Operativa 1

Investigación Operativa I Marlon Villa Villa

PROGRAMACIÓN LINEAL.

Es una parte de la investigación operativa que la podremos aplicar cuando el problema que tratamos se puede traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que las limitaciones o restricciones que tenga el sistema productivo se pueda también traducir en expresiones matemáticas de tipo lineal. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Un problema de programación lineal tendrá la siguiente forma:

Función Objetivo: Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del problema. Es la expresión que tendremos que maximizar o minimizar.

Función Objetivo:

(Max. ó Min.) Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción: Expresiones matemáticas, ecuaciones o inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del problema.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >= b2

a31x1 + a32x2 + … + a3nxn ≤ b3

………………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones:

x1; x2; xn >= 0

Las variables no tomaran valores negativos.

Conceptos propios de la programación Lineal:

Solución Posible: Es cualquier conjunto de valores de la variable que satisface el sistema de ecuaciones de la restricción.

Solución Posible Básica: Es aquella solución posible en la que ninguna variable toma valores negativos.

Solución Básica Posible Degenerada: Solución básica posible en la que al menos una variable toma el valor cero.

Solución Óptima: Es aquella solución básica posible que optimiza a la función objetivo.

ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL

1. FUNCIÓN OBJETIVO Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximiza o se minimiza

2. VARIABLES DE DECISIÓN. Son las incógnitas del problema, La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en l0s niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

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http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION

http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml

http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml


3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES. Diferentes requisitos que deben cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.

4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos

MODELO GENERAL DE PL

OPTIMIZAR Z =

n

jjj xc

1

SUJETO A:

n

jijij mibxa

1

,......,2,1

njx j ,.......,2,10

GRÁFICA DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS

Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos

1. Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta2. Escoja un punto de ensayo3. Evalúe el primer miembro de la expresión4. Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.

Existen varios métodos de solución entre los cuales tenemos el gráfico, el simplex, el algebraico, el dual, etc.

EL MÉTODO GRÁFICO.

El método gráfico es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible.

Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas y función objetivo.

Los pasos necesarios para realizar el método son:

1. Hallar las restricciones del problema

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2. Las restricciones de no negatividad Xi ≥ 0 confían todos los valores posibles.

3. Sustituir ≥ y ≤ por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

4. Trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área correspondiente

5. El espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible

Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible.

6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

7. La solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de minimización la solución óptima es el primer punto factible que toque la función Z, y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos factibles que toque la función Z

Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, múltiples soluciones, solución no acotada y no factible.

CONJUNTO CONVEXO. Un conjunto C es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos de C se encuentra totalmente en C

CONJUNTO CONVEXO CONJUNTO NO CONVEXO

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EJEMPLO DEL MÉTODO GRÁFICO

Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).

Cantidad de liquidaciones (X2).

RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo

Tiempo disponible de revisión

Número máximo de liquidaciones.

Maximizar

Sujeto a:

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La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

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VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE

Variable de holgura.

Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menor o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24

Variable de Excedente.

Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.

2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14

Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD

RESTRICCIÓN ACTIVA.

Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las variables se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o excedente, según sea el caso es CERO

RESTRICCIÓN INACTIVA.

Dada una solución factible, una restricción es inactiva si al sustituir el valor de las variables no se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o excedente, según sea el caso es DIFERENTE A CERO

PROBLEMAS NO ACOTADOS

Hay que distinguir el término “problema no acotado” con el término “conjunto factible no acotado”, éste último se refiere a una región factible en la que al menos una de las variables de decisión puede asumir valores indefinidamente grandes. Si un programa lineal es no acotado, el conjunto factible también debe ser no acotado. Sin embargo, es posible tener un conjunto factible no acotado sin que el problema sea no acotado

Max z= 5000A + 4000B

S.A. A+B >=5

A-3B<=0

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30 A+10B>=135

A , B >=0

Planteamiento del problema

Cuando la región factible no está acotada la única solución que podemos obtener es un mínimo.

- Construimos una tabla con los datos del enunciado

Región factible no acotada

Mayorista A Mayorista B Disponible

Naranjas 8 2 16

Plátanos 1 1 5

Manzanas 2 7 20

Distancia 150 300

- Expresamos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita

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- Representamos las restricciones y calculamos los puntos de la región factible

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PROBLEMAS NO FACTIBLES.

Son problemas que tiene un conjunto factible vacío: es decir no existe combinación de valores para las variables de decisión que satisfaga simultáneamente todas las restricciones

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PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL METODO GRAFICO

Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución

Es un problema de programación lineal.

Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

inversión rendimientoTipo A x 0,1xTipo B y 0,08y

210000 0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1

R2

R3

R4

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)

r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4

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x y X y x y x y0 21000

0130000

0 0 60000 0 0

210000 0 130000 65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)

La función objetivo es;

F(x, y)= 0,1x+0,08y

Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.

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Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)

2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

Solución

En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

Tipo Nº Bizcocho Relleno BeneficioT. Vienesa x 1.x 0,250x 250xT. Real y 1.y 0,500y 400y

150 50

Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:

Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200

x Y0 100200 0

Para x + y =150

x Y

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0 150150 0

La otras dos son paralelas a los ejes

Al eje OY x=125

Al eje Ox y =125

Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante

La región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices:

El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)

Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”)

Resolviendo el sistema:

, por reducción obtenemos y=50, x=100

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Otro vértice es el punto C(100, 50)

Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:

X+y=150

X=125

Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)

Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),

Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200

x Y0 0200 -125

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Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )

Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices

La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos

f(125,0)=31.250

f(125,25)=31.250+10.000=41.250

f(100,50)=25.000+20.000=45.000

f(0,100)=40.000

El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)

Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.

3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.

Solución

Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo.

Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela.

Entonces se tiene x , y

Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y

Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:

40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y

Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son

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La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y

Dibujamos las rectas auxiliares,

r1 r2 r3 r4

x y X y x y x y8 0 0 10 0 9 0 8

0 9 10 0

Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.

Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4

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por reducción

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4

Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima .

Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico).

4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.

Solución

Organizamos los datos en una tabla:

días Alta calidad

Calidad media Baja calidad Coste diario

Mina A x 1x 3x 5x 2000xMina B y 2y 2y 2y 2000y

80 160 200

La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y

Las restricciones son:

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La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible).

r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)

r2 r3 que nos da el punto (20, 50)

r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible.

En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico)

Lo comprobamos aplicando el método analítico:

C(0, 100)=2000.100=200000

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C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000

C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimo

C(80, 0)= 2000.80 =160000

5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

Sea x = nº electricistas

y = nº mecánicos

La función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones

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La región factible sería para estas restricciones:

Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20).

Por tanto:

20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000

6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.

El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.

Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.

Solución

Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.

nº GananciaTurista x 30xPrimera y 40yTotal 5000 30x +40y

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La función objetivo es:

f(x, y)=30x +40y

Las restricciones:

La región factible:

Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente)

El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)

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Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B)

EJEMPLO 1:

Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).

Cantidad de liquidaciones (X2).

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RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo

Tiempo disponible de revisión

Número máximo de liquidaciones.

Maximizar

Sujeto a:

La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

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EJEMPLO 2.

Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico.

Los estudios de mercado han mostrado que:

1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.

2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.

La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.

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OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad.

VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).

Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).

RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación.

Minimizar

Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA:

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EJEMPLO 3.

Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?

Minimizar

Sujeto a:

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SOLUCION OPTIMA:

NOTA: Una desigualdad define un medio plano y una igualdad define una línea.

Holgura Es todo recurso no utilizado, o capacidad no utilizada producto de una restricción de tipo ≤

Excedente Es todo exceso o supera a un producto de una restricción de tipo ≥

Cuando una de las variables de holgura o excedente tiene un valor mayor a cero (0.0) indica que la restricción a la cual está asociada es una restricción inactiva. Y cuando ese valor de la variable de holgura o excedente es cero (0.0), es porque la restricción a la cual están asociadas es una restricción activa. Dicho en otra forma, Una restricción será Activa, si al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en dicha restricción, el valor resultante en su miembro izquierdo es igual al valor del miembro derecho (RHS). Un caso especial es el de la restricción de igualdad, donde este tipo de restricción siempre es activa. Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva. Esto es cuando al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en la

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restricción en cuestión, el valor resultante del lado izquierdo (de la restricción) no coincide con el valor del lado derecho de la restricción.

EL PROBLEMA DUAL

En un modelo de programación lineal cada problema lineal tiene otro problema denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al Problema lineal original, llamado problema primal (PP). Las relaciones las podemos enumerar como siguen: a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal. b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primalc) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal

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d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal. e) La matriz de coeficientes técnicos del problema duales la traspuesta de la matriz técnica del problema primal. f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problemaPrimal y del sentido de las restricciones del mismo problema. ( Ver tabla de TUCKER) g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un problema de Minimización h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original. Tabla de TUCKERMAXIMIZACION RESTRICCIONES

≤≥=VARIABLES ≥≤ > < MINIMIZACIÓNVARIABLES ≥≥> <RESTRICCIONES

≥≤=

Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en forma canónica y ‘normalizada’, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización, y desigualdades menores o igual para los problemas de maximización.

CONCLUSIÓN

1.- Si una restricción del primal es no saturada, entonces la variable de dual asociada debe ser nula. 2.- Si una variable de primal es positiva, entonces la correspondiente restricción del dual es una restricción saturada, es decir, se verifica como una igualdad.

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EL MÉTODO SIMPLEX

El Método Simplex es un procedimiento de cálculo algebráico, iterativo, para resolver Modelos Lineales de cualquier tamaño. El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado, cumpla las condiciones de Forma Estándar y Sistema Canónico. La Forma Estándar incluye: a) una Función Objetivo a optimizar b) lado derecho de las restricciones con valor positivo c) variables de decisión no negativas d) las restricciones deben ser expresadas como igualdades. Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas variables de holgura. Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo ≤ y se restan en restricciones del Tipo ≥En términos matemáticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de las restricciones. Al igual que las variables de decisión deben ser mayores o iguales a cero. En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a un máximo disponible (Parte ociosa de los recursos). Cuando la restricción es de una condición o requerimiento, representan la cantidad de esa condición o requerimiento que se obtiene por encima de un mínimo o que se deja de tener con relación a un máximo. El Sistema Canónico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que satisface todas las restricciones. Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las demás. Las variables de decisión (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden ser variables básicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condición de ser básica, se incorpora una variable como artificio matemático, para cumplir con el sistema canónico y a esa variable se le llama variable artificial. Una variable artificial debe tener incorporado un coeficiente muy alto en la Función Objetivo, con signo negativo en maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra que el procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas variables deben valer cero en la solución óptima del modelo. Una Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la información del modelo para trabajar más fácilmente con él. La siguiente tabla expresa cómo deben ser recogidos los datos para resolver el problema de programación líneal por el Método Simplex. Modelo de Tabla Simplex Itereración V.B. Ec. # Coeficientes L.D. Razón PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE POR EL MÉTODO SIMPLEX. FASE I: Preparar el modelo inicial para construir la tabla:

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1) Transformar los términos independientes en positivos (multiplicando por -1). 2) Si en alguna restricción, hay un solo proceso que está contenida en ella sola, lo convertiremos en unitario (dividiendo por su coeficiente) y si no lo hago meteré una variable de holgura. 3) En las inecuaciones en las que encontramos ≤ introducimos una variable de holgura sumando. 4) En las inecuaciones en las que encontramos ≥ introducimos una variable de holgura restando y además una variable artificial sumando para que en dicha restricción haya un proceso unitario positivo. 5) En las igualdades se introduce una variable artificial sumando si en la misma no existe una variable unitaria positiva. 6) En toda restricción debe haber una variable unitaria positiva. 7) Las variables de holgura, a la hora de introducirlas en la función objetivo lo haremos siempre con coeficiente cero, y las variables artificiales se introducen con el coeficiente –m si estamos maximizando 0 m si estamos minimizando.

8) Igualar a cero la función objetivo

FASE II: Construir la tabla y resolver el algoritmo.

Paso 1: Construir la tabla del método Simplex y rellenamos la tabla con los coeficientes. Comprobamos que las variables básicas tienen un coeficiente de 1 en la intersección de su renglón y columna correspondiente y cero en los demás renglones incluido la función objetivo. Si no es así (como en el caso de la existencia de variables artificiales, eliminamos el coeficiente m del renglón 0 utilizando como pivote la ecuación que incorpora la variable artificial)

Paso 2: La S.B.F. es óptima, si y sólo si todos los coeficientes del renglón (0) son no negativos. De lo contrario se debe iterar. En

Paso 3: Si comprobamos que hay coeficientes negativos en el renglón (0), marcamos el mayor en valor absoluto y esta será la variable no básica que entra a la base. Para determinar la variable básica que sale de la base, marcamos la columna debajo del coeficiente de la variable que entra y se le da el nombre columna pivote. Aplicamos la prueba del cociente mínimo para determinar cuál es la variable básica que sale. a) Elegimos los coeficientes de la columna pivote positivos b) Se divide cada coeficiente del lado derecho entre los coeficientes de la columna pivote c) Se identifica el renglón con la menor razón La variable básica para este renglón es la que sale y se le da el nombre de renglón pivote. La intersección entre la columna pivote y el renglón pivote lo denominamos número pivote. El patrón de coeficientes en la columna de la variable que entra en la base, debe quedar como actualmente está el patrón de coeficientes de la variable que sale.

Paso 4: Calculamos los nuevos coeficientes de la matriz:

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a) Coeficientes del renglón de la variable que entra: Dividimos el renglón pivote entre el número pivote y el resultado serán los coeficientes del nuevo renglón de la variable que entra.

b) Coeficientes de los demás renglones : Dividimos el nuevo renglón de la variable que entra por menos el coeficiente del de la variable que entra en el renglón que estamos calculando y al resultado, le sumamos el renglón que teníamos inicialmente

Paso 5: Construimos la tabla con los resultados.

Paso 6: En la nueva matriz, comprobamos los coeficientes del renglón cero, si todavía existen coeficientes negativos, se sigue iterando, de lo contrario hemos terminado y hallamos la solución óptima.

Ejercicio Minimizacion

Minimizar Z = 4X1 + 12X2 + 18X3SA:X1 + 3X3 > 32X2 + 2X3 > 5

CNN:X1, X2, X3 > 0

PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MINIMIZACION, multiplique toda la expresión por (-1) para cambiar el signo "MAYOR QUE" a "MENOR QUE".

Maximizar Z = -4X1 - 12X2 - 18X3SA:-X1 - 3X3 < -3-2X2 - 2X3 < -5

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SE PROCEDE A RESOLVERLO DE LA SIGUIENTE FORMA

1. HACER CERO LA FUNCION "Z"2. SELECCIONAR LA FILA "SOL" MAS NEGATIVA3. DIVIDIR LA FILA"Z" ENTRE LA FILA MAS NEGATIVA PARA DETERMINAR LA

COLUMNA MAS NEGATIVA

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Operativa 1

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