Libro Alumno Matemática 1

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El libro Matemtica para primer curso de Bachillerato de la serie Bachillerato Ecuador es una obra colectiva creada y diseada por el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana S. A., bajo la Direccin Editorial de Ana Luca de Escobar

Matemtica

Primer ao de Bachillerato General UnificadoPRESIDENTE DE LA REPBLICA

Rafael Correa Delgado

MINISTRO DE EDUCACIN

Augusto Espinosa Andrade

VICEMINISTRO DE EDUCACIN

VICEMINISTRO DE GESTIN EDUCATIVA

SUBSECRETARIA DE FUNDAMENTOS EDUCATIVOS

DIRECTORA NACIONAL DE CURRCULO

Ministerio de Educacin del Ecuador, 2014

Av. Amazonas N34-451 y Atahualpa

Quito, Ecuador

www.educacion.gob.ec

La reproduccin parcial o total de esta publicacin, en cualquier forma y por

cualquier medio mecnico o electrnico, est permitida siempre y cuando

sea autorizada por los editores y se cite correctamente la fuente.

rImp eso por El Telgrafo

ISBN: 978-9942-19-116-8

DISTRIBUCIN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA

ADVERTENCIA

a travs del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no

como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Slo en los casos en que tales expresiones no existan, se usar la forma masculina como gnerica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta prctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Espaola en su Diccionario Panhispnico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en espaol es posible , y (b) es preferible aplicar

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PRESENTACIN

El Plan Decenal de Educacin, aprobado mediante Consulta Popular el 26 de noviembre 2006 con el 66% del total de votos, marc desde entonces la agenda para la Poltica Pblica en el Ministerio de Educacin.

La estrategia clave para la consecucin de las Polticas del Plan Decenal de Educacin referentes a la Universalizacin de la Educacin General Bsica de primero a dcimo grados, al incremento de la poblacin estudiantil del Bachillerato hasta alcanzar al menos el 75% de los jvenes en la edad correspondiente (al ao 2013), a la tasa neta de asistencia a Educacin General Bsica que alcanz el 96,1% y a la tasa neta de asistencia a Bachillerato que ascendi a 65,8% frente al 51,2% (registrado en el ao 2007), est necesariamente ligada a la fuerte inversin que el Gobierno Nacional ha realizado los ltimos aos en educacin.

Con el presupuesto asignado, el Ministerio de Educacin despliega, desde el ao 2007, varios programas dirigidos a la eliminacin de las barreras econmicas de acceso a la educacin de los nios, nias y adolescentes. Uno de estos programas es el referente a la entrega gratuita de textos escolares a los estudiantes y docentes de Educacin General Bsica, Bachillerato General Unificado de la oferta intercultural e intercultural bilinge, que asisten de manera regular a las instituciones fiscales, fiscomisionales y municipales en todo el pas.

Para los estudiantes, se entrega textos y cuadernos de trabajo; para los docentes, textos y guas docentes; y para los estudiantes y docentes de Educacin Intercultural Bilinge, los kukayos pedaggicos (textos bilinges).

En el ao 2014, se entregar textos a los estudiantes y guas del docente para Bachillerato General Unificado (BGU) del rgimen Sierra y Costa en las materias de Matemtica, Lengua y Literatura, Fsica, Qumica, Desarrollo del Pensamiento, para el primer curso; Biologa, Lengua y Literatura, Fsico-Qumica, para segundo curso; y Lengua y Literatura, Matemtica, Educacin para la Ciudadana, para tercer curso. Adicionalmente, se entregar material para el estudiante (texto y libro de trabajo) y material para el docente (gua docente y CD de audio) del rea de ingls a los tres cursos de BGU.

El libro de texto tiene como principal objetivo brindar apoyo, tanto a los docentes como a los estudiantes y representantes, en la consecucin de los estndares de aprendizaje, referidos a los mnimos que los estudiantes deben alcanzar al culminar el tercer ao del Bachillerato. Por lo tanto, brinda informacin cientfica sobre los temas en estudio, propone actividades de investigacin y aplicacin del nuevo conocimiento, invita al lector a aplicar estrategias de autoevaluacin, coevaluacin y heteroevaluacin, ensea a citar fuentes de consulta y enlista la bibliografa en la que sustenta la informacin.

Por todo lo anterior, se ha puesto especial cuidado en la seleccin de este texto, aplicando un estricto proceso de evaluacin del rigor cientfico y curricular que el Ministerio de Educacin exige en este material.

Siendo un material de apoyo bsico, esperamos que los docentes y sobre todo los estudiantes no se sujeten exclusivamente a la informacin vertida en l, sino que este libro despierte las ganas de investigar, de ampliar su informacin, de acudir a otras fuentes que los lleven hacia una mayor comprensin y aplicacin en la vida diaria de lo que aprenden.

xitos en este nuevo ao y a escribir nuestra nueva historia

Ministerio de Educacin

4

Presentacin

Ecuaciones lineales con valor absoluto 53Inecuaciones lineales con valor absoluto 54Las TIC en el aula 56Evaluacin 60Buen Vivir 61

Unidad 2

Funciones y ecuaciones cuadrticas 62Las TIC en el aula 64Construccin de la parbola con escuadras 64Construccin de una parbola con un graficador 65Funcin cuadrtica 66Concepto 66Grfica de una funcin cuadrtica 66Ceros, races o soluciones de la funcin cuadrtica 70Ecuacin cuadrtica 72Solucin de ecuaciones cuadrticas completas 74Propiedades de las races de la ecuacin cuadrtica 78Naturaleza de las races en una ecuacin cuadrtica 79Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadrticas 80 Ecuaciones con radicales de ndice dos 80Ecuaciones bicuadrticas 81Problemas con ecuaciones de segundo grado 83Problemas de ampliacin 86Posiciones relativas entre una recta y una parbola 88Sistemas cuadrticos 90Inecuaciones cuadrticas 92Inecuaciones cuadrticas con dos variables 94Sistemas de inecuaciones cuadrticas 96Ecuaciones cuadrticas con valor absoluto 98Inecuaciones cuadrticas con valor absoluto 100Evaluacin 104Buen Vivir 105Evaluacin de unidades 1 y 2 106

Unidad 1

Bloque 1

Funciones y ecuaciones lineales 6Funciones 8Concepto de funcin 8Dominio, codominio, recorrido y grafo de una funcin 9Formas para representar una funcin 10Funciones reales 12Funcin lineal 14Representacin grfica 14Funcin afn 15La recta 16Pendiente de una recta 16Ecuacin explcita de la recta 18Ecuacin general de la recta 20Ecuacin paramtrica de la recta 21Posicin relativa de dos rectas en el plano 22Problemas de ampliacin 24Sistemas de ecuaciones lineales 26Mtodos de solucin de sistemas 2 2 27 Resolucin de problemas 35Mtodos de solucin de sistemas 3 3 38Problemas de aplicacin 42Problemas de ampliacin 44Inecuaciones 46Inecuaciones de primer grado con una incgnita 46Inecuaciones de segundo grado con una incgnita 47Inecuaciones con dos incgnitas 48Sistemas de inecuaciones 49Definicin analtica del valor absoluto. Propiedades 52Propiedades del valor absoluto 52

ndice

El libro de Matemtica de primer ao de Bachillerato es una propuesta pedaggica que busca potenciar las capacidades de los estudiantes para aplicar los conocimientos y destrezas como analizar, razonar, interpretar y resolver problemas en distintas situaciones.

El desarrollo de los bloques guarda relacin con la propuesta curricular del Ministerio de Educacin y propone actividades que amplan el conocimiento y promueven un pensamiento reflexivo, crtico y cientfico.

Cada bloque curricular est organizado en unidades. Estas arrancan con una imagen, con base en la cual se proponen actividades de motivacin que preparan a los estudiantes para trabajar con la temtica del bloque. En estas pginas se incluyen los objetivos educativos.

El desarrollo de las destrezas dentro de cada unidad incluye una serie de actividades que permiten observar el avance de los estudiantes y evaluar el aprendizaje por medio de tareas, trabajos individuales, lecciones y trabajos cooperativos.

Para motivar a trabajar con las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin (TIC) se presentan actividades con las cuales podrn poner en prctica los conocimientos informticos. Estas actividades se

identifican con el logo .

Al trmino de cada bloque se proponen actividades que permiten la revisin activa de todos los conocimientos, la resolucin de problemas y la bsqueda de soluciones. Cada bloque cierra con una evaluacin de destrezas que responde a los indicadores esenciales de evaluacin y una seccin que se articula con algunos aspectos de la ciudadana y el Buen Vivir.

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5

Unidad 6

Probabilidad 174Probabilidad y azar 176Conceptos bsicos 176Regla de Laplace 177Operaciones con sucesos: A B, A B y Ac 178Interseccin de sucesos 178Unin de sucesos 179Complemento de un suceso 181Leyes de Morgan 181Diagrama de rbol y tringulo de Pascal 184Diagrama de rbol 184Tringulo de Pascal 185Problemas de ampliacin 190Elementos de combinatoria 191Principios fundamentales del conteo 191Factorial de un nmero 191Permutaciones lineales 192Variaciones 193Combinaciones 194Evaluacin 198Buen Vivir 199Evaluacin unidades 3, 4, 5 y 6 200Hacer un dibujo 202Pasar del dibujo geomtrico al grfico de una funcin 203Hacer tablas y grficos 204Hacer un diagrama 205Pasar de las tablas de contingencia a la probabilidad 206Utilizar mtodos aproximados 207Bibliografa 208

Unidad 3

Bloque 2

Unidad 5

Bloque 4

Vectores en el plano 108Vectores 110Caractersticas de un vector 110Vectores unitarios 110Vectores equipolentes y equivalentes 111Operaciones entre vectores en forma analtica 112Suma de vectores 112Diferencia de vectores 112Producto de un nmero por un vector 112Operaciones con vectores en forma grfica 113Regla del polgono 113Regla del paralelogramo 113Permetro y rea de un tringulo 116Permetro y rea de polgonos regulares 117Permetro y rea de figuras geomtricas 118Vectores y fsica 119El vector desplazamiento 119El vector velocidad 119Velocidad instantnea 120Vectores de fuerza 121Evaluacin 124Buen vivir 125

Estadstica 144Estadstica descriptiva 146Poblacin y muestra 146

Variables estadsticas 146Estudio estadstico 147Tablas de frecuencias 148Tablas de frecuencia para datos no agrupados 148Tablas de frecuencia para datos agrupados 148Grfico de frecuencias 150Histograma 150Grfico circular 150Polgono de frecuencias 150Pictograma 152Grfico de frecuencias acumuladas (ojiva) 152Diagrama de tallo y hoja 153Medidas de tendencia central 158Medidas de tendencia central para datos no agrupados 158Medidas de tendencia central para datos agrupados 159Medidas de dispersin 160Rango 160Desviacin media 160Desviacin estndar o tpica 161Varianza 162Coeficiente de variacin 162Correlacin 162Medidas de localizacin 164Cuartiles 164Deciles 164Percentiles 165Diagrama de caja 166Construccin de un diagrama de caja 166Evaluacin 172Buen Vivir 173

Programacin lineal 126Regiones del plano determinadas por rectas 128Soluciones de una inecuacin lineal con dos variables 128Soluciones de un sistema de inecuaciones lineales con dos variables 128Funcin objetivo 129Determinacin de la regin factible 130Mtodos de resolucin 131Mtodo algebraico o de los vrtices 131Mtodo grfico o de las rectas de nivel 132Tipos de soluciones 133Solucin nica 133Solucin mltiple 133Solucin no acotada 134Solucin no factible 134Solucin degenerada 136Problema de la produccin 137Problemas de la dieta 138Problema de transporte 139Evaluacin 142Buen Vivir 143

Unidad 4

Bloque 3

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Funciones y ecuaciones lineales1 1

Bloque Un

idad

6

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Sistemas y ms sistemas

Desde la antigedad el problema de resolver ecuaciones lineales simultneas ya era objeto de inters entre los ma-temticos.

Por ejemplo, en un texto de la poca babilnica antigua se encuentra un sistema de dos ecuaciones lineales simul-tneas con dos incgnitas, llamadas respectivamente el primer anillo de plata y el segundo anillo de plata.

En la cultura china, la contribucin algebraica ms impor-tante fue, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, se-gn consta en el libro Los nueve captulos sobre el arte matemtico (ao 250 a. de C.). En esta obra, se establece un mtodo genrico de resolucin para todos los siste-mas, muy similar al que hoy conocemos como mtodo de Gauss, expresando los coeficientes en forma matricial y transformndolos en ceros de manera escalonada.

En el siglo XIX, la teora de los sistemas de ecuaciones li-neales dio origen a lo que hoy se conoce como el lgebra lineal, la cual est relacionada con la teora de los deter-minantes y las matrices.

1. Dados A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5, 6}, escribe por extensin cada uno de los siguientes conjuntos.

a. R1 = {(a, b)/a A y b B, a = b}

b. R2 = {a, b)/a A y b B, a + b = 7}

c. R3 = {a, b)/a A y b B, a = 2b}

2. Ubica las siguientes parejas ordenadas en el plano cartesiano.

a. (1, 3) c. ( 0, 7 __ 3 )

b. ( 1 __ 2 , 5 __ 3 ) d. ( 5 __ 2 , 0 ) 3. Identifica las rectas paralelas.

a.

b.

c.

4. Traza una recta perpendicular a cada recta dada.

a.

b.

c.

5. Encuentra dos nmeros consecutivos cuya suma sea 45.

Antes de empezar

7

d.

d.

Comprender que el conjunto solucin de ecuaciones lineales y cuadrticas es un subconjunto de los nmeros reales.

Comprender el concepto de funcin mediante la utilizacin de tablas, grficas, una ley de asignacin y relaciones matemticas (por ejemplo, ecuaciones algebraicas) para representar funciones reales.

Determinar el comportamiento local y global de la funcin (de una variable) lineal del anlisis de su dominio, recorrido, monotona, simetras, e intersecciones con los ejes y sus ceros.

Utilizar TIC (Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin):

Objetivos educativos

a. para graficar funciones lineales;

b. para manipular el dominio y el rango a fin de generar grficas;

c. para analizar las caractersticas geomtricas de la funcin lineal (pendiente e intersecciones).

Rondador. Instrumento musical andino.

Tungurahua viene el quichua tungur (garganta),

y rauray (ardor): ardor en la garganta.Es el volcn ms activo en sudamrica, desde fines de 1999 hasta la actualidad se ha mantenido en actividad

permanente.

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8

Funciones

A con ti nua cin se han re pre sen ta do cua tro co rres pon den cias en tre los con jun tos M 1, 2, 3 y N a, b, c, d. De ter mi nar cu les de es tas co rres pon den cias son fun cio nes y cu les no.

Las fun cio nes se sim bo li zan por le tras ta les co mo f, g, h, i, j, en tre otras. As, pa ra no tar la fun cin f de fi ni da de A (con jun to de sa li da) en B (conjun to de lle ga da), se es cri be:

f: A B y se lee efe de A en B.

Su pn ga se que A 1, 2, 3, 4 y B 0, 1, 2, 3, 4, 5 y f es la co rres ponden cia me dian te la cual ca da ele men to de A de be ser aso cia do con su an te rior en B. En ton ces, f es una fun cin de A en B, pues a ca da ele mento del con jun to de sa li da le co rres pon de so lo un ele men to del con jun to de lle ga da.

Una for ma de re pre sen tar es ta fun cin, se mues tra en el si guien te diagra ma sa gi tal.

En ge ne ral, si x es cual quier ele men to del con jun to de sa li da y y es el elemen to del con jun to de lle ga da que le co rres pon de a x me dian te la fun cin f, se di ce que y es la imagen de x a tra vs de f.

Es to se sim bo li za por y f(x) y se lee y igual a efe de x.

En el ejem plo an te rior se tie ne que 0 f(1), 1 f(2), 2 f(3) y 3 f(4).

concepto de funcin

Sean A y B conjuntos. Una funcin definida del conjunto A en el conjunto B, es una correspondencia que asigna a cada elemento de A un nico elemento de B.

Con jun to de Con jun to de sa li da lle ga da

Evaluar una funcin es encontrar la imagen de un valor x.

f(x) = x + 3

Si x = 2, entonces

f(2) = 2 + 3

f(2) = 5

Toma en cuenta

Reconocer el comportamiento local y global de funciones elementales de una variable a travs del anlisis de su dominio, recorrido, monotona y simetra (paridad). (C)

Destrezas con criterio de desempeo:

Representa con una ecuacin la siguiente situacin.

Para obtener el precio de venta al pblico (y) de una camiseta, es necesario tomar en cuenta el costo de su produccin ($ 4,50), la ganancia que se desea tener, y el nmero de camisetas (x) que se van a producir.

Conocimientos previos

Ejemplo

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9

A B

e

i

a

n

o

p

m

fM N

-1

2

0

1

0

4

1

gA B

12

0

fM N

8

12

4

s

t

r

h

C D

n

o

m

q

p

gO P

3

5

4

2

1

iR T

4

25

3

h

4

Dada una funcin f establecida entre dos conjuntos, se identifican los siguientes elementos: Dominio: es el conjunto de salida o conjunto de preimgenes. Se nota Domf.

Codominio: es el conjunto de llegada.

Recorrido(rango): es el subconjunto del codominio, formado por las imgenes de los elementos del dominio. Se nota Rec.

Grafo: es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas en las cuales la primera componente es un elemento del dominio y la segunda componente es un elemento del rango. Esto es (x, y)/y f(x).

dominio, codominio, recorrido y grafo de una funcin

Solucinf y g s son funciones porque en cada caso cada elemento de M est relacionado con un nico elemento de N.h e i no son funciones, pues en la correspondencia h, 1 tiene dos imgenes, y en la correspondencia i, 3 no tiene imagen.

De ter mi nar el do mi nio, el co do mi nio, el recorrido y el gra fo de la fun cin re pre sen ta da en el si guien te dia gra ma sa gi tal.

So lu cinDom h a, e, i; Co do mi nio de h: k, m, n, o, pRec h k, o, p; Gra fo de h (a, p), (e, o), (i, k)

1.In di ca cu les de los dia gra mas sa gi ta les re pre sen tan fun cio nes. Jus ti fi ca ca da res pues ta.

a. b.

c.

2.Escribe el dominio, codominio, recorrido y grafo de cada una de las siguientes funciones.

Actividades

Las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir fenmenos. Son usadas por bilogos, fsicos, ingenieros y economistas para analizar, por ejemplo, la variacin del precio de un producto a travs de los aos, el crecimiento de la poblacin en un perodo de tiempo y la resistencia de un material a distintas temperaturas, entre otras.

Recuerda

Determina el dominio y el recorrido de la funcin.

Tarea

Ejemplo

Identifica funciones en un diagrama sagital. Identifica el dominio, codominio y recorrido de una funcin.

4

5

6

7

1

2

3

a. c.

b. d.

RSh

a

e

i

k

m

n

o

p

A f B

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10

Da dos los con jun tos x 0, 1, 2, 3 y y 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y la fun cin f: x y tal que a ca da ele men to de x le asig na su do ble en y, pre sen tar la fun cin f me dian te:

a. El diagrama sagital c. La frmulab. El diagrama cartesiano d. La tabla de valoresSolucina. El diagrama sagital b. El diagrama cartesiano c. La frmula

y 2x

d. La tabla de valores

X Y

0

1

2

3

2

0

f

3456

1

01

2

3

4

5

6

1 2 3 4(0,0)

(1 ,2)

(2 ,4)

(3 ,6)

x

y

Ade ms del dia gra ma sa gi tal, pa ra re pre sen tar una fun cin se uti li zan otras for mas, ta les co mo el dia gra ma car te sia no, la fr mu la o la ta bla de va lo res. En el diagramacartesiano, el eje ho ri zon tal re pre sen ta el do mi nio y el eje ver ti cal, el co do mi nio. En es te dia gra ma se re pre sen tan las pa re jas or de na das que per te ne cen al gra fo de la fun cin.

La frmula es la ex pre sin al ge brai ca de la fun cin, en la cual los elemen tos de los con jun tos se sim bo li zan, de ma ne ra ge ne ral, me dian te va ria bles.

Las fr mu las de las fun cio nes son de la for ma y f(x), en la cual f(x) es una ex pre sin en tr mi nos de x; x es la variableindependiente y re presen ta los ele men tos de Dom f; y es la variabledependiente y re pre senta los ele men tos de Rec f.

La tabladevalores es t for ma da por dos fi las de ca si llas. En la fi la su pe rior se ubi can los va lo res que to ma la va ria ble in de pen dien te y en la fi la in fe rior se ubi can los va lo res que se ob tie nen pa ra la va ria ble de pen dien te.

3.El gra fo de cier ta fun cin f es (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2).

Res pon de las si guien tes pre gun tas:

a. Qu ele men tos per te ne cen al do mi nio de la funcin?

b. Cu les n me ros for man el recorrido de la fun cin?

c. 5 per te ne ce al co do mi nio de la fun cin? Por qu?

d. Cun tos ele men tos tie ne el do mi nio de la fun cin?

e. Se po dra re pre sen tar el gra fo an te rior en un diagra ma sa gi tal? C mo?

4.In di ca cu les de los con jun tos de pa re jas or de na das co rres pon den a gra fos de fun cio nes.

a. (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

b. (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 2)

c. (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)

d. (5, 6), (3, 6), (4, 6)

e. (0, 2), (1, 1), (3, 1), (6, 4)

f. (0, 0), (1, 0), (2, 0)

g. (3, 5), (6, 8), (4, 5), (7, 8)

Ejemplo

Representar funciones lineales, cuadrticas y definidas a trozos, mediante funciones de los dos tipos mencionados, por medio de tablas, grficas, una ley de asignacin y ecuaciones algebraicas. (P)

Destreza con criterio de desempeo:

Un automvil circula a una velocidad constante de 90 km/h, en una carretera, elabora una tabla en la que se observe cuntos kilmetros recorre en 2, 3, 4 h. Si tiene que cubrir 280 km en cuntas horas aproximadamente llegar.


x 0 1 2 3

y 0 2 4 6

Formas para representar una funcin

y = f(x) = 2x

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1.De fi ne ca da una de las si guien tes fun cio nes me dian te un dia gra ma car te sia no y una ta bla de va lo res.

a.A B

4

5

6

2

3

4

5

f

b. C D

1

2

3

2

4

6

g

c.E F

1

3

5

7

6

2

4

8

h

d. M N

2

3

4

1

2

3

4

i

2.A par tir del dia gra ma car te sia no, es cri be la ta bla de va lo res pa ra ca da fun cin.

a.

1

2

3

4

5

6

1-1 2 3 4 5 x

y b.

1

2

3

4

5

6

-1-3 -2 1 2 3 x

y

c.

1

2

3

4

5

6

1-1 2 3 4 5 x

y d.

1

2

3

4

5

6

-1-3 -2 1 2 3 x

y

3.De acuer do con la si guien te ta bla de va lo res, es cri be V si la afir ma cin da da es ver da de ra o F si es fal sa.

a. El dia gra ma sa gi tal que de fi ne es ta fun cin es:

c. La fr mu la que co rres pon de a la fun cin de fi ni da en la ta bla de va lo res es:

y x 2

4.Sean los con jun tos A 2, 3, 4 y

B 0, 4, 6, 8, 10, 12, y la fun cin f: A B tal que a ca da ele men to de A se aso cia su do ble en B.

De fi ne la fun cin f me dian te.

a. Dia gra ma sa gi tal c. Fr mu la

b. Dia gra ma car te sia no d. Ta bla de va lo res

5.Pa ra la fr mu la de ca da fun cin, haz una ta bla con cinco va lo res que per te nez can al do mi nio de la fun cin.

a. y x 3 d. y 2x 1

b. y 12 x e. y

13 x

c. y 5x f. y 9x 5

X Y

1

2

3

0

-1

0

1

-2

f

b. El dia gra ma car te sia no que co rres pon de a esta ta bla de va lo res es:

-2

-1

-3

1

2

3

-1-3 -2 1 2 3 x

y

x 3 2 1 0

y 1 0 1 2

Actividades

Representa en un plano y mediante una tabla una funcin.

Escribe la tabla que representa a una funcin.

Analiza representaciones de una funcin y determina el valor de verdad.

Realiza diferentes representaciones de una funcin.

Representa una funcin mediante una tabla.

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12

1. Construir la grfica de la funcin y f (x) x2 1. Solucin Se elabora una tabla con algunos valores reales, asignados arbitrariamente

a la variable x. Cada valor se remplaza en la funcin para obtener los correspondientes

valores de y. As: si x 2, y (2)2 1 5

si x 12 , y 12

2 1

54

si x 0, y (0)2 1 1

si x 12 , y 12

2 1

54

si x 2, y (2)2 1 5

Tabla de valores

Se ubican los puntos y se unen mediante una lnea continua.

Una fun cin f es una funcin real cuan do su do mi nio y su recorrido son el con jun to de los n me ros rea les o un sub con jun to del mis mo.

Co mo no es po si ble enu me rar to das las pa re jas or de na das que cons ti tuyen una fun cin real, en ton ces se uti li za la notacin y f(x) pa ra re fe rirse a es te ti po de fun cio nes.

Al gu nos ejem plos de fun cio nes rea les son:

y f(x) 3x 1, f(x) x2 10 y y 3x4 , en tre otras.

La gr fi ca de una fun cin real f es el con jun to de pun tos (x, y) del pla no car te sia no cu yas coor de na das sa tis fa cen la fr mu la de la ecua cin. Co mo no es po si ble re pre sen tar to dos los pun tos (pues son in fi ni tos), en ton ces so lo se ubi can al gu nos de ellos y se unen me dian te un tra zo con ti nuo. As se ob tie ne una apro xi ma cin de la gr fi ca.

x

y

2

5

12

54

0

1

12

54

2

5

y

x

(-2 ,5) (2 ,5)

(0 ,1)( , )12

54( - , )

12

54

Ejemplos

Representar funciones lineales, cuadrticas y definidas a tro-zos, mediante funciones de los dos tipos mencionados, por medio de tablas, grficas, una ley de asignacin y ecuaciones algebraicas. (P)

Evaluar una funcin en valores numricos y simblicos. (P)


Mtodo grfico para identificar funciones

Para comprobar que una grfica describe una funcin, es til trazar una recta paralela al eje y, y verificar que esta recta toca solamente un punto de la grfica.

Si la recta toca ms de un punto de la grfica, se puede afirmar que no es una funcin.

Toma en cuenta

e

d

c

bx

y

a

Funciones reales

Identifica cules de los siguientes grficos representan una funcin.


a.

b.

BECU_M1_B1_P06_61.indd 12 4/22/14 11:50 AM

13

2. Determinar si las siguientes grficas representan funciones o no. a.

x

y b.

a x

y

So lu cin

a. S es fun cin, pues ca da ele men to del do mi nio tie ne una ni ca ima gen. b. No es fun cin, por que el ele men to a del do mi nio tie ne ms de una ima gen.

1.Iden ti fi ca cu les de las si guien tes gr fi cas co rres ponden a fun cio nes y cu les no. Jus ti fi ca la res pues ta.

a.

x

y d.

x

y

b.

x

y e.

x

y

c.

x

y f.

x

y

2.Ob tn la gr fi ca apro xi ma da de ca da fun cin de acuer do con la ta bla de va lo res.

a.

b.

c.

3.Com ple ta la ta bla de va lo res pa ra ca da fun cin. Luego, gra fi ca.

a. f(x) x 2 2

b. f(x) x 3

c. f(x) 5x 1

d. f(x) __

x ___ 2

e. f(x) 35

xy

28

11

00

11

28

327

xy

0

0

1

1

4

2

9

3

16

4

25

5

xy

3

8

2

3

1

0

0

1

1

0

2

3

xy

3 2 1 0 1 2

x

y

2 1 0 1 2

xy

0 1 2 1 2

xy

0 1 4 9 25

xy

1 2 0 1 3

Actividades

Identifica una funcin grficamente. Realiza la representacin grfica de una funcin.

Evala una funcin.

BECU_M1_B1_P06_61.indd 13 4/22/14 11:50 AM

14

Funcin lineal

4.Cons truye la ta bla de va lo res pa ra ca da gr fi co.

a. b.

1

2

-1

3

4

5

1-1 2 3 4 5 x

y c.

1

2

-1

3

4

5

-1-3 -2 1 2 3 x

y d.

1

2

-1

3

4

5

-1-3 -2 1 2 3 x

y

Por ejem plo, y f(x) 3x, f(x) 5 __ 3 x y y 7x son al gu nas fun cio nes

li nea les.

La fun cin li neal es una fun cin real cu ya prin ci pal ca rac te rs ti ca consis te en que su re pre sen ta cin gr fi ca es una rec ta que pa sa por el ori gen del pla no car te sia no.

representacin grfica

To da fun cin de la for ma y mx don de m es una cons tan te di feren te de ce ro, es una fun cin li neal.

Construir la grfica de la funcin y 2x.SolucinLa tabla de valores para la funcin y 2x es:

Y se obtiene la siguiente grfica.

3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

(2 ,4)

(1 ,2)

(0 ,0)

(-1 ,-2)

(-2 ,-4)

xy

2

4

1

2

0

0

1

2

2

4

Determina una tabla de valores conocido el grfico.

Representar funciones lineales, cuadrticas y definidas a tro-zos, mediante funciones de los dos tipos mencionados, por medio de tablas, grficas, una ley de asignacin y ecuaciones algebraicas. (P)

Reconocer el comportamiento local y global de funciones elementales de una variable a travs del anlisis de su dominio, recorrido, monotona y simetra (paridad). (C)

Determinar la interseccin de una recta con el eje horizontal a partir de la resolucin de la ecuacin f (x) = 0, donde f es la funcin cuya grfica es la recta. (P)

Determinar la interseccin de una recta con el eje vertical, a partir de la evaluacin de la funcin en x = 0 (f (0)). (P)

Reconocer la grfica de una funcin lineal como una recta, a partir del significado geom-trico de los parmetros que definen a la funcin lineal. (C)


Dibuja los puntos y traza la recta que pasa por los puntos.

A(2, 5), B(3,0)


Ejemplo

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15

Se de no mi na funcinafn a to da fun cin de la for ma y mx b don de m y b son cons tan tes no nu las.

Es te ti po de fun cio nes tie nen co mo re pre sen ta cin gr fi ca una rec ta que no pa sa por el ori gen del pla no car te sia no.

Por ejem plo, la gr fi ca de la fun cin y 3x 1 es una rec ta que cor ta el eje y en el pun to (0, 1) (fig. 1).

Pun tos de cor te con los ejes

Es po si ble en con trar los pun tos de cor te de la rec ta co rres pon dien te a la gr fi ca de una fun cin afn, con los ejes coor de na dos, me dian te una senci lla sus ti tu cin al ge brai ca.

Pa ra ha llar el pun to (x, 0) o pun to de cor te de la rec ta con el eje x, en la ex pre sin y f(x), se ha ce y 0 y se des pe ja x.

Pa ra ha llar el pun to (0, y) o pun to de cor te de la rec ta con el eje y, se ha ce x 0 y se des pe ja y.

funcin afn

Hallar los puntos de corte de la grfica y 2x 1 con los ejes coordenados.SolucinPara hallar (x, 0) se hace 0 2x 1, luego x

12 .

As, (x, 0) 12 , 0 es el punto de corte con el eje x.Para hallar (0, y) se hace y 2(0) 1, es decir y 1.Por tanto, (0, y) (0, 1) es el punto de corte con el eje y (fig. 2).

1.Cla si fi ca las gr fi cas de ca da fun cin co mo li nea les o afi nes.

a.

x

y c.

x

y

b.

x

y d. x

y

e.

x

y

f.

x

y

2.Gra fi ca ca da ta bla de va lo res en el pla no car te sia no. Es co ge una es ca la apro pia da pa ra el eje y.

a. b.

Figura 1.

6

4

-6 -4

31 5

-8 x

y

-4

-2

7 8

-8

-6

2

87

5

-3

-1

-7

-5

1

3

-2-5 -3

42 6

-7 -1

Representacin grfica de la funcin y 3x 1.

Figura 2.

3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

( ,0)12

(0 ,-1)

Puntos de corte de la grfica de la funcin

y 2x 1

No Cos to de li bros en $ 1 10,50

2 21,00

3 31,50

4 42,00

No de Peso en manzanas gramos 1 200

2 400

3 600

4 800

Ejemplo

Actividades

Diferencia entre funcin lineal y afn.

Graficas funciones lineales.

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16

La recta

c. d.

3.In di ca cu les de las si guien tes re la cio nes re pre sen tan fun cio nes li nea les o afi nes. Jus ti fi ca la res pues ta.

a. Cier ta po bla cin de bac te rias se du pli ca en ca da mi nu to.

Re la cin: cre ci mien to de una po bla cin de bac terias y el tiem po.

b. Pa ra re pa rar la ins ta la cin de una ca sa, el ser vi cio tc ni co co bra $25 ms $10 por ho ra adi cio nal.

Re la cin: tiem po tra ba ja do y cos to

4.Rea li za la gr fi ca de las si guien tes fun cio nes.

a. f (x) 2x f. f (x) x 5

b. f (x) 4x g. f (x) x 2

c. f (x) 6x h. f (x) 3x 6

d. f (x) 12x i. f (x) 1

4x 1

5.Ha lla los pun tos de cor te de la gr fi ca de ca da funcin, con los ejes coor de na dos, sin re pre sen tar lo en el pla no.

a. f (x) 3x d. y 3x 2

b. f (x) 5x e. y 13

x 12

c. f (x) 12

x 1 f. f (x) 34

x 2

No Cantidad de horas de minutos 1 60 1.5 90 2 120 2.5 150 3 180

No de Comisin artculos por ventas vendidos en $ 1 5 2 10 3 15 4 20

pendiente de una rectaLa pen dien te es t di rec ta men te re la cio na da con la in cli na cin de la rec ta.

Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son dos pun tos dis tin tos de di cha rec ta, la pen dien te m se cal cu la me dian te las igual da des

m y1 y2x1 x2

o m y2 y1x2 x1

Figura 3

x

y

r

(x2,y2)

(x1,y1)(y2 y1)

y2

y1

x2x1

(x2 x1)

Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3, 5) y B(2, 3).

SolucinSi se consideran A(3, 5) (x1, y1) y B(2, 3) (x2, y2) al remplazar en la frmula anterior, se obtiene:

m 5 33 2

21 2 o m 3 5

2 3 2

1 2

Analiza relaciones e identifica funciones.

Grafica funciones lineales y afines.

Determina los cortes con los ejes de las funciones lineales.

Ejemplo

Grafica la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(4, 5), e indica las coordenadas de otro punto que se encuentre sobre la misma.


Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta. (C, P)

Determinar la monotona de una funcin lineal a partir de la pendiente de la recta que re-presenta dicha funcin. (C, P)


las cua les se in ter pre tan co mo la ra zn del in cre men to ver ti cal con res pec to al in cre men to ho ri zon tal en la rec ta (fig. 3).

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17

3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

5

1

4

-1

y 1

y 2x 1

y 3x 1

y x 112

3

2

3 2 21 34

x

y

2

14

5

1

4

1

y 1

y 2x 1

y 3x 1

y x 112

Signo de la pendiente de una recta

El sig no de la pen dien te de una rec ta de pen de del n gu lo de in cli na cin de di cha rec ta con res pec to al eje x.

Se pue den dis tin guir cua tro ca sos.

Caso1.

Si la rec ta for ma un n gu lo agu do con el eje x, la pen dien te es po si ti va.

Caso2.

Si la rec ta for ma un n gu lo ob tu so con el eje x, la pen dien te es ne ga ti va.

Caso3.

Si la rec ta es ver ti cal (pa ra le la al eje y), se di ce que la pen dien te no es t de fi ni da.

Caso4.

Si la rec ta es ho ri zon tal (pa ra le la al eje x), la pendien te es ce ro.

x

y

r

m > 0

0

x

y

r

m indef in ida

x

y

r

m < 0

0

x

y

r

m 0

Por ejem plo, en las gr fi cas de la izquierda se han re pre sen ta do al gu nas fun cio nes de la for ma y ax 1. En ellas se pue de ob ser var la re la cin en tre el sig no de la pen dien te y la in cli na cin de ca da rec ta.

Determina la pendiente de las rectas que pasan por los puntos dados.

a. A(4, 3) y B(0, 5)

b. P(7, 3) y B(6, 0)

c. M(1, 1) y N(2, 3)

Tarea

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18

Ecuacin explicita de la recta

La ecua cin de la for ma y mx b es de no mi na da ecuacinexplcita de la rec ta.

A par tir de la ecua cin ex pl ci ta de la rec ta se pue de de ter mi nar la pendien te m de la rec ta y la or de na da del pun to de cor te de la rec ta con el eje y, que corresponde a (0, b).

Por ejem plo, pa ra la rec ta cu ya ecua cin ex pl ci ta es y 3x 2, la pendien te es m 3 y el pun to de cor te con el eje y es (0, 2).

De ter mi na cin de la ecua cin ex pl ci ta de la rec ta

En la de ter mi na cin de la ecua cin ex pl ci ta de una rec ta se pue den presen tar dos ca sos:

Caso1.Se co no ce la pen dien te y un pun to. Cuan do se co no ce la pen dien te y un pun to de la rec ta, bas ta rem pla zar di chos va lo res en la ex pre sin ge neral y mx b, con el fin de de ter mi nar el va lor de b, de ma ne ra al ge brai ca.

1.Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

a. (5, 5) y (6, 6) d. (3, 5) y (2, 5)

b. (4, 3) y (5, 3) e. 12 , 4 y 4, 5c. (2, 3) y (6, 5) f. (4, 8) y (4, 16)

2.Encuentra dos puntos de la grfica de cada recta. Luego, halla la pendiente de las rectas.

a.

-4

3

4

-3

1 2 3 4-4 -2-3

x

y

2

1

-1

-2

-1

c.

1

2

-1-1

3

4

5

1 2 3 4 5 76

x

y

6

7

b.

-1-1

3

4

5

1 2 3 4-4 -2-3

x

y

6

7

2

1

d.

-4

3

4

-3

1 2 3 4-4 -2-3

x

y

2

1

-1

-2

-1

e.

1

2

-1-1

3

4

5

1 2-6 -5 -4 -2-3

x

y

6

7 f.

1

2

-1-1

3

4

5

1 2-6 -5 -4 -2-3

x

y

6

7

3.Indica el error cometido al encontrar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. Justifica la respuesta.

a. (4, 3) y (2, 6)

m 4 (2) ________ 3 6 6 __3 2

b. (5, 2) y (4, 5)

m 3 __9 1 __ 3

c. (1, 2) y (2, 6)

m 6 2 _______ 2 1

4 ___ 3

43

4.Halla dos puntos que pertenezcan a una recta que tenga:

a. pendiente positiva. c. pendiente nula.

b. pendiente negativa. d. pendiente indefinida.

Actividades

Calcula la pendiente de una recta.

Determina dos puntos y la pendiente de una recta. Analiza procedimientos.

Determina puntos que cumplan con determinadas condiciones.

Determinar la ecuacin de una recta, dados dos parmetros (dos puntos, o un punto y la pendiente). (P)

Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecua-cin escrita en sus diferentes formas. (P)

Graficar una recta, dada su ecuacin en sus diferentes formas. (P)


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19

Caso2.Se co no cen dos pun tos. Cuan do se co no cen dos pun tos que perte ne cen a la rec ta, pri me ro se ha lla su pen dien te me dian te la ex pre sin

m

Lue go, se rem pla zan m y las coor de na das de cual quie ra de los pun tos cono ci dos en la ex pre sin y mx b, y se pro ce de co mo en el ca so an te rior.

En con trar la ecua cin ex pl ci ta de la rec ta que pa sa por el pun to (3, 2)y cu ya pen dien te es m 2.

So lu cinDa do que m 2 y (x, y) (3, 2) al rem pla zar los va lo res co no ci dosen la ex pre sin y mx b se ob tie ne: y m x b 2 2 (3) bLue go, b 4Por lo tan to, la ecua cin pe di da es y 2x 4.

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (4, 2) y (5, 4).

So lu cinSe determina la pendiente de la recta segn la frmula.

m 4 (2)

5 4 2

1 2

Luego, se toma la pendiente y la coordenada de cualquiera de los puntos conocidos.

m 2 y (x, y) (4, 2)

Se remplaza en: y m x b 2 2 4 b 2 8 b b 6As, la ecuacin pedida es y 2x 6.

1.In di ca la pen dien te y el in ter cep to con el eje y de ca da una de las si guien tes rec tas.

a. y 3x 5 e. 2x 6 3y

b. 5x y 2 f. 5x 4y 6

c. 3x y 4 g. 9x 8y 2

d. 9x y 6 h. 4x 6y 3

2.En cuentra la ecua cin ex pl ci ta de la rec ta que tiene el pun to y la pen dien te in di ca dos.

a. Pun to(1, 4), pen dien te 2.

b. Pun to (3, 2), pen dien te 3.

c. Pun to (5, 6), pen dien te 0.

d. Pun to (1, 2), pen dien te 4.

e. Pun to (3, 1), pen dien te 2.

Ejemplo

Ejemplo

Actividades

Determina la pendiente y la intercepcin con el eje y. Escribe la ecuacin explcita de la recta.

Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por (3, 5) y tiene como pendiente m = 4.

Leccin

Escribe las ecuaciones de las rectas conocidos los siguientes datos:

a. m = 3; b = 8

b. m = 4; b = 3

c. m = 2; A(3, 4)

Trabajo individual

y2 y1 ______ x2 x1

.

y2 y1 ______ x2 x1

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20

Expresar la ecuacin y 47 x

52 en forma general.

SolucinSe multiplica ambos miembros de la igualdad por el m. c. m. (7, 2) 14.

14y 14 47 x 52 y 8x 35

Luego, 8x 14y 35 0 es la forma general de la ecuacin dada.

Si la ecua cin de una rec ta es t da da en for ma ex pl ci ta, bas ta rea li zar al gu nas ope ra cio nes al ge brai cas pa ra ob te ner la for ma ge ne ral.

De igual forma, a partir de la ecuacin general de una recta, es posible obtener la ecuacin explcita.

La ecua cin ge ne ral de la rec ta es t da da de la for ma

Ax By C 0 don de A, B, C .

Ejemplo

Indiquen la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas.

a. 6x + 2y 3 = 0

b. 2x + y + 5 = 0

c. 3x + y 8 = 0

d. 4x 8y + 10 = 0

Trabajo cooperativo

3.Es cri be las coor de na das de dos pun tos que per tenez can a la gr fi ca de ca da rec ta. Lue go, en cuentra la ecua cin ex pl ci ta de la rec ta.

a. 5

4

6

4 5 6 7-1 1 3

x

y

2

1

2

7

-1

3

c.

-4

3

4

-3

4 5 6 7-1 1 3

x

y

2

1

2

-2

-1

b. 5

4

6

-5 -4 -3 -2 -1 1-6

x

y

2

1

-7

7

-1

3

d. 5

3

4

6

4 5 6 7-1 1 3

x

y

2

1

2

7

-1

4.Es cri be V en ca da afir ma cin si es ver da de ra, o F si es fal sa. Jus ti fi ca la res pues ta.

a. La ecua cin ex pl ci ta de la rec ta que pa sa por los pun tos (1, 2) y (2, 3) es y x 2.

b. La rec ta cu ya ecua cin es 3x y 2 con tie ne el pun to (0, 2) y su pen dien te es 3.

c. La ecua cin de una rec ta cu ya pen dien te es in defi ni da es x 6.

d. La ecua cin x 5 co rres pon de a una rec ta cu ya inter sec cin con el eje y es 5 y su pen dien te es nu la.

e. La recta que pasa por los puntos (1, 1) y (4, 4) tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos (7, 7) y (10, 10).

f. La ecua cin de la recta y 3x 5 co rta el eje y en 5.

g. La expresin y 3 __ 4 x 1 __ 5 co rres pon de a una

rec ta cu ya pendiente es 1 __ 5 .

Analiza el valor de verdad de proposiciones.

ecuacin general de la recta

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21

Expresar la ecuacin 5x 3y 4 0 en forma explcita. Luego, determinar la pendiente y el punto de corte con el eje y.

Solucin

Al despejar y en la ecuacin dada, se obtiene: y 5x3

43

Por lo tanto, m 53 y el punto de corte con el eje y es 0, 43 .

1.Ha lla la ecua cin, en for ma ex pl ci ta, de las rec tas que pa san por los pun tos que se mues tran a con tinua cin. Lue go, es crbelas en for ma ge ne ral.

a.

3

2

4

6-2 -1 21 3 5

x

y

-2

-14

5

6

1

c.

-6

-7

-5

-3 -2 -1 21 3 5

x

y

-2

-14

-4

-3

1

b . d.

e.

-6

-7

-3 -2 21-6 -4

x

y

-2

-1-5

-4

-3

1

-5

-1

f.

3

2

4

6-2 -1 21 3 5

x

y

-2

-14

-4

-3

1

2.Escribe cada ecuacin en su forma general.

a. 9 x y f. 12x 3y 8

b. 3x 4 y g. y 5x 2

c. 2y 5x 1 h. 3x y 2x 1

d. 3x 2y 43 i. 4x 2y 3x 6

e. 95 x 3

y6 j.

53 x 2

13 x 4y

Ejemplo

3

2

4

6-2 -1 21 3 5

x

y

-2

-14

5

6

1

-6

-7

-5

-3 -2 -1 21-6 -4

x

y

-2

-1-5

-4

-3

1

Actividades

ecuacin paramtrica de la rectaLos cortes con los ejes (abscisa y ordenada en el origen) permiten determinar la ecuacin de la recta conocida como forma simtrica o cannica, que se utiliza para resolver problemas que involucren datos con los ejes, como reas, permetros, etc.

La pendiente de esta recta es:

m = b 0 _____0 a

= b __a

Remplazndola en la ecuacin explcita obtenida anteriormente, se tiene:

y = (b __a ) (x a) ay = bx + abbx + ay = ab ( ab) bx ___

ab + ay ___

ab = ab ___

ab x __ a +

y __

b = 1

x

y

(0; b)

(a; 0)

Cortes con los ejes

Observa en el grfico los cortes con los ejes de una recta.

Escribe la ecuacin de la recta en forma explcita.

Determina la forma general de la recta.

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22

1. Determinar la ecuacin de la recta en su forma simtrica, sabiendo que su ecuacin general es 3x + 2y 6 = 0.

Primero, se pasa el trmino independiente al otro lado del signo igual. 3x + 2y = 6 Luego, se divide toda la ecuacin para el valor del trmino independiente.

3x ___ 6 + 2y ___ 6 =

6 __ 6

Finalmente, se simplifica cada trmino.

Solucin La ecuacin simtrica es: x __ 2 +

y __ 3 = 1

2. La recta 5x 3y + 15 = 0 determina un tringulo con los ejes coordenados. Calcular el rea del tringulo.

Primero, se pasa la ecuacin de la recta de la forma general a la forma simtrica.

5x 3y = 15 5x ____ 15 3y ____ 15 = 1

x ___ 3 + y __ 5 = 1

Luego, se realiza un grfico.

El valor absoluto de a es la base del tringulo (3) y el valor absoluto de b es la altura del tringulo (5).

A = b h ____ 2 = a b ____ 2

A = 3 5 ____ 2 = 7,5

5

3 x

y

Ejemplos

Da das dos rec tas di fe ren tes en el pla no, se pue den pre sen tar tres ca sos: las rec tas son pa ra le las, las rec tas son per pen di cu la res o las rec tas son se can tes.

Caso1. Dos rec tas son pa ra le las si y so lo si sus pen dien tes son igua les.

Por ejem plo, las rec tas l1: y 3x 1, l2: y 3x 2 son pa ra le las (figura 4), pues se ob ser va que sus pen dien tes son igua les.

m1 3 y m2 3

m1 m2

Caso2. Dos rec tas son per pen di cu la res si y so lo si el pro duc to de sus pen dien tes es igual a 1.

As, la pen dien te de la rec ta y 23

x 1 es m1 23

y la pen dien te de la rec ta y 32

x 1 es m2 32 , es de cir,

m1 m2 23

32

1,

lue go las rec tas son per pen di cu la res (figura 5).

posicin relativa de dos rectas en el plano

Figura 4.

3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

y 3x 1

y 3x 2

m1 3

m2 3

Figura 5.

3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

-5

1

4

-1

y x 132

y - x 123

Figura 6.

3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

-5

1

4

-1

y 2x 1y 2x 1

Solucin El rea es: 7,5 u2

Calcular la pendiente de una recta si se conoce su posicin relativa (paralela o perpendi-cular) respecto a otra recta y la pendiente de esta. (C, P)

Determinar la relacin entre dos rectas a partir de la com-paracin de sus pendientes respectivas (rectas paralelas, perpendiculares, oblicuas). (P)


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23

1.Determina la posicin relativa de cada par de rectas. Luego, grafcalas en el plano cartesiano.

a. {5x 3y 0 g. { y 6x 4 3x 2y 0 2y 5 12xb. {2x y 3 h. { 5y 3 10x y 2x 6 2y x 0c. {15x 3y 9 i. { 9x 3y 4 x 5y 5x y 6d. {9x 18 6y j. { 5 x 5x 6 3y y 3e. {4x 2y 5 k. { 4y 3x 8 2x y 3 3y 4x 3f. {

12 x

12 y 1 l. { y

16 x 1

3x 2y 8 y 6x 2 0

2.En cada caso, encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto A, que sea paralela a la recta representada en el plano.

a.

3

2

4

6-2 -1 21 3 5

x

y

-2

-14

5

6

1

A (3 ,2)

b.

3

2

4

6-2 -1 21 3 5

x

y

-2

-14

5

6

1

A (1 ,3)

c. 3

2

4

6-2 -1 21 3 5

x

y

-2

-14

-4

-3

1A (1 ,1)

d.

3.Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta dada.

a. y 9x 6 Punto (0, 0)

b. y 8x 2 Punto (1, 1)

c. 5x y 1 Punto (2, 3)

d. 4x 2y 6 Punto (4, 1)

e. 13 x

13 y 6 Punto (3, 0)

f. 15 x

25 y 10 Punto (0, 4)

g. 1 3y x Punto (3, 6)

h. y 5 Punto (1, 2)

i. x 2 Punto (4, 3)

4.Escribe V si la afirmacin es verdadera o F si es falsa. Justifica tu respuesta.

Sean l y s dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2, respectivamente.

a. Si l y s son paralelas, entonces sus pendientes cumplen: m1 m2 2m1

b. Si l y s son perpendiculares: m1 1 ___ m2

c. Si l es secante a s puede cumplir: m1 5m2

d. Si l y s son paralelas, se cumple: m1 m2 0

e. Si l tiene pendiente m 13, entonces una recta

perpendicular a ella debe tener pendiente positiva.

Caso3. Dos rec tas que se cor tan en un ni co pun to sin for mar n gu lo rec to son se can tes.

Por ejem plo, las rec tas y 2x 1 y y 2x 1 no son ni pa ra le las, ni per pen di cu la res y se cor tan en el pun to (0, 1), por lo tan to, son se can tes (figura 6).

Actividades

3

2

4

-3 -2 -1 21 3-4

x

y

-2

-1-5

5

-3

1

A (0 ,2)

Identifica rectas paralelas y perpendiculares.

Determina ecuaciones de rectas paralelas.

Determina ecuaciones de rectas perpendiculares.

Analiza el valor de verdad de proposiciones.

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1.fsica. La interaccin gravitacional es una de las fuerzas bsicas de la naturaleza. La Tierra ejerce atraccin gravitacional sobre los objetos que se encuentran a su alrededor, esta es la razn por la cual los objetos que se encuentran prximos a su superficie, caen hacia ella.

La fuerza que aplica la Tierra sobre un cuerpo se denomina peso.

Aunque el peso y la masa estn muy relacionados, son conceptos diferentes. La masa de un cuerpo es siempre la misma, mientras que el peso de un cuerpo en la Luna es la sexta parte de su peso en la Tierra.

En la Tierra, la relacin entre el peso y la masa est bien definida: el peso de un cuerpo equivale a 10 veces su masa.

a. Escribe una funcin que relacione el peso de un cuerpo con el de su masa.

b. Es esta una funcin lineal? Por qu?

c. Completa la tabla de valores para la funcin.

Masa (kg) 10 15 20 25 30 35 40 50

Peso (N)

d. Dibuja la grfica.

2.fsica. Un pndulo se construye con una pesa y una cuerda. Cuando se suspende la pesa de la cuerda y se deja quieta, la cuerda permanece vertical; en este caso se dice que la pesa est en la posicin de equilibrio. Si con la cuerda tensa, se aleja la pesa de su posicin de equilibrio y se suelta, la pesa realiza un movimiento de vaivn. A uno solo de los movimientos de ida y regreso a la posicin desde la cual se solt, se le denomina oscilacin.

Peso (N)

Masa (kg)5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Problemas de ampliacin

24

BECU_M1_B1_P06_61.indd 24 4/22/14 11:50 AM

En una experiencia realizada con un pndulo, se tomaron los siguientes datos:

Nmero de oscilaciones, N Tiempo, t (s)

5 2,5

10 5,0

15 7,5

20 10,0

25 12,5

a. Representa grficamente los anteriores datos.

Nmero de osc i lac iones , N5 10 15 20 25

16

14

12

10

8

6

4

2

15

13

11

9

7

5

3

1

T iempo t ( segundos)

b. Encuentra la pendiente de la recta obtenida.

c. Escribe en forma explcita la ecuacin de dicha recta.

3.Contesta.

a. La cantidad de caloras que necesita una persona para mantenerse diariamente es menor cuando aumenta la temperatura. Por cada grado centgrado de aumento en la temperatura ambiente, un adulto necesita 30 caloras menos.

Determina la funcin que hace corresponder a cada temperatura la cantidad de caloras necesarias, partiendo de que, a una temperatura de 0C, la persona necesita 3 600 caloras.

b. La funcin que relaciona la temperatura en grados Farenheit TF con la temperatura en grados Celcius TC tiene grfica lineal.

Una temperatura de 0C equivale a 32F, la temperatura de 50C corresponde a 112F. Encuentra la funcin lineal que muestra la temperatura en grados Farenheit en funcin de los grados Celsius.

4.Contesta.

a. Si p es un punto del plano cartesiano tal que P : (5, 3k 7), determina el valor de k para que pertenezca al eje de las abscisas.

b. Considera un cuadriltero ABCD cuyos vrtices son A(1, 2), B(2, 3), C(1, 1), D(2, 0). Demuestra qu es un paralelogramo usando el concepto de pendiente.

5.Observa el tringulo.

a. Determina la ecuacin de la recta que contiene al segmento

___AB.

b. Determina la ecuacin de la recta que contiene al segmento

__BC.

c. Determina la ecuacin de la recta que contiene al segmento

__AC.

d. La altura de un tringulo es el segmento que se traza perpendicularmente desde uno de los vrtices hasta su respectivo lado opuesto. Halla la ecuacin de la recta que contenga una de las alturas del tringulo.

e. Traza en el cuaderno las alturas del tringulo de la figura.

f. Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto B y es perpendicular al segmento AC.

Responde Cmo se denomina esta recta?

y

x

A

B

C

25

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26

Sistemas de ecuaciones lineales

To da igual dad de la for ma ax by c don de a, b es una ecua cin li neal con dos in cg ni tas.

Ca da pa re ja or de na da de n me ros rea les que sa tis fa ce es ta ecua cin es una so lu cin de ella.

Por ejem plo, pa ra en con trar las so lu cio nes de la ecua cin y 3x 2, se des pe ja y, y lue go se asig nan va lo res ar bi tra rios a x.

De es ta for ma, dan do va lo res a x, se pue den ob te ner in fi ni tos va lo res pa ra y. As, se di ce que la ecua cin li neal y 3x 2 es una ecua cin indeterminada.

Un con jun to for ma do por dos o ms ecua cio nes li nea les es lla ma do sistemadeecuacioneslineales o sistemadeecuacionessimultneas.

Por ejem plo, el con jun to

3x y 7 2x y 8Es un sistema2 2, pues es t for ma do por dos ecua cio nes con dos in cg ni tas.

La so lu cin de es te sis te ma es la pa re ja (3, 2) ya que sa tis fa ce las dos ecuacio nes si mul t nea men te.

El con jun to:

3x 2y 3z 16 x 3y 6z 23 5x 4y 2z 9

es un sistema33, pues es t for ma do por tres ecua cio nes con tres in cgni tas. La so lu cin de es te sis te ma es t da da por la ter na (1, 2, 3).

To da ecua cin li neal con dos in cg ni tas es una ecua cin in de ter mi na da.

1.Determina cules de los siguientes conjuntos de ecuaciones son sistemas de ecuaciones lineales.

a. {x 2y 5 d. {x y z 6 x 3y y x 2

b. {x 2 y e. { x 7 2y y x 5 x y 4

c. { x y 2 f. {x 2 y 4 xy 3 x y 2

2.Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando ambos tienen la misma solucin. Utiliza la solucin dada para determinar si los sistemas de ecuaciones son equivalentes o no.

a. {x 3 y { 2x 2y 6 2x y 6 2x y 6 4x

Solucin x 3, y 0

b. {x 4 1 { x y 12 y x 2 x 3 0

Solucin x 3, y 5

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de forma grfica y analtica. (P)

Identificar la interseccin de dos rectas con la igualdad de las imgenes de dos nmeros respecto de dos funciones lineales. (C)


De las siguientes ecuaciones, indica las que son lineales y explica por qu.

a. x2 + 3x y = 0

b. x + 2y z = 0

c. 3x 5y + 6 = 0

d. xy + y 3x = 0


Actividades

Identifica sistema de ecuaciones lineales. Determina sistemas de ecuaciones lineales equivalentes.

Qu son sistemas de ecuaciones lineales equivalentes?

Investiga

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27

Un sis te ma de ecua cio nes li nea les pue de te ner una so lu cin, in fi ni tas so lu cio nes o nin gu na so lu cin.

Pa ra de ter mi nar la so lu cin o so lu cio nes de un sis te ma 2 2 se em plean m to dos ta les co mo: el m to do gr fi co, el m to do de sus ti tucin, el m to do de igua la cin, el m to do de re duc cin y el m to do por de ter mi nan tes.

M to do gr fi co

Es te m to do con sis te en gra fi car las rec tas que co rres pon den a las ecua cio nes que for man el sis te ma, pa ra de ter mi nar las coor de na das del pun to (x, y) en el que se cor tan di chas rec tas.

Cuan do se uti li za el m to do gr fi co pa ra re sol ver un sis te ma 2 2, se pre sen tan tres ca sos:

Caso1.Las rec tas se cor tan en un so lo pun to (x, y). Es to sig ni fi ca que el sis te ma tie ne una ni ca so lu cin, da da por los va lo res x, y que son coor de na das del pun to de cor te.

Caso2.Las rec tas coin ci den en to dos sus pun tos. Por lo tan to, el sis tema tie ne in fi ni tas so lu cio nes, es de cir, es in de ter mi na do.

Caso3.Las rec tas son pa ra le las, no tie nen pun tos en co mn. Es de cir, el sis te ma no tie ne so lu cin.

mtodos de solucin de sistemas 2 2

En con trar la so lu cin de los si guien tes sis te mas de ecua cio nes li nea les, por m to do gr fi co.

a. {y 3x 1 b. { y 3x 2 c. { x 2y 1 y x 3 y 3x 4 2x 4y 2

So lu cin

Al gra fi car las rec tas de ca da sis te ma en un pla no car te sia no, se ob tie ne:

c. {x y 8 { 2x y 4 2x 3y 4 5x y 24

Solucin x 4, y 4

d. {x y {5x 5y 0 2x y 3 3x y 1

Solucin x 1, y 1

e. {3x 11y 5 { 2x 12y 6 2x 4y 1 3x y 9

Solucin x 0, y 1

f. {x y 1 { 3x 4y 15 x y 1 2x y 5

Solucin x 1, y 3

Ejemplo

Resuelve los siguientes sistemas mediante el mtodo grfico.

a. x 3y 6 = 0

2x 6y 4 = 0

b. 3x 4y + 12 = 0

5x + 10y 15 = 0

Tarea

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28

a. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

y x 3

y 3x 1 b.3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

y 3x 2

y 3x 4

c.3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

x 2y 2

2x 4y 2

Una so lu cin (1, 4) Nin gu na so lu cin In fi ni tas so lu cio nes

1.Indica qu tipo de solucin tiene cada sistema de ecuaciones de acuerdo con su representacin.

a.

3

2

6 721 3 5

x

y

-2

-14

5

6

1

4

-1

d. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

b.

3

2

6 721 3 5

x

y

-2

-14

5

6

1

4

-1

e. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-1-5

-4

-3

1

4

-1

c.

3

2

6-2 21 3 5

x

y

-2

-14

5

6

1

4

-1

f. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-1-5

-4

-3

1

4

-1

2.Resuelve grficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.

a. {x y 5 b. { 2x y 9 2x y 4 3x y 1c. {4x y 5 d. { x 2y 3 2x y 7 3x y 2e. {x y 2 f. { x y 8 x y 8 2x 16 2y

g. {2x 3y 6 h. { x y 2x 3y 6 x y 43.Escribe el sistema de ecuaciones que corresponde

a cada grfico.

a. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

c. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

b. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

d. 3

2

-3 -2 21 3-4

x

y

-2

-14

-4

-3

1

4

-1

4.sociales. En economa se denomina punto de equi-librio a aquel en el que coinciden la oferta y la demanda de un producto determinado.

Las ecuaciones que dan la oferta y la demanda sobre cierto producto son:

Oferta: y 3x 10 Demanda y 2x 50

donde x es el precio en dlares y y la cantidad de productos.

Halla grficamente el punto de equilibrio para este producto.

Actividades

Determina el tipo de solucin de un sistema de ecuaciones lineales.

Determina grficamente la solucin de un sistema lineal.

Resuelve problemas.

Determina las ecuaciones que representan un sistema lineal.

Cmo se determina algebraicamente que un sistema de ecuaciones tiene una solucin, infinitas soluciones o ninguna solucin?

Investiga

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29

Resolver por el mtodo de sustitucin el sistema de ecuaciones lineales.

{3x 2y 11 1 2x 2y 8 2

SolucinEn la ecuacin 1 se despeja la variable x.

3x 2y 11

3x 11 2y

x 11 2y

3

Luego, se remplaza dicho valor en la ecuacin 2 y se despeja la variable y.

2(11 + 2y ______ 3 ) + 2y = 8 22 ___ 3

4y ___ 3 + 2y = 8

4y ___ 3 + 2y = 8 + 22 ___ 3

4y + 6y ________ 3 = 24 + 22 ________ 3

2y = 2

y = 1

El valor encontrado se remplaza en la ecuacin 1 y luego se despeja x.

3x 2y 11

3x (2) (1) 11

3x 2 11

x 11 23

9

3

As, la solucin del sistema es la pareja ordenada

(3, 1).

Solucin por mtodo de sustitucin

Pa ra re sol ver un sis te ma de ecua cio nes li nea les por el m to do de sus titu cin, se des pe ja una de las va ria bles en cual quie ra de las ecua cio nes da das. Lue go se rem pla za di cho va lor en la otra ecua cin y se des pe ja nue va men te la otra va ria ble. Es te va lor se sustituye en cual quie ra de las ecua cio nes del sis te ma pa ra ha llar la va ria ble ini cial.

Ejemplo

x 3

Resuelve el sistema.

3x y = 2

x + y = 5

Leccin

Determina la solucin de los sistemas.

a. x + y = 10

2x + 2y = 20

b. 5x + y = 2

x + 2y = 1

Tarea

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30

Resolver por el mtodo de igualacin el sistema de ecuaciones lineales.

{4x y 2 3x 5y 10SolucinSe despeja la variable x en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas. 4x y 2 3x 5y 10 4x 2 y 3x 10 5y

x 2 y4

x 10 5y3

2 y4

10 5y3

Solucin por mtodo de igualacin

Pa ra re sol ver un sis te ma de ecua cio nes li nea les por el m to do de igua lacin, se des pe ja la mis ma va ria ble en las dos ecua cio nes da das. Lue go se igua lan las ex pre sio nes ob te ni das y se des pe ja la otra va ria ble. Es te va lor se sustituye en cual quie ra de las ecua cio nes del sis te ma pa ra en con trar el va lor fal tan te.

Ejemplo

Actividades

1.Re suelve los si guien tes sis te mas de ecua cio nes li neales por el m to do de sus ti tu cin.

a. {3x 5y 0 f. {m 8 n 2 x 2y 1 n 4 m 2b. {2m n 9 g. {w t 12 m n 3 2w t 9c. {3w z 1 h. {2s t 4 2w z 9 3s t 11d. {2n z 1 i. {8x 3y 7 5n 2z 1 8y 3x 18e. {x 1 2(y 6) j. {10a 3b 36 x 6 3(1 2y) 2a 5b 4

2.Encuentra el error cometido en la solucin de cada sistema de ecuaciones.

a. {x y 1 x 2y 0 x y 1 x 2y 0

x 1 y x 2 13

0

1 y 2y 0 x 23

0

3y 1

b. { x 9 2y y 2x 1 x 9 2y y 2x 1

x 2y 9 y 2(2y 9) 1

y 4y 18 1

3y 1 18

y 173

x 2 __ 3 y = 1 __ 3

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo de igualacin.

a. 4x 5y = 10

3x 2y = 6

b. x + 4y = 5

2x + y = 2

Trabajo individual

Determina la solucin de un sistema mediante el mtodo de igualacin. Analiza el valor de verdad de proposicin.

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31

1.Re suelve por el m to do de igua la cin los si guien tes sis te mas de ecua cio nes.

a. {4x y 0 f. {3a 11b 5 4x y 2 2a 4b 1b. {m 3n 6 g. {p 2q 3 5m 2n 13 3p 6q 4c. {2z t 1 h. {30 (8 x) 2y 30 3z 2t 2 5x 29 x (5 4y)d. {m n 5 i. {6v 2w 2 m n 25 4v 2w 18e.

y __ 2 x __ 3 = 2

x __ 3 y __ 4 = 1

2.Es cri be V si la afir ma cin es ver da de ra o F si es fal sa.

a. Al re sol ver el sis te ma de ecua cio nes

{5x 10 x y 10 por el m to do de igua la cin, pri me ro se en cuen tra el va lor de la va ria ble y.

b. El sis te ma de ecua cio nes

{x y 5 x 5 y no tie ne so lu cin.

c. Al des pe jar la x en las dos ecua cio nes del sis te ma

{x 2y 3 x y 0 y lue go igua lar las, se ob tie ne la ex pre sin: 3 2y y

6 3y12

40 20y

12

Se despeja y en la ecuacin resultante. 6 3y 40 20y 3y 20y 40 6 23y 46

y 4623

y 2

Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

4x y 2

4x (2) 2

4x 2 2

4x 2 2

4x 0

x 0

La solucin del sistema es la pareja (0, 2).

Determina la solucin de un sistema mediante el mtodo de igualacin. Analiza el valor de verdad de proposicin.

Actividades

Resuelvan los sistemas de ecuaciones lineales.

a. 3x + 2y = 1

x + 2y = 1

b. 2x y = 5

3x + 4y = 2

Trabajo cooperativo

j. w 4 _____ 2 + t + 2 ____ 5 = 3

w 3 _____ 3 t + 4 ____ 4 = 0

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32

Cuan do se re suel ve un sis te ma por m to do de re duc cin, al trans for mar las dos ecua cio nes en una so la se pre sen tan dos ca sos es pe cia les.

Caso1.Se ob tie ne la ex pre sin 0 cons tan te (di fe ren te de ce ro). En es te ca so, el sis te ma no tie ne so lu cin y se de no mi na inconsistente.

Caso2.Se ob tie ne la ex pre sin 0 0. Esto sig ni fi ca que el sis te ma tie ne in fi ni tas so lu cio nes y es lla ma do dependienteoindeterminado.

Solucin por mtodo de reduccin

En la so lu cin de un sis te ma de ecua cio nes por el m to do de reduccin, se re du cen las dos ecua cio nes del sis te ma a una so la su mn do las. Pa ra es to, es ne ce sa rio am pli fi car con ve nien te men te una de las dos, de mo do que los coe fi cien tes en una de las va ria bles sean opues tos. Al su mar las ecua cio nes trans for ma das, la va ria ble se eli mi na y es po si ble des pe jar la otra. Lue go se pro ce de co mo en los m to dos an te rio res.

Resolver por el mtodo de reduccin el sistema de ecuaciones lineales.

{4x 3y 2 3x 2y 1SolucinAl multiplicar por 3 la ecuacin 1 y por 4 la ecuacin 2 y smalas miembro a miebro, se puede cancelar la variable x.

{ 4x 3y 2 (por 3) 3x 2y 1 (por 4) (3) 1 + 2 (4)

12x 9y 6 12x 8y 4

y 2

Posteriormente, dicho valor de y se remplaza en cualquiera de las dos ecuaciones lineales y se despeja la variable x.

y en 1

4x 3 2 2 4x 6 2

4x 2 6

4x 4

x 44 1

x 1

El conjunto solucin es (1, 2).

Ejemplo

Resuelve el problema.

Se donarn 60 ctvs. por cada entrada de mayores y 40 ctvs. por cada una de nios. Si asistieron 250 personas y la donacin fue de $ 128, calcula cuntas entradas de mayores y cuntas de nios se vendieron.

Tarea

Resuelve los sistemas lineales.

a. 4x + 5y = 15

3x + 2y = 6

b. x + y = 6

2x + 2y = 8

Leccin

12

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33

1.Escribe el nmero por el cual debe ser multiplicada la ecuacin para eliminar la variable x al sumar las ecuaciones y resuelve los sistemas.

a. {2x 12y 6 3x y 9 b. {x y 12 y 2x 9 c. {2y 5x 29 2x 5y 29 d. {x 3y 2 3x y 9 e. {x 2y 3 3x 6y 4

2.Resuelve por el mtodo de reduccin las siguientes ecuaciones. Luego, comprueba la solucin obtenida en cada caso.

a. {6x 4y 12 e. {2a b 4 3x y 9 3a b 11b. {m 2n 4 f. {x 2y 5 2m 3n 1 4x 6y 6c. {3w 2z 7 g. {2m 4n 10 2w z 14 2m 3n 3d. {3p 11q 5 h. {r 3t 7 3p 4q 1 r t 3

3.Un sistema de la forma

no es un sistema lineal, pero puede transformarse en un sistema lineal con el cambio de variables.

u 1x, v 1

y, quedando

{u 2v 1 5v 2u 1 Al resolver este sistema se obtiene que,

u 13 y v 1

3 Cambiando nuevamente u y v por las expresiones

se tiene,

1x

13

y 1y

13

Despejando x 3 y y 3.

El conjunto solucin es (3, 3)

Resuelve los siguientes sistemas siguiendo el proceso anterior y utilizando el mtodo de reduccin.

So lu cin por el m to do de de ter mi nan tes

Un determinante es un n me ro aso cia do a un arre glo de n me ros reales en igual can ti dad de fi las y de co lum nas.

Por ejem plo, la no ta cin.

| a b |c dco rres pon de a la de ter mi nan te 2 2 o de or den dos, aso cia do a un arreglo de dos fi las y dos co lum nas.

En es ta de ter mi nan te, a y d for man la diagonalprincipal y c y b for man la diagonalsecundaria.

Actividades

1 __ x 2 __ y = 1

5 __ y + 2 __ x = 1

a. 1 __ x + 1 __ y = 5

3 __ x 4 __ y = 6

b. 2 __ x 1 __ y = 13

8 __ y 5 __ x = 49

Elementos de una determinante 2 2.

Toma en cuenta

a

c d

b f i la

columna

a

c d

b

diagonalsecundar ia

diagonalpr inc ipal

Iguala coeficientes de ecuaciones.

Resuelve sistemas lineales.

Resuelve sistemas lineales mediante un cambio de variable.

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34

Es po si ble re sol ver un sis te ma de ecua cio nes li nea les uti li zan do de ter minan tes, me dian te un m to do de no mi na do RegladeCramer. Es te m todo se re su me de la si guien te for ma.

Sea ax by c un sis te ma de ecua cio nes dx ey fSe cum ple que:

De ter mi nan te De ter mi nan te del sis te ma del sis te ma

Pa ra cal cu lar el va lor de un de ter mi nan te 2 2, al pro duc to de los n me ros de la dia go nal prin ci pal se le res ta el pro duc to de los n me ros en la dia go nal se cun da ria.

| a b | ad bc c dEvaluar los siguientes determinantes:

a. 3 2

6 9 b.

5 12

1 0

Solucin

a. 3 2

6 9

3(9) 2(6) 27 12 15

b. 5 1

2 5(0) 12(1) 0

12

12

Resolver mediante la Regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{3x 4y 5 x 9y 2Solucin Se organizan las determinantes necesarios y se resuelven.

x

c b

f e ce bfae bd

a b

d e

y

a c

d f af cdae bd

a b

d e

Ejemplo

Ejemplo

Historia de la Matemticas

Cardan, en Ars Magna (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales que llama regla de modo. Esta regla corresponde en esencia a la conocida Regla de Cramer para la resolucin de un sistema 2 2.

Sabas que...

1 0

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35

Luego, la solucin del sistema es 3723 ,

123

x

5 4

2 9 (45) (8)27 4

3723

y

3 5

1 2 6 5

27 4

123

En el pro ce so de re so lu cin de pro ble mas se de ben rea li zar los si guientes pa sos.Paso1.Com pren der el pro ble ma:

Leer con aten cin el pro ble ma, pri me ro en for ma ge ne ral y lue go parte por par te.

resolucin de proBlemas

3 4

1 9

3 4

1 9

1.Halla el valor de cada determinante.

a. 1 2

4 5

f.

b.

g.

c.

h.

d.

i.

e.

2.Resuelve cada sistema de ecuaciones por la Regla de Cramer.

a. {x 5y 8 b. {3a 2b 13 7x 8y 25 2a 4b 3

3.Plantea un sistema de ecuaciones que corresponda a cada determinante.

a. c.

b. d.

c. f.

d. g.

e. {3w z 1 h. w 3z 1

6 3

8 6

1 3

2 4

4 2

3 5

12 3

4 5

25 3

4

16 7

2

13 2

3

75 3

4

j.

65m 2

3n 4

34

m 56n 2

23q 1 p

5p2

q 212

23w 4z 1

14

w 3z 2

43x 2y 12

3x 4y5

27

4 3

2 8

13 4

2 54

8 2

5 1

23 1

3

23 1

Actividades

Calcula un determinante.

Resuelve sistemas lineales mediante Cramer.

Forma sistemas lineales.

3 5

6 9

14 1

6

13 4

3

4 1

2 8

{2a b 3 3a 2b 2

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36

Rea li zar un di bu jo, es que ma o ta bla que fa ci li te la com pren sin del pro ble ma.

Iden ti fi car los da tos ne ce sa rios pa ra apli car la me jor es tra te gia a uti li zar.

Paso2.Pla near la so lu cin:

Ade cuar un plan de tra ba jo que per mi ta an ti ci par una res pues ta ra zo na ble.

Es co ger las ope ra cio nes a rea li zar.

Paso3.De sa rro llar el plan:

Re sol ver las ope ra cio nes en el or den es ta ble ci do.

Ve ri fi car si to das las pre gun tas han si do re suel tas.

Paso4. Re vi sar y re fle xio nar so bre la so lu cin:

Ve ri fi car si la so lu cin en con tra da es v li da.

Re fle xio nar so bre el pro ce so se gui do pa ra ha llar la so lu cin.

Ana li zar si exis ten otras ma ne ras de so lu cio nar el pro ble ma.

Re sol ver el pro ble ma. La su ma de las ci fras de un n me ro es 7. Si al n me ro se le res ta 9, las ci fras se in vier ten. Ha llar el n me ro.

Solucin

Una vez rea li za da la lec tu ra aten ta, se de ter mi nan las in cg ni tas.

x: ci fra de las de ce nas. y: ci fra de las uni da des.

Se plan tean dos ecua cio nes, se gn las con di cio nes del pro ble ma.

{ x y 7 10x y 9 10y x Se re suel ve el sis te ma por cual quier m to do. En es te ca so se ha ele gi doel m to do de re duc cin.

{x y 7 (9) 9x 9y 9 Pa ra su mar las dos ecua cio nes se ha trans for ma do la pri me ra ecua cin.

9x 9y 63 9x 9y 9

18x 72

x 7218 4

Si x 4 se tie ne que y 3. Por tan to, el n me ro pe di do es 43.

Se ve ri fi ca la so lu cin de acuer do con las con di cio nes da das en el pro ble ma. 4 3 7 y 43 9 34

Ejemplo

Escribe en smbolos las siguientes frases.

El doble de un nmero.

El triple de un cuadrado de un nmero.

Trabajo individual

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37

1.Escribe cada enunciado en lenguaje algebraico utilizando letras.

a. La suma de dos nmeros es 10.

b. La diferencia entre dos nmeros equivale a 12.

c. El cociente entre dos nmeros es igual a 1 __ 4 .

d. El triple de un nmero aumentado en otro nmero equivale a 9.

e. El triple de la suma de dos nmeros es 9.

f. Un tercio de la diferencia entre dos nmeros equivale a 10.

g. Si el mayor de dos nmeros se divide entre el menor, el cociente es 3 y el residuo es 1.

h. El triple de un nmero aumentado en 2 equivale al doble de otro nmero disminuido en 5.

2.sociales. Los accidentes naturales ms grandes del mundo, las grandes montaas, dejan a los edificios ms altos a un bajo nivel. La montaa ms alta de todas es el monte Everest en la cordillera del Himalaya. El aire en la cima del Everest tiene una densidad tres veces inferior que a nivel del mar.

a.

Si la suma de las alturas del monte Everest y el volcn Kilimanjaro equivale a 14 744 m, y la altura del

monte Everest es32 de la altura del Kilimanjaro au

mentada en 4 metros. Encontrar las alturas en metros del monte Everest y el volcn Kilimanjaro.

b. El Mauna Kea es un volcn de Hawai. Tiene la base en el fondo del mar. Si se midiera desde ah en lugar de medirlo desde el nivel del mar, sera 1 355 m ms alto que el monte Everest. Qu altura tiene el Mauna Kea medido desde su base?

c. El volcn ms alto del sistema solar es el monte Olimpo ubicado en Marte. Es tres veces ms alto que el Everest y nueve veces ms alto que el monte Olimpo de Grecia. Cul es la altura del monte Olimpo en Marte? Cul es la altura del monte Olimpo de Grecia?

3.Para los siguientes problemas, plantea un sistema de ecuaciones y, luego, resulvelos.

a. La suma de dos nmeros es 73 y su diferencia es 33. Halla los nmeros.

b. El permetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Halla las dimensiones de la sala.

c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de nios cuestan $81,50; 17 entradas de nios y 14 de adultos cuestan $134,50. Halla el precio de una entrada de adulto y de una de nio.

d. La edad de Antonio hace 8 aos era el triple de la edad de su hija Mara. Dentro de 4 aos la edad de Mara ser 59

de la edad de su padre.

Cul es la edad actual de Antonio y de Mara?

e. La diferencia entre dos nmeros es 17. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4. Halla los nmeros.

f. La diferencia entre dos nmeros es 4. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 1 y el residuo es 4. Halla los nmeros.

Monte Everest Volcn Kilimanjaro

Actividades

Resuelve problemas mediante sistemas lineales.

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38

Mtodos de solucin de sistemas 3 3

Un con jun to de la for ma ax by cz d ex fy gz h ix jy kz l

es un sis te ma de ecua cio nes 3 3. Es de cir, tie ne tres ecua cio nes con tres in cg ni tas.

Ca da una de las ecua cio nes que for man un sis te ma 3 3 se in ter pre ta co mo un pla no en el es pa cio tri di men sio nal.

Por ejem plo, la ecua cin 4x 5y 8z 20 se re pre sen ta co mo se muestra en la fi gu ra 7.

Por lo tan to, la so lu cin de un sis te ma de ecua cio nes 3 3, si exis te, es un pun to de la for ma (x, y, z) que re sul ta del cor te de tres pla nos di fe rentes en el es pa cio. Las coor de na das de di cho pun to sa tis fa cen las tres ecua cio nes del sis te ma si mul t nea men te.

Pa ra re sol ver un sis te ma de ecua cio nes 3 3, re sul ta prc ti co uti li zar el m to do de re duc cin, co mo se mues tra en el si guien te ejem plo.

Figura 7.

x

y

z

4x 5y 8z 20

(0, 0, 2.5)

(0, 4, 0)

(5, 0, 0)

Resolver el sistema de ecuaciones lineales con tres variables.

3x y z 7 1 2x y 2z 5 2 4x 7y 5z 1 3Solucin De manera anloga a la solucin de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, se combinan las ecuaciones 1 y 2 para cancelar la variable y.

3x y z 7 2x y 2z 5 x z 2 4Se combinan las ecuaciones 1 y 3 para cancelar la variable y.

3x y z 7 (por 7) 21x 7y 7z 49 4x 7y 5z 1 4x 7y 5z 1 25x 12z 50 5Se aplica el mtodo de reduccin con las ecuaciones 4 y 5 para cancelar z. x z 2 (por 12) 12x 12z 24 25x 12z 48 25x 12z 50 37x 74Luego,

x 7437 2.

Se remplaza en 4 o 5 para hallar el valor de z. Luego se remplazan x y z en cualquiera de las ecuaciones originales, con lo cual se obtiene la solucin (2, 1, 0).

Ejemplo

Resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables de forma analtica. (P)

Destreza con criterio de desempeo:

Comprueba si los valores de x y y son solucin del sistema.

x = 3; y = 1

2x 4y = 8

x 5y = 5


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39

1.Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 3 3.

a. x y z 6 f. 6a 3b 2c 12 x y 2z 5 9a b 4c 37 x y 3z 10 10a 5b 3c 21

b. m n r 3 g. 3x 2y 0 2m n r 2 3y 4z 25 3m 3n r 5 5x z 14

c. 2p r 14 h. m n p 11 4p q r 41 2m 2n 2p 7 3p q 5r 53 m n 3p 13

d. 3a 2b c 2 i. a 4b 5c 11 a 4b c 6 3a 2b c 5 2a 5b 7c 9 4a b 37 26

e. x2

y

2

z3 3 j.

x

6

y

3

z

6

0

2.Qu mi ca. Los qu mi cos uti li zan sm bo los pa ra repre sen tar ele men tos fr mu las pa ra com pues tos; y ecua cio nes pa ra las reac cio nes qu mi cas.

El qu mi co fran cs La voi sier fue quien plan te la prime ra ecua cin pa ra una reac cin qu mi ca, a par tir de sus es tu dios so bre la fer men ta cin del mos to de la uva. En es te pro ce so, el az car, en for ma de gluco sa, se trans for ma en al co hol et li co y di xi do de car bo no.

Es ta trans for ma cin se re pre sen ta me dian te la ecua cin: Al co hol Di xi do Glu co sa et li co de car bo no

a C6H12O6 bC2H5OH cCO2 La do iz quier do La do de re cho (reac ti vos) (pro duc tos)

La reac cin an te rior no es t ba lan cea da.

Pa ra ba lan cear una reac cin qu mi ca se uti li zan los coe fi cien tes es te quio m tri cos, que son unos n me ros (a, b, c) que se ano tan de lan te de las fr mu las y que in di can el n me ro de to mos y mo l cu las de ca da sus tan cia que in ter vie nen en di cha reac cin qu mi ca.

El pro ce so pa ra con se guir los coe fi cien tes es te quiom tri cos es el si guien te:

Se es cri be la ecua cin qu mi ca, re pre sen tan do los coe fi cien tes con le tras.

a C6H12O6 bC2H5OH cCO2

Se com prue ba el n me ro de to mos de ca da ele men to que hay en los reac ti vos y en los pro duc tos.

Reac ti vos Pro duc tos to mo de car bo no 6a 2b c to mo de hi dr ge no 12a 6b to mo de ox ge no 6a b 2c

Se es cri be una ecua cin pa ra ca da ele men to, con lo cual se for ma un sis te ma de ecua cio nes:

6a 2b c 12a 6b 6a b 2c

Se re suel ve el sis te ma de ecua cio nes asig nan do un va lor ar bi tra rio a uno de los coe fi cien tes. Por ejem plo, si a 1 en ton ces b 2 y c 2.

Se es cri ben los coe fi cien tes cal cu la dos en la ecuacin qu mi ca y es ta que da ba lan cea da.

C6H12O6 2C2H5OH 2CO2

Ba lan cea las si guien tes reac cio nes qu mi cas.

a. Hi dr ge no Ox ge no Agua H2 O2 H2O

b. Hi dr ge no Ni tr ge no Amo nia co H2 N2 NH3

c. Hie rro Ox ge no xi do f rri co Fe O2 Fe2O3

x3

y 6

z 2 5

x + y _____ 7 = y + 4 _____ 5

x + 2 _____ 10 = y z ____ 3

y 4 _____ 2 = y z ____ 5

Actividades

Resuelve sistemas lineales con tres incgnitas.

Resuelve problemas mediante sistemas lineales

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40

So lu cin de sis te mas 3 3 por el m to do de de ter mi nan tes

Una de ter mi nan te que cons ta de tres fi las y tres co lum nas, se de no mi na de ter mi nan te de ter cer or den, o de or den 3.

Pa ra de ter mi nar el va lor de una de ter mi nan te de ter cer or den, se apli ca un m to do co no ci do co mo la RegladeSarrus.

En for

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