Matemática 1° ESB

TEMARIO:

1. Números naturales

2. Divisibilidad

3. Números enteros

4. Números decimales

5. Fracciones

6. Ecuaciones

7. Proporcionalidad

8. Sistema métrico decimal

9. Elementos del plano

10. Polígonos

11. Áreas de las figuras planas

12. Circunferencia y círculo

13. Cuerpos

14. Gráficas y funciones

15. Probabilidad y estadística

Números naturales

El conjunto de los números naturales está formado por :

N = {0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , . . . }

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto

(número cardinal ) . O b ien expresamos la posi c ión u orden que ocupa un

e lemento en un conjunto (ordinal ).

Los números naturales están ordenados , lo que nos permite comparar dos

números naturales :

5 > 3 ; 5 es mayor que 3.

3 < 5 ; 3 es menor que 5.

Los números naturales son i l imi tados , s i a un número natura l le sumamos

1 , obtenemos otro número natural .

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de

menor a mayor .

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero.

A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, s i tuamos de menor a

mayor los s iguientes números naturales : 1 , 2 , 3. . .

Suma de números naturales

a + b = c

Los términos de la suma, a y b , se l laman sumandos y el resul tado, c ,

suma .

Propiedades de la suma de números naturales

El resul tado de sumar dos números naturales es otro número natural .

a + b

2. Asociativa :

E l modo de agrupar los sumandos no var ía el resul tado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3. Conmutativa :

E l orden de los sumandos no var ía la suma.

a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. E lemento neutro :

E l 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con

é l da el mismo número.

a + 0 = a

3 + 0 = 3

Resta de números naturales

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se l laman: a , minuendo y b ,

sustraendo . Al resul tado, c , lo l lamamos diferencia .

Propiedades de la resta de números naturales

1. No es una operación in terna :

E l resul tado de restar dos números naturales no s iempre es otro número

natural .

2 − 5

2. No es Conmutativa :

5 − 2 ≠ 2 − 5

Mult ipl icación de números natu rales

Mult ipl icar dos números natura les consiste en sumar uno de los factores

consigo mismo tantas veces como indica el otro factor .

a · b = c

Los términos a y b se l laman factores y e l resul tado, c , producto.

Propiedades de la mult ipl icación de números naturales

1. Interna : E l resul tado de mult ipl icar dos números natura les es otro

número natural .

a · b

2. Asociativa :

E l modo de agrupar los factores no var ía el resul tado.

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

3. Conmutativa :

E l orden de los factores no var ía e l producto .

a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

4. E lemento neutro :

E l 1 es el elemento neutro de la mult ip l icación de números naturales ,

porque todo número mul t ipl icado por él da el mismo número.

a · 1 = a

3 · 1 = 3

5. D istr ibu t iva :

La mult ipl icación de un número natural por una suma es igual a la suma

de los mult ipl icaciones de d icho número natural por cada uno de los

sumandos .

a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común :

Es e l proceso inverso a la propiedad dis tr ibut iva .

S i var ios sumandos t ienen un factor común , podemos transformar la suma

en producto extrayendo dicho factor .

a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

Divis ión de números naturales

D : d = c

Los términos que intervienen en un div is ión se l laman, D , div idendo y , d,

div isor . Al resul tado, c , lo l lamamos cociente .

T ipos de div is iones

1. D iv is ión exacta :

Una div is ión es exacta cuando el resto es cero .

D = d · c

15 = 5 · 3

2. D iv is ión entera :

Una div is ión es entera cuando el resto es dist into de cero .

D = d · c + r

17 = 5 · 3 + 2

Propiedades de la div is ión de números naturales

1. No es una operación in terna :

E l resul tado de div idir dos números naturales no s iempre es otro número

natural .

2 : 6

2. No es Conmutativo :

a : b ≠ b : a

6 : 2 ≠ 2 : 6

3. Cero div idido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

4. No se puede d iv idir por 0 .

Potencias de números naturales

Una potencia es una forma abreviada de escr ib i r un producto formado

por var ios factores iguales .

5 · 5 · 5 · 5 = 5 4

Base

La base de una potencia e s e l número que mult ipl icamos por s í mismo,

en este caso e l 5.

Exponente

El exponente de una potencia ind ica e l número de veces que

mult ipl icamos la base , en e l e jemplo es el 4.

Propiedades de la potencias de números naturales

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base :

Es o tra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los

exponentes .

am · a n = am + n

25 · 22 = 25 + 2 = 2 7

4. D iv is ión de potencias con la misma base :

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente e s la diferencia de

los exponentes .

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 2 3

5. Potencia de una potencia :

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de

los exponentes .

(am)n = am · n

(25 )3 = 2 1 5

6. Producto de potencias con e l mismo exponente :

Es o tra potencia con e l mismo exponente y cuya base es e l producto de

las bases .

an · b n = (a · b) n

23 · 43 = 83

7. Cociente de potencias con el mismo exponente :

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de

las bases .

an : bn = (a : b) n

63 : 33 = 23

Descomposición pol inómica de un número

Un número natural se puede descomponer ut i l i zando potencias de base

10 .

E l numero 3 658 podemos descomponerlo del s iguiente modo:

3 658 = 3 ·10 3 + 6 ·10 2 + 5 ·10 1 + 8

Raíz cuadrada

La radicación es la operación inversa a la potenciación . Y consiste en

que dados dos números, l lamados radicando e índice , ha l lar un tercero,

l lamado raíz , ta l que, e levado a l índice , sea igual al radicando .

En la raíz cuadrada e l índice es 2 , aunque en este caso se omite.

Consist i r ía en hal lar un número co nocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a , es exacta cuando encontramos un

número, b , que elevado al cuadrado es igual al radicando : b2 = a.

Raíz cuadrada exacta

La raí z cuadrada exacta t iene de resto 0.

Radicando = (Raíz exacta) 2

Cuadrados per fectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas .

1, 4 , 9 , 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, . . .

Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado per fecto su raíz es entera.

Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto

Algor i tmo de la raíz cuadrada

Cálculo de la raíz cuadrada

1S i el radicando t iene más de dos ci f ras , separamos las ci f ras en grupos

de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del pr imer grupo de

ci f ras por la izqu ierda.

¿Qué número e levado al cuadrado da 8?

8 no es un cuadrado per fecto pero está comprendido entre dos

cuadrados per fectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz cuadrada del

cuadrado per fecto por defecto: 2 , y lo colocamos en la casi l la

cor respondiente.

3E l cuadrado de la raíz obtenida se resta al pr imer grupo de ci f ras que

aparecen en e l radicando.

E l cuadrado de 2 es 4 , se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el s iguiente grupo de ci f ras de l radicando,

separando del número formado la pr im era ci f ra a la derecha y div idiendo lo

que resta por el doble de la raíz anter ior .

Ba jamos 92, s iendo la cantidad operable del radicando: 492.

49 : 4 > 9 , tomamos como resul tado 9.

5 E l cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz,

mult ipl icando el número formado por él , y restándolo a la cantidad operable

del radicando.

S i hubiésemos obtenido un valor super ior a la a la cantidad operable del

radicando, habríamos probado por 8, por 7. . .hasta encontrar un valor in fer ior .

6 E l cociente obtenido es la segunda ci f ra de la raíz .

7 Bajamos el s iguiente par de ci f ras y repet imos los pasos anter iores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos e l 8 a la raí z .

8Prueba de la raíz cuadrada.

Para que el resul tado sea correcto, se t i ene que cumpl i r :

Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto

89 225 = 298 2 + 421

Operaciones combinadas con números naturales

Pr ior idad de las operaciones

1º .Efectuar las operaciones entre paréntesis , corchetes y l laves.

2º .Calcular las potencias y raíces .

3º .Efectuar los productos y cocientes .

4º .Real izar las sumas y restas .

T ipos de operaciones combinadas

1. Operaciones combinadas s in paréntesis

1.1 Combinación de sumas y di ferencias .

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la i zquierda, vamos efectuando las operaciones según

aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, res tas y productos .

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Real izamos pr imero las mult ipl icacion por tener mayor pr ior idad .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y res tas .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, res tas , productos y div i s iones .

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Real izamos los productos y cocientes en e l orden en e l que los

encontramos porque las dos operaciones t ienen la misma pr ior idad .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y res tas .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, res tas , productos , div i s iones y pot encias.

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 =

Real izamos en pr imer lugar las potencias por tener mayor pr ior idad .

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes .

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y res tas .

= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2 3 ) =

Real izamos en pr imer lugar las operaciones contenidas en e l los .

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis real i zando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (2 3 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Pr imero operamos con las potencias, productos y cocientes de los

paréntesi s .

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Real izamos las sumas y res tas de los paréntesis .

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 =

En vez de poner corchetes pondremos paréntes is d i rectamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis .

= 12 · 7 − 3 + 2

Mult ipl icamos .

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos .

= 83

Ejerc ic ios de números naturales

1.Busca e l término desconocido e indica su nombre en las s iguientes

operaciones:

1. 327 + . . . . . . . = 1 .208

2. . . . . . . . – 4 .121 = 626

3. 321 · . . . . . . . = 32 100

4. 28 .035 : . . . . . . . = 623

2.Busca e l término desconocido en las s iguientes operaciones:

1. 4 · (5 + . . . ) = 36

2. (30 – . . . ) : 5 + 4 = 8

3. 18 · . . . + 4 · . . . = 56

4. 30 – . . . : 8 = 25

3.Calcular de dos modos d ist intos la s iguiente operaciones:

1. 17 · 38 + 17 · 12 =

2. 6 · 59 + 4 · 59 =

3.(6 + 12) : 3

4.Sacar factor común :

1. 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 =

2. 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 =

3.8 · 34 + 8 · 46 + 8 · 20 =

5.Expresa en forma de potencias:

1. 50 000

2. 3 200

3. 3 000 000

6.Escr ibe en forma de una sola potencia :

1. 33 · 34 · 3 =

2. 57 : 5 3 =

3. (5 3 )4 =

4. (5 · 2 · 3)4 =

5. (3 4 )4 =

6. [ (53 )4 ] 2 =

7. (8 2 )3

8. (9 3 )2

9. 25 · 24 · 2 =

10. 27 : 2 6 =

11. (22 )4 =

12. (4 · 2 · 3)4 =

13.(25 )4 =

14. [ (2 3 )4] 0=

15. (27 2 )5=

16. (43 )2 =

7.Uti l i zando potencias, haz la descomposición pol inómica de estos

números:

1. 3 257

2. 10 256

3.125 368

8.Calcular las raíces :

1.

2.

3.

9.Real iza las s iguientes operaciones combinadas ten iendo en cuenta su

pr ior idad:

1. 27 + 3 · 5 – 16 =

2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16 =

3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =

4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3 ) – 12 : 4 =

5. 2 + 5 · (2 · 3)³ =

6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =

7. 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8) } =

8. 7 · 3 + [6 + 2 · (2 3 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =

1

1.Sumando .

1.208 − 327 = 881

2 . Minuendo .

4.121 + 626 = 4747

3. Factor .

32 100 : 321 = 100

4. Divisor .

28 035 : 623 = 45

2

1 . 4 · (5 + . . . ) = 36

4

2. (30 – . . . ) : 5 + 4 = 8

10

3. 18 · . . . + 4 · . . . = 56

2 y 5

4. 30 – . . . : 8 = 25

40

3

1 . 17 · 38 + 17 · 12 = 646 + 204 = 850

2. 17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12) = 17 · 50 = 850

1. 6 · 59 + 4 · 59 = 354 + 236 = 590

2. 6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4) = 59 · 10 = 590

1.(6 + 12) : 3 = 18 : 3 = 6

2.(6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 = 6

4

1. 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 = 5 (7 − 3 + 16 − 4)

2.6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 = 4 (6 − 3 + 9 − 5)

3 .8 · (34 + 46 + 20)

5

1. 50 000 = 5 · 10 4

2. 3 200 = 32 · 10 2

3. 3 000 000 = 3 · 10 6

6

1. 33 · 34 · 3 = 3 8

2. 57 : 5 3 = 5 4

3. (5 3 )4 = 5 1 2

4. (5 · 2 · 3) 4 = 30 4

5.(34 ) 4 = 3 1 6

6. [ (53 )4] 2 = (51 2 )2 = 5 2 4

7. (8 2 )3 =[ ( 2 3 )2] 3 = (2 6 )3 = 2 1 8

8. (9 3 )2 = [ (3 2 )3] 2 = (36 )2 = 3 1 2

9. 25 · 24 · 2 = 2 1 0

10. 27 : 2 6 = 2

11. (22 )4 = 2 8

12. (4 · 2 · 3)4 = 24 4

13.(25 )4 = 2 2 0

14. [ (2 3 )4] 0 = (2 1 2 ) 0 = 2 0 = 1

15. (27 2 )5 =[ (3 3 )2] 5 = (36 )5 = 3 3 0

16. (43 )2 = [ (2 2 )3] 2 = (26 )2 = 2 1 2

7

1. 3 257 = 3 · 10 3 + 2 · 10 2 + 5 · 10 + 7

2. 10 256 = 1 · 10 4 + 0 · 10 3 + 2 · 10 2 + 5 · 10 + 6

3. 125 368 = 1 · 10 5 + 2 · 10 4 +5 · 10 3 + 3 · 10 2 + 6 · 10 + 8

8

1.

2.

3.

9

1. 27 + 3 · 5 – 16 =

= 27 + 15 − 16 = 26

2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16=

27 + 3 – 9 + 16 = 37

3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =

= (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40

4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3 ) – 12 : 4 =

= 27 + 8 – 3 = 32

5. 2 + 5 · (2 ·3)³ =

= 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082

6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =

= 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =

= 440 − (72) = 368

7. 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =

= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=

2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56

8.7 · 3 + [6 + 2 · (2 3 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =

= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =

= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =

= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =

= 21 + 8 + 3 = 32

P roblemas de números natura les

1 Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posib les de tres

c i f ras d ist intas , ordénalos de menor a mayor y súmalos .

2El cociente de una div is ión exacta es 504, y e l d iv i sor 605. ¿Cuál es el

d iv idendo?

3El cociente de una divis ión entera es 21 , e l d iv i sor 15 y e l d iv idendo 321.

¿Cuál es e l resto?

4Pedro compró una f inca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €.

¿Por cuánto lo vendió?

5Con el d inero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 €

y me sobrar ían 37 €. ¿Cuánto d inero tengo?

6 Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. S i los portes

cuestan 400 € y se desea ganar con la venta 1200€. ¿A cuánto debe

venderse el k i logramo de boquerones?

7¿Cuántos años son 6 205 d ías? Consideramos que un año t iene 365 d ías.

8Pedro quiere comprar un automóvi l . En la t ienda le ofrecen dos

modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los

colores d isponibles son: b lanco, azul , ro jo , gr i s y verde. Hal la e l número de

posibles elecciones que t iene Pedro.

9 En una p isc ina caben 45 000 l i t ros. ¿Cuánto t iempo tarda en l lenarse

mediante un gr i fo que echa 15 l i t ros por minuto?

10En un aeropuerto ater r i za un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones

ater r i zan en un día?

11En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol po r cada 90

habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles

habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?

1

579 + 597 + 759 + 795 + 957 + 975 = 4662 .

2

504 · 605 = 304 920

3

321 − 21 · 15 = 321 − 315 = 6

4

643 750 € + 75 250 € = 719 000 €

5

525 + 37 = 562;

562 − 247 = 315 €

6

1600 · 4 = 6400

6400 + 400 + 1200 = 8000

8000 : 1600 = 5 €

7

6205 : 365 = 17 años

8

2 · 5 = 10 e lecciones

9

45 000 : 15 = 3000 minutos

3 000 : 60 = 50 horas

10

24 · 60 = 1 440 minutos por día

1 440 : 10 = 144 aviones al d ía

11

4 500 : 90 = 50 árboles hay en la urbanización.

4 500 :12 = 375 tendr ía que haber , para que a cada 12 habitantes les

cor respondiese un árbol.

375 − 50 = 325 árboles

Divis ibi l idad

Múlt iplos

Un número a es múlt iplo de otro b cuando es el resul tado de

mult ipl icar lo por otro número c .

a = b · c

18 es múlt ip lo de 2 , ya que resul ta de mul t ipl icar 2 por 9.

18 = 2 · 9

Obtenemos un múlt iplo natura l al mul t ip l icar lo por cualquier número

natural .

Múlt iplos de 2

2 · 0 = 0 2 · 1 = 2 2 · 2 = 4 2 · 3 = 6 2 · 4 = 8

2 · 5 = 10 2 · 6 = 12 2 · 7 = 14 2 · 8 = 16 2 · 9 = 18

Múlt iplos de 3

3 · 0 = 0 3 · 1 = 3 3 · 2 = 6 3 · 3 = 9 3 · 4 = 12

3 · 5 = 15 3 · 6 = 18 3 · 7 = 21 3 · 8 = 24 3 · 9 = 27

Múlt iplos de 4

4 · 0 = 0 4 · 1 = 4 4 · 2 = 8 4 · 3 = 12 4 · 4 = 16

4 · 5 = 20 4 · 6 = 24 4 · 7 = 28 4 · 8 = 32 4 · 9 = 36

Múlt iplos de 5

5 · 0 = 0 5 · 1 = 5 5 · 2 = 10 5 · 3 = 15 5 · 4 = 20

5 · 5 = 25 5 · 6 = 30 5 · 7 = 35 5 · 8 = 40 5 · 9 = 45

Múlt iplos de 6

6 · 0 = 0 6 · 1 = 6 6 · 2 = 12 6 · 3 = 18 6 · 4 = 24

6 · 5 = 30 6 · 6 = 36 6 · 7 = 42 6 · 8 = 48 6 · 9 = 54

Múlt iplos de 7

7 · 0 = 0 7 · 1 = 7 7 · 2 = 14 7 · 3 = 21 7 · 4 = 28

7 · 5 = 35 7 · 6 = 42 7 · 7 = 49 7 · 8 = 56 7 · 9 = 63

Múlt iplos de 8

8 · 0 = 0 8 · 1 = 8 8 · 2 = 16 8 · 3 = 24 8 · 4 = 32

8 · 5 = 40 8 · 6 = 48 8 · 7 = 56 8 · 8 = 64 8 · 9 = 72

Múlt iplos de 9

9 · 0 = 0 9 · 1 = 9 9 · 2 = 18 9 · 3 = 27 9 · 4 = 36

9 · 5 = 45 9 · 6 = 54 9 · 7 = 63 9 · 8 = 72 9 · 9 = 81

Múlt iplos de 10

10 · 0 = 0 10 · 1 = 10 10 · 2 = 20 10 · 3 = 30 10 · 4 = 40

10 · 5 = 50 10 · 6 = 60 10 · 7 = 70 10 · 8 = 80 10 · 9 = 90

Propiedades de los múl t iplos de un número

1Todo número a, d ist into de 0 , es múlt iplo de s í mismo y de la un idad.

2 El cero es múlt iplo de todos los números.

3 Todo número, d is t into de cero, t iene inf in i tos múlt iplos .

4 Si a es múlt iplo de b , a l d iv id i r a entre b la d iv i s ión es exacta.

5 La suma de var ios múlt iplos de un número es otro múlt iplo de d icho

número.

6 La diferencia de dos múl t ip los de un número es otro múlt iplo de d icho

número.

7 Si un número es múlt iplo de otro, y éste lo es de un tercero, e l pr imero

es múlt iplo del tercero.

8 Si un número es múlt iplo de otro, todos los múlt iplos del pr imero lo son

también del segundo.

Divisores

Un número b es un div isor de otro a cuando lo div ide exactamente .

4 es d iv i sor de 12; 12 : 4 = 3.

A los d iv i sores también se les l lama factores .

Propiedades de los div i sores de un número

1 Todo número, di st in to de 0, es div isor de s í mis mo.

2 E l 1 es div isor de todos los números.

3 Todo div isor de un número d ist in to de cero es menor o igual a él , por

tanto el número de div isores es f in i to .

4 S i un número es div isor de otros dos, también lo es de su suma y de su

di ferencia.

5 S i un número es div isor de ot ro, también lo es de cualquier múlt iplo del

pr imero.

6 S i un número es div isor de otro, y éste lo es de un tercero, e l pr imero lo

es del tercero.

Descomposición en factores pr imos

Para descomponer un número en factores efectuamos sucesivas

d iv i s iones entre sus d iv i sores pr imos hasta obtener un uno como cociente .

Para real izar las d iv i s iones ut i l izaremos una barra ver t ical , a la derecha

escr ibimos los div isores pr imos y a la izquierda los cocientes .

2 520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7

Número de div isores de un número

Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y mult ipl icando los

resul tados obtenidos :

Número de divisores de 2 520 = (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48

Formación de todos los div i sores de un número

Se escr ibe una pr imera f i la formada por la unidad y todas las potencias

del pr imer factor , se traza una l ínea hor i zontal .

Formación de todos los d iv i sores de 2 520

1 2 4 8

Se escr ibe una segunda f i la , con los productos del segundo factor por la

f i la anter ior . S i e l segundo factor se ha elevado a exponentes super iores a la

un idad, por cada unidad del exponente se escr ibe otra f i la . Se traza otra

l ínea hor i zontal .

1 2 4 8

3 6 12 24

9 18 36 72

Se escr iben ahora otras f i las con los productos del tercer factor (con las

potencias correspondientes) por todos los números obtenidos hasta e l

momento.

1 2 4 8

3 6 12 24

9 18 36 72

5 10 20 40

15 30 60 120

45 90 180 360

Se continúa de igual modo con otros posib les factores.

1 2 4 8

3 6 12 24

9 18 36 72

5 10 20 40

15 30 60 120

45 90 180 360

7 14 28 56

21 42 84 168

63 126 252 504

35 70 140 280

105 210 420 840

315 630 1260 2520

E l ú l t imo div isor obten ido debe coincidir con el número.

Divis ibi l idad

Un número b es div is ible por otro a cuando la div is ión es exacta .

Criter ios de div i s ibi l idad

Cr i ter io de div is ibi l idad por 2

Un número es div is ible por 2 , s i termina en cero o ci f ra par .

24 , 238, 1024.

Criter io de div is ibi l idad por 3

Un número es div is ible por 3 , s i la suma de sus dígi tos nos da múlt iplo de

3.

564

5 + 6 + 4 = 15, es mútip lo de 3

2040

2 + 0 + 4 + 0 = 6 , es mútip lo de 3

Criter io de div is ibi l idad por 5

Un número es div is ible por 5 , s i termina en cero o cinco.

45 , 515, 7525.

Cr i ter io de d ivis ib i l idad por 7

Un número es div is ible por 7 cuando la d i ferencia entre el número s in la

ci f ra de las unidades y e l doble de la c i f ra de las unidades es 0 ó múlt iplo de

7 .

343

34 - 2 · 3 = 28, es mútip lo de 7

105

10 - 5 · 2 = 0

2261

226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repeti r e l proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es mútip lo de 7.

Criter io de div is ibi l idad por 11

Un número es div is ible por 11 , s i la di ferencia entre la suma de las c i f ras

que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múlt ip lo de 11 .

121

(1 + 1) - 2 = 0

4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros cr i ter ios de div isbl i l idad

Cr i ter io de div is ibi l idad por 4

Un número es div is ib le por 4 , s i sus dos úl t imas ci f ras son ceros o múlt iplo

de 4.

36 , 400, 1028.

Criter io de div is ibi l idad por 6

Un número es div is ible por 6 , s i es d iv is ib le por 2 y por 3 .

72 , 324, 1503

Criter io de div is ibi l idad por 8

Un número es div is ible por 8 , s i sus t res úl t imas c i f ras son ceros o múlt ip lo

de 8.

4000, 1048, 1512.

Criter io de div is ibi l idad por 9

Un número es div is ible por 9 , s i la suma de sus dígi tos nos da múlt iplo de

9.

81

8 + 1 = 9

3663

3 + 6 + 6 + 3 = 18, es mútip lo de 9

Criter io de div is ibi l idad por 10

Un número es div is ible por 10 , s i la ci f ra de las unidades es 0 .

130, 1440, 10 230

Criter io de div is ibi l idad por 25

Un número es div i s ible por 25 , s i sus dos úl t imas ci f ras son ceros o

múlt iplo de 25.

500, 1025, 1875.

Criter io de div is ibi l idad por 125

Un número es d iv i s ible por 125 , s i sus t res úl t imas ci f ras son ceros o

múlt iplo de 125.

1000, 1 125, 4 250.

Factor izar

Factor izar o descomponer un núm ero en factores pr imos es expresar el

número como un producto de numeros pr imos.

Números pr imos

Defin ición de número pr imo

Un número pr imo sólo t iene dos div isores : él mismo y la unidad .

5 , 13 , 59 .

E l número 1 sólo t iene un d iv isor , por eso no lo consideramos pr imo.

Para aver iguar s i un número es pr imo , se div ide ordenadamente por

todos los números pr imos menores que él . Cuando, s in resul tar d iv i s iones

exactas, l lega a obtenerse un cociente menor o igual al div i sor , se d ice que

e l número es pr imo.

Por tanto 179 es pr imo .

Criba de Eratóstenes

La cr iba de Eratóstenes es un algor i tmo que permite hal lar todos los

números pr imos menores que un número natural dado.

Part imos de una l i s ta de números que v an de 2 hasta un determinado

número.

E l iminamos de la l i s ta los múl t iplos de 2.

Luego tomamos el pr imer número después del 2 que no fue e l iminado (e l

3) y e l iminamos de la l i s ta sus múl t iplos, y as í sucesivamente.

E l proceso termina cuando el cuadrado del mayor número conf i rmado

como pr imo es menor que el número f inal de la l i s ta.

Los números que permanecen en la l i s ta son los pr imos.

Vamos a calcular por este algor i tmo los números pr imos menores que 40.

1. Escr ib imos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre

2 y 40 .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2. El iminamos los múl t iplos de 2.

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

3 . El s iguiente número es 3 , como 3 2 < 40 e l iminamos los múl t ip los de 3.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 25 29 31 35 37

4 . El s iguiente número es 5 , como 5 2 < 40 e l iminamos los múl t ip los de 5.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

5. El s iguiente número es 7 , como 7 2 > 40 e l algor i tmo termina y los

números que nos quedan son pr imos .

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

Tabla de números pr imos

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

41 43 47 53 59

61 67 71 73 79

83 89 97

101 103 107 109 113

127 131 137 139

149 151 157

163 167 173 179

181 191 193 197 199

Números compuestos

Un número compuesto es é l que posee más de dos div isores . Es deci r se

puede divid i r por s í mismo, por la un idad y por otros números.

12 , 72 , 144.

Los números compuestos , se pueden expresar como productos de

potencias de números pr imos, a dicha expresión se le l lama descomposic ión

de un número en factores pr imos.

70 = 2 ·5 · 7

Factor izar un número

Para factor izar un número o descomponer lo en factores efectuamos

sucesivas d iv is iones entre sus div isores pr imos hasta obtener un uno como

cociente .

Para real izar las d iv i s iones ut i l izaremos una barra ver t ical , a la derecha

escr ibimos los div isores pr imos y a la izquierda los cocientes .

432 = 2 4 · 3 3

Máximo común div isor

E l máximo común div i sor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el

mayor número que d iv ide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común div isor

1 . Se descomponen los números en factores pr imos .

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Hal lar el m. c. d. de: 72 , 108 y 60.

1.

72 = 2 3 · 3 2

108 = 2 2 · 33

60 = 2 2 · 3 · 5

2.

m. c. d. (72 , 108, 60) = 2 2 · 3 = 12

12 es e l mayor número que divide a 72, 108 y 60.

S i un número es div isor de otro, entonces éste es el m. c. d .

E l número 12 es d iv i sor de 36.

m. c. d. (12 , 36) = 12

E l algor i tmo de Eucl ides

Un algor i tmo es una secuencia de pasos para consegui r un resul tado.

E l algor i tmo de Eucl ides es un procedimiento para calcular el m.c.d . de

dos números. Los pasos son:

1. Se d iv ide e l número mayor entre el menor .

2. Si :

1. La d iv is ión es exacta, e l d iv i sor es e l m.c.d.

2. La d iv i s ión no es exacta , d iv id imos e l d iv i sor entre e l resto obte nido y

se continúa de esta forma hasta obtener una divis ión exacta, s iendo el úl t imo

divisor e l m.c.d.

m. c. d. (72 , 16)

m. c. d. (72, 16) = 8

Mínimo común múlt iplo

Es el menor de todos múlt iplos comunes a var ios números , exc luido el

cero.

Cálculo del mín imo común múl t iplo

1. Se descomponen los números en factores pr imos

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Hal lar el m. c. m. de: 72 , 108 y 60.

72 = 2 3 · 3 2

108 = 2 2 · 33

60 = 2 2 · 3 · 5

m. c. m. (72 , 108, 60) = 2 3 · 33 · 5 = 1 080

1 080 es e l menor número que divide a: 72 , 108 y 60.

S i un número es un múl t ip lo de otro, entonces es e l m. c. m. de ambos.

E l número 36 es múl t ip lo de 12.

m. c. m. (12 , 36) = 36

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c . m. (a, b) = a · b

m. c. d. (12 , 16) = 4

m. c. m. (12 , 16) = 48

48 · 4 = 12 ·16

192 = 192

Ejercicios y problemas de div i s ibi l idad

1Calcular todos los múl t iplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.

2De los s iguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. I ndicar cuáles son

pr imos y cuáles compuestos.

3 Calcular , mediante una tabla, todos los números pr imos comprendidos

entre 400 y 450.

4Descomponer en factores

1216

2360

3432

5Factor izar 342 y calcular su número de divisores.

6Descomponer en factores

12250

23500

32520

7Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

1428 y 376

2148 y 156

3600 y 1 000

8Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

172, 108 y 60

21048, 786 y 3930

23120, 6200 y 1864

9Calcular por el algor i tmo de Eucl ides, e l m.c.d. de:

172 y 16

2656 y 848

31278 y 842

1

816, 833, 850

2

Pr imos: 179 y 311 .

Compuestos: 848, 3566 y 7287 .

3

401

409

419

421

431

433

439

443

449

4

1 216

216 = 2 3 · 3 3

2 360

360 = 2 3 · 3 2 · 5

3 432

432 = 2 4 · 3 3

5

342 = 2 · 3 2 · 19

Nd = (1 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 12

6

12250

2250 = 2 · 3 2 · 5 3

23500

3500 = 2 2 · 5 3 · 7

32520

2 520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7

7

1428 y 376

428 = 2 2 · 107

376 = 2 3 · 47

m. c. d. (428, 376) = 2 2 = 4

m. c. m. (428, 376) = 2 3 · 107 · 47 = 40 232

2148 y 156

148 = 2 2 · 37

156 = 2 2 · 3 · 13

m. c. d. (148, 156) = 2 2 = 4

m. c. m. (148, 156) = 2 2 · 3 · 37 · 13 = 5772

3600 y 1 000

600 = 23 · 3 · 5 2

1000 = 2 3 · 53

m. c. d. (600, 1000) = 2 3 · 52 = 200

m. c. m. ( 600 , 1000) = 2 3 · 3 · 5 3 = 3000

8

172, 108 y 60.

72 = 2 3 · 3 2

108 = 2 2 · 33

60 = 2 2 · 3 · 5

m.c.d. (72 , 108, 60) = 2 2 · 3

m. c. m. (72 , 108, 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 2160

21048, 786 y 3930

1048 = 2 3 · 131

786 = 2 · 3 · 131

3930 = 2 · 3 · 5 · 131

m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262

m. c. m. (1048, 786, 3930) = 2 3 · 3 · 5 · 131 = 15 720

33120, 6200 y 1864

3210 = 2 4 · 3 · 5 · 13

6200 = 2 3 · 5 2 · 31

1864 = 2 3 · 233

m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 2 3 = 8

m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 2 4 ·3 · 5 2 · 13 · 31 · 233 =

= 1 746 521 400

9

172, 16

m. c. d. (72, 16) = 8

2656 y 848

m.c.d.(656, 848) = 16

31728 y 842

m.c.d. (1278, 842) = 2

Problemas de div is ibi l idad

1Un faro se enciende cada 12 segundos , o tro cada 18 segundos y un

tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinc iden.

Aver igua las veces que volverán a coincid i r en los c inco minutos

s iguientes.

2Un via jero va a Barcelona cada 18 d ías y otro cada 24 d ías. Hoy han

estado los dos en Barcelona.

¿Dentro de cuantos d ías volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

3¿Cuál es el menor número que al d iv id ir lo separadamente por 15 , 20 , 36

y 48 , en cada caso, da de resto 9?

4En una bodega hay 3 toneles de vino, c uyas capacidades son: 250 l ,

360 l , y 540 l . Su contenido se quiere envasar en c ier to número de gar rafas

iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en

e l las se pueden envasar el v ino contenido en cada uno de los toneles, y e l

número de garrafas que se necesi tan.

5El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar , t iene 5 m de

largo y 3 m de ancho.

Calcula el lado y el número de la baldosas, ta l que el número de

baldosas que se coloque sea mín imo y que no sea necesar io cortar n i nguna

de el las.

6 Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772

naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o

de naranjas y , además, e l mayor número posible. Hal lar e l número de

naranjas de cada caja y el número de cajas necesar ias.

7¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número

exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y

cuántas baldosas se necesi tan?

1

12 = 2 2 · 3

18 = 2· 3 2

60 = 2 2 · 3 · 5

m. c. m. (12 , 18 , 60) = 2 2 · 32 · 5= 180

180 : 60 = 3

Sólo a las 6 .33 h .

2

18 = 2 · 3 2

24 = 2 3 · 3

m. c. m. (18 , 24) =2 3 · 32 = 72

Dentro de 72 días .

3

m. c. m. (15 , 20 , 36 , 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 720

720 + 9 = 729

4

m. c. d. (250, 360, 540) = 10

Capacidad de las gar rafas = 10 l .

Número de gar rafas de T 1 = 250 / 10 = 25

Número de gar rafas de T 2 = 360 / 10 = 36

Número de gar rafas de T 3 = 540 / 10 = 54

Número de gar rafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas .

5

3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5

5 m = 50 dm 50 = 2 · 5 2

A = 30 · 50 = 1500 dm 2

m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado

Ab = 102 = 100 dm 2

1500 dm 2 : 100 dm 2 = 15 baldosas

6

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Cajas necesar ias = 104 + 97 = 201

7

8 m = 80 dm 80 = 2 4 · 5

6.4 m = 64 dm 64 = 2 6

m. c. d. (80 , 64) = 2 4 = 16 dm de lado

A b = 16 2 = 256 dm 2

A = 80 · 64 = 5120 dm 2

5120 dm 2 : 256 dm 2 = 15 baldosas

Números enteros

Con los números naturales no era posible real izar diferencias donde el

minuendo era menor que e l que e l sus traendo , pero en la vida nos

encontramos con operaciones de este t ip o donde a un número menor hay

que restar le uno mayor .

Por e jemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado,

temperatura bajo cero, pro fundidades con respecto al n ivel del mar , e tc.

Las anter iores s i tuaciones nos obl igan a ampl iar el concepto de números

naturales, introduciendo un nuevo conjunto numér ico l lamado números

enteros .

E l conjunto de los números enteros está formado por :

= { . . .−5, −4, −3 , −2, −1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . . . }

Es deci r , los naturales , sus opuestos (negativos) y el cero. Se d iv iden en

tres partes: enteros pos i t ivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros posi t ivos , se considera a los

números naturales son un subconjunto de los enteros .

Valor absolu to de un número entero

E l valor absolu to de un número entero es e l número natural que resul ta al

supr imir su s igno .

E l valor absolu to lo escr ib i remos entre barras ver t ica les .

|−5| = 5

|5| = 5

Representación de los números enteros

1. En una recta hor izonta l , se toma un punto cualquiera que se señala

como cero .

2. A su derecha y a d is tancias iguales se van señalando los números

posi t ivos : 1, 2 , 3 , . . .

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anter iores, se van

señalando los números negativos: − 1, −2, −3,. . .

Criter ios para ordenar los números enteros

Orden en los números enteros

Los números enteros están ordenados. De dos números representados

gráf icamente, es mayor a l que él está s i tuado más a la derecha , y menor e l

s i tuado más a la izquierda.

Criter ios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2. Todo número posi t ivo es mayor que cero.

7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que t iene menor va lor abso luto .

−7 > −10 |−7| < |−10|

4. De los enteros posi t ivos, es mayor el que t iene mayor va lor ab so luto .

10 > 7 |10| > |7|

Suma de números enteros

1. S i los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolu tos y

al resul tado se le pone el s igno común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

2. S i los sumandos son de dis t into s igno, se restan l os va lores absolutos

(al mayor le restamos el menor ) y al resul tado se le pone el s igno del número

de mayor valor absoluto .

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna :

E l resul tado de sumar dos números enteros es otro número entero.

a + b

3 + (−5)

2. Asociativa :

E l modo de agrupar los sumandos no var ía el resul tado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]

5 − 5 = 2 + (−2)

0 = 0

3. Conmutativa :

E l orden de los sumandos no var ía la suma.

a + b = b + a

2 + (−5) = (−5) + 2

−3 = −3

4. E lemento neutro :

E l 0 es e l elemento neutro de la suma porque todo número sumado con

é l da el mismo número.

a + 0 = a

(−5) + 0 = −5

5. E lemento opuesto

Dos números son opuestos s i al sumar los obtenemos como resul tado el

cero .

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

E l opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto

del sus traendo.

a − b = a + (−b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1. Interna :

La resta dos números enteros e s otro número entero .

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutativa :

a − b ≠ b − a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Mult ipl icación de números enteros

La mult ipl icación de var ios números enteros es otro número entero , que

t iene como valor absoluto el producto de los valores absolu tos y , como s igno ,

e l que se obtiene de la apl icación de la regla de los s ignos .

Regla de los s ignos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = −10

(−2) · 5 = −10

Propiedades de la mult ipl icación de números enteros

1. Interna :

E l resul tado de mult ipl icar dos números enteros e s otro número entero .

a · b

2 · (−5)

2. Asociativa:

E l modo de agrupar los factores no var ía el resu l tado. S i a , b y c son

números enteros cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [ (3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

−30 = −30

3. Conmutativa:

E l orden de los factores no var ía el producto.

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. E lemento neutro :

E l 1 es el elemento neutro de la mult ipl icación porque todo número

mul t ipl icado por él da el mismo número.

a · 1 = a

(−5) · 1 = (−5)

5. D istr ibu t iva :

E l producto de un número por una suma es igual a la suma de los

productos de d icho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = (−6) + (−10)

−16 = −16

6. Sacar factor común:

Es e l proceso inverso a la propiedad distr ibutiva.

S i var ios sumandos t ienen un factor común, podemos transformar la

suma en producto extrayendo dicho factor .

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

Divis ión de números enteros

La d iv is ión de dos números enteros es igual a l valor absoluto del

cociente de los va lores absolutos entre e l d iv idendo y el d iv i sor , y t iene de

s igno, e l que se obtiene de la apl icación de la regla de los s ignos.

Regla de los s ignos

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = −2

(−10) : 5 = −2

Propiedades de la div is ión de números enteros

1. No es una operación in terna :

E l resul tado de div idir dos números enteros no s iempre es otro número

entero .

(−2) : 6

2. No es Conmutativo :

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número

entero , cuyo valor absoluto es el valor abso luto de la potencia y cuyo s igno

es e l que se deduce de la apl icación de las s iguientes reglas :

1. Las potencias de exponente par son s iempre posi t ivas.

2. Las potencias de exponente impar t ienen el mismo signo de la base.

Propiedades

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base :

Es o tra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los

exponentes .

am · a n = am + n

(−2) 5 · (−2) 2 = (−2)5 + 2 = (−2)7 = −128

4. D iv is ión de potencias con la misma base :

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de

los exponentes .

am : a n = am — n

(−2) 5 : (−2) 2 = (−2)5 — 2 = (−2) 3 = −8

5. Potencia de una potencia :

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es e l producto de

los exponentes .

(am)n = am · n

[ (−2) 3 ] 2 = (−2) 6 = 64

6. Producto de potencias con e l mismo exponente :

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es e l producto de

las bases

an · b n = (a · b) n

(−2) 3 · (3) 3 = (−6) 3 = −216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente :

Es o tra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de

las bases.

an : b n = (a : b) n

(−6) 3 : 33 = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

Un número elevado a −1 , es e l inverso de dicho número.

Raíz cuadrada

Defin ición de raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste

en aver iguar el número cuando se conoce su cuadrado.

Calculo de una raíz cuadrada

Calcular la raíz cuadrada de:

1S i el radicando t iene más de dos ci f ras , separamos las ci f ras en grupos

de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del pr imer grupo de

ci f ras por la izqu ierda.

¿Qué número e levado al cuadrado da 8?

8 no es un cuadrado per fecto pero está comprendido entre dos

cuadrados per fectos: 4 y 9 , entonces tomaremos la raí z del cuadrada del

cuadrado per fecto por defecto: 2 , y lo colocamos en la casi l la

cor respondiente.

3E l cuadrado de la raíz obtenida se resta al pr imer grupo de ci f ras que

aparecen en e l radicando.

E l cuadrado de 2 es 4 . se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el s iguiente grupo de ci f ras de l radicando,

separando del número formado la pr imera ci f ra a la derecha y div idiendo lo

que resta por el duplo de la raíz anter ior .

Ba jamos 92, s iendo la cantidad operable del radicando: 492.

49 : 4 > 9 , tomamos como resul tado 9.

5 E l cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz,

mult ipl icando el número formado por él , y restándolo a la cantidad operable

del radicando.

S i hubiésemos obtenido un valor super ior a la a la cantidad operable del

radicando, habríamos probado por 8, por 7. . . hasta encontrar un valor

in fer ior .

6 E l cociente obtenido es la segunda ci f ra de la raíz .

7 Bajamos el s iguiente par de ci f ras y repet imos los pasos anter iores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos e l 8 a la raí z

8Prueba.

Para que el resul tado sea correcto, se t iene que cumpl i r :

Radicando= (Raíz entera) 2 + Resto

89 225 = 298 2 + 421

Ejercicios de raíces cuadradas

Resolver la raíz cuadrada de:

Calcular la raíz cuadrada de:

Resolver la raíz cuadrada de:

Raíz cuadrada de números decimales

1 Se separan grupos de dos ci f ras a par t i r de la coma hacia la izquierda

( la par te entera) y hacia la derecha ( la par te decimal) .

2 S i e l radicando t iene en su par te decimal un número impar de ci f ras, se

añade un cero a la derecha.

3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadr ada del número que

resul ta.

4 En la raíz, a par t i r de la derecha, colocamos un número de ci f ras

decimales igual al número de pares de ci f ras decimales que hubiere en el

radicando. En el resto y también a par t i r de la derecha, se separan tantas

ci f ras decimales como haya en el radicando.

Ejercicios de raíz cuadrada con decimales

Calcular la raíz cuadrada de:

Resolver la raíz cuadrada de:

Ra í z cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros t ienen dos s ignos: posi t ivo y

negat ivo.

E l radicando es s iempre un número posi t ivo o igual a cero, ya que se

trata del cuadrado número.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es exacta , s iempre que el radicando sea un cuadrado

per fecto .

Raíz cuadrada entera

La raíz cuadrada es entera , s iempre que el radicando no sea un

cuadrado per fecto.

La raíz entera de un número entero es e l mayor entero cuyo cuadrado es

menor que dicho número.

E l resto es la di ferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz

entera.

Resto = 17 − 4 2 = 1

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

1º . Efectuar las operaciones entre paréntes is , corchetes y l laves.

2º . Calcular las potencias y raíces .

3º . Efectuar los productos y cocientes .

4º . Real izar las sumas y restas .

Operaciones combinadas

1. S in paréntesis

1.1 Sumas y di ferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la i zquierda, vamos efectuando las operaciones según

aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Sumas, restas y productos .

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Real izamos pr imero los productos por tener mayor pr ior idad .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y res tas .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Sumas, restas , productos y div is iones .

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Real izamos los productos y cocientes en e l orden en e l que los

encontramos porque las dos operaciones t ienen la misma pr ior idad .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y res tas .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Sumas, restas , productos , div is iones y potencias .

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 =

Real izamos en pr imer lugar las potencias por tener mayor pr ior idad .

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes .

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y res tas .

= 26

2. Con paréntes is

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2 3 )=

Real izamos en pr imer lugar las operaciones contenidas en e l los .

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis real i zando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Con paréntesis y corchetes

[15 − (2 3 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Pr imero operamos con las potencias, productos y cocientes de los

paréntesi s .

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Real izamos las sumas y res tas de los paréntesis .

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos paréntes is d i rectamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis .

= 12 · 7 − 3 + 2

Mult ipl icamos .

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos .

= 83

4. Con fracciones

P r imero operamos con las productos y números mix tos de los paréntesi s .

Operamos en el pr imer paréntesis , qui tamos e l segundo, s impl if icamos en

e l tercero y operamos en el úl t imo.

Real izamos e l producto y lo s impl i f icamos .

Real izamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones del numerador , div idimos y s impl i f icamos e l

resul tado.

Ejercicio de operaciones combinadas

14 − {7 + 4 · 3 - [ ( -2)2 · 2 - 6)] }+ (2 2 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 2 3 : 2 ) =

Pr imero operamos con las potencias, productos y cocientes de los

paréntesi s .

14 − [7 + 4 · 3 - (4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntes is .

14 − [7 +12 - (8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Real izamos las sumas y d i ferencias de los paréntes is .

14 − (7 +12 -2) + ( -5) + 3 - (1) =

14 − (17) + ( -5) + 3 - (1) =

La supres ión de paréntes is ha de real i zarse considerando que:

S i e l paréntes is va precedido del s igno + , se supr imi rá manteniendo su

s igno los términos que contenga.

Si e l paréntes is va precedido del s igno − , a l supr imi r e l paréntes is hay

que cambiar de s igno a todo los términos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6

Ejercicios y problemas de números enteros

1Ordenar , en sentido creciente, representar gráf icamente, y calcular los

opuestos y va lores absolutos de los s iguientes números enteros :

8, −6, −5, 3 , −2 , 4 , −4 , 0 , 7

2Representar gráf icamente, y calcular los opuestos y va lores absolutos

de los s iguientes números enteros :

−4, 6 , −2 , 1 , −5 , 0 , 9

3Sacar factor común en las expres iones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) =

2 (−2) · 12 + (−2) · (−6) =

38 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

4 (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4Real izar las s iguientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

3 9 : [6 : (− 2)] =

4 [ (−2) 5 − (−3) 3] 2 =

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =

6 [ (17 − 15) 3 + (7 − 12) 2] : [ (6 − 7) · (12 − 23)] =

5Real izar las s iguientes operaciones con números enteros

1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =

3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

6Calcula, s i ex is te:

1

2

3

4

5

6

7Real izar las s iguientes operaciones con potencias de números enteros :

1 (−2) 2 · (−2)3 · (−2) 4 =

2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =

3 (−2)− 2 · (−2) 3 · (−2)4 =

4 2− 2 · 2 − 3 · 2 4 =

5 22 : 23 =

6 2− 2 : 2 3 =

7 22 : 2− 3 =

8 2− 2 : 2− 3 =

9 [ (−2)− 2] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 =

10 [(−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2)− 4 =

8Real izar las s iguientes operaciones con potencias de números enteros :

1 (−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 =

2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3)0 =

3 (−3) 2 · (−3)3 · (−3)− 4 =

4 3− 2 · 3 − 4 · 34 =

5 52 : 53 =

6 5− 2 : 53 =

7 52 : 5 − 3 =

8 5− 2 : 5− 3 =

9 (−3) 1 · [ (−3) 3] 2 · (−3)− 4 =

10 [(−3) 6 : (−3)3] 3 · (−3)0 · (−3)− 4 =

1

8, −6, −5, 3 , − 2 , 4 , −4 , 0 , 7

− 6 < − 5 < − 4 < − 2 < 0 < 3 < 4 < 7 < 8

op (−6) = −(−6) = 6 |−6| = 6

op(−5) = −(−5) = 5 |−5| = 5

op(−4) = −(−4) = 4 |−4| = 4

op(−2) = −(−2) = 2 |−2| = 2

op(0) = 0 |0| = 0

op(3) = −3 |3| = 3

op(4) = −4 |4| = 4

op(7) = −7 |7| = 7

op(8) = −8 |8| = 8

2

−4, 6 , −2 , 1 , −5 , 0 , 9

op(−4) = −(−4) = 4 |−4| = 4

op(6) = −6 |6| = 6

op(−2) = −(−2) = 2 |−2| = 2

op(1) = − 1 |1| = 1

op(− 5) = − (−5) = 5 |−5| = 5

op(0) = 0 |0| = 0

op(9) = −9 |9| = 9

3

1. 3 · 2 + 3 · (−5) =

= 3 · [2 + (−5)] = 3 · (2 − 5) = 3 · (−3) = −9

2. (−2) · 12 + (−2) · (−6) =

= (−2) · [12 + (−6)] = (−2) · (12 − 6) = (−2) · 6 = −12

3.8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

= 8 · 6 = 48

4.(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

= (−3) · [ (−2) + (−5)] = (−3) · (−2 − 5) = (− 3) · (−7) = 21

4

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] = −5 + (5 + 2) = −5 + 7= 2

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 − (−7) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 + 7 − 3 + 6] + 5 =

= 5 − 14 + 5 = −4

3 9 : [6 : (−2)] = 9 : (−3) = −3

4 [ (−2) 5 − (−3) 3] 2 =

= [− 32 − (−27)] = (−32 + 27) 2 =

= (−5)2 = 25

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =

= (5 + 6 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =

= (5 + 1 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2) 2 =

= 2 · 5 : 1 2 =

= 2 · 5 : 1 = 10 : 1 = 10

6 [ (17 − 15) 3 + (7 − 12) 2] : [ (6 − 7) · (12 − 23)] =

= [ (2)3 + (−5) 2] : [ (−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : [ (−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : 11 =

= 33: 11 = 3

5

1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 9 − (−3) = 9 + 3 = 12

2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =

= 1 − (4) − [5 − (4) − 2] =

= 1 − (4) − (5 − 4 − 2)=

= 1 − (4) − (−1) =

= 1 − 4 + 1 = −2

3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

= −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

− 12 · 3 + 18 : (−2 + 8) =

= −12 · 3 + 18 : 6 =

= −36 + 3 = −33

4 2 · [ ( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] − 6 =

= 2 · [24 : 6 +3 : (−3)] − 6 =

= 2 · [ 4 + (−1)] − 6 =

2 · 3 − 6 = 6 − 6 = 0

5 [ (−2) 5 · (−3) 2] : (−2) 2 =

(−32 · 9) : 4 = −288 : 4 = −72

66 + {4 − (17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

= 6 + {4 − [ (17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

6 + [4 − (17 − 16) + 3] − 5 =

= 6 + (4 − 1 + 3) − 5 =

6 + 6 − 5 = 7

6

1

2

3

4

5

6

7

1 (−2) 2 · (−2)3 · (−2) 4 = (−2) 9 = −512

2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =

= (−2)3 · (−2) 2 · (−2) 0 · (−2) = (−2)6 = 64

3 (−2)− 2 · (−2) 3 · (−2)4 = (−2) 5 = −32

4 2− 2 · 2 − 3 · 2 4 = 2− 1 = 1/2

5 22 : 23 = 2− 1 = 1/2

6 2− 2 : 2 3 = 2− 5 = (1/2) 5 = 1/32

7 22 : 2− 3 = 25 = 32

8 2− 2 : 2− 3 = 2

9 [ ( −2 )− 2] 3 · (−2)3 · (−2) 4 =

= (−2)− 6 · (−2) 3 · (−2) 4 = −2

10 [(−2) 6 : (−2) 3] 3 · (−2) · (−2)− 4 =

[ (−2) 3] 3 · (−2) · (−2)− 4 =

= (−2)9 · (−2) · (−2) − 4 = (−2) 6 = 64

8

1 (−3) 1 · (−3)3 · (−3) 4 = (−3) 8 = 6561

2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3)0 =

(−3) 3 · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0 = (−3) 6 = 729

3 (−3) 2 · (−3)3 · (−3)− 4 = −3

4 3− 2 · 3 − 4 · 34 = 3 − 2 = (1/3) 2 = 1/9

5 52 : 53 = 5− 1 = 1/5

6 5− 2 : 5 3 = 5− 5 = (1/5)5 = 1/3125

7 52 : 5− 3 = 55 = 3125

8 5− 2 : 5− 3 = 5

9 (−3) 1 · [ (−3) 3] 2 · (−3)− 4 =

(−3) 1 · (−3)6 · (−3)− 4 = (−3) 3

10 [(−3) 6 : (−3)3] 3 · (−3) 0 · (−3)− 4 =

[ (−3) 3] 3 · (−3)0 · (−3)− 4 =

(−3) 9 · (−3)0 · (−3)− 4 = (−3) 5 =243

Problemas de números enteros

1Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y mur ió en e l 14 d. C.

¿Cuántos años viv ió?

2Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo

e leva a un depósi to s i tuado a 48 m de a l tura. ¿Qué n ivel supera el petró leo?

3¿Qué di ferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la

cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del

pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y s i pasara de la cámara del

pescado a la de la verdura?

4La temperatura del a i re baja según se asc iende en la atmósfera, a

razón de 9 ºC cada 300 metros . S i la temperatura al n ive l del mar en un punto

determinado es de 0ªC, ¿a qué al tura vuela un avión s i la temperatura del

aire es de −81 ºC?

5En un depósi to hay 800 l de agua. Por la parte super ior un tubo vier te

en el depósi to 25 l por minuto, y por la p arte in fer ior por otro tubo sa len 30 l

por minuto. ¿Cuántos l i t ros de agua habrá en el depósi to después de 15

minutos de funcionamiento?

1

14 − (−63) = 14 + 63 = 77 años

2

48 − (−975) = 48 + 975 = 1023 metros

3

−18 ºC − 4 ºC = −22 ºC

4 ºC − (−18 ºC) = −22 ºC = 4 ºC + 18 ºC = 22 ºC

La d i ferencia de temperatura en valor absoluto es igual en ambos casos.

E l s igno menos del pr imer caso nos indica que se produce un descenso de la

temperatura, y e l s igno más del segundo un aumento.

4

|−81| : 9 = 81 : 9 = 9

300 · 9 = 2 700 m

5

800 + 25 · 15 − (30 · 15) =

800 + 375 − 450 = 1175 − 450 = 725 l

Números decimales

Fracción decimal

Una fracción decimal t iene por denominador la unidad seguida de ceros.

Número decimal

Es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal.

Consta de dos par tes: entera y decimal.

Para expresar un número decimal como una f racción decimal , escr ib imos

como numerador de la f racción el número dado s in la coma y como

denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga

ese número .

Unidades decimales

Son f racciones decimales que t ienen por numerador uno y denominador

una potencia de 10 .

Redondeo de decimales

Para redondear números decimales tenemos que f i ja rnos en la un idad

decimal poster ior a la que queremos redondear . S i la un idad decimal es

mayor o igual que 5, aumentamos en una un idad la un idad decimal anter ior ;

en caso contrar io, la dejamos como está

Ejemplo

2.36105 2.4 Redondeo hasta las décimas.

2.36105 2.36 Redondeo hasta las centés imas.

2.36105 2.361 Redondeo hasta las mi lés imas .

2.36105 2.3611 Redondeo hasta las d iezmilés imas.

Truncar decimales

Para t runcar un número decimal hasta un orden determinado se ponen

las c i f ras anter iores a ese orden inclus ive, e l iminando las demás.

Ejemplo

2.3647 2.3 T runcamiento hasta las décimas.

2.3647 2.36 T runcamiento hasta las centés imas.

2.3647 2.364 T runcamiento hasta las mi lés imas.

2.3647 2.3467 T runcamiento hasta las d iezmilés imas.

T ipos de números decimales

Decimal exacto

La parte decimal de un número decimal exacto es tá compuesta por una

cantidad f in i ta de términos.

Per iódico puro

La par te decimal , l lamada per iodo, se repite inf in i tamente.

Per iódico mixto

Su par te decimal está compuesta por una par te no per iódica y una par te

per iódica o per íodo.

No exactos y no per iódicos

Dada una f racción podemos determinar qué t ipo de número decimal

será, para lo cual , tomamos e l denominador y lo descomponemos en

factores.

S i aparece sólo el 2, o só lo el 5, o el 5 y el 2; la f racción es decimal

exacta.

S i no aparece n ingún 2 ó 5 , la f racción es per iódica pura.

S i aparecen otros factores además del 2 ó el 5, la f racción es per iódica

mixta.

Ordenar números decimales

Dados dos números decimales es menor :

1.El que tenga menor la par te entera.

2. S i t ienen la misma parte entera , e l que tenga la menor parte decimal

Representación de números decimales

Cada número decimal t iene su lugar en la recta numér ica. Para

representar las décimas div idimos la un idad en 10 par tes.

·

Para representar las centésimas div id imos cada décima en 10 par tes .

Para representar las milésimas div id imos cada centésima en 10

par tes , y as í continuaríamos para las d iez milés imas, c ien mi lésimas, etc.

No hay dos números decimales consecutivos , porque entre dos

decimales s iempre se puede encontrar otros decimales.

Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar números decimales :

1Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.

2Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas,

centésimas con centésimas.. .

342.528 + 6 726.34 + 5 .3026 + 0.37 =

372.528 - 69.68452 =

Mult ipl icación de números de cimales

Para mult ipl icar dos números decimales :

1Se mult ipl ican como si fueran números enteros .

2El resul tado f inal es un número decimal que t iene una cantidad de

decimales igual a la suma del número de decimales de los dos factores .

46.562 · 38 .6

Mult ipl icación por la unidad seguida de ceros

Para mul t ipl icar un número por la un idad seguida de ceros, se desplaza

la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Divis ión de números decimales

1 . Sólo e l div idendo es decimal

Se efectúa la d iv i s ión de números decimales como s i de números enteros

se tratara. Cuando bajemos la pr imera c i f ra decimal , ponemos una coma en

e l cociente y continuamos d iv id iendo.

526.6562 : 7 =

2. Sólo e l div i sor es decimal

Quitamos la coma del div isor y añadimos al div idendo tantos ceros como

ci f ras decimales t iene el div i sor . A continuación div idimos como s i fueran

números enteros .

5126 : 62.37 =

3. E l div idendo y el div isor son decimales

Se iguala el número de ci f ras deci males del d iv idendo y el div isor ,

añadiendo a aquel que tuviere menos, tantos ceros como ci f ras decimales de

di ferencia hubiese. A cont inuación se prescinde de la coma, y div idimos

como si fueran números enteros.

5627.64 : 67.5261

Divis ión por la unidad seguida de ceros

Para d iv id i r un número por la un idad seguida de ceros, se desplaza la

coma hacia la i zquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Raíz cuadrada de números decimales

Para extraer la raí z cuadrada de un número decimal , debemo s segui r los

s iguientes pasos:

1 Se separan grupos de dos ci f ras a par t i r de la coma hacia la izquierda

( la par te entera) y hacia la derecha ( la par te décimal) .

2 S i e l radicando t iene en su par te decimal un número impar de ci f ras, se

añade un cero a la derecha.

3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del número que

resul ta.

4 En la raíz, a par t i r de la derecha, colocamos un número de ci f ras

decimales igual al número de pares de ci f ras decimales que hubiere en el

radicando. En el resto y también a par t i r de la derecha, se separan tantas

ci f ras decimales como haya en el radicando.

Operaciones con números decimales resumen

Suma y resta de número decimales

1Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.

2Se suman (o se restan) unidades con unidades , décimas con décimas,

centésimas con centésimas.. .

Producto de decimales

1Se mult ipl ican como si fueran números enteros .

2El resul tado f inal es un número decimal que t iene una cantidad de

decimales igual a la suma del número de decima les de los dos factores .

Producto por la unidad seguida de ceros

Para mul t ipl icar un número por la un idad seguida de ceros, se desplaza

la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Cociente de números decimales

1. Sólo e l div idendo es decimal

Se efectúa la div is ión como si de números enteros se tratara.

Cuando bajemos la pr imera ci f ra decimal, ponemos una coma en el

cociente y continuamos div idiendo.

2. Sólo e l div i sor es decimal

Quitamos la coma del div isor y añadimos al div i dendo tantos ceros como

ci f ras decimales t iene el div isor .

A continuación div idimos como si fueran números enteros .

3. E l div idendo y el div isor son decimales

Se iguala el número de ci f ras decimales del d iv idendo y el div isor ,

añadiendo a aquel que tuvier e menos, tantos ceros como ci f ras decimales de

di ferencia hubiese.

A continuación se prescinde de la coma, y div idimos como si fueran

números enteros .

Divis ión por la unidad seguida de ceros

Para d iv id i r un número por la un idad seguida de ceros, se desplaza la

coma hacia la i zquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Raíz cuadrada de un número decimal

1 Se separan grupos de dos ci f ras a par t i r de la coma hacia la izquierda

( la par te entera) y hacia la derecha ( la par te décimal) .

2 S i e l radicando t iene en su par te decimal un número impar de ci f ras, se

añade un cero a la derecha.

3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del número que

resul ta.

4 En la raíz, a par t i r de la derecha, colocamos un número de ci f ras

decimales igual al número de pares de ci f ras decimales que hubiere en el

radicando.

En el resto y también a par t i r de la derecha, se separan tantas ci f ras

decimales como haya en e l radicando.

Fracción decimal

Es aquel la que t iene por denominador la unidad seguida de ceros.

Número decimal

Es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal.

Consta de dos par tes: entera y decimal.

Para expresar un número decimal como una frac ción decimal, se pone

como numerador de la f racción el número dado s in la coma y como

denominador la un idad seguida de tantos ceros como ci f ras decimales tenga

ese número.

Unidades decimales

Son fracciones decimales que t ienen por numerador uno y denomina dor

una potencia de 10.

Decimal exacto

Es aquel cuya par te decimal está compuesta por una cantidad f in i ta de

términos.

Per iódico puro

La par te decimal , l lamada per iodo, se repite inf in i tamente.

Per iódico mixto

Su par te decimal está compuesta por una par te no per iódica y una par te

per iódica o per íodo.

No exactos y no per iódicos

Dada una f racción podemos determinar que t ipo de número decimal

será, para lo cual , tomamos e l denominador y lo descomponemos en

factores.

S i aparece sólo el 2 , o sólo e l 5 , o el 5 y el 2 ; la f racción es decimal

exacta.

S i no aparece ningún 2 ó 5, la f racción es per iódica pura.

S i aparecen otros factores además del 2 ó el 5 , la f racción es per iódica

mixta.

Comparación de números decimales

Dados dos números decimales es menor :

1.El que tenga menor la par te entera.

2. S i t ienen la misma parte entera , e l que tenga la menor parte decimal

Ejercicios de numeros decimales

1 Ordena de menor a mayor estos números decimales :

5.4 , 5.004, 5.0004, 5.04 , 4.4 , 4.98 , 5 , 5 .024

7.3 , 7.003, 7.0003, 7.03 , 6.5 , 6.87 , 7 , 7 .037

2 C las i f icar , por e l t ipo, los números decimales cor respondientes a las

f racciones:

3 Real izar las s iguientes operaciones con números decimales :

3.6669 · 1000 =

3.6669 : 1000 =

0.036 · 10 =

0.036 : 10 =

0.000012 · 10 000 =

123.005 : 10 000 =

26.36 · 10 000 =

2.36 : 1000 =

0.261 · 100 =

5.036 : 10 =

4 Resuelve las s iguientes div is iones de números decimales :

324 : 0.018

12.96 : 6

5Calcula la raíz cuadrada :

1

5.4 , 5.004, 5.0004, 5.04 , 4.4 , 4.98 , 5 , 5 .024

4.4 < 4 .98 < 5 < 5.0004 < 5.004 < 5.024 < 5.04 < 5.4

7.3 , 7.003, 7.0003, 7.03 , 6.5 , 6.87 , 7 , 7 .037

6.5 < 6 .87 < 7 < 7.0003 < 7.003 < 7.037 < 7.03 <7.3

2

3

3.6669 · 1000 = 3666.9

3.6669 : 1000 = 0.0036669

0.036 · 10 = 0 .36

0.036 : 10 = 0.0036

0.000012 · 10 000 = 0.12

123.005 : 10 000 = 0.0123005

26.36 · 10 000 = 263 600

2.36 : 1 000 = 0.000236

0.261 · 100 = 26.1

5.036 : 10 = 0.5036

4

324 : 0.018

12.96 : 6

5

Problemas de números decimales

1Una jarra vacía pesa 0.64 kg, y l lena de agua 1.728 kg. ¿Cuánto pesa e l

agua?

2 Un c icl i s ta ha recorr ido 145.8 km en una etapa, 136.65 km en otra

etapa y 162.62 km en una tercera etapa.

¿Cuántos k i lómetros le quedan por recorrer s i la car rera es de 1000 km?

3 De un depósi to con agua se sacan 184.5 l y después 128.75 l ,

f inalmente se sacan 84.5 l . Al f ina l quedan en el depósi to 160 l . ¿Qué

cantidad de agua había el depósi to?

4Se t ienen 240 cajas con 25 bol sas de café cada una. S i cada bol sa pesa

0.62 kg , ¿cuál es e l peso del café?

5 Sabiendo que 2.077 m³ de a i re pesan 2.7 kg, calcular lo que pesa 1 m³

de a i re.

6Eva s igue un régimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada

comida de 600 calor ías.

Ayer a lmorzó: 125 g de pan, 140 g de espár ragos, 45 g de queso y una

manzana de 130 g .

S i 1 g de pan da 3.3 calor ías, 1 g de espár ragos 0.32 , 1 g de queso 1.2 y

1 g de manzana 0.52.

¿Respetó Eva su régimen?

1

2

3

184.5 + 128.75 + 84.5 + 160 = 557.75 l

4

25 · 0.62 = 15.5 kg

15.5 · 240 = 3720 kg de café

5

6

125 · 3.3 + 140 · 0.32 + 45 · 1.2 + 130 · 0.52 =

= 412.5 + 44.8 + 54 + 67.6 = 578.9 calor ías

578.9 < 600. S i respetó el régimen .

Fracciones

Unidad fraccionar ia

La unidad fraccionar ia es cada una de las par tes que se obtienen a l

div idi r la unidad en n par tes iguales.

Defin ición de fracción

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b , que

representamos de la s iguiente forma:

b, denominador , indica el número de par tes en que se ha div idido la

unidad.

a, numerador , indica e l numero de unidades f raccionar ias elegidas.

Representar f racciones

S igni f icado de la f racción

La f racción como partes de la unidad

El todo se toma como unidad. La f racción expresa un valor con relación

a ese todo.

Un depósi to contiene 2/3 de gasol ina.

E l todo: el depósi to. La un idad equivale a 3/3, en este caso; pero en

general ser ía una f racción con el mismo número en el numerador y el

denominador .

2/3 de gasol ina expresa la re lación existente entre la gasol ina y la

capacidad del depósi to. De sus tres partes dos es tán ocupadas por gasol ina.

La f racción como cociente

Repart i r 4 € entre 5 amigos.

La f racción como operador

Para calcular la f racción de un número, mult ipl icamos el numerador por

el número y e l resul tado lo div idimos por el denominador .

Calcular los 2/3 de 60 €.

2 · 60= 120

120 : 3 = 40 €

La f racción como razón y proporción

Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, es tamos usando

las f racciones como razones .

As í , cuando decimos que la proporción entre ch icos y ch icas en el

Inst i tuto es de 3 a 2 , estamos d ic iendo que por cada 3 ch icos hay 2 ch icas, e s

deci r , que de cada c inco estudiantes, 3 son ch icos y 2 son ch icas.

Un caso part icular de apl icación de las f racciones como razón son los

porcentajes , ya que éstos no son más que la relación de proporc ional idad

que se establece entre un número y 100 ( tanto por ciento ) , un número y mil

( tanto por mi l ) o un número y uno ( tanto por uno ).

Luí s compra una camisa por 35 € , le hacen un descuento del 10%.

¿Cuánto pagará por la camisa?

35 · 10 = 350

350 : 100 = 3.5

35 − 3.5 = 31.5 €

T ipos de fracciones

Fracciones propias

Las f racciones propias son aquel las cuyo numerador es menor que el

denominador . Su valor comprendido entre cero y uno

Fracciones impropias

Las f racciones impropias son aquel las cuyo numerador es mayor que e l

denominador . Su valor es mayor que 1.

Número mixto

El número mixto o f racción mixta es tá compuesto de una parte entera y

otra f raccionar ia .

Para pasar de número mixto a f racción impropia , se deja e l mismo

denominador y e l numerador es la suma del producto del entero por el

denominador más el numerador , del número mixto .

Para pasar una f racción impropia a número mixto , se div ide e l

numerador por el denominador . E l cociente es e l entero del número mixto y el

resto el numerador de la f racción , s iendo e l denominador e l mismo .

Fracciones decimales

Las f racciones decimales t ienen como denominador una potencia de 10 .

Fracciones equ ivalentes

Dos f racciones son equivalentes cuando el producto de extremos es

igual al producto de medios .

a y d son los extremos; b y c, los medios.

Calcula s i son equivalentes las f racciones:

4 · 12 = 6 · 8 48 = 48 S í

S i se mul t ipl ica o d iv ide el numerador y denominador de una f racción

por un número entero, d ist into de cero, se obtiene otra f racción equivalente

a la dada.

Al pr imer caso le l lamamos ampl iar o ampl i f icar .

S impl i f icar f racciones

S impl i f icar una f racción es transformarla en una f racción equivalente

más s imple.

Para s impl i f icar una f racción div idimos numerador y denominador por un

mismo número .

Empezaremos a s impl i f icar probando por los pr imeros números pr imos : 2 ,

3 , 5 , 7 , . . . Es deci r , probamos a div idir numerador y denominador entre 2

mientras se pueda, después pasamos a l 3 y as í sucesivamente.

Se repite e l proceso hasta que no haya más d iv i sores comun es.

S i los términos de la f racción terminan en ceros , empezaremos quitando

los ceros comunes f ina les del numerador y denominador .

S i e l número por el que divid imos es el máximo común denominador del

numerador y denominador l legamos a una f racción i r reducib le .

Fracciones i r reducib les

Las f racciones i r reducibles son aquel las que no se pueden s impl i f icar ,

esto sucede cuando el numerador y el denominador son pr imos entre s í , .

Comparar f racciones

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir var ias f racciones a común denominador consiste en convert i r las

en otras equivalentes que tengan el mismo denominador . Para e l lo:

1º Se determina el denominador común , que será e l mínimo común

múlt iplo de los denominadores .

2º Este denominador , común, se div ide por cada uno de los

denominadores , mult ipl icándose el cociente obtenido por el numerador

correspondiente.

12 = 2 2 · 3

9 = 32

m.c.m.(3. 12. 9) = 2 2 ·32 = 36

Comparar f racciones

Fracciones con igual denominador

De dos f racciones que t ienen e l mismo denominador es menor la que

t iene menor numerador .

Fracciones con igual numerador

De dos f racciones que t ienen e l mismo numerador es menor e l que t iene

mayor denominador .

Con numeradores y denominadores dis t intos

En pr imer lugar las tenemos que poner a común denominador .

Es menor la que t iene menor numerador .

Operaciones con fracciones

Suma y di ferencia de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se res tan los numeradores y se mantiene el denominador .

Con dis t into denominador

En pr imer lugar se reducen los denominadores a común denominador , y

se suman o se restan los numeradores de las f racciones equivalentes

obtenidas.

Producto de fracciones

La mult ipl icación de dos f racciones es otra f racción que t iene:

Por numerador el producto de los numeradores .

Por denominador e l producto de los denominadores .

Cociente de f racciones

La div is ión de dos f racciones e s otra f racción que t iene:

Por numerador el producto de los extremos .

Por denominador e l producto de los medios .

Operaciones combinadas

Pr ior idades

1º .Pasar a f racción los números mixtos y decimales .

2º .Calcular las potencias y raíces

3º .Efectuar las operaciones entre paréntesis , corchetes y l laves..

4º .Efectuar los productos y cocientes .

5º .Real izar las sumas y restas .

P r imero operamos con las productos y números mixtos de los paréntes is .

Operamos en el pr imer paréntes is , qui tamos e l segundo, s impl i f icamos en

e l tercero y operamos en el úl t imo.

Real izamos e l producto y lo s impl i f icamos.

Real izamos las operaciones del paréntes is .

Hacemos las operaciones del numerador , d iv id imos y s imp l i f icamos el

resul tado.

Ejercicios y problemas de fracciones

1 Asociar cada fracción de hora con los minutos cor respondientes:

2 Hal la los pares de f racciones equivalentes y colócalas en parejas:

3 Escr ibe los inversos de:

4 Escr ibe el s igno > o < , donde cor responda.

5 Compara las s iguientes f racciones:

6 Ordenar de menor o mayor :

7 C las i f ica las s iguientes f racciones en propias o impropias:

8 Opera:

9 Real iza de dos modos d ist intos:

10 Resuelve:

11 Resuelve:

12 Efectúa las d iv i s iones

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

Ejercicios y problemas de fracciones

1 Asociar cada fracción de hora con los minutos cor respondientes:

2 Ordenar de menor o mayor :

3 Opera, sacando factor común.

4 Resuelve:

5 Una famil ia ha consumido en un d ía de verano:

Dos botel las de l i t ro y medio de agua.

4 botes de 1/3 de l i t ro de zumo.

5 l imonadas de 1/4 de l i t ro.

¿Cuántos l i t ros de l íquido han bebido? Expresa el resul tado con un

número mixto.

1

2

3

4

5

Ecuaciones

Igualdad

Una igualdad se compone de dos expres iones un idas por el s igno igual .

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser :

Falsa:

2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.

Cier ta

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Ident idad

Una identidad es una igualdad que es cier ta para cualquier valor de las

letras.

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de

las le tras.

x + 1 = 2 x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que

aparecen a ambos lados del s igno igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las le tras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las le tras para que la

igualdad sea cier ta .

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13

E l grado de una ecuación es e l mayor de los grados de los m onomios

que forman sus miembros .

T ipos de ecuaciones según su grado

5x + 3 = 2x +1 Ecuación de pr imer grado.

5x + 3 = 2x 2 + x Ecuación de segundo grado.

5x3 + 3 = 2x +x 2 Ecuación de tercer grado .

5x3 + 3 = 2x 4 +1 Ecuación de cuarto grado.

Clasi f icación de ecuaciones

1. Ecuaciones pol inómicas enteras

Las ecuaciones pol inómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un

pol inomio.

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación es e l mayor de los grados de los monomios

que forman sus miembros .

T ipos de ecuaciones pol inómicas

1.1 Ecuaciones de pr imer grado o l ineales

Son del t ipo ax + b = 0 , con a ≠ 0 , ó cualquier otra ecuación en la que

al operar , t rasponer términos y s impl i f icar adoptan esa expres ión.

(x + 1) 2 = x2 - 2

x2 + 2x + 1 = x 2 - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del t ipo ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax 2 = 0

ax 2 + b = 0

ax 2 + bx = 0

1.3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del t ipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , con a ≠ 0.

1.4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del t ipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no t iene términos de grado impar .

ax 4 + bx 2 + c = 0 , con a ≠ 0 .

1.5 Ecuaciones de grado n

En general , las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1 xn + a 2 xn - 1 + a3 x n - 2 + . . .+ a 0 = 0

2. Ecuaciones pol inómicas racionales

Las ecuaciones pol inómicas son de la forma , donde P(x) y Q(x)

son pol inomios.

3. Ecuaciones pol inómicas i r racionales

Las ecuaciones i r rac ionales son aquel las que t ienen al menos un

pol inomio bajo el s igno radical .

4. Ecuaciones no pol inómicas

4.1 Ecuaciones exponencia les

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en e l exponente.

4.2 Ecuaciones logarí tm icas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un

logar i tmo.

4.3 Ecuaciones tr igonométr icas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una

función tr igonométr ica. Como éstas son per iódicas, habrá por lo general

in f in i tas so luc iones.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes s i t ienen la misma solución.

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

x + 3 = −2 x = −5

Criter ios de equ ivalencia de ecuaciones

1. S i a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una

misma cant idad, la ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

2. S i a los dos miembros de una ecuación se les mul t ipl ica o se les div ide

una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5

x + 2 = 3

x + 2 −2= 3 −2

x = 1

Ecuaciones de pr imer grado

En general para resolver una ecuación de pr imer grado debemos segui r

los s iguientes pasos :

1º Quitar paréntesi s .

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos

independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntes is :

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para el lo en pr imer lugar hal lamos e l mín imo

común múl t ip lo.

Quitamos paréntes is , agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntes is y s impl i f icamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos

semejantes:

Quitamos corchete:

Quitamos paréntes is :

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntes is :

Agrupamos términos:

Sumamos:

Divid imos los dos miembros por: −9

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

E l t r iple de un número: 3x

E l cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2 , 3 , 4 , . . . : 2x, 3x, 4x, . .

Un número al cuadrado : x 2

Un número al cubo : x 3

Dos números consecut ivos : x y x + 1.

Dos números consecut ivos pares : 2x y 2x + 2.

Dos números consecut ivos impares : 2x + 1 y 2x + 3 .

Descomponer 24 en dos par tes : x y 24 − x.

La suma de dos números es 24 : x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

E l producto de dos números es 24: x y 24/x.

E l cociente de dos números es 24 ; x y 24 · x .

Problemas de relojes

E l ángulo o arco descr i to que recorre el minutero es s iempre 12 veces

mayor que el arco que descr ibe la aguja horar ia .

Un relo j marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se

superpondrán las agujas?

x es el arco que descr ibe la aguja horar ia .

(15 + x) es e l arco que descr ibe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s

Un relo j marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por

pr imera vez un ángulo recto?

Las agujas del relo j forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco

más, que l lamaremos x.

x es el arco que descr ibe la aguja horar ia .

25 + x, es el arco que descr ibe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del relo j conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16 s.

P roblemas de móvi les

Para plantear problemas sobre móvi les que l levan velocidad constante

se ut i l i zan las fórmulas del movimiento recti l íneo un i forme:

espacio = ve locidad × t iempo

1e r caso

Los móvi les van en sentido contrar io.

eA C + e C B = eA B

Dos c iudades A y B d istan 300 km entre sí . A las 9 de la mañana parte de

la c iudad A un coche hacia la c iudad B con una velocidad de 90 km/h, y de

la c iudad B parte otro hacia la c iudad A con una velocidad de 60 km/h. Se

p ide:

1 E l t iempo que tardarán en encontrarse.

90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la mañana .

3 La d istancia recorr ida por cada uno.

e A B = 90 · 2 = 180 km

e B C = 60 · 2 = 120 km

2o caso

Los móvi les van en el mismo sentido.

eA C − e B C = e A B

Dos c iudades A y B d istan 180 km entre s í . A las 9 de la mañana sale de

un coche de cada c iudad y los dos coches van en el mismo sentido. E l que

sa le de A c i rcula a 90 km/h, y e l que sa le de B va a 60 km/h. Se p ide:

1 El t iempo que tardarán en encontrarse.

90 t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 3 de la tarde .

3 La d istancia recor r ida por cada uno.

e A B = 90 · 6 = 540 km

e B C = 60 · 6 = 360 km

3e r caso

Los móvi les par ten del mismo punto y con e l mismo sentido.

e 1 = e 2

Un coche sa le de la c iudad A a la velocidad de 90 km/h. T res horas más

tarde sale de la misma c iudad otro coche en persecución del pr imero con

una velocidad de 120 km/h. Se p ide:

1 El t iempo que tardará en alcanzar lo.

90t = 120 · ( t − 3 )

90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas

2 La d istancia a la que se produce el encuentro.

e 1 = 90 · 12 = 1080 km

Problemas de gr i fos

En una hora el pr imer gr i fo l lena 1/t1 del depósi to.

En una hora el segundo gr i fo l lena 1/t2 del depósi to.

S i exis te un desagüe

En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósi to.

En una hora los dos gr i fos juntos habrán l lenado:

S in desagüe

Con desagüe

Un gr i fo tarda en l lenar un depósi to tres horas y otro gr i fo tarda en

l lenarlo cuatro horas. ¿Cuán to t iempo tardarán en l lenar los dos gr i fos juntos

e l depósi to?

En una hora el pr imer gr i fo l lena 1/3 del depósi to.

En una hora el segundo gr i fo l lena 1/4 del depósi to.

En una hora los dos gr i fos juntos habrán l lenado:

7x = 12 x = 12/7 horas

Problemas de mezclas

C 1 1ª cantidad. C 1 = x

C 2 2ª cantidad. C 2 = C m - x

Cm Cantidad de la mezcla Cm = C 1 + C 2

P 1 P recio de la 1ª cantidad

P 2 P recio de la 2ª cantidad

Pm P recio de la mezcla

C 1 · P 1 + C 2 · P 2 = C m · P m

También podemos poner los datos en una tabla

Cantidad Precio Coste

1ª sustancia C 1 P 1 C 1 · P 1

2ª sustancia C 2 P 2 C 2 · P 2

Mezcla C 1 + C 2 P C 1 · P 1 + C 2 · P 2

C 1 · P 1 + C 2 · P 2 = (C 1 + C 2 ) · P m

Un comerciante t iene dos clases de café, la pr imera a 40 € e l kg y la

segunda a 60 € e l kg.

¿Cuantos k i logramos hay que poner de cada clase de café para obtener

60 k i los de mezcla a 50 € e l kg?

1ª clase 2ª clase Total

Nº de kg x 60 − x 60

Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600

x = 30; 60 − 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª c lase y o tros 30 de la 2ª clase .

P roblemas de aleaciones

La ley de la aleación es la relación entre el peso del meta l f ino , es deci r ,

más val ioso, y el peso total .

Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, ten iendo en

cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla .

C 1 · L 1 + C 2 · L2 = (C 1 + C 2 ) · La

Se t ienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950.

¿Qué peso hay que tomar de cada l ingote para obtener 1800 g de plata de

ley 0.900?

1ª ley 2ª ley Total

Nº de g x 1800 − x 1800

P lata 0 .750 · x 0 .950 · (1800−x) 0 .900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90 x = 450

1ª ley 450 g

2ª ley 1350 g

Problemas geométr icos con ecuaciones de pr imer grado

Hal la el valor de los tres ángulos de un tr iángulo sabiendo que B mide

40° más que C y que A mide 40° más que B.

C x

B x + 40

A x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;

3x = 60; x = 20

C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º

Ecuaciones de 2º grado

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expres ión de la forma:

ax 2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la s iguiente fórmula:

S i es a<0, mult ipl icamos los dos miembros por (−1) .

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se d ice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando

alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

ax 2 = 0

La solución es x = 0.

ax 2 + bx = 0

Extraemos factor común x:

ax 2 + c = 0

Despejamos:

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado

ax 2 +bx +c = 0

b2 − 4ac se l lama D I SCRI MI NANTE de la ecuación y permite aver iguar en

cada ecuación el número de soluc iones. Podemos d ist ingui r t res casos:

b2 − 4ac > 0

La ecuación t iene dos soluciones, que son números reales dist intos.

b2 − 4ac = 0

La ecuación t iene una solución doble.

b2 − 4ac < 0

La ecuación no t iene soluc iones reales .

Propiedades de las so luciones de la ecuación de 2º grado

La suma de las so luciones de una ecuación de segundo grado es igual

a:

E l producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es

igual a:

Ecuación de 2º grado a par t i r de sus soluciones

S i conocemos las raíces de una ecuación, podemos escr ibi r ésta

como:

S iendo S = x 1 + x 2 y P = x 1 · x 2

Escr ibe una ecuación de segundo grado cuyas soluc iones son: 3 y −2.

S= 3 − 2 = 1

P = 3 · 2 = 6

x 2 − x + 6 = 0

Factor ización de un tr inomio de segundo grado

a x 2 + bx +c = 0

a · (x -x 1 ) · (x -x 2 ) = 0

Resolver las ecuaciones de pr imer grado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

Despejamos la incógnita:

2

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

3

Quitamos paréntes is :

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

4

Quitamos denominadores, para el lo en pr imer lugar hal lamos e l mín imo

común múl t ip lo.

Quitamos paréntes is , agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

5

Quitamos paréntes is y s impl i f icamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos

semejantes:

6

7

8

9

10

11

12

13

Quitamos corchete:

Quitamos paréntes is :

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntes is :

Agrupamos términos:

Sumamos:

Divid imos los dos miembros por: −9

14

15

Problemas de ecuaciones de pr imer grado

1 Un padre t iene 35 años y su h i jo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la

edad del padre tres veces mayor que la edad del h i jo?

2Si a l doble de un número se le resta su mitad resul ta 54. ¿Cuál es el

número?

3 La base de un rectángu lo es doble que su a l tura. ¿Cuá les son sus

d imensiones s i e l per ímetro mide 30 cm?

4En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y tr iple

número de n iños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres,

mujeres y n iños hay s i la reunión la c omponen 96 personas?

5 Se han consumido 7/8 de un b idón de aceite. Reponemos 38 l y e l

b idón ha quedado l leno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del

b idón.

6 Una granja t iene cerdos y pavos , en tota l hay 35 cabezas y 116 patas.

¿Cuántos cerdos y pavos hay?

7Luí s h izo un via je en el coche, en e l cual consumió 20 l de gasol ina. El

t rayecto lo h izo en dos etapas: en la pr imera, consumió 2/3 de la gasol ina

que ten ía el depósi to y en la segunda etapa, la mitad de la gasol ina que le

queda. Se p ide:

1.L i t ros de gasol ina que tenía en e l depósi to.

2. L i t ros consumidos en cada etapa.

8En una l ibrer ía , Ana compra un l ib ro con la tercera parte de su d inero y

un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al sa l i r de la

l ibrer ía tenía 12 €. ¿Cuánto d inero tenía Ana?

9 La dos c i f ras de un número son consecutivas. La mayor es la de las

decenas y la menor la de las un idades. E l número es igual a se is veces la

suma de las c i f ras. ¿Cuál es el número?

10Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15

años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de

la edad del h i jo. Hal lar las edades de ambos.

11T rabajando juntos , dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas.

¿Cuánto t iempo tardarán en hacerlo por separado s i uno es e l doble de

rápido que el otro?

12Hal la el valor de los tres ángulos de un tr iángulo sabiendo que B mide

40° más que C y que A mide 40° más que B.

1

Años x

35 + x = 3 · (5 + x )

35 + x = 15 + 3 · x

20 = 2 · x x = 10

Al cabo de 10 años .

2

3

Al tura x

Base 2x

2 · x + 2 · 2x = 30 2x + 4x = 30 6x = 30 x = 5

Al tura 5 cm

Base 10 cm

4

Hombres x

Mujeres 2x

N iños 3 · (x + 2x) = 3 · 3x = 9x

x + 2x + 9x = 96

12x = 96 x = 8

Hombres 8

Mujeres 2 · 8 = 16

N iños 9 · 8 = 72

5

6

Cerdos x

Pavos 35 − x

4x + 2 · (35 − x) = 116

4x + 70 − 2x = 116

2x = 46 x = 23

Cerdos 23

Pavos 35 − 23 = 12

7

Se p ide:

1.L i t ros de gasol ina que tenía en e l depósi to.

1ª etapa

2ª etapa

2. L i t ros consumidos en cada etapa.

1ª etapa

2ª etapa

8

Tota l x

L ibro

Cómic

9

Un idades x

Decenas x + 1

S i tenemos un número de dos c i f ras, por e jemplo 65 podemos

descomponer lo , de este modo: 6 ·10 + 5 .

Nuestro número de dos c i f ras es: (x +1) · 10 + x.

Como este número es se is veces mayor que la suma de sus c i f ras: x + x +

1 = 2x + 1 , tendremos:

(x +1) · 10 + x = 6 (2x + 1)

10x + 10 + x = 12 x + 6

10 x + x - 12x = 6 - 10

−x = −4 x = 4

Un idades 4

Decenas 4 + 1 = 5

Número 54

10

Juan Padre de Juan

Hace cuatro años x 2x

Hoy x + 4 2x + 4

11

Lento Rápido

T iempo x 2x

Hora de trabajo 1/x 1/2x

Lento 21 horas

Rápido 42 horas

12

C x

B x + 40

A x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;

3x = 60; x= 20

C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º

Problemas de relojes, móvi les, gr i fos y mezclas

1Un relo j marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se

superpondrán las agujas?

2Un relo j marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por

pr imera vez un ángulo recto?

3Dos c iudades A y B d istan 300 km entre s í . A las 9 de la mañana parte

de la c iudad A un coche hacia la c iudad B con una velocidad de 90 km/h, y

de la c iudad B par te otro hacia la c iudad A con una velocidad de 60 km/h.

Se p ide:

1 E l t iempo que tardarán en encontrarse.

2 La hora del encuentro.

3 La d istancia recorr ida por cada uno.

4Dos c iudades A y B d istan 180 km entre s í . A las 9 de la mañana sale de

un coche de cada c iudad y los dos coches van en el mismo sentido. E l que

sa le de A c i rcula a 90 km/h, y e l que sa le de B va a 60 km/h. Se p ide:

1 El t iempo que tardarán en encontrarse.

2 La hora del encuentro.

3 La d istancia recor r ida por cada uno.

5Un coche sale de l a c iudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más

tarde sale de la misma c iudad otro coche en persecución del pr imero con

una velocidad de 120 km/h. Se p ide:

1 El t iempo que tardará en alcanzar lo.

2 La d istancia a la que se produce el encuentro.

6 Un camión sale de una c iudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora

más tarde sale de la misma c iudad y en la misma dirección y sentido un

coche a 60 km/h. Se p ide:

1. T iempo que tardará en alcanzar le.

2. D istancia al punto de encuentro.

7Dos c icl i s tas sa len en sentido contrar io a las 9 de la mañana de los

pueblos A y B s i tuados a 130 k i lómetros de d istancia. E l c icl i s ta que sale de A

pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y e l c icl i s ta que sa le de B, a

20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a qué hora?

8Un gr i fo tarda en l lenar un depósi to tres horas y otro gr ifo tarda en

l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto t iempo tardarán en l lenar los dos gr i fos juntos

e l depósi to?

9Un comerciante t iene dos c lases de café, la pr imera a 40 € e l kg y la

segunda a 60 € e l kg.

¿Cuantos k i logramos hay que poner de cada clase de café para obtener

60 k i los de mezcla a 50 € e l kg?

10Se t ienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950.

¿Qué peso hay que tomar de cada l ingote para obtener 1800 g de p lata de

ley 0.900?

11Un l ingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué cantidad de cobre

puro se habrá de añadir para rebajar su ley a 0.900?

1

x es el arco que descr ibe la aguja horar ia .

(15 + x) es e l arco que descr ibe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s

2

Las agujas del relo j forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco

más, que l lamaremos x.

x es el arco que descr ibe la aguja horar ia .

25 + x, es el arco que descr ibe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del relo j conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16 s.

3

Se p ide:

1 E l t iempo que tardarán en encontrarse.

90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la mañana .

3 La d istancia recorr ida por cada uno.

e A B = 90 · 2 = 180 km

e B C = 60 · 2 = 120 km

4

Se p ide:

1 El t iempo que tardarán en encontrarse.

90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 3 de la tarde .

3 La d istancia recor r ida por cada uno.

e A B = 90 · 6 = 540 km

e B C = 60 · 6 = 360 km

5

Se p ide:

1 El t iempo que tardará en alcanzar lo.

90t = 120 · ( t − 3)

90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas

2 La d istancia a la que se produce el encuentro.

e 1 = 90 · 12 = 1080 km

6

Se p ide:

1. T iempo que tardará en alcanzar le.

e 1 = e 2

40t = 60 (t − 1)

40t = 60t − 60 40t − 60t =− 60 −20t = −60

t = 3h

Como el coche sale una hora más tarde, e l t iempo que tardará en

a lcanzar lo será de 2 horas .

2. D istancia al punto de encuentro.

e 1 = 40 · 3 = 120 km .

7

30t + 20t = 130 50t = 130

t = 130/50 = 2 h 36 min

Se encuentran a las 11h 36 min

e A C = 30 · 130/50 = 78 km

8

En una hora el pr imer gr i fo l lena 1/3 del depósi to.

En una hora el segundo gr i fo l lena 1/4 del depósi to.

En una hora los dos gr i fos juntos habrán l lenado:

7x = 12 x = 12/7 horas

9

1ª clase 2ª clase Total

Nº de kg x 60 − x 60

Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600

x = 30; 60 − 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª c lase y o tros 30 de la 2ª clase .

10

1ª ley 2ª ley Total

Nº de g x 1800 − x 1800

P lata 0 .750 · x 0 .950 · (1800−x) 0 .900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90 x = 450

1ª ley 450 g

2ª ley 1350 g

11

Oro Cobre Total

Nº de g 6 300 x 6 300 + x

Oro puro 0 .950 · 6 300 0 .900 · (6 300 + x)

0.900 · (6 300 + x) = 0.950 · 6 300

5 670 + 0 .900x = 5 985

0.900x = 315 x = 315/0.900 = 350

Cobre 350 g

Proporcional idad

Magni tud

Una magni tud es cualquier propiedad que se puede medir

numér icamente.

La longitud del lado un cuadrado.

La capacidad de una botel la de agua.

E l número de goles marcados en un part ido.

E l número de goles marcados por e l equipo A.

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables

entre s í , expresado como fracción.

Los términos de una razón se l laman: antecedente y consecuente . E l

antecedente es el div idendo y el consecuente es el div isor .

Diferencia entre razón y f racción

La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de al tura y 10 cm de

base es:

No hay que confundir razón con fracción.

S i es una f racción , entonces a y b son números enteros con b≠0,

mientras que en la razón los números a y b pueden ser decimales .

Proporción

Defin ición de proporción

Proporción es una igualdad ent re dos razones.

Constante de proporcional idad

Propiedades de las proporciones

En una proporción del producto de los medios es igual al producto

de los extremos.

En una proporción o en una ser ie de razones iguales, la suma

de los antecedentes div idida entre la suma de los consecuentes es

igual a una cualquiera de las razones .

S i en una proporción cambian entre s í los medios o extremos

la proporción no var ía.

Cuarto, medio y tercero proporcional

Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los términos de una proporción .

Para calcular lo se d iv ide por e l opuesto , e l producto de los otros dos

términos.

Medio proporcional

Una proporción es cont inua s i t iene los dos medios iguales . Para

calcular el medio proporc ional de una proporc ión continua se extrae la

raí z cuadrada del producto de los extremos.

Tercero proporcional

En una proporción continua , se denomina tercero proporc ional a

cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos

iguales, d iv id ido por el término desigual .

Magni tudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, a l mult ipl icar

o div idir una de el las por un número cualquiera, l a otra queda mult ipl icada o

div idida por e l mismo número.

Se establece una relación de propor c ional idad di recta entre dos

magnitudes cuando:

A más cor responde más .

A menos cor responde menos .

Son magnitudes directamente proporcionales , e l peso de un producto y

su precio.

Si 1 kg de tomates cuesta 1 € , 2 kg costarán 2 € y ´ kg costará 50

céntimos.

Es deci r :

A más k i lógramos de tomate más euros.

A menos k i lógramos de tomate menos euros.

También son directamente proporcionales :

E l espacio recor r ido por un móvi l y el t iempo empleado.

E l volumen de un cuerpo y su peso.

La longitud de los lados de un po l ígono y su área.

Aplicaciones de la proporcional idad directa

Regla de tres s imple y directa

Repartos directamente proporcionales

Porcentajes

Regla de tres s imple y directa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes

directamente proporcionales , calcular la cantidad de una de estas

magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la apl icaremos cuando entre las magnitudes se

establecen las relaciones:

A más más .

A menos menos .

Ejemplos

Un automóvi l recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos k i lómetros habrá

recor r ido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a menos horas

recor rerá menos k i lómetros.

240 km 3 h

x km 2 h

Ana compra 5 kg de patatas, s i 2 kg cuestan 0.80 € , ¿cuánto

pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a más k i los,

más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €

Repartos directamente proporcionales

Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo t ipo y una

magnitud to tal , calcu lar la par te correspondiente a cada una de las

magnitudes dadas.

Ejemplo

Un abuelo reparte 450 € entre sus tres n ietos de 8 , 12 y 16 años de edad;

proporc ionalmente a sus edades. ¿Cuánto cor responde a cada uno?

L lamamos x, y , z a las cantidades que le cor responde a cada uno.

1º E l reparto proporc ional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada n ieto recib i rá:

Porcentajes

Un porcentaje es un t ipo de regla de tres directa en el que una de las

cantidades es 100.

Ejemplos de porcentajes

Una moto cuyo precio era de 5.000 € , cuesta en la actual idad 250 € más.

¿Cuál es e l porcentaje de aumento?

5000 € 250 €

100 € x €

E l 5%.

Al adqui r i r un vehículo cuyo precio es de 8800 € , nos hacen un

descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

100 € 7.5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €

También se puede calcular d i rectamente del s iguiente

modo:

100 € 92.5 €

8800 € x €

El precio de un ordenador es de 1200 € s in IVA.

¿Cuánto hay que pagar por él s i e l IVA es del 16%?

100 € 116 €

1200 € x €

Magni tudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al mult ipl icar

o div idir una de el las por un número cualquiera, la otra queda div idida o

mult ipl icada por e l mismo número.

Se establece una relación de proporcional idad inversa entre dos

magnitudes cuando:

A más cor responde menos .

A menos cor responde más .

Son magnitudes inversamente proporcionales , la velocidad y e l t iempo:

A más ve locidad cor responde menos t iempo.

A menos ve locidad corresponde más t iempo.

Un vehículo tarda en real izar un trayecto 6 horas s i su velocidad es de 60

km/h, pero s i doblamos la velocidad el t iempo disminui rá a la mitad. Es deci r ,

s i la velocidad es de 120 km/h e l t iempo del trayecto será de 3 horas.

Aplicaciones de la proporcional idad inversa

Regla de tres s imple inversa

Repartos inversamente proporcionales

Regla de tres s imple inversa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes

inversamente proporcionales , calcular la cantidad de una de estas

magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la apl icaremos cuando entre las magnitudes se

establecen las relaciones:

A más menos .

A menos más .

Ejemplo

Un gr i fo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en l lenar un

depósi to. ¿Cuánto tardaría s i su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a menos l i t ros por

minuto tardará más en l lenar el depósi to .

18 l /min 14 h

7 l /min x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en

construi r lo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a más obreros

tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

Repartos inversamente proporcionales

Dadas unas magni tudes de un mismo t ipo y una magni tud total , debemos

hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magni tudes.

Ejemplo

T res hermanos ayudan al mantenimiento famil iar entregando anualmente

5900 € . S i sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son

inversamente proporc ionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

1º Tomamos los inversos:

2º Ponemos a común denominador :

3º Real izamos un reparto d i rectamente proporc ional a los numeradores:

24 , 20 y 15 .

Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan t res o más

magnitudes , de modo que a part i r de las relaciones establecidas entre las

magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de var ias reglas de tres

s imples apl icadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de

proporcional idad directa o inversa , podemos d ist ingui r t res casos de regla de

tres compuesta :

Regla de tres compuesta d irecta

Ejemplo

Nueve gr i fos abier tos durante 10 horas d iar ias han consumido una

cantidad de agua por valor de 20 €. Aver iguar el precio del ver t ido de 15

gr i fos abier tos 12 horas durante los mismos días.

A más gr i fos , más euros Directa .

A más horas , más euros Directa .

9 gr i fos 10 horas 20 €

15 gr i fos 12 horas x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas d iar ias construyen un muro en 2

d ías. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas d iar ias?

A menos obreros, más d ías Inversa .

A más horas , menos días Inversa .

5 obreros 6 horas 2 d ías

4 obreros 7 horas x d ías

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo

Si 8 obreros real izan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un

muro de 30 m. ¿Cuántos d ías necesi tarán 10 obreros trabajando 8 horas

d iar ias para real izar los 50 m de muro que fa l tan?

A más obreros, menos días Inversa .

A más horas , menos días Inversa .

A más metros , más días Directa .

8 obreros 9 d ías 6 horas 30 m

10 obreros x d ías 8 horas 50 m

Interés s imple

Se l lama interés al benefic io que produce el dinero prestado. Ese

benef ic io es d i rectamente proporc ional a la cantidad prestada y al t iempo

que dura el préstamo.

Concepto Nombre S ímbolo

Cantidad pres tada Capita l C

T iempo del prés tamo T iempo t

Un beneficio por 100 € en un año Rédito r

Beneficio del prés tamo Interés I

S i é l es e l t iempo v iene expresado en meses :

S i e l t iempo v iene expresado en días :

Ejemplos

Hal lar el in terés producido durante c inco años, por un capita l de 30 000

€, a l 6%.

Calcular en qué se convier te, en se is meses, un capital de 10.000 € , a l

3.5%.

¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capital de 25 000 € a l 5%

para que se convier ta en 30.000 €?

E jercicios y problemas de proporcional idad

1Calcular el término desconocido de las s iguientes proporc iones:

1

2

3

4

5

2Dos ruedas están un idas por una cor rea transmisora. La pr imera t iene un

radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la pr imera ha dado 300

vuel tas, ¿cuántas vuel tas habrá dado la segunda?

3Seis personas pueden viv i r en un hotel durante 12 d ías por 792 €.

¿Cuánto costará e l hotel de 15 personas durante ocho días?

4Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de p intura se han p intado 90

m de ver ja de 80 cm de al tura. Calcular cuántos botes de 2 kg de p intura

serán necesar ios para p intar una ver ja s imi lar de 120 cm de al tura y 200

metros de longitud.

511 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de

ancho en 6 d ías. ¿Cuántos obreros serán necesar ios para labrar otro campo

análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en c inco días?

6 Se is gr i fos, tardan 10 horas en l lenar un depósi to de 400 m³ de

capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro gr i fos en l lenar 2 depósi tos de

500 m³ cada uno?

7De los 800 a lumnos de un colegio, han ido de via je 600. ¿Qué

porcentaje de alumnos ha ido de via je?

8Una moto cuyo precio era de 5.000 € , cuesta en la actual idad 250 €

más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

9Al adqui r i r un vehículo cuyo precio es de 8800 € , nos hacen un

descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

10Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del

8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

11 Se vende un ar t ículo con una ganancia del 15% sobre e l precio de

costo. S i se ha comprado en 80 €. Hal la el precio de venta.

12 Cuál será e l precio que hemos de marcar en un ar t ículo cuya compra

ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

13 ¿Qué precio de venta hemos de poner a un ar t ículo comparado a 280

€, para perder el 12% sobre el precio de venta?

14Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra.

Hal lar el precio de venta del c itado ar tículo cuyo valor de compra fue de 150

€.

1

1

2

3

4

5

2

25 cm 300 vuel tas

75 cm x vuel tas

3

6 personas 12 d ías 792 €

15 personas 8 d ías x €

4

½ kg 90 · 0.8 m² 12 botes

2 kg 200 · 1.2 m² x botes

5

220 · 48 m² 6 d ías 11 obreros

300 · 56 m² 5 d ías x obreros

6

6 gr i fos 10 horas 1 depósi to 400 m³

4 gr i fos x horas 2 depósi tos 500 m³

7

800 a lumnos 600 a lumnos

100 a lumnos x a lumnos

8

100 € 7.5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €

También se puede calcular d i rectamente del s iguiente modo:

100 € 92.5 €

8800 € x €

9

100 € 116 €

1200 € x €

10

100 € 92 €

450 € x €

11

100 € 115 €

80 € x €

12

venta compra

100 € 90 €

x € 180 €

13

venta compra

100 € 112 €

x € 280 €

14

100 € 80 €

150 € x €

Ejercicios y problemas de proporcional idad

1Un abuelo reparte 450 € entre sus tres n ietos de 8, 12 y 16 años de

edad; proporc ionalmente a sus edades. ¿Cuánto cor responde a cada uno?

2 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 € . Al cabo de un

año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno s i hacen un

reparto d i rectamente proporc ional a los capita les aportados?

3 Se reparte una cantidad de dinero, entre tres p ersonas, d i rectamente

proporc ional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €.

Hal lar lo que le corresponde a la pr imera y tercera.

4Se reparte d inero en proporc ión a 5, 10 y 13 ; a l menor le cor responden

2500 €. ¿Cuánto cor responde a los ot ros dos?

5T res hermanos ayudan al mantenimiento fami l iar entregando

anualmente 5900 €. S i sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones

son inversamente proporc ionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

6Repart i r 420 € , entre tres n iños en partes inversamente proporc ionales a

sus edades, que son 3 , 5 y 6 .

7¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capita l de 25 000 € a l 5%

para que se convier ta en 30.000 €?

8Se prestan 45 000 € y a l cabo de un año, 4 meses y 20 d ías se rec iben 52

500 €. Calcular el tanto por c iento de interés.

9Hal lar él tanto por c iento de interés s imple al que deberá prestarse un

capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al

capital prestado.

10¿En cuánto t iempo se tr ip l ica un capital colocado al 6%?

1

2

3

4

5

6

7

8

360 + 120 + 20 = 500 d ías

I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €

9

I = C

10

I = 3 · C

E jercicios y problemas in terés

1¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capita l de 25 000 € a l 5%

para que se convier ta en 30.000 €?

2Se prestan 45 000 € y a l cabo de un año, 4 meses y 20 d ías se rec iben 52

500 €. Calcular el tanto por c iento de interés.

3Hal lar él tanto por c iento d e interés s imple al que deberá prestarse un

capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al

capital prestado.

4¿En cuánto t iempo se tr ip l ica un capital colocado al 6%?

5 Hal lar el in terés producido durante c inco años, por un capital de 30

000 € , a l 6%.

6Calcular en qué se convier te, en se is meses , un capital de 10.000 € , a l

3.5%.

7¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capita l de 25 000 € a l 5%

para que se convier ta en 30.000 €?

1

2

360 + 120 + 20 = 500 d ías

I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €

3

I = C

4

I = 3 · C

6

7

S is tema Métr ico Decimal

Medidas y magni tudes

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir

numér icamente .

Medir es comparar una magnitud con otra que l lamamos unidad .

La medida e s e l número de veces que la magnitud contiene a la un idad.

S i queremos medir la longitud de un pasi l lo en pr imer lugar debemos

e legi r la un idad, en este caso la más apropiada ser ía el metro.

E l s is tema métr ico decimal

En e l pasado cada paí s y en algunos casos cada región seguían

un idades de medidas d i ferentes , es ta d ivers idad di f icul tó las relaciones

comerciales entre los pueblo s. Para acabar con esas d i f icul tades en 1792 la

Academia de Ciencias de Par í s propuso e l S istema Métr ico Decimal .

P rogres ivamente fue adoptado por todos los paí ses, a excepción de los

de habla inglesa, que se r igen por el S istema Inglés o S istema Imper ial

Br i tánico .

En España su empleo es of ic ia l desde 1849, aunque sobre todo en el

ámbito agrar io ha coexist ido con las medidas tradicionales .

E l S istema Métr ico Decimal e s un s i stema de un idades en e l cual los

múlt iplos y submúlt iplos de una unidad de medida es tán re lacionadas entre sí

por múlt iplos o submúl t iplos de 10 .

E l S istema Métr ico Decimal lo ut i l i zamos en la medida de las s iguientes

magnitudes :

Longitud.

Masa.

Capacidad.

Super f icie.

Volumen.

Las un idades de t iempo no son del S istema Métr ico Decimal , ya que

están relacionadas entre s í por múl t iplos o submúl t ip los de 60. E l t iempo es

una magnitud del S istema Sexagesimal .

Medidas complejas e incomple jas

Medida compleja

Es aquel la que expresa dist in tas clases de unidades:

3 kg 200 g , 5 km 120 m.

Medida incompleja o s imple

Se expresa únicamente con una clase de unidades.

3.2 kg , 5.12 m.

Paso de medidas complejas a incomplejas

Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar

cada una de las un idades que tenemos en la que queremos obtener como

resul tado f inal .

Pasar a cm: 12 km 5 dam 42 cm.

Paso de medidas incomple jas a comp lejas

Tenemos dos casos:

1º Si queremos pasar a un idades mayores hay que divid i r .

5317 mm

2º Si queremos pasar a un idades menores hay que mul t ipl icar.

2.325 km − 2 km = 0.325 · 1000 = 325

2.325 km= 2 km 325 m

Medidas de longi tud

La unidad pr incipal para medir longi tudes es e l metro .

Ex i s ten otras un idades para medir cantidades mayores y menores, las

más usuales son:

ki lómetro km 1000 m

hectómetro hm 100 m

decámetro dam 10 m

metro m 1 m

decímetro dm 0.1 m

centímetro cm 0.01 m

mi l ímetro mm 0.001 m

Observamos que desde los submúl t iplos, en la parte in fer ior , hasta los

múl t iplos, en la parte super ior , cada unidad vale 10 veces más que la

anter ior .

Por lo tanto, e l problema de convert i r unas un idades en otras se reduce

a mult ipl icar o div idir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares

haya entre e l las.

Pasar 50 m a cm

Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que mult ipl icar

(porque vamos a pasar de una un idad mayor a otra menor) por la unidad

seguida de dos ceros , ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares

de separación .

50 · 100 = 5 000 cm

4385 mm m

Para pasar de mil ímetros a metros tenemos que div idir (porque vamos a

pasar de una un idad menor a otra mayor ) por la unidad seguida de tres

ceros , ya que hay t res lugares de separación.

4385 : 1000 = 4.385 m

Ejemplos

Expresa en metros:

5 km 5 hm 7 dam 5 000 m + 500 m + 70 m = 5 570 m

3 m 2 cm 3 mm 3 m + 0.02 m + 0.003 m = 3.023 m

25.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m

53 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m

1.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m

Otras medidas de longitud

Para medir distancias muy grandes sobre todo en astronomía se ut i l i zan:

Unidad as tronómica

Es la distancia media T ier ra -Sol . Se ut i l i za en la medic ión de órb i tas y

trayector ias dentro del S i stema Solar .

1 UA = 149 597 871 km

E l año-luz

Es igual a la dis tancia recorr ida por la luz en un año solar medio . Se

emplea en astronomía para medir grandes d istancias.

E l año-luz es aproximadamente igual a:

1 año- l uz ≈ 9 461 000 000 000 km

E l pársec

Unidad de medida astronómica correspondiente a la d istancia que

habría a una estre l la que tuvie ra una paralaje de un segundo.

E l pársec es aproximadamente igual a:

1 pársec ≈ 30 857 000 000 000 km

Para medidas microscópicas se ut i l izan :

La micra o micrómetro

Equivale a una mil lonésima par te de un metro .

1 μm = 0.000001 m

E l nanómetro

Uti l i zado para medir la radiación ul travioleta, radiación infrarro ja y la luz.

Recientemente la un idad ha cobrado notor iedad en el estudio de la

nanotecnología , área que estudia mater iales que poseen dimensiones de

unos pocos nanómetros. Equivale a una mil mi l lonésima par te de un metro .

1nm = 0 .000000001m

E l ángstrom

Es la un idad empleada pr inc ipalmente para expresar longitudes de

onda, d istancias moleculares y atómicas. Equivale a una diezmil mi l lonésima

par te de un metro.

1Å = 0 .0000000001 m

Medidas de masa

La unidad pr incipal para medir masas es e l gramo .

Ex i s ten otras un idades para medir cantidades mayores y menores, las

más usuales son:

ki logramo kg 1000 g

hectogramo hg 100 g

decagramo dag 10 g

gramo g 1 g

decigramo dg 0 .1 g

centigramo cg 0.01 g

mil igramo mg 0.001 g

Si queremos pasar de una un idad a otra tenemos que mult ipl icar (s i es

de una un idad mayor a otra menor) o d iv idir (s i es de una un idad menor a

otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre

el las.

Pasar 50 kg a dg.

Tenemos que mult ipl icar , porque el ki logramo es mayor que el

decigramo ; por la un idad seguida de cuatro ceros , ya que hay cuatro lugares

entre ambos.

50 kg · 10 000 = 500 000 dg

Pasar 408 mg a dg

Tenemos que div idir , porque e l mil igramo es menor que el decigramo ,

por la un idad seguida de dos ceros , ya que hay dos lugares entre ambos.

408 : 100 = 4.08 dg

Ejemplos

Expresa en gramos:

5 kg 5 hm 7 dag 5 000 g + 500 g + 70 g = 5 570 g

3 g 2 cg 3 mg 3 g + 0.02 g + 0.003 g = 3.023 g

25.56 dag + 526.9 dg 255.6 g + 52.69 g = 308.29 g

53 600 mg + 9 830 cg 53.6 g + 98.3 g = 151.9 g

1.83 hg + 9.7 dag + 3 700 cg 183 g + 97 g + 37 g = 317 g

Otras un idades de masa

Tonelada métr ica

Se ut i l i za para medir masas muy grandes.

1 t = 1000 kg

Quintal métr ico

Uti l i zado en la agr icul tura.

1 q = 100 kg

Ejemplo

Medidas de capacidad

La un idad pr inc ipal para medir capacidades es el l i t ro .

También existen otras un idades para medir cantidades mayores y

menores:

ki lol i t ro k l 1000 l

hectol i t ro h l 100 l

decal i t ro dal 10 l

l i t ro l 1 l

deci l i t ro dl 0 .1 l

centi l i t ro cl 0 .01 l

mi l i l i t ro ml 0 .001 l

Si queremos pasar de una un idad a otra tenemos que mult ipl icar (s i es

de una un idad mayor a otra menor) o d iv idir (s i es de una un idad menor a

otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre

el las.

Pasar 50 h l a cl

Tenemos que mult ipl icar , porque e l hectol i t ro es mayor que e l centi l i t ro ;

por la unidad seguida de cuatro ceros , ya que hay cuatro lugares entre

ambos.

50 · 10 000 = 500 000 c l

Pasar 2587 c l a l

Tenemos que div idir , porque e l centi l i t ro es menor que e l l i t ro , por la

unidad seguida de dos ceros , ya que hay dos lugares entre am bos.

2587 : 100 = 25.87 l

Ejemplos

Expresa en l i t ros:

5 k l 5 h l 7 dal 5 000 l + 500 l + 70 l = 5 570 l

3 l 2 c l 3 ml 3 l + 0.02 l + 0.003 l = 3.023 l

25.56 dal + 526.9 d l 255.6 l + 52 .69 l = 308.29 l

53 600 ml + 9 830 c l 53 .6 l + 98.3 l = 151.9 l

1.83 h l + 9.7 dal + 3 700 c l 183 l + 97 l + 37 l = 317 l

Medidas de super f ic ie

La un idad fundamental para medir super f ic ies es e l metro cuadrado , que

es la super f icie de un cuadrado que t iene 1 metro de lado.

Otras un idades mayores y menores son:

ki lómetro cuadrado km 2 1 000 000 m 2

hectómetro cuadrado hm 2 10 000 m 2

decámetro cuadrado dam 2 100 m 2

metro cuadrado m 2 1 m 2

decímetro cuadrado dm 2 0 .01 m 2

centímetro cuadrado cm 2 0 .0001 m 2

mi l ímetro cuadrado mm 2 0 .000001 m 2

Observamos que desde los submúl t iplos, en la parte in fer ior , hasta los

múl t iplos, en la parte super ior , cada unidad vale 100 más que la anter ior .

Por lo tanto, e l problema de convert i r unas un idades en otras se reduce

a mult ipl icar o div idir por la unidad seguida de tantos pares de ceros como

lugares haya entre el las.

Pasar 1.5 hm 2 a m 2

Tenemos que mult ipl icar , porque el hm 2 es mayor que el m 2 ; por la

unidad seguida de cuatro ceros , ya que hay dos lugares entre ambos.

1.5 · 10 000 = 15 000 m 2

Pasar 15 000 mm 2 a m 2

Tenemos que div idir , porque el mm 2 es menor que el m 2 , por la unidad

seguida de seis ceros , ya que hay tres lugares entre ambos.

15.000 : 1 000 000 = 0 .015 m 2

Ejemplos

Medidas de super f ic ie agrar ias

Para medir extens iones en el campo se ut i l i zan las l lamadas medidas

agrar ias :

La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.

1 Ha = 1 Hm 2 = 10 000 m²

E l área equivale al decámetro cuadrado.

1 a = 1 dam 2 = 100 m²

La centiárea equivale al metro cuadrado.

1 ca = 1 m²

Expresar en hectáreas:

211 943 a

211 943 : 100 = 2 119.43 ha

356 500 m 2

356 500 : 10 000 = 35.65 hm 2 = 35.65 ha

0.425 km 2

0.425 · 100 = 42.5 hm 2 = 42.5 ha

8 km 2 31 hm 2 50 dam 2

8 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm 2 = 831.5 ha

91 m 2 33 dm 2 10 cm 2 =

91 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=

0.00913310 hm 2 = 0.00913310 ha

Medidas de volumen

La medida fundamental para medir volúmenes es e l metro cúbico .

Otras un idades de volúmenes son:

ki lómetro cúbico km 3 1 000 000 000 m 3

hectómetro cúbico hm 3 1 000 000m 3

decámetro cúbico dam 3 1 000 m 3

metro cúbico m 3 1 m 3

decímetro cúbico dm 3 0 .001 m 3

centímetro cúbico cm 3 0 .000001 m 3

mi l ímetro cúbico mm 3 0 .000000001 m 3

Observamos que desde los submúl t iplos, en la parte in fer ior , hasta los

múl t iplos, en la parte super ior , cada unidad vale 1000 más que la anter ior .

Por lo tanto, e l problema de convert i r unas un idades en otras se reduce

a mult ipl icar o d iv idir por la unida d seguida de tantos tr íos de ceros como

lugares haya entre el las .

Pasar 1.36 Hm 3 a m 3

Tenemos que mult ipl icar , porque e l Hm 3 es mayor que el m 3 ; por la

unidad seguida de seis ceros , ya que hay dos lugares entre ambos.

1.36 · 1 000 000 = 1 360 000 m 3

Pasar 15 000 mm 3 a cm 3

Tenemos que div idir , porque el mm 3 es menor que el cm 3 , por la unidad

seguida de tres ceros , ya que hay un lugar entre ambos.

15 000 : 1000 = 15 cm 3

Ejemplos

Relación entre un idades de capacidad, volumen y masa

Exis te una re lación muy d irecta entre el volumen y capacidad. 1 l es la

capacidad que contiene un recip iente cúbico de 1 dm de ar i sta ; es deci r , la

capacidad contenida en un vo lumen de 1 dm 3 .

También existe una relación entre el volumen y la masa de agua. 1 g

equivale a 1 cm³ de agua pura a 4 °C .

Capacidad Volumen Masa (de agua)

1 k l 1 m³ 1 t

1 l 1 dm 3 1 kg

1 ml 1 cm³ 1 g

Ejemplos

Expresa en l i t ros:

23.2 m 3 =

= 23 200 dm 3 = 13 200 l

0.07 m 3 =

= 70 dm 3 = 70 l

5.2 dm 3 =

= 5.2 l

8 800 cm 3 =

= 8.8 dm 3 = 8 .8 l

Medidas tradic ionales

Medidas de longi tud

La un idad fundamental era la vara , su valor más usado era e l de 83.6

cm.

Otras medidas eran:

Pulgada : aproximadamente 2.3 cm

Palmo = 9 pulgadas, aproximadamente un 20.9 cm.

Pie = 12 pulgadas, aproximadamente 27.9 cm.

Vara = 3 p ies = 4 palmos, aproximadamente 83.6 cm.

Paso = 5 p ies , aproximadamente 1.39 m.

Mil la = 1000 pasos , aproximadamente 1.39 km.

Legua = 4 mi l las, aproximadamente 5.58 km.

Medidas de capacidad

Para l íquidos

Cántara = 16.13 l

Para sól idos

Fanega = 55 .5 l

Medidas de masa

La un idad fundamental era la l ibra , su valor más usado era el de 460 g .

Otras medidas eran:

Onza = ¼ l ib ra, aproximadamente 115 g.

L ibra = 460 g

Arroba = 25 l ib ras, aproximadamente 11.5 kg.

Medidas de super f ic ie

Fanega de t ier ra = 65 áreas = 6 500 m².

S istema Inglés o S is tema Imper ial Br i tán ico

Medidas de longi tud

Pulgada = 2 .54 cm.

Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm.

Yarda = 3 p ies = 91.44 cm.

Braza = dos yardas = 1.829 m.

Mil la ter res tre = 880 brazas = 1.609 k i lómetros.

Mil la náutica = 1 852 m.

Medidas de capacidad

P inta (Gran Bretaña) = 0.568 l .

Pinta (EE .UU. ) = 0 .473 l .

Barr i l = 159 l .

Medidas de masa

Onza = 28.3 g .

L ibra = 454 g.

Medidas de super f ic ie

Acre = 4 047 m².

E jercic ios del s is tema métr ico decimal

1Expresa en metros:

13 km 5 hm 7 dam

27 m 4 cm 3 mm

325.56 dam + 526.9 dm

453 600 mm + 9 830 cm

51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm

2Expresa en l i t ros:

13 k l 5 h l 7 dal

27 l 4 c l 3 ml

325.56 dal + 526.9 d l

453 600 ml + 9 830 c l

51.83 h l + 9.7 dal + 3 700 c l

3Expresa en gramos:

15 kg 3 hg 4 g

24 hg 8 dag 2 g 5 dg

32 dag 3 g 8 dg 7 cg

435 dg 480 cg 2 600 mg

4Expresa en centi l i t ros:

1 3 dal 7 l 5 dl 4 c l 5 ml

2 6 h l 8 l 2 ml

3 0.072 k l + 5.06 dal + 400 ml

4 0.000534 k l + 0.47 l

5Expresa en centígramos:

1 3 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg

2 6 hg 8 g 2 mg

3 0.072 kg + 5 .06 dag + 400 mg

4 0.000534 kg + 0.47 g

6Expresa en metros:

15 km 3 hm 4 m

24 hm 8 dam 2 m 5 dm

32 dam 3 m 8 dm 7 cm

435 dm 480 cm 2 600 mm

1

13 km 5 hm 7 dam 3 000 m + 500 m + 70 m = 3 570 m

27 m 4 cm 3 mm 7 m + 0.04 m + 0.003 m = 7.043 m

325.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m

453 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m

51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m

2

13 k l 5 h l 7 dal 3 000 l + 500 l + 70 l = 3 570 l

27 l 4 c l 3 ml 7 l + 0.04 l + 0.003 l = 7.043 l

325.56 dal + 526.9 d l 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l

453 600 ml + 9 830 c l 53.6 l + 98 .3 l = 151.9 l

51.83 h l + 9.7 dal + 3 700 c l 183 l + 97 l + 37 l = 317 l

3

15 kg 3 hg 4 g 5 000 g + 300 g + 4 g = 5 304 g

24 hg 8 dag 2 g 5 dg 400 g + 80 g + 2 g + 0.5 g = 482.5 g

32 dag 3 g 8 dg 7 cg 20 g + 3 g + 0.8 g + 0 .07 g = 23.87 g

435 dg 480 cg 2 600 mg 3.5 g + 4.8 g + 2.6 g = 10.9 g

4

13 dal 7l 5 d l 4 c l 5 ml

3 000 c l + 700 c l + 50 c l + 4 c l + 0.5 c l = 3 754.5 cl

26 h l 8 l 2 ml

60 000 c l + 800 c l + 0.2 c l= 60 800.2 cl

30.072 k l + 5.06 dal + 400 ml

7 200 c l + 5 060 c l + 40 c l = 12 300 cl

4 0.000534 k l + 0.47 l

53.4 c l + 47 c l = 100.4 cl

5

13 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg

3 000 cg + 700 cg + 50 cg + 4 cg + 0.5 cg = 3 754.5 cg

26 hg 8 g 2 mg

60 000 cg + 800 cg + 0.2 cg = 60 800.2 cg

30.072 kg + 5.06 dag + 400 mg

7 200 cg + 5 060 cg + 40 cg = 12 300 cg

6

15 km 3 hm 4 m 5 000 m + 300 m + 4 m = 5 304 m

24 hm 8 dam 2 m 5 dm 400 m + 80 m+ 2 m + 0.5 m = 482.5 m

32 dam 3 m 8 dm 7 cm 20 m+ 3 m + 0.8 m + 0.07 m = 23.87 m

435 dm 480 cm 2 600 mm 3.5 m + 4.8 m + 2.6 m = 10.9 m

Ejercicios del S is tema Métr ico Decimal

1Pasa a decímetros cuadrados:

10.027 dam 2

20.35 m 2

3438 cm 2

4 90 000 mm 2

2Expresa en metros cuadrados:

15 hm 2 24 dam 2 60 dm 2 72 cm 2

20.00351 km 2 + 4700 cm 2

30.058 hm 2 − 3.321 m 2

3Expresa en hectáreas:

1431 943 a

2586 500 m 2

30.325 km 2

47 km 2 31 hm 2 50 dam 2

551 m 2 33 dm 2 70 cm 2

4Calcula y expresa el resul tado en forma compleja:

10.03598 km 2 + 96 .45 ha + 3 000 a

2 179.72 m 2 − 0.831 dam 2

352 dam 2 31 m 2 500 cm 2

5Pasa a centímetros cúbicos:

15.22 dm 3

2 6 500 mm 3

33.7 d l

425 c l

6Expresa en l i t ros:

113.2 m 3

20.05 m 3

33.9 dm 3

4 7 700 cm 3

7Calcula y expresa el resul tado en metros cúbicos:

1 7 200 dm 3 + (3.5 m 3 4 600 dm 3 )

20.015 hm 3 − (570 m 3 5.3 dm 3 )

1

10.027 dam 2

0.027 · 10 000 = 270 dm 2

20.35 m 2

0.35 · 100 = 35 dm 2

3438 cm 2

438 : 100 = 4 .38 dm 2

490 000 mm 2

90 000 : 10 000= 9 dm 2

2

15 hm 2 24 dam 2 60 dm 2 72 cm 2 =

= 50 000 m 2 + 2 400 m 2 + 0.60 m 2 + 0.0072 m 2 =

= 52400.6072 m 2

20.00351 km 2 + 4 700 cm 2 =

= 3 510 m 2 + 0.47 m 2 = 3510.47 m 2

30.058 hm 2 − 3.321 m 2 =

= 580 m 2 − 3 .321 m 2 = 576.679 m 2

3

1431 943 a

431 943 : 100 = 4 319.43 ha

2586 500 m 2

586 500 : 10 000 = 58.65 hm 2 = 58.65 ha

30.325 km 2

0.325 · 100 = 32.5 hm 2 = 32.5 ha

47 km 2 31 hm 2 50 dam 2

7 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm 2 = 731.5 ha

551 m 2 33 dm 2 10 cm 2 =

51 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=

0.00513310 hm 2 = 0.00513310 ha

4

10.03598 km 2 + 96 .45 ha + 5 000 a =

= 3.5698 hm 2 + 96.45 hm 2 + 50 hm 2 =

= 150.0198 hm 2 = 1 km 2 50 hm 2 1 dam 2 98 m 2

2179.72 m 2 − 0.831 dam 2 =

=176.72 m 2 − 83.1 m 2 = 93.62 m 2 = 93 m 2 62 dm 2

352 dam 2 31 m 2 500 cm 2 =

= 5 200m 2 + 31 m 2 + 0.05 m 2 = 5 231.05 =

= 52 dam 2 31 m 2 5 dm 2

5

10.000005 hm 3

0.000005 · 1 000 000 = 5 m 3

2 52 dam 3

52 · 1000 = 52 000 m 3

3 749 dm 3

749 : 1000 = 0 .749 m 3

4 450 000 cm 3

450 000 : 1 000 000 = 0 .45 m 3

6

1 5.22 dm 3 =

5.22 · 1000 = 5 22 0 cm 3

2 6 500 mm 3

6 500 : 1000 = 6.5 cm 3

3 3.7 d l =

= 3.7 · l 00 = 370 ml = 370 cm 3

4 25 c l =

= 0.25 l = 0.25 dm 3 = 250 cm 3

7

17 200 dm 3 + (3 .5 m 3 4 600 dm 3 ) =

= 7.2 m 3 + 3.5 m 3 + 4 .6 m 3 = 15.3 m 3

20.015 hm 3 − (570 m 3 5.3 dm 3 ) =

= 15 000 m 3 − 570.0053 m 3 = 14 429.9947 m 3

Elementos del plano

Puntos y rectas

Puntos

Un punto no t iene dimensiones .

S i rve para indicar una posic ión.

Se nombran con letras mayúscu las .

Rectas

Una recta t iene una dimensión: longi tud .

Se designan mediante dos de sus puntos o

mediante una letra minúscula . Dos puntos determinan una recta .

Dos rectas que se cor tan determinan un punto .

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrar ios , según

se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda.

Semir rectas

Una semir recta es cada una de las par tes en que queda div idida

una recta por uno cualquiera de sus puntos.

Planos

Un plano posee dos dimensiones: longi tud y anchura.

Se nombran mediante letras gr iegas : α (a l fa), β

(beta). . .

Dos p lanos que se cor tan determinan una recta.

Un plano v iene determinado por :

Tres puntos no al ineados.

Dos rectas que se cor tan .

Dos rectas paralelas .

Por un punto y una recta.

Semiplanos

Un semiplano es cada una de las par tes en que queda

div idido un plano por una cualquiera de sus rectas.

Posiciones relat ivas de rectas en un plano

Rectas paralelas

Son las que estando en el mismo plano, no son

secantes.

Rectas secantes

Son las que se cor tan en un único punto , l lamado punto de

intersección.

Rectas coincidentes

Son aquel las en las que todos sus puntos se superponen.

Rectas perpendiculares

Son dos rectas secantes que div iden un plano en cuatro par tes

iguales .

Segmentos

Definición de segmento

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

Tipos de segmentos

Segmento nulo

Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Segmentos consecutivos

Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.

Segmentos alineados o adyacentes

Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma

recta.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es

perpendicular a él.

Operaciones con segmentos

Suma de segmentos

La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y

como final el final del segundo segmento.

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo

forman.

Resta de segmentos

La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por

final el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos.

Producto de un número por un segmento

El producto de un número con un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento

tantas veces como indica el número por el que se multiplica.

La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.

División de un segmento por un número

La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese número da

como resultado el segmento original.

La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.

División de un segmento en partes

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a

partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B

con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3

partes iguales en que se divide.

Ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semir rectas con

or igen común. A las semir rectas se las l lama lados y al or igen común vér t ice.

Medic ión de ángulos

Para medir ángulos ut i l i zamos e l grado sexages imal (°)

Grado sexagesimal es la ampli tud del ángulo resul tante de div idir la

circunferencia en 360 par tes iguales.

1º = 60 ' = 3600' '

1' = 60 ' '

Radián

Radián ( rad) es la medida del ángulo central de una c ircunferencia cuya

longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

1 rad= 57° 17 ' 44.8 ' '

360º = 2 rad

Operaciones con ángulos

Suma de ángulos

Gráfica

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya ampli tud es la suma de las

ampli tudes de los dos ángulos in iciales .

Numér ica

1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados , los

minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos ; y se

suman .

2º S i los segundos suman más de 60 , se div ide d icho número entre 60 ; e l

resto serán los segundos y e l cociente se añadirán a los minutos .

3º Se hace lo mismo para los minutos.

Resta de ángulos

Gráfica

La resta de dos ángulos es ot ro ángulo cuya ampl i tud es la di ferencia

entre la ampli tud del ángulo mayor y la del ángulo menor .

Numér ica

1º Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados , los

minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos .

2º Se restan los segundos . Caso de que no sea posib le, convert imos un

minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del

minuendo. A continuación restamos los segundos.

3º Hacemos lo mismo con los minutos.

Mult ipl icación de ángulos

Gráfica

La mult ipl icación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya

ampli tud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el

número .

Numér ica

1º Mul t ipl icamos los segundos, minutos y grados por el número.

2º Si los segundos sobrepasan los 60 , se d iv ide d icho número entre 60; e l

resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3º Se hace lo mismo para los minutos.

Divis ión de ángulos

Gráfica

La div is ión de un ángulo por un número es hal lar otro ángulo ta l que

mul t ipl icado por ese número da como resul tado el ángulo or ig inal .

:4 =

Numér ica

Divid i r 37º 48' 25' ' entre 5

1º Se d iv iden los grados entre e l número.

2º El cociente son los grados y e l resto, mul t ip l icando por 60, los minutos.

3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo

proceso con los minutos.

4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se d iv iden los

segundos.

T ipos de ángulos

Clasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360°

Negativo < 0º Mayor de 360°

Tipos de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un

lado común.

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado

común, y los otros lados situados uno en polongación del otro. Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de

los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.

Clases de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Ángulos correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.

Ángulos alternos internos

Los ángulos 2 y 3 son iguales.

Ángulos alternos externos

Los ángulos 1 y 4 son iguales.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos

radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a

ella. Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semi-inscripto

El vértice de ángulo semi-inscripto está en la circunferencia, un lado secante y el

otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de

la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o

uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la

circunferencia.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

B isectr iz

Definición de bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos

iguales.

Trazar la bisectriz

1º Se traza un arco correspondiente al ángulo

2º Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos

que han de cortarse en un punto.

3º La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.

Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo

1.Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.

2.Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos

circunferencias con el mismo radio.

3.La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es

la bisectriz.

Incentro

El incentro es el punto de corte de las tres bisetrices de un triángulo.

El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Pol ígonos

Defin ición

Un pol ígono es la región del plano l imi tada por t res o más segmentos.

E lementos de un pol ígono

Lados

Son los segmentos que lo l imi tan.

Vért ices

Son los puntos donde concurren dos lados.

Ángulos in ter iores de un pol ígono

Son los determinados por dos lados consecutivos .

Suma de ángulos inter iores de un pol ígono

S i n es el número de lados de un pol ígono:

Suma de ángulos de un pol ígono = (n − 2) · 180°

Diagonal

Son los segmentos que determinan dos vér t ices no consecutivos

Número de diagonales de un pol ígono

S i n es el número de lados de un pol ígono:

Número de diagonales = n · (n − 3) : 2

4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9

T ipos de pol ígonos

Según sus lados

Triángulos

Tienen 3 lados.

Cuadriláteros

Tienen 4 lados.

Pentágonos Tienen 5 lados.

Hexágonos

Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados.

Octágonos

Tienen 8 lados.

Eneágono

Tiene los 9 lados.

Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 lados.

Dodecágono

Tiene 12 lados.

Tridecágono

Tienen 13 lados.

Tetradecágono

Tiene 14 lados.

Pentadecágono

Tiene 15 lados.

Hexadecágono

Tiene 16 lados.

Heptadecágono

Tiene 17 lados.

Octadecágono

Tiene 18 lados.

Eneadecágono

Tienen 19 lados.

Icoságono

Tiene 20 lados.

Según sus ángulos

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos

Si un ángulo mide más de 180°. Si una de sus diagonales es exterior.

E lementos de un pol ígono regular

Pol ígonos regulares

Un pol ígono regular es el que t iene sus ángulos iguales y sus lados

iguales .

E lementos de un pol ígono regu lar

Centro

Punto inter ior que equid ista de cada vért ice

Radio

Es e l segmento que va del centro a cada vért ice.

Apotema

Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un pol ígono regu lar

Clases de ángulos de un pol ígono regular

Ángulo central de un pol ígono regular

Es el formado por dos radios consecut ivos.

S i n es e l número de lados de un pol ígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

Ángulo inter ior de un pol ígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo inter ior =180° − Ángulo central

Ángulo inter ior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exter ior de un pol ígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exter iores e inter iores son suplementar ios , es deci r , que

suman 180º .

Ángulo exter ior = Ángulo central

Ángulo exter ior del pentágono regular = 72º

Clasi f icación de pol ígonos regulares

Tr iángulo equi lá tero

T iene los 3 lados y ángulos iguales.

Cuadrado

T iene 4 lados y ángulos iguales .

Pentágono regular

T iene 5 lados y ángulos iguales .

Hexágono regular

T iene 6 lados y ángulos iguales .

Heptágono regular

T ienen 7 lados y ángulos iguales.

Octágono regu lar

T iene 8 lados y ángulos iguales .

Eneágono regu lar

T iene los 9 lados y ángulos iguales.

Decágono regu lar

T iene 10 lados y ángulos iguales.

Endecágono regular

T iene 11 lados y ángulos iguales.

Dodecágono regular

T iene 12 lados y ángulos iguales.

T r idecágono regular

T ienen 13 lados y ángulos iguales.

Tetradecágono regular

T iene 14 lados y ángulos iguales.

Pentadecágono regular

T iene 15 lados y ángulos iguales.

Hexadecágono regular

T iene 16 lados y ángulos iguales.

Heptadecágono regular

T iene 17 lados y ángulos iguales.

Octadecágono regu lar

T iene 18 lados y ángulos iguales.

Eneadecágono regular

T ienen 19 lados y ángulos iguales.

Icoságono regular

T iene 20 lados y ángulos igual es.

Pol ígono inscr ipto

Un pol ígono es tá inscr ip to en una c ircunferencia s i todos sus vér t ices

están contenidos en el la .

Circunferencia circunscr pi ta

Es la que toca a cada vér t ice del pol ígono

Su centro equid ista de todos los vér t ices.

Su radio es el radio del pol ígono.

Circunferencia inscr ip ta

Es la que toca al pol ígono en e l punto medio de cada lado.

Su centro equid ista de todos los lados.

Su radio es la apotema del pol ígono.

T ipos de tr iángulos

Un triángulo es un polígono con tres lados.

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Tipos de triángulos

Según sus lados

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

Según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto

El lado mayor es la hipotenusa.

Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Al turas , medianas, mediatr ices y b isectr ices de un tr iángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su

prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el

vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.

Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.

Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

Cuadr i láteros

Defincion de cuadr i lá tero

Los cuadr i lá teros son pol ígonos de cuatro lados .

La suma de los ángulos inter iores de un cuadr i látero es igual a 360°.

Clasi f icación de cuadr i láteros

Paralelogramos

Cuadr i láteros que t ienen los lados paralelos dos a dos . Se clasi f ican en:

Cuadrado

T iene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo

T iene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

Rombo

T iene los cuatro lados iguales .

Romboide

T iene lados iguales dos a dos.

T rapecios

Cuadr i láteros que t ienen dos lados paralelos, l lamados base mayor y

base menor . Se clas i f ican en:

Trapecio rectángulo

T iene un ángulo recto.

Trapecio isósceles

T iene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

No t iene ningún lado igual n i ángulo recto.

Trapezoides

Cuadr i láteros que no t iene ningún lado igual n i

paralelo .

Áreas f iguras planas

Cuadrado y rectángulo

Perímetro de un polígono

Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono

Área

Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana

Área de un cuadrado

Área de un rectángulo

Áreas del rombo y romboide

Área de un rombo

Área de un romboide

P = 2 · (a + b) A = b · h

P = 2 · (4.5 + 4) = 17 cm A = 4 · 4 = 16 cm2

Áreas del t rapecio y el t r iángu lo

Área de un trapecio

Área de un triángulo

Área de un pol ígono

Área de un polígono

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos

triángulos.

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

AD = BC; AB = DC Romboide

P = 13 + 11 + 12 + 5 + 11= 52 cm

A = A R + A T

A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2 = 162 cm2

Área de un polígono regular

Áreas de pol ígonos. E jercicios

1Un campo rectangular t iene 170 m de base y 28 m de a l tura. Calcular :

1Las hectáreas que t iene.

2El precio del campo s i e l metro cuadrado cuesta 15 €.

2 En e l centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una p isc ina

también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín .

3 Hal lar el área de un tr iángulo rectángulo i sósceles cuyos lados miden

10 cm cada uno.

4 Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta para

desarrol larse 4 m².

5 E l área de un t rapecio es 120 m², la al tura 8 m, y la base menor mide 10

m. ¿Cuánto mide la otra base?

6 Calcula el área del cuadrado que resul ta de un i r los puntos medios de

los lados de un rectángulo cuya base y a l tura miden 8 y 6 cm.

7 Calcular el área de un parale logramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces más que su a l tura.

8 Cuánto vale e l área de la parte subrayada de la f igura, s i e l área del

hexágono es de 96 cm².

9 Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor .

10 Una zona boscosa t iene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m

y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de

ancho perpendicular a las dos bases . Calcula el área de la zona arbolada

que queda.

1

Calcular :

1Las hectáreas que t iene.

A = 170 · 28 = 4 760 m²

4 760 : 10 000 = 0 . 476 ha

2El precio del campo s i e l metro cuadrado cuesta 15 €.

4 760 · 15 = 71 400 €

2

AP = 25 2 = 625 m²

AJ = 150 2 − 625 = 21 875 m²

3

A = (10 · 10) : 2 = 50 cm²

4

A = 32 · 30 = 960 m²

960 : 4 = 240 árboles

5

6

7

h = 2 cm

b = 2 · 3 = 6 cm

A = 2 · 6 = 12 cm²

8

96 : 6 = 16 cm² 16 · 2 = 32 cm²

9

D = 10 cm

d = 10 : 2 = 5 cm

A = (10 · 5) : 2 = 25 cm²

10

A Z = A T r a p e c i o − AC a m i n o

Áreas. Evaluación

Examen

1 Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se

necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de base y 3 m de

a l tura.

2Un jardín rectangular t iene por d imensiones 30 m y 20 m. E l ja rdín está

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno t iene

un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín .

3 E l per ímetro de un tr iángulo equi látero mide 0.9 dm y la a l tura mide

25.95 cm. Calcula el área del t r iángulo .

4 Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del

segmento BC, con e l vér t ice D. Calcular el área del t rapecio formado.

5 Calcula la cantidad de p intura necesar ia para p intar la fachada de

este edi f ic io sabiendo que se gastan 0.5 kg de p intura por m 2 .

1

A S = 4 · 3 = 12 m 2 = 120 000 cm²

AB = 10 · 10 = 100 cm²

120 000 : 100 = 1 200 baldosas

2

8 dm = 0.8 m

h = 20 - 0 .8 = 19.2 m

7 dm = 0.7 m

b = 30 - 0 .7 = 29.3m

A J = 19 .2 · 29.3 = 562.56 m²

3

P = 0.9 dm = 90 cm

l = 90 : 3 = 30 cm

A = (30 · 25 .95) : 2 = 389.25 cm²

4

5

Circunferencia

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un

punto fijo llamado centro.

Centro de la circunferencia

Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia

Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Elementos de la circunferencia

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele

asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Círculo

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

Elementos de un círculo

Segmento circular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la

mitad del círculo.

Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

Sector circular

Porción de círculo limitada por dos radios.

Corona circular

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

Trapecio circular

Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

Posiciones relat ivas de circunferencias

Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

Interior

Su distancia al centro es menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

Su distancia al centro es mayor que el radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Recta secante

La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente

La recta corta a la circunferencia en un punto.

Recta exterior

No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias

Ningún punto en común

Exteriores

La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.

Interiores

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

Concéntricas

Los centros coinciden.

Un punto común

Tangentes exteriores

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

Tangentes interiores

La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

Dos puntos en común

Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos

radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a

ella. Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro

tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la

suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o

uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que

abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Áreas

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Área de un círculo

Área de un sector circular

Área de una corona circular

Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

Área de un trapecio circular

Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo

AOB

Lúnula de Hipócrates

Construcción de una lúnula de Hipócrates

Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.

Con centro en O se traza el arco AB.

Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco.

La parte enmarcada por el color verde se llama lúnula de Hipócrates .

Área de la lúnula

Circunferencia y círculo. E jercicios

1 La rueda de un camión t iene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recor r ido el

camión cuando la rueda ha dado 100 vuel tas?

2 Un faro bar re con su luz un ángulo plano de 128°. S i e l alcance máximo

del faro es de 7 mil las, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco

cor respondiente?

1 mi l la = 1 852 m

3 La longitud de una c ircunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es e l área del

c í rculo?

4 El área de un sector c i rcular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del

círculo al que pertenece y la longitud de la c ircunferencia.

5 Hal lar el área de un sector c ircular cuya cuerda es el lado del tr iángulo

equi látero inscr i to, s iendo 2 cm el radio de l a c i rcunferencia.

6 Dadas dos c i rcunferencias concéntr icas de radio 8 y 5 cm,

respectivamente, se trazan los radios OA y OB , que forman un ángulo de 60°.

Calcular el área del trapecio ci rcular formado.

7 En un parque de forma c i rcular de 700 m de radio hay s ituada en el

centro una fuente, también de forma c i rcular , de 5 m de radio. Calcula el

área de la zona de paseo.

8La superf ic ie de una mesa está formada por una parte central

cuadrada de 1 m de lado y dos semic í rculos adosados en dos lados opuestos.

Calcula el área.

9Calcula el área de la parte sombreada, s i e l radio del cí rculo mayor

mide 6 cm y el radio de los cí rculos pequeños miden 2 cm.

10 Calcula el área de la parte sombreada, s iendo AB = 10 cm, ABCD un

cuadrado y APC Y AQC arcos de c i rcunferenci a de centros B y D.

1

r = 90 : 100 = 0.9 m

L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m

5.65 · 100 = 565 m

2

1 mi l la = 1 852 m

3

4

5

6

7

8

9

10

La parte sombreada se compone de dos segmentos c i rculares.

Área del segmento circular = Área del sector ci rcular − Área del

t r iángulo .

Circunferencia y círculo . E jercicios

1 Ana se ha montado en el cabal lo que está a 3.5 m del centro de una

p lataforma que gi ra y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a

2 m del centro. Calcular el camino recor r ido por cada una cuando la

p lataforma ha dado 50 vuel tas.

2 Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden descr ib i r

como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recor r ido por el as iento

del columpio cuando el ángulo descr i to en su balanceo es el máximo.

3 Hal lar el área del sector c i rcular cuya cuerda es el lado del cuadrado

inscr i to, s iendo 4 cm el radio de la c i rcunferencia.

4 Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6

cm y el radio del cí rculo mide 3 cm.

5 En una plaza de forma c i rcular de radio 250 m se van a poner 7 farolas

cuyas bases son cí rculos de un 1 m de radio, e l resto de la plaza lo van a

ut i l i zar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

1

2

3

4

5

Cuerpos

Áreas y volúmenes

Tetraedro

Área y volumen del tetraedro

Como un tetraedro está formado por 4 triángulos equilaláteros, podemos hallar el área de un

triángulo equilátero y multiplicar por 4 para obtener el área del tetraedro.

Área del triángulo equilátero

Octaedro. Icosaedro

Área y volumen del octaedro

Área y volumen del icosaedro

Dodecaedro

Área del pentágono regular

Área y volumen del dodecaedro

Cubo. Or toedro

Área y volumen del cubo

Área y volumen del ortoedro

P r i sma. P irámide

Área y volumen del pr isma

Área y volumen de la pirámide

Área y volumen del tronco de p i rámide

Es e l cuerpo geométr ico que resul ta a l cortar una p i rámide por un p lano paralelo

a la base y separar la parte que contiene al vér t ice.

La sección determinada por e l corte es la base menor .

Las caras laterales son trapecios i sósceles.

Las apotemas son las a l turas de los trapecios i sósceles.

La a l tura es la d istancia entre las bases.

Pi rámide def ic iente es la parte de la p i rámide determinada por la base menor y el

vér t ice.

Cil indro. Cono. Tronco de cono

Área y volumen del ci l indro

Área y volumen del cono

Área y volumen del tronco de cono

Esfera. Huso. Cuña

Área y volumen de la esfera

Área del huso esfér ico y volumen de la cuña esfér ica

Casquete. Zona

Área y volumen del casquete esfér ico

Área y volumen de la zona esfér ica

Ejercicios de áreas y vo lúmenes I

1Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que

t iene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de al to.

2Una p isc ina t iene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad.

Se p inta la p isc ina a razón de 6 € e l metro cuadrado.

1Cuánto costará p intar la.

2Cuántos l i t ros de agua serán necesar ios para l lenarla.

3En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de

a l to queremos almacenar cajas de d imensiones 10 dm de largo, 6 dm de

ancho y 4 dm de al to. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?

4Determina el área tota l de un tetraedro , un octaedro y un icosaedro de

5 cm de ar i sta.

5 Calcula la al tura de un pr isma que t iene como área de la base 12 dm 2

y 48 l de capacidad.

6 Calcula la cantidad de hojalata que se necesi tará para hacer 10 botes

de forma c i l índr ica de 10 cm de diámetro y 20 cm de a l tura.

7Un ci l indro t iene por a l tura la misma longitud que la c i rcunf erencia de

la base. Y la al tura mide 125.66 cm. Calcular :

1 El área tota l .

2 El volumen

8En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de h ielo de 4

cm de ar i sta. ¿A qué a l tura l legará el agua cuando se der r i tan?

9 La cúpula de una catedral t ie ne forma semiesfér ica , de d iámetro 50 m.

Si restaurar la t iene un coste de 300 € e l m 2 , ¿A cuánto ascenderá el

presupuesto de la restauración?

10¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesi tan para

recubr i r las caras de una p isc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m

de profundidad?

11Un recip iente c i l índr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena

de agua. S i la masa del rec ip iente l leno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del

rec ip iente vacío?

12Para una f iesta, Luí s ha hecho 10 gor ros de forma cónica con cartón.

¿Cuánto cartón habrá ut i l i zado s i las d imensiones del gor ro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z?

13Un cubo de 20 cm de ar i sta está l leno de agua. ¿Cabría esta agua en

una esfera de 20 cm de radio?

1

2

3

4

5

6

7

1 El área tota l .

2 El volumen

8

9

10

11

12

13

Ejercicios de áreas y vo lúmenes I I

1Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de ar ista.

2Calcular la diagonal , e l área lateral , e l área total y e l volumen de un

cubo de 5 cm de ar ista

3Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de ar ista.

4Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de ar ista ,

sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

5Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de ar i sta.

6Calcula el área lateral , el área to tal y el volumen de un pr isma cuya

base es un rombo de de diagonale s 12 y 18 cm.

7Calcula el área lateral , total y el volumen de una pirámide

cuadrangular de 10 cm de ar i sta básica y 12 cm de al tura.

8Calcula el área lateral , total y el volumen de una pirámid e hexagonal

de 16 cm de ar i sta básica y 28 cm de ar i sta lateral .

9Calcular el área lateral , e l área tota l y e l volumen de un t ronco de

pirámide cuadrangular de ar i stas básicas 24 y 14 cm, y de ar i sta lateral 13

cm.

10Calcula el área latera l , total y el volumen de un cono cuya generatr iz

mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

11Calcula el área lateral , to tal y el volumen d e un cono cuya altura mide

4 cm y e l radio de la base es de 3 cm.

12Calcular el área lateral , el área tota l y el volumen de un t ronco de

cono de radios 6 y 2 cm, y de a l tura 10 cm.

13Calcular el área lateral , el área tota l y el volumen del t ronco de cono

de radios 12 y 10 cm, y de generatr i z 15 cm.

14Calcular el área del cí rculo resul tante de cortar una esfera de 35 cm

de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21

cm.

15Calcular el área y el volumen de una esfera inscr i ta en un c i l indro de 2

m de al tura.

16Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

17Calcula e l área y e l volumen del s iguiente casquete es fér ico .

18Calcular e l área y e l volumen de una zona esfér ica cuyas

c i rcunferencias t ienen de radio 10 y 8cm, y la d istancia entre el las es de 5

cm.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Gráf icas y funciones

Coordenadas en el plano

Para representar los puntos en el plano, necesi tamos dos rectas

perpendiculares, l lamados ejes car tes ianos o e jes de coordenadas :

E l eje hor i zontal se l lama eje X o eje de abscisas .

E l eje ver t ical se l lama eje Y o eje de ordenadas.

E l punto O , donde se cortan los dos e jes , es e l or igen de coordenadas .

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y) .

La pr imera coordenada se mide sobre el e je de abscisas, y se la

denomina coordenada x del punto o abscisa del punto .

La segunda coordenada se mide sobre el e je de ordenadas, y se le l lama

coordenada y del punto u ordenada del punto .

Representación gráf ica de puntos

Los ejes de coordenadas div iden al plano en cuatro par tes iguales y a cada una

de el las se les l lama cuadrante.

S ignos

Abscisa Ordenada

1e r cuadrante + +

2º cuadrante − +

3e r cuadrante − −

4º cuadrante + −

E l or igen de coordenadas, O, t iene de coordenadas: O(0, 0) .

Los puntos que están en el eje de ordenadas t ienen su abscisa igual a 0.

Los puntos s i tuados en el e je de abscisas t ienen su ordenada igual a 0.

Los puntos s i tuados en la misma l ínea hor izontal (paralela al eje de abscisas)

t ienen la misma ordenada.

Los puntos s i tuados en una misma l ínea ver t ica l (paralela al e je de ordenadas)

t ienen la misma abscisa.

Ejercicio

Representa en los ejes de coo rdenadas los puntos :

A(1, 4) , B(-3, 2) , C(0, 5) , D(-4, -4) , E(-5, 0) , F(4, -3) , G(4, 0) , H(0, -2)

Tablas de valores

Una tabla es una representación de datos, mediante pares ordenados,

expresan la relac ión existente entre dos magni tudes o dos s i tuaciones .

La s iguiente tabla dos muestra la var iación del precio de las patatas,

según e l número de k i logramos que compremos.

Kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10

La s iguiente tabla nos indica e l número de alumnos que consiguen una

determinada nota en un examen.

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de

alumnos

1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

Representación gráf ica

Una gráf ica es la representación en unos e jes de coordenadas de los

pares ordenados de una tabla.

Las gráf icas descr iben relaciones entre dos var iables.

La var iable que se representa en el eje hor izontal se l lama var iable

independiente o var iable x .

La que se representa en el eje ver t ical se l lama var iable dependiente o

var iable y .

La var iable y está en función de la var iable x.

Una vez real izada la gráf ica podemos estudiar la, anal izar la y extraer

conclus iones.

Para interpretar una gráf ica, hemos de observar la de izquierda a

derecha, anal izando cómo var ía la var iable dependiente, y , a l aumentar la

var iable independiente, x.

Kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10

En esa gráf ica podemos observar que a medida que compramos más

k i los de patatas e l precio se va incrementando.

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de

alumnos

1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

En esta gráf ica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen

una nota comprendida entre 4 y 7.

Caracter ís t icas de las gráf icas

Gráf ica creciente

Una gráf ica es creciente s i a l aumentar la var iable independiente

aumenta la otra var iable.

Gráfica decreciente

Una gráf ica es decreciente s i a l aumentar la var iable independiente

d isminuye la otra var iable.

Gráfica cons tante

Una gráf ica es constante s i a l var iar la var iable independiente la otra

permanece invar iable.

Una gráf ica puede tener a la vez par tes crecientes y decrecientes.

Concepto de función

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a

cada valor de la pr imera le corresponde un único valor de la segunda,

l lamada imagen.

E l precio de un via je en taxi v iene dado por :

y = 3 + 0.5 x

Siendo x e l t iempo en minutos que dura el v ia je.

Como podemos observar la función relac iona dos var iables. x e y.

x es la var iable independiente .

y es la var iable dependiente (depende de los minutos que dure e l v ia je).

Las funciones se representan sobre unos e jes cartes ianos para estudiar

mejor su comportamiento.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

Función l ineal

La función l ineal es del t ipo:

y = mx

Su gráf ica es una l ínea recta que pasa por el or igen de coordenadas.

y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente

La pendiente es la incl inación de la recta con respecto al eje de

abscisas.

S i m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte

posi t iva del e je OX es agudo .

S i m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la

parte posi t iva del e je OX es obtuso .

Función af ín

La función af ín es del t ipo:

y = mx + n

m es la pendiente. Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente .

n es la ordenada en el or igen y nos indica el punto de corte de la recta

con el e je de ordenadas.

Función cons tante

La función constante es del t ipo:

y = n

E l c r i ter io v iene dado por un número real .

La pendiente es 0.

La gráf ica es una recta hor izontal paralela a al eje de abscisas .

Representación gráf ica de funciones

Gráfica de una fución

La gráf ica de una función es tá formada por el conjunto de puntos (x, y)

cuando x var ía en el dominio D.

gráf ica ( f) = { (x , f(x)) / x D}

Para representar la calcularemos aquel los puntos o intervalos donde la

función t iene un comportamiento especial , que determinaremos mediante el

estudio de los s iguientes apartados:

1. Dominio de una función.

2 . S imetr ía.

3 . Per iodic idad.

4 . Puntos de cor te con los ejes.

5 . Asíntotas.

6 . Ramas paraból icas.

7 . Crecimiento y Decrecimiento.

8 . Máximos y mínimos.

9 . Concavidad y convexidad.

10. Puntos de in f lexión .

Ejemplo de representación de una función

Dominio

S imetr ía

S imetr ía respecto al or igen.

x-intercept

Punto de cor te con OX :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

No t iene asín to tas ver t ica les ni obl icuas .

Crecimiento y decrecimiento

Mínimos

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

Dominio de una función

E l dominio de una función es tá formado por todos los elementos que

t ienen imagen.

D = {x / f (x)}

Cálculo del dominio de una función

Dominio de la función pol inómica

E l dominio de una función pol inómica es

f (x )= x 2 - 5x + 6 D=R

Dominio de la función racional

E l dominio es menos los valores que anulan al denominador .

Dominio de la función radical de índ ice impar

E l dominio es R.

Dominio de la función radical de índ ice par

E l dominio es tá formado por todos los valores que hacen que e l

radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logar í tmica

E l dominio es tá formado por todos los valores que hacen que e l

radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

D =

Dominio de la función seno

D = .

Dominio de la función coseno

D = .

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

S imetr ía de una función

S imetr ía respecto del eje de ordenadas

Una función f es s imétr ica respecto del e je de ordenadas s i ésta es una

función par , es deci r :

f (-x) = f(x)

S imetr ía respecto al or igen

Una función f es s imétr ica respecto a l or igen s i ésta es una función

impar , es deci r :

f (-x) = - f(x)

Funciones per iódicas

Per iodicidad de una función

Una función es per iódica cuando:

La función se repite de T en T , s iendo T el per íodo .

La función f(x) = x − E(x) , es per iódica de per iodo 1.

sen (x + 2π) = sen x

En e l caso de la función seno T = 2π

tg (x + π) = tg x

En e l caso de la función tangente T = π

S i f es per iódica de per íodo T , también lo es f(mx +n), y su per íodo es

T/m.

Ejemplos

Hal lar el per iodo de las funciones:

1f(x) = sen 2x

2f(x) = tg (1/2)x

3f(x) = E (1/2)x

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con el eje OX

Para hal lar los puntos de cor te con e l eje de abscisas hacemos y = 0 y

resolvemos la ecuación resu l tante.

Ejemplo

Hal lar los puntos de cor te con el eje OX de la función:

Punto de cor te con el eje OY

Para hal lar el punto de cor te con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y

calculamos e l valor de f (0) .

Ejemplo

Hal lar el punto de cor te con el ejes OY de la función:

Ejemplo de puntos de cor te con los ejes

Hal lar los puntos de cor te con los ejes de la func ión:

Asíntotas

Las asínto tas son rectas a las cuales la función se va acercando

indefin idamente . Hay tres t ipos de as intotas:

Asíntotas hor izonta les

Ejemplo

Calcular las asínto tas hor izonta les de la función:

Asíntotas ver t icales

Consideramos que el resul tado del l ímite es ∞ s i tenemos un número real

part ido por cero.

K son los puntos que no per tenecen al dominio de la función (en las

funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asínto tas hor izonta les y ver t icales de la función:

Asíntotas obl icuas

Sólo hal laremos las asíntotas obl icuas cuando no haya asín totas

hor izontales .

Ejemplo

Calcular las asínto tas de la función:

Asíntotas hor izonta les

Asíntotas ver t icales

Asíntotas obl icuas

Ramas paraból icas

Las ramas paraból icas se estud ian sólo s i :

Rama paraból ica en la dirección del eje OY

Se d ice que f t iene una rama paraból ica en la dirección del eje OY

cuando:

Esto quiere decir que la gráf ica se comporta como una parábola de e je

ver t ical .

Ejemplo

Estudiar las ramas paraból icas de la función:

T iene una rama paraból ica en la dirección del eje OY .

Rama paraból ica en la dirección del eje OX

Se d ice que f t iene una rama paraból ica en la dirección del eje OX

cuando:

Esto quiere decir que la gráf ica se comporta como una parábola de e je

hor izontal .

Ejemplo

Estudiar las ramas paraból icas de la función:

T iene una rama paraból ica en la dirección del eje OX .

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento en un punto

Si f es der ivable en a:

f es es tr ictamente creciente en a s i :

f ' (a) > 0

Decrecimiento en un punto

Si f es der ivable en a:

f es es tr ictamente decreciente en a s i :

f ' (a) < 0

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para hal lar el crecimiento y decrecimiento segui remos los s iguiente s

pasos:

1. Der ivar la función.

2. Obtener las raíces de la der ivada pr imera, para el lo hacemos: f ' (x) =

0 .

3. Formamos intervalos abier tos con los ceros (ra íces) de la der ivada

pr imera y los puntos de d iscont inuidad (s i los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hal lamos e l s igno que t iene en

la der ivada pr imera.

S i f ' (x) > 0 es creciente .

S i f ' (x) < 0 es decreciente.

5. Escr ibimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento .

Ejemplo

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

Máximos y mínimos

Extremos relat ivos

Si f es der ivable en a, a es un extremo relat ivo o local s i :

1. S i f ' (a) = 0 .

2. S i f ' ' (a) ≠ 0 .

Máximos relat ivos

Si f y f ' son der ivables en a, a e s un máximo relat ivo s i se cumple:

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a) < 0

Mínimos relat ivos

Si f y f ' son der ivables en a, a e s un mínimo relat ivo s i se cumple:

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Para hal lar los extremos locales segui remos los s iguientes pasos:

1. Hal lamos la der ivada pr imera y calculamos sus raíces .

2. Real izamos la 2ª der ivada, y calculamos el s igno que toman en el la las

raíces de der ivada pr imera y s i :

f ' ' (a) < 0 es un máximo re lat ivo

f ' ' (a) > 0 es un mínimo re lat ivo

3. Calculamos la imagen (en la función) d e los extremos relat ivos.

Ejemplo

Calcular los máximos y mínimos de:

f (x ) = x 3 − 3x + 2

f ' (x ) = 3x 2 − 3 = 0

f ' ' (x ) = 6x

f ' ' (−1) = −6 Máximo

f ' ' (1) = 6 Mín imo

f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f (1) = (1) 3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función

habrá:

1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de

creciente a decreciente .

2. Un mínimo en e l punto, de la función, en la que ésta pasa de

decreciente a creciente .

E jemplo

Hal lar los máximos y mínimos de:

Tenemos un mín imo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al domin io de la

función.

Concavidad y convexidad

Si f y f ' son der ivables en a, a es:

Cóncava

S i f ' ' (a) > 0

Convexa

Si f ' ' (a) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función

segui remos los s iguientes pasos :

1. Hal lamos la der ivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Formamos in tervalos abier tos con los ceros ( raíces) de la der ivada

segunda y los puntos de discontinuidad (s i los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hal lamos e l s igno que t iene en

la der ivada segunda.

S i f ' ' (x) > 0 es cóncava.

S i f ' ' (x) < 0 es convexa.

4. Escr ib imos los intervalos:

Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión de una función

Si f y f ' son der ivables en a, a es un:

Punto de inf lexión

Si f ' ' = 0

y f ' ' ' ≠ 0

Cálculo de los puntos de inf lex ión

Para hal lar los puntos de in f lexión , segui remos los s iguientes pasos:

1. Hal lamos la der ivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Real i zamos la der ivada tercera, y calculamos el s igno que toman en

el la los ceros de der ivada segunda y s i :

f ' ' ' (x) ≠ 0 Tenemos un punto de in f lexión .

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de in f lexión .

Ejemplo

Hal lar los puntos de inf lexión de:

f (x ) = x 3 − 3x + 2

f ' ' (x ) = 6x 6x = 0 x = 0.

f ' ' ' (x ) = 6 Será un punto de inf lexión.

f (0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inf lexión: (0 , 2)

S i ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función

habrá:

Puntos de inf lexión en los puntos en que ésta pasa de cóncava a

convexa o v icecersa.

Ejemplo

Calcular los puntos de inflexión de la función:

Tenemos un punto de inf lexión en x = 0 , ya que la función pasa de

convexa a concava.

Punto de inf lexión (0, 0)

Gráf icas y funciones . E jercicios y problemas

1Representa las s iguientes rectas:

1 y = 2

2 y = −2

3 y = x

4 y = 2x − 1

5 y = −2x − 1

6 y = ´x − 1

2Representa las s iguientes funciones, sabiendo que:

1 T iene pendiente −3 y ordenada en el or igen −1.

2 T iene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, −2).

3T res k i logramos de boquerones valen 18 €. Escr ibe y representa la

función que def ine el coste de los boquerones en función de los k i logramos

comprados.

4En las 10 pr imeras semanas de cul t ivo de una planta, que medía 2 cm,

se ha observado que su crecimiento es d i rectamente proporc ional al t iempo,

v iendo que en la pr imera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Es tablecer una

función a f in que dé la al tura de la planta en función del t iempo y

representar gráf icamente.

5Cuando se excava hacia e l inter ior de la t ier ra, la temperatura

aumenta con arreglo a la s iguiente fórmula:

t = 15 + 0.01 h.

Donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y h es la

profundidad, en metros, desde la corteza ter restre. Calcular :

1. ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?

2. ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de

100 ºC?

6El n ivel de contaminación de una c iudad a las 6 de la mañana es de 30

partes por mil lón y crece de forma l ineal 25 partes por mil lón cada hora. Sea

y la contaminación en el instante t después de las 6 de la mañana.

1.Hal lar la ecuación que relaciona y con t.

2. Calcular el n ivel de contaminación a las 4 de la tarde.

1

1 y = 2

2 y = −2

3 y = x

x y = x

0 0

1 1

4 y = 2x − 1

x y = 2x −1

0 −1

1 1

5 y = −2x − 1

x y = −2x −1

0 −1

1 −3

6 y = ´x − 1

x y = ½x − 1

0 −1

2 0

2

1 T iene pendiente −3 y ordenada en el or igen −1.

y = −3x −1

x y = −3x − 1

0 −1

1 −4

2 T iene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, −2).

y = 4 x + n −2 = 4 · (−3) + n n = 14

y = 4x + 14

x y = 4x +14

0 14

1 18

3

18/3 = 6 y = 6x

4

Al tura in ic ial = 2 cm

Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5

y = 0.5x + 2

5

Calcular :

1. ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?

t = 15 + 0.01 · 100 = 16 ºC

2. ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de

100 ºC?

100 = 15 + 0 .01 h = 8 500 m

6

1.Hal lar la ecuación que relaciona y con t.

y = 30 + 25t

2.Calcular el n ive l de contaminación a las 4 de la tarde.

Desde las 6 de la mañana a las cuatro de la tarde han transcur r ido 10

horas.

f (10) = 30 + 25 · 10 = 280

Gráficas y funciones . Examen

1Representa las s iguientes rectas:

1 y = 0

2 y = ¾

3 y = 2x

4y = −¾x − 1

2Un gr i fo, que gotea, l lena una probeta dejando caer cada minuto 0.4

cm³ de agua. Forma una tabla de valores de la función, t iempo -capacidad

de agua. Representa la función y encuentra la ecuación.

3Por el alqui ler de un coche cobran 100 € d iar ios más 0.30 € por

k i lómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona e l coste d iar io

con el número de k i lómetros y represéntala. S i en un día se ha hecho un tota l

de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

1

1 y = 0

2 y = ¾

3 y = 2x

x y = 2 x

0 0

1 2

4y = −¾x − 1

x y = -¾x - 1

0 -1

4 -4

2

y =0.4 x

T iempo Capacidad

1 4

2 8

3 12

4 16

. . . . . .

3

y = 0.3 x +100

y = 0.3 · 300 + 100 = 190 €

Ejercicios de representación de funciones

Representar las s iguientes funciones, es tudiando su:

Domin io.

Simetr ía .

Puntos de corte con los e jes.

As íntotas y ramas paraból icas.

Crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mín imos.

Concavidad y convexidad.

Puntos de inf lexión

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

1

Dominio

S imetr ía

S imetr ía respecto al or igen.

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

No t iene asín to tas .

Ramas paraból icas

Crecimiento y decrecimiento

Creciente :

Decreciente:

Mínimos

Máximos

Concavidad y convexidad

Cóncava :

Convexa

Puntos de in f lexión

(0, 0)

Representación gráf ica

2

Dominio

S imetr ía

S imetr ía respecto al eje OY .

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

No t iene asín to tas .

Ramas paraból icas

Crecimiento y decrecimiento

Mínimos

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

3

Dominio

S imetr ía

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal :

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

Crecimiento y decrecimiento

Creciente :

Mínimos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

4

Dominio

S imetr ía

S imetr ía respecto al eje OY .

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

Ramas paraból icas

Crecimiento y decrecimiento

Mínimos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

No hay punto de in f lexión .

Representación gráf ica

5

Dominio

S imetr ía

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

Crecimiento y decrecimiento

Mínimos

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

No hay punto de in f lexión .

Representación gráf ica

6

Dominio

S imetr ía

S imetr ía respecto al or igen.

Puntos de cor te con los ejes

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

No t iene asín to tas ver t ica les ni obl icuas .

Crecimiento y decrecimiento

Mínimos

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

7

Dominio

S imetr ía

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

No hay as ínto tas ver t ica les n i obl icuas .

Crecimiento y decrecimiento

Creciente :

Máximos

Mínimos

Con los datos obtenidos representamos:

8

Dominio

S imetr ía

No presenta s imetr ía .

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

No t iene asín to tas .

Crecimiento y decrecimiento

Máximo y mínimos

No existen extremos locales .

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

No hay punto de in f lexión .

Representación gráf ica

9

Dominio

S imetr ía

No presenta s imetr ía .

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Crecimiento y decrecimiento

Máximo y mínimos

No existen extremos locales .

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

10

Dominio

S imetr ía

No presenta s imetr ía .

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

No hay as ínto tas ver t ica les n i obl icuas .

Crecimiento y decrecimiento

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

11

Dominio

S imetr ía

No presenta s imetr ía .

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Crecimiento y decrecimiento

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

E jercicios de representación de funciones

Representar las s iguientes funciones, es tudiando su:

Domin io.

S imetr ía .

Puntos de corte con los e jes.

As íntotas y ramas paraból icas.

Crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mín imos.

Concavidad y convexidad.

Puntos de inf lexión

1.

2.

1

Dominio

S imetr ía

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

Crecimiento y decrecimiento

Máximo y mínimos

No exixten extremos locales .

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

No hay punto de in f lexión .

Representación gráf ica

2

Dominio

S imetr ía

S imetr ía respecto al eje OY .

Puntos de cor te con los ejes

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Asíntotas

Asíntota hor izontal

No hay as ínto tas ver t ica les n i obl icuas .

Crecimiento y decrecimiento

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de in f lexión

Representación gráf ica

Ejercicios resueltos de puntos de cor te con los ejes

Calcular los puntos de corte con los e jes de las funciones:

1.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

2.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

3.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

4.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

5.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

6.

Punto de cor te con OY :

7.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

8.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

9.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

10.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

11.

Puntos de cor te con OX :

Punto de cor te con OY :

Ejercicios de s imetr ía de funciones

Estudia la s imetr ía de las funciones:

1.

S imétr ica respecto al or igen

2.

S imétr ica respecto al eje de ordenadas

3. f(x) = x 6 + x 4 − x 2

f (−x)= (−x) 6 + (−x) 4 − (−x) 2 = x 6 + x 4 − x 2 = f(x)

S imétr ica respecto al eje de ordenadas

4.f(x) = x 5 + x 3 − x

f (−x)= (−x) 5 + (−x) 3 − (−x) = −x 5 − x 3 + x = −f(x)

S imétr ica respecto al or igen

5. f(x)= x |x|

f (−x) = −x |−x|= −x |x|= −f(x)

S imétr ica respecto al or igen

6. f (x) = |x| − 1

f (−x) = |−x| − 1= |x| − 1 = f(x)

S imétr ica respecto al eje de ordenadas

7.

S imétr ica respecto al eje de ordenadas

8.

S imétr ica respecto al or igen

9.

S imétr ica respecto al eje de ordenadas

10.

Ejercicios resueltos de as ínto tas

Calcular las asínto tas de las funciones:

1.

Asíntota hor izontal :

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

2.

Asíntota hor izontal :

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

3.

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

4.

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

5.

Asíntota hor izontal

No t iene asín to tas ver t ica les ni obl icuas .

6.

Asíntota hor izontal

No hay as ínto tas ver t ica les n i obl icuas .

7.

Asíntota hor izontal .

No t iene asín to ta hor izontal .

Asíntotas ver t icales .

Asíntota obl icua .

8.

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

9.

Asíntota hor izontal

No hay as ínto tas ver t ica les n i obl icuas .

10.

Asíntota hor izontal

No hay as ínto tas ver t ica les n i obl icuas .

11.

Asíntota hor izontal

Asíntotas ver t icales .

Ejercicios resueltos de ramas paraból icas

Calcular las ramas paraból icas de las funciones:

1.

T iene una rama paraból ica en la dirección del eje OY .

2.

T iene una rama paraból ica en la dirección del eje OX .

3.

4.

5.

Ejercicios resueltos de crecimiento y decrecimiento

Hal lar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.

Creciente :

Decreciente:

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Creciente :

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Ejercicios resueltos de máximos y mínimos

Calcular los máximos y mínimos de las funciones:

1. f(x) = x 3 − 3x + 2

f ' (x ) = 3x 2 − 3 = 0

f ' ' (x ) = 6x

f ' ' (−1) = −6 Máximo

f ' ' (1) = 6 Mín imo

f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f (1) = (1) 3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ejercicios resueltos de concavidad y convexidad

Hal lar los intervalos de concavidad y convexidad de las funciones:

1.

Cóncava :

Convexa

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Ejercicios resueltos de puntos de inf lexión

Hal l lar los puntos de inf lexión de las funciones:

1. f(x) = x 3 − 3x + 2

f ' ' (x ) = 6x 6x = 0 x = 0.

f ' ' ' (x ) = 6 Será un punto de inf lexión.

f (0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inf lexión: (0 , 2)

2.

Punto de inf lexión(0, 0)

3.

4.

5.

6.

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inf lexión

1La cotización de las ses iones de una determinada sociedad,

suponiendo que la Bol sa funciona todos los días de un mes de 30 d ías,

responde a la s iguiente ley :

C = 0.01x 3 − 0.45x 2 + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máxima y mín ima, as í como los días en

que ocur r ieron, en d ías d ist intos del pr imero y del úl t imo.

2. Determinar los per íodos de t iempo en el que las acciones subieron o

bajaron.

2Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de

una hora viene dado por :

r = 300t (1−t) .

Donde 0 < t < 1 es e l t iempo en horas. Se p ide:

1. ¿En qué momentos aumenta o d isminuye el rendimiento?

2. ¿En qué momentos e l rendimiento es nulo?

3. ¿Cuando se obtiene e l mayor rendimiento y cuál es?

3Obtener la ecuación de la tangente a la gráf ica de f(x) = 2x 3 − 6x 2 + 4

en su punto de inf lexión.

4Determinar a, b y c para que la función f(x)= x 3 +ax 2 +bx +c tenga un

máximo para x=−4, un mín imo, para x=0 y tome el va lor 1 para x=1.

5Determinar el va lor de a, b, c y d para que la función f(x) = a x 3 + bx 2 +

cx + d tenga un máximo en (0 , 4) y un mín imo en (2 , 0) .

6Determinar a, b, c , d y e, de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx 3 + c x 2 +

dx + e, tenga un punto cr í t ico en (1 , 3) y un pun to de inflexión con tangente

de ecuación y = 2x en (0 , 0).

7La curva f(x) = x 3 + a x 2 + b x + c corta al e je de abscisas en x = 3 y

t iene un punto de inf lexión en (2/3 , 1/9). Hal lar a, b y c.

8Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f (x) tenga en (2 , −1) un extremo local y

que la curva pase por el or igen de coordenadas.

9Hal lar a y b para qué la función: f (x ) = a ln x + bx 2 +x tenga extremos en

los puntos x 1 = 1 y x 2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué t ipo de extremos

t ienen la función en 1 y en 2?

10Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de

in f lex ión a la curva: f(x ) = x³ − 3x² + 7x + 1.

11La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras

durante un día s i una ley del t ipo:

donde la var iable x representa e l t iempo en horas (de 0 a 24). Responde

a las s iguientes preguntas:

1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

2. Si se real iza la "caja" a las 24 horas. ¿Ar ro ja ganancias para los dueños

de la máquina?

3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mín ima?

4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?

12Sea f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 7. Hal lar a y b de manera que la gráf ica de la

función f(x ) tenga para x= 1 una inf lexión, y cuya recta tangente en ese

punto forme un ángulo de 45° con el e je OX.

1

1. Determinar las cotizaciones máxima y mín ima, as í como los días en

que ocur r ieron, en d ías d ist intos del pr imero y del úl t imo.

2. Determinar los per íodos de t iempo en el que las acciones subieron o

bajaron.

Del 1 al 3, y del 27 a l 30 las acciones subieron, y del 3 a l 27 bajaron.

2

Se p ide:

1. ¿En qué momentos aumenta o d isminuye el rendimiento?

r = 300 t − 300 t²

r ′ = 300 − 600 t

300 − 600 t = 0 t = ´

2. ¿En qué momentos e l rendimiento es nulo?

300 t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

E l rendimiento es nu lo al empezar ( t = 0) y a l acabar el examen ( t = 1) .

3. ¿Cuando se obtiene e l mayor rendimiento y cuál es?

r ″ ( t ) = − 600

r (´)= 300 (´) − 300 (´)²= 75

Rendimiento máximo: (½, 75)

3

f ′ (x ) = 6x 2− 12xf ′ ′ (x ) = 12x − 121

2 x − 12 = 0x = 1

f ′ ′ ′ (x ) = 12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f (1) = 0

Punto de inf lexión: (1 , 0)

f ′ (1) = 6 − 12= − 6 = m

y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6

4

f (x ) =x 3 + ax2 + bx + c f ′ (x ) = 3x 2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

5

f (x ) = ax 3 +bx 2 +cx +df ′ (x ) = 3ax 2 + 2bx + c

f (0) = 4 d = 4

f (2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f ′ (0) = 0 c = 0

f ′ (2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

6

f ′ (x ) = 4ax 3 + 3 bx 2 + 2cx + d f ′ ′ (x ) = 12ax 2 + 6bx + 2c

f ′ (x ) = 4ax 3 + 3 bx 2 + 2cx + d f ′ ′ (x ) = 12ax 2 + 6bx + 2c

f (1) = 3a + b + c + d = 3

f (0) = 0 e = 0

f ′ (1) = 3 4a + 3 b + 2c + d = 3

f ′ (0) = 2 d = 2

f ′ ′ (0) = 0 2c = 0

a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0

7

8

9

10

f ′ (x ) = 3 x 2 − 6x+ 7

f ′ ′ (x ) =6 x − 6

6 x − 6 = 0 x= 1

f ′ ′ ′ (x ) =12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f (1)= 6

Punto de inf lexión: (1 , 6)

m t = f ′ (1) = 4 m n = −1/4

Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0

Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0

11

Responde a las s iguientes preguntas:

1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

Entre 0 y 24 la función es d ist inta de cero, por lo cual la máquina s iempre

t iene monedas.

Hay un mín imo absoluto en (0 , 100)

2. Si se real iza la "caja" a las 24 horas. ¿Ar ro ja ganancias para los dueños

de la máquina?

Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112

3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mín ima?

f ′ (x )= x² − 38x + 352 x ² − 38x + 352 = 0

x = 16 x = 22

f ′ ′ (x )= 2x − 38

f ′ ′ (16) = 32 − 38 < 0 Máximo (16, 6700/3)

f ′ ′ (22) = 44 − 38 > 0 Mínimo (22, 6592/3)

4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?

El mayor premio será igual al punto de inf lexión.

f ′ ′ ′ (x ) = 2

2x − 38 = 0x = 19

12

f ' (x ) = 3 x 2 + 2 ax + b f ′ ′ (x ) = 6x + 2a

f ′ (1) = 1 3 + 2a + b = 1

f ′ ′ (1) = 0 6 + 2a = 0

a = − 3 b = 4

P robabi l idad y estadís t ica

Defin ición de probabi l idad

Exper imentos deterministas

Son los exper imentos de los que podemos predecir el resul tado antes de

que se real icen.

Ejemplo

Si dejamos caer una p iedra desde una ventana sabemos, s in lugar a

dudas, que la p iedra bajará. S i la ar ro jamos hacia arr iba, sabemos que subi rá

durante un determinado intervalo de t iempo; pero después bajará.

Exper imentos aleator ios

Son aquel los en los que no se puede predecir el resul tado, ya que éste

depende del azar .

Ejemplos

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano s i sa ldrá cara o cruz.

S i lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resul tado que

vamos a obtener .

Teor ía de probabi l idades

La teor ía de probabi l idades se ocupa de asignar un c ier to número a

cada posible resul tado que pueda ocurr i r en un exper imento aleator io , con e l

f in de cuanti f icar d ichos r esul tados y saber s i un suceso es más probable que

otro. Con este f in , introduci remos a lgunas defin iciones :

Suceso

Es cada uno de los resul tados posibles de una exper iencia aleator ia.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

Espacio muestral

Es e l conjunto de todos los posib les resul tados de una exper iencia

aleator ia, lo representaremos por E (o b ien por la letra gr iega Ω).

Espacio muestra l de una moneda:

E = {C , X }.

Espacio muestra l de un dado:

E = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

Suceso aleator io

Suceso aleator io es cualquier subconjunto del espacio muestra l .

Por e jemplo al t i rar un dado un suceso ser ía que sa l iera par , otro ,

obtener múl t iplo de 3, y otro , sacar 5.

Ejemplo

Una bol sa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamen te

tres bolas. Calcular :

1. El espacio muestral .

E = {(b ,b ,b); (b ,b,n ); (b ,n ,b); (n ,b ,b); (b ,n ,n ); (n ,b ,n ); (n ,n ,b ); (n , n ,n )}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color }.

A = {(b ,b ,b); (n , n ,n )}

3. El suceso B = {extraer a l menos una bola blanc a}.

B= {(b ,b ,b); (b ,b,n ); (b ,n,b); (n ,b,b); (b ,n ,n ); (n ,b ,n ); (n ,n ,b )}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b ,b ,n); (b ,n ,b); (n ,b ,b)}

T ipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del

espacio muestral .

Por e jemplo al t i rar un dado un suceso e lemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestra l .

Por e jemplo al t i rar un dado un suceso ser í a que sa l iera par , otro ,

obtener múl t iplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E , está formado por todos los posibles resul tados (es

deci r , por el espacio muestral ).

Por e jemplo al t i rar un dado un dado obtener una puntuación que sea

menor que 7.

Suceso impos ible

Suceso impos ible , , es e l que no t iene n ingún elemento.

Por e jemplo al t i rar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos , A y B , son compatibles cuando t ienen algún suceso

e lemental común.

S i A es sacar puntuación par a l t i rar un dado y B es obtener múl t iplo de

3 , A y B son compatibles porque e l 6 es un suceso e lemental común.

Sucesos incompat ibles

Dos sucesos , A y B , son incompatibles cuando no t ienen n ingún elemento

en común.

S i A es sacar puntuación par a l t i rar un dado y B es obtener múl t iplo de

5 , A y B son incompatib les.

Sucesos independientes

Dos sucesos , A y B , son independientes cuando la probabil idad de que

suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resul tados son indepen dientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos , A y B , son dependientes cuando la probabil idad de que

suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, s in reposic ión, son sucesos

dependientes.

Suceso contrar io

El suceso contrar io a A es otro suceso que se real iza cuando no se real iza

A. Se denota por .

Son sucesos contrar ios sacar par e impar al lanzar un dado.

Espacio de sucesos

Espacio de sucesos, S , es e l conjunto de todos los sucesos a leator ios.

S i t i ramos una moneda el espacio se sucesos es tá formado por :

S= { , {C}, {X }, {C ,X}}.

Observamos que el pr imer elemento es el suceso imposible y el ú l t imo el

suceso seguro .

S i E t iene un número f in i to de e lementos , n , de e lementos e l número de

sucesos de E es 2n .

Una moneda E= {C, X}.

Número de sucesos = 2 2 =4

Dos monedas E= {(C ,C); (C ,X); (X ,C); (X ,X) }.

Número de sucesos = 2 4 =16

Un dado E = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

Número de sucesos = 2 6 = 64

Unión de sucesos

La unión de sucesos , A B , es e l suceso formado por todos los e lementos

de A y de B.

Es deci r , e l suceso A B se ver i f ica cuando ocur re uno de los dos, A o B ,

o ambos.

A B se lee como "A o B " .

Ejemplo

Consideramos el exper imento que consiste en lanzar un dado, s i A =

"sacar par " y B = "sacar múl t iplo de 3" . Calcular A B .

A = {2 , 4 , 6}

B = {3 , 6}

A B = {2 , 3 , 4 , 6 }

Propiedades de la unión de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

S impl i f icación

Distr ibut iva

E lemento neutro

Absorción

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos , A B , es e l suceso formado por todos los

e lementos que son , a la vez, de A y B .

Es deci r , e l suceso A B se ver i f ica cuando ocurren s imul táneamente A y

B .

A B se lee como "A y B " .

Ejemplo

Consideramos el exper imento que consis te en lanzar un dado, s i A =

"sacar par " y B = "sacar múl t iplo de 3" . Calcular A B .

A = {2 , 4 , 6}

B = {3 , 6}

A B = {6}

Propiedades de la intersección de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

S impl i f icación

Distr ibut iva

E lemento neutro

Absorción

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, A − B , es e l suceso formado por todos los

e lementos de A que no son de B.

Es deci r , la diferencia de los sucesos A y B se ver i f ica cuando lo hace A y

no B.

A − B se lee como "A menos B " .

Ejemplo

Consideramos el exper imento que consiste en lanzar un dado, s i A =

" sacar par " y B = "sacar múl t iplo de 3" . Calcular A − B .

A = {2 , 4 , 6}

B = {3 , 6}

A − B = {2 , 4}

Propiedad

Sucesos contrar ios

El suceso = E - A se l lama suceso contrar io o complementar io de A.

Es deci r , se ver i f ica s iempre y cuando no se ver i f ique A.

Ejemplo

Consideramos el exper imento que consiste en lanzar un dado, s i A =

"sacar par " . Calcular .

A = {2 , 4 , 6}

= {1 , 3 , 5 }

Propiedades

Leyes de Morgan

Propiedades de la probabi l idad

Axiomas de la probabi l idad

1.La probabil idad es posi t iva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabil idad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es deci r A B = entonces:

p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabi l idad

1 La suma de las probabil idades de un suceso y su contrar io vale 1, por

tanto la probabil idad del suceso contrar io es:

2 Probabil idad del suceso imposib le es cero.

3 La probabil idad de la un ión de dos sucesos es la suma de sus

probabil idades restándole la probabil idad de su intersección.

4 Si un suceso está inc luido en otro, su probabil idad es menor o igual a la

de éste.

5 Si A1 , A2 , . . . , Ak son incompatib les dos a dos entonces:

6 Si e l espacio muestral E es f in i to y un suceso es S = {x 1 , x 2 , . . . , xn }

entonces:

Por e jemplo la probabil idad de sacar par , a l t i rar un dado, es:

P(par) = P(2) + P (4) + P(6)

Regla de Laplace

Si real izamos un exper imento a leator io en el que hay n sucesos

e lementales, todos igualmente probables, equiprobables , entonces s i A es un

suceso, la probabi l idad de que ocur ra el suceso A es:

Ejemplos

Hal lar la probabil idad de que a l lanzar dos monedas al a i re sa lgan dos

caras.

Casos posib les: {cc , cx , xc , xx}.

Casos favorables: 1.

En una baraja de 40 cartas, hal lar la P (as) y P (copas).

Casos posib les: 40.

Casos favorables de ases: 4.

Casos favorables de copas: 10.

Calcular la probabil idad de que a l echar un dado al a ire, sa lga:

1 Un número par .

Casos posib les: {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .

Casos favorables: {2 , 4 , 6 }.

2 Un múl t iplo de tres.

Casos favorables: {3 , 6 }.

3 Mayor que 4.

Casos favorables: {5 , 6 }.

Combinator ia y probabi l idad

La combinator ia nos puede ser muy út i l para calcular los sucesos

posibles y favorables , a l apl icar la regla de Laplace . Especia lmente s i hay un

gran número de sucesos.

Ejemplos

1 Un grupo de 10 personas se s ienta en un banco. ¿Cuál es la

probabil idad de que dos personas f i jadas de antemano se s ienten juntas?

Casos posib les:

Casos favorables:

S i consideramos las dos personas que se s ientan juntas como una sola

persona habrá 9! ; pero pueden estar de dos formas posibles a la i zquierda

uno de otro o a la derecha, por tanto se t iene 2 · 9!.

2Se extraen c inco cartas de una baraja de 52. Hal lar la probabil idad de

extraer :

4 ases.

4 ases y un rey.

3 c incos y 2 sotas .

Un 9, 10 , sota , cabal lo y rey en cualquier orden.

3 de un palo cualquiera y 2 de otro.

Hay cuatro formas de elegir e l pr imer palo y tres formas de elegi r al

segundo palo.

Al menos un as.

Probabi l idad de la unión de sucesos

Probabi l idad de la unión de sucesos incompatibles

A B =

p(A B) = p(A) + p(B)

Calcular la probabil idad de obtener un 2 ó un 5 a l lanzar un dado.

Probabi l idad de la unión de sucesos compatibles

A B ≠

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)

p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A B) − p(A C) − p(B C) + p(A

B C)

Calcular la probabil idad de obtener un múl t iplo de 2 ó un 6 a l lanzar un

dado.

Probabi l idad condicionada

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestra l E.

Se l lama probabi l idad del suceso A condicionada a l B y se representa

por P(A/B) a la probabi l idad del suceso A una vez ha ocurr ido el B .

Ejemplo

Calcular la probabil idad de obtener un 6 al t i rar un dado sabiendo que

ha sal ido par .

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes s i

p(A/B) = p(A)

Sucesos dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes s i

p(A/B) ≠ p(A)

Probabi l idad compuesta o de la intersección de sucesos

Probabi l idad de la in tersección de sucesos independientes

p(A B) = p(A) · p(B)

Ejemplo

Se t iene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter . ¿Cuál

es la probabil idad de extraer dos ases?

Probabi l idad de la in tersección de sucesos dependientes

p(A B) = p(A) · p(B/A)

Ejemplo

Se t iene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la

probabil idad de extraer dos ases?

Probabi l idad de la d i ferencia de sucesos

Tablas de contingencia

Un método út i l para clas i f icar los datos obtenidos en un recuento es

mediante las tablas de contingencia .

Se trata de tablas en cuyas celdas f iguran probabil idades, y en la cual

podemos determinar unas probabil idades conociendo otras de la tabla.

Ejemplo

Se sor tea un via je a Roma entre los 120 mejores c l ientes de una agencia

de automóvi les. De el los, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres

casadas. Se p ide:

1¿Cuál será la probabil idad de que le toque el v ia je a un hombre

sol tero?

2Si del afor tunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabil idad de

que sea una mujer?

Diagramas de árbol

Para la construcción de un diagrama en árbol se part i rá poniendo una

rama para cada una de las posibi l idades , acompañada de su probabi l idad .

En e l f inal de cada rama parcial se const i tuye a su vez , un nudo del cual

parten nuevas ramas , según las posibi l idades del s iguiente paso, sa lvo s i el

nudo representa un posible f ina l del exper imento ( nudo f inal ) .

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabi l idades de las ramas

de cada nudo ha de dar 1 .

Ejemplos

Una clase consta de se is n iñas y 10 n iños. S i se escoge un comité de tres

a l azar , hal lar la probabil idad de:

1 Seleccionar tres n iños.

2Seleccionar exactamente dos n iños y una n iña.

3Seleccionar exactamente dos n iñas y un n iño.

1 Seleccionar tres n iñas.

Calcular la probabi l idad de que a l arro jar al a i re tres monedas, sa lgan:

T res caras.

Exper imentos compuestos

Un exper imento compuesto es aquel que consta de dos o más

exper imentos a leator ios s imples.

Es deci r , s i t i ramos un dado, o una moneda, son exper imentos aleator ios

s imples, pero s i real i zamos el exper imento de t i rar un dado y poster iormente

una moneda, estamos real izando un exper imento compuesto .

En los exper imentos compuestos es conveniente usa r e l l lamado

diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos e l los.

Teorema de la probabi l idad to tal

Si A 1 , A 2 , . . . , A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya un ión es el espacio muestra l (A 1 A 2 . . . A n = E).

Y B es otro suceso.

Resul ta que:

p(B) = p(A 1 ) · p(B/A 1 ) + p(A 2 ) · p(B/A 2 ) + . . . + p(A n) · p(B/A n )

Ejemplo

Se d ispone de tres cajas con bombil las. La pr imera contiene 10

bombil las, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay se is

bombil las, estando una de el las fundida, y la tercera caja hay tres bombil las

fundidas de un tota l de ocho. ¿Cuál es la probabil idad de que a l tomar una

bombil la al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

Teorema de Bayes

Si A 1 , A 2 , . . . , An son:

Sucesos incompat ibles 2 a 2.

Y cuya unión es e l espacio muestral (A 1 A 2 . . . A n = E).

Y B es otro suceso.

Resul ta que:

Las probabil idades p(A 1 ) se denominan probabi l idades a pr io r i .

Las probabil idades p(A i/B) se denominan probabi l idades a poster ior i .

Las probabil idades p(B/A i) se denominan veros imil i tudes.

Ejemplos

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son

economistas. E l 75% de los ingenieros ocupan un puesto d i rectivo y e l 50% de

los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas

so lamente el 20% ocupa un puesto d i rectivo. ¿Cuál es la probabil idad de que

un empleado di rectivo e legido a l azar sea ingeniero?

La probabil idad de que haya un accidente en una fábr ica que dispone

de alarma es 0.1. La probabil idad de que suene esta s í se ha producido algún

inc idente es de 0.97 y la probabi l idad de que suene s i no ha sucedido n ingún

inc idente es 0.02.

En e l supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la

probabil idad de que no haya habido n ingún inc idente?

Sean los sucesos:

I = Produci r se inc idente.

A = Sonar la alarma.

E jercicios y problemas de probabi l idad

1Sean A y B dos sucesos a leator ios con:

Hal lar :

1

2

3

4

5

6

7

2Sean A y B dos sucesos a leator ios con:

Hal lar :

1

2

3

4

3Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca,

otra ro ja, otra verde y otra negra. Escr ib i r el espacio muestra l cuando:

1La pr imera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

1La pr imera bola no se devuelve.

4Una urna t iene oc ho bolas rojas, 5 amar i l la y s iete verdes. S i se extrae

una bola al azar calcular la probabil i idad de:

1Sea ro ja.

2Sea verde.

3Sea amar i l la .

4No sea ro ja.

5No sea amar i l la .

5Una urna contiene tres bolas ro jas y s iete blancas. Se extraen dos bolas

a l azar . Escr ib ir el espacio muestra l y hal lar la probabil idad de los sucesos:

1Con reemplazamiento.

2Sin reemplazamiento.

6Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas ro jas, 5 b lancas y

6 negras, ¿cuál es la probabil idad de que la bola sea ro ja o blanca? ¿Cuál

es la probabil idad de que no sea blanca?

7En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, c inco alumnos rubios y

10 morenos. Un día as isten 45 a lumnos, encontrar la probabil idad de que un

a lumno:

1Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer .

8Un dado está trucado, de forma que las probabil idades de obtener las

d ist intas caras son proporc ionales a los números de estas. Hal lar :

1La probabil idad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2La probabil idad de consegui r un número impar en un lanzamiento.

9Se lanzan dos dados al a ire y se anota la suma de los puntos obtenidos.

Se p ide:

1La probabil idad de que salga e l 7.

2La probabil idad de que el número obtenido sea par .

3La probabil idad de que el número obtenido sea múl t ip lo de tres.

10Se lanzan tres dados. Encontrar la probabil idad de que:

1Salga 6 en todos.

2Los puntos obtenidos sumen 7 .

11Hal lar la probabil idad de que a l levantar unas f ichas de dominó se

obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múl t iplo de 4.

12Busca la probabil idad de que a l echar un dado al a ire, sa lga:

1Un número par .

2Un múl t iplo de tres.

3Mayor que cuatro.

13Hal lar la probabil idad de que a l lanzar al a i re dos monedas, sa lgan:

1Dos caras.

2Dos cruces.

3Una cara y una cruz.

14En un sobre hay 20 papeletas , ocho l levan dibujado un coche las

restantes son b lancas. Hal lar la probabil idad de extraer a l menos una

papeleta con el d ibujo de un coche:

1Si se saca una papeleta.

2Si se extraen dos papeletas.

3Si se extraen tres papeletas.

15Los estudiantes A y B t ienen respectivamente probabil idades 1/2 y 1/5

de suspender un examen. La probabil idad de que suspendan el examen

s imul táneamente es de 1/10. Determinar la probabil idad de que a l menos uno

de los dos estudiantes suspenda el examen.

16Dos hermanos sa len de caza. E l pr imero mata un promedio de 2 p iezas

cada 5 d isparos y el segundo una p ieza cada 2 d isparos. S i los dos d isparan

a l mismo t iempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabil idad de que la

maten?

17A class consists of 10 men and 20 women, hal f men and hal f of women

have brown eyes. Determine the probabi l i ty that a randomly se lected person

i s a man or having brown eyes.

18The probabil i ty that a man l iv ing 20 years i s ¼ and that h is w i fe al ive in

20 years i s 1/3. Calculate the probabil i ty :

1They both l ive 20 years.

2The man l ives 20 years and h is w i fe not.

3Both d ie before 20 years.

1

Hal lar :

1

2

3

4

5

6

7

2

Hal lar :

1

2

3

4

3

Escr ib i r el espacio muestral cuando:

1La pr imera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

E = {BB , BR, BV, BN , RB , RR, RV , RN, VB, VR, VV, VN, NB , NR, NV, NN}

1La pr imera bola no se devuelve

E = { BR , BV , BN, RB , RV , RN, VB, VR, VN, NB , NR, NV}

4

1Sea ro ja.

2Sea verde.

3Sea amar i l la .

4No sea ro ja.

5No sea amar i l la .

5

1Con reemplazamiento.

2Sin reemplazamiento.

6

7

1Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer .

8

1La probabil idad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2La probabil idad de consegui r un número impar en un lanzamiento.

9

1La probabil idad de que salga e l 7.

2La probabil idad de que el número obtenido sea par .

3La probabil idad de que el número obtenido sea múl t ip lo de tres.

10

1Salga 6 en todos.

2Los puntos obtenidos sumen 7 .

11

12

1Un número par .

2Un múl t iplo de tres.

3Mayor que cuatro.

13

1Dos caras.

2Dos cruces.

3Una cara y una cruz.

14

1Si se saca una papeleta.

2Si se extraen dos papeletas.

3Si se extraen tres papeletas.

15

16

17

18

1De que ambos vivan 20 años.

2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3De que ambos mueran antes de los 20 años.

Ejercicios y problemas resuel tos de probabi l idad condicionada

1Sean A y B dos sucesos a leator ios con p(A) = 1/2 , p (B ) = 1/3 , p (A B)=

1/4. Determinar :

1

2

3

4

5

2Sean A y B dos sucesos aleator ios con p(A) = 1/3 , p(B ) = 1/4 , p(A B) =

1/5. Determinar :

1

2

3

4

5

6

3En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua

extran jera inglés o f rancés. En un determinado curso, e l 90% de los alumnos

estudia inglés y el resto f rancés. E l 30% de los que estudian inglés son ch icos y

de los que estudian f rancés son ch icos e l 40%. E l elegido un a lumno al azar ,

¿cuál es la probabil idad de que sea chica?

4De una baraja de 48 cartas se extrae s imul táneamente dos de e l las.

Calcular la probabil idad de que:

1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

5Ante un examen, un a lumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas

cor respondientes a la mater ia del mismo. Éste se real iza extrayendo al azar

dos temas y dejando que e l alumno escoja uno de los dos para ser

examinado del mismo. Hal lar la probabil idad de q ue el alumno pueda elegi r

en el examen uno de los temas estudiados.

6Una clase está formada por 10 ch icos y 10 ch icas; la mitad de las

ch icas y la mitad de los ch icos han elegido francés como asignatura

optativa.

1 ¿Cuál es la probabil idad de que una perso na elegida al azar sea chico

o estudie f rancés?

2¿Y la probabil idad de que sea chica y no estudie f rancés?

7Un ta l ler sabe que por término medio acuden: por la mañana tres

automóvi les con problemas eléctr icos, ocho con problemas mecánicos y tres

con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas e léctr icos, t res

con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1 Hacer una tabla ordenando los datos anter iores.

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los q ue acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabil idad de que un automóvi l con problemas e léctr icos

acuda por la mañana.

8Una clase consta de se is n iñas y 10 n iños. S i se escoge un comité de tres

a l azar , hal lar la probabil idad de:

1 Seleccionar tres n iños.

2Seleccionar exactamente dos n iños y una n iña.

3Seleccionar por lo menos un n iño.

4Seleccionar exactamente dos n iñas y un n iño.

9Una caja contiene tres monedas. Una moneda es cor r iente, o tra t iene

dos caras y la otra está cargada de modo que la probabil idad de obtener

cara es de 1/3. Se se lecciona una moneda lanzar y se lanza a l a i re. Hal lar la

probabil idad de que salga cara.

10Una urna contiene 5 bolas ro jas y 8 verdes. Se extrae una bola y se

reemplaza por dos del otro color . A continuación, se extrae una segunda

bola. Se p ide:

1 Probabil idad de que la segunda bola sea verde.

2Probabil idad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color .

11En una clase en la que todos practican algún deporte, e l 60% de los

a lumnos juega a l fútbol o al balonc esto y e l 10% practica ambos deportes. S i

además hay un 60% que no juega al fútbol , cuál será la probabil idad de que

escogido al azar un alumno de la clase:

1 Juegue sólo al fútbol .

2Juegue sólo al baloncesto.

3Practique uno solo de los deportes.

4No juegue n i a l fútbol n i al baloncesto.

12En una c iudad, e l 40% de la población t iene cabel los castaños, e l 25%

t iene ojos castaños y el 15% t iene cabel los y o jos castaños. Se escoge una

persona al azar :

1 Si t iene los cabel los castaños , ¿cuál es la probabil idad de que tenga

también ojos castaños?

2Si t iene ojos castaños, ¿cuál es la probabil idad de que no tenga

cabel los castaños?

3¿Cuál es la probabil idad de que no tenga cabel los n i o jos castaños?

13En un aula hay 100 a lumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 us an

gafas, y 15 son varones y usan gafas. S i se leccionamos a l azar un a lumno de

dicho curso:

1 ¿Cuál es la probabil idad de que sea mujer y no use gafas?

2Si sabemos que el alumno se leccionado no usa gafas, ¿qué

probabil idad hay de que sea hombre?

14Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas ro jas y 4 bolas

b lancas, la urna B contiene 4 bolas ro jas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado,

s i aparece un número menor que 3 ; nos vamos a la urna A; s i e l resul tado es 3

ó más, nos vamos a la urna B. A continu ación extraemos una bola. Se p ide:

1 Probabil idad de que la bola sea ro ja y de la urna B.

2Probabil idad de que la bola sea blanca.

15Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un

despertador , e l cual consigue despertar lo en un 80% de los casos. S i oye el

despertador , la probabil idad de que real iza el examen es 0.9 y , en caso

contrar io, de 0.5.

1 Si va a real izar el examen, ¿cuál es la probabil idad de que haya oído

e l despertador?

2Si no real iza el examen, ¿cuál es la probabil idad de que no haya oí do

e l despertador?

16En una estanter ía hay 60 novelas y 20 l ib ros de poesía. Una persona A

e l ige un l ib ro al azar de la estanter ía y se lo l leva. A continuación otra

persona B el ige otro l ib ro al azar .

1 ¿Cuál es la probabil idad de que e l l ibro se leccionad o por B sea una

novela?

2Si se sabe que B e l ig ió una novela, ¿cuál es la probabil idad de que e l

l ibro seleccionado por A sea de poesía?

17Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres

usan gafas. S i e l número de mujeres es cuatro veces super ior a l de hombres,

se p ide la probabil idad de encontrarnos:

1 Con una persona s in gafas.

2Con una mujer con gafas.

18En una casa hay tres l laveros A, B y C; e l pr imero con c inco l laves, e l

segundo con s iete y el tercero con ocho, de las que sólo una d e cada l lavero

abre la puerta del t rastero. Se escoge al azar un l lavero y , de él una l lave

para abr i r el t rastero. Se p ide:

1 ¿Cuál será la probabil idad de que se acier te con la l lave?

2¿Cuál será la probabil idad de que e l l lavero escogido sea e l tercero y

la l lave no abra?

3Y s i la l lave escogida es la cor recta, ¿cuál será la probabil idad de que

pertenezca al pr imer l lavero A?

1

1

2

3

4

5

2

Sean A y B dos sucesos a leator ios con p(A) = 1/3 , p (B ) = 1/4 , p (A B) =

1/5. Determinar :

1

2

3

4

5

6

3

p(ch ica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

4

1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

5

6

1 ¿Cuál es la probabil idad de que una persona elegida al azar sea chico

o estudie f rancés?

2¿Y la probabil idad de que sea chica y no estudie f rancés?

7

1 Hacer una tabla ordenando los datos anter iores.

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabil idad de que un automóvi l con problemas e léctr icos

acuda por la mañana.

8

1 Seleccionar tres n iños.

2Seleccionar exactamente dos n iños y una n iña.

3Seleccionar por lo menos un n iño.

4Seleccionar exactamente dos n iñas y un n iño.

9

10

1 Probabil idad de que la segunda bola sea verde.

2Probabil idad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color .

11

1 Juegue sólo al fútbol .

2Juegue sólo al baloncesto.

3Practique uno solo de los deportes.

4No juegue n i a l fútbol n i al baloncesto.

12

1 Si t iene los cabel los castaños , ¿cuál es la probabil idad de que tenga

también ojos castaños?

2Si t iene ojos castaños, ¿cuál es la probabil idad de que no tenga

cabel los castaños?

3¿Cuál es la probabil idad de que no tenga cabel los n i o jos castaños?

13

1 ¿Cuál es la probabil idad de que sea mujer y no use gafas?

2Si sabemos que el alumno se leccionado no usa gafas, ¿qué

probabil idad hay de que sea hombre?

14

1 Probabil idad de que la bola sea ro ja y de la urna B.

2Probabil idad de que la bola sea blanca.

15

1 Si va a real izar el examen, ¿cuál es la probabil idad de que haya oído

e l despertador?

2Si no real iza el examen, ¿cuál es la probabil idad de que no haya oído

e l despertador?

16

1 ¿Cuál es la probabil idad de que e l l ibro se leccionado por B sea una

novela?

2Si se sabe que B e l ig ió una novela, ¿cuál es la probabil idad de que e l

l ibro seleccionado por A sea de poesía?

17

1 Con una persona s in gafas.

2Con una mujer con gafas.

18

1 ¿Cuál será la probabil idad de que se acier te con la l lave?

2¿Cuál será la probabil idad de que e l l lavero escogido sea e l tercero y

la l lave no abra?

3Y s i la l lave escogida es la cor recta, ¿cuál será la probabil idad de que

pertenezca al pr imer l lavero A?

Conceptos de Es tadíst ica.

Defin ición de Es tadíst ica

La Estadís t ica t rata del recuento, ordenación y clas i f icación de los datos

obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar

conclus iones.

Un estudio es tadíst ico consta de las s iguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Anál i s i s de datos.

Obtención de conclus iones.

Conceptos de Estadís t ica

Población

Una población es e l conjunto de todos los e lementos a los que se somete

a un estudio es tadí st ico.

Indiv iduo

Un indiv iduo o unidad estadís t ica es cada uno de los elementos que

componen la población.

Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la población de

referencia, e l número de individuos de una muestra es menor que el de la

población.

Muestreo

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar , obtenidos de

una proporc ión reducida y representativa d e la población.

Valor

Un valor es cada uno de los d ist intos resul tados que se pueden obtener

en un estudio estadí st ico. S i lanzamos una moneda al a i re 5 veces obtenemos

dos valores: cara y cruz.

Dato

Un dato es cada uno de los va lores que se ha obtenido al real izar un

estudio estadí st ico. S i lanzamos una moneda al a i re 5 veces obtenemos 5

datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Var iable es tadíst ica

Defin ición de var iable

Una var iable estadís t ica es cada una de las caracter ís t icas o cual idades que

poseen los indiv iduos de una población.

T ipos de var iable estadís t icas

Var iable cual i tat iva

Las var iables cual i ta t ivas se ref ieren a caracter ís t icas o cual idades que no

pueden ser medidas con números. Podemos dist inguir dos t ipos:

Var iable cual i tat iva nominal

Una var iable cual i ta t iva nominal presenta modal idades no numér icas que no

admiten un cr i ter io de orden. Por ejemplo:

E l estado civ i l , con las s iguientes modal idades: sol tero, casado, separado,

divorciado y v iudo.

Var iable cual i tat iva ordinal o var iable c uasicuant i ta t iva

Una var iable cual i ta t iva ordinal presenta modal idades no númer icas, en las que

existe un orden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresal iente.

Puesto conseguido en una prueba deport iva: 1º , 2º , 3º , . . .

Medal las de una prueba depor t iva: oro, plata, bronce.

Var iable cuanti tat iva

Una var iable cuant i ta t iva es la que se expresa mediante un número, por tanto se

pueden real izar operaciones ar i tméticas con e l la. Podemos dist inguir dos t ipos:

Var iable discreta

Una var iable discreta es aquel la que toma valores ais lados , es decir no admite

valores in termedios entre dos valores especí f icos. Por ejemplo:

E l número de hermanos de 5 amigos: 2 , 1 , 0 , 1 , 3 .

Var iable continua

Una var iable continua es aquel la que puede tomar val ores comprendidos entre

dos números. Por ejemplo:

La al tura de los 5 amigos : 1 .73, 1 .82, 1 .77, 1 .69, 1 .75.

En la práctica medimos la al tu ra con dos decimales, pero también se podr ía dar

con tres decimales .

Tablas de estadí st ica

Distr ibución de f recuencias

La d istr ibución de f recuencias o tabla de f recuencias es una ordenación en forma

de tabla de los datos estadí st icos, as ignando a cada dato su f recuencia

cor respondiente.

T ipos de f recuencias

F recuencia absoluta

La f recuencia absoluta es el núm ero de veces que aparece un determinado valor

en un estudio es tadí st ico.

Se representa por f i .

La suma de las f recuencias absolutas es igual al número tota l de datos , que se

representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se ut i l i za la letra g r iega Σ (s igma

mayúscula) que se lee suma o sumator ia.

F recuencia relat iva

La f recuencia relat iva es el cociente entre la f recuencia absoluta de un

determinado valor y el número tota l de datos.

Se puede expresar en tantos por c iento y se representa por n i .

La suma de las f recuencias relat ivas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La f recuencia acumulada es la suma de las f recuencias absolutas de todos los

va lores in fer iores o iguales al va lor considerado.

Se representa por F i .

F recuencia relat iva acumulad a

La f recuencia relat iva acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada

de un determinado valor y el número tota l de datos. Se puede expresar en tantos

por c iento.

E jemplo

Durante el mes de ju l io, en una c iudad se han registrado las s iguientes

temperaturas máximas:

32 , 31 , 28 , 29 , 33 , 32 , 31 , 30 , 31 , 31 , 27 , 28 , 29 , 30 , 32 , 31 , 31 , 30 , 30 , 29 , 29 , 30 , 30 ,

31 , 30 , 31 , 34 , 33 , 33 , 29 , 29.

En la pr imera columna de la tabla colocamos la var iable ordenada de menor a

mayor , en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la

f recuencia absoluta.

x i Recuento f i F i n i N i

27 I 1 1 0 .032 0.032

28 I I 2 3 0 .065 0.097

29

6 9 0.194 0.290

30

7 16 0.226 0.0516

31

8 24 0.258 0.774

32 I I I 3 27 0.097 0.871

33 I I I 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

31 1

Este t ipo de tablas de frecuencias se ut i l iza con var iables discretas.

D istr ibución de frecuencias agrupadas

La distr ibución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea

s i las var iables toman un número grande de valores o la var iable es continua.

Se agrupan los valores en in tervalos que tengan la misma ampli tud denominados

clases . A cada clase se le asigna su f recuencia correspondiente.

L ímites de la clase

Cada c lase es tá del imi tada por el l ími te in fer ior de la clase y el l ími te super ior de

la clase.

Ampli tud de la clase

La ampl i tud de la clase es la di ferencia entre el l ímite super ior e in fer i or de la

clase.

Marca de c lase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es e l valor que

representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7 , 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11,

13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35 , 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º Se local i zan los valores menor y mayor de la dis tr ibución. En este caso son 3 y

48.

2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la di ferencia y que

sea d iv is ible por el número de intervalos queramos establecer .

Es conveniente que el número de in tervalos osci le entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos e l númer o hasta 50 : 5 = 10 in tervalos .

Se forman los intervalos teniendo presente que el l ímite infer ior de una clase

per tenece al intervalo, pero e l l ímite super ior no per tenece intervalo, se cuenta

en el s iguiente intervalo.

c i f i F i n i N i

[0 , 5) 2 .5 1 1 0 .025 0.025

[5 , 10) 7 .5 1 2 0 .025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

40 1

D iagrama de barras y pol ígonos de frecuencias

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se u t i l i za para de presentar datos cual i tat ivos o datos

cuanti tat ivos de t ipo discreto .

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan

los valores de la var iable, y sobre el e je de ordenadas las f recuencias absolutas o

relat ivas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una al tura proporcional a la

f recuencia.

E jemplo

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una c lase para determinar su

grupo sanguíneo ha dado el s iguiente resul tado:

Grupo

sanguíneo f i

A 6

B 4

AB 1

0 9

20

Pol ígonos de frecuencia

Un pol ígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante

segmentos.

También se puede real izar t razando los puntos que representan las f recuencias y

uniéndolos mediante segmentos.

E jemplo

Las temperaturas en un día de otoño de una c iudad han sufr ido las s igu iente s

var iaciones :

Hora Temperatura

6 7º

9 12°

12 14°

15 11°

18 12°

21 10°

24 8°

D iagrama de sectores

Un diagrama de sectores se puede u t i l izar para todo t ipo de var iables , pero se usa

f recuentemente para las var iables cual i tat ivas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es

proporcional a la f recuencia absoluta correspondiente.

E l diagrama circular se construye con la ayuda de un transpor tador de ángulos .

E jemplo

En una clase de 30 a lumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4

juegan al fútbol y el res to no practica ningún deporte.

A lumnos Ángulo

Baloncesto 12 124°

Natación 3 36°

Fútbol 9 108°

S in deporte 6 72°

Total 30 360°

Histograma

Un histograma es una representación gráf ica de una var iable en forma de barras.

Se ut i l i zan para var iables continuas o para var iables discretas , con un gran

número de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos qu e t ienen por base la ampli tud

del in tervalo, y por al tura, la f recuencia absoluta de cada intervalo.

La super f icie de cada barra es proporcional a la f recuencia de los valores

representados.

Pol ígono de frecuencia

Para cons trui r el pol ígono de frecuencia s e toma la marca de clase que coincide

con el punto medio de cada rectángulo.

E jemplo

E l peso de 65 personas adu ltas v iene dado por la s igu iente tabla:

c i f i F i

[50, 60) 55 8 8

[60, 70) 65 10 18

[70, 80) 75 16 34

[80, 90) 85 14 48

[90, 100) 95 10 58

[100, 110) 110 5 63

[110, 120) 115 2 65

65

Histograma y pol ígono de frecuencias acumuladas

S i se representan las f recuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se

obtiene el h is tograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente pol ígono.

Histogramas con in tervalos de ampli tud di ferente

Para cons trui r un his togramas con intervalo de ampl i tud di ferente tenemos que

calcular las al turas de los rectángulos del h is tograma.

h i es la al tura del in tervalo.

f i es la f recuencia del intervalo .

a i es la ampli tud del intervalo.

E jemplo

En la s iguiente tabla se muestra las cal i f icaciones (suspenso, aprobado, notable y

sobresal iente) obtenidas por un grupo de 50 a lumnos.

f i h i

[0 , 5) 15 3

[5 , 7) 20 10

[7 , 9) 12 6

[9 , 10) 3 3

50

Parámetros es tadíst icos

Defin ición de parámetro estadíst ico

Un parámetro estadís t ico es un número que se obtiene a part i r de los

datos de una distr ibución estadíst ica .

Los parámetros estadís t icos s i rven para s intet izar la in formación dada por

una tabla o por una gráf ica.

T ipos de parámetros estadís t icos

Hay t res t ipos parámetros es tadíst icos :

De central i zación.

De posic ión

De dispers ión.

Medidas de central i zación

Nos indican en torno a qué valor (centro) se d is tr ibuyen los datos.

La medidas de central ización son:

Media ar i tmética

La media es e l va lor promedio de la d istr ibución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad super ior de

la d istr ibución y la infer ior , es decir d iv ide la ser ie de datos en dos par tes

iguales .

Moda

La moda es e l valor que más se repite en una distr ibución.

Medidas de posic ión

Las medidas de pos ición d iv iden un conjunto de datos en grupos con el

mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesar io que los datos estén

ordenados de menor a mayor .

La medidas de pos ición son:

Cuart i les

Los cuart i les div iden la ser ie de datos en cuatro par tes iguales .

Deci les

Los deci les d iv iden la ser ie de datos en diez par tes iguales .

Percenti les

Los percenti les d iv iden la ser ie de datos en cien par tes iguales .

Medidas de dispers ión

Las medidas de dispers ión nos in forman sobre cuanto se a le jan del

centro los va lores de la d istr ibución.

Las medidas de d ispers ión son:

Rango o recorr ido

El rango es la diferencia entre e l mayor y e l menor de los datos de una

distr ibución estadí st ica.

Desviación media

La desviación media es la media ar i tmética de los valores absolutos de

las desviaciones respecto a la media .

Var ianza

La var ianza es la media ar i tmética del cuadrado de las desviaciones

respecto a la media .

Desviación t ípica

La desviación t ípica es la raíz cuadrada de la var ianza .

Moda

Defin ición de moda

La moda es e l valor que t iene mayor f recuencia absoluta .

Se representa por Mo .

Se puede hal lar la moda para var iables cual i ta t ivas y cuanti tat ivas .

Hallar la moda de la d istr ibución:

2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 Mo= 4

S i en un grupo hay dos o var ias puntuaciones con la misma frecuencia y

esa f recuencia es la máxima, la distr ibución es bimodal o mult imodal , es

deci r , t iene var ias modas .

1 , 1 , 1 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 7 , 8 , 9 , 9 , 9 Mo= 1, 5 , 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo t ienen la misma frecuencia ,

no hay moda .

2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 , 9 , 9

S i dos puntuaciones adyacentes t ienen la f recuencia máxima , la moda es

e l promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos t ienen la misma ampl i tud.

L i es e l l ímite in fer ior de la clase modal .

f i es la f recuencia absoluta de la clase modal .

f i - - 1 es la f recuencia absoluta inmediatamente infer ior a la clase modal .

f i - + 1 es la f recuencia absoluta inmediatamente post er ior a la clase

modal .

a i es la ampl i tud de la clase.

También se ut i l i za otra fórmula de la moda que da un valor aproximado

de ésta:

Ejemplo

Calcular la moda de una distr ibución estadí st ica que viene dada por la

s iguiente tabla:

f i

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

100

2º Los in tervalos t ienen ampli tudes d ist in tas .

En pr imer lugar tenemos que hal lar las al turas.

La c lase modal es la que t iene mayor al tura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen d ist intas ampl i tudes

es:

Ejemplo

En la s iguiente tabla se muestra las cal i f icaciones (suspenso, aprobado,

notable y sobresal iente) obtenidas por un grupo de 50 a lumnos. Calcular la

moda .

f i h i

[0 , 5) 15 3

[5 , 7) 20 10

[7 , 9) 12 6

[9 , 10) 3 3

50

Mediana

Defin ición de mediana

Es e l valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos

están ordenados de menor a mayor .

La mediana se representa por Me .

La mediana se puede hal lar só lo para var iables cuanti ta t ivas .

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor .

2 Si la ser ie t iene un número impar de medidas la mediana es la

puntuación central de la misma.

2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 6Me= 5

3 Si la ser ie t iene un número par de puntuaciones la mediana es la media

entre las dos puntuaciones centrales .

7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la f recuencia acumulada

l lega hasta la mitad de la suma de las f recuencias absolutas .

Es deci r tenemos que buscar el in tervalo en el que se encuentre .

L i es e l l ímite in fer ior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las f recuencias absolutas.

F i - 1 es la f recuencia acumulada anter ior a la clase mediana.

a i es la ampl i tud de la clase.

La mediana e s independiente de las ampli tudes de los intervalos .

Ejemplo

Calcular la mediana de una distr ibución estadí st ica que viene dada por

la s iguiente tabla:

f i F i

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

100

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66 , 69)

Media ar i tmética

Defin ición de media ar i tmét ica

La media ar i tmét ica es e l valor obtenido al sumar todos los datos y

div idir e l resul tado entre el número tota l de datos .

es e l s ímbolo de la media ar i tmética .

Ejemplo

Los pesos de se i s amigos son: 84 , 91 , 72 , 68 , 87 y 78 kg. Hal lar el peso

medio.

Media ar i tmética para datos agrupados

Si los datos v ienen agrupados en una tabla de f recuencias, la expres ión

de la media es:

Ejercicio de media ar i tmética

En un test real izado a un grupo de 42 personas se han obtenido las

puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media .

x i f i x i · f i

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820

Propiedades de la media ar i tmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una

distr ibución respecto a la media de la misma igual a cero .

La suma de las desviaciones de los números 8, 3 , 5 , 12 , 10 de su media

ar i tmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7 .6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2 . 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviacione s de los valores de la

var iable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho

número coinc ide con la media ar i tmética .

3. Si a todos los va lores de la var iable se les suma un mismo número , la

media ar i tmética queda aumentada en d icho número .

4. Si todos los va lores de la var iable se mult ipl ican por un mismo número

la media ar i tmética queda mult ipl icada por d icho número .

Observaciones sobre la media ar i tmética

1. La media se puede hal lar só lo para var iables cuanti ta t ivas .

2. La media es independiente de las ampli tudes de los intervalos .

3. La media es muy sens ib le a las puntuaciones ex tremas . S i tenemos una

distr ibución con los s iguientes pesos:

65 kg , 69kg , 65 kg , 72 kg , 66 kg, 75 kg, 70 kg , 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es un a medida de central ización poco

representativa de la d istr ibución.

4. La media no se puede calcular s i hay un intervalo con una ampli tud

indeterminada .

x i f i

[60, 63) 61.5 5

[63, 66) 64.5 18

[66, 69) 67.5 42

[69, 72) 70.5 27

[72, ∞ ) 8

100

En este caso no es posib le hal lar la media porque no podemos calcular

la marca de c lase de úl t imo intervalo.

Cuart i les

Los cuart i les son los t res valores de la var iable que div iden a un conjunto

de datos ordenados en cuatro par tes iguales .

Q1 , Q 2 y Q 3 determinan los valores correspondientes a l 25%, al 50% y al

75% de los datos .

Q2 coinc ide con la mediana .

Cálculo de los cuar t i les

1 Ordenamos los datos de menor a mayor .

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuart i l mediante la expres ión

.

Número impar de datos

2, 5 , 3 , 6 , 7 , 4 , 9

Número par de datos

2, 5 , 3 , 4 , 6 , 7 , 1 , 9

Cálculo de los cuar t i les para datos agrupados

En pr imer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,

en la tabla de las f recuencias acumuladas .

L i es e l l ímite in fer ior de la clase donde se encuentra el cuart i l .

N es la suma de las f recuencias absolutas.

F i - 1 es la f recuencia acumulada anter ior a la clase del cuart i l .

a i es la ampl i tud de la clase.

Ejercicio de cuar t i les

Calcular los cuar t i les de la d istr ibución de la tabla:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del pr imer cuar t i l

Cálculo del segundo cuart i l

Cálculo del tercer cuar t i l

Deci les

Los deci les son los nueve valores que div iden la ser ie de datos en diez

par tes iguales .

Los deci les dan los valores correspondientes al 10%, a l 20%.. . y al 90% de

los datos.

D 5 coinc ide con la mediana .

Cálculo de los deci les

En pr imer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,

en la tabla de las f recuencias acumuladas.

L i es e l l ímite in fer ior de la clase donde se encuentra el decil .

N es la suma de las f recuencias absolutas.

F i - 1 es la f recuencia acumulada anter ior a la clase el decil . .

a i es la ampl i tud de la clase.

E jerc ic io de deciles

Calcular los deci les de la d istr ibución de la tabla:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del pr imer deci l

Cálculo del segundo deci l

Cálculo del tercer deci l

Cálculo del cuar to deci l

Cálculo del quinto deci l

Cálculo del sexto deci l

Cálculo del séptimo deci l

Cálculo del octavo deci l

Cálculo del noveno deci l

Percenti les

Los percenti les son los 99 valores que div iden la ser ie de datos en 100

par tes iguales .

Los percenti les dan los valores correspondientes al 1%, al 2%.. . y al 99%

de los datos.

P 5 0 coinc ide con la mediana .

Cálculo de los percenti les

En pr imer lugar buscamos la clase donde se encuentra

, en la tabla de las f recuencias acumuladas.

L i es e l l ímite in fer ior de la clase donde se encuentra el percenti l .

N es la suma de las f recuencias absolutas.

F i - 1 es la f recuencia acumulada anter ior a la clase del percenti l .

a i es la ampl i tud de la clase.

Ejercicio de percenti les

Calcular el percenti l 35 y 60 de la d istr ibución de la tabla:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Percenti l 35

Percenti l 60

Desviación media

Desviación respecto a la media

La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto

entre cada valor de la var iable estadí st ica y la media ar i tmética .

D i = |x - x|

Desviación media

La desviación media es la media ar i tmética de los valores absolu tos de

las desviaciones respecto a la media .

La desviación media se representa por

Ejemplo

Calcular la desviación media de la d istr ibución:

9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos v ienen agrupados en una tabla de frecuencias , la expres ión

de la desviación media es :

Ejemplo

Calcular la desviación media de la d istr ibución:

x i f i x i · f i |x - x| |x - x| · f i

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428

21 457.5 98.57

Var ianza

La var ianza es la media ar i tmética del cuadrado de las desviaciones

respecto a la media de una dis tr ibución estadí st ica.

La var ianza se representa por .

Var ianza para datos agrupados

Para s impl i f icar el cálculo de la var ianza vamos o ut i l i zar las s iguientes

expres iones que son equivalentes a las anter iores.

Var ianza para datos agrupados

Ejercicios de var ianza

Calcular la var ianza de la d istr ibución:

9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Calcular la var ianza de la d istr ibución de l a tabla:

x i f i x i · f i x i2 · f i

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la var ianza

1 La var ianza será s iempre un valor posi t ivo o cero , en e l caso de que las

puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la var iable se les suma un número la var ianza

no var ía .

3 Si todos los valores de la var iable se mult ipl ican por un número la

var ianza queda mult ipl icada por e l cuadrado de d icho número .

4 Si tenemos var ias d istr ibuciones con la misma media y conocemos sus

respectivas var ianzas se puede calcular la var ianza to tal .

S i todas las muestras t ienen e l mismo tamaño:

S i las muestras t ienen dist into tamaño:

Observaciones sobre la var ianza

1 La var ianza , a l igual que la media, es un índice muy sens ible a las

puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será posible

hal lar la var ianza .

3 La var ianza no viene expresada en las mismas un idades que los datos ,

ya que las desviaciones están e levadas al cuadrado.

Desviación t ípica

La desviación t ípica es la raíz cuadrada de la var ianza .

Es deci r , la raí z cuadrada de la media de los cuadrados de las

puntuaciones de desviación.

La desviación t ípica se representa por σ .

Desviación t ípica para datos agrupados

Para s impl i f icar el cálculo vamos o ut i l i zar las s iguientes expres iones que

son equivalentes a las anter iores.

Desviación t ípica para datos agrupados

Ejercicios de desviación t ípica

Calcular la desviación t íp ica de la d istr ibución:

9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Calcular la desviación t ípica de la d istr ibución de la tabla:

x i f i x i · f i x i2 · f i

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60) 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la desviación t ípica

1 La desviación t íp ica será s iempre un valor posi t ivo o cero , en el caso

de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la var iable se les suma un número la

desviación t ípica no var ía .

3 Si todos los valores de la var iable se mult ipl ican por un número la

desviación t ípica queda mult ip l icada por d icho número .

4 Si tenemos var ias d istr ibuciones con la misma media y conocemos sus

respectivas desviaciones t ípicas se puede calcular la desviación t ípica to tal .

S i todas las muestras t ienen e l mismo tamaño:

S i las muestras t ienen dist into tamaño:

Observaciones sobre la desviación t ípica

1 La desviación t íp ica , a l igual que la media y la var ianza, es un índice

muy sens ible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será posibl e

hal lar la desviación t ípica .

3 Cuanta más pequeña sea la desviación t ípica mayor será la

concentración de datos a l rededor de la media .

Coeficiente de var iación y puntuaciones t ípicas

Coeficiente de var iación

El coeficiente de var iación es la relación entre la desviación t ípica de

una muestra y su media .

E l coeficiente de var iación se suele expresar en porcentajes :

E l coeficiente de var iación permite comparar las dispers iones de dos

d istr ibuciones d ist intas , s iempre que sus medias sean posi t ivas .

Se calcula para cada una de las d istr ibuciones y los valores que se

obtienen se comparan entre sí .

La mayor dispers ión cor responderá al valor del coeficiente de var iación

mayor .

Ejercicio

Una distr ibución t iene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 25. ¿Cuál de

las dos presenta mayor d ispers ión?

La pr imera d istr ibución presenta mayor d ispers ión.

Puntuaciones t ípicas

Puntuaciones d i ferenciales

Las puntuaciones di ferenciales resul tan de restar les a las puntuaciones

directas la media ar i tmética .

x i = X i − X

Puntuaciones t ípicas

Las puntuaciones t ípicas son e l resul tado de div idir las puntuaciones

di ferenciales entre la desviación t ípica . Este proceso se l lama t ipi f icación .

Las puntuaciones t ípicas se representan por z .

Observaciones sobre puntuaciones t ípicas

La media ar i tmética de las puntuaciones t ípicas es 0 .

La desviación t ípica de las puntuaciones t ípicas es 1 .

Las puntuaciones t ípicas son adimensionales , e s deci r , son

independientes de las un idades ut i l i zadas.

Las puntuaciones t ípicas se ut i l i zan para comparar las puntuaciones

obtenidas en d ist intas d istr ibuc iones.

Ejemplo

En una c lase hay 15 a lumnos y 20 a lumnas. E l peso medio de los alumnos

es 58 .2 kg y e l de las alumnas y 54.4 kg. Las desviaciones t íp icas de los dos

grupos son, respectivamente, 3 .1 kg y 5.1 kg. E l peso de José es de 70 kg y el

de Ana es 65 kg. ¿Cuál de el los puede, dentro del grupo de alumnos de su

sexo, considerarse más grueso?

José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto a l suyo.

E jercicios y problemas resuel tos de Es tadíst ica I

1 . I nd ica que var iables son cual i ta t ivas y cuales cuanti tat ivas :

1 Comida Favor i ta.

2 Profes ión que te gusta.

3 Número de goles marcados por tu equipo favor i to en la úl t ima

temporada.

4 Número de alumnos de tu Inst i tuto .

5 El color de los o jos de tus compañeros de clase.

6 Coefic iente intelectual de tus compañeros de clase.

2. De las s iguientes var iables ind ica cuáles son discretas y cuales

continuas .

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bol sa.

2Temperaturas registradas cada hora en un observator io.

3 Período de duración de un automóvi l .

4 El d iámetro de las ruedas de var ios coches.

5 Número de h i jos de 50 fami l ias.

6 Censo anual de los españoles.

3. Clasi f icar las s iguientes var iables en cual i tat ivas y cuanti tat ivas

discretas o continuas .

1 La nacional idad de una persona.

2 Número de l i t ros de agua contenidos en un depósi to.

3 Número de l ibros en un estante de l ibrer ía .

4 Suma de puntos ten idos en e l lanzamiento de un par de dados.

5 La profes ión de una persona.

6 El área de las d ist intas baldosas de un edi f ic io.

4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han s ido:

15 , 20 , 15 , 18 , 22 , 13 , 13 , 16 , 15 , 19 , 18 , 15 , 16 , 20 , 16 , 15 , 18 , 16 , 14 , 13.

Construi r la tabla de distr ibución de frecuencias y d ibuja e l pol ígono de

frecuencias .

5. El número de estrel las de los hote les de una c iudad viene dado por la

s iguiente ser ie:

3 , 3 , 4 , 3 , 4 , 3 , 1 , 3 , 4 , 3 , 3 , 3 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ,

2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 1.

Construi r la tabla de distr ibución de f recuencias y d ibuja el d iagrama de

barras.

6. Las cal i f icaciones de 50 a lumnos en Matemáticas han s ido las

s iguientes:

5 , 2 , 4 , 9 , 7 , 4 , 5 , 6 , 5 , 7 , 7 , 5 , 5 , 2, 10 , 5 , 6 , 5 , 4 , 5 , 8 , 8 , 4 , 0 , 8 , 4 , 8 , 6 , 6 , 3 ,

6 , 7 , 6 , 6 , 7 , 6 , 7 , 3 , 5 , 6 , 9 , 6 , 1 , 4 , 6 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 .

Construi r la tabla de dis tr ibución de frecuencias y d ibuja el diagrama de

barras .

7. Los pesos de los 65 empleados de una fábr ica vienen dados por la

s iguiente tabla:

Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

f i 8 10 16 14 10 5 2

1 Construi r la tabla de frecuencias .

2 Representar el histograma y e l pol ígono de frecuencias .

8. Los 40 a lumnos de una clase han obtenido las s iguientes puntuaciones,

sobre 50, en un examen de Fí s ica.

3 , 15 , 24 , 28 , 33 , 35 , 38 , 42 , 23 , 38 , 36 , 34 , 29 , 25 , 17 , 7 , 34 , 36 , 39 , 44 , 31 ,

26 , 20 , 11 , 13 , 22 , 27 , 47 , 39 , 37 , 34 , 32 , 35 , 28 , 38 , 41 , 48 , 15 , 32 , 13 .

1 Construi r la tabla de frecuencias .

2 Dibujar el histograma y e l pol ígono de frecuencias .

9. Sea una distr ibución estadí st ica que viene dada por la s igu iente tabla:

x i 61 64 67 70 73

f i 5 18 42 27 8

Calcular :

1 La moda, mediana y media .

2 El rango, desviación media, var ianza y desviación t ípica .

10.Calcular la media , la mediana y la moda de la s iguiente ser ie de

números: 5, 3 , 6 , 5 , 4 , 5 , 2 , 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 , 4 , 8 , 2 , 5 , 4.

11 Hal lar la var ianza y la desviación t ípica de la s iguiente ser ie de datos:

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5.

12 Hal lar la media, mediana y moda de la s iguiente ser ie de números:

3 , 5 , 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8 , 6.

13. Hal lar la desviación media, la var ianza y la desviación t ípica de la

ser ies de números s iguientes:

2 , 3 , 6 , 8 , 11.

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5.

14 Se ha apl icado un test a los empleados de una fábr ica, obteniéndose

la s iguiente tabla:

f i

[38, 44) 7

[44, 50) 8

[50, 56) 15

[56, 62) 25

[62, 68) 18

[68, 74) 9

[74, 80) 6

Dibujar el histograma y e l pol ígono de frecuencias acumuladas .

15. Dadas las ser ies estadí st icas:

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9.

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 , 1.

Calcular :

La moda , la mediana y la media .

La desviación media, la var ianza y la desviación t íp ica .

Los cuart i les 1º y 3º.

Los deci les 2 º y 7º.

Los percenti les 32 y 85.

16. Una distr ibución estadí st ica viene dada por la s iguiente tabla:

[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

f i 3 5 7 4 2

Hal lar :

La moda, mediana y media .

El rango , desviación media y var ianza .

Los cuart i les 1º y 3º.

Los deci les 3 º y 6º.

Los percenti les 30 y 70.

17. Dada la d istr ibución estadí st ica:

[0 , 5) [5 , 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)

f i 3 5 7 8 2 6

Calcular :

La mediana y moda .

Cuart i l 2 º y 3º .

Media .

Ind ica que var iables son cual i tat ivas y cuales cuanti ta t ivas :

1 Comida Favor i ta.

Cuali ta t iva .

2 Profes ión que te gusta.

Cuali ta t iva .

3 Número de goles marcados por tu equipo favor i to en la úl t ima

temporada.

Cuanti tat iva .

4 Número de alumnos de tu Inst i tuto .

Cuanti tat iva .

5 El color de los o jos de tus compañeros de clase.

Cuali ta t iva .

6 Coefic iente intelectual de tus compañeros de clase.

Cuanti tat iva

De las s iguientes var iables ind ica cuáles son discretas y cuales

continuas .

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bol sa.

Discreta

2Temperaturas registradas cada hora en un observator io.

Continua

3 Período de duración de un automóvi l .

Continua

4 El d iámetro de las ruedas de var ios coches.

Continua

5 Número de h i jos de 50 fami l ias.

Discreta

6 Censo anual de los españoles.

Discreta

C las i f icar las s iguientes var iables en cual i ta t ivas y cuanti tat ivas discretas

o continuas .

1 La nacional idad de una persona.

Cuali ta t iva

2 Número de l i t ros de agua contenidos en un depósi to.

Cuanti tat iva continua .

3 Número de l ibro en un estante de l ib rer ía .

Cuanti tat iva discreta .

4 Suma de puntos ten idos en e l lanzamiento de un par de dados.

Cuanti tat iva discreta .

5 La profes ión de una persona.

Cuali ta t iva .

6 El área de las d ist intas baldosas de un edi f ic io.

Las puntuaciones obtenidas por un grupo de en una prueba han s ido:

15 , 20 , 15 , 18 , 22 , 13 , 13 , 16 , 15 , 19 , 18 , 15 , 16 , 20 , 16 , 15 , 18 , 16 , 14 , 13.

Construi r la tabla de dis tr ibución de frecuencias y d ibuja e l pol ígono de

frecuencias .

x i Recuento f i F i n i N i

13 I I I 3 0 .15 3 1

14 I 1 0 .05 4 0.95

15

5 0.25 9 0.85

16 I I I I 4 0 .20 13 0.80

18 I I I 3 0 .15 16 0.65

19 I 1 0 .05 17 0.45

20 I I 2 0 .10 19 0.20

22 I 1 0 .05 20 0.15

20

Pol ígono de frecuencias

Cuanti tat iva continua .

E l número de estrel las de los hote les de una c iudad viene dado por la

s iguiente ser ie:

3 , 3 , 4 , 3 , 4 , 3 , 1 , 3 , 4 , 3 , 3 , 3 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ,

2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 1.

Construi r la tabla de d istr ibución de frecuencias y d ibuja el diagrama de

barras .

x i Recuento x i F i n i N i

1

6 6 0.158 0.158

2

12 18 0.316 0.474

3

16 34 0.421 0.895

4 I I I I 4 38 0.105 1

38 1

Diagrama de barras

Las cal i f icaciones de 50 a lumnos en Matemáticas han s ido las s iguientes:

5, 2 , 4 , 9 , 7 , 4 , 5 , 6 , 5 , 7 , 7 , 5 , 5 , 2 , 10 , 5 , 6 , 5 , 4 , 5 , 8 , 8 , 4 , 0 , 8 , 4 , 8 , 6 , 6 , 3 ,

6 , 7 , 6 , 6 , 7 , 6 , 7 , 3 , 5 , 6 , 9 , 6 , 1 , 4 , 6 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 .

Construi r la tabla de d istr ibución de frecuencias y d ibuja el diagrama de

barras .

x i f i F i n i N i

0 1 1 0 .02 0.02

1 1 2 0.02 0.04

2 2 4 0.04 0.08

3 3 7 0.06 0.14

4 6 13 0.12 0.26

5 11 24 0.22 0.48

6 12 36 0.24 0.72

7 7 43 0.14 0.86

8 4 47 0.08 0.94

9 2 49 0.04 0.98

10 1 50 0.02 1.00

500 1 .00

Diagrama de barras

Los pesos de los 65 empleados de una fábr ica vienen dados por la

s iguiente tabla:

Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

f i 8 10 16 14 10 5 2

1 Construi r la tabla de frecuencias .

2 Representar el histograma y e l pol ígono de frecuencias .

x i f i F i n i N i

[50, 60) 55 8 8 0.12 0.12

[60, 70) 65 10 18 0.15 0.27

[70, 80) 75 16 34 0.24 0.51

[80,90) 85 14 48 0.22 0.73

[90, 100) 95 10 58 0.15 0.88

[100, 110) 105 5 63 0.08 0.96

[110, 120) 115 2 65 0.03 0.99

65

Histograma

Los 40 a lumnos de una clase han obtenido las s iguientes puntuaciones,

sobre 50, en un examen de Fí s ica.

3 , 15 , 24 , 28 , 33 , 35 , 38 , 42 , 23 , 38 , 36 , 34 , 29 , 25 , 17 , 7 , 34 , 36 , 39 , 44 , 31 ,

26 , 20 , 11 , 13 , 22 , 27 , 47 , 39 , 37 , 34 , 32 , 35 , 28 , 38 , 41 , 48 , 15 , 32 , 13 .

1 Construi r la tabla de frecuencias .

2 Dibujar el histograma y e l pol ígono de frecuencias .

x i f i F i n i N i

[0 , 5) 2 .5 1 1 0 .025 0.025

[5 , 10) 7 .5 1 2 0 .025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 47.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1.000

40 1

Histograma

Sea una distr ibución es tadíst ica que viene dada por la s iguiente tabla :

x i 61 64 67 70 73

f i 5 18 42 27 8

Calcular :

1 La moda, mediana y media .

2 El rango, desviación media, var ianza y desviación t ípica .

x i f i F i x i · f i |x − x | |x − x | · f i x i2

· f i

61 5 5 305 6.45 32.25 18 065

64 18 23 1152 3.45 62.10 73 728

67 42 65 2184 0.45 18.90 188 538

71 27 92 1890 2.55 68.85 132 300

73 8 100 584 5.55 44.40 42 632

100 6745 226.50 455 803

Moda

Mo = 67

Mediana

102/2 = 50 Me = 67

Media

Desviación media

Rango

r = 73 − 61 = 12

Var ianza

Desviación t ípica

Calcular la media , la mediana y la moda de la s iguiente ser ie de

números: 5, 3 , 6 , 5 , 4 , 5 , 2 , 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 , 4 , 8 , 2 , 5 , 4.

x i f i F i x i · f i

2 2 2 4

3 2 4 6

4 5 9 20

5 6 15 30

6 2 17 12

8 3 20 24

20 96

Moda

Mo = 5

Mediana

20/2 = 10 Me = 5

Media

Hal lar la var ianza y la desviación t ípica de la s iguiente ser ie de datos:

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5.

Hal lar la media, mediana y moda de la s iguiente ser ie de números:

3 , 5 , 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8 , 6.

2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9.

Moda

Mo = 5

Mediana

10/2 = 5

Media

Hal lar la desviación media, la var ianza y la desviación t ípica de la ser ies

de números s iguientes:

2 , 3 , 6 , 8 , 11.

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5.

2 , 3 , 6 , 8 , 11.

Media

Desviación media

Var ianza

Desviación t ípica

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5.

Media

Desviación media

Var ianza

Desviación t ípica

Se ha apl icado test a los empleados de una fábr ica, obteniéndose las

s iete tabla:

f i

[38, 44) 7

[44, 50) 8

[50, 56) 15

[56, 62) 25

[62, 68) 18

[68, 74) 9

[74, 80) 6

Dibujar el histograma y el pol ígono de frecuencias acumuladas .

f i F i

[38, 44) 7 7

[44, 50) 8 15

[50, 56) 15 30

[56, 62) 25 55

[62, 68) 18 73

[68, 74) 9 82

[74, 80) 6 88

Dadas las ser ies estadí st icas:

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9.

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 , 1.

Calcular :

La moda , la mediana y la media .

La desviación media, la var ianza y la desviación t íp ica .

Los cuart i les 1º y 3º.

Los deci les 2 º y 7º.

Los percenti les 32 y 85.

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9.

Moda

No ex iste moda porque todas las puntuaciones t ienen la misma

frecuencia.

Mediana

2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9.

Me = 5

Media

Var ianza

Desviación t ípica

Desviación media

Rango

r = 9 − 2 = 7

Cuart i les

Deci les

7 · (2/10) = 1.4 D 2 = 3

7 · (7/10) = 4.9 D 7 = 6

Percenti les

7 · (32/100) = 2 ,2 P 3 2 = 4

7 · (85/100) = 5.9 P 8 5 = 7

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 , 1.

Moda

No ex iste moda porque todas las puntuaciones t ienen la misma

frecuencia.

Mediana

Media

Var ianza

Desviación t ípica

Desviación media

Rango

r = 9 - 1 = 8

Cuart i les

Deci les

8 · (2/10) = 1.6 D 2 = 2

8 · (7/10) = 5.6 D 7 = 6

Percenti les

8 · (32/100) = 2.56 P 3 2 = 3

8 · (85/100) = 6.8 P 8 5 = 7

Una distr ibución estadí st ica viene dada por la s iguiente tabla:

[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

f i 3 5 7 4 2

Hal lar :

La moda, mediana y media .

E l rango , desviación media y var ianza .

Los cuart i les 1º y 3º.

Los deci les 3 º y 6º.

Los percenti les 30 y 70.

x i f i F i x i · f i |x − x | · f i x i2

· f i

[10, 15) 12.5 3 3 37.5 27.857 468.75

[15, 20) 17.5 5 8 87.5 21.429 1537.3

[20, 25) 22.5 7 15 157.5 5 3543.8

[25, 30) 27.5 4 19 110 22.857 3025

[30, 35) 32.5 2 21 65 21.429 2112.5

21 457.5 98.571 10681.25

Moda

Mediana

Media

Desviación media

Var ianza

Desviación t ípica

Cuart i les

Deci les

Percenti les

Dada la d istr ibución estadí st ica:

[0 , 5) [5 , 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)

f i 3 5 7 8 2 6

Calcular :

La mediana y moda .

Cuart i l 2 º y 3º .

Media .

x i f i F i

[0 , 5) 2 .5 3 3

[5 , 10) 7 .5 5 8

[10, 15) 12.5 7 15

[15, 20) 17.5 8 23

[20, 25) 22.5 2 25

[25, ∞) 6 31

31

Moda

Mediana

Cuart i les

Media

No se puede calcular la media , porque no se puede hal lar la marca de

c lase del úl t imo intervalo.

E jercicios y problemas resuel tos de Es tadíst ica I I

1 . A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los

números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

2. Un dentista observa el número de car ies en cada uno de los 100 n iños

de c ier to colegio. La in formación obtenida aparece resumida en la s iguiente

tabla :

Nº de car ies f i n i

0 25 0.25

1 20 0.2

2 x z

3 15 0.15

4 y 0.05

1. Completar la tabla obteniendo los va lores de x, y , z .

2. Hacer un diagrama de sectores .

3. Calcular el número medio de car ies.

3. Se t iene e l s iguiente conjunto de 26 datos :

10 , 13 , 4 , 7 , 8 , 11 10, 16 , 18 , 12 , 3, 6 , 9 , 9 , 4 , 13 , 20 , 7 , 5 , 10 , 17 , 10 , 16 , 14 ,

8 , 18

Obtener su mediana y cuart i les .

4. Un pediatra obtuvo la s iguiente tabla sobre los meses de edad de 50

n iños de su consul ta en el momento de andar por pr imera vez:

Meses Niños

9 1

10 4

11 9

12 16

13 11

14 8

15 1

1. Dibujar e l pol ígono de frecuencias .

2. Calcular la moda , la mediana , la media y la var ianza .

5. Completar los datos que fa l tan en la s iguiente tabla estadí st ica:

x i f i F i n i

1 4 0 .08

2 4

3 16 0.16

4 7 0 .14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

Calcular la media, mediana y moda de esta d istr ibución.

6. Considérense los s iguientes datos: 3 , 8 , 4 , 10 , 6 , 2 . Se p ide:

1. Calcular su media y su var ianza.

2. Si los todos los datos anter iores los mul t ipl icamos por 3, cúal será la

nueva media y desviación típ ica.

7. El resul tado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla :

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

1. Calcular la media y la desviación t ípica .

2. Hal lar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x

+ σ) .

8. Las a l turas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas

por la tabla:

Altura

[170,

175)

[175,

180)

[180,

185)

[185,

190)

[190,

195)

[195,

2 .00)

Nº de

jugadores

1 3 4 8 5 2

Calcular :

1 . La media .

2. La mediana .

3. La desviación t ípica .

4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una

desviación t ípica?

9. Los resul tados a l lanzar un dado 200 veces vienen dados por la

s iguiente tabla :

1 2 3 4 5 6

f i a 32 35 33 b 35

Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.

10. El h istograma de la d istr ibución correspondiente al peso de 100

a lumnos de Bachil le rato es e l s iguiente:

1. Formar la tabla de la distr ibución .

2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos a lumnos hay menos pesados que é l?

3. Calcular la moda .

4. Hal lar la mediana .

5. ¿A part i r de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más

pesados?

11. De esta distr ibución de frecuencias absolutas acumuladas , calcular :

Edad F i

[0 , 2) 4

[2 , 4) 11

[4 , 6) 24

[6 , 8) 34

[8 , 10) 40

1. Media ar i tmét ica y desviación t ípica .

2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?

3. Representar el pol ígono de f recuencias absolutas acumuladas .

12. Una persona A mide 1.75 m y res ide en una c iudad donde la estatura

media es de 1.60 m y la desviación típ ica es de 20 cm. Otra persona B mide

1.80 m y vive en una c iudad donde la estatura media es de 1.70 m y la

desviación típ ica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más al ta respecto a sus

conciudadanos?

13. Un profesor ha real izado dos tes ts a un grupo de 40 a lumnos,

obteniendo los s iguientes resul tados: para el pr imer test la media es 6 y la

desviación t ípica 1 .5.

Para el segundo test la media es 4 y la desviación t ípica 0.5.

Un alumno obtiene un 6 en e l pr imero y un 5 en el segundo. En re lación

con el grupo, ¿en cuál de los dos tes ts obtuvo mejor puntuación?

14 La as istencia de espectadores a las 4 sa las de un c ine un

determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.

1. Calcular la dispers ión del número de as istentes.

2. Calcular el coeficiente de var iación .

3. Si e l d ía del espectador acuden 50 personas más a cada sa la, ¿qué

efecto tendría sobre la dispers ión?

A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los

números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

Un dentista observa el número de car ies en cada uno de los 100 n iños de

c ier to colegio. La in formación obtenida aparece resumida en la s iguiente

tabla :

Nº de car ies f i n i

0 25 0.25

1 20 0.2

2 x z

3 15 0.15

4 y 0.05

1. Completar la tabla obteniendo los va lores x, y , z .

2. Hacer un diagrama de sectores .

3. Calcular el número medio de car ies.

1. Tabla

La suma de las f recuencias relat ivas ha de ser igual a 1:

0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0 .05 = 1

0.65 + z = 1 z = 0 .35

La f recuencia relat iva de un dato es igual su f recuencia absoluta

d iv id ida entre 100, que es la suma de las f recuencias absolutas.

Nº de car ies f i n i f i · n i

0 25 0.25 0

1 20 0.2 20

2 35 0.35 70

3 15 0.15 45

4 5 0.05 20

155

2. D iagrama de sectores

Calculamos los grados que corresponden a cara f recuencia absoluta.

25 · 3.6 = 90º 20 · 3.6 = 72º 35 · 3.6 = 126º

15 · 3.6 = 54º 5 · 3.6 = 18º

3. Media ar i tmét ica

Se t iene e l s iguiente conjunto de 26 datos:

10 , 13 , 4 , 7 , 8 , 11 10, 16 , 18 , 12 , 3 , 6 , 9 , 9 , 4 , 13 , 20 , 7 , 5 , 10 , 17 , 10 , 16 , 14 ,

8 , 18

Obtener su mediana y cuart i les .

En pr imer lugar ordenamos los datos de menor a mayor :

3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 8 , 8 , 9 , 9 , 10 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 , 13 , 13 , 14 , 16 , 16 , 17 , 18 ,

18 , 20

Mediana

26/2 = 13.

Como el número de datos es par la mediana es la media de las dos

puntuaciones centrales:

Cuart i les

26/4 = 6.5 Q1 = 7

Q 2 = Me = 10

(26 · 3)/4 = 19.5 Q 3 = 14

Un pediatra obtuvo la s iguiente tabla sobre los meses de edad de 50

n iños de su consul ta en el momento de andar por pr imera vez:

Meses Niños

9 1

10 4

11 9

12 16

13 11

14 8

15 1

1. Dibujar e l pol ígono de frecuencias .

2. Calcular la moda , la mediana , la media y la var ianza .

Pol ígono de frecuencias

x i f i N i x i · f i x² i · f i

9 1 1 9 81

10 4 5 40 400

11 9 14 99 1089

12 16 30 192 2304

13 11 41 143 1859

14 8 49 112 1568

15 1 50 15 225

50 610 7526

Moda

Mo = 12

Mediana

50/2 = 25 Me = 12

Media ar i tmética

Var ianza

Completar los datos que fa l tan en la s iguiente tabla estadís t ica :

x i f i F i n i

1 4 0 .08

2 4

3 16 0.16

4 7 0 .14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

Calcular la media , mediana y moda de esta d is tr ibución.

Tabla

Pr imera f i la :

F 1 = 4

Segunda f i la :

F 2 = 4 + 4 = 8

Tercera f i la :

Cuarta f i la :

N 4 = 16 + 7 = 23

Quinta f i la :

Sexta f i la :

28 + n 8 = 38 n 8 = 10

Séptima f i la :

Octava f i la :

N 8 = N = 50 n 8 = 50 − 45 = 5

x i f i F i n i x i · f i

1 4 4 0 .08 4

2 4 8 0.08 8

3 8 16 0.16 24

4 7 23 0.14 28

5 5 28 0.1 25

6 10 38 0.2 60

7 7 45 0.14 49

8 5 50 0.1 40

50 238

Media ar tmética

Mediana

50/2 = 25 Me = 5

Moda

Mo = 6

Considérense los s iguientes datos: 3 , 8 , 4 , 10 , 6 , 2 . Se p ide:

1. Calcular su media y su var ianza .

2. Si los todos los datos anter iores los mult ipl icamos por 3 , cúal será la

nueva media y var ianza .

x i x i2

2 4

3 9

4 16

6 36

8 64

10 100

33 229

1

2

E l resul tado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla :

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

1. Calcular la media y la desviación t ípica .

2. Hal lar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x

+ σ) .

x i f i x i · f i x i2

· f i

2 3 6 12

3 8 24 72

4 9 36 144

5 11 55 275

6 20 120 720

7 19 133 931

8 16 128 1024

9 13 117 1053

10 11 110 1100

11 6 66 726

12 4 48 576

120 843 6633

1

2

x − σ = 4.591 x + σ = 9.459

Los va lores comprendidos en el intervalo (4.591, 9.459) son los

cor respondientes a las sumas de 5 , 6 , 7 , 8 y 9.

11 + 20 + 19 + 16 + 13 = 79

Las a l turas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas

por la tabla:

Altura

[170,

175)

[175,

180)

[180,

185)

[185,

190)

[190,

195)

[195,

2 .00)

Nº de

jugadores

1 3 4 8 5 2

Calcular :

1. La media .

2. La mediana .

3. La desviación t ípica .

4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una

desviación t ípica?

x i f i F i x i · f i x i2

· f i

[1 .70, 1 .75) 1 .725 1 1 1.725 2.976

[1 .75, 1 .80) 1 .775 3 4 5.325 9.453

[1 .80, 1 .85) 1 .825 4 8 7.3 13.324

[1 .85, 1 .90) 1 .875 8 16 15 28.128

[1 .90, 1 .95) 1 .925 5 21 9.625 18.53

[1 .95, 2 .00) 1 .975 2 23 3.95 7.802

23 42.925 80.213

Media

Mediana

Desviación t ípica

4

x + σ = 1.866+ 0.077 = 1 .943

Este valor pertenece a un percenti l que se encuentra en el penúl t imo

intervalo.

Sólo hay 3 jugadores por encima de x + σ.

Los resul tados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la s iguiente

tabla :

1 2 3 4 5 6

f i a 32 35 33 b 35

Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.

x i f i x i · f i

1 a a

2 32 64

3 35 125

4 33 132

5 b 5b

6 35 210

135 + a + b 511 + a + 5b

a = 29 b = 36

El h istograma de la d istr ibución cor respondiente al peso de 100 a lumnos

de Bachil lerato es e l s iguiente:

1. Formar la tabla de la distr ibución .

2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos a lumnos hay menos pesados que é l?

3. Calcular la moda .

4. Hal lar la mediana .

5. ¿A part i r de que valores se encuentran el 25% de los a lumnos más

pesados?

1

x i f i F i

[60,63 ) 61.5 5 5

[63, 66) 64.5 18 23

[66, 69) 67.5 42 65

[69, 72) 70.5 27 92

[72, 75) 73.5 8 100

100

2

5 + 18 + 42 + 27 = 92 a lumnos más l igeros que Andrés.

Moda

Mediana

5

El valor a part i r del cual se encuentra el 25% de los alumnos más

pesados es e l cuart i l tercero .

De esta dis tr ibución de frecuencias absolu tas acumuladas , ca lcular :

Edad F i

[0 , 2) 4

[2 , 4) 11

[4 , 6) 24

[6 , 8) 34

[8 , 10) 40

1. Media ar i tmét ica y desviación t ípica .

2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?

3. Representar el pol ígono de f recuencias absolutas acumuladas .

x i f i F i x i · f i x i2

· f i

[0 , 2) 1 4 4 4 4

[2 , 4) 3 7 11 21 63

[4 , 6) 5 13 24 65 325

[6 , 8) 7 10 34 70 490

[8 , 10) 9 6 40 54 486

40 214 1368

Media y desviación t ípica

2

Los 10 a lumnos representan el 25% central de la d istr ibución.

Debemos hal lar P 3 7 . 5 y P 6 2 . 5 .

Las 10 edades centrales están en el intervalo: [4 .61, 6 .2] .

Pol ígono de frecuencias

Una persona A mide 1.75 m y res ide en una c iudad donde la estatura

media es de 1.60 m y la desviación típ ica es de 20 cm. Otra persona B mide

1.80 m y vive en una c iudad donde la estatura media es de 1.70 m y la

desviación típ ica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más al ta respecto a sus

conciudadanos?

La persona A es más alta respecto a sus conciudadanos que la persona

B .

Un profesor ha real izado dos tests a un grupo de 40 a lumnos, obteniendo

los s iguientes resul tados: para el pr imer test la media es 6 y la desviación

t ípica 1 .5.

Para el segundo test la media es 4 y la desviación t ípica 0.5.

Un alumno obtiene un 6 en e l pr imero y un 5 en el segundo. En re lación

con el grupo, ¿en cuál de los dos tes ts obtuvo mejor puntuación?

En e l segundo test consigue mayor puntuación.

La as istencia de espectadores a las 4 sa las de un c ine un determinado

día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.

1. Calcular la dispers ión del número de as istentes.

2. Calcular el coeficiente de var iación .

3. Si e l d ía del espectador acuden 50 personas más a cada sa la, ¿qué

efecto tendría sobre la dispers ión?

Desviación t ípica

Coeficiente de var iación

3

Si todas las sa las t ienen un incremento de 50 personas, la media

ar i tmética también se ve incrementada en 50 personas .

La desviación t íp ica no var ía , ya que sumamos la misma cantidad a

cada dato de la ser ie.

La dispers ión relat iva es menor en el segundo caso .