grandes negativas, de tal modo que cuanto más próximo esté x dex0 (sin llegar a ser x = x0), más infinitamente grande negativa es f (x)”. Veamos el significado de este concepto entérminos gráficos:

En la figura 1 hemos representadouna función f cuyo límite cuando x

tiende a x0 es −∞ y hemos tomadoun numero K < 0 (supuestamentegrande) en el eje de ordenadas.En la figura 2 puede apreciarse

como, a partir de K, obtenemosun entorno o vecindad de centrox0 y radio δ, es decir, V (x0, δ) =

(x0 − δ, x0 + δ). Si al trazar las ver-ticales x0 no quedase en el centro,tomaríamos un subentorno.

En la figura 3 es fácil observar quepara cualquier número c que se en-cuentre en V (x0, δ), su imagen esmenor que K, es decir, f (c) < K.Es claro que para cada K obten-dremos una V (x0, δ) distinta.

Formalmente:

Definición 1.40 Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a x0 es −∞ si para cualquier valor Knegativo, existe un entorno o vecindad de centro x0 tal que si x está en ese entorno, su imagen es menor que K.

lımx→x0

f (x) = −∞⇐⇒ ∀K < 0,∃δ > 0 tal que 0 < |x− x0| < δ =⇒ f (x) < K

Ejemplo 1.41 Se considera la función f (x) =2x + 10

x2 − 25.

Se pide:

1. Estudiar su comportamiento en x = 5 y sus proximi-dades.

2. Representa de un modo gráfico lo ocurrido en unavecinos de x = 5.

Para f (5) tenemos, por simple reemplazo que

f (5) =20

06∈ R

Esto significa que no existe imagen para x = 5. Por otrolado, el comportamiento en la proximidades de x = 5 loanalizamos con los límites laterales.

lımx→5+

2x + 10

x2 − 25= lım

x→5+

2������(x + 5)

(x− 5)������(x + 5)

= lımx→5+

2

x− 5∼ 2

0+= +∞

Además,

lımx→5−

2x + 10

x2 − 25= lım

x→5−

2������(x + 5)

(x− 5)������(x + 5)

= lımx→5−

2

x− 5∼ 2

0−= −∞

De esta forma estamos en presencia de una asíntotavertical en x = 5 y un comportamiento gráfico como elque muestra la figura siguiente:

Portafolio 1.42 Dadas las funciones:

(a) f (x) =x

(x− 4)2 (b) f (x) =1√x

1. Determina la existencia de asíntotas y su compor-tamiento cerca de ellas. Grafica.

1.6 Límites con variable al infinitoEn este caso la variable x tiene al infinito. Se espera de-terminar el comportamiento de la función. Te muestro unejemplo luego la actividad.

9

Ejemplo 1.43 Calcular lımx→∞

10x

x2 − 1

Cada vez que la variable tienda a algo, en este casox → ∞, lo primero es la máscara. Es la única formade saber como hay que proceder. Esto es como exami-nar un enfermo, si sabemos la enfermedad le damos elremedio. En este caso, la máscara es

lımx→∞

1000x

x2 − 1∼ .................

Ahora, este es un cociente de polinomios. Como tal elnumerador tiene cierto grado, y el denominador tam-bién, la clave es el grado. Mira bien que te voy a dara conocer la técnica secreta.

Para un cociente de polinomios de la forma

p(x)

q(x)=anx

n + · · · + a1x + a0

bmxm + · · · + b1x + b0

ocurren los siguientes casos cuando x→∞:

1. n < m =⇒ lımx→∞

p(x)

q(x)= 0

2. n = m =⇒ lımx→∞

p(x)

q(x)=anbn

3. n > m =⇒ lımx→∞

p(x)

q(x)=∞

Ahora si, tu respuesta es que

lımx→∞

10x

x2 − 1= ............

A lo mejor te estás preguntado ¿Y quién dijo que esaseran la reglas? ¿de dónde las sacaron? ¿cómo se quefuncionan? Very well, seré breve y preciso. En cualquiercociente de polinomios se puede dividir toda la expre-sión por la variable x elevada al más alto grado que ten-ga uno de los polinomios. En nuestro ejemplo el deno-minador tiene grado 2, así que:

lımx→∞

10x

x2 − 1= lım

x→∞

10x

x2

x2 − 1

x2

= lımx→∞

10x

1− 1x2

A continuación se usa el límite elemental

lımx→∞

1

x= 0

para tener que

lımx→∞

10x

x2 − 1= ...............

Actividad en aula 1.44 Calcula lımx→∞

√x

x + 1

Es un cociente ¿cierto? ¿Qué te dije de los grados? Noimporta que arriba exista un irracional, igual tiene gra-do ¿Cuál? ............ ¡exactly! La conclusión es sencilla, siarriba hay grado 1

2 y abajo grado 1, entonces

lımx→∞

√x

x + 1= ...........

Observa que igual se pudo dividir por la máxima poten-cia, x, y llegar al mismo resultado.

Portafolio 1.45 Para las funciones

1. f (x) =6x + 2

2x + 52.

3x2 − 2x + 7

2x2 + 2x− 4

estudia su comportamiento cuando x tiende a ±∞. Hazla gráfica, separadamente, de ambas funciones y es-tablece si existen asíntotas.

Portafolio 1.46 Para las cuatro funciones dadas calcu-lar el límite cuando x→∞:

1. f (x) = 2x

2. f (x) = x2 − 1

3. f (x) = x

4. f (x) = lnx

Utiliza un programa informático para graficar, en un mis-mo plano, las cuatro funciones y establece cual de ellascrece más rápido.

1.6.1. La máscara∞−∞

Cuando aparece esta máscara, todo depende de lasexpresiones presentes. Si hay una diferencia de poli-nomios lo primero es reducir a una sola expresión. Si ladiferencia es de expresiones irracionales, entonces con-viene hacer una “des-racionalización” (el “conjugado” esel arma secreta).

Actividad en aula 1.47 Calcula lımx→∞

√x + 1−

√x

Como siempre, la máscara es lo primero. En este casoes de la forma ..................... ¡Vamos bien!, sabemos quepara todas estas máscaras la matemática no tiene la re-spuesta inmediata, sino que hay que buscar la “punta dela madeja”. Pero, en este problema, hay una diferenciaentre irracionales (“tremenda locura”). El conjugado esnuestro salvavida. ¿A ver si te acuerdas?. El conjugadode la expresión es

........................................................................................

con esto tenemos

lımx→∞

√x + 1−

√x = lım

x→∞(√x + 1−

√x) ·√x + 1 +

√x√

x + 1 +√x

Ahora se multiplica y ¡ratatatannnn!

lımx→∞

√x + 1−

√x = lım

x→∞...................................................

¿Veamos si la máscara original se ha modificado?

lımx→∞

1√x + 1 +

√x∼ ............... = .................

Actividad en aula 1.48 Hallar:

1. El límite de la función√

3x + 2−√x− 5 para x→∞.

2. El límite de la función√

4x2 + 9x− 5 −√

4x2 + 4x + 1

para x→∞.

3. El límite de la función f (x) = x3 − 1000x2 cuando x

tiende a +∞.

Portafolio 1.49 Verifica que lımx→∞

(3√x3 + x2 − x) =

1

3

10

1.6.2. Un notable con dos caras

El límite notable lımx→0

(1 + x)1/x = e, por el cambio de vari-

ables z = 1x se transforma en

lımz→∞

(1 +

1

z

)z= e

¿Cuál es la máscara?

lımx→∞

(1 +

1

x

)x∼ ...............

Actividad en aula 1.50 Calcula lımx→∞

(x + 2

x + 1

)xLo primero es lo primero “habemus máscara”................... Estos problemas de exponenciales son decarpintería, hay que construir la forma del límite. El tru-co es sumar y restar 1 para que, por lo menos, tengamosel 1. Se tiene

lımx→∞

(x + 2

x + 1

)x= lım

x→∞

(1 +

x + 2

x + 1− 1

)xAhora deja el 1 solito y resta las otras dos expresiones.Te queda

lımx→∞

(x + 2

x + 1

)x= lım

x→∞(1 + .........................)x

Sigamos construyendo. Hay que tener el mismo de-nominador en el exponente, pero la expresión no sepuede alterar, debe ser un “truco” algebraico que no lamodifique, ¿Te acuerdas de elevar exponente a expo-nente?. ¿Qué se hace?. ................................... Ese esel camino. Ponemos el denominador en el exponente,en lugar de la x. Haz lo que tienes que hacer para quetodo quede como si nada.

lımx→∞

(x + 2

x + 1

)x= lım

x→∞

[ (1 +

1

x + 1

)x+1 ]Ahora reclinate hacia atrás en su asiento y mira conatención esta última expresión. ¿Cuánto vale el límiteque está en el corchete? ................. ¡Mira que bien! Fal-ta sacar el límite del exponente y ¡cataplum! se acabó.El resultado del límite es:

lımx→∞

(x + 2

x + 1

)x= e

lımx→∞

x

x + 1 = ....................

Actividad en aula 1.51 Calcular:

1. lımx→∞

(x + 2

x

)x2. lım

x→∞

(1 +

1

x

)x+5

3. lımx→∞

(1 +

1

x

)x+100

4. lımx→∞

(1 +

1

x

)x−4

5. lımx→∞

(3x + 5

3x + 4

)5x+7

6. lımx→−∞

(4x + 8

4x + 9

)−4x−9

Portafolio 1.52 Calcular:

1. lımx→∞

(1 +

1

x + 6

)x2. lım

x→−∞

(1 +

1

x + 6

)x3. lım

x→∞

(1 +

1

4x− 9

)4x−9

4. lımx→±∞

(5x + 7

5x + 2

)2x2−5

Portafolio 1.53 Explicar porqué los siguientes límitesno existen:

lımx→∞

senx

lımx→∞

cosx

lımx→∞

tgx

lımx→0

sen1

x

lımx→0

cos1

x

lımx→0

tg1

x

1.6.3. Límite de la función compuesta

Proposición 1.54 Si f y g son funciones tales que

lımx→a

g(x) = L

lımx→L

f (x) = f (L)

entonceslımx→a

f [g(x)] = f (L)

Ejemplo 1.55 lımx→π

2

ln[sen(x)] = ln[ lımx→π

2

sen(x)] = ln(1) = 0

Claramente existe una composición de funciones;f (x) = lnx y g(x) = senx, ya que así, f (g(x)) =

f (senx) = ln[senx]

Actividad en aula 1.56 Calcula y proporciona algunarazón que justifique tu trabajo para

lımx→3

sen

(x3 − 3x2 + x− 1

x2 − x− 6

)Portafolio 1.57 Sean f (x) =

√x, g(x) = x2 + 4. Determi-

na que pasa con lımx→3

f (g(x)).

1.7 ContinuidadDesde un punto de vista geométrico la continuidad deuna función se observa a partir de su gráfica, la que nodebe presentar cortes ni saltos. Si una función no escontinua se dice que es discontinua.

Actividad en aula 1.58 En las dos gráficas siguientesdetermina si alguna de las dos funciones es continua enel intervalo indicado. Si hay alguna función no continuadetermina los puntos de discontinuidad.

-

6

y

x−4r r

18-

6

y

x

@@@

4

3

6

r−2

r6

r¿Sabías que el límite no necesita que la función estédefinida en el punto x0 al cual tiende, pero que la con-tinuidad si lo necesita? Bueno, ahora que lo sabes se lopuedes contar a tus amigos y amigas.

Actividad en aula 1.59 La figura muestra la gráfica deuna función.

-

6

y

x5

cs8

6

11

1. Halla f (5) = ............

2. Determina el valor del límite para x→ 5

3. De la gráfica, la función en x = 5 ¿es o no continua?

4. Bajo algún procedimiento o algo que se te puedaocurrir, ¿se puede hacer continua esta función bajoalguna modificación?

A partir de lo recién visto te cuento que:

Definición 1.60 La función f es continua en el puntox0 si y sólo si

lımx→x0

f (x) = L = f (x0)

Es evidente que no siempre se debe tener la gráfi-ca para determinar continuidad. El proceso de analizarcontinuidad consta de dos pasos y sus conclusiones:

paso 1 Sacar el límite L de la función en el punto x0

paso 2 Sacar el valor f (x0) y comparar con L

Si son iguales la función es continuaen caso contrario discontinua

Actividad en aula 1.61 Si f (x) =

{x2, 0 ≤ x < 2

3, x ≥ 2

con solo mirar la función descubres que hay un punto“conflictivo”. Es el ............... Con este dato hacemos lagráfica y vemos que tan conflictivo resulta este punto

Anota: lımx→2+

f (x) = .... lımx→2−

f (x) = .... f (2) = ...

Tus conclusiones son que f ...

Sólo me resta felicitarte, lo hiciste muy bien. Pero túsabes que los profes son “preguntones” y siemprequieren llevar a los alumnos y alumnas a aprender unpoco más. ¡Sí! te voy a preguntar.

Cuando se habló del límite éste podía ser por izquierday/o por derecha. Si coincidían el límite era ese número.¿Qué crees tú que pasa con la continuidad?

¡Eso!, exactamente lo mismo, es decir, aquí se puedehablar de continuidad lateral (por izquierda y porderecha).

1.8 Discontinuidad evitableLa situación se asemeja a la siguiente. Muchas veceshas viajado y te has encontrado con la carretera cor-tada (el puente Loncomilla) ¡que rabia! Eso es una ca-rretera discontinua en un cierto tramo. Pero, ¿se puede

reparar esa discontinuidad? ¡Of course! ¿para que es-tá el MOP? En Matemática se produce el mismo fenó-meno. Una función puede ser discontinua en un punto,pero esa discontinuidad, a lo mejor, se puede reparar¿Cómo?, agregando lo necesario para “completar” laparte de la curva que tenía el corte.

Actividad en aula 1.62 Si f (x) =x2 − 4

x− 2

es claro que el punto problemático es el ............Aho-ra te pregunto por el límite ¿máscara, do you remem-ber? Que bueno, entonces dime cuál es la máscara................ Para hallar el límite la suma por la diferenciay la posterior cancelación de términos nos lleva a

lımx→2

x2 − 4

x− 2= lım

x→2(x + 2) = .............

Ya tenemos el límite. Para la continuidad necesitamosque el valor de la función en el punto coincida conel límite. En este caso f (2) = 4. Recuerda que x = 2

es el único punto donde la función no está definida, loque geométricamente estamos haciendo es conectar el“camino” sobre la curva, de modo que una partícula pue-da pasearse de un lado a otro.

Actividad en aula 1.63 Si f (x) =

x + 4, −4 ≤ x < 0

5, x ≥ 0

¿Está claro cuál es el punto “conflictivo”? x = .......... Es-tamos preocupados de la continuidad, si hay o no hay.El paso básico tiene que ver con el cálculo del límite.Pero atención, se observa que

lımx→0+

f (x) = ................ y lımx→0−

f (x) = ............

Con esto estamos descubriendo que ..........................................¡Muy bien!, si el límite no existe, entonces ¿Qué va-lor le vamos a asignar a f (0)? Claro que sí, ninguno.Para esta función decimos que su discontinuidad es.................................... El gráfico es convincente.

1.8.1. Propiedades de las Funciones Continuas

Actividad en aula 1.64 La figura muestra funcionesdefinidas sobre un intervalo cerrado [a, b].

12

-

6

y

xa br r rx1 x2 x3

f(b)

f(a)

-

6

y

xa bx4 x5

Figura 1 Figura 2

-

6

y

x������

x6a b

Figura 3

-

6

y

xx7a b

Figura 4

Veamos que respuestas puedes dar a las siguientespreguntas:

1. ¿Cuáles funciones son continuas?.......................................

2. ¿Cuáles funciones son acotadas? ..............................

3. ¿Cuáles funciones tienen signos opuestos en los ex-tremos?............

4. ¿Cuáles funciones tienen tienen ceros o raíces (inter-sectan al eje x) .............

5. De las funciones con signos opuestos en los ex-tremos ¿Cuál tiene ceros? ................

6. Si la función es continua sobre [a, b] ¿tiene necesari-amente que ser acotada?.........................

7. Si la función es continua sobre [a, b] ¿tiene necesari-amente que tener ceros?.........................

8. Si tu respuesta fue negativa a la anterior ¿qué condi-ción le debe agregar a la función? ...............

9. Si la función es continua sobre [a, b] y se traza unarecta paralela al eje x sobre el rango [f (a), f (b)] de f .¿tiene necesariamente que haber intersección entrela recta y la curva?.........................

Resumen: Toda función continua sobre un intervalocerrado:

es acotada, figura ..............

alcanza un valor máximo y un valor mínimo, figura..............

tiene como imagen un conjunto cerrado y acotado,figura ..............

que tenga signos opuestos en los extremos debecortar al menos una vez al eje x (ceros) (Teoremade Bolzano), figura ..............

toma todos los valores comprendidos entre f (a) yf (b) por lo menos una vez en el intervalo (a, b) (Teo-rema del Valor Intermedio, figura ..............

Actividad en aula 1.65 Como entretención quiero queconsideres las funciones f1(x) = x y f2(x) = x2 − 1,definidas sobre el intervalo [−1, 1]. Grafica ambas fun-ciones en los sistemas cartesianos dados.

Veamos como estás para responder lo siguiente:

1. La imagen del intervalo [−1, 1] que produce f1 es.

f1([−1, 1]) = .........................

2. La imagen del intervalo [−1, 1] que produce f2 es:

f2([−1, 1]) = .........................

3. El valor máximo que toma f1 es ............... y el de f2

es .........

4. El valor mínimo que toma f1 es ...........y el de f2 es..........

5. La cantidad de ceros de f1 es ..... y corresponde a...................

6. La cantidad de ceros de f2 es ..... y corresponde a...................

¿Por qué se toman cerrados los intervalos? ¿Qué pasasi se toman abiertos? Me parecen interesantes estas in-terrogantes. Veamos si la siguiente actividad nos dicealgo.

Actividad en aula 1.66 La función es f (x) = x2, el in-tervalo sobre el que está definida es I = (−1, 1). Haz lagráfica de f , y completa los espacios en las preguntas.

13

f (I) = · · ·

sup f = · · ·

ınf f = · · ·

f (x0) = 0 =⇒ x0 = · · ·

¿Apuesto que creíste que esas eran todas las pregun-tas? ¡frío, frío!. Completa:

1. El intervalo I = (−1, 1) es abierto. Su imagen f (I) esun intervalo ..........................

2. ¿Están dadas las condiciones para que se satisfagael Teorema de Bolzano? ...............

3. ¿Están dadas las condiciones para que se satisfagael Teorema del Valor Intermedio? ................

4. Si tu respuesta (a la pregunta anterior) es afirmati-va ¿cuántos veces toma la función el mismo valor?¿Hay alguna excepción? ........................

Portafolio 1.67 De los siguientes problemas tú eliges 5(diferentes). Una vez bien resueltos, en forma ordena-da, sin borrones, con letra clara y firme los copias en tuportafolio o cuaderno. Una vez hecho esto le asignas acada uno un valor de 1 punto (el profesor verificará es-to). Esos son tus puntos actitudinales extra-aula en estaunidad.

Problemas para evaluación

1. Demostrar, por definición, que:

a) lımx→1

(3x2 − 5x + 7) = 5

b) lımx→∞

4x + 3

2x + 1= 2

2. Calcular, para x→∞, los siguientes límites:

a)(

1 +1

5x

)xb)(

5 +1

5x

)5x

c)(

1 +1

5x

)5

d)(

1 +5

x

)xe)(

5 +5

x

)5x

f )(

1− 1

x

)5x

g)(

1 +1

x

)3x−2

h)(

1 +3

2x

)5

i)(

1− 1

2x

)4x

j)(

1 +1

5x

)3x

k )(

1− 1

2x

)3x

l)(

1 +2

5x

)5x

3. Hallar un valor de a tal que lımx→∞

(√x2 + ax + 1−x) = 2

4. Calcular los siguientes límites:

a) lımx→−1

2x + 1

x + 1

b) lımx→1

x4 − 1

x2 − 1

c) lımx→∞

x2 − 6x + 8

5x2 + 3

d) lımx→∞

x + 3

x4 + 1

e) lımx→0

√x + 9− 3√x + 16− 4

f ) lımx→∞

√x2 + x− x

g) lımx→5

√x + 4− 1

3√x2 + 2 + 1

h) lımx→2

x2 + 1

x + 2

i) lımx→3

x2 − 9

x2 − x− 6

j) lımx→1

x3 − 1

x2 − 1

k ) lımx→4

√x− 2

x− 4

l) lımx→1

x2 − |x− 1| − 1

|x− 1|

m) lımt→0

sen 6t

t

n) lımz→π

sen z

x− πñ) lım

y→0

tg y

3y

o) lımx→0

xsen x

1− cos xp) lım

x→0x ctg 3x

q) lımx→π/4

cos x− sen xcos 2x

r ) lımx→0

sen x3√x

s) lımx→0

4 + cos x

1− sen xt) lım

x→0

x + tg x

sen x

5. Si f (x) =√x + 3 hallar lım

x→2

f (x)− f (2)

x− 2

6. Si g(x) = x2 + 3 hallar lımx→1

g(x)− g(1)

x− 1

7. Si h(x) = 1x2 hallar lım

x→3

h(x)− f (3)

x− 38. Hacer el gráfico de la función f que satisface si-

multáneamente que,

dom(f ) = [−2, 2]−{1}

f (−2) = 2

f (2) = 3

f (−1) = −1

lımx→1

f (x) = 2

lımx→0

f (x) = 0

9. Dibujar la función f , calcular lımx→2

f (x), lımx→3

2

f (x), si

f (x) =

{1, si x es entero2, si x no es entero

10. Usar teorema del sandwich para probar que

lımx→0

x2 cos4

x= 0

11. Averiguar continuidad de las funciones:

a) f (x) =

{x− 3, x ≤ 3

5− x, x > 3b) g(x) =

{|x− 2| + 3, x < 0

5 + x, x ≥ 0

12. Encontrar los valores de a y b para que sea continuala función

f (x) =

−2sen x, x ≤ −π2

b + asen x, −π2 < x < π

2

cos x, π2 ≤ x

13. Encontrar las discontinuidades y diga si se puedenremover, si son de salto o si son infinitas

a) f (x) =

{x2 − 1, x < 1

4− x, x ≥ 1b) f (x) =

{|x + 3|, x 6= 2

2, x = 2

14

14. Averiguar continuidad de la función

h(x) =

x, x < 1

2, x = 1

2x− 1, x > 1

15. Si f (x) = x3 − 5x2 + 7x − 9 usar el Teorema de Va-lor Intermedio para demostrar que existe un númeroreal a tal que f (a) = 100

16. Probar que la ecuación x5−3x4−2x3−x+1 = 0 tieneuna solución entre 0 y 1.

17. Encuentra cuatro intervalos distintos en cada uno delos cuales la ecuación 2x4 − 14x2 + 14x− 1 = 0 tengauna raíz.

18. Estudia la continuidad de cada una de las siguientesfunciones para los distintos valores del parámetro a:

a) f (x) =

{x2 + ax, x ≤ 2

a− x2, x > 2b) f (x) =

{eax, x ≤ 0

x + 2a, x > 0

19. Encuentra los valores de a y b para que la funciónsea continua y su gráfica pase por el origen de coor-

denadas

f (x) =

{ln x− 1, x > 1

2x2 + ax + b, x ≤ 1

20. Sea la función f (x) = x2 + 1. ¿Se puede asegurarque dicha función toma todos los valores del interva-lo [1, 5]? En caso afirmativo, enuncia el teorema quelo justifica.

21. Da una interpretación geométrica del teorema deBolzano y utilízalo para demostrar que las gráficasde f (x) = x3 +x2 y g(x) = 3+cos x se cortan en algúnpunto.

22. Probar que la ecuación x5 +x+1 = 0 tiene, al menos,una solución real.

23. Si f es continua en [1, 9], f (1) = −5 y f (9) > 0, ¿Sepuede asegurar que g(x) = f (x) + 3 tiene al menosun cero en el intervalo [1, 9]?

24. Halla una función que no esté definida en x = 3, peroque lım

x→3f (x) = 5

15

Solutions to ExercisesActividad-Aula 1(a)

{x ∈ R/ 2− 1

2< x < 2 +

1

2}

�

16

Actividad-Aula 1(b) del 0 �

17

Actividad-Aula 1(c)

V (1,1

2) = {x ∈ R/

1

2< x <

3

2}

- Re12

32

�

18

Actividad-Aula 2(a) Bien, hemos dicho que el ε está dado, de modo que, de acuerdo con la definición tenemos

| f (x)− L | < ε

tenemos que “pillar” al δ. Para eso manejamos la desigualdad del ε y posteriormente, en el momento adecuado,hacemos uso del δ.

| f (x)− L | = .......................................... < ε

= | (x + 2)(x− 1) | (∗)Ahora es el momento oportuno para que haga su aparición en escena el δ. ¿Qué sabemos de él?. Primero, quetambién es “chico”, que es de origen griego, y que mantiene “amores furtivos” con la variable x con la cual mantieneel vínculo

|x− x0 | < δ

como en este caso, x0 = 1, entonces|x− x0 | < .................

con esto vuelve al (∗), reemplaza y tienes ...

| f (x)− L | < .......................................

Se observa que el δ no está sólo, viene acompañado del |x + 2 | Y ahora, ¿Quién podrá ayudarnos?, por supuesto,of course un acotamiento de este factor. Para ello se toma δ = 1

|x− x0 | < δ =⇒ |x− 1 | < ..............

Igual que en los problemas de reales, trabajamos esto y construimos el |x + 2 |. Aquí vamos

|x− 1 | < 1 =⇒ −1 < x− 1 < 1 =⇒ |x + 2 | < ...........

Ya estamos cerca| f (x)− L | = |x + 2 | · δ < 4 · δ (∗∗)

¡Ojo!, que teníamos| f (x)− L | < ε (∗ ∗ ∗)

Al comparar (∗∗) y (∗ ∗ ∗) vemos que con 4δ = ε estamos listos. Esto es, con δ =ε

4se satisface la definición, y por

tanto se ha probado que el límite es el indicado. �

19

Actividad-Aula 2(b) en aula �

20

Actividad-Aula 2(c) en aula �

21

Actividad-Aula 2(d) en aula �