1 LIMITES Y CONTINUIDADMATEMTICAS CCSS II Ies Africa 2011-12 1)Estudia el dominio de las funciones siguientes: a)2 3233 2) (x xxx f=b)xex f=11) (c) ( ) 4 3 log ) (2 + = x x x f d)11) (2+=xxx f e)4log 1) (2+=xxx ff)2 1 ) ( + + + = x x x f Soluciones: a) Dom f ={ } 3 , 0 R b) Domf ={ } 0 R c) Domf =( ) ( ) + , 1 4 ,d) Dom f =( ) + , 1e) Dom f =( ) ( ) + , 2 2 , 0 f) Dom f=[ ) + , 1 2)Dada la grfica de g(x):Calcula los lmites de g(x) cuando x tiende a- 2, 1, 2, 3. Calcula la imagen porgde estos valores. 3)Dadas las grficas de las funciones siguientes, calcula, si existen, los lmites en los valores :- 2, - 1, 0, 2, + , 4)Calcula los lmites de las siguientes sucesiones: a)2 323 2 2limn nn nn+ + b) 3 23 2 2lim22 3+ + n nn nnc)||

\| ++ 5113 2lim2nnnn d)3 43lim++ nnne) 223 321 2limnnnnn n+ |||

\|++

Soluciones: a) 0b) + c) 2/5d) 1 /2e) 1/8 5)Halla los lmites que se indican: a) 43 5 3lim2 ++ x xxb) xx||

\|+ 21lim c) xx 2 limd)( )xxe x+ lim2 e)31 2lim32 3+ ++ xx xx f) 23 2limxxx+ + g) 2551 4limxxx+

Sol:a) +b) 0c) + d) + e) 2f) 0 g) 6)Halla los siguientes lmites en el : a) 3 23 2 2lim2++ ++ xx xxb) 1 31 2lim32 +++ x xxxc) |||

\|+ 2 1lim2 2xxxxx d) |||

\|++ 1212lim2 2x xx e)( ) 3 2 lim2 + + x x xx Sol:a) 22b) +c) - 1d) 0e) + 7)Calcula los siguientes lmites en un punto: a) 11lim21+xxxb) xxx+31 2lim3c) 21 46lim223 + x xx xx d) 32 1lim3 +xxxe) xx xx44 4lim0 +f) 11 2lim221+ xx xx Sol:a) 0b); no existec) 1 /2d) 1 /4e) 1/8f) 0 8)Resuelve los lmites de las funciones exponenciales siguientes: a)32112 3lim+ ||

\|+xxxxx b) xxxx225 33lim||

\|+++ c)xx xxe e|||

\| +3lim20 d) 334lim++ ||

\|++xxxx e) 4 23324lim+ |||

\|++xxxx x Sol: a) 510b) 0 c) 1 d) ee) 1 9)Expresa las funciones siguientes como funciones definidas a trozos y, despus, halla sus lmites cuandoxtiende a : a)2 ) ( + =x x f b)x x x f 2 3 ) ( = Sol:a) + , + b) , 10)Una empresa presta servicios de asesoramiento informtico para corregir errores habituales en los PC mediante consultas telefnicas.3 La siguiente funcin expresa el coste total anual, en euros, de prestarxconsultas telefnicas, teniendo en cuenta los gastos de salarios, local, conexiones y equipos: f(x) =75x + 6500 a)Escribe la expresin de la funcin que facilita el coste unitario de cada asesoramiento cuando se han contestadoxconsultas telefnicas. b)Suponiendo que la ley se verifica indefinidamente, halla el coste aproximado de cada servicio telefnico cuando se presta una gran cantidad de ellos. Sol: a) xxx C6500 5 ' 7) (+= b)5 ' 76500 5 ' 7lim =++ xxx 11)Sea la funcin definida a trozos:+< =3533 1) (2x sixx si xx fHalla los lmites cuandoxtiende a : ,-5, 0, 3, + Sol: + , 24, -1, no existe, 0respectivamente. 12)Define f(0) para que la funcinxxx f1 1) ( += sea continua enx = 0Sol: 1 / 2 13)Estudia la continuidad de la funcin2 3122+ +=x xxy e indica de que tipo son sus discontinuidades.Sol:{ } 1 , 2 R De salto infinito en 2, y evitable en 1. 14)Estudia la continuidad en los puntos de ruptura de las funciones siguientes, clasificando las discontinuidades. a) ( )> + + < =2 1 ln 112 1 1 41 2 3) (2x si xx si x xx si xx f b) > < + +=11 5 2) (2x si a xx si xx f b) < < + +=x si xx si bx axx si xx g4 44 22 1 2) (2 Sol: a) a = 6 b) a = -1 /4 b = 1 16)Una empresa decide que el gasto en publicidad en base a los beneficios esperados mensualmente seguir la funcin siguiente: >++ +=9105400 7539 062 6) (22x sixxx sixxx GDonde G es el gasto en publicidad, en cientos de euros, yxlos beneficios esperados, en miles de euros. a)Es el gasto en publicidad una funcin continua del beneficio? b)Calcula el gasto en publicidad que se estima cuando el beneficio esperado se acerca a 9000 euros.c)Qu gasto en publicidad realizar la empresa cuando se espera un beneficio prcticamente nulo? Y cuando el beneficio esperado se hace cada vez ms grande? Sol: a) Si es continuab) 1050 euros c)600 euros y 300 euros respectivamente. 17)Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en relacin con el valorx (en cientos de euros) de lo vendido por cada uno. Dicho incentivo sigue la funcin: >+ =1002300 230100 0 01 ' 0) (x sixxx si xx f a)Indica si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a 10.000 euros. b)Cul es la cantidad mxima que un empleado podra recibir como incentivo si las ventas fueran muy grandes? Sol:a) La funcin no es continua enx = 100, por lo que el incentivo vara de forma drstica si las ventas oscilan en torno a los 10.000 euros. b)El incentivo nunca superara los 150 euros.