Laboratorio 1: Los Satlites Terrestres y la Tercera Ley de Kepler. Colombi, Maria Paula (colombimp@gmail.com); Costa, Alejo (alejocostaduran@gmail.com); Gauto, Maximiliano (arielm60@gmail.com). Laprebende, Joaqun (joaquinlaprebrebende08@gmail.com), Pagano, Paula (paulipagano7@gmail.com).Fsica Experimental II (2015) Laboratorio de Enseanza de la Fsica, Departamento de Fsica, Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata.

En el presente informe se estudia la validez de la tercera ley de Kepler, considerando el sol y distintos planetas como cuerpo atractor y se analiza tambin su independencia del tipo de orbita elipitica. Se trata de obtener adems una relacin entre la constante de Kepler, que llamaremos "", y la masa del cuerpo atractor.

I. Introduccin

Desde los comienzos de la civilizacin fueron propuestos muchos modelos relacionados con el movimiento de los cuerpos celestes, en dichos modelos generalmente se ubicaba a la Tierra como centro geomtrico del Universo. Ptolomeo fue aquel que propuso una teora que describe el movimiento de los planetas alrededor de la Tierra.En el siglo XVI Nicols Coprnico(1473-1543) propuso otro sistema de referencia situado en el Sol, respecto al cual el movimiento de los planetas tena una descripcin ms sencilla. El Sol coincide prcticamente con el centro de masa del sistema y se mueve ms lentamente que los planetas.Lo propuesto por Coprnico ayud a Johannes Kepler (1571-1630), quien luego de trabajar cierto tiempo con el astrnomo Tycho Brahe (1546-1601) hered las mediciones precisas y cuidadosas del movimiento planetario. Realizando un anlisis cuidadoso de dichas anotaciones descubri las leyes del movimiento planetario (denominadas leyes de Kepler), que se enuncian de la siguiente manera:1. Los planetas describen rbitas elpticas, estando el sol en uno de sus focos.2. El vector posicin de cualquier planeta con respecto al sol barre reas iguales de la elipse en tiempos iguales. 3. Los cuadrados de los perodos de revolucin son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de los planetas al sol.Buscamos verificar la Tercera Ley, a partir de la recoleccin de datos como la excentricidad, semiejes de las rbitas, perodo, apogeo y perigeo; realizando el anlisis correspondiente de dichos datos mediante tablas y grficos en ejes coordenados que representan esta relacin.

II. Mtodo experimental

En esta experiencia podremos notar tres secciones, la primera seccin relacionada con la Actividad n 1 y la Actividad n4 verificaremos la Tercera Ley para los planetas y el Cometa Haley en torno al Sol, en la segunda seccin especficamente realizamos un anlisis especfico de los datos obtenidos respecto a satlites que orbitan alrededor de la Tierra (Actividad n2 y Actividad n3). Finalmente en la ltima seccin se estudian tres planetas del Sistema Solar y el movimiento de sus lunas. De esta forma se ver que dicha Ley no solo describe el movimiento planetario sino que describe tambin el movimiento de diferentes cuerpos en torno a otros objetos ms msicos que ellos. Toda la informacin necesaria para este trabajo se extrajo de diversas fuentes, especificadas en la bibliografa. La compilacin de los datos y el anlisis de los mismos fue realizada por los programas Excel y OriginPro 8.0

III. Resultados-Primera seccin:

Actividad N1En esta actividad se recolect informacin (excentricidad, semiejes, periodo de revolucin) de los distintos planetas que conforman el Sistema Solar; dicha informacin se obtuvo de dos fuentes (referencia 1); para verificar la Tercera Ley de Kepler segn: (ec. 1)Siendo la constante de proporcionalidad, T el periodo de revolucin y r el radio orbital medio.En la Tabla 1 se pueden visualizar todos los datos recolectados:

PlanetaMercurioVenusTierraMarteJpiterSaturnoUranoNeptuno

Excentricidad0,2050,00680,01670,09330,04840,05420,04720,0086

Semieje mayor(metros)5,79x10^101,08x10^111,50 x 10^112,28 x 10^117,78 x 10^111,43x10^122,87 x 10^124,5x10^12

Semieje menor(metros)2,19x10^107,82x10^101,49x10^112,34x10^111,22x10^121,16 x 10^132,22x10^146,69x10^15

Periodo de revolucin(segundos)7,6 x 10^61,94 x 10^73,15 x 10^75,93 x 10^73,74x10^89,33x10^82,65x10^95,2 x 10^9

Tabla N1: Datos de los planetas que orbitan alrededor del sol.

En el Grfico 1 se muestra la grfica del periodo orbital de los planetas (eje y), en funcin del semieje mayor de sus rbitas (eje x). En este podemos notar que al hacer el ajuste, nos devuelve una funcin lineal de la forma y=mx+b, en la cual m es nuestra pendiente de realizar el clculo (ec.2), la cual provino de despejar alfa de la (Ec. 1).Una vez realizado este procedimiento se obtuvo =3,14 x 10^-19 2 x 10^-21, con una ordenada al origen de -4,90284 x 10^16 6,0966 x 10^16, la cual est dentro de nuestras consideraciones ya que el cero pertenece al intervalo formado por la incertidumbre. Finalmente el = 0,99976.

Grfico N1: Ajuste lineal del periodo al cuadrado , en funcin del semieje mayor al cubo .

Por otra parte, realizamos el ajuste correspondiente en el Grfico N2 fijando la ordenada al origen en cero, este paso lo realizamos dado que supusimos que en el ajuste del Grfico N1 la ordenada nos haba devuelto un valor mucho ms grande de lo esperado. En este caso = 3,14 x 10^-19 2 x 10^-21. Finalmente el ajuste volvi a ser un resultado que est en nuestras consideraciones, = 0,99979.

Grfico N2: Ajuste lineal del periodo al cuadrado , en funcin del semieje mayor al cubo , en este caso ajustando la ordenada al origen para que pase por el punto (0,0).

Actividad N4El cometa Halley describe una rbita elptica alrededor del sol con una excentricidad alta. En su perihelio se encuentra a 8.75x10^7 km del sol, y en su afelio a 5.26x10^9 km. Es posible con estos datos calcular el semieje mayor de su rbita, siendo ste:

Obtenindose . Puede ser calculada con estos datos tambin la excentricidad de su rbita, sabiendo que la excentricidad de una rbita elptica es:

siendo el valor obtenido e=0.96727443. Debido a que el cometa Halley es un cuerpo que orbita el sol, es posible considerar la tercera ley de Kepler y obtener el periodo de la rbita de este cometa, utilizando el valor de alfa hallado en la actividad uno y la ecuacin 1. Realizando la propagacin de errores correspondiente se llega a que el periodo del cometa Halley es:

-Segunda seccin:

Actividad N2En este caso se recopil informacin de 34 satlites artificiales de la pgina web www.n2yo.com/database.Se clasificaron en 4 grupos: A. rbitas bajasB. GPSC. Geoestacionarios D. Excentricidad cercana a 1

Se seleccion 10 satlites de cada grupo, en el caso de los excntricos solo 4) y se tomaron datos de los mismos (nombre, id, apogeo, perigeo, periodo orbital, semi-eje mayor, y datos instantneos) a fin de analizarlos y verificar si se cumple la 3 Ley de Kepler.

Tabla N2: Datos de los Satlites artificiales seleccionados

Satlites de rbitas bajas:

Satlites GPS:

Satlites Geoestacionarios:

Satlites de excentricidad cercana a 1:Nombreperigeo (km)apogeo (km)periodo (min)semieje (km)idexcentricidad

1VEP422,835971638,724568229790,72346548

2DASH/VEP 3467,134951619,824080273680,71602782

3MDS 1250,816206292,614599273670,54644839

4TEAMSAT570,126600467,619956250250,6521823

Con los datos arrojados por la Tabla N2 se realiz un ajuste lineal mediante el software OriginPro 8.0 de forma anloga al realizado en el caso del sistema solar, donde en este caso el cuerpo atractor es el Planeta Tierra. Se utiliza adems 4 tipos de satlites distintos ya que estos poseen rbitas distintas, de esta manera se verifica que el valor de es independiente del tipo de rbita.En total se realizaron cuatro ajustes lineales de los datos de la Tabla N2 uno por cada grupo de satlites, con los siguientes resultados:

Satlites de rbitas bajas:

Grfico N3: Ajuste lineal del periodo al cuadrado , en funcin del semieje mayor al cubo , en este caso para satlites de rbitas bajas.

En el grfico anterior se puede observar la relacin lineal obtenida en la cual el valor de la constante =9,91 x 10^-14 3 x 10^-16, con una ordenada al origen de -5.250,16262 91.821,57341, la cual est dentro de nuestras consideraciones ya que el cero pertenece al intervalo formado por la incertidumbre.

Satlites GPS:

Grfico N4: Ajuste lineal del periodo al cuadrado , en funcin del semieje mayor al cubo , en este caso para satlites GPS.

En el Grfico N4 se representa el ajuste lineal obtenido para satlites GPS en el cual el valor de la constante en este caso es =9,899 x 10^-14 6x 10^-17, y una ordenada al origen de 1,09414 x 10^6 1,18452 x 10^6, en donde el cero pertenece al intervalo formado por la incertidumbre.

Es posible apreciar en una primera impresin analizando los grficos de los ajustes de los satlites de rbitas bajas y satlites GPS que la constante de proporcionalidad no vara de forma sustancial entre un tipo de satlite y otro, esto sugiere que tal constante es independiente del tipo de rbita satelital.

Esta primera conclusin se podr reforzar analizando los resultados de los ltimos 14 satlites correspondientes al grupo de satlites Geoestacionarios y de excentricidad alta.

Satlites Geoestacionarios:

Grfico N5: Ajuste lineal del periodo al cuadrado , en funcin del semieje mayor al cubo , en este caso para satlites Geoestacionarios.

En el Grfico N5 corresponde al ajuste lineal obtenido para satlites Geoestacionarios en el cual el valor de la constante es =9,904x 10^-14 4 x 10^-17, y una ordenada al origen de -308.905,5197 2,87895 x 10^6, en donde el cero pertenece al intervalo formado por la incertidumbre.

Satlites de excentricidad cercana a 1:

Grfico N6: Ajuste lineal del periodo al cuadrado , en funcin del semieje mayor al cubo , en este caso para satlites Excntricos.

En el Grfico N6 corresponde al ajuste lineal obtenido para satlites Geoestacionarios en el cual el valor de la constante es =9,91x 10^-14 3x 10^-16, y una ordenada al origen de -5250,1626291821,57341, en donde el cero pertenece al intervalo formado por la incertidumbre.

Resumen:Grupo de satlitesConstante de proporcionalidad ()

rbitas bajas9,91 x 10^-14 3x 10^-16

GPS9,899 x 10^-14 6x 10^-17

Geoestacionario9,904 x 10^-14 4 x 10^-17

Excntricos9,91 x 10^-14 3x 10^-16

Promedio de 9,91x10^-14 2x10^-16

Observando los resultados anteriores es claro que la constante de proporcionalidad establecida por la 3 Ley de Kepler no vara de forma apreciable entre los diferentes grupos de satlites, lo que nos indica que es independiente del tipo de rbita satelital y permanece invariante con respecto al cuerpo atractor (la Tierra).Sabiendo el valor promedio de podemos calcular la masa de la Tierra usando que: (ec.5)Siendo G la constante de gravitacin universal.Podemos despejar y, con la propagacin de error correspondiente, se obtiene

-Tercera seccin:

Se desea verificar ahora que la tercera ley de Kepler se cumple an objetos orbitando bajo la fuerza de un cuerpo atractor distinto al sol o la tierra. Para esto, se toman los datos de periodo y semieje mayor de las lunas de los planetas Saturno, Neptuno y Urano. Obtenindose los siguientes datos:

Tabla N3: Datos de los planetas y sus satlites naturales correspondientes (lunas)Saturno:Luna:Semieje mayor (Km)Periodo (h)

Methone19444024.24

Pan13358013.8

Daphins13650014.3

Epimetheus15141016.7

Aegaeon16750019.4

Mimas18554022.6

Pandora14172015.1

Anthe19770024.876

Pallene21228027.7

Enceladus23804032.88

NeptunoLunaSemieje mayor (Km)Periodo (h)

Naiad482277.06

Tahalassa500757.46

Despina525268.04

Galatea6195310.3

Larissa7354813.3

S/2004N110530022.5

Proteus11764726.93

UranoLunaSemieje mayor (Km)Periodo (h)

Cordelia498008.04

Ophelia53809.02

Bianca5920010.4

Cressida6180011.1

Desdemona6270011.4

Juliet6440011.8

Portia6610012.3

Rosalind6990013.4

Cupid7439214.7

Estos datos fueron insertados en Origin para realizar un ajuste lineal, realizando el mismo procedimiento que en las actividades 1 y 2, para obtener el valor de alfa correspondiente a cada planeta. A continuacin se encuentran los grficos de los datos experimentales con sus ajustes lineales:

Grfico N7: Periodo al cuadrado en funcin de semieje mayor al cubo de las lunas de Saturno y ajuste lineal.

Grfico N8: Periodo al cuadrado en funcin de semieje mayor al cubo de las lunas de Neptuno y ajuste lineal.

Grfico N9: Periodo al cuadrado en funcin de semieje mayor al cubo de las lunas de Urano y ajuste lineal.

Como se observa en los grficos, se logr un buen ajuste de los datos, con un muy cercano a 1, verificando as que la tercera ley de Kepler se cumple, considerando al cuerpo atractor cualquier planeta. Pero es necesario notar que el valor de alfa es distinto para cada planeta, es decir, si bien se cumple la relacin lineal dada en la ecuacin 1, la constante alfa es una funcin que depender de alguna propiedad del cuerpo atractor. En la actividad 2 se calcul la masa de la tierra a partir del valor de la constante de Kepler para la tierra obtenida en la actividad 1, mediante la relacin dada en la ec. 5, que se recuerda es:

Como G y son valores constantes, se ve que el valor de alfa satisface la siguiente relacin: (ec.6)

Es decir, se satisface una relacin lineal entre la constante alfa y el valor inverso de la masa del cuerpo atractor. Verificaremos esta relacin con los valores de alfa reportados para el Sol, la Tierra, Saturno, Neptuno y Urano. Los datos a utilizar son los siguientes:

Tabla N4: Valor correspondiente de Alfa y la masa de cada cuerpo atractor:Cuerpo atractorAlfa ()Masa (Kg)

Sol3.137*1.98*

Tierra9.899*5.97*

Saturno1.038*5.68*

Urano5.722*8.68*

Neptuno6.84*1.02*

Como se observa en la tabla, la masa del sol es mucho mayor que la de cualquiera de los otros planetas. Esto, al ser graficados los datos, har que los puntos correspondientes a la Tierra, Saturno, Urano y Neptuno se encuentren muy juntos, generando un gran error en el ajuste. Por esta razn se decide no utilizar los datos obtenidos para el Sol. El grfico obtenido es el siguiente:

Grfico N10: Alfa en funcin del inverso de la masa de los planetas de la tabla N3.

Queda evidente en el grfico que los datos obtenidos para la tierra se encuentran muy alejados de los datos del resto de los planetas. Obtenindose as una situacin similar a la descripta para el sol, para verificar que esto no afecte al ajuste, se realiza el mismo sin considerar ahora los datos reportados para la tierra generando los siguientes resultados:

Grfico 11: Alfa en funcin del inverso de la masa (Sin considerar la tierra), y ajuste lineal.

El valor de la constante K obtenido al obviar los datos correspondientes a la tierra es mientras que el obtenido al considerar la tierra es , y en ambos el valor de es muy cercano a 1. Esto quiere decir que el considerar los datos de la tierra, por ms que estos se encuentren muy alejados del resto no aport un error al ajuste logrado. Se considera entonces el valor obtenido en el ajuste lineal representado en el grfico 9.Se observa entonces que alfa es una funcin de la masa del cuerpo atractor, siendo esta funcin la siguiente:

IV. Conclusiones

En esta experiencia descubrimos que, para todos los cuerpos celestes estudiados, se verifica la Tercera Ley de Kepler, y efectivamente el cuadrado del perodo de rotacin es proporcional al cubo del semieje mayor. Obtuvimos diferentes resultados para la constante . Fue una experiencia muy til para poder visualizar de manera clara un ejemplo de una dependencia lineal y conocer el significado fsico de la pendiente de la recta que se obtuvo (que en este caso es la constante ). Adems, notamos que el valor numrico de era independiente del tipo de rbita y de la masa del objeto estudiado, sino que depende de cun masivo es el atractor (coincidiendo con los resultados tericos).

V. Bibliografa-Los datos planetarios fueron obtenidos de la prctica n1 de la ctedra de Fsica General II, y del sitio http://www.wolframalpha.com/- Los datos de los satlites fueron obtenidos de http://www.n2yo.com/

VI. Anexo

Se incluyen aqu las propagaciones de errores experimentales:

Propagacin de error para el clculo de la masa de la tierra (Segunda seccin):

Se tiene por la ecuacin 5:

En donde el nico valor que contiene una incerteza es . Por lo tanto, se tiene:

Propagacin de error para el clculo del periodo de rotacin del cometa Halley (Primer seccin):

Se tiene de acuerdo a la ecuacin 1:

Por lo que:

En donde el nico valor con una incerteza es , llegando a que: