Investugacion Operativa

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explicacion de la programacion lienal y el metodo transportes

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  • Investigacin OperativaProfesor Milton Crtes Araya

    Departamento de Matemticas

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Programacin Lineal(PL)

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Programacin Lineal

    La programacin lineal(PL) es una herramienta para resolver problemas de

    optimizacin. En 1947, George Dantzing creo

    un mtodo eficaz, el algoritmo simplex, para resolver problemas de

    programacin lineal. A partir del surgimiento del algoritmo simple, se ha usado

    la programacin lineal para resolver problemas de optimizacin en industrias tan

    diversas como la banca, la educacin, la civil cultura, el petrleo y el transporte.

    La programacin lineal como su nombre lo indica requiere que las funciones

    matemticas que constituyen el modelo sean lineales

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Programacin Lineal

    Maximizar o minimizar una funcin

    (llamada funcin objetivo)

    Sujeto a

    Tal que

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Programacin Lineal

    Donde

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • El mtodo grafico

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • El mtodo grafico

    Un problema de programacin lineal que presente solamente dos variables puede resolverse grficamente. Los pasos a seguir son los siguiente:

    Plantear en forma matemtica el problema.

    Graficar o trazar las restricciones.

    Se determina la regin de factibilidad identificando los puntos solucin que satisfacen en forma simultnea todas las restricciones.

    Se traza una recta de la funcin objetivo para un valor especfico de dicha funcin, teniendo en cuenta que sta pase por la regin factible

    Se desplazan rectas paralelas a las recta de la funcin objetivo en direccin de los valores ms altos(o ms bajos) de dicha funcin, hasta que una de las rectas paralelas tenga un nico punto en comn con la regin de las soluciones de la regin de factibilidad. El punto en comn es la solucin optima.

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  • Regin de factibilidad y solucin

    optima

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Regin de factibilidad y solucin

    optima

    Regin de factibilidad

    La regin de factibilidad para un modelo en programacin lineal es el conjunto

    de todos los puntos que satisfacen las restricciones del modelo.

    Solucin Optima

    Para un problema de maximizacin , una solucin ptima para un modelo en

    programacin lineal es un punto de la regin de factibilidad con el mayor valor

    de la funcin objetivo. Similarmente, para un problema de minimizacin, una

    solucin ptima corresponde a un punto de la regin factible con el menor valor

    de la funcin objetivo

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  • Forma Estndar

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Forma Estndar

    Forma estndar de un modelo en programacin lineal

    Variables de holgura: Son tiempos (capacidades)no utilizados que no

    contribuyen en nada a las utilidades.

    Variables de Excedentes: Son cantidades en exceso de algn nivel mnimo

    requerido.

    Luego, al aadir variables de holgura y/o excedente al modelo en programacin

    lineal las restricciones se transforman en igualdades. En los casos en que las

    restricciones estn expresadas mediante igualdades, se dice que el modelo est

    en forma estndar

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  • Forma Estndar

    Ejemplo:

    Escribir el ejemplo de los soldados y trenes en forma estndar

    Solucin:

    En este caso el modelo en forma estndar es:

    (1, 2) = 31+22 + 01 + 02 + 03

    Sujeto a

    21 + 2 + 1 = 1001 + 2 + 2 = 80

    1 + 3 = 40

    Tal que 1, 2, 1, 2, 3 0

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  • Anlisis de sensibilidad

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Anlisis de sensibilidad

    El anlisis de sensibilidad es un procedimiento que se utiliza normalmente

    despus que se obtiene la solucin ptima, y que muestra, qu tan sensible es

    dicha solucin a los cambios que se realicen en los coeficientes, y en los

    segundos miembros de las restricciones, de un modelo en programacin lineal.

    Utilizando el anlisis de sensibilidad se pueden responder preguntas del tipo,

    cmo afectar a la solucin un cambio en un coeficiente de la funcin objetivo ?

    , cmo afectar a la solucin ptima un cambio en el valor del segundo miembro

    de una restriccin?, en general, cmo afectar la solucin los cambios que se

    hagan en el modelo?

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  • Anlisis de sensibilidad sobre los

    coeficientes de la funcin objetivo

    Anlisis de sensibilidad para el ejemplo de la fabrica de juguetes de soldados

    y trenes

    En este caso, el modelo en programacin lineal es:

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Anlisis de sensibilidad sobre los

    coeficientes de la funcin objetivo

    Recordemos que la solucin ptima para este problema es (20,60), es decir , para

    optimizar las utilidades deben confeccionarse 20 soldados y 60 trenes. Veamos

    que significara aplicar el anlisis de sensibilidad a este problema

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  • Intervalos de ptimalidad

    Consideremos la funcin objetivo

    Donde

    1 2

    Despejando la variable dependiente 2 se obtiene

    Donde

    Corresponde a la pendiente de la recta de la funcin objetivo

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  • Intervalos de ptimalidad

    Puesto que la pendiente de la recta de la funcin objetivo se halla entre las

    pendientes de las rectas L1 y L2 luego, se tiene la desigualdad:

    De esto se desprende que el punto O(20,60) seguir siendo ptimo siempre que

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  • Intervalo de ptimalidad para para el

    coeficiente c1

    Para calcular el intervalo de ptimalidad del coeficiente c1 mantendremos fijo el

    coeficiente c2, esto es, supondremos fija la contribucin a las utilidades de los

    trenes en el valor de $2. Reemplazando este valor en

    Resulta

    Multiplicando la inecuacin por -1, se tiene:

    Esto significa que, si mantenemos fijos los 2 dlares de utilidad para los trenes,

    podemos hacer variar la contribucin de las utilidades para los soldados en el

    intervalo [2,4] y el punto O(20,60), seguir siendo ptimo

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  • Intervalo de ptimalidad para para el

    coeficiente c1

    Conviene precisar que aunque la produccin ptima de soldados y trenes se

    mantiene, el valor de la funcin objetivo cambiar, es decir , cambiarn las

    utilidades. En efecto , reemplazando los extremos del intervalo en la funcin

    objetivo, se obtiene:

    2*20+2*60=160, y por otro lado 4*20+2*60=200

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  • La regla del 100% para C1 y C2

    R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

  • Regla del 100%

    hemos dicho que el cambio en los coeficiente de la funcin objetivo es aplicable,

    slo, para uno de cada vez. Sin embargo si respetamos la regla del 100%podemos

    efectuar cambios simultneos sin que vare la solucin ptima.

    Antes de aplicar la regla, debemos calcular, para cada coeficiente que se

    modifica, el porcentaje de aumento o disminucin permisible que el cambio

    representa.

    Para un coeficiente , el aumento permisible, es la cantidad mxima en que se

    puede aumentarse el coeficiente sin exceder el lmite superior del intervalo de

    ptimalidad.

    Y la disminucin permisible, es la cantidad mxima en que puede disminuirse el

    coeficiente sin caer por debajo del limite inferior del intervalo de ptimalidad

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  • Regla del 100%

    La regla: Para todos los coeficientes de la funcin objetivo que cambien, se

    suman los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles. Si la

    suma de dichos porcentajes no excede el 100% , entonces la solucin ptima no

    cambiara.

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  • Regla del 100%

    Ejemplo: Regla del 100% para los coeficientes de la funcin objetivos del

    problema de los juguete de soldados y trenes

    Solucin

    El anlisis de sensibilidad del problema de soldado y trenes, mostro los siguientes

    intervalos de ptimalidad

    De tal modo que si C1=3, la cantidad mxima permisible, de aumento, es de 1

    dlar.

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  • Regla del 100%

    Supongamos que queremos aumentar el coeficiente C1 de 3 a 3.5 dlares. Esto

    significa un aumento de 0.5 dlares. En consecuencia el porcentaje de aumento

    para C1 es:

    Por otra parte la cantidad mxima de aumento permisible, de C2, es de 1 dlar. Si

    supone un aumento de C2 de 2 dlares a 2.5 , dlares esto es, un aumento de

    0.5 dlares, entonces, el porcentaje de aumento de C2 es de :

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  • Regla del 100%

    Observemos que la suma de los aumentos en ambos coeficientes es de :

    Esto significa que si aumentamos ambos coeficientes en las cantidades

    propuestas, entonces, la cantidad ptima de produccin de 20 soldados y 60

    trenes, seguir siendo ptima y la funcin utilidad ser de:

    G=3.5*20+2.5*60=220 Dlares

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  • Anlisis de sensibilidad sobre los

    segundos miembros

    de las restriccionesLos precios sombra

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  • Los precios sombra

    Conviene preguntarse, cmo afectar a la regin de soluciones factible, o a

    la solucin ptima, un cambio en los segundos miembros de las restricciones?.

    Consideremos nuevamente el modelo en programacin lineal que maximiza las

    utilidades de la fabricacin de soldados y trenes y supongamos que se disponen

    de 10 horas ms de tiempo para la operacin de acabado, esto es, de 110 horas.

    Luego, el modelo en programacin lineal es

    Tal que

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  • Los precios sombra

    Podemos observar la recta 2x1+x2< 100, se ha desplazado levemente hacia la derecha, ampliando la regin de factibilidad, luego, el punto ptimo ya no ser el mismo, en este caso es (30,50), reemplazando este valor en la funcin objetivo se obtiene una utilidad de :

    G(x1,x2)=3*30+2*50=190 dlares

    Podemos decir que el aumento de 10 horas en la operacin de acabado, produce un aumento de

    190-180=10 dlares

    Es decir, las utilidades aumentan en $1 dlar por hora.

    Al cambio en el valor de la funcin objetivo, por el aumento unitario en el valor del lado derecho de las restricciones se les llama Precio Sombra

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  • Los precios sombra

    Nota: estos precios sombras se consideran interesantes porque permiten

    obtener utilidades adicionales aumentando pequeas cantidades los lados

    derechos de la restricciones unitario de la restricciones el lado derecho

    En general, se define el precio sombra, como el cambio en el valor de la funcin

    objetivo, a causa del cambio unitario en el lado derecho de las restricciones.

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