LICEO JORGE ALESSANDRI RODRÍGUEZ Profesor Hans Colina O. NÍVEL: NM3 Departamento de Matemáticas

GUÍA DE MATEMÁTICA “MÁS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS”

Nivel: Tercero Medio

Aprendizajes Esperados:

Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariante entre las medidas de los lados, en

familias de triángulos rectángulos semejantes.

Resolver problemas que involucran propiedades de los triángulos rectángulos; analizan las soluciones que

se obtienen y su pertinencia.

Trigonometría

Rama de la matemática que establece las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo

rectángulo. Es decir dados algunos de los elementos del triángulo, hallar los restantes mediante operaciones

matematicas. Esto permite obtener mayor precisión y el grado de aproximación que se desee.

1. Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-

drados de las longitudes de los catetos.

B

a c c2 = a2 + b2

C b A

Ejemplos

1) Calcular la medida de la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo.

B

c2 = 42 + 32

c c2 = 16 + 9

4 c2 = 25 /

c = 5

C 3 A

2) Calcular la medida del cateto en el siguiente triángulo rectángulo.

B

102 = 82 + b2

100 = 64 + b2

8 10 100 – 64 = b2

36 = b2

36 = b2 /

C b A 6 = b

Ejercicios: Hallar las medidas de los lados que falta en los siguientes triángulos rectángulos.

1)

B

5 c

C A

12

2) A

17 b

B C

8

3) B

a 13

C A

5

4) Una escalera de mano de 10 m de longitud está apoyada contra una pared. Si el pie de la escalera

dista 6 m de la pared, ¿qué altura alcanza?

x 10

6

5) Para subir a la cima de un cerro de 9 metros de altura, una persona debe caminar 41 metros.¿Qué

longitud tiene la base del cerro?

41 9

x

6) Calcular el largo de un rectángulo ABCD, si la diagonal mide 10 cm y el ancho 6 cm.

6

x

7) Una empresa maderera corta los árboles de un bosque, y debe hacer deslizar los troncos por la

ladera de un cerro desde la altura de 15 metros. Si la distancia horizontal desde el pie de la altu-

ra hasta el lugar donde se reciben mide 20 metros,¿cuál es la distancia que recorren los troncos

en su caída?

x 15

20

10

8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un rectángulo. El

área de la región achurada es:

9) Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I. El perímetro de la figura es 8 2 .

II. Cada diagonal mide 4.

III. El área de la figura es 4 2 .

10) ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales

miden 8 cm y 6 cm?

Razones Trigonométricas Básicas

En todo triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo α:

1. Seno del ángulo agudo α

Es la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo α y la longitud de la hipotenusa.

sen α = c

a

hipotenusaLongitud

aopuestocatetoLongitud=

α

2. Coseno del ángulo α

Es la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo α y la longitud de la hipotenusa.

cos α = c

b

hipotenusaLongitud

aadyacentecatetoLongitud=

α

3. Tangente del ángulo α

Es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente al ángulo α.

tan α = b

a

aadyacentecatetoLongitud

aopuestocatetoLongitud=

α

α

Ejemplos: 1) Hallar las funciones trigonométricas básicas del ángulo α.

B a) sen α = 5

4

4 5 b) cos α = 5

3

C 3 A c) tan α = 3

4

α

2) Hallar las razones trigonométricas básicas, si la tan α = 12

5

B

tan α = 12

5

α

α=

aadyacentecatetoLongitud

aopuestocatetoLongitud

c 5

c2 = 52 + 122

c2 = 25 + 144

A 12 C c2 = 169 /

c = 13

Luego, sen α = 13

5

, cos α =

13

12 y tan α =

12

5

Ejercicios

1) En el triángulo rectángulo ABC de la figura, si cos α = 7

3 , hallar el resto de las razones trigonamétri-

cas:

A

3 7

C a B

-

2) Dada la siguiente figura, hallar las razones trigonométricas básicas del ángulo α:

3) Si α es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y 5

3α=sen , entonces =αcos -αtan

α

α

4) Con los datos de la figura, la expresión sen α – cos α =

5) En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada

cuadrado tiene lado 1, entonces sen α =

6) Si sen α = 3

2, entonces cos2 α =

7) En el triángulo rectángulo de la figura, tg α =

2. Razones trigométricas de ángulos agudos 30°, 45° y 60°

Ejemplo

1) tan2 60° + cos2 45° =

( ) 22

)2

2(3 + = 3 +

4

2 =

2

72:

4

14

4

212==

+

Ejercicios

1) sen 30° cos 60° + cos 30° sen 60° =

2) Sen 30° + cos 45° -- 2 tan 30° =

3) Sen2 45° + cos2 30° =

30° 45° 60°

Sen

2

1

2

3

3

3

Cos

2

3

2

2

1

Tan

2

3

2

1

3

3. Ángulos de elevación y de Depresión

Son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira,

según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.

Ejemplos

1) Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que del pie de la esca-

lera al edificio hay 12 metros. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escale-

ra, si forma un ángulo de 70° con el suelo?

x tan 70° = →12

x 12 tan 70° = x

12 2,747… = x

12 32,969 = x

R: Se encuentra a 33 metros de altura

2) La longitud del hilo que sujeta un volantin es de 15 m y el ángulo que forma este con el plano hori-

zontal es de 60°. ¿a qué altura está el volantín?

V

sen 60° = 15

x

x 15 15 sen 60° = x

x=3

315

x=35

R: Está a una altura de metros35

60

0

70

Ejercicios

1) Un futbolista se ubica a 12 metros del arco y tira un penal con un ángulo de 15°. ¿Qué distancia

recorre la pelota hasta el arco?

2) Un jugador de básquetbol lanzará el balón con un ángulo de elevación de 45° a la canasta que se

Encuentra a 2,44 m del suelo. Calcular la distancia que recorre la pelota.

3) Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en la figura.

¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una

altura de 1.500 metros?

4) Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es 12 m, determinar la distancia entre el águila y el ratón.

5) La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la tierra, es de 20 3 metros.

El cable forma un ángulo de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en el

poste?

6) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de la escalera de la figura?

metrosIII

metrosII

metrossen

I

º70cos2,1)

º70cos

12)

º20

2,1)

7) En la figura, una persona ubicada en lo alto del edificio P de 12 m de altura, observa a otra persona,

de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 18 m de altura con un ángulo de elevación de 40°.

¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?