GRAVITACIÓN UNIVERSAL

MOMENTO DE UNA FUERZA

(RESPECTO A UN PUNTO)

FUERZA

Es toda causa que modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo o que produce en él una deformación

𝐹 = 𝑚 · 𝑎; [𝑁]

𝑁 =𝑘𝑔 · 𝑚

𝑠2

MOMENTO DE UNA FUERZA

A es un punto fijo del espacio determinado por un vector de posición 𝒓

𝑭 es una fuerza que está aplicada sobre el punto A

Se llama MOMENTO de una fuerza 𝑭 respecto a un punto fijo O, que es el origen del sistema de referencia, al producto

vectorial de 𝒓 × 𝑭

MOMENTO DE UNA FUERZA

Se indica con 𝑴 y es un vector.

MÓDULO: 𝑴 = 𝒓 · 𝑭 · 𝐬𝐢𝐧𝜶

DIRECCIÓN: perpendicular a 𝒓 𝒚 𝑭. SENTIDO: calculamos el determinante.

𝑴 =𝒊 𝒋 𝒌𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝒓𝒛𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛

𝑴 = 𝒓 × 𝑭 Unidades SI: N·m

EJEMPLO

𝑭 = 𝒊 − 𝟑𝒋 + 𝟐𝒌 𝑵

𝑷 = 𝟏, 𝟎, 𝟒 𝒎 → 𝒓 = 𝒊 + 𝟒𝒌 𝒎

𝑴 = 𝒓 × 𝑭 =𝒊 𝒋 𝒌𝟏 𝟎 𝟒𝟏 −𝟑 𝟐

= −𝟑𝒌 + 𝟒𝒋 + 𝟏𝟐𝒊 − 𝟐𝒋 =

= 𝟏𝟐𝒊 + 𝟐𝒋 − 𝟑𝒌 𝑵 · 𝒎

𝑴 =𝟏𝟐𝟐−𝟑𝑵 · 𝒎

MOMENTO DE INERCIA

Es la tendencia de un cuerpo a mantener el estado de inercia o de rotación.

Depende de la geometría de cada cuerpo y se calcula como:

𝐼 = 𝑟2𝑑𝑚

MOMENTO DE INERCIA

Para masas puntuales que giran en torno a su eje, resolviendo la integral, se obtiene:

Que es válido para planetas y satélites debido a que en nuestras aproximaciones podemos considerarlos masas puntuales.

MOMENTO DE INERCIA

𝐼 = 𝑚𝑟2

MOMENTO ANGULAR

MOMENTO LINEAL

Si consideramos una PARTÍCULA de las siguientes características: m → Masa 𝒓 → vector de posición respecto a O 𝒗 → vector velocidad de la partícula 𝒑: momento lineal o cantidad de movimiento.

𝒑 = 𝒎 · 𝒗

MOMENTO ANGULAR Es el producto vectorial del vector de posición por la cantidad de movimiento.

𝑳 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒓 × 𝒎 · 𝒗 = 𝒎 · 𝒓 × 𝒗 = 𝑰𝝎

Unidades SI: 𝑲𝒈 · 𝒎𝟐𝒔

MÓDULO: 𝑳 = 𝒓 · 𝒑 · 𝐬𝐢𝐧𝜶 = 𝒓 · 𝒎 · 𝒗 · 𝐬𝐢𝐧𝜶 DIRECCIÓN: perpendicular al plano formado por 𝒓 𝒚 𝒗. SENTIDO: calculamos el determinante.

CONSERVACIÓN DE 𝐿

Para que se conserve una magnitud física en el tiempo se tiene que cumplir que la derivada primera de dicha cantidad respecto del tiempo sea nula. En nuestro caso:

𝒅𝑳

𝒅𝒕= 𝟎 ⇔ 𝑳 = 𝒄𝒕𝒆

𝒅𝑳

𝒅𝒕=𝒅 𝒓 ×𝒎 · 𝒗

𝒅𝒕=𝒅𝒓

𝒅𝒕×𝒎 · 𝒗 + 𝒓 ×

𝒅(𝒎 · 𝒗)

𝒅𝒕

1

2

1.𝒅𝒓

𝒅𝒕×𝒎 · 𝒗 = 𝒎 · 𝒗 × 𝒗 = 𝟎

Obviamente 𝒗 ∥ 𝒗

2. 𝒓 ×𝒅(𝒎·𝒗)

𝒅𝒕= 𝒓 ×

𝒅𝒎

𝒅𝒕· 𝒗 +𝒎 ·

𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝒓 ×𝒎 · 𝒂 =

= 𝒓 × 𝑭 = 𝑴

𝒅𝑳

𝒅𝒕= 𝑴

CONSERVACIÓN DE 𝐿

CONSERVACIÓN DE 𝐿

En un sistema, la variación del momento angular de una partícula con respecto al tiempo es igual al momento de la fuerza resultante sobre la partícula.

En un sistema aislado en el que se cumple que 𝑴 = 𝟎, el

MOMENTO ANGULAR SE CONSERVA, es decir, su módulo, dirección y sentido son constantes en el tiempo.

1) 𝑭 = 𝟎 2) 𝒓 = 𝟎 3) 𝒓 𝒚 𝑭 misma dirección

CONSERVACIÓN DE 𝐿

Cuando 𝑳 = 𝒄𝒕𝒆 , la trayectoria de la partícula es plana porque si la trayectoria cambiara de plano, como la

dirección de 𝑳 es perpendicular a dicho plano, esta también cambiaría y ya no se conservaría el momento angular.

El sentido de giro no puede cambiar ya que esto implicaría

que el sentido del momento angular se invertiría.

FUERZAS CENTRALES

FUERZAS CENTRALES

Una fuerza es central cuando su dirección pasa siempre por un punto fijo. Cuando el vector posición, 𝒓, del punto donde se aplica una fuerza es paralelo al vector de la fuerza,

𝑭, independientemente del lugar elegido, a esta fuerza se la denomina CENTRAL.

Ejemplos: Fuerza elástica. Fuerza gravitatoria. Tensión de una cuerda girando.

CARACTERÍSTICAS

Son fuerzas conservativas: se les asocia una Energía Potencial (que sólo depende de la posición).

Las fuerzas centrales pueden dar lugar a dos situaciones:

Fuentes: el sentido es hacia fuera. Fuerzas positivas. Sumideros: el sentido es hacia dentro. Fuerzas

negativas.

Se conserva el momento angular (𝐿 = 𝑐𝑡𝑒) ya que en este

tipo de fuerzas siempre se cumple que 𝑟 𝑦 𝐹 tienen la misma dirección.

LEYES DE

KEPLER

LEY DE LAS ÓRBITAS

1. Los planetas, al girar alrededor del Sol describen órbitas elípticas planas, estando el Sol en uno de sus focos.

da = distancia del sol al afelio

dp = distancia del sol al perihelio

a = semieje mayor de la elipse

2a = eje mayor de la elipse

Distancia media del planeta al Sol: 𝑎 =𝑑𝑎+𝑑𝑝

2

LEY DE LAS ÁREAS 2. Los vectores de posición que proporcionan la posición

del planeta barren áreas iguales en tiempos iguales. (Se

conserva 𝑳; tanto en módulo (mayor velocidad cerca del Sol) como en dirección (órbita plana).

La velocidad es mayor en las posiciones más cercanas al sol.

𝑅𝑃 · 𝑉𝑃 = 𝑅𝐴 · 𝑉𝐴

∆𝑆

∆𝑡= 𝑐𝑡𝑒

𝑆 =1

2𝑅 · ∆𝑥 =

1

2𝑣 · ∆𝑡 · 𝑅

∆𝑆

∆𝑡=12𝑅 · 𝑣 · ∆𝑡

∆𝑡=1

2𝑅 · 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒

𝑅 · 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 (la constante depende del

sistema concreto)

LEY DE LOS PERÍODOS

3. El cociente entre el cuadrado del periodo y el cubo del radio es constante para todos los planetas que giran alrededor de una estrella.

𝑇2

𝑅3= 𝑐𝑡𝑒

(la constante cambia en función del sistema)

T → periodo de revolución del planeta alrededor de la estrella sobre la que gira. R → distancia media a la estrella (lo conocimos antes como “a”)

LEY DE LA

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Cuando un planeta está girando, la fuerza que existe es la Fuerza Centrípeta:

𝐹𝐶 =𝑚 · 𝑣2

𝑅

𝑣 =𝒆

𝒕=2𝜋𝑅

𝑇

𝐹𝐶 =𝑚 · 4𝜋2 · 𝑅2

𝑇2 · 𝑅= 4𝜋2

𝑚 · 𝑅

𝑇2

Teniendo en cuenta la 3ª ley de Kepler: 𝑇2

𝑅3= 𝑐𝑡𝑒 = 𝐾; 𝑇2 = 𝐾 · 𝑅3

𝐹𝐶 = 4𝜋2𝑚 · 𝑅

𝐾 · 𝑅3 Obtenemos: 𝐹𝐶 =

4𝜋2 · 𝑚

𝐾 · 𝑅2

La FUERZA es, directamente proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia medida desde el Sol.

Además, la constante K depende de la masa del Sol: 4𝜋2

𝐾= 𝑀 · 𝐺 donde G es la Constante de Gravitación

Universal.

𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁·𝑚2

𝐾𝑔2

𝐹𝐶 = 𝐺 ·𝑀 · 𝑚

𝑅2

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

¡¡¡Ojo!!! Estamos hablando de una fuerza central de tipo SUMIDERO, sabemos que este tipo de fuerzas tienen signo negativo, pero ¡¡¡sólo si estamos escribiendo la fuerza vectorialmente!!! 𝑢𝑟 es un vector unitario (módulo 1) en dirección radial. Por lo tanto, la representación vectorial de la fuerza centrípeta será:

𝐹 = −𝐺 ·𝑀 · 𝑚

𝑅2· 𝑢𝑟

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La galaxia Andrómeda dista 2 · 1022 𝑚 de la nuestra. La masa de la Vía Láctea es de 6 · 1041𝐾𝑔 mientras que la masa de Andrómeda es 7 · 1041𝐾𝑔. Tratando a ambas galaxias como partículas (debido a la distancia entre ellas), determina la fuerza gravitatoria de Andrómeda sobre la Vía Láctea.

EJEMPLO

La galaxia Andrómeda dista 2 · 1022 𝑚 de la nuestra. La masa de la Vía Láctea es de 6 · 1041𝐾𝑔 mientras que la masa de Andrómeda es 7 · 1041𝐾𝑔. Tratando a ambas galaxias como partículas (debido a la distancia entre ellas), determina la fuerza gravitatoria de Andrómeda sobre la Vía Láctea.

𝐹 = −𝐺 ·𝑚 · 𝑀

𝑅2𝑢𝑟

𝐹 = −6′67 · 10−11 𝑁·𝑚2

𝐾𝑔2

6 · 1041𝐾𝑔 · 7 · 1041𝐾𝑔

2 · 1022 2𝑚2𝑢𝑟

𝐹 = −7′0035 · 1028𝑢𝑟 𝑁

EJEMPLO

Principio de superposición

La interacción entre dos masas es independiente de la presencia de otra tercera.

Cuando tenemos un sistema con varias partículas, la fuerza de atracción que sufre cada una de ellas es la suma vectorial de las fuerzas gravitatorias a las que se ve sometida.

𝐹5 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 + 𝐹4

𝐹 = 𝐹𝑖

Cuatro masas de 1 Kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula la fuerza gravitatoria que ejercen 3 de las cuatro masas sobre la cuarta.

EJEMPLO

Cuatro masas de 1 Kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula la fuerza gravitatoria que ejercen 3 de las cuatro masas sobre la cuarta.

Voy a calcular la fuerza sobre m1. Para ello sitúo dicha

masa en el centro del sistema de referencia. Para calcular 𝐹 aplico el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

𝐹 = 𝐹2 + 𝐹3 + 𝐹4

𝐹2 = 𝐺𝑚1𝑚2

1𝑚 2= 6′67 · 10−11𝑁 𝐹2 = 6

′67 · 10−11𝑖 𝑁 Componente x

𝐹4 = 𝐺𝑚1𝑚4

1𝑚 2= 6′67 · 10−11𝑁 𝐹4 = 6

′67 · 10−11𝑗 𝑁 Componente y

𝐹3 = 𝐺𝑚1𝑚3

2𝑚2 = 3

′34 · 10−11𝑁 Componente x más componente y

EJEMPLO

Tenemos que calcular la descomposición de la fuerza. Al ser la diagonal

de un cuadrado el ángulo que forma 𝐹3 con el eje de coordenadas es de 45º:

𝐹3𝑥 = 𝐹3 · cos 45𝑜 = 2′35 · 10−11𝑁

𝐹3𝑦 = 𝐹3 · sin 45𝑜 = 2′35 · 10−11𝑁

EJEMPLO

𝐹3 = 2′35 · 10−11𝑖 + 2′35 · 10−11𝑗 𝑁

Una vez que tenemos los valores de las componentes de todas las fuerzas que se aplican sobre la masa m1 podemos completar la suma vectorial:

𝐹 = 6′67 · 10−11𝑖 𝑁 + 2′35 · 10−11𝑖 + 2′35 · 10−11𝑗 𝑁 + 6′67 · 10−11𝑗 𝑁

𝐹 = (9′02 · 10−11𝑖 + 9′02 · 10−11𝑗 )𝑁

𝐹 = 2 · 9′02 · 10−11𝑁 = 1′276 · 10−11𝑁