Guia Experimental HC 2015

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de Física

LABORATORIO DE FISICA

Profesor: Hector Castro

GUIA INTRODUCTORIA AL

TRABAJO EXPERIMENTAL DEL

Bogotá, 08/2013

Capıtulo 1

Cuaderno de bitacora

Cuaderno de Bitacora = cuaderno de hojas cuadriculadas tamano carta.

Hojas cuadriculadas = guıa para hacer graficas provisionales a mano.

Numere las paginas. Para poder referenciar trabajo hecho. Ejemplo: “Ver tabla 3 enp. 11”

Cada grupo llevara su propio cuaderno de bitacora.

1.1. Contenido

Descripcion de cada experiencia:

1. Tıtulo de la experiencia

2. Fecha

3. Introduccion

a) Escriba las palabras claves que describan lo que va a hacer.

b) Escriba las ecuaciones que cree que va a necesitar. Anote el nombre de las variablesque aparecen en ellas.

c) Numere las ecuaciones. Por lo menos aquellas que sean referenciadas posterior-mente en el texto.

d) Discuta con su grupo y escriba las respuestas a las preguntas que aparecen alcomienzo de la descripcion de cada Experiencia.

Antes de ir al laboratorio a realizar la experiencia, ya deben haber escritotales respuestas en su Cuaderno de Bitacora.

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Hector

Texto escrito a máquina

TOMADO DEL DOCUMENTO: Fundamentos de Física Experimental y Mecánica cuaderno de bitácora, gráficas, introducción al análisis de datos, Fernando Cristancho, Departamento de Fisica, Universidad Nacional de Colombia, 2008

CAPITULO 1. CUADERNO DE BITACORA

4. Desarrollo del experimento La exposicion de cada experiencia hecha en las presentesNotas incluye una seccion titulada “El experimento”. Tal seccion describe brevemente loque usted debe hacer. Siga tal guıa y en su Bitacora vaya haciendo lo correspondiente:

a) Anote de manera resumida lo que va haciendo.

b) Escriba las tablas que se le solicita.

c) Anote el error de las cantidades involucradas.

d) Trace graficas provisionales. En el laboratorio: tan pronto tenga una tablacompleta, o tan pronto sepa los lımites mınimos y maximos de la variable,inmediatamente, trace la grafica en su Bitacora. El objetivo de la realizacionde estas graficas es que usted examine la tendencia que esta siguiendo la relacionentre la(s) cantidad(es) que esta midiendo y la variable dependiente que intentadeterminar. Solamente examinando una grafica se podra dar cuenta si determinadopunto esta mal tomado. A veces no es mal tomado, sino que simplemente seanoto mal el resultado.

e) No se esfuerce tanto porque todo parezca “muy bonito y muy ordenado” en elCuaderno de Bitacora. De todas maneras, no tiene tanto tiempo para lograrlo.Esfuercese simplemente en que la relacion entre las graficas que traza y lo queescribe (texto, tablas) sea claro.

f ) Conteste con frases breves las preguntas hechas en la descripcion del Experimento.Estas respuestas las va a tener que utilizar mas tarde

Lo descrito hasta este momento es su trabajo durante el tiempo en el laboratorio. Loque viene a continuacion lo puede hacer en su casa, es decir, por fuera del tiempo derealizacion de la practica. Junto con lo anotado anteriormente, corresponde a lo quetiene que presentar en la siguiente clase como “Informe”. Pero atencion, no es un textoaparte. Es escrito en el mismo Cuaderno de Bitacora.

5. Resultados y Analisis

a) Conteste las preguntas hechas en la seccion “El experimento” de estas Notas. Lasmismas preguntas para las que tomo apuntes durante el laboratorio en el punto 4f )mas arriba. Ahora redactelas correctamente. Correctamente quiere decir respuestastecnicamente correctas ası como bien redactadas y con la mejor ortografıa.

b) Haga las tablas y las graficas solicitadas, pero ahora escrıbalas siguiendo las reglasanotadas a continuacion:

10

1.1. CONTENIDO

Tablas

a) Dar un tıtulo descriptivo a cada una.

b) Ademas de la variable hay que anotar en cada columna la correspondienteunidad.

c) Numerar la tabla para referenciarla facilmente dentro del texto.

d) Si los numeros consignados en una tabla son muy pequenos o muy grandes,usar exponentes de diez para anotarlos. En este caso, tratar de unificar losnumeros al mismo exponente. Ejemplo: Si tiene la siguiente coleccion de masasen gramos:

0,000034, 0,00012, 0,000008,

cuyos valores no son faciles de leer y mucho menos de comparar. La Tabla 5dmuestra como aparecerıan. La mejor tecnica para aumentar su legibilidad esconvertirlos todos al mismo exponente de 10, en nuestro ejemplo a exponentesde 10−5 g, tal como se hace en la Tabla 5d .Manera incorrecta de anotar cantidades muy pequenas.

m (g)0,0000340,000120,000008

Manera correcta de anotar cantidades muy pequenas.

m(10−5 g)3,4120,8

Graficas

Realice las graficas solicitadas en la guıas de cada experiencia, mas aquellas queusted cree conveniente para soportar las conclusiones. En este Curso solo se acep-taran graficas hechas a mano en el respectivo papel: milimetrado, semi-log olog-log.

Las representaciones graficas mostradas en la Figura en la p. 13 corresponden alconjunto de datos de la Tabla en la p. 12). Observe la aplicacion de las siguien-tes reglas, desde la peor representacion imaginable en la Figura 5(a), hasta unarepresentacion bastante buena en la Figura 5(c).

a) El tamano de la grafica se debe elegir de manera que todo su contenido seaperfectamente legible. Esto no quiere decir, necesariamente, que se deba usartodo el espacio disponible en una hoja tamano carta o en una hoja de papelmilimetrado.

b) Rotular claramente los ejes agregando las correspondientes unidades.

c) Aprovechar el espacio usado de la pagina: tener en cuenta lımites mınimos ymaximos de las variables.

11


d) Dar valores sobre los ejes de tal manera que se puedan leer valores intermedios(entre el mınimo y el maximo).

e) Numerar la grafica de tal manera que pueda ser facilmente referenciada dentrodel texto. Las puede numerar simplemente en el orden en que van apareciendo,Grafica 1, Grafica 2, etc.

f ) Representar de diferente manera lo que son datos experimentales (puntos,o algun otro sımbolo) e interpolaciones o curvas teoricas (lıneas continuasusualmente).

g) Salvo en casos de especial necesidad, en el eje de las abscisas, es decir enel eje horizontal, al cual usualmente llamamos x, se representan los datosde la variable independiente. En las ordenadas, o sea el eje vertical, llamadousualmente y, los de la variable dependiente. Si en el eje y esta la presion P yen el eje x es representada la temperatura T , a tal grafica se le denomina “Pversus T”, no “T versus P”.

Relacion entre el volumen V y la temperatura T para cierto gas.

T (C) V (cm3)62,3 2707368,6 2849281,4 2930087,4 2920098,6 30849104,5 31500116,9 32100121,2 32000135,0 33500

12

1.1. CONTENIDO

(c)

T (◦C)

V(×

104cm

3)

1401201008060

3,6

3,4

3,2

3,0

2,8

2,6

(b)

T

V

24020016012080400

38000360003400032000300002800026000240002200020000

(a)

121.2

32000

29200

150135.0116.9104.598.687.481.468.662.30

35000

33500

32100

30849

29300

28492

27500

27073

25000

El conjunto de datos de la Tabla 5 es representado de tres maneras diferentes: (a) Unade las peores maneras: 1) Los puntos que representan los datos experimentales son muypequenos. 2) La parte izquierda del area de la grafica es desperdiciada. No hay puntospara valores de la abscisa entre 0 y 62,3. 3) Los valores sobre los ejes estan en desorden,sin ninguna regularidad. Ademas su tamano es muy pequeno, lo cual agrega dificultadpara leerlos. 4) No aparecen descriptivos indicando a que variable corresponde cada eje.(b) Hay mejoras sustanciales en la representacion, pero aun hay errores. 1) Todavıa hayarea de la grafica que no es usada. 2) El tamano de los sımbolos en el eje T es muygrande lo cual hace difıcil distinguir, por ejemplo, 160 de 200 y 200 de 240. 3) Las cifrasusadas en el eje V son demasiado grandes, lo cual los hace difıciles de leer. 4) No esnecesario escribir tantos valores a lo largo del eje V . 5) Las variables T y V no estanacompanadas de sus unidades. (c) Una de las mejores maneras de representar los datos.

13


6. Conclusiones

Lo que tiene en las tablas, en las graficas, combinado posiblemente con lo que dijo enla introduccion acerca de la teorıa y sus ecuaciones, producen las conclusiones.

a) Recuerde que las conclusiones son el producto del analisis. Deben tener algunaconexion mas o menos evidente con el. Por lo tanto, mencione la grafica, la tablao el lugar del texto de donde toma la conclusion que enuncie.

b) Enuncielas de manera breve.

c) Haga una lista numerada con ellas.

d) No trate de inventar el agua tibia. Mejor escriba pocas y con sentido, que muchassin ninguno, o con significado trivial.

e) Ejemplos de las peores conclusiones vistas en un informe: ”Se concluyo que el expe-rimento reproduce la teorıa”; ”Se concluye que la teorıa describe el experimento”;”... que la ley de los gases es cierta”.

f ) Las conclusiones tıpicas se refieren al valor y la incertidumbre de la cantidad medida.Ejemplo:

La aceleracion de la gravedad en Bogota medida segun nuestro metodo re-sulto ser

g = (963± 15)cm

s2.

g) Si tiene dificultad en obtener conclusiones de sus propios analisis, use las preguntasformuladas en la seccion sobre Conclusiones para orientarse en que direccion puedeusar los analisis para concluir. Pero recuerde que estas no son las unicas conclusionesposibles.

14

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez - Prentice Hall - Madrid 2001 1

Pautas y sugerencias para la redacción de informes Tomado de: Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez - Prentice Hall - Madrid 2001

El informe de laboratorio es una acabada prueba de que hicimos un experimento, lo

analizamos y comprendimos. Cuando redactamos el informe es cuando terminamos de

ordenar nuestros datos, gráficos, anotaciones y sobre todo nuestras ideas. Debe ofrecer a los

lectores un recuento claro y completo de las actividades experimentales realizadas, nuestras

conclusiones y reflexiones de lo que hicimos. El informe debe ser, ante todo, claro, y, en lo

posible, breve. Debemos redactarlo en lenguaje preciso y ameno, tratando de atraer y

retener la atención de los lectores. Hagamos el siguiente ejercicio: Son las doce de la noche

y el lector de nuestro informe tiene también como opciones hojear el diario o ver televisión.

Nuestro trabajo entrará en competencia con estas alternativas solo si está cuidadosamente

redactado y si en él expresamos nuestras ideas con claridad y concisión. Esto podemos

lograrlo usando construcciones cortas y cuidando que las descripciones no den lugar a

interpretaciones ambiguas, de manera que el lector no se vea obligado a tener que volver

sobre lo leído. Recordemos que no estaremos al lado de nuestro lector para hacerle

aclaraciones a sus dudas y decirle que “donde escribimos una cosa”, en realidad, “quisimos

decir otra”.

El informe no debe ser considerado como un documento que se presenta con el solo

fin para que el profesor juzgue el trabajo realizado, sino que debe ser pensado como un

texto que sea capaz de mostrar que hemos ganado la habilidad de comunicar por escrito

nuestras ideas y resultados. Con esto en mente, los informes que se realizan en los cursos

básicos de laboratorio son un muy buen entrenamiento para mejorar nuestra redacción y

con ella nuestra capacidad de comunicar temas científicos y técnicos. Aquí damos algunas

pautas y sugerencias sobre cómo organizar un informe de laboratorio. En el sitio Física re-

Creativa: http://www.fisicarecreativa.com, se encuentran varios ejemplos de informes de

experimentos realizados por estudiantes de distintas universidades.


Organización del informe

El informe debe contar con secciones bien diferenciadas, que garanticen orden y

cohesión. Se sugiere el siguiente esquema para el texto del informe, que es usualmente

empleado en publicaciones científicas y técnicas.

Encabezamiento del informe

Título

Autoría

Resumen Cuerpo del informe

Introducción

Método experimental Resultados Discusión Conclusiones

Referencias


Encabezamiento del informe

!"Título: El título del trabajo debe ser específico e informativo, y en lo posible agudo y

provocador. Con él debemos dar una idea clara del tema estudiado.

!"Autoría: Nombres de los autores incluyendo alguna vía de comunicación con los

mismos, por ejemplo dirección electrónica, teléfono, dirección postal, etc.

!"Resumen: El resumen del informe debe dar un adelanto de lo que se leerá en el cuerpo

del mismo, en lo posible en no más de 100 palabras. Aquí debemos indicar con

concisión el tema del trabajo, referirnos sucintamente a la metodología seguida y

destacar los resultados más importantes obtenidos.

Cuerpo del informe

!"Introducción: En esta sección debemos orientar al lector hacia el tema de estudio y la

motivación por hacerlo elegido. Para esto es aconsejable que incluyamos un marco

teórico–experimental del tema que estudiamos, con referencias adecuadas (ver

Referencias) que lleven rápidamente a los antecedentes del problema y que destaquen la

conexión de esas ideas con el trabajo realizado. Estas referencias deben orientar al

lector hacia el “estado del arte” del tema. Asimismo debemos enunciar claramente el

propósito u objetivo del experimento.

!"Método experimental: En la sección describimos los procedimientos seguidos y el

instrumental usado. Es útil incluir un esquema del diseño experimental elegido. Para

esto puede recurrirse a diagramas esquemáticos que muestren las características más

importantes del arreglo experimental y la disposición relativa de los instrumentos. Es

una buena práctica indicar también cuáles variables se miden directamente, cuáles se

obtienen indirectamente y a cuáles tomamos como datos de otras fuentes (parámetros

físicos, constantes, etc.). También es aconsejable describir las virtudes y limitaciones


del diseño experimental, analizar las fuentes de errores e individualizar las que

aparezcan como las más críticas.

!"Resultados: Los resultados deben presentarse preferiblemente en forma de gráficos. En

lo posible evitemos la inclusión de tablas de datos, a menos que sean sustanciales. Los

datos del experimento deben estar diferenciados de otros datos que puedan incluirse

para comparación y tomados de otras fuentes (se sugiere ver la Unidad 4 donde se dan

pautas para hacer gráficos). Como práctica invariante, debemos expresar resultados con

sus incertidumbres, en lo posible especificando cómo las calculamos.

!"Discusión: En esta parte debemos explicitar el análisis de los datos obtenidos. Aquí se

analizan, por ejemplo, las dependencias observadas entre las variables, la comparación

de los datos con un modelo propuesto, o las similitudes y discrepancias observadas con

otros resultados. Si el trabajo además propone un modelo que trate de dar cuenta de los

datos obtenidos, es decir, si el modelo es original del trabajo, su descripción debe

quedar lo más clara posible; o bien, si se usó un modelo tomado de otros trabajos, debe

citarse la fuente consultada. Si fuera necesaria una comparación de nuestros resultados

con otros resultados previos, resaltemos similitudes y diferencias de los materiales,

métodos y procedimientos empleados, para así poner en mejor contexto tal

comparación.

!"Conclusiones: En esta sección tenemos que comentar objetivamente qué hemos

aprendido del experimento realizado, y sintetizar las consecuencias e implicancias que

encontramos asociadas a nuestros resultados. Podemos decir que un buen informe es

aquel que demuestra el mayor número de conclusiones (correctas) alcanzadas a partir de

los datos obtenidos.

!"Referencias: Las referencias bibliográficas se ordenan al final del informe. Deben

contener el nombre de los autores de las publicaciones (artículos en revistas o libros)

citados en el texto, el título de los trabajos; el nombre de la revista o editorial que los

publicó; además se debe incluir los datos que ayuden a la identificación de los mismos:

volumen donde están incluidos, capítulo, página, fecha de publicación, etc.


!"Apéndices: Algunas veces son necesarios para la mejor comprensión de alguna parte

del informe. Por lo general no es conveniente distraer al lector con muchos cálculos,

despejes de términos y propagaciones de errores en la mitad del texto, así que este lugar

puede ser propicio para estas consideraciones. En el texto principal deberemos orientar

al lector para que consulte estos apéndices.

Comentarios finales

Nuestra experiencia nos enseña que no es fácil congeniar de primera con la

literatura científica, más aun si actuamos como escritores. Es cuestión de práctica lograr

que nuestra “narrativa descriptiva” sea desenvuelta y precisa.

No se debe de confundir el informe con la bitácora de laboratorio. Esta última es

donde se registraron todos los datos y detalles de experimento. La bitácora es

principalmente un cuaderno de uso personal donde en lo posible están documentados todos

los detalles del experimento. El informe es una versión final depurada y tiene como

destinatario un lector que no necesariamente realizó el experimento.

Una buena costumbre es pedir a algún par, un compañero de clase por ejemplo, que

lea nuestro informe y nos realice sugerencias y comentarios. De cualquier forma, una vez

redactado el informe, se debe realizar una atenta lectura antes de presentarlo. Finalmente,

queremos llamar la atención sobre el popular dicho “lo breve, si bueno, ¡dos veces bueno!”,

lo que deberíamos tener en mente a la hora de redactar nuestros informes.

Ver también el manual de Estilo del Instituto Norte Americano de Física en: Manual de estilo del AIP (American Institute of Physics - Style Manual)

http://www.aip.org/pubservs/style/4thed/toc.html


Ejemplo

Título del trabajo

Julia Uno, Juan Dos y Andrés Tres [email protected], [email protected], [email protected]

Turno Viernes 8-12 - Curso de Economía 1- Universidad de San Pepe Resumen

El resumen va aquí. Es un texto breve y claro, que describe lo que se hizo en el trabajo. Preferentemente, de nomás de 150 palabras.

Introducción La introducción va aquí. Use en todo el texto: letra redonda Times New Roman de 12 pts., separación entre líneas de 1,5, y ambos bordes justificados. Destaque con negritas solo los títulos. Método Experimental Aquí va la descripción del método experimental. Puede incluir un diagrama del arreglo experimental si se considera pertinente. Resultados y discusión En esta sección se muestran los resultados. Los gráficos que se muestren deben estar numerados y contener un epígrafe o leyenda.

Por ejemplo, si se midió la presión como función del tiempo, el gráfico podría ser como el que se muestra en la figura 1.

10

100

0 10 20 30 40 50 60Tiem po [s]

P [m

bar]

AjusteP [mbar]

Figura 1. Esto es el epígrafe o leyenda que siempre debe acompañas al una figura, para explicar su significado. El mismo podría ser como sigue: Variación de la presión en función del tiempo en representación semilogarítmica. Los símbolos (cuadrados) representan los valores medidos de presión, la línea continua es un ajuste exponencial a los datos.


Conclusiones Aquí se describen las conclusiones. Las conclusiones deben de referirse fundamentalmente a las evidencias recogidas o encontradas en el experimento. Referencias Las referencias van aquí, seguir el ejemplo de citas: [1] J. L. Borges, Ficciones, Alianza Editorial, Madrid, 1998. Autor, título del libro, editorial, lugar de publicación, año. [2] I. Newton, Am. J. Phys. 45, 1278 (2001) Autor, revista, volumen, página, año.

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I - EUP

1

Departamento de Física Aplicada I Escuela Universitaria Politécnica

PRÁCTICAS DE FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA:

TEORÍA DE ERRORES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

1. Introducción Todas las ciencias experimentales se basan en observaciones cuantitativas que llamamos medidas. La medida de cualquier magnitud se expresa por un número acompañado de la unidad en que se ha medido y que presta su significación al número. Pero el proceso de medida está sujeto a una serie de limitaciones que se traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre en el número obtenido. Consecuentemente, el resultado de una medida sólo tiene sentido si, además del número obtenido y su unidad correspondiente, va acompañado de otro número, denominado error, que dé cuenta de la incertidumbre asociada a ella. Las definiciones de magnitud, medida y unidades están íntimamente relacionadas entre sí:

Magnitud: Propiedad física que puede ser medida o inferida a partir de otras medidas (como tiempo, longitud, intensidad, peso, etc.).

Medir: Comparación de una cantidad de cierta magnitud con otra cantidad fija de la misma, denominada unidad.

Para tratar los datos experimentales obtenidos en el laboratorio, es pues crucial entender que todas las medidas de magnitudes físicas están sometidas siempre a incertidumbres, ya que no es posible medir algo de forma totalmente exacta. En ciencia, la palabra “error” no significa “equivocación” o “fallo” sino que se refiere a la incertidumbre inevitable que existe al realizar cualquier medida. Por supuesto, lo ideal es conseguir hacer el error lo más pequeño posible, pero éste siempre existirá. Para poder obtener conclusiones válidas a partir de las medidas, el error debe aparecer siempre claramente indicado y debe ser manejado adecuadamente.

2. Errores en las medidas de magnitudes físicas Cada vez que se lleva a cabo un experimento o se mide una cantidad con el instrumento adecuado, surgen dos cuestiones: ¿Cómo de fiable es el resultado? ¿Cómo de cerca está del valor real, cualquiera que sea éste? La primera cuestión está relacionada con la precisión o reproducibilidad del experimento y la segunda, con la exactitud o proximidad al valor verdadero del mismo (si fuese conocido). Las palabras precisión y exactitud tienen significados completamente distintos en la teoría de errores, mientras que se usan de manera indistinta en el lenguaje cotidiano. La distinción se aprecia claramente si atendemos a los posibles tipos o fuentes de errores. Éstos se clasifican en dos grandes grupos: errores sistemáticos y errores accidentales.

2.1. Clasificación de los tipos de error a) Errores sistemáticos. Son errores que tienen lugar siempre en el mismo sentido y que se repiten

constantemente en el transcurso de un experimento. Pueden ser causados por errores de calibración (o errores de cero) de los aparatos de medida, condiciones experimentales no apropiadas (presión, temperatura, etc.) que afectan a los instrumentos de medida, tendencias erróneas en el observador,

PRÁCTICAS DE FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA: TEORÍA DE ERRORES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 2

técnicas de medida inadecuadas, uso de fórmulas o modelos aproximados, etc. Un minucioso análisis del instrumento y del procedimiento de medida permite eliminar en lo posible la presencia de estos errores. Por lo tanto, los errores sistemáticos afectan a la exactitud de la medida, es decir, a la proximidad al valor verdadero, ya que hacen que todos los resultados sean erróneos en el mismo sentido (demasiado altos o demasiado bajos).

b) Errores accidentales o aleatorios. Son debidos a diversas causas difíciles o imposibles de controlar y alteran las medidas realizadas en diferente cuantía y sentido cada vez. Pueden ser causados por fluctuaciones en las condiciones ambientales durante el experimento, errores de apreciación debidos a las limitaciones de nuestros sentidos, errores de precisión impuestos por la sensibilidad del aparato de medida, etc. Todo esto da lugar a que la repetición reiterada de la medición realizada por un mismo observador no siempre lleve al mismo resultado. El error debido a la superposición de todos estos efectos sólo puede ser detectado si el instrumento de medida es suficientemente sensible. Su valor no puede ser estimado a partir de una medida aislada, siendo necesaria la realización de una serie de medidas que permita, mediante un tratamiento estadístico de los datos, determinar una cota máxima de error. Los errores accidentales afectan a la precisión o reproducibilidad de un experimento. Por ejemplo, la obtención de varias medidas de la misma magnitud, diferentes entre sí, nos permitirán determinar el valor de dicha magnitud de forma menos precisa que si los valores obtenidos hubiesen sido más parecidos entre sí.

Ambos tipos de errores pueden darse simultáneamente y de forma independiente, de forma que se pueden tener resultados precisos aunque inexactos, exactos pero imprecisos, etc., dependiendo de los tipos de errores implicados.

2.2. Problema de la medida Eliminados los errores de tipo sistemático o, al menos, minimizados en lo posible, siempre existirán errores como consecuencia de:

a) El error del instrumento de medida utilizado: Todos los instrumentos de medida tienen un margen de tolerancia o error, que aparece especificado por el fabricante en el manual de instrucciones.

b) Errores accidentales: Errores de tipo aleatorio, sólo detectables cuando el orden de magnitud de los mismos es superior a la precisión del aparato.

Si al medir con un instrumento una serie de veces (por ejemplo, tres veces) se obtiene la misma medida exactamente, se considera que los errores accidentales son despreciables frente al error instrumental, adoptándose como cota de error el error asociado al instrumento.

Cuando los errores accidentales sean superiores a la precisión del instrumento utilizado, resulta necesario repetir varias veces la medida (al menos 10 veces). Para determinar el error hay que realizar un tratamiento estadístico de los datos. En estos casos, el error instrumental resulta despreciable y se considera que el error en la medida viene dado por el error accidental. Todo esto se explicará con más detalle a continuación.

3. Error absoluto y error relativo Dado que, como hemos visto, no es posible conocer el valor exacto de ninguna magnitud, en toda medida resulta necesario dar alguna indicación del error cometido que dé cuenta de cuánto puede alejarse el resultado obtenido del valor exacto. Por lo tanto, en cualquier medida se debe indicar el error que puede haberse cometido.

El error puede expresarse de dos formas diferentes que no deben ser confundidas:

Error absoluto: Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor obtenido experimentalmente y el verdadero valor de ésta. En principio, como el valor exacto no suele ser conocido, no se podría conocer el


3

error absoluto. Ahora bien, la teoría de errores nos permite al menos estimar la incertidumbre asociada a la medida de una magnitud dada, que va a ser lo que consideraremos como error absoluto. El error absoluto tiene las mismas dimensiones físicas y, por tanto, las mismas unidades, que la medida a la que acompaña, y se suele representar como ∆x, de forma que el resultado de la medida x de una magnitud X debe expresarse como X = x ± ∆x con sus unidades correspondientes (por ejemplo, 12.6 ± 0.4 cm).

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor de la misma y, en consecuencia, no tiene dimensiones. Aunque tampoco es conocido, un estimación del mismo viene dada por: εr = ∆x/x (en tantos por uno, donde x es el resultado de la medida). Suele darse en tantos por ciento (εr ×100). (En el ejemplo anterior, el error relativo sería del 3.2%). En general, una medida con un error relativo de más del 10 % es más bien pobre, mientras que si el error es del 1 % o menor, la medida puede considerarse buena, aunque este criterio cambia según el campo de aplicación.

El error absoluto no nos informa por sí sólo de la bondad de una medida, ya que no es igual de grave tener un error de 1 cm en la medida de un objeto de 5 cm que tener 1 cm de error en la de otro objeto de 1 m. Sin embargo, el error relativo es más informativo, ya que en el primer caso el error relativo sería del 20% mientras que en el segundo sería sólo del 1%.

4. Tipos de medidas Las medidas que se realizan en un laboratorio pueden ser de dos tipos:

Medidas directas: El valor de la magnitud que se quiere conocer se mide directamente con el instrumento de medida (esto es, mediante la comparación con un patrón adecuado o la utilización de un aparato calibrado). Ejemplos de medidas directas son: la medida de una longitud con un calibre, el tiempo con un cronómetro, el voltaje con un voltímetro, etc.

Medidas indirectas: El valor de la magnitud deseada se obtiene como resultado del cálculo realizado a partir de otras magnitudes relacionadas con la magnitud a determinar y de ciertas constantes. Por ejemplo, la determinación (medida indirecta) del volumen V de un cilindro a partir de la medida (directa) de su diámetro D y de su altura H aplicando la fórmula V = πD2H/4.

En todo lo que sigue se va a suponer que se han identificado todas las fuentes de error sistemático y que éstos han sido reducidos a un nivel despreciable, de forma que las únicas fuentes de error que quedan son las accidentales. La estimación de los errores en las medidas es diferente si se trata de medidas directas o de medidas indirectas.

5. Cálculo de errores en medidas directas Casi todas las medidas directas implican la lectura de una escala o de una pantalla digital. Se pueden distinguir dos casos dependiendo de cómo sean los errores accidentales frente a la precisión del aparato, esto es, dependiendo de si al medir varias veces la misma magnitud con el aparato se obtiene exactamente el mismo resultado o no:

a) Cuando los errores accidentales son pequeños frente a la precisión del aparato (al medir varias veces el resultado es siempre el mismo)

En este caso, los errores accidentales son despreciables frente a la tolerancia del aparato. El margen de error es el que indique el fabricante en el manual de instrucciones. En nuestro caso, para las prácticas que se van a llevar a cabo en el laboratorio, resulta razonable aplicar el criterio siguiente para el límite de error (error absoluto) en sustitución de las especificaciones del fabricante:


• Si la medida se ha hecho con un aparato analógico, es decir, basado en una escala graduada, se toma como error absoluto la menor unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones). En cuanto al valor de la magnitud medida, éste sería el de la marca más cercana a la posición de la aguja.

Por ejemplo, en el voltímetro de la figura, cuya escala tiene intervalos de 1 V, se podría tomar como valor experimental de nuestra magnitud (voltaje o diferencia de potencial V) 5 V con un error absoluto ∆V = ±1 V, de forma que V = 5 ± 1 V.

• Si la medida se ha hecho con un aparato digital, tomaremos como error absoluto una unidad del último dígito de la lectura del aparato. Por ejemplo, si un voltímetro digital da un valor de 29.7 mV, el error absoluto es ±0.1 mV.

b) Cuando los errores accidentales son superiores a la precisión del aparato (los resultados de la medida no son siempre los mismos)

El error del instrumento es despreciable frente a los errores accidentales y debe hacerse un tratamiento estadístico de los resultados. Por ello en este caso resulta necesario realizar varias medidas. Supongamos que se realiza un conjunto de n medidas de una misma magnitud X y los valores obtenidos son x1, x2, ...., xn. Como mejor estimación de la cantidad x, esto es, como valor experimental de la magnitud medida, se toma el valor medio o media:

n

x=x

i

n

1=iΣ

(1)

Para estimar el error asociado a este valor medio, lo apropiado es tener en cuenta las distancias de los valores obtenidos x1, x2, ...., xn al valor medio, esto es, la dispersión de los datos. Para ello se define la desviación típica o desviación estándar de los datos:

( )

n

xx=

i

n

1=ix

2−Σσ (2)

Sin embargo, en esta expresión no se tiene en cuenta que fijados el valor medio y (n-1) valores de xi, el valor del xi restante queda perfectamente determinado (se dice que tenemos (n-1) grados de libertad), y tampoco se tiene en cuenta que la desviación típica debería quedar indeterminada si sólo se tiene un valor, en lugar de ser igual a 0 como sugiere la expresión anterior. Estos y otros motivos puramente teóricos, hacen que se prefiera la siguiente definición para la desviación típica o desviación estándar de los datos, que va a ser la que usemos nosotros1:

1 Cuando se calcule mediante calculadora u ordenador, hay que asegurarse de que se está usando la definición correcta comprobando las instrucciones del aparato o del programa. Las calculadoras suelen indicarlo como σn-1.


5

( )

1

2

−

−Σn

xx=

i

n

1=ixσ (3)

Una estimación del error viene dada por la desviación típica de la media2 (o error cuadrático de la media) definida como:

( )2

( )

n

ix i=1

x

x x=

n n - 1nσσ

−=Σ

(4)

y tomaremos como cota de error tres veces la desviación típica3 de la media ( 3 xx σ∆ = ± ), por lo que el resultado sería:

xx σ3± (5)

Se puede demostrar mediante razonamientos estadísticos, en los que no vamos a entrar (su comprobación se puede encontrar en la Bibliografía), que si todas las fuentes de error son pequeñas y aleatorias y se realizase un número grande de medidas, sería de esperar que el 68.3 % de los resultados cayese dentro de

xx σ± , esto es, la probabilidad de que nuestro resultado esté entre xx σ− y xx σ+ es del 68.3 %. Esto es lo que se conoce como el límite de confianza del 68.3 %. Si en su lugar se escoge xx σ2± , estaríamos usando un límite de confianza del 95.4 %, y si es xx σ3± , sería del 99.7 %. Nosotros adoptaremos el nivel de confianza del 99.7 %, teniendo en cuenta que estamos dando xσ3 como cota del error.

Cuando el número de medidas es pequeño (inferior a 10), es ilógico realizar un tratamiento estadístico de los datos, por lo que como cota de error resulta más apropiado tomar la cantidad:

max min

2-x xx =∆ (6)

donde xmax y xmin representan los valores máximos y mínimos de las medidas realizadas.

En el caso de que el valor de alguna de las medidas resultase ser muy distinto de las demás, conviene rechazarlo y, en su caso, repetir la medida, ya que podría ser el resultado de una equivocación durante el experimento (al medir, al anotar los datos, etc.).

6. Cálculo de errores en medidas indirectas: propagación de errores Dado que la medida indirecta de una magnitud proviene del cálculo a partir de otras magnitudes medidas a su vez directa o indirectamente, mediante la aplicación de leyes físicas o fórmulas matemáticas en general, es importante saber cómo se propagan los errores desde las segundas hacia la primera. De ello se encarga la teoría de propagación de errores que presentaremos a continuación, fundamentada en el cálculo diferencial.

2 Nótese la diferencia entre desviación típica “de los datos” y “de la media”. Habitualmente, cuando hablemos de desviación típica (sin más especificación) de un resultado (obtenido como la media de unos datos), nos estaremos refiriendo a la desviación típica “de la media”.

3 Si el error así obtenido fuese menor que la precisión del aparato, evidentemente deberá tomarse como error la precisión del aparato.


En algunas ocasiones, una magnitud es medida indirectamente a partir de otra única magnitud (función de una sola variable, f(x)), pero, en general, es medida a partir de varias magnitudes (función de varias variables, f(x,y,…), cada una de las cuales tiene su propio margen de error (∆x, ∆y, …). Otras veces, el valor de la magnitud viene dado en función de otras magnitudes mediante una tabla de valores que las relaciona en lugar de su relación funcional, de forma que para hallar el valor requerido es necesario recurrir a la interpolación en las tablas. Por otro lado, en unos casos los errores de las magnitudes que intervienen son independientes (no están relacionados entre sí) y son totalmente aleatorios, aunque en otros puede no estar tan clara la independencia de los errores ni su aleatoriedad. Habrá que tener en cuenta todos estos factores a la hora de propagar los errores.

a) Fórmula general de la propagación de errores en fórmulas matemáticas

Supongamos que la magnitud que se quiere determinar indirectamente A sea resultado de la aplicación de una fórmula A = f(x, y, …) en la que aparecen varias magnitudes x, y, … que han sido medidas con errores absolutos ∆x, ∆y, … El valor experimental de A será el que resulte de evaluar esa función para los valores experimentales de las demás magnitudes x, y, …. Si los errores de x, y, … son independientes y aleatorios4, se puede demostrar que una estimación del error absoluto de A viene dada por:

+��

��

�∆

∂∂

+��

�� ∆∂∂

=∆22

yyfx

xfA )7(

donde ∂f/∂x es la derivada parcial de f respecto de x, etc., estando evaluadas todas las derivadas parciales en los valores experimentales de x, y, etc. Esta es la fórmula general de la propagación de errores en fórmulas matemáticas que usaremos en las prácticas de laboratorio.


7. Presentación de resultados. Técnicas de redondeo. El valor experimental de una magnitud A debe expresarse con un número de cifras que viene determinado por el valor del error absoluto, ya que sería absurdo presentar una medida hasta la diezmilésima cuando el error estuviese en las décimas. Ese número de cifras es lo que se llama número de cifras significativas, y determinan el valor de un número aunque no su orden de magnitud. El número de cifras significativas es el número de cifras que hay desde la primera cifra distinta de 0 empezando por la izquierda hasta la primera cifra que venga afectada por el error absoluto, cuando éste es conocido.

Un resultado no estará correctamente expresado si no se aplican adecuadamente las técnicas de redondeo. Partiendo de la magnitud y de su error absoluto con todas sus cifras, el procedimiento de redondeo se resume en los siguientes pasos:

1) Se examinan las dos primeras cifras significativas del error absoluto (esto es, descontando los ceros a la derecha e izquierda del número). Si estas dos cifras forman un número menor o igual a 25, se conservan ambas5. Si es mayor, se conserva una sola cifra. En ambos casos, la última cifra conservada se redondea aumentándola en 1 unidad si la siguiente cifra (la primera cifra descartada) es mayor que 5, pasándola al número par más próximo si es igual a 5, y no alterándola si es menor que 5. El redondeo al número par más próximo asegura que unas veces se redondeará por exceso, como 0.75 a 0.8 y otras por defecto, como 0.85 a 0.8.

2) A continuación, se expresa la magnitud de forma que su última cifra sea del mismo orden que la del error, descartando las demás y redondeándola de la misma forma que el error absoluto, o sea, aumentándola en 1 unidad si la siguiente cifra (la primera descartada) es mayor que 5, pasándola al número par más próximo si es igual a 5, y no alterándola si es menor que 5.

3) Se calcula el error relativo dividiendo el error absoluto por el valor de la magnitud en cuestión, ambos con todas sus cifras. Posteriormente se redondea conservando solamente dos cifras significativas, redondeando la segunda usando las mismas reglas que anteriormente. Nota: Los errores relativos se suelen dar en tantos por ciento.

Una vez redondeados los resultados, se presenta el resultado final de la siguiente manera:

A = valor de A ± error absoluto de A Unidades; error relativo de A

Por ejemplo, si se ha realizado una experiencia en la que se ha calculado el valor de la gravedad, y los resultados finales dan el valor de 9.684 m/s2 con un error absoluto de 0.34 m/s2 y relativo de 0.035 (en tantos por ciento sería del 3.5%), la presentación de resultados sería:

g = 9.7 ± 0.3 m/s2; εr = 3.5 %

5 En el caso de que, por ejemplo, sea 0.25, sólo se conservarán las dos si la siguiente cifra es menor que 5. Si no, pasaría a ser 0.26, que se redondea a 0.3.


9

En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden suprimir, ya que están indicando cuál es el orden de magnitud correcto o simplemente que la cifra indicada es efectivamente 0 y no cualquier otra (por ejemplo, escribir 2 ± 0.2 cm es incorrecto, ya que lo correcto sería 2.0 ± 0.2 cm, puesto que ese 0 decimal es una cifra significativa).

Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la notación científica, esto es, en potencias de 10, respetando el número significativo de cifras, expresando el valor y su error relativo con la misma potencia de 10. Por ejemplo 2.34 × 109 ó 1.60 × 10-19.

Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios.

Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a los de las magnitudes que intervienen en la fórmula.

A continuación se presentan algunos ejemplos de redondeo, aplicados a medidas de intensidad (I) dadas en amperios (A):

Medida (A) Error absoluto (A) Resultado

1.43865 0.01239 I = 1.439 ± 0.012 A ; εr = 0.86 %

4.81343 0.04661 I = 4.81 ± 0.05 A ; εr = 0.97 %

132.2894 2.8754 I = 132 ± 3 A ; εr = 2.2 %

5127 234 I = 5130 ± 230 A ; εr = 4.6 %

0.53781 0.00962 I = 0.538 ± 0.010 A ; εr = 1.8 %

5.03574 0.02574 I = 5.04 ± 0.03 A ; εr = 0.51 %

8. Representaciones gráficas A la hora de realizar representaciones gráficas se deben respetar las siguientes normas:

a) Ejes

Abscisa y Ordenada

Un convenio bien establecido en Física para todas las prácticas es representar en el eje de abscisas (horizontal) la variable independiente (aquella que elige el experimentador en cada medida), y en el eje de ordenadas (vertical) la variable dependiente (aquella cuyo valor se determina); brevemente, se trata de representar efecto (en el eje vertical) frente a causa (en el eje horizontal).

Papel

Los papeles más utilizados en las gráficas de Física son el lineal (normalmente graduado en milímetros y por eso comúnmente llamado papel milimetrado), y el logarítmico, que puede ser semilogarítmico (de rayado logarítmico en un solo eje y lineal en el otro) y logarítmico sobre ambos ejes.

Identificación de cada eje


Los ejes deben marcarse siempre con el nombre y símbolo de la magnitud representada junto a las unidades en que se expresa.

También debe indicarse, en su caso, la potencia de 10 correspondiente, por la que va multiplicada la unidad. De este modo, las divisiones en un eje pueden enumerarse 1, 2, 3,... en lugar de 10.000, 20.000, 30.000,... ó de 0.001, 0.002, 0.003,... etc., si en el eje se indica ×104 ó ×10-3, respectivamente.

En los ejes se marcarán los valores de las variables representadas, a intervalos regulares, de acuerdo con la escala escogida.

Escalas

La selección de la escala utilizada en cada eje debe hacerse de modo que:

• Los puntos experimentales no queden todos juntos, debiendo cubrir toda la zona del papel.

• La escala debe ser sencilla. Lo más sencillo es representar por un milímetro una potencia de 10 de la unidad; la siguiente simplicidad es aquella en que un milímetro (ó un centímetro) representa 2 ó 5 unidades.

• El origen de la representación no tiene por qué ser el punto (0, 0). Salvo en casos especiales la escala y el origen se tomarán de manera que la curva a representar quede centrada en el papel y ocupe la mayor parte de éste.

• Cada punto se representa por un punto (.), un asterisco (*), u otro símbolo parecido. Si existen varias curvas en la misma gráfica con diferentes significados, los puntos de cada una se representan con distintos símbolos.

b) Representación gráfica del error de las medidas

Si se representan los errores se deben reflejar como una cruz o un rectángulo, centrados en el punto y de dimensiones horizontales y verticales el doble del valor del error absoluto de las coordenadas horizontales y verticales del punto en cuestión.

c) Ajuste de líneas a los puntos representados

Si se traza una curva para unir una serie de puntos se deben de respetar las siguientes normas:

• Debe de ser lo más regular posible.

• Debe de pasar lo más cerca posible de los puntos, aunque no tiene que pasar necesariamente por todos ellos (incluso puede que no pase por ninguno).

• Si existe algún punto aislado lo más normal es que se trate de un error y puede que sea conveniente repetir la medida correspondiente a ese punto.

• No unir nunca los puntos mediante una línea quebrada.

9. Relaciones lineales: En los experimentos físicos es frecuente encontrar relaciones lineales entre pares de magnitudes. En este caso, al representar en una gráfica los pares de valores (x, y) se busca la recta de mejor ajuste a la nube de puntos:


11

b + x m =y (12)

también conocida como recta de regresión lineal. El problema es encontrar los valores de m y b. Aunque el método riguroso es el denominado de mínimos cuadrados, a veces, para simplificar los cálculos, se usan otros que dan con bastante aproximación, la recta de mejor ajuste.

Un método rápido es trazar la recta de mejor ajuste (visual) en papel milimetrado y calcular la pendiente y ordenada en el origen a partir de la gráfica. No obstante, es preferible usar un método de cálculo, como el de los mínimos cuadrados.

10. Ajuste de una nube de puntos por el método de los mínimos cuadrados Intentemos aplicar de forma matemática las ideas expuestas en la sección anterior: el método llamado de mínimos cuadrado. Esta técnica trata de buscar la recta que mejor ajuste a una nube de puntos, imponiendo la siguiente condición: que la suma de las distancias al cuadrado entre los valores de la variable dependiente y de los correspondientes a los predichos por la ecuación lineal:

( ) 2iid = - +by mx⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ) (13)

sea un mínimo de las distintas rectas posibles ( ;d/ m = 0 d/ b = 0∂ ∂ ∂ ∂ ). Se deja para el esforzado alumno la demostración de las siguientes expresiones para el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen de dicha recta:

1 12

2

1

;

n nn n n

ii i iiii=1 i=1 i=1 i i

nn

i ii=1 i

y m xn y yx xm b

nn x x

= =

=

−−= =

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑Σ Σ Σ

∑Σ (14)

siendo n el número de medidas, m la pendiente de la recta a determinar y b su ordenada en el origen.

Dado un valor x, podemos calcular su y correspondiente a partir de la recta de mejor ajuste (12). El error absoluto de y se puede evaluar definiendo su desviación típica6 y tomando tres veces este valor:

( )( )

2

32

n

iii=1

mx byy =

n

− −∆

−

Σ (15)

y se pueden calcular los errores absolutos de m y b como:

6 Por el mismo razonamiento que en el apartado 5.b, donde la desviación típica se definía en la ecuación (3) con (n-1) en el denominador, en este caso se van a tener (n-2) grados de libertad, ya que, aunque se han hecho n medidas, para determinar σ hace falta conocer las dos cantidades m y b.


( )

( ) ( )

( )( )

2 2

23 3

2

n n

i ii ii=1 i=1

n

ii=1

mx b mx by ym = ; b =

n n 2n x x

− − − −∆ ∆

−− −

Σ Σ

Σ (16)

Si estos valores son tan grandes que no permitiesen siquiera obtener una cifra significativa, también se admite tomar los errores absolutos como el valor de la desviación estándar (sin multiplicar por 3), especificando claramente que se ha adoptado este criterio.

El método descrito en los párrafos anteriores parte de la idea de optimizar el ajuste respecto de la variable dependiente. Así, obtenemos lo que se llama la recta de regresión de y sobre x. Si hiciéramos lo propio con la variable independiente, obtendríamos otra recta de regresión (de x sobre y) con otra pendiente distinta. A partir de estas pendientes podemos determinar el grado de dependencia lineal que existe entre ambas variables. Esto es lo que se llama correlación lineal entre las variables x e y. El parámetro que da cuenta de esta correlación, es el llamado coeficiente de correlación lineal r. Éste, se calcula obteniendo la media geométrica de las pendientes de las dos rectas de regresión antes descritas. La expresión matemática útil para este parámetro es:

nn n

ii iii=1i=1 i=1

2 2n n n n22

i i i ii=1 i=1 i=1 i=1

yn -yx xr =

y yn x x n- -

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ΣΣ Σ

Σ Σ Σ Σ

(17)

El coeficiente de correlación lineal, puede demostrarse que es un número comprendido entre -1 y +1. Cuanto más cerca esté |r| de la unidad, interpretaremos que más fuertemente lineal es la correlación entre las variables. Por ello es importante calcular, previamente al ajuste de mínimos cuadrados, el valor del coeficiente de correlación y comprobar que su módulo es cercano a la unidad, y de esta manera asegurar que la curva que mejor se ajusta a la nube de puntos es una recta. Para valores de |r| inferiores a 0.85, debe buscarse otro tipo de dependencia funcional entre las variables. Si el coeficiente de correlación lineal es mayor o igual que 0.9 y menor que 1, siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9, redondeándola en su caso (por ejemplo, si resulta ser 0.9996714, habría que expresarlo como 0.9997). Por debajo de 0.9, se puede expresar con 2 cifras significativas.

Para realizar los cálculos correspondientes al ajuste por mínimos cuadrados, es conveniente programar estas ecuaciones, o bien, utilizar calculadoras donde aparezcan estos parámetros de manera explícita.

Bibliografía Carlos Sánchez del Río, Análisis de Errores, Ed. Eudema, Madrid 1989

John R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, Second Edition, University Science Books, 1996.

Capıtulo 2

Metodos graficos

2.1. Representacion lineal (papel milimetrado)

2.1.1. Datos experimentales y la ecuacion de la lınea recta

La Tabla 5 de la p. 12 da los valores obtenidos en determinado experimento para la relacionentre la temperatura y el volumen de cierto gas (a presion constante). Las Figuras 5(a-c)muestran varias formas en que pueden ser representados los datos de la tabla. De las tres,la Figura 5(c) es la unica correctamente representada. Para realizar tal Figura tuvimos queempezar por darnos cuenta que los numeros del volumen en la Tabla 5 son muy grandes(multiplos de 10 000!), y por lo tanto elegimos tal cantidad como unidad para rotular el ejedel volumen (V ). Ademas elegimos los lımites maximo y mınimo de la grafica para que losdatos ocupen “casi toda la hoja”. La misma grafica de la Figura 5(c) esta hecha “en una hojamas grande” en la Figura 2.1 y agregandole detalles que la hacen parecer a lo que verıamos sila dibujaramos en papel milimetrado. ¿Para que hemos trazado la lınea recta que aparece allı?La respuesta a esta pregunta tiene que ver con la respuesta a otra pregunta, ¿para que hacemosgraficas? En general se trata de una de las dos situaciones siguientes:

1. Si la relacion matematica entre las variables representadas no se conoce, la grafica nosayuda a establecer tal relacion.

2. Eventualmente la dependencia matematica entre las dos variables es conocida, aunqueno los parametros (a veces llamadas constantes) que aparecen en la relacion (tambienllamada a veces “formula”). En tal caso usamos la grafica para estimar los valores detales parametros.

Si no conocieramos la relacion matematica entre la variables V y T de la Tabla 5, al ver laFigura 2.1 (o cualquiera de las Figuras 5(a-c)) concluirıamos que existe una relacion de pro-porcionalidad entre V y T . Es decir, a mayor temperatura, mayor volumen: Matematicamentese expresa como V ∝ T , y de manera aun mas precisa,

V = a + bT. (2.1)

17

CAPITULO 2. METODOS GRAFICOS

a y b se suponen constantes.Para contextualizar, es bueno recordar que esta es la famosa ecuacion de la lınea recta, que

en terminos de las variables genericas x (variable independiente), y y, (variable dependiente,y depende de x) la conocemos como

y = a + bx. (2.2)

Volviendo a la relacion V −T , este es uno de los casos en los que podemos proponer unarelacion matematica conocida, la de los gases ideales.

PV = nRT, (2.3)

con P la presion (2 atmosferas en este experimento), n el numero de moles y R la constantede los gases,

R = 8,3Joule

mole K.

Supongamos que a partir de la Figura 2.1 queremos determinar el numero de moles de gas,n, presentes en la muestra usada. Para empezar, escribimos explıcitamente la relacion entre elvolumen y la temperatura:

V =nR

PT. (2.4)

En esta ecuacion la temperatura es en grados Kelvin (denotados K). Si queremos usar laanterior ecuacion para estudiar la Figura 2.1, tenemos que escribir la ecuacion (2.4) en gradoscentigrados (denotados ◦C). Primero, la relacion entre la temperatura en K y en ◦C es

T (K) = 273 + T (◦C).

Al reemplazar T (K) en la ec. (2.4) obtenemos

V =nR · 273K

P+

nR

PT (◦C). (2.5)

Ya podemos darnos cuenta que esta ecuacion es de la forma de la ec. (2.2), con y = V , x = Ty las constantes

ateo =nR · 273K

P, (2.6)

bteo =nR

P. (2.7)

Le hemos agregado el subındice teo a las constantes para recordar que son los valores predichospor la teorıa que estamos usando para describir el gas. La pendiente de la recta, bteo, contienela cantidad que queremos determinar, n.

18

2.1. REPRESENTACION LINEAL (PAPEL MILIMETRADO)

T (◦C)

V(×

104cm

3)

1401201008060

3,6

3,4

3,2

3,0

2,8

2,6

Figura 2.1: Representacion grafica de los datos de la Tabla 5 tal como aproximadamente severıa en papel milimetrado. La lınea recta continua esta trazada “a ojo”, intentando que pase“lo mas cerca posible de todos los puntos”. Es decir, la lınea recta intenta ser la mejoraproximacion a los datos experimentales.

19


Es claro lo que tenemos que hacer ahora:

1. Trazamos una lınea recta intentando que pase “lo mas cerca posible de todos los puntos”.Es decir, la lınea recta intenta ser la mejor aproximacion a los datos experimentales.Tal es la recta que aparece en la Figura 2.1.

2. Determinamos la pendiente de la recta trazada previamente, a la cual llamaremos bexppara recordar que fue hallada experimentalmente.

3. Igualamos la pendiente experimental a la teorica bexp = bteo. De esta igualdad despe-jamos el valor que nos interesa, n.

Sin embargo, antes de continuar, debemos escribir la constante bteo de una manera que nosdeje entender la relacion entre las cantidades fısicas. Empezamos recordando lo que es launidad de presion, 1 Pascal:

1 Pascal = 1Newton

m2= 9,869 · 10−6 atm

por lo tanto: 1 atm =1

9,87· 106Newton

m2.

Por otro lado, debido a que la variacion de la temperatura en 1K produce una variacion en1 ◦C, aunque los valores estan “corridos” en 273, la constante de los gases la podemos escribiren terminos de grados centigrados,

R = 8,3Joule

mole ◦C.

Esta forma de escribirla nos es conveniente porque las unidades de temperatura en la Figura 2.1son los grados centigrados. Por lo tanto

bteo =nR

P= n

8,3 · 9,872 · 106

J/(mole ◦C)

N/m2= n 40,96 · 10−6

N m/(mole ◦C)

N/m2

=n 40,96 · 10−6m3

mole ◦C

Debido a que las unidades que tenemos en la Figura 2.1 son los cm3, hacemos una ultimatransformacion a la pendiente teorica:

1 m3 = (102 cm)3 = 106 cm3.

Por lo tanto

bteo = n · 40,96 · cm3

mole ◦C. (2.8)

Ahora sı estamos listos para averiguar el valor experimental de la pendiente. ¿Como lo hace-mos?

20

2.2. REPRESENTACION LOGARITMICA (PAPEL “LOG-LOG”)

2.1.2. Determinacion experimental de pendientes

1. Elegimos dos puntos sobre la recta trazada que cumplan las siguientes condiciones:

a) Tan lejanos entre sı como sea posible.

b) Que coincidan con puntos de cruce de las lıneas verticales y horizontales del papelmilimetrado. De esta manera podra determinar facilmente sus coordenadas.

c) Importante: puesto que de lo que se trata es de determinar la pendiente de la recta,no tiene sentido alguno elegir como puntos aquellos de los datos experimentales!!Por lo tanto no los podemos tomar de los puntos experimentales en la grafica nide la Tabla 5.

Ejemplo de puntos que cumplen estas condiciones en la Figura 2.1:

(x1, y1) = (T1, V1) = (60 ◦C, 2,72 · 104 cm3)

(x2, y2) = (T2, V2) = (138 ◦C, 3,4 · 104 cm3)

2. Calculamos la pendiente

bexp =∆y

∆x=

∆V

∆T=

V2 − V 1

T2 − T1

=(3,4− 2,72) · 104 cm3

(138− 60) ◦C=

0,68 · 104 cm3

78 ◦C= 87,2

cm3

◦C

3. Igualamos las pendientes teorica y experimental:

bteo = bexp

n · 40,96 cm3

mole ◦C= 87,2

cm3

◦C

... y despejamos para n:n = 2,13 moles

2.2. Representacion logarıtmica (papel “log-log”)

Existen dos situaciones claras en las que se hace natural no usar para la representacion lavariable original sino su logaritmo. Las estudiaremos a continuacion.

2.2.1. Rangos grandes

Si el rango de variacion de alguna de las coordenadas es demasiado grande. Ejemplo:Debido a que el rango de variacion de la intensidad sonora es tan amplio, se ha decidido

21


usar una escala logarıtmica: siempre que la intensidad del sonido aumente en un factor 10, sedice que ha aumentado en 1 bel. Es decir, si llamamos B la intensidad sonora en bels, I laintensidad sonora en unidades naturales, ergios/(cm2· s), e I0 una intensidad de comparacion,

B = log10

(I

I0

)

. (2.9)

El rango en el que el oido humano puede oir es bastante grande: 12 bels, es decir que si I0 esla intensidad del sonido mas suave que puede escuchar, la del sonido mas fuerte es 1012 vecesmas grande.

2.2.2. Relaciones potenciales

Si se sabe que la relacion entre ciertas dos cantidades es potencial, pero no se conoce lapotencia a la que la abscisa esta elevada, una representacion logarıtmica (log-log) evidenciarapidamente su valor: Supongamos que dos cantidades y y x se relacionan entre ellas segun

y = axn. (2.10)

Si calculamos el logaritmo en base 10 (log10(x) ≡ log(x)) a ambos lados de la ec. (2.10) seobtiene

log(y) = log (axn) = log(a) + n · log(x). (2.11)

Nota matematicaEn realidad no necesariamente tiene que usar logaritmo en base 10. Puede hacerlocon el logaritmo en cualquier base. Esto es ası porque el logaritmo en cualquier base,digamos en base c, esta relacionada a traves de una constante con el logaritmo naturalln(x):

logc(x) =ln(x)

ln(c).

Por ejemplo

log10(x) =ln(x)

ln(10)=

ln(x)

2,3026.

Si ahora definimos nuevas variables X y Y como

X = log(x), Y = log(y), (2.12)

y tambien definimos una nueva constante

A = log(a), (2.13)

obtendremos la siguiente relacion entre las cantidades mayusculas:

Y = A+ nX. (2.14)

Esto quiere decir que si hacemos una grafica en papel milimetrado de las cantidades (X, Y ),deberıamos obtener una lınea recta cuya pendiente es precisamente la potencia n y cuyo cortecon el eje de las ordenadas es el logaritmo en base 10 de la constante a.

22


2.2.3. Ejemplo

La Tabla 2.1 es el resultado de un experimento en el cual se midieron la masa y el diametropromedio de gotas de lluvia (Los metodos de medicion no importan aca). Esta tabla, represen-tada en escalas lineales aparece en la Figura (2.2) tal como aparecerıa al graficarla en papelmilimetrado. El resultado no es una lınea recta. A partir de la grafica, ¿puede adivinar que tipode relacion existe entre m y d? Lo mas posible es que no puede. El papel ’log-log’ viene ennuestra ayuda si queremos averiguar con exactitud cual es tal relacion.

23


Tabla 2.1: Masa m de gotas de agua lluvia como funcion de su diametro promedio d.

d(mm) m(g)0,33 0,0160,50 0,0690,80 0,221,08 0,751,30 1,131,34 1,321,77 2,981,90 3,462,15 5,43

d (mm)

m(g)

2,01,51,00,50,0

6

5

4

3

2

1

0

Figura 2.2: Los datos de la Tabla 2.1 en escala lineal. Es facil darse cuenta que la relacionentre d y m es potencial, es decir m ∝ dn, con n 6= 1... pero, ¿cual es el valor de n?

24


Tabla 2.2: Conversion de la Tabla 2.1 a las cantidades logarıtmicas definidas en la ec. (2.12).

X Y−0,48 −1,80−0,30 −1,16−0,10 −0,660,03 −0,130,11 0,050,13 0,120,25 0,470,28 0,540,33 0,73

Pero antes de que aprenda el metodo: Si piensa en la relacion que hay entre la masacontenida en una gota esferica y el diametro de tal gota... ¿Cual deberıa ser la dependenciafuncional de m con d ? ¿m ∝ d2? , ¿m ∝ d1/2?, ¿m ∝ d3?, ¿m ∝ d4? Deberıa serle facilpredecirlo.

Volvamos a la explicacion del metodo. Las variables logarıtmicas definidas en la ec. (2.12)aparecen en la Tabla 2.2, y estos datos estan representados, de nuevo en escalas lineales (papelmilimetrado) en la Figura 2.3. Ahora los puntos estan aproximadamente sobre una lınea recta!La recta trazada intenta pasar lo mas cerca posible de cada uno de los puntos. No es un ajustematematico. Sin embargo “a ojo” la recta trazada es una representacion suficientemente buenade los datos. Segun la ec. (2.14), la pendiente de la recta en la Figura 2.3, es decir, calculadapor las diferencias entre las cantidades logarıtmicas, produce el valor del exponente:

n =Y2 − Y1

X2 −X1

=log(m2)− log(m1)

log(d2)− log(d1). (2.15)

¿Que pareja de puntos (X1, Y1), (X2, Y2) debemos tomar en la Figura 2.3? Aca es impor-tante, una vez mas, recordar las condiciones que deben cumplir los puntos, y que han sidolistadas explıcitamente en la Seccion 2.1.2, p. 21: puntos sobre la lınea recta para los cualesnos sea facil leer en los ejes los valores de las coordenadas, y, no tomar puntos de los datosexperimentales originales.

Una eleccion posible, siguiendo las anteriores observaciones es

(X1, Y1) = (−0,2,−0,9), (X2, Y2) = (0,4, 0,95).

Entonces, el valor experimental obtenido de la Figura 2.3 es:

nexp =0,95− (−0,9)0,4− (−0,2) =

1,85

0,6= 3,08

25


-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

log10[d(mm)]

log10[m(g)]

Figura 2.3: Los datos de la Tabla 2.2 representados en papel milimetrado, es decir, en escalaslineales.

26


No resulto ser ni 2 ni 3 ni 4. Pero es aproximadamente 3. ¿Cual habıa sido su prediccion?Seguramente habıa pensado: si ρ es la densidad del agua (1 g/cm3), la masa contenida en unaesfera de diametro d (radio r = d/2) llena de agua es el producto densidad×volumen, por lotanto,

m = ρV = ρ4

3πr3 = ρ

4

3π

(d

2

)3

= ρ4

3 · 8πd3,

es decir que la relacion teorica entre masa y diametro de las gotas es

m =π

6ρd3. (2.16)

Y una de las conclusiones es que la potencia teorica resulta

nteorıa = 3. (2.17)

El valor experimental esta bastante cercano al teorico. Sin embargo no hemos usado todavıapapel logarıtmico! Solamente graficamos en papel milimetrado los logaritmos de los valoresexperimentales.

¿Que sucede si representamos los datos de la Tabla 2.1 en papel logarıtmico? El resultadoesta en la Figura 2.4. Las Figuras 2.3 y 2.4 son identicas. Si las puede superponer notara quela posicion tanto de los puntos experimentales como de la recta trazada coinciden sobre elpapel. La diferencia entre las dos esta en el aspecto producido por la cuadrıcula. La cuadrıculaes diferente por la siguiente razon: en la Figura 2.3 las lıneas que forman la cuadrıcula estantrazadas a distancias identicas entre los logaritmos de las variables. En la Figura 2.4 las lıneasestan trazadas a distancias iguales entre las variables mismas! Esto produce una cuadrıcula deapariencia irregular.

La virtud del papel logarıtmico es que no necesitamos calcular los logaritmos de las varia-bles. ¡La cuadrıcula misma nos muestra en donde esta el valor del logaritmo!

La ec. (2.15) nos dice que la pendiente es la razon entre las diferencias de los logaritmos. Nopodemos extraer los logaritmos de la Figura 2.4. Pero no los necesitamos. Podemos medir lasdiferencias ∆Y = Y2−Y1 y ∆X = X2−X1, ¡con una regla! Ası esta sugerido en la Figura 2.5.La pendiente de la recta y por lo tanto el exponente en m ∝ dn, es, aproximadamente, leyendoen cada una de las reglas:

nexp =∆Yregla

∆Xregla=

17,15 cm

5,7 cm= 3,01. (2.18)

¡El resultado es casi el mismo que hallamos a partir de la pendiente de la recta en la Figura 2.3!¿Por que una regla permite hallar las cantidades que aparecen en la ec (2.15)? En realidad laregla no determina log(m2)− log(m1) ni log(d2)− log(d1), lo que determina es una cantidadque es proporcional, a traves de la misma constante, a cada una de las diferencias. Podemosverificarlo: los 3 puntos aproximados usados para calcular la pendiente en la Figura 2.5 son:

(d1, m1) = (0,38, 0,03); (d2, m2) = (2, 0,03); (d3, m3) = (2, 4,1).

27


Por lo tanto

∆X = log(d2)− log(d1) = log(2)− log(0,39) = 0,72 ≈ 0,125× 5,7

∆Y = log(m3)− log(m2) = log(4,1)− log(0,03) = 2,14 ≈ 0,125× 17,15.

Debido a que la constante de proporcionalidad es la misma en X que en Y , en este caso0,125, la razon ∆X/∆Y es la misma sobre el papel logarıtmico medido con una regla que enel papel milimetrado de la Figura 2.3.

La relacion matematica original con la que estamos trabajando es y = axn, de la cual yaaprendimos a hallar n. Que hay respecto a a? Ya sabemos, las relaciones entre las cantidadeslogarıtmicas, definidas en la p. 22 y que reescribimos aca, son

y = axn , (2.10)

A = log(a) , (2.13)

Y = A+ nX. (2.14)

Lo que dice la ec. (2.10) es que si sabemos un valor de y (la variable original) para el cualpodemos determinar con precision el valor de la variable independiente x, podemos usar estosdos valores para despejar a. Por ejemplo, la lınea que aproxima los puntos en la Figura 2.4parece pasar “exactamente” por el punto (m, d) = (1, 0,5). Es decir, sabemos que

m =π

6ρdnexp ,

0,5 g =π

6ρ(1 mm)3,01 .

Por lo tanto, despejando ρ,

ρ =6× 0,5

π

g

mm3,01= 0,96

g

mm3,01.

En este resultado puede parecer extrana la potencia que acompana a los milımetros: mm3,01.Aceptado. Sin embargo, ese es precisamente parte de nuestro resultado experimental: que lamasa de las gotas de agua no crece con la acostumbrada potencia nteo = 3 del diametro (odel radio), tal como lo concluimos para llegar a la ec. (2.17) sino con una potencia levementediferente, nexp = 3,01, que es la conclusion del trabajo hecho para llegar a la igualdad (2.18).

28


0.01

0.1

1

10

0.1 1 10

log10[m(g)]

log10[d(mm)]

Figura 2.4: Los datos de la Tabla 2.2 representados en papel logarıtmico. Esta y la Figura 2.3son identicas, aunque no lo parezcan. Las diferencias aparentes: en vez de rotular en los ejeslos valores de los logaritmos, anotamos los valores de la variable original. Esto hace que elespaciado de la cuadrıcula no sea uniforme.

29


0.01

0.1

1

10

0.1 1 10

log10[m(g)]

log10[d(mm)]

Figura 2.5: Visualizacion del metodo para evaluar la pendiente de la lınea: con la regla!

30

Objetivos

Objetivo General:

Estudiar el uso de gráficas para la obtención de las relaciones funcionales entre dos magnitudes físicas.

Objetivos Específicos:

Aprender a identificar las variables que intervienen en un experimento físico. Aprender a elaborar correctamente gráficas en papel milimetrado. Relacionar las variables representadas mediante una función matemática.Graficar a escalas adecuadas los datos experimentales con el fin de facilitar la interpretación y cálculo de las constantes en las gráficas.

Materiales

Equipo requerido Cantidad ObservacionesPapel milimetrado. 4Escuadras. 2

Calculadora 1

Marco teórico y Procedimiento

En física es muy importante, además de predecir el error que tiene una medición, formular la ley que rige el fenómeno en estudio, o sea, que las experiencias realizadas permita determinar la tendencia o relación entre las variables que influyen en el evento estudiado. Estas leyes físicas expresadas en forma matemática es lo que constituye una “relación funcional”. Uno de los objetivos del experimentador es tratar de expresar la relación entre las diferentes variables en su experimento en la forma de una ecuación matemática.

Cuando una cantidad se relaciona con otra por medio de alguna ecuación, se dice que una de las cantidades es función de la otra. Así, si la variable observable y está relacionada con la variable x, se dice que y es una función de x. Generalmente, esta relación se escribe, en notación abreviada, como y = f(x) la cual se lee: “y es una función de x”. Cuando los valores de ydependen de los de x, la variable y se denomina variable dependiente y x es la variable independiente. La tarea que nos ocupa ahora es analizar las diferentes formas que puede adoptar una función f(x) obtenida a partir de una serie de datos experimentales.

Adaptado por: Claudia Patricia Parra Medina y Rómulo Sandoval Flórez.1

Una de las mejores maneras de llegar al tipo de dependencia funcional que existe entre dos variables, es dibujar una gráfica de las variables en un sistema cartesiano de coordenadas. Los

Practica 3: Análisis gráfico


valores experimentales de la variable independiente se marcan en el eje horizontal (abscisa) y la variable dependiente se marca sobre el eje vertical (ordenada). Después de analizar si la tendencia de los puntos en el gráfico se ajusta a una línea recta o a una curva, se puede determinar la naturaleza de la función que relaciona las variables, especialmente si esta función tiene una forma sencilla.

La construcción de gráficas debe iniciarse con la elaboración de una tabla de los datos, los cuales pueden disponerse en columnas o en filas. Toda tabla debe llevar un titulo explicativo que indique el significado de los datos y la forma como fueron obtenidos.

Uno de los requisitos más importantes de un gráfico, es la elección de escalas para los dos ejes de coordenadas. Debe tenerse presente que un gráfico de datos de laboratorio carece de significado si no se identifica cada eje con la cantidad medida y las unidades utilizadas para medir. A continuación se presentan algunas sugerencias para la elaboración de gráficas:

Poner un título al gráfico que sea conciso y claro. Ejemplo: X vs t ó Distancia versustiempo. Usar hojas de papel milimetrado ó logarítmico, según sea el caso. Seleccionar una escala que facilite la representación y la lectura. Se deben elegir escalas que puedan subdividirse fácilmente. Los valores recomendables son 1, 2, 5 y 10 unidades por escala de división. No se recomiendan escalas como 3, 7, 6, 9 debido a que hacen difícil la localización y la lectura de los valores en el gráfico. Procurar que el gráfico ocupe la mayor parte de hoja de papel. No es necesario representar ambas cantidades en la misma escala, ni que comience en cero. Representar todos los datos observados. Demarcar claramente los puntos experimentales con un punto dentro de un pequeño círculo, o dentro de un triángulo, o algún otro símbolo semejante, por ejemplo: (⊗, ◊, ๏). Unir el mayor número de puntos con una curva suave, de modo que aquellos que queden por fuera de la curva queden igualmente repartidos por encima y por debajo. Si el gráfico no es una recta, puede utilizarse para el trazado una plantilla especial llamada curvígrafo.Un gráfico quedara más claro y adquirirá una mejor presentación si se hace uso de carteles interiores al gráfico, con información complementaria relevante para entender en qué contexto se muestran los datos o sobre las condiciones experimentales particulares bajo las que se los han obtenido.

ANÁLISIS GRÁFICO

En el análisis de un problema físico se puede partir de la teoría que predice una cierta ley física la cual se expresa con una ecuación cuya forma matemática nos guiará al analizar la forma del gráfico. Es decir, graficando los valores experimentales se tendrán una curva uniforme que muestra la tendencia de los puntos. Enseguida se compara la forma de la curva obtenida, con aquello predicho teóricamente. Si concuerdan, ello corresponde a una comprobación experimental de la ley física considerada. La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que tiene gran


importancia en el análisis de datos experimentales. Por lo tanto es útil linealizar la curva cuando ésta no sea una recta.

IMPORTANCIA DE LA LÍNEA RECTA

De una curva es muy difícil deducir cuál es la ecuación que podría representar mejor los resultados.Es fácil extrapolar más allá de un rango de valores medidos. Sólo se necesita una regla. Determinando la pendiente y la intersección con el eje y, se puede deducir valores numéricos de constantes que obteniéndolos de curvas, resulta muy difícil.

FUNCIÓN LINEAL

La ecuación de una recta está definida por: . a a o, leTal es el caso del lanzamiento vertical hacia b j movimiento está dada por: cuya y de

Si se realiza tal experiencia y se toman valores de se observará que al graficar la tabla de valores de y obtendremos una recta (ver figura 1). Dicha recta nos permitirá determinar la aceleración de gravedad a través del c o endiente. Además se podrá determinar haciendo una extrapolación de la recta obtenida hasta cortar el eje vertical.

álcul de su p

.

Por lo tanto para graficar una función tal como la indicada, se utilizará papel milimetrado (papel de uso más común cuyos ejes son ambos lineales, es decir, las divisiones están igualmente espaciadas).

Fig 1. Gráfica de la función


FUNCIÓN POTENCIAL

La ecuación de una función p e stá definida or:ot ncial e p , en donde y son constantes.

Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en una gráfica sobre el papel milimetrado, debe re rma como se indica en la figura 2. Si tom

sultar la curva característica de la función potencial de la foamos logaritmo de ambos lados se obtiene:

.

Si hacemos el cambio de variables de acuerdo anterior, entonces: al esquema

tenemos que la ecuac ( uión 1) se p ede escribir como:

que es la ecuación de una recta n i t n cuya pe d en e vie e dada por:

Por lo tanto para graficar una función tal como la ecuación (2), se utilizará papel logarítmico (papel cuyos ejes son ambos logarítmicos con un número de ciclos variables en cada eje) graficando enfunción de y se obtendrá una recta (ver figura 3).

Fig. 2. Función potencial Fig. 3. Grafica de la ecuación 2 en papel logarítmico.


FUNCIÓN EXPONENCIAL

La ecuación de una func nió exponencial está definida por:

,

Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en el papel milimetrado, debe resultar la curva característica de la ó e indica en la figura 4. funci n exponencial tal como s

dos se ob iene:

Si tomamos logaritmo de ambos la t

Si vale 10, debe aplicarse logaritmo en base diez. Si tiene un valor cualquiera, debe aplicarse logaritmo en base ese mismentonces:

o valor. Por ejemplo, si = 2, se aplica logaritmo en base 2. Se tiene

Si se hace el cambio de variable:

se tiene que la ecuaci tón (3) resul a: (4)

que es la ecuación de una recta a nd n n por:(Figura 5) cuy pe ie te vie e dada

Fig. 4. Función exponencial Fig. 5. Gráfica de la ecuación 4 en papel logarítmico.

Adaptado por: Claudia y Rómulo Sandoval Flórez.Patricia Parra Medina6

TRAZADO DE UNA RECTA QUE PASE ENTRE VARIOS PUNTOS

uando se grafican puntos experimentales y por ejemplo se obtiene una línea recta como gráfico, Césta usualmente no pasará por todos los puntos graficados. Los métodos estadísticos demuestran que siempre que la dispersión de los puntos experimentales se deba a los errores casuales de medición, la mejor recta pasará por el centroide de los puntos experimentales que es el punto con las coordenadas

, en donde x es el valor medio de las coordenadas x de todos los puntos, y y el promedio de las coordenadas . Así que es posible dibujar otras rectas alternativas. La pendiente y la intersección pueden ser obtenidos de la mejor recta que se pueda dibujar, o sea, la recta que mejor se ajuste: conigual peso en lo posible, esto es, igual número de puntos por encima y por debajo de la recta. El centroide se calcula entonces como:

∑ ∑

La ecuación de la recta será:

El error para la pendiente y el corte co dado por la lectura de la posición de los

riterio de máxima y m ima pendient

na vez definido el centroide, la recta de máxima pendiente se construye como la recta que pasa por

onde la pendiente óp rte óptimo con el eje

a pen ó y co n e a vienen dados por:

n viene

puntos sobre la gráfica.

ín eC

Uel centroide y por la mayoría de los puntos situados en la parte superior derecha del centroide y en la parte inferior izquierda de éste. La recta de pendiente mínima debe pasar por el centroide y por la mayoría de puntos situados en la parte inferior derecha del centroide y en la parte superior izquierda de él. La ecuación de la recta óptima es la recta equidistante a ambas rectas y que pasa por el centroide (ver Figura 6). Así la recta ópti : ma será

tima y el punto de cod y son

diente ptimaL el rte co l eje de la recta óptim

eneralmente el traza ir de ciertos valores obtenidos en un experimento, tiene G do de una recta a partcomo finalidad calcular la pendiente de esa recta o su corte con uno de los ejes, para de allí determinar alguna magnitud física. Así por ejemplo, en una experiencia del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, del gráfico de la velocidad del móvil en función del tiempo recorrido se puede obtener la aceleración del móvil calculando la pendiente y la velocidad inicial a partir del corte con por extrapolación a través de las ecuaciones:


Dichos cálculos implica obtener un valor de la pen iente a y el corte b en un intervalo de error:

ara calcular los valores de y ∆b se tonces:

d

tiene en P

Fig. 6. Recta optima.

uniformemente acelerado se hicieron las siguientes mediciones.

1 2 3 4 5

1. Para un objeto con movimiento

8 11 14 17 20

la 1. locidad de u jeto con mo iento unifor ente acelerado.

. Compare la gráfica obtenida, con las estudiadas anteriormente. ¿Con cuál tiene mayor

Tab Ve n ob vim mem

a. Grafique en sobre papel milimetrado los datos de la tabla 1. b

semejanza? c. ¿La recta pasa por el origen de coordenadas? ¿Qué indica esto?

Actividades y Preguntas de control


d. ¿Cuál es la ley que rige el movimiento?

2. ron las mediciones que se indican en la tabla 2. Halle la ley que rige el movimiento.

1.5 2 2.5

Al soltar un objeto en caída libre, se hicie

14.9 11 19.6 30.6

Tabla 2. Distancia en función del tiempo para un objeto q .

a.b. Compare la curva obtenida con las estudiadas anteriormente. ¿Con cuál tiene mayor

ta es si, encuentre la pendiente de la recta. e

3. a cantidad del elemento químico polonio. Después de 138 días ermanecerá solamente la mitad de la misma. Con esta información obtenga la ley que rige el

414

ue cae libremente

Grafique en el papel milimetrado los datos de la tabla 2.

semejanza? c. Según el tipo de función, ¿puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo haría? Explique. d. Si su respuese. Sustituya los valores encontrados en la ecuación correspondiente y encuentre la ley qu

rige el movimiento.

Se tiene con una ciertpfenómeno. ¿Qué cantidad de polonio quedará después de un año? Proceda a obtener los datos para graficar la tabla 3. Tabla 3. Porcentaje de Polonio en función del tiempo.

0 138 276 100 50 25 12.5

Tabla 3. Porcentaje de polonio en función del tiempo

a. Grafique en b. Analizando la curva trate de contestar las siguientes preguntas:

xponencial. ¿por

c.may janza?

entre la pendiente de la recta.

papel milimetrado el porcentaje en función del tiempo

La relación funcional entre las variables es: Lineal, Potencial ó equé?

Compare la gráfica obtenida, con las estudiadas anteriormente. ¿Con cuál de ellas tiene or seme

d. Según el tipo de función, ¿Se puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo harías? Si su respuesta es sí, encu

e. Sustituya los valores encontrados en la ecuación correspondiente y encuentre la ley que rige el fenómeno.

.

Guia Experimental HC 2015

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