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Investigación operativa

INECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES CON UNA

INCÓGNITA

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Identidades, ecuaciones e inecuaciones

• IDENTIDAD• Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor de

la incógnita o incógnitas:• x = x ,, (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 ,, (x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2

• ECUACIÓN• Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores

concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen:• 2x = 4 Sólo para x = 2• x2 = 4 Sólo para x = 2 y para x = - 2• y = 2x Sólo cuando el valor de y sea doble que el

valor de x.

• INECUACIÓN• Es una desigualdad que sólo se cumple en un intervalo finito o

infinito de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen:• x < 2 ( - oo , 2 )• x ≥ - 4 [ - 4 , + oo )

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Inecuaciones• RELACIÓN DE ORDEN• V a,b ε R, a ≤ b ↔ b – a ≥ 0• Que se lee: “Para todo par de valores a, b pertenecientes al

conjunto de los números reales, decimos que a es menor o igual que b si se cumple que b – a es un valor mayor o igual que cero y viceversa.”

• INECUACIÓN• Es una desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores

desconocidos.

• Signo : Se lee :• x < y x es siempre MENOR que y• x ≤ y x es MENOR o IGUAL que y• x > y x es siempre MAYOR que y• x ≥ y x es MAYOR o IGUAL que y

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Transformaciones de equivalencias

• Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada.

• Si a < b a+c < b+c• Si 3 > 1 3+2 > 1+2 5 > 3

• Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada.

• Si c ε R+ y a < b a.c < b.c• Si - 2 < 3 (- 2). 4 < 3. 4 - 8 < 12

• Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la dada.

• Si c ε R- , y a < b a.c > b.c• Si 2 < 3 2. ( - 5 ) < 3. ( - 5 ) - 10 < - 15 - 10 > - 15

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Inecuaciones lineales• Una inecuación es lineal si el grado de todas las incógnitas es uno.• Ejemplos: • 2 + x ≥ 4 x ≤ y + 5 3 + z > x + y x / 2 + y < z + t

• INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

• La solución de una ecuación lineal con una incógnita ( x ), una vez aplicadas las relaciones de equivalencia, pueden ser:

• Todo R• El conjunto vacío.• Una de las siguientes semirrectas: • x < a x ε (-oo, a)• x ≤ a x ε (-oo, a]• x > a x ε (a, +oo)• x ≥ a x ε [a, +oo)

• Ejemplo: x ‑ 2 < 0 x < 2 x ε (- oo, 2)

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• EJEMPLOS

• Sean las inecuaciones:

• 1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2

• SOLUCIONES:

• 1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2

• Solución = { V x ε R / x ε [ 2, + oo ) }

• 2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5

• Solución = { V x ε R / x ε ( - oo, - 5 ) }

• 3.- x > x + 2 x - x > 2 0 > 2 FALSO

• Solución = Ø (Conjunto vacío)

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RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Sea la inecuación: 2 – x x – 34.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6

SOLUCIÓN:

2 – x x – 34.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6

6(2 – x) – 5( x – 3 ) 4.- ----------------------------- + 2 > x 30

4.- 12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x x < 87/41

Solución = (- oo , 87/41)

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RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Sean las inecuaciones:

5.- x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3

SOLUCIONES:

5 3.(x – 1) + 30 5.x ----------------------- < --------- 15 15

5.- 3.(x – 1) + 30 < 5.x 3.x – 3 + 30 < 5.x

5.- – 3 + 30 < 5.x – 3.x 27 < 2.x x > 13,5

5.- Solución = ( 13,5 , oo )

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SISTEMAS DE INECUACIONES

• Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el que está compuesto por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita.

• La solución de un sistema serán todos los valores de la incógnita (x) que satisfagan todas las inecuaciones, es decir la intersección de las soluciones de todas las inecuaciones.

• La solución, una vez aplicadas las relaciones de equivalencia, pueden ser:

• Todo R • El conjunto vacío• x = a• Una semirrecta• Uno subconjunto abierto, cerrado o semiabierto.

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Resolución de sistemas

1.- 2.x ‑ 3 ≤ x x ≤ 3 x ≤ 3 x + 3 > - x + 1 2x > - 2 x > - 1

Solución: (- 1, 3 ] - 1 < x ≤ 3

- 1 3

2.- 2.x ‑ 4 ≤ 2 2x ≤ 6 x ≤ 3 x - 5 > - x + 1 2x > 6 x > 3

Solución: Ø 3 R

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3.- x ‑ 3 ≤ x 0 ≤ 3 x = R x + 3 > - x + 1 2x > - 2 x > - 1

Solución: (- 1, + oo ) x > - 1

- 1

4.- x + 4 ≤ 8 x ≤ 4 x - 5 ≥ 1 x ≥ 6

Solución: Ø 4 6 R

- 1 0 1 R

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PROBLEMAS de INECUACIONES

• Se siguen los mismos pasos que para resolver problemas de ecuaciones. Hay que tener especial cuidado al leer el enunciado; siempre hay algún indicio que nos señala que debemos obtener del mismo inecuaciones, no ecuaciones. Y la solución no es única, sino un conjunto o intervalo de valores.

• PROBLEMA_1

• Hallar el número de personas que trabajan en una oficina, si al tomar vacaciones la cuarta parte de los oficinistas quedan menos de 18 personas trabajando, y si hacen vacaciones la tercera parte, los que quedan trabajando son más de 14.

• RESOLUCIÓN• Sea x el número de personas que trabajan en la oficina• x – x/4 < 18 3x/4 < 18 3x < 72 x < 24 • x – x/3 > 14 2x/3 > 14 2x > 42 x > 21• Solución: Trabajan 22 ó 23 personas

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• PROBLEMA_2

• Un comerciante vende 70 ordenadores de los que tiene en almacén y le quedan por vender más de la mitad. Recibe 6 unidades más y vende 36, con lo que le quedan menos de 42 por vender. ó Cuántos ordenadores tenía en el almacén inicialmente?

• RESOLUCIÓN

• Sea x el número de ordenadores que tenía inicialmente• x – 70 > x / 2 2.x – 140 > x x > 140 • x – 70 + 6 – 36 < 42 x – 100 < 42 x < 142

• Solución: Tenía 141 ordenadores.

• PROBLEMA PROPUESTO

• Ayer fui a comprar 14 disquetes de ordenador y pagué algo más de 4,5 euros. Hoy he vuelto a comprar otros 20 , cada uno costaba 1 céntimo de euro menos que ayer, di 6,5 euros y dejé la vuelta de propina. ¿Cuánto costaba ayer cada uno ?.

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• PROBLEMA_3

• Pedro tiene el triple de edad que Juan y Luis la mitad que Juan. Entre todos tienen menos de 12 años. Sumando la edad del que tiene más con la edad del que tiene menos, salen más de 6 años. ¿Qué edad tiene cada uno ?

• RESOLUCIÓN

• En lugar de: x = Edad de Juan• y = Edad de Pedro• z = Edad de Luis• Planteamos: x = Edad de Juan• 3.x = Edad de Pedro• x/2 = Edad de Luis • Sea x la edad de Juan, 3.x la edad de Pedro y x/2 la edad de Luis.

• x + 3.x + x/2 < 12 9.x < 24 x < 24/9 x < 2,66 • 3.x + x/2 > 6 7.x > 12 x > 12/7 x > 1,71

• Solución: Juan tiene 2 años, Pedro tiene 6 años y Luis tiene 1 año.