Libro matemática 1° ESB
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Matemática 1° ESB TEMARIO: 1. Números naturales 2. Divisibilidad 3. Números enteros 4. Números decimales 5. Fracciones 6. Ecuaciones 7. Proporcionalidad 8. Sistema métrico decimal 9. Elementos del plano 10. Polígonos 11. Áreas de las figuras planas 12. Circunferencia y círculo 13. Cuerpos 14. Gráficas y funciones 15. Probabilidad y estadística
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Matemática 1° ESB
TEMARIO:
1. Números naturales
2. Divisibilidad
3. Números enteros
4. Números decimales
5. Fracciones
6. Ecuaciones
7. Proporcionalidad
8. Sistema métrico decimal
9. Elementos del plano
10. Polígonos
11. Áreas de las figuras planas
12. Circunferencia y círculo
13. Cuerpos
14. Gráficas y funciones
15. Probabilidad y estadística
Números naturales
El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto
(número cardinal ) . O bien expresamos la posición u orden que ocupa un
elemento en un conjunto (ordinal) .
Los números naturales están ordenados , lo que nos permite
comparar dos números naturales :
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son i l imitados , s i a un número natural le
sumamos 1, obtenemos otro número natural .
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta
ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número
cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, s ituamos de
menor a mayor los siguientes números naturales : 1, 2, 3. . .
Suma de números naturales
a + b = c
Los términos de la suma, a y b , se l laman sumandos y el resultado, c ,
suma .
Propiedades de la suma de números naturales
El resultado de sumar dos números naturales es otro número
natural .
a + b
2. Asociativa :
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3. Conmutativa :
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutro :
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado
con él da el mismo número.
a + 0 = a
3 + 0 = 3
Resta de números naturales
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se l laman: a , minuendo y
b , sustraendo . Al resultado, c , lo l lamamos diferencia .
Propiedades de la resta de números naturales
1. No es una operación interna :
El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro
número natural .
2 − 5
2. No es Conmutativa :
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números naturales
Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los
factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor .
a · b = c
Los términos a y b se l laman factores y el resultado, c , producto.
Propiedades de la multiplicación de números naturales
1. Interna : El resultado de multiplicar dos números naturales es
otro número natural .
a · b
2. Asociativa :
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa :
El orden de los factores no varía el producto .
a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4. Elemento neutro :
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números
naturales , porque todo número mult ipl icado por él da el mismo número.
a · 1 = a
3 · 1 = 3
5. Distributiva :
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la
suma de los multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de
los sumandos .
a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común :
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva .
Si varios sumandos t ienen un factor común , podemos transformar la
suma en producto extrayendo dicho factor .
a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
División de números naturales
D : d = c
Los términos que intervienen en un división se l laman, D , dividendo
y, d, divisor . Al resultado, c , lo l lamamos cociente .
Tipos de divisiones
1. División exacta :
Una división es exacta cuando el resto es cero .
D = d · c
15 = 5 · 3
2. División entera :
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero .
D = d · c + r
17 = 5 · 3 + 2
Propiedades de la división de números naturales
1. No es una operación interna :
El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro
número natural .
2 : 6
2. No es Conmutativo :
a : b ≠ b : a
6 : 2 ≠ 2 : 6
3. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
4. No se puede dividir por 0.
Potencias de números naturales
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto
formado por varios factores iguales .
5 · 5 · 5 · 5 = 54
Base
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí
mismo, en este caso el 5.
Exponente
El exponente de una potencia indica el número de veces que
multiplicamos la base , en el ejemplo es el 4.
Propiedades de la potencias de números naturales
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma
de los exponentes .
am · a n = am + n
25 · 2 2 = 25 + 2 = 27
4. División de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la
diferencia de los exponentes .
am : a n = am - n
25 : 2 2 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto
de los exponentes .
(am)n = am · n
(2 5)3 = 2 1 5
6. Producto de potencias con el mismo exponente :
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
producto de las bases .
an · b n = (a · b) n
23 · 4 3 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente :
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
cociente de las bases .
an : bn = (a : b)n
63 : 3 3 = 23
Descomposición polinómica de un número
Un número natural se puede descomponer uti l izando potencias de
base 10 .
El numero 3 658 podemos descomponerlo del s iguiente modo:
3 658 = 3 ·103 + 6 ·102 + 5 ·101 + 8
Raíz cuadrada
La radicación es la operación inversa a la potenciación . Y consiste
en que dados dos números, l lamados radicando e índice , hal lar un
tercero, l lamado raíz , tal que, elevado al índice , sea igual al radicando .
En la raíz cuadrada el índice es 2 , aunque en este caso se omite.
Consist ir ía en hal lar un número conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de un número, a , es exacta cuando encontramos un
número, b , que elevado al cuadrado es igual al radicando : b2 = a.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta t iene de resto 0.
Radicando = (Raíz exacta) 2
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas .
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...
Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto
Algoritmo de la raíz cuadrada
Cálculo de la raíz cuadrada
1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en
grupos de dos empezando por la derecha.
2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo
de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos
cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz cuadrada del
cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casi l la
correspondiente.
3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de
cifras que aparecen en el radicando.
El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y
obtenemos 4.
4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del
radicando, separando del número formado la primera cifra a la
derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.
49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.
5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la
raíz, multiplicando el número formado por él, y restándolo a la
cantidad operable del radicando.
Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable
del radicando, habríamos probado por 8, por 7.. .hasta encontrar un valor
inferior.
6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz .
7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos
anteriores.
Como 5301 > 5125, probamos por 8.
Subimos el 8 a la raíz.
8Prueba de la raíz cuadrada.
Para que el resultado sea correcto, se t iene que cumplir:
Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto
89 225 = 298 2 + 421
Operaciones combinadas con números naturales
Prioridad de las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces .
3º.Efectuar los productos y cocientes .
4º.Realizar las sumas y restas .
Tipos de operaciones combinadas
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según
aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Real izamos primero las multiplicacion por tener mayor prioridad .
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas .
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Real izamos los productos y cocientes en el orden en el que los
encontramos porque las dos operaciones t ienen la misma prioridad .
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas .
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y
potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad .
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes .
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas .
= 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2 3) =
Real izamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos .
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis real izando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (2 3 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los
paréntesis .
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Real izamos las sumas y restas de los paréntesis .
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 =
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los paréntesis .
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos .
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos .
= 83
Ejercicios de números naturales
1.Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes
operaciones:
1. 327 + . . . . . . . = 1.208
2. . . . . . . . – 4.121 = 626
3. 321 · . . . . . . . = 32 100
4. 28.035 : . . . . . . . = 623
2.Busca el término desconocido en las siguientes operaciones:
1. 4 · (5 + . . . ) = 36
2. (30 – . . . ) : 5 + 4 = 8
3. 18 · . . . + 4 · . . . = 56
4. 30 – . . . : 8 = 25
3.Calcular de dos modos dist intos la siguiente operaciones:
1. 17 · 38 + 17 · 12 =
2. 6 · 59 + 4 · 59 =
3.(6 + 12) : 3
4.Sacar factor común :
1. 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 =
2. 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 =
3.8 · 34 + 8 · 46 + 8 · 20 =
5.Expresa en forma de potencias:
1. 50 000
2. 3 200
3. 3 000 000
6.Escribe en forma de una sola potencia :
1. 33 · 3 4 · 3 =
2. 57 : 5 3 =
3. (5 3)4 =
4. (5 · 2 · 3) 4 =
5. (3 4)4 =
6. [(5 3)4 ]2 =
7. (8 2)3
8. (9 3)2
9. 25 · 2 4 · 2 =
10. 27 : 2 6 =
11. (2 2)4 =
12. (4 · 2 · 3) 4 =
13.(2 5)4 =
14. [(2 3 )4]0=
15. (27 2)5=
16. (4 3)2 =
7.Uti l izando potencias, haz la descomposición polinómica de estos
números:
1. 3 257
2. 10 256
3.125 368
8.Calcular las raíces :
1.
2.
3.
9.Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta
su prioridad:
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16 =
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
5. 2 + 5 · (2 · 3)³ =
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
7. 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
8. 7 · 3 + [6 + 2 · (2 3 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
1
1.Sumando .
1.208 − 327 = 881
2. Minuendo .
4.121 + 626 = 4747
3. Factor .
32 100 : 321 = 100
4. Divisor .
28 035 : 623 = 45
2
1. 4 · (5 + ...) = 36
4
2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8
10
3. 18 · ... + 4 · ... = 56
2 y 5
4. 30 – ... : 8 = 25
40
3
1. 17 · 38 + 17 · 12 = 646 + 204 = 850
2. 17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12) = 17 · 50 = 850
1. 6 · 59 + 4 · 59 = 354 + 236 = 590
2. 6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4) = 59 · 10 = 590
1.(6 + 12) : 3 = 18 : 3 = 6
2.(6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 = 6
4
1. 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 = 5 (7 − 3 + 16 − 4)
2.6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 = 4 (6 − 3 + 9 − 5)
3.8 · (34 + 46 + 20)
5
1. 50 000 = 5 · 104
2. 3 200 = 32 · 102
3. 3 000 000 = 3 · 106
6
1. 33 · 3 4 · 3 = 38
2. 57 : 5 3 = 54
3. (5 3)4 = 51 2
4. (5 · 2 · 3) 4 = 304
5.(3 4)4 = 31 6
6. [(5 3)4]2 = (5 1 2)2 = 52 4
7. (8 2)3 =[( 2 3)2]3 = (2 6)3 = 21 8
8. (9 3)2 = [(3 2)3]2 = (3 6)2 = 31 2
9. 25 · 2 4 · 2 = 21 0
10. 27 : 2 6 = 2
11. (2 2)4 = 28
12. (4 · 2 · 3) 4 = 244
13.(2 5)4 = 22 0
14. [(2 3 )4]0 = (2 1 2)0 = 2 0 = 1
15. (27 2)5 =[(3 3)2]5 = (3 6)5 = 33 0
16. (4 3)2 = [(2 2)3]2 = (2 6)2 = 21 2
7
1. 3 257 = 3 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 7
2. 10 256 = 1 · 104 + 0 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 6
3. 125 368 = 1 · 105 + 2 · 104 +5 · 103 + 3 · 102 + 6 · 10 + 8
8
1.
2.
3.
9
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
= 27 + 15 − 16 = 26
2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16=
27 + 3 – 9 + 16 = 37
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
= (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
= 27 + 8 – 3 = 32
5. 2 + 5 · (2 ·3)³ =
= 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
= 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =
= 440 − (72) = 368
7. 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=
2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
8.7 · 3 + [6 + 2 · (2 3 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =
= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =
= 21 + 8 + 3 = 32
Problemas de números naturales
1 Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres
cifras dist intas, ordénalos de menor a mayor y súmalos.
2El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es
el dividendo?
3El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo
321. ¿Cuál es el resto?
4Pedro compró una f inca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €.
¿Por cuánto lo vendió?
5Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525
€ y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?
6 Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes
cuestan 400 € y se desea ganar con la venta 1200€. ¿A cuánto debe
venderse el ki logramo de boquerones?
7¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año t iene 365
días.
8Pedro quiere comprar un automóvil . En la t ienda le ofrecen dos
modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos
los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Hal la el número
de posibles elecciones que t iene Pedro.
9 En una piscina caben 45 000 l i tros. ¿Cuánto t iempo tarda en l lenarse
mediante un grifo que echa 15 l i tros por minuto?
10En un aeropuerto aterr iza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos
aviones aterr izan en un día?
11En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada
90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles
habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?
1
579 + 597 + 759 + 795 + 957 + 975 = 4662 .
2
504 · 605 = 304 920
3
321 − 21 · 15 = 321 − 315 = 6
4
643 750 € + 75 250 € = 719 000 €
5
525 + 37 = 562;
562 − 247 = 315 €
6
1600 · 4 = 6400
6400 + 400 + 1200 = 8000
8000 : 1600 = 5 €
7
6205 : 365 = 17 años
8
2 · 5 = 10 elecciones
9
45 000 : 15 = 3000 minutos
3 000 : 60 = 50 horas
10
24 · 60 = 1 440 minutos por día
1 440 : 10 = 144 aviones al día
11
4 500 : 90 = 50 árboles hay en la urbanización.
4 500 :12 = 375 tendría que haber, para que a cada 12
habitantes les correspondiese un árbol.
375 − 50 = 325 árboles
Divisibilidad
Múltiplos
Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de
multiplicarlo por otro número c .
a = b · c
18 es múltiplo de 2, ya que resulta de mult ipl icar 2 por 9.
18 = 2 · 9
Obtenemos un múltiplo natural al mult ipl icarlo por cualquier número
natural.
Múltiplos de 2
2 · 0 = 0 2 · 1 = 2 2 · 2 = 4 2 · 3 = 6 2 · 4 = 8
2 · 5 =
10
2 · 6 =
12
2 · 7 =
14
2 · 8 =
16
2 · 9 =
18
Múltiplos de 3
3 · 0 = 0 3 · 1 = 3 3 · 2 = 6 3 · 3 = 93 · 4 =
12
3 · 5 =
15
3 · 6 =
18
3 · 7 =
21
3 · 8 =
24
3 · 9 =
27
Múltiplos de 4
4 · 0 = 0 4 · 1 = 4 4 · 2 = 84 · 3 =
12
4 · 4 =
16
4 · 5 =
20
4 · 6 =
24
4 · 7 =
28
4 · 8 =
32
4 · 9 =
36
Múltiplos de 5
5 · 0 = 0 5 · 1 = 55 · 2 =
10
5 · 3 =
15
5 · 4 =
20
5 · 5 =
25
5 · 6 =
30
5 · 7 =
35
5 · 8 =
40
5 · 9 =
45
Múltiplos de 6
6 · 0 = 0 6 · 1 = 66 · 2 =
12
6 · 3 =
18
6 · 4 =
24
6 · 5 =
30
6 · 6 =
36
6 · 7 =
42
6 · 8 =
48
6 · 9 =
54
Múltiplos de 7
7 · 0 = 0 7 · 1 = 77 · 2 =
14
7 · 3 =
21
7 · 4 =
28
7 · 5 =
35
7 · 6 =
42
7 · 7 =
49
7 · 8 =
56
7 · 9 =
63
Múltiplos de 8
8 · 0 = 0 8 · 1 = 88 · 2 =
16
8 · 3 =
24
8 · 4 =
32
8 · 5 =
40
8 · 6 =
48
8 · 7 =
56
8 · 8 =
64
8 · 9 =
72
Múltiplos de 9
9 · 0 = 0 9 · 1 = 99 · 2 =
18
9 · 3 =
27
9 · 4 =
36
9 · 5 =
45
9 · 6 =
54
9 · 7 =
63
9 · 8 =
72
9 · 9 =
81
Múltiplos de 10
10 · 0 = 010 · 1 =
10
10 · 2 =
20
10 · 3 =
30
10 · 4 =
40
10 · 5 =
50
10 · 6 =
60
10 · 7 =
70
10 · 8 =
80
10 · 9 =
90
Propiedades de los múlt iplos de un número
1Todo número a, dist into de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2 El cero es múltiplo de todos los números.
3 Todo número, dist into de cero, t iene inf initos múltiplos .
4 Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.
5 La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de
dicho número.
6 La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de
dicho número.
7 Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el
primero es múltiplo del tercero.
8 Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero
lo son también del segundo.
Divisores
Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente .
4 es divisor de 12; 12 : 4 = 3.
A los divisores también se les l lama factores .
Propiedades de los divisores de un número
1 Todo número, distinto de 0, es divisor de sí mismo.
2 El 1 es divisor de todos los números.
3 Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a
él, por tanto el número de divisores es finito .
4 Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su
suma y de su diferencia.
5 Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier
múltiplo del primero.
6 Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el
primero lo es del tercero.
Descomposición en factores primos
Para descomponer un número en factores efectuamos sucesivas
divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como
cociente .
Para real izar las divisiones uti l izaremos una barra vertical , a la
derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los
cocientes .
2 520 = 23 · 32 · 5 · 7
Número de divisores de un número
Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando
los resultados obtenidos:
Número de divisores de 2 520 = (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) =
48
Formación de todos los divisores de un número
Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas las
potencias del primer factor , se traza una l ínea horizontal .
Formación de todos los divisores de 2 520
1 2 4 8
Se escribe una segunda fila , con los productos del segundo factor
por la fila anterior . Si el segundo factor se ha elevado a exponentes
superiores a la unidad, por cada unidad del exponente se escribe otra
fila . Se traza otra l ínea horizontal .
1 2 4 8
3 61
2
2
4
91
8
3
6
7
2
Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor
(con las potencias correspondientes) por todos los números obtenidos
hasta el momento.
1 2 4 8
3 6 12 24
91
836 72
51
020 40
1
5
3
060
12
0
4
5
9
0
18
0
36
0
Se continúa de igual modo con otros posibles factores.
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
5 10 20 40
15 30 60 120
45 90 180 360
7 14 28 56
21 42 84 168
6312
6252 504
35 70 140 280
10
5
21
0420 840
31
5
63
0
126
0
252
0
El último divisor obtenido debe coincidir con el número.
Divisibilidad
Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta .
Criterios de divisibilidad
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 , si termina en cero o cifra par.
24, 238, 1024.
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 , si la suma de sus dígitos nos da
múltiplo de 3.
564
5 + 6 + 4 = 15, es mútiplo de 3
2040
2 + 0 + 4 + 0 = 6, es mútiplo de 3
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 , si termina en cero o cinco.
45, 515, 7525.
Criterio de divisibi l idad por 7
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el
número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las
unidades es 0 ó múltiplo de 7 .
343
34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7
105
10 - 5 · 2 = 0
2261
226 - 1 · 2 = 224
Volvemos a repetir el proceso con 224.
22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.
Criterio de divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 , si la diferencia entre la suma de
las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó
múltiplo de 11 .
121
(1 + 1) - 2 = 0
4224
(4 + 2) - (2 + 4) = 0
Otros criterios de divisblil idad
Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 , si sus dos últimas cifras son ceros
o múltiplo de 4.
36, 400, 1028.
Criterio de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 , si es divisible por 2 y por 3.
72, 324, 1503
Criterio de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8 , si sus tres últimas cifras son ceros
o múltiplo de 8.
4000, 1048, 1512.
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 , si la suma de sus dígitos nos da
múltiplo de 9.
81
8 + 1 = 9
3663
3 + 6 + 6 + 3 = 18, es mútiplo de 9
Criterio de divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 , si la cifra de las unidades es 0.
130, 1440, 10 230
Criterio de divisibilidad por 25
Un número es divisible por 25 , si sus dos últimas cifras son
ceros o múltiplo de 25.
500, 1025, 1875.
Criterio de divisibilidad por 125
Un número es divisible por 125 , si sus tres últimas cifras son ceros
o múltiplo de 125.
1000, 1 125, 4 250.
Factorizar
Factorizar o descomponer un número en factores primos es
expresar el número como un producto de numeros primos.
Números primos
Definición de número primo
Un número primo sólo t iene dos divisores : él mismo y la unidad .
5, 13, 59.
El número 1 sólo t iene un divisor, por eso no lo consideramos primo.
Para averiguar si un número es primo , se divide ordenadamente por
todos los números primos menores que él . Cuando, sin resultar
divisiones exactas, l lega a obtenerse un cociente menor o igual al
divisor , se dice que el número es primo.
Por tanto 179 es primo .
Criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hal lar todos
los números primos menores que un número natural dado.
Part imos de una l ista de números que van de 2 hasta un determinado
número.
El iminamos de la l ista los múlt iplos de 2.
Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue el iminado
(el 3) y el iminamos de la l ista sus múlt iplos, y así sucesivamente.
El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado
como primo es menor que el número f inal de la l ista.
Los números que permanecen en la l ista son los primos.
Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que
40.
1. Escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos
entre 2 y 40.
2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
9
4
0
2. Eliminamos los múlt iplos de 2.
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
3. El siguiente número es 3, como 3 2 < 40 el iminamos los múlt iplos de
3.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 25 29 31 35 37
4. El siguiente número es 5, como 5 2 < 40 el iminamos los múlt iplos de
5.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
5. El siguiente número es 7, como 7 2 > 40 el algoritmo termina y los
números que nos quedan son primos .
Tabla de números primos
2 3
5
7
1
1
1
3
1
7
1
9
2
3
2
9
3
1
3
7
4
1
4
3
4
7
5
3
5
9
6
1
6
7
7
1
7
3
7
9
8
3
8
9
9
7
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
1 3 7 9 3
1
2
7
1
3
1
1
3
7
1
3
9
1
4
9
1
5
1
1
5
7
1
6
3
1
6
7
1
7
3
1
7
9
1
8
1
1
9
1
1
9
3
1
9
7
1
9
9
Números compuestos
Un número compuesto es él que posee más de dos divisores . Es
decir se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.
12, 72, 144.
Los números compuestos, se pueden expresar como productos
de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama
descomposición de un número en factores primos.
70 = 2 ·5 · 7
Factorizar un número
Para factorizar un número o descomponerlo en factores
efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta
obtener un uno como cociente .
Para real izar las divisiones uti l izaremos una barra vertical , a la
derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los
cocientes .
432 = 2 4 · 33
Máximo común divisor
El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números
es el mayor número que divide a todos exactamente.
Cálculo del máximo común divisor
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.
1.
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
2.
m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.
El número 12 es divisor de 36.
m. c. d. (12, 36) = 12
El algoritmo de Euclides
Un algoritmo es una secuencia de pasos para conseguir un resultado.
El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d .
de dos números. Los pasos son:
1. Se divide el número mayor entre el menor.
2. Si:
1. La división es exacta, el divisor es el m.c.d.
2. La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido
y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, s iendo el
últ imo divisor el m.c.d.
m. c. d. (72, 16)
m. c. d. (72, 16) = 8
Mínimo común múltiplo
Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números ,
excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. Se descomponen los números en factores primos
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor
exponente.
Hallar el m. c. m. de: 72, 108 y 60.
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1 080
1 080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.
Si un número es un múlt iplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.
El número 36 es múlt iplo de 12.
m. c. m. (12, 36) = 36
Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b
m. c. d. (12, 16) = 4
m. c. m. (12, 16) = 48
48 · 4 = 12 ·16
192 = 192
Ejercicios y problemas de divisibilidad
1Calcular todos los múlt iplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.
2De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cuáles
son primos y cuáles compuestos.
3 Calcular, mediante una tabla, todos los números primos
comprendidos entre 400 y 450.
4Descomponer en factores
1216
2360
3432
5Factorizar 342 y calcular su número de divisores.
6Descomponer en factores
12250
23500
32520
7Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:
1428 y 376
2148 y 156
3600 y 1 000
8Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:
172, 108 y 60
21048, 786 y 3930
23120, 6200 y 1864
9Calcular por el algoritmo de Eucl ides, el m.c.d. de:
172 y 16
2656 y 848
31278 y 842
1
816, 833, 850
2
Primos: 179 y 311 .
Compuestos: 848, 3566 y 7287 .
3
40
1
40
9
41
9
42
1
43
1
43
3
43
9
44
3
44
9
4
1 216
216 = 23 · 33
2 360
360 = 23 · 32 · 5
3 432
432 = 24 · 33
5
342 = 2 · 3 2 · 19
Nd = (1 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 12
6
12250
2250 = 2 · 32 · 53
23500
3500 = 22 · 53 · 7
32520
2 520 = 23 · 32 · 5 · 7
7
1428 y 376
428 = 2 2 · 107
376 = 2 3 · 47
m. c. d. (428, 376) = 2 2 = 4
m. c. m. (428, 376) = 2 3 · 107 · 47 = 40 232
2148 y 156
148 = 2 2 · 37
156 = 2 2 · 3 · 13
m. c. d. (148, 156) = 2 2 = 4
m. c. m. (148, 156) = 2 2 · 3 · 37 · 13 = 5772
3600 y 1 000
600 = 2 3 · 3 · 5 2
1000 = 2 3 · 5 3
m. c. d. (600, 1000) = 2 3 · 5 2 = 200
m. c. m. ( 600 , 1000) = 2 3 · 3 · 5 3 = 3000
8
172, 108 y 60.
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
m.c.d. (72, 108, 60) = 22 · 3
m. c. m. (72, 108, 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 2160
21048, 786 y 3930
1048 = 2 3 · 131
786 = 2 · 3 · 131
3930 = 2 · 3 · 5 · 131
m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262
m. c. m. (1048, 786, 3930) = 2 3 · 3 · 5 · 131 = 15 720
33120, 6200 y 1864
3210 = 2 4 · 3 · 5 · 13
6200 = 2 3 · 5 2 · 31
1864 = 2 3 · 233
m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 2 3 = 8
m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 2 4 ·3 · 5 2 · 13 · 31 · 233 =
= 1 746 521 400
9
172, 16
m. c. d. (72, 16) = 8
2656 y 848
m.c.d.(656, 848) = 16
31728 y 842
m.c.d. (1278, 842) = 2
Problemas de divisibilidad
1Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un
tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos
siguientes.
2Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han
estado los dos en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en
Barcelona?
3¿Cuál es el menor número que al dividir lo separadamente por 15, 20,
36 y 48, en cada caso, da de resto 9?
4En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l ,
360 l , y 540 l . Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas
iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en
el las se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el
número de garrafas que se necesitan.
5El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, t iene 5 m de
largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de
baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna
de el las.
6 Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772
naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o
de naranjas y, además, el mayor número posible. Hal lar el número de
naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
7¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número
exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y
cuántas baldosas se necesitan?
1
12 = 2 2 · 3
18 = 2· 3 2
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 2 2 · 3 2 · 5= 180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.33 h .
2
18 = 2 · 3 2
24 = 2 3 · 3
m. c. m. (18, 24) =2 3 · 3 2 = 72
Dentro de 72 días.
3
m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 720
720 + 9 = 729
4
m. c. d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l .
Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas .
5
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 5 2
A = 30 · 50 = 1500 dm 2
m. c. d. (30, 50) = 2· 5= 10 dm de lado
A b = 10 2 = 100 dm 2
1500 dm 2 : 100 dm 2 = 15 baldosas
6
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 104 + 97 = 201
7
8 m = 80 dm 80 = 2 4 · 5
6.4 m = 64 dm 64 = 2 6
m. c. d. (80, 64) = 2 4 = 16 dm de lado
A b = 16 2 = 256 dm 2
A = 80 · 64 = 5120 dm 2
5120 dm 2 : 256 dm 2 = 15 baldosas
Números enteros
Con los números naturales no era posible real izar diferencias
donde el minuendo era menor que el que el sustraendo , pero en la
vida nos encontramos con operaciones de este t ipo donde a un número
menor hay que restarle uno mayor.
Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado,
temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar ,
etc.
Las anteriores situaciones nos obl igan a ampliar el concepto de
números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico l lamado
números enteros .
El conjunto de los números enteros está formado por:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se
dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros
negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros posit ivos, se considera a
los números naturales son un subconjunto de los enteros .
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que
resulta al suprimir su signo .
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales .
|−5| = 5
|5| = 5
Representación de los números enteros
1. En una recta horizontal , se toma un punto cualquiera que se
señala como cero .
2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números
positivos : 1, 2, 3,...
3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se
van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...
Criterios para ordenar los números enteros
Orden en los números enteros
Los números enteros están ordenados. De dos números
representados gráficamente, es mayor al que él está situado más a la
derecha , y menor el s ituado más a la izquierda.
Criterios para ordenar los números enteros
1. Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero.
7 > 0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor
absoluto.
−7 > −10 |−7| < |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor
absoluto.
10 > 7 |10| > |7|
Suma de números enteros
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores
absolutos y al resultado se le pone el signo común.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = −8
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores
absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone
el signo del número de mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = −2
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna :
El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a + b
3 + (−5)
2. Asociativa :
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]
5 − 5 = 2 + (−2)
0 = 0
3. Conmutativa :
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
2 + (−5) = (−5) + 2
−3 = −3
4. Elemento neutro :
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con
él da el mismo número.
a + 0 = a
(−5) + 0 = −5
5. Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como
resultado el cero .
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
−(−5) = 5
Resta de números enteros
La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el
opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna :
La resta dos números enteros es otro número entero .
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa :
a − b ≠ b − a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número
entero , que t iene como valor absoluto el producto de los valores
absolutos y, como signo , el que se obtiene de la apl icación de la regla de
los signos .
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = −10
(−2) · 5 = −10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna :
El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número
entero .
a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y
c son números enteros cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
−30 = −30
3. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro :
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo
número mult ipl icado por él da el mismo número.
a · 1 = a
(−5) · 1 = (−5)
5. Distributiva :
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2) · 8 = (−6) + (−10)
−16 = −16
6. Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distr ibutiva.
Si varios sumandos t ienen un factor común, podemos transformar la
suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
División de números enteros
La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del
cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y t iene de
signo, el que se obtiene de la apl icación de la regla de los signos.
Regla de los signos
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = −2
(−10) : 5 = −2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna :
El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro
número entero .
(−2) : 6
2. No es Conmutativo :
a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro
número entero , cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la
potencia y cuyo signo es el que se deduce de la apl icación de las
siguientes reglas :
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la
base.
Propiedades
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de
los exponentes .
am · a n = am + n
(−2)5 · (−2)2 = (−2)5 + 2 = (−2)7 = −128
4. División de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la
diferencia de los exponentes .
am : a n = am — n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 — 2 = (−2)3 = −8
5. Potencia de una potencia :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el
producto de los exponentes .
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
6. Producto de potencias con el mismo exponente :
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto
de las bases
an · b n = (a · b) n
(−2) 3 · (3) 3 = (−6) 3 = −216
7. Cociente de potencias con el mismo exponente :
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de
las bases.
an : b n = (a : b) n
(−6) 3 : 3 3 = (−2) 3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Un número elevado a −1 , es el inverso de dicho número.
Raíz cuadrada
Definición de raíz cuadrada
La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y
consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.
Calculo de una raíz cuadrada
Calcular la raíz cuadrada de:
1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en
grupos de dos empezando por la derecha.
2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo
de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos
cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada del
cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casi l la
correspondiente.
3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de
cifras que aparecen en el radicando.
El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y
obtenemos 4.
4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del
radicando, separando del número formado la primera cifra a la
derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.
49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.
5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la
raíz, multiplicando el número formado por él, y restándolo a la
cantidad operable del radicando.
Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable
del radicando, habríamos probado por 8, por 7.. . hasta encontrar un valor
inferior.
6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz .
7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos
anteriores.
Como 5301 > 5125, probamos por 8.
Subimos el 8 a la raíz
8Prueba.
Para que el resultado sea correcto, se t iene que cumplir:
Radicando= (Raíz entera) 2 + Resto
89 225 = 298 2 + 421
Ejercicios de raíces cuadradas
Resolver la raíz cuadrada de:
Calcular la raíz cuadrada de:
Resolver la raíz cuadrada de:
Raíz cuadrada de números decimales
1 Se separan grupos de dos cifras a partir de la coma hacia la
izquierda (la parte entera) y hacia la derecha (la parte decimal).
2 S i el radicando tiene en su parte decimal un número impar de
cifras, se añade un cero a la derecha.
3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del
número que resulta.
4 En la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de
cifras decimales igual al número de pares de cifras decimales que
hubiere en el radicando. En el resto y también a partir de la
derecha, se separan tantas cifras decimales como haya en el
radicando.
Ejercicios de raíz cuadrada con decimales
Calcular la raíz cuadrada de:
Resolver la raíz cuadrada de:
Raíz cuadrada de un número entero
Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos:
positivo y negativo.
El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya
que se trata del cuadrado número.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada es exacta , s iempre que el radicando sea un
cuadrado perfecto .
Raíz cuadrada entera
La raíz cuadrada es entera , s iempre que el radicando no sea un
cuadrado perfecto.
La raíz entera de un número entero es el mayor entero cuyo
cuadrado es menor que dicho número.
El resto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la
raíz entera.
Resto = 17 − 42 = 1
Operaciones combinadas
Jerarquía de las operaciones
1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º. Calcular las potencias y raíces .
3º. Efectuar los productos y cocientes .
4º. Real izar las sumas y restas .
Operaciones combinadas
1. Sin paréntesis
1.1 Sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según
aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1.2 Sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Real izamos primero los productos por tener mayor prioridad .
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas .
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Real izamos los productos y cocientes en el orden en el que los
encontramos porque las dos operaciones t ienen la misma prioridad .
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas .
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad .
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes .
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas .
= 26
2. Con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2 3)=
Real izamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos .
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis real izando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3.Con paréntesis y corchetes
[15 − (2 3 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los
paréntesis .
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Real izamos las sumas y restas de los paréntesis .
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los paréntesis .
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos .
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos .
= 83
4. Con fracciones
Primero operamos con las productos y números mixtos de los
paréntesis .
Operamos en el primer paréntesis , quitamos el segundo,
simpli f icamos en el tercero y operamos en el últ imo.
Real izamos el producto y lo simplificamos .
Real izamos las operaciones del paréntesis .
Hacemos las operaciones del numerador , dividimos y
simplificamos el resultado.
Ejercicio de operaciones combinadas
14 − {7 + 4 · 3 - [(-2) 2 · 2 - 6)]}+ (2 2 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 2 3 : 2) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de
los paréntesis.
14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =
Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =
Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.
14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =
14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =
La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:
Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo
su signo los términos que contenga.
Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis
hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.
14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6
Ejercicios y problemas de números enteros
1Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular
los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros :
8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7
2Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos
de los siguientes números enteros :
−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
3Sacar factor común en las expresiones:
1 3 · 2 + 3 · (−5) =
2(−2) · 12 + (−2) · (−6) =
38 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =
4(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =
4Realizar las siguientes operaciones con números enteros
1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =
2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
3 9 : [6 : (− 2)] =
4 [(−2) 5 − (−3) 3]2 =
5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =
6 [(17 − 15) 3 + (7 − 12) 2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =
5Realizar las siguientes operaciones con números enteros
1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=
3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
6Calcula, s i existe:
1
2
3
4
5
6
7Realizar las siguientes operaciones con potencias de números
enteros :
1 (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =
2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =
3 (−2)− 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =
4 2− 2 · 2− 3 · 2 4 =
5 22 : 2 3 =
6 2− 2 : 2 3 =
7 22 : 2− 3 =
8 2− 2 : 2− 3 =
9 [(−2)− 2] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 =
10 [(−2) 6 : (−2) 3 ]3 · (−2) · (−2)− 4 =
8Realizar las siguientes operaciones con potencias de números
enteros :
1(−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 =
2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0=
3 (−3) 2 · (−3) 3 · (−3)− 4 =
4 3− 2 · 3− 4 · 3 4 =
5 52 : 5 3 =
6 5− 2 : 5 3 =
7 52 : 5 − 3 =
8 5− 2 : 5− 3 =
9 (−3) 1 · [(−3) 3]2 · (−3)− 4 =
10 [(−3) 6 : (−3) 3] 3 · (−3) 0 · (−3)− 4 =
1
8, −6, −5, 3, − 2, 4, −4, 0, 7
− 6 < − 5 < − 4 < − 2 < 0 < 3 < 4 < 7 < 8
op(−6) = −(−6) = 6 |−6| = 6
op(−5) = −(−5) = 5 |−5| = 5
op(−4) = −(−4) = 4 |−4| = 4
op(−2) = −(−2) = 2 |−2| = 2
op(0) = 0 |0| = 0
op(3) = −3 |3| = 3
op(4) = −4 |4| = 4
op(7) = −7 |7| = 7
op(8) = −8 |8| = 8
2
−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
op(−4) = −(−4) = 4 |−4| = 4
op(6) = −6 |6| = 6
op(−2) = −(−2) = 2 |−2| = 2
op(1) = − 1 |1| = 1
op(− 5) = −(−5) = 5 |−5| = 5
op(0) = 0 |0| = 0
op(9) = −9 |9| = 9
3
1. 3 · 2 + 3 · (−5) =
= 3 · [2 + (−5)] = 3 · (2 − 5) = 3 · (−3) = −9
2. (−2) · 12 + (−2) · (−6) =
= (−2) · [12 + (−6)] = (−2) · (12 − 6) = (−2) · 6 = −12
3.8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =
= 8 · 6 = 48
4.(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =
= (−3) · [(−2) + (−5)] = (−3) · (−2 − 5) = (− 3) · (−7) = 21
4
1 (3 − 8) + [5 − (−2)] = −5 + (5 + 2) = −5 + 7= 2
2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
= 5 − [6 − 2 − (−7) − 3 + 6] + 5 =
= 5 − [6 − 2 + 7 − 3 + 6] + 5 =
= 5 − 14 + 5 = −4
3 9 : [6 : (−2)] = 9 : (−3) = −3
4 [(−2) 5 − (−3) 3]2 =
= [− 32 − (−27)] = (−32 + 27) 2 =
= (−5) 2 = 25
5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =
= (5 + 6 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =
= (5 + 1 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2) 2 =
= 2 · 5 : 1 2 =
= 2 · 5 : 1 = 10 : 1 = 10
6 [(17 − 15) 3 + (7 − 12) 2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =
= [(2) 3 + (−5) 2] : [(−1) · (−11)] =
= (8 + 25) : [(−1) · (−11)] =
= (8 + 25) : 11 =
= 33: 11 = 3
5
1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 9 − (−3) = 9 + 3 =12
2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =
= 1 − (4) − [5 − (4) − 2] =
= 1 − (4) − (5 − 4 − 2)=
= 1 − (4) − (−1) =
= 1 − 4 + 1 = −2
3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
= −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
− 12 · 3 + 18 : (−2 + 8) =
= −12 · 3 + 18 : 6 =
= −36 + 3 = −33
4 2 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] − 6 =
= 2 · [24 : 6 +3 : (−3)] − 6 =
= 2 · [ 4 + (−1)] − 6 =
2 · 3 − 6 = 6 − 6 = 0
5 [(−2) 5 · (−3) 2] : (−2) 2 =
(−32 · 9) : 4 = −288 : 4 = −72
66 + {4 − (17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =
= 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =
6 + [4 − (17 − 16) + 3] − 5 =
= 6 + (4 − 1 + 3) − 5 =
6 + 6 − 5 = 7
6
1
2
3
4
5
6
7
1 (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = (−2) 9 = −512
2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =
= (−2) 3 · (−2) 2 · (−2) 0 · (−2) = (−2) 6 = 64
3 (−2)− 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = (−2) 5 = −32
4 2− 2 · 2− 3 · 2 4 = 2− 1 = 1/2
5 22 : 2 3 = 2− 1 = 1/2
6 2− 2 : 2 3 = 2− 5 = (1/2) 5 = 1/32
7 22 : 2− 3 = 2 5 = 32
8 2− 2 : 2− 3 = 2
9 [( −2 )− 2] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 =
= (−2)− 6 · (−2) 3 · (−2) 4 = −2
10 [(−2) 6 : (−2) 3] 3 · (−2) · (−2) − 4 =
[(−2) 3] 3 · (−2) · (−2) − 4 =
= (−2) 9 · (−2) · (−2) − 4 = (−2) 6 = 64
8
1 (−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 = (−3) 8 = 6561
2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0=
(−3) 3 · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0 = (−3) 6 = 729
3 (−3) 2 · (−3) 3 · (−3)− 4 = −3
4 3− 2 · 3− 4 · 3 4 = 3− 2 = (1/3) 2 = 1/9
5 52 : 5 3 = 5− 1 = 1/5
6 5− 2 : 5 3 = 5− 5 = (1/5) 5 = 1/3125
7 52 : 5− 3 = 5 5 = 3125
8 5− 2 : 5− 3 = 5
9 (−3) 1 · [(−3) 3]2 · (−3)− 4 =
(−3) 1 · (−3) 6 · (−3)− 4 = (−3)3
10 [(−3) 6 : (−3) 3]3 · (−3) 0 · (−3)− 4 =
[(−3) 3]3 · (−3) 0 · (−3)− 4 =
(−3) 9 · (−3) 0 · (−3)− 4 = (−3) 5 =243
Problemas de números enteros
1Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C.
¿Cuántos años vivió?
2Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo
eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el
petróleo?
3¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la
cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del
pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del
pescado a la de la verdura?
4La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a
razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un
punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la
temperatura del aire es de −81 ºC?
5En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte
en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30
l por minuto. ¿Cuántos l i tros de agua habrá en el depósito después de 15
minutos de funcionamiento?
1
14 − (−63) = 14 + 63 = 77 años
2
48 − (−975) = 48 + 975 = 1023 metros
3
−18 ºC − 4 ºC = −22 ºC
4 ºC − (−18 ºC) = −22 ºC = 4 ºC + 18 ºC = 22 ºC
La diferencia de temperatura en valor absoluto es igual en ambos
casos. El s igno menos del primer caso nos indica que se produce un
descenso de la temperatura, y el s igno más del segundo un aumento.
4
|−81| : 9 = 81 : 9 = 9
300 · 9 = 2 700 m
5
800 + 25 · 15 − (30 · 15) =
800 + 375 − 450 = 1175 − 450 = 725 l
Números decimales
Fracción decimal
Una fracción decimal t iene por denominador la unidad seguida de
ceros.
Número decimal
Es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal.
Consta de dos partes: entera y decimal.
Para expresar un número decimal como una fracción decimal ,
escribimos como numerador de la fracción el número dado sin la coma y
como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga ese número .
Unidades decimales
Son fracciones decimales que t ienen por numerador uno y
denominador una potencia de 10 .
Redondeo de decimales
Para redondear números decimales tenemos que f i jarnos en la
unidad decimal posterior a la que queremos redondear. Si la unidad
decimal es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad la unidad
decimal anterior; en caso contrario, la dejamos como está
Ejemplo
2.36105 2.4 Redondeo hasta las décimas.
2.36105 2.36 Redondeo hasta las centésimas.
2.36105 2.361 Redondeo hasta las milésimas .
2.36105 2.3611 Redondeo hasta las diezmilésimas.
Truncar decimales
Para truncar un número decimal hasta un orden determinado se
ponen las cifras anteriores a ese orden inclusive, el iminando las demás.
Ejemplo
2.3647 2.3 Truncamiento hasta las décimas.
2.3647 2.36 Truncamiento hasta las centésimas.
2.3647 2.364 Truncamiento hasta las milésimas.
2.3647 2.3467 Truncamiento hasta las diezmilésimas.
Tipos de números decimales
Decimal exacto
La parte decimal de un número decimal exacto está compuesta por
una cantidad finita de términos.
Periódico puro
La parte decimal, l lamada periodo, se repite infinitamente.
Periódico mixto
Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y
una parte periódica o período.
No exactos y no periódicos
Dada una fracción podemos determinar qué tipo de número decimal
será, para lo cual, tomamos el denominador y lo descomponemos en
factores.
Si aparece sólo el 2, o sólo el 5, o el 5 y el 2; la fracción es decimal
exacta.
Si no aparece ningún 2 ó 5, la fracción es periódica pura.
Si aparecen otros factores además del 2 ó el 5, la fracción es periódica
mixta.
Ordenar números decimales
Dados dos números decimales es menor :
1.El que tenga menor la parte entera.
2. Si t ienen la misma parte entera , el que tenga la menor parte
decimal
Representación de números decimales
Cada número decimal t iene su lugar en la recta numérica. Para
representar las décimas dividimos la unidad en 10 partes.
·
Para representar las centésimas dividimos cada décima en 10
partes.
Para representar las milésimas dividimos cada centésima en
10 partes , y así continuaríamos para las diez milésimas, cien
milésimas, etc.
No hay dos números decimales consecutivos , porque entre dos
decimales siempre se puede encontrar otros decimales.
Suma y resta de números decimales
Para sumar o restar números decimales :
1Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.
2Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con
décimas, centésimas con centésimas...
342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 =
372.528 - 69.68452 =
Multiplicación de números decimales
Para multiplicar dos números decimales :
1Se multiplican como si fueran números enteros.
2El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad
de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos
factores.
46.562 · 38.6
Multiplicación por la unidad seguida de ceros
Para mult ipl icar un número por la unidad seguida de ceros, se
desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros
acompañen a la unidad.
División de números decimales
1. Sólo el dividendo es decimal
Se efectúa la división de números decimales como si de números
enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, ponemos una
coma en el cociente y continuamos dividiendo.
526.6562 : 7 =
2. Sólo el divisor es decimal
Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos
ceros como cifras decimales tiene el divisor. A continuación
dividimos como si fueran números enteros.
5126 : 62.37 =
3. El dividendo y el divisor son decimales
Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y el
divisor, añadiendo a aquel que tuviere menos, tantos ceros como
cifras decimales de diferencia hubiese. A continuación se prescinde
de la coma, y dividimos como si fueran números enteros.
5627.64 : 67.5261
División por la unidad seguida de ceros
Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la
coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la
unidad.
Raíz cuadrada de números decimales
Para extraer la raíz cuadrada de un número decimal, debemos seguir
los siguientes pasos:
1 Se separan grupos de dos cifras a partir de la coma hacia la
izquierda (la parte entera) y hacia la derecha (la parte décimal).
2 S i el radicando tiene en su parte decimal un número impar de
cifras, se añade un cero a la derecha.
3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del
número que resulta.
4 En la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de
cifras decimales igual al número de pares de cifras decimales que
hubiere en el radicando. En el resto y también a partir de la
derecha, se separan tantas cifras decimales como haya en el
radicando.
Operaciones con números decimales resumen
Suma y resta de número decimales
1Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.
2Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con
décimas, centésimas con centésimas...
Producto de decimales
1Se multiplican como si fueran números enteros.
2El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad
de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos
factores.
Producto por la unidad seguida de ceros
Para mult ipl icar un número por la unidad seguida de ceros, se
desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros
acompañen a la unidad.
Cociente de números decimales
1. Sólo el dividendo es decimal
Se efectúa la división como si de números enteros se tratara.
Cuando bajemos la primera cifra decimal, ponemos una coma en
el cociente y continuamos dividiendo.
2. Sólo el divisor es decimal
Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos
ceros como cifras decimales tiene el divisor.
A continuación dividimos como si fueran números enteros.
3. El dividendo y el divisor son decimales
Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y el
divisor, añadiendo a aquel que tuviere menos, tantos ceros como
cifras decimales de diferencia hubiese.
A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si
fueran números enteros.
División por la unidad seguida de ceros
Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la
coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la
unidad.
Raíz cuadrada de un número decimal
1 Se separan grupos de dos cifras a partir de la coma hacia la
izquierda (la parte entera) y hacia la derecha (la parte décimal).
2 S i el radicando tiene en su parte decimal un número impar de
cifras, se añade un cero a la derecha.
3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del
número que resulta.
4 En la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de
cifras decimales igual al número de pares de cifras decimales que
hubiere en el radicando.
En el resto y también a partir de la derecha, se separan tantas
cifras decimales como haya en el radicando.
Fracción decimal
Es aquel la que tiene por denominador la unidad seguida de ceros.
Número decimal
Es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal.
Consta de dos partes: entera y decimal.
Para expresar un número decimal como una fracción decimal, se
pone como numerador de la fracción el número dado sin la coma y
como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga ese número.
Unidades decimales
Son fracciones decimales que tienen por numerador uno y
denominador una potencia de 10.
Decimal exacto
Es aquel cuya parte decimal está compuesta por una cantidad
finita de términos.
Periódico puro
La parte decimal, l lamada periodo, se repite infinitamente.
Periódico mixto
Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y
una parte periódica o período.
No exactos y no periódicos
Dada una fracción podemos determinar que tipo de número decimal
será, para lo cual, tomamos el denominador y lo descomponemos en
factores.
Si aparece sólo el 2, o sólo el 5, o el 5 y el 2; la fracción es
decimal exacta.
Si no aparece ningún 2 ó 5, la fracción es periódica pura.
Si aparecen otros factores además del 2 ó el 5, la fracción es
periódica mixta.
Comparación de números decimales
Dados dos números decimales es menor :
1.El que tenga menor la parte entera.
2. Si t ienen la misma parte entera , el que tenga la menor parte
decimal
Ejercicios de numeros decimales
1 Ordena de menor a mayor estos números decimales :
5.4, 5.004, 5.0004, 5.04, 4.4, 4.98, 5, 5.024
7.3, 7.003, 7.0003, 7.03, 6.5, 6.87, 7, 7.037
2 Clasif icar, por el t ipo, los números decimales correspondientes a
las fracciones:
3 Real izar las siguientes operaciones con números decimales :
3.6669 · 1000 =
3.6669 : 1000 =
0.036 · 10 =
0.036 : 10 =
0.000012 · 10 000 =
123.005 : 10 000 =
26.36 · 10 000 =
2.36 : 1000 =
0.261 · 100 =
5.036 : 10 =
4 Resuelve las siguientes divisiones de números decimales :
324 : 0.018
12.96 : 6
5Calcula la raíz cuadrada :
1
5.4, 5.004, 5.0004, 5.04, 4.4, 4.98, 5, 5.024
4.4 < 4.98 < 5 < 5.0004 < 5.004 < 5.024 < 5.04 < 5.4
7.3, 7.003, 7.0003, 7.03, 6.5, 6.87, 7, 7.037
6.5 < 6.87 < 7 < 7.0003 < 7.003 < 7.037 < 7.03 <7.3
2
3
3.6669 · 1000 = 3666.9
3.6669 : 1000 = 0.0036669
0.036 · 10 = 0.36
0.036 : 10 = 0.0036
0.000012 · 10 000 = 0.12
123.005 : 10 000 = 0.0123005
26.36 · 10 000 = 263 600
2.36 : 1 000 = 0.000236
0.261 · 100 = 26.1
5.036 : 10 = 0.5036
4
324 : 0.018
12.96 : 6
5
Problemas de números decimales
1Una jarra vacía pesa 0.64 kg, y l lena de agua 1.728 kg. ¿Cuánto pesa
el agua?
2 Un cicl ista ha recorrido 145.8 km en una etapa, 136.65 km en otra
etapa y 162.62 km en una tercera etapa.
¿Cuántos ki lómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1000
km?
3 De un depósito con agua se sacan 184.5 l y después 128.75 l ,
f inalmente se sacan 84.5 l . Al f inal quedan en el depósito 160 l . ¿Qué
cantidad de agua había el depósito?
4Se t ienen 240 cajas con 25 bolsas de café cada una. Si cada bolsa
pesa 0.62 kg, ¿cuál es el peso del café?
5 Sabiendo que 2.077 m³ de aire pesan 2.7 kg, calcular lo que pesa 1
m³ de aire.
6Eva sigue un régimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada
comida de 600 calorías.
Ayer almorzó: 125 g de pan, 140 g de espárragos, 45 g de queso y una
manzana de 130 g.
Si 1 g de pan da 3.3 calorías, 1 g de espárragos 0.32, 1 g de queso 1.2
y 1 g de manzana 0.52.
¿Respetó Eva su régimen?
1
2
3
184.5 + 128.75 + 84.5 + 160 = 557.75 l
4
25 · 0.62 = 15.5 kg
15.5 · 240 = 3720 kg de café
5
6
125 · 3.3 + 140 · 0.32 + 45 · 1.2 + 130 · 0.52 =
= 412.5 + 44.8 + 54 + 67.6 = 578.9 calorías
578.9 < 600. Si respetó el régimen .
Fracciones
Unidad fraccionaria
La unidad fraccionaria es cada una de las partes que se
obtienen al dividir la unidad en n partes iguales.
Definición de fracción
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b , que
representamos de la siguiente forma:
b, denominador , indica el número de partes en que se ha
dividido la unidad.
a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias
elegidas.
Representar fracciones
Significado de la fracción
La fracción como partes de la unidad
El todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación
a ese todo.
Un depósito contiene 2/3 de gasol ina.
El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en
general sería una fracción con el mismo número en el numerador y el
denominador.
2/3 de gasol ina expresa la relación existente entre la gasol ina y la
capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por
gasol ina.
La fracción como cociente
Repartir 4 € entre 5 amigos.
La fracción como operador
Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el
numerador por el número y el resultado lo dividimos por el
denominador.
Calcular los 2/3 de 60 €.
2 · 60= 120
120 : 3 = 40 €
La fracción como razón y proporción
Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando
las fracciones como razones .
Así , cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el
Inst ituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas,
es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.
Un caso part icular de apl icación de las fracciones como razón son los
porcentajes , ya que éstos no son más que la relación de proporcional idad
que se establece entre un número y 100 ( tanto por ciento ) , un número y
mil (tanto por mil ) o un número y uno (tanto por uno ) .
Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del 10%.
¿Cuánto pagará por la camisa?
35 · 10 = 350
350 : 100 = 3.5
35 − 3.5 = 31.5 €
Tipos de fracciones
Fracciones propias
Las fracciones propias son aquel las cuyo numerador es menor que
el denominador . Su valor comprendido entre cero y uno
Fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquel las cuyo numerador es mayor
que el denominador . Su valor es mayor que 1.
Número mixto
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte
entera y otra fraccionaria .
Para pasar de número mixto a fracción impropia , se deja el mismo
denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el
denominador más el numerador , del número mixto .
Para pasar una fracción impropia a número mixto , se divide el
numerador por el denominador . El cociente es el entero del número
mixto y el resto el numerador de la fracción , s iendo el denominador el
mismo .
Fracciones decimales
Las fracciones decimales t ienen como denominador una potencia
de 10 .
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos
es igual al producto de medios .
a y d son los extremos; b y c, los medios.
Calcula si son equivalentes las fracciones:
4 · 12 = 6 · 8 48 = 48 Sí
Si se mult ipl ica o divide el numerador y denominador de una fracción
por un número entero, dist into de cero, se obtiene otra fracción
equivalente a la dada.
Al primer caso le l lamamos ampliar o amplif icar.
Simplificar fracciones
Simplificar una fracción es transformarla en una fracción
equivalente más simple.
Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador
por un mismo número .
Empezaremos a simplificar probando por los primeros números
primos : 2, 3, 5, 7, . . . Es decir, probamos a dividir numerador y
denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así
sucesivamente.
Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
Si los términos de la fracción terminan en ceros , empezaremos
quitando los ceros comunes f inales del numerador y denominador .
Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador
del numerador y denominador l legamos a una fracción irreducible .
Fracciones irreducibles
Las fracciones irreducibles son aquel las que no se pueden
simplificar , esto sucede cuando el numerador y el denominador son
primos entre sí , .
Comparar fracciones
Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en
convertir las en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para
el lo:
1º Se determina el denominador común , que será el mínimo común
múltiplo de los denominadores .
2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los
denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el
numerador correspondiente.
12 = 2 2 · 3
9 = 3 2
m.c.m.(3. 12. 9) = 2 2 ·3 2 = 36
Comparar fracciones
Fracciones con igual denominador
De dos fracciones que t ienen el mismo denominador es menor la
que t iene menor numerador .
Fracciones con igual numerador
De dos fracciones que t ienen el mismo numerador es menor el que
t iene mayor denominador .
Con numeradores y denominadores distintos
En primer lugar las tenemos que poner a común denominador .
Es menor la que t iene menor numerador .
Operaciones con fracciones
Suma y diferencia de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el
denominador .
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común
denominador , y se suman o se restan los numeradores de las
fracciones equivalentes obtenidas.
Producto de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que t iene:
Por numerador el producto de los numeradores .
Por denominador el producto de los denominadores .
Cociente de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que t iene:
Por numerador el producto de los extremos .
Por denominador el producto de los medios .
Operaciones combinadas
Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales .
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
4º.Efectuar los productos y cocientes .
5º.Realizar las sumas y restas .
Pr imero operamos con las productos y números mixtos de los
paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simpli f icamos
en el tercero y operamos en el últ imo.
Real izamos el producto y lo simpli f icamos.
Real izamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simpli f icamos el
resultado.
Ejercicios y problemas de fracciones
1 Asociar cada fracción de hora con los minutos correspondientes:
2 Hal la los pares de fracciones equivalentes y colócalas en parejas:
3 Escribe los inversos de:
4 Escribe el s igno > o <, donde corresponda.
5 Compara las siguientes fracciones:
6 Ordenar de menor o mayor:
7 Clasif ica las siguientes fracciones en propias o impropias:
8 Opera:
9 Real iza de dos modos dist intos:
10 Resuelve:
11 Resuelve:
12 Efectúa las divisiones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
Ejercicios y problemas de fracciones
1 Asociar cada fracción de hora con los minutos correspondientes:
2 Ordenar de menor o mayor:
3 Opera, sacando factor común.
4 Resuelve:
5 Una famil ia ha consumido en un día de verano:
Dos botel las de l i tro y medio de agua.
4 botes de 1/3 de l i tro de zumo.
5 l imonadas de 1/4 de l i tro.
¿Cuántos l i tros de l íquido han bebido? Expresa el resultado con un
número mixto.
1
2
3
4
5
Ecuaciones
Igualdad
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el s igno
igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.
Cierta
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor
de las letras.
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos
valores de las letras.
x + 1 = 2 x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones
que aparecen a ambos lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para
que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los
monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x 2 + x Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x 2 Ecuación de tercer grado .
5x3 + 3 = 2x 4 +1 Ecuación de cuarto grado.
Clasificación de ecuaciones
1. Ecuaciones polinómicas enteras
Las ecuaciones pol inómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es
un pol inomio.
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los
monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones polinómicas
1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales
Son del t ipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la
que al operar, trasponer términos y simpli f icar adoptan esa expresión.
(x + 1) 2 = x 2 - 2
x2 + 2x + 1 = x 2 - 2
2x + 1 = -2
2x + 3 = 0
1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Son ecuaciones del t ipo ax2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
ax2 + b = 0
ax2 + bx = 0
1.3 Ecuaciones de tercer grado
Son ecuaciones del t ipo ax3 + bx2 + cx + d = 0 , con a ≠ 0.
1.4 Ecuaciones de cuarto grado
Son ecuaciones del t ipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0.
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de cuarto grado que no t iene términos de grado impar.
ax4 + bx2 + c = 0 , con a ≠ 0.
1.5 Ecuaciones de grado n
En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:
a1xn + a2xn - 1 + a3xn - 2 + ...+ a0 = 0
2. Ecuaciones polinómicas racionales
Las ecuaciones pol inómicas son de la forma , donde P(x) y
Q(x) son pol inomios.
3. Ecuaciones polinómicas irracionales
Las ecuaciones irracionales son aquel las que t ienen al menos un
pol inomio bajo el s igno radical.
4. Ecuaciones no pol inómicas
4.1 Ecuaciones exponenciales
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.
4.2 Ecuaciones logarítmicas
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un
logaritmo.
4.3 Ecuaciones trigonométricas
Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una
función tr igonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general
inf initas soluciones.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
x + 3 = −2 x = −5
Criterios de equivalencia de ecuaciones
1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les
resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se
les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2
x = 1
Ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos
seguir los siguientes pasos :
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos
independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
Despejamos la incógnita:
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
Quitamos denominadores, para el lo en primer lugar hal lamos el mínimo
común múlt iplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
Quitamos paréntesis y simpli f icamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos
semejantes:
Quitamos corchete:
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, . . . : 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado : x2
Un número al cubo : x3
Dos números consecutivos : x y x + 1.
Dos números consecutivos pares : 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares : 2x + 1 y 2x + 3 .
Descomponer 24 en dos partes : x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Problemas de relojes
El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12
veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.
Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se
superpondrán las agujas?
x es el arco que describe la aguja horaria.
(15 + x) es el arco que describe el minutero.
15 + x = 12x
x = 15/11 min
Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s
Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por
primera vez un ángulo recto?
Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco
más, que l lamaremos x.
x es el arco que describe la aguja horaria.
25 + x, es el arco que describe el minutero.
25 + x = 12x
x = 25/11 min
Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16
s.
Problemas de móviles
Para plantear problemas sobre móviles que l levan velocidad constante
se uti l izan las fórmulas del movimiento recti l íneo uniforme:
espacio = velocidad × tiempo
1e r caso
Los móviles van en sentido contrario.
eA C + eC B = eA B
Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí . A las 9 de la mañana parte
de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y
de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h.
Se pide:
1 El t iempo que tardarán en encontrarse.
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 11 de la mañana .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 2 = 180 km
e B C = 60 · 2 = 120 km
2o caso
Los móviles van en el mismo sentido.
eA C − eB C = e A B
Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí . A las 9 de la mañana sale
de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El
que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:
1 El t iempo que tardarán en encontrarse.
90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 3 de la tarde .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 6 = 540 km
e B C = 60 · 6 = 360 km
3e r caso
Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.
e 1 = e 2
Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más
tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con
una velocidad de 120 km/h. Se pide:
1 El t iempo que tardará en alcanzarlo.
90t = 120 · (t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas
2 La distancia a la que se produce el encuentro.
e 1 = 90 · 12 = 1080 km
Problemas de grifos
En una hora el primer gri fo l lena 1/t1 del depósito.
En una hora el segundo grifo l lena 1/t2 del depósito.
Si existe un desagüe
En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósito.
En una hora los dos gri fos juntos habrán l lenado:
Sin desagüe
Con desagüe
Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y otro gri fo tarda en
l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto t iempo tardarán en l lenar los dos gri fos
juntos el depósito?
En una hora el primer gri fo l lena 1/3 del depósito.
En una hora el segundo grifo l lena 1/4 del depósito.
En una hora los dos gri fos juntos habrán l lenado:
7x = 12 x = 12/7 horas
Problemas de mezclas
C1 1ª cantidad. C1 = x
C2 2ª cantidad. C2 = Cm - x
Cm Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2
P1 Precio de la 1ª cantidad
P2 Precio de la 2ª cantidad
Pm Precio de la mezcla
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm
También podemos poner los datos en una tabla
Cantidad Precio Coste
1ª sustancia C1 P1 C1 · P1
2ª sustancia C2 P2 C2 · P2
Mezcla C1 + C2 P C1 · P1+ C2 · P2
C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm
Un comerciante t iene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la
segunda a 60 € el kg.
¿Cuantos ki logramos hay que poner de cada clase de café para obtener
60 ki los de mezcla a 50 € el kg?
1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600
x = 30; 60 − 30 = 30
Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª
clase .
Problemas de aleaciones
La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino ,
es decir, más val ioso, y el peso total .
Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo
en cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla .
C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La
Se t ienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950.
¿Qué peso hay que tomar de cada l ingote para obtener 1800 g de plata de
ley 0.900?
1ª ley 2ª ley Total
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 ·
x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800
0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800
0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620
0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710
−0.2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g
Problemas geométricos con ecuaciones de primer grado
Halla el valor de los tres ángulos de un tr iángulo sabiendo que B mide
40° más que C y que A mide 40° más que B.
C x
B x + 40
A x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;
3x = 60; x = 20
C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º
Ecuaciones de 2º grado
Resolución de ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando
alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
La solución es x = 0.
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x:
ax2 + c = 0
Despejamos:
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado
ax2 +bx +c = 0
b2 − 4ac se l lama DISCRIMINANTE de la ecuación y permite averiguar
en cada ecuación el número de soluciones. Podemos dist inguir tres
casos:
b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales
distintos.
b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
b2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es
igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado
es igual a:
Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones
Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir
ésta como:
Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y
−2.
S= 3 − 2 = 1
P = 3 · 2 = 6
x2 − x + 6 = 0
Factorización de un trinomio de segundo grado
a x2 + bx +c = 0
a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0
Resolver las ecuaciones de primer grado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
Despejamos la incógnita:
2
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:
3
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
4
Quitamos denominadores, para el lo en primer lugar hal lamos el mínimo
común múlt iplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
5
Quitamos paréntesis y simpli f icamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos
semejantes:
6
7
8
9
10
11
12
13
Quitamos corchete:
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
14
15
Problemas de ecuaciones de primer grado
1 Un padre t iene 35 años y su hi jo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la
edad del padre tres veces mayor que la edad del hi jo?
2Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el
número?
3 La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus
dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
4En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y tr iple
número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres,
mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el
bidón ha quedado l leno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del
bidón.
6 Una granja t iene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116
patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
7Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasol ina.
El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la
gasol ina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la
gasol ina que le queda. Se pide:
1.Litros de gasol ina que tenía en el depósito.
2. L itros consumidos en cada etapa.
8En una l ibrería, Ana compra un l ibro con la tercera parte de su dinero
y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al sal ir de la
l ibrería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
9 La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las
decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la
suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
10Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15
años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de
la edad del hi jo. Hal lar las edades de ambos.
11Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas.
¿Cuánto t iempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de
rápido que el otro?
12Halla el valor de los tres ángulos de un tr iángulo sabiendo que B
mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
1
Años x
35 + x = 3 · (5 + x )
35 + x = 15 + 3 · x
20 = 2 · x x = 10
Al cabo de 10 años .
2
3
Altura x
Base 2x
2 · x + 2 · 2x = 30 2x + 4x = 30 6x = 30 x = 5
Altura 5 cm
Base 10 cm
4
Hombres x
Mujeres 2x
Niños 3 · (x + 2x) = 3 · 3x = 9x
x + 2x + 9x = 96
12x = 96 x = 8
Hombres 8
Mujeres 2 · 8 = 16
Niños 9 · 8 = 72
5
6
Cerdos x
Pavos 35 − x
4x + 2 · (35 − x) = 116
4x + 70 − 2x = 116
2x = 46 x = 23
Cerdos 23
Pavos 35 − 23 = 12
7
Se pide:
1.Litros de gasol ina que tenía en el depósito.
1ª etapa
2ª etapa
2. L itros consumidos en cada etapa.
1ª etapa
2ª etapa
8
Total x
Libro
Cómic
9
Unidades x
Decenas x + 1
Si tenemos un número de dos cifras, por ejemplo 65 podemos
descomponerlo , de este modo: 6 ·10 + 5.
Nuestro número de dos cifras es: (x +1) · 10 + x.
Como este número es seis veces mayor que la suma de sus cifras: x +
x + 1 = 2x + 1, tendremos:
(x +1) · 10 + x = 6 (2x + 1)
10x + 10 + x = 12 x + 6
10 x + x - 12x = 6 - 10
−x = −4 x = 4
Unidades 4
Decenas 4 + 1 = 5
Número 54
10
Juan Padre de Juan
Hace cuatro años x 2x
Hoy x + 4 2x + 4
11
Lento Rápido
Tiempo x 2x
Hora de trabajo 1/x 1/2x
Lento 21 horas
Rápido 42 horas
12
C x
B x + 40
A x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;
3x = 60; x= 20
C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º
Problemas de relojes, móviles, grifos y mezclas
1Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se
superpondrán las agujas?
2Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por
primera vez un ángulo recto?
3Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí . A las 9 de la mañana parte
de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y
de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h.
Se pide:
1 El t iempo que tardarán en encontrarse.
2 La hora del encuentro.
3 La distancia recorrida por cada uno.
4Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí . A las 9 de la mañana sale
de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El
que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:
1 El t iempo que tardarán en encontrarse.
2 La hora del encuentro.
3 La distancia recorrida por cada uno.
5Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas
más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero
con una velocidad de 120 km/h. Se pide:
1 El t iempo que tardará en alcanzarlo.
2 La distancia a la que se produce el encuentro.
6 Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora
más tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido un
coche a 60 km/h. Se pide:
1. Tiempo que tardará en alcanzarle.
2. Distancia al punto de encuentro.
7Dos cicl istas salen en sentido contrario a las 9 de la mañana de los
pueblos A y B situados a 130 ki lómetros de distancia. El cicl ista que sale de
A pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y el cicl ista que sale de
B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a qué hora?
8Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y otro gri fo tarda en
l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto t iempo tardarán en l lenar los dos gri fos
juntos el depósito?
9Un comerciante t iene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la
segunda a 60 € el kg.
¿Cuantos ki logramos hay que poner de cada clase de café para obtener
60 ki los de mezcla a 50 € el kg?
10Se t ienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley
0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada l ingote para obtener 1800 g de
plata de ley 0.900?
11Un l ingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué cantidad de cobre
puro se habrá de añadir para rebajar su ley a 0.900?
1
x es el arco que describe la aguja horaria.
(15 + x) es el arco que describe el minutero.
15 + x = 12x
x = 15/11 min
Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s
2
Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco
más, que l lamaremos x.
x es el arco que describe la aguja horaria.
25 + x, es el arco que describe el minutero.
25 + x = 12x
x = 25/11 min
Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16
s.
3
Se pide:
1 El t iempo que tardarán en encontrarse.
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 11 de la mañana .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 2 = 180 km
e B C = 60 · 2 = 120 km
4
Se pide:
1 El t iempo que tardarán en encontrarse.
90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 3 de la tarde .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 6 = 540 km
e B C = 60 · 6 = 360 km
5
Se pide:
1 El t iempo que tardará en alcanzarlo.
90t = 120 · (t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas
2 La distancia a la que se produce el encuentro.
e 1 = 90 · 12 = 1080 km
6
Se pide:
1. Tiempo que tardará en alcanzarle.
e1 = e 2
40t = 60 (t − 1)
40t = 60t − 60 40t − 60t =− 60 −20t = −60
t = 3h
Como el coche sale una hora más tarde, el t iempo que tardará en
alcanzarlo será de 2 horas .
2. Distancia al punto de encuentro.
e1 = 40 · 3 = 120 km .
7
30t + 20t = 130 50t = 130
t = 130/50 = 2 h 36 min
Se encuentran a las 11h 36 min
e A C = 30 · 130/50 = 78 km
8
En una hora el primer gri fo l lena 1/3 del depósito.
En una hora el segundo grifo l lena 1/4 del depósito.
En una hora los dos gri fos juntos habrán l lenado:
7x = 12 x = 12/7 horas
9
1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600
x = 30; 60 − 30 = 30
Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª
clase .
10
1ª ley 2ª ley Total
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 ·
x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800
0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800
0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620
0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710
−0.2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g
11
Oro Cobre Total
Nº de g 6 300 x 6 300 + x
Oro puro 0.950 · 6 300 0.900 · (6 300 + x)
0.900 · (6 300 + x) = 0.950 · 6 300
5 670 + 0.900x = 5 985
0.900x = 315 x = 315/0.900 = 350
Cobre 350 g
Proporcionalidad
Magnitud
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir
numéricamente.
La longitud del lado un cuadrado.
La capacidad de una botel la de agua.
El número de goles marcados en un part ido.
El número de goles marcados por el equipo A.
Razón
Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades
comparables entre sí, expresado como fracción.
Los términos de una razón se l laman: antecedente y consecuente . El
antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.
Diferencia entre razón y fracción
La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de
base es:
No hay que confundir razón con fracción.
Si es una fracción , entonces a y b son números enteros con b≠0,
mientras que en la razón los números a y b pueden ser decimales .
Proporción
Definición de proporción
Proporción es una igualdad entre dos razones.
Constante de proporcionalidad
Propiedades de las proporciones
En una proporción del producto de los medios es igual al
producto de los extremos.
En una proporción o en una serie de razones iguales, la
suma de los antecedentes dividida entre la suma de los
consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.
Si en una proporción cambian entre sí los medios o
extremos la proporción no varía.
Cuarto, medio y tercero proporcional
Cuarto proporcional
Es uno cualquiera de los términos de una proporción.
Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos
términos.
Medio proporcional
Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales .
Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se
extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Tercero proporcional
En una proporción continua , se denomina tercero proporcional
a cada uno de los términos desiguales.
Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos
iguales, dividido por el término desigual.
Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al
multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra
queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcional idad directa entre dos
magnitudes cuando:
A más corresponde más .
A menos corresponde menos .
Son magnitudes directamente proporcionales , el peso de un
producto y su precio.
Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50
céntimos.
Es decir:
A más ki lógramos de tomate más euros.
A menos ki lógramos de tomate menos euros.
También son directamente proporcionales :
El espacio recorrido por un móvil y el t iempo empleado.
El volumen de un cuerpo y su peso.
La longitud de los lados de un pol ígono y su área.
Aplicaciones de la proporcionalidad directa
Regla de tres simple y directa
Repartos directamente proporcionales
Porcentajes
Regla de tres simple y directa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes
directamente proporcionales , calcular la cantidad de una de estas
magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
La regla de tres directa la apl icaremos cuando entre las magnitudes
se establecen las relaciones:
A más más .
A menos menos .
Ejemplos
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos ki lómetros habrá
recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a menos
horas recorrerá menos ki lómetros.
240 km 3 h
x km 2 h
Ana compra 5 kg de patatas, s i 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto
pagará Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a más
ki los, más euros.
2 kg 0.80 €
5 kg x €
Repartos directamente proporcionales
Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una
magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las
magnitudes dadas.
Ejemplo
Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de
edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.
1º El reparto proporcional es:
2º Por la propiedad de las razones iguales:
3º Cada nieto recibirá:
Porcentajes
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una
de las cantidades es 100.
Ejemplos de porcentajes
Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actual idad 250 €
más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
5000 € 250 €
100 € x €
El 5%.
Al adquir ir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un
descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
100 € 7.5 €
8800 € x €
8800 € − 660 € = 8140 €
También se puede calcular directamente del s iguiente
modo:
100 € 92.5 €
8800 € x €
El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA.
¿Cuánto hay que pagar por él s i el IVA es del 16%?
100 € 116 €
1200 € x €
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al
multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra
queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos
magnitudes cuando:
A más corresponde menos .
A menos corresponde más .
Son magnitudes inversamente proporcionales , la velocidad y el
t iempo:
A más velocidad corresponde menos t iempo.
A menos velocidad corresponde más t iempo.
Un vehículo tarda en real izar un trayecto 6 horas si su velocidad es de
60 km/h, pero si doblamos la velocidad el t iempo disminuirá a la mitad. Es
decir, s i la velocidad es de 120 km/h el t iempo del trayecto será de 3
horas.
Aplicaciones de la proporcionalidad inversa
Regla de tres simple inversa
Repartos inversamente proporcionales
Regla de tres simple inversa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a
magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de
una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la
otra magnitud.
La regla de tres inversa la apl icaremos cuando entre las magnitudes
se establecen las relaciones:
A más menos .
A menos más .
Ejemplo
Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en l lenar un
depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a menos
l i tros por minuto tardará más en l lenar el depósito .
18 l /min 14 h
7 l /min x h
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en
construir lo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a más
obreros tardarán menos horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h
Repartos inversamente proporcionales
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total,
debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas
de las magnitudes.
Ejemplo
Tres hermanos ayudan al mantenimiento famil iar entregando
anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las
aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta
cada uno?
1º Tomamos los inversos:
2º Ponemos a común denominador:
3º Real izamos un reparto directamente proporcional a los
numeradores: 24, 20 y 15.
Regla de tres compuesta
La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o
más magnitudes , de modo que a part ir de las relaciones establecidas
entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.
Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres
simples aplicadas sucesivamente.
Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de
proporcionalidad directa o inversa , podemos dist inguir tres casos de
regla de tres compuesta :
Regla de tres compuesta directa
Ejemplo
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una
cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vert ido de 15
grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
A más gri fos, más euros Directa .
A más horas, más euros Directa .
9 gri fos 10 horas 20 €
15 grifos 12 horas x €
Regla de tres compuesta inversa
Ejemplo
5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro
en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
A menos obreros, más días Inversa .
A más horas, menos días Inversa .
5 obreros 6 horas 2 días
4 obreros 7 horas x días
Regla de tres compuesta mixta
Ejemplo
Si 8 obreros real izan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día
un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas
diarias para real izar los 50 m de muro que faltan?
A más obreros, menos días Inversa .
A más horas, menos días Inversa .
A más metros, más días Directa .
8 obreros 9 días 6 horas 30 m
10 obreros x días 8 horas 50 m
Interés simple
Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese
beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al t iempo
que dura el préstamo.
Concepto Nombre Símbolo
Cantidad prestada Capital C
Tiempo del préstamo Tiempo t
Un beneficio por 100 € en un año Rédito r
Beneficio del préstamo Interés I
Si él es el tiempo viene expresado en meses :
Si el tiempo viene expresado en días :
Ejemplos
Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30
000 €, al 6%.
Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al
3.5%.
¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5%
para que se convierta en 30.000 €?
Ejercicios y problemas de proporcionalidad
1Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:
1
2
3
4
5
2Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera t iene
un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300
vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?
3Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €.
¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?
4Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado
90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de
pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura
y 200 metros de longitud.
511 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de
ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo
análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
6 Seis gri fos, tardan 10 horas en l lenar un depósito de 400 m³ de
capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro gri fos en l lenar 2 depósitos de
500 m³ cada uno?
7De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué
porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
8Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actual idad 250 €
más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
9Al adquir ir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un
descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
10Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del
8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
11 Se vende un art ículo con una ganancia del 15% sobre el precio de
costo. Si se ha comprado en 80 €. Hal la el precio de venta.
12 Cuál será el precio que hemos de marcar en un art ículo cuya
compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.
13 ¿Qué precio de venta hemos de poner a un art ículo comparado a
280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?
14Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra.
Hal lar el precio de venta del citado art ículo cuyo valor de compra fue de
150 €.
1
1
2
3
4
5
2
25 cm 300 vueltas
75 cm x vueltas
3
6 personas 12 días 792 €
15 personas 8 días x €
4
½ kg 90 · 0.8 m² 12 botes
2 kg 200 · 1.2 m² x botes
5
220 · 48 m² 6 días 11 obreros
300 · 56 m² 5 días x obreros
6
6 grifos 10 horas 1 depósito 400 m³
4 grifos x horas 2 depósitos 500 m³
7
800 alumnos 600 alumnos
100 alumnos x alumnos
8
100 € 7.5 €
8800 € x €
8800 € − 660 € = 8140 €
También se puede calcular directamente del s iguiente modo:
100 € 92.5 €
8800 € x €
9
100 € 116 €
1200 € x €
10
100 € 92 €
450 € x €
11
100 € 115 €
80 € x €
12
venta compra
100 € 90 €
x € 180 €
13
venta compra
100 € 112 €
x € 280 €
14
100 € 80 €
150 € x €
Ejercicios y problemas de proporcionalidad
1Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de
edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
2 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo
de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si
hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?
3 Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente
proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €.
Hal lar lo que le corresponde a la primera y tercera.
4Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le
corresponden 2500 €. ¿Cuánto corresponde a los otros dos?
5Tres hermanos ayudan al mantenimiento famil iar entregando
anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las
aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta
cada uno?
6Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente
proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
7¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al
5% para que se convierta en 30.000 €?
8Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se
reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.
9Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse
un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al
capital prestado.
10¿En cuánto t iempo se tr ipl ica un capital colocado al 6%?
1
2
3
4
5
6
7
8
360 + 120 + 20 = 500 días
I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €
9
I = C
10
I = 3 · C
Ejercicios y problemas interés
1¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al
5% para que se convierta en 30.000 €?
2Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se
reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.
3Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse
un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al
capital prestado.
4¿En cuánto t iempo se tr ipl ica un capital colocado al 6%?
5 Hal lar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30
000 €, al 6%.
6Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €,
al 3.5%.
7¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al
5% para que se convierta en 30.000 €?
1
2
360 + 120 + 20 = 500 días
I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €
3
I = C
4
I = 3 · C
6
7
Sistema Métrico Decimal
Medidas y magnitudes
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir
numéricamente .
Medir es comparar una magnitud con otra que l lamamos unidad .
La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la
unidad.
Si queremos medir la longitud de un pasi l lo en primer lugar debemos
elegir la unidad, en este caso la más apropiada sería el metro.
El sistema métrico decimal
En el pasado cada país y en algunos casos cada región seguían
unidades de medidas diferentes, esta diversidad dif icultó las relaciones
comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dif icultades en 1792 la
Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal .
Progresivamente fue adoptado por todos los países, a excepción de los
de habla inglesa, que se r igen por el Sistema Inglés o Sistema Imperial
Británico .
En España su empleo es of icial desde 1849, aunque sobre todo en el
ámbito agrario ha coexist ido con las medidas tradicionales .
El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los
múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas
entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10 .
El Sistema Métrico Decimal lo ut i l izamos en la medida de las
siguientes magnitudes :
Longitud.
Masa.
Capacidad.
Superficie.
Volumen.
Las unidades de tiempo no son del Sistema Métrico Decimal , ya que
están relacionadas entre sí por múlt iplos o submúlt iplos de 60. El t iempo es
una magnitud del Sistema Sexagesimal .
Medidas complejas e incomplejas
Medida compleja
Es aquella que expresa distintas clases de unidades:
3 kg 200 g, 5 km 120 m.
Medida incompleja o simple
Se expresa únicamente con una clase de unidades.
3.2 kg, 5.12 m.
Paso de medidas complejas a incomplejas
Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar
cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener como
resultado f inal.
Pasar a cm: 12 km 5 dam 42 cm.
Paso de medidas incomplejas a complejas
Tenemos dos casos:
1º Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir .
5317 mm
2º Si queremos pasar a unidades menores hay que mult ipl icar.
2.325 km − 2 km = 0.325 · 1000 = 325
2.325 km= 2 km 325 m
Medidas de longitud
La unidad principal para medir longitudes es el metro .
Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las
más usuales son:
kilómetro km 1000 m
hectómetro hm 100 m
decámetro dam 10 m
metro m 1 m
decímetro dm 0.1 m
centímetro cm 0.01 m
milímetro mm 0.001 m
Observamos que desde los submúlt iplos, en la parte inferior, hasta los
múlt iplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la
anterior .
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se
reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros
como lugares haya entre el las.
Pasar 50 m a cm
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar
(porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad
seguida de dos ceros , ya que entre el metro y el centímetro hay dos
lugares de separación .
50 · 100 = 5 000 cm
4385 mm m
Para pasar de mil ímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos
a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de
tres ceros , ya que hay tres lugares de separación.
4385 : 1000 = 4.385 m
Ejemplos
Expresa en metros:
5 km 5 hm 7 dam 5 000 m + 500 m + 70 m = 5 570 m
3 m 2 cm 3 mm 3 m + 0.02 m + 0.003 m = 3.023 m
25.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m
53 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m
1.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m
Otras medidas de longitud
Para medir distancias muy grandes sobre todo en astronomía se
uti l izan:
Unidad astronómica
Es la distancia media Tierra-Sol . Se uti l iza en la medición de órbitas
y trayectorias dentro del Sistema Solar.
1 UA = 149 597 871 km
El año-luz
Es igual a la distancia recorrida por la luz en un año solar
medio . Se emplea en astronomía para medir grandes distancias.
El año-luz es aproximadamente igual a:
1 año-luz ≈ 9 461 000 000 000 km
El pársec
Unidad de medida astronómica correspondiente a la distancia que
habría a una estrel la que tuviera una paralaje de un segundo.
El pársec es aproximadamente igual a:
1 pársec ≈ 30 857 000 000 000 km
Para medidas microscópicas se utilizan:
La micra o micrómetro
Equivale a una millonésima parte de un metro .
1 μm = 0.000001 m
El nanómetro
Uti l izado para medir la radiación ultravioleta, radiación infrarroja y la
luz. Recientemente la unidad ha cobrado notoriedad en el estudio de la
nanotecnología , área que estudia materiales que poseen dimensiones de
unos pocos nanómetros. Equivale a una mil millonésima parte de un
metro .
1nm = 0.000000001m
El ángstrom
Es la unidad empleada principalmente para expresar longitudes de
onda, distancias moleculares y atómicas. Equivale a una diezmil
millonésima parte de un metro.
1Å = 0.0000000001 m
Medidas de masa
La unidad principal para medir masas es el gramo .
Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las
más usuales son:
kilogramo kg 1000 g
hectogramo hg 100 g
decagramo dag 10 g
gramo g 1 g
decigramo dg 0.1 g
centigramo cg 0.01 g
miligramo mg 0.001 g
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (s i
es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (s i es de una unidad menor
a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares
haya entre ellas.
Pasar 50 kg a dg.
Tenemos que multiplicar , porque el kilogramo es mayor que el
decigramo ; por la unidad seguida de cuatro ceros , ya que hay cuatro
lugares entre ambos.
50 kg · 10 000 = 500 000 dg
Pasar 408 mg a dg
Tenemos que dividir , porque el miligramo es menor que el
decigramo , por la unidad seguida de dos ceros , ya que hay dos lugares
entre ambos.
408 : 100 = 4.08 dg
Ejemplos
Expresa en gramos:
5 kg 5 hm 7 dag 5 000 g + 500 g + 70 g = 5 570 g
3 g 2 cg 3 mg 3 g + 0.02 g + 0.003 g = 3.023 g
25.56 dag + 526.9 dg 255.6 g + 52.69 g = 308.29 g
53 600 mg + 9 830 cg 53.6 g + 98.3 g = 151.9 g
1.83 hg + 9.7 dag + 3 700 cg 183 g + 97 g + 37 g = 317 g
Otras unidades de masa
Tonelada métrica
Se uti l iza para medir masas muy grandes.
1 t = 1000 kg
Quintal métrico
Uti l izado en la agricultura.
1 q = 100 kg
Ejemplo
Medidas de capacidad
La unidad principal para medir capacidades es el l itro .
También existen otras unidades para medir cantidades mayores y
menores:
kilolitro kl 1000 l
hectolitro hl 100 l
decalitro dal 10 l
l itro l 1 l
decilitro dl 0.1 l
centilitro cl 0.01 l
milil itro ml 0.001 l
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (s i
es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (s i es de una unidad menor
a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares
haya entre ellas.
Pasar 50 hl a cl
Tenemos que multiplicar , porque el hectolitro es mayor que el
centilitro ; por la unidad seguida de cuatro ceros , ya que hay cuatro
lugares entre ambos.
50 · 10 000 = 500 000 cl
Pasar 2587 cl a l
Tenemos que dividir , porque el centilitro es menor que el l itro , por
la unidad seguida de dos ceros , ya que hay dos lugares entre ambos.
2587 : 100 = 25.87 l
Ejemplos
Expresa en l i tros:
5 kl 5 hl 7 dal 5 000 l + 500 l + 70 l = 5 570 l
3 l 2 cl 3 ml 3 l + 0.02 l + 0.003 l = 3.023 l
25.56 dal + 526.9 dl 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l
53 600 ml + 9 830 cl 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l
1.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl 183 l + 97 l + 37 l = 317 l
Medidas de superficie
La unidad fundamental para medir superf icies es el metro cuadrado ,
que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.
Otras unidades mayores y menores son:
kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2
hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2
decámetro cuadrado dam2 100 m2
metro cuadrado m2 1 m2
decímetro cuadrado dm2 0.01 m2
centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2
milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2
Observamos que desde los submúlt iplos, en la parte inferior, hasta los
múlt iplos, en la parte superior, cada unidad vale 100 más que la
anterior .
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se
reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos pares
de ceros como lugares haya entre ellas.
Pasar 1.5 hm 2 a m 2
Tenemos que multiplicar , porque el hm 2 es mayor que el m 2 ; por la
unidad seguida de cuatro ceros , ya que hay dos lugares entre ambos.
1.5 · 10 000 = 15 000 m 2
Pasar 15 000 mm 2 a m 2
Tenemos que dividir , porque el mm 2 es menor que el m 2 , por la
unidad seguida de seis ceros , ya que hay tres lugares entre ambos.
15.000 : 1 000 000 = 0.015 m 2
Ejemplos
Medidas de superficie agrarias
Para medir extensiones en el campo se uti l izan las l lamadas medidas
agrarias :
La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.
1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²
El área equivale al decámetro cuadrado.
1 a = 1 dam2 = 100 m²
La centiárea equivale al metro cuadrado.
1 ca = 1 m²
Expresar en hectáreas:
211 943 a
211 943 : 100 = 2 119.43 ha
356 500 m 2
356 500 : 10 000 = 35.65 hm 2 = 35.65 ha
0.425 km 2
0.425 · 100 = 42.5 hm 2 = 42.5 ha
8 km 2 31 hm 2 50 dam 2
8 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm 2 = 831.5 ha
91 m 2 33 dm 2 10 cm 2 =
91 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=
0.00913310 hm 2 = 0.00913310 ha
Medidas de volumen
La medida fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico .
Otras unidades de volúmenes son:
kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3
hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3
decámetro cúbico dam3 1 000 m3
metro cúbico m3 1 m3
decímetro cúbico dm3 0.001 m3
centímetro cúbico cm3 0.000001 m3
milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3
Observamos que desde los submúlt iplos, en la parte inferior, hasta los
múlt iplos, en la parte superior, cada unidad vale 1000 más que la
anterior .
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se
reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos tríos
de ceros como lugares haya entre ellas .
Pasar 1.36 Hm 3 a m 3
Tenemos que multiplicar , porque el Hm 3 es mayor que el m 3 ; por la
unidad seguida de seis ceros , ya que hay dos lugares entre ambos.
1.36 · 1 000 000 = 1 360 000 m 3
Pasar 15 000 mm 3 a cm 3
Tenemos que dividir , porque el mm 3 es menor que el cm 3 , por la
unidad seguida de tres ceros , ya que hay un lugar entre ambos.
15 000 : 1000 = 15 cm 3
Ejemplos
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa
Existe una relación muy directa entre el volumen y capacidad. 1 l es
la capacidad que contiene un recipiente cúbico de 1 dm de arista; es
decir, la capacidad contenida en un volumen de 1 dm 3 .
También existe una relación entre el volumen y la masa de agua. 1 g
equivale a 1 cm³ de agua pura a 4 °C .
Capacidad Volumen Masa (de agua)
1 kl 1 m³ 1 t
1 l 1 dm3 1 kg
1 ml 1 cm³ 1 g
Ejemplos
Expresa en l i tros:
23.2 m 3 =
= 23 200 dm 3 = 13 200 l
0.07 m 3 =
= 70 dm 3 = 70 l
5.2 dm 3 =
= 5.2 l
8 800 cm 3 =
= 8.8 dm 3 = 8.8 l
Medidas tradicionales
Medidas de longitud
La unidad fundamental era la vara , su valor más usado era el de 83.6
cm.
Otras medidas eran:
Pulgada : aproximadamente 2.3 cm
Palmo = 9 pulgadas, aproximadamente un 20.9 cm.
Pie = 12 pulgadas, aproximadamente 27.9 cm.
Vara = 3 pies = 4 palmos, aproximadamente 83.6 cm.
Paso = 5 pies, aproximadamente 1.39 m.
Milla = 1000 pasos, aproximadamente 1.39 km.
Legua = 4 mil las, aproximadamente 5.58 km.
Medidas de capacidad
Para líquidos
Cántara = 16.13 l
Para sólidos
Fanega = 55.5 l
Medidas de masa
La unidad fundamental era la l ibra , su valor más usado era el de 460
g.
Otras medidas eran:
Onza = ¼ l ibra, aproximadamente 115 g.
Libra = 460 g
Arroba = 25 l ibras, aproximadamente 11.5 kg.
Medidas de superficie
Fanega de tierra = 65 áreas = 6 500 m².
Sistema Inglés o Sistema Imperial Británico
Medidas de longitud
Pulgada = 2.54 cm.
Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm.
Yarda = 3 pies = 91.44 cm.
Braza = dos yardas = 1.829 m.
Milla terrestre = 880 brazas = 1.609 ki lómetros.
Milla náutica = 1 852 m.
Medidas de capacidad
Pinta (Gran Bretaña) = 0.568 l .
Pinta (EE.UU.) = 0.473 l .
Barril = 159 l .
Medidas de masa
Onza = 28.3 g.
Libra = 454 g.
Medidas de superficie
Acre = 4 047 m².
Ejercicios del sistema métrico decimal
1Expresa en metros:
13 km 5 hm 7 dam
27 m 4 cm 3 mm
325.56 dam + 526.9 dm
453 600 mm + 9 830 cm
51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm
2Expresa en l i tros:
13 kl 5 hl 7 dal
27 l 4 cl 3 ml
325.56 dal + 526.9 dl
453 600 ml + 9 830 cl
51.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl
3Expresa en gramos:
15 kg 3 hg 4 g
24 hg 8 dag 2 g 5 dg
32 dag 3 g 8 dg 7 cg
435 dg 480 cg 2 600 mg
4Expresa en centi l i tros:
1 3 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml
2 6 hl 8 l 2 ml
3 0.072 kl + 5.06 dal + 400 ml
4 0.000534 kl + 0.47 l
5Expresa en centígramos:
1 3 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg
2 6 hg 8 g 2 mg
3 0.072 kg + 5.06 dag + 400 mg
4 0.000534 kg + 0.47 g
6Expresa en metros:
15 km 3 hm 4 m
24 hm 8 dam 2 m 5 dm
32 dam 3 m 8 dm 7 cm
435 dm 480 cm 2 600 mm
1
13 km 5 hm 7 dam 3 000 m + 500 m + 70 m = 3 570 m
27 m 4 cm 3 mm 7 m + 0.04 m + 0.003 m = 7.043 m
325.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m
453 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m
51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m
2
13 kl 5 hl 7 dal 3 000 l + 500 l + 70 l = 3 570 l
27 l 4 cl 3 ml 7 l + 0.04 l + 0.003 l = 7.043 l
325.56 dal + 526.9 dl 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l
453 600 ml + 9 830 cl 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l
51.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl 183 l + 97 l + 37 l = 317 l
3
15 kg 3 hg 4 g 5 000 g + 300 g + 4 g = 5 304 g
24 hg 8 dag 2 g 5 dg 400 g + 80 g + 2 g + 0.5 g = 482.5 g
32 dag 3 g 8 dg 7 cg 20 g + 3 g + 0.8 g + 0.07 g = 23.87 g
435 dg 480 cg 2 600 mg 3.5 g + 4.8 g + 2.6 g = 10.9 g
4
13 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml
3 000 cl + 700 cl + 50 cl + 4 cl + 0.5 cl = 3 754.5 cl
26 hl 8 l 2 ml
60 000 cl + 800 cl + 0.2 cl= 60 800.2 cl
30.072 kl + 5.06 dal + 400 ml
7 200 cl + 5 060 cl + 40 cl = 12 300 cl
4 0.000534 kl + 0.47 l
53.4 cl + 47 cl = 100.4 cl
5
13 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg
3 000 cg + 700 cg + 50 cg + 4 cg + 0.5 cg = 3 754.5 cg
26 hg 8 g 2 mg
60 000 cg + 800 cg + 0.2 cg = 60 800.2 cg
30.072 kg + 5.06 dag + 400 mg
7 200 cg + 5 060 cg + 40 cg = 12 300 cg
6
15 km 3 hm 4 m 5 000 m + 300 m + 4 m = 5 304 m
24 hm 8 dam 2 m 5 dm 400 m + 80 m+ 2 m + 0.5 m = 482.5 m
32 dam 3 m 8 dm 7 cm 20 m+ 3 m + 0.8 m + 0.07 m = 23.87 m
435 dm 480 cm 2 600 mm 3.5 m + 4.8 m + 2.6 m = 10.9 m
Ejercicios del Sistema Métrico Decimal
1Pasa a decímetros cuadrados:
10.027 dam 2
20.35 m 2
3438 cm 2
4 90 000 mm 2
2Expresa en metros cuadrados:
15 hm 2 24 dam 2 60 dm 2 72 cm 2
20.00351 km 2 + 4700 cm 2
30.058 hm 2 − 3.321 m 2
3Expresa en hectáreas:
1431 943 a
2586 500 m 2
30.325 km 2
47 km 2 31 hm 2 50 dam 2
551 m 2 33 dm 2 70 cm 2
4Calcula y expresa el resultado en forma compleja:
10.03598 km 2 + 96.45 ha + 3 000 a
2 179.72 m 2 − 0.831 dam 2
352 dam 2 31 m 2 500 cm 2
5Pasa a centímetros cúbicos:
15.22 dm 3
2 6 500 mm 3
33.7 dl
425 cl
6Expresa en l i tros:
113.2 m 3
20.05 m 3
33.9 dm 3
4 7 700 cm 3
7Calcula y expresa el resultado en metros cúbicos:
1 7 200 dm 3 + (3.5 m 3 4 600 dm 3)
20.015 hm 3 − (570 m 3 5.3 dm 3)
1
10.027 dam 2
0.027 · 10 000 = 270 dm2
20.35 m 2
0.35 · 100 = 35 dm2
3438 cm 2
438 : 100 = 4.38 dm2
490 000 mm 2
90 000 : 10 000= 9 dm2
2
15 hm 2 24 dam 2 60 dm 2 72 cm 2 =
= 50 000 m 2 + 2 400 m 2 + 0.60 m 2 + 0.0072 m 2 =
= 52400.6072 m2
20.00351 km 2 + 4 700 cm 2 =
= 3 510 m 2 + 0.47 m 2 = 3510.47 m2
30.058 hm 2 − 3.321 m 2 =
= 580 m 2 − 3.321 m 2 = 576.679 m2
3
1431 943 a
431 943 : 100 = 4 319.43 ha
2586 500 m 2
586 500 : 10 000 = 58.65 hm 2 = 58.65 ha
30.325 km 2
0.325 · 100 = 32.5 hm 2 = 32.5 ha
47 km 2 31 hm 2 50 dam 2
7 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm 2 = 731.5 ha
551 m 2 33 dm 2 10 cm 2 =
51 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=
0.00513310 hm 2 = 0.00513310 ha
4
10.03598 km 2 + 96.45 ha + 5 000 a =
= 3.5698 hm 2 + 96.45 hm 2 + 50 hm 2 =
= 150.0198 hm 2 = 1 km2 50 hm2 1 dam2 98 m2
2179.72 m 2 − 0.831 dam 2 =
=176.72 m 2 − 83.1 m 2 = 93.62 m2 = 93 m2 62 dm2
352 dam 2 31 m 2 500 cm 2 =
= 5 200m 2 + 31 m 2 + 0.05 m 2 = 5 231.05 =
= 52 dam2 31 m2 5 dm2
5
10.000005 hm 3
0.000005 · 1 000 000 = 5 m3
2 52 dam 3
52 · 1000 = 52 000 m3
3 749 dm 3
749 : 1000 = 0.749 m3
4 450 000 cm 3
450 000 : 1 000 000 = 0.45 m3
6
1 5.22 dm 3 =
5.22 · 1000 = 5 22 0 cm3
2 6 500 mm 3
6 500 : 1000 = 6.5 cm3
3 3.7 dl =
= 3.7 · l00 = 370 ml = 370 cm3
4 25 cl =
= 0.25 l = 0.25 dm 3 = 250 cm3
7
17 200 dm 3 + (3.5 m 3 4 600 dm 3) =
= 7.2 m 3 + 3.5 m 3 + 4.6 m 3 = 15.3 m3
20.015 hm 3 − (570 m 3 5.3 dm 3 ) =
= 15 000 m 3 − 570.0053 m 3 = 14 429.9947 m3
Elementos del plano
Puntos y rectas
Puntos
Un punto no tiene dimensiones .
Sirve para indicar una posición.
Se nombran con letras mayúsculas .
Rectas
Una recta t iene una dimensión: longitud .
Se designan mediante dos de sus puntos
o mediante una letra minúscula . Dos puntos determinan una recta .
Dos rectas que se cortan determinan un
punto .
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios ,
según se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda.
Semirrectas
Una semirrecta es cada una de las partes en que queda
dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.
Planos
Un plano posee dos dimensiones: longitud y
anchura.
Se nombran mediante letras griegas : α (alfa), β
(beta). . .
Dos planos que se cortan determinan una
recta.
Un plano viene determinado por:
Tres puntos no alineados.
Dos rectas que se cortan.
Dos rectas paralelas.
Por un punto y una recta.
Semiplanos
Un semiplano es cada una de las partes en que
queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.
Posiciones relativas de rectas en un plano
Rectas paralelas
Son las que estando en el mismo plano, no son
secantes.
Rectas secantes
Son las que se cortan en un único punto , l lamado punto de
intersección.
Rectas coincidentes
Son aquel las en las que todos sus puntos se superponen.
Rectas perpendiculares
Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro
partes iguales .
SegmentosDefinición de segmento
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.
Tipos de segmentos
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados o adyacentes
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a él.
Operaciones con segmentos
Suma de segmentos
La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento.
La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.
Resta de segmentos
La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor.
La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos.
Producto de un número por un segmento
El producto de un número con un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica.
La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.
División de un segmento por un número
La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original.
La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.
División de un segmento en partes
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.
1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
Ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos
semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y
al origen común vértice.
Medición de ángulos
Para medir ángulos ut i l izamos el grado sexagesimal (°)
Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de
dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
1º = 60' = 3600''
1' = 60''
Radián
Radián (rad) es la medida del ángulo central de una
circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su
radio.
1 rad= 57° 17' 44.8''
360º = 2 rad
Operaciones con ángulos
Suma de ángulos
Gráfica
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma
de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.
Numérica
1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados ,
los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los
segundos ; y se suman .
2º Si los segundos suman más de 60 , se divide dicho número entre
60 ; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos .
3º Se hace lo mismo para los minutos.
Resta de ángulos
Gráfica
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la
diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.
Numérica
1º Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados ,
los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los
segundos .
2º Se restan los segundos . Caso de que no sea posible, convert imos
un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos
del minuendo. A continuación restamos los segundos.
3º Hacemos lo mismo con los minutos.
Multiplicación de ángulos
Gráfica
La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya
amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique
el número .
Numérica
1º Mult ipl icamos los segundos, minutos y grados por el número.
2º Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60;
el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
3º Se hace lo mismo para los minutos.
División de ángulos
Gráfica
La división de un ángulo por un número es hal lar otro ángulo tal
que mult ipl icado por ese número da como resultado el ángulo or iginal.
:4 =
Numérica
Dividir 37º 48' 25' ' entre 5
1º Se dividen los grados entre el número.
2º El cociente son los grados y el resto, mult ipl icando por 60, los
minutos.
3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo
proceso con los minutos.
4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los
segundos.
Tipos de ángulosClasificación de ángulos según su medida
Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°
Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°
Nulo = 0º Completo = 360°
Negativo < 0º Mayor de 360°
Tipos de ángulos según su posición
Ángulos consecutivos
Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro. Forman un ángulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Ángulos entre paralelas y una recta transversal
Ángulos correspondientes
Los ángulos 1 y 2 son iguales.
Ángulos alternos internos
Los ángulos 2 y 3 son iguales.
Ángulos alternos externos
Los ángulos 1 y 4 son iguales.
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi-inscripto
El vértice de ángulo semi-inscripto está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
Ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono:
Ángulo central = 360° : n
Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º
Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo interior =180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
Bisectriz Definición de bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.
Trazar la bisectriz
1º Se traza un arco correspondiente al ángulo
2º Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto.
3º La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.
Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo
1.Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.
2.Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio.
3.La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.
Incentro
El incentro es el punto de corte de las tres bisetrices de un triángulo.
El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Pol ígonos
Definición
Un polígono es la región del plano limitada por tres o más
segmentos.
Elementos de un polígono
Lados
Son los segmentos que lo limitan.
Vértices
Son los puntos donde concurren dos lados.
Ángulos interiores de un polígono
Son los determinados por dos lados consecutivos.
Suma de ángulos interiores de un polígono
Si n es el número de lados de un polígono:
Suma de ángulos de un pol ígono = (n − 2) · 180°
Diagonal
Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos
Número de diagonales de un polígono
Si n es el número de lados de un polígono:
Número de diagonales = n · (n − 3) : 2
4 · (4 − 3) : 2 = 2
5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9
Tipos de polígonos Según sus lados
Triángulos
Tienen 3 lados.
Cuadriláteros
Tienen 4 lados.
Pentágonos Tienen 5 lados.
Hexágonos
Tienen 6 lados.
Heptágonos
Tienen 7 lados.
Octágonos
Tienen 8 lados.
Eneágono
Tiene los 9 lados.
Decágono
Tiene 10 lados.
Endecágono
Tiene 11 lados.
Dodecágono
Tiene 12 lados.
Tridecágono
Tienen 13 lados.
Tetradecágono
Tiene 14 lados.
Pentadecágono
Tiene 15 lados.
Hexadecágono
Tiene 16 lados.
Heptadecágono
Tiene 17 lados.
Octadecágono
Tiene 18 lados.
Eneadecágono
Tienen 19 lados.
Icoságono
Tiene 20 lados.
Según sus ángulos
Convexos
Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores.
Cóncavos
Si un ángulo mide más de 180°. Si una de sus diagonales es exterior.
Elementos de un pol ígono regular
Polígonos regulares
Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus
lados iguales.
Elementos de un polígono regular
Centro
Punto interior que equidista de cada vért ice
Radio
Es el segmento que va del centro a cada vért ice.
Apotema
Distancia del centro al punto medio de un lado.
Ángulos de un polígono regular
Clases de ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un pol ígono:
Ángulo central = 360° : n
Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º
Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo interior =180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado
consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios , es decir,
que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
Clasificación de polígonos regulares
Triángulo equilátero
Tiene los 3 lados y ángulos iguales.
Cuadrado
Tiene 4 lados y ángulos iguales.
Pentágono regular
Tiene 5 lados y ángulos iguales.
Hexágono regular
Tiene 6 lados y ángulos iguales.
Heptágono regular
Tienen 7 lados y ángulos iguales.
Octágono regular
Tiene 8 lados y ángulos iguales.
Eneágono regular
Tiene los 9 lados y ángulos iguales.
Decágono regular
Tiene 10 lados y ángulos iguales.
Endecágono regular
Tiene 11 lados y ángulos iguales.
Dodecágono regular
Tiene 12 lados y ángulos iguales.
Tridecágono regular
Tienen 13 lados y ángulos iguales.
Tetradecágono regular
Tiene 14 lados y ángulos iguales.
Pentadecágono regular
Tiene 15 lados y ángulos iguales.
Hexadecágono regular
Tiene 16 lados y ángulos iguales.
Heptadecágono regular
Tiene 17 lados y ángulos iguales.
Octadecágono regular
Tiene 18 lados y ángulos iguales.
Eneadecágono regular
Tienen 19 lados y ángulos iguales.
Icoságono regular
Tiene 20 lados y ángulos iguales.
Pol ígono inscripto
Un polígono está inscripto en una circunferencia si todos sus
vértices están contenidos en ella.
Circunferencia circunscrpita
Es la que toca a cada vértice del polígono
Su centro equidista de todos los vért ices.
Su radio es el radio del polígono.
Circunferencia inscripta
Es la que toca al polígono en el punto medio de cada
lado.
Su centro equidista de todos los lados.
Su radio es la apotema del polígono.
Tipos de triángulos Un triángulo es un polígono con tres lados.
Propiedades de los triángulos
1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Tipos de triángulos
Según sus lados
Triángulo equilátero
Tres lados iguales.
Triángulo isósceles
Dos lados iguales.
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales
Según sus ángulos
Triángulo acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo rectángulo
Un ángulo rectoEl lado mayor es la hipotenusa.Los lados menores son los catetos.
Triángulo obtusángulo
Un ángulo obtuso.
Alturas, medianas, mediatr ices y bisectr ices de un tr iángulo
Alturas de un triángulo
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Recta de Euler
Cuadriláteros
Defincion de cuadrilátero
Los cuadriláteros son pol ígonos de cuatro lados .
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a
360°.
Clasificación de cuadriláteros
Paralelogramos
Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se
clasifican en:
Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.
Rectángulo
Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.
Rombo
Tiene los cuatro lados iguales.
Romboide
Tiene lados iguales dos a dos.
Trapecios
Cuadri láteros que t ienen dos lados paralelos, l lamados base mayor y
base menor. Se clasif ican en:
Trapecio rectángulo
Tiene un ángulo recto.
Trapecio isósceles
Tiene dos lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno
No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.
Trapezoides
Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual
ni paralelo.
Áreas figuras planas
Cuadrado y rectángulo Perímetro de un polígono
Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono
Área
Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana
Área de un cuadrado
Área de un rectángulo
Áreas del rombo y romboide Área de un rombo
Área de un romboide
P = 2 · (a + b) A = b · h
P = 2 · (4.5 + 4) = 17 cm A = 4 · 4 = 16 cm2
Áreas del trapecio y el triángulo Área de un trapecio
Área de un triángulo
Área de un pol ígono
Área de un polígono
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4
AD = BC; AB = DC Romboide
P = 13 + 11 + 12 + 5 + 11= 52 cm
A = A R + A T
A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2 = 162 cm2
Área de un polígono regular
Áreas de polígonos. Ejercicios
1Un campo rectangular t iene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular:
1Las hectáreas que t iene.
2El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €.
2 En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina
también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.
3 Hal lar el área de un tr iángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden
10 cm cada uno.
4 Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para
desarrol larse 4 m².
5 El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor
mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base?
6 Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios
de los lados de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.
7 Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su
base mide 3 veces más que su altura.
8 Cuánto vale el área de la parte subrayada de la f igura, s i el área del
hexágono es de 96 cm².
9 Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor.
10 Una zona boscosa t iene forma de trapecio, cuyas bases miden 128
m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada
que queda.
1
Calcular:
1Las hectáreas que t iene.
A = 170 · 28 = 4 760 m²
4 760 : 10 000 = 0. 476 ha
2El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €.
4 760 · 15 = 71 400 €
2
A P = 25 2 = 625 m²
A J = 150 2 − 625 = 21 875 m²
3
A = (10 · 10) : 2 = 50 cm²
4
A = 32 · 30 = 960 m²
960 : 4 = 240 árboles
5
6
7
h = 2 cm
b = 2 · 3 = 6 cm
A = 2 · 6 = 12 cm²
8
96 : 6 = 16 cm² 16 · 2 = 32 cm²
9
D = 10 cm
d = 10 : 2 = 5 cm
A = (10 · 5) : 2 = 25 cm²
10
AZ = AT r a p e c i o − AC a m i n o
Áreas. Evaluación
Examen
1 Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se
necesitan para enlosar una superf icie rectangular de 4 m de base y 3 m de
altura.
2Un jardín rectangular t iene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín
está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno
t iene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.
3 El perímetro de un tr iángulo equi látero mide 0.9 dm y la altura mide
25.95 cm. Calcula el área del triángulo .
4 Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del
segmento BC, con el vért ice D. Calcular el área del trapecio formado.
5 Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de
este edif ic io sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m 2 .
1
A S = 4 · 3 = 12 m 2 = 120 000 cm²
AB = 10 · 10 = 100 cm²
120 000 : 100 = 1 200 baldosas
2
8 dm = 0.8 m
h = 20 - 0.8 = 19.2 m
7 dm = 0.7 m
b = 30 - 0.7 = 29.3m
A J = 19.2 · 29.3 = 562.56 m²
3
P = 0.9 dm = 90 cm
l = 90 : 3 = 30 cm
A = (30 · 25.95) : 2 = 389.25 cm²
4
5
Circunferencia
Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Centro de la circunferencia
Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia
Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Elementos de la circunferencia
Cuerda
Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro
Cuerda que pasa por el centro.
Arco
Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Semicircunferencia
Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.
Círculo
Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.
Elementos de un círculo
Segmento circular
Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Semicírculo
Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.
Zona circular
Porción de círculo limitada por dos cuerdas.
Sector circular
Porción de círculo limitada por dos radios.
Corona circular
Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.
Trapecio circular
Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.
Posiciones relativas de circunferencias Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
Interior
Su distancia al centro es menor que el radio.
Punto sobre la circunferencia.
Punto exterior a la circunferencia
Su distancia al centro es mayor que el radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Recta secante
La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente
La recta corta a la circunferencia en un punto.
Recta exterior
No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias
Ningún punto en común
Exteriores
La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.
Interiores
La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
Concéntricas
Los centros coinciden.
Un punto común
Tangentes exteriores
La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
Tangentes interiores
La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
Dos puntos en común
Secantes
La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.
Ángulos en la circunferencia Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo semiinscrito
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
Áreas Longitud de una circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
Área de un círculo
Área de un sector circular
Área de una corona circular
Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.
Área de un trapecio circular
Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.
Área de un segmento circular
Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Lúnula de Hipócrates Construcción de una lúnula de Hipócrates
Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.
Con centro en O se traza el arco AB.
Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco.
La parte enmarcada por el color verde se llama lúnula de Hipócrates .
Área de la lúnula
Circunferencia y círculo. Ejercicios
1 La rueda de un camión t iene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el
camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
2 Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance
máximo del faro es de 7 mil las, ¿cuál es la longitud máxima en metros del
arco correspondiente?
1 mil la = 1 852 m
3 La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del
círculo?
4 El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del
círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.
5 Hal lar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del
tr iángulo equi látero inscrito, s iendo 2 cm el radio de la circunferencia.
6 Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm,
respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de
60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
7 En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el
centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el
área de la zona de paseo.
8La superf icie de una mesa está formada por una parte central
cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados
opuestos. Calcula el área.
9Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor
mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.
10 Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un
cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.
1
r = 90 : 100 = 0.9 m
L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m
5.65 · 100 = 565 m
2
1 mil la = 1 852 m
3
4
5
6
7
8
9
10
La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares.
Área del segmento circular = Área del sector circular − Área del
triángulo.
Circunferencia y círculo. Ejercicios
1 Ana se ha montado en el cabal lo que está a 3.5 m del centro de una
plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba
a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la
plataforma ha dado 50 vueltas.
2 Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir
como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento
del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
3 Hal lar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado
inscrito, s iendo 4 cm el radio de la circunferencia.
4 Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6
cm y el radio del círculo mide 3 cm.
5 En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7
farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo
van a uti l izar para sembrar césped. Calcula el área del césped.
1
2
3
4
5
Cuerpos
Áreas y volúmenes
TetraedroÁrea y volumen del tetraedro
Como un tetraedro está formado por 4 triángulos equilaláteros, podemos hallar el área de un triángulo equilátero y multiplicar por 4 para obtener el área del tetraedro.
Área del triángulo equilátero
Octaedro. Icosaedro Área y volumen del octaedro
Área y volumen del icosaedro
DodecaedroÁrea del pentágono regular
Área y volumen del dodecaedro
Cubo. Ortoedro Área y volumen del cubo
Área y volumen del ortoedro
Prisma. Pirámide
Área y volumen del prisma
Área y volumen de la pirámide
Área y volumen del tronco de pirámide
Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vért ice.
La sección determinada por el corte es la base menor.
Las caras laterales son trapecios isósceles.
Las apotemas son las alturas de los trapecios isósceles.
La altura es la distancia entre las bases.
Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base menor y el vért ice.
Cilindro. Cono. Tronco de cono Área y volumen del cil indro
Área y volumen del cono
Área y volumen del tronco de cono
Esfera. Huso. Cuña Área y volumen de la esfera
Área del huso esférico y volumen de la cuña esférica
Casquete. Zona
Área y volumen del casquete esférico
Área y volumen de la zona esférica
Ejercicios de áreas y volúmenes I
1Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que
t iene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.
2Una piscina t iene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad.
Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.
1Cuánto costará pintarla.
2Cuántos l i tros de agua serán necesarios para l lenarla.
3En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de
alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de
ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?
4Determina el área total de un tetraedro , un octaedro y un
icosaedro de 5 cm de arista.
5 Calcula la altura de un prisma que t iene como área de la base 12
dm2 y 48 l de capacidad.
6 Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10
botes de forma ci l índrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
7Un cilindro t iene por altura la misma longitud que la circunferencia
de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular:
1 El área total .
2 El volumen
8En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de
4 cm de arista. ¿A qué altura l legará el agua cuando se derritan?
9 La cúpula de una catedral t iene forma semiesférica , de diámetro 50
m. Si restaurarla t iene un coste de 300 € el m 2 , ¿A cuánto ascenderá el
presupuesto de la restauración?
10¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para
recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3
m de profundidad?
11Un recipiente ci l índrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se
l lena de agua. Si la masa del recipiente l leno es de 2 kg, ¿cuál es la masa
del recipiente vacío?
12Para una f iesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con
cartón. ¿Cuánto cartón habrá uti l izado si las dimensiones del gorro son 15
cm de radio y 25 cm de generatriz?
13Un cubo de 20 cm de arista está l leno de agua. ¿Cabría esta agua
en una esfera de 20 cm de radio?
1
2
3
4
5
6
7
1 El área total .
2 El volumen
8
9
10
11
12
13
Ejercicios de áreas y volúmenes II
1Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.
2Calcular la diagonal , el área lateral , el área total y el volumen
de un cubo de 5 cm de arista
3Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.
4Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista ,
sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.
5Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.
6Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma
cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.
7Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide
cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.
8Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide
hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral .
9Calcular el área lateral , el área total y el volumen de un tronco de
pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13
cm.
10Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya
generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.
11Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya
altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
12Calcular el área lateral , el área total y el volumen de un tronco de
cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.
13Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco
de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.
14Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35
cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de
21 cm.
15Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un ci l indro
de 2 m de altura.
16Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.
17Calcula el área y el volumen del s iguiente casquete esférico .
18Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas
circunferencias t ienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre el las es de 5
cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Gráficas y funciones
Coordenadas en el plano
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas
perpendiculares, l lamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas :
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O , donde se cortan los dos ejes, es el origen de
coordenadas .
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x,
y) .
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la
denomina coordenada x del punto o abscisa del punto .
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le
l lama coordenada y del punto u ordenada del punto .
Representación gráfica de puntos
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a
cada una de ellas se les llama cuadrante.
Signos
Abscisa Ordenada
1e r cuadrante + +
2º cuadrante − +
3e r cuadrante − −
4º cuadrante + −
El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).
Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.
Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.
Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de
abscisas) tienen la misma ordenada.
Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de
ordenadas) tienen la misma abscisa.
Ejercicio
Representa en los ejes de coordenadas los puntos:
A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)
Tablas de valores
Una tabla es una representación de datos, mediante pares
ordenados, expresan la relación existente entre dos magnitudes o
dos situaciones.
La siguiente tabla dos muestra la variación del precio de las patatas,
según el número de ki logramos que compremos.
Kg de patatas 1 2 3 4 5
Precio en € 2 4 6 8 10
La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una
determinada nota en un examen.
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
0
Nº de
alumno
s
1 1 2 3 61
1
1
27 4 2 1
Representación gráfica
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los
pares ordenados de una tabla.
Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se l lama variable
independiente o variable x .
La que se representa en el eje vertical se l lama variable
dependiente o variable y .
La variable y está en función de la variable x.
Una vez real izada la gráfica podemos estudiarla, anal izarla y extraer
conclusiones.
Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a
derecha, anal izando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la
variable independiente, x.
Kg de patatas 1 2 3 4 5
Precio en € 2 4 6 8 10
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más
ki los de patatas el precio se va incrementando.
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
0
Nº de
alumno
s
1 1 2 3 61
1
1
27 4 2 1
En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos
obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.
Características de las gráficas
Gráfica creciente
Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente
aumenta la otra variable.
Gráfica decreciente
Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente
disminuye la otra variable.
Gráfica constante
Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra
permanece invariable.
Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y
decrecientes.
Concepto de función
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor
de la segunda, llamada imagen.
El precio de un viaje en taxi viene dado por:
y = 3 + 0.5 x
Siendo x el t iempo en minutos que dura el viaje.
Como podemos observar la función relaciona dos variables. x e y.
x es la variable independiente .
y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el
viaje).
Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar
mejor su comportamiento.
x 10 20 30
y= 3 + 0.5x 8 13 18
Función l ineal
La función l ineal es del t ipo:
y = mx
Su gráfica es una l ínea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de
abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la
parte posit iva del eje OX es agudo .
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con
la parte posit iva del eje OX es obtuso .
Función afín
La función af ín es del t ipo:
y = mx + n
m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma
pendiente.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la
recta con el eje de ordenadas.
Función constante
La función constante es del t ipo:
y = n
El cr iterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas .
Representación gráfica de funciones
Gráfica de una fución
La gráfica de una función está formada por el conjunto de
puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D.
gráfica (f) = {(x, f(x)) / x D}
Para representarla calcularemos aquel los puntos o intervalos donde la
función t iene un comportamiento especial , que determinaremos mediante el
estudio de los siguientes apartados:
1. Dominio de una función.
2. Simetría.
3. Periodicidad.
4. Puntos de corte con los ejes.
5. Asíntotas.
6. Ramas parabólicas.
7. Crecimiento y Decrecimiento.
8. Máximos y mínimos.
9. Concavidad y convexidad.
10. Puntos de inflexión.
Ejemplo de representación de una función
Dominio
Simetría
Simetría respecto al origen.
x-intercept
Punto de corte con OX :
Asíntotas
Asíntota horizontal
No tiene asíntotas verticales ni oblicuas .
Crecimiento y decrecimiento
Mínimos
Máximos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
Dominio de una función
El dominio de una función está formado por todos los elementos
que tienen imagen.
D = {x / f (x)}
Cálculo del dominio de una función
Dominio de la función polinómica
El dominio de una función polinómica es
f(x)= x 2 - 5x + 6 D=R
Dominio de la función racional
El dominio es menos los valores que anulan al denominador .
Dominio de la función radical de índice impar
El dominio es R.
Dominio de la función radical de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el
radicando sea mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el
radicando sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
D =
Dominio de la función seno
D = .
Dominio de la función coseno
D = .
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Simetría de una función
Simetría respecto del eje de ordenadas
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si ésta es una
función par , es decir:
f(-x) = f(x)
Simetría respecto al origen
Una función f es simétrica respecto al origen si ésta es una función
impar , es decir:
f(-x) = -f(x)
Funciones periódicas
Periodicidad de una función
Una función es periódica cuando:
La función se repite de T en T, s iendo T el período .
La función f(x) = x − E(x), es periódica de periodo 1.
sen (x + 2π) = sen x
En el caso de la función seno T = 2π
tg (x + π) = tg x
En el caso de la función tangente T = π
Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su
período es T/m.
Ejemplos
Hallar el periodo de las funciones:
1f(x) = sen 2x
2f(x) = tg (1/2)x
3f(x) = E (1/2)x
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con el eje OX
Para hal lar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y =
0 y resolvemos la ecuación resultante.
Ejemplo
Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función:
Punto de corte con el eje OY
Para hal lar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x =
0 y calculamos el valor de f(0) .
Ejemplo
Hallar el punto de corte con el ejes OY de la función:
Ejemplo de puntos de corte con los ejes
Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:
Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando
indefinidamente . Hay tres t ipos de asintotas:
Asíntotas horizontales
Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales de la función:
Asíntotas verticales
Consideramos que el resultado del l ímite es ∞ si tenemos un número
real part ido por cero.
K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en
las funciones racionales).
Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales y verticales de la función:
Asíntotas oblicuas
Sólo hal laremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas
horizontales .
Ejemplo
Calcular las asíntotas de la función:
Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
Asíntotas oblicuas
Ramas parabólicas
Las ramas parabólicas se estudian sólo si :
Rama parabólica en la dirección del eje OY
Se dice que f t iene una rama parabólica en la dirección del eje OY
cuando:
Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje
vert ical .
Ejemplo
Estudiar las ramas parabólicas de la función:
Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY .
Rama parabólica en la dirección del eje OX
Se dice que f t iene una rama parabólica en la dirección del eje OX
cuando:
Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje
horizontal.
Ejemplo
Estudiar las ramas parabólicas de la función:
Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX .
Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento en un punto
Si f es derivable en a:
f es estr ictamente creciente en a si :
f'(a) > 0
Decrecimiento en un punto
Si f es derivable en a:
f es estr ictamente decreciente en a si :
f'(a) < 0
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para hal lar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes
pasos:
1. Derivar la función.
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos:
f'(x) = 0.
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la
derivada primera y los puntos de discontinuidad (s i los hubiese)
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que
tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento .
Ejemplo
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Máximos y mínimos
Extremos relativos
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local s i :
1. Si f'(a) = 0 .
2. Si f' '(a) ≠ 0 .
Máximos relativos
Si f y f ' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f' '(a) < 0
Mínimos relativos
Si f y f ' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f' '(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Para hal lar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman
en ella las raíces de derivada primera y si:
f' '(a) < 0 es un máximo relat ivo
f' '(a) > 0 es un mínimo relat ivo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos
relativos.
Ejemplo
Calcular los máximos y mínimos de:
f(x) = x 3 − 3x + 2
f ' (x) = 3x 2 − 3 = 0
f' ' (x) = 6x
f ' ' (−1) = −6 Máximo
f ' ' (1) = 6 Mínimo
f(−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1) 3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)
Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función
habrá:
1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de
creciente a decreciente.
2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de
decreciente a creciente .
Ejemplo
Hallar los máximos y mínimos de:
Tenemos un mínimo en x = 3
Mínimo(3, 27/4)
En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la
función.
Concavidad y convexidad
Si f y f ' son derivables en a, a es:
Cóncava
Si f' '(a) > 0
Convexa
Si f' '(a) < 0
Intervalos de concavidad y convexidad
Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una
función seguiremos los siguientes pasos :
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la
derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que
tiene en la derivada segunda.
Si f' '(x) > 0 es cóncava.
Si f' '(x) < 0 es convexa.
4. Escribimos los intervalos:
Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad
Puntos de inflexión de una función
Si f y f ' son derivables en a, a es un:
Punto de inflexión
Si f' ' = 0
y f' ' ' ≠ 0
Cálculo de los puntos de inflexión
Para hal lar los puntos de inflexión , seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que
toman en ella los ceros de derivada segunda y si :
f' ' '(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
Ejemplo
Hallar los puntos de inflexión de:
f(x) = x 3 − 3x + 2
f ' ' (x) = 6x 6x = 0 x = 0.
f ' ' ' (x) = 6 Será un punto de inf lexión.
f(0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función
habrá:
Puntos de inflexión en los puntos en que ésta pasa de cóncava a
convexa o vicecersa.
Ejemplo
Calcular los puntos de inf lexión de la función:
Tenemos un punto de inflexión en x = 0 , ya que la función pasa de
convexa a concava.
Punto de inflexión (0, 0)
Gráficas y funciones. Ejercicios y problemas
1Representa las siguientes rectas:
1 y = 2
2 y = −2
3 y = x
4 y = 2x − 1
5 y = −2x − 1
6 y = ½x − 1
2Representa las siguientes funciones, sabiendo que:
1 Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
2 Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, −2).
3Tres ki logramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la
función que define el coste de los boquerones en función de los ki logramos
comprados.
4En las 10 primeras semanas de cult ivo de una planta, que medía 2
cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al
t iempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm.
Establecer una función a f in que dé la altura de la planta en función del
t iempo y representar gráficamente.
5Cuando se excava hacia el interior de la t ierra, la temperatura
aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:
t = 15 + 0.01 h.
Donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y h es la
profundidad, en metros, desde la corteza terrestre. Calcular:
1. ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?
2. ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de
100 ºC?
6El nivel de contaminación de una ciudad a las 6 de la mañana es de
30 partes por mil lón y crece de forma l ineal 25 partes por mil lón cada hora.
Sea y la contaminación en el instante t después de las 6 de la mañana.
1.Hallar la ecuación que relaciona y con t.
2. Calcular el nivel de contaminación a las 4 de la tarde.
1
1 y = 2
2 y = −2
3 y = x
x y = x
0 0
1 1
4 y = 2x − 1
x y = 2x −1
0 −1
1 1
5 y = −2x − 1
xy = −2x
−1
0 −1
1 −3
6 y = ½x − 1
x y = ½x − 1
0 −1
2 0
2
1 Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
y = −3x −1
x y = −3x − 1
0 −1
1 −4
2 Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, −2).
y = 4 x + n −2 = 4 · (−3) + n n = 14
y = 4x + 14
x y = 4x +14
0 14
1 18
3
18/3 = 6 y = 6x
4
Altura inicial = 2 cm
Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5
y = 0.5x + 2
5
Calcular:
1. ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?
t = 15 + 0.01 · 100 = 16 ºC
2. ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de
100 ºC?
100 = 15 + 0.01 h = 8 500 m
6
1.Hallar la ecuación que relaciona y con t.
y = 30 + 25t
2.Calcular el nivel de contaminación a las 4 de la tarde.
Desde las 6 de la mañana a las cuatro de la tarde han transcurrido 10
horas.
f(10) = 30 + 25 · 10 = 280
Gráficas y funciones. Examen
1Representa las siguientes rectas:
1 y = 0
2 y = ¾
3 y = 2x
4y = −¾x − 1
2Un grifo, que gotea, l lena una probeta dejando caer cada minuto 0.4
cm³ de agua. Forma una tabla de valores de la función, t iempo-capacidad
de agua. Representa la función y encuentra la ecuación.
3Por el alqui ler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por
ki lómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario
con el número de ki lómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un
total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?
1
1 y = 0
2 y = ¾
3 y = 2x
x y = 2 x
0 0
1 2
4y = −¾x − 1
x y = -¾x - 1
0 -1
4 -4
2
y =0.4 x
Tiempo Capacidad
1 4
2 8
3 12
4 16
... ...
3
y = 0.3 x +100
y = 0.3 · 300 + 100 = 190 €
Ejercicios de representación de funciones
Representar las siguientes funciones, estudiando su:
Dominio.
Simetría.
Puntos de corte con los ejes.
Asíntotas y ramas paraból icas.
Crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos.
Concavidad y convexidad.
Puntos de inf lexión
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1
Dominio
Simetría
Simetría respecto al origen.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
No tiene asíntotas .
Ramas parabólicas
Crecimiento y decrecimiento
Creciente :
Decreciente:
Mínimos
Máximos
Concavidad y convexidad
Cóncava :
Convexa
Puntos de inflexión
(0, 0)
Representación gráfica
2
Dominio
Simetría
Simetría respecto al eje OY .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
No tiene asíntotas .
Ramas parabólicas
Crecimiento y decrecimiento
Mínimos
Máximos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
3
Dominio
Simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal :
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
Crecimiento y decrecimiento
Creciente :
Mínimos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
4
Dominio
Simetría
Simetría respecto al eje OY .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
Ramas parabólicas
Crecimiento y decrecimiento
Mínimos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
No hay punto de inflexión .
Representación gráfica
5
Dominio
Simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
Crecimiento y decrecimiento
Mínimos
Máximos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
No hay punto de inflexión .
Representación gráfica
6
Dominio
Simetría
Simetría respecto al origen.
Puntos de corte con los ejes
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
No tiene asíntotas verticales ni oblicuas .
Crecimiento y decrecimiento
Mínimos
Máximos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
7
Dominio
Simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
No hay asíntotas verticales ni oblicuas .
Crecimiento y decrecimiento
Creciente :
Máximos
Mínimos
Con los datos obtenidos representamos:
8
Dominio
Simetría
No presenta simetría .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
No tiene asíntotas .
Crecimiento y decrecimiento
Máximo y mínimos
No existen extremos locales .
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
No hay punto de inflexión .
Representación gráfica
9
Dominio
Simetría
No presenta simetría .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Crecimiento y decrecimiento
Máximo y mínimos
No existen extremos locales .
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
10
Dominio
Simetría
No presenta simetría .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
No hay asíntotas verticales ni oblicuas .
Crecimiento y decrecimiento
Máximos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
11
Dominio
Simetría
No presenta simetría .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Crecimiento y decrecimiento
Máximos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
Ejercicios de representación de funciones
Representar las siguientes funciones, estudiando su:
Dominio.
Simetría.
Puntos de corte con los ejes.
Asíntotas y ramas paraból icas.
Crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos.
Concavidad y convexidad.
Puntos de inf lexión
1.
2.
1
Dominio
Simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
Crecimiento y decrecimiento
Máximo y mínimos
No exixten extremos locales .
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
No hay punto de inflexión .
Representación gráfica
2
Dominio
Simetría
Simetría respecto al eje OY .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal
No hay asíntotas verticales ni oblicuas .
Crecimiento y decrecimiento
Máximos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Representación gráfica
Ejercicios resueltos de puntos de corte con los ejes
Calcular los puntos de corte con los ejes de las funciones:
1.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
2.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
3.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
4.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
5.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
6.
Punto de corte con OY :
7.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
8.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
9.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
10.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
11.
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Ejercicios de simetría de funciones
Estudia la simetría de las funciones:
1.
Simétrica respecto al origen
2.
Simétrica respecto al eje de ordenadas
3. f(x) = x 6 + x 4 − x 2
f(−x)= (−x) 6 + (−x) 4 − (−x) 2 = x 6 + x 4 − x 2 = f(x)
Simétrica respecto al eje de ordenadas
4.f(x) = x5 + x3 − x
f(−x)= (−x)5 + (−x) 3 − (−x) = −x5 − x 3 + x = −f(x)
Simétrica respecto al origen
5. f(x)= x |x|
f(−x) = −x |−x|= −x |x|= −f(x)
Simétrica respecto al origen
6.f(x) = |x| − 1
f(−x) = |−x| − 1= |x| − 1 = f(x)
Simétrica respecto al eje de ordenadas
7.
Simétrica respecto al eje de ordenadas
8.
Simétrica respecto al origen
9.
Simétrica respecto al eje de ordenadas
10.
Ejercicios resueltos de asíntotas
Calcular las asíntotas de las funciones:
1.
Asíntota horizontal :
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
2.
Asíntota horizontal :
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
3.
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
4.
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
5.
Asíntota horizontal
No tiene asíntotas verticales ni oblicuas .
6.
Asíntota horizontal
No hay asíntotas verticales ni oblicuas .
7.
Asíntota horizontal .
No tiene asíntota horizontal .
Asíntotas verticales .
Asíntota oblicua .
8.
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
9.
Asíntota horizontal
No hay asíntotas verticales ni oblicuas .
10.
Asíntota horizontal
No hay asíntotas verticales ni oblicuas .
11.
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales .
Ejercicios resueltos de ramas parabólicas
Calcular las ramas parabólicas de las funciones:
1.
Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY .
2.
Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX .
3.
4.
5.
Ejercicios resueltos de crecimiento y decrecimiento
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
1.
Creciente :
Decreciente:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Creciente :
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Ejercicios resueltos de máximos y mínimos
Calcular los máximos y mínimos de las funciones:
1. f(x) = x3 − 3x + 2
f ' (x) = 3x 2 − 3 = 0
f' ' (x) = 6x
f ' ' (−1) = −6 Máximo
f ' ' (1) = 6 Mínimo
f(−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1) 3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ejercicios resueltos de concavidad y convexidad
Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de las funciones:
1.
Cóncava :
Convexa
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Ejercicios resueltos de puntos de inflexión
Hall lar los puntos de inflexión de las funciones:
1. f(x) = x3 − 3x + 2
f ' ' (x) = 6x 6x = 0 x = 0.
f ' ' ' (x) = 6 Será un punto de inf lexión.
f(0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
2.
Punto de inflexión(0, 0)
3.
4.
5.
6.
Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión
1La cotización de las sesiones de una determinada sociedad,
suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días,
responde a la siguiente ley:
C = 0.01x 3 − 0.45x 2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en
que ocurrieron, en días dist intos del primero y del últ imo.
2. Determinar los períodos de t iempo en el que las acciones subieron o
bajaron.
2Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen
de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el t iempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
3Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 − 6x 2 +
4 en su punto de inf lexión.
4Determinar a, b y c para que la función f(x)= x 3 +ax 2 +bx +c tenga un
máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.
5Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = a x 3 + bx 2
+ cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
6Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx 3 + c x 2
+ dx + e, tenga un punto crít ico en (1, 3) y un punto de inf lexión con
tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).
7La curva f(x) = x 3 + a x 2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y
t iene un punto de inf lexión en (2/3, 1/9). Hal lar a, b y c.
8Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y
que la curva pase por el origen de coordenadas.
9Hallar a y b para qué la función: f(x) = a ln x + bx 2 +x tenga
extremos en los puntos x 1 = 1 y x 2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué
t ipo de extremos t ienen la función en 1 y en 2?
10Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de
inf lexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
11La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras
durante un día si una ley del t ipo:
donde la variable x representa el t iempo en horas (de 0 a 24).
Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
2. Si se real iza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los
dueños de la máquina?
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
12Sea f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 7. Hal lar a y b de manera que la gráfica
de la función f(x) tenga para x= 1 una inf lexión, y cuya recta tangente en
ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
1
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en
que ocurrieron, en días dist intos del primero y del últ imo.
2. Determinar los períodos de t iempo en el que las acciones subieron o
bajaron.
Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.
2
Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
r = 300 t − 300 t²
r ′ = 300 − 600 t
300 − 600 t = 0 t = ½
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
300 t (1−t) = 0 t = 0 t = 1
El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen
(t = 1).
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
r″ (t) = − 600
r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75
Rendimiento máximo: (½, 75)
3
f ′ (x) = 6x 2− 12xf ′ ′ (x) = 12x − 121
2 x − 12 = 0x = 1
f ′ ′ ′ (x) = 12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f(1) = 0
Punto de inf lexión: (1, 0)
f ′ (1) = 6 − 12= − 6 = m
y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6
4
f(x) =x3 + ax2 + bx + c f ′ (x) = 3x 2 + 2ax + b
1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0
0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48
0 = 0 − 0 + b b = 0
a = 6 b = 0 c = −6
5
f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +df ′(x) = 3ax 2 + 2bx + c
f(0) = 4 d = 4
f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0
f ′ (0) = 0 c = 0
f ′ (2) =0 12a + 4b + c = 0
a = 1 b = −3 c = 0 d = 4
6
f ′ (x) = 4ax 3 + 3 bx 2 + 2cx + d f ′ ′ (x) = 12ax 2 + 6bx + 2c
f ′ (x) = 4ax 3 + 3 bx 2 + 2cx + d f ′ ′ (x) = 12ax 2 + 6bx + 2c
f(1) = 3a + b + c + d = 3
f(0) = 0 e = 0
f ′ (1) = 3 4a + 3 b + 2c + d = 3
f ′(0) = 2 d = 2
f ′ ′ (0) = 0 2c = 0
a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0
7
8
9
10
f ′ (x) = 3 x 2 − 6x+ 7
f ′ ′ (x) =6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f ′ ′ ′ (x) =12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f(1)= 6
Punto de inf lexión: (1, 6)
m t = f ′(1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
11
Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
Entre 0 y 24 la función es dist inta de cero, por lo cual la máquina
siempre tiene monedas.
Hay un mínimo absoluto en (0, 100)
2. Si se real iza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los
dueños de la máquina?
Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
f ′ (x)= x² − 38x + 352 x² − 38x + 352 = 0
x = 16 x = 22
f ′ ′ (x)= 2x − 38
f ′ ′ (16) = 32 − 38 < 0Máximo (16, 6700/3)
f ′ ′ (22) = 44 − 38 > 0Mínimo (22, 6592/3)
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
El mayor premio será igual al punto de inf lexión.
f ′ ′ ′ (x) = 2
2x − 38 = 0x = 19
12
f ' (x) = 3 x 2 + 2 ax + b f ′ ′ (x) = 6x + 2a
f ′ (1) = 1 3 + 2a + b = 1
f ′ ′ (1) = 0 6 + 2a = 0
a = − 3 b = 4
Probabilidad y estadística
Definición de probabilidad
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes
de que se real icen.
Ejemplo
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a
dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arr iba, sabemos que
subirá durante un determinado intervalo de t iempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquel los en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste
depende del azar .
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o
cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que
vamos a obtener.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número
a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento
aleatorio , con el f in de cuantif icar dichos resultados y saber si un suceso
es más probable que otro. Con este f in, introduciremos algunas
definiciones :
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Al lanzar una moneda salga cara.
Al lanzar una moneda se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia
aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral .
Por ejemplo al t irar un dado un suceso sería que sal iera par, otro,
obtener múlt iplo de 3, y otro, sacar 5.
Ejemplo
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente
tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral .
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Tipos de sucesos
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del
espacio muestral .
Por ejemplo al t irar un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral .
Por ejemplo al t irar un dado un suceso sería que sal iera par, otro,
obtener múlt iplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es
decir, por el espacio muestral) .
Por ejemplo al t irar un dado un dado obtener una puntuación que sea
menor que 7.
Suceso imposible
Suceso imposible , , es el que no t iene ningún elemento.
Por ejemplo al t irar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando t ienen algún suceso
elemental común.
Si A es sacar puntuación par al t irar un dado y B es obtener múlt iplo
de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no t ienen ningún
elemento en común.
Si A es sacar puntuación par al t irar un dado y B es obtener múlt iplo
de 5, A y B son incompatibles.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabi l idad de que
suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabi l idad de que
suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Extraer dos cartas de una baraja, s in reposición, son sucesos
dependientes.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se real iza cuando no se
real iza A. Se denota por .
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
Espacio de sucesos
Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos
aleatorios.
Si t iramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:
S= { , {C}, {X}, {C,X}}.
Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el
últ imo el suceso seguro .
Si E t iene un número f inito de elementos, n, de elementos el número
de sucesos de E es 2 n .
Una moneda E= {C, X}.
Número de sucesos = 2 2 =4
Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.
Número de sucesos = 2 4 =16
Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Número de sucesos = 2 6 = 64
Unión de sucesos
La unión de sucesos, A B , es el suceso formado por todos los
elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A B se verif ica cuando ocurre uno de los dos, A o
B, o ambos.
A B se lee como "A o B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par" y B = "sacar múlt iplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
Propiedades de la unión de sucesos
Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, A B , es el suceso formado por todos
los elementos que son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A B se verif ica cuando ocurren simultáneamente A
y B.
A B se lee como "A y B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par" y B = "sacar múlt iplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {6}
Propiedades de la intersección de sucesos
Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
Diferencia de sucesos
La diferencia de sucesos, A − B , es el suceso formado por todos los
elementos de A que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verif ica cuando lo
hace A y no B.
A − B se lee como "A menos B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par" y B = "sacar múlt iplo de 3". Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
Propiedad
Sucesos contrarios
El suceso = E - A se l lama suceso contrario o complementario de A.
Es decir, se verif ica siempre y cuando no se verif ique A.
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par". Calcular .
A = {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}
Propiedades
Leyes de Morgan
Propiedades de la probabilidad
Axiomas de la probabilidad
1.La probabi l idad es posit iva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabi l idad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
p(A B) = p(A) + p(B)
Propiedades de la probabilidad
1 La suma de las probabi l idades de un suceso y su contrario vale 1,
por tanto la probabi l idad del suceso contrario es:
2 Probabi l idad del suceso imposible es cero.
3 La probabi l idad de la unión de dos sucesos es la suma de sus
probabi l idades restándole la probabi l idad de su intersección.
4 Si un suceso está incluido en otro, su probabi l idad es menor o igual
a la de éste.
5 Si A1 , A 2 , . . . , A k son incompatibles dos a dos entonces:
6 Si el espacio muestral E es f inito y un suceso es S = {x 1 , x2 , . . . , xn}
entonces:
Por ejemplo la probabi l idad de sacar par, al t irar un dado, es:
P(par) = P(2) + P(4) + P(6)
Regla de Laplace
Si real izamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos
elementales, todos igualmente probables, equiprobables , entonces si A es
un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:
Ejemplos
Hallar la probabi l idad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos
caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables: 1.
En una baraja de 40 cartas, hal lar la P (as) y P (copas).
Casos posibles: 40.
Casos favorables de ases: 4.
Casos favorables de copas: 10.
Calcular la probabi l idad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.
2 Un múlt iplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
3 Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.
Combinatoria y probabilidad
La combinatoria nos puede ser muy úti l para calcular los sucesos
posibles y favorables , al apl icar la regla de Laplace . Especialmente si
hay un gran número de sucesos.
Ejemplos
1 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la
probabi l idad de que dos personas f i jadas de antemano se sienten juntas?
Casos posibles:
Casos favorables:
Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola
persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda
uno de otro o a la derecha, por tanto se t iene 2 · 9!.
2Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hal lar la probabi l idad de
extraer:
4 ases.
4 ases y un rey.
3 cincos y 2 sotas.
Un 9, 10, sota, cabal lo y rey en cualquier orden.
3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
Hay cuatro formas de elegir el primer palo y tres formas de elegir al
segundo palo.
Al menos un as.
Probabilidad de la unión de sucesos
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
A B =
p(A B) = p(A) + p(B)
Calcular la probabi l idad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A B ≠
p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)
p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A B) − p(A C) − p(B C) +
p(A B C)
Calcular la probabi l idad de obtener un múlt iplo de 2 ó un 6 al lanzar un
dado.
Probabilidad condicionada
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se l lama probabilidad del suceso A condicionada al B y se
representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha
ocurrido el B .
Ejemplo
Calcular la probabi l idad de obtener un 6 al t irar un dado sabiendo que
ha sal ido par.
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si
p(A/B) = p(A)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
p(A/B) ≠ p(A)
Probabilidad compuesta o de la intersección de sucesos
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
p(A B) = p(A) · p(B)
Ejemplo
Se t iene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter.
¿Cuál es la probabi l idad de extraer dos ases?
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
p(A B) = p(A) · p(B/A)
Ejemplo
Se t iene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la
probabi l idad de extraer dos ases?
Probabilidad de la diferencia de sucesos
Tablas de contingencia
Un método úti l para clasif icar los datos obtenidos en un recuento es
mediante las tablas de contingencia .
Se trata de tablas en cuyas celdas f iguran probabi l idades, y en la cual
podemos determinar unas probabi l idades conociendo otras de la tabla.
Ejemplo
Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores cl ientes de una
agencia de automóviles. De el los, 65 son mujeres, 80 están casados y 45
son mujeres casadas. Se pide:
1¿Cuál será la probabi l idad de que le toque el viaje a un hombre
soltero?
2Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabi l idad
de que sea una mujer?
Diagramas de árbol
Para la construcción de un diagrama en árbol se part irá poniendo una
rama para cada una de las posibilidades , acompañada de su
probabilidad .
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del
cual parten nuevas ramas , según las posibilidades del s iguiente paso,
salvo si el nudo representa un posible f inal del experimento ( nudo final ) .
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las
ramas de cada nudo ha de dar 1 .
Ejemplos
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de
tres al azar, hal lar la probabi l idad de:
1 Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
1 Seleccionar tres niñas.
Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas,
salgan:
Tres caras.
Experimentos compuestos
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más
experimentos aleatorios simples.
Es decir, s i t iramos un dado, o una moneda, son experimentos
aleatorios simples, pero si real izamos el experimento de t irar un dado y
posteriormente una moneda, estamos real izando un experimento
compuesto .
En los experimentos compuestos es conveniente usar el l lamado
diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos el los.
Teorema de la probabilidad total
Si A 1 , A 2 , . . . , A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 . . . A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Ejemplo
Se dispone de tres cajas con bombil las. La primera contiene 10
bombil las, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis
bombil las, estando una de el las fundida, y la tercera caja hay tres
bombil las fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabi l idad de que al
tomar una bombil la al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
Teorema de Bayes
Si A 1 , A 2 , . . . , A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 . . . A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Las probabi l idades p(A1) se denominan probabilidades a priori .
Las probabi l idades p(A i /B) se denominan probabilidades a
posteriori .
Las probabi l idades p(B/A i) se denominan verosimil i tudes.
Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20%
son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el
50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no
economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la
probabi l idad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
La probabi l idad de que haya un accidente en una fábrica que dispone
de alarma es 0.1. La probabi l idad de que suene esta sí se ha producido
algún incidente es de 0.97 y la probabi l idad de que suene si no ha sucedido
ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la
probabi l idad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
Ejercicios y problemas de probabilidad
1Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hal lar:
1
2
3
4
5
6
7
2Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hal lar:
1
2
3
4
3Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca,
otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
1La primera bola no se devuelve.
4Una urna t iene ocho bolas rojas, 5 amari l la y siete verdes. Si se
extrae una bola al azar calcular la probabi l i idad de:
1Sea roja.
2Sea verde.
3Sea amari l la.
4No sea roja.
5No sea amari l la.
5Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos
bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hal lar la probabi l idad de los
sucesos:
1Con reemplazamiento.
2Sin reemplazamiento.
6Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas
y 6 negras, ¿cuál es la probabi l idad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál
es la probabi l idad de que no sea blanca?
7En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos
rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabi l idad
de que un alumno:
1Sea hombre.
2Sea mujer morena.
3Sea hombre o mujer.
8Un dado está trucado, de forma que las probabi l idades de obtener las
dist intas caras son proporcionales a los números de estas. Hal lar:
1La probabi l idad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2La probabi l idad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
9Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos
obtenidos. Se pide:
1La probabi l idad de que salga el 7.
2La probabi l idad de que el número obtenido sea par.
3La probabi l idad de que el número obtenido sea múlt iplo de tres.
10Se lanzan tres dados. Encontrar la probabi l idad de que:
1Salga 6 en todos.
2Los puntos obtenidos sumen 7.
11Hallar la probabi l idad de que al levantar unas f ichas de dominó se
obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múlt iplo de 4.
12Busca la probabi l idad de que al echar un dado al aire, salga:
1Un número par.
2Un múlt iplo de tres.
3Mayor que cuatro.
13Hallar la probabi l idad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
1Dos caras.
2Dos cruces.
3Una cara y una cruz.
14En un sobre hay 20 papeletas, ocho l levan dibujado un coche las
restantes son blancas. Hal lar la probabi l idad de extraer al menos una
papeleta con el dibujo de un coche:
1Si se saca una papeleta.
2Si se extraen dos papeletas.
3Si se extraen tres papeletas.
15Los estudiantes A y B t ienen respectivamente probabi l idades 1/2 y
1/5 de suspender un examen. La probabi l idad de que suspendan el examen
simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabi l idad de que al menos
uno de los dos estudiantes suspenda el examen.
16Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2
piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos
disparan al mismo t iempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabi l idad de
que la maten?
17A class consists of 10 men and 20 women, half men and half of
women have brown eyes. Determine the probabi l i ty that a randomly
selected person is a man or having brown eyes.
18The probabi l i ty that a man l iving 20 years is ¼ and that his wife
al ive in 20 years is 1/3. Calculate the probabi l i ty:
1They both l ive 20 years.
2The man l ives 20 years and his wife not.
3Both die before 20 years.
1
Hallar:
1
2
3
4
5
6
7
2
Hallar:
1
2
3
4
3
Escribir el espacio muestral cuando:
1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}
1La primera bola no se devuelve
E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}
4
1Sea roja.
2Sea verde.
3Sea amari l la.
4No sea roja.
5No sea amari l la.
5
1Con reemplazamiento.
2Sin reemplazamiento.
6
7
1Sea hombre.
2Sea mujer morena.
3Sea hombre o mujer.
8
1La probabi l idad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2La probabi l idad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
9
1La probabi l idad de que salga el 7.
2La probabi l idad de que el número obtenido sea par.
3La probabi l idad de que el número obtenido sea múlt iplo de tres.
10
1Salga 6 en todos.
2Los puntos obtenidos sumen 7.
11
12
1Un número par.
2Un múlt iplo de tres.
3Mayor que cuatro.
13
1Dos caras.
2Dos cruces.
3Una cara y una cruz.
14
1Si se saca una papeleta.
2Si se extraen dos papeletas.
3Si se extraen tres papeletas.
15
16
17
18
1De que ambos vivan 20 años.
2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
3De que ambos mueran antes de los 20 años.
Ejercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada
1Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A
B)= 1/4. Determinar:
1
2
3
4
5
2Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B)
= 1/5. Determinar:
1
2
3
4
5
6
3En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como
lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los
alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés
son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un
alumno al azar, ¿cuál es la probabi l idad de que sea chica?
4De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de el las.
Calcular la probabi l idad de que:
1 Las dos sean copas.
2Al menos una sea copas.
3Una sea copa y la otra espada.
5Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia del mismo. Éste se real iza extrayendo al azar
dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser
examinado del mismo. Hal lar la probabi l idad de que el alumno pueda elegir
en el examen uno de los temas estudiados.
6Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las
chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura
optativa.
1 ¿Cuál es la probabi l idad de que una persona elegida al azar sea
chico o estudie francés?
2¿Y la probabi l idad de que sea chica y no estudie francés?
7Un tal ler sabe que por término medio acuden: por la mañana tres
automóviles con problemas eléctr icos, ocho con problemas mecánicos y
tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctr icos,
tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4Calcular la probabi l idad de que un automóvil con problemas eléctr icos
acuda por la mañana.
8Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de
tres al azar, hal lar la probabi l idad de:
1 Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar por lo menos un niño.
4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
9Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra t iene
dos caras y la otra está cargada de modo que la probabi l idad de obtener
cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hal lar
la probabi l idad de que salga cara.
10Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se
reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda
bola. Se pide:
1 Probabi l idad de que la segunda bola sea verde.
2Probabi l idad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los
alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes.
Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabi l idad de
que escogido al azar un alumno de la clase:
1 Juegue sólo al fútbol.
2 Juegue sólo al baloncesto.
3Practique uno solo de los deportes.
4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
12En una ciudad, el 40% de la población t iene cabel los castaños, el
25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabel los y ojos castaños. Se escoge
una persona al azar:
1 Si t iene los cabel los castaños, ¿cuál es la probabi l idad de que tenga
también ojos castaños?
2Si t iene ojos castaños, ¿cuál es la probabi l idad de que no tenga
cabel los castaños?
3¿Cuál es la probabi l idad de que no tenga cabel los ni ojos castaños?
13En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan
gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno
de dicho curso:
1 ¿Cuál es la probabi l idad de que sea mujer y no use gafas?
2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué
probabi l idad hay de que sea hombre?
14Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas
blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un
dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el
resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una
bola. Se pide:
1 Probabi l idad de que la bola sea roja y de la urna B.
2Probabi l idad de que la bola sea blanca.
15Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un
despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el
despertador, la probabi l idad de que real iza el examen es 0.9 y, en caso
contrario, de 0.5.
1 Si va a real izar el examen, ¿cuál es la probabi l idad de que haya oído
el despertador?
2Si no real iza el examen, ¿cuál es la probabi l idad de que no haya oído
el despertador?
16En una estantería hay 60 novelas y 20 l ibros de poesía. Una persona
A el ige un l ibro al azar de la estantería y se lo l leva. A continuación otra
persona B el ige otro l ibro al azar.
1 ¿Cuál es la probabi l idad de que el l ibro seleccionado por B sea una
novela?
2Si se sabe que B el igió una novela, ¿cuál es la probabi l idad de que el
l ibro seleccionado por A sea de poesía?
17Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres
usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de
hombres, se pide la probabi l idad de encontrarnos:
1 Con una persona sin gafas.
2Con una mujer con gafas.
18En una casa hay tres l laveros A, B y C; el primero con cinco l laves,
el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada
l lavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un l lavero y, de él una
l lave para abrir el trastero. Se pide:
1 ¿Cuál será la probabi l idad de que se acierte con la l lave?
2¿Cuál será la probabi l idad de que el l lavero escogido sea el tercero y
la l lave no abra?
3Y si la l lave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabi l idad de que
pertenezca al primer l lavero A?
1
1
2
3
4
5
2
Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B)
= 1/5. Determinar:
1
2
3
4
5
6
3
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
4
1 Las dos sean copas.
2Al menos una sea copas.
3Una sea copa y la otra espada.
5
6
1 ¿Cuál es la probabi l idad de que una persona elegida al azar sea
chico o estudie francés?
2¿Y la probabi l idad de que sea chica y no estudie francés?
7
1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4Calcular la probabi l idad de que un automóvil con problemas eléctr icos
acuda por la mañana.
8
1 Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar por lo menos un niño.
4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
9
10
1 Probabi l idad de que la segunda bola sea verde.
2Probabi l idad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11
1 Juegue sólo al fútbol.
2 Juegue sólo al baloncesto.
3Practique uno solo de los deportes.
4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
12
1 Si t iene los cabel los castaños, ¿cuál es la probabi l idad de que tenga
también ojos castaños?
2Si t iene ojos castaños, ¿cuál es la probabi l idad de que no tenga
cabel los castaños?
3¿Cuál es la probabi l idad de que no tenga cabel los ni ojos castaños?
13
1 ¿Cuál es la probabi l idad de que sea mujer y no use gafas?
2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué
probabi l idad hay de que sea hombre?
14
1 Probabi l idad de que la bola sea roja y de la urna B.
2Probabi l idad de que la bola sea blanca.
15
1 Si va a real izar el examen, ¿cuál es la probabi l idad de que haya oído
el despertador?
2Si no real iza el examen, ¿cuál es la probabi l idad de que no haya oído
el despertador?
16
1 ¿Cuál es la probabi l idad de que el l ibro seleccionado por B sea una
novela?
2Si se sabe que B el igió una novela, ¿cuál es la probabi l idad de que el
l ibro seleccionado por A sea de poesía?
17
1 Con una persona sin gafas.
2Con una mujer con gafas.
18
1 ¿Cuál será la probabi l idad de que se acierte con la l lave?
2¿Cuál será la probabi l idad de que el l lavero escogido sea el tercero y
la l lave no abra?
3Y si la l lave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabi l idad de que
pertenezca al primer l lavero A?
Conceptos de Estadística.
Definición de Estadística
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasif icación de los
datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y
sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
Recogida de datos.
Organización y representación de datos.
Anál is is de datos.
Obtención de conclusiones.
Conceptos de Estadística
Población
Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se
somete a un estudio estadíst ico.
Individuo
Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que
componen la población.
Muestra
Una muestra es un conjunto representativo de la población de
referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la
población.
Muestreo
El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos
de una proporción reducida y representativa de la población.
Valor
Un valor es cada uno de los dist intos resultados que se pueden
obtener en un estudio estadíst ico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces
obtenemos dos valores: cara y cruz.
Dato
Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al real izar un
estudio estadíst ico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5
datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.
Variable estadística
Definición de variable
Una variable estadística es cada una de las características o cualidades
que poseen los individuos de una población.
Tipos de variable estadísticas
Variable cualitativa
Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que
no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:
Variable cualitativa nominal
Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas
que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado,
separado, divorciado y viudo.
Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa
Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en
las que existe un orden. Por ejemplo:
La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable cuantitativa
Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por
tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos
distinguir dos tipos:
Variable discreta
Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no
admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable continua
Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos
entre dos números. Por ejemplo:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se
podría dar con tres decimales.
Tablas de estadíst ica
Distr ibución de frecuencias
La distr ibución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en
forma de tabla de los datos estadíst icos, asignando a cada dato su frecuencia
correspondiente.
Tipos de frecuencias
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor
en un estudio estadíst ico.
Se representa por f i .
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se
representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se uti l iza la letra griega Σ (sigma
mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
Frecuencia relat iva
La frecuencia relat iva es el cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el número total de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n i .
La suma de las frecuencias relat ivas es igual a 1.
Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los
valores inferiores o iguales al valor considerado.
Se representa por F i .
Frecuencia relat iva acumulada
La frecuencia relat iva acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada
de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en
tantos por ciento.
Ejemplo
Durante el mes de jul io, en una ciudad se han registrado las siguientes
temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29,
30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de
menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera
anotamos la frecuencia absoluta.
x i Recuento f i F i n i N i
27 I 1 1 0.032 0.032
28 II 2 3 0.065 0.097
29 6 9 0.194 0.290
30 7 16 0.2260.0516
31 8 24 0.258 0.774
32 III 3 27 0.097 0.871
33 III 3 30 0.097 0.968
34 I 1 31 0.032 1
31 1
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Distribución de frecuencias agrupadas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se
emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable
es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud
denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia
correspondiente.
Límites de la clase
Cada clase está delimitada por el l ímite inferior de la clase y el l ímite
superior de la clase.
Amplitud de la clase
La amplitud de la clase es la diferencia entre el l ímite superior e
inferior de la clase.
Marca de clase
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que
representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.Construcción de una tabla de datos agrupados
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44,
31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32,
13.
1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este
caso son 3 y 48.
2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la
diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos
establecer.
Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.
En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10
intervalos.
Se forman los intervalos teniendo presente que el l ímite inferior de una
clase pertenece al intervalo, pero el l ímite superior no pertenece
intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.
c i f i F i n i N i
[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025
[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850
[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1
40 1
Diagrama de barras y polígonos de frecuencias
Diagrama de barras
Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o
datos cuantitativos de tipo discreto.
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se
colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las
frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a
la frecuencia.
Ejemplo
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para
determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
Grupo sanguíneo
f i
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
Polígonos de frecuencia
Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras
mediante segmentos.
También se puede realizar trazando los puntos que representan las
frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.
Ejemplo
Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las
siguientes variaciones:
Hora
Temperatura
6 7º
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
Diagrama de sectores
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables ,
pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.
Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada
sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de
ángulos.Ejemplo
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la
natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 124°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin deporte
6 72°
Total 30 360°
Histograma
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma
de barras.
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un
gran número de datos, y que se han agrupado en clases.
En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la
amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada
intervalo.
La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los
valores representados.
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que
coincide con el punto medio de cada rectángulo.Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
c i f i F i
[50, 60) 55 8 8
[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 110 5 63
[110, 120) 115 2 65
65
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos
agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su
correspondiente polígono.
Histogramas con intervalos de amplitud diferente
Para construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente
tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma.
h i es la altura del intervalo.
f i es la frecuencia del intervalo.
a i es la amplitud del intervalo.Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado,
notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.
f i h i
[0, 5) 15 3
[5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
50
Parámetros estadísticos
Definición de parámetro estadístico
Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a part ir de
los datos de una distribución estadística .
Los parámetros estadísticos s irven para sintetizar la información
dada por una tabla o por una gráfica.
Tipos de parámetros estadísticos
Hay tres tipos parámetros estadísticos :
De central ización.
De posición
De dispersión.
Medidas de centralización
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distr ibuyen los datos.
La medidas de centralización son:
Media aritmética
La media es el valor promedio de la distr ibución.
Mediana
La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad
superior de la distr ibución y la inferior , es decir divide la serie de datos
en dos partes iguales .
Moda
La moda es el valor que más se repite en una distr ibución.
Medidas de posición
Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con
el mismo número de individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos
estén ordenados de menor a mayor .
La medidas de posición son:
Cuartiles
Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales .
Deciles
Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales .
Percentiles
Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales .
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del
centro los valores de la distr ibución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distr ibución estadíst ica.
Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media .
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media .
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza .
Moda
Definición de moda
La moda es el valor que t iene mayor frecuencia absoluta .
Se representa por Mo .
Se puede hal lar la moda para variables cualitativas y
cuantitativas .
Hallar la moda de la distr ibución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma
frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o
multimodal , es decir, t iene varias modas .
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo t ienen la misma
frecuencia , no hay moda .
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes t ienen la frecuencia máxima , la
moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
L i es el l ímite inferior de la clase modal.
f i es la frecuencia absoluta de la clase modal.
f i - - 1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
f i - + 1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase
modal.
a i es la amplitud de la clase.
También se uti l iza otra fórmula de la moda que da un valor
aproximado de ésta:
Ejemplo
Calcular la moda de una distr ibución estadíst ica que viene dada por
la siguiente tabla:
f i
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
100
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hal lar las alturas.
La clase modal es la que t iene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen dist intas
amplitudes es:
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las cal i f icaciones (suspenso,
aprobado, notable y sobresal iente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.
Calcular la moda .
f i h i
[0, 5) 15 3
[5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
50
Mediana
Definición de mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando
éstos están ordenados de menor a mayor .
La mediana se representa por Me .
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas .
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor .
2 Si la serie t iene un número impar de medidas la mediana es la
puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie t iene un número par de puntuaciones la mediana es la
media entre las dos puntuaciones centrales .
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia
acumulada l lega hasta la mitad de la suma de las frecuencias
absolutas .
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
L i es el l ímite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
F i - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
a i es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos .
Ejemplo
Calcular la mediana de una distr ibución estadíst ica que viene dada
por la siguiente tabla:
f i F i
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
100
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
Media aritmética
Definición de media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y
dividir el resultado entre el número total de datos .
es el s ímbolo de la media aritmética .
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hal lar el peso
medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la
expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test real izado a un grupo de 42 personas se han obtenido las
puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media .
x i f i x i · f i
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una
distr ibución respecto a la media de la misma igual a cero .
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su
media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la
variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando
dicho número coincide con la media aritmética .
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número ,
la media aritmética queda aumentada en dicho número .
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo
número la media aritmética queda multiplicada por dicho número .
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas .
2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos .
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas . Si
tenemos una distr ibución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización
poco representativa de la distr ibución.
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una
amplitud indeterminada .
x i f i
[60, 63) 61.5 5
[63, 66) 64.5 18
[66, 69) 67.5 42
[69, 72) 70.5 27
[72, ∞ ) 8
100
En este caso no es posible hal lar la media porque no podemos calcular
la marca de clase de últ imo intervalo.
Cuartiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un
conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales .
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y
al 75% de los datos .
Q2 coincide con la mediana .
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor .
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión
.
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,
en la tabla de las frecuencias acumuladas .
L i es el l ímite inferior de la clase donde se encuentra el cuart i l .
N es la suma de las frecuencias absolutas.
F i - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuart i l .
a i es la amplitud de la clase.
Ejercicio de cuartiles
Calcular los cuartiles de la distr ibución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
Cálculo del tercer cuartil
Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en
diez partes iguales .
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al
90% de los datos.
D5 coincide con la mediana .
Cálculo de los deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
, en la tabla de las frecuencias acumuladas.
L i es el l ímite inferior de la clase donde se encuentra el deci l .
N es la suma de las frecuencias absolutas.
F i - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el deci l . .
a i es la amplitud de la clase.
Ejercicio de deci les
Calcular los deciles de la distr ibución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en
100 partes iguales .
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al
99% de los datos.
P5 0 coincide con la mediana .
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
, en la tabla de las frecuencias acumuladas.
L i es el l ímite inferior de la clase donde se encuentra el percenti l .
N es la suma de las frecuencias absolutas.
F i - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percenti l .
a i es la amplitud de la clase.
Ejercicio de percentiles
Calcular el percentil 35 y 60 de la distr ibución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Percentil 35
Percentil 60
Desviación media
Desviación respecto a la media
La desviación respecto a la media es la diferencia en valor
absoluto entre cada valor de la variable estadíst ica y la media
aritmética .
D i = |x - x|
Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media .
La desviación media se representa por
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distr ibución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias , la
expresión de la desviación media es:
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distr ibución:
x i f i x i · f i |x - x| |x - x| · f i
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
21 457.5 98.57
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media de una distr ibución estadíst ica.
La varianza se representa por .
Varianza para datos agrupados
Para simpli f icar el cálculo de la varianza vamos o uti l izar las
siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Varianza para datos agrupados
Ejercicios de varianza
Calcular la varianza de la distr ibución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la varianza de la distr ibución de la tabla:
x i f i x i · f i x i2 · f i
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero , en el caso de
que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la
varianza no varía .
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la
varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número .
4 Si tenemos varias distr ibuciones con la misma media y conocemos
sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total .
Si todas las muestras t ienen el mismo tamaño:
Si las muestras t ienen dist into tamaño:
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza , al igual que la media, es un índice muy sensible a las
puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible
hal lar la varianza .
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los
datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza .
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las
puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ .
Desviación típica para datos agrupados
Para simpli f icar el cálculo vamos o uti l izar las siguientes expresiones
que son equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
Ejercicios de desviación típica
Calcular la desviación típica de la distr ibución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de la distr ibución de la tabla:
x i f i x i · f i x i2 · f i
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la desviación típica
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero , en el
caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la
desviación típica no varía .
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la
desviación típica queda multiplicada por dicho número .
4 Si tenemos varias distr ibuciones con la misma media y conocemos
sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación
típica total .
Si todas las muestras t ienen el mismo tamaño:
Si las muestras t ienen dist into tamaño:
Observaciones sobre la desviación típica
1 La desviación típica , al igual que la media y la varianza, es un
índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible
hal lar la desviación típica .
3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la
concentración de datos alrededor de la media .
Coeficiente de variación y puntuaciones típicas
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica
de una muestra y su media .
El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes :
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de
dos distr ibuciones dist intas, s iempre que sus medias sean positivas .
Se calcula para cada una de las distr ibuciones y los valores que se
obtienen se comparan entre sí .
La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de
variación mayor .
Ejercicio
Una distr ibución t iene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 25.
¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?
La primera distr ibución presenta mayor dispersión.
Puntuaciones típicas
Puntuaciones diferenciales
Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las
puntuaciones directas la media aritmética .
x i = X i − X
Puntuaciones típicas
Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las
puntuaciones diferenciales entre la desviación típica . Este proceso se
l lama tipificación .
Las puntuaciones típicas se representan por z .
Observaciones sobre puntuaciones típicas
La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0 .
La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1 .
Las puntuaciones típicas son adimensionales , es decir, son
independientes de las unidades uti l izadas.
Las puntuaciones típicas se uti l izan para comparar las
puntuaciones obtenidas en dist intas distr ibuciones.
Ejemplo
En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los
alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 54.4 kg. Las desviaciones t ípicas
de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es
de 70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de el los puede, dentro del grupo de
alumnos de su sexo, considerarse más grueso?
José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.
Ejercicios y problemas resueltos de Estadística I
1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas :
1 Comida Favorita.
2 Profesión que te gusta.
3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la últ ima
temporada.
4 Número de alumnos de tu Instituto.
5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.
6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales
continuas .
1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
2 Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
3 Período de duración de un automóvil .
4 El diámetro de las ruedas de varios coches.
5 Número de hi jos de 50 famil ias.
6 Censo anual de los españoles.
3. Clasif icar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas
discretas o continuas .
1 La nacional idad de una persona.
2 Número de l i tros de agua contenidos en un depósito.
3 Número de l ibros en un estante de l ibrería.
4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
5 La profesión de una persona.
6 El área de las dist intas baldosas de un edif ic io.
4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16,
14, 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el
polígono de frecuencias .
5. El número de estrel las de los hoteles de una ciudad viene dado por
la siguiente serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,
2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
Construir la tabla de distr ibución de frecuencias y dibuja el diagrama
de barras.
6. Las cal i f icaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las
siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8,
6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el
diagrama de barras .
7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la
siguiente tabla:
Peso[50,
60)
[60,
70)
[70,
80)
[80,90
)
[90,
100)
[100,
110)
[110,
120)
f i 8 10 16 14 10 5 2
1 Construir la tabla de frecuencias .
2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias .
8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes
puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39,
44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15,
32, 13.
1 Construir la tabla de frecuencias .
2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias .
9. Sea una distr ibución estadíst ica que viene dada por la siguiente
tabla:
x i 61 64 67 70 73
f i 5 18 42 27 8
Calcular:
1 La moda, mediana y media .
2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica .
10. Calcular la media , la mediana y la moda de la siguiente serie de
números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
11 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de
datos:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
12 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de
números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
13. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica
de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
14 Se ha apl icado un test a los empleados de una fábrica,
obteniéndose la siguiente tabla:
f i
[38, 44) 7
[44, 50) 8
[50, 56) 15
[56, 62) 25
[62, 68) 18
[68, 74) 9
[74, 80) 6
Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas .
15. Dadas las series estadíst icas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La moda , la mediana y la media .
La desviación media, la varianza y la desviación típica .
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 2º y 7º.
Los percentiles 32 y 85.
16. Una distr ibución estadíst ica viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
f i 3 5 7 4 2
Hallar:
La moda, mediana y media .
El rango , desviación media y varianza .
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 3º y 6º.
Los percentiles 30 y 70.
17. Dada la distr ibución estadíst ica:
[0, 5)[5,
10)
[10,
15)
[15,
20)
[20,
25)
[25,
∞)
f i 3 5 7 8 2 6
Calcular:
La mediana y moda .
Cuartil 2º y 3º.
Media .
Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas :
1 Comida Favorita.
Cualitativa .
2 Profesión que te gusta.
Cualitativa .
3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la últ ima
temporada.
Cuantitativa .
4 Número de alumnos de tu Instituto.
Cuantitativa .
5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.
Cualitativa .
6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
Cuantitativa
De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales
continuas .
1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
Discreta
2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
Continua
3 Período de duración de un automóvil .
Continua
4 El diámetro de las ruedas de varios coches.
Continua
5 Número de hi jos de 50 famil ias.
Discreta
6 Censo anual de los españoles.
Discreta
Clasif icar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas
discretas o continuas .
1 La nacional idad de una persona.
Cualitativa
2 Número de l i tros de agua contenidos en un depósito.
Cuantitativa continua .
3 Número de l ibro en un estante de l ibrería.
Cuantitativa discreta .
4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
Cuantitativa discreta .
5 La profesión de una persona.
Cualitativa .
6 El área de las dist intas baldosas de un edif ic io.
Las puntuaciones obtenidas por un grupo de en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16,
14, 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el
polígono de frecuencias .
x i
Recuent
of i F i n i N i
13 III 30.1
53 1
14 I 10.0
54
0.9
5
15 5 0.2 9 0.8
5 5
16 IIII 40.2
013
0.8
0
18 III 30.1
516
0.6
5
19 I 10.0
517
0.4
5
20 II 20.1
019
0.2
0
22 I 10.0
520
0.1
5
20
Polígono de frecuencias
Cuantitativa continua .
El número de estrel las de los hoteles de una ciudad viene dado por la
siguiente serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,
2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el
diagrama de barras .
x
i
Recuento x i F i n i N i
1 6 60.1
58
0.1
58
21
2
1
8
0.3
16
0.4
74
31
6
3
4
0.4
21
0.8
95
4 IIII 43
8
0.1
051
3
8 1
Diagrama de barras
Las cal i f icaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las
siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8,
6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el
diagrama de barras .
x i f i F i n i N i
0 1 1 0.02 0.02
1 1 2 0.02 0.04
2 2 4 0.04 0.08
3 3 7 0.06 0.14
4 6 13 0.12 0.26
5 11 24 0.22 0.48
6 12 36 0.24 0.72
7 7 43 0.14 0.86
8 4 47 0.08 0.94
9 2 49 0.04 0.98
10 1 50 0.02 1.00
500 1.00
Diagrama de barras
Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la
siguiente tabla:
Peso [50, [60, [70, [80,90 [90, [100, [110,
60) 70) 80) ) 100) 110) 120)
f i 8 10 16 14 10 5 2
1 Construir la tabla de frecuencias .
2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias .
x i f i F i n i N i
[50, 60) 55 8 8 0.12 0.12
[60, 70) 65 10 18 0.15 0.27
[70, 80) 75 16 34 0.24 0.51
[80,90) 85 14 48 0.22 0.73
[90, 100) 95 10 58 0.15 0.88
[100, 110) 105 5 63 0.08 0.96
[110, 120) 115 2 65 0.03 0.99
65
Histograma
Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones,
sobre 50, en un examen de Física.
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39,
44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15,
32, 13.
1 Construir la tabla de frecuencias .
2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias .
x i f i F i n i N i
[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025
[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850
[40, 45) 47.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1.000
40 1
Histograma
Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente
tabla :
x i 61 64 67 70 73
f i 5 18 42 27 8
Calcular :
1 La moda, mediana y media .
2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica .
x i f i F i x i · f i |x − x | |x − x | · f i x i2
· f i
61 5 5 305 6.45 32.25 18 065
64 18 23 1152 3.45 62.10 73 728
67 42 65 2184 0.45 18.90 188 538
71 27 92 1890 2.55 68.85 132 300
73 8 100 584 5.55 44.40 42 632
100 6745 226.50 455 803
Moda
Mo = 67
Mediana
102/2 = 50 Me = 67
Media
Desviación media
Rango
r = 73 − 61 = 12
Varianza
Desviación típica
Calcular la media , la mediana y la moda de la siguiente serie de
números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
x i f i F i x i · f i
2 2 2 4
3 2 4 6
4 5 9 20
5 6 15 30
6 2 17 12
8 3 20 24
20 96
Moda
Mo = 5
Mediana
20/2 = 10 Me = 5
Media
Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de
datos:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9.
Moda
Mo = 5
Mediana
10/2 = 5
Media
Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la
series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Desviación media
Varianza
Desviación típica
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
Desviación media
Varianza
Desviación típica
Se ha apl icado test a los empleados de una fábrica, obteniéndose las
siete tabla:
f i
[38, 44) 7
[44, 50) 8
[50, 56) 15
[56, 62) 25
[62, 68) 18
[68, 74) 9
[74, 80) 6
Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas .
f i F i
[38, 44) 7 7
[44, 50) 8 15
[50, 56) 15 30
[56, 62) 25 55
[62, 68) 18 73
[68, 74) 9 82
[74, 80) 6 88
Dadas las series estadíst icas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La moda , la mediana y la media .
La desviación media, la varianza y la desviación típica .
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 2º y 7º.
Los percentiles 32 y 85.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
Moda
No existe moda porque todas las puntuaciones t ienen la misma
frecuencia.
Mediana
2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.
Me = 5
Media
Varianza
Desviación típica
Desviación media
Rango
r = 9 − 2 = 7
Cuartiles
Deciles
7 · (2/10) = 1.4 D 2 = 3
7 · (7/10) = 4.9 D 7 = 6
Percentiles
7 · (32/100) = 2,2 P 3 2 = 4
7 · (85/100) = 5.9 P 8 5 = 7
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Moda
No existe moda porque todas las puntuaciones t ienen la misma
frecuencia.
Mediana
Media
Varianza
Desviación típica
Desviación media
Rango
r = 9 - 1 = 8
Cuartiles
Deciles
8 · (2/10) = 1.6 D 2 = 2
8 · (7/10) = 5.6 D 7 = 6
Percentiles
8 · (32/100) = 2.56 P 3 2 = 3
8 · (85/100) = 6.8 P 8 5 = 7
Una distr ibución estadíst ica viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
f i 3 5 7 4 2
Hallar:
La moda, mediana y media .
El rango , desviación media y varianza .
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 3º y 6º.
Los percentiles 30 y 70.
x i f i F i x i · f i |x − x | · f i x i2
· f i
[10,
15)12.5 3 3 37.5 27.857 468.75
[15,
20)17.5 5 8 87.5 21.429 1537.3
[20,
25)22.5 7 15 157.5 5 3543.8
[25,
30)27.5 4 19 110 22.857 3025
[30,
35)32.5 2 21 65 21.429 2112.5
21 457.5 98.57110681.2
5
Moda
Mediana
Media
Desviación media
Varianza
Desviación típica
Cuartiles
Deciles
Percentiles
Dada la distr ibución estadíst ica:
[0, 5)[5,
10)
[10,
15)
[15,
20)
[20,
25)
[25,
∞)
f i 3 5 7 8 2 6
Calcular:
La mediana y moda .
Cuartil 2º y 3º.
Media .
x i f i F i
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞) 6 31
31
Moda
Mediana
Cuartiles
Media
No se puede calcular la media , porque no se puede hal lar la marca de
clase del últ imo intervalo.
Ejercicios y problemas resueltos de Estadística II
1. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los
números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
2. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100
niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la
siguiente tabla :
Nº de caries f i n i
0 25 0.25
1 20 0.2
2 x z
3 15 0.15
4 y 0.05
1. Completar la tabla obteniendo los valores de x, y, z.
2. Hacer un diagrama de sectores .
3. Calcular el número medio de caries.
3. Se t iene el s iguiente conjunto de 26 datos:
10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10,
16, 14, 8, 18
Obtener su mediana y cuartiles .
4. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50
niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
1. Dibujar el polígono de frecuencias .
2. Calcular la moda , la mediana , la media y la varianza .
5. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadíst ica:
x i f i F i n i
1 4 0.08
2 4
3 16 0.16
4 7 0.14
5 5 28
6 38
7 7 45
8
Calcular la media, mediana y moda de esta distr ibución.
6. Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza.
2. Si los todos los datos anteriores los mult ipl icamos por 3, cúal será
la nueva media y desviación t ípica.
7. El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla :
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
1. Calcular la media y la desviación típica .
2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ,
x + σ) .
8. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen
dadas por la tabla:
Altura[170,
175)
[175,
180)
[180,
185)
[185,
190)
[190,
195)
[195,
2.00)
Nº de
jugadores1 3 4 8 5 2
Calcular:
1. La media .
2. La mediana .
3. La desviación típica .
4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una
desviación típica?
9. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la
siguiente tabla :
1 2 3 4 5 6
f i a 32 35 33 b 35
Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.
10. El histograma de la distr ibución correspondiente al peso de 100
alumnos de Bachi l lerato es el s iguiente:
1. Formar la tabla de la distribución .
2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
3. Calcular la moda .
4. Hallar la mediana .
5. ¿A part ir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más
pesados?
11. De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas ,
calcular:
Edad F i
[0, 2) 4
[2, 4) 11
[4, 6) 24
[6, 8) 34
[8, 10) 40
1. Media aritmética y desviación típica .
2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?
3. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas .
12. Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la
estatura media es de 1.60 m y la desviación t ípica es de 20 cm. Otra
persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de
1.70 m y la desviación t ípica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta
respecto a sus conciudadanos?
13. Un profesor ha real izado dos tests a un grupo de 40 alumnos,
obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la
desviación típica 1.5.
Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.
Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En
relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?
14 La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un
determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.
1. Calcular la dispersión del número de asistentes.
2. Calcular el coeficiente de variación .
3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué
efecto tendría sobre la dispersión?
A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los
números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños
de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente
tabla :
Nº de caries f i n i
0 25 0.25
1 20 0.2
2 x z
3 15 0.15
4 y 0.05
1. Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.
2. Hacer un diagrama de sectores .
3. Calcular el número medio de caries.
1. Tabla
La suma de las frecuencias relat ivas ha de ser igual a 1:
0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 = 1
0.65 + z = 1 z = 0.35
La frecuencia relat iva de un dato es igual su frecuencia absoluta
dividida entre 100, que es la suma de las frecuencias absolutas.
Nº de caries f i n i f i · n i
0 25 0.25 0
1 20 0.2 20
2 35 0.35 70
3 15 0.15 45
4 5 0.05 20
155
2. Diagrama de sectores
Calculamos los grados que corresponden a cara frecuencia absoluta.
25 · 3.6 = 90º 20 · 3.6 = 72º 35 · 3.6 = 126º
15 · 3.6 = 54º 5 · 3.6 = 18º
3. Media aritmética
Se t iene el s iguiente conjunto de 26 datos:
10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10,
16, 14, 8, 18
Obtener su mediana y cuartiles .
En primer lugar ordenamos los datos de menor a mayor:
3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16,
17, 18, 18, 20
Mediana
26/2 = 13.
Como el número de datos es par la mediana es la media de las dos
puntuaciones centrales:
Cuartiles
26/4 = 6.5 Q1 = 7
Q2 = Me = 10
(26 · 3)/4 = 19.5 Q3 = 14
Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50
niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
1. Dibujar el polígono de frecuencias .
2. Calcular la moda , la mediana , la media y la varianza .
Polígono de frecuencias
x i f i N i x i · f i x² i · f i
9 1 1 9 81
10 4 5 40 400
11 9 14 99 1089
12 16 30 192 2304
13 11 41 143 1859
14 8 49 112 1568
15 1 50 15 225
50 610 7526
Moda
Mo = 12
Mediana
50/2 = 25 Me = 12
Media aritmética
Varianza
Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística :
x i f i F i n i
1 4 0.08
2 4
3 16 0.16
4 7 0.14
5 5 28
6 38
7 7 45
8
Calcular la media , mediana y moda de esta distr ibución.
Tabla
Primera f i la:
F 1 = 4
Segunda f i la:
F 2 = 4 + 4 = 8
Tercera f i la:
Cuarta f i la:
N 4 = 16 + 7 = 23
Quinta f i la:
Sexta f i la:
28 + n 8 = 38 n 8 = 10
Séptima f i la:
Octava f i la:
N 8 = N = 50 n 8 = 50 − 45 = 5
x i f i F i n i x i · f i
1 4 4 0.08 4
2 4 8 0.08 8
3 8 16 0.16 24
4 7 23 0.14 28
5 5 28 0.1 25
6 10 38 0.2 60
7 7 45 0.14 49
8 5 50 0.1 40
50 238
Media artmética
Mediana
50/2 = 25 Me = 5
Moda
Mo = 6
Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza .
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3 , cúal será
la nueva media y varianza .
x i x i2
2 4
3 9
4 16
6 36
8 64
10 100
33 229
1
2
El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla :
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
1. Calcular la media y la desviación típica .
2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ,
x + σ) .
x i f i x i · f i x i2
· f i
2 3 6 12
3 8 24 72
4 9 36 144
5 11 55 275
6 20 120 720
7 19 133 931
8 16 128 1024
9 13 117 1053
10 11 110 1100
11 6 66 726
12 4 48 576
120 843 6633
1
2
x − σ = 4.591 x + σ = 9.459
Los valores comprendidos en el intervalo (4.591, 9.459) son los
correspondientes a las sumas de 5, 6, 7, 8 y 9.
11 + 20 + 19 + 16 + 13 = 79
Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas
por la tabla:
Altura[170,
175)
[175,
180)
[180,
185)
[185,
190)
[190,
195)
[195,
2.00)
Nº de
jugadores1 3 4 8 5 2
Calcular:
1. La media .
2. La mediana .
3. La desviación típica .
4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una
desviación típica?
x i f i F i x i · f i x i2
· f i
[1.70, 1.75) 1.725 1 1 1.725 2.976
[1.75, 1.80) 1.775 3 4 5.325 9.453
[1.80, 1.85) 1.825 4 8 7.3 13.324
[1.85, 1.90) 1.875 8 16 15 28.128
[1.90, 1.95) 1.925 5 21 9.625 18.53
[1.95, 2.00) 1.975 2 23 3.95 7.802
23 42.925 80.213
Media
Mediana
Desviación típica
4
x + σ = 1.866+ 0.077 = 1.943
Este valor pertenece a un percenti l que se encuentra en el penúlt imo
intervalo.
Sólo hay 3 jugadores por encima de x + σ.
Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la
siguiente tabla :
1 2 3 4 5 6
f i a 32 35 33 b 35
Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.
x i f i x i · f i
1 a a
2 32 64
3 35 125
4 33 132
5 b 5b
6 35 210
135 + a + b 511 + a + 5b
a = 29 b = 36
El histograma de la distr ibución correspondiente al peso de 100
alumnos de Bachi l lerato es el s iguiente:
1. Formar la tabla de la distribución .
2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
3. Calcular la moda .
4. Hallar la mediana .
5. ¿A part ir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más
pesados?
1
x i f i F i
[60,63 ) 61.5 5 5
[63, 66) 64.5 18 23
[66, 69) 67.5 42 65
[69, 72) 70.5 27 92
[72, 75) 73.5 8 100
100
2
5 + 18 + 42 + 27 = 92 alumnos más l igeros que Andrés.
Moda
Mediana
5
El valor a part ir del cual se encuentra el 25% de los alumnos más
pesados es el cuartil tercero .
De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas ,
calcular:
Edad F i
[0, 2) 4
[2, 4) 11
[4, 6) 24
[6, 8) 34
[8, 10) 40
1. Media aritmética y desviación típica .
2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?
3. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas .
x i f i F i x i · f i x i2
· f i
[0, 2) 1 4 4 4 4
[2, 4) 3 7 11 21 63
[4, 6) 5 13 24 65 325
[6, 8) 7 10 34 70 490
[8, 10) 9 6 40 54 486
40 214 1368
Media y desviación típica
2
Los 10 alumnos representan el 25% central de la distr ibución.
Debemos hal lar P 3 7 . 5 y P 6 2 . 5 .
Las 10 edades centrales están en el intervalo: [4.61, 6.2] .
Polígono de frecuencias
Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura
media es de 1.60 m y la desviación t ípica es de 20 cm. Otra persona B mide
1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la
desviación t ípica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a
sus conciudadanos?
La persona A es más alta respecto a sus conciudadanos que la
persona B .
Un profesor ha real izado dos tests a un grupo de 40 alumnos,
obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la
desviación típica 1.5.
Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.
Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En
relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?
En el segundo test consigue mayor puntuación.
La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado
día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.
1. Calcular la dispersión del número de asistentes.
2. Calcular el coeficiente de variación .
3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué
efecto tendría sobre la dispersión?
Desviación típica
Coeficiente de variación
3
Si todas las salas t ienen un incremento de 50 personas, la media
aritmética también se ve incrementada en 50 personas .
La desviación típica no varía , ya que sumamos la misma cantidad a
cada dato de la serie.
La dispersión relativa es menor en el segundo caso .
