Ley de gravitación universalSaltar a: navegación, búsqueda

Fuerzas mutua de atracción entre dos esferas de diferente tamaño. De acuerdo con la mecánica newtoniana las dos fuerzas son iguales en módulo, pero de sentido contrario; al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posición del centro de gravedad conjunto de ambas esferas.

La ley de la Gravitación Universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.Así, con todo esto resulta que la ""ley de la Gravitación Universal"" predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas y separados una distancia es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir

(1)

donde

es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.

es la constante de la Gravitación Universal.

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. El valor de esta constante de Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de

medición (véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados:

(2)

en unidades del Sistema Internacional.Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de Coulomb para las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa del cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostáticos de su carga eléctrica).Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la Relatividad General enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos (planetas, lunas, asteroides, etc) del Sistema Solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.

Contenido

1 Historia o 1.1 Trabajos de Hooke y disputa o 1.2 Relación con las Leyes de Kepler

2 Formulación general de la ley de la Gravitación Universal o 2.1 Forma vectorial o 2.2 Cuerpos extensos

3 Consecuencias o 3.1 Aceleración de la gravedad o 3.2 Preferencia del cuerpo más masivo o 3.3 Interior de un cuerpo esférico o 3.4 Interior de una corteza hueca o 3.5 Movimiento de los planetas

4 Limitaciones 5 Problemas filosóficos

o 5.1 Acción a distancia o 5.2 Masa inercial y masa gravitatoria: principio de equivalencia

6 Véase también 7 Referencias

o 7.1 Bibliografía

Historia

Trabajos de Hooke y disputa

Cuando el primer libro de los Principios de Newton fue expuesto a la Royal Society (la Real Academia de las Ciencias, de Inglaterra), el coetáneo Robert Hooke acusó a Newton de plagio por copiarle la idea de que la gravedad decaía como la inversa cuadrado de la distancia entre los centros de ambos cuerpos. Aunque esta controversia ha durado incluso hasta nuestros días, no hay datos claros sobre si realmente Newton conocía los trabajos de Hooke o no, ya que aunque ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas Hooke menciona la ley de la inversa cuadrado, algo que Newton sí hizo con otros autores a los que sí agradeció1 los trabajos anteriores en los que basó sus ideas. Frente a esta proclama de Hooke de su idea de la inversa cuadrado, Newton reiteró que dicha idea en ningún caso era exclusivamente de él, sino que fueron varios autores en aquella época que ya se dieron cuenta de una dependencia de ese tipo, como reflejó en los agradecimientos de su publicación.

Relación con las Leyes de Kepler

Las Leyes de Kepler (enunciadas por Johannes Kepler) eran una serie de tres leyes empíricas que describían el movimiento de los planetas a través de las observaciones existentes. Aunque éstas describían dichos movimientos, los motivos de por qué éstos eran así o qué los causaban permanecían desconocidas tanto para Kepler como para sus coetáneos. Sin embargo, éstas supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una formulación matemática a dichas leyes, lo cual junto con sus propios logros condujeron a la formulación de la ley de la Gravitación Universal. En especial, a través de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a la Tercera ley de Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las órbitas de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de éste (su año es más largo).

Formulación general de la ley de la Gravitación Universal

Forma vectorial

Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones , la fuerza (que será un vector ahora) vendrá dada por

(2)

donde es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

Cuerpos extensos

Se ha mencionado anteriormente que dichos cuerpos se pueden tratar como cuerpos puntuales, localizados en el centro de gravedad del cuerpo real, de tal forma que la descripción de esta fuerza se realiza trabajando únicamente con cuerpos puntuales (toda su masa se encuentra concentrada en su centro). Sin embargo, para algunos casos se puede hacer necesario tratar dichos cuerpos como lo que son, cuerpos con una extensión dada, es decir no puntuales. Un ejemplo donde este tratamiento es obligatorio es cuando se desea determinar cómo varía la fuerza de la gravedad a medida que nos situamos en el interior de un objeto, por ejemplo qué gravedad existe en el interior de la Tierra (en la región del manto terrestre o del núcleo).

En estos casos es necesario describir al objeto masivo como una distribución de masa, es decir describirlo a través de su densidad en cada punto del espacio. Así, se integra la fuerza que produce cada elemento infinitesimal del cuerpo sobre cada elemento del otro objeto, sumando a todos los elementos que existen en el volumen de ambos cuerpos, lo cual matemáticamente se traduce en una integral sobre el volumen de cada cuerpo, de tal forma que la fuerza gravitatoria entre ambos se obtiene como

(3)

Donde

son los volúmenes de los dos cuerpos.son las densidades de los dos cuerpos en cada punto del espacio ( ).

Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por:

Donde son las distancias mínima y máxima entre los dos cuerpos en un instante dado.

Consecuencias

Aceleración de la gravedad

Considerando la Segunda ley de Newton, que explica que la aceleración que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza ejercida sobre él, estando relacionadas por una constante de proporcionalidad que es precisamente la masa de dicho objeto,

e introduciéndolo en la ley de la Gravitación Universal (en su forma más simple, únicamente por simplicidad) se obtiene que la aceleración que sufre un cuerpo debido a la fuerza de la gravedad ejercida por otro de masa es igual a

donde es la aceleración sufrida. Es decir, dicha aceleración es independiente de la masa que presente nuestro objeto, únicamente depende de la masa del cuerpo que ejerce la fuerza y de su distancia. Por ello, si se tienen dos cuerpos de diferente masa (por ejemplo la Luna y un satélite artificial, que únicamente tenga una masa de unos pocos kilogramos) a la misma distancia de la Tierra, la aceleración que produce ésta sobre ambos es exactamente la misma. Como esta aceleración tiene la misma dirección que la de la fuerza, es decir en la dirección que une ambos cuerpos, esto produce que si sobre ambos cuerpos no se ejerce ninguna otra fuerza externa, éstos se moverán describiendo órbitas entre sí, lo cual describe perfectamente el movimiento planetario (o del sistema Tierra—Luna), o de caída libre aproximándose un cuerpo hacia el otro, como ocurre con cualquier objeto que soltemos en el aire y que cae irremediablemente hacia el suelo, en la dirección del centro de la Tierra.

Con esta ley se puede determinar la aceleración de la gravedad que produce un cuerpo cualquiera situado a una distancia dada. Por ejemplo, se deduce que la aceleración de la gravedad que nos encontramos en la superficie terrestre debido a la masa de la Tierra es de

, que es la aceleración sufrida por un objeto al caer. Y que esta aceleración es prácticamente la misma en el espacio, a la distancia donde se encuentra la

Estación Espacial Internacional, (es decir, es un 95% de la gravedad que tenemos en la superficie, únicamente una diferencia de un 5%), siendo necesario recordar que el hecho de que los astronautas no sientan la gravedad no es porque ésta allí sea nula, sino por su estado de ingravidez (de caída libre continua). Y la gravedad que ejerce una

persona sobre otra, situada a un metro de distancia, es de en torno a (para una persona de unos 100 kg). Este es el hecho por el que no sentimos la gravedad que ejercen cuerpos poco masivos como nosotros.

Preferencia del cuerpo más masivo

Continuando con lo que se acaba de mencionar acerca de la aceleración que sufre un cuerpo como consecuencia de otro objeto masivo, el hecho de que esta aceleración únicamente dependa de la masa de este cuerpo (olvidándonos de su distancia por un momento) muestra que para dos cuerpos dados de diferente masa, el cuerpo menos masivo será el que sufra una aceleración mayor, y por tanto un movimiento más pronunciado. Con esto se observa

directamente una respuesta a por qué es la Tierra la que orbita en torno al Sol y no al revés, puesto que este último tiene una masa increíblemente superior a la de la Tierra (unas 330.000 veces superior), haciendo que el movimiento sufrido por el Sol como consecuencia de la Tierra sea insignificante. Y de igual modo, es la Luna (cuerpo menos masivo) quien orbita en torno a la Tierra.

Interior de un cuerpo esférico

Una de las consecuencias que trae que la gravedad sea una fuerza que depende como la inversa del cuadrado de la distancia es que si se tiene un cuerpo esférico, con una densidad que únicamente va variando a medida que nos alejamos del centro del cuerpo (lo cual podría ser un modelo que describe de forma bastante adecuada a la Tierra), se puede demostrar a través de la ley de Gauss que la fuerza en su interior (a una distancia del centro) únicamente depende de la masa existente dentro de la esfera de radio . Es decir, la masa que hay fuera de dicha esfera no produce ninguna fuerza sobre un cuerpo situado en dicho punto. Por ello, dentro del cuerpo la fuerza ya no depende de la inversa cuadrado (puesto que ahora la masa a considerar depende también de dicha distancia) y resulta que es proporcional a dicha distancia. Esto es, en el interior del cuerpo la fuerza de la gravedad va creciendo conforme nos alejamos del centro del cuerpo (en donde ésta es nula) hasta llegar a la superficie, donde se hace máxima. A partir de aquí se observa el comportamiento habitual de decrecimiento conforme nos alejamos del cuerpo. Todo esto se puede ver en mayor profundidad en la entrada de la intensidad del campo gravitatorio.

Interior de una corteza hueca

Y por extensión de lo que se acaba de mencionar, en el caso en que se tuviese un cuerpo esférico pero hueco por dentro (es decir que únicamente sería unas cáscara esférica), en cualquier punto externo a él sigue produciendo una fuerza de la gravedad de acuerdo con la ecuación (1), es decir como si dicho cuerpo fuese puntual. Sin embargo, al adentrarnos dentro del mismo, observaríamos cómo no hay fuerza de la gravedad, puesto que en su interior ya no hay masa.

Movimiento de los planetas

Como se ha mencionado en el apartado histórico, esta ley permite recuperar y explicar la Tercera Ley de Kepler, que muestra de acuerdo a las observaciones que los planetas que se encuentran más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de éste. Además de esto, con dicha ley y usando las leyes de Newton se describe perfectamente tanto el movimiento planetario del Sistema Solar como el movimiento de los satélites (lunas) o sondas enviadas desde la Tierra. Por ello, esta ley estuvo considerada como una ley fundamental por más de 200 años, y aún hoy sigue estando vigente para la mayoría de los cálculos necesarios que atañen a la gravedad.

Uno de los hechos que muestran su precisión es que al analizar las órbitas de los planetas conocidos en torno a 1800 (en donde quedaban por descubrir Neptuno y Plutón), se observaban irregularidades en torno a la órbita de Urano principalmente, y de Saturno y

Júpiter en menor medida, respecto a lo que predecía la ley de Newton (junto con las leyes de Kepler). Por esta razón, algunos astrónomos supusieron que dichas irregularidades eran debidas a la existencia de otro planeta más externo, alejado, que todavía no había sido descubierto. Así, tanto Adams como Le Verrier (de forma independiente) calcularon matemáticamente dónde debería encontrarse dicho planeta desconocido para poder explicar dichas irregularidades. Neptuno fue descubierto al poco tiempo por el astrónomo Galle, el 23 de septiembre de 1846, siguiendo sus indicaciones y encontrándolo a menos de un grado de distancia de la posición predicha.

Limitaciones

Si bien la ley de la gravitación universal da una muy buena aproximación para describir el movimiento de un planeta alrededor del Sol, o de un satélite artificial relativamente cercano a la Tierra, durante el siglo XIX se observó algunos pequeños problemas que no se conseguían resolver (similares al de las órbitas de Urano, que sí pudo resolverse tras el descubrimiento de Neptuno). En especial, se encontraba la órbita del planeta Mercurio, la cual en lugar de ser una elipse cerrada, tal y como predecía la teoría de Newton, es una elipse que en cada órbita va rotando, de tal forma que el punto más cercano al Sol (el perihelio) se desplaza ligeramente, unos 43 segundos de arco por siglo, en un movimiento que se conoce como precesión. Aquí, al igual que con el caso de Urano, se postuló la existencia de un planeta más interno al Sol, al cual se le llamó Vulcano, y que no habría sido observado por estar tan próximo al Sol y quedar oculto por su brillo. Sin embargo, éste planeta no existe en la realidad (su existencia era inviable de todas formas), por lo que dicho problema no pudo resolverse, hasta la llegada de la Relatividad General de Einstein.

Además de este problema, en la actualidad el número de las desviaciones observacionales existentes que no se pueden explicar bajo la teoría newtoniana son varias:

1. Como se ha mencionado ya, la trayectoria del planeta Mercurio no es una elipse cerrada tal como predice la teoría de Newton, sino una cuasi-elipse que gira secularmente, produciendo el problema del avance del perihelio que fue explicado por primera vez sólo con la formulación de la teoría general de la relatividad. Esta discrepancia obedece precisamente al límite de validez que actualmente conocemos para la teoría de Newton: ésta únicamente es válida para cuerpos de poca masa o distancias grandes, lo cual se cumple para todos los planetas del Sistema Solar excepto para Mercurio, puesto que éste se encuentra muy cercano al Sol, un cuerpo lo suficientemente masivo para producir discrepancias observables (aunque recordando que dicha discrepancia es únicamente un efecto de 46 segundos de arco por siglo, el uso de la Relatividad General sigue siendo necesario exclusivamente para cálculos de alta precisión).

2. Aunque bajo la descripción de la gravedad de Newton ésta únicamente se produce entre cuerpos con masa, se ha observado cómo la luz también se curva (se desvía) como consecuencia de la gravedad producida por un cuerpo masivo, por ejemplo el Sol. Este hecho, que aunque sí podía llegar a interpretarse únicamente usando la ley de la Gravitación Universal, ésta no daba cuenta de la desviación correcta

observada, resultó ser una de las primeras predicciones contrastadas que apoyaron la Relatividad General.

3. La velocidad de rotación de las galaxias no parece responder adecuadamente a la ley de la gravitación, lo que ha llevado a formular el problema de la materia oscura y alternativamente de la dinámica newtoniana modificada. A través de la Tercera ley de Kepler hemos mencionado que los periodos de los cuerpos crecen con la distancia a la que se encuentran del cuerpo masivo. Aplicando dicho principio a las estrellas de una galaxia, debería observarse algo similar para las estrellas más alejadas del centro de la galaxia, pero esto es algo que no se observa y que, manteniendo la ley de la Gravitación Universal, únicamente puede ser explicado si en dicha galaxia existe mucha más masa de la que se observa, la cual es precisamente la denominada materia oscura, puesto que sería materia que no vemos.

Problemas filosóficos

Acción a distancia

A parte de los problemas prácticos mencionados anteriormente, existían algunos problemas de carácter más filosófico que atañen a la propia teoría en sí. En concreto, uno de ellos era el concepto de acción a distancia que utiliza la teoría. Esto es, en todo momento se ha descrito que dos cuerpos alejados una determinada distancia (y por tanto, no se encuentran en contacto entre sí) se ejercen una fuerza, la fuerza de la gravedad. Sin embargo, sería necesario responder a las preguntas de ¿cómo se ejerce dicha fuerza si ambos cuerpos no se tocan?. Esto era una cuestión por resolver, no únicamente de la teoría de Newton, sino que también atañía al electromagnetismo, y que no se sabía cómo afrontar. Por ello, esto dio lugar al concepto físico de campo, que aunque no resolvía completamente el problema, sí facilitaba la utilización de estas fuerzas a distancia y su explicación, y que para la gravedad hizo que se comenzase a trabajar a través de la idea del campo gravitatorio como causante de dicha fuerza de la gravedad.

Posteriormente, este problema quedaría resuelto en la Relatividad General, ya que en ésta se prescindió de describir la gravedad como una fuerza, pasando a entenderse ésta como una consecuencia de que los cuerpos con masa curvan el espacio-tiempo (donde como analogía se podría imaginar el espacio-tiempo como una cama elástica, donde los cuerpos pesados hacen que ésta se deforme y por tanto los objetos que pasen por ahí se desvían de sus trayectorias originales).

Masa inercial y masa gravitatoria: principio de equivalencia

Otro gran problema que traía consigo esta teoría (y que sirve como uno de los postulados desde los que se desarrolla la Relatividad General) es el conocido como Principio de equivalencia. Éste aboga por el hecho de que en la Teoría de la Gravitación Universal se utiliza una cantidad propia de cada cuerpo que es la que origina la fuerza de la gravedad, su masa. Aunque aquí se ha relacionado directamente con la masa propia de cada cuerpo, ésta realmente podría ser definida como una masa gravitacional, en contraposición con la masa utilizada en la Segunda ley de Newton, que habla sobre la inercia de los cuerpos,

, y que podría ser llamada masa inercial. En la práctica, no existe ninguna ley, principio o hecho que establezca que ambas masas son, en efecto, la misma masa, como se ha supuesto en toda la descripción realizada (únicamente se conoce que ambas son prácticamente iguales con una gran precisión). Este hecho que traería una gran importancia, puesto que de no ser las mismas, la aceleración que experimenta un cuerpo dejaría de ser independiente de su masa por ejemplo, no ha podido ser resuelto de una manera efectiva, dando lugar al mencionado Principio de equivalencia.

6.5 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

 

OBJETIVO:

El alumno podrá enunciar y aplicar la ley de la gravitación universal

 

 

Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene la dirección de la recta que une los centros de los astros y el sentido corresponde a una atracción. Es una fuerza directamente proporcional al producto de las masas que interactúan e inversamente proporcional a la distancia que las separa. La constante de proporcionalidad, G, se denomina constante de gravitación universal.

 

 

 

La ley de gravitación universal de Newton dice que un objeto atrae a los demás con una fuerza que es directamente proporcional a las masas.

 

La gravedad se ejerce entre dos objetos y depende de la distancia que separa sus centros de masa.

 

Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene la dirección de la recta que une los centros de los astros y el sentido corresponde a una atracción. Es una fuerza directamente proporcional al producto de las masas que interactúan e inversamente proporcional a la distancia que las separa. La constante de proporcionalidad, G, se denomina constante de gravitación universal.

 

 

La ley de gravitación universal de Newton dice que un objeto atrae a los demás con una fuerza que es directamente proporcional a las masas.

 

La gravedad se ejerce entre dos objetos y depende de la distancia que separa sus centros de masa.

 

Energía gravitatoriaSaltar a: navegación, búsqueda

La fuerza gravitatoria mantiene a los planetas en órbita en torno al sol

La energía potencial gravitatoria es la energía potencial que depende de la altura asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la fuerza de la gravedad.

Contenido

1 Definición 2 Causa 3 Formula

o 3.1 Caso general o 3.2 Cálculo simplificado

4 Referencias 5 Véase también

Definición

Energía potencial gravitacional de una masa m en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la masa m desde dicho punto hasta el infinito. Según la definición, la energía potencial es siempre negativa y su máximo es siempre cero. Esto no ayuda mucho a pensar a la mente.1

La energía potencial es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo, dependiendo de la configuración que tengan en un sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí. Puede pensarse como la energía almacenada en un sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.

Causa

La energía potencial gravitatoria se debe a la posición respecto a la del suelo tomado como referencia. Ejemplo: si estas de pie sobre un trampolín de tres metros de altura, tienes 3 veces mas energía que en el trampolín de 1 metro. La energía potencial que depende de la altura se llama energía potencial gravitatoria. El peso determina también la cantidad de Epg que tiene un objeto. El dicho “Cuanto más grandes son, con más ruido caen” es una referencia al efecto del peso en la energía gravitacional. Tienes mucha mas Epg si cargas una mochila pesada que si cargas una liviana. Si bien la fuerza gravitacional varía junto a la altura, la diferencia es muy pequeña como para ser considerada, por lo que se considera a la aceleración de la gravedad como una constante. En la tierra por ejemplo, la aceleración de la gravedad es considerada de 9,8 m/s2 en cualquier parte. En cambio en la luna, cuya gravedad es muy inferior, se generaliza el valor de 1,66 m/s2

Formula

La relación entre la energía potencial gravitatoria, el peso y la altura, puede expresarse con la siguiente fórmula:

Según esta fórmula, cuanto mayor es el peso, mayor es la Epg. Cuanto mayor es la altura sobre una superficie, mayor es la energía potencial gravitacional.

Este tipo de energía está asociada con el grado de separación entre dos cuerpos, los cuales se atraen mediante la fuerza gravitacional.

Caso general

La energía potencial gravitatoria VG de una partícula material de masa m situada dentro del campo gravitatorio terrestre viene dada por:

Esta fórmula que para estudiar el movimiento de satélites y misiles balísticos

Donde:

: distancia entre la partícula material del centro de la Tierra (es decir, su altura). : constante de gravitación universal. : masa de la tierra.

En los casos en los que la variación de la gravedad es insignificante, se aplica la fórmula:

Donde es la energía potencial gravitacional, la masa, la aceleración de la gravedad, y la altura.

Cálculo simplificado

Cuando la distancia recorrida por un móvil h es pequeña, lo que sucede en la mayoría de las aplicaciones usuales (tiro parabólico, saltos de agua, etc.), podemos usar el desarrollo de Taylor a la anterior ecuación. Así si llamamos ir a la distancia al centro de la Tierra, R al radio de la Tierra y h a la altura sobre la superficie de la Tierra tenemos:

Tiro parabolico.

Donde hemos introducido la aceleración sobre la superfice:

Por tanto la variación de la energía potencial gravitatoria al desplazarse un cuerpo de masa m desde una altura h1 hasta una altura h2 es:

Dado que la energía potencial se anula cuando la distancia es infinita, frecuentemente se asigna energía potencial cero a la altura correspondiente a la del suelo, ya que lo que es de interés no es el valor absoluto de V, sino su variación durante el movimiento.

Así, si la altura del suelo es , entonces la energía potencial a una altura h2 = h será simplemente .

Referencias

1. ↑ Mª José T. Molina. «Energía potencial gravitatoria» (en español). Energía gravitacional y movimiento. Consultado el 22 de febrero de 2012.

2. ↑ Space Solar Power Satellite Technology Development at the Glenn Research Center—An Overview (en inglés) (2000) Consultado el viernes 21 de octubre del 20093. ↑ Inclusión del Concepto de Masa Gravitacional Aparente en la Relatividad Especial» Consultado el sabado 31 de octubre del 20094. ↑ Trabajo, energía y potencia versión PDF (en español)» Consultado el sabado 31 de octubre del 20095. ↑ Colegio Anglo Mexicano De Coyoacan versión PDF (en español)

LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA

 

-         La Energía Potencial Gravitatoria (Ep) es la que tienen los cuerpos en función de su posición en el espacio y

Depende de la altura: a mayor altura, mayor Ep. También depende del peso de cada cuerpo: a mayor peso, mayor

Ep.

Luego, podemos decir que la Ep es directamente proporcional al peso (p) y a la altura (h)

 

 

Mira esta página

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1183@ ¿Qué Ep tendrá un cuerpo de 15 Kg de masa que se encuentra suspendido a 3 m de altura?

1. Lo primero que hacemos es anotar los datos

Ep = ¿?

h = 3 m

p = 15 Kg . 10 = 150 N2. Ahora escribimos cómo lo vamos a hacer. En este caso mediante la fórmula

Ep = p . h3. Y resolvemos colocando los datos donde corresponda

Ep = p . hRECUERDA:

-          El peso se mide en N (newtons)

-          La altura en m (metros)

-          La energía en J (julios)

 

Ep = 150 N . 3 m = 450 J

 

-         La Energía Cinética (Ec) es la que tienen los cuerpos cuando se mueven y

Depende de la masa del cuerpo (m) Y de la velocidad que alcance (v)

Para su cálculo se aplica esta fórmula

 

Mira esta página

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1183

@ ¿Qué Ec tendrá un cuerpo de 15 Kg de masa que cae desde 3 m de altura y llega a suelo a una velocidad de 7’745 m/s?

1. Lo primero que hacemos es anotar los datos

Ec = ¿?

m = 15 Kg

v = 7’74 m/s2. Ahora escribimos cómo lo vamos a hacer. En este caso mediante la fórmula

Ec = ½ . m . v2

3. Y resolvemos colocando los datos donde corresponda

Ec = ½ . 15 Kg. (7’745m/s)2 = 450 J

¿COINCIDENCIA EN EL RESULTADO?

 

Coincidencia, no, sino intencionalidad, porque vosotros no lo sabéis, pero yo sí:

Ec = ½ . m . v2

RECUERDA:

-          La masa se mide en Kg

-          La velocidad en m/s

Un cuerpo que tiene una Energía potencial Ep, al caer va perdiendo altura y aumentando de velocidad, o sea, que va perdiendo Ep (la altura es menor) y ganando Ec (la velocidad es mayor), hasta que toda la Ep se transforma en Ec.

Es decir, que:

Ep = Ec

 

Contenido

Apunte de Dinámica: Movimiento de planetas y satélites. Velocidad orbital de un satélite. Energía Total. Velocidad de escape. Satélites geoestacionarios. Ejemplos.

Movimiento de planetas y satélites

Velocidad orbital de un satélite

Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la tierra circular de radio r.

Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta combustible.

Fc = m.ac = m.v²/r.

OJO: La ac no depende de la masa, otro cuerpo de masa m` tendría la misma.

Todas las masas en la misma órbita tienen la misma velocidad lineal.

La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es F = G.MT.m/r².

Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vista distintos.

G.MT.m/r² = m.v²/r

v² = G.MT/r

y por tanto

Energía Total

Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que órbita alrededor de la tierra.

Es la suma de la Ec y de la Ep.

Ep = -G.MT.m/r

Ec = (1/2).m.v² = (1/2).m.G.MT/r = G.MT.m/2.r

La energía total es la suma de las dos energías:

ET = (G.MT.m/r).(-1 + 1/2) = -G.MT.m/2.r

Esta es la energía necesaria para que un satélite esté en órbita.

Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial. El signo menos corresponde a orbitas cerradas de objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción terrestre.

Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.

EcA + EpA = EcB + EpB

Entonces si lanzamos el satélite desde la superficie de la tierra ya tiene una cierta energía potencial

Eco + Epo = Ecf + Epf

Eco - G.MT.m/RT = -G.MT.m/2.r

y por tanto

Eco = -G.MT.m/2.r + G.MT.m/RT

Eco = G.MT.m.(1/RT - 1/2.r)

Esto se conoce como energía de satelización.

Si queremos calcular la velocidad inicial necesaria para llegar a esa órbita

(1/2).m.v0² = G.MT.m.(1/RT - 1/2.r)

y por tanto

Velocidad de escape

Es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la superficie del planeta para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.

En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.

Por tanto:

(1/2).m.v0² - G.MT.m./RT = 0

(1/2).m.v0² = G.MT.m./RT

v0² = 2.G.MT./RT

Se puede escribir:

go = G.MT/RT²

Satélites geoestacionarios

Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre, es decir, recorre toda su orbita en el tiempo que la tierra hace una rotación completa (24 h)

Aplicando la 3º ley de Kepler:

Si sustituimos los datos:

T = 24 h = 86400 s

G = 6,67 · 10-11 Nm²/kg² el valor de r = 4,2 · 107 m

MT= 5,97 · 1024 kg

También puede calcularse r igualando la Fc a la fuerza de Newton m.ω².r = G.M.m/r² y despejar r

Como RT = 6370 · 10³ m h = r – RT = 35863. Altura de la órbita.

Son órbitas de altitudes elevadas y no obtienen imágenes de alta resolución de la Tierra. Son órbitas ecuatoriales y se usan para aplicaciones meteorológicas y de comunicaciones. Las órbitas de baja altitud (600 a 1200 km) se llaman heliosincronas (orientación fija respecto al Sol). Se usan para observación de la Tierra.

Ver ejemplo n° 1

Ver ejemplo n° 2

Ver ejemplo n° 3

Ver ejemplo n° 4

Razona

- Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra ¿Cuál es le valor de la energía potencial de la partícula cuando se encuentra a una distancia ∞ de la Tierra?

La energía potencial de una masa m a una distancia r de la Tierra es Ep= -G.MT.m/r. Esta es nula cuando r ∞. La Ep siempre es negativa y tiende a 0 cuando la r ∞. En la superficie será -G.M.m/RT

Si cambiara el origen y tomamos la superficie de la Tierra en el ∞ será E = G.M.m/RT

- ¿Puede ser negativo el trabajo de una fuerza gravitatoria? ¿Y su energía potencial?

La Ep si, como hemos visto, ya que depende del origen.

El trabajo no, ya que la fuerza gravitatoria hace un W espontáneo y positivo.

No influye el origen ya que es una variación de la energía y es independiente del origen

Autor: Leandro Bautista

Fuente: http://www.freewebs.com/fisicamontpe/

Fisica de 2° de Bachillerato - Colegio Montpellier

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3. LOS VIAJES ESPACIALES:

Los viajes espaciales difieren de los habituales desplazamientos sobre la superficie

terrestre por un detalle fundamental: estos últimos se efectúan bajo la acción de la

fuerza de gravedad  terrestre cuyo valor es siempre el mismo.

Este concepto se aclara recordando que los movimientos de un tren, un auto, una

bicicleta o un avión se realizan siempre a idéntica distancia del centro de la Tierra,

salvo muy pequeñas variaciones que carecen de importancia. Son desplazamientos

cuya dirección forma ángulo recto con el radio del planeta y, por consiguiente, la

fuerza de atracción gravitacional que sufren es permanentemente idéntica.

En un viaje espacial, la dirección del movimiento forma con el radio de la Tierra un

ángulo distinto del recto. Si se asciende verticalmente para alcanzar grandes alturas

(varios cientos de kilómetros) el valor del ángulo será cero, puesto que el vehículo se

aleja en la dirección de uno de los radios.

Claro está que para que esto sea posible se debe vencer la fuerza de atracción

terrestre. Véase, por ejemplo, lo que ocurre con los cuerpos que llegan a la Tierra

desde el espacio:cuando chocan con la superficie, la velocidad que traen es similar a la

que tendrían si provinieran de una distancia infinita. Esa misma velocidad adquirida por

el objeto que se precipita, pero aplicada en sentido contrario, es la que necesita un

cuerpo para vencer la fuerza de gravedad, escapar de la atracción del planeta y

desplazarse hasta una distancia teóricamente infinita. Esta velocidad se denomina

velocidad de escape o velocidad parabólica.

 Viajes a la Luna y a los planetas

Un vehículo espacial que desde la Tierra se dirige a la Luna, o mejor dicho, hacia el

punto del cielo donde la hallará, no necesita mantener su velocidad de escape de 11,2

km/s durante todo el trayecto. Mientras más se aleja del lugar del lanzamiento, la

atracción gravitacional terrestre se debilita, de manera tal que la velocidad necesaria

para vencerla va disminuyendo a medida que prosigue el viaje y, consecuentemente,

la atracción de la Luna aumenta cuando el vehículo se le aproxima. Por este doble

proceso —debilitamiento de la atracción terrestre por una parte, y aumento del campo

de atracción gravitacional de la Luna, por la otra— se alcanza un punto en que ambas

fuerzas se igualan, punto que se encuentra a unos 38 000 kilómetros de la Luna. Si el

vehículo lo sobrepasa, cae dentro de la atracción lunar.

Para lograr que el impacto con la superficie de la Luna sea más suave, a nave debe

cruzar la línea de separación entre las dos fuerzas gravitacionales a la mínima

velocidad posible, porque de no ser así el choque resultará más violento. El impacto en

la Luna, en una caída libre, se produciría a la velocidad de escape —que en la misma

es de 2,4 km/s— más la velocidad de la Luna en su órbita.

El proyecto de un viaje a la Luna con un vehículo espacial y su regreso posterior a la

Tierra, contempla, como mínimo, cuatro maniobras principales:

a. salida de la Tierra;

b. disminución de la velocidad al cruzar la línea de equilibrio;

c. salida de la Luna;

d. disminución de la velocidad cuando, de regreso a la Tierra, cruza la línea de

equilibrio.

Una vez lanzado desde la Tierra, el vehículo espacial se mueve a lo largo de una órbita

determinada, que es el resultado de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él.

Intervienen la fuerza de atracción de la Tierra, de la Luna y del Sol, pero influyen

también otros efectos, como la resistencia de la atmósfera terrestre al moverse la nave

cerca de la Tierra, la presión de la radiación originada en el Sol, etcétera.

De esta manera, y para comprender el desarrollo de las investigaciones espaciales, es

necesario estudiar cómo se realiza el movimiento orbital de una nave espacial. Para

ello, y con el objeto de simplificar el problema, se analiza a continuación el movimiento

de una de ellas bajo la influencia de un cuerpo celeste.

Movimiento en una órbita (Ver También: Movimiento de los Planetas)

Consideraciones Físicas

Sea un cuerpo de masa m que se traslada alrededor de otro de masa M, y tales que m

es considerablemente menor que M. Si el cuerpo M ocupa uno de los focos de la elipse

descripta por m, y a es el semieje mayor de la órbita de éste, su velocidad de

traslación V está dada por:

V2= G. (M + m).(2/r – 1/a) [1] 

donde G es la constante de gravitación 6,67 x 10-8 cm3/g s2. La fórmula [1] se conoce

como ecuación de la energía.

La distancia r entre ambas masas se denomina radio vector y toma un valor distinto en

cada punto de la elipse. En estas circunstancias, el cuerpo de masa m es un satélite del

cuerpo de masa M, como es el caso de la Luna respecto de la Tierra, o de un planeta

como la Tierra en relación con el Sol.

 

Orbita elipitica descripta por un satelite de masa m y velocidad v

 

Para una órbita cerrada (un círculo o una elipse), el semieje mayor a debe ser positivo

y finito. Para una órbita parabólica resulta a =oo (infinito) para una órbita hiperbólica a

es negativo.Si la órbita es parabólica, los cuerpos se alejan uno del otro, y

reemplazando en [1] 1/a , resulta:

V2p=G . (M+m).2/r                             [2]

                                                  

que se denomina, también, velocidad de escape. 

Para la velocidad en una órbita circular donde:  a=r 

V2c=G . (M+m).1/r                                             [3] 

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (2) y (3) se tiene:

 

V2p=G . (M+m).2/r

-------=------------------

V2c=G . (M+m).1/r 

 Se tiene  

V2p

       ------------- = 2

V2c 

Osea:

V2p=2. V2

c

 Si se conoce el valor de la velocidad circular y0 para una determinada órbita, se puede

obtener fácilmente la velocidad parabólica o de escape, Vp, para la misma órbita.

Velocidad en una órbita elíptica.

Si un cuerpo, como es por ejemplo cualquiera de los satélites artificiales que giran

alrededor de la Tierra, se mueve sobre una órbita elíptica de acuerdo con la fórmula

[11, alcanza su máxima velocidad en el perigeo, y la mínima, en el apogeo.

Si la masa m del satélite es muy pequeña con respecto a la masa M del planeta, que es

el caso más común, se puede despreciar m, de donde (véase fórmula [1]):

V2= G. M (2/r – 1/a)                        [4]

 

donde G.  M es el producto de dos constantes, o sea otra constante k que para el caso

de la Tierra vale:

 

K=G.MT=4,OX 1020 cm3/s2 

pues G = 6,67 x 10-8 cm3/ g s2 y MT= 6 x 1027 g. 

Cuando el satélite se desplaza desde el perigeo hacia el apogeo, el radio vector r

aumenta de valor y, de acuerdo con a fórmula [4], la velocidad orbital V disminuye. En

cambio, Cuando se traslada desde el apogeo hacia el perigeo, la distancia r disminuye

y, entonces, la velocidad V aumenta. Luego, conocido el valor del radio vector r en un

punto cualquiera de una órbita de semieje mayor a, se puede determinar fácilmente su

velocidad en esa posición de la órbita.

Un caso particular de la elipse es la circunferencia, pues en ésta el radio vector r es

siempre igual al semieje mayor a, y resulta r = a = R siendo R el radio de la

circunferencia. En este caso: 

V2c =K/R

 En la parábola, en cambio, el semieje mayor es infinito, o sea 1/a=0 ;  y como además

r = R, distancia al centro de la Tierra, se tiene: 

V2P = 2. K / R

 Velocidad parabólica o de escape.

Como ya señalamos, para alejarse de la Tierra cumpliendo una travesía espacial, un

vehículo debe vencer la fuerza de atracción de la Tierra, y ello se puede lograr

acelerándolo hasta una determinada velocidad. Según la ley de atracción universal, la

fuerza gravitacional de la Tierra varía con la distancia, y por lo tanto también varía la

velocidad de alejamiento necesaria. Esa velocidad depende de la masa del cuerpo de

donde parte el vehículo y de la distancia al centro del mismo (planeta o satélite). El

cálculo de la velocidad de escape o velocidad parabólica desde un cuerpo de masa M

se efectúa por medio de: 

V2P= G. M. 2/R 

donde R es la distancia desde la superficie al centro del planeta o satélite. Para el caso

de la Tierra, donde R radio de la Tierra 6,3 x  108 cm, resulta: 

V2P = 2.K /R=   2 x 4 X 1020cm31s2 = 1.27 x 1012cm2/s2 R 6,3x108cm

           VP = (raíz cuadrada de 1.27 x 1012 cm2/s2)

VP = 1.12 x 106 cm/s 

VP = 11.2 km/s=40.320 km/hora 

A 5000 km. de altura sobre la superficie de la Tierra la velocidad de escape

disminuye a: 

V2P =  8x 1020cm3/s2 /11,3 x 106cm =  7,1 x 1011 cm2/s2

            

de donde:            Vp= 8,4 km/s = 30.240 km/hora 

En este caso se considera R = 6300 km + 5000 km. 

En la tabla siguiente se presentan las velocidades de escape para la Luna, los

planetas y el Sol.

     VELOCIDAD DE ESCAPE PARA ASTROS DEL SISTEMA SOLAR

                          Velocidad                                    Velocidad

      CUERPO      de escape              CUERPO      de escape

                                (km/s)                                   (km/s)

   Luna                     2,4                 Saturno              35,4

   Mercurio               4,3                 Urano                  21,6

   Venus                 10,3                 Neptuno             22,8

   Tierra                 11,2                 Plutón                ¿?

   Marte                5,0                  Sol                     620,0

   Júpiter                59,5    

En resumen: la velocidad de escape es la necesaria para que la órbita del vehículo

resulte una parábola y por lo tanto, el tiempo necesario para regresar al punto de

partida resulte infinito. 

Órbitas de los satélites terrestres artificiales

La colocación de un satélite en órbita consiste en elevarlo a una cierta altura sobre la

superficie de la Tierra (mayor de 100 km) y luego darle una dirección y velocidad

determinadas. En esas condiciones si se establece el perigeo de la órbita a esa altura,

las dimensiones de la órbita y su excentricidad dependerán de la velocidad que

adquiera el satélite, todo lo cual resulta de:

                                                   V2Per = K(2/rp – 1/a) 

Como el foco de la elipse estará en el centro de la Tierra, la introducción de un satélite

en órbita significa que rp es un valor constante (distancia del perigeo al centro de la

Tierra). De esa manera, un aumento de Vper determina el correlativo aumento del

semieje mayor a de la órbita (ver fórmula [5]).

Órbitas de los vehículos espaciales enviados a Marte y a Venus

Para que un vehículo espacial lanzado desde la Tierra pueda llegar a Marte, debe

describir una trayectoria elíptica cuyo perihelio se hallará en un punto próximo a la

posición que ocupa la Tierra en el momento del lanzamiento. La velocidad del vehículo

deberá ser algo mayor que la velocidad de traslación de la Tierra.

Trayectoria descripta por un vehiculo espacial lanzado desde la Tierra hacia Marte

El semieje mayor de la órbita elíptica descripta por ese vehículo se calcula así: 

(ar + am)/2 

fórmula donde ar es el semieje mayor de la órbita de la Tierra, e igual a 1 UA; y am es el

semieje de la órbita de Marte, e igual a 1,52 UA. En consecuencia, el semieje de la

órbita del vehículo espacial tendrá este valor: 

a= (1 + 1.52)/2=1.26 UA

Consecuentemente, el afelio de la órbita se encontrará en las cercanías de Marte. La

velocidad que se debe imprimir al vehículo puede ser calculada con la fórmula [1],

pues se conoce el semieje mayor de su órbita y la longitud del radio vector r, igual a 1

UA. Como la masa del Sol M = 2 x 1033 g, y la constante de gravitación G = 6,67 x 10B

cm3/g s2, resulta:

 V2 = 1,34 x 1020 m3/s2  (2/r – 1/a)= 1/ 1.5 x 10 11 m/UA

 donde se ha despreciado la masa m del vehículo espacial por su pequeñez con

respecto al Sol. En esta fórmula se divide por el número de metros que hay en una

unidad astronómica.

Efectuando el cálculo resulta:          

V2 = 1.34 x 1020 / 1.5 x 1011  (2-1/1.26)=10.7 x 108

 V=3.27 x 104 m/s= 32.7 km/s

 

Por comparación, la velocidad de la Tierra en su órbita es de: 

V2= 8.9x 108 (2— 1) = 8.9x108  m2/s2

V=2.96X 104m/s=29,6 km/S

 menor que la velocidad necesaria para llegar a Marte.

El tiempo que emplea el vehículo espacial en su viaje a Marte, es decir para llegar

desde el perihelio al afelio, se calcula de acuerdo cor la tercera ley de Kepler, pues:

P a3/2 =(1.26)3/2=1.41 años 

Éste es el tiempo que emplea para recorrer toda la órbita. Para ir del perihelio al afelio

invierte la mitad de ese tiempo, o sea 0,70 años=8½ meses. Por supuesto, el viaje

debe ser planeado de tal manera que cuando el vehículo alcance su afelio, Marte debe

encontrarse también en ese punto.

Trayectoria descripta por un vehiculo espacial lanzado desde la Tierra hacia Venus

El viaje de regreso desde Marte hacia la Tierra es similar a la trayectoria que cumplirá

un vehículo espacial enviado desde la Tierra hacia un planeta interior, como por

ejemplo hacia Venus. En este caso será el afelio el que estará muy próximo a la Tierra

y el perihelio coincidirá con Venus. Luego el semieje mayor de la órbita del navío

espacial será:

a= (aT + aY)2=(1+0.72)/2=0.86 UA

Leyes de KeplerSaltar a: navegación, búsqueda

Representación gráfica de las leyes de Kepler. El Sol está situado en uno de los focos. En tiempos iguales, las áreas barridas por el planeta son iguales. Además, el planeta se moverá más rápidamente cerca del Sol.

Sello alemán de 2009 conmemorando a las leyes de Kepler.

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las describió así, en la actualidad se enuncian como sigue:

Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse.

Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más

cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.

Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.

Donde, T  es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), (L)  la distancia media del planeta con el Sol y K  la constante de proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler

Antes de que se produjeran las leyes de Kepler hubo otros científicos como Cópernico, Ptolomeo y Tycho Brahe que fue un gran astrónomo cuya principal contribución al avance de la ciencia estuvo en haber conseguido medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas, uno de sus discípulos fue Kepler.

Kepler permitió descubrir el movimiento de los planetas. Utilizó grandes conocimientos matemáticos para encontrar relaciones entre los datos de las observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y con ellos logró componer un modelo heliocéntrico del universo. Comenzó trabajando al modo tradicional, planteando trayectorias excéntricas y movimientos en epiciclos, pero encontró que esos datos los situaban fuera del esquema que había establecido Copérnico, lo que le llevó a pensar que no describían una órbita circular. Ensayó otras formas para las órbitas y encontró que los planetas describían órbitas elípticas que tenían al Sol en uno de sus focos. Analizando los datos de Brahe, Kepler descubrió también que la velocidad de los planetas no es constante, sino que el radio vector que los une con el Sol describe áreas iguales en tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas es mayor cuando están próximos al Sol (perihelio) que cuando se mueven por las zonas más alejadas (afelio). Esto dio lugar a las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Las leyes de Kepler representan una descripción cinemática del sistema solar.

Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse. (a y b con semejantes a la elipse)

Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Se puede demostrar que el momento angular es constante lo que nos lleva a las siguientes conclusiones:

Las órbitas son planas y estables.Se recorren siempre en el mismo sentido.La fuerza que mueve los planetas es central.

Tercera Ley de Kepler: se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante. Esto es:

El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de la gravitación universal.

La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler es:

La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:

Al reemplazar la velocidad v por (el tiempo de una órbita completa) obtenemos

Donde, T  es el periodo orbital, r  el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo central y G  una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.

Resolución del problema de los movimientos planetarios

El tema de los movimientos planetarios es inseparable de un nombre: Johannes

Kepler. La obsesión de Kepler por la geometría y la supuesta armonía del universo le

permitió, luego de varios frustrados intentos, enunciar las tres leyes que describen con

extraordinaria precisión, el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Desde una

posición cosmológica copernicana, que como hemos visto en esa época era más una

creencia filosófica que una teoría científica, Kepler logró esta magnífica empresa de

manera totalmente empírica, sin más teoría que su propio convencimiento sobre el

carácter fundamental (divino) de la geometría, y utilizando la gran cantidad de datos

experimentales obtenidos por Tycho Brahe.

La primera ley establece, a pesar de su autor, que los planetas describen órbitas

elípticas alrededor del Sol, que ocupa uno de sus focos. En la escala de valores

geométricos de Kepler, el círculo ocupaba un lugar privilegiado y de ahí su decepción,

luego de múltiples intentos por compatibilizar las observaciones con órbitas circulares.

Primera Ley: "La orbita que describe cada planeta es una elipse con el Sol en uno de

sus focos"

Las elipses de las trayectorias sonde  muy poca excentricidad, de tal manera que

difieren muy poco de la circunferencia. Asì por ejemplo , la excentricidad de la órbita

de la Tierra es e=0,017, y como la distancia Tierra-Sol es aproximadamente

150.000.000 de Km. la distancia del Sol (foco) al centro de la elipse es de

ae=2.500.000 Km.

La segunda ley se refiere a las áreas barridas por la

línea imaginaria que une cada planeta al Sol,

llamada radio vector. Kepler observó que los

planetas se mueven más rápido cuando se hallan

más cerca del Sol, pero el radio vector encierra

superficies iguales en tiempos iguales. (Si el planeta

tarda el mismo tiempo en ir de A a B en la figura ,

que de c a D, las áreas en blanco son iguales).

Segunda Ley: "Cada planeta se mueve de tal manera que el radio vector (recta que

une el centro del Sol con el planeta) barre area iguales en tiempos iguales"

El radio vector r, o sea la distancia entre el planeta y el foco (Sol) es variable, pues es

mínima en el perihelio y máxima en el afelio. Como la velocidad areal (área barrida en

la unidad de tiempo) es constante, la velocidad del planeta en su órbita debe ser

variable. En virtud de esta ley, si las áreas PFM y AFN son iguales, el arco PM será

menor que el AN, lo que indica que el planeta se desplaza más ligero en el perihelio. Es

decir, su velocidad es máxima a la mínima distancia al Sol y mínima a la máxima

distancia.

Finalmente, la tercera ley relaciona el semieje mayor de la órbita, llamado a, al período

orbital del planeta p, de la siguiente manera: a3/P2 = constante. De acuerdo a esta ley,

la duración de la trayectoria orbital de un planeta aumenta con la distancia al Sol y así

sabemos que el “año” (definido como el tiempo empleado por el planeta en volver al

mismo punto de su órbita) en Mercurio tiene 88 días (terrestres), en Venus 224, en la

Tierra 365 y sigue aumentando a medida que nos alejamos del Sol. Estas leyes

permiten también deducir las distancias relativas de los objetos del sistema solar, si

conocemos sus movimientos. Determinando independientemente alguna de ellas es

posible conocer sus valores absolutos.

LEYES DE KEPLER

En el siglo XVI, el astrónomo polaco Nicolás Copérnico remplazó la tradición de la tierra como centro del movimiento planetario con uno en el cual el sol es el centro y los planetas se   mueven alrededor en círculos y los astrónomos comenzaron a aceptar la idea de que la Tierra y los planetas giraban alrededor del Sol, en lugar de que el Sol y los planetas giraran alrededor de la Tierra.

A través de el modelo de Copérnico llegó a ser cercana la predicción correcta del movimiento de los planetas. Esto llega a ser particularmente evidente en el caso de el planeta Marte, cuya órbita fue medida muy exactamente por el astrónomo danés Tycho Brahe, sin embargo los astrónomos no eran capaces aún de describir el movimiento de los planetas con precisión.

El astrónomo alemán Johannes Kepler fue quien finalmente tuvo la capacidad de describir el movimiento planetario utilizando tres expresiones matemáticas, las cuales llegaron a ser conocidas como las leyes de movimiento planetario de Kepler, quien además encontró que las órbitas planetarias no eran circulares, sino elípticas.

Las tres leyes referentes al movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol, descubiertas por Kepler.

Las leyes de Kepler no solo se aplican a los planetas que orbitan alrededor del Sol, sino todos los casos de cuerpos celestes que orbitan otro bajo la influencia de la gravedad.

1ª ley de Kepler 2ª ley de Kepler 3ª ley de Kepler

PRIMERA LEY DE KEPLER (ÓRBITAS ELÍPTICAS) 

Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.

La elipse se ve como un círculo alargado: un eje largo, llamado eje mayor; perpendicular a el eje mayor está el eje menor el  más corto. Los 2 focos están simétricamente localizados en cada lado del eje mayor.

Segunda ley 

Los cuerpos celestes describen trayectorias en las que se cumple que: las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. El radio vector va desde el foco de la elipse a la posición del planeta en cada instante.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio).

 

  ¿Dónde se mueve más deprisa el planeta. Compruébalo en la página: http://members.nbci.com/surendranath/Kepler/KeplersLaws.html

El applet ilustra la segunda Ley de Kepler y también la primera (trayectoria elíptica). En él se simula un cuerpo que se mueve en órbita bajo la atracción gravitatoria de otro.

Cambia el valor de la excentricidad (e) arrastrando sobre el cursor deslizable situado en la parte inferior y lanza la aplicación con "start". Comprobarás que las áreas

amarillas son todas iguales entre si. Puedes observar como la velocidad varía a lo largo de la órbita.

La demostración de la segunda ley de Kepler, se fundamenta en la conservación del momento angular lo cual es consecuencia de que la fuerza de gravedad corresponde a una fuerza central.  Para ver esto, consideremos un planeta de masa, m, moviéndose alrededor del sol en una órbita elíptica.

La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta siempre se dirige a lo largo del radio vector, hacia el sol.  Se le llama fuerza central a la fuerza de este tipo, dirigida hacia un punto fijo o en sentido contrario a él.  El torque (momento de la fuerza) que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza central es cero, ya que la fuerza F es paralela al radio  r,  esto es:

 M =r x F = 0

Si consideramos que M = dL/dt = 0 ,  esto implica que el momento angular L(t) es constante, es decir no varía con el tiempo:

                     L = r x p = m r x v = vector constante  (donde p = mv es el momento lineal)

Como L es un vector constante, perpendicular a a  r y a v, vemos que el movimiento del planeta, su radio vector,  r, y su velocidad, v, en cualquier instante están restringidos al plano perpendicular al vector constantes L.

Relacionándolo geométricamente podemos ver que el radio  r  barre un área dA  en un tiempo  dt.  Esta area es igual a la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores r  y  dr  ( || r x dr || ) .

Como el desplazamiento del planeta en un tiempo  dt  es  dr  = vdt , obtenemos:

                         dA = 1/2 || r x dr || = 1/2 || r x vdt || =  ||L||/2m dt

 Por lo tanto,

es una constante.  Es decir, en tiempos iguales, se barren áreas iguales.

Tercera ley

Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de la distancia promedio al sol.

Es decir el cuadrado de el periodo del planeta es proporcional a el cubo de la distancia promedio de la órbita del planeta.A partir de la tercera ley, puede calcularse la distancia de un planeta al Sol una vez que se conoce su período.

Ecuaciones del campo de EinsteinSaltar a: navegación, búsqueda

Representación de la curvatura dada por la ecuación de campo de Einstein sobre el plano de la eclíptica de una estrella esférica: Dicha ecuación relaciona la presencia de materia con la curvatura adquirida por el espacio-tiempo.

En física, las ecuaciones del campo de Einstein o las ecuaciones de Einstein son las ecuaciones fundamentales de la descripción relativista de la gravitación, que forman parte de la teoría de la relatividad general. Dentro de esa teoría el campo gravitatorio es el efecto aparente de la existencia de una curvatura en el espacio-tiempo.

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan la presencia de materia con la curvatura del espacio-tiempo. Más exactamente cuanto mayor sea la concentración de materia, representada por el tensor de energía-impulso, tanto mayores serán las componentes del tensor de curvatura de Ricci.

En el límite clásico no-relativista, esto es, a velocidades pequeñas comparadas con la luz y campos gravitacionales relativamente débiles, las ecuaciones del campo de Einstein se reducen a la ecuación de Poisson para el campo gravitatorio que es equivalente a la ley de gravitación de Newton.

Contenido

1 Forma matemática de las ecuaciones del campo de Einstein o 1.1 Interpretación geométrica de la Ecuación de Einstein

o 1.2 Límite clásico 2 Soluciones de la ecuación del campo de Einstein

o 2.1 Distribución de masa esférica simétrica y estática o 2.2 Masa de simetría axial en rotación o 2.3 Universo isótropo y homogéneo (o uniforme)

3 Referencia o 3.1 Notas o 3.2 Bibliografía

Forma matemática de las ecuaciones del campo de Einstein

En las ecuaciones de campo de Einstein, la gravedad se da en términos de un tensor métrico, una cantidad que describe las propiedades geométricas del espacio-tiempo tetradimensional y a partir de la cual se puede calcular la curvatura. En la misma ecuación, la materia es descrita por su tensor de tensión-energía, una cantidad que contiene la densidad y la presión de la materia. Estos tensores son tensores simétricos de 4 X 4, de modo que tienen 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen a 6. La fuerza de acoplamiento entre la materia y la gravedad es determinada por la constante gravitatoria universal.

Para cada punto del espacio-tiempo, la ecuación del campo de Einstein describe cómo el espacio-tiempo se curva por la materia y tiene la forma de una igualdad local entre un tensor de curvatura para el punto y un tensor que describe la distribución de materia alrededor del punto:

donde:

es el tensor de curvatura de Einstein, que se forma a partir de derivadas segundas del tensor métrico

es el tensor de tensión-energía., es el número π, es la la velocidad de la luz, es la constante de la gravitación universal.

Esa ecuación se cumple para cada punto del espacio-tiempo,

El tensor de la curvatura de Einstein se puede escribir como

donde:

, es el tensor de curvatura de Riccies el escalar de curvatura de Riccies la constante cosmológica.

La ecuación del campo por lo tanto también puede darse como sigue:

es un tensor simétrico 4 x 4, así que tiene 10 componentes independientes. Dado la libertad de elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen en número a 6. Estas ecuaciones son la base de la formulación matemática de la relatividad general. Nótese que cosiderando la contracción sobre los dos índices de la última relación se encuentra que el escalar de curvatura se relaciona con la traza del tensor energía impulso y la constante cosmológica mendiante:

Esa relación permite escribir equivalentemente las ecuaciones de campo como:

Interpretación geométrica de la Ecuación de Einstein

La ecuación de Einstein implica que para cada observador, la curvatura escalar del espacio es proporcional a la densidad aparente  :

donde

c = 3 × 1010 [cm s-1] es la velocidad de la luzG = 6,67 × 10-8 [cm3 s-2 g-1] es la constante de la gravitación universal.

De acuerdo con el significado geométrico de la curvatura escalar, esta igualdad afirma que en una esfera de masa M y densidad constante, el exceso radial (la diferencia entre el radio

real y el radio que le correspondería en la geometría euclídea a una esfera de igual área) es igual a

Por ejemplo, en el caso de la Tierra el exceso radial es de 0,15cm y en el caso del Sol es de unos 500 metros.

Es asombroso que esta ecuación, que introduce mínimas correcciones en las fórmulas de la geometría euclídea, recoja casi todas las ecuaciones conocidas de la física macroscópica. En efecto, cuando la velocidad de la luz c tiende a infinito, de ella se derivan ley de gravitación universal de Newton, la Ecuación de Poisson y, por tanto, el carácter atractivo de las fuerzas gravitatorias, las ecuaciones de la mecánica de fluidos (ecuación de continuidad y ecuaciones de Euler), las leyes de conservación de la masa y el momento, el carácter euclídeo del espacio, etc.

Igualmente se derivan todas la leyes de conservación relativistas, y que la existencia de campos gravitatorios y de masa sólo es posible cuando el espacio tiene dimensión mayor que 2. Más aún, si se supone que el espacio tiene dimensión 4 (las tres que vemos diariamente más una pequeñísima dimensión circular extra, aproximadamente del tamaño

de la llamada longitud de Planck cm) de la ecuación de Einstein se deducen la teoría clásica del electromagnetismo: las Ecuaciones de Maxwell y, por tanto, la Ley de Coulomb, la Conservación de la carga eléctrica y la ley de Lorentz.

Límite clásico

Artículo principal: Límite clásico#Límite clásico de la relatividad general.

En el límite clásico la única componente no nula del tensor de Ricci es la componente temporal . Para obtener el límite clásico debe suponerse que el potencial gravitatorio es muy pequeño en relación al cuadrado de la velocidad de la luz y a continuación debe tomarse el límite de las ecuaciones cuando la velocidad de la luz tiende a infinito, haciendo esas manipulaciones se obtiene que las ecuaciones de campo de Einstein para el campo gravitatorio se reducen a la ecuación diferencial de Poisson para el potencial gravitorio. Suponiendo que para campos gravitatorios débiles la métrica del espacio tiempo puede escribirse como una perturbación de la métrica de Minkowski:

La componente temporal del tensor de Ricci resulta ser:

La última expresión es precisamente la ecuación de Poisson que es la expresión clásica que relaciona el potencial gravitatorio con la densidad de materia.

Soluciones de la ecuación del campo de Einstein

Una solución de la ecuación del campo de Einstein es cierta métrica apropiada para la distribución dada de la masa y de la presión de la materia. Algunas soluciones para una situación física dada son como sigue.

Distribución de masa esférica simétrica y estática

La solución para el vacío alrededor de una distribución de masa esférica simétrica, estática, es la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a una estrella y conduce a la predicción de un horizonte de sucesos más allá del cual no se puede observar. Predice la posible existencia de un agujero negro de masa dada del que no puede ser extraída ninguna energía, en el sentido clásico del término (i.e. no mecánico-cuántico).

Véanse también: Radio de Schwarzschild y Agujero negro de Schwarzschild

Masa de simetría axial en rotación

La solución para el espacio vacío alrededor de una distribución de masa de simetría axial en rotación es la métrica de Kerr. Se aplica a una estrella que rota y conduce a la predicción de la existencia posible de un agujero negro en rotación de masa dada y momento angular

, del cual la energía rotatoria puede ser extraída.

Véase también: Agujero negro de Kerr

Universo isótropo y homogéneo (o uniforme)

La solución para un Universo isótropo y homogéneo, lleno con una densidad constante y de una presión insignificante, es la métrica de Robertson-Walker. Se aplica al Universo en su totalidad y conduce a diversos modelos de su evolución que predicen un Universo en expansión.

Véanse también: Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y Aceleración de la expansión del Universo

Sistema de referencia no inercialSaltar a: navegación, búsqueda

Figura 1. Sistema de referencia en rotación (S') con respecto a otro sistema (S).

En mecánica newtoniana se dice que un sistema de referencia es no inercial cuando en él no se cumplen las Leyes del movimiento de Newton. Dado un sistema de referencia inercial, un segundo sistema de referencia será no inercial cuando describa un movimiento acelerado respecto al primero. La aceleración del sistema no inercial puede deberse a:

Un cambio en el módulo de su velocidad de traslación (aceleración lineal). Un cambio en la dirección de su velocidad de traslación (por ejemplo en un

movimiento de giro alrededor de un sistema de referencia inercial). Un movimiento de rotación sobre sí mismo (véase figura 1). Una combinación de algunos de los anteriores.

Un ejemplo de sistema no inercial podría ser el correspondiente a un sistema de coordenadas "fijo en la Tierra", en el cual los movimientos de los cuerpos serían medidos respecto a puntos de la Tierra que estarían girando.

Un observador situado en un sistema de referencia no inercial, deberá recurrir a fuerzas ficticias (tales como la fuerza de Coriolis o la fuerza centrífuga) para poder explicar los movimientos con respecto a dicho sistema de referencia. Estas fuerzas no existen realmente, en el sentido de que no son causadas directamente por la interacción con otro objeto, pero deberán introducirse si se quiere explicar el fenómeno según las leyes de Newton.

Por tanto, puede detectarse que un sistema de referencia dado es no inercial por sus violaciones de las Leyes de Newton. Por ejemplo, la rotación de la Tierra se manifiesta por la rotación del vector de la gravedad que actúa sobre un péndulo de Foucault, que hace que el plano de oscilación del péndulo varíe respecto a su entorno.

Siendo rigurosos podría argumentarse que los sistemas de referencia inerciales no existen, o al menos no en nuestro entorno, pues la Tierra gira sobre sí misma y también alrededor del Sol, y éste a su vez lo hace respecto al centro de la Vía Láctea. Sin embargo, con objeto de simplificar los problemas, normalmente se considerarán como inerciales sistemas que en realidad no lo son, siempre que el error que se cometa sea aceptable. Así, para muchos problemas resulta conveniente considerar la superficie de la Tierra como un sistema de referencia inercial.

Contenido

1 Ejemplos de sistemas no inerciales o 1.1 Ejemplo 1. Movimiento circular o 1.2 Ejemplo 2. Ascensor

2 Desarrollo formal en mecánica newtoniana 3 Desarrollo formal en mecánica relativista 4 Véase también 5 Referencias

o 5.1 Bibliografía 6 Enlaces externos

Ejemplos de sistemas no inerciales

Ejemplo 1. Movimiento circular

Figura 2. Movimiento circular.

Consideremos una plataforma giratoria dando vueltas con una velocidad angular , como la mostrada en la figura 2.

Un observador situado en el sistema de referencia no inercial (O', x', y', z') percibe que los objetos tienden a dirigirse hacia el exterior de la plataforma, con dirección radial. Para conseguir que un objeto situado sobre la plataforma se mantenga en su posición, lo ata con una cuerda a una barra vertical situada en el centro. Comprueba la tensión que adquiere la cuerda (T en la figura 2), y la justifica con la existencia de una fuerza con el mismo módulo

que la tensión pero con dirección contraria, como la representada por en la figura 2 (fuerza ficticia conocida con el nombre de fuerza centrífuga).

Sin embargo, para un observador situado en el sistema de referencia (O, x, y, z) la única fuerza que interviene en el movimiento del objeto situado sobre la plataforma es la tensión de la cuerda (supongamos que no existe rozamiento con la plataforma). La tensión de la cuerda será la responsable de la aceleración centrípeta (de módulo ) que hará que el objeto describa una trayectoria circular, en lugar del movimiento rectilíneo que seguiría en ausencia de fuerzas, según lo que indican las Leyes de Newton.

Así, únicamente el observador situado en el sistema de referencia no inercial necesitará fuerzas ficticias para explicar el movimiento.

Ejemplo 2. Ascensor

Figura 3. El sistema de referencia (O, x, y) se consideraría un sistema de referencia inercial, mientras que (O, x', y') sería un sistema de referencia no inercial.

Consideremos ahora un ascensor descendiendo con una aceleración ( ) respecto a un sistema de referencia inercial (figura 3). Un observador situado en el interior del ascensor y sin referencias exteriores, cree estar en un sistema inercial dentro del campo gravitatorio terrestre. El observador deja caer un objeto de masa , desde una altura y estudia el movimiento respecto a un sistema de referencia situado en el suelo del ascensor.

El observador supone que el objeto está sometido únicamente a la aceleración de la gravedad, por lo que la posición del objeto será función del tiempo, y vendrá dada por la expresión siguiente (correspondiente a un movimiento uniformemente acelerado):

Y para el instante en el que el cuerpo llega al suelo del ascensor (y = 0):

Luego el tiempo que tarda en caer será:

El observador mide el tiempo que tarda el objeto en caer, pero para su sorpresa comprueba que éste es mayor que el que se obtendría con la fórmula anterior. Por tanto, la aceleración tiene que ser más pequeña que la de la gravedad. Para justificarlo piensa que debe haber otra fuerza (fuerza ficticia) que se oponga al movimiento, de forma que:

siendo la aceleración aparente del objeto para el observador que realiza la medición del tiempo.

Por tanto, la expresión para obtener el tiempo correcto sería:

Figura 4. Efecto de la aceleración del ascensor sobre el peso de un objeto.

Sin embargo, un observador situado en el sistema de referencia inercial no tendrá que recurrir a ninguna fuerza ficticia para explicar el movimiento. La posición del suelo del ascensor (ver figura 3) vendría dada por:

Y la del objeto:

En el instante en que el objeto llega al suelo del ascensor, la posición del objeto y la del suelo de ascensor coinciden, por lo que . Es decir:

De donde se obtiene:

que coincide con la expresión que se obtuvo para el sistema de referencia no inercial con el uso de la fuerza ficticia.

También podríamos observar una violación de las leyes de Newton, si situáramos una masa conocida en una báscula fijada al suelo del ascensor. En este caso el peso medido por la báscula sería inferior al peso real. Su peso aparente sería igual al peso real menos la fuerza ficticia (figura 4). Es decir:

Razonamientos similares pueden realizarse para el caso en el que el ascensor estuviera ascendiendo con una aceleración . La diferencia está en que la fuerza ficticia tendría dirección contraria (estaría dirigida hacia abajo).

Desarrollo formal en mecánica newtoniana

Figura 5. Sistemas de referencia.

Sean S y S' dos sistemas de referencia como los mostrados en la figura 5. Consideremos que S sea un sistema fijo y que S' sea un sistema de referencia no inercial con movimiento acelerado respecto al primero (translación y/o rotación).

Se puede demostrar1 2 que las derivadas temporales de un vector cualquiera respecto a los dos sistemas de referencia anteriores, S y S', están relacionadas por la expresión:

(1)

donde los subíndices S y S' representan el sistema de referencia con respecto al cual se

realiza la derivación, y es la velocidad angular del sistema de referencia S' respecto al sistema de referencia S.

La ecuación (1) nos va a ser de utilidad para obtener la ecuación correspondiente a la segunda ley de Newton para el sistema de referencia no inercial S'. Esto será lo que hagamos a continuación.

Figura 6. Posición de un objeto respecto a dos sistemas de referencia.

Sea un objeto de masa m, situado respecto a los sistemas de referencia S y S', según se muestra en la figura 6. Los vectores de posición están relacionados por la ecuación:

(2)

Derivando la ecuación (2) respecto al tiempo y aplicando (1), obtenemos:

(3)

que puede escribirse también como la ecuación que relaciona las velocidades:

(4)

Volviendo a derivar y aplicando de nuevo la ecuación (1), obtenemos la expresión:

que puede reescribirse como:

con lo que la aceleración del objeto en el sistema de referencia no inercial será:

(5)

Y multiplicando por la masa se obtiene finalmente la segunda ley de Newton para el sistema de referencia no inercial:

(6)

Por otro lado, la expresión para la segunda ley de Newton en el sistema de referencia inercial es:

(7)

Comparando las ecuaciones (6) y (7) se observa que para el caso del sistema referencia no inercial han aparecido cuatro términos, conocidos como fuerzas ficticias por no deberse a la

interacción del objeto con otros cuerpos. El término es conocido como

fuerza de Coriolis, se conoce como fuerza centrífuga, el

término es una fuerza que sólo estará presente en los sistemas con aceleración angular, y es debida a la aceleración del origen de S' respecto a S.

Campo gravitatorioSaltar a: navegación, búsqueda

En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que representa la gravedad. Si se dispone en cierta región del espacio una masa M, el espacio alrededor de M adquiere ciertas características que no disponía cuando no estaba M. Este hecho se puede comprobar acercando otra masa m y constatando que se produce la interacción. A la situación física que produce la masa M se la denomina campo gravitatorio. Afirmar que existe algo alrededor de M es puramente especulativo, ya que sólo se nota el campo cuando se coloca la otra masa m, a la que se llama masa testigo. El tratamiento que recibe este campo es diferente según las necesidades del problema:

En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado por un campo vectorial.

En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial de segundo orden.

Contenido

1 Campo gravitatorio en física newtoniana o 1.1 Ejemplos de campos gravitatorios o 1.2 Líneas de fuerza o 1.3 Potencial gravitatorio

2 Campo gravitatorio en física relativista 3 Véase también

Campo gravitatorio en física newtoniana

En física newtoniana, el campo gravitatorio es un campo vectorial conservativo cuyas líneas de campo son abiertas. Puede definirse como la fuerza por unidad de masa que experimentará una partícula puntual situada ante la presencia de una distribución de masa. Sus unidades son, por lo tanto, las de una aceleración m·s-2, aunque se suele utilizar la unidad equivalente de N·kg-1. Matemáticamente se puede definir el campo como ,

donde es la fuerza de gravedad experimentada por la partícula de masa en presencia de

un campo .

Ejemplos de campos gravitatorios

El campo creado por una distribución de masa esférica, viene dado en cada punto fuera de la esfera por un campo vectorial que apunta hacia el centro de la esfera:

(1) ,

donde r es la distancia radial al centro de la distribución. En el interior de la esfera central el campo varía según una ley dependiente de la distribución de masa (para una esfera uniforme, crece en forma lineal desde el centro hasta el radio exterior de la esfera). La ecuación (1), por tanto, sólo es válida a partir de la superficie exterior que limita el cuerpo que provoca el campo, punto a partir del cual el campo decrece según la ley de la inversa

del cuadrado. El campo creado por una distribución de masa totalmente general en un

punto del espacio :

,

El interés de realizar una descripción de la interacción gravitatoria por medio de un campo radica en la posibilidad de poder expresar la interacción gravitacional como el producto de

dos términos, uno que depende del valor local del campo y otro, una propiedad escalar que representa la respuesta del objeto que sufre la acción del campo. Por ejemplo, el movimiento de un planeta se puede describir como el movimiento orbital del planeta en presencia de un campo gravitatorio creado por el Sol.

Los campos gravitatorios son aditivos; el campo gravitatorio creado por una distribución de masa es igual a la suma de los campos creados por sus diferentes elementos. El campo gravitatorio del Sistema Solar es el creado por el Sol, Júpiter y los demás planetas.

Líneas de fuerza

Artículo principal: Líneas de fuerza.

Una línea de fuerza o línea de flujo, normalmente en el contexto del electromagnetismo, es la curva cuya tangente proporciona la dirección del campo en ese punto. Como resultado, también es perpendicular a las líneas equipotenciales en la dirección convencional de mayor a menor potencial. Suponen una forma útil de esquematizar gráficamente un campo, aunque son imaginarias y no tienen presencia física.

Potencial gravitatorio

Artículo principal: Potencial gravitatorio.

La naturaleza conservativa del campo permite definir una magnitud, que se podría llamar energía mecánica, tal que la suma de la energía potencial y energía cinética del sistema es una cantidad constante. Esto implica que el trabajo realizado en el seno de un campo gravitatorio dependerá sólo de las posiciones final e inicial, y no de la trayectoria seguida (así,el trabajo realizado a lo largo de una superficie cerrada será nulo). Así a cada punto del espacio se le puede asignar un potencial Φ gravitatorio relacionado con la densidad de la distribución de masa y con el vector de campo gravitatorio por:

Podemos demostrar matemáticamente de forma sencilla (y esto es extensible al campo eléctrico), que efectivamente el campo gravitatorio de la mecánica newtoniana es conservativo: Primero deberíamos notar un hecho matemático importante, y es que si un campo vectorial se puede expresar como gradiente de algún campo escalar , es decir, si entonces el trabajo realizado a lo largo de cualquier trayectoria depende sólo del estado final y el inicial. La función escalar se llama función potencial del campo vectorial . Para probar esto hay que integrar la fuerza a lo largo de una determinada curva , es decir, debe calcularse la integral de línea:

(*)

que, si y son los puntos en el espacio tridimensional con que empieza y acaba C respectivamente, y se designamos la función nos quedará

Llamando y . Ahora, partiendo de (*) ahora tenemos que

que con una simple inspección concluimos que es:

Ahora obtenemos pues . El escalar se llama energía potencial en x, y vemos que su suma con el escalar k(x) tiene que mantenerse constante, ha de ser la misma. En el caso del campo gravitatorio,tenemos que

con . El vector unitario de dirección puede ser puesto , así que:

Y este campo de fuerza es obviamente un gradiente de ,que es la función potencial. Con esto queda pues demostrado que el campo gravitatorio es conservativo (la energía mecánica, en ausencia de otras fuerzas externas, ha de conservarse). La demostración para el caso del campo eléctrico es análoga con pocos matices (la fuerza puede ser atractiva o repulsiva, y cargas iguales se reepelen, mientras que en el campo gravitatorio sólo hay atracción).

Campo gravitatorio en física relativista

En la teoría de la relatividad general el campo gravitatorio no se describe como un campo de fuerzas, sino que las trayectorias curvas que los cuerpos siguen en el espacio tridimensional, son sólo un reflejo de que el espacio-tiempo es curvo. De acuerdo con la teoría de la relatividad general, una partícula puntual en caida libre en un campo gravitatorio está siguiendo una línea de mínima curvatura, llamada geodésica, sobre un espacio-tiempo curvo. Por tanto, la curvatura de las trayectorias tridimensionales se debe a que la línea más recta posible en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones no se proyecta como una recta, vista desde el espacio tridimensional.

El campo gravitatorio se interpreta en relatividad como la curvatura del espacio-tiempo que, en presencia de materia, deja de ser plano. Allí donde el espacio-tiempo no es plano, se percibe ese hecho como campo gravitatorio local, y viceversa, allí donde se percibe campo

gravitatorio se tiene una geometría curva del espacio-tiempo. Así, la teoría relativista de Einstein del campo gravitatorio es una teoría de la estructura geométrica local del espacio-tiempo. En esta teoría el tensor de curvatura de Ricci está asociado al tensor de energía-momento de la materia:

Donde:

son las componentes del tensor de curvatura de Ricci.son las componentes del tensor métrico que permite medir distancias en el

espacio-tiempo curvo.es el escalar de curvatura de Ricci.

son las componentes del Tensor de energía-impulso de la materia que crea el campo.

son la constante de la gravitación universal y la velocidad de la luz.

En un sistema físico, la energía potencial es energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración. Puede pensarse como la energía almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra o .

La energía potencial puede presentarse como energía potencial gravitatoria, energía potencial electrostática, y energía potencial elástica.

Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.

Contenido

1 Energía potencial asociada a campos de fuerzas 2 Energía potencial gravitatoria

o 2.1 Cálculo simplificado 3 Energía potencial electrostática 4 Energía potencial elástica

o 4.1 Potencial armónico

o 4.2 Energía de deformación 5 Véase también

Energía potencial asociada a campos de fuerzas

La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa. Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son no conservativas, entonces no se puede definir la energía potencial, como se verá a continuación. Una fuerza es conservativa cuando se cumple alguna de las siguientes propiedades:

El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido.

El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo. Cuando el rotacional de la fuerza es cero.

Se puede demostrar que todas las propiedades son equivalentes (es decir, que cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial se define como:

Si las fuerzas no son conservativas no existirá en general una manera unívoca de definir la anterior integral. De la propiedad anterior se sigue que si la energía potencial es conocida, se puede obtener la fuerza a partir del gradiente de U:

También puede recorrerse el camino inverso: suponer la existencia una función energía potencial y definir la fuerza correspondiente mediante la fórmula anterior. Se puede demostrar que toda fuerza así definida es conservativa.

La forma funcional de la energía potencial depende de la fuerza de que se trate; así, para el campo gravitatorio (o eléctrico), el resultado del producto de las masas (o cargas) por una constante dividido por la distancia entre las masas (cargas), por lo que va disminuyendo a medida que se incrementa dicha distancia.

Energía potencial gravitatoria

La fuerza gravitatoria mantiene a los planetas en órbita en torno al sol

La energía potencial gravitatoria es la energía asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la fuerza de la gravedad.

Por ejemplo, si un libro apoyado en una mesa es elevado, una fuerza externa estará actuando en contra de la fuerza gravitacional. Si el libro cae, el mismo trabajo que el empleado para levantarlo, será efectuado por la fuerza gravitacional.

Por esto, un libro a un metro del piso tiene menos energía potencial que otro a dos metros, o un libro de mayor masa a la misma altura.

Si bien la fuerza gravitacional varía junto a la altura, la diferencia es muy pequeña como para ser considerada, por lo que se considera a la aceleración de la gravedad como una constante. En la tierra por ejemplo, la aceleración de la gravedad es considerada de 9,8 m/s2

en cualquier parte. En cambio en la luna, cuya gravedad es muy inferior, se generaliza el valor de 1,66 m/s2

Para estos casos en los que la variación de la gravedad es insignificante, se aplica la fórmula:

Donde es la energía potencial, la masa, la aceleración de la gravedad, y la altura. Sin embargo, si la variación de la aceleración de la gravedad es considerable, se debe aplicar la fórmula general:

Donde es la energía potencial, es la distancia entre la partícula material y el centro de la Tierra, la constante universal de la gravitación y la masa de la Tierra. Esta última es la

fórmula que necesitamos emplear, por ejemplo, para estudiar el movimiento de satélites y misiles balísticos:

Cálculo simplificado

Cuando la distancia recorrida por un móvil h es pequeña, lo que sucede en la mayoría de las aplicaciones usuales (tiro parabólico, saltos de agua, etc.), podemos usar el desarrollo de Taylor a la anterior ecuación. Así si llamamos ra la distancia al centro de la tierra, R al radio de la Tierra y h a la altura sobre la superficie de la Tierra, es decir, r = R + h tenemos:

Donde hemos introducido la aceleración sobre la superficie:

Por tanto la variación de la energía potencial gravitatoria al desplazarse un cuerpo de masa m desde una altura h1 hasta una altura h2 es:

Dado que la energía potencial se anula cuando la distancia es infinita, frecuentemente se asigna energía potencial cero a la altura correspondiente a la del suelo, ya que lo que es de interés no es el valor absoluto de V, sino su variación durante el movimiento.

Así, si la altura del suelo es h1 = 0, entonces la energía potencial a una altura h2 = h será simplemente VG = mgh.

Energía potencial electrostática

La energía potencial electrostática de un sistema formado por dos partículas de cargas q y Q situadas a una distancia r una de la otra es igual a:

Siendo K la constante de Coulomb, una constante universal cuyo valor aproximado es

9×109 (voltios·metro/culombio). donde ε es la permitividad del medio. En el vacío ε = ε0 = 8,85x10-12 (culombio/voltio·metro)..

Una definición de energía potencial eléctrica sería la siguiente: cantidad de trabajo que se necesita realizar para acercar una carga puntual de masa nula con velocidad constante desde el infinito hasta una distancia r de una carga del mismo signo, la cual utilizamos como referencia. En el infinito la carga de referencia ejerce una fuerza nula.

Es importante no confundir la energía potencial electrostática con el potencial eléctrico, que es el trabajo por unidad de carga:

Energía potencial elástica

Artículo principal: Energía de deformación.

Esta catapulta hace uso de la energía potencial elástica.

La energía elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna acumulada en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Potencial armónico

El Potencial armónico (caso unidimensional), dada una partícula en un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke, como el caso de un muelle se puede calcular estimando el trabajo necesario para mover la partícula una distancia x:

si es un muelle ideal cumpliría la ley de Hooke:

El trabajo desarrollado (y por tanto la energía potencial) que tendríamos sería:

Las unidades están en julios. La sería la constante elástica del muelle o del campo de fuerzas.

Energía de deformación

La Energía de deformación (caso lineal general), en este caso la función escalar que da el campo de tensiones es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen f que representa la energía de deformación. Para un sólido elástico lineal e isótropo, la energía potencial elástica en función de las deformaciones εij y la temperatura la energía libre de un cuerpo deformado viene dada por:

(1)

Donde son constantes elásticas llamadas coeficientes de Lamé, que pueden depedender de la temperatura, y están relacionadas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante las relaciones algebraicas:

A partir de esta expresión (1) del potencial termodinámico de energía libre pueden obtenerse las tensiones a partir de las siguientes relaciones termodinámicas:

Estas últimas ecuaciones se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke y escritas más explícitamente en forma matricial tienen la forma:

Donde

Energía de deformación (caso no-lineal general), en el caso de materiales elásticos no-lineales la energía de deformación puede definirse sólo en el caso de materiales hiperelásticos. Y en ese caso la energía elástica está estrechamente relacionada con el potencial hiperplástico a partir de la cual se deduce la ecuación constitutiva.

Véase también

Energía Potencial (Ep)

 

Todo cuerpo que se ubicado a cierta altura del suelo posee energía potencial.

Esta afirmación se comprueba cuando un objeto cae al suelo, siendo capaz de mover o deformar objetos que se encuentren a su paso. El movimiento o deformación será tanto mayor cuanto mayor sea al altura desde la cual cae el objeto.

Otra forma de energía potencial es la que está almacenada en los alimentos, bajo la forma de energía química. Cuando estos alimentos son procesados por nuestro organismo, liberan la energía que tenían almacenada.

Para una misma altura, la energía del cuerpo dependerá de su masa. Aplicando una fuerza, esta energía puede ser transferida de un cuerpo a otro y aparecer como energía cinética o de deformación. Sin embargo, mientras el cuerpo no descienda, la energía no se manifiesta: es energía potencial.

Todos los cuerpos tienen energía potencial que será tanto mayor cuanto mayor sea su altura. Como la existencia de esta energía potencial se debe a la gravitación (fuerza de gravedad), su nombre más completo es energía potencial gravitatoria.

Ver. PSU: Física; Pregunta 09_2005(2)

Entonces:

Energía potencial gravitatoria es aquella energía que poseen los cuerpos que se encuentran en altura. Esta energía depende de la masa del cuerpo y de la atracción que la Tierra ejerce sobre él (gravedad).

 

¿Cómo calcular la Energía Potencial Gravitatoria?

Si un cuerpo de masa  m  se sitúa a una altura  h  arriba de un nivel de referencia, este cuerpo posee una energía potencial gravitatoria con respecto a este nivel, la cual se expresa mediante la siguiente fórmula:

m = masa

g = constante de la fuerza de gravedad

h = altura

Ep  =   m · g · h

De acuerdo a la fórmula, la energía potencial está relacionada con la masa del cuerpo y con la posición que ocupa; cuanto más grande sea la masa del cuerpo, y cuanto mayor sea la altura a la que se encuentre, tanto mayor será su Energía potencial gravitacional.

Energía Potencial Elástica: Si se considera un resorte que cuelga del techo y uno de sus extremos está fijo, adosado al techo, mientras su otro extremo está libre, al ejercer una fuerza sobre el resorte éste se puede comprimir, disminuyendo su longitud. Para que el resorte no se estire será necesario mantener una fuerza sobre él. Al acabarse la fuerza, el resorte se descomprime, estirándose.

Si ahora se tiene el resorte con un extremo fijo sobre la mesa, y se ejerce una fuerza para comprimirlo, si el extremo libre de este resorte se pone en contacto con algún cuerpo, al descomprimirse puede provocar que el objeto se mueva, comunicándole energía cinética (energía que poseen los cuerpos cuando se mueven).

Este hecho pone de manifiesto que el resorte comprimido posee energía almacenada que se denomina energía potencial elástica.

Cuando se salta en una cama elástica, también se pone de manifiesto este hecho; la persona que cae desde cierta altura sobre la cama tiene inicialmente una energía potencial que irá disminuyendo progresivamente durante la caída, mientras que su energía cinética (de movimiento) irá aumentando. Al chocar contra la superficie de la cama se perderá energía cinética; los resortes de la cama se colocarán tensos. La energía cinética se ha transferido a los resortes, almacenándose en forma de energía potencial elástica. Ésta se pondrá de manifiesto rápidamente. Los resortes se descomprimirán y le comunicarán movimiento al cuerpo hacia arriba, adquiriendo cierta velocidad, es decir, energía cinética. Ésta irá disminuyendo con la altura mientras que la energía potencial irá aumentando ya que aumentará la altura del cuerpo.

¿que es la energia potencial gravitacional?

hace 4 años Notificar un abuso

JavO RaB

Mejor respuesta - Elegida por la comunidad

Hola! Como estas?

Energía Potencial

La energía potencial es aquella que tiene un cuerpo debido a su posición en un determinado momento. Por ejemplo un cuerpo que se encuentra a una cierta altura puede caer y provocar un trabajo o un resorte comprimido o estirado puede mover un cuerpo también produciendo trabajo.

La energía potencial la consideramos como la suma de las energías potencial gravitatoria y potencial elástica, por lo tanto:

Ep = Epg + Epe

Energía potencial gravitatoria (Epg)

Es la que tienen los cuerpos debido a la gravedad de la tierra. Se calcula multiplicando el peso por la altura. Se suele considerar que a una altura cero la Epg es cero, por lo tanto se calcula como:

Epg = P hEpg = m g h

P = Pesoh = Alturam = Masag = Aceleración de la gravedadEpg = Energía potencial gravitatoria

OTRA WEB SOBRE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Energia Potencial Gravitacional

El ejemplo mas cotidiano de energía potencial es la energía potencial gravitacional.

Se define la energía potencial (EP) gravitacional de un objeto de masa m que se encuentra a una altura y de algún nivel de referencia como:

EPG = mgyg es la aceleración de gravedad

Esta definición es totalmente compatible con la definición de trabajo por cuanto el trabajo necesario para elevar la masa m desde el nivel de referencia hasta la altura y es Fy = Peso•y = mgy. El objeto ha acumulado una energía mgy.

Si dejamos que el objeto de masa m caiga libremente bajo la acción de la gravedad sobre una estaca que sobresale del suelo, efectuará un trabajo sobre la estaca igual a la energía cinética que adquiera llegando a ella.

Esta energía cinética puede calcularse mediante la ecuación cinemática vf2 = vi2 + 2gy. Como vi = 0,vf2 = 2gy. La energía cinética justo antes de golpear la estaca es ½mvf2. Reemplazando vf2 por 2gy se obtiene ½ m•2gy = mgy.

O sea, para elevar un objeto de masa m a una altura y se necesita una cantidad de trabajo igual a mgy y una vez en la altura y, el objeto tiene la capacidad de efectuar trabajo igual a mgy.

Notemos que la EPG depende de la altura vertical del objeto sobre algún nivel de referencia , en el caso de este ejemplo, el suelo.

El trabajo necesario para elevar un objeto a una altura y no depende de la trayectoria que se siga . O sea, la trayectoria puede ser vertical o en pendiente u otra y el trabajo para subirlo será el mismo. Igualmente, el trabajo que puede efectuar al descender tampoco depende de la trayectoria.

¿Desde qué nivel medir la altura y? Lo que realmente importa es el cambio en energía potencial y escogemos un nivel de referencia que sea cómodo para resolver determinado problema. Una vez escogido el nivel, debemos mantenerlo en todo el problema.

Potencial gravitatorioSaltar a: navegación, búsqueda

Representación gráfica en dos dimensiones de una porción de un potencial gravitatorio alrededor de un cuerpo uniforme esférico. Los puntos de inflexión de la sección transversal se encuentran en la superficie del cuerpo.

En mecánica newtoniana, el potencial gravitatorio en un punto del campo gravitatorio, como el trabajo por unidad de masa,que una fuerza debe realizar para transportar un cuerpo a velocidad constante, desde el infinito, hasta un punto considerado del campo gravitatorio.

Véase también

Intensidad del campo gravitatorio

POTENCIAL GRAVITATORIO Y SU RELACIÓN CON EL CAMPO

 

Del mismo modo que se concibe el campo gravitatorio para interpretar las fuerzas gravitatorias a partir de la perturbación que cada masa produce en el espacio, interesa introducir el concepto de potencial gravitatorio, para caracterizar, en relación con la energía potencial gravitatoria de un sistema, cada punto del espacio.

 

El procedimiento seguido para obtener el valor de esta magnitud en cualquier punto alrededor de un cuerpo de masa M, comienza también colocando ahí una pequeña masa

de prueba o masa testigo, m. Seguidamente divide la energía potencial del sistema (formado por ambas masas, M y m) entre la masa testigo, m.

 

Haz clic en la imagen para descargar esta animación. Si no lo tienes instala Modellus 2.5 (32 bits) o Modellus 3 (64 bits)

 

Por tanto, el potencial gravitatorio

(V) creado por un cuerpo esférico

(de masa M), a una cierta distancia

(r), es:

 

 Igual que la energía, el potencial

gravitatorio es una magnitud

escalar. Igual que el campo, su

valor sólo depende de la masa del

cuerpo que lo produce y de la

distancia del punto considerado a

dicho cuerpo. La animación adjunta

representa la variación del

potencial gravitatorio creado por un

cuerpo celeste en función de la

distancia al mismo.

 

La expresión del potencial gravitatorio indica que, como la energía, el potencial es mayor cuanto más lejos se esté de la masa que lo produce. En consecuencia, el potencial decrece en la misma dirección en la que se incrementa el campo.

 

 

Este concepto se observa en el dibujo

adjunto, donde se representan las líneas

del campo gravitatorio que produce un

cuerpo y tres superficies equipotenciales

(en cada una de ellas el potencial

gravitatorio vale lo mismo en todos sus

puntos), 1, 2 y 3, de tal forma que V1 > V2

> V3. Las líneas del campo gravitatorio

proceden del infinito y se dirigen hacia el

cuerpo, atravesando a las superficies

equipotenciales, en dirección

perpendicular a ellas, y en el sentido en

que el potencial decrece. Se puede

consultar una comprobación matemática

de esta relación en el documento

vinculado.

Representaciones como ésta, del campo y

su relación con las superficies

equipotenciales, se pueden relacionar con

el estudio de movimientos de cuerpos

sometidos al campo gravitatorio. Por

ejemplo, un cuerpo abandonado (con

velocidad inicial cero) en algún lugar,

sufre la fuerza gravitatoria y "cae"

acelerando en el sentido que indica el

campo, por tanto atraviesa superficies

equipotenciales en orden decreciente. En

cambio, un satélite en órbita alrededor de

un planeta mantiene constante su energía

(cinética y potencial), lo que significa que

mantiene su velocidad e inserta su

trayectoria en una superficie

equipotencial.

Física - Campo gravitatorio

Contenido

Apunte de Dinámica: Potencial en el campo gravitatorio. Representación del campo gravitatorio. Energía potencial en la Tierra.

Potencial en el campo gravitatorio.Los campos de fuerza conservativos se pueden caracterizar además de por su intensidad por una magnitud escalar, el potencial. El potencial gravitatorio se define como la energía potencial por unidad de masa colocada en un punto.

VA = EpA = -G.M/rA. Se identifica con el trabajo que es preciso realizar contra las fuerzas del campo, para trasladar una masa de 1 kg desde A hasta el infinito.

En un punto B sería VB = -G.M/rB y por tanto VA – VB = -G.M.(1/rA - 1/rB).

Diferencia de potencial entre dos puntos. Es igual al trabajo que hay que realizar para llevar la unidad de masa de un punto a otro.

g = -dV/dr = [r.0 - (-G.M)]/r² = -G.M/r²

Representación del campo gravitatorio

El campo gravitatorio puede representarse mediante superficies equipotenciales que son el conjunto de puntos del campo que están al mismo potencial.

El trabajo realizado para trasladar una masa cualquiera m entre dos puntos A y B de una superficie equipotencial será nulo.

WAB = -ΔEp = EpA - EpB = m.(VA - VB) = m.0 = 0

g corta a la superficie equipotencial perpendicularmente en cada punto.

WAB = 0

∫F.dr = 0

F y dr son perpendiculares.

F y g llevan la misma dirección y dr entre dos puntos A y B es tangente a la superficie g es perpendicular a la superficie

Ver ejemplo n° 1

Energía potencial en la Tierra

Si la masa creadora del campo es la masa de la Tierra (MT) la energía potencial será:

EpA - EpB = -G.MT.m.(1/rA - 1/rB).

Si elegimos como Ep = 0 el suelo de la Tierra rB = RT EpB = 0

Operando y sabiendo que g0 = G.MT/RT²

Si h<<<<<RT

G.MT.m.h/R² y por tanto

EpA= gomh = mgoh . Valido para pequeñas alturas sobre la superficie de la Tierra.

¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra el valor de g es la ¼ parte del de la superficie?

g0 = G.MT/RT²

g = ¼ go

4g = go

g = G.MT/(RT + h)²

4.G.MT/(RT + h)² = G.MT/RT²

4/(RT + h)² = 1/RT²

2/(RT + h) = 1/RT

2RT = RT + h

RT = h

Calcula el potencial gravitatorio y compáralo con el de la superficie.

V0 = -G.MT/RT

V = -G.MT/r = -G.MT/2.RT

V/V0 = (-G.MT/2.RT)/(-G.MT/RT)

V/V0 = (1/2)/1 = 1/2

V0 = 2.V

V = V0/2

¿Qué relación existe entre las energías potenciales de un cuerpo de masa m?

Autor: Leandro Bautista

Fuente: http://www.freewebs.com/fisicamontpe/

Fisica de 2° de Bachillerato - Colegio Montpellier

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Distribución esférica de masas

El radio del Sol no es una cantidad despreciable cuando