Módulo 1: Los números enteros Z

I ) Respondé: 1.- ¿A qué se denomina módulo de un número entero?

El valor absoluto o módulo de un número entero es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo

(+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. Puede también identificarse como la distancia

de un número al cero. Ejemplos:

|5| = 5

|-5| = 5

|x| se lee : módulo de x

2.- ¿Cuándo dos números enteros son opuestos?

Dos números enteros son opuestos cuando tienen igual módulo y signos contrarios. Por ejemplo:

2 y -2 son números opuestos.

-14 y 14 son números opuestos.

3.- ¿Cómo se determina el módulo y el signo de la suma de dos enteros si a) los sumandos son del mismo signo?

Si los sumandos son del mismo signo, se procede a sumar ambos números, y el módulo de la suma será él módulo

del resultado, con signo POSITIVO. Por ejemplo:

| 2 + 3 | = | 5 | = 5

| - 6 - 4 |= | - 10 | = 10

b) los sumandos son de distinto signo?

Se realiza primero la operación entre ambos números, y luego se calcula el módulo. El módulo de cualquier

operación siempre es un números positivo.

| -3 + 5 | = |2| = 2

| 6 – 7 | = |-1| = 1

4.- ¿Cómo se define la resta entre dos números enteros?

La resta se define como el la diferencia entre dos números. Consiste en sustraerle al primer número (al minuendo) el

valor del sustraendo. Se escribe A – B, siendo en este caso A el minuendo, y B el sustraendo.

5.- ¿Cómo se define el módulo y el signo del producto de dos números enteros? ¿Y del cociente?

El módulo del producto de dos números se define como el producto de los módulos. Lo mismo con el cociente, el

módulo de una división es la división de los módulos. Se dice que la operación módulo es distributiva respecto de la

multiplicación y de la división (NO ES DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA Y LA RESTA).

| 6 x 4 | = |6|x|4| = 24

|15/3| = |15|/|3| = 5

El resultado siempre es positivo.

6.- Si se multiplican diez números enteros distintos de cero, y la mitad de ellos son negativos ¿Cuál es el signo del producto? ¿Por qué?

Si la mitad son negativos y la otra mitad positivos tenemos 5 números negativos y 5 positivos. Por regla de los signos

puedo aparear 4 de los signos negativos y convertirlos a positivos por la regla de los signos (dos signos negativos

multiplicados dan origen a un número positivo). Sin embargo al tener una cantidad impar de signos negativos, no

puedo aparear al último, y por ende el resultado del producto será un número NEGATIVO.

7.- ¿Para cuáles de las operaciones básicas existe el elemento neutro? ¿Cuál es? Justifica tu respuesta.

El “elemento neutro” es aquel número que puede operarse sin alterar el resultado. Existe para la suma y para el

producto (la multiplicación). Para la suma, el 0 (cero) es el elemento neutro, y para la multiplicación el 1 (uno) es el

elemento neutro.

7 + 0 = 7 (elemento neutro de la suma)

7 x 1 = 7 (elemento neutro del producto)

II) Completá con = o ≠. Indicá cuál es la propiedad que se cumple o no en cada caso.

1) a + b = b + a

a x b = b x a

En la suma y el producto se cumple la propiedad conmutativa.

a – b ≠ b – a

a : b ≠ b : a

En la resta y el cociente no se cumple la propiedad conmutativa.

2) (a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) – c = a + (b – c)

(a x b) x c = a x (b x c)

(a x b) : c = a x (b : c)

Se cumple la propiedad asociativa.

(a – b) – c ≠ a – (b – c)

(a – b) + c ≠ a – (b + c)

(a : b) : c ≠ a : (b : c)

(a : b) x c ≠ a : (b x c)

No se cumple la propiedad asociativa.

3) (a ± b) x n = a x n ± b x n

(a ± b) : n = a : n ± b : n

n x (a ± b) = n x a ± n x b

Se cumple la propiedad distributiva.

n : (a ± b) ≠ n : a ± n : b

No se cumple la propiedad distributiva. Se dice que la división no es distributiva a derecha.

III) Respondé:

1.- ¿Qué es una ecuación? ¿Qué significa resolver una ecuación? Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, formadas por datos conocidos y por incógnitas

(datos desconocidos). Resolver una ecuación es encontrar las soluciones de una ecuación. Las soluciones son valores

que puede tomar la incógnita para que se cumpla la igualdad original.

2.- ¿En qué consiste el método de trasposición?

Llamaremos transposición de términos a una técnica que nos permite poder solucionar ecuaciones de forma simple.

Nos permite agrupar de un lado del igual todos los términos con x, y en otro los términos que no tienen x. Podemos

hacer que un término que figura en un miembro aparezca de forma inversa al otro, o sea, si se está sumando en un

miembro, en el otro se restará, y si se está restando aparecerá sumando, con el fin de agrupar los términos

correspondientes en los lados que deben ir. Por ejemplo:

x + 8 = 12

x = 12 – 8

x = 4 � Solución de la ecuación

3.- ¿Cómo se resuelve una ecuación en la que la incógnita se repite?

Se deben agrupar los términos en los que la incógnita se repita, según la operación que corresponda. Por ejemplo:

2x + 3 = x + 9 (la incógnita se repite en ambos miembros, trasponemos)

2x – x = 9 – 3 (opero de ambos lados)

x = 6 � Solución de la ecuación

4.- Si la incógnita figura en el divisor ¿Qué valor no puede tomar dicha incógnita? ¿Cómo se resuelve la ecuación en dichos casos?

Si la incógnita figura en el divisor, no puede valer 0. Está prohibido en matemática dividir por cero.

Veamos con un ejemplo como resolver la ecuación:

Paso la “x” multiplicando del otro lado (en el primer miembro, la x estaba dividiendo)

Paso el “3” dividiendo del otro lado, ya que se encontraba multiplicando a la “x” .

Solución de la ecuación

Módulo 2: El conjunto Q de los números racionales I) Respondé

1.- ¿Cuándo un número es racional? ¿Cómo se clasifican los números racionales?

Un número es racional cuando es el resultado de dividir dos números enteros distintos de cero. Por ejemplo:

7/6 (Siete sextos), 4 (pues 4 = 12/3), 1/2 (un medio).

Clasificación: Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.

2.- Si a є Z, y b є Z, ¿Qué condición debe darse para que a/b sea un número entero? (aclaración, el signo є representa “pertenece”. Se lee, “a pertenece a los números enteros, y b pertenece a los números enteros) La condición para que a/b sea un número entero es que a sea múltiplo de b, es decir, que el numerador sea múltiplo

del denominador. Ejemplo:

16/2 = 8 (16 es múltiplo de 2. 8 es número entero)

35/7 = 5 (35 es múltiplo de 7, 5 es número entero)

3.- Cuando hablamos de “el anterior” o “el siguiente” de n, por qué debemos aclarar que n pertenece a los enteros? (Es decir que n є Z)

Porque nos estamos refiriendo al número que es una unidad menor (el anterior), o una unidad mayor (el siguiente).

4.- ¿A qué conjunto numérico deben pertenecer a y b para que a/b sea una fracción? ¿Por qué debe ser b ≠ 0? ¿Qué nombre reciben a y b?

Los números a y b deben pertenecer a Z (el conjunto de los enteros) para que a/b sea una fracción; además b debe

ser distinto de cero pues a/b implica un cociente, y en matemática no se puede dividir por cero. Al número “a” se lo

llama numerador, y a “b” denominador.

5.- Dada una fracción, ¿Cómo se obtiene su expresión decimal? ¿Cómo se clasifican las expresiones decimales?

Se obtiene la expresión decimal dividiendo el numerador por el denominador. Las expresiones decimales se clasifican

en finitas, periódicas, o no periódicas. Ejemplos:

3/4 = 0.75 2/3 = 0.666… 15/7 = 2.14…

Expresión decimal finita Expresión decimal periódica Expresión decimal no periódica

6.- ¿Cúando se dice que dos o más fracciones son equivalentes? ¿Cómo se llaman los dos procedimientos mediante los cuales se obtienen fracciones equivalentes a una fracción dada? Explica en qué consisten.

Dos fracciones son equivalentes cuando representan a la misma expresión decimal. Los dos métodos por los cuales

se obtienen fracciones equivalentes son:

Amplificación: es multiplicar por un mismo número, numerador y denominador de una fracción, de modo que la

fracción resultante posee un numerador y denominador distinto en comparación a la fracción original. Es la

operación inversa de simplificar una fracción.

Simplificación: es dividir por un mismo número, numerador y denominador de una fracción, de modo que la

fracción resultante posee un numerador y denominador distinto en comparación a la fracción original. Es la

operación inversa de la amplificación.

7.- ¿Cúando una fracción es irreducible?

Una fracción es irreducible cuando no puede ser simplificada, puesto que su numerador y su denominador no tienen

divisores en común distintos del número 1. Por ejemplo: 1/4, 12/17, 18/19, etc.

8.- Completá las siguientes definiciones:

• Una fracción a/b es propia cuando a es menor que b. En este caso, a/b es menor que 1. Si obtenemos la

expresión decimal de una fracción propia, su parte entera es siempre 0 (cero).

• Una fracción a/b es impropia cuando a es mayor que b, y a no es múltiplo de b. En estos casos resulta que

a/b es mayor que 1.

• En el caso de que a sea múltiplo de b, a/b es una fracción aparente.

9.- ¿Cuáles son las fracciones que pueden expresarse como números mixtos? ¿Por qué?

Las fracciones que pueden expresarse como números mixtos son las fracciones impropias, ya que su expresión

decimal es mayor que 1, y por ende pueden escribirse como una parte entera y otra fraccionarla.

10.- ¿Mediante qué procedimientos podemos darnos cuenta si dos fracciones son equivalentes?

Podemos darnos cuenta de dos maneras distintas.

- Obteniendo sus expresiones decimales, y verificando que sean iguales.

- Multiplicando el numerador de una por el denominador de otra, y verificando que sean iguales ambas

expresiones.

Por ejemplo, para demostrar que 12/5 es igual que 24/10 obtenemos sus expresiones decimales:

12 : 5 = 2.4

24 : 10 = 2.4

O nos damos cuenta si el numerador de la primera multiplicado el denominador de la segunda da lo mismo que el

denominador de la primera por el numerador de la segunda

Es decir:

12/5 = 24/10

12 x 10 = 24 x 5

120 = 120 � Son iguales, por ende las fracciones son equivalentes.

11.- ¿Qué es una fracción decimal?

Una fracción se denomina decimal cuando su denominador es un múltiplo de 10. Estas fracciones tienen expresiones

decimales finitas. Por ejemplo:

2/10 = 0.2

54/100 = 0.54

9/1000 = 0.009

12.- Explica como se obtiene la fracción irreducible equivalente a una expresión decimal exacta.

La mejor explicación de esto se obtiene con un ejemplo. Supongamos que queremos obtener la fracción irreducible

correspondiente a la expresión decimal 1.75.

El primer paso es obtener la fracción decimal: 175/100

El segundo paso es simplificar la fracción decimal obtenida. En este caso si dividimos por 5 nos queda 35/20. Si

volvemos a dividir por 5 nos queda 7/4. Esta fracción ya es irreducible (7 y 4 no tienen denominadores en común

distintos del 1).

Por lo tanto 1.75 = 7/4

13.- Un porcentaje, ¿puede expresarse como fracción? ¿De qué manera?

Si, tomando el valor del porcentaje y utilizandolo como numerador. En el denominador se coloca el número 100. Por

ejemplo, el 40% puede expresarse como 40/100, y simplificando esta última fracción como 2/5.

14.- Explica como se procede para: a) Sumar y/o restar fracciones de igual o distinto denominador

Para sumar o restar fracciones, estas deben tener el mismo denominador. Por ejemplo, 1/8 + 5/8 = 6/8

De no tener el mismo denominador, primero debo hallar el denominador común. Este número es un múltiplo de

ambos denominadores. Por ejemplo :

El 15 es múltiplo de 3 y de 5. Tomo el denominador común y lo divido

por cada uno de los denominadores originales. Luego multiplico por cada

uno de los numeradores de las fracciones originales. Para culminar, sumo

los numeradores, pues ya tienen el mismo denominador.

Para la resta se procede igual que para la suma, necesariamente ambas fracciones tienen que tener denominador

común.

b) Multiplicar fracciones

El resultado de la multiplicación de dos fracciones es una fracción, cuyo numerador es el producto de los

numeradores de las fracciones originales, y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones

originales. Por ejemplo:

2/5 x 9/4 = 18/20 � Simplificando � 9/10

15.- En el conjunto Z, ¿existe inverso multiplicativo? ¿Y en Q? Si a є Q, ¿Cuál es su inverso multiplicativo?

El inverso multiplicativo de un número es aquel número que multiplicandolo por el original, da 1 como resultado.

En el conjunto Z (el conjunto de los números enteros) no existe el inverso multiplicativo. Pero sí existe en Q. Si a є Q, su inverso multiplicativo es 1/a. Todos los números que pertenecen a Q (conjunto de los números racionales) tienen

inverso multiplicativo, excepto el 0. El cero no tiene inverso multiplicativo.

16.- ¿Cómo se define la división entre fracciones? Expresalo simbólicamente.

La división entre fracciones se realiza con la “multiplicación cruzada”. El resultado de la división entre fracciones es

una fracción cuyo numerador es la multiplicación del numerador de la primera con el denominador de la segunda; y

el denominador del resultado es el producto del denominador de la primera con el numerador de la segunda.

Simbólicamente: a/b : c/d = a x d / b x c

Por ejemplo:

2/7 : 1/8 = 2 x 8 / 7 x 1 = 16/7

17.- Si debemos multiplicar un número racional a/b por si mismo una cantidad de n veces, ¿Cuál es la operación que nos permite expresar este producto en forma abreviada? ¿Cómo se denominan a/b y n?

La operación que nos permite multiplicar un número por si mismo una cantidad “n” de veces es la potenciación.

En ese caso se expresaría (a/b)ⁿ.

El número a/b se denomina base, y n es la potencia o exponente.

18.- ¿Cuál es el resultado de cada uno de los siguientes casos especiales?

(a/b)¹ = a/b

(a/b)⁰ = 1

1ⁿ = 1

0ⁿ = 0

19.- ¿En qué caso una potencia resulta negativa? Ejemplifica.

El resultado de una potencia resulta negativo si la base es un número negativo y el exponente es un número impar.

Por ejemplo: (-2)³ = -8

20.- ¿Cuáles son las reglas prácticas para resolver: a) La multiplicación de potencias de igual base?

Se suman los exponentes. Por ejemplo:

2³ x 2² = 2³⁺² = 2⁵

b) La división de potencias de igual base?

Se restan los exponentes. Por ejemplo:

3⁵ : 3² = 3⁵⁻² = 3³

c) Una potencia de otra potencia?

Se multiplican los exponentes. Por ejemplo:

(5²)³ = 5⁶

Completar en lenguaje simbólico:

21.- ¿Qué condición debe cumplirse para que p/q sea la raíz enésima de a/b? Expresarlo simbólicamente.

Para que p/q sea la raíz enésima de a/b, p debe ser la raíz enésima de a, y q debe ser la raíz enésima de b.

Simbólicamente:

II) Completá con = o ≠. Justificá

La potenciación y la radicación son distributivas respecto del producto y del cociente, y no lo son respecto de la

suma y de la resta.

III) ¿Cómo se resuelve una potencia de exponente negativo? Explicalo utilizando lenguaje simbólico.

Para resolver una potencia de exponente negativo debemos “invertir la base” y luego aplicar la potencia.

Simbólicamente, la resolución sería:

(a/b) ⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

Por ejemplo:

(3/7) ⁻² = (7/3)² = 49/9

Módulo 3: Triángulos

I) Responde

1.- ¿Qué condición deben cumplir tres segmentos para que con ellos se pueda construir un trángulo?

Para que tres segmentos puedan armar un triángulo se debe cumplir que la suma de dos de sus lados sea mayor que

el lado restante. Ejemplos:

¿Se puede construir un triángulo con 3 segmentos que midan 1 cm, 2 cm y 7 cm?

No, pues, 1 cm + 2 cm = 5 cm, es menor que 7 cm.

¿Se puede construir un triángulo con 3 segmentos que midan 3 cm, 4 cm y 5 cm?

Sí, pues: 3 cm + 4 cm = 7 cm (mayor que 5 cm)

4 cm + 5 cm = 9 cm (mayor que 3 cm)

3 cm + 5 cm = 8 cm (mayor que 4 cm)

2.- ¿Cómo se clasifican los triángulos según sus lados? ¿Y según sus ángulos? Definir cada clase.

La clasificación de los triángulos según sus lados es:

- Equilátero: Todos sus lados miden lo mismo

- Isósceles: Dos de sus lados son iguales, uno es desigual.

- Escaleno: Todos sus lados miden distinto.

La clasificación según sus ángulos es:

- Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos (menores a 90⁰)

- Rectángulo: Tienen un ángulo recto (90⁰)

- Obtusángulo: Tienen un ángulo obtuso (mayor a 90⁰)

3.- Si se conoce la amplitud de los ángulos de un triángulo, ¿es posible ordenar los lados, aunque no se conozcan sus longitudes? ¿Por qué? Si, es posible. Se trazan dos segmentos primero que cumplan con el primero de los ángulos. Luego se cruzan ambos

segmentos con otra recta que cumpla con el segundo de los ángulos. El tercer ángulo queda definido implícitamente.

4.- a) Completá:

b) Enunciá las propiedades en lenguaje coloquial:

1.- La suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180 grados.

2.- La suma de todos los ángulos externos de un triángulo es 360 grados.

3.- La suma de cada ángulo interno con su correspondiente ángulo externo es 180 grados.

5.- El triángulo equilátero ¿es isósceles? ¿Por qué?

Sí, porque cumple con la propiedad de tener dos lados de la misma longitud. El triángulo equilátero es un caso

especial de triángulo isósceles.

6.- ¿Todo triángulo isósceles es equilátero? Justifica tu respuesta.

No. La condición para que sea isósceles es que tenga dos lados iguales. No hay condición para el lado restante,

puede ser de la misma longitud de los anteriores o podría ser diferente.

7.- ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un triángulo equilátero? ¿Depende esto de la longitud de sus lados? ¿Por qué?

Cualquier triángulo equilátero es un triángulo que tiene todos sus lados iguales, y por consecuencia, todos sus lados

iguales. Cada uno de los ángulos interiores de un triángulo equiátero mide 60⁰. Esto NO depende de la longitud de

sus lados, sino que es una propiedad particular de este tipo de triángulos.

8.- ¿Qué relación existe entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.

Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, es decir, suman 90⁰ entre sí. Esto es fácil

de justificar sabiendo que el ángulo restante es un ángulo recto (90⁰), ya que estamos hablando de un triángulo

rectángulo, y la suma de todos los ángulos debe dar 180⁰.

9.- Si un triángulo es rectángulo e isósceles ¿Cuánto miden sus ángulos?

Uno de los ángulos medirá 90⁰, pues es un triángulo rectángulo. Cómo este caso particular es isósceles también, los

dos ángulos restantes además de ser complementarios, deben ser iguales entre sí (pues los ángulos que se forman

en el lado desigual son iguales entre sí en todo triángulo isósceles). Por consecuencia, cada uno de los ángulos

agudos de un triángulo rectángulo isósceles mide 45⁰.

10.- Un triángulo rectángulo ¿puede ser equilátero? ¿Y un obtusángulo? Explica por qué.

La respuesta es NO, en ambos casos. Todos los triángulos equiláteros tienen sus ángulos iguales, y cada uno mide

60⁰, como ya mencionamos. Por ende, todos los triángulos equiláteros son acutángulos (tienen todos sus ángulos

agudos).

11.- ¿Qué nombre reciben los lados de un triángulo rectángulo? ¿Cómo los identificas? ¿Cuál es el de mayor longitud?

Los lados de un triángulo rectángulo se llaman catetos e hipotenusa. Los catetos se identifican pues son los lados que

forman el ángulo recto del triángulo. La hipotenusa es el lado restante, que también es el de mayor longitud. No

forma parte del ángulo recto.

12.- Enuncia el Teorema de Pitágoras en forma coloquial y en lenguaje simbólico.

La suma de los cuadrados de los catetos de cualquier triángulo rectángulo es igual al cuadrado de su hipotenusa.

Es decir, si vemos al triángulo de lados a, b y c, donde a es la hipotenusa; b y c son los catetos � a² = b² + c² 13.- Obtené la expresión simbólica de la relación pitagórica la fórmula para calcular a) La hipotenusa, conociendo los catetos. b) Un cateto, conociendo la hipotenusa y el otro cateto.

14.- Escribí las fórmulas que te permiten calcular : a) El perímetro de un triángulo (según sea equilátero, isósceles o escaleno). b) Área de un triángulo. a) El perímetro de cualquier figura es la suma de todos sus lados. Por lo tanto,

b) El área de un triángulo se calcula según:

Módulo 4: Cuadriláteros. Circunferencia y círculo. Cuerpos

I) Respondé 1.- ¿Qué es un cuadrilátero? Escribí la definición de a) Trapecio b) Romboide c) Paralelogramo

Un cuadrilátero es un polígono formado por cuatro lados y cuatro ángulos.

a) Un trapecio es un cuadrilátero en el que dos de sus lados son paralelos, y los otros dos no lo son.

b) Un romboide es un cuadrilátero en el que sus lados son iguales.

c) Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son iguales entre sí.

2.- ¿Cómo se clasifican los trapecios? Definí cada clase.

Los trapecios se clasifican en rectángulos, isósceles y escalenos.

Los rectángulos tienen un lado perpendicular a ambas bases.

Los isósceles tienen sus dos lados no paralelos de igual medida.

Los escalenos tienen sus cuatro lados de distinta longitud.

3.- a) ¿Qué propiedad cumplen los ángulos del trapecio?

La suma de todos los ángulos internos de cualquier trapecio siempre es 360⁰.

b) ¿Cuáles son las propiedades particulares del trapecio isósceles?

El trapecio isósceles es un cuadrilátero cíclico (sus cuatro vértices se encuentran en una misma circunferencia). La

suma de sus ángulos opuestos es 180⁰. Además tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales

entre sí. Otra propiedad es que sus dos diagonales son de igual longitud.

c) ¿Cuáles son las propiedades del romboide?

El romboide es un paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo, es decir, un paralelogramo que no tiene ni sus

ángulos ni sus lados iguales. Cumple con las siguientes propiedades:

- Tiene dos pares de lados iguales, paralelos entre sí.

- Los ángulos opuestos son iguales.

- Los ángulos contiguos son suplementarios.

- Como no es un rombo, sus diagonales no son perpendiculares entre sí.

- Como no es un rectángulo, sus diagonales no son iguales.

4.- Escribí la definición de paralelogramo.

Ya la escribimos, en el punto 1.- c)

5.- Dibujá un paralelogrmo y enunciá en lenguaje coloquial y simbólico las propiedades que cumplen sus ángulos, sus lados y sus diagonales.

Los lados en un paralelogramo son paralelos dos a dos. Esto quiere decir que el segmento ac es paralelo al segmento

bd, así como también el segmento ab es paralelo al segmento cd.

Los ángulos opuestos son iguales entre sí. Es decir, el ángulo α es igual al ángulo δ, y el ángulo β es igual al ángulo γ.

Los ángulos consecutivos son suplementarios entre sí (suman 180⁰).

6.- ¿Cuáles son los tres paralelogramos especiales? Definí cada uno de ellos.

En realidad, hay cuatro tipos de paralelogramos especiales, que podemos clasificar en dos grupos:

- Paralelogramos rectángulos: son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta

clasificación se incluyen:

• el cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud

• el rectángulo, que tiene lados opuestos de igual longitud

- Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos

obtusos. En esta clasificación se incluye:

• el rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos pares de ángulos iguales

• el romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de ángulos iguales

7.- Dibujá un rectángulo, un rombo y un cuadrado y enunciá en lenguaje coloquial y simbólico las propiedades particulares de cada uno de ellos.

En los rectángulos, los cuatro ángulos son iguales y rectos (miden 90⁰).

Los lados ab y cd son paralelos, así como también ac es paralelo a bd. El segmento ab es de igual longitud que el segmento cd, y el segmento ac es de igual longitud que el segmento bd.

En los rombos, los cuatro lados son igual de largos entre sí.

Los ángulos opuestos son iguales entre sí. La suma de todos ellos da 360⁰.

Los ángulos consecutivos suman 180⁰ entre sí.

Los lados ab y cd son paralelos, así como también ad es paralelo a bc.

En los cuadrados, los cuatro lados son iguales entre sí, y forman todos ángulos iguales y rectos entre sí.

La suma de todos los ángulos es 360⁰.

Los lados ab y cd son paralelos, así como también ac es paralelo a bd.

8.- Definí circunferencia y círculo. Dibujá una circunferencia y marcá todos sus elementos.

Una circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos

puntos están a la misma distancia del centro. Esta distancia se

llama radio.

El diámetro de una circunferencia es la distancia entre dos

puntos de la circunferencia, tomadas con una línea que

también pase por el centro. El diámetro es el doble del radio.

El círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia.

El centro y el radio son los elementos característicos de la

circunferencia y del círculo.

9.- Escribí las fórmulas que permiten calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras: a) paralelogramo; b) rectángulo; c) cuadrado; d) romboide; e) rombo; f) trapecio; g) círculo

10.- ¿Cuáles son los cuerpos redondos? Escribí las fórmulas que permiten calcular el área total el volúmen de cada uno de ellos.

Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva.

11.- ¿Cuáles son los elementos de los cuerpos poliedros? ¿Cómo se relacionan la cantidad de vértices, aristas y caras de un poliedro.

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geometricas

planas. Todos los poliedros tienen caras, aristas y vértices.

Las caras son las superficies planas que conforman los lados del poliedro

Las aristas son los bordes en los que se unen las caras.

Los vértices son los puntos en los que se unen las aristas.

El número de caras (C) de un poliedro, más el número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más 2.lenguaje simbólico ���� C + V = A + 2

Ejemplo: Cubo. Poliedro formado por cuadrados.

12.- ¿Cuáles son las características que definen al prisma? ¿Y a la pirámide?

Un prisma es un poliedro que consta de dos caras de igual forma y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que

son paralelogramos.

Una pirámide es un poliedro limitado por una

coincidentes en un punto llamado cúspide.

13.- Escribir las fórmulas que permiten calcular el área y el volúmen del prisma y de la pirámide.

Para el prisma:

- El área total de la figura es la suma de cada una de las áreas de las caras que lo comprenden. Es decir, el área

de la base multiplicada por dos, más n veces

- El volumen se calcula como el área de la base, multiplicado por la altura del prisma.

Para la pirámide:

- El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.

la figura geométrica que sea la base. El área lateral s

hay también depende de los lados que tenga la base.

- El volumen de una pirámide se puede hallar

área de su base(Ab) y su altura (h)

¿Cuáles son los elementos de los cuerpos poliedros? ¿Cómo se relacionan la cantidad de vértices, aristas y

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geometricas

Todos los poliedros tienen caras, aristas y vértices.

son las superficies planas que conforman los lados del poliedro. Son todas figuras geométricas.

son los bordes en los que se unen las caras.

son los puntos en los que se unen las aristas.

El número de caras (C) de un poliedro, más el número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más 2.

Ejemplo: Cubo. Poliedro formado por cuadrados.

¿Cuáles son las características que definen al prisma? ¿Y a la pirámide?

que consta de dos caras de igual forma y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que

limitado por una base, que es un polígono cualquiera; y por

coincidentes en un punto llamado cúspide.

fórmulas que permiten calcular el área y el volúmen del prisma y de la pirámide.

total de la figura es la suma de cada una de las áreas de las caras que lo comprenden. Es decir, el área

de la base multiplicada por dos, más n veces el área lateral (dependiendo de cuantas caras laterales tenga).

rea de la base, multiplicado por la altura del prisma.

total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral. El área de la base se calcula según

la figura geométrica que sea la base. El área lateral se compone de n triangulos, la cantidad de triangulos que

hay también depende de los lados que tenga la base.

de una pirámide se puede hallar independientemente de la forma de la base.

y su altura (h)

¿Cuáles son los elementos de los cuerpos poliedros? ¿Cómo se relacionan la cantidad de vértices, aristas y

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geometricas

n todas figuras geométricas.

El número de caras (C) de un poliedro, más el número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más 2. En

que consta de dos caras de igual forma y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que

y por caras, que son triángulos

fórmulas que permiten calcular el área y el volúmen del prisma y de la pirámide.

total de la figura es la suma de cada una de las áreas de las caras que lo comprenden. Es decir, el área

el área lateral (dependiendo de cuantas caras laterales tenga).

rea de la base, multiplicado por la altura del prisma. Simbólicamente:

El área de la base se calcula según

e compone de n triangulos, la cantidad de triangulos que

orma de la base. Se calcula según el

14.- Verdadero o Falso.

• En todo rectángulo las diagonales son congruentes y perpendiculares ���� FALSO Son congruentes pero no perpendiculares. En los rombos las diagonales son congruentes y perpendiculares.

• Las diagonales del rombo son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen ���� VERDADERO

• En todo cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es 180⁰ ���� FALSO En los triángulos la suma de los ángulos interiores es 180⁰. En los cuadriláteros la suma de todos los ángulos

interiores es 360⁰.

• En la primer figura abcd, si bc // ad, enconces abcd es un trapecio y â y ^b son ángulos suplementarios ���� VERDADERO

• Las diagonales del cuadrado determinan cuatro triángulos rectángulos e isósceles, que además resultan congruentes ���� VERDADERO

Aclaración: “Congruentes” significa “iguales”.