9. Gravitación

245

9. GRAVITACIÓN

La Ley Universal de la Gravitación

Desde la más remota antigüedad se sabe que los cuerpos caen porque una fuerza los atrae haciaabajo: el peso. Sin embargo pasó mucho tiempo hasta que los físicos lograron unificar la expli-cación de este fenómeno tan familiar con la del movimiento de los cuerpos celestes (Luna, Sol yplanetas), que también se conocía desde la antigüedad pero cuya causa última se ignoraba. Elprimer avance importante se debió a Galileo, quien observó que si se descuentan los efectos dela resistencia del aire, cerca de la superficie de la Tierra todos los cuerpos caen con la mismaaceleración g, cualquiera sea su tamaño y el material que los compone. De acuerdo con la II Leyde la Dinámica

aF m= (9.1)

luego si todos los cuerpos caen con igual aceleración la fuerza que la provee, es decir el peso,debe ser proporcional a su masa, o sea m~PF = . La constante de proporcionalidad no puedeser otra que g, luego

gP m= (9.2)

La (9.1) y la (9.2) son formalmente semejantes, pero expresan conceptos muy diferentes. La IILey dice que la aceleración es proporcional a la fuerza (que se supone conocida como dato delproblema) e inversamente proporcional a la masa, lo que implica que la masa es una medida dela inercia. En cambio la (9.2) establece un hecho nuevo no contenido en la II Ley: que el peso esproporcional a la masa, es decir que el origen del peso está en la masa. Este resultado no estrivial, ni es consecuencia de las tres leyes de la Dinámica: es un hecho experimental nuevo queproviene de la observación de Galileo. En efecto, combinando (9.1) y (9.2) se obtiene

a g= (9.3)

independientemente de la masa y de los materiales que componen los cuerpos. Ser proporcionala la masa es la característica distintiva de la fuerza gravitatoria y de las fuerzas inerciales. Nin-guna otra fuerza de la naturaleza es proporcional a la masa, por ejemplo las fuerzas eléctricasson proporcionales a la carga eléctrica.El siguiente progreso se debió a Newton, quien especuló que si todos los cuerpos son atraídospor la Tierra con una fuerza proporcional a su masa, la Luna también es atraída por la Tierra conuna fuerza del mismo tipo y esa es la causa de su movimiento. Su razonamiento fue en esencia elsiguiente: si arrojamos horizontalmente una piedra con velocidad v la piedra cae a una ciertadistancia, si la arrojamos con una velocidad mayor llega más lejos; si seguimos aumentando lavelocidad llegará el momento en que la piedra no tocará nunca el suelo sino que dará vueltas yvueltas alrededor de la Tierra (Fig. 9.1a). Obsérvese que la piedra está cayendo (aunque su dis-tancia al suelo no disminuye) pues si no fuera acelerada se movería con movimiento rectilíneo yuniforme1. Newton pensó entonces que a la Luna le sucede lo que a la piedra de nuestro imagi-

1 Desde luego todo este razonamiento vale si se ignora la resistencia del aire, que frena la piedra.

9. Gravitación

246

nario experimento: es atraída por la Tierra debido a su peso y cae continuamente en la medidanecesaria para mantenerse aproximadamente a la misma distancia (Fig. 9.1b).

1

rT

v

2

3

3

vL

aL

rL

Luna

Tierra

(b)(a)

Fig. 9.1. (a) Una piedra lanzada horizontalmente cae a la superficie tanto más lejos cuantomayor es su velocidad; si la velocidad inicial es suficiente no llega nunca a la superficie.(b) La Luna cae hacia la Tierra pero se mantiene (aproximadamente) a la misma distancia.

Calculemos la aceleración de la Luna. Si su movimiento fuera circular con un radio rL , la acele-ración hacia la Tierra (centro de la órbita) sería la correspondiente aceleración centrípeta

av

rLL

L=

2(9.4)

Si TL es el período de revolución de la Luna,

vr

TLL

L=

2π(9.5)

Luego la aceleración de la Luna es

a gr

TL LL

L= =

4 2

2π

(9.6)

Con igual razonamiento se obtiene que cuando la piedra describe una órbita circular

av

rg

T= =

2(9.7)

Como rT ≈ 6400 km la velocidad necesaria es v ≈ 8 km/s y el período de la piedra seríaT r vT= ≈ = ′2 5000 1 25π / s h . En términos del período

gr

TT=

4 2

2π

(9.8)

Comparando (9.6) y (9.8) resulta

9. Gravitación

247

g

g

r

r

T

TL L

T L=

2

2 (9.9)

Aquí gL y g no tienen porqué ser iguales porque la distancia de la Luna a la Tierra es muygrande y es plausible que la fuerza de atracción disminuya con la distancia. Para deducir comotiene que variar Newton se basó en la III Ley de Kepler. Estudiando el movimiento de los pla-netas, Kepler descubrió que sus períodos de revolución dependen de la longitud a de los semie-jes mayores de sus órbitas (Fig. 9.2). Este resultado, llamado Tercera Ley de Kepler, estableceque T a2 3~ . Si comparamos dos planetas

T

T

a

a12

22

13

23= (9.10)

2a

Sol

Planeta

Fig. 9.2. Kepler descubrió que los planetas describen órbitas elípticas, uno de cuyos focosocupa el Sol (I Ley de Kepler). También descubrió que el cuadrado de su período de re-volución es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita (III Ley de Kepler).

Newton supuso que esta misma relación se cumple para las órbitas de la Luna y de la piedra:

T

T

R

rL

T

L

2

2

3

3= (9.11)

Sustituyendo esta relación en (9.9) encontró

g

g

r

rg r grL T

LL L T= ⇒ = =

2

22 2 cte. (9.12)

La aceleración de la Luna es pues

g rr

( ) =cte.

2 (9.13)

El peso de la Luna (fuerza que ejerce la Tierra sobre la Luna) es entonces

9. Gravitación

248

F m gm

rLT L LL

L= = ×cte. 2 (9.14)

Por otra parte, por la III Ley la Luna debe ejercer sobre la Tierra una fuerza igual y opuesta

F m g Fm

rTL T T LTL

L= = − = − ×cte. 2 (9.15)

donde gT es la aceleración que sufre la Tierra debido a la atracción de la Luna. Evidentemente,

grTL

= ′ ×cte.12 (9.16)

Comparando (9.15) con (9.16) vemos que FLT es proporcional a mL , proporcional a mT e inver-samente proporcional a rL

2 . Luego, en módulo:

F Gm m

rLTL T

L= 2 (9.17)

donde G es una constante. Obtenida esta expresión de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna,Newton la generalizó para cualquier par de cuerpos dotados de masa y postuló la Ley Universalde la Gravitación, que podemos enunciar de la siguiente forma:

Todos los cuerpos se atraen con fuerzas directamente proporcionales al producto de susmasas e inversamente proporcionales al cuadrado de su distancia.

Sean dos cuerpos de masas m1 y m2 y sea r12 el vector que va de m1 a m2 (Fig. 9.3). La Leyde la Gravitación dice entonces que

F F r21 12 121 2

122= − = − ˆ G

m m

r (9.18)

donde F21 es la fuerza que m1 ejerce sobre m2 y F12 es la fuerza que m2 ejerce sobre m1.La constante G se denomina constante universal de la gravitación.

m1

m2

r12

F12

F21

Fig. 9.3. La Ley Universal de la Gravitación: todos los cuerpos se atraen con fuerzas di-rectamente proporcionales al producto de sus masas e inversamente proporcionales al cua-drado de su distancia.

Ya dijimos en la Introducción que la gravitación es una de las interacciones fundamentales de lanaturaleza. La Teoría Newtoniana de la Gravitación se basa en la (9.18) y describe satisfacto-riamente las interacciones gravitatorias a escala terrestre y astronómica. Sin embargo no es co-

9. Gravitación

249

rrecta pues falla a escala cósmica y cuando las fuerzas gravitatorias son muy intensas. Hasta hoyla teoría más completa de la gravitación es la Relatividad General de Einstein (que no tratare-mos). A partir de la misma, la teoría Newtoniana se obtiene en el límite de campos gravitatoriosno muy intensos.Las dimensiones de G son [ ] [ / ]G mt= l3 2 . Su valor se determina midiendo la fuerza entre dosmasas conocidas a una distancia dada (experimento de Cavendish) y es

G = 6.6720 × 10–8 (cgs) = 6.6720 × 10–11 (MKS) (9.19)

A escala de laboratorio la interacción gravitatoria es casi imperceptible y sólo se pone de mani-fiesto con experimentos muy delicados. Por ejemplo dos masas de 1 kg a 1 m de distancia seatraen con una fuerza de 6.672 × 10–11 N; por contrapartida la fuerza con que la Tierra atrae a laLuna es de unos 1020 N. Claramente los efectos de la gravitación sólo se perciben cuando lasmasas que interactúan son muy grandes.La masa de la Tierra se puede deducir de la ley de gravitación si conocemos G, g y rT :

g Gm

rm

gr

GT

TT

T= ⇒ =2

2(9.20)

Se obtiene así mT = . kg5 975 1024× . Del mismo modo se puede calcular la masa de la Lunay resulta m mL T = . kg = 0.0123 0 0735 1024× . En la Tabla 9.1 figuran las masas de los prin-cipales cuerpos del sistema Solar en unidades de la masa terrestre.

Tabla 9.1. Masas de los principales cuerpos del sistema Solar en unidades de la masa te-rrestre (mT = . kg5 975 1024× ).

Objeto m mT/

Sol 333441Luna 0.0123Mercurio 0.0556Venus 0.8161Marte 0.1076Júpiter 318.36Saturno 95.22Urano 14.58Neptuno 17.26Plutón 0.0016

Potencial gravitatorio y campo gravitatorio

La fuerza entre dos masas puntiformes M y m debida a la gravedad

F r= − ˆ GMm

r2 (9.21)

es central y conservativa. La energía potencial gravitatoria es

9. Gravitación

250

V Fdr V GMm

rV

r

r

= − ∫ + = − +0

0 0 (9.22)

La constante V0 se suele elegir de modo que V → 0 cuando r → ∞ . La energía potencial gravi-tatoria depende de ambas masas, porque se refiere a la interacción entre M y m. Podemos enton-ces poner

V GMm

rMm = − (9.23)

Si acercamos otra masa ′m a M tendremos

V GMm

rMm′ = −′

(9.24)

Para toda masa m que interactúa con M podemos entonces escribir

V m GM

rMm M M= = −φ φ; (9.25)

donde la función φM , que se llama potencial gravitatorio, depende sólo de M y de la distancia aesta masa. Si conocemos φM en todo punto podemos calcular de inmediato la energía potencialgravitatoria debida a la interacción de M con cualquier otra masa m mediante la (9.25).Así como introdujimos el potencial gravitatorio, podemos introducir el concepto de campo gra-vitatorio. Debido a su interacción con M, sobre m actúa la fuerza

F r g= − =ˆ GMr

m mM2 (9.26)

Por lo tanto

F mGM

rMm M M= = −g g r, ˆ2 (9.27)

La función gM , que depende sólo de r se llama campo gravitatorio de M y no es otra cosa que laaceleración de la gravedad debida a la presencia de M. Está claro que

g g rr

M M M My d= −∇ = − ⋅∫φ φ (9.28)

Campo y potencial gravitatorio de cuerpos extensos

El efecto gravitatorio de un cuerpo extenso se puede calcular suponiendo que está constituidopor un conjunto de masas puntiformes (Fig. 9.4). La masa dm dV= ′ ′ρ( )r de un elemento devolumen dV ′ en ′r produce en el punto P cuya posición es r un potencial gravitatorio

d GdV

rφ

ρ= −

′ ′′′

( )r(9.29)

9. Gravitación

251

y un campo gravitatorio

d GdV

rg r

rr r r= − ′′

′ ′′′

′′ = − ′ˆ ( ),

ρ2 (9.30)

Si sumamos las contribuciones de todos los elementos de volumen del cuerpo obtenemos

φρ ρ

( )( )

, ( )ˆ ( )

rrr r

g rr r

r r= −

′ ′− ′

⌠⌡ = −

′′ ′ ′

− ′

⌠

⌡

′ ′

GdV

GdV

V V

2 (9.31)

Aquí las primas indican las fuentes del potencial y del campo, la variable de integración esdV dx dy dz d′ = ′ ′ ′ ≡ ′r y la integral se extiende a todo el cuerpo. Al calcular las integrales r semantiene constante.

r

O

dm =ρ (r')dV'

P

r – r'

r'

Fig. 9.4. Cálculo del efecto gravitatorio de un cuerpo extenso.

Claramente

g r r( ) ( )= −∇φ (9.32)

o sea g xx ( ) ( ) /r r= −∂φ ∂ , g yy( ) ( ) /r r= −∂φ ∂ , g zz ( ) ( ) /r r= −∂φ ∂ y

φ( ) ( )r g r rr

= − ⋅∫ d (9.33)

Es equivalente calcular g r( ) o φ( )r pero es más cómodo calcular φ( )r porque es una funciónescalar mientras que g r( ) es una función vectorial (o sea tres funciones: g g gx y z( ) , ( ) , ( )r r r ).

Cáscara esférica con densidad constante

Sea una cáscara esférica de radio r, espesor infinitesimal δr y densidad ρ ρ= ( )r . Calculemosφ( )r en un punto P que dista R del centro de la misma.

9. Gravitación

252

α

rx

x'dα

P

δr

P'R' R

Fig. 9.5. Cálculo del potencial gravitatorio de una cáscara esférica.

Si P está fuera de la cáscara toda la corona circular gris de la Fig. 9.5 está a la distanciax R r Rr= + −( cos ) /2 2 1 22 α de P, entonces

δφ π ρ δα α

π

r G rr

Rr

Rr d

x= − ⌠

⌡2

0

( )sen

(9.34)

pues dV r d= 2 2π α αsen . Obsérvese que dx d x Rr/ senα α= −1 . Luego

δφ π ρ δα

απ ρ δ

π

r G rr

Rr

dx

dd

r G r r

R= − ⌠

⌡ = −2

4

0

2( )

( )(9.35)

y por lo tanto indicando con δ π δ ρm r r rr = 4 2 ( ) la masa de la cáscara, resulta

δφδ

rrG

m

R= − (9.36)

Luego el potencial en P es igual al que se tendría si toda la masa estuviese reunida en el centro.El campo gravitatorio es también el de una masa puntiforme:

δ φδ

g Rr rrG

m

R= −∇ = − ˆ

2 (9.37)

Si ′P está dentro de la cáscara ′ = ′ + − ′x R r R r( cos ) /2 2 1 22 α , luego

δφ π ρ δα α

π

r G rr

Rr

R r d

x= −

′′

′⌠⌡2

0

( )sen

(9.38)

Como antes dx d x R r′ = ′ ′−/ senα α1 , pero ahora

9. Gravitación

253

δφ π ρ δα

α π ρ δ

π

r G rr

Rr

dx

dd G r r r= −

′′⌠

⌡ = −2 4

0

( ) ( ) (9.39)

y en consecuencia:

δφδ

rrG

m

r= − (9.40)

Luego todos los puntos dentro de la cáscara tienen igual potencial gravitatorio. Entonces

δ δφgr r= −∇ = 0 (9.41)

y por consiguiente el campo gravitatorio en el interior de la cáscara es nulo.

r

P

δr

O

r0

R

r

P

δr

O

r0

R

(a) (b)

Fig. 9.6. Cálculo del potencial y el campo gravitatorio de un cuerpo con simetría esférica.(a) en un punto fuera del cuerpo; (b) en un punto en el interior del cuerpo.

Potencial y campo gravitatorio de un cuerpo con simetría esférica

Muchos cuerpos celestes son aproximadamente esféricos y su densidad depende sólo de la dis-tancia al centro. Si r0 y ρ( )r son el radio y la densidad del cuerpo podemos calcular φ( )r y g r( )como suma de las contribuciones de una serie de cáscaras esféricas. En un punto externo P:

φ δφ δφδ

( ) ( ) ,R R Gm

Rr rr= = −∑

cáscaras

(9.42)

Por lo tanto

φ δ= − = −∑G

Rm

Gm

Rr (9.43)

siendo m la masa del cuerpo. Luego el potencial en P es el mismo que habría si toda la masa dela esfera estuviese concentrada en el centro. El campo gravitatorio es

g = −Gm

Rr2ˆ (9.44)

9. Gravitación

254

La aceleración de la gravedad en la superficie del cuerpo ( R r= 0) es

gGm

r002= − (9.45)

Por ejemplo para Júpiter rJ ≅ 71400 km mientras que rT ≅ 6400 km . Luego g gJ T0 02 56, ,.≅ .

~R

1 2 3

1

1 2 3

1

1 2 3

1

R/r0

R/r0

R/r0

~R–2

~R2 ~R–1

ρ(r)

ρ

g(r)g0

φ(r)

φ(r0 )

Fig. 9.7. Variación de ρ, g y φ con R para un cuerpo esférico de densidad uniforme.

Gravedad en el interior de una esfera uniforme

El valor de g en el interior del cuerpo interesa para la teoría de la estructura estelar y de otroscuerpos celestes. Como R r< 0 sólo influyen en el cálculo las capas con r R≤ . Luego

g RG

Rr r dr

G

RM R R r

R

( ) ( ) ( ) , ( )= − ∫ = − <22

02 04π ρ (9.46)

Para avanzar precisamos ρ( )r , que depende de la composición del cuerpo, su estado, tempera-tura, presión y propiedades mecánicas, por lo que el problema es complicado.

9. Gravitación

255

En el caso ideal ρ( )r = cte. se tiene

M R R MR

r( ) = =

43

3

0

3

π ρ (9.47)

donde M es la masa total. Por lo tanto resulta

g R gR

r( ) = 0

0(9.48)

La Fig. 9.7 muestra la variación de ρ, g y φ con R.

Gravedad en el interior de la Tierra

Lo anterior no se aplica a la Tierra ya que la densidad varía con la profundidad. Diversas evi-dencias geofísicas (velocidad de propagación de las ondas sísmicas, momento de inercia, etc.)indican que la Tierra se divide en varias capas (Tabla 9.2) y que ρ aumenta hacia el interior (Fig.9.8a) pasando de 2.65 g/cm3 en la corteza continental y 2.87 g/cm3 en la corteza oceánica hastacasi 13 g/cm3 en el núcleo interno. El valor medio de ρ es de 5.5 g/cm3. De resultas de esto gvaría como se ve en la Fig. 9.8b. En todo el manto (capas B, C y D) g g≈ 0 ; recién al llegar alnúcleo g comienza a disminuir al acercarnos al centro.

Tabla 9.2. El interior de la Tierra.

Capas % del volumenA 1.55 cortezaB 16.27 manto superiorC 21.31 zona de transición del mantoD 44.28 manto profundoE 15.16 núcleo externo (líquido)F 0.28 zona de transición del núcleoG 1.15 núcleo interno (sólido)

2

6

ρ (g/cm3)

4

6

8

10

12

2

4

6

8

10

g (m/s2)

5 4 3 2 1 0

profundidad (miles de km)

BCDG F E

núcleo manto

g(r)ρ(r)

Fig. 9.8. Densidad y aceleración de la gravedad en el interior de la Tierra.

9. Gravitación

256

Cuerpos sin simetría esférica

Cuando el cuerpo no tiene simetría esférica el cálculo del potencial gravitatorio no es tan simple.Se tiene que usar la (9.31) y conviene referir r (punto del campo) y ′r (posición del elemento demasa del cuerpo) al centro de masa, tomando O ≡ CM en la Fig. 9.4. En general no se puededecir a priori gran cosa acerca de φ( )r , pero lejos del cuerpo, donde r r> ′ , podemos desarrollar| |r r− ′ −1 en serie de potencias de d r r≡ ′ / . Se obtiene así:

| | ( cos ) [ cos ( cos ) ]/r r− ′ = − + = + + − +− − −r d d r d d1 2 1 2 1 12

2 21 2 1 3 1θ θ θ K (9.49)

donde cos /θ = ⋅ ′ ′r r r r y los K indican términos de orden superior en d. Sustituyendo (9.49) en(9.31) resulta

φ θ ρ( ) ( cos ) ( )r r= − − ′ − ′ ′⌠⌡ +

′

GM

r

G

rr dV

V2

3 132 2 K (9.50)

pues el término d cosθ de (9.49) no contribuye a φ( )r porque tomamos O ≡ CM y entonces

′ ′ ′∫ =

′

r rρ( )dV

V

0 (9.51)

Por lo tanto

− ′ ′∫ = − ⋅ ′ ′ ′∫ =

′ ′

G

rd dV

G

rdV

V V

cos ( ) ( )θρ ρr r r r3 0 (9.52)

El resultado (9.50) nos dice que muy lejos del cuerpo, donde se puede despreciar el segundotérmino, el potencial (y el campo gravitatorio) es igual al de una única masa puntiforme ubicadaen el centro de masa del cuerpo. Para distancias menores, sin embargo, el potencial es una fun-ción complicada de r y no tiene simetría esférica, dado que el término cosθ en la integral delsegundo término de la (9.50) depende de las componentes de r.

Velocidad de escape

Para que un objeto lanzado con velocidad inicial v desde la superficie escape al campo gravitato-rio se debe cumplir que

E mv GmM

r= − ≥1

22

00 (9.53)

lo que requiere que v ve≥ , donde

v GM r g re ≡ =2 20 0 0/ (9.54)

se denomina velocidad de escape. Para la Tierra ve ≅ 11 17. km/s , como vimos en el Capítulo 5.Para cuerpos de masa muy grande y radio pequeño ve puede ser enorme. Si v ce ≥ , dondec ≅ ×3 105 km/s es la velocidad de la luz, nada escapa a la gravedad del cuerpo. Esto ocurre si

r r GM cS022≤ ≡ / (9.55)

9. Gravitación

257

En tal caso el cuerpo es un agujero negro y su presencia se manifiesta sólo por medio del campogravitatorio porque nada, ni siquiera la luz, puede escapar del mismo. El valor crítico rS se llamaradio de Schwarzschild y para un objeto con la masa del Sol es de unos 2.7 km. En las proximi-dades de un agujero negro, es decir a distancias del mismo del orden de rS , el campo gravitatorioes enormemente intenso y la Teoría Newtoniana no se puede aplicar. La teoría correcta de lagravitación, que describe objetos masivos y compactos cuyo radio es del orden o menor que rS(agujeros negros o estrellas de neutrones) es la Relatividad General2, cuyo estudio escapa lospropósitos de este libro. Pero la Teoría Newtoniana se puede aplicar a la mayoría de los sistemasformados por cuerpos celestes (sistemas planetarios, estrellas dobles o múltiples, etc.).

Liberación de energía en la contracción de una nube autogravitante

Las teorías sobre el origen de estrellas y planetas postulan que se formaron por la contracción deuna nube de polvo y gas debida a la atracción gravitatoria mutua de las diversas partes de lanube. Es interesante estimar la variación de la energía potencial durante la contracción. Como laatracción gravitatoria es conservativa podemos calcular esa variación siguiendo cualquier pro-ceso (no necesariamente el que ocurre en realidad) que lleve del mismo estado inicial al mismoestado final. Supongamos que inicialmente las partes de la nube están a distancia infinita entresí. Luego V = 0 . Supongamos que el cuerpo es esférico y se forma por capas. En un momentodado habrá adquirido una masa

M r r( ) = 43

3π ρ (9.56)

siendo ρ un valor medio de la densidad. Entonces en la superficie

φ π ρ( )r G r= − 43

2 (9.57)

Si agregamos una capa de espesor dr y masa dm r dr= 4 2πρ que estaba dispersa a distancia in-finita, la energía potencial gravitatoria del material de la nueva capa tendrá una variación pro-porcional a

φ π ρdm G r dr= − 163

2 2 4 (9.58)

Sumando (es decir integrando) sobre todas las etapas del proceso,

φ π ρ π ρdm G r dr G rr

= − ∫ = −∫ 163

2 2 4

0

1615

2 205

0

(9.59)

Ahora,

φ φdm dm dm dmG

rVi

ii i

j iijij

= = − =∑∫ ∑∑≠

2 (9.60)

porque al sumar tomamos en cuenta dos veces cada par de elementos dmi , dmj . Por lo tanto

2 El resultado (9.55) es correcto pese a que lo obtuvimos a partir de la teoría de Newton, porque por una afortunada

coincidencia los errores de la teoría se cancelan.

9. Gravitación

258

V G rGM

r= − = −16

302 2

05 3

10

2

0π ρ (9.61)

La energía potencial gravitatoria de una nube que se contrajo para formar una esfera de radio r0es pues:

VGM

r= − 3

10

2

0(9.62)

La variación de energía potencial desde el estado inicial completamente disperso es igual3 a V.Si la nube se contrae disminuyendo su radio está claro que el grueso de la variación ocurre haciael final, cuando r se hace pequeño.¿En qué se transforma la energía potencial perdida en la contracción? Durante el colapso laspartículas que caen hacia el centro de la nube adquieren energía cinética, que se convierte even-tualmente en calor al chocar entre sí las partículas. La energía liberada de esta forma es enorme.Calculemos por ejemplo la energía liberada por una contracción del Sol en 1 cm:

E VGM

rr= − = ≅ ×δ δ3

10

2

02

301 7 10. J (9.63)

Tiempo atrás los físicos pensaron que la energía irradiada por el Sol provenía de la contraccióngravitatoria. La energía disponible desde el comienzo del proceso de formación del Sol hastaalcanzar su radio actual es de ≈ 1041 J . Por lo tanto, suponiendo que la potencia irradiada se hu-biera mantenido constante al nivel actual de 3 86 1026. × W , alcanzaría para 2 5 1014. × s , es decir8 millones de años (1 año ≅ 3.15 × 107 s). Hoy sabemos que la edad del Sistema Solar es de4600 millones de años, luego esta explicación es inadecuada: la contracción gravitatoria sólojugó un papel importante en los primeros estadios de la evolución del Sistema Solar.Otra estimación interesante es calcular la energía por unidad de masa liberada en la contracción:

V

M

GM

r= − 3

100

(9.64)

Para el Sol V M/ .≅ ×1 5 107 cal/g es mucho más de lo que se libera en cualquier reacción quí-mica (que es del orden de 103-104 cal/g). Luego la energía del Sol no puede provenir de reac-ciones químicas.En este contexto es interesante mencionar que entre fines del siglo XIX y comienzos del XX seventiló una aguda controversia entre físicos, geólogos y biólogos acerca de la edad de la Tierra(y del sistema Solar). Los geólogos al estudiar los estratos sedimentarios, estimaban la duraciónde las eras geológicas en centenares de millones de años, lo que estaba de acuerdo con las con-clusiones de los biólogos, basadas en el estudio de los fósiles y en cálculos del tiempo requeridopara la evolución de los animales y plantas a partir de las formas primitivas. Sin embargo estasestimaciones contradecían la opinión de los físicos, quienes en base a las formas de energía queconocían creían imposible que el Sol pudiera haber brillado por más de 8 millones de años. El

3 Debe quedar claro que este cálculo es una estimación dado que en la práctica la densidad no es uniforme, por lo

tanto el factor 3/10 no se puede tomar muy en serio.

9. Gravitación

259

error fue en este caso de los físicos de entonces, que ignoraban la existencia del núcleo atómicoy sus propiedades y por lo tanto desconocían la posibilidad de liberar grandes cantidades deenergía mediante las reacciones de fusión de núcleos livianos. La fusión del hidrógeno paraformar helio libera una enorme cantidad de energía, comparada con la que se libera en unareacción química. En efecto:

4 2 104 11H He cal/g→ + × (9.65)

Cuando se conocieron estas posibilidades terminó la polémica y desaparecieron las discrepanciasen las escalas de tiempos. La energía nuclear es tan abundante que una estrella como el Solpuede brillar por más de 10000 millones de años.Lo anterior no significa que la contracción gravitatoria no tenga importancia. Por de pronto esfundamental en la formación y evolución de una estrella. Gracias a la contracción de la nube quela origina, la estrella naciente alcanza las condiciones de densidad y temperatura4 necesarias paraque arranquen las reacciones nucleares. Además la contracción gravitatoria es importante en lasfases finales de la vida de la estrella, cuando se agota su combustible nuclear y se enfría, puesentonces colapsa5 por efecto de su propia gravedad hacia su destino final de enana blanca, estre-lla de neutrones o agujero negro.La contracción gravitatoria es también una fuente importante de energía durante la formación decuerpos de tamaño planetario. La energía liberada por unidad de masa en la contracción de laTierra hasta su tamaño actual es de ≅ ×4 5 103. cal/g , más que suficiente para fundir el materialdel interior. Vemos de todas formas que V M/ decrece al disminuir M. La disminución del radiono alcanza a compensar este efecto pues r M~ /1 3, luego V M M/ ~ /2 3 . Para la Luna V M/ esun 6 % del valor para la Tierra: 200-300 cal/g, que todavía alcanzan para fundir el material delinterior. Pero cuerpos más pequeños no se funden y por eso su interior no se diferencia.Para completar estos breves comentarios sobre la termicidad del interior de los planetas corres-ponde mencionar otra fuente de energía: se debe a la presencia de pequeñas cantidades de sus-tancias radioactivas, que al decaer liberan energía. Pese a que la cantidad de energía que pro-viene de estos procesos no es mucha, tiene efectos importantes6.

Gravimetría

La gravimetría estudia el campo gravitatorio cerca de la superficie terrestre, asunto que revistegran importancia práctica. Examinaremos aquí los factores que influyen sobre el valor de g.

Efectos de la no esfericidad de la Tierra y de su rotación

Todo apartamiento de la simetría esférica da lugar a variaciones del campo gravitatorio. En laTierra hay varios factores que producen tales variaciones tanto en escala global como local.

4 Las reacciones de fusión requieren temperaturas de millones de grados.5 Mientras la estrella quema su combustible nuclear el calor liberado mantiene caliente el interior y la presión

generada equilibra la gravedad de modo que el radio de la estrella no varía, pero al terminarse el combustible el

interior se enfría y la presión ya no puede equilibrar la gravedad, por lo tanto el colapso gravitacional se reanuda.6 El calor liberado en el interior de la Tierra por el decaimiento radioactivo provoca los movimientos convectivos

del manto que a su vez causan la deriva de los continentes y también los movimientos convectivos del núcleo que

dan origen al campo magnético terrestre.

9. Gravitación

260

θ

N

S

rp

re

r⊥

Fig. 9.9. La forma de la Tierra. Se ha exagerado el achatamiento.

En primer lugar la Tierra no es esférica (Fig. 9.9): debido a la rotación su forma se asemeja a unelipsoide achatado (radio polar rp= 6356.912 km y radio ecuatorial re= 6378.388 km). Podemosdefinir un radio medio como el radio de una esfera que tiene el mismo volumen y resulta rm =6371.2 km. El achatamiento se define como

fr r

re p

e=

−≈

1297

(9.66)

En segundo lugar g se mide en un referencial no inercial. Si g es el valor medido en la superficie,

g g a= +i c (9.67)

donde gi es el valor que se mediría en un referencial inercial y ac es la aceleración centrífuga.Recordemos que a rc = ⊥ω 2 , luego a rc = ω θ2 cos (θ es la latitud) y entonces

a r g

ac e

c

( ) . /

( �)

θ ω

θ

= = ≈ ≈

= =

0 3 4 289

90 0

20cm/s2

(9.68)

Combinando los efectos del achatamiento y la fuerza centrífuga se encuentra

g g gp e e− ≈1

189(9.69)

Como f << 1, se tiene que r r fe≅ −( sen )1 2 θ y se puede obtener una fórmula aproximada alprimer orden en f (debida a Clairault) que da g( )θ al nivel del mar:

g gq

f qa

g

r

gec

e

e

e( ) sen ,θ θ

ω= + −

= =1

52

22

(9.70)

La fórmula internacional de la gravedad7 al nivel del mar corregida por la forma de la Tierra es:

g02 4978 0318 1 0 00527889 0 00002346= + +. ( . sen . sen )θ θ cm/s2 (9.71)

7 Ver A. Scheidegger, Foundations of Geophysics, Elsevier Scientific Pub. Co (1976).

9. Gravitación

261

Además de estos efectos, que dan lugar a variaciones de g de escala global, las mediciones pre-cisas de las gravedad ponen de manifiesto apartamientos de escala local respecto de los valoresmedios determinados por la forma y la rotación de la Tierra. Estas irregularidades, llamadasanomalías, se deben a inhomogeneidades de la corteza terrestre y a la topografía local. El estu-dio de las anomalías de la gravedad es de gran importancia ya que permite inferir propiedadesdel subsuelo de interés tanto científico como económico (por ejemplo localización de yacimien-tos) a partir de mediciones simples y de bajo costo hechas en la superficie. Por estas razonesdiscutiremos brevemente las diferentes anomalías, sus orígenes y sus valores típicos, como re-sultan de las medidas de g en la superficie de la Tierra.Las mediciones precisas de g se efectúan mediante instrumentos llamados gravímetros. No en-traremos a discutir los aspectos instrumentales, baste decir que los gravímetros más comunes sefundan en el empleo de péndulos. En gravimetría se suelen expresar los resultados de las medi-das en gal y miligal = 1 mgal = 10–3 gal (recordemos que 1 gal = 1 cm/s2).El efecto de la forma y la rotación de la Tierra discutido antes puede alcanzar unos 7 gal. Losfactores locales se dividen en cuatro grupos y en conjunto su efecto no supera 1 gal.

Anomalías por efecto de la topografía y el relieve

Estos efectos se pueden estimar en base a datos del relieve en el lugar de la medición y sus in-mediaciones y comprenden:• La corrección por altura en aire. A una altura h r<< sobre la superficie tenemos que

g h gh r

gh

r( )

( / )=

+≅ −

0 2 0

11

12

(9.72)

Luego

g h g g h g hh

rg( ) ( ) , ( )= + = −0 0

2δ δ (9.73)

El valor de esta corrección es

δgh r

g= − = −2

0 30860 . mgal/m (9.74)

y es negativa para elevaciones por encima del nivel de referencia. La corrección que llevadel valor observado g a g0 se denomina reducción por altura.

• La corrección por mayor espesor de la corteza externa. Si se mide g en un lugar elevadocomo una altiplanicie (Fig. 9.10a), la corrección por altura en aire es excesiva porque notoma en cuenta el efecto gravitatorio debido a la capa de material entre el nivel de referenciay el nivel del suelo en el lugar de la medición. El efecto de esta capa adicional es

δ π ρg G h≈ 2 (9.75)

donde ρ es la densidad del medio que forma el relieve. Si tomamos un valor típico para ro-cas graníticas ( ρ = 2 67. g/cm3) resulta

δgh

≈ 0 1119. mgal/m (9.76)

9. Gravitación

262

Esta corrección tiene signo opuesto a la reducción por altura. El efecto combinado de (9.74)y (9.76) se denomina corrección de Bouguer por elevación y vale

δgh

= −0 1967. mgal/m (9.77)

α

(a)

P

(b) (c)

0 0 0P Ph

αρ

Fig. 9.10. Efectos sobre g de la topografía y el relieve: (a) mayor espesor de la corteza ex-terna; (b) y (c) elevaciones y depresiones cerca del punto de observación.

• Corrección por relieves vecinos al punto de observación. Esta corrección se llama tambiéncorrección topográfica. Si hay relieves (elevaciones o depresiones) cerca del punto de ob-servación (Fig. 9.10 b y c), la corrección de Bouguer está en error debido al exceso de masaencima del nivel de observación o al defecto debajo del mismo. En ambos casos la correc-ción es negativa y puede ser grande cerca de una pendiente fuerte. Si el ángulo α subtendidopor el relieve desde el punto de observación es pequeño (α < 10°) el efecto no supera 1 mgal.

Anomalías de Bouguer.

Aquellas desviaciones del valor de g que no se pueden descontar por las correcciones anterioresse llaman anomalías de Bouguer y su presencia indica variaciones anormales de la densidad enel interior de la Tierra. Por variaciones anormales entendemos desviaciones respecto a los valo-res medios ya discutidos cuando tratamos la variación de densidad en el interior de la Tierra.Luego de efectuar las correcciones de Bouguer los valores observados de g son en general apro-ximadamente correctos en tierra firme y cerca del nivel del mar. Pero suelen ser demasiado bajos(anomalías de Bouguer negativas) en los lugares altos como las altiplanicies. Viceversa son de-masiado altos (anomalías de Bouguer positivas) sobre los océanos. Este comportamiento indicaque bajo una extensión elevada la densidad media es menor que bajo de una depresión. Talesanomalías son evidencia de la isostasia, o sea la hipótesis de que la corteza terrestre flota sobreun manto fluido más denso8, de modo que las partes más elevadas corresponden a lugares dondela corteza es más gruesa y tiene una raíz de baja densidad que penetra más en el manto, y vice-versa en correspondencia con las depresiones la corteza es más delgada (Fig. 9.11).Si se supone equilibrio isostático se puede calcular teóricamente una corrección isostática. Seentiende por corrección isostática la que deriva de las variaciones de espesor de la corteza nece-sarias para el equilibrio isostático. Las anomalías isostáticas son las diferencias entre el valormedido de g y el valor teórico que se obtiene combinando los efectos de topografía y relieve conla corrección isostática. La presencia de anomalías isostáticas indica un apartamiento del equili-brio isostático, y por consiguiente la presencia de esfuerzos mecánicos en la corteza terrestre. Laobservación muestra que los continentes están muy aproximadamente en equilibrio isostático,

8 Este tema se trata en el Capítulo 13.

9. Gravitación

263

pero ciertas islas tienen anomalías de hasta + 0.1 gal, y en algunas fosas oceánicas hay anoma-lías negativas de hasta – 0.2 gal. Una anomalía positiva revela un empuje neto hacia abajo,mientras que una anomalía negativa indica un empuje neto hacia arriba.

corteza

manto fluido raízantiraíz

Fig. 9.11. Equilibrio isostático: la corteza es más gruesa bajo las elevaciones y más del-gada bajo las depresiones.

Otras anomalías de origen local

Diversas otras condiciones locales pueden dar lugar a anomalías y entre ellas mencionamos:• Densidad anormal de las rocas bajo la superficie. Difícilmente este efecto supera ~ 0.1 gal.• Variaciones de la densidad de las rocas superficiales. Generalmente es < 0.01 gal y se puede

tomar en cuenta cambiando el valor de ρ en la corrección por espesor de la corteza.• Alteraciones de la topografía oculta de la base cristalina cubierta por sedimentos. General-

mente es < 0.0005 gal.

Corrección de Eötvös

A veces se mide g desde plataformas en movimiento (barcos, aviones o vehículos terrestres). Esnecesario entonces descontar el efecto de la aceleración de Coriolis.

Fuerza de marea

La fuerza de marea es un efecto importante que tiende a deformar un cuerpo extenso sometido aun campo gravitatorio no uniforme. Para entender su origen consideremos el efecto del campogravitatorio de la Luna sobre la Tierra (Fig. 9.12).

α

Tierra

R

dr

Luna

Oz

π/2

Fig. 9.12. Geometría para el cálculo de la fuerza de marea.

Un objeto situado en un punto O de la Tierra está sometido al campo gravitatorio terrestre

g rTTGm

r= − ˆ

2 (9.78)

9. Gravitación

264

y al campo gravitatorio de la Luna

g dLLGm

d= − ˆ

2 (9.79)

Desde luego g gL T<< . Para ver el efecto de esta superposición para un observador en O es pre-ciso recordar que la Tierra cae hacia la Luna con la aceleración

a RTLGm

R= − ˆ

2 (9.80)

Para nuestro observador esta aceleración equivale a un campo gravitatorio ficticio:

g a Ra TLGm

R= − = ˆ

2 (9.81)

El campo total en O es entonces

′ = + + = − − +g g g g r d RT L aT L LGm

r

Gm

d

Gm

Rˆ ˆ ˆ

2 2 2 (9.82)

pero d R Rr r2 2 22= + +senα , luego

d Rr

R

r

R2 2

2

21 2= + +

senα (9.83)

Como R r≈ 60 tenemos que r R2 2<< y al orden más bajo en r R/ tenemos que

d Rr

R≅ +

1 senα (9.84)

Además d R Z= + +( sen ) ˆ cos ˆr R rα α y

ˆ ˆ cos ˆd R Z≅ +r

Rα (9.85)

Luego

′ ≅ − + −g r R ZGm

r

Gm

R

r

RT L

2 2 2ˆ ( sen ˆ cos ˆ)α α (9.86)

Por lo tanto el campo gravitatorio de la Luna, descontando la aceleración producida sobre la Tie-rra, deja un efecto neto dado por un campo que llamamos campo de marea y que vale

g R ZmLGm

R

r

R=

−2 2( sen ˆ cos ˆ)α α (9.87)

El campo de marea (Fig. 9.13a) es simétrico respecto del plano que pasa por el centro de la Tie-rra y es perpendicular a R (la dirección Luna-Tierra). También es simétrico por rotaciones al-rededor de R, luego la configuración completa se obtiene girando la Fig. 9.13a alrededor de R.En los puntos A y ′A situados sobre el eje Luna-Tierra gm se aleja del centro de la Tierra. En la

9. Gravitación

265

intersección de la superficie terrestre con el plano perpendicular a R que pasa por O, gm se di-rige hacia el centro de la Tierra. La fuerza de marea tiende pues a estirar la Tierra a lo largo de ladirección Tierra-Luna y a reducir su radio en sentido perpendicular a dicha dirección, para darleuna deformación en forma de cigarro (Fig. 9.13b).

R

α

A

z

A'

B

O

B'

a la Luna a la Luna

(a) (b)

Fig. 9.13. (a) El campo de marea. (b) La deformación que el campo de marea tiende a pro-ducir.

Para estimar la magnitud de gm podemos escribir

g R Zm TL

Tg

m

m

r

R=

−3

2( sen ˆ cos ˆ)α α (9.88)

con g Gm rT T= / 2 . El factor

m

m

r

RL

T

≈ × −3

85 10 (9.89)

es muy pequeño, de modo que gm es muy pequeño

g R Zm Tg≈ × −−5 10 28 ( sen ˆ cos ˆ)α α (9.90)

Sobre el eje Tierra-Luna senα = ±1 y gm ≈ ±0 1. mgal (por eso no lo tuvimos en cuenta en elestudio de g). Pero pese a ser pequeña la fuerza de marea tiene importantes consecuencias.

Esfera fluida sometida a la fuerza de marea

Si la Tierra estuviera cubierta por un océano y no rotara, por efecto del campo ′ = +g g gT m ad-quiriría una forma alargada en la dirección del eje Tierra-Luna y simétrica respecto del planoα = 0 . Para calcular esa forma escribimos gm como

g x zmLGm

Rx z= −3 2( ˆ ̂ ) (9.91)

donde x r= senα , z r= cosα . Definiendo el potencial del campo de marea como

9. Gravitación

266

φ αmL LGm

Rx z

Gm

R

r

R= − − =

−2

22

1 332 2

22( ) ( sen ) (9.92)

tenemos que ( ) /gm x m x= −∂φ ∂ , ( ) /gm z m z= −∂φ ∂ . El potencial total es

φ φ φ φ= + ′ = −∇T m , g (9.93)

o sea

φ α= − +

−Gm

r

Gm

R

r

RT L

21 3

22( sen ) (9.94)

En el equilibrio la superficie del océano debe ser perpendicular a ′g , luego corresponde aφ = cte. Podemos elegir la constante como −Gm rT / 0 , valor que tendría en ausencia de la fuerzade marea. Esta condición nos da la ecuación de la superficie:

1 1 12

1 30

22

r r

m

m R

r

RL

T= −

−( sen )α (9.95)

Como el efecto de marea es muy pequeño podemos poner r r r= +0 δ , (δr r<< 0 ), luego

1 11

0 0r r

r

r≅ −

δ(9.96)

Por la misma razón podemos poner r r202≈ en el término de marea. Obtenemos así:

δ α α δ αr rm

m

r

RrL

T( ) ( sen ) ( sen )=

− = −0

03

32 1

2 021

23 1 3 1 (9.97)

Luego la deformación es un estiramiento en la dirección α π= ± / 2 y una contracción en elplano α = 0 . La superficie dada por (9.97) es un elipsoide alargado cuyo eje mayor apunta en ladirección Tierra-Luna. El alargamiento es pequeño, ya que

δr rm

m

r

RL

T0 0

03

3 0 36=

≈ . m (9.98)

luego δ πr( / ) .± =2 0 54 m, δr( ) .0 0 18= − m . La excentricidad de la órbita lunar es ε = 0 054. ,luego R R Rmin ( ) .= − =1 0 956ε , R R Rmax ( ) .= + =1 1 054ε y δr0 varía en ±15% según sea laposición de la Luna en su órbita.

Efecto combinado de la Luna y el Sol

Podemos hacer un razonamiento idéntico para el efecto de la atracción solar y resulta

δr rm

m

r

RSS

T ST0 0

03

0 17, .=

≈ m (9.99)

9. Gravitación

267

donde RST es la distancia entre la tierra y el Sol. Los efectos debidos a la Luna y al Sol se com-binan y el resultado depende de las posiciones relativas de ambos astros (Fig. 9.14). Los efectosse restan cuando la Luna está en cuarto creciente o menguante y resulta

δ δ δr r rL S0 0 0 0 19= − ≈, , . m (9.100)

y se suman cuando se tiene Luna llena o Luna nueva y entonces

δ δ δr r rL S0 0 0 0 53= + ≈, , . m (9.101)

Teniendo en cuenta la excentricidad de la órbita lunar, resulta que el máximo es

δ α πr = ±( ) ≅/ .2 0 90 m (9.102)

Luna

al Sol

Luna

al Sol

Cuarto creciente

Luna

al Sol

al Sol

Luna

Luna llena

Cuarto menguante Luna nueva

Fig. 9.14. Efecto combinado de marea de la Luna y el Sol.

El plano de la órbita lunar está inclinado 18º respecto del ecuador terrestre. Si la Tierra respon-diera instantáneamente al campo de marea se produciría un abultamiento fijo respecto del ejeTierra-Luna (Fig. 9.15). Como la Tierra gira sobre su eje el abultamiento, visto desde un obser-vador en la Tierra, giraría siguiendo el movimiento aparente de la Luna. El período de revolu-ción de la Luna es de ≈ 28 días, luego el intervalo entre dos pasos sucesivos de la Luna por elmeridiano es de

242428

24 50h h h+ ≈ ′ (9.103)

9. Gravitación

268

El intervalo entre dos máximos de la marea lunar es pues de 12 h 25′ aproximadamente. A estohay que agregar la marea solar, cuyos máximos están separados por un intervalo de 12 h.

Mareas

No se deben confundir las deformaciones de que hablamos hasta ahora con las pleamares y ba-jamares que se observan en las costas, que son un efecto combinado del campo de marea y de larotación terrestre. En realidad el problema es complicado porque el agua de mares y océanos noresponde de inmediato al campo de marea tomando la configuración de equilibrio. La formacorrecta de analizar el problema es considerar que el campo de marea, visto desde un lugar de laTierra, equivale a una fuerza que varía periódicamente con el tiempo. En diferentes lugares lafuerza oscila con el mismo período pero con distinta fase. La respuesta de las masas de agua aeste campo variable9 plantea un problema análogo al de las oscilaciones forzadas de un resorte.Las oscilaciones, en este caso, son ondas. Análogamente al caso de las oscilaciones forzadas deun resorte, aparecen aquí dos tipos de efectos:• La resonancia, cuando la frecuencia excitadora es próxima a la de las oscilaciones libres del

sistema. En estos casos la amplitud de las mareas puede llegar a ser muy grande. Esto ocurreen algunos lugares del globo debido a la particular configuración de las costas. Por ejemploen la Bahía de Fundy y en Río Gallegos la amplitud de la marea supera los 10 m.

• La disipación de energía, relacionada con el desfasaje entre el desplazamiento y la fuerzaexcitadora. La disipación se debe básicamente a la generación de turbulencia en el movi-miento del agua. Esta disipación de energía produce interesantes efectos dinámicos en elsistema Tierra-Luna que pasamos a discutir ahora.

w

Luna

18˚

Fig. 9.15. El campo de marea gira respecto de la Tierra.

Efecto de las mareas sobre la rotación terrestre y la órbita lunar

La reacción de las fuerzas que disipan la energía de las mareas genera un momento que frena larotación de la Tierra. Esto conduce a un aumento de la longitud del día y finalmente llevará aque la rotación diurna del planeta se pondrá en sincronismo con la rotación del satélite. Tal cosaya ocurrió con la Luna, que muestra la misma cara (es decir hemisferio) a la Tierra, y también

9 Es importante en este contexto tener presente la componente horizontal del campo de marea.

9. Gravitación

269

con los demás satélites del Sistema Solar, que presentan todos la misma cara a sus respectivosplanetas.A medida que la rotación de la Tierra se frena disminuye su momento angular de rotación Lr,T .Pero el Sistema Tierra-Luna debe conservar su momento angular total L ya que las fuerzas ymomentos que estamos considerando son internos. Luego la disminución de Lr,T se debe com-pensar por un aumento del momento angular en otra parte del sistema, para que

L L L L= + + =r,T o r,L cte. (9.104)

donde Lr,L es el momento angular de rotación de la Luna y Lo es el momento angular orbital dela Luna. Si R es el radio de la órbita lunar (que para simplificar vamos a suponer circular) y T elperíodo, la velocidad de la Luna es v R TL = 2π / y el módulo de Lo vale

Lm R

TL

o =2 2π

(9.105)

Veremos en el Capítulo 10 que el momento angular de un cuerpo esférico de masa m y radio rque gira sobre su eje con velocidad angular ω es

L I ITr ≅ =ωπ2

(9.106)

donde I es el momento de inercia, cuyo orden de magnitud es I mr≈ 2. Suponiendo para simpli-ficar los cálculos que Lr,T , Lo y Lr,L están alineados, y recordando que T TL = porque la Lunamuestra siempre la misma cara a la Tierra, la (9.106) implica

I

T

m R

T

I

TT

T

L L+ + =2

cte. (9.107)

Dado que I m rL L L≈ 2 y que r RL << , podemos despreciar el último término de la (9.107) y queda

I

T

m R

TT

T

L+ =2

cte. (9.108)

Además por la III Ley de Kepler

TGm

RT

=2 3 2π / (9.109)

Sustituyendo en (9.108) obtenemos

I

Tm

Gm RT

TL

T+ ≅2π

cte. (9.110)

Diferenciando esta expresión resulta

IT

Tm

GmR RT

T

TL

Tδπ

δ21 21

2 2= − / (9.111)

9. Gravitación

270

Este resultado muestra que si el día se alarga la Luna se aleja de la Tierra (y aumenta su períodode revolución). Usando nuevamente la III Ley de Kepler en (9.111) obtenemos

δ δRI T

m RTTT

L TT= 2 2 (9.112)

Podemos escribir la (9.112) en una forma más útil para el cálculo:

δ δR

R

I

m R

T

T

T

TT

L T

T

T=

2 2

(9.113)

Ahora I m rT T T= 0 3308 2. y m R m rL T T2 244 28= . . Luego I m RT L/ .2 20 75 10≈ × − y T TT/ = 28 .

Por lo tanto

δ δR

R

T

TT

T≅ 0 42. (9.114)

Vemos así que si el día se alarga en 1s (δT TT T/ ≈ −10 5) la Luna se aleja de la Tierra enδR ≈ 1 6. km . Observaciones del crecimiento de corales fósiles han mostrado que efectivamentela duración del día ha aumentado. Hace 350 millones de años el año tenía unos 400 días en lugarde los 365 actuales, lo que implica un alargamiento del día de un 10 % y por lo tanto un aumentode la distancia de la Luna de un 4 % , que equivale a algo más de 15000 km.

Órbitas directas y retrógradas

El razonamiento que acabamos de exponer vale para un sistema como el de la Tierra y la Luna,en el cual la órbita es directa, es decir los tres momentos angulares Lr,T , Lo y Lr,L están apro-ximadamente alineados como lo indica la Fig. 9.16a. Entonces la disminución del momento an-gular de rotación del planeta debe ser compensada por un aumento del momento angular orbitaldel satélite para que se conserve el momento angular total L. La situación es diferente si el mo-vimiento orbital del satélite es retrógrado. En ese caso (Fig. 9.16b) para conservar L la dismi-nución del momento angular de rotación del planeta Lr,p debe ser compensada por una dismi-nución de Lo . Por lo tanto al revés que en el caso de la Luna el satélite se acerca al planeta pu-diendo caer en él si Lr,p es mayor que Lo . Un caso así es el de Tritón, el mayor satélite deNeptuno, que se mueve en sentido retrógrado. El momento angular de rotación de Neptuno esLr,N ≈ m rN N N

2ω donde

m m rN T N N≅ ≅ =17 2 25 000 2 16. , . km , hω π (9.115)

y el momento angular orbital de Tritón es Lo /= 2 2πm R Ts s donde

m m R Ts T s≅ ≅ =0 06 354000 145. , km , h (9.116)

Luego L Lo r,N<< y la disipación de las mareas generadas por Tritón sobre Neptuno terminarápor agotar el momento angular de Tritón y éste se acercará más y más a Neptuno.

9. Gravitación

271

L

Lo

Lr T

Lr, L

L

Lo Lr, p

Lr, s

(a) (b)

Fig. 9. 16. Momento angular de un sistema planeta-satélite. (a) El sistema Tierra-Luna. (b)Un planeta y un satélite en órbita retrógrada.

El límite de Roche

La fuerza de marea ejercida por la Luna sobre la Tierra es muy pequeña (apenas ~10–7g). Nosiempre es así, ya que si los cuerpos orbitan muy cerca el uno del otro esta fuerza puede ser muygrande. En particular, puede ser muy grande la fuerza sobre el satélite (es decir el cuerpo máspequeño) debida al planeta. Sobre la Luna el campo de marea debido a la Tierra está en relaciónde 1:105 con el campo gravitatorio de la Luna. El satélite Io orbita alrededor de Júpiter aproxi-madamente a la misma distancia que la Luna de la Tierra, y está sometido a una fuerza de mareamucho mayor aunque todavía pequeña, pues

g gM Io/ ≈ −10 2 (9.117)

Si un satélite orbitara mucho más cerca de su primario la fuerza de marea llegaría a ser tan in-tensa que lo rompería en pedazos. Para ver cuando esto ocurre calculemos las fuerzas a las queestá sometido un elemento de volumen de un satélite. Sobre un elemento como el de la Fig. 9.17,situado a una distancia r del centro, actúa la gravedad del satélite, cuyo campo es

g r x y z= − = − + +43

43π ρ π ρG r G r x y zˆ ( ˆ ˆ ̂ ) (9.118)

pues se debe a la masa contenida en ′ <r r . Además actúa la fuerza centrífuga debida a la rota-ción; si el satélite presenta siempre la misma cara al planeta (como ocurre siempre) ω π= 2 /Trdonde T R GMr = 2 3 1 2π ( / ) / es el período de revolución, M es la masa del planeta y R el radio dela órbita del satélite. El campo que produce es entonces

f r x y x yc x yGM

Rx y= = + = +⊥ω ω2 2

3( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) (9.119)

Por último actúa la fuerza de marea, cuyo campo es

g x y zmGM

Rx y z= − −3 2( ˆ ˆ ̂ ) (9.120)

9. Gravitación

272

El campo total es entonces ′ = + +g g f gc m.

w

planeta

r

x

y

z

dV

Fig. 9.17. Cálculo del efecto combinado de la fuerza de marea y la fuerza centrífuga sobreun satélite.

Vemos así que sobre el eje satélite-planeta ( y z= = 0) el campo es

′ = − +g G xGM

Rxx

43

3 3π ρ (9.121)

de modo que tanto la fuerza centrífuga como la de marea tienden a contrarrestar la gravedad.Sobre el eje y el campo es

′ = −g G yy43

π ρ (9.122)

porque la fuerza centrífuga cancela la fuerza de marea. Por último sobre el eje z la fuerza de ma-rea se suma a la gravedad:

′ = − −g G zGM

Rzz

43

12 3π ρ (9.123)

planetax

y

z

a

b

c

Fig. 9.18. Deformación de un satélite fluido debida a la rotación y al campo de marea.

Si el satélite fuera fluido la forma de equilibrio en el campo ′g sería un elipsoide con tres ejesdistintos: el mayor en la dirección x, el menor en la z y el intermedio en la y (Fig. 9.18). Sin em-bargo si R disminuye mucho el equilibrio ya no es posible porque el campo de marea y el de la

9. Gravitación

273

fuerza centrífuga crecen y a un cierto momento se llegaría a que ′ <gx 0 ; entonces el satélite, sifuera fluido, se rompería en pedazos10. La condición límite es ′ ≈gx 0 . Si ρ0 es la densidad delplaneta y R0 su radio, esto requiere

R R R≤ =

∗ 3 0

1 3

0ρρ

/

(9.124)

El valor crítico R* se llama límite de Roche11. En realidad nuestro resultado no es correcto, puesR R∗ ≈ 0 y para calcular el campo de marea usamos una fórmula aproximada que vale paraR R∗ >> 0 . Cálculos más exactos dan

RA

R A∗ ≈

= −

ρρ

01 3

0 8 14/

, (9.125)

Lo dicho vale para un satélite fluido que no opone resistencia a esfuerzos de tracción. Para uncuerpo sólido rocoso es necesario un acercamiento mayor, para que las fuerzas de marea puedanvencer la resistencia del material. Si Y es el esfuerzo límite que puede resistir el material (valorestípicos para rocas pueden ser 108-107 dy/cm2 o incluso tan poco como 106 dy/cm2), la ruptura seproduce cuando ρ ′ ≅g a Yx donde a es el radio del satélite. Tendremos entonces un nuevo valorcrítico RY

* diferente, dado por la condición

Y aGM

RG

Y

= −

ρ

πρ2

33 4

3*(9.126)

de donde obtenemos

RR

FF

Y

G aY*

*

/( ),=

+=

1 1 3 43

2 2π ρ(9.127)

Para un dado Y, F disminuye con a, de modo que RY* aumenta y se acerca a R* . Luego si

F R RY<< ⇒ ≈1 * * (9.128)

Esto ocurre para cuerpos de gran tamaño que cumplen

a aY

G>> ≡*

43

2π ρ(9.129)

con ρ ≅ 2 5. g/cm3 , Y ≈ 107 dy/cm2 resulta a* ≈ 25 km . Luego un objeto de esta clase con a >25 km se rompe cuando llega a una distancia R RY≈ * . Uno mucho más pequeño se precipita en-tero sobre el planeta.

10 Este es el destino de Tritón, que como está orbitando en sentido retrógrado de acerca a Neptuno.11 El límite de Roche tiene también otro significado; a saber, que a distancias menores que el límite de Roche es

imposible que se forme un satélite por acreción de masa. Esto es lo que ocurre con los anillos de Saturno.

9. Gravitación

274

Comentarios

En este Capítulo introdujimos la Teoría Newtoniana de la gravitación y presentamos algunas desus consecuencias, complementando el estudio del movimiento planetario que hicimos en el Ca-pítulo 7. Más allá del éxito de la teoría es oportuno comentar un aspecto básico de la misma. Setrata de que la Ley Universal de la Gravitación (9.18) implica la idea de acción a distancia, esdecir de una fuerza que se ejerce entre cuerpos separados, sin un intermediario material entre losmismos. Este concepto es contrario a la intuición y preocupó a los científicos de la época, inclu-yendo el mismo Newton. Casi un siglo después de Newton el gran matemático Leonhard Eulerdecía: “si se viera que un carro sigue a los caballos sin estar de ningún modo vinculado a ellos ysin ver ni cuerda ni otro dispositivo que conecte los caballos al carro, no se diría que el carro estásiendo atraído por los caballos …” y agrega: “los filósofos ingleses sostienen que atraerse mu-tuamente es una propiedad esencial de todos los cuerpos … como si estuviesen dotados de unasuerte de sentimiento o deseo” y afirma que esta idea “repugna al intelecto” de igual modo quelas cualidades ocultas de los antiguos filósofos, según los cuales el opio hace dormir porque estádotado de la “virtud de adormecer” y “entonces se tendría que considerar que la atracción es unacualidad oculta” que no debería tener lugar en la Física.De manera semejante Huygens y Leibnitz, aún reconociendo el valor de los resultados obtenidospor Newton sobre el movimiento planetario y las mareas, criticaron el concepto de acción a dis-tancia y lo consideraron incomprensible cuando no absurdo. En cuanto a Newton, si bien no ig-noraba la dificultad, adoptó una actitud pragmática al afirmar que “la gravedad existe de hecho yexplica todos los movimientos de los cuerpos celestes y del mar”. Sin embargo reconocía quesobre esta cuestión aún no se había dicho la última palabra.Como se ve el asunto reviste un carácter filosófico y su origen proviene de que para explicar lascosas en un cierto nivel de la realidad hace falta invocar propiedades de cosas que pertenecen aun nivel más profundo. Como no se puede seguir indefinidamente por esta vía es necesario dete-nerse en algún punto y admitir que las propiedades de las cosas que pertenecen al nivel en quenos hemos detenido no tienen explicación y se deben aceptar siempre y cuando las consecuen-cias que se derivan de ellas estén de acuerdo con la observación y los experimentos.La introducción del potencial gravitatorio y el campo gravitatorio elimina el problema de la ac-ción a distancia, pues implica que la presencia de todo cuerpo material se traduce en propiedadesde los puntos del espacio, de modo tal que por el hecho de ubicarse en un punto dado cualquierotro objeto adquiere una energía potencial gravitatoria y siente una fuerza de atracción, propie-dades ambas que pertenecen al punto donde se encuentra el objeto. Pero la eliminación del pro-blema es sólo formal e introduce en su lugar un nuevo problema pues no se explica en virtud dequé los puntos del espacio tienen que poseer esas propiedades.Del mismo modo la acción a distancia no aparece en el marco de la Relatividad General pues enesa teoría el espacio-tiempo no es un receptáculo pasivo de los eventos sino que forma parte dela descripción de la realidad. La acción a distancia tampoco aparece en la Teoría Cuántica deCampos en la cual (como mencionamos en la Introducción) toda interacción ocurre por mediodel intercambio de los bosones mensajeros. En todos estos casos, sin embargo, sigue siendocierto que hay que aceptar sin explicación las propiedades de los entes fundamentales en que sefunda la teoría.